14 trang 32 lượt tải

Chuyên đề trắc nghiệm các công thức cơ bản về tích phân Toán 12

64

Chuyên đề trắc nghiệm các công thức cơ bản về tích phân Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/14
CHỦ ĐỀ 7: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm hình thang cong
Cho hàm số
()y fx=
liên tục, không đổi dấu trên đoạn
[ ]
;ab
. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm
số
()y fx=
, trục hoành và hai đường thẳng
,
x ax b= =
được gọi là hình thang cong.
2. Tích phân là gì?
Định nghĩa: Cho
()fx
là hàm số liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
. Giả sử
F( )x
là một nguyên hàm của
()
fx
trên
đoạn
[ ]
;ab
. Hiệu số
( )
( )
Fb Fa−
được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn
[ ]
;ab
) của hàm số
()fx
, kí hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫
.
Ta còn dùng kí hiệu
để chỉ hiệu số
( ) ( )
Fb Fa−
Vậy
(
)
(
)
(
)
(
)
b
b
a
a
f x dx F b F a
Fx
= = −
∫
Ta gọi
b
a
∫
là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên,
( )
f x dx
là biểu thức dưới dấu tích phân và
()fx
là
hàm số dưới dấu tích phân.
Chú ý: Trong trường hợp
ab=
hoặc
ab>
, ta quy ước
( )
0=
∫
a
a
f x dx
;
( ) ( )
ba
ab
f x dx f x dx= −
∫∫
Nhận xét: Tích phân của hàm số
f
từ a đến b có thể kí hiệu bởi
( )
b
a
f x dx
∫
hay
( )
b
a
f t dt
∫
. Tích phân
đó chỉ phụ thuộc vào
f
và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t.
Tức là:
( ) (
) ( )
b bb
a aa
f x dx f t dt f u du= =
∫ ∫∫
Ý nghĩa hình học của tích phân
Nếu hàm số
()fx
liên tục và không âm trên đoạn
[ ]
;ab
, thì tích phân
( )
b
a
f x dx
∫
là diện tích S của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị của
()fx
, trục Ox và hai đường thẳng
,
x ax b= =
.
Vậy
( )
b
a
S f x dx=
∫
- Tính chất 1:
( ) ( )
bb
aa
kf x dx k f x dx=
∫∫
(với k là hằng số)
- Tính chất 2:
( ) ( )
( )
( )
b bb
a aa
f x g x dx f x dx g x dx

±= ±
∫ ∫∫
- Tính chất 3:
( ) ( )
(
) (
)
b cb
a ac
f xdx f xdx f xdxa c b= + <<
∫∫∫
Chú ý: Mở rộng của tính chất 3.
( )
(
) (
) (
)
( )
12
1
12
... ...
n
cc
bb
n
a ac c
f xdx f xdx f xdx f xdxa c c c b
= + + << << <
∫∫∫ ∫
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ví dụ 1: Tích các tích phân sau:
A.
1
2
0
2I x x dx= −
∫
B.
2
2
2
1
31++
=
+
∫
xx
I dx
xx
C.
( )
1
31
0
x
I x e dx
−
= +
∫
D.
2
0
sin
1 cos
π
=
+
∫
x
I dx
x
Lời giải
a)
(
) (
) (
)
(
)
1
11
13
22 2 2 2
22
00
0
1 1 12
2 2 2 2 .2
2 2 23
I xdx xdx x
=− − −=− − −=− −
∫∫
( )
1
3
2
0
1 22 1
2
33
x
−
=−− =
b)
( )
2
2 2 2 22
22
2
2
2 22 2
1
1 1 1 11
31 21 5
1 ln 1 ln
3
+
++ + +
= = + = + =+ +=+
+ ++ +
∫ ∫ ∫ ∫∫
dx x
x x xx x
I dx dx dx dx dx x x
xx xx xx xx
c)
(
)
1
1
2 31 2
31
0
0
11
2 3 233
x
x
xe e
I x e dx
e
−
−

= + = + =+−


∫
d)
( )
22
2
0
00
d cos
sin
ln 1 cos ln 2
1 cos 1 cos
ππ
π
= =− =−+ =
++
∫∫
x
x
I dx x
xx
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
A.
2
1
3
dx
I
xx
=
++
∫
B.
( )
ln 2
2
0
1
xx
I e e dx= −
∫
C.
3
2
0
1I x x dx= +
∫
D.
(
)
3
2
0
3 16I x x x dx= ++
∫
Lời giải
a)
( )
( )( )
22 2
11 1
3
3
3
3
33
x x dx
dx x x
I dx
xx
xx x x
+−
+−
= = =
++
+ + +−
∫∫ ∫
( )
( )
( )
( )
2
23
1
1
3
3
2
2
11
1
1 1 2 22
3 3 3 55227
3 3 9 99
x d x x dx x x

= + +− = + − = − −


∫∫
b)
( ) (
) ( )
( )
ln 2
3
ln 2 ln 2
22
00
0
1
1
1 11
33
x
xx x x
e
Ieedxede
−
= − = − −= =
∫∫
c)
( )
( )
( )
3
33
1
3
2 22 2
2
0
00
1 12 7
1 1 1. 1
2 23 3
I x x dx x d x x= + = + += + =
∫∫
d)
(
)
( )
3
3 33
3
2 2 2 32
0 00
0
3 16 3 3 16 16 88.I x x x dx x dx x x dx x x

= ++ = + + =+ + =


∫ ∫∫
Ví dụ 3: Biết rằng
3
2
2
ln 2 ln 3
1
x
dx a b
x
= −
−
∫
, trong đó
,ab
∈
.
Tính giá trị của biểu thức
4S ab a b
= ++
A.
5S =
B.
6
S =
C.
5
2
S =
D.
7
2
S =
Lời giải
Ta có
(
)
2
33
3
2
22
2
22
3
1
1 1 183 1
2
ln 1 ln ln 2 ln 3
1
1 2 1 2 232 2
2
a
dx
x
dx x
xx
b
=
−
= = −= = − ⇒
−−
=
∫∫
Suy ra
331
4. 5
422
S
= ++=
. Chọn A.
Ví dụ 4: Biết
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên đoạn
[
]
;
ab
và
( )
( )
3 23Fa Fb−=
Tính tích phân
( )
b
a
I f x dx=
∫
A.
2I = −
B.
2I =
C.
2
3
I =
D.
2
3
I
−
=
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
3 23 3 2
3
Fa Fb Fb Fa Fb Fa
−

− = ⇔ − =−⇔ − =

Do đó
( ) ( )
( )
2
3
b
a
I f x dx F b F a
= =−=−
∫
. Chọn D.
Ví dụ 5: Cho các tích phân
( ) ( )
25
33
2; 4f x dx f t dt
−−
= =
∫∫
. Tính
( )
5
2
f y dy
∫
A.
2I =
B.
6I =
C.
2I = −
D.
6
I = −
Lời giải
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 55
3 3 33
2; 4f x dx f y dy f t dt f y dy
− − −−
= = = =
∫∫ ∫∫
(tích phân không phụ thuộc vào biến)
Lại có:
( )
( ) (
)
2 55
32 3
42 2
f y dy f y dy f y dy I
−−
+ = ⇒=−=
∫∫∫
. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho hàm số
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
( )
1; 2 ; 1 1f = −
và
( )
23f
=
Tính tích phân
( )
2
1
2I x f x dx
′

= +

∫
A.
5I =
B.
4I =
C.
11
2
I
=
D.
7
I =
Lời giải
Ta có:
( ) (
) (
)
22
2
2
1
11
2 2 1 34 7I xdx f x dx x f f
′
= + = + − =+=
∫∫
. Chọn D.
Ví dụ 7: Cho
( )
2
0
5f x dx
π
=
∫
. Tính
( )
2
0
2sinI f x x dx
π

= +

∫
A.
7I =
B.
5
2
I
π
= +
C.
3
I =
D.
5I
π
= +
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
2
2 2 22
0 0 00
0
2sin 2 sin 2cos 7I f x x dx f x dx xdx f x dx x
π
π π ππ

=+ = + = −=

∫ ∫ ∫∫
. Chọn A.
Ví dụ 8: Cho tích phân
(
)
2
1
2
f x dx
−
=
∫
và
( )
2
1
1
g x dx
−
= −
∫
. Tính
( ) (
)
2
1
23I x f x g x dx
−

=+−
∫
A.
5
2
I =
B.
7
2
I
=
C.
17
2
I =
D.
11
2
I =
Lời giải
Ta có
( )
( ) ( )
( )
2 22 2
1 11 1
23 2 3
I x f x g x dx xdx f x dx g x dx
− −− −

=+− =+ −
∫ ∫∫ ∫
( )
2
2
1
1 17
2.2 3. 1 2 4 3
2 22
x
−
= + − − =− ++=
. Chọn C.
Ví dụ 9: Biết
1
2
0
31
3ln
69 6
x ac
dx
xx b
−
= −
++
∫
trong đó a, b là hai số nguyên dương và
a
b
là phân số tối giản.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
2ab c+=
B.
4ab c−=
C.
5ab c−=
D.
abc+=
Lời giải
Ta có:
(
)
( )
1
11
2
2
00
0
3 1 3 10 10 4 5
3 3ln 3 3ln
6 9 3 3 36
3
x
dx d x x
xx x x
x

−


= − + = ++ = −


++ + +

+

∫∫
Do đó
4; 3; 5 5a b c ab c= = =⇒−=
. Chọn C.
Ví dụ 2: Biết
( )
2
1
0
1
ln 2 ln 3 , ,
2
x
dx a b c abc
x
−

=++ ∈

+

∫
. Đẳng thức nào sau đây đúng?
A.
(
)
27abc++ =
B.
( )
27abc
+− =
C.
( )
25abc+− =
D.
( )
25abc++ =
Lời giải
Ta có
( )
1
22
11 1
2
00 0
0
1 3 69 9
1 1 6 ln 2
222 2
2
x
dx dx dx x x
xxx x
x

−

= − = − + = − +−


+++ +

+


∫∫ ∫
( )
(
)
2
1
0
5
25
15
6 ln 2 6 ln 3
2
22
2 29
6, 6
abc
a
x
dx
x
abc
bc
++ =
=
−


⇔ =+−⇒ ⇒


+
+− =

= = −
∫
. Chọn D.
Ví dụ 11: Cho hàm số
( )
( )
.sinfx a x b
π
= +
biết rằng
( ) ( )
2
0
1 2, 4f f x dx
′
= =
∫
Tính giá trị biểu thức
.Pa b
π
= +
A. 2 B. – 1 C.1 D. 0
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
.sin . .cos 1 . 2fxa xb fxa x f a a
π ππ π
π
′′
= +→ = ⇒ =− =⇔ =−
Mà
( ) ( )
( )
2
22
00
0
cos
4 .sin . 2 4 2
.
x
f x dx a x b dx b x b b
a
π
π
π


=⇒ + = − = =⇒=



∫∫
. Chọn D.
Ví dụ 12: Cho hàm số
( )
fx
luôn dương và có đạo hàm trên đoạn
[ ]
1; 2
. Biết rằng
( )
2
1
3
f x dx
′
=
∫
và
( )
( )
2
1
ln 2
fx
dx
fx
′
=
∫
. Tính
( )
2f
A.
( )
23f =
B.
( )
26f =
C.
( )
24f =
D.
( )
28f
=
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
2
1
2 13f x dx f f
′
= −=
∫
( )
1
Lại có
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
22
2
1
11
2
ln ln 2 ln 1 ln ln 2
1

′


= = = −==

∫∫
dfx
fx f
dx f x f f
fx fx f
Do đó
( )
( )
( )
( )
ln 2
2
2 2 21
1
f
e ff
f
==⇒=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( ) (
)
2 6; 1 3ff= =
. Chọn B.
Ví dụ 13: (Đề Minh họa Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017) Biết
( )
2
1
11
dx
a bc
x x xx
=−−
+ ++
∫
với a, b,
c là các số nguyên dương. Tính
P abc=++
A.
24P =
B.
12P =
C.
18P
=
D.
46P =
Lời giải
Ta có
(
)
( )
2
1
11
dx
I
xx x x
=
+ ++
∫
Lại có
( )
( )
1
1 11 1
1
xxxx xx
xx
++ +− =⇒ = +−
++
(
)
( )
2 2 22
1 1 11
1
1 11
2
1 2 21
1
dx
x x dx
I dx dx
xx x x
xx

+
+−

⇒= = − = −


−+
+


∫ ∫ ∫∫
( )
2
1
2 2 1 4 2 2 3 2 32 12 2 32; 12; 2= − + = − −= − −⇒= = =
xx abc
Vậy
46abc++=
. Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Biết hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
′
liên tục trên
, thỏa mãn
( )
0
2
f
π
=
và tích phân
( )
0
2f x dx
π
π
′
=
∫
. Tính
(
)
f
π
A.
( )
3
2
f
π
π
=
B.
(
)
2f
ππ
=
C.
( )
5
2
f
π
π
=
D.
( )
3f
ππ
=
Câu 2: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm
( )
fx
′
liên tục trên
và
( )
0f
π
= −
,
( )
2
0
6f x dx
π
π
′
=
∫
.Tính
( )
2f
π
A.
( )
26f
ππ
=
B.
(
)
27f
ππ
=
C.
(
)
25f
ππ
=
D.
( )
20f
π
=
Câu 3: Biết
( )
fx
có đạo hàm liên tục trên
và có
( )
01f =
. Tính
( )
0
x
I f x dt
′
=
∫
A.
( )
1I fx= +
B.
( )
1I fx
= +
C.
( )
I fx=
D.
( )
1I fx= −
Câu 4: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
. Khi đó hiệu số
( ) ( )
12FF−
bằng
A.
(
)
2
1
f x dx
∫
B.
(
)
2
1
f x dx
−
∫
C.
( )
1
2
F x dx
−
∫
D.
( )
2
1
F x dx−
∫
Câu 5: (Đề thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hàm số
(
)
fx
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
1; 2
,
( )
11f =
và
( )
22f =
. Tính
( )
2
1
I f x dx
′
=
∫
A.
1I =
B.
1I = −
C.
3I
=
D.
7
2
I
=
Câu 6: Cho
( )
fx
là hàm số có đạo hàm liên tục trên
và có
( )
01f =
. Tính
( )
0
x
I f t dt
′
=
∫
A.
( )
1I fx= +
B.
( )
1I fx= +
C.
( )
I fx=
D.
(
)
1I fx= −
Câu 7: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
1; 3
thỏa mãn
(
)
11f
=
và
( )
3
fm=
. Tìm giá trị của tham
số m để tích phân
( )
3
1
5f x dx
′
=
∫
A.
6m =
B.
5m =
C.
4m =
D.
4m = −
Câu 8: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
2; 4−
thỏa mãn
( )
24f −=−
và
( )
42f =
. Tính tích phân
( )
4
2
I f x dx
−
′
=
∫
A.
6I =
B.
6I = −
C.
2I =
D.
2I = −
Câu 9: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
3; 5−
thỏa mãn
( )
31f −=
và
( )
59f =
. Tính tích phân
( )
5
3
4I f x dx
−
′
=
∫
A.
40I =
B.
32I =
C.
36I =
D.
44
I =
Câu 10: Cho hàm số
( )
fx
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
1; 4
thỏa mãn
( )
11
f =
và
(
)
4
1
2
f x dx
′
=
∫
. Tính giá trị của
( )
4
f
.
A.
( )
42f =
B.
(
)
43f
=
C.
( )
1
4
4
f
=
D.
( )
44f =
Câu 11: Cho hàm số
(
)
fx
có đạo hàm trên đoạn
[ ]
1; 3
thỏa mãn
( )
35f =
và
( )
3
1
6f x dx
′
=
∫
. Tính giá trị
của
( )
1f
.
A.
( )
11
f = −
B.
( )
1
1
11
f =
C.
( )
1 11f = −
D.
( )
1 10f =
Câu 12: Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên đoạn
[ ]
;
ab
và
( )
( )
2 12Fa Fb−=
. Tính tích
phân
( )
b
a
I f x dx=
∫
A.
1I = −
B.
1I =
C.
1
2
I = −
D.
1
2
I =
Câu 13: Cho hàm số
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên đoạn
[ ]
1; 2−
. Biết rằng
( )
2
1
1f x dx
−
=
∫
và
( )
11F −=−
. Tính
( )
2F
A.
( )
22F =
B.
( )
20F =
C.
( )
23F =
D.
(
)
1
2
3
F =
Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho tích phân
( )
2
1
2f x dx
−
=
∫
và
( )
2
1
1g x dx
−
= −
∫
.
Tính
( ) ( )
2
1
23I x f x g x dx
−

=+−
∫
.
A.
5
2
I =
B.
7
2
I =
C.
17
2
I =
D.
11
2
I =
Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Cho tích phân
( )
2
0
5f x dx
π
=
∫
. Tính tích phân
(
)
2
0
2sinI f x x dx
π

= +
∫
.
A.
7I =
B.
5
2
I
π
= +
C.
3I =
D.
5I
π
= +
Câu 16: Cho
(
)
3
1
2
f x dx =
∫
và
(
)
3
1
1g x dx =
∫
. Tìm
(
)
( )
3
1
1008 2I f x g x dx

= +
∫
A.
2017I =
B.
2016I
=
C.
2019I =
D.
2018I =
Câu 17: Cho
( ) ( )
,f x gx
là hai hàm số liên tục trên
. Chọn mệnh đề sai?
A.
( ) ( )
bb
aa
f x dx f y dy=
∫∫
B.
( ) ( ) ( ) ( )
b bb
a aa
f x g x dx f x dx g x dx

+= +

∫ ∫∫
C.
( )
0
a
a
f x dx =
∫
D.
( ) ( ) (
) ( )
b bb
a aa
f x g x dx f x dx g x dx

=
∫ ∫∫
Câu 18: Cho
( )
4
0
f x dx a
π
=
∫
. Tính tích phân
( )
2
4
2
0
cos 5
cos
fx x
I dx
x
π
−
=
∫
theo a.
A.
2Ia= −
B.
5
Ia= −
C.
Ia=
D.
1Ia= −
Câu 19: Biết
( )
fx
là một hàm số liên tục trên
thỏa mãn
( ) ( )
66
02
4; 3= = −
∫∫
f x dx f t dt
. Hãy tính tích
phân
( )
2
0
3f v dv

−

∫
A.
1I =
B.
2I =
C.
4I =
D.
3I =
Câu 20: Cho
(
)
4
2
10f x dx
=
∫
và
( )
4
2
5g x dx
=
∫
. Tính tích phân
( ) ( )
4
2
35 .I f x g x dx

= −

∫
A.
5
I =
B.
15I
=
C.
5I = −
D.
10I =
Câu 21: Cho
( )
2
b
a
f x dx =
∫
và
( )
3=
∫
b
c
g x dx
với
abc<<
. Tính tích phân
( )
c
a
I f x dx=
∫
A.
2I = −
B.
5I =
C.
1I =
D.
1I = −
Câu 22: Cho
( ) ( )
55
14
5; 2f x dx f t dt
−
= = −
∫∫
và
( )
4
1
1
3
gudu
−
=
∫
. Tính
( ) ( )
4
1
I f x g x dx
−

= +

∫
A.
8
3
I =
B.
10
3
I =
C.
22
3
I =
D.
20
3
I = −
Câu 23: Cho các tích phân
( )
(
)
24
22
1, 4
f x dx f t dt
−−
= = −
∫∫
. Tính
( )
4
2
I f y dy=
∫
.
A.
5I = −
B.
3I
= −
C.
3I =
D.
5I =
Câu 24: Biết
( )
2
0
5f x dx
π
=
∫
. Tính tích phân
( )
2
0
2sinI f x x dx
π

= +
∫
A.
5
I
π
= +
B.
5
2
I
π
= +
C.
7I =
D.
3I
=
Câu 25: Cho
( )
2
4
2
f x dx
−
=
∫
. Tính
( )
2
2
4
I e f x dx
−
=
∫
A.
2
2
Ie=
B.
3
2Ie= −
C.
D.
3
Ie=
Câu 26: Cho
( )
4
1
10f x dx
−
=
∫
và
( )
4
1
3
g x dx
−
= −
∫
. Tính
( ) ( )
4
1
32I f x g x dx
−

=−+
∫
A.
6I
= −
B.
7I =
C.
10I =
D.
1I = −
Câu 27: Cho
( )
2
0
1f x dx =
∫
và
( )
2
0
xa
e f x dx e b

−=−

∫
với a, b là những số nguyên. Khẳng định nào sau
đây đúng?
A.
ab>
B.
ab<
C.
ab=
D.
1ab =
Câu 28: Cho hàm số
( )
fx
xác định liên tục trên
[
]
0; 4
thỏa
( )
4
0
5f x dx
=
∫
và
( )
3
0
3f x dx =
∫
. Tính tích phân
( )
4
3
.I f x dx
=
∫
A.
8I =
B.
1I
= −
C.
2I =
D.
2
I =
Câu 29: Cho hàm số
( )
fx
xác định liên tục trên
có
(
)
5
2
3
f x dx =
∫
và
( )
7
5
9f x dx =
∫
. Tính
( )
7
2
I f x dx=
∫
A.
3
I =
B.
6
I =
C.
12I =
D.
6I = −
Câu 30: Cho
( )
fx
liên tục trên
và
( )
3
1
2016f x dx =
∫
,
( )
3
4
2017f x dx =
∫
. Tính
( )
4
1
I f x dx=
∫
A.
4023I =
B.
1
I =
C.
1I = −
D.
0I =
Câu 31: Biết
( )
1
2
0
2
m
x x dx
n
−=−
∫
với
,mn∈
và
m
n
là phân số tối giản. Tính
.mn+
A. 5 B. 1 C. – 1 D. 6
Câu 32: Để
( )
1
4 3 10
k
k x dx k− + +=
∫
thì giá trị nguyên của k là bao nhiêu?
A.
1
k =
B.
2k
=
C.
4k =
D.
3
k =
Câu 33: Có bao nhiêu số thực a thỏa mãn đẳng thức tích phân
2
3
2
a
x dx =
∫
A. Không có B. Ba C. Một D. Hai
Câu 34: Có hai giá trị của số thực a là
( )
12 1 2
,
aa a a<
thỏa mãn
(
)
1
23 0
a
x dx−=
∫
. Hãy tính
(
)
12
4 12
2 2 log
aa
T aa=++
A.
13
2
T
=
B.
14T =
C.
20T =
D.
56T =
Câu 35: Cho
2
ba−=
. Tính
2
b
a
I xdx=
∫
A.
( )
I ba=−+
B.
( )
2I ba= +
C.
( )
I ba= +
D.
( )
2I ba=−+
Câu 36: Tính tích phân
( )
2
0
321
b
I x ax dx= ++
∫
với a, b là tham số.
A.
2
32I b ab= +
B.
32
I b ba b=++
C.
3
Ib b= +
D.
2Ia= +
Câu 37: Giải phương trình
( )
2
22
0
2
log 2logt x dt
x
−=
∫
với ẩn là x.
A.
1x
=
B.
{ }
1; 4
x ∈
C.
(
)
0;x
∈ +∞
D.
{ }
1; 2x ∈
Câu 38: Cho bất phương trình
( )
( )
2
0
3 84 , 0
x
t t dt x x−+ ≤ >
∫
. Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương
trình.
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
( ) (
) ( ) ( )
0
5
2 02
2
fx f f f
π
π
ππ ππ
=⇒ −=⇒ =
. Chọn C.
Câu 2:
( )
( ) (
)
( )
2
0
620625fx f f f
π
ππ πππ
=⇒ −=⇒ =
. Chọn C.
Câu 3:
( ) ( ) ( ) ( )
0
01
x
I fx fx f fx
= =−=−
. Chọn D.
Câu 4:
(
) (
)
( ) ( ) ( ) ( )
12
21
12F x f x dx F F f x dx f x dx
= ⇒− = =−
∫ ∫∫
. Chọn B.
Câu 5:
( ) ( ) (
)
2
1
2 11I fx f f= = −=
. Chọn A.
Câu 6:
( ) ( ) ( ) ( )
0
01
x
I ft fx f fx= =−=−
. Chọn D.
Câu 7:
( ) ( ) (
)
3
1
5 3 1 5 15 6fx f f m m= ⇒ − = ⇒ −= ⇒ =
. Chọn A.
Câu 8:
( ) ( ) ( )
4
2
4 26I fx f f
−
= = − −=
. Chọn A.
Câu 9:
( ) ( ) ( )
5
3
4 4 5 3 32I fx f f
−

= = −− =

. Chọn B.
Câu 10:
( )
( ) ( ) ( )
4
1
241243fx f f f=⇒ −=⇒ =
. Chọn B.
Câu 11:
( ) ( ) ( ) ( )
3
1
6 3 16 1 1fx f f f=⇒−=⇒=−
. Chọn A.
Câu 12: Ta có
(
) (
)
1
2
I Fb Fa
=−=−
. Chọn C.
Câu 13: Ta có
( ) (
) ( )
2 11 2 0FF F
− −=⇒ =
. Chọn B.
Câu 14:
( )
2
2
1
17
2.2 3. 1
22
x
I
−
= + − −=
. Chọn C.
Câu 15: Ta có
2
0
5 2cos 7Ix
π
=−=
. Chọn A.
Câu 16: Ta có
1008.2 2.1 2018I = +=
. Chọn D.
Câu 17: Theo tính chất cơ bản của tích phân thì A, B, C đúng và D sai. Chọn D.
Câu 18:
( )
4
44
2
00
0
5
5 tan 5
cos
I f x dx dx a x a
x
π
ππ
−
= + =−=−
∫∫
. Chọn B.
Câu 19: Tích phân không phụ thuộc vào biến
Do đó
( ) ( ) ( ) ( )
6 2 62
2
0
2 0 06
3 3 6 4361
f x dx I f x dx x f x dx f x dx=−⇒= − = + −=+−=
∫ ∫ ∫∫
. Chọn A.
Câu 20:
3.10 5.5 5I = −=
. Chọn A.
Câu 21: Tích phân không phụ thuộc vào biến
Do đó
( ) ( ) ( )
3 23 1
b bc
c ab
f x dx I f x dx f x dx=⇒= + =−=−
∫ ∫∫
. Chọn D.
Câu 22: Tích phân không phụ thuộc vào biến. Do đó
( ) ( )
54
41
1
2;
3
f x dx g x dx
−
=−=
∫∫
( ) ( ) (
) (
)
44 54
1 1 15
1 1 22
52
3 33
I f x dx g x dx f x dx f x dx
−−−
⇒= + = + +=++=
∫∫∫∫
. Chọn C.
Câu 23: Tích phân không phụ thuộc vào biến.
Do đó
(
)
(
)
( )
( )
4 4 24
2 22 2
4 14 5
f x dx I f x dx f x dx f x dx
−
−−
=−⇒ = = + =−− =−
∫ ∫∫∫
. Chọn A.
Câu 24:
( )
( ) ( )
2
2 22
0 00
0
2sin 2sin 5 2cosI f x x dx f x dx xdx x
π
π ππ

= + = + = +−

∫ ∫∫
527=+=
. Chọn C.
Câu 25:
(
)
( )
22
2 2 22
44
.2 2
I e f x dx e f x dx e e
−−
= = = =
∫∫
. Chọn A.
Câu 26:
( )
( )
(
) (
)
4 44 4
1 11 1
32 3 2I f x g x dx dx f x dx g x dx
− −− −

=−+ =− +
∫ ∫∫ ∫
.
( )
4
1
3 10 2. 3 15 16 1x
−
= − + −= − =−
.Chọn D.
Câu 27:
( ) ( )
2 22
2
2
0
0 00
12
xx x
e f x dx e dx f x dx e e

− = − = −= −

∫ ∫∫
Do đó
2; 2a b ab= =⇒=
. Chọn C.
Câu 28:
( )
( ) ( )
( )
34 4 4
03 0 3
53 2f x dx f x dx f x dx I f x dx
+ = ⇒= =−=
∫∫∫ ∫
. Chọn C.
Câu 29:
( ) ( ) ( )
7 57
2 25
3 9 12I f x dx f x dx f x dx= = + =+=
∫∫∫
. Chọn C.
Câu 30:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
43433
1 13 14
2016 2017 1I f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx= = + = − =−=−
∫∫∫∫∫
. Chọn C.
Câu 31:
( )
1
1
3
22
0
0
2
2 2; 3 5
33
x
x x dx x m n m n

− = − =−⇒ = =⇒ +=


∫
. Chọn A.
Câu 32: Ta có
( )
(
)
22
1
1
4 3 10 2 3 10 23 10
k
k
k x dx k kx x k k k k− + += ⇔ − + += ⇔− −++ +=
∫
2
1
2 30
3
k
kk
k
= −
⇔− + + = ⇔
=
. Chọn D.
Câu 33:
2
2
44
34
4 2 8 22
44
a
a
xa
x dx a a= =− =⇔ =⇔=±
∫
.
Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn. Chọn D.
Câu 34:
(
)
( )
22
1
1
1
2 3 3 3 20
2
a
a
a
x dx x x a a
a
=
− = − = − +=⇔
=
∫
Do đó
(
)
12
12
4 12 4
1 13
2 2 log 2 2 log 2 6
22
aa
T aa
= + + = + + =+=
. Chọn A.
Câu 35:
( )( ) ( )
2 22
22
b
b
a
a
I xdx x b a baba ba= = =−=− += +
∫
. Chọn B.
Câu 36:
( ) (
)
2 32 32
0
0
321
b
b
I x ax dx x ax x b ab b= ++ =++ =++
∫
. Chọn B.
Câu 37: ĐK:
0x >
Ta có
( )
2
2
2
2 2 22
0
0
22
log 2log log 2log
2
t
t x dt t x
xx

− = ⇔− =


∫
22 2
22
2 2log 2log 2 2log . 2xx
xx

⇔− = ⇔= =


(Đúng với mọi
2x >
)
Do đó nghiệm của phương trình là:
( )
0;x ∈ +∞
. Chọn C.
Câu 38:
( ) ( )
2 32
0
0
3 84 4 4
x
x
t t dt x t t t x−+ ≤⇔ − + ≤
∫
( )( ) ( )
32 32
4 4 4 3 0 1 3 0*xxxxxxx xx x⇔− +≤⇔− +≤⇔ − −≤
Với
0x >
ta có:
( ) { }
* 1 3 1; 2; 3 6
x
xx T
∈
⇔≤≤→= ⇒ =
. Chọn C.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 7: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Khái niệm hình thang cong
Cho hàm số y = f (x) liên tục, không đổi dấu trên đoạn [ ;
a b] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm
số y = f (x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được gọi là hình thang cong. 2. Tích phân là gì?
Định nghĩa: Cho f (x) là hàm số liên tục trên đoạn [ ;
a b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f (x) trên
đoạn [a;b]. Hiệu số F (b) − F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn b
[ ;ab]) của hàm số f (x) , kí hiệu là f (x)dx ∫ . a
Ta còn dùng kí hiệu F( x) b để chỉ hiệu số F (b)− F (a) a b b Vậy f
∫ (x)dx =F( x) = F (b)− F (a) a a b
Ta gọi ∫ là dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f (x)dxlà biểu thức dưới dấu tích phân và f (x) là a
hàm số dưới dấu tích phân. a b a
Chú ý: Trong trường hợp a = b hoặc a > b , ta quy ước ∫ f (x)dx =0 ; f
∫ (x)dx =− f ∫ (x)dx a a b b b
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi f ( x) dx ∫
hay f (t)dt ∫ . Tích phân a a
đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t. b b b Tức là: f
∫ (x)dx = f
∫ (t)dt = f ∫ (u)du a a a
Ý nghĩa hình học của tích phân b
Nếu hàm số f (x) liên tục và không âm trên đoạn [ ;
a b], thì tích phân f (x)dx ∫
là diện tích S của hình a
thang cong giới hạn bởi đồ thị của f (x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b . b Vậy S = f ∫ (x)dx a b b
- Tính chất 1: kf
∫ (x)dx = k f
∫ (x)dx (với k là hằng số) a a b b b
- Tính chất 2:f
∫ (x)± g(x)dx = f
∫ (x)dx± g ∫ (x)dx a a a b c b
- Tính chất 3: f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx(a < c < b) a a c
Chú ý: Mở rộng của tính chất 3. b c c b f ∫ (x) 1 dx = f ∫ (x) 2 dx + f
∫ (x)dx+... f
∫ (x)dx(a < c < c <...< c < b 1 2 n ) a a 1 c n c
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ví dụ 1: Tích các tích phân sau: π 1 2 2 1 2 A. 2 I + + = x 2 − x dx ∫ B. 3 1 = ∫ x x I dx C. I ( 3x 1 x e − = + ∫ )dx D. sin = 2 x ∫ x I dx + x 1+ cos x 0 1 0 0 Lời giải 1 1 1 1 3 a) 1 2 I = − − x d ∫ ( 2 − x ) 1 = − ∫( 2 − x ) d ( 2 − x ) 1 2 2 2 2 2 = − . ( 2 2 2 − x )2 2 2 2 3 0 0 0 1 = − ( − x ) 13 2 2 2 −1 2 = 3 3 0 2 2 x + 3x +1 x + x 2x +1 d ( 2 2 2 2 2 2 x + x) b) 2 2 5 I = dx = dx + dx = dx +
dx =1+ ln x + x =1+ ln ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ ∫ 2 x + x x + x x + x x + 1 x 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3x 1 − 2   c) I = ∫( 3x 1 x + e − ) x e 1 e 1 dx =  +  = + −  2 3  2 3 3e 0 0 π π 2 2 sin x d(cos ) π d) 2 I = dx = −
= − ln 1+ cos x = ln 2 ∫ ∫ x 0 1+ cos x 1+ cos x 0 0
Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: 2 ln 2 A. dx I = ∫ B. x = ( x I e e − ∫ )2 1 dx + + 1 x x 3 0 3 3 C. 2
I = x x +1dx ∫ D. I = 3x ∫ ( 2
x + x +16 )dx 0 0 Lời giải 2 2 dx ( x+3− x) 2 dx a) x + 3 − x I = = = dx ∫ ∫ ∫ x + x + 3 x + x + 3 x + 3 − x 3 1 1 ( )( ) 1 2 2 3 1 1 1 = ∫(x +3) 1  2 2  2 2 d ( x + 3) 2 − x dx = ∫ (x +3)3 3 − x =   (5 5 −2 2 −7) 3 3 9 9  9 1 1 1 x e −1 b) x I = e ( x
e − ) dx = ( x
e − ) d ( x e − ) ( ) ln2 3 ln 2 ln 2 2 2 1 1 1 1 = = ∫ ∫ 3 3 0 0 0 3 3 1 c) 1
I = x x +1dx = ∫ (x + )1 d (x + ) 1 2 1 = . (x + ) 3 3 2 2 2 2 7 2 1 = ∫ 2 2 3 3 0 0 0 3 3 3 3 d) I 3x
∫ (x x 16)dx 3x dx 3 x x 16dx x ∫ ∫ (x 16)3 2 2 2 3 2  = + + = + + = + + =   88. 0 0 0   0 3
Ví dụ 3: Biết rằng
x dx = aln2−bln3 ∫
, trong đó a,b∈ . 2 x −1 2
Tính giá trị của biểu thức S = 4ab + a + b A. S = 5 B. S = 6 C. 5 S = D. 7 S = 2 2 Lời giải  = x 1 ( 3 2 3 3 − ) 1 a d x  Ta có 3 1 2 1 8 3 1  2 dx =
= ln x −1 = ln = ln 2 − ln 3 ⇒ ∫ 2 ∫ 2  − − 2 x 1 2 x 1 2 2 3 2 2 1 2 2 b  =  2 Suy ra 3 3 1
S = 4. + + = 5 . Chọn A. 4 2 2
Ví dụ 4: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [a;b] và 3F (a) − 2 = 3F (b) b
Tính tích phân I = f ∫ (x)dx a A. I = 2 − B. I = 2 C. 2 I = D. 2 I − = 3 3 Lời giải
Ta có: F (a) − = F (b) ⇔ F (b) − F (a) = − ⇔ F (b) − F (a) 2 3 2 3 3 2 −   =   3 b
Do đó I = f (x)dx = F (b) − F (a) 2 = − ∫ . Chọn D. 3 a 2 5 5
Ví dụ 5: Cho các tích phân f
∫ (x)dx = 2; f
∫ (t)dt = 4 . Tính f (y)dy ∫ 3 − 3 − 2 A. I = 2 B. I = 6 C. I = 2 − D. I = 6 − Lời giải 2 2 5 5 Ta có: f
∫ (x)dx = f
∫ (y)dy =2; f
∫ (t)dt = f
∫ (y)dy = 4 (tích phân không phụ thuộc vào biến) 3 − 3 − 3 − 3 − 2 5 5 Lại có: f
∫ (y)dy + f
∫ (y)dy = f
∫ (y)dy ⇒ I = 4−2 = 2 . Chọn A. 3 − 2 3 −
Ví dụ 6: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;2]; f ( ) 1 = 1 − và f (2) = 3 2
Tính tích phân I = 2x + f ′ ∫ (x) dx  1 A. I = 5 B. I = 4 C. 11 I = D. I = 7 2 Lời giải 2 2
Ta có: I = 2xdx + f ′ ∫ ∫ (x) 2 2
dx = x + f (2) − f ( )
1 = 3+ 4 = 7 . Chọn D. 1 1 1 π π 2 2
Ví dụ 7: Cho f
∫ (x)dx = 5 . Tính I =  f
∫  (x)+ 2sin xdx  0 0 A. π I = 7 B. I = 5 + C. I = 3 D. I = 5 +π 2 Lời giải π π π π π 2 2 2 2 2 Ta có I =  f
∫  (x)+ 2sin xdx = f
∫ (x)dx+ 2 sin xdx = f ∫
∫ (x)dx−2cos x = 7. Chọn A. 0 0 0 0 0 2 2 2
Ví dụ 8: Cho tích phân f
∫ (x)dx = 2 và g(x)dx = 1 − ∫
. Tính I = x + 2 f ∫ 
(x)−3g (x) dx  1 − 1 − 1 − A. 5 I = B. 7 I = C. 17 I = D. 11 I = 2 2 2 2 Lời giải 2 2 2 2
Ta có I = x + 2 f ∫ 
(x)−3g (x) dx = xdx + 2 f  ∫
∫ (x)dx−3 g ∫ (x)dx 1 − 1 − 1 − 1 − 2 2 x = + − (− ) 1 17 2.2 3. 1 = 2 − + 4 + 3 = . Chọn C. 2 2 2 1 − 1 Ví dụ 9: Biết 3x −1 = 3ln a c dx − ∫
trong đó a, b là hai số nguyên dương và a là phân số tối giản. 2 x + 6x + 9 b 6 b 0
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. a + b = 2c
B. a − b = 4c
C. a − b = 5c
D. a + b = c Lời giải 1 1 1   Ta có: 3x −1 3 10  10  4 5 dx =  −  d x + 3 = ∫ ∫ 3ln x + 3 + =  3ln − 2 2 ( ) x + 6x + 9  x + 3 x + 3   x + 3  3 6 0 0  ( )  0
Do đó a = 4;b = 3;c = 5 ⇒ a − b = 5c . Chọn C. 1 2
Ví dụ 2: Biết  x −1  dx = a + bln 2 + cln 3 ∫ (a,b,c∈  
) . Đẳng thức nào sau đây đúng?  x + 2 0 
A. 2(a + b + c) = 7
B. 2(a + b − c) = 7
C. 2(a + b − c) = 5
D. 2(a + b + c) = 5 Lời giải 1 2 1 2 1 1   Ta có  x −1   3  6 9  9 dx 1 dx 1  dx  ∫  ∫  ∫  x 6ln x 2  = − = − + = − + −  x 2   x 2   x 2  (  + + + x + 2)2   x + 2 0 0 0   0 1 2  5  x −1  5 a =
2(a + b + c) = 5 ⇔ ∫
dx = + 6ln 2 − 6ln 3 ⇒  2 ⇒ . Chọn D.x + 2  2    + − = 0 2  = = −  (a b c) 29 b 6,c 6 2
Ví dụ 11: Cho hàm số f (x) = .
a sin (π x) + b biết rằng f ′( ) 1 = 2, f ∫ (x)dx = 4 0
Tính giá trị biểu thức P = . a π + b A. 2 B. – 1 C.1 D. 0 Lời giải
Ta có f (x) = a
(π x)+b → f ′(x) = aπ
(π x) ⇒ f ′( ) 2 .sin . .cos 1 = − .
a π = 2 ⇔ a = − π  cos π x  Mà f
∫ (x)dx = 4 ⇒  .asin ∫ (π x) ( ) 2 2 2 + bdx =   . b x −
 = 2b = 4 ⇒ b = 2 . Chọn D.  . a π 0 0  0 2
Ví dụ 12: Cho hàm số f (x) luôn dương và có đạo hàm trên đoạn [1;2] . Biết rằng f ′
∫ (x)dx = 3 và 1
2 f ′(x) dx = ln2 ∫ . Tính f (2) f x 1 ( ) A. f (2) = 3 B. f (2) = 6 C. f (2) = 4 D. f (2) = 8 Lời giải 2 Ta có f ′
∫ (x)dx = f (2)− f ( )1 = 3 ( )1 1 2 f ′(x)
2 d  f (x) f 2 Lại có 2 ∫
f (x) dx = ∫ f (x) =ln  f (x) = ln    f (2) − ln    f ( ) ( ) 1  = ln = ln 2 1  f 1 1 1 ( ) f (2) Do đó ln 2 = = ⇒ = (2) f ( ) e 2 f (2) 2 f ( ) 1 1
Từ (1) và (2) suy ra f (2) = 6; f ( ) 1 = 3 . Chọn B. 2
Ví dụ 13: (Đề Minh họa Bộ Giáo dục và Đào tạo 2017) Biết dx
= a − b − c ∫ với a, b, + + + 1 ( x )1 x x x 1
c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c A. P = 24 B. P =12 C. P =18 D. P = 46 Lời giải 2 Ta có dx I = ∫ 1 x(x + ) 1 ( x +1+ x)
Lại có ( x + + x)( x + − x) 1 1 1 = 1⇒ = x +1 − x x +1 + x 2 2 2 2 x +1 − x  1 1   dx d (x + ) 1  ⇒ I = dx = − ∫ ∫ dx =  2 − ∫ ∫  +  −   + 1 x(x ) 1 1 x x 1 1 2 x 1 2 x 1 
= (2 x − 2 x +1) 2 = 4 2 − 2 3 − 2 = 32 − 12 − 2 ⇒ a = 32;b =12;c = 2 1
Vậy a + b + c = 46 . Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Biết hàm số π
f (x) có đạo hàm f ′(x) liên tục trên  , thỏa mãn f (0) = và tích phân 2 π f ′
∫ (x)dx = 2π . Tính f (π ) 0 A. π π f (π ) 3 =
B. f (π ) = 2π C. f (π ) 5 =
D. f (π ) = 3π 2 2 2π
Câu 2: Cho hàm số f (x) có đạo hàm f ′(x) liên tục trên  và f (0) = π − , f ′
∫ (x)dx = 6π .Tính f (2π ) 0
A. f (2π ) = 6π
B. f (2π ) = 7π
C. f (2π ) = 5π D. f (2π ) = 0 x
Câu 3: Biết f (x) có đạo hàm liên tục trên  và có f (0) =1 . Tính I = f ′ ∫ (x)dt 0
A. I = f (x) +1
B. I = f (x + ) 1
C. I = f (x)
D. I = f (x) −1
Câu 4: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) . Khi đó hiệu số F ( ) 1 − F (2) bằng 2 2 1 2
A. f (x)dx ∫ B. − f ∫ (x)dx C. −F ∫ (x)dx D. −F ∫ (x)dx 1 1 2 1
Câu 5: (Đề thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2017) Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;2] 2 , f ( )
1 =1 và f (2) = 2 . Tính I = f ′ ∫ (x)dx 1 A. I =1 B. I = 1 − C. I = 3 D. 7 I = 2 x
Câu 6: Cho f (x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên  và có f (0) =1. Tính I = f ′ ∫ (t)dt 0
A. I = f (x) +1
B. I = f (x + ) 1
C. I = f (x)
D. I = f (x) −1
Câu 7: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; ] 3 thỏa mãn f ( )
1 =1 và f (3) = m . Tìm giá trị của tham 3
số m để tích phân f ′ ∫ (x)dx = 5 1 A. m = 6 B. m = 5 C. m = 4 D. m = 4 −
Câu 8: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [ 2;
− 4] thỏa mãn f ( 2 − ) = 4
− và f (4) = 2 . Tính tích phân 4 I = f ′ ∫ (x)dx 2 − A. I = 6 B. I = 6 − C. I = 2 D. I = 2 −
Câu 9: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [ 3
− ;5] thỏa mãn f ( 3
− ) =1 và f (5) = 9 . Tính tích phân 5 I = 4 f ′ ∫ (x)dx 3 − A. I = 40 B. I = 32 C. I = 36 D. I = 44 4
Câu 10: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1;4] thỏa mãn f ( ) 1 =1 và f ′
∫ (x)dx = 2. Tính giá trị của 1 f (4) . A. f (4) = 2 B. f (4) = 3 C. f ( ) 1 4 = D. f (4) = 4 4 3
Câu 11: Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên đoạn [1; ]
3 thỏa mãn f (3) = 5 và f ′
∫ (x)dx = 6 . Tính giá trị 1 của f ( ) 1 . A. f ( ) 1 = 1 − B. f ( ) 1 1 = C. f ( ) 1 = 11 − D. f ( ) 1 =10 11
Câu 12: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [a;b] và 2F (a) −1= 2F (b) . Tính tích b phân I = f ∫ (x)dx a A. I = 1 − B. I =1 C. 1 I = − D. 1 I = 2 2 2
Câu 13: Cho hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [ 1; − 2]. Biết rằng f ∫ (x)dx =1 1 − và F (− ) 1 = 1 − . Tính F (2) A. F (2) = 2 B. F (2) = 0 C. F (2) = 3 D. F ( ) 1 2 = 3 2 2
Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho tích phân f
∫ (x)dx = 2 và g(x)dx = 1 − ∫ . 1 − 1 − 2
Tính I = x + 2 f ∫ 
(x)−3g (x) dx  . 1 − A. 5 I = B. 7 I = C. 17 I = D. 11 I = 2 2 2 2 π 2
Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Cho tích phân f
∫ (x)dx = 5. Tính tích phân 0 π 2 I =  f
∫  (x)+ 2sin xdx  . 0 A. π I = 7 B. I = 5 + C. I = 3 D. I = 5 +π 2 3 3 3 Câu 16: Cho f
∫ (x)dx = 2và g
∫ (x)dx =1. Tìm I = 1008  f ∫
(x)+ 2g (x) dx  1 1 1 A. I = 2017 B. I = 2016 C. I = 2019 D. I = 2018
Câu 17: Cho f (x), g (x) là hai hàm số liên tục trên  . Chọn mệnh đề sai? b b b b b A. f
∫ (x)dx = f ∫ (y)dy B.f
∫ (x)+ g(x)dx = f
∫ (x)dx+ g ∫ (x)dx a a a a a a b b b C. f ∫ (x)dx = 0 D.f
∫ (x)g(x)dx = f  ∫ (x)dx g ∫ (x)dx a a a a π π 4 4 f (x) 2 cos x − 5 Câu 18: Cho f
∫ (x)dx = a . Tính tích phân I = dx ∫ theo a. 2 cos x 0 0
A. I = a − 2
B. I = a − 5
C. I = a
D. I = a −1 6 6
Câu 19: Biết f (x) là một hàm số liên tục trên  thỏa mãn f (x)dx = 4; f (t)dt = 3 − ∫ ∫ . Hãy tính tích 0 2 2 phân  f
∫ (v)−3dv  0 A. I =1 B. I = 2 C. I = 4 D. I = 3 4 4 4 Câu 20: Cho f
∫ (x)dx =10 và g
∫ (x)dx = 5. Tính tích phân I = 3f
∫ (x)−5g(x) . dx  2 2 2 A. I = 5 B. I =15 C. I = 5 − D. I =10 b b c Câu 21: Cho f
∫ (x)dx = 2 và ∫ g(x)dx = 3 với a < b < c . Tính tích phân I = f ∫ (x)dx a c a A. I = 2 − B. I = 5 C. I =1 D. I = 1 − 5 5 4 4
Câu 22: Cho f (x)dx = 5; f (t)dt = 2 − ∫ ∫ và g (u) 1 du = ∫
. Tính I =  f
∫  (x)+ g(x)dx  − 3 1 − 4 1 1 − A. 8 I = B. 10 I = C. 22 I = D. 20 I = − 3 3 3 3 2 4 4
Câu 23: Cho các tích phân f (x)dx =1, f (t)dt = 4 − ∫ ∫ . Tính I = f ∫ (y)dy . 2 − 2 − 2 A. I = 5 − B. I = 3 − C. I = 3 D. I = 5 π π 2 2
Câu 24: Biết f
∫ (x)dx = 5. Tính tích phân I =  f
∫  (x)+ 2sin xdx  0 0 A. π I = 5 +π B. I = 5 + C. I = 7 D. I = 3 2 2 2 Câu 25: Cho f
∫ (x)dx = 2. Tính 2 I = e f ∫ (x)dx 4 − 4 − A. 2 I = 2e B. 3 I = e − 2 C. 2 I = e − 2 D. 3 I = e 4 4 4 Câu 26: Cho f
∫ (x)dx =10 và g(x)dx = 3 − ∫
. Tính I = 3− f ∫ 
(x)+ 2g (x) dx  1 − 1 − 1 − A. I = 6 − B. I = 7 C. I =10 D. I = 1 − 2 2 Câu 27: Cho f
∫ (x)dx =1 và x  − ∫ ( ) a e
f x dx = e − b  
với a, b là những số nguyên. Khẳng định nào sau 0 0 đây đúng?
A. a > b
B. a < b
C. a = b D. ab =1 4 3
Câu 28: Cho hàm số f (x) xác định liên tục trên [0;4] thỏa f
∫ (x)dx = 5 và f
∫ (x)dx = 3. Tính tích phân 0 0 4 I = f ∫ (x) . dx 3 A. I = 8 B. I = 1 − C. I = 2 D. I = 2 5 7 7
Câu 29: Cho hàm số f (x) xác định liên tục trên  có f
∫ (x)dx = 3 và f
∫ (x)dx = 9. Tính I = f ∫ (x)dx 2 5 2 A. I = 3 B. I = 6 C. I =12 D. I = 6 − 3 3 4
Câu 30: Cho f (x) liên tục trên  và f
∫ (x)dx = 2016, f
∫ (x)dx = 2017. Tính I = f ∫ (x)dx 1 4 1 A. I = 4023 B. I =1 C. I = 1 − D. I = 0 1
Câu 31: Biết ( 2 − 2 ) m x x dx = − ∫ với ,
m n∈ và m là phân số tối giản. Tính m + . n n n 0 A. 5 B. 1 C. – 1 D. 6 k
Câu 32: Để ∫(k −4x)dx +3k +1= 0 thì giá trị nguyên của k là bao nhiêu? 1 A. k =1 B. k = 2 C. k = 4 D. k = 3 2
Câu 33: Có bao nhiêu số thực a thỏa mãn đẳng thức tích phân 3 x dx = 2 ∫ a A. Không có B. Ba C. Một D. Hai a
Câu 34: Có hai giá trị của số thực a là a ,a a < a thỏa mãn ∫(2x −3)dx = 0. Hãy tính 1 2 ( 1 2 ) 1 1 a 2 = 2 + 2a T + log a a 4 ( 1 2 ) A. 13 T = B. T =14 C. T = 20 D. T = 56 2 b
Câu 35: Cho b − a = 2 . Tính I = 2xdx ∫ a
A. I = −(b + a)
B. I = 2(b + a)
C. I = (b + a) D. I = 2 − (b + a) b
Câu 36: Tính tích phân I = ( 2 3x + 2ax + ∫
)1dx với a, b là tham số. 0 A. 2
I = 3b + 2ab B. 3 2
I = b + b a + b C. 3
I = b + b
D. I = a + 2 2
Câu 37: Giải phương trình ∫( 2
t − log x dt = 2log với ẩn là x. 2 ) 2 x 0 A. x =1 B. x∈{1; } 4 C. x∈(0;+∞) D. x∈{1; } 2 x
Câu 38: Cho bất phương trình ∫( 2
3t −8t + 4)dt ≤ x,(x > 0) . Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương 0 trình. A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: f (x) π π
= π ⇒ f (π ) − f ( ) = π ⇒ f (π ) 5 2 0 2 = . Chọn C. 0 2
Câu 2: f (x) 2π = 6π ⇒ f (2π ) − f (0) = 6π ⇒ f (2π ) = 5π . Chọn C. 0 Câu 3: = ( ) x
I f x = f (x) − f (0) = f (x) −1. Chọn D. 0 1 2
Câu 4: F (x) = f
∫ (x)dx ⇒ F ( )1− F (2) = f
∫ (x)dx =− f
∫ (x)dx . Chọn B. 2 1
Câu 5: I = f (x) 2 = f (2) − f ( ) 1 =1. Chọn A. 1 Câu 6: = ( ) x
I f t = f (x) − f (0) = f (x) −1. Chọn D. 0
Câu 7: f (x) 3 = 5 ⇒ f (3) − f ( )
1 = 5 ⇒ m −1 = 5 ⇒ m = 6 . Chọn A. 1
Câu 8: I = f (x) 4 = f (4) − f ( 2 − ) = 6 . Chọn A. 2 −
Câu 9: I = 4 f (x) 5 = 4 f  (5) − f ( 3 − ) = 32 3 −  . Chọn B.
Câu 10: f (x) 4 = 2 ⇒ f (4) − f ( )
1 = 2 ⇒ f (4) = 3 . Chọn B. 1
Câu 11: f (x) 3 = 6 ⇒ f (3) − f ( ) 1 = 6 ⇒ f ( ) 1 = 1 − . Chọn A. 1
Câu 12: Ta có I = F (b) − F (a) 1 = − . Chọn C. 2
Câu 13: Ta có F (2) − F (− )
1 =1⇒ F (2) = 0 . Chọn B. 2 2 Câu 14: x I = + − (− ) 17 2.2 3. 1 = . Chọn C. 2 2 1 − π Câu 15: Ta có = − 2
I 5 2cos x = 7 . Chọn A. 0
Câu 16: Ta có I =1008.2 + 2.1 = 2018 . Chọn D.
Câu 17: Theo tính chất cơ bản của tích phân thì A, B, C đúng và D sai. Chọn D. π π π 4 4 4 Câu 18: I f ∫ (x) 5 dx − = +
dx = a − 5tan x = a − 5 ∫ . Chọn B. 2 cos x 0 0 0
Câu 19: Tích phân không phụ thuộc vào biến 6 2 6 2 Do đó f ∫ (x)dx = 3 − ⇒ I = f ∫ (x) 2
dx − 3x = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx−6 = 4+3−6 =1 . Chọn A. 0 2 0 0 6
Câu 20: I = 3.10 − 5.5 = 5 . Chọn A.
Câu 21: Tích phân không phụ thuộc vào biến b b c
Do đó f (x)dx = 3 ⇒ I = f (x)dx + f (x)dx = 2 −3 = 1 − ∫ ∫ ∫ . Chọn D. c a b 5 4
Câu 22: Tích phân không phụ thuộc vào biến. Do đó f (x)dx = − g (x) 1 2; dx = ∫ ∫ − 3 4 1 4 4 5 4
⇒ I = f (x)dx + g (x)dx = f (x)dx + f (x) 1 1 22 dx + = 5 + 2 + = ∫ ∫ ∫ ∫ . Chọn C. − − − 3 3 3 1 1 1 5
Câu 23: Tích phân không phụ thuộc vào biến. 4 4 2 − 4
Do đó f (x)dx = 4
− ⇒ I = f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = 1 − − 4 = 5 − ∫ ∫ ∫ ∫ . Chọn A. 2 − 2 2 2 − π π π π 2 2 2 2
Câu 24: I =  f
∫  (x)+ 2sin xdx = f
∫ (x)dx+ 2sin xdx = 5+ ∫ ( 2 − cos x) 0 0 0 0
= 5 + 2 = 7 . Chọn C. 2 2 Câu 25: 2 I = e f ∫ (x) 2 dx = e f ∫ (x) 2 2
dx = e .2 = 2e . Chọn A. 4 − 4 − 4 4 4 4
Câu 26: I = 3− f ∫ 
(x)+ 2g (x) dx = 3dx − f  ∫
∫ (x)dx+ 2 g ∫ (x)dx. 1 − 1 − 1 − 1 − 4 = 3x −10 + 2.( 3 − ) =15 −16 = 1 − .Chọn D. 1 − 2 2 2 Câu 27: xe − f ∫ (x) x
dx = e dx − f ∫ ∫ (x) 2 x 2
dx = e −1 = e − 2   0 0 0 0
Do đó a = 2;b = 2 ⇒ a = b . Chọn C. 3 4 4 4 Câu 28: f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx ⇒ I = f
∫ (x)dx = 5−3 = 2. Chọn C. 0 3 0 3 7 5 7
Câu 29: I = f
∫ (x)dx = f
∫ (x)dx+ f
∫ (x)dx = 3+9 =12. Chọn C. 2 2 5 4 3 4 3 3
Câu 30: I = f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx − f (x)dx = 2016 − 2017 = 1 − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Chọn C. 1 1 3 1 4 1 1 3  
Câu 31: ∫( 2x − x) x 2 2
2 dx =  − x  = − ⇒ m = 2;n = 3 ⇒ m + n = 5 . Chọn A.  3  3 0 0 k
Câu 32: Ta có ∫(k −4x)dx +3k +1= 0 ⇔ ( 2
kx − 2x ) k 2
+ 3k +1 = 0 ⇔ −k − k + 2 + 3k +1 = 0 1 1 k = 1 − 2
⇔ −k + 2k + 3 = 0 ⇔  . Chọn D.k = 3 2 2 4 4 Câu 33: 3 x a 4 x dx = = 4 −
= 2 ⇔ a = 8 ⇔ a = ± 2 2 ∫ . 4 4 a a
Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn. Chọn D. a aa =1
Câu 34: ∫(2x −3)dx = ( 2x −3x) 2
= a − 3a + 2 = 0 ⇔  1 a = 2 1 Do đó a a 1 13 1 2
T = 2 + 2 + log (a a ) 1 2 = 2 + 2 + log 2 = 6 + = . Chọn A. 4 1 2 4 2 2 b Câu 35: 2 b 2 2
I = 2xdx = x = b − a = ∫
(b − a)(b + a) = 2(b + a) . Chọn B. a a b
Câu 36: I = ∫( 2 3x + 2ax + ) 1 dx = ( 3 2
x + ax + x) b 3 2
= b + ab + b . Chọn B. 0 0
Câu 37: ĐK: x > 0 2 2 2   Ta có ∫( 2 t 2
t − log x dt = 2log
⇔  −t log x = 2log 2 ) 2 2 2 x  2  x 0 0 2  2 2 2log x 2log 2 2log . x  ⇔ − = ⇔ = = 
 2 (Đúng với mọi x > 2 ) 2 2 2 xx
Do đó nghiệm của phương trình là: x∈(0;+∞) . Chọn C. x Câu 38: ∫( 2 3 −8 + 4) ≤ ⇔ ( 3 2 − 4 + 4 ) x t t dt x t t t ≤ x 0 0 3 2 3 2
⇔ x − 4x + 4x ≤ x ⇔ x − 4x + 3x ≤ 0 ⇔ x(x − ) 1 (x −3) ≤ 0(*)
Với x > 0 ta có: (*) 1 3 x x ∈ ⇔ ≤ ≤  → x = {1;2; }
3 ⇒ T = 6 . Chọn C.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: