Chuyên đề thể tích khối đa diện – Phạm Thu Hiền Toán 12

Tài liệu gồm 30 trang hệ thống hóa lý thuyết thể tích khối đa diện và hướng dẫn giải một số bài toán thể tích khối đa diện điển hình. Chuyên đề chủ yếu xoay quanh các bài toán THPT, hi vọng sẽ giúp ích được phần nào cho bạn đọc, đặc biệt là các bạn học sinh 12. Nội dung chuyên đề:Mời các bạn đón xem.

23 12 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

30 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
HỘI TOÁN BẮC NAM
MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BUÔN MA THUỘT, 9/2017
Thể tích khối đa diện 0962649310
MỞ ĐẦU
Trong chủ đề tháng 9/2017 của Hội Toán Bắc Nam tôi xin trình bày
một số vấn đề về thể tích khối đa diện.
Chủ đề được chia làm 4 vấn đề:
Vấn đề 1: Thể tích vật thể.
Vấn đề 2: Thể tích khối chóp.
Vấn đề 3: Thể tích khối lăng trụ.
Vấn đề 4: Tỉ số thể tích.
Chuyên đề chủ yếu xoay quanh các bài toán THPT, hi vọng sẽ giúp
ích được phần nào cho bạn đọc, đặc biệt là các bạn học sinh 12.
Sẽ không tránh khỏi thiếu sót khi biên tập, rất mong nhận được sự
đóng góp từ quý bạn đọc để chuyên đề ngày một hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp, quý bạn đọc vui lòng gửi về địa chỉ
email: phamthithuhien117@gmail.com hoặc gửi trực tiếp cho Hội
Toán Bắc Nam.
Buôn Ma Thuột, ngày 15 tháng 9 năm 2017
Phạm Thị Thu Hiền 2 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
THỂ TÍCH VẬT THỂ 2
0.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Thể tích khối hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 4
0.4 Công thức tính thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.5.1 Tính chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.5.2 Tính diện tích đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.6 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 16
0.8 Công thức tính thể tích khối lăng trụ . . . . . . . . . . . 16
0.9 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
TỈ LỆ THỂ TÍCH 23
0.11 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
0.12 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.13 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
Thể tích khối đa diện 0962649310
VẤN ĐỀ 1:THỂ TÍCH VẬT THỂ
0.1 Khái niệm
Thể tích vật thể K là phần mà vật thể đó chiếm chổ trong không
gian.
Thể tích của vật thể K được kí hiệu : V
0.2 Tính chất
V là một số lớn hơn 0 thỏa mãn các tính chất sau:
1. Hai khối đa diện bằng nhau thì thể tích bằng nhau.
2. Thể tích khối lập phương bằng 1 thì V=1.
3. Nếu một khối đa diện được phân chia thành các khối đa diện thì
thể tích khối ban đầu bằng tổng thể tích các khối đã phân chia.
Phạm Thị Thu Hiền 2 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
0.3 Thể tích khối hộp chữ nhật
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
với ba kích thước a, b, c ; thể tích được tính theo công thức:
V
abc.
Đặc biệt a = b = c thì khối hộp chữ nhật ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
trở thành hình lập phương.Khi đó:
V
a
3
.
Phạm Thị Thu Hiền 3 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
VẤN ĐỀ 2:THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
0.4 Công thức tính thể tích khối chóp
V
1
3
Bh (1)
B là diện tích đáy
h là chiều cao
Đối với khối tứ diện ABCD
V
1
6
AB.CD.sinα.d (2)
α
p
AB, CD
q
d là khoảng cách
p
AB, CD
q
Đặc biệt đối với khối tứ diện vuông
OABC vuông tại O
V
O.ABC
1
6
OA.OB.OC (3)
Phạm Thị Thu Hiền 4 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
0.5 Phương pháp
Để tính thể tích khối chóp ta cần tính được chiều cao và diện tích
đáy
0.5.1 Tính chiều cao
Ta chính xác hóa chân đường cao
1) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu bằng
nhau, suy ra hình chóp có các cạnh bên bằng nha thì chân đường
cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
2) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với
mặt phẳng kia
Suy ra cách tìm hình chiếu H của A trên mp
p
P
q
• Tìm mặt phẳng
p
Q
q
chứa A sao cho
p
Q
q Kp
P
q
• Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
• Trong
p
Q
q
dựng AH
K
d tại H
3) Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thì
giao tuyến của nó vuông góc với mặt phẳng đó.
4) Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân
đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
Phạm Thị Thu Hiền 5 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
0.5.2 Tính diện tích đáy
a.Nếu tam giác ABC vuông ở A ta có các hệ thức lượng trong tam
giác vuông ABC sau:
BC
2
AB
2
AC
2
BH.BC
AB
2
CH.BC
AC
2
BH.HC
AH
2
AH.BC
AB.AC
AM
1
2
BC
sinB
AC
BC
...
1
AH
2
1
AB
2
1
AC
2
b.Hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lí hàm số cos: a
2
b
2
c
2
2bc.cosA
Định lí hàm số sin:
a
sinA
b
sinB
c
sinC
2R
Công thức tính trung tuyến AB
2
AC
2
2AM
2
BC
2
2
c.Một số công thức tính diện tích
Diện tích tam giác
S
1
2
a.h
a
S
1
2
.b.c.sinA
Phạm Thị Thu Hiền 6 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
S
p.r
S
abc
4R
S
a
p
p
p
a
qp
p
b
qp
p
c
q
d.Diện tích hình thang S=
p
l
b
q
h
2
với l là độ dài đáy lớn, b là độ dài
đáy bé, h là độ dài đường cao của hình thang
e.Diện tích hình bình hành
S
AD.DC.sinD
S
AQ.BC
S
AC.BD.sinα
Đặc biệt hình vuông F GHI có IJ
K
F K
Hình bình hành P bất kì S
ONP
1
2
S
hbh
0.6 Ví dụ
Ví dụ 1 (bài 38 sbt trang 10)
Chứng minh công thức (2) V
1
6
AB.CD.sinα.d
Chứng minh
Ví dụ 2 Cho chóp S.ABC. Tam giác ABC cân tại B, AC=a,
z
ABC
120
o
SA=SB=SC, (SA,(ABC))=60
o
. Tính V
S.ABC
Phạm Thị Thu Hiền 7 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
Dựng hình bình hành ABCE
ñ
AE // mp(BCD)
Ta có V
ABCD
1
3
S
BCD
d
p
A;
p
BCD
qq
1
3
S
BCD
d
p
E;
p
BCD
qq
=V
E.BCD
(1)
V
EBCD
V
B.ECD
1
3
S
ECD
d
p
B;
p
ECD
qq
1
6
CD.AB.sin
p
CD, AB
q
.d
p
AB, CD
q
(2)
Từ (1) và (2)
ñ
V
1
6
AB.CD.sinα.d
Giải
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC)
Vì SA=SB=SC nên HA=HB=HC
Gọi M là trung điểm của AC
ñ
H
P
BM
HA là hình chiếu của SA trên (ABC)
ñ
(SA,(ABC))=(SA,HA)=60
o
ñ
z
SHA
60
o
S
4ABC
1
2
BA.BC.sin120
o
Phạm Thị Thu Hiền 8 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
Ta có
AC
sin120
o
AB
sin30
o
ñ
AB
a
?
3
3
ñ
S
4ABC
a
2
?
3
12
Theo định lí sin trong 4ABC:
a
sin120
o
2HA
ñ
HA
a
?
3
3
Trong tam giác vuông SHA có SH=HA.tan 60
o
=a
Kết luận : V
SABC
1
3
.S
ABC
.HA
a
3
?
3
36
Ví dụ 3 Cho chóp S.ABC . Tam giác ABC vuông tại B, BC=a, AC=2a,
SA vuông với mp(ABC), SA=a
?
3. H lá hình chiếu của A trên SB.
Tính V
HABC
Trong (SAB) dựng HK song song với SA
khi đó thể tích khối chóp H.ABC được
tính là:
V
HABC
1
3
HK.S
ABC
+)Tính HK Xét tam giác ABC vuông ở B
có: AB
?
AC
2
BC
2
a
?
3
Tam giác SAB có: AS
AB
a
?
3
suy ra tam giác SBA cân tại A, nên SH
là đường cao đồng thời là trung tuyến,
nên suy ra H là trung điểm của SB
suy ra HK là đường trung bình của tam
giác SAB
ñ
HK
1
2
AS
a
?
3
2
+) S
ABC
1
2
AB.BC
1
2
a
2
?
3
Vậy V
HABC
1
3
HK.S
ABC
a
3
4
Phạm Thị Thu Hiền 9 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
[.]
Ví dụ 4 (Bài 33 sbt trang 10): Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có
chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2ϕ. Hãy tính thể tích khối chóp.
Giải
Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC.
Khi đó SO
K
(ABC) và SO=h.
Gọi K là trung điểm của AB. Đặt AK=x
Khi đó SK=x.cotϕ, OK=x.tan30
o
x
?
3
.
h
2
SK
2
OK
2
x
2
3
p
3cot
2
ϕ
1
q
ñ
x
2
3h
2
3cot
2
ϕ
1
Ta có S
ABC
AB
2
.sin60
o
2
x
2
?
3 , suy ra
V
S.ABC
1
3
S
ABC
.h
x
2
?
3
3
.h
h
3
?
3
3cot
2
ϕ
1
Ví dụ 5 (Bài 36 sbt trang 10): Khối chóp S.ABC có SA
K
(ABC) ; đáy là
tam giác ABC cân ở A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB
tạo với đáy một góc α và tạo với mặt (SAD) một góc β. Tính thể
tích khối chóp.
Ví dụ 6 (Đề thi đại học khối A năm 2014) : Cho hình chóp S.ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD=
3a
2
, hình chiếu vuông góc
của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt
Phạm Thị Thu Hiền 10 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
AB là hình chiếu của SB trên mp(ABC) nên
z
SBA
α. Dễ
thấy BD
K
(SAD) nên hình chiếu của SB trên mp(SAD) là SD
ñ
{
BSD
β.
Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có SB
BD
sinβ
,SB
AB
cosα
,
suy ra
AB
2
cos
2
α
BD
2
sin
2
β
AB
2
BD
2
cos
2
α
sin
2
β
a
2
cos
2
α
sin
2
β
ñ
BD
asinβ
a
cos
2
α
sin
2
β
SD
BDcotβ
acosβ
a
cos
2
α
sin
2
β
SA
?
SD
2
AD
2
asinα
a
cos
2
α
sin
2
β
Vậy : V
S.ABC
1
3
S
ABC
.SA
1
3
.a.
asinβ
a
cos
2
α
sin
2
β
.
asinα
a
cos
2
α
sin
2
β
a
3
sinα.sinβ
3
p
cos
2
α
sin
2
β
phẳng (SBD)
Giải
Phạm Thị Thu Hiền 11 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
a)Tính thể tích S.ABCD
Gọi M là trung điểm AB, dễ thấy SM
K
(ABCD).
Theo định lí Pythagore thì M D
2
MA
2
AD
2
p
a
2
q
2
a
2
5a
2
4
Lai có tam giác SMD vuông tại M, do SM
K
(ABCD) nên suy
ra
SM
2
SD
2
MD
2
p
3a
2
q
2
5a
2
4
a
2
ñ
SM
a.
Do đó , ta được V
S.ABCD
1
3
.SM.S
ABCD
1
3
a
3
b)Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Ta có V
A.SBD
V
S.ABD
1
2
V
S.ABCD
a
3
6
.
KẻMK
K
BD với K
P
BD, màBD
K
SM nên ta cóBD
K
(SMK), suy
ra DB
K
SK.
Măt khác, tam giác MBK vuông cân ở K, suy ra MK=
a
?
2
4
nên SK=
3a
?
2
4
Do đó, S
SBD
1
2
.SK.BD
1
2
.
3a
?
2
4
.a
?
2
3a
2
4
.
Vây khoảng cách cần tìm là d(A,(SBD))=
3V
A.SBD
S
SBD
p
3.
a
3
6
q
:
p
3a
2
4
q
2a
3
0.7 Bài tập
1. (THPTQG-2017): Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với
p
SAB
q
một góc30
0
.
Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
2. (THPTQG-2017): Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi
M, N lầnlượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối
xứng với B qua D. Mặt phẳng
p
MNE
q
chia khối tứ diện ABCD
Phạm Thị Thu Hiền 12 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnhA có thể
tích V. Tính V.
3. (THPTQG-2017): Tính thể tích V khối chóp S.ABCD có đáy là
hình chữ nhật, AB
a, AD
a
?
3, SA vuông góc với đáy và
p
SBC
q
tạo với đáy một góc 60
0
.
4. (THPTQG-2017): Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB
x và các
cạnh còn lại đều bằng 2
?
3. Tìm x để khối tứ diện ABCD đạt giá
trị lớn nhất.
5. (THPTQG-2017): Cho khối chóp S.ABC có SA vuông với đáy,
SA
4, AB
6, BC
10, CA
8. Tính thể tích V của khối
chóp S.ABC.
6. (THPTQG-2017): Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD có đáy
là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A
đến mặt phẳng
p
SBC
q
bằng
a
?
2
2
.
7. (THPTQG-2017): Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông
cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng
p
SBC
q
bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng SBA và ABC, tính
cos α khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
8. (THPTQG-2017): Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh
đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABC.
9. Bài 21 sgk trang 28: Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều
ABCD. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M tới 4 mặt của
tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng
đó bừng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a.
Phạm Thị Thu Hiền 13 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
10. Bài 39 sbt tr 10: cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a. Gọi B’, D’ lần
lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng
p
AB
1
D
1
q
cắt SC
tại C
1
. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
11. Bài 40 sbt tr 10: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh
đối bằng nhau:
AB
CD
a, AC
BD
b, AD
BC
c.
12. Bài 42 sbt tr 11: Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mp(P)
và một điểm M di động trên đường tròn. trên đường thẳng vuông
góc với mp(P) tai A, lấy một điểm S. Mặt phẳng (Q) qua A vuông
góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí của M để thể tích khối
chóp S.AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ
hơn cung BM .
13. Đề thi đai học khối A năm 2013: Cho hình chóp S.ABC có đáy
là tam giác vuông cân tại A,
z
ABC
30
o
, SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bênSBCvuông góc với đáy. Tính theo a thể tích
khối chópS.ABCvà khoảng cách từ điểmCđếnmp
p
SAB
q
Hướng dẫn
Phạm Thị Thu Hiền 14 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
V
S.ABC
a
3
16
.
d(C,(SAB))=
3V
S.ABC
S
SAB
14. Đề thi dh khối B 2013: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong măt
phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mp
p
SCD
q
.
Hướng dẫn
V
S.ABCD
a
3
?
3
6
d(A,(SCD))=HI
15. Đề thi đh A 2012 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là
điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60
o
. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo
a.
Phạm Thị Thu Hiền 15 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
VẤN ĐỀ 3:THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
0.8 Công thức tính thể tích khối lăng trụ
1. Khối lăng trụ tam giác
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’
Xét mp(AB’C’) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối chóp:
A.A’B’C’ và A.BCC’B’.Do đó:
V
ABC.A
1
B
1
C
1
V
A.A
1
B
1
C
1
V
A.BCC
1
B
1
Trong đó: V
A.A
1
B
1
C
1
1
3
.S
A
1
B
1
C
1
.AA
1
V
A.BCC
1
B
1
V
A.CC
1
B
1
V
A.BCB
1
V
A.CC
1
B
1
V
A
1
.B
1
C
1
C
V
C.A
1
B
1
C
1
1
3
.S
A
1
B
1
C
1
.CC
1
V
A.BCB
1
1
3
.S
ABC
.BB
1
Từ đó suy ra :
V
ABC.A
1
B
1
C
1
3.
1
3
.S
A
1
B
1
C
1
.AA
1
S
A
1
B
1
C
1
.AA
1
p
doS
ABC
S
A
1
B
1
C
1
và AA’ =
BB’ = CC’)
Hay V
S
d
. chiều cao
Phạm Thị Thu Hiền 16 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
2 .Thể tích khối lăng trụ bất kì
V
Bh
B là diện tích đáy
h là chiều cao
3. Một số hình lăng trụ đặc biệt:
a) Hình lăng trụ đứng: Lăng trụ có cạnh bên vuông với đáy.
b) Hình lăng trụ đều : Lăng trụ đứng và đáy là đa giác đều.
c) Hình hộp : Lăng trụ và đáy là hình bình hành.
d) Hình hộp đứng: Lăng trụ đứng và đáy là hình bình hành.
4.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong tứ diện
vuông: (Áp dụng để tính đường cao)
OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
H là hình chiếu của O xuống (ABC),
Phạm Thị Thu Hiền 17 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
Suy ra, H là trực tâm của tam giác ABC.
Khi đó, nếu đặt h = d(O,(ABC)) ta có
1
h
2
1
OA
2
1
OB
2
1
OC
2
0.9 Ví dụ
Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A
,AC=a,
z
ACB
60
o
, (BC,(AA’C’C)) = 30
o
.Tính AC’ và thể tích của khối
lăng trụ.
Hướng dẫn :
+Chứng minh B’C
K
(AA’C’C).Suy ra
{
A
1
CB
1
=(BC,(AA’C’C))
=30
o
+Tính AC’ dựa vào 4 A’B’C vuông tại A.
+V
AA
1
.S
ABC
Đáp số: A’C = 3a, V= a
3
?
6
Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm
A’ cách đều A,B,C ; (A’A,(ABC))=60
o
a.Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
b.Chứng minh BCC’B’ là hình chữ nhật.
c.Tính diện tích xung quanh của lăng trụ.
Hướng dẫn:
Phạm Thị Thu Hiền 18 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
+Gọi H là hình chiếu của A’ xuống (ABC).
A’A = A’B = A’C suy ra H là trọng tâm 4 ABC.
+Gọi M là trung điểm BC
ñ
H
P
AM.
+Theo cách dựng:
{
A
1
AH
p
A
1
A,
p
ABC
qq
60
o
+V = A’H.S
4ABC
+Theo tính chất hình lăng trụ.Ta có BCC’B’ là hình bình
hành, chứng minh BCC’B’ có 1 góc vuông
ñ
nó là hình
vuông
+S
xq
S
BCC
1
B
1
S
ACA
1
C
1
S
ABB
1
A
1
Đáp số: V =
a
3
?
3
4
, S
xq
a
2
.
p
2
?
13
q
?
3
.
0.10 Bài tập
1. (THPTQG-2017):Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có BB
1
a, đáy
ABC là tam giác vuông cân tại B và AC
a
?
2. Tính thể tích V
của khối lăng trụ đã cho.
2. (THPTQG-2017):Cho khối lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC
là tam giác cân với AB
BC
a,
"
ABC
120
0
, mặt phẳng
p
AB
1
C
1
q
tạo với đáy một góc 60
0
. Tính thể tích V của khối lăng
trụ đã cho.
3. (ĐMH-2017): Tính thể tích V củakhối lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
biết AC
1
a
?
3.
4. (ĐMH-2017):Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A
1
B
1
C
1
có độ dài
cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối
Phạm Thị Thu Hiền 19 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
5. (ĐMH-2017): Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có
tất cả các cạnh đều bằng a.
6. (18.tr28 SBTHHNC12) Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều
có tất cả các cạnh đều bằng a.
ĐS: V
1
4
na
3
cot
π
n
7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáyABC là tam giác vuôngAB=BC=a.Cạnh
bên AA’=a
?
2.Gọi M là trung điểm BC.Tính theo a thể tích khối trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa AM và B’C.
8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=a,AC=2a, AA
1
2a
?
5.
z
ABC
120
o
, M là trung điểm CC
1
.Chứng minh: MB
K
MA
1
, tính khoảng
cách từ A tới mp
p
A
1
BM
q
.
9. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằnga ,
{
AA
1
D
1
{
AA
1
B
1
{
BAD
a
p
0
o
α
90
o
q
.Tính V
A
BCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
10. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,
AD=a
?
3.Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với
giao điểm AC và BD . Góc giữa 2 mp(ADD’A’) và (ABCD) là 60
o
.
a. Tính V
ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
b.Khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD) theo a.
11. (4.tr31 SGKHHNC12) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện
tích bằng S và AA’ = h.Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA’, BB’,
Phạm Thị Thu Hiền 20 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
CC’ lần lượt tại A
1
, B
1
vC
1
.Biết AA
1
a, BB
1
b, CC
1
c.
a. Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi
mặt phẳng (P).
b.Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích hai phần đó bằng nhau?
12. (23.tr9 SBTHHNC12)Cho khối lăngtrụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’
có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2 và độ dài
đường chéo của mặt bên bằng 5.
a.Hạ AK
K
A’D (K
P
A’D).Chứng minh AK=2
b.Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’
13. (24.tr9 SBTHHNC12) Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là
tam giác đều .Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy 1 góc 30
o
và tam giác
A’BC có diện tích bằng 8.Tính thể tích khối lăng trụ.
14. (25.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có
đáy là hình bình hành và
{
BAD
45
o
. Các đường chéo AC’ và DB’
lần lượt tạo với đáy những góc 45
o
và 60
o
.Hãy tính thể tích của
khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
15. (27.tr9 SBTHHNC12) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình
chữ nhật với AB =
?
3, AD =
?
7.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’)
lần lượt tạo với đáy những góc 45
o
và 60
o
.Hãy tính thể tích khối
hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
16. (28.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà
Phạm Thị Thu Hiền 21 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4.Khoảng cách giữa cạnh CC’
và mặt (ABB’A’) bằng 7.Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
17. (29.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C có đáy ABC là
tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng
?
2.Cho biết mặt
phẳng (AA’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA’ =
?
3, góc
{
B
1
AB
nhọn, góc giữa mặt phẳng (A’AC)và mặtphẳng (ABC) bằng 60
o
.Hãy
tính thể tích khối lăng trụ.
18. (29.tr9 SBTHHNC12) Lấy một mặt phẳng vuông góc với cạnh bên
của một khối lăng trụ.Hình chiếu của mặt đáy của khối lăng trụ
trên mặt phẳng đó được gọi là thiết diện thẳng của khối lăng trụ.
Chứng minh rằng thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện
tích thiết diện thẳng với độ dài cạnh bên.
19. (41.tr10 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C
có đáy bằng a, chiều cao bằng h.Tính thể tích khối chóp A.BC’A’
20. (52.tr12 SBTHHNC12) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C mà đáy
là tam giác vuông tại B có AB=a, BC = b, AA’ = c (c
2
¥
a
2
b
2
).Một
mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA’.
a.Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp(P).
b.Tính diện tích thiết diện nói trên.
Phạm Thị Thu Hiền 22 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
VẤN ĐỀ 4:TỈ LỆ THỂ TÍCH
0.11 Phương pháp
S
B
1
BC
S
ABC
B
1
B
AB
S
AB
1
C
1
S
ABC
AB
1
AB
.
AC
1
AC
V
A
1
.ABC
V
S.ABC
A
1
A
SA
V
S.A
1
B
1
C
1
V
SABC
SA
1
SA
SB
1
SB
SC
1
SC
(4)
Phạm Thị Thu Hiền 23 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
Chứng minh (4)
Ta có
V
S.A
1
B
1
C
1
V
S.ABC
V
A
1
.SB
1
C
1
V
A.SBC
A
1
H
1
AH
S
SB
1
C
1
S
SBC
SA
1
SA
SB
1
SB
SC
1
SC
đpcm
0.12 Ví dụ
Ví dụ 1 Cho chóp S.ABC , SA vuông với mp(ABC), SA=2a. Tam giác
ABC vuông tại C, AB=2a,
z
CAB
30
o
H,K là hình chiếu của A trên
SC và SB. Tính V
HABC
và V
S.AHK
Giải
Ta có AC=AB.cos30
o
a
?
3
ñ
V
SABC
1
3
.
1
2
.AB.AC.sin30
o
.SA
a
3
?
3
3
V
HABC
V
SABC
HC
SC
HC.SC
SC
2
AC
2
SC
2
3
7
V
HABC
3
7
.V
S.ABC
a
3
?
3
7
(đvtt)
V
SAHK
SH
SC
.
SK
SB
4
7
.
1
2
2
7
ñ
V
S.AHK
2
7
.V
S.ABC
Phạm Thị Thu Hiền 24 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
Ví dụ 2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh
AA’ và cạnh BB’ .Tính
V
MN C
1
CBA
V
MN C
1
A
1
B
1
Giải
Gọi V
MN C
1
CBA
V
1
; V
MN C
1
A
1
B
1
V
2
Khi đó V
MN C
1
A
1
B
1
V
2
V
C
1
.A
1
B
1
NM
V
C
1
.MN B
1
V
C
1
.MA
1
B
1
2V
C
1
.MA
1
B
1
2V
M.C
1
A
1
B
1
2
3
B.
h
2
1
3
V
ñ
V
2
1
3
V
ñ
V
1
V
2
2
Ví dụ 3 Bài 24sgk tr29. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành,
M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng
p
P
q
đi qua AM, song
song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích
của hai phần đó
0.13 Bài tập
1. Bài 16 sgk trang 28: Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ
diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng 1 số k>0
cho trước
2. Bài 23sgk tr29. Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường
thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A
1
, B
1
, C
1
khác với S. Gọi V
và V
1
lần lượt là thể tích của khối chóp S.ABC và S.A
1
B
1
C
1
. Chứng
Phạm Thị Thu Hiền 25 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
Giải
Gọi O là tâm ABCD
trong (SCA) SO
X
AM=G
ñ
G là trọng tâm tam giác SAC trong (SBD)
Vậy
SG
SO
2
3
Vì mp(P) song song với BD nên nó cắt mp(SBD) theo giao
tuyến đi qua G và D’B’
{{
BD (với B’
P
SB và D’
P
SD)
Suy ra
SB
1
SB
SD
1
SD
SG
SO
2
3
Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần,Khối
chóp S.AB’MD’ và khối đa diện ABCDB’MD’. Ta có :
V
S.AB
1
D
1
V
SABD
SA
SA
SB
1
SB
SD
1
SD
2
3
.
2
3
4
9
ñ
V
S.AB
1
D
1
V
SABCD
2
9
V
S.MB
1
D
1
V
SCBD
SM
SC
SB
1
SB
SD
1
SD
1
2
2
3
.
2
3
2
9
ñ
V
S.MB
1
D
1
V
SABCD
1
9
Từ đó suy ra
ñ
V
S.AB
1
MD
1
V
SABCD
V
S.AB
1
D
1
V
S.MB
1
D
1
V
S.ABCD
2
9
1
9
1
3
Vậy
V
SAB
1
MD
1
V
ABCDB
1
MD
1
1
2
minh rằng:
V
V
1
SA
SA
1
.
SB
SB
1
.
SC
SC
1
.
3. Bài 25 sgk trang 29: Chứng minh rằng nếu có phếp vị tự tỉ số k
biến tứ diện ABCD thành A’B’C’D’ thì
V
A
1
B
1
C
1
D
1
V
ABCD
|
k
|
3
4. Bài 1 sgk trang 30: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và
D’ làn lượt là trung điểm của AB và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia
Phạm Thị Thu Hiền 26 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích của mỗi phần đó.
5. Bài 3 sgk trang 31: Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung
điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia
khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện.
a. Kể tên 4 khối tứ diện đó
b. Chứng tỏ rằng 4 khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.
c. Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì 4 khối tứ diện
nói trên bằng nhau.
6. Bài 4 sgk trang 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích
đáy bằng S và AA’=h.
Một mp(P) cắt cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt tại A
1
, B
1
, C
1
. Biết AA
1
a, BB
1
b, CC
1
c.
a. Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi
mặt phẳng (P)
b. Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích của hai phần đó bằng
nhau.
7. Bài 5 sgk trang 31Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ và M là trung
điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ thành
hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
8. Bài 6 sgk trang 31: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a,
đáy là tam giác vuông cân có AB=BC=a. Gọi B’ là trung điểm của
SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b. Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB’C’)
c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’
9. Bài 43 sbt tr 11: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
Phạm Thị Thu Hiền 27 Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC
tại C’. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
10. Bài 44sbt tr 11: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
M, N, P lầ lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Chứng minh mặt
phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng
nhau.
11. Bài 45 sbt tr 11:Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Một mp(α) đi
qua A, B và trung điểm M của cạnh SC. Tính tỉ số thể tích của hai
phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
12. Bài 47 sbt tr 11: Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB
của khối chóp tam giác S.ABC sao cho
SM
MA
1
2
,
SN
NB
2. Mặt
phẳng (α) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai
phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó.
13. Bài 50 sbt tr 11:Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện
và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi h
A
, h
B
, h
C
, h
D
lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối
diện. Chứng minh rằng
1
r
1
h
A
1
h
B
1
h
C
1
h
D
Phạm Thị Thu Hiền 28 Facebook: Hội toán Bắc Nam
| 1/30
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

HỘI TOÁN BẮC NAM
MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
BUÔN MA THUỘT, 9/2017
Thể tích khối đa diện 0962649310 MỞ ĐẦU
Trong chủ đề tháng 9/2017 của Hội Toán Bắc Nam tôi xin trình bày
một số vấn đề về thể tích khối đa diện.
Chủ đề được chia làm 4 vấn đề:
Vấn đề 1: Thể tích vật thể.
Vấn đề 2: Thể tích khối chóp.
Vấn đề 3: Thể tích khối lăng trụ.
Vấn đề 4: Tỉ số thể tích.
Chuyên đề chủ yếu xoay quanh các bài toán THPT, hi vọng sẽ giúp
ích được phần nào cho bạn đọc, đặc biệt là các bạn học sinh 12.
Sẽ không tránh khỏi thiếu sót khi biên tập, rất mong nhận được sự
đóng góp từ quý bạn đọc để chuyên đề ngày một hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp, quý bạn đọc vui lòng gửi về địa chỉ
email: phamthithuhien117@gmail.com hoặc gửi trực tiếp cho Hội Toán Bắc Nam.
Buôn Ma Thuột, ngày 15 tháng 9 năm 2017 Phạm Thị Thu Hiền 2
Facebook: Hội toán Bắc Nam Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 THỂ TÍCH VẬT THỂ 2 0.1 Khái niệm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Thể tích khối hộp chữ nhật . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 4
0.4 Công thức tính thể tích khối chóp . . . . . . . . . . . . . 4
0.5 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.5.1
Tính chiều cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.5.2
Tính diện tích đáy . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.6 Ví dụ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 16
0.8 Công thức tính thể tích khối lăng trụ . . . . . . . . . . . 16 0.9 Ví dụ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.10 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 TỈ LỆ THỂ TÍCH 23
0.11 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0.12 Ví dụ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
0.13 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1
Thể tích khối đa diện 0962649310
VẤN ĐỀ 1:THỂ TÍCH VẬT THỂ 0.1 Khái niệm
Thể tích vật thể K là phần mà vật thể đó chiếm chổ trong không gian.
Thể tích của vật thể K được kí hiệu : V 0.2 Tính chất
V là một số lớn hơn 0 thỏa mãn các tính chất sau:
1. Hai khối đa diện bằng nhau thì thể tích bằng nhau.
2. Thể tích khối lập phương bằng 1 thì V=1.
3. Nếu một khối đa diện được phân chia thành các khối đa diện thì
thể tích khối ban đầu bằng tổng thể tích các khối đã phân chia. Phạm Thị Thu Hiền 2
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 0.3
Thể tích khối hộp chữ nhật
Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 với ba kích thước a, b, c ; thể tích được tính theo công thức: V abc.
Đặc biệt a = b = c thì khối hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 trở thành hình lập phương.Khi đó: V a3. Phạm Thị Thu Hiền 3
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
VẤN ĐỀ 2:THỂ TÍCH KHỐI CHÓP 0.4
Công thức tính thể tích khối chóp V 1 Bh (1) 3 B là diện tích đáy h là chiều cao
Đối với khối tứ diện ABCD V 1 AB.CD.sinα.d (2) 6 α pAB, CDq d là khoảng cách pAB, CDq
Đặc biệt đối với khối tứ diện vuông OABC vuông tại O VO.ABC 1 OA.OB.OC (3) 6 Phạm Thị Thu Hiền 4
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 0.5 Phương pháp
Để tính thể tích khối chóp ta cần tính được chiều cao và diện tích đáy 0.5.1 Tính chiều cao
Ta chính xác hóa chân đường cao
1) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu bằng
nhau, suy ra hình chóp có các cạnh bên bằng nha thì chân đường
cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
2) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia
Suy ra cách tìm hình chiếu H của A trên mppP q
• Tìm mặt phẳng pQq chứa A sao cho pQq KpP q
• Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
• Trong pQq dựng AH Kd tại H
3) Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thì
giao tuyến của nó vuông góc với mặt phẳng đó.
4) Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau thì chân
đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. Phạm Thị Thu Hiền 5
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 0.5.2
Tính diện tích đáy
a.Nếu tam giác ABC vuông ở A ta có các hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC sau: BC2 AB2 AC2 BH.BC AB2 CH.BC AC2 BH.HC AH2 AH.BC AB.AC AM 1BC 2 sinB AC ... BC 1 1 1 AH2 AB2 AC2
b.Hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lí hàm số cos: a2 b2 c2 2bc.cosA a Định lí hàm số sin: b c 2R sinA sinB sinC BC2
Công thức tính trung tuyến AB2 AC2 2AM 2 2
c.Một số công thức tính diện tích Diện tích tam giác S 1a.ha 2 S 1.b.c.sinA 2 Phạm Thị Thu Hiền 6
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 S p.r S abc 4R a S ppp aqpp bqpp cqpl bqh
d.Diện tích hình thang S=
với l là độ dài đáy lớn, b là độ dài 2
đáy bé, h là độ dài đường cao của hình thang
e.Diện tích hình bình hành S AD.DC.sinD S AQ.BC S AC.BD.sinα
Đặc biệt hình vuông F GHI có IJKF K
Hình bình hành P bất kì SONP 1Shbh 2 0.6 Ví dụ
Ví dụ 1 (bài 38 sbt trang 10)
Chứng minh công thức (2) V 1AB.CD.sinα.d 6 Chứng minh
Ví dụ 2 Cho chóp S.ABC. Tam giác ABC cân tại B, AC=a, z ABC 120o
SA=SB=SC, (SA,(ABC))=60o. Tính VS.ABC Phạm Thị Thu Hiền 7
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 Dựng hình bình hành ABCE ñ AE // mp(BCD) Ta có VABCD 1 SBCDdpA; pBCDqq 3 1SBCDdpE; pBCDqq=VE.BCD (1) 3 VEBCD VB.ECD 1 SECDdpB; pECDqq 3
1CD.AB.sinpCD, ABq.dpAB, CDq (2) 6
Từ (1) và (2) ñ V 1 AB.CD.sinα.d 6 Giải
Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC) Vì SA=SB=SC nên HA=HB=HC
Gọi M là trung điểm của AC ñ H P BM
HA là hình chiếu của SA trên (ABC) ñ(SA,(ABC))=(SA,HA)=60o ñ z SHA 60o S4ABC 1BA.BC.sin120o 2 Phạm Thị Thu Hiền 8
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 ? ? AC 3 3 Ta có AB ñ AB a ñ S4ABC a2 sin120o sin30o 3 12 a
Theo định lí sin trong 4ABC: 2HA sin120o ? ñ 3 HA a 3
Trong tam giác vuông SHA có SH=HA.tan 60o=a ?3
Kết luận : VSABC 1.SABC.HA a3 3 36
Ví dụ 3 Cho chóp S.ABC . Tam giác ABC vuông tại B, BC=a, AC=2a, ?
SA vuông với mp(ABC), SA=a 3. H lá hình chiếu của A trên SB. Tính VHABC
Trong (SAB) dựng HK song song với SA
khi đó thể tích khối chóp H.ABC được tính là: VHABC 1 HK.SABC 3
+)Tính HK Xét tam giác ABC vuông ở B ? ? có: AB AC2 BC2 a 3 ? Tam giác SAB có: AS AB a 3
suy ra tam giác SBA cân tại A, nên SH
là đường cao đồng thời là trung tuyến,
nên suy ra H là trung điểm của SB
suy ra HK là đường trung bình của tam giác SAB ? ñ 3 HK 1 AS a 2 2 ? +) SABC 1 AB.BC 1 a2 3 2 2 Vậy VHABC 1 HK.SABC a3 3 4 Phạm Thị Thu Hiền 9
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 [.]
Ví dụ 4 (Bài 33 sbt trang 10): Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có
chiều cao bằng h và góc ASB bằng 2ϕ. Hãy tính thể tích khối chóp. Giải
Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC. Khi đó SOK(ABC) và SO=h.
Gọi K là trung điểm của AB. Đặt AK=x
Khi đó SK=x.cotϕ, OK=x.tan30o x ? . 3 h2 SK2 OK2 x2 p3cot2ϕ 1q 3 ñ x2 3h2 3cot2ϕ 1 ?
Ta có SABC AB2.sin60o x2 3 , suy ra 2 ? ? 3 3 VS.ABC 1 SABC.h x2 .h h3 3 3 3cot2ϕ 1
Ví dụ 5 (Bài 36 sbt trang 10): Khối chóp S.ABC có SAK(ABC) ; đáy là
tam giác ABC cân ở A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB
tạo với đáy một góc α và tạo với mặt (SAD) một góc β. Tính thể tích khối chóp.
Ví dụ 6 (Đề thi đại học khối A năm 2014) : Cho hình chóp S.ABCD có 3a
đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD= , hình chiếu vuông góc 2
của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính
theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt Phạm Thị Thu Hiền 10
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
AB là hình chiếu của SB trên mp(ABC) nên z SBA α. Dễ
thấy BDK(SAD) nên hình chiếu của SB trên mp(SAD) là SD ñ { BSD β.
Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có SB BD sinβ ,SB AB , cosα AB2 suy ra BD2 AB2 BD2 a2 cos2α sin2β cos2α sin2β cos2α sin2β ñ BD asinβ acos2α sin2β SD BDcotβ acosβ acos2α sin2β ? SA SD2 AD2 asinα acos2α sin2β Vậy : VS.ABC 1 SABC.SA 3 1 asinβ asinα .a. a . a 3 cos2α sin2β cos2α sin2β a3sinα.sinβ 3pcos2α sin2β phẳng (SBD) Giải Phạm Thị Thu Hiền 11
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 a)Tính thể tích S.ABCD
Gọi M là trung điểm AB, dễ thấy SMK(ABCD).
Theo định lí Pythagore thì M D2 M A2 AD2 p a q2 2 a2 5a2 4
Lai có tam giác SMD vuông tại M, do SMK(ABCD) nên suy ra
SM 2 SD2 M D2 p 3a q2 5a2 a2 ñ SM a. 2 4
Do đó , ta được VS.ABCD 1 .SM.SABCD 1 a3 3 3
b)Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Ta có VA.SBD VS.ABD 1 VS.ABCD a3 . 2 6
Kẻ MKKBD với KPBD, mà BDKSM nên ta có BDK(SMK), suy ra DBKSK. ? a 2
Măt khác, tam giác MBK vuông cân ở K, suy ra MK= 4 ? 3a 2 nên SK= 4 ? 3a 2 ? Do đó, SSBD 1 .SK.BD 1 . .a 2 3a2 . 2 2 4 4 3V a3
Vây khoảng cách cần tìm là d(A,(SBD))= A.SBD p3. q : SSBD 6 p3a2 q 2a 4 3 0.7 Bài tập
1. (THPTQG-2017): Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, SA vuông góc với đáy và SC tạo với pSABq một góc300.
Tính thể tích V của khối chóp đã cho.
2. (THPTQG-2017): Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC và E là điểm đối
xứng với B qua D. Mặt phẳng pMNEq chia khối tứ diện ABCD Phạm Thị Thu Hiền 12
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnhA có thể tích V. Tính V.
3. (THPTQG-2017): Tính thể tích V khối chóp S.ABCD có đáy là ? hình chữ nhật, AB a, AD a
3, SA vuông góc với đáy và
pSBCq tạo với đáy một góc 600.
4. (THPTQG-2017): Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các ?
cạnh còn lại đều bằng 2 3. Tìm x để khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.
5. (THPTQG-2017): Cho khối chóp S.ABC có SA vuông với đáy,
SA 4, AB 6, BC 10, CA 8. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
6. (THPTQG-2017): Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD có đáy
là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A ?
đến mặt phẳng pSBCq bằng a 2. 2
7. (THPTQG-2017): Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông
cân tại A, SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng
pSBCq bằng 3. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng SBA và ABC, tính
cos α khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất.
8. (THPTQG-2017): Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh
đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
9. Bài 21 sgk trang 28: Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều
ABCD. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ M tới 4 mặt của
tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng
đó bừng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a. Phạm Thị Thu Hiền 13
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
10. Bài 39 sbt tr 10: cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông
cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=2a. Gọi B’, D’ lần
lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt phẳng pAB1D1q cắt SC
tại C1. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
11. Bài 40 sbt tr 10: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau: AB CD a, AC BD b, AD BC c.
12. Bài 42 sbt tr 11: Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mp(P)
và một điểm M di động trên đường tròn. trên đường thẳng vuông
góc với mp(P) tai A, lấy một điểm S. Mặt phẳng (Q) qua A vuông
góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí của M để thể tích khối
chóp S.AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ hơn cung BM .
13. Đề thi đai học khối A năm 2013: Cho hình chóp S.ABC có đáy
là tam giác vuông cân tại A, z
ABC 30o, SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt bênSBCvuông góc với đáy. Tính theo a thể tích
khối chópS.ABCvà khoảng cách từ điểmCđếnmppSABq Hướng dẫn Phạm Thị Thu Hiền 14
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 VS.ABC a3 . 16 3V d(C,(SAB))= S.ABC SSAB
14. Đề thi dh khối B 2013: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong măt
phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mppSCDq. Hướng dẫn ?3 VS.ABCD a36 d(A,(SCD))=HI
15. Đề thi đh A 2012 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều
cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là
điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng
SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối chóp
S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Phạm Thị Thu Hiền 15
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
VẤN ĐỀ 3:THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ 0.8
Công thức tính thể tích khối lăng trụ
1. Khối lăng trụ tam giác
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’
Xét mp(AB’C’) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai khối chóp:
A.A’B’C’ và A.BCC’B’.Do đó: VABC.A1B1C1 VA.A1B1C1 VA.BCC1B1
Trong đó: VA.A1B1C1 1.SA1B1C1.AA1 3 VA.BCC1B1 VA.CC1B1 VA.BCB1
VA.CC1B1 VA1.B1C1C VC.A1B1C1 1.SA1B1C1.CC1 3 VA.BCB1 1.SABC.BB1 3 Từ đó suy ra : 1
VABC.A1B1C1 3. .SA1B1C1.AA1 SA1B1C1.AA1pdoSABC SA1B1C1 và AA’ = 3 BB’ = CC’) Hay V Sd. chiều cao Phạm Thị Thu Hiền 16
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
2 .Thể tích khối lăng trụ bất kì V Bh B là diện tích đáy h là chiều cao
3. Một số hình lăng trụ đặc biệt:
a) Hình lăng trụ đứng: Lăng trụ có cạnh bên vuông với đáy.
b) Hình lăng trụ đều : Lăng trụ đứng và đáy là đa giác đều.
c) Hình hộp : Lăng trụ và đáy là hình bình hành.
d) Hình hộp đứng: Lăng trụ đứng và đáy là hình bình hành.
4.Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong tứ diện
vuông: (Áp dụng để tính đường cao)
OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
H là hình chiếu của O xuống (ABC), Phạm Thị Thu Hiền 17
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
Suy ra, H là trực tâm của tam giác ABC. 1 1 1
Khi đó, nếu đặt h = d(O,(ABC)) ta có 1 h2 OA2 OB2 OC2 0.9 Ví dụ
Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A ,AC=a, z
ACB 60o, (BC,(AA’C’C)) = 30o.Tính AC’ và thể tích của khối lăng trụ. Hướng dẫn :
+Chứng minh B’C K (AA’C’C).Suy ra { A1CB1=(BC,(AA’C’C)) =30o
+Tính AC’ dựa vào 4 A’B’C vuông tại A. +V AA1.SABC ?
Đáp số: A’C = 3a, V= a3 6
Ví dụ 2:Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm
A’ cách đều A,B,C ; (A’A,(ABC))=60o
a.Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
b.Chứng minh BCC’B’ là hình chữ nhật.
c.Tính diện tích xung quanh của lăng trụ. Hướng dẫn: Phạm Thị Thu Hiền 18
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
+Gọi H là hình chiếu của A’ xuống (ABC).
A’A = A’B = A’C suy ra H là trọng tâm 4 ABC.
+Gọi M là trung điểm BC ñ H P AM. +Theo cách dựng: { A1AH pA1A, pABCqq 60o +V = A’H.S4ABC
+Theo tính chất hình lăng trụ.Ta có BCC’B’ là hình bình
hành, chứng minh BCC’B’ có 1 góc vuông ñ nó là hình vuông +Sxq SBCC1B1 SACA1C1 SABB1A1 ? ? a3 3 13q Đáp số: V = , S ? xq a2.p2 . 4 3 0.10 Bài tập
1. (THPTQG-2017):Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có BB1 a, đáy ?
ABC là tam giác vuông cân tại B và AC a 2. Tính thể tích V
của khối lăng trụ đã cho.
2. (THPTQG-2017):Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC "
là tam giác cân với AB BC a, ABC 1200, mặt phẳng
pAB1C1q tạo với đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
3. (ĐMH-2017): Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A1B1C1D1 ? biết AC1 a 3.
4. (ĐMH-2017):Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có độ dài
cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối Phạm Thị Thu Hiền 19
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
trụ ngoại tiếp lăng trụ đã cho.
5. (ĐMH-2017): Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều có
tất cả các cạnh đều bằng a.
6. (18.tr28 SBTHHNC12) Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều
có tất cả các cạnh đều bằng a. π ĐS: V 1na3cot 4 n
7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB=BC=a.Cạnh ?
bên AA’=a 2.Gọi M là trung điểm BC.Tính theo a thể tích khối trụ
ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa AM và B’C. ?
8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=a, AC=2a, AA1 2a 5. z ABC
120o, M là trung điểm CC1.Chứng minh: MB K MA1, tính khoảng cách từ A tới mppA1BMq.
9. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a , { AA1D1 { AA1B1 {
BAD ap0o α 90oq .Tính VABCD.A1B1C1D1 .
10. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a, ? AD=a
3.Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với
giao điểm AC và BD . Góc giữa 2 mp(ADD’A’) và (ABCD) là 60o. a. Tính VABCD.A1B1C1D1.
b.Khoảng cách từ B’ đến mp(A’BD) theo a.
11. (4.tr31 SGKHHNC12) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện
tích bằng S và AA’ = h.Một mặt phẳng (P) cắt các cạnh AA’, BB’, Phạm Thị Thu Hiền 20
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
CC’ lần lượt tại A1, B1vC1.Biết AA1 a, BB1 b, CC1 c.
a. Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng (P).
b.Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích hai phần đó bằng nhau?
12. (23.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’
có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2 và độ dài
đường chéo của mặt bên bằng 5.
a.Hạ AK K A’D (K P A’D).Chứng minh AK=2
b.Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’
13. (24.tr9 SBTHHNC12) Đáy của khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là
tam giác đều .Mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy 1 góc 30o và tam giác
A’BC có diện tích bằng 8.Tính thể tích khối lăng trụ.
14. (25.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có
đáy là hình bình hành và {
BAD 45o. Các đường chéo AC’ và DB’
lần lượt tạo với đáy những góc 45o và 60o.Hãy tính thể tích của
khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.
15. (27.tr9 SBTHHNC12) Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình ? ? chữ nhật với AB = 3, AD =
7.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’)
lần lượt tạo với đáy những góc 45o và 60o.Hãy tính thể tích khối
hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
16. (28.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà Phạm Thị Thu Hiền 21
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4.Khoảng cách giữa cạnh CC’
và mặt (ABB’A’) bằng 7.Hãy tính thể tích khối lăng trụ.
17. (29.tr9 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C có đáy ABC là ?
tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng 2.Cho biết mặt ?
phẳng (AA’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA’ = 3, góc { B1AB
nhọn, góc giữa mặt phẳng (A’AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60o.Hãy
tính thể tích khối lăng trụ.
18. (29.tr9 SBTHHNC12) Lấy một mặt phẳng vuông góc với cạnh bên
của một khối lăng trụ.Hình chiếu của mặt đáy của khối lăng trụ
trên mặt phẳng đó được gọi là thiết diện thẳng của khối lăng trụ.
Chứng minh rằng thể tích của khối lăng trụ bằng tích của diện
tích thiết diện thẳng với độ dài cạnh bên.
19. (41.tr10 SBTHHNC12) Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C
có đáy bằng a, chiều cao bằng h.Tính thể tích khối chóp A.BC’A’
20. (52.tr12 SBTHHNC12) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C mà đáy
là tam giác vuông tại B có AB=a, BC = b, AA’ = c (c2 ¥ a2 b2).Một
mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA’.
a.Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp(P).
b.Tính diện tích thiết diện nói trên. Phạm Thị Thu Hiền 22
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
VẤN ĐỀ 4:TỈ LỆ THỂ TÍCH 0.11 Phương pháp SB1BC B1B SABC AB SAB1C1 AB1 AC1 . SABC AB AC VA1.ABC A1A VS.ABC SA VS.A1B1C1 SA1 SB1 SC1 (4) VSABC SA SB SC Phạm Thị Thu Hiền 23
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 Chứng minh (4) V Ta có S.A1B1C1 VA1.SB1C1 VS.ABC VA.SBC A1H1 SSB1C1 SA1 SB1 SC1 đpcm AH SSBC SA SB SC 0.12 Ví dụ
Ví dụ 1 Cho chóp S.ABC , SA vuông với mp(ABC), SA=2a. Tam giác ABC vuông tại C, AB=2a, z
CAB 30o H,K là hình chiếu của A trên
SC và SB. Tính VHABC và VS.AHK Giải ? Ta có AC=AB.cos30o a 3 ? ñ 1 3 VSABC 1 . .AB.AC.sin30o.SA a3 3 2 3 VHABC HC HC.SC AC2 3 VSABC SC SC2 SC2 7 ?3 VHABC 3 .VS.ABC a3 (đvtt) 7 7 SK 1 VSAHK SH . 4. 2 SC SB 7 2 7 ñ VS.AHK 2.VS.ABC 7 Phạm Thị Thu Hiền 24
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
Ví dụ 2 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. M, N lần lượt là trung điểm của cạnh V
AA’ và cạnh BB’ .Tính MNC1CBA VMNC1A1B1 Giải
Gọi VMNC1CBA V1; VMNC1A1B1 V2
Khi đó VMNC1A1B1 V2 VC1.A1B1NM VC1.MNB1 h
VC1.MA1B1 2VC1.MA1B1 2VM.C1A1B1 2 B. 1V 3 2 3 ñ V2 1V ñ V1 2 3 V2
Ví dụ 3 Bài 24sgk tr29. Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành,
M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng pP q đi qua AM, song
song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó 0.13 Bài tập
1. Bài 16 sgk trang 28: Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ
diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng 1 số k>0 cho trước
2. Bài 23sgk tr29. Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường
thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A1, B1, C1 khác với S. Gọi V
và V 1 lần lượt là thể tích của khối chóp S.ABC và S.A1B1C1. Chứng Phạm Thị Thu Hiền 25
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310 Giải Gọi O là tâm ABCD trong (SCA) SOXAM=G
ñ G là trọng tâm tam giác SAC trong (SBD) SG Vậy 2 SO 3
Vì mp(P) song song với BD nên nó cắt mp(SBD) theo giao
tuyến đi qua G và D’B’ {{ BD (với B’ P SB và D’ P SD) SB1 Suy ra SD1 SG 2 SB SD SO 3
Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, Khối
chóp S.AB’MD’ và khối đa diện ABCDB’MD’. Ta có : VS.AB1D1 SA SB1 SD1 2 2 . 4 VSABD SA SB SD 3 3 9 ñ VS.AB1D1 2 VSABCD 9 VS.MB1D1 SM SB1 SD1 1 2 2 . 2 VSCBD SC SB SD 2 3 3 9 ñ VS.MB1D1 1 VSABCD 9 Từ đó suy ra ñ VS.AB1MD1 VS.AB1D1 VS.MB1D1 2 1 1 VSABCD VS.ABCD 9 9 3 V Vậy SAB1M D1 1 VABCDB1MD1 2 minh rằng: V SA SB SC V 1 SA1 .SB1 .SC1 .
3. Bài 25 sgk trang 29: Chứng minh rằng nếu có phếp vị tự tỉ số k V
biến tứ diện ABCD thành A’B’C’D’ thì A1B1C1D1 |k|3 VABCD
4. Bài 1 sgk trang 30: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V. Gọi B’ và
D’ làn lượt là trung điểm của AB và AD. Mặt phẳng (CB’D’) chia Phạm Thị Thu Hiền 26
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
khối tứ diện thành hai phần. Tính thể tích của mỗi phần đó.
5. Bài 3 sgk trang 31: Cho khối tứ diện ABCD, E và F lần lượt là trung
điểm của hai cạnh AB và CD. Hai mặt phẳng (ABF) và (CDE) chia
khối tứ diện ABCD thành 4 khối tứ diện.
a. Kể tên 4 khối tứ diện đó
b. Chứng tỏ rằng 4 khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.
c. Chứng tỏ rằng nếu ABCD là khối tứ diện đều thì 4 khối tứ diện nói trên bằng nhau.
6. Bài 4 sgk trang 31: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có diện tích đáy bằng S và AA’=h.
Một mp(P) cắt cạnh AA’, BB’, CC’ lần lượt tại A1, B1, C1. Biết AA1 a, BB1 b, CC1 c.
a. Tính thể tích hai phần của khối lăng trụ được phân chia bởi mặt phẳng (P)
b. Với điều kiện nào của a, b, c thì thể tích của hai phần đó bằng nhau.
7. Bài 5 sgk trang 31Cho khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ và M là trung
điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (B’C’M) chia khối lăng trụ thành
hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
8. Bài 6 sgk trang 31: Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA bằng a,
đáy là tam giác vuông cân có AB=BC=a. Gọi B’ là trung điểm của
SB, C’ là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAC.
a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b. Chứng minh rằng SC vuông góc với mp(AB’C’)
c. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’
9. Bài 43 sbt tr 11: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi Phạm Thị Thu Hiền 27
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Thể tích khối đa diện 0962649310
B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC
tại C’. Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
10. Bài 44sbt tr 11: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
M, N, P lầ lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Chứng minh mặt
phẳng (MNP) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
11. Bài 45 sbt tr 11:Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD . Một mp(α) đi
qua A, B và trung điểm M của cạnh SC. Tính tỉ số thể tích của hai
phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
12. Bài 47 sbt tr 11: Cho điểm M trên cạnh SA, điểm N trên cạnh SB SM SN
của khối chóp tam giác S.ABC sao cho 1, 2. Mặt M A 2 N B
phẳng (α) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai
phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó.
13. Bài 50 sbt tr 11:Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện
và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi hA, hB, hC, hD
lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 r hA hB hC hD Phạm Thị Thu Hiền 28
Facebook: Hội toán Bắc Nam
Document Outline

  • Mở đầu
  • THỂ TÍCH VẬT THỂ
    • Khái niệm
    • Tính chất
    • Thể tích khối hộp chữ nhật
  • THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
    • Công thức tính thể tích khối chóp
    • Phương pháp
      • Tính chiều cao
      • Tính diện tích đáy
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
    • Công thức tính thể tích khối lăng trụ
    • Ví dụ
    • Bài tập
  • TỈ LỆ THỂ TÍCH
    • Phương pháp
    • Ví dụ
    • Bài tập