Chuyên đề Tích phân – Đặng Thành Nam Toán 12

Chuyên đề Tích phân – Đặng Thành Nam Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

46 23 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

106 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng
448
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@gmail.com
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
CHUYÊN ĐỀ 7:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng
449
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
450
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email : dangnamneu@gmail.com
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
Các bài toán tích phân trong đề thi TSĐH được đánh giá là bài toán quan trọng, luôn xuất hiện
dưới dạng tính tích phân trực tiếp hoặc là xác định diện tích, thể tích giới hạn bởi các đường
cong.
Để làm tốt dạng toán này học sinh nên lưu ý nhớ và vận dụng lịnh hoạt công thức các nguyên
hàm cơ bản, cách xác định công thức tính thể tích và diện tích giới hạn bởi các đường cong.
Hai phương pháp cơ bản được sử dụng xuyên suốt cho các bài toán tích phân là đổi biến và tích
phân từng phần( thường là kết hợp cả 2 phương pháp này).
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khái niệm nguyên hàm của một hàm số:
Hàm số
( )
f x
xác định và liên tục trên khoảng
D
Hàm số
( )
F x
được gọi là một nguyên hàm của
( )
f x
nếu '( ) ( ),
F x f x x D
Và nguyên hàm của
( )
f x
được xác định theo công thức, thực chất đây chỉ là ký hiệu của nguyên
hàm của một hàm số:
( ) ( )
F x f x dx
Để tìm nguyên hàm của một hàm số chúng ta dựa vào nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
Nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
1
, 1
1
x
x dx c
ln
dx
x c
x
cos sin
xdx x c
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
451
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
sin cos
xdx x c
sin
tan ln cos
cos
x
xdx dx x c
x
cos
cot ln sin
sin
x
xdx dx x c
x
2 2
1
ln
2
dx x a
c
x a a x a
2
2
ln
dx
x x a c
x a
Khái niệm tích phân của một hàm số:
Tích phân của một hàm số
( )
f x
được xác định trên một đoạn
,
a b
là giá trị của
( ) ( )
F b F a
và
được ký hiệu là
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a
MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Dưới đây sẽ trình bày một số bài toán cơ bản nhất của tích phân, cách thức tiến hành là đưa biểu
thức dưới dấu tích phân về dạng
( )
f u du
.
Bài 1. Tính tích phân
1
100
0
2 1 1
I x x dx
Lời giải:
Ta có
1 1 1 1
100 100 101 100
0 0 0 0
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1
I x x dx x x dx x dx x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
452
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1 1
101 100 102 100
0 0
1 1
1 1 152
2 1 1 1 1 1 1 .
0 0
51 101 5151
x d x x d x x x
Bài 2. Tính tích phân
0
1
2
2 1
I x x dx
Lời giải:
Ta có
0 0 0 0
3 1
2 2
1 1 1 1
2 2 2 2
2 1 1
1 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2 2
x
I x x dx x dx x dx x dx
0 0
3 1 5 3
2 2 2 2
1 1
2 2
0 0
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 .
1 1
4 4 10 6 15
2 2
x d x x d x x x
Bài 3. Tính tích phân
1
4
0
5
.
1
x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
1 1 1
4 4
2
0 0 0
5 1 6 6
1 1
1 1 1
x x
I dx dx x x dx
x x x
1 1
2
3 2 4 3
0 0
1 1
6 1 1 7
1 6ln 1 .
0 0
1 4 3 2 12
x
x x x dx x x x x
x
Bài 4. Tính tích phân
.
1 1
dx
I
x x
Lời giải:
Ta có
3 3
1 1 1
1 1 1 1 .
2 3 3
1 1
dx
I x x dx x x c
x x
Bài 5. Tính tích phân
4
2
1
1
4
x
x
x e
I dx
x
xe
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
453
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
2
4 4
4
1 1
4
1 1 1 1 1
1
1
2 2
x x
x
I dx e dx x e
e e e
x x
Bài 6. Tính tích phân
5
os
.
1 sin
c x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
3 2
5
3
os 1 sin
os
os 1 sin
1 sin 1 sin
c x x
c x
I dx dx c x x dx
x x
3 3 2 3
os os sin 1 sin sin os cos
c xdx c x xdx x d x c xd x
3 4
1 1
sin sin os .
3 4
x x c x c
Bài 7.Tính tích phân
4
0
sin 1 cos
.
sin cos
x x x x
I dx
x x x
Lời giải:
Ta có
4 4 4 4
0 0 0 0
sin 1 cos sin cos cos
cos
sin cos sin cos sin cos
x x x x x x x x x
x x
I dx dx dx dx
x x x x x x x x x
4
0
sin cos
4 2
ln sin cos ln .
4 4
sin cos 4 4 8
0 0
d x x x
x x x x
x x x
Bài 8. Tính tích phân
3
tan
.
os2
x
I dx
c x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
454
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
3 3 3 3
2 2 2
2 2
tan tan tan tan
tan
os2 os sin 1 tan
os 1 tan
x x x x
I dx dx dx d x
c x c x x x
c x x
2 2
tan tan
tan tan tan tan tan
1 tan 1 tan
x x
x d x d x xd x
x x
2
2 2 2
2
1 tan
1 1 1 1
tan ln 1 tan tan .
2 1 tan 2 2 2
d x
x x x c
x
Bài 9. Tính tích phân
2
2
0
min , .
I x x dx
Lời giải:
Xét
2
0 1 0 1.
x x x x x x
Vậy với
2 2
0 1 min , .
x x x x
Với
2
1 2 min , .
x x x x
Vậy
2 1 2
2 2 2
0 0 1
min , min , min ,
I x x dx x x dx x x dx
1 2
2 3
0 1
1 2
1 2 4 2 1
.
0 13 3 3
x dx xdx x x x
Bài 10. Tính tích phân
4
4
min tan , .
I x x dx
Lời giải:
Xét hàm số ( ) tan
f x x x
trên đoạn
; .
4 4
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
455
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta có
2
1
'( ) 1 0, ; ( )
os 4 4
f x x f x
c x
là hàm số đồng biến trên đoạn
; .
4 4
Ta có
(0) 0.
f
Từ đó suy ra
( ) (0) 0, ;0 tan , ;0 min tan , tan , ;0
4 4 4
f x f x x x x x x x x
( ) (0) 0, 0; tan , 0; min tan , , 0; .
4 4 4
f x f x x x x x x x x
Vậy
0
4 4
0
4 4
min tan , min tan , min tan ,
I x x dx x x dx x x dx
0 0
2 2
4
2
0
4 4
0
1 sin 2
tan ln cos ln .
4
2 cos 32 32 2
0
4
x
xdx xdx x dx x
x
Bài 11. Tính tích phân
2
0
1 .
I x x dx
Lời giải:
Với
0 1 1 0 1 1 .
x x x x
Với
1 2 1 0 1 1.
x x x x
Vậy
2 1 2
0 0 1
1 1 1
I x x dx x x dx x x dx
2 3 3 2
1 2
1 1 1 1
1.
0 12 3 3 2
x x x x
Bài 12. Tính tích phân
2
3
2
0
3
x x
I dx
x
.
L ời gi ải:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
456
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta c ó
2 2
1 3
2 2
0 1
3 3
x x x x
I dx dx
x x
1 3
2 2
2 2
0 1
3 3
x x x x
dx dx
x x
Xét
2
1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
3
3 1 3
1
3 3 3 2 3 3
d x
x x x
K dx dx dx dx
x x x x x
1
2
0
1 4 3
1 ln
2 3 3
dx
x
Đặt
2
3 tan 3 ; 0 0; 1
os 6
dt
x t dx x t x t
c t
.
Khi đó
6
0
1 4 1 4 3
1 ln 3 1 ln
2 3 2 3 6
K dt
.
Tương tự :
3
2
2
1
1 3
2 ln3
3 2 6
x x
L dx
x
.
Vậy
2
1 ln
3
I K L .
Bài 13. Tính tích phân
1
2 2
0
2
.
1 2
x x
x
x e x e
I dx
e
Lời giải:
Ta có
2
1 1 1 1
2 2
2
0 0 0 0
1 2
2
1 2 1 2 1 2
x x
x x x
x x x
x e e
x e x e e dx
I dx dx x dx
e e e
1
3
0
1 2
1 1
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 2 ln 1 2 ln3.
0 03 2 1 2 3 2 3 2 2
x
x
x
d e
x e e
e
Bài 14. Tính tích phân
1
ln
.
2 ln 2 ln
e
xdx
I
x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
457
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Đặt
ln ; 1 0; 1
dx
t x dt x t x e t
x
Vậy
1 1 1
0 0 0
2 2 1
2 2
2 2
2 2
tdt t t
I t dt t t dt
t
t t
3 3
1 1
1 1 1 4
2 2 3 2
0 03 3 3 3
t t
Bài 15. Tính tích phân
*
2 3
,
1 ...
2! 3! !
n
n
x
I dx n
x x x
x
n
Lời giải:
Đặt
2 3 2 3 1
1
( ) 1 ... ' ( ) 1 ... ( )
2! 3! ! 2! 3! 1 !
n n
n n n
x x x x x x
f x x f x x f x
n n
vậy
'
1
1
! ( ) ( )
( ) ( )
! 1 ! 1
( ) ( ) ( )
n n
n n
n n n
n f x f x
f x f x
I dx n dx n dx
f x f x f x
2 3
! !ln ( ) ! !ln 1 ...
2! 3! !
n
n
x x x
n x n f x C n x n x C
n
Bài 16. Tính tích phân
1
2 4 2
1
1 3 1
dx
I
x x x x
.
Lời giải:
Ta có
2 4 2
1 1 1
2 4 2
2
2 2
2 4 2
1 1 1
1 3 1
1 3 1
2 1 2 1
1 3 1
x x x x
x x x x
I dx dx dx
x x x x
x x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
458
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Xét tích phân
1 1
2
2 2
1 1
1
1 1 1 1
4
ln arctan
1
2 2 4
2 1 2 1
4
x x
M dx dx x t
x
x x x
.
1
4 2
2
1
3 1
2 1
x x
N dx
x x
, đặt
; 1 1; 1 1
x t dx dt x t x t
.
Khi đó
4 2
1 1
4 2
2 2
1 1
3 1
3 1
0
2 1
2 1
t t
t t
N dt dt N N
t t
t t
.
Vậy
4
I M N
.
Bài 17. Tính tích phân
1
0
1 1
n
n n
dx
I
x x
Lời giải:
Ta có
1
1
1
1 1
1 1
1
1 1
1
n
nn n
n
n
n
n n
n
dx dx x dx
x x
x x
x x
x
1 1 1
1 1
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1
n n n
n
n n n n
x dx d C
x n x x x
Từ đó suy ra
1
1
1 1
1
0
2
n
n
n
I
x
.
Bình luận: ở ví dụ này ta không trực tiếp tính
I
luôn, bởi phép biến đổi trên không thể thực hiện
với mọi
0,1
x nên thong qua nguyên hàm sau đó tính tích phân sau( kỹ thuật giấu cận).
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
459
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 18. Tính tích phân
2
6
cos sin
sin 1 sin
x
x x
I dx
e x x
Lời giải:
Ta có
2 2
6 6
cos sin
cos sin
sin 1 sin sin 1 sin
x
x x x
e x x
x x
I dx dx
e x x e x e x
Đặt
6
2
1
sin sin cos ; ;
6 2 2
x x
t e x dt e x x dx x t e x t e
Vậy
2
6
2
6
6
2
1
2
1 2
ln ln
1
1 1 3
1
2
e
e
e
t e
I dx
t t t
e
e
Bài 19. Tính tích phân
2 2 2
ln2
2
0
2 1
1
x x x
x x
x e x e e
I dx
e e
Lời giải:
Ta có
2 2 2
ln2 ln2 ln2
2
2
2 2
0 0 0
1 2
2
1 1
x x x x
x x
x x x x
x e e e e
e e
I dx x dx dx
e e e e
3
3 2
ln2 ln2
1 ln 2
ln 1 2
0 0
3 3
x x
x e e
Bài 20. Tính tích phân
1
3
2 2
0
1 1
xdx
I
x x
.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
460
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
1 1
2 2
2
2 2
0 0
1
1 1
. 1 1 1 1 2 1
0
1
1 1 1 1
x
I dx d x x
x
x x
Bài 21. Tính tích phân
2
1
ln
2 ln
e
x
I dx
x
.
Lời giải:
2 2
1 1
4 ln 2 4 ln 2 '
4ln 4
1 1
ln 2 ln 2
e e
x x x
x
I dx dx
x x
1
4 4
1
1
ln 2 ln 2 3
e
e
x x e
d x x
x x
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính tích phân
1
100
0
1
I x x dx
Bài 2. Tính tích phân
1
100
0
2 1 1
I x x dx
Bài 3. Tính tích phân
0
2 100
1
1 1
I x x dx
Bài 4. Tính tích phân
0
1
2
3 4 2 1
I x x dx
Bài 5. Tính tích phân
0
2
1
1 1
I x x dx
Bài 6. Tính tích phân
2
2 2
0
1
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
461
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 7. Tính tích phân
2
3 2
0
os 1 sin
I c x xdx
Bài 8. Tính tích phân
2
0
sin ,cos
I max x x dx
Bài 9. Tính tích phân
4
0
2 cos 2 sin
cos sin
x x x x
I dx
x x x
Bài 10.Tính tích phân
2
2
1
0
1
1
x x
x
x e e
I dx
e
Bài 11. Tính tích phân
ln2
0
2 3
2 3
x
x x
e
I dx
e e
Bài 12. Tính tích phân
3
2
0
4 4 sin cos sin2
1 cos
x
xe x x x
I dx
x
Bài 13. Tính tích phân
2
2
min tan 2sin ,3 .
I x x x dx
Bài 14. Tính tích phân
24
0
cos ,2
2
x
x
I max e x x dx
.
Bài 15. Tính tích phân
3
1
ln 2 ln
e
x x
I dx
x
Bài 16. Tính tích phân
1 2
2
1
ln 1 2
1 2
x x
x x
I dx
x x
.
Bài 17. Tính tích phân
2
3
1
2
0
1
x
x
I e dx
x
Bài 18. Tính tích phân
2 4 2
1cos 1
x
I dx
x x
.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
462
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 19. Tính tích phân
2011
1005
2
1
x
I dx
x
Bài 20. Tính tích phân
ln5
ln2
10 1 1
x x
dx
I
e e
.
Bài 21. Tính tích phân
0
1
2
1 1
dx
I
x x
.
Bài 22. Tính tích phân
4
2 2
4
cos2 sin sin sin cos 2
dx
I
x x x x x
.
Bài 23. Tính tích phân
2
4
3
6
cos
sin sin
4
x
I dx
x x
.
Bài 24. Tính tích phân
2
2012
1
1
dx
I
x x
.
Bài 25. Tính tích phân
3ln 2
2
3
0
1
x
dx
I
e
Bài 26. Tính tích phân
ln3
2
ln2
1 2
x
x x
e dx
I
e e
Bài 27. Tính tích phân
3
2
0
2 1
1
x x
I dx
x
Bài 28. Tính tích phân
5
1
2 1 2 1
I x x x x dx
Bài 29. Tính tích phân
2
2
6
1
sin sin
2
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
463
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 30. Tính tích phân
2
10 5 9
0
1 cos sin cos
I x x xdx
Bài 31. Tính tích phân
1
2 2
0
1 1
xdx
I
x x
Bài 32. Tính tích phân
1
2
2
0
x
x x
x e
I dx
xe e
Bài 33. Tính tích phân
0
1
1
e
x
x
I dx
x xe
Bài 34. Tính tích phân
3
2 98 100
1
3
1
dx
I
x x x
Bài 35. Tính tích phân
1
2 2
0
1 1 1
dx
I
x x x
Bài 36. Tính tích phân
0
4
sin 4
1 sin 1 cos
x
I dx
x x
Bài 37. Tính tích phân
2
2 2
1
1 1
dx
I
x x
Bài 38. Tính tích phân
2
0
sin 1 14 cos sin 4
7 2cos2
x x x x x
I dx
x
Bài 39. Tính tích phân
1
2
0 1 2 1
dx
I
x x x x
Bài 40. Tính tích phân
1
2 2
0
3 1
1
x x x
x
x e xe e
I dx
xe
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
464
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 41. Tính tích phân
2 2
2
0
1 sin cos sin 2 1
sin cos
x x x x x
I dx
x x x
Bài 42. Tính tích phân
3 3 3 2
2
1
8 3 5 ln
x x x x x
I dx
x
Bài 43. Tính tích phân
2 2 2
2
4 4
0
4sin cos 2 2cos 2
4
sin cos
x x x
I dx
x x
Bài 44. Tính tích phân
2010
5
2011
2011
2
1
1
x x
I dx
x x
Bài 45. Tính tích phân
0
1 1 1
dx
I
x
Bài 46. Tính nguyên hàm của
2 2 2 2 2 2
dx
I
x a x b x c
TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Xét tích phân
*
( )
( )
P x
I dx
Q x
thực hiện phép chia đa thức ta được
( )
( )
( )
P x
I G x dx
Q x
trong đó
*
( ), ( ), ( ), ( )
P x G x P x Q x
là các đa thức hệ số thực và bậc của
( )
P x
nhỏ hơn bậc của
( )
Q x
.
Để tính tích phân các hàm phân thức hữu tỉ ta tiến hành phân tích
( )
( )
P x
Q x
thành tổng của các hàm
phân thức đơn giản.
+ Nếu
1 2
( ) ...
n
Q x x x x x x x
, trong đó
i
x
là các nghiệm của đa thức
( )
Q x
thì ta giả sử
phân tích được:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
465
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1 2
1 2
( )
... .
( )
n
n
AA AP x
Q x x x x x x x
+ Nếu
1 2
( ) ... ...
k
i n
Q x x x x x x x x x
, trong đó
i
x
là các nghiệm của đa thức
( )
Q x
và
k
là số nghiệm bội
i
x
, thì ta giả sử
1 21 2
2
1 2
( )
... ... ... .
( )
i i ik n
k
i n
i i
A A A AA A
P x
Q x x x x x x x x x
x x x x
+ Nếu
2
1 2
( ) ... ...
n
Q x x x x x x px q x x
, trong đó phương trình
2
0
x px q
vô nghiệm, ta giả sử phân tích được
1 2
2
1 2
( )
... ... .
( )
n
n
AA AP x Bx C
Q x x x x x x px q x x
+ Nếu
2
1 2
( ) ... ...
k
n
Q x x x x x x px q x x
, trong đó phương trình
2
0
x px q
vô nghiệm, ta giả sử phân tích được
1 2 1 1 2 2
2
2
2 2
1 2
( )
... ... ... .
( )
k k n
k
n
B x C AA A B x C B x CP x
Q x x x x x x px q x x
x px q x px q
Sau đó
đồng nhất hai vế của các đẳng thức và so sánh hệ số hai vế ta suy các hệ số cần xác định ở tử
thức mỗi phân thức đơn giản hoặc có thể thay các giá trị đặc biệt của
x
vào hai vế.
Cách nhớ phân tích là nếu mẫu là tam thức bậc hai thì tử thức có dạng
Bx C
.
Một số khai triển nhanh( nên nhớ)
1 1 1 1 1
.
x b x a
x a x b a b x a x b a b x b x a
.
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
.
x b x a
x a x b x b x a
x a x b a b a b
2 2 2
1 1 1 2 1 1
a b x b x a
a b x a x b
.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
466
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.Tính tích phân
3
3 2
1
5 6
x
I dx
x x x
.
Lời giải:
Ta có
3 2
3 2 3 2
1 5 6 1
1
5 6 5 6
x x x
x x x x x x
và
3 2
5 6 2 3
x x x x x x
.
Giả sử
2
3 2
5 6 1
,
5 6 2 3
x x A B C
x
x x x x x x
2
5 6 1 2 3 3 2 , (*)
x x A x x Bx x Cx x x
.
Thay
0
x
vào (*) suy ra
1
1 6 .
6
A A
Thay
2
x
vào (*) suy ra
9
9 2 .
2
B B
Thay
3
x
vào (*) suy ra
28
28 3 .
3
C C
Vậy
1 9 28
1
6 2 2 3 3
I dx
x x x
1 9 28
6 2 2 3 3
dx dx dx
dx
x x x
1 9 28
ln ln 2 ln 3 .
6 2 3
x x x x c
Bài 2. Tính tích phân
2
2
3 3 3
2 1
x x
I dx
x x
.
Lời giải:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
467
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Giả sử
2
2 2
3 3 3
,
1 2
2 1 1
x x A B C
x
x x
x x x
2
2
3 3 3 2 1 2 1 , (*)
x x A x B x x C x x
Thay
1
x
vào (*) suy ra
9 3 3.
A A
Thay
2
x
vào (*) suy ra
9 9 1.
C C
Thay
0
x
vào (*) suy ra
3 2 2 2.
A B C B
Vậy
2
3 2 1
1 2
1
I dx
x x
x
2
3 2
1 2
1
dx dx dx
x x
x
3
2ln 1 ln 2 .
1
x x c
x
Bài 3. Tính tích phân
1
2
4
0
1
.
1
x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
2
4 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1
x x x x x x x
.
Giả sử
2
4
2 2
1
,
1
2 1 2 1
x Ax B Cx D
x
x
x x x x
2 2 2
1 2 1 2 1 ,
x Ax B x x Cx D x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
468
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 3 2
1 2 2 2 2 ,
x A C x A B C D x A B C D x B D x
2
2
0
1
2 2 1
2
2 2 0 2
2
1
1
2
A
A C
B
A B C D
A B C D
C
B D
D
Vậy
1
2 2
0
2 2 2 2 2 2
4 4
2 1 2 1
x x
I dx
x x x x
1 1
2 2
0 0
2 2 2 2 2 2
4 4
2 1 2 1
x x
dx dx
x x x x
2 2
1
2 2
ln 2 1 ln 2 1 ln 3 2 2 .
0
4 4
x x x x
Bài 4. Tính tích phân
2
3
1
.
1
dx
I
x x
Lời giải:
Ta có
3 2
1 1 1
x x x x x x
Giả sử
2
3
1
,
1 1
1
A B Cx D
x
x x x x
x x
.
3 2
1 1 1 1 , (*)
A x Bx x x Cx D x x x
Thay
0
x
vào (*) suy ra
1 1.
A A
Thay
1
x
vào (*) suy ra
1
1 3 .
3
B B
Đồng nhất hệ số của
3 2
,
x x
ở hai vế ta được
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
469
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
0
3
0 1
3
C
A B C
B C D
D
Vậy
2
2
1
1 1 1 2 1
3 1 3 1
x
I dx
x x x x
2 2 2
2
1 1 1
1 1 2 1
3 1 3 1
dx dx x
dx
x x x x
2
2
1 1 2 4
ln ln 1 ln 1 ln .
1
3 3 3 3
x x x x
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính tích phân
1
0
3 1
1 2
x
I dx
x x
.
Bài 2. Tính tích phân
1
3
0
3 1
.
1
x
I dx
x
Bài 3. Tính tích phân
1
2
4 2
0
1
.
1
x
I dx
x x
Bài 4. Tính tích phân
2
4
6
1
1
.
1
x
I dx
x
Bài 5. Tính tích phân
2
2
3 2
1
10
.
2 5
x
I dx
x x x
Bài 6.Tính tích phân
2
4 2
1
.
1
dx
I
x x
Bài 7. Tính tích phân
3
3
2
0
.
1
x
I dx
x
Bài 8. Tính tích phân
4
3
2
3
3
.
3 2
x
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
470
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 9. Tính tích phân
2
3
2
1
.
1
x
I dx
x
Bài 10. Tính tích phân
3
3
0
.
dx
I
x x
Bài 11. Tính tích phân
2
5 3
1
.
dx
I
x x
Bài 12. Tính tích phân
1
3
0
.
1
dx
I
x
Bài 13. Tính tích phân
1
5
2
0
.
1
x
I dx
x
Bài 14. Tính tích phân
1
3
0
.
1 2
x
I dx
x
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CÓ MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC
Xin đề cập dưới đây các bài toán kèm theo kỹ thuật biến đổi tương ứng với mỗi ví dụ. Những kỹ
thuật biến đổi dưới đây rất tự nhiên và dễ hiểu.Vì vậy khi đọc kỹ các ví dụ này các bạn có thể
nắm bắt được kỹ thuật và áp dụng vào các bài toán tương tự.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.Tính tích phân
2
0
.
1 2
dx
I
x x
Lời giải:
Ta có
2 2 2
0 0 0
2 1
1 1 1 1
1 2 3 1 2 3 1 2
x x
dx
I dx dx
x x x x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
471
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2 2
0 0
2
1 1 1
ln ln 2.
03 1 2 3 2
dx dx x
x x x
Bài 2. Tính tích phân
3
0
.
3 6 9
dx
I
x x x
Lời giải:
Ta có
3 3
0 0
9 3
1
3 6 9 6 3 6 9
x x
dx
I dx
x x x x x x
3 3 3 3
0 0 0 0
6 3 9 6
1 1
6 3 6 6 9 18 3 6 6 9
x x x x
dx dx
dx dx
x x x x x x x x
3
2
0
3
3 9
1 1 1 1 1 1 32
ln ln .
0
18 3 6 6 9 18 27
6
x x
dx
x x x x
x
Bài 3. Tính tích phân
10
1
12
0
3 5
.
2
x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
10
10
1 1
12 2
0 0
3 5
3 5
2
2 2
x
x dx
I dx
x
x x
10 11
1
0
1
1 3 5 3 5 1 3 5
0
11 2 2 121 2
x x x
d
x x x
Bài 4. Tính tích phân
99
1
101
0
7 1
.
2 1
x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
99
99
1 1
101 2
0 0
7 1
7 1
2 1
2 1 2 1
x
x dx
I dx
x
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
472
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
99 100
1
100
0
1
1 7 1 7 1 1 7 1 2 1
.
0
9 2 1 2 1 900 2 1 900
x x x
d
x x x
Bài 5. Tính tích phân
5 3
.
3 5
dx
I
x x
Lời giải:
Ta có
5 3 5 5 6 2
8
1 1
. .
3 5 5 5
3 3
5
5 5
dx dx dx
I
x x x xx x
x
x x
6
6
5
7 7 5
3 5
1 1 3 1 1 3
. 1 , .
2 5 5 2 5
3
5
x x
x x
d t dt t
x x t x
x
x
6 5 4 3 2
7 5
1 6 15 20 15 6 1
2
t t t t t t
dt
t
2
7 2 3 4
1 20 15 2 1
6 15ln
2 2 2 4
t
t t c
t t t t
.
Bài 6. Tính tích phân
3
3
1
.
3
dx
I
x x
Lời giải:
Ta có
2 2
3 3 3 3 3
3 2
2 2
1 1 1 1 1
3
1 1
3 3 3 3
3 3
x x
dx dx xdx dx
I dx
x x x x
x x x x
2
3 3
2
2
1 1
3
3
1 1 1 1 1
ln 3 ln ln3.
1
3 2 3 3 2 6
d x
dx
x x
x x
Bài 7.Tính tích phân
9 5
.
3
dx
I
x x
Lời giải:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
473
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
4 4
9 5
5 4 5 4
3
1
3 3
3 3
x x
dx dx
I I dx
x x
x x x x
4 4
5 5
4 4
3
1 1 1
3 3 3
3 3
x x
dx dx dx
dx
x x
x x x x
4
3
5 4 5 4
3
1 1 1 1 1
3 9 3 3 9 4 3
d x
dx dx x dx dx dx
x x x x x x
4
4 4
1 1
ln
12 36 3
x
c
x x
.
Bài 8. Tính tích phân
2
4
1
.
1
x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
2
2 2
2 2
4
2
2
1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
2 2
d x
x
x
x x
I dx dx dx
x
x
x x
x
x x
2
2
2
1 2 1 2 1
ln ln
2
2 2 2 2 2 2 1
dt t x x
c c
t
t x x
.
Bài 9. Tính tích phân
2
4
1
.
1
x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
2
2 2
2 2
4
2
2
1
1 1
1 1
1
1
1
1 1
2 2
d x
x
x
x x
I dx dx dx
x
x
x x
x
x x
2
2
1 1 1 1
arctan arctan , .
2
2 2 2 2
dt t x
c c t x
t x
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
474
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 10. Tính tích phân
2
2
4 3 2
1
1
5 4 5 1
x
I dx
x x x x
.
Lời giải:
Ta có
2 2
2
2
4 3 2
2
1 1
2
1
1
1
5 1
5 4 5 1
5 4
x
x
I dx dx
x x x x
x x
x x
5 5
2
2 2
2
2
2
1 2 2
1
1
1
,
5 6 6 1
1 1
5 6
dt dt
x
dx t x
t t t t x
x x
x x
5
2
2
5
1 1 1 1 6 1 4
ln ln .
2
7 6 1 7 1 7 3
2
t
dt
t t t
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính tích phân
2
1
.
1 3
dx
I
x x
Bài 2. Tính tích phân
0
1
.
2 1 2 3
dx
I
x x
Bài 3.Tính tích phân
2
0
.
1 1 3
dx
I
x x x
Bài 4. Tính tích phân
3
2 2
0
.
1 1
dx
x x
Bài 5. Tính tích phân
3
1
5
0
2 1
.
1
x
I dx
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
475
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 6. Tính tích phân
7 3
.
3 2 3 4
dx
I
x x
Bài 7. Tính tích phân
3 4
.
2 1 3 1
dx
I
x x
Bài 8. Tính tích phân
3
.
5
dx
I
x x
Bài 9. Tính tích phân
6
.
9
dx
I
x x
Bài 10. Tính tích phân
8 4
.
3 16
xdx
I
x x
Bài 11. Tính tích phân
2
4 3 2
1
.
2 10 2 1
x
I dx
x x x x
Bài 12. Tính tích phân
1
4
6
0
1
.
1
x
I dx
x
Bài 13. Tính tích phân
1
6
0
.
1
dx
I
x
Bài 14. Tính tích phân
2
4
8 4
1
3
3 2
x
I dx
x x x
Bài 15. Tính tích phân
2
4
4
1
1
1
x
I dx
x x
Bài 16. Tính tích phân
1
3
3 4
1
2
1
4 4 1
x
I dx
x x x x
Bài 17. Tính tích phân
1
2
4 3 2
0
1
2 2 1
x
I dx
x x x x
Bài 18. Tính tích phân
2
2012
2012
1
1
1
x
I dx
x x
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
476
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dạng tích phân:
p
m n
I x a bx dx
, trong đó các số
, ,
m n p
là các số hữu tỉ.
Hướng giải quyết đầu tiên là đặt
n
t a bx
hoặc
p
n
t a bx
.
Nếu cách đặt thứ nhất không hiệu quả chuyển sang cách đặt ẩn phụ thứ hai.
Đặt
n
k
n
a bx
t
x
,
k
là số nguyên, thường là
1
k
.
Dạng toán này rất hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh đại học.
Dạng tích phân:
1
1
, ,...,
i
i
rr
qq
I R x x x dx
, trong đó
,
i i
r q
là các số nguyên dương.
Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số
1 2
, ,...,
i
q q q
giả sử là
k
.
Khi đó ta đặt
k
x t
.
Dạng tích phân: , ,...,
m r
n s
ax b ax b
I R x dx
cx d cx d
ta đặt
.
ax b
t
cx d
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.Tính tích phân
3 3
3
2
0
.
1
xdx
I
x
Lời giải:
Đặt
3 2
3 32 2 2 2 2 2
1 1 1 2 6 1
t x t x x t xdx t t dt
Khi
0 1
x t
; khi
3 3 2
x t
.
Vậy
2
2
3 3 2 2
2
2
3 2
0 1 1
3 1
3 1
1
t t dt
xdx
I t dt
t
x
2
4 2 5 3
1
2
3 38
3 2 1 2 3 .
1
5 5
t t dt t t t
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
477
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 2.Tính tích phân
4
2
7
.
9
dx
I
x x
Lời giải:
Đặt
2 2 2
9 9 2 2
t x x t xdx tdt
Khi
7 4;
x t
khi
4 5.
x t
Vậy
4 4 5 5
2
2
2 2 2
4 4
7 7
5
1 3 1 7
ln ln .
4
9 6 3 6 4
9
9 9
dx xdx tdt dt t
I
t t
t t
x x x x
Bài 3. Tính tích phân
7
3
3 2
0
.
1
x
I dx
x
Lời giải:
Đặt
3 2 2 3 2
1 1 2 3
t x x t xdx t dt
.
Khi
0 1;
x t
khi
7 2.
x t
Vậy
3 2
7 7 2
3 2
3 32 2
0 0 1
1
. 3
2
1 1
t t dt
x x xdx
I dx
t
x x
2
4 5 2
1
2
3 3 1 1 93
.
1
2 2 5 2 10
t t dt t t
Bài 4.Tính tích phân
1
3 2
0
1 .
I x x dx
Lời giải:
Đặt
2 2 2
1 1 2 2 .
t x x t xdx tdt
Khi
0 1;
x t
khi
1 0.
x t
Vậy
1 0 1
3 2 2 2 2 4 3 5
0 1 0
1
1 1 2
1 1 .
0
3 5 15
I x x dx t t dt t t dt t t
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
478
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 5. Tính tích phân
3
3
2
3
2
.
1
dx
I
x
Lời giải:
Phân tích: Việc đặt
2
1
t x
lúc này tỏ ra không hiệu quả, ta chuyển hướng sang cách đặt thứ
hai.
Đặt
2
2
2
2
2
1 1 2
2 .
1
1
x tdt
t x xdx
x t
t
Khi
3 2 3
3; 3 .
2 3
x t x t
Vậy
3 3
3 2 2
2
3 3
4
2
2 2
1 1
1
. .
dx xdx
I
x x
x
x
x x
3 3
2
2
2 2
2 3 2 3
2
2
3 3
3
1 1
.
2 3
1
2 3
1 . . .
3
1
tdt dt
t t
t t t
t
Bài 6. Tính tích phân
3
3
3
3 3
1
.
2
dx
I
x x
Lời giải:
Đặt
3 3 3 2
3 3 2
2
3 3
3
2 2 2 6
3 .
1
1
x x t dt
t t x x dx
x x t
t
Khi
3
1 1; 3 1.
x t x t
Vậy
3 3
3 3 1 1
2 2 2
2 2
3 33 3 3
3
1 1 1 1
6
3
1
1 2 1
. 0.
12 4
2
2 2
1
.
.
1
dx x dx t dt t
I tdt
x x x
t
t
x
t
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
479
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 7. Tính tích phân
4
1
.
1
dx
I
x x
Lời giải:
Đặt
2
2 .
t x x t dx tdt
Khi
1 1; 4 2.
x t x t
Vậy
4 2 2 2
2
1 1 1 1
2
2 1 1 4
2 2 2ln 2ln .
1
1 1 1 1 3
1
dx tdt dt t
I dt
t t t t t t t
x x
Bài 8. Tính tích phân
4 2
.
1
dx
I
x x
Lời giải:
Đặt
2 2
2 2
2
2 2
2
1 1 1 2
2 .
1
1
x x tdt
t t x xdx
x x t
t
Vậy
3
2
3 2
4 2 2
2
6
2
1
. 1 .
3
1
1 1
1
.
.
1
dx xdx tdt t
I t dt t c
x x x
t
t
x
t
x
3
2
2
3
1
1
.
3
x
x
c
x x
Bài 9. Tính tích phân
1
3
3
.
4 4
dx
I
x x
Lời giải:
Đặt
2
4 4 2 .
t x t x tdt dx
Khi
3 1; 1 3.
x t x t
Vậy
1 3 3
3 2
3
3 1 1
2 3
2 2arctan 2 .
1 3 4 6
1
4 4
dx tdt dt
I t
t t t
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
480
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 10. Tính tích phân
3
2
2 1
. .
2
2
x
I dx
x
x
Lời giải:
Đặt
2
3
3
2
3
3
2 2 4 12
2 .
2 2 1
1
x x t dt
t t x dx
x x t
t
Vậy
2
3
2
2
33
2 2
6 3 2
3
1
2 1 12 3 3 3 2
. . . .
2 16 4 8 8 2
2
1
t
x t dt dt x
I dx t c c
x t t t x
x
t
Bài 11. Tính tích phân
6
4
4
. .
2 2
x dx
I
x x
Lời giải:
Đặt
2
2
2
2
4 4 6 12
2 .
2 2 1
1
x x tdt
t t x dx
x x t
t
Khi
1
4 0; 6 .
2
x t x t
Vậy
1
6
22
2
2
4 0
4 1 12
. . .
2 2 6
1
x dx t tdt
I t
x x
t
1 1
2
2 2
2 2
0 0
1
1 1
2 2 1 2 ln 2ln3 1.
2
1 1 1
0
t t
dt dt t
t t t
Bài 12. Tính tích phân
2
3
3
2
2
1
. .
1
1
x dx
I
x
x
Lời giải:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
481
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Đặt
2
3
3
2
3
3
1 1 2 6
1 .
1 1 1
1
x x t dt
t t x dx
x x t
t
Khi
33
1 1
2 ; 3 .
3 2
x t x t
Vậy
3 3
3 3
1 1
2
3
2
3
2 2
2
3
2
33
3
2 2
6 2
3
1 1
2
3
3 3
1
1
1 6 3 3 3
2
. . . 3 2 .
1
1 4 2 2 2
1
1
3
t
x dx t dt dt
I t t
x t t
x
t
Bài 13. Tính tích phân
.
1 1
dx
I
x x
Lời giải:
Đặt
2
2 4
3
1 1 1 1
1 1 2 .
2 2
t t
t x x x x x t x dx dt
t t t t
Vậy
4
3 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ln
2 1 2 2 2
1 1
dx t
I dt dt t t c
t t t t t t t
x x
2
1 1
ln 1 .
2 2 2
x
x x x x x c
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1.Tính tích phân
16
4
1
.
1
dx
I
x x
Bài 2. Tính tích phân
1
5
4
0
1 .
I x x dx
Bài 3. Tính tích phân
3
5 3
2
0
2
.
1
x x
I dx
x
Bài 4. Tính tích phân
2 3
2
5
.
4
dx
I
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
482
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 5. Tính tích phân
2
4
5
0
.
1
x
I dx
x
Bài 6. Tính tích phân
3
3
2
0
.
1
x
I dx
x
Bài 7. Tính tích phân
1
5 2
0
1 .
I x x dx
Bài 8. Tính tích phân
9
3
1
1 .
I x xdx
Bài 9. Tính tích phân
2
4 2
1
.
1
dx
I
x x
Bài 10. Tính tích phân
2
3
1
.
1
dx
I
x x
Bài 11. Tính tích phân
3
2
2
2
.
1
dx
I
x x
Bài 12.Tính tích phân
1
0
1
.
1
x
I dx
x
Bài 13. Tính tích phân
3
2 2
2
0
1 2 1 2
1 1
x x x
I dx
x x
Bài 14. Tính tích phân
5
2 2
1
2 1 3 1
xdx
I
x x
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử
( ), ( )
u x v x
là các hàm liên tục trên miền
D
, khi đó ta có
d uv udv vdu d uv udv vdu uv udv vdu
(*)
b b
a a
b
udv uv vdu udv uv vdu
a
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
483
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Công thức (*) là công thức tích phân từng phần, các bài toán áp dụng cách tính này thường biểu
thức dưới dấu tích phân là tích của hai biểu thức, trong đó một biểu thức là đạo hàm của một
hàm số. Khi lấy tích phân từng phần thì tích phân sau phải đơn giản hơn tích phân đầu. Dưới đây
trình bày một số dấu hiệu nhận biết để đặt
,
u dv
sao cho thích hợp.Một các tổng quát là thành
phần
dv
là đạo hàm của
v
nên chọn thành phần
dv
sao cho dễ tìm được
v
là được.
+
sin( )
os( )
( )
ax b
ax b
ax b
c ax b
I P x dx
e
m
thì đặt
( )
sin( )
os( )
ax b
ax b
u P x
ax b
c ax b
dv dx
e
m
.
+
ln
( )
log
c
ax b
I P x dx
ax b
thì đặt
ln
log
( )
c
ax b
u
ax b
dv P x dx
+
sin
os
ax b
x
I e dx
c x
thì đặt
sin
os
ax b
u e
x
dv dx
c x
+
sin ln
os ln
sin log
os log
k
a
a
x
c x
x dx
x
c x
thì đặt
sin ln
os ln
sin log
os log
a
a
k
x
c x
u
x
c x
dv x dx
ở đây
( )
P x
là đa thức.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.Tính tích phân
3
2
1
3 ln
.
1
x
I dx
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
484
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 ln ln
3
1 1 1
x dx x
I dx dx
x x x
.
+
3 3
2 2
1 1
3
1
3 3
3 3 .
1
1 4
1 1
d x
dx
x
x x
+ Tính tích phân
3
2
1
ln
1
x
K dx
x
Đặt
2
ln
1
1
1
dx
u x
du
x
dx
dv
v
x
x
Vậy
3 3 3
1 1 1
3
1
ln ln3 ln3 1 1
11 1 4 1 4 1
x x
x dx
K dx dx
x x x x x x x
3
ln3 1 27
ln ln .
1
4 1 4 16
x
x
Vậy
3 1 27
ln .
4 4 16
I
Bài 2. Tính tích phân
2
3
1
ln
.
x
I dx
x
Lời giải:
Đặt
3
2
ln
1
2
dx
u x
du
x
dx
dv
v
x
x
Vậy
2
2 3 2
1
2 2
1 1 1 1 3 2ln2
ln ln 2 .
1 12 2 8 4 16
dx
I x
x x x
Bài 3. Tính tích phân
3 2
1
ln .
e
I x xdx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
485
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Đặt
2
3
4
2ln
ln
1
4
x
du dx
u x
x
dv x dx
v x
Vậy
4 2 3 4
1
1 1 1
ln ln .
14 2 4
e
e
I x x x xdx e K
+ Tính
3
1
1
ln
2
e
K x xdx
Đặt
3
4
ln
1
4
dx
du
u x
x
dv x dx
v x
Vậy
4
4 3 4 4
1
1 1 1 1 1 1 3
ln
1 1
2 4 4 8 32 32 32
e
e e
e
K x x x dx e x
Vậy
4 4
4
1 1 3 5 1
.
4 32 32 32
e e
I e
Bài 4.Tính tích phân
1
2
0
2 .
x
I x e dx
Lời giải:
Đặt
2
2
2
1
2
x
x
du dx
u x
v e
dv e dx
Vậy
1
2
2 2 2 2
0
1 1
1 1 1 1 5 3
2 2 .
0 02 2 2 4 4
x x x
e
I e x e dx e e
Bài 5. Tính tích phân
3
2
2
ln .
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
486
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Đặt
2
2
2 1
ln
x
u x x
du
x x
dv dx
v x
Vậy
3 3 3
2
2
2 2 2
3
2 1 2 1 1
2 1
ln 3ln6 2ln 2 ln54
2 1 1
x x x
x
I x x x dx dx dx
x x x x
3 3
2 2
3 3
ln54 2 ln54 2 ln 1 3ln3 2.
2 21
dx
dx x x
x
Bài 6. Tính tích phân
2
1
3
0
.
x
I x e dx
Lời giải:
Ta có
2 2 2
1 1 1 1
3 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1
.2 ( )
2 2 2
x x x t
I x e dx x e xdx x e d x te dt
1 1
0 0
1 1
1 1 1 1 1
( ) .
0 0
2 2 2 2 2 2
t t t t
e
td e te e dt e
Bài 7. Tính tích phân
2
2
2
0
.
2
x
x e
I dx
x
Lời giải:
Đặt
2
2
2
1
2
2
x
x
u x e
du xe x dx
dx
dv
v
x
x
Vậy
2 2 2
2
2 2 2
0 0 0
2 2 2
1.
0 0 02
x
x x x x x
x e
I xe dx e xd e e xe e dx e e
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
487
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 8. Tính tích phân
4
2
0
tan .
I x xdx
Lời giải:
Ta có
2 2
4 4 4 4
2 2
2 2
0 0 0 0
1 os 1
tan .
4
os os 2 32
0
c x xdx
I x xdx x dx xdx K x K
c x c x
+ Tính
4 4 4 4
2
0 0 0 0
sin
tan tan tan
4
os 4 cos
0
xdx x
K xd x x x xdx dx
c x x
4
0
sin
1
ln cos ln2.
4
4 cos 4 4 2
0
d x
x
x
Vậy
2
1
ln2 .
4 2 32
I
Bài 9. Tính tích phân
1
7
2
4
0
.
1
x dx
I
x
Lời giải:
Đặt
4
3
3
2
4
4
4
1
4 1
1
u x
du x dx
x
dv
v
x
x
Vậy
4
1 1
4 3
4
4 4
4
0 0
1
1 1
1 1 1 1 2ln 2 1
ln 1 .
0 0
1 8 4 1 8 4 8
4 1
d x
x x dx
I x
x x
x
Bài 10. Tính tích phân
1
3
2 ln .
e
I x xdx
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
488
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
1 1 1
3 ln
2 ln 2 ln 3 .
e e e
x
I x xdx x xdx dx M N
x x
+ Tính
1
2 ln
e
M x xdx
.
Đặt
2
ln
1
2
dx
du
u x
x
dv xdx
v x
Vậy
2 2
2 2
1
1 1 1 1
2 ln 2 .
1 1
2 2 2 4 2 2
e
e e
e e
M x x xdx x
+ Tính
2
1 1
ln 3 3
3 3 ln ln ln .
1
2 2
e e
e
x
N dx xd x x
x
Vậy
2 2
1 3
1.
2 2 2 2
e e
I
Bài 11. Tính tích phân
2
sin
0
cos cos .
x
I e x xdx
Lời giải:
Ta có
2 2 2 2 2
sin sin 2 sin
0 0 0 0 0
1 os2
cos cos cos os (sin )
2
x x x
c x
I e x xdx e xdx c xdx e d x dx
1
0
1
1
sin 2 1.
2
0
2 4 4 4
0
t t
x
e dt x e e
Bài 12. Tính tích phân
6
2
0
sin cos .
I x x xdx
Lời giải:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
489
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta có
6 6 6
2 3 3 3
0 0 0
1 1 1
sin cos os cos os
6
3 3 3
0
I x x xdx xd c x x x c xdx
6
2 3
0
3 1 3 1 1 11 3
1 sin sin sin sin .
6
48 3 48 3 3 72 48
0
x d x x x
Bài 13. Tính tích phân
2
2
0
cos .
I x xdx
Lời giải:
Ta có
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 1 1
cos 1 os2 os2
2 2 2
I x xdx x c x dx xdx xc xdx
2 2 2 2
2 2
0 0
1 1 1 1
sin 2 sin 2 sin 2 os2 .
2 2
16 4 16 4 16 8 16 4
0 0
xd x x x xdx c x
Bài 14. Tính tích phân
2
2
1 1
.
ln ln
e
e
I dx
x x
Lời giải:
Ta có
2 2 2
2 2
1 1 1
.
ln ln ln ln
e e e
e e e
dx
I dx I dx M N
x x x x
+ Tính
2 2 2
2
2
2
1 1
.
ln ln ln ln 2
e e e
e e e
e
x dx e
M dx xd e N
x x x x
e
Vậy
2
.
2
e
I M N e
Bài 15. Tính tích phân
2
1
ln .
e
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
490
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
2 2 2 2
3 3 3
1 1 1
1 1
ln ln ln ln
13 3
e e e
e
I x x dx x d x x x x d x
3
3 2 3 3 3 3 2
1 1 1
1 1 2 1 2 5 2
2 ln ln ln 3 .
1
3 3 3 3 3 27
e e e
e
e
e x xdx e xd x e x x x dx
Bài 16. Tính tích phân
1
2
0
1
ln .
1
x
I x dx
x
Lời giải:
Đặt
2
2
1
2
ln
1
1
1
2
x
x
du dx
u
x
x
dv xdx
v x
Vậy
1 1
2
2 2
2
0 0
1
1 1 1
ln ln
2
1 2 1 1
0
x x x
I x dx x dx
x x x
1 1
2
2 2
2
0 0
1 1 1 2 1
ln3 1 ln3 1
8 1 8 1
1
dx dx
x x
x
1
1 1 1 3 5
ln3 2ln 1 ln3 2ln .
2
8 1 8 2 6
0
x x
x
Bài 17. Tính tích phân
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
I e dx
x
Lời giải:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
491
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta có
2 2 2
0 0 0
1 sin 1 sin 1 sin 1 sin
( )
2
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos
0
x x x x
x x x x
I e dx d e e e d
x x x x
2
2
2
0
1 1 cos sin
2
2
1 cos
x
x x
e e dx
x
.
+ Tính tích phân
2 2 2
2 2
0 0 0
1 cos sin sin
1 cos
1 cos 1 cos
x x
x
x x e e x
K e dx dx dx
x
x x
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
( ) sin 1 1 sin
2
1 cos 1 cos 1 cos
1 cos 1 cos
0
x x x
x x
d e e x e x
dx e e d dx
x x x
x x
2 2
2 2
2 2
0 0
1 sin sin 1
2 2
1 cos 1 cos
x x
e x e x
e dx dx e
x x
.
Vậy
2 2 2
1 1
2 .
2 2
I e e e
Bài 18. Tính tích phân
1
2
0
ln 1 .
I x x dx
Lời giải:
Đặt
2
2
1
ln 1
1
du dx
u x x
x
dv dx
v x
Vậy
1 1
2 2
2
0 0
1
ln 1 ln 1
0
1
xdx
I x x dx x x x
x
1
2 2
0
1
ln 1 2 1 ln 1 2 1 ln 1 2 2 1.
0
d x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
492
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 19. Tính tích phân
2
1
2
0
ln 1
.
1
x x x
I dx
x
Lời giải:
Đặt
2
2
2
2
1
ln 1
1
1
1
u x x
du dx
x
xdx
dv
v x
x
Vậy
2
1 1
2 2
2
0 0
ln 1
1
1 ln 1 2 ln 1 2 1.
0
1
x x x
I dx x x x dx
x
Bài 20. Tính tích phân
4
0
sin
.
1 cos
x x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
4 4 4 4 4
2
0 0 0 0 0
1 cos
sin sin 1
1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2
os
2
d x
x x xdx xdx xdx
I dx
x
x x x x
c
4 4
0 0
4
ln 1 cos tan ln tan tan
4 4
2 2 2
2 2
0 0
x x x
x xd x dx
4
ln tan 2ln os 2 1 .
4
4 8 2 4
2 2
0
x
c
Bài 21. Tính tích phân
1
3
0
ln 1 3
3
x
x x
I dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
493
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
3
3
ln 1 3
1
ln 1 3
3 3
x
x
x x
dx x x d e
3 3
1 1
ln 1 3 ln 1 3
3 3
x x
e x x e d x x
3 3
1 1 3
ln 1 3 ln 1 3
3 3 1 3
x x
x
e x x e x dx
x
3 3 3
1 1 1
ln 1 3 ln 1 3
3 3 3 1 3
x x x
x
e x x x d e e dx
x
3 3 3 3
1 1 1
ln 1 3 ln 1 3 ln 1 3
3 3 3 1 3
x x x x
x
e x x e x e d x e dx
x
3 3 3 3
1 1 1 1
ln 1 3 ln 1 3
3 9 3 1 3 1 3
x x x x
x
e x x e x e dx e dx
x x
3 3
1 1
1 3 ln 1 3
9 3 1 3 1 3
x x
x
e x x e dx
x x
3 3
1 1
1 3 ln 1 3
9 9
x x
e x x d e
3 3
3
1 3 ln 1 3 1
1 1
1 3 ln 1 3
9 9 9
x x
x
x x
e x x e C C
e
Vậy
3
3 3
1
1 3 ln 1 3 1
4ln 4 1
09 9
x
x x
e
I
e e
Bài 22. Tính tích phân
1
2
2
0
ln 1
1
x x
I dx
x
.
Lời giải:
Ta có
1 1
2 2 2
0 0
1
ln 1
1 1 1 1 1 1
ln 1 .
02 1 2 1 2 1 1
x
I x d dx
x x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
494
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1
2
0
ln2 1 1 1
.
4 2 1 1
dx
x x
Ta có
2 2 2
1 1 1
2 1
1 1 2 1 2 1
x
x
x x x x
Vậy
1 1
2
2 2
0 0
1 1 1 1
.
1 1 2 1
2 1 2 1
x
dx dx
x x x
x x
2
1
1 1 1 ln 2
ln 1 arctan ln 1
0
4 2 2 4 8
x x x
.
Vậy
ln2
8 16
I
.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính tích phân
1
0
1 .
x
I x e dx
Bài 2.Tính tích phân
2
2
0
1 sin 2 .
x
I e x dx
Bài 3. Tính tích phân
2
0
1 sin 2 .
I x xdx
Bài 4. Tính tích phân
2
sin
0
sin 2 .
x
I e xdx
Bài 5. Tính tích phân
2
1
3
1
sin .
x x
I e x x e dx
Bài 6. Tính tích phân
2
3 2
0
sin .
I x xdx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
495
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 7. Tính tích phân
4
2 2
0
sin .
x
I e xdx
Bài 8. Tính tích phân
2
4
0
sin .
I xdx
Bài 9.Tính tích phân
2
4
0
cos .
I x xdx
Bài 10. Tính tích phân
2
2
1
ln .
I x xdx
Bài 11. Tính tích phân
2
2
0
1 cos sin
.
1 cos
x
x x
I e dx
x
Bài 12.Tính tích phân
2
3
2
0
.
sin cos
x dx
I
x x x
Bài 13. Tính tích phân
1
2
0
sin .
x
I e x dx
Bài 14.Tính tích phân
2
0
cos .
x
I xe xdx
Bài 15. Tính tích phân
2
2 2
0
cos .
x
I x e xdx
Bài 16. Tính tích phân
4
0
2 cos 2 sin
.
cos sin
x x x x
I dx
x x x
Bài 17. Tính tích phân
4
0
sin 1 cos
.
sin cos
x x x x
I dx
x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
496
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 18. Tính tích phân
2
3
cos ln 1 cos .
I x x dx
Bài 19. Tính tích phân
2
2
sin 3
0
sin cos .
x
I e x xdx
Bài 20. Tính tích phân
6
3
4
.
sin
dx
I
x
Bài 21. Tính tích phân
2
0
sin
.
x
x
I dx
e
Bài 22. Tính tích phân
2
4
0
sin 2 cos sin .
I x x dx
Bài 23. Tính tích phân
3
4
sin ln tan .
I x x dx
Bài 24. Tính tích phân
1
os ln .
e
I c x dx
Bài 25. Tính tích phân
2
1
os ln .
e
I c x dx
Bài 26. Tính tích phân
2
2
1
ln 1
.
x
I dx
x
Bài 27. Tính tích phân
2
1
1 ln
.
1
e
x
I dx
x
Bài 28. Tính tích phân
2
1
ln
.
e
x
I dx
x
Bài 29.Tính tích phân
2
1
ln ln .
e
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
497
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 30. Tính tích phân
2
1
ln .
e
I x x xdx
Bài 31. Tính tích phân
1
1
2
2
1
1
1 .
x
x
I e dx
x
Bài 32. Tính tích phân
1
1
2
3
1
1
.
x
x
I x e dx
x
Bài 33. Tính tích phân
1
2
0
1 .
I x dx
Bài 34. Tính tích phân
2
1
2
0
ln 1
.
1
x x x
I dx
x x
Bài 35. Tính tích phân
1
2
0
ln 1 .
I x x x dx
Bài 36. Tính tích phân
0
3
ln 1
.
1 1
x
I dx
x x
Bài 37.Tính tích phân
1
1 ln
.
e
x
I dx
x
Bài 38. Tính tích phân
2
1
ln .
1
e
x
I dx
x
Bài 39. Tính tích phân
3
3
2
1 1
ln .
1
1
x x
I dx
x
x
Bài 40. Tính tích phân
3
3
2
1 1
ln .
1
1
x
I dx
x
x
Bài 41. Tính tích phân
3
4
2
ln 1
.
1
x
I dx
x
Bài 42.Tính tích phân
2
2 2
0
4 tan 1 tan .
2 2
x x
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
498
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 43. Tính tích phân
2
2
2
0
1
.
1
x
x e
I dx
x
Bài 44. Tính tích phân
2
sin
0
1 cos .
x
I e x x dx
Bài 45. Tính tích phân
2
0
sin cos .
I x x xdx
Bài 46. Tính tích phân
2
0
.
1 sin 2
xdx
I
x
Bài 47. Tính tích phân
5
2
ln 1 1
.
1 1
x
I dx
x x
Bài 48.Tính tích phân
8
3
ln
.
1
x
I dx
x
Bài 49. Tính tích phân
4
2
0
.
os 1 tan
xdx
I
c x x
Bài 50.Tính tích phân
5
0
cos sin .
I x x x dx
Bài 51.Tính tích phân
2
0
1 sin
.
1 cos
x
x
I dx
x e
Bài 52.Tính tích phân
2
1
ln
ln .
1 ln
e
x
I x dx
x x
Bài 53. Tính tích phân
1
2
3
4
2tan .
cos
x
e x
I x x dx
x x
Bài 54. Tính tích phân
2
2 sin
0
2cos cos .
2
x
x
I x x e dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
499
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 55.Tính tích phân
1
2
1
2
1
ln
1
.
1
x
x
x
x
I dx
e
Bài 56.Tính tích phân
2 2
3
1
ln 2 2
ln .
e
x x x
I xdx
x
Bài 57. Tính tích phân
1
3
0
2 1 ln 1 .
I x x dx
Bài 58. Tính tích phân
4
2
0
ln sin cos
.
os
x x
I dx
c x
Bài 59. Tính tích phân
24
0
.
sin cos
x
I dx
x x x
Bài 60. Tính tích phân I
1
3
8
2
4
0
.
1
x dx
I
x
Bài 61. Tính tích phân
2
2
1
2
cot
sin
3
4
cos 2cot 3cot 1
.
sin
x
x
x x x
I e dx
x
Bài 62. Tính tích phân
2
2
4
1
1
1 ln 1 ln
I x x x dx
x
.
Bài 63. Tính tích phân
2
2
0
2
17 cos4
ln
1 sin
x
x
I dx
x
Bài 64. Tính tích phân
4
2
3
4
tan tan
x
I x x e dx
Bài 65. Tính tích phân
6
0
tan
4
cos2
x
I dx
x
.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
500
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 66. Tính tích phân
2
3
1
ln ln
ln 1
e
x x
I dx
x x
.
Bài 67. Tính tích phân
3
2
2
1
log
1 3ln
e
x
I dx
x x
.
Bài 68. Tính tích phân
4
2
1
1
4
x
x
x e
I dx
x
xe
Bài 69. Tính tích phân
1
0
1
2 ln 1
1
x
I x x dx
x
Bài 70. Tính tích phân
1
1
ln
e
x
x
xe
I dx
x e x
Bài 71. Tính tích phân
4
2
0
2
1 tan
x
x
e
I e x dx
x
Bài 72. Tính tích phân
1
0
2 ln 1 1
1 1
x x x
I dx
x x
Bài 73. Tính tích phân
6
4
0
tan 1 tan 2
I x xdx
Bài 74. Tính tích phân
2
3
6
tan tan
tan tan
x x x x
I dx
x x x x
Bài 75. Tính tích phân
1
2
1
2
1
1
x
x
I x dx
x
Bài 76. Tính tích phân
1
1 ln
ln
e
x
I dx
x x x
Bài 77. Tính tích phân
2
1
4 3ln
e
dx
I
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
501
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 78. Tính tích phân
2
3
3 1
2
0
1
x
x e
I dx
x
Bài 79. Tính tích phân
0
2
3
1
1
x
I x e x dx
Bài 80. Tính tích phân
1
2
0
ln 1
I x x x dx
Bài 81. Tính tích phân
3
1
1
ln
e
x
I xdx
x
Bài 82. Tính tích phân
22
2
0
1
ln
1
x
I x dx
x
Bài 83. Tính tích phân
1
3
0
1
1 ln 1
I x dx
x
Bài 84. Tính tích phân
2
2
6
cos ln sin
sin
x x
I dx
x
Bài 85. Tính tích phân
1
0
1 sin
1 cos
x
x
I dx
x e
Bài 86. Tính tích phân
1 cos
2
0
1 cos
ln
1 sin
x
x
I dx
x
Bài 87. Tính tích phân
8
3
2
3
ln
1
x x
I dx
x
Bài 88. Tính tích phân
2 3
1
1 ln 2 ln
1 ln
e
x x x x x
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
502
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 89. Tính tích phân
2
2
1
1 ln
1
e
x x x
I dx
x x
Bài 90. Tính tích phân
3
4
2
1
ln 5 5
x x x
I dx
x
Bài 91. Tính tích phân
2
3 2
3
1
1 3 1
x
x
x x e
I dx
x e x x
Bài 92. Tính tích phân
0
2
2
4
sin cos
x dx
I
x x x
Bài 93. Tính tích phân
2
2
1
1 ln
ln
e
x x
I dx
x x x
Bài 94. Tính tích phân
1
2
3
2
0
4
ln
4
x
I x dx
x
Bài 95. Tính tích phân
1
2 ln 1 ln
1 ln
e
x x x
I dx
x x
Bài 96. Tính tích phân
3
1
2ln 1
ln 1 1
e
x
I dx
x x
Bài 97. Tính tích phân
3
2
0
4 4 sin cos sin2
1 cos
x
xe x x x
I dx
x
Bài 98. Tính tích phân
2 2
2
0
cos sin cos 1
1 sin
x x x x x
I dx
x x
Bài 99. Tính tích phân
2
0
5 7 cos2
2 2 cos
x x x
I dx
x
Bài 100. Tính tích phân
3
6
0
sin
cos2
x
I dx
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
503
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 101. Tính tích phân
3
23
4
0
3
ln
1 2
x x
I dx
x
Bài 102. Tính tích phân
4
2
0
2
1 tan
x
x
e
I e x dx
x
Bài 103. Tính tích phân
4
2
0
1 sin cos
dx
I
x x
Bài 104. Tính tích phân
3
3
2
2
4
1
2
3
4 2
x
x
I x e dx
x
Bài 105. Tính tích phân
1
0
ln 1
t
t t
I dt
e
Bài 106. Tính tích phân
2 2
3
1
ln 2 2
ln
e
x x x
I x dx
x
Bài 107. Tính tích phân
2 3
1
0
ln 1
1
x
I dx
x
Bài 108. Tính tích phân
2
0
ln sin ln cos sin 2
I x x xdx
Bài 109. Tính tích phân
2
2
0
ln cos
I x dx
Bài 110. Tính tích phân
2
2 2
2
3
ln 1x x
I dx
x
Bài 111. Tính tích phân
2 2
2
2
1
1 ln 1 ln
1 ln
e
x x x
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
504
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dưới đây xin trình bày những lưu ý tổng quát nhất khi giải quyết tích phân hàm lượng giác.
Khi thực hiện phép tính tích phân với các hàm số lượng giác, trong biểu thức tích phân có thể
xuất hiện
+
sin cosxdx d x
ta đặt
cos
t x
lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành
(cos ) cos ( ) .
f x d x f t dt
+
cos sinxdx d x
ta đặt
sin
t x
lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành
(sin ) sin ( ) .
f x d x f t dt
+
2
tan
os
dx
d x
c x
ta đặt
tan
t x
lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành
( an ) n ( ) .
f t x d ta x f t dt
+
2
cot
sin
dx
d x
x
ta đặt
cot
t x
lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành
(cot ) cot ( ) .
f x d x f t dt
Lưu ý:
cos
sin
tan ln cos .
cos cos
d x
x
xdx dx x c
x x
sin
os
cot ln sin .
sin sin
d x
c x
xdx dx x c
x x
Một lưu ý nữa là nếu biểu thức lượng giác có dạng phân thức thì luôn nghĩ tới tử thức sẽ chứa
mẫu thức và đạo hàm của mẫu thức.
Phương pháp chủ đạo tính tích phân hàm lượng giác là đổi biến số.
BÀI TẬP MẪU
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
505
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 1.Tính tích phân
4
2
0
os cos2 .
I c x xdx
Lời giải:
Ta có
4 4 4 4
2 2
0 0 0 0
1 1 1
os cos2 1 os2 cos2 os2 os 2
2 2 2
I c x xdx c x xdx c xdx c xdx
4
0
1 1 1 1 1 1
sin 2 1 os4 sin 4 .
4 4
4 4 4 4 4 16 4
0 0
x c x dx x x
Bài 2. Tính tích phân
2
3 2
0
os 1 os .
I c x c xdx
Lời giải:
Ta có
2 2 2
3 2 5 2
0 0 0
os 1 os os os .
I c x c xdx c xdx c xdx M N
+ Tính
2 2
2
5 2
0 0
os 1 sin sin
M c xdx x d x
Đặt
sin sin
t x dt d x
. Khi
0 0; 1.
2
x t x t
Vậy
1 1
2
2 2 4 3 5
0 0
1
2 1 8
1 1 2 .
0
3 5 15
M t dt t t dt t t t
+ Tính
2 2
2
0 0
1 1 1
os 1 os2 sin 2 .
2
2 2 2 4
0
N c xdx c x dx x x
Vậy
8
.
15 4
I M N
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
506
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 3. Tính tích phân
24
0
1 2sin
.
1 sin 2
x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
24 4
0 0
1 2sin os2
1 sin 2 1 sin 2
x c x
I dx dx
x x
Đặt
1 sin 2 2cos 2
t x dt xdx
. Khi
0 1; 2.
4
x t x t
Vậy
2
1
2
1 1 1
ln ln 2.
12 2 2
dt
I t
t
Bài 4. Tính tích phân
3
3
4
tan .
I xdx
Lời giải:
Ta có
2
23 3 3
3
3 3
4 4 4
1 os cos
sin .sin
tan
os os
c x d x
x x
I xdx dx
c x c x
Đặt
cos cos
t x dt d x
. Khi
1 1
; .
4 3 2
2
x t x t
Vậy
1
2
2
3 2
1
2
1
1 1 1
2
ln 1 ln 2.
1
2 2
2
t
I dx t
t t
Bài 5. Tính tích phân
2
3
3
.
sin
dx
I
x
Lời giải:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
507
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta có
2 2 2
2
3 4
2
3 3 3
cos
sin
.
sin sin
1 os
d x
dx xdx
I
x x
c x
Đặt
cos cos
t x dt d x
. Khi
1
; 0.
3 2 2
x t x t
Vậy
2
1 1
0
2 2
2 2
2 2
1
0 0
2
1 1 1
4 1 1
1 1
dt dt t t
I dt
t t
t t
1
2
2 2
2
0
1
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
ln ln3.
2
4 1 4 1 1 1 3 4
1 1
0
t
dt
t t t t
t t
Bài 6. Tính tích phân
2
0
sin 2 sin
.
1 3cos
x x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
2 2
0 0
sin 2cos 1
sin 2 sin
1 3cos 1 3cos
x x
x x
I dx dx
x x
Đặt
2
1 3cos 1 3cos 2 3sin
t x t x tdt xdx
Khi
0 2; 1.
2
x t x t
Vậy
2
2
3
1
2
4 2 4 2 34
.
1
9 9 27 9 27
t
I dt t t
Bài 7. Tính tích phân
2
2 2
0
sin 2
.
os 4sin
x
I dx
c x x
Lời giải:
Ta có
2 2
os 4sin 2sin cos 8cos sin 6sin cos 3sin 2 .
d c x x x x x x x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
508
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy đặt
2 2 2 2 2
os 4sin os 4sin 2 3sin2
t c x x t c x x tdt xdx
Khi
0 1; 2.
2
x t x t
Vậy
2 2
1 1
2
2 2 2 2
.
1
3 3 3 3
tdt
I dt t
t
Bài 8. Tính tích phân
32
0
4sin
.
1 cos
x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
2
32 2 2 2 2
0 0 0 0 0
4 1 os sin
4sin
4 1 cos sin 4 sin 2 sin 2
1 cos 1 cos
c x x
x
I dx dx x xdx xdx xdx
x x
4cos os2 2.
2
0
x c x
Bài 9. Tính tích phân
3 3
2
3
3
sin sin
cot .
sin
x x
I xdx
x
Lời giải:
3 3
2 2
3
3 2 2
3 3
sin sin 1 cot
cot 1 .
sin sin sin
x x x
I xdx dx
x x x
Đặt
2
cot
sin
dx
t x dt
x
. Khi
1
; 0.
3 2
3
x t x t
Vậy
0 0
5 8
3 2
3 3
1 1
3 3
0
3 1
. .
1
8
8 3
3
I t tdt t dt t
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
509
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 10. Tính tích phân
2
6 3 5
0
1 os sin os .
I c x xc xdx
Lời giải:
Đặt
6 3 6 3 5 2
1 os 1 os 6 3cos sin
t c x t c x t dt x xdx
Khi
0 0; 1.
2
x t x t
Vậy
1 1
6 5 6 12 7 13
0 0
1
1 1 12
2 1 2 2 .
0
7 13 91
I t t t dt t t dt t t
Bài 11. Tính tích phân
6
2
4
4
os
.
sin
c x
I dx
x
Lời giải:
Ta có
2
2 2 2 4 2
6
2 2 2
4 4 4
4 4 4
os 1 sin os sin 2sin 1
os
sin sin sin
c x x c x x x
c x
I dx dx dx
x x x
2 2 2
2 2 2
2
4 4 4
os 2 cot cot
sin
dx
c xdx xdx x
x
2 2 2
2 2
2
4 4 4
1 1
1 os2 2 1 ot cot
2 sin
c x dx dx c xd x
x
3
1 1 cot 5 23
2
sin 2 2 cot .
2 2 3 8 12
4
x
x x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
510
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 12. Tính tích phân
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
I dx
x
.
Lời giải:
Ta có
22 2
0 0
sin 2 cos cos sin
4
1 cos 1 cos
x x x x
I dx dx
x x
.
Đặt
1 cos sin
t x dt xdx
. Khi
0 2; 0.
2
x t x t
Vậy
2
1 2
2
2
2 1
2
1
1 1 1
2 2 2 2 2 2ln 2 1.
1
2
t
I dt t dt t t
t t t
Bài 13. Tính tích phân
46
0
tan
.
os2
x
I dx
c x
Lời giải:
Ta có
4 4 4
6 6 6
2 2
2 2
0 0 0
tan tan tan
os2 os sin
os 1 tan
x x x
I dx dx dx
c x c x x
c x x
.
Đặt
2
tan
os
dx
t x dt
c x
. Khi
1
0 0; .
6
3
x t x t
Vậy
1 1 1 1
4
3 3 3 3
4
2
2 2 2
0 0 0 0
1 1
1
1 1 1
t
t dt
I dt dt t dt
t t t
2
1
1 1 1 1 10
ln ln 2 3 .
3
2 1 3 2
9 3
0
t
t t
t
Bài 14. Tính tích phân
4
4
0
.
os
dx
I
c x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
511
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
4 4 4
2 3
4 2 2
0 0 0
1 1 4
. tan 1 tan tan tan .
4
os os os 3 3
0
dx dx
I x d x x x
c x c x c x
Bài 15. Tính tích phân
2
4
4
0
1 2sin
.
sin cos
x
I dx
x x
Lời giải:
Ta có
2
4 4
4 2
0 0
1 2sin os2
sin cos 1 sin 2
x c x
I dx dx
x x x
Đặt
1 sin 2 2cos 2
t x dt xdx
. Khi
0 1; 2.
4
x t x t
Vậy
2
1
2
1 1 1
ln ln 2.
12 2 2
dt
I t
t
Bài 16. Tính tích phân
24
6
0
sin
.
os
x
I dx
c x
Lời giải:
Ta có
24 4 4
2 2 2
6 2 2
0 0 0
sin 1
tan . . tan 1 tan tan
os os os
x dx
I dx x x x d x
c x c x c x
3 5
1 1 8
tan tan .
4
3 5 15
0
x x
Bài 17. Tính tích phân
4
0
ln 1 tan .
I x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
512
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Đặt
4
x t dx dt
. Khi
0 ; 0.
4 4
x t x t
Vậy
0
4 4
0 0
4
1 tan
ln 1 tan ln 1 tan ln 1
4 1 tan
t
I x dx t dt dt
t
4 4 4
0 0 0
2
ln ln 2 ln 1 tan ln 2 2 ln 2 ln 2.
1 tan 4 4 8
dt dt t dt I I I
t
Bài 18. Tính tích phân
4
.
sin cos
dx
I
x x
Lời giải:
Ta có
4 4 2
4 2 4 2
sin
os
sin cos sin cos
sin 1 sin 1
d x
dx c xdx dt
I
x x x x
x x t t
4 4
2
4 2 3
4 2
1
1 1 1 1 1
ln
1 3 2 1
1
t t
t dt t
dt dt c
t t t t t
t t
3
1 1 1 sin 1
ln
3sin sin 2 sin 1
x
c
x x x
Bài 19. Tính tích phân
2
tan
.
cos
x
I dx
x
Lời giải:
2
2 2 2
2
4 2
2
tan sin sin
cos sin
cos os 1
1 sin
x x x t
I dx xdx d x dt
x c x t
x
2
2 2
2
1 1 1 1 1 2 1
4 1 1 4 1
1 1
dt dt
t t t
t t
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
513
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1 1 1 1 1 1 1 1 sin
ln ln
4 1 4 1 4 1 4 1 sin 4 1 sin 4 1 sin
t x
c c
t t t x x x
.
Bài 20. Tính tích phân
4 2
3
6
0
sin cos sin sin sin 1
sin 1
x x x x x
I dx
x
Lời giải :
Ta có
4 2
23 3
6 6
0 0
sin cos sin sin 1
sin cos
sin 1 sin 1
x x x x
x x
I dx dx
x x
3 2
23 3
2
2 2 2
3
0 0
sin sin
1 1 1 cos 1
ln ln cos
3
3 2 sin 1 6 sin 1 2
sin 1
0
d x d x
x
dx x
x x
x
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính tích phân
2
2 3
0
sin 1 cos .
I x x dx
Bài 2. Tính tích phân
2
3 2
0
sin 1 sin .
I x xdx
Bài 3.tính tích phân
4
2
0
tan .
I xdx
Bài 4. Tính tích phân
4
4
0
tan .
I xdx
Bài 5. Tính tích phân
4
6
0
tan .
I xdx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
514
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 6. Tính tích phân
2
4
4
.
sin
dx
I
x
Bài 7. Tính tích phân
32
2
0
sin os
.
1 os
xc x
I dx
c x
Bài 8. Tính tích phân
3
2
0
.
os
x
I dx
c x
Bài 9.Tính tích phân
4
3
3 tan
.
3 tan
x
I dx
x
Bài 10. Tính tích phân
3
4
tan .
I xdx
Bài 11. Tính tích phân
2
0
sin 2 sin
.
1 8cos
x x
I dx
x
Bài 12. Tính tích phân
6
0
.
cos cos
4
dx
I
x x
Bài 13. Tính tích phân
4
0
.
2 sin cos
dx
I
x x
Bài 14. Tính tích phân
4
0
sin
.
1 sin 2
xdx
I
x
Bài 15. Tính tích phân
2
3
.
sin 2 2sin
dx
I
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
515
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 16. Tính tích phân
2
3
2 2
0
sin 2
.
3sin 4cos
xdx
I
x x
Bài 17. Tính tích phân
36
0
sin
.
3sin 4 sin 6 3sin 2
xdx
I
x x x
Bài 18. Tính tích phân
3
4
cos sin
.
2sin cos
x x
I dx
x x
Bài 19. Tính tích phân
4
2
0
sin
.
os
x x
I dx
c x
Bài 20. Tính tích phân
2
3
2
sin 3cos
sin3 3sin
3
x x
I dx
x x
Bài 21. Tính tích phân
2
3
0
7sin 5cos
sin cos
x x
I dx
x x
Bài 22. Tính tích phân
2
4
3
6
cos
sin sin
4
x
I dx
x x
Bài 23. Tính tích phân
2
3
0
cos2
sin cos 3
x
I dx
x x
Bài 24. Tính tích phân
4
3
0
tan sin
sin cos
x xdx
I
x x
Bài 25. Tính tích phân
4
0
1 1
1 2 sin 1 2 cos
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
516
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 26. Tính tích phân
2
0
cos
1 cos
x x
I dx
x
Bài 27. Tính tích phân
6
4
0
cos3
2sin 1
x
I dx
x
Bài 28. Tính tích phân
4
6 6
0
sin 2
sin cos
xdx
I
x x
Bài 29. Tính tích phân
93
10 10
6
cos
sin sin cos
x
I dx
x x x
Bài 30. Tính tích phân
4 2
3
6
0
sin cos sin sin sin 1
sin 1
x x x x x
I dx
x
Bài 31. Tính tích phân
3
6
0
sin cos sin 1
sin 1
x x x
I dx
x
Bài 32. Tính tích phân
2
6 6
0
sin 4 cos2
sin cos
x x
I dx
x x
Bài 33. Tính tích phân
2
4 4
0
sin 4
tan sin cos
x
I dx
x x
Bài 34. Tính tích phân
2
2 4 4
0
sin 4
cos sin cos
x
I dx
x x
Bài 35. Tính tích phân
2
2
0
sin cos 1 cos
I x x x dx
Bài 36. Tính tích phân
32
0
4sin
1 cos
x
I dx
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
517
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 37. Tính tích phân
3
4
3
sin cos
1 sin
x x
I dx
x
Bài 38. Tính tích phân
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x
I dx
x x
Bài 39. Tinh tích phân
3
2
0
sin tan
I x xdx
Bài 40. Tính tích phân
2
0
sin3
1 cos
x
I dx
x
Bài 41. Tính tích phân
2
2
0
sin
sin 2cos cos
2
x
I dx
x
x x
Bài 42. Tính tích phân
36
0
sin3 sin 3
1 cos3
x x
I dx
x
Bài 43. Tính tích phân
3
0
2sin 2 sin
6cos 2
x x
I dx
x
Bài 44. Tính tích phân
2
3
2
0
sin 2 1 sin
I x x dx
Bài 45. Tính tích phân
2
4
4 2
4
sin
cos tan 2tan 5
x
I dx
x x x
Bài 46. Tính tích phân
3
2
4
tan
cos cos 2
x
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
518
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 47. Tính tích phân
4
2
0
sin 2cos
dx
I
x x
Bài 48. Tính tích phân
3
2
3
3
sin sin
sin
x x
I dx
x
Bài 49. Tính tích phân
4
3
0
cos2
sin cos 2
x
I dx
x x
Bài 50. Tính tích phân
2
6
1 sin 2 cos 2
sin cos
x x
I dx
x x
Bài 51. Tính tích phân
1
2
0
1 sin
cos
x x
I dx
x
Bài 52. Tính tích phân
4
2
0
sin cos 1
1 cos
x
e x x
I dx
x
Bài 53. Tính tích phân
23
4
4
sin
ln tan
cos
x
I x dx
x
Bài 54. Tính tích phân
tan4
3
0
sin
cos
x
e x
I dx
x
Bài 55. Tính tích phân
4
2 3
3
0
sin
4 sin
cos
x
I x x dx
x
Bài 56. Tính tích phân
2
0
cos ln 1 cos
I x x dx
Bài 57. Tính tích phân
3
2 2
6
tan cot 2
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
519
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 58. Tính tích phân
2
10 10 4 4
0
sin cos sin cos
I x x x x dx
Bài 59. Tính tích phân
3
2
0
ln cos
cos
x
I dx
x
Bài 60. Tính tích phân
4
2
2
0
sin
1 sin
cos
x
I xdx
x
DẠNG TOÁN BỔ SUNG
Nếu tích phân có dạng
asin cos
sin cos
x b x
I dx
m x n x
Lúc này nghĩ tới việc biểu diễn tử thức theo mẫu thức và đạo hàm của mẫu thức
Trình bày:
Giả sử
sin cos sin cos cos sin
a x b x m x n x m x n x
asin cos sin cos
x b x m n x n m x
Đồng nhất hệ số ta được
a m n
b n m
giải hệ này suy ra các hệ số
, .
Khi đó
sin cos cos sin
asin cos
sin cos sin cos
m x n x m x n x
x b x
I dx dx
m x n x m x n x
sin cos
ln sin cos .
sin cos
d m x n x
dx x m x n x c
m x n x
Một lưu ý là các số
a b m n
có thể là các số thực tự do hoặc cũng có thể chứa
.
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
520
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chẳng hạn:Tính tích phân
4
0
2 cos 2 sin
.
cos sin
x x x x
I dx
x x x
Một dạng tương tự
2
asin cos
.
sin cos
x b x
I dx
m x n x k
2 2
asin cos
(*)
asin sin cos os
x b x
I dx
x b x x cc x
Với dạng (*) các đề tuyển sinh hay bắt gặp dưới dạng này
Lúc này ta phải nhóm biểu thức trong căn
Trình bày:
Nhóm được
2
2 2
asin sin cos os sin cos (**)
x b x x cc x m x n x
Và tiến hành phân tích
sin cos sin cos cos sin (***)
a x b x k m x n x l m x n x
Lưu ý cách nhóm ở (**) không phải là duy nhất, do đó ta có thể làm bài toán dạng này tương đối
dễ.
Đề bài cũng cho dễ nhìn, vì vậy mà cách phân tích ở (***) có thể nhận thấy ngay mà không cần
đồng nhất hệ số như trên.
Nếu tích phân có dạng
2 2
sin 2
asin cos
n
x
I dx
x b x
Lúc này tử thức biểu diễn theo đạo hàm của
2 2
sin cos
a x b x
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.Tính tích phân
4
0
sin 1 cos
.
sin cos
x x x x
I dx
x x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
521
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Ta có
sin 1 cos sin cos cos sin cos sin cos '
x x x x x x x x x x x x x x x
Vậy
4 4
0 0
sin 1 cos sin cos cos
sin cos sin cos
x x x x x x x x x
I dx dx
x x x x x x
4 4 4
0 0 0
sin cos
cos 4
ln sin cos ln .
4 4
sin cos sin cos 4 4
4 2
0 0
d x x x
x x
dx dx x x x x
x x x x x x
Bài 2. Tính tích phân
4
0
sin
4
.
sin 2 2 1 sin cos
x
I dx
x x x
Lời giải:
Ta có
4 4
0 0
sin
1 sin cos
4
sin 2 2 1 sin cos 1 sin 2 2 sin cos 1
2
x
x x
I dx dx
x x x x x x
4 4
2 2
0 0
sin cos 1
1 sin cos 1
2 2
sin cos 2 sin cos 1 sin cos 1
d x x
x x
dx
x x x x x x
1 4 3 2
.
4
4
2 sin cos 1
0
x x
Bài 3. Tính tích phân
4
2 2
0
sin 2
.
os 4sin
xdx
I
c x x
Lời giải:
Ta có
2 2
os 4sin 2cos sin 8sin cos 6sin cos 3sin 2
d c x x x x x x x x x
.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
522
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy
2 2
4 4
2 2
2 2 2 2
0 0
os 4sin
sin 2 1 2 1
os 4sin 10 2 .
4
3 3 3
os 4sin os 4sin
0
d c x x
xdx
I c x x
c x x c x x
Bài 4.Tính tích phân
3
4
cos sin
.
2sin cos
x x
I dx
x x
Lời giải:
Ta có
3 3 3
2 2
4 4 4
cos sin
cos sin cos sin
2sin cos
sin cos 1 sin cos 1
d x x
x x x x
I dx dx
x x
x x x x
Đặt
cos sin cos sin
t x x dt d x x
.
Khi
3 1
2; .
4 3 2
x t x t
Vậy
3 1 3 1
2 2
4
2 2
2
2 2
3 1
3 1 24
ln 1 ln 1 ln .
2
2 2 1
1
2
dt
I d t t t t
t
`
TÍCH PHÂN CỦA HÀM TUẦN HOÀN
Xét bài toán sau: Nếu
( )
f x
liên tục tuần hoàn với chu kì
T
, với mọi
a
ta có
2
0
2
( ) ( ) ( )
T
a T T
T
a
f x dx f x dx f x dx
Chứng minh:
Ta có
0
0
( ) ( ) ( ) ( ) (1)
a T T a T
a a T
I f x dx f x dx f x dx f x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
523
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Đặt
0
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2)
a T a a a
T a
x t T f x dx f t T dt f t dt f x dx f x dx
Lấy (1) cộng với (2) theo vế suy ra đpcm.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính tích phân
2012
0
1 os2 .
I c xdx
Lời giải:
Xét hàm số
( ) 1 os2
f x c x
liên tục và tuần hoàn trên
với chu kì
T
nên ta có:
3 2012
0 0 2 2011
( ) ( ) ( ) ... ( )
f x dx f x dx f x dx f x dx
2012 2 3 2012
0 0 2 2011 0
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) 2012 ( )
I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
0 0 0
2012 1 os2 2012 2 sin 2012 2 sin 2012 2 cos 4024 2.
0
c xdx xdx xdx x
Bài 2. Tính tích phân
2
2
0
ln sin 1 sin
I x x dx
TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
Xét tích phân
1
( )
.
( ) ( )
n
F x
I dx
F x G x
, trong đó
,
là các số thực tự do,
n
là số nguyên
dương;
( ), ( )
F x G x
là các hàm số lượng giác.
Việc tính trực tiếp tích phân
1
I
tỏ ra khó khăn, khi đó ta sẽ gián tiếp tính
1
I
thông qua tích phân
2
( )
.
( ) ( )
n
G x
I dx
F x G x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
524
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Khi đó ta có
1 2
1
1 2
(*)
( ) ( )
(1)
( ) ( )
(**)
( ) ( )
n
n
dx
I I
F x G x
kF x lG x
kI lI dx
F x G x
Các hệ số
,
k l
được chọn sao cho
( ) ( )
kF x lG x
là đạo hàm của
( ) ( )
F x G x
.
Trong đó tích phân (*) và (**) tính đơn giản hơn, khi đó giải hệ (1) suy ra
1 2
, .
I I
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.Tính tích phân
4
4 4
sin
.
sin os
x
I dx
x c x
Lời giải:
Xét tích phân
4
4 4
os
sin os
c x
K dx
x c x
Ta có
4 4
1
4 4
sin os
(1)
sin os
x c x
I K dx dx x c
x c x
2 2 2 2
4 4
4 4
2
sin os sin os
sin os
1
sin os
1 sin 2
2
x c x x c x
x c x
I K dx dx
x c x
x
2
2 2
sin 2
2 os2 1 sin 2 2
ln (2)
sin 2 2 sin 2 2
2 2 sin 2 2
d x
c xdx x
c
x x
x
Từ (1) và (2) suy ra
1 sin 2 2
ln
2
4 2 sin 2 2
x x
I c
x
Bài 2. Tính tích phân
2
3
0
sin
.
sin 3 cos
xdx
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
525
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Xét tích phân
2
3
0
cos
sin 3cos
xdx
K dx
x x
Ta có
2 2
2
2
0 0
1 1 3
cot (1)
2
4 4 3 3
sin 3 cos
sin
0
3
dx dx
I K x
x x
x
2 2
3 3
0 0
sin 3cos
cos 3sin 1 3 3
3 (2)
2
6
2 sin 3 cos
sin 3cos sin 3 cos
0
d x x
x x
K I dx
x x
x x x x
Từ (1) và (2) suy ra
3 1
.
6
I
Bài 3. Tính tích phân
1002
100 100
0
sin
.
sin os
x
I dx
x c x
Lời giải:
Xét tích phân
1002
100 100
0
os
sin os
c x
K dx
x c x
Đặt
2
x t dx dt
. Khi
0 ; 0.
2 2
x t x t
Vậy
100
0
100 100
2 2
100 100 100 100
100 100
0 0
2
sin
sin sin
2
.
sin os sin os
sin os
2 2
t
x t
I dx dt dt K
x c x t c t
t c t
Mặt khác ta có
2
0
.
2
2
0
I K dx x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
526
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy
.
4
I K
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính tích phân
2
3
0
sin
.
sin cos
xdx
I
x x
Bài 2. Tính tích phân
2
0
sin
.
sin cos
x
I dx
x x
Bài 3. Tính tích phân
23
0
os
.
sin 3 cos
c dx
I
x x
Bài 4. Tính tích phân
32
0
sin
.
sin cos
x
I dx
x x
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ KHÔNG LÀM THAY ĐỔI CẬN
Dưới đây xin trình bày kỹ thuật đổi biến số không làm thay đổi cận tích phân với một
số bài toán tích phân hàm lượng giác cũng như tích phân các hàm số khác khi mà ta khó áp
dụng cách tính tích phân thông thường.
Đảm bảo khi đọc phương pháp này các bạn sẽ không cần phải để ý tới các dạng tích
phân đặc biệt!
Xét tích phân
( ) .
b
a
I f x dx
Khi đó ta sẽ đổi biến số bằng cách đặt
x a b t
thì ta có
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
527
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
dx dt
x a t b
x b t a
Lúc này cận mới của tích phân là
( ) ( )
a b
b a
f a b t dt f a b t dt
Vẫn là từ
a
đến
b
không thay đổi.
BÀI TẬP MẪU
Ta xét bài toán quen thuộc sau
Tính tích phân
4
0
ln 1 tan (1)
I x dx
Thông thường ta nghĩ đến các hướng
Hướng 1.
4 4 4 4
0 0 0 0
sin
ln 1 tan ln 1 ln sin cos ln cos .
cos
x
I x dx dx x x dx x dx
x
Hướng 2. Dùng tích phân từng phần
2
1
ln 1 tan
os 1 tan
du dx
u x
c x x
dv dx
v x
Suy ra
4
2
0
ln 1 tan
4
os 1 tan
0
xdx
I x x
c x x
Cả hai hướng này nhận thấy khó hiệu quả.
Ta giải quyết bài toán này bằng cách đổi biến số không làm thay đổi cận như sau
Lời giải:
Đặt 0
4 4
x t t dx dt
. Khi
0 ; 0.
4 4
x t x t
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
528
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Vậy
0
4 4
0 0
4
1 tan
ln 1 tan ln 1 tan ln 1
4 1 tan
t
I x dx t dt dt
t
4 4 4
0 0 0
2
ln ln 2 ln 1 tan ln 2 2 ln 2 ln 2.
1 tan 4 4 8
dt dt t dt I I I
t
Rất đơn giản phải không nào!
Nhưng từ hướng 2 và cách giải này ta có bài toán tương đối hay sau
+ Tính tích phân
4
2
0
(*)
os 1 tan
xdx
I
c x x
Và một bài được suy ra từ (1)
Tính tích phân
1
2
0
ln 1
1
x
I dx
x
. Nếu đặt
tan
x t
thì đưa về tích phân (1)
Các bạn thử giải quyết bài toán sau:
Liệu tính được tích phân
1
2
0
ln 1
1
ax
I dx
x
, với a là số thực không âm.
Các bạn thử nghĩ cách giải quyết bài toán (*) khi không dùng các kết quả trên nhé! Một bài tập
phải không nào!
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO CÓ DẠNG TƯƠNG TỰ TRÊN
Sưu tập trên http://ezine.math.vn
1.1.
0
ln cos , , ;
a b x dx a b a b
.
1.2.
2
2
cos
2 sin
x x
I dx
x
.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
529
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.3.
0
sin 2
os2 8cos 9
x x
I dx
c x x
.
1.4.
2
2
0
2 2 ln 2
I x x x dx
.
1.5.
2
3
1
ln 3
4 2
x
I dx
x x
.
Sau đây trình bày một số ví dụ minh họa phương pháp này:
Bài 1. Tính tích phân
2
0
sin
.
os 4
x x
I dx
c x
Lời giải:
Đặt
x t dx dt
.
Khi
0 ; 0.
x t x t
Vậy
0
2 2 2 2
0 0 0
sin sin
sin sin
os 4 os 4 os 4 os 4
t t t t
t t t
I dt dt dt dt
c t c t c t c t
2 2 2
0 0 0
sin sin sin
os 4 os 4 os 4
x x x x
dx dx dx I
c x c x c x
2 2
0 0
cos
sin cos 2
ln ln3.
02 os 4 2 os 4 8 cos 2 4
d x
x x
I dx
c x c x x
Bài 2. Tính tích phân
32
0
sin
.
sin cos
x
I dx
x x
Lời giải:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
530
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Đặt
; 0 ; 0.
2 2 2
x t dx dt x t x t
Vậy
3
0
3 3
2 2
0 0
2
sin
os os
2
.
sin cos sin cos
sin os
2 2
t
c t c x
I dt dt dx K
t t x x
t c t
Lại có
3 3
2 2 2 2
0 0 0 0
sin os 1 1 1
1 sin cos sin 2 os2
2
sin cos 2 4 2
0
x c x
I K dx x x dx dx xdx x c x
x x
Từ đó suy ra
1
.
4
I K
Bài 3. Tính tích phân
6 6
4
4
sin os
.
6 1
x
x c x
I dx
Lời giải:
Đặt
; ; .
4 4 4 4
x t dx dt x t x t
Vậy
6 6 6 6
6 6
4 4 4
4 4 4
6 sin os 6 sin os
sin os
6 1 6 1 6 1
t x
t t x
t c t x c x
t c t
I dt dt dx
6 6
4 4
6 6
4 4
6 1 1 sin os
sin os
6 1
x
x
x c x
dx x c x dx I
4 4
6 6 2
4 4
1 1 3 5
sin os 1 sin 2 .
2 2 4 32
I x c x dx x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
531
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 4. Tính tích phân
1
2 4 2
1
1 3 1
dx
I
x x x x
.
Lời giải:
Ta có
2 4 2
1 1 1
2 4 2
2
2 2
2 4 2
1 1 1
1 3 1
1 3 1
2 1 2 1
1 3 1
x x x x
x x x x
I dx dx dx
x x x x
x x x x
Xét tích phân
1 1
2
2 2
1 1
1
1 1 1 1
4
ln arctan
1
2 2 4
2 1 2 1
4
x x
M dx dx x t
x
x x x
.
1
4 2
2
1
3 1
2 1
x x
N dx
x x
, đặt
; 1 1; 1 1
x t dx dt x t x t
.
Khi đó
4 2
1 1
4 2
2 2
1 1
3 1
3 1
0
2 1
2 1
t t
t t
N dt dt N N
t t
t t
.
Vậy
4
I M N
.
Bài 5. Cho
( )
f x
là hàm số lien tục trên đoạn
; , 0
a a a
thỏa mãn
( ) ( ) 2 2cos2
f x f x x
. Tính tích phân
3
2
3
2
( )
I f x dx
Lời giải:
Đặt
3 3
; ; 0 0
2 2
t x dt dx x t x t
Suy ra
3 3
0 0
2 2
3 3
0 0
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
f x dx f t dt f t dt f x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
532
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3 3 3 3
0
2 2 2 2
3 3
0 0 0
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2cos2
f x dx f x dx f x dx f x f x dx xdx
3 3
2 2
0 0
2 sin 2 sin sin 6
xdx xdx xdx
Bài 6. Tính tích phân
2012 22
2012 2012
0
sin os
1 sin os
x c x
I dx
x c x
Lời giải:
Đặt
2
x t
, tương tự trên ta suy ra
2012 22
2012 2012
0
os sin
1 sin os
c x x
I dx
x c x
Từ đó ta có
2012 2012 2 22 2
2012 2012
0 0
sin os sin os
2
1 sin os 2 4
x c x x c x
I I dx dx I
x c x
Bài 7. Tính tích phân
2
0
sin sin 2
I x xdx
Lời giải:
Đặt
2
t x
khi đó
2
0
cos sin 2
I x xdx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
533
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Suy ra
2 2
2
0 0
2 sin cos sin 2 sin cos 1 sin cos
I x x xdx x x x x dx
Đặt
sin cos cos sin
t x x dt x x dx
Khi đó
1
2
1
1
1
2 4
I t dt
.
Bài 8. Tính tích phân
2
3
0
3 cos 4sin sin 4
1 sin
x x x x
I dx
x
Lời giải:
Đặt
t x
2 2
3 3
0 0
3 cos 4sin sin 4 3 cos 4sin sin 4
1 sin 1 sin
x x x x x x x
I dx dx
x x
Do đó
2
2
3 3
0 0
3 cos 4sin sin 4
6 .cos .sin
2
1 sin 1 sin
x x x
x x x
I dx dx
x x
2 2
3
3
0 0
6 3 cos .sin
4 1 sin
1 sin
x x x
dx xdx
x
Ta có
2 2
2 3
3
0 0
6 3 cos .sin
2 2 1 sin
1 sin
x x x
dx x d x
x
2 3 3
0
2 2 1 sin 4 1 sin
0
x x xdx
Suy ra
2 3 2
2 1 sin 2
0
I x x
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
534
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 1. Tính tích phân
2
0
ln tan .
I x dx
Bài 2. Tính tích phân
2
0
sin
.
9 4cos
x xdx
I
x
Bài 3. Tính tích phân
2
1 1
0
sin cos
.
sin os
n
n n
x x
I dx
x c x
Bài 4. Tính tích phân
42
0
sin
.
sin cos
xdx
I
x x
Bài 5. Tính tích phân
8
8
.
1 os2
x
dx
I
e c x
Bài 6. Tính tích phân
4 2
2
2
sin 1 os
.
1
x
x c x
I dx
e
Bài 7. Tính tích phân
3
6
tan cot .
I x x x dx
Bài 8. Tính tích phân
2
0
sin
.
os 1
x x
I dx
c x
Bài 9. Tính tích phân
2
0
sin cos .
I x x dx
Bài 10. Tính tích phân
2
3
3 3
0
sin
.
sin cos
x
I dx
x x
Bài 11. Tính tích phân
2
3
0
sin
.
sin cos
x
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
535
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 12. Tính tích phân
2
2
2
cos .ln 1 .
I x x x dx
Bài 13. Tính tích phân
2
0
ln sin .
I x dx
Bài 14. Tính tích phân
2
2
2
0
1
tan cos .
os sin
I x dx
c x
Bài 15.Tính tích phân
1 cos
2
0
1 sin
ln .
1 cos
x
x
I dx
x
Bài 16.Tính tích phân
1
2
0
ln 1
.
1
x
I dx
x
Bài 17. Tính tích phân
2
0
.
1 tan
dx
I
x
Bài 18. Tính tích phân
2
2 2
2011 2011
0
os cos sin sin
I c x x dx
.
Bài 19. Tính tích phân
2
2
2
cos
1 1
x
I dx
x x
Bài 20. Tính tích phân
3
0
ln 1 3 tan
I x dx
Bài 21. Tính tích phân
2
0
sin 2012 sin
I x x dx
Bài 22. Tính tích phân
1
2
1
2
ln
2
x
I x dx
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
536
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 23. Tính tích phân
3
2
0
cos cos sin
1 cos
x x x x
I dx
x
Bài 24. Tính tích phân
4
2
ln 9
ln 9 ln 3
x dx
I
x x
( The Putnam Mathematica Competition
1997).
Bài 25. Tính tích phân
1
2
4 2
1
1
1 1
x
x
I dx
x x e
Bài 26. Tính tích phân
sin
1 2 sin
x
nx
I dx
x
Bài 27. Tính tích phân
2012
2012 2012
0
sin
sin cos
x x
I dx
x x
Bài 28. Tính tích phân
1
0
1
1
x
I dx
x x
ĐỔI BIẾN SỐ DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC HÓA
Khi gặp một số bài toán mà biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn thức, ta thường đổi biến
số dưới dạng lượng giác như sau.
+ Nếu có chứa
2 2
a x
thì đặt
asin
x t
hoặc
cos
x a t
.
+ Nếu có chứa
2 2
x a
thì đặt
cos
a
x
t
hoặc
sin
a
x
t
.
+ Nếu có chứa
2 2
x a
hoặc
2 2
x a
thì đặt
a tan
x t
.
+ Nếu có chứa
x a
a x
thì đặt
cos2
x a t
.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
537
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
+ Nếu có chứa
x a b x
thì đặt
2
sin
x a b a t
.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Tính tích phân
2
2
0
4 .
I x dx
Lời giải:
Đặt
2sin , ; 2cos
2 2
x t t dx tdt
.
Khi
0 0; 2 .
2
x t x t
Vậy
2 2 2
2 2
0 0 0
1
4 4sin .2cos 4 cos 2 1 os2 2 sin 2 .
2
2
0
I t tdt tdt c t dt t t
Bài 2. Tính tích phân
1
2 2
0
.
4 4
dx
I dx
x x
Lời giải:
Đặt
2sin 2cos
x t dx tdt
.
Khi
0 0; 1 .
6
x t x t
Vậy
6 6 6 6
2
2 2 2 2
0 0 0 0
2cos 2cos 1 1 1
tan tan .
6
4cos 4 4
4 3
4 4sin 4 4sin 4cos 4 os
0
tdt tdt dt
I d t t
t
t t t c t
Bài 3. Tính tích phân
1
2 2
0
1 .
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
538
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Lời giải:
Đặt
sin cos
x t dx tdt
. Khi
0 0; 1 .
2
x t x t
Vậy
2 2 2 2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1
sin 1 sin cos sin cos sin 2 1 os4
4 8
I t t tdt t tdt tdt c t dt
1 1
sin 4 .
2
8 4 16
0
t t
Bài 4. Tính tích phân
1
2
2
3
2
0
.
1
x dx
I
x
Lời giải:
Đặt
sin , ; cos
2 2
x t t dx tdt
. Khi
1
0 0; .
2 6
x t x t
Vậy
2 26 6 6 6
2 2 3
4 2
3
2
0 0 0 0
sin cos sin 1 1
tan tan tan tan .
6
os os 3
9 3
1 sin
0
t tdt tdt dt
I t td t t
c t c t
t
Bài 5. Tính tích phân
1
3 2
0
1 .
I x x dx
Lời giải:
Đặt
2
tan , 0;
2 os
dt
x t t dx
c t
Khi
0 0; 1 .
4
x t x t
Vậy
3 34 4 4
3 2
2 3 6
0 0 0
tan sin
tan 1 tan
os os os
dt t t
I t t dt dt
c t c t c t
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
539
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
4
6 5 3
0
1 os 1 1 2
cos 1 2 .
4
os 5 os 3cos 15
0
c t
d t
c t c t t
Bài 6. Tính tích phân
5
2
0
5
.
5
x
I dx
x
Lời giải:
Đặt
5cos2 , 0; 10sin 2
2
x t t dx tdt
.
Khi
5
0 ; .
4 2 6
x t x t
Vậy
6 6
2
4 4
5 1 os2
10 sin 2 20 os
5 1 os2
c t
I tdt c tdt
c t
6
4
1 5 5
6
10 1 os2 10 sin 2 2 3 .
2 6 2
4
c t dt t t
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tính tích phân
1
4 2
0
1 .
I x x dx
Bài 2. Tính tích phân
2
3 2
1
4 .
I x x dx
Bài 3. Tính tích phân
1
3
0
2
.
2
x
I x dx
x
Bài 4. Tính tích phân
1
2
0
1 .
I x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
540
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 5. Tính tích phân
1
2
2 2
0
.
1 1
x dx
I
x x
Bài 6. Tính tích phân
1
2
0
.
1
dx
I
x
Bài 7. Tính tích phân
0
2
1
2 2 .
I x x dx
Bài 8. Tính tích phân
5
2
1
8
1
3
1
.
x
I dx
x
Bài 9. Tính tích phân
1
2
0
1
.
1
x
I dx
x
Bài 10. Tính tích phân
2
2
2
.
1
dx
I
x x
Bài 11. Tính tích phân
8
2
4
16
.
x
I dx
x
Bài 12.Tính tích phân
1
3
3
2
0
.
1
x
I dx
x
Bài 13. Tính tích phân
1
2
0
2 2 .
I x x x dx
BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY
+ Diện tích hình phẳng
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
( ), 0
,
y f x y
x a x b
Khi đó diện tích hình phẳng là :
( )
b
a
S f x dx
.
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
541
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường
( ), ( )
,
y f x y g x
x a x b
Khi đó diện tích hình phẳng là:
( ) ( ) .
b
a
S f x g x dx
Khi đề bài chưa cho ,
x a x b
thì khi đó ,
x a x b
được tìm ra từ nghiệm của phương trình
( ) ( ).
f x g x
+ Thể tích vật thể giới hạn bởi các đường
( ), 0
,
y f x y
x a x b
khi quay quanh trục hoành
Ox
.
2
( ) .
b
x
a
V f x dx
+ Thể tích vật thể giới hạn bởi các đường
( ), ( )
,
y f x y g x
x a x b
khi quay quanh trục hoành
Ox
.
2 2
( ) ( ) .
b
x
a
V f x g x dx
BÀI TẬP MẪU
Bài 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
1
y e x
và
1 .
x
y e x
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình
1 1 0 0
x x
e x e x x e e x
và
1.
x
Vậy diện tích cần tính là
1 1 1 1 1
2
0 0 0 0 0
1
02
x x x x
x
S x e e dx x e e dx e xdx xe dx e xd e
1
0
1 1
1(dvdt).
0 02 2 2
x x x
e e e
xe e dx e e
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
542
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
ln
y x x
với trục hoành và đường
thẳng
.
x e
Lời giải:
Giao điểm của đường cong
ln
y x x
với trục hoành là nghiệm của phương trình
ln 0 ln 0 1.
x x x x
( do điều kiện
0).
x
Vậy diện tích cần tính là
1
ln
e
S x xdx
Đặt
2
ln
1
2
dx
du
u x
x
dv xdx
v x
Vậy
2 2
2 2
1
1 1 1 1
ln .
1 1
2 2 2 4 4 4
e
e e
e e
S x x xdx x
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
2
4
y x
và
2
1
.
3
y x
Lời giải:
Hoành độ giao điểm của hai dường cong là nghiệm của phương trình
2 2 2 2 2 4 2 2
1
4 3 4 9 4 3 12 0 3.
3
x x x x x x x x x vậy
diện tích cần tính là
3 3 3
2 2 2 2 3 2
3 3 3
3
1 1 1 2 3
4 4 4 .
3 3 9 3
3
S x x dx x x dx x x dx I
+
Tính
3
2
3
4
I x dx
.
Đặt
2sin , ; 2cos .
2 2
x t t dx tdt
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
543
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Khi
3 ; 3 .
3 3
x t x t
Vậy
3 3 3
2 2
3 3 3
1 4
3
2 4 4sin cos 4 cos 2 1 os2 2 sin 2 3
2 3
3
I t tdt tdt c t dt t t
vậy
4 3
.
3 3
S
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bà 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
2
2
x
y x e
và
3
.
x
y x e
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
2
8 16
y x
và
2
24 48.
y x
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
ln
y x x
với trục hoành và đường
thẳng
.
x e
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
2 3
y x
và
3
2
2
y x
.
Bài 5.Xác định số dương a sao cho diện tích hình phẳng giớ hạn bởi hai đường cong
2 2
4
2 3
1
x ax a
y
a
và
2
4
1
a ax
y
a
là lớn nhất.
Bài 6.Tính thể tích giới hạn bởi đường cong
1
x
y x e
và đường thẳng
x e
khi quay quanh
trục hoành.
Bài 7.Tính thể tích giới hạn bởi đường cong
6 6
sin os
y x c x
và hai đường thẳng
0
x
và
2
x
khi quay quanh trục hoành.
Bài 8.Tính thể tích giới hạn bởi hai đường cong
2
4
y x
và
2
2
y x
khi quay quanh trục
hoành.
Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
544
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
; 0; 0;
1 sin
x
y y x x
x
.
Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường sau:
Elip
2
2
: 1
4
x
E y
; đường thẳng
: 2 3 4 0
d x y
và trục hoành.
Bài 11. Cho
H
là hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
log
xe
y x
, trục
Ox
và đường thẳng có
phương trình
x e
. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi
H
quay quanh
Ox
.
Bài 12. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
1
x
x
xe
y
e
, trục hoành và đường thẳng
1
x
quay quanh trục hoành.
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 ; 2 ;
2
y xsin x y x x
Bài 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
3 1
x
x
y e
; trục
Ox
và hai đường
thẳng
0; 1
x x
.
Bài 15. Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi hình phẳng
H
quay quanh
Ox
. Biết
H
giới hạn
bởi
,
Ox Oy
và đồ thị hàm số
1
x x
y
e e
và đường thằng
1
x
.
Bài 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong
2
ln 2
4
x x
y
x
và trục hoành.
Bài 17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
1
y x
và đường thẳng thẳng
5
y x
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2
4 3
y x x
và đường thẳng
3
y x
.
Bài 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
2
4
4
x
y và
2
4 2
x
y
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
545
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 20. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số
ln
e
y x
x
, trục hoành và đường thẳng
1
x
.
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP
1.1.
2
1
2
0
2 2
4 4
x
x x e
I dx
x x
Đáp số:
3
e
I
; dùng phương pháp tích phân từng phân.
1.2.
1
4 2
1
3
ln 3 2ln
I x x x dx
Đáp số:
4ln 2 ln3 4 3
3 3 9
I
; dùng phương pháp tích phân từng phân kết hợp đổi
biến số.
1.3.
2
2
1
1
1
x
I dx
x x
1.4.
1
2
0
1 2 1
dx
I
x x x
Đặt
2
2 1
t x x
hoặc đặt
1
1x
t
1.5.
2
4
2
0
sin cos
x
I dx
x x x
1.6.
1
2
2
2
0
2012
2012
x
I dx
x
1.7.
2
2
0
1 .min 3 ,4
x
I x x dx
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
546
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.8.
2
2
0
os2 cos 2
1 cos cos os
c x x
I dx
x x c x
Viết lại
2
2
0
1 cos cos os
I x x c x dx
.
1.9.
2
2
4
1 cos 1 tan tan sin tan sin
2
tan sin
x
x x x x x
I dx
x x
Viết lại
2
4
2 os2 cos . os 2sin
sin 2
2
ln sin 2 sin 2sin ln
sin 2 sin 2sin
1 sin 2
4
c x x c x
I dx x x
x x
1.10.
3
2
3
.sin
os
x x
I dx
c x
.
1.11.
2
1
1 1 ln
1
x
e
x
x e x
I dx
e
1.12.
6
2
12
sin cos sin cos 1
sin cos sin cos
x x x x x
I dx
x x x x x x
Viết
6
' '
12
ln sin ln os
I x x c x x dx
1.13.
4
3
1 tan
ln cos
tan ln sin
x
I dx
x
x x
1.14.
1
5
0
7 1
1
x
I dx
x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
547
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Viết lại
1 1
5 5
0 0
2
1 1 1
6 7 1
1 1
. 7 1
7 1 7 1
dx x
I d
x
x x
x
x x
1.15.
2
2 2
1
1
2 2 1
x
I dx
x x x
Viết lại
2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 2
1 1 1
2 1
2 2 1
2 2 2 1
2 2 1
2 2 1
2 2 1
x x
x x
x x x x
x x
x x
I dx dx d
x x
x x x
1.16.
36
3 3
0
os
sin os
c x
I dx
x c x
1.17.
3
4
tan
I xdx
Đặt
tan
t x
1.18.
1
2
0
ln 1
1
x
I dx
x
Đặt
tan
x t
1.19.
2
3
4
1
cos sin 1 1
sin
I x x dx
x
1.20.
2 2
2
1
1 1 ln
1
e
x x x
I dx
x x
1.21.
4
0
sin sin
1
x x x x x
I dx
x
1.22.
2
3
1
ln ln
ln 1
e
x x
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
548
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.23.
2 2
5
2
2 2
1
ln ln 15
15 15
x x
I dx
x x x
Viết tích phân dưới dạng:
5
2
2
3
1
2
2
15ln
2
15
15
15 1
15
x
x
I dx
x
x
x
Đặt
2 3
2
15
15
15
x dx
t dt
x
x
1.24.
sin 2sin 2 sin
2 2sin
2
cos
x x x
x
e e x x x e
I dx
x e
1.25.
4
0
tan
3 os2
x
I dx
c x
1.26.
2
2
1
2 1 ln ln
1 ln
e
x x x x
I dx
x x
1.27.
2
2
2
2
1
2 1
2
x x
x
xe x e
I dx
x xe
1.28.
2
1
1 sin ln os ln
e
x x xc x
I dx
x
1.29.
4
3
4 4
4
cos
3 3
os sin 1
2 2
x x
I dx
c x x
1.30.
2
2
1
2 1 ln ln
1 ln
e
x x x x
I
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
549
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.31.
2 2
2
2
4
os 2 os2
sin cos
c x x c x
I dx
x x x
1.32.
4
2
0
ln sin cos
os
x x
I dx
c x
1.33.
4
0
tan ln cos
cos
x x
I dx
x
1.34.
4
0
cos 2 sin 2
dx
I
x x
1.35.
2 2
2
2
6
sin cos sin 2
sin sin
x x x x x
I dx
x x x
1.36.
2
2
0
16 4
sin cos
x
I dx
x x
1.37.
2 2
2
2
4ln 1 2 1 ln 4 ln
ln ln
e
x x x x x x
I dx
x x x x
1.38.
2 4
2
2
4
os2 sin 2 os
sin cos
x c x x x c x
I dx
x x x
1.39.
2
4
sin
4
2sin cos 3
x
I dx
x x
1.40.
3
2
4
2
cot cot
x
x x
I dx
e
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
550
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.41.
2
1
2 1 2 1
1
x
x
x xe
I dx
x xe
1.42.
2
1
2 1
0
2 1
x x
I x x e dx
1.43.
2
4
0
cos
sin cos
x
I dx
x x
1.44.
2
4
0
cos sin
cos
x x
I dx
x
1.45.
2
2
0
1 sin2
1 sin 2
x
I dx
x
1.46.
2
0
sin cos
1 cos 1 sin
x x
I dx
x x
1.47.
2
4
sin
.cos
sin
x x
I x dx
x x
1.48.
2
4
sin cos 2 sin cos sin cos
dx
I
x x x x x x
1.49.
2 1
2
2
0
1 1
ln
1 1
x x
I dx
x x
1.50.
6
0
sin cos
ln 2 sin 2
1 sin 2
x x
I x dx
x
1.51.
1
3
0
1 2 1 2
x x
x x
x e x e
I dx
e e
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
551
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.52.
23
2
4
1 tan tan os
x
I dx
x x x x c x
1.53.
2 2 2 2
1
2 2
0
1 cosln 1 1 sinln 1
1 1
x x x x x x x
I dx
x x
1.54.
1
2
2 2 4 2
1
2
2 1 1 2 1 1 1
x
I dx
x x x x x x x x
1.55.
3
8
8
11 4cos2 os4
1 os4
x c x
I dx
c x
1.56.
1
2
2
0
sin sin2 1
sin 1
x
x x
I dx
e x
1.57.
2
0
sin cos 1
sin
x
x x x
I dx
x e x
1.58.
3
4
sin cos 3 sin cos os2
sin 2
x x x x c x
I dx
x
1.59.
2
0
5 sin 2 3sin 5cos
sin cos 2
x x x
I dx
x x
1.60.
2
2
1
2
x
x
e x
I dx
x x e
1.61.
2 2 2 2
2
1
2 2 2
0
2 2 1
1
x x x x
x
x e x e xe e
I dx
xe
1.62.
1
2 ln 1
2 ln 1
e
x
x
xe x x x
I dx
x e x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
552
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.63.
2
2
1
1 1
1 ln 1 ln
e
I x x x dx
x x
1.64.
2 2
1
1 1 1 ln
1 ln 1
e
x
I dx
x x x x
1.65.
2
3 2
1
1 ln
os ln 1
e
x x x
I c x dx
x x
1.66.
1
20122 2
0
x x x x
I e e e e dx
1.67.
1
2
0
ln 1
x
xa
I dx
x a
1.68.
1
2
0
ln 1
ln 2
x
x
a x a
I dx
a x a
1.69.
1
2011
2013
0
2012
x
I dx
x
1.70.
2
1
3
4
1 ..
n
dx
I
x x x x x x
1.71.
3
2012
2013
2
1
1 1
x
I dx
x x
1.72.
2
0
cos
2 sin cos
x
x
I dx
e x x
1.73.
2
2 3
0
6 sin cos
sin 1
2 6
n
x
x x x
I
x x
e x x
1.74.
2 2
2
2
1
1 ln 1 ln
1 ln
e
x x x
I dx
x x
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
553
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
1.75.
3
4
1
tan
2
tan
2
x
I dx
x
1.76.
1
4 2
4
0
1
1
x x
I dx
x
Đặt
2
tan
x t
1.77.
2
0
sin sin 2
I x xdx
Đặt
2
t x
| 1/106
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 7:
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 448 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng 449 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202
Các bài toán tích phân trong đề thi TSĐH được đánh giá là bài toán quan trọng, luôn xuất hiện
dưới dạng tính tích phân trực tiếp hoặc là xác định diện tích, thể tích giới hạn bởi các đường cong.
Để làm tốt dạng toán này học sinh nên lưu ý nhớ và vận dụng lịnh hoạt công thức các nguyên
hàm cơ bản, cách xác định công thức tính thể tích và diện tích giới hạn bởi các đường cong.
Hai phương pháp cơ bản được sử dụng xuyên suốt cho các bài toán tích phân là đổi biến và tích
phân từng phần( thường là kết hợp cả 2 phương pháp này).
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Khái niệm nguyên hàm của một hàm số:
Hàm số f (x) xác định và liên tục trên khoảng D
Hàm số F (x) được gọi là một nguyên hàm của f (x) nếu F '(x)  f (x), x   D
Và nguyên hàm của f (x) được xác định theo công thức, thực chất đây chỉ là ký hiệu của nguyên hàm của một hàm số: F (x)  f (x)dx
Để tìm nguyên hàm của một hàm số chúng ta dựa vào nguyên hàm của một số hàm cơ bản:
Nguyên hàm của một số hàm cơ bản: 1  x x dx   , c   1   1
dx  ln x cx
cos xdx  sin x c  450 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
sin xdx  cos x c  sin x tan xdx
dx   ln cos x c   cos x cos x cot xdx
dx  ln sin x c   sin x dx 1 x a  ln  c  2 2 x a 2a x a dx 2  ln x
x a c  2 x a
Khái niệm tích phân của một hàm số:
Tích phân của một hàm số f (x) được xác định trên một đoạn a,b là giá trị của F(b)  F(a) và b được ký hiệu là
f (x)dx F (b)  F (a)  a
MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
Dưới đây sẽ trình bày một số bài toán cơ bản nhất của tích phân, cách thức tiến hành là đưa biểu
thức dưới dấu tích phân về dạng f (u)du  . 1 100
Bài 1. Tính tích phân I  2x   1  x   1 dx  0 Lời giải: 1 1 1 1 100 100 101 100
Ta có I  2x   1  x   1 dx   2 x   1   1  x   1
dx  2  x   1
dx   x   1 dx   0 0 0 0 451 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 1 1 1 1 1 152  2  x  101 1 d x   1   x  100 1 d x   1   x  102 1   x  100 1  .   51 0 101 0 5151 0 0 0
Bài 2. Tính tích phân I
x 2x 1dx  1 2 Lời giải: 0 0 2x   0 0 3 1 1 1 1 1 Ta có I
x 2x 1dx  2x 1dx   2x  2 1 dx   2x  2 1 dx     2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 3 1 5 3 1 1 1 1 1  2x  2 1 d 2x   1  2x  2 1 d  2x   1  2x  2 1
   2x   2 1   . 1 1   4 4 10 6 15 1 1 2 2 2 2 1 4 x  5
Bài 3. Tính tích phân I d . xx 1 0 Lời giải: 1 4 1 4 1 x  5 x 1 6  6  Ta có I dx dx   x   1      2 x   1  dx x 1 x 1  x 1     0 0 0 1 1 2   6  1 1 x  1 1 7 3 2
x x x   4 3 1  dx x x   x  6 ln x 1  .    x 1 4 3 2 0 0 12 0 0   dx
Bài 4. Tính tích phân I  . 
x 1  x 1 Lời giải: dx 1 1 3 1 3 Ta có I   
 x 1  x 1 dx   x   1   x   1  . c
x 1  x 1 2 3 3 4 1 x x e
Bài 5. Tính tích phân I   dx  2 4 x x xe 1 452 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: 2 4 4  1 1   1  4  xx 1 1 Ta có I   dx   e dx x e      x      1 4  2 x e   2 x  1 e e 1 1 5 os c x
Bài 6. Tính tích phân I  . dx  1 sin x Lời giải: 3 o c s x  2 5 1 sin os x c x  Ta có 3 I dx dx  o
c s x1  sin xdx    1 sin x 1 sin x 3 3  c xdx c x xdx     2  xd x 3 os os sin 1 sin sin  o
c s xd  cos x  1 1 3 4
 sin x  sin x  o c s x  . c 3 4
4 x sin x   x   1 cos x
Bài 7.Tính tích phân I d . x
x sin x  cos x 0 Lời giải:
4 x sin x   x   4 1 cos x
x sin x  cos x 4 4  x cos x x cos x Ta có I dx dx dx dx    
x sin x  cos x
x sin x  cos x
x sin x  cos x 0 0 0 0
4 d x sin x  cos x  4 2  x 4  
 ln x sin x  cos x 4   ln . 
x sin x  cos x 4 4 8 0 0 0 3 tan x
Bài 8. Tính tích phân I  . dx  os c 2x 453 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: 3 3 3 3 tan x tan x tan x tan x Ta có I dx dx dx d tan x   2 2   2 2 2   o c s2x o
c s x  sin x o
c s x 1 tan x 1 tan x  tan x  tan x
 tan x d tan x
d tan x  tan xd tan x  2     2       1 tan x  1 tan x d   2 1 tan 1 x 1 1 1 2 2 2 
 tan x   ln 1  tan x  tan x  . c  2 2 1 tan x 2 2 2 2
Bài 9. Tính tích phân I  min 
 2x, xd .x 0 Lời giải: Xét 2 x x  0 
x x x   1  0  x  1.
Vậy với  x    2x x 2 0 1 min ,  x . Với  x    2 1 2
min x , x   x. 2 1 2 Vậy I  min 
 2x, xdx  min 
 2x, xdx  min 
 2x, xdx 0 0 1 1 2 1 1 2 2 4 2 1 2 3  x dx xdx xx x  .   3 0 3 1 3 0 1 4
Bài 10. Tính tích phân I
min tan x, xd . x  4 Lời giải: 
Xét hàm số f (x)  tan x x trên đoạn  ; .  4 4    454 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1       
Ta có f '(x)  1  0, x    ;
f (x) là hàm số đồng biến trên đoạn  ; . 2 o c s x  4 4       4 4 
Ta có f (0)  0. Từ đó suy ra     
f (x)  f (0)  0, x  
; 0  tan x x, x  
; 0  min  tan x, x  tan x, x   ;0  4   4   4            
f (x)  f (0)  0, x  0;  tan x  , x x  0;
 min  tan x, x  x, x  0; .  4   4   4        4 0 4 Vậy I
min  tan x, xdx
min  tan x, xdx  min  tan x, xdx    0   4 4 0 0 4 0 2 2 1 sin x 2 2 
tan xdx xdx x 4  dx   ln cos x   ln .    2 cos x 32  32 2 0  0  4 4 4 2
Bài 11. Tính tích phân I x 1 x d . x  0 Lời giải:
Với 0  x  1  1 x  0  1 x  1 . x
Với 1  x  2  1 x  0  1 x x 1. 2 1 2
Vậy I x 1 x dx x 1 xdx xx   1 dx    0 0 1  1 1  1  1 1  2 2 3 3 2  x xx x 1.      2 3  0  3 2  1 2 3 x x
Bài 12. Tính tích phân I dx  . 2 x  3 0 L ời gi ải: 455 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 2 1 3 x x x x Ta c ó I dx dx  2  2 x  3 x  3 0 1 1 2 3 2 x x x x   dx dx  2  2 x  3 x  3 0 1 2 d x xx   2 1 1 1 1 x  3 3 1  1 3 Xét K   dx   1  
dx   dx   dx  2  2 2    2  2 x  3  x  3 x  3  2 x  3 x  3 0 0 0 0 0 1 1 4 3dx  1   ln   2 2 3 x  3 0 dt
Đặt x  3 tan t dx  3
; x  0  t  0; x  1  t . 2 o c s t 6 6 1 4 1 4 3 Khi đó K  1   ln  3 dt  1 ln   . 2 3 2 3 6 0 3 2 x x 1 3
Tương tự : L dx  2  ln 3   . 2 x  3 2 6 1 2
Vậy I K L  1 ln . 3 1 2 x 2 x e  2 x x e
Bài 13. Tính tích phân I d . x  1 2 x e 0 Lời giải: 2 1 2 2 x 1 x   1 2 x x x 2 e  1 1 xe x e x e e dx Ta có 2 I dx dx x dx      1 2 x e 1 2 x e 1 2 x e 0 0 0 0 1 x 1 1 d 1 2 1 e 1 1 1 x 1 1 1 3    x    ln 1  2e   ln  e   x 1 2  ln 3. 3 0 2 1 2e 3 2 0 3 2 2 0 e ln xdx
Bài 14. Tính tích phân I  . 
1 x  2  ln x  2  ln x  456 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: dx
Đặt t  ln x dt
; x  1  t  0; x e t  1 x 1 1 1 tdt
 2  t  2  t  1 Vậy I   t dt      
 2  t  2  t dt
2  t  2  t 2t 2 0 0   0 1 1 1 1 1 4  2  t 3 
2  t3  3   2 3 0 3 0 3 3 n x
Bài 15. Tính tích phân I d , x n    n  * 2 3  x x x 1 x    ...  2! 3! n! Lời giải: 2 3 n 2 3 n1 x x x x x x
Đặt f (x)  1 x    ... 
f ' (x)  1 x    ...   f ( x) n 2! 3! n! n 2! 3!  n   n 1 1 ! 
n! f (x)  f (x)      f x f x n n ( ) ( ) 1  ' vậy n 1 I dx n! 1   dx n! 1 ndx      f (x) f (x) f (x) nn   n  2 3 nx x x
n!x n!ln f (x)  C n!x n!ln 1 x    ...   C n   2! 3! n!   1 dx
Bài 16. Tính tích phân I   . 2 4 2
1 1  x x
x  3x 1 Lời giải:  2 1 x x  4 2 1 1 2 1 4 2  x  3x 1 1 x x x  3x 1 Ta có I dx dx dx     
 1 x x 2   x  3x   2 1 x   2 1 x  2x   2 2 4 2 1 x 1 1 1  457 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  1 2 1 1 x x  1 1    1  1  4 Xét tích phân M dx    d
x   ln x  arctan t     . 2x         2 1 x  2x 2   2 1 x 2 1  4 1 1        4  1 4 2 x  3x 1 N dx
, đặt x  t dx  dt; x 1  t  1  ; x  1   t  1. 2x  2 1 x 1    t
 4  3t 2 1 1 4 2 1 t  3t 1 Khi đó N  dt  
dt  N N  0   . 2 t
  1 t2  2t    2 1 t 1 1 
Vậy I M N  . 4 1 dx
Bài 17. Tính tích phân I   n n n
0 1 x  1  x Lời giải: n 1 dx dx x dx Ta có      1 nx  1 n n 1 1 xn  1  1    1 x 1 x 1 n n   n n 1 x x   n     x  1 1 1 1   1   1 n    1  1 n   1   1 n n 1   1 x dx   1 d 1  1  C  n   n   n   n   x n x   x   x  1   1 n  1 1
Từ đó suy ra I  1   . n   x  0 n 2
Bình luận: ở ví dụ này ta không trực tiếp tính I luôn, bởi phép biến đổi trên không thể thực hiện
với mọi x 0, 
1 nên thong qua nguyên hàm sau đó tính tích phân sau( kỹ thuật giấu cận). 458 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 cos x  sin x
Bài 18. Tính tích phân I dxx e sin x   1 sin x 6 Lời giải: 2 2 cos x  sin x x
e cos x  sin x Ta có I dx dx   x e sin x   1 sin x x e sin x   1 x e sin x 6 6 x x 1
Đặt t e sin x dt e sin x  cos x 6 2 d ; x x   t e ; x   t e 6 2 2   2 2 e e 6 1 t e  2 Vậy I dx ln      ln       t t  1 t 1 1 3 6  2  1 e 6 e 1 e   2 2  2 x  2 2x 2 ln 2 ex 1 xe xe
Bài 19. Tính tích phân I dx  2x x ee 1 0 Lời giải: 2 x  2x x ee   2 ln 2 x x ln 2 ln 2 2 1  2ee 2 x x ee Ta có 2 I dx x dx dx  2 x x   2 ee 1 x x ee 1 0 0 0 3 1 ln 2 ln 2 ln 2 3 2   ln x x x ee 1  2  3 0 0 3 1 xdx
Bài 20. Tính tích phân I   . 0
1 x   1 x 3 2 2 459 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: 1 1 x 1 1 1 Ta có I  . dx d    2 1 1 x    2 1 1 x  2 1 2  2 2 0 0 1 x 0 1 1 x 1 1 x e 2  ln x
Bài 21. Tính tích phân I dx   .  2  ln x  1 Lời giải: e  4 ln x  4 e  
4 ln x 2 4x ln x 2 '     I  1 dx   1 dx    ln x 22   ln x 22    1 1     e  4x   4xe ed x   x  1        ln x  2   ln x  2  1 3 1
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1 100
Bài 1. Tính tích phân I x 1 xdx  0 1 100
Bài 2. Tính tích phân I  2x   1  x   1 dx  0 0 2 100
Bài 3. Tính tích phân I   x   1  x   1 dx  1 0
Bài 4. Tính tích phân I
3x  4 2x 1dx  1 2 0 2
Bài 5. Tính tích phân I   x   1 x 1dx  1 2
Bài 6. Tính tích phân 2 2
I x x 1 dx  0 460 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2
Bài 7. Tính tích phân I   3 o c s x    2 1 sin xdx 0 2
Bài 8. Tính tích phân I max sin x, cos xdx  0
4 2x cos x   x  2sin x
Bài 9. Tính tích phân I dx
x cos x  sin x 0 x 1 xe 2 2 1 xe
Bài 10.Tính tích phân I dx  1 xe 0 ln 2 2 x e  3
Bài 11. Tính tích phân I dxx e  2 x e  3 0 3 x
xe 4  4sin x  cos x  sin 2x
Bài 12. Tính tích phân I dx  1 cos x2 0 2
Bài 13. Tính tích phân I
min  tan x  2sin x,3xd . x2 4 2  x
Bài 14. Tính tích phân x
I max e  cos , x 2  x dx    . 2 0   e 3 ln x 2  ln x
Bài 15. Tính tích phân I dxx 1 xx ln  x  1 1  x 2 2 2   
Bài 16. Tính tích phân I    dx  . x 1 x  2 1    3 2  x
Bài 17. Tính tích phân x 1 I e dx  2 0 x  1 x
Bài 18. Tính tích phân I dx  . 2 4 2 x 1 cos x 1 461 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2011 x
Bài 19. Tính tích phân I dx    x 1005 2 1 ln 5 dx
Bài 20. Tính tích phân I   .  x x ln 2 10e   1 e 1 0 dx
Bài 21. Tính tích phân I   . 1 1 
x x   1  2 4 dx
Bài 22. Tính tích phân I   . 2 2
cos 2 x  sin x
sin x  sin x  cos 2x  4 4 2 cos x
Bài 23. Tính tích phân I dx  .  3 
sin x sin x    6  4  2 dx
Bài 24. Tính tích phân I   . x  2012 x 1 1  3ln 2 dx
Bài 25. Tính tích phân I    xe  2 3 0 1 ln 3 2 x e dx
Bài 26. Tính tích phân I   x x ln 2 e 1 e  2 3 2 2x x 1
Bài 27. Tính tích phân I dxx  1 0 5
Bài 28. Tính tích phân I   x  2 x 1  x  2 x 1dx 1 2 1
Bài 29. Tính tích phân 2
I  sin x sin x dx  2 6 462 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2
Bài 30. Tính tích phân 10 5 9 I
1 cos x sin x cos xdx  0 1 xdx
Bài 31. Tính tích phân I   2 2 0 x 1 x  1 1 2 x x e
Bài 32. Tính tích phân I dxx 2 x xe e 0 e x  1
Bài 33. Tính tích phân I dxx 1 xxe 0   3 dx
Bài 34. Tính tích phân I   2 98 100
1 x x x 1 3 1 dx
Bài 35. Tính tích phân I   2 x   2 0 1 x 1 x 1 0 sin 4x
Bài 36. Tính tích phân I dx
1 sin x1 cos x   4 2 dx
Bài 37. Tính tích phân I   2 x  2 1 x 1   1
2 sin x 114x cos x  x sin 4x
Bài 38. Tính tích phân I dx  7  2 cos 2x 0 1 2 dx
Bài 39. Tính tích phân I   0 x
1 x 2  x  1 x 1 2 2 x x e  3 x x xe e 1
Bài 40. Tính tích phân I dxx xe  1 0 463 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
 2x   2 2
1 sin x x cos x  sin 2x 1
Bài 41. Tính tích phân I dx
x sin x  cos x 0 3 3 x x  8   3 2 2
3x  5x  ln x
Bài 42. Tính tích phân I dxx 1 2 2 2 
4 sin x  cos 2x  2 cos 2x  2    4
Bài 43. Tính tích phân  I dx  4 4 sin x  cos x 0 5  x   2010 1 x
Bài 44. Tính tích phân I dx   x  2011 2011  2 1 x 0 dx
Bài 45. Tính tích phân I  1 1 1 x dx
Bài 46. Tính nguyên hàm của I    2 2 x a  2 2 x b  2 2 x c
TÍCH PHÂN CÁC HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ * P (x) Xét tích phân I dx
thực hiện phép chia đa thức ta được Q(x) P(x)
I G(x)  dx  trong đó *
P (x),G(x), P(x),Q(x) là các đa thức hệ số thực và bậc của P(x) Q(x)
nhỏ hơn bậc của Q(x) . P(x)
Để tính tích phân các hàm phân thức hữu tỉ ta tiến hành phân tích thành tổng của các hàm Q(x) phân thức đơn giản.
+ Nếu Q(x)   x x
x x ... x x , trong đó x là các nghiệm của đa thức Q(x) thì ta giả sử 1   2   n i phân tích được: 464 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG P( x) A A A 1 2    ... n  . Q(x) x x x x x x 1 2 n k
+ Nếu Q( x)   x x
x x ... x x ... x x
, trong đó x là các nghiệm của đa thức Q(x) 1   2   i   n i
và k là số nghiệm bội x , thì ta giả sử i P(x) A AA A AA 1 2 1 i i 2    ...     ... ik    ... n . Q(x) x x x x x xx x x x x x i  2 k 1 2    ni i
+ Nếu Q(x)   x x  x x ... 2
x px q ... x x , trong đó phương trình 2
x px q  0 1 2   n
vô nghiệm, ta giả sử phân tích được P( x) A A Bx C A 1 2    ...   ... n . 2 Q( x) x x x x
x px q x x 1 2 n k
+ Nếu Q(x)   x x  x x ... 2
x px q ... x x , trong đó phương trình 2
x px q  0 1 2   n  vô nghiệm, ta giả sử phân tích được   P(x) A A B x C B x C B x C A 1 2 1 1 2 2 ...  ... k k          ... n .Sau đó 2 Q(x) x x x x
x px qk 2
x px q2  2  x x 1 2
x px qn  
đồng nhất hai vế của các đẳng thức và so sánh hệ số hai vế ta suy các hệ số cần xác định ở tử
thức mỗi phân thức đơn giản hoặc có thể thay các giá trị đặc biệt của x vào hai vế.
Cách nhớ phân tích là nếu mẫu là tam thức bậc hai thì tử thức có dạng Bx C .
Một số khai triển nhanh( nên nhớ) 1 1
x b   x a 1  1 1    .   .   
x a  x b
a b x a x b
a b x b x a  2 1 1
  x b   x a 2  1  1 1    .     
x a2  x b2 a b2
x a x b  
a b2  x b x a  1  1 1 2 1 1            .
a b2  x a2  x b2 a b x b x a    465 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI TẬP MẪU 3 x 1
Bài 1.Tính tích phân I dx  . 3 2
x  5x  6x Lời giải: 3 2 x 1 5x  6x 1 Ta có  1 và 3 2
x  5x  6x x x  2 x   3 . 3 2 3 2
x  5x  6x
x  5x  6x 2 5x  6x 1 A B C Giả sử    , x  3 2
x  5x  6x x x  2 x  3 2
 5x  6x 1  Ax  2 x  
3  Bxx  
3  Cxx  2 , x  (*) . 1
Thay x  0 vào (*) suy ra 1  6 A A  . 6 9
Thay x  2 vào (*) suy ra 9  2B B   . 2 28
Thay x  3 vào (*) suy ra 28  3C C  . 3  1 9 28  Vậy I  1    dx   6x
2  x 2 3 x 3      1 dx 9 dx 28 dxdx        6 x 2 x  2 3 x  3 1 9 28  x  ln x  ln x  2  ln x  3  . c 6 2 3 2 3x  3x  3
Bài 2. Tính tích phân I dx  .
x  2 x  2 1 Lời giải: 466 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 3x  3x  3 A B C Giả sử    , x
x  2 x  2 1  x  2 1 x 1 x  2
x x   Ax    B x   x    C x  2 2 3 3 3 2 1 2 1 , x  (*)
Thay x  1 vào (*) suy ra 9  3A A  3.
Thay x  2 vào (*) suy ra 9  9C C  1.
Thay x  0 vào (*) suy ra 3  2A  2B C B  2.  3 2 1  Vậy I     dx    x  2 1 x 1 x  2    dx dx dx  3  2      x  2 1 x 1 x  2 3  
 2 ln x 1  ln x  2  . c x 1 1 2 x 1
Bài 3. Tính tích phân I d . x  4 x  1 0 Lời giải: 2 Ta có 4 x    2 x   2  x   2 x x   2 1 1 2
2 1 x x 2   1 . 2 x 1 Ax B Cx D Giả sử   , x  4 2 2 x 1 x x 2 1 x x 2 1 2
x    Ax B  2 x x
   Cx D 2 1 2 1
x x 2   1 , x  467 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2
x    A C  3 x  AB CD 2 1 2 2
x   A B 2  C D 2 x B D, x   2  A   2  A C 0     1  B  
 A 2  B C 2  D  1   2    
A B 2  C D 2  0  2 C  B D 1     2   1 D     2 1  2 2x  2 2 2x  2  Vậy I    dx    2 2 4 x x 2 1 4 x x 2 1      0   1 1 2 2x  2 2 2x  2  dx dx   2 2 4 x x 2 1 4 x x 2 1 0 0 2   1 2 2 2
ln x x 2 1  ln x x 2 1   ln 3  2 2. 4 0 4 2 dx
Bài 4. Tính tích phân I  .  x  3 x 1 1  Lời giải: Ta có x  3
x    xx   2 1
1 x x   1 1 A B Cx D Giả sử    , x  . x  3 x   2 1 x x  1 x x 1   A 3
x    Bx 2 1 1 x x  
1  Cx Dxx   1 , x  (*)
Thay x  0 vào (*) suy ra 1  A A  1. 1
Thay x  1 vào (*) suy ra 1  3B B   . 3
Đồng nhất hệ số của 3 2
x , x ở hai vế ta được 468 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  2 C  
A B C  0   3   
B C D  0 1  D    3 2  1 1 1 2x 1  Vậy I     dx    x 3 x  2 1 3 x x 1     1   2 2 2 dx 1 dx 1 2x 1    dx    2 x 3 x  1 3 x x 1 1 1 1  1 1  2 2 4 2
 ln x  ln x 1  ln x x 1  ln .    3 3  1 3 3
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1 3x 1
Bài 1. Tính tích phân I dx  . x 1 x  2 0    1 3x  1
Bài 2. Tính tích phân I d . x   x  3 0 1 1 2 x  1
Bài 3. Tính tích phân I d . x  4 2 x x 1 0 2 4 x 1
Bài 4. Tính tích phân I d . x  6 x 1 1 2 2 x 10
Bài 5. Tính tích phân I d . x  3 2
x  2x  5x 1 2 dx
Bài 6.Tính tích phân I  .  4 2 x x 1 1 3 3 x
Bài 7. Tính tích phân I d . x  2 x  1 0 4 3 3x
Bài 8. Tính tích phân I d . x  2 x  3x  2 3 469 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 3 x
Bài 9. Tính tích phân I d . x   x  2 1 1 3 dx
Bài 10. Tính tích phân I  .  3 x x 0 2 dx
Bài 11. Tính tích phân I  .  5 3 x x 1 1 dx
Bài 12. Tính tích phân I  .  3 x 1 0 1 5 x
Bài 13. Tính tích phân I d . x  2 x 1 0 1 x
Bài 14. Tính tích phân I d . x  1 2x3 0
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN CÓ MẪU SỐ LÀ ĐA THỨC
Xin đề cập dưới đây các bài toán kèm theo kỹ thuật biến đổi tương ứng với mỗi ví dụ. Những kỹ
thuật biến đổi dưới đây rất tự nhiên và dễ hiểu.Vì vậy khi đọc kỹ các ví dụ này các bạn có thể
nắm bắt được kỹ thuật và áp dụng vào các bài toán tương tự. BÀI TẬP MẪU 2 dx
Bài 1.Tính tích phân I  .  x 1 x  2 0    Lời giải: 2 2 dx
1  x  2   x   2 1 1  1 1  Ta có I   dx   dx     x 1 x  2 3 x 1 x  2
3  x 1 x  2  0    0    0 470 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 2 1  dx dx  1 x 1 2      ln   ln 2.   3 x 1 x  2 3 x  2 0  0 0  3 dx
Bài 2. Tính tích phân I  .  x  3 x  6 x  9 0     Lời giải: 3 3 dx 1
x  9   x  3 Ta có I   dx   x  3 x  6 x  9 6 x  3 x  6 x  9 0     0     3 3 3 1  dx dx
1   x  6   x  3
3  x  9   x  6        dx dx      6 x  3 x  6 x  6 x  9 18 x  3 x  6 x  6 x  9  0    0      0    0     3 1  1 1 1 1  1
x  3 x  9 3 32     dx  ln  ln .   18  x  3 x  6 x  6 x  9  18  x  62 0 27 0 3x  510 1
Bài 3. Tính tích phân I  . dx   x  212 0 Lời giải: 1 3x  510 1 10  3x  5  dx Ta có I dx      x  212
x  2   x  22 0 0 1 10 11 1  3x  5   3x  5  1  3x  5  1  d        11  x  2   x  2  121 x  2  0 0 7x  99 1 1
Bài 4. Tính tích phân I  . dx  2x  101 0 1 Lời giải: 1 7x  99 1 99 1  7x 1  dx Ta có I dx     2x  101 1
 2x 1   2x  2 0 0 1 471 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 99 100 100 1  7x 1   7x 1  1  7x 1  1 2 1  d   .       9  2x 1   2x  1  900  2x 1 0 900 0 dx
Bài 5. Tính tích phân I  . 
x  35  x  53 Lời giải: dx dx 1 1 dx Ta có I    . .   
x  35  x  53 5 5  x  3  8
x  3   x  56  x  2 5    x  5    x  5   x  5  1 1
  x  3   x  5 6   x  3  1 1 x  3  . d
t 1 dt,t  . 7      7  5  6 5 2  x  3 x  5     x  5  2 t x  5    x  5  6 5 4 3 2 1
t  6t 15t  20t 15t  6t 1  dt 7  5 2 t 2 1  t 20 15 2 1  
 6t 15ln t      c . 7  2 3 4  2 2 t 2t t 4t   3 dx
Bài 6. Tính tích phân I  .  3 x  3x 1 Lời giải: 2 x dx dx   2 3 3 3 x  3 1  3 3 1  xdx dx  Ta có I    dx      3     x  3x x  2 x  3 3 x  2 x  3 3 x  3 x 1 1 1  2  1 1  1  1 d  2 3
x  3 3 dx  1  1  3 1 2     
ln x  3  ln x   ln 3.  2  3  2 x 3 x  3  2     1 6 1 1   dx
Bài 7.Tính tích phân I  .  9 5 x  3x Lời giải: 472 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  4 x  3 1  4  x dx dx I   I   dx  9 5   5 x  3x x  4 x  3 5 3 x  4 x  3     4 x  3 1 1 1  4  x dx dx dx         dx   5    3  x x  4 x  3 5  3  x 3 x  4 x  3         d dx dx x dx dx dx  4 3 x  3 1 1 1 1 1            5   4   5   4 3 x 9 x x  3 3 x 9    x 4 x  3    4 1 1 x    ln  c . 4 4 12x 36 x  3 2 x 1
Bài 8. Tính tích phân I  . dx  4 x 1 Lời giải: 1 1  1    d x  2 1 1   2 2 x 1 x xx  Ta có I dx dx dx   4   2  2 x 1 1 2  1   1 x   2 x   2 x   2 x      x   x  2 dt 1 t  2 1 x x 2  1   ln  c  ln  c  . 2 2 t  2 2 2 t  2 2 2 x x 2 1 2 x 1
Bài 9. Tính tích phân I  . dx  4 x 1 Lời giải: 1 1  1    d x  2 1 1   2 2 x 1 x xx  Ta có I dx dx dx   4   2  2 x 1 1 2  1   1 x   2 x   2 x   2 x      x   x  2 dt 1 t 1 x 1 1   arctan  c  arctan
c,t x  .  2t  2 2 2 2 x 2 x 473 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 2 x 1
Bài 10. Tính tích phân I dx  . 4 3 2
x  5x  4x  5x 1 1 Lời giải: 1 2 2 2 1 2 x 1 Ta có x I dx dx  4 3 2 
x  5x  4x  5x 1 5 1 2 1
1 x  5x  4   2 x x 5 5 1 2 1 2 2 2 dt dt 1 xdx   , t x   2  2   1   1 t  5t  6 t  6 t 1 x 1  2 2    x   5 x   6      x   x  5 5 2 1  1 1  1 t  6 1 4   dt  ln   2  ln . 7  t  6 t 1  7 t  1 7 3 2 2
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2 dx
Bài 1.Tính tích phân I  .  x 1 x  3 1    0 dx
Bài 2. Tính tích phân I  .  2x 1 2x  3 1    2 dx
Bài 3.Tính tích phân I  . 
x 1 x 1 x  3 0     3 dx
Bài 4. Tính tích phân .   2 x   1  2 x 1 0  2x  3 1 1
Bài 5. Tính tích phân I  . dx   x  5 0 1 474 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG dx
Bài 6. Tính tích phân I  . 
3x  27 3x  43 dx
Bài 7. Tính tích phân I  .  2x  3 1 3x  4 1 dx
Bài 8. Tính tích phân I  .  3 x  5x dx
Bài 9. Tính tích phân I  .  6 x  9x xdx
Bài 10. Tính tích phân I  .  8 4 x  3x 16 2 x 1
Bài 11. Tính tích phân I  . dx  4 3 2
x  2x 10x  2x 1 1 4 x 1
Bài 12. Tính tích phân I d . x  6 x 1 0 1 dx
Bài 13. Tính tích phân I  .  6 x  1 0 2 4 x  3
Bài 14. Tính tích phân I dxx  8 4 x  3x  2 1  2 4 1 x
Bài 15. Tính tích phân I dxx  4 1 x 1  1 3 x 1
Bài 16. Tính tích phân I dxx  3 x  4 4   1 x 4x  1 2 1 2 x 1
Bài 17. Tính tích phân I dx  4 3 2
x  2x x  2x  1 0 2 2012 1 x
Bài 18. Tính tích phân I dxx  2012 1 x 1 
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ 475 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Dạng tích phân:     p m n I x a bx
dx , trong đó các số , m ,
n p là các số hữu tỉ.
Hướng giải quyết đầu tiên là đặt n
t a bx hoặc    p n t a bx .
Nếu cách đặt thứ nhất không hiệu quả chuyển sang cách đặt ẩn phụ thứ hai. n a bx Đặt k t
, k là số nguyên, thường là k  1 . n x
Dạng toán này rất hay xuất hiện trong đề thi tuyển sinh đại học. r r 1 i  
Dạng tích phân: q q 1
I R x, x ,..., i x dx  
, trong đó r , q là các số nguyên dương.   i i  
Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số q , q ,..., q giả sử là k . 1 2 i Khi đó ta đặt k x t . m r   n sax b   ax b ax b
Dạng tích phân: I R  , x ,..., dx        ta đặt t  .   cx d   cx d   cx d   BÀI TẬP MẪU 3 3 xdx
Bài 1.Tính tích phân I  .  3 2 0 1 x Lời giải: 3 2 Đặt 3 2 2 3 2 2 t
x t   x x   2
t    xdx t 2 1 1 1 2 6 t   1 dt
Khi x  0  t  1; khi x  3 3  t  2 . 3t t  2 2 3 3 2 2 1 dt xdx 2 Vậy I    3    2t   1 dt 3 2 t 0 1 1 1 x 2    3 3 2 38 4 2 t  2t   5 3 1 dt
t  2t  3t  .    5  1 5 1 476 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4 dx
Bài 2.Tính tích phân I  .  2 7 x x  9 Lời giải: Đặt 2 2 2 t
x  9  x  9  t  2xdx  2tdt Khi x
7  t  4; khi x  4  t  5. 4 4 5 5 dx xdx tdt dt 1 t  3 5 1 7 Vậy I      ln  ln .     x x  9 x x  9 t t  9 t  9 6 t  3 4 6 4 7 7  2 2 2 2 4  2 4 7 3 x
Bài 3. Tính tích phân I d . x  3 2 0 x 1 Lời giải: Đặt 3 2 2 3 2 t
x 1  x t 1  2xdx  3t dt .
Khi x  0  t  1; khi x  7  t  2. 3 2  3t   2 7 7 2 1 . 3 t dt x x xdx Vậy I dx      3 2 3 2 2 t 0 x 1 0 x 1 1 2 3   3  1 1  2 93 4 t t  5 2 dt t t  .   2 2  5 2  1 10 1 1
Bài 4.Tính tích phân 3 2 I x 1 x d . x  0 Lời giải: Đặt 2 2 2
t  1 x x  1 t  2xdx  2  tdt.
Khi x  0  t  1; khi x  1  t  0. 1 0 1  1 1  1 2 Vậy 3 2 I x 1 x dx     2 1 t  2 t dt   2 4 t t  3 5 dt t t  .    3 5  0 15 0 1 0 477 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3 dx
Bài 5. Tính tích phân I  .  1 x 3 2 3 2 Lời giải: Phân tích: Việc đặt 2
t  1 x lúc này tỏ ra không hiệu quả, ta chuyển hướng sang cách đặt thứ hai. 2 1 x 1 2  tdt Đặt 2 t   x   2xdx  . 2 x t 1  2t  2 1 3 2 3 Khi x
t  3; x  3  t  . 2 3 3 3 dx xdx Vậy I     1 x 3 2 2 2 3 3 1 x 1 x 4 x . . 2 2 2 x x 3 3 3 tdt dt 1 1      .   2 2 3 t  2 2 1 2 t t 2 3 2 3 2 3 1 . .t .t 3 t  2 2 3 3 1 3 3 dx
Bài 6. Tính tích phân I  .  3 3 3 1 x 2  x Lời giải: 3 3 3 2 2  x 2  x 2 6t dt Đặt 3 3 2 t   t   x   3x dx  . 3 3 x x t 1  3t  2 1 Khi 3
x  1  t  1; x  3  t  1. 3 3 3 3 2 1 2 1 2 dx x dx 1 2  t dt 1 t 1  Vậy I    .   tdt    0.    2  3 3 3 x 2  x 2  x  2 2 4 1  6  3 1 1 1 t  2 3 3 1 1 x . .t  3  xt 1  478 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4 dx
Bài 7. Tính tích phân I  .  1 x 1 x Lời giải: Đặt 2 t
x x t dx  2tdt.
Khi x  1  t  1; x  4  t  2. 4 2 2 2 dx 2tdt dt  1 1  t 2 4 Vậy I    2  2  dt  2 ln  2 ln .      x 1 x  2 t t 1 t t  1  t t 1 t 1 1 3 1 1   1   1 dx
Bài 8. Tính tích phân I  .  4 2 x 1 x Lời giải: 2 2 1 x 1 x 1 2tdt Đặt 2 2 t   t   x   2 xdx   . 2 2 x x t 1  2t  2 1 3 dx xdx 1 tdt t Vậy I    .      2 1  t dt    t  . c 3 2  4 2 2 x 1 x 1 x  1   2 3 6 t   1 x . .t  2  xt 1  1 x 3 2 2 1 x     . c 3 3x x 1  dx
Bài 9. Tính tích phân I  .  
x  4   x  43 3 Lời giải: Đặt 2 t
x  4  t x  4  2tdt d . x Khi x  3
  t  1; x  1   t  3. 1 3 3 dx 2tdt dt 3  Vậy I    2  2 arctan t  2   .   3  2       
x  4   x  43 t t 1 t 1 3 4 6 3 1 1 479 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2  x 1
Bài 10. Tính tích phân 3 I  . . dx
2  x 2  x2 Lời giải: 2 2  x 2  x 4 12t dt Đặt 3 3 t   t   x   2  dx  . 3 2  x 2  x 1 t  3 1 t 2  1 2 1  t x 2 3 2 2 12t dt 3 dt 3 3  2  x  Vậy 3 3 I  . dx t. .     c   . c     
2  x 2  x2 6 16t 1 t 2 3 2 3 4 t 8t 8  2  x  6 x  4 dx
Bài 11. Tính tích phân I  . .  x  2 x  2 4 Lời giải: x  4 x  4 6 12tdt Đặt 2 t   t   x   2  dx  . 2 x  2 x  2 1 t  2 1 t 2 1
Khi x  4  t  0; x  6  t  . 2 1 6 2 2 x  4 dx 1 t 12tdt Vậy I  .  t. .   x  2 x  2 6 1 t 2 2 4 0 1 1 1 2 2 2 t  1   1 t   2 dt  2 1 dt  2 ln  t    2  2 ln 3 1. 2 2   1 t  1 t   1 t 0 0  0 3 2  x 1  dx
Bài 12. Tính tích phân 3 I  . .   
x 1   x  2 2 1 Lời giải: 480 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 x 1 x 1 2 6t dt Đặt 3 3 t   t   x  1  dx  . 3 x 1 x 1 1 t  3 1 t 2 1 1
Khi x  2  t
; x  3  t  . 3 3 3 2 1 1 1 2 3 3 2 2 1  1  t xdx 6t dt 3 dt 3 2 3 2  3  3 2 2 3 Vậy 3 I  .  t . .    t  3  2 .    2  6 2  2 3 3   x 1  x 1 4t 2 t 2 1 2 2    3 1 1 t  1 3 3 3 3 3 3 dx
Bài 13. Tính tích phân I  .  1 x x 1 Lời giải: 2 2 4 1 1  t 1 t 1 Đặt t x x 1  
x 1  x  2 x t   x   dx dt.   3 t t 2t 2t   4 dx t 1 1  1 1 1  1  1 1  Vậy I   dt  1    dt
t  ln t    c   3     1 x x 1 2t 1 t  2 3 2 2  t t t  2  t 2t  1 xx
ln  x x 1 1 2   x x  . c 2 2 2
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 16 dx
Bài 1.Tính tích phân I  .  x  4 1 1 x  1 5
Bài 2. Tính tích phân I x   4 1 x d . x 0 3 5 3 x  2x
Bài 3. Tính tích phân I d . x  2 0 x 1 2 3 dx
Bài 4. Tính tích phân I  .  2 5 x x  4 481 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 4 x
Bài 5. Tính tích phân I d . x  5 0 x 1 3 3 x
Bài 6. Tính tích phân I d . x  2 0 x 1 1
Bài 7. Tính tích phân 5 2 I x 1 x d . x  0 9
Bài 8. Tính tích phân 3
I x 1 xd . x  1 2 dx
Bài 9. Tính tích phân I  .  4 2 1 x 1 x 2 dx
Bài 10. Tính tích phân I  .  3 1 x 1 x 3 2 dx
Bài 11. Tính tích phân I  .  2 2 x 1 x 1 1 x
Bài 12.Tính tích phân I  . dx  1 x 0 3 2 2
1 2x 1 x  2x
Bài 13. Tính tích phân I dx  2 0
1 x  1 x 5 xdx
Bài 14. Tính tích phân I   2 2 1 2 x
1 3 x 1
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Giả sử u(x), v(x) là các hàm liên tục trên miền D , khi đó ta có
d uv  udv vdu d uv  udv vdu uv udv vdu      b b b
udv uv vdu udv  uv  vdu(*)     a a a 482 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Công thức (*) là công thức tích phân từng phần, các bài toán áp dụng cách tính này thường biểu
thức dưới dấu tích phân là tích của hai biểu thức, trong đó một biểu thức là đạo hàm của một
hàm số. Khi lấy tích phân từng phần thì tích phân sau phải đơn giản hơn tích phân đầu. Dưới đây
trình bày một số dấu hiệu nhận biết để đặt u, dv sao cho thích hợp.Một các tổng quát là thành
phần dv là đạo hàm của v nên chọn thành phần dv sao cho dễ tìm được v là được. u   P( x)
sin(ax b)    
sin(ax b)  o
c s(ax b)     + I P(x)  d   x  thì đặt o
c s(ax b) . axb   edv    dx    axbeaxbm      axb  m    
ln ax b 
ln ax b  u    
+ I P( x)  dx   thì đặt  log ax bc   log ax bc  
dv P(x)dxaxb u   e s
 in  x    + axb I edx   thì đặt
sin  x     os c
 x    dv    dx   o
c s  x      sin ln x  sin ln x        os c  ln x  os c  ln x  u     + k x dx    thì đặt  sin log x a  sin log x   a      os c log x    a    os c log x   a   k dv x dx
ở đây P(x) là đa thức. BÀI TẬP MẪU 3 3  ln x
Bài 1.Tính tích phân I d . x   x  2 1 1 483 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: 3 3 3 3  ln x dx ln x Ta có I dx  3  dx    .  x  2 1  x  2 1  x  2 1 1 1 1 3 3 dx d x   1 3 3 3 + 3  3   .    x  2 1  x  2 1 x  1 1 4 1 1 3 ln x
+ Tính tích phân K dx   x  2 1 1   ln  dx u x du     x Đặt dx   dv   1    x  2 1 v      x 1 3 3  ln x 3 dx  ln 3  x   3 1  x  ln 3  1 1  Vậy K     dx    dx     x 1 1 x x 1 4 x x 1 4  x x 1 1   1   1  ln 3 x 3 1 27   ln  ln . 4 x 1 1 4 16 3 1 27 Vậy I   ln . 4 4 16 2 ln x
Bài 2. Tính tích phân I d . x  3 x 1 Lời giải:dx u   ln x du     x Đặt  dx   dv  1  3 v x   2   2x 2 1  2 1 dx 1  1 2 3  2 ln 2 Vậy I  ln x   ln 2   . 2  3 2 2x 1 2 x 8 4x 1 16 1 e
Bài 3. Tính tích phân 3 2
I x ln xd . x  1 484 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải:  2 ln x 2 du dx u    ln x   x Đặt    3 dv x dx 1 4  v x   4 1 1 e e 1 Vậy 4 2 3 4 I x ln x x ln xdx e K.  4 1 2 4 1 1 e + Tính 3 K x ln xdx  2 1  dx du u   ln x   x Đặt    3 dv x dx 1 4  v x   4 e 4 1  1 e 1  1 1 e 1 3e Vậy 4 3 4 4 K   x ln x
x dx   e x    2 4 1 4 8 32 1 32 32  1  4 4 1  1 3e  5e 1 Vậy 4 I e    .   4 32 32 32   1
Bài 4.Tính tích phân    2 2x I x e d . x  0 Lời giải:du dx u   x  2  Đặt    1 2x 2 x dv e dx v e    2 1 2 1 1  e x 1 x 1 1 1 x 5 3 Vậy 2 I e x  2 2  e dx    2 2  e  2  e  . 2 0 2 2 4 0 4 0 3
Bài 5. Tính tích phân I  ln   2
x xd . x 2 485 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải:   u     2 x x 2x 1 ln du  Đặt 2    x x dv dx  v x  3 3 3 3 x 2x 1 2x 1 2 x 1 1 Vậy I x ln  2 x x     
dx  3ln 6  2 ln 2  dx  ln 54  dx  2   2 x x x 1 x 1 2 2 2 3 3 dx 3 3  ln 54  2 dx   ln 54  2x  ln x 1  3ln 3  2.   x 1 2 2 2 2 1 2
Bài 6. Tính tích phân 3 x I x e d . x  0 Lời giải: 1 1 1 1 2 2 2 x 1 x 1 x 1 Ta có 3 2 2 2   .2  ( ) t I x e dx x e xdx x e d xte dt     2 2 2 0 0 0 0 1 1 1 e t 1 1 t 1 t 1 1 t 1  td (e )  tee dt   e  .   2 2 0 2 2 2 0 2 0 0 2 2 x x e
Bài 7. Tính tích phân I d . x   x  22 0 Lời giải: 2 x x u   x e
du xe x  2 dx   Đặt  dx   1 dv   v    x 22     x  2 2 x 2 2 2 x e 2 2 2 Vậy x 2 I
xe dx  e xd    x e  2 x x 2 x  e xe
e dx e e 1.  x  2 0 0 0 0 0 0 486 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4
Bài 8. Tính tích phân 2
I x tan xd . x  0 Lời giải: 4 4 2 4 4 2 1 cos x xdx 1 Ta có 2 2
I x tan xdx x dx
xdx K x 4  K  .   2  2  o c s x o c s x 2 32 0 0 0 0 0 4 4 4 4 xdx sin x + Tính K
xd tan x x tan x 4  tan xdx   dx  2      o c s x 4 cos x 0 0 0 0 0 4
d sin x 1     ln cos x 4   ln 2.  4 cos x 4 4 2 0 0 2 1 Vậy I   ln 2  . 4 2 32 1 7 x dx
Bài 9. Tính tích phân I  .  1 x 2 4 0 Lời giải: 4 3 u   xdu  4x dx   Đặt 3 x   1 dv   v     1 x 2 4  4 4 x   1   4 3  1 1 1 d  4 1 1 1 x x x dx  1 1 1 2 ln 2 1 Vậy 4 I         ln 1  x  .   4 4 1 x  4 4 0 1 x 8 4 1 x 8 4 0 8 0 0 e  3 
Bài 10. Tính tích phân I  2x  ln xd . x    x  1 487 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: e  3 e e  ln x Ta có I  2x
ln xdx  2 x ln xdx  3
dx M N.      x x 1 1 1 e
+ Tính M  2 x ln xdx  . 1  dx du u   ln x   x Đặt    dv xdx 1  2 v x   2 e 2 2  1 e 1   e 1 ee 1 Vậy 2 2
M  2  x ln x xdx   2  x    .  2 1 2 2 4 1 2 2  1    e ln e x 3 e 3 + Tính N  3
dx  3 ln xd ln x  ln x2  .   x 2 1 2 1 1 2 2 e 1 3 e Vậy I     1. 2 2 2 2 2
Bài 11. Tính tích phân    sinx I e
 cos xcos xd . x 0 Lời giải: 2 2 2 2 2  c x x x x 1 os2
Ta có I    sin e  cos x sin 2 sin cos xdx e cos xdx  o
c s xdx e d (sin x)  dx     2 0 0 0 0 0 1  x 1  1 te dt   sin 2x    2 te   e  1.  2 4  0 4 4 0 0 6
Bài 12. Tính tích phân 2 I
x sin x cos xd . x  0 Lời giải: 488 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 6 6 6 1 1 1 Ta có 2
I x sin x cos xdx   xd    3 o c s x 3 3
  x cos x 6  o c s xdx  3 3 3 0 0 0 0 6  3 1     3 1  1  11  3 2
1 sin xd sin x 3   sin x  sin x   6   . 48 3 48 3  3  72 48 0 0 2
Bài 13. Tính tích phân 2 I x cos xd . x  0 Lời giải: 2 2 2 2 1 1 1 Ta có 2
I x cos xdx x 1 o
c s2xdx xdx x o c s2xdx     2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 1 1   1 1  
xd sin 2x  
x sin 2x 2  sin 2xdx   o c s2x 2   .   16 4 16 4   16 8 16 4 0 0  0  0   2 e  1 1 
Bài 14. Tính tích phân I   d . x   2   ln x ln x e Lời giải: 2 2 2 e  1 1 e  1 e dx Ta có I   dx I   dx   M N.   2   2   ln x ln x  ln x ln x e e e 2 2 2 e e 2 e 2 1  1  x e dx e + Tính M dx   xd     e   N.  2     ln x  ln x  ln x e ln x 2 e e e 2 e
Vậy I M N e  . 2 e
Bài 15. Tính tích phân I   x ln x2 d . x  1 489 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: e e e 2 1 2 1  2 e 2 
Ta có I   x ln xdx  ln xd    3 x  3  x  ln x 3  x d  ln x  3 3 1 1 1  1  e e e 3 1   1  2  1  2  e  5e  2 3 2 3 
e  2 x ln xdx e  ln xd       3 x  3 3 2  
e   x ln x  3 x dx  .  3 3 3 3 3 1 27  1   1    1  1 2  1 x
Bài 16. Tính tích phân I x ln d . x     1 x  0 Lời giải: 2   x  1 x     du  2 dx u  ln        1 x Đặt   1 x       1 2 dv xdxv x   2 1 1 1 2 2 2  1 x  1  1 x   x  Vậy 2 I x ln dx x ln      2  dx    1 x  2  1 x   1 x  0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 1  2 1     ln 3  1 dx  ln 3  1   dx    8  1 x  8  1 x 1 x2  0 0   1 1  1  1 3 5 
ln 3  x  2 ln 1 x  2  ln 3  2 ln  . 8   x 1   8 2 6 0 2  x x 1 sin
Bài 17. Tính tích phân I e d . x  1 cos x 0 Lời giải: 490 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 2 2  xxx   x x 1 sin 1 sin x x 1 sin x 1 sin  Ta có I e dx
d(e )  e 2  e d      1 cos x 1 cos x 1 cos x  1 cos x  0 0 0 0 2 1  x x x 1 cos sin 2  2e   e dx  . 2 1 cos x2 0 2 2 x 2 1 cos x  sin x x e e x x sin
+ Tính tích phân K e dx dx dx    1 cos x2 1 cos x 1 cos x2 0 0 0 2 x 2 x 2 2 d (e ) e sin x 1  1 xe x x x sin   dx e 2  e ddx       1 cos x 1 cos x2 1 cos x  1 cos x  1 cos x2 0 0 0 0 0 2 x 2 1 sin x e x e sin x 1 2 2  e   dx dx e    . 2 1 cos x2 1 cos x2 2 0 0 1 1   Vậy 2 2 2 I  2e   e   e .   2 2   1
Bài 18. Tính tích phân I  ln   2
x  1 x d .x 0 Lời giải:u    ln  1 2 x  1 x du dx  Đặt 2    1 xdv dxv   x  1 1 1 xdx Vậy I  ln   2
x  1 x dx xln 2
x  1 x    2 0 0 0 1 x 1
 ln 1 2  d   1 2
1 x   ln1 2 2  1 x
 ln 1 2  2 1. 0 0 491 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG x ln  2 1 x  1 x
Bài 19. Tính tích phân I  . dx  2 0 1 x Lời giải: u   ln   2 x  1 x   1 du dx   Đặt 2   1 x xdx  dv   2 2 v  1   1  xxx ln  2 1 x  1 x  1 1 Vậy 2 I
dx  1  x ln   2 x  1  x
dx  2 ln 1  2 1.  2    0 0 1 x 0 4 x  sin x
Bài 20. Tính tích phân I d . x  1 cos x 0 Lời giải: 4 4 4 4 x  sin x xdx sin xdx
d 1 cos x 4 1 xdx Ta có I dx           1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 2 2 x 0 0 0 0 0 o c s 2 4 4  x  4 x x
  ln 1 cos x 4  xd tan  ln  x tan    4  tan dx   2  2  2 2 2 0 0 0 0 4 x  ln  tan  2 ln cos 4   2  1. 2  2 4 8 2 4 0
1 x ln 1 3x
Bài 21. Tính tích phân I dx  3 3 x 0 492 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải:
x ln 1 3x  1  Ta có dx x ln  x d e  x 1 3  3x 3    3  3  1  x 1 3   ln 1 3  3x e x x e d
xln1 3x 3 3 1    x x 1 x 3 3    e
x ln 1 3x 3  e ln   1 3x  dx  3 3  1 3x  1      x x 1 1 3   e
x ln 1 3x  ln 1 3x 3 x 3 x d ee dx     3 3  3  1 3x 1       x x 1 1 3   e
x ln 1 3x 3 x   e ln 1 3x 3 xe
d ln 1 3x 3 xe dx   3 3  3   1 3x 1     x x 1 x 1 x 1 3   e
x ln 1 3x 3   e ln 1 3x 3 3xe dx e dx   3 9 3 1 3x 1 3x 1  1 x  3x   e
1 3xln 1 3x 3xe   dx   9
 31 3x 1 3x      1  x  1 3     1  3  ln 1 3  3x e x
x d e    9  9  1  xx   x 1 1 3 ln 1 3 1 3 3x       e
1 3xln 1 3x  eC    C 3 9 9 9 x e
1 3xln 1 3x 3 1 1 4 ln 4 1 e Vậy I    3x 3 9e 0 9e
1 x ln 1 x
Bài 22. Tính tích phân I dx  . 1 x 2 2 0 Lời giải: 1 1  1  1  ln 1 x 1  1 1 1 1 Ta có I   ln 1 xd    . dx   2   2   2 2  1 x  2 1 x 0 2 1 x 1 x 0   0 493 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 ln 2 1 1 1    . dx  2 4 2 1 x 1 x 0 1 x 1 1 Ta có      x   1  2 x   1 2  2 x   1 2 2 x   1 2 x   1 1 1 1 1  x 1 1  Vậy . dx     dx  2  1 x 1 x  2 2 x   1 2  2 x  1 2 x 1 0 0        1    ln  1 1 1 ln 2 2 x   1  arctan x  ln  x   1    . 4 2 2    0 4 8 ln 2 Vậy I    . 8 16
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1
Bài 1. Tính tích phân     1 x I x e d . x  0 2
Bài 2.Tính tích phân 2 x
I e 1 sin 2xd . x  0 2
Bài 3. Tính tích phân I   x   1 sin 2xd . x 0 2
Bài 4. Tính tích phân sin x I e sin 2xd . x 0 1 2
Bài 5. Tính tích phân    x 3 sin x I e
x x e d . x 1 2
Bài 6. Tính tích phân 3 2
I x sin xd . x 0 494 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4
Bài 7. Tính tích phân 2 x 2
I e sin xd . x  0 2 4
Bài 8. Tính tích phân I  sin xd . x 0 2 4
Bài 9.Tính tích phân I x cos xd . x  0 2
Bài 10. Tính tích phân 2
I x ln xd . x  1 2  x x x 1 cos sin
Bài 11. Tính tích phân I e d . x  1 cos x2 0 3 2 x dx
Bài 12.Tính tích phân I  . 
xsin x  cos x2 0 1
Bài 13. Tính tích phân x 2
I e sin  xd . x  0 2
Bài 14.Tính tích phân x I xe cos xd . x  0 2
Bài 15. Tính tích phân 2 x 2 I x e cos xd . x  0
4 2x cos x   x  2 sin x
Bài 16. Tính tích phân I d . x
x cos x  sin x 0
4 x sin x   x   1 cos x
Bài 17. Tính tích phân I d . x
x sin x  cos x 0 495 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2
Bài 18. Tính tích phân I  cos x ln 1 cos xd . x 3 2 2
Bài 19. Tính tích phân sin x 3 I e sin x cos xd . x  0 6 dx
Bài 20. Tính tích phân I  .  3 sin x 4 2 sin x
Bài 21. Tính tích phân I d . xx e 0 2
Bài 22. Tính tích phân 4
I  sin 2x cos sin xd . x  0 3
Bài 23. Tính tích phân I  sin x ln  tan xd . x 4 e
Bài 24. Tính tích phân I  o
c s ln xd . x  1 e
Bài 25. Tính tích phân 2 I  o
c s ln xd . x  1 2 ln 1 x
Bài 26. Tính tích phân I d . x  2 x 1 e 1 ln x
Bài 27. Tính tích phân I d . x   x  2 1 1 e 2  ln x
Bài 28. Tính tích phân I d . x    x  1 e
Bài 29.Tính tích phân I   2
ln x  ln xd . x 1 496 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG e
Bài 30. Tính tích phân I   2
x xln xd . x 1 1  2 1  1 x 
Bài 31. Tính tích phân  1 x Ie . dx   2   x  1  1  2 1  1 x 
Bài 32. Tính tích phân x I x e . dx   3   x  1  1
Bài 33. Tính tích phân 2 I  1 x d . x  0 x ln  2 1 x  1 x
Bài 34. Tính tích phân I  . dx  2 0 x  1 x 1
Bài 35. Tính tích phân I x ln   2
x  1 x d .x 0 0 ln 1 x
Bài 36. Tính tích phân I d . x  1 x 1 x 3   e 1 ln x
Bài 37.Tính tích phân I d . xx 1 ex 1 
Bài 38. Tính tích phân I  ln d . x     x 1  2 3 x 1  x 1 
Bài 39. Tính tích phân I  ln d . x     x  3 1  x  1  2 3 1  x 1 
Bài 40. Tính tích phân I  ln d . x     x  3 1  x 1  2 3 ln  x   1
Bài 41. Tính tích phân I d . x   x  4 2 1 2  xx  
Bài 42.Tính tích phân 2 2 I  4x tan  x 1 tan d . x       2  2  0  497 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  2 2   1 x x e
Bài 43. Tính tích phân I d . x   x  2 0 1 2
Bài 44. Tính tích phân sin x I e
1 x cos xd . x  0
Bài 45. Tính tích phân 2
I x sin x cos xd . x  0 2 xdx
Bài 46. Tính tích phân I  .  1 sin 2x 0 5 ln  x 1   1
Bài 47. Tính tích phân I  . dx
x 1 x 1 2 8 ln x
Bài 48.Tính tích phân I d . x x 1 3 4 xdx
Bài 49. Tính tích phân I  .  2 o
c s x 1 tan x 0  
Bài 50.Tính tích phân I x   5
cos x  sin xd . x 0 2 1 sin x
Bài 51.Tính tích phân I d . x 1 cos x x e 0   e  ln x
Bài 52.Tính tích phân 2 I   ln x d . x    x 1 ln x 1  1   x e   x
Bài 53. Tính tích phân I x 2 tan x d     . x  2    x   cos x  3   4   2  x
Bài 54. Tính tích phân 2 sin I  2 cos  x cos x x e d . x     2  0 498 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1  1 x x ln 2    1 x
Bài 55.Tính tích phân I d . xx e 1 1  2 e 2 2
x ln x  2x  2 
Bài 56.Tính tích phân 3 I  ln xd . x   x 1   1
Bài 57. Tính tích phân I  2x   1 ln  3 x    1 d . x 0
4 ln sin x  cos x
Bài 58. Tính tích phân I d . x  2 o c s x 0 4 2 x
Bài 59. Tính tích phân I d . x
x sin x  cos x 0   1 3 8 x dx
Bài 60. Tính tích phân I   I  .  x  2 4 0 1 cos x  2
2 cot x  3cot x   1 2 1 cot x
Bài 61. Tính tích phân 2 sin x I e d . x 3 sin x  4 2  1 
Bài 62. Tính tích phân I x 1    ln  2
x 1  ln x dx . 4    x  1 2  x 17  cos 4x
Bài 63. Tính tích phân I  ln dx  2 0 1 sin x2 4
Bài 64. Tính tích phân    2 tan  tan  x I x x e dx 3 4  tan x  6    4
Bài 65. Tính tích phân  I dx  . cos 2x 0 499 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG e 2 ln x  ln x
Bài 66. Tính tích phân I dx  .
ln x x  3 1 1 e 3 log x
Bài 67. Tính tích phân 2 I dx  . 2 1 x 1 3ln x 4 1 x x e
Bài 68. Tính tích phân I   dx  2 4 x x xe 1 1  1 x  
Bài 69. Tính tích phân I  
 2x ln 1 x  dx   1 x  0   e x xe 1
Bài 70. Tính tích phân I dxx x e  ln x 1   4 x    e
Bài 71. Tính tích phân x I e 2x dx   2  1 tan x 0  
1 2x ln  1 x  1 x
Bài 72. Tính tích phân I dx
1 x  1 x 0 6
Bài 73. Tính tích phân I   4 tan x    1 tan 2xdx 0 2 3  x tan x x tan x    
Bài 74. Tính tích phân I        dx
x tan x x tan x       6 1 2 x  1 x
Bài 75. Tính tích phân I  1 x dx    x 1  2 e 1 ln x
Bài 76. Tính tích phân I dxx x  ln x 1   e dx
Bài 77. Tính tích phân I   2 1 x 4  3ln x 500 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 3 3 x 1 x e
Bài 78. Tính tích phân I dx  2 0 x 1 0
Bài 79. Tính tích phân I x   2x 3 e
x 1 dx 1 1
Bài 80. Tính tích phân I x ln  2 x x    1 dx 0 e 3  x 1 
Bài 81. Tính tích phân I  ln xdx   x 1   2 2  1 x
Bài 82. Tính tích phân I x ln dx   2  1 x 0   1 3  1 
Bài 83. Tính tích phân I   x   1 ln 1 dx     x  0
2 cos x ln sin x
Bài 84. Tính tích phân I dx  2 sin x 6 1 1 sin x
Bài 85. Tính tích phân I dx  1 cos x x e 0      x 1 cos x1 cos 2  
Bài 86. Tính tích phân I  ln  dx   1 sin x  0   8 3 x ln x
Bài 87. Tính tích phân I dx  2 3 x 1 2 e x 1  3
x x ln x  2 ln x
Bài 88. Tính tích phân I dx  1 x ln x 1 501 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG e  2 x x   1 ln x
Bài 89. Tính tích phân I dxx x  2 1 1 4 ln 5  x 3  x 5  x
Bài 90. Tính tích phân I dx  2 x 1 2 3 2  x 1 3 x x e 1 
Bài 91. Tính tích phân I   dx  x 3  x
e x x 1   0 2 x dx
Bài 92. Tính tích phân I  
x sin x  cos x2  4 e 2 1 x ln x
Bài 93. Tính tích phân I dx  2
x x ln x 1 1 2  4  x
Bài 94. Tính tích phân 3 I x ln dx   2  4  x 0  
e 2  x ln x1 ln x
Bài 95. Tính tích phân I dx  1 x ln x 1 3 e 2 ln x  1
Bài 96. Tính tích phân I dx
1 x  ln x 1   1 3 x
xe 4  4sin x  cos x  sin 2x
Bài 97. Tính tích phân I dx  1 cos x2 0 2 2
x cos x x sin x  cos x 1
Bài 98. Tính tích phân I dx
1 x sin x2 0
2 5  7x x cos 2x
Bài 99. Tính tích phân I dx  2 2  cos x 0   3 6  sin x
Bài 100. Tính tích phân I dx    cos 2x  0 502 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3 3 2 x  3  x
Bài 101. Tính tích phân I  ln dx  4   1 x 2 0   4 x    e
Bài 102. Tính tích phân x I e 2x dx   2  1 tan x 0   4 dx
Bài 103. Tính tích phân I   1 sin x 2 cos x 0 3  3 2  2  3 x   
Bài 104. Tính tích phân  4  4   2 x I x edx    x 1  2
1 t ln 1 t
Bài 105. Tính tích phân I dtt e 0 e 2 2
x ln x  2x  2 
Bài 106. Tính tích phân 3 I  ln x dx    x 1   ln  2 3 1 1 x
Bài 107. Tính tích phân I dx  1 x 0 2
Bài 108. Tính tích phân I  ln sin x ln cos xsin 2xdx  0 2
Bài 109. Tính tích phân 2
I  ln cos xdx  0 ln  2 2 2 x x 1
Bài 110. Tính tích phân I dx  2 x 3
e x 1 ln x2  1 ln x2 2
Bài 111. Tính tích phân I dx
x 1 ln x2 1 503 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VỚI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dưới đây xin trình bày những lưu ý tổng quát nhất khi giải quyết tích phân hàm lượng giác.
Khi thực hiện phép tính tích phân với các hàm số lượng giác, trong biểu thức tích phân có thể xuất hiện
+ sin xdx  d cos x  ta đặt t  cos x lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành
f (cos x)d cos x  f (t)dt.  
+ cos xdx d sin x  ta đặt t  sin x lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành
f (sin x)d sin x  f (t)dt.   dx +
d tan x  ta đặt t  tan x lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành 2   o c s x
f (t an x)d ta n x  f (t)dt.   dx +
 d cot x  ta đặt t  cot x lúc này biến đổi biểu thức trong dấu tích phân thành 2   sin x
f (cot x)d cot x  f (t)dt.   Lưu ý: sin x d cos x tan xdx dx     ln cos x  . c    cos x cos x os c x d sin x cot xdx dx   ln sin x  . c    sin x sin x
Một lưu ý nữa là nếu biểu thức lượng giác có dạng phân thức thì luôn nghĩ tới tử thức sẽ chứa
mẫu thức và đạo hàm của mẫu thức.
Phương pháp chủ đạo tính tích phân hàm lượng giác là đổi biến số. BÀI TẬP MẪU 504 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4
Bài 1.Tính tích phân 2 I  o
c s x cos 2 xd . x  0 Lời giải: 4 4 4 4 1 1 1 Ta có 2 I  o
c s x cos 2 xdx  1 o c s2x 2 cos 2xdx  o c s2 xdx  o c s 2xdx     2 2 2 0 0 0 0 4 1 1 1 1  1  1  sin 2x 4 
1 cos4xdx   x  sin 4x    4   . 4 4 4 4  4  16 4 0 0 0 2
Bài 2. Tính tích phân I   3 o c s x    2 1 o c s xd . x 0 Lời giải: 2 2 2 Ta có I    3 o c s x   2 5 2 1 o c s xdx  o c s xdx  o
c s xdx M N.   0 0 0 2 2 2 + Tính 5 M  o c s xdx     2
1 sin xd sin x 0 0
Đặt t  sin x dt d sin x . Khi x  0  t  0; x   t  1. 2 1 1 2  2 1  1 8 Vậy M   2
1 t dt  2 4
1 2t t  3 5 dt t t t  .    3 5  0 15 0 0 2 2 1 1  1  + Tính 2 N  o c s xdx  1 o
c s2xdx x  sin 2x     2  . 2 2  2  4 0 0 0 8
Vậy I M N   . 15 4 505 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4 2 1 2 sin x
Bài 3. Tính tích phân I d . x  1 sin 2x 0 Lời giải: 4 2 4 1 2 sin x cos2x Ta có I dx dx   1 sin 2x 1 sin 2x 0 0
Đặt t  1  sin 2x dt  2 cos 2xdx . Khi x  0  t  1; x   t  2. 4 2 1 dt 1 2 1 Vậy I   ln t  ln 2.  2 t 2 1 2 1 3
Bài 4. Tính tích phân 3 I  tan xd . x 4 Lời giải: 3 3 3 1 o c s x d cos sin .sin x x x 3  2 2   
Ta có I  tan xdx dx     3  3 o c s x o c s x 4 4 4 1 1
Đặt t  cos x dt d cos x . Khi x   t  ; x   t  . 4 2 3 2 1 1 2 2 t 1  1  2 1 Vậy I dx  ln t   1  ln 2.  3  2  t  2t 1  2 1 2 2 2 dx
Bài 5. Tính tích phân I  .  3 sin x 3 Lời giải: 506 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 2 2 dx sin xdx d cos x Ta có I     .  3  4  sin x sin x  2 1 cos x2 3 3 3 1
Đặt t  cos x dt d cos x . Khi x   t  ; x   t  0. 3 2 2 2 1 1 0 2 2 dt dt
1  1 t 1 t  Vậy I       dt       1 t 2 1t 2 2 2 4 1 t 1 t 1 0 0      2 1 1 2 1  1 2 1  1  1 1 1 t  1 1     dt    ln 2   ln 3.    4  1 t 2 2 1 t 1 t
4  1 t 1 t 1 t  3 4 0  2   0
2 sin 2x  sin x
Bài 6. Tính tích phân I d . x  1 3cos x 0 Lời giải: 2 2 sin 2x  sin x
sin x 2 cos x   1 Ta có I dx dx   1 3cos x 1 3cos x 0 0 Đặt 2
t  1 3cos x t  1 3cos x  2tdt  3sin xdx
Khi x  0  t  2; x   t  1. 2 2 2  4t 2   4 2  2 34 Vậy 3 I   dt t t  .     9 9    27 9  1 27 1 2 sin 2x
Bài 7. Tính tích phân I d . x  2 2 0 o
c s x  4 sin x Lời giải: Ta có d  2 2 o
c s x  4 sin x  2sin x cos x  8cos xsin x  6sin x cos x  3sin 2 . x 507 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Vậy đặt 2 2 2 2 2 t  o
c s x  4 sin x t  o
c s x  4 sin x  2tdt  3sin 2xdx
Khi x  0  t  1; x   t  2. 2 2 2 2 tdt 2 2 2 2 Vậy I   dt t  .   3 t 3 3 1 3 1 1 2 3 4sin x
Bài 8. Tính tích phân I d . x  1 cos x 0 Lời giải: 2 2 4  2 3 1 cos x 2 2 2 sin 4sin x x Ta có I dx
dx  4 1  cos xsin xdx  4 sin xdx  2 sin 2xdx      1 cos x 1 cos x 0 0 0 0 0   4  cos x  os c 2x 2  2. 0 2 3 3 sin x  sin x
Bài 9. Tính tích phân I  cot xd . x  3 sin x 3 Lời giải: 2 3 3 2 sin x  sin x 1 cot x 3 I  cot xdx  1  . dx  3  2 2 sin x sin x sin x 3 3 dx 1
Đặt t  cot x dt   . Khi x   t  ; x   t  0. 2 sin x 3 3 2 0 0 0 5 8 3 1 Vậy 3 2 3 3 I   t  .tdt t dt t 1   .   8 1 1 8 3 3 3 3 508 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2
Bài 10. Tính tích phân 6 3 5 I  1 o c s x sin o xc s xd . x  0 Lời giải: Đặt 6 3 6 3 5 2 t  1 o
c s x t  1 o
c s x  6t dt  3cos x sin xdx
Khi x  0  t  0; x   t  1. 2 1 1  1 1  1 12 Vậy I  2 t   6 1 t  5 t dt  2 6 12 t t  7 13 dt  2 t t  .    7 13  0 91 0 0 2 6 o c s x
Bài 11. Tính tích phân I d . x  4 sin x 4 Lời giải: 2 2 o
c s x 1 sin x2 2 2 2 2 o c s x  4 2 6 sin x  2sin x c x   1 os Ta có I dx dx dx  4  4  4 sin x sin x sin x 4 4 4 2 2 2 dx 2 2 2  o
c s xdx  2 cot xdx  cot x    2 sin x 4 4 4 2 2 2 1  1    1 cos2x 2 dx  2
1 dx cot xd      2 cot x 2  2  sin x 4 4 4 3  1  1  cot x  2 5 23  x  sin 2x  2   
cot x x    .  2   2  3 8 12  4 509 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 sin 2x cos x
Bài 12. Tính tích phân I dx  . 1 cos x 0 Lời giải: 2 2 2 sin 2x cos x cos x sin x Ta có I dx  4 dx   . 1 cos x 1 cos x 0 0
Đặt t  1 cos x dt   sin xdx . Khi x  0  t  2; x   t  0. 2 t  2 1 2 1  1   1 1  2 Vậy 2 I  2  dt  2 t  2  dt  2 t  2t   2 ln 2 1.   2    tt   2 t  1 2 1 6 4 tan x
Bài 13. Tính tích phân I d . x  o c s2x 0 Lời giải: 6 4 6 4 6 4 tan x tan x tan x Ta có I dx dx dx   2 2  . 2 o c s2x o
c s x  sin x o c s x  2 1 tan x 0 0 0  dx 1
Đặt t  tan x dt
. Khi x  0  t  0; x   t  . 2 o c s x 6 3 1 1 1 1 4 1  4 3 3 1 t t  3 3 dt Vậy I dt dt        2 1  t dt 2 2 2  1 t 1 t 1 t 0 0 0 0 1  1 t 1  1  1 10 2   ln  t t 3  ln    2  3  . 2 t 1   3  2  9 3 0 4 dx
Bài 14. Tính tích phân I  .  4 o c s x 0 510 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: 4 4 4 dx 1 dx  1  4 Ta có I   .     2 tan x   1 d  tan x 3  tan x  tan x   4  . 4 2 2 o c s x o c s x o c s x  3  3 0 0 0 0 4 2 1 2sin x
Bài 15. Tính tích phân I d . x
sin x  cos x4 0 Lời giải: 4 2 4 1 2sin x o c s2x Ta có I dx dx  
sin x  cos x4 1 sin 2x2 0 0
Đặt t  1  sin 2x dt  2 cos 2xdx . Khi x  0  t  1; x   t  2. 4 2 1 dt 1 2 1 Vậy I   ln t  ln 2.  2 t 2 1 2 1 4 2 sin x
Bài 16. Tính tích phân I d . x  6 o c s x 0 Lời giải: 4 2 4 4 sin x 1 dx Ta có 2 2 I dx  tan . x .  tan x     2
1  tan x d tan x 6 2 2    o c s x
cos x cos x 0 0 0  1 1  8 3 5  tan x  tan x   4  .  3 5  15 0 4
Bài 17. Tính tích phân I  ln 1 tan xd . x  0 511 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: Đặt x
t dx  dt . Khi x  0  t  ; x   t  0. 4 4 4 4 0 4      1  tan t
Vậy I  ln 1 tan xdx   ln 1 tan  t dt  ln 1 dt            4    1 tan t  0 0 4 4 4 4  2   ln
dt  ln 2dt  ln   
1 tan tdt  ln 2  I  2I  ln 2  I  ln 2.    1 tan t  4 4 8 0 0 0 dx
Bài 18. Tính tích phân I  .  4 sin x cos x Lời giải: dx o c sxdx d sin xdt Ta có I      4  4 2   4 sin x cos x sin x cos x sin x  2 1 sin x 4 t  2 1 t   4 1 t  4 2  t 1 t dt 1 1 1 t 1  dt dt      ln  c    4 t  2 1 t  4 2 3 t t 1 3t t 2 t 1 1 1 1 sin x 1     ln  c 3 3sin x sin x 2 sin x  1 2 tan x
Bài 19. Tính tích phân I  . dx  cos x Lời giải: 2 2 2 2 tan x sin x sin xtI dx  cos xdx d sin x dt   4  2     cos x o c s x    2 2  1 1 sin  t x  2 1 1 1 1  1 2 1      dt     dt    
4  1 t 1 t  4  1 t 2 2 1 t 1 t2    512 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 1 1 1 t 1 1 1 1 sin x    ln  c    ln  c .
4 1 t 41 t  4 1 t 41 sin x 41 sin x 4 1 sin x sin x cos x  4 2 3
sin x  sin x  sin x   1
Bài 20. Tính tích phân I dx  6 sin x 1 0 Lời giải : 3
3 sin x cos x  4 2 2 sin x  sin x x x   1 sin cos Ta có I dx dx  6  6 sin x 1 sin x 1 0 0 3 d  3 sin x 3 d  2 sin 1 1 x 2 1  cos x  1  dx   ln  ln      2 cos x 3 2 2 2  3  3 2 sin x 1 6 sin x  1 2 0 sin x 1 0   0
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2
Bài 1. Tính tích phân 2 I  sin x   3
1 cos xd . x 0 2
Bài 2. Tính tích phân I   3 sin x    2 1 sin xd . x 0 4
Bài 3.tính tích phân 2 I  tan xd . x  0 4
Bài 4. Tính tích phân 4 I  tan xd . x  0 4
Bài 5. Tính tích phân 6 I  tan xd . x  0 513 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 dx
Bài 6. Tính tích phân I  .  4 sin x 4 2 3 sin o xc s x
Bài 7. Tính tích phân I d . x  2 1 o c s x 0 3 x
Bài 8. Tính tích phân I d . x  2 o c s x 0 4 3  tan x
Bài 9.Tính tích phân I d . x 3  tan x  3 3
Bài 10. Tính tích phân I  tan xd . x 4
2 sin 2x  sin x
Bài 11. Tính tích phân I d . x  1 8 cos x 0 6 dx
Bài 12. Tính tích phân I  .  
0 cos x cos x     4  4 dx
Bài 13. Tính tích phân I  . 
2  sin x  cos x 0 4 sin xdx
Bài 14. Tính tích phân I  .  1 sin 2x 0 2 dx
Bài 15. Tính tích phân I  . 
sin 2x  2sin x 3 514 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 sin 2xdx
Bài 16. Tính tích phân I  . 
3sin x  4cos x3 2 2 0 6 3 sin xdx
Bài 17. Tính tích phân I  . 
3sin 4x  sin 6x  3sin 2x 0 3 cos x  sin x
Bài 18. Tính tích phân I d . x 2 sin x cos x 4 4 x sin x
Bài 19. Tính tích phân I d . x  2 o c s x 0 2 3
sin x  3 cos x
Bài 20. Tính tích phân I dx  
sin 3x  3sin x    2  3 
2 7 sin x  5cos x
Bài 21. Tính tích phân I dx
sin x  cos x3 0 4 2 cos x
Bài 22. Tính tích phân I dx   3 
sin x sin x    6  4  2 cos 2x
Bài 23. Tính tích phân I dx
sin x  cos x  33 0 4 tan x sin xdx
Bài 24. Tính tích phân I  
sin x  cos x3 0 4  1 1 
Bài 25. Tính tích phân I   dx     1 2 sin x 1 2 cos x 0  515 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 x cos x
Bài 26. Tính tích phân I dx  1 cos x 0 6 cos 3x
Bài 27. Tính tích phân I dx  2sin x  4 0 1 4 sin 2xdx
Bài 28. Tính tích phân I   6 6 sin x  cos x 0 3 9 cos x
Bài 29. Tính tích phân I dxsin x  10 10
sin x  cos x 6 sin x cos x  4 2 3
sin x  sin x  sin x   1
Bài 30. Tính tích phân I dx  6 sin x 1 0
3 sin x cos x sin x   1
Bài 31. Tính tích phân I dx  6 sin x 1 0
2 sin 4x  cos 2x
Bài 32. Tính tích phân I dx  6 6 sin x  cos x 0 2 sin 4x
Bài 33. Tính tích phân I dx  tan  4 4 sin x  cos x 0  2 sin 4x
Bài 34. Tính tích phân I dx  2 cos  4 4 sin x  cos x 0  2 2
Bài 35. Tính tích phân I  sin x cos x 1 cos xdx  0 2 3 4sin x
Bài 36. Tính tích phân I dx  1 cos x 0 516 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4 3 sin x cos x
Bài 37. Tính tích phân I dx  1 sin x 3 2
3sin x  4 cos x
Bài 38. Tính tích phân I dx  2 2
3sin x  4 cos x 0 3
Bài 39. Tinh tích phân 2
I  sin x tan xdx  0 2 sin 3x
Bài 40. Tính tích phân I dx  1 cos x 0 2 sin x
Bài 41. Tính tích phân I dx  2 x
0 sin x  2 cos x cos 2 6 3
sin 3x  sin 3x
Bài 42. Tính tích phân I dx  1 cos 3x 0
3 2 sin 2x  sin x
Bài 43. Tính tích phân I dx  6 cos x  2 0 2 3
Bài 44. Tính tích phân I  sin 2x   2
1  sin xdx 0 4 2 sin x
Bài 45. Tính tích phân I dx  4 cos x  2
tan x  2 tan x  5  4 3 tan x
Bài 46. Tính tích phân I dx  2 cos x cos x  2 4 517 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4 dx
Bài 47. Tính tích phân I    x x2 0 sin 2 cos 2 3 sin x  sin x
Bài 48. Tính tích phân I dx  3 sin x 3 4 cos 2x
Bài 49. Tính tích phân I dx
sin x  cos x  23 0
2 1 sin 2x  cos 2x
Bài 50. Tính tích phân I dx  sin x  cos x 6
1 x 1 sin x
Bài 51. Tính tích phân I dx  2 cos x 0 4 x
e sin x  cos x   1
Bài 52. Tính tích phân I dx  1 cos x2 0 3 2 sin x
Bài 53. Tính tích phân I  ln tan x dx  4   cos x 4 4 tan x e sin x
Bài 54. Tính tích phân I dx  3 cos x 0 4  sin x
Bài 55. Tính tích phân 2 3 I  4  x sin x dx   3   cos x  0 2
Bài 56. Tính tích phân I  cos x ln 1 cos xdx  0 3
Bài 57. Tính tích phân 2 2 I
tan x  cot x  2dx 6 518 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2
Bài 58. Tính tích phân I    10 10 4 4
sin x  cos x  sin x cos xdx 0 3 ln cos x
Bài 59. Tính tích phân I dx  2 cos x 0 4 sin x
Bài 60. Tính tích phân 2 I  1  sin xdx  2 cos x 0 DẠNG TOÁN BỔ SUNG
asinx b cos x
Nếu tích phân có dạng I dx
m sin x n cos x
Lúc này nghĩ tới việc biểu diễn tử thức theo mẫu thức và đạo hàm của mẫu thức Trình bày:
Giả sử a sin x b cos x m sin x n cos x  m cos x nsin x
 a sin x b cos x   m  n sin x   n  m cos x
Đồng nhất hệ số ta được
a  m  n  
giải hệ này suy ra các hệ số , .
b  n  m  Khi đó
asinx b cos x
m sin x n cos x  m cos x n sin xI dx dx  
m sin x n cos x
m sin x n cos x
d msin x n cos x
 dx
 x ln msin x n cos x  . c  
m sin x n cos x Một lưu ý là các số , a , b ,
m n có thể là các số thực tự do hoặc cũng có thể chứa . x 519 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
4 2x cos x   x  2 sin x
Chẳng hạn:Tính tích phân I d . x
x cos x  sin x 0 Một dạng tương tự
a sin x b cos x I d . x
msin x n cos x k 2
a sin x b cos x I dx(*)  2 2
a sin x b sin x cos x ccos x
Với dạng (*) các đề tuyển sinh hay bắt gặp dưới dạng này
Lúc này ta phải nhóm biểu thức trong căn Trình bày: Nhóm được x b x x cc
x m x n x2 2 2 a sin sin cos os sin cos  (**) Và tiến hành phân tích
a sin x b cos x k m sin x n cos x  l m cos x n sin x (***)
Lưu ý cách nhóm ở (**) không phải là duy nhất, do đó ta có thể làm bài toán dạng này tương đối dễ.
Đề bài cũng cho dễ nhìn, vì vậy mà cách phân tích ở (***) có thể nhận thấy ngay mà không cần
đồng nhất hệ số như trên. Nếu tích phân có dạng sin 2x I dxn  2 2
asin x b cos x
Lúc này tử thức biểu diễn theo đạo hàm của 2 2
a sin x b cos x BÀI TẬP MẪU
4 x sin x   x   1 cos x
Bài 1.Tính tích phân I d . x
x sin x  cos x 0 520 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải:
Ta có x sin x   x  
1 cos x   x sin x  cos x  x cos x   x sin x  cos x   x sin x  cos x '
4 x sin x   x   4 1 cos x
x sin x  cos x  x cos x Vậy I dx dx  
x sin x  cos x
x sin x  cos x 0 0 4 4 4 x cos x
d x sin x  cos x 4 dx dx x 4  
 ln xsin x  cos x 4   ln .   
x sin x  cos x
x sin x  cos x 4 4 4 2 0 0 0 0 0  sin x  4    4
Bài 2. Tính tích phân  I d . x
sin 2x  2 1 sin x  cos x 0   Lời giải: sin x  4   4  4  1 sin x  cos x Ta có I dx dx  
sin 2x  2 1 sin x  cos x
2 1 sin 2x  2 sin x  cos x 1 0   0   4 4 1 sin x  cos x 1
d sin x  cos x   1  dx    2
sin x  cos x2  2sin x  cos x 1 2
sin x  cos x  2 0 0 1 1  4  3 2  4  .
2 sin x  cos x   1 4 0 4 sin 2xdx
Bài 3. Tính tích phân I  .  2 2 0 o
c s x  4sin x Lời giải: Ta có d  2 2 o
c s x  4 sin x  2
 cos x sin x  8sin x cos x  6sin x cos x  3sin 2x . 521 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG d  2 2 4 4 o c s x  4 sin sin 2 1 x xdx  2 1 Vậy 2 2 I    o
c s x  4sin x 4  10  2 .   2 2 2 2   3 3 3 0 o
c s x  4sin x 0 o
c s x  4 sin x 0 3 cos x  sin x
Bài 4.Tính tích phân I d . x 2 sin x cos x 4 Lời giải: 3 3 3 cos x  sin x cos x  sin x
d cos x  sin x Ta có I dx dx     2 sin x cos x
sin x  cos x2 1
sin x  cos x2 1 4 4 4
Đặt t  cos x  sin x dt d cos x  sin x . 3 1 Khi x   t  2; x   t  . 4 3 2 3 1  3 1  3 1 2 2  4  dt 3 1 24 Vậy I d   ln 2 t t 1 ln 2 t t 1 2 ln           . 2  t 1  2 2 1   2 2   2   `
TÍCH PHÂN CỦA HÀM TUẦN HOÀN
Xét bài toán sau: Nếu f (x) liên tục tuần hoàn với chu kì T , với mọi a   ta có T a T T 2
f (x)dx
f (x)dx f (x)dx    a 0 T 2 Chứng minh: aT 0 T aT Ta có I
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx(1)     a a 0 T 522 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG aT a a a 0
Đặt x t T
f (x)dx
f (t T )dt
f (t)dt
f (x)dx   f ( x)dx(2)      T 0 0 0 a
Lấy (1) cộng với (2) theo vế suy ra đpcm. BÀI TẬP MẪU 2012
Bài 1. Tính tích phân I  1 o c s2xd . x  0 Lời giải:
Xét hàm số f (x)  1 cos2x liên tục và tuần hoàn trên  với chu kì T nên ta có: 3 2012
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx  ... f (x)dx     0 0 2 2011 2012 2 3 2012 I
f ( x)dx
f (x)dx
f ( x)dx
f (x)dx  ... 
f ( x)dx  2012 f (x)dx       0 0 2 2011 0  2012
1 cos2xdx  2012 2 sin x dx  2012 2 sin xdx  2  012 2 cos x  4024 2.    0 0 0 0 2
Bài 2. Tính tích phân I  ln   2
sin x  1 sin x dx 0
TÍCH PHÂN LIÊN KẾT F (x) Xét tích phân I d . x
  là các số thực tự do, n là số nguyên 1  , trong đó ,  n
 F (x)   G(x)
dương; F (x),G(x) là các hàm số lượng giác.
Việc tính trực tiếp tích phân I tỏ ra khó khăn, khi đó ta sẽ gián tiếp tính I thông qua tích phân 1 1 G(x) I d . x 2   n
 F (x)   G(x) 523 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Khi đó ta có  dx
 I  I  (*) 1 2     n
 F (x)   G(x) 1  (1)
kF ( x)  lG(x) kI lI d ( x **) 1 2    n
 F (x)   G(x) 
Các hệ số k,l được chọn sao cho kF (x)  lG(x) là đạo hàm của  F (x)  G(x) .
Trong đó tích phân (*) và (**) tính đơn giản hơn, khi đó giải hệ (1) suy ra I , I . 1 2 BÀI TẬP MẪU 4 sin x
Bài 1.Tính tích phân I  . dx  4 4 sin x  os c x Lời giải: 4 os c x Xét tích phân K dx  4 4 sin x  os c x 4 4 sin x  os c x
Ta có I K
dx dx x c (1)  4 4 1  sin x  os c x   2 2
sin x cos x 2 2 4 4 sin x cos sin os x x c xI K dx dx  4 4 
sin x cos x 1 2 1 sin 2x 2 2 os c 2xdx d sin 2x 1 sin 2x  2    ln  c (2)  2  2 2 sin 2x  2 sin 2x  2 2 2 sin 2x  2 1 sin 2x  2 x
Từ (1) và (2) suy ra I  ln   c 4 2 sin 2x  2 2 2 sin xdx
Bài 2. Tính tích phân I d . x
sin x  3cos x3 0 524 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải: 2 cos xdx Xét tích phân K dx
sin x  3cos x3 0 2 2 dx 1 dx 1   3
Ta có I K     cot x      2  (1)
sin x  3cos x2 4  2  4  3  3 0 0 sin x  0    3  2 2 d  sin x  3cos cos 3 sin x x x  1 3  3 K  3I dx    2  (2)  
sin x  3cos x3
sin x  3cos x3
2 sin x  3 cos x 6 0 0   0 3 1
Từ (1) và (2) suy ra I  . 6 2 100 sin x
Bài 3. Tính tích phân I d . x  100 100 sin x cos x 0 Lời giải: 2 100 o c s x Xét tích phân K dx  100 100 sin x cos x 0 Đặt x
t dx  dt . Khi x  0  t  ; x   t  0. 2 2 2 100   sin  t 2 100 0   2 100 sin x  2  sin t Vậy I dx dt dt  . K  100 100   100 100 sin x cos x     100 100 sin t cos t 0 0 sin  t cos  t     2  2   2  Mặt khác ta có 2
I K dx x 2  .  2 0 0 525 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Vậy I K  . 4
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 2 sin xdx
Bài 1. Tính tích phân I  . 
sin x  cos x3 0 2 sin x
Bài 2. Tính tích phân I d . x  sin x  cos x 0 3 2 o c s dx
Bài 3. Tính tích phân I  . 
sin x  3 cos x 0 2 3 sin x
Bài 4. Tính tích phân I d . x  sin x  cos x 0
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ KHÔNG LÀM THAY ĐỔI CẬN
Dưới đây xin trình bày kỹ thuật đổi biến số không làm thay đổi cận tích phân với một
số bài toán tích phân hàm lượng giác cũng như tích phân các hàm số khác khi mà ta khó áp
dụng cách tính tích phân thông thường.
Đảm bảo khi đọc phương pháp này các bạn sẽ không cần phải để ý tới các dạng tích
phân đặc biệt! b Xét tích phân I f ( x)d . xa
Khi đó ta sẽ đổi biến số bằng cách đặt x a b t thì ta có 526 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG dx  dt
x a t b
x b t aa b
Lúc này cận mới của tích phân là  f (a b t)dt f (a b t)dt   b a
Vẫn là từ a đến b không thay đổi. BÀI TẬP MẪU
Ta xét bài toán quen thuộc sau 4
Tính tích phân I  ln 1 tan xdx (1)  0
Thông thường ta nghĩ đến các hướng 4 4 4 4  sin x
Hướng 1. I  ln 1 tan xdx  ln 1 dx  ln    
sin x  cos xdx  lncos xd . x    cos x  0 0 0 0  1 u
  ln 1 tan xdu dx
Hướng 2. Dùng tích phân từng phần 2   o c s x  1 tan x dv dx  v x 4 xdx
Suy ra I x ln 1 tan x 4   2 o
c s x 1 tan x 0   0
Cả hai hướng này nhận thấy khó hiệu quả.
Ta giải quyết bài toán này bằng cách đổi biến số không làm thay đổi cận như sau Lời giải: Đặt x   0  t
t dx  dt  
. Khi x  0  t  ; x   t  0.  4  4 4 4 527 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4 0 4      1  tan t
Vậy I  ln 1 tan xdx   ln 1 tan  t dt  ln 1 dt            4    1 tan t  0 0 4 4 4 4  2   ln
dt  ln 2dt  ln   
1 tan tdt  ln 2  I  2I  ln 2  I  ln 2.    1 tan t  4 4 8 0 0 0
Rất đơn giản phải không nào!
Nhưng từ hướng 2 và cách giải này ta có bài toán tương đối hay sau 4 xdx
+ Tính tích phân I  (*)  2 o
c s x 1 tan x 0  
Và một bài được suy ra từ (1) 1 ln 1 x Tính tích phân I dx
. Nếu đặt x  tan t thì đưa về tích phân (1) 2 1 x 0
Các bạn thử giải quyết bài toán sau: 1 ln 1 ax
Liệu tính được tích phân I dx
, với a là số thực không âm. 2 1 x 0
Các bạn thử nghĩ cách giải quyết bài toán (*) khi không dùng các kết quả trên nhé! Một bài tập phải không nào!
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO CÓ DẠNG TƯƠNG TỰ TRÊN
Sưu tập trên http://ezine.math.vn 1.1.
ln a b cos xdx, a,b  ;a b   . 0 2 x cos x 1.2. I dx  . 2  sin x  2 528 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG x sin 2x 1.3. I dx  . o
c s2x  8 cos x  9 0 2 1.4. 2 I
x  2x  2 ln 2  xdx  . 0 ln  2 3 3  x 1.5. I dx  .   1 x 4 x 2
Sau đây trình bày một số ví dụ minh họa phương pháp này: x sin x
Bài 1. Tính tích phân I d . x  2 o c s x  4 0 Lời giải:
Đặt x t dx  dt .
Khi x  0  t ; x t  0.
0 tsin t
tsin t sin t t sin t Vậy I   dt dt dt dt  2    o c s      t  2 2 2 4 o c s t 4 o c s t 4 o c s t 4 0 0 0 sin x x sin x sin x dx dx dx I  2  2  2 o c s x  4 o c s x  4 o c s x  4 0 0 0 sin x d cos x cos x  2 I dx    ln   ln 3.  2  2 2 o c s x  4 2 o c s x  4 8 cos x  2 0 4 0 0 2 3 sin x
Bài 2. Tính tích phân I d . x  sin x  cos x 0 Lời giải: 529 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Đặt x
t dx  dt; x  0  t  ; x   t  0. 2 2 2  3  sin  t 0   2 3 2 3  2  o c s t o c s x Vậy I   dt dt dx K.        sin t  cos t sin x  cos x 0 0 sin  t cos  t     2  2   2  Lại có 2 3 3 2 2 2
sin x cos x 1  1  1 I K
dx  1  sin xcos xdx dx
sin 2xdx x  o c s2x 2        sin x  cos x 2  4  2 0 0 0 0 0 1
Từ đó suy ra I K  . 4 4 6 6
sin x cos x
Bài 3. Tính tích phân I d . x  6x 1  4 Lời giải:
Đặt x  t dx  dt; x    t  ; x   t   . 4 4 4 4  4 t x sin  t
   cos  t   4 6  6 6
sin t cos t  4 6  6 6 6 6
sin x cos x Vậy I   dt dt dx    6t 1 6t 1 6x  1   4 4 4 6x 1  1  6 6 4
sin x cos x 4  dx x c x dx Ix   6 6 sin os  6 1   4 4 4 4 1    I    1 3 5 6 6 sin x  o c s x 2 dx  1  sin 2x dx  .    2 2  4  32   4 4 530 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 dx
Bài 4. Tính tích phân I   . 2 4 2
1 1  x x
x  3x 1 Lời giải:  2 1 x x  4 2 1 1 2 1 4 2  x  3x 1 1 x x x  3x 1 Ta có I dx dx dx     
 1 x x 2   x  3x   2 1 x   2 1 x  2x   2 2 4 2 1 x 1 1 1    1 2 1 1 x x  1 1    1  1  4 Xét tích phân M dx    d
x   ln x  arctan t     . 2x         2 1 x  2x 2   2 1 x 2 1  4 1 1        4  1 4 2 x  3x 1 N dx
, đặt x  t dx  dt; x 1  t  1  ; x  1   t  1. 2x  2 1 x 1    t
 4  3t 2 1 1 4 2 1 t  3t 1 Khi đó N  dt  
dt  N N  0   . 2 t
  1 t2  2t    2 1 t 1 1 
Vậy I M N  . 4 Bài 5. Cho f (x) là hàm số lien tục trên đoạn  ;
a a, a  0 thỏa mãn 3 2
f (x)  f ( x) 
2  2 cos 2x . Tính tích phân I f (x)dx  3  2 Lời giải: 3 3
Đặt t  x dt  d ; x x    t
; x  0  t  0 2 2 3 3 0 0 2 2 Suy ra
f (x)dx
f (t)dt
f (t)dt
f (x)dx     3 3 0 0  2 2 531 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3 3 3 3 2 0 2 2 2 
f (x)dx
f (x)dx
f (x)dx
f (x)  f (x) dx  2  2 cos 2xdx      3 3 0 0 0   2 2 3 3   2 2    2 sin x dx  2 sin xdx  sin xdx  6      0 0     2 2012 2 sin
x cos x
Bài 6. Tính tích phân I dx  2012 2012 1 sin x cos x 0 Lời giải: Đặt x
t , tương tự trên ta suy ra 2 2 2012 2 o c s x  sin x I dx  2012 2012 1 sin x cos x 0 Từ đó ta có 2 2012 2012 2 2 2 sin x cos
x  sin x cos x 2I I dx dx   I   2012 2012  1 sin x cos x 2 4 0 0 2
Bài 7. Tính tích phân I  sin x sin 2xdx  0 Lời giải: 2 Đặt t
x khi đó I  cos x sin 2xdx  2 0 532 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 2 2
Suy ra 2I  sin x  cos x sin 2xdx  sin x  cos x 1sin x  cos xdx   0 0
Đặt t  sin x  cos x dt  cos x  sin xdx 1 1 Khi đó 2 I  1 t dt   . 2 4 1  x
 3cos x  4sin x 2 sin x  4
Bài 8. Tính tích phân I    dx  3 0 1 sin x Lời giải:
Đặt t x  3 
cos x  4sin x 2 sin x  4 x
 3cos x  4 sin x 2 sin x  4 I  dx      dx   3 3 0 1 sin x 0 1 sin x  x x x    3
cos x  4sin x 2 2 sin x  4 6 .cos .sin  Do đó 2I dx     dx   3 3 0 1 sin x 0 1 sin x  2 6 x  3  2 cos . x sin x 3  dx  4 1  sin xdx   3 0 1 sin x 0 Ta có  2 6 x  3  2 cos . x sin x dx  2   2
2 x d  3 1 sin x 3  0 1 sin x 0  2 2
2 x  3 3 1 sin x  4 1 sin xdx  0 0 Suy ra I   2
 x  3 2 2 1 sin x  2 0
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 533 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2
Bài 1. Tính tích phân I  ln  tan xd . x  0 x sin xdx
Bài 2. Tính tích phân I  .  2 9  4 cos x 0 2 sinn x cos x
Bài 3. Tính tích phân I d . xn 1  n 1 sin
x cos  x 0 2 4 sin xdx
Bài 4. Tính tích phân I  .  sin x  cos x 0 8 dx
Bài 5. Tính tích phân I  .  x e   1 o c s2x  8  4 sin x   2 2 1 o c s x
Bài 6. Tính tích phân I d . xx e 1  2 3
Bài 7. Tính tích phân I x tan x  cot xd . x 6 x sin x
Bài 8. Tính tích phân I d . x  2 o c s x 1 0 2
Bài 9. Tính tích phân I    sin x  cos x d .x 0 2 3 sin x
Bài 10. Tính tích phân I d . x  3 3 sin x  cos x 0 2 sin x
Bài 11. Tính tích phân I d . x
sin x  cos x3 0 534 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2
Bài 12. Tính tích phân I  cos . x ln   2
x  1 x d .x  2 2
Bài 13. Tính tích phân I  ln sin xd . x  0 2  1 
Bài 14. Tính tích phân 2 I    tan cos x  . dx  2    os c sin x  0       x 1 sin x1 cos 2
Bài 15.Tính tích phân I  ln d . x  1 cos x 0 1 ln 1 x
Bài 16.Tính tích phân I d . x  2 1 x 0 2 dx
Bài 17. Tính tích phân I  .   0 1 tan x 2
Bài 18. Tính tích phân I    2 o
c s 2011 cos x  2
 sin 2011 sin x dx . 0 2 cos x
Bài 19. Tính tích phân I dx  2 1  x x  1  2 3
Bài 20. Tính tích phân I  ln
 1 3 tan xdx 0 2
Bài 21. Tính tích phân I
sin 2012x  sin xdx  0 1  2  x
Bài 22. Tính tích phân 2 I x ln dx     2  x  1 535 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG  x  3
cos x  cos x  sin x
Bài 23. Tính tích phân I dx  2 1 cos x 0 4
ln 9  xdx
Bài 24. Tính tích phân I  
( The Putnam Mathematica Competition 2
ln 9  x  ln  x  3 1997). 1 2 x 1
Bài 25. Tính tích phân I dx       4 2 x x 1 x e 1 1   sin nx
Bài 26. Tính tích phân I dx   1 2x sin x 2012 x sin x
Bài 27. Tính tích phân I dx  2012 2012 sin x  cos x 0 1 x 1
Bài 28. Tính tích phân I dxx 1  x 0
ĐỔI BIẾN SỐ DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC HÓA
Khi gặp một số bài toán mà biểu thức dưới dấu tích phân chứa căn thức, ta thường đổi biến
số dưới dạng lượng giác như sau. + Nếu có chứa 2 2
a x thì đặt x  a sin t hoặc x a cos t . a a + Nếu có chứa 2 2
x a thì đặt x  hoặc x  . cos t sin t + Nếu có chứa 2 2 x a hoặc 2 2
x a thì đặt x  a tan t . x a + Nếu có chứa
thì đặt x a cos 2t . a x 536 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
+ Nếu có chứa  x ab x thì đặt x a  b a 2 sin t . BÀI TẬP MẪU 2
Bài 1. Tính tích phân 2 I  4  x d . x  0 Lời giải:  
Đặt x  2 sin t, t   ;
dx  2 cos tdt  . 2 2   
Khi x  0  t  0; x  2  t  . 2 2 2 2  1  Vậy 2 2 I
4  4 sin t .2 cos tdt 4 cos tdt 2 1 o
c s2tdt 2 t  sin 2t      2  .  2  0 0 0 0 1 dx
Bài 2. Tính tích phân I d . x   2 4  x  2 0 4  x Lời giải:
Đặt x  2 sin t dx  2 cos tdt .
Khi x  0  t  0; x  1  t  . 6 Vậy 6 6 6 6 2 cos tdt 2 cos tdt dt 1 1 1 I     d tan t  tan t 6  .    2     2 4  4 sin t  2 2 2 4 cos t 4 4 4  4 sin t 4 cos t 4 o c s t 4 3 0 0 0 0 0 1
Bài 3. Tính tích phân 2 2 I x 1 x d . x  0 537 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Lời giải:
Đặt x  sin t dx  cos tdt . Khi x  0  t  0; x  1  t  . 2 2 2 2 2 1 1 Vậy 2 2 2 2 2
I  sin t 1 sin t cos tdt  sin t cos tdt  sin 2tdt  1 o
c s4tdt     4 8 0 0 0 0 1  1  t  sin 4t   2  . 8  4  16 0 1 2 2 x dx
Bài 4. Tính tích phân I  .  1 x 3 2 0 Lời giải:    1
Đặt x  sin t, t   ;
dx  cos tdt
. Khi x  0  t  0; x   t  . 2 2    2 6 6 2 6 2 6 6 sin t cos tdt sin tdt dt 1 1 Vậy 2 2 I    tan t
 tan td  tan t 3  tan t 6  .   4  2   c t c t 1 sin t 3 2 os os 3 9 3 0 0 0 0 0 1
Bài 5. Tính tích phân 3 2 I x 1 x d . x  0 Lời giải: dt
Đặt x  tan t, t  0;  dx    2  2  cos t
Khi x  0  t  0; x  1  t  . 4 4 4 3 4 3 dt tan t sin t Vậy 3 2
I  tan t 1  tan tdt dt  2  3  6 o c s t o c s t o c s t 0 0 0 538 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 4 2 1 cos t  1 1  2  d cos t      4  1  2 . 6   5 3   o c s t  5 o c s t 3cos t  15 0 0 5 2 5  x
Bài 6. Tính tích phân I d . x  5  x 0 Lời giải:
Đặt x  5 cos 2t, t  0;
dx  10 sin 2tdt  . 2    5
Khi x  0  t  ; x   t  . 4 2 6 6
51 cos2t  6 Vậy 2 I  1  0 sin 2tdt  20 o c s tdt   5  1 cos2t 4 4 6  1  6 5 5
 10 1 cos2tdt  10 t  sin 2t      2  3.  2  6 2 4 4
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1
Bài 1. Tính tích phân 4 2 I x 1 x d . x  0 2
Bài 2. Tính tích phân 3 2 I x 4  x d . x  1 1 2  x
Bài 3. Tính tích phân 3 I x d . x  2  x 0 1
Bài 4. Tính tích phân 2 I x 1d . x  0 539 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 2 x dx
Bài 5. Tính tích phân I  .   2 x   2 0 1 x 1 1 dx
Bài 6. Tính tích phân I  .  2 0 x 1 0
Bài 7. Tính tích phân 2 I
x  2x  2d . x  1 1 x 5 2 1
Bài 8. Tính tích phân I  . dx  8 x 1 3 1 2 1 x
Bài 9. Tính tích phân I d . x  1 x 0 2 dx
Bài 10. Tính tích phân I  .  2 2 x x 1 8 2 x 16
Bài 11. Tính tích phân I d . xx 4 1 3 x
Bài 12.Tính tích phân I  . dx  1 x 3 2 0 1
Bài 13. Tính tích phân 2
I x x  2x  2d . x  0
BÀI TOÁN DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH VẬT TRÒN XOAY + Diện tích hình phẳng
y f (x), y  0
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
x a, x bb
Khi đó diện tích hình phẳng là : S f (x) dx  . a 540 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
y f (x), y g(x)
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường 
x a, x bb
Khi đó diện tích hình phẳng là: S
f (x)  g(x) d . xa
Khi đề bài chưa cho x a, x b thì khi đó x a, x b được tìm ra từ nghiệm của phương trình
f (x)  g(x).
y f (x), y  0
+ Thể tích vật thể giới hạn bởi các đường 
khi quay quanh trục hoành Ox .
x a, x bb 2 V f ( x)d . x xa
y f (x), y g(x)
+ Thể tích vật thể giới hạn bởi các đường 
khi quay quanh trục hoành Ox .
x a, x bb 2 2 V
f ( x)  g (x) d . x xa BÀI TẬP MẪU
Bài 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y  e   1 x và  1 x ye  . x Lời giải:
Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình    1  1 x     x e x e x
x e e  0  x  0 và x  1.
Vậy diện tích cần tính là 1 1 1 1 2 1 x 1 S x   x
e edx x   x e e x
dx e xdx xe dx exd     x e  2 0 0 0 0 0 0 1 e  1  e  1  e x x x    xe
e dx     e e   1(dvdt).  2 0 2 0 2  0    541 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x ln x với trục hoành và đường thẳng x  . e Lời giải:
Giao điểm của đường cong y x ln x với trục hoành là nghiệm của phương trình
x ln x  0  ln x  0  x  1.( do điều kiện x  0).
Vậy diện tích cần tính là e
S x ln xdx  1  dx du u   ln x   x Đặt    dv xdx 1  2 v x   2 e 2 2 1 e 1 e 1 e e 1 Vậy 2 2 S x ln x xdx   x   .  2 1 2 2 4 1 4 4 1 1
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2
y   4  x và 2 y   x . 3 Lời giải:
Hoành độ giao điểm của hai dường cong là nghiệm của phương trình 1 2 2 2 2
 4  x   x  3 4  x x  9 2 4  x  4  x   2 x   3  2
x 12  0  x   3.vậy 3 diện tích cần tính là 3 3 3 1  1  1 3 2 3 2 2 2 2 3 2 S
x  4  x dx   x  4  x dx   x  4  x dx    I.      + 3  3  9 3  3  3  3  3 3 Tính 2 I  4  x dx  .  3   
Đặt x  2 sin t, t   ;
dx  2 cos tdt.  2 2    542 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Khi x   3  t  
; x  3  t  . 3 3 3 3 3  1  3 4 Vậy 2 2 I  2
4  4 sin t cos tdt  4 cos tdt  2 1 o
c s2tdt  2 t  sin 2t   3       2  3     3 3 3 3 4 3 vậy S   . 3 3
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bà 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2  2 x y x e và 3 x y  x e .
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong 2
y  8x  16 và 2
y  24x  48.
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2
y x ln x với trục hoành và đường thẳng x  . e 2 3
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y x và y    x3 2 2 .
Bài 5.Xác định số dương a sao cho diện tích hình phẳng giớ hạn bởi hai đường cong 2 2
x  2ax  3a 2 a ax y  và y  là lớn nhất. 4 1 a 4 1  a
Bài 6.Tính thể tích giới hạn bởi đường cong     1 x y x
e và đường thẳng x e khi quay quanh trục hoành.
Bài 7.Tính thể tích giới hạn bởi đường cong 6 6
y  sin x  o
c s x và hai đường thẳng x  0 và x  khi quay quanh trục hoành. 2
Bài 8.Tính thể tích giới hạn bởi hai đường cong 2
y  4  x và 2
y x  2 khi quay quanh trục hoành.
Bài 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 543 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG x y
; y  0; x  0; x . 1 sin x
Bài 10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba đường sau: 2 x Elip  E  2 :
y  1; đường thẳng d  : x  2 3y  4  0 và trục hoành. 4
Bài 11. Cho  H  là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  log
x , trục Ox và đường thẳng có 2 xe
phương trình x e . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi  H  quay quanh Ox .
Bài 12. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x xe y
, trục hoành và đường thẳng x  1 quay quanh trục hoành. x e  1
Bài 13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y xsin2 ; x y  2 ; x x  2 x 2
Bài 14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 x 1 y e  
; trục Ox và hai đường
thẳng x  0; x  1.
Bài 15. Tính thể tích vật tròn xoay sinh bởi hình phẳng  H  quay quanh Ox . Biết  H  giới hạn 1
bởi Ox,Oy và đồ thị hàm số y
và đường thằng x  1 . x x e e
x ln 2  x
Bài 16. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y  và trục hoành. 2 4  x
Bài 17. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
y x 1 và đường thẳng thẳng y x  5
Bài 18. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y x  4 x  3 và đường thẳng y x  3 . 2 x 2 x
Bài 19. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  4  và y  4 4 2 544 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 20. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn e
bởi đồ thị hàm số y
 ln x , trục hoành và đường thẳng x  1 . x
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP  2 1  2  2 x x x e 1.1. I dx  2 x  4x  4 0 e Đáp số: I
; dùng phương pháp tích phân từng phân. 3 1 1.2. I  ln  4 2
3x x   2ln xdx 1 3 4 ln 2  ln 3 4 3 Đáp số: I   
; dùng phương pháp tích phân từng phân kết hợp đổi 3 3 9 biến số. 2 x 1 1.3. I dx  2 1 x x 1 1 dx 1.4. I    x   2 0 1 x  2x 1 1 Đặt 2 t
x  2x 1 hoặc đặt x 1  t 4 2 x 1.5. I dx   x x x2 0 sin cos 1 2 2012  x 1.6. I dx  2012  x 2 2 0 2 2 1.7.     1 .min3x I x , 4    x dx 0 545 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 o
c s2x  cos x  2 1.8. I dx  2 0 1  cos x
cos x cos x 2
Viết lại I    2
1 cos x  cos x  o
c s x dx . 0 x   1 cos x 2 1 tan
tan x  sin x tan x  sin x 2        2  1.9. I dx  tan  x sin x 4 2 2  o c s2x  cos . x o
c s 2sin x 2 sin 2 Viết lại I dx  ln 
sin 2x sin 2sin x  ln sin 2x  sin 2sin x 1 sin 2 4 4 3 . x sin x 1.10. I dx  . 2 o c s x  3 1x   1 x e e  ln x 1.11. I dx  1 xe 2 1
6 sin x  cos x x sin x  cos x 1 1.12. I dx  2 x x  
sin x cos x sin x cos x 12 6 ' ' Viết I
 ln sin x x ln o c sx x d      x   12 4  1 tan x1.13. I    dx  tan x
lnsin x ln cos x   3 1 7x 1 1.14. I dx   x  5 0 1 546 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 1 1 dx 1 1  x 1  Viết lại I    d     5 5 6  7x 1  0  x 1   x 1  .7x    2 0 1    7x  1   7x 1  2 x 1 1.15. I dx  2 2 1 x 2x  2x 1 x 2x   1 2 2  x x  2x x   2 2 2 1 2
2x  2x   2 2 2 1 2 2x  2x  1
 2x  2x 1  Viết lại I dx dx d     2  2 2 xx  1 x 2x  2x 1 1 1   6 3 o c s x 1.16. I dx  3 3
sin x cos x 0 3 1.17. I  tan xdx 4 Đặt t  tan x 1 ln 1 x1.18. I dx  2 1 x 0
Đặt x  tan t 2  1  1.19.
I  cos x sin x   1 1 dx   3   sin x  4 e 2
x 1 1 ln x 2  x 1.20. I dx  2 1 x x  1
4 x x sin x x   sin x 1.21. I dxx 1 0 e 2 ln x  ln x 1.22. I dx
ln x x  3 1 1 547 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 ln x  ln  2 5 x 15 1.23. I dx
x 15 x x 152 2 2 1
Viết tích phân dưới dạng:  x  15 ln   5 2 2  x 15  I dx  2 15 1    2 x x 153 1   2  x 15  x 15dx Đặt t   dt  2 x 15 x 153 2  sinx 2sin x 2 eex  sin x cos x x e 1.24. I dx  2 2sin x x e 2 4 tan x 1.25. I dx  3  cos2x 0
e 2  x   x   2 1 ln x  ln x 1.26. I dx
1 x ln x2 1 2 1 xxe  2 2 xx e 1.27. I dxx 2 xxe 2 2 1 2 ex  
1 sin ln x  x o c s ln x1.28. I dxx 1 3 4
x cos x1.29. I dx     4 3 4 3  o c s x   sin x  1     4  2   2 
e 2  x   x   2 1 ln x  ln x 1.30. I  
1 x ln x2 1 548 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 2 o c s x  2 2 2x  o c s2x1.31. I dx
x  sin x cos x2 4
4 ln sin x  cos x1.32. I dx  2 o c s x 0
4 tan x ln cos x1.33. I dx  cos x 0 4 dx 1.34. I  
cos x 2  sin 2x 0 2 2 2
sin x x cos x x sin 2x 1.35. I dx  2
x sin x  sin x 6 2 16x  4 1.36. I dx
sin x  cos x2 0 e 2
x 4 ln x   1  2x   2
1 ln x  4x ln x 1.37. I dx  2
x ln x x  ln x 2   2 2 4 x o
c s2x x sin 2x  o c s x 1.38. I dx
x  sin x cos x2 4  sin x  2    4  1.39. I dx
2 sin x cos x  3 4 3 4 2 cot x  cot x 1.40. I dxx e 2 549 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
2  x  21 2 x xe  1 1.41. I dxx 1 xxe 1   1 1.42.  2 2  2 1 1 x x I x x e     dx 0 2 4  cos x1.43. I dx   
 sin x  cos x  0 2
4  cos x  sin x 1.44. I dx     cos x  0 2 1 sin 2x 1.45. I dx  1 sin 2x2 0 2 sin x  cos x 1.46. I dx
1 cos x 1 sin x 0    2  sin x x1.47. I    .cos x dx   x sin x  4 2 dx 1.48. I  
sin x  cos x  2 sin x cos x  sin x cos x 4 2 1  2 1 x  1 x 1.49. I  ln dx  2   1 x  1 x  0
6 sin x  cos x 1.50. I
ln 2  sin 2xdx  1 sin 2x 0
1 1 2xx
e  1 2x x e 1.51. I dx   xx e e 3 0 550 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 3 2 x 1.52. I dx    1
x tan x x tan x 2 cos x 4  2
1 x x  cos ln  2 x  1 x  2  1 x sin ln  2 1 x  1 x 1.53. I dx   2 1 x  2 0 1 x 1 2 x 1.54. I dx              2x  2 1 x x 1  2x  2 1 x x  4 2 1 1 x x 1 2 3 8 11 4 cos 2x  o c s4x 1.55. I dx  1 o c s4x 8 1 2
sin x  sin 2x 1 1.56. I dx   x 2 e  sin x 1 0
2 x  sin x  cos x 1 1.57. I dxx
x e  sin x 0 3
sin x  cos x  3 sin x  cos x  o c s2x 1.58. I dx sin 2x 4
2 5  sin 2x  3sin x  5 cos x 1.59. I dx
sin x  cos x  2 0 2 x e x  2 1.60. I dxx  2 x x e 1  2 2 2 2 1 2 x 2 2 2 x x e x e  2 x x xe e 1 1.61. I dx 2  x xe 1 0 e 2 x
xe x ln x x 1 1.62. I dx  2 x
x e  ln x  1 1   551 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG e  1 1  1.63. I  1  ln    2
x 1 x ln x dx 2   x x  1 e  1 1   1 ln x 1.64. I  1  ln 1  dx  2   2   x x   x x  1 e 2
x 1 x ln x 1.65. I  o
c s ln x 1  dx  3 2   x x    1 1 1.66.   2x 2  x  2012 xx I e e e e dx 0 1 x xa 1.67. I dx   x a  2 0 ln 1 1 x
a x ln a   1 1.68. I dx   x
a x ln a  22 0 1 2011 x 1.69. I dx  2013 x  2012 0 2 dx 1.70. I     1 3 4 x 1 x x x . x .n x      3 2012 x 1 1.71. I dx   x   1  2013 x 1 2  2 cos x 1.72. I dx   x e
 2 sin x  cos x 0   2 n
x  6 sin x  cos x1.73. I   2 3 x x 0 x
e  sin x 1 x   2 6
e x 1 ln x2  1 ln x2 2 1.74. I dx
x 1 ln x2 1 552 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG   3  x 1  1.75. I   tan  dx    2 x  tan 4    2  1 4 2 x 1  x 1.76. I dx  4 x 1 0 Đặt 2 x  tan t 2 1.77.
I  sin x sin 2xdx  0 Đặt t   x 2 553 Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam