Chuyên đề trắc nghiệm các phép tính toán với số phức Toán 12

Chuyên đề trắc nghiệm các phép tính toán với số phức Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

16 8 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 4: Số phức

Môn: Toán 12

Thông tin:

33 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHỦ ĐỀ 16: CÁC PHÉP TÍNH TOÁN VỚI SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1) Các khái niệm cơ bản.
• Định nghĩa: Số phức là số có dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn
2
1i = −
. Kí
hiệu số phức đó là z và viết
z a bi= +
.
Trong đó i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức
z a bi= +
.
Tập hợp các số phức được kí hiệu là
.
Chú ý:
- Số phức
0.zaa i= = +
có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là
0.a ia+=∈
.
- Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):
(
)
0z bi bi b
=+= ∈
.
Ví dụ
5
zi
=
là số thuần ảo.
- Số
0 0 0.i= +
vừa là số thực, vừa là số ảo.
Ví dụ: Số phức
có phần thực bằng 5, phần ảo bằng
3
.
Số phức
4zi= −
có phần thực bằng 0, phần ảo bằng
4−
; đó là một số thuần ảo.
• Hai số phức
(
)
; ; ;;z a bi z a b i a a b b
′ ′′ ′ ′
=+=+ ∈
gọi là bằng nhau nếu
aa
bb
′
=
′
=
.
Khi đó ta viết
zz
′
=
.
2) Biểu diễn hình học của số phức
Xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức
( )
;a bi a b+∈
được biểu
diễn bởi điểm
( )
;M ab
. Ngược lại, mỗi điểm
(
)
;M ab
biểu diễn
một số phức
z a bi= +
. Ta còn viết
( )
M a bi+
hay đơn giản là
( )
Mz
.
Mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức.
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Các điểm
trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo.
3) Phép cộng và phép trừ số phức
a) Phép cộng hai số phức
Tổng của hai số phức
( )
; ; ;;z a bi z a b i a a b b
′ ′′ ′ ′
=+=+ ∈
là số phức
( )
z z a a b bi
′′ ′
+=+++
.
Ví dụ:
( ) ( )
4 52 45 2 9i i ii i++ − = + + − = −
.
3 23 4 23 3ii i+− − =− −
.
Một số tính chất của phép cộng số phức
Tính chất kết hợp:
( ) ( )
1 2 3 1 2 3 123
, ;;z z z z z z zzz++=++ ∀ ∈
.
Tính chất giao hoán:
' ' , ',
+ =+∀ ∈z z z z zz
Cộng với 0:
00 ,z zzz+=+=∀∈
.
Với mỗi số phức
( )
;z a bi a b=+∈
nếu kí hiệu số phức
−−a bi
là
−z
thì ta có:
( )
( )
0z z zz+− =− + =
Số
z−
được gọi là số đối của số phức
z
.
b) Phép trừ hai số phức
Hiệu của hai số phức
z
và
z
′
là tổng của
z
và
'−z
, tức là
( )
zz z z
′′
− = +−
Nếu
; z a bi z a b i
′ ′′
=+=+
thì
( )
z z a a b bi
′′ ′
−=−+−
.
Ví dụ:
(
) ( ) ( ) ( )
45 12 41 52 33i i ii
+ −+ = −+ − =+
.
c) Phép nhân hai số phức
Tích của hai số phức
z a bi
= +
và
( )
; ;;z a bi a a b b
′ ′′ ′ ′
=+∈
là số phức:
( )( ) (
) ( ) ( )
2
zz a bi a b i aa ab b a i bb i aa bb ab a b i
′ ′′ ′ ′′ ′ ′ ′ ′′
=+ +=++ + =−++
.
Biến đổi tương tự như trên ta có:
•
( ) (
)
22
2 2 22
22z a bi a abi bi a b abi=+ =+ + =−+
•
( ) ( ) ( )
( )
3 23
3 3 2 3 2 23
33 3 3z a bi a a bi a bi bi a ab a b b i=+=+ + + =− + −
.
•
( ) ( )
22
1 2 ; 1 2iii i
+= −=−
.
Ví dụ:
(
)( )
3 12 32 6 55i i ii i− + = + −+ = +
.
Một số tính chất của phép nhân hai số phức:
Tính chất giao hoán:
,;zz z z z z
′′ ′
=∀∈
.
Tính chất kết hợp:
(
) ( )
12 3 1 23 1 2 3
, ;;zz z z z z z z z= ∀∈
.
Nhân với 1:
1. .1,zz z= ∀∈
.
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
( )
1 2 1 2 12
, ;;z z z zz zz z z z+=+∀ ∈
.
4) Số phức liên hợp và môđun của số phức
a) Số phức liên hợp
• Số phức liên hợp của
( )
;z a bi a b=+∈
là
a bi−
và được kí hiệu là
z
.
Như vậy
z a bi a bi=+=−
.
Ví dụ:
25 25ii+=−
.
4 34 3ii−=+
.
ii= −
.
22ii−=
.
55=
.
• Chú ý: Vì
zz=
nên
z
và
z
là hai số phức liên hợp với nhau.
• Tính chất: Với mọi số phức
;
zz
′
ta có:
zz zz
′′
+=+
và
.zz z z
′′
=
b) Mô-đun của số phức
Mô-đun của số phức
( )
;z a bi a b=+∈
là số thực không âm
22
ab+
và được kí hiệu là
z
.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy điểm
(
)
;
M ab
biểu diễn số phức z.
Khi đó
22
OM a b z= +=
.
Như vậy, nếu
( )
;z a bi a b=+∈
thì
22
.z zz a b= = +
.
Ví dụ:
22
5 5; 4 3 4 3 5ii−= += + =
.
5) Phép chia cho số phức khác 0
Định nghĩa: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số
1
2
1
.
zz
z
z
zz
z
−
= = =
Thương
z
z
′
của phép chia số phức
z
′
cho số phức z khác 0 là tích của
z
′
với số nghịch đảo của số phức z,
tức là
1
.
z
zz
z
−
′
′
=
. Như vậy, nếu
0z ≠
thì
2
.z zz
z
z
′′
=
.
Ví dụ:
( )(
)
( )(
)
4 23
4 5 14
23 23 23 13
ii
ii
i ii
++
++
= =
− −+
.
6) Một số các kết quả quan trọng
Cho
1 112 2 2
;
z a bi z a bi=+=+
ta có:
a)
12 1 2
zz z z=
.
b)
( )
1
1
2
2
2
0
z
z
z
z
z
= ≠
.
Chứng minh: Ta có:
(
) ( )
12 1 2 12 12 21
zz aabb ababi= −++
Khi đó
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2222
12 1 2 12 12 21 1 2 12 12 21
zz aabbabab aabbabab= − ++ = + + +
( )( )
2222
11 22 12
= + +=abab zz
(đpcm)
Tổng quát:
12 1 2
......... .........
nn
zz z z z z=
Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh
( )
1
1
2
22
0
z
z
z
zz
= ≠
.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Tính toán cơ bản với số phức
Phương pháp CASIO: Ngoài cách thực hiện tính toán thông thường, ta còn có thể sử dụng máy tính
CASIO để hỗ trợ việc tính toán các phép tính số phức.
Bước 1: Nhấn Mode 2 để chuyển sang màn hình tính toán số phức (màn hình CMPLX).
Bước 2: Nhập biểu thức cần tính toán với số i ta bấm:
Chú ý:
1. (Tổ hợp phím SHIFT – 2 – 2 – Anpha X): Conjg là số phức liên hợp của X.
2. (Tổ hợp phím SHIFT – Abs – Anpha – X):
X
là modun của số phức X
Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
( )
( )
2
13zi i
=+ −+
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng i. B. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 1.
C. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng i. D. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −1.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
2
2
1 3 12 3 2 3 3= + − + = + + −−= −−=−+z i i ii i i i i
.
Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 1. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hai số phức
1
23zi= +
và
2
3zi= −
. Tính môđun của số phức
12
zz z= +
A.
33z =
. B.
30z =
. C.
29z
=
. D.
52z
=
.
Lời giải
Ta có:
12
5 2 29zz z i z=+=+⇒=
. Chọn C.
Ví dụ 3: Tìm các số thực x; y biết
( )
1 23xy i i
−+ =+
A.
2; 2
xy= =
. B.
2; 2xy= = −
. C.
2; 4xy= = −
. D.
3; 4xy= = −
.
Lời giải
Do
( )
( )
2
2
1 23
13
4
x
x
xy i i
y
y
=
=
− + =+⇔ ⇔

− +=
= −
. Chọn C.
Ví dụ 4: Cho số phức
( )
2 13
z m mi m
= −+ ∈
. Tìm m biết
10z =
A.
9
1;
13
m

=


. B.
9
1;
13
m

= −


. C.
9
1;
13
m

=−−


. D.
9
1;
13
m

= −


.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
22
2
1
10 2 1 3 10 13 4 9 0
9
13
m
z m m mm
m
=
= ⇔ − + = ⇔ − −=⇔
−
=
. Chọn D.
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn:
( )
( )
22
13 13zi i=+ +−
. Tính môđun của số phức
3
w iz= +
.
A.
5
w =
. B.
7w =
. C.
9
w
=
. D.
1w =
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
22
1 3 1 3 12331233 4 4z i ii i z
= + + − =+ −+− − =−⇒ =−
Do đó
43 5wi w=−+⇒ =
. Chọn A
Ví dụ 6: Điểm M trên hình vẽ biểu diễn số phức z. Số phức liên hợp của
số phức z là:
A.
32wi
=−+
.
B.
32wi=−−
.
C.
23wi= −
.
D.
23wi= +
.
Lời giải
Điểm
( )
3; 2 3 2 3 2M z i wz i− ⇒ =−+ ⇒ = =−−
. Chọn B.
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn
5z =
. Tính mô-đun của số phức
( )
34w iz= +
.
A.
w 52=
. B.
w 55=
. C.
w5=
. D.
w 10=
.
Lời giải
Ta có:
( )
34 34. 5. 55w iz i z z=+=+ ==
. Chọn C.
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn
( )
13iz i+=−
. Hỏi điểm biểu diễn z là điểm nào trong các điểm M, N, P
Q ở hình bên.
A. Điểm P. B. Điểm Q. C. Điểm M. D. Điểm N.
Lời giải
Ta có:
3
12
1
i
zi
i
−
= = −
+
⇒ Điểm biểu diễn số phức z là điểm
( )
1; 2Q −
. Chọn B.
Ví dụ 9: Cho số phức
( )
3
13
1
i
z
i
−
=
−
. Tìm mô-đun của số phức
w z iz= +
A.
0w =
. B.
82w =
. C.
8w =
. D.
42w =
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
32
3
1 3 13 3 3 3 3 3
8
44 44
1 11
i ii i
z iz i
i ii
− −+ −
−
= = = =−− ⇒ =−+
− −−
Do đó
(
)
4 4 4 4 8 8 82w z iz i i i i w
= + =−− + −+ =−− ⇒ =
. Chọn B.
Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
( )( )
1 22izi z i+ −+ =
. Mô-đun của số phức
1wz
= +
là
A.
22
. B. 1. C.
2
. D. 2.
Lời giải
( )
( ) ( )
31
PT1 122331 12
3
i
iz ii z i z i i z i z
i
−
⇔ + − + + = ⇔ + = −⇔ = =⇒ + =
+
. Chọn C.
Ví dụ 11: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn
( )
( ) ( )
2
1 2 8 12i iz i iz
+ − = ++ +
A. 2. B. 2i. C. −3. D. −3i.
Lời giải
Sử dụng CASIO ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 2 24 24 12 8+ −=+ ⇒ + −+ =+
i i i iz iz i
( )
8
12 8 23
12
i
iz i z i
i
+
⇔ + = +⇔ = = −
+
Do đó phần ảo của số phức z là −3. Chọn C.
Dạng 2: Bài toán quy về giải hệ phương trình nghiệm thực
Phương pháp: Đặt
( )
;z a bi a b=+∈
từ đó suy ra
22
; z a bi z a b= = = +
.
Sử dụng tính chất 2 số phức bằng nhau:
1 112 2 2
; z a bi z a bi=+=+
ta có:
12
12
12
aa
zz
bb
=
= ⇔
=
.
Ví dụ 1: Tìm 2 số thực x và y thỏa mãn
(
) (
)
2 3 13 6
x yi i x i− +− =+
với i là đơn vị ảo
A.
1; 3xy=−=−
. B.
1; 1
xy=−=−
. C.
1; 1xy= = −
. D.
1; 3xy= = −
.
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
21 1
2 3 13 6 2 1 3 3 6
3 36 3
xx x
xyi ixi x y ixi
yy
+= =−

− +− =+ ⇔ ++− − =+ ⇔ ⇔

− −= =−

. Chọn A.
Ví dụ 2: Tìm mô-đun của số phức z biết rằng
( ) ( )
1 2 1 21 3iz iz i+ +− = +
.
A.
34z
=
. B.
5z
=
. C.
32z =
. D.
29
z =
.
Lời giải
Đặt
; ,
z a bi a b=+∈
.
Ta có:
(
)(
) (
)
( )
1 2 1 21 3i a bi i a bi i
+ + +− − = +
( )
2 2 21 3a b a b i a b ai bi i⇔− + + +−− − = +
( )
2 3 21 3
2 3 21 3 34
35
ab a
a b ai i z
ab
−= =

⇔ − += +⇔ ⇔ ⇒=

= = −

. Chọn A.
Ví dụ 3: Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng
( ) ( )
12 22iz iz i+ +− =
.
A.
7T = −
. B.
1
3
T =
. C.
7
3
T
−
=
. D.
1
3
T
−
=
.
Lời giải
Đặt
; ,
z a bi a b=+∈
.
Ta có:
( )( ) ( )( )
12 22i a bi i a bi i+ + +− − =
( )
2 2 222 2a b a b i a b ai bi i
⇔−+ + +−− − =
4
340
7
34
3
1
3
1
ab
a
a b bi i S
b
b
−
−=
=
−
⇔ − −=⇔ ⇔ ⇒=

−=
= −
. Chọn C.
Ví dụ 4: Cho số phức
(
)
,
z a bi a b=+∈
thỏa mãn:
( ) ( )
( )
2
23 4 13
iz iz i− + + =−+
. Tính
2T ab= +
A.
8T
= −
. B.
8T =
. C.
1T = −
. D.
1
T
=
.
Lời giải
Ta có:
( )( )
(
)( )
23 4 86i a bi i a bi i
− + ++ − =−
(
)
648 2
64 22 86 2 1
226 5
+= =−

⇔ + − + =− ⇔ ⇔ ⇒ = +=

+= =

ab a
ab abi i T ab
ab b
. Chọn D.
Ví dụ 5: Cho số phức
( )
,z a bi a b=+∈
thỏa mãn
( )( )
( )
( )
1 2 1 11 2 2iz z i i+ −+ + −=−
. Tính
P ab
= +
.
A.
0P =
. B.
1P =
. C.
1P = −
. D.
1
3
P = −
.
Lời giải
Đặt
( )
,z a bi a b z a bi=+ ∈ ⇒=−
. Ta có
(
)(
)
( )
(
)
( )
( )
1 2 1 1 1 21 1 2
i z z i iz iz i+ −+ + −= + +− −
.
Suy ra
( ) ( ) (
)( ) ( )( )
21 1 2 21 1 2
i z i z i a bi i a bi+ +− =⇔ + + +− − =
.
( ) ( )
3 3 20
22 2 332 0 0
0
ab
a b a b a bi a b a bi P
ab
− −=
⇔ −+−++ =⇔ −−++ =⇔ ⇒=
+=
. Chọn A.
Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức
( )
( )
2
32
i
i z iz
i
+
++ =−
. Mô đun của số phức
w zi= −
là
A.
26
25
. B.
6
5
. C.
25
5
. D.
26
5
.
Lời giải
Đặt
( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
2
, 3 2 252 1 0
i
z a bi a b i a bi i a bi a b a i
i
+
=+ ∈⇒+ ++ =− −⇔−−+++=
1
2 5 20
4 1 26
11
4
10
5 55
5
a
ab
z iw i w
a
b
= −
− − +=
⇔ ⇔ ⇒ =−+ ⇒ =−− ⇒ =

+=
=
. Chọn D.
Ví dụ 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời
(
)
2 10zi−+=
và
. 25zz=
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
Đặt
( )
22
, . 25zabiab zabi zza b=+ ∈ ⇒=− ⇒ = + =
Ta có:
( ) ( )
22
22
2 10 2 1 10 4 2 5a bi i a b a b a b+ −−= ⇔ − + − = ⇔ + − − =
Giải hệ
22
22
25 5; 0
3; 4
425
ab a b
ab
ab ab
+= = =
⇔⇒
= =
+−− =
có 2 số phức thỏa mãn. Chọn A.
Ví dụ 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn
5z =
và
3 3 10
zz i
+ = +−
. Tìm số phức
43
wz i=−+
.
A.
38wi=−+
. B.
13wi= +
. C.
17wi=−+
. D.
48
wi=−+
.
Lời giải
Đặt
; ,z a bi a b=+∈
.
( )
( ) ( ) ( )
22
2 22
2
5
25
3 3 10
3 3 10
a bi
ab
a bi a b i
a ba b
+ =
+=

⇒⇔

+ + = ++ −
++=++−
22
0
25
5 5 43 48
5
5
a
ab
ziwi i i
b
b
=
+=
⇔ ⇒ ⇒ = ⇒ = − + =−+

=
=
. Chọn D.
Ví dụ 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức
( )
,z a bi a b=+∈
thỏa mãn
13 0z i zi++ − =
. Tính
3Sa b= +
.
A.
7
3
S = −
. B.
5
S = −
. C.
7
3
S =
. D.
5S =
.
Lời giải
Đặt
(
)
,z a bi a b
=+∈
ta có:
22
22
1
13 0
3
a
a bi i a b i
b ab
= −
++ + − + = ⇔
+= +
2
1
1
5
4
31
3
a
a
S
b
bb
= −
= −

⇔ ⇔ ⇒=−

= −
+= +
. Chọn B.
Ví dụ 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
2 22zi+−=
và
( )
2
1z −
là số
thuần ảo?
A. 0. B. 2. C. 4. D. 3.
Lời giải
Đặt
( )
,z a bi a b=+∈
ta có:
( ) (
)
22
2 22 2 1 8a bi i a b
+ +−= ⇔ + + − =
.
Mặt khác
(
) ( ) ( ) ( )
2 22
2
1 1 1 21z a bi a b a bi
−=+−=−−+ −
là số thuần ảo suy ra
(
)
2
2
10ab− −=
Do đó
( ) ( )
( )
22
2
2
0; 1
2 18
1 3; 2 3
1
1
1
1 3; 2 3
= = −
+ +− =
⇔ =−− = +
−=
−=⇔
−=−
=−+ = −
ab
ab
ab
ab
ab
ab
ab
Suy ra có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D.
Ví dụ 11: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
35zi−=
và
4
z
z −
là số thuần ảo?
A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2.
Lời giải
Đặt
(
)
4
z a bi z=+≠
ta có:
( )( )
( )
2
2
4
44
4
a bi a bi
z a bi
z a bi
ab
+ −−
+
= =
− +−
−+
là số thuần ảo khi
( ) ( )
2
4 0 1aa b−+=
. Mặt khác
(
) (
)
2
2
3 5 3 25 2zi a b−=⇔ +− =
Từ (1) và (2) suy ra
( )
( )
22
22
22
4; 0
238
40
16 24
4
6 16
; /
13 3
a b loai
ab
ab a
ab a
ab b
a b tm
= =
−=
+− =

⇔⇔

−
+=
+−=
= =
. Chọn C.
Ví dụ 12: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
15z −=
và số phức
2
wz
=
là số ảo?
A. Vô số. B. 4. C. 5. D. 3.
Lời giải
Đặt
z a bi= +
ta có:
(
)
2
22
2
w a bi a b abi=+ =−+
là số thuần ảo nên
22
ab=
Mặt khác
22 2
44
1 5 2 24 2 2 24 0
33
=⇒=±
−+=⇔−+=⇒ −−=⇔
=−⇒ =±
ab
a bi aab aa
ab
Vậy
4 4; 3 3z iz i
= ± =−±
là các số phức cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 13: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
22z =
và
2
z
là số thuần ảo?
A. 4. B. 1. C. 3. D. 2.
Lời giải
Đặt
( )
22
; , 2 2 8 1z a bi a b a bi a b=+ ∈⇒+ = ⇔ + =
.
Mặt khác
( )
2
2 22
2.
z a bi a b ab i=+ =−+
là số thuần ảo, suy ra
( )
22
0 2ab−=
.
Từ (1) và (2), suy ra
22
22
8
2
0
ab
ab
ab
+=
⇒==⇒
−=
Có 4 số phức z thỏa mãn đề bài. Chọn A.
Ví dụ 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện
. 2, 2zz z z+= =
.
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
Đặt
( )(
)
22
22
;,
2
2
a bi a bi a bi a b a bi
z a bi a b
a bi
a bi
+ − ++ = + ++ =

=+ ∈⇒ ⇔

+=
+=
( )
( ) ( )
2
22
22 2 2 2
2
22 22
22
2
2
4444
2
0
0
44
4
a
a
abababaa
z
b
b
ab ab
ab

= −
= −
++ += + += + =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒=−

=
=
+= +=

+=

.
Chọn C.
Ví dụ 15: Cho số phức
(
)
,
z a bi a b
=+∈
thỏa mãn
( )
2
2
2
1
z
zi
iz
zi
+
= −
−
. Tính
S ab
=
.
A.
1
9
S
=
. B.
1
27
S
=
. C.
5
9
S =
. D.
5
27
S
=
.
Lời giải
Đặt
( )
,z a bi a b=+∈
, ta có
2
z
z a bi
z
= = −
và
2
1
1
i
i
=−−
−
, khi đó giả thiết trở thành
( )( )
(
) (
)( )
1 2 0 31 1 31 1z i z i iz z i z i a bi i a bi i++ ++ =⇔++ =−⇔−++ +=−
231
1 55
233 1
31
3 9 27
ab
a b ai i a b S
a
−=
⇔ − + =−⇔ ⇔ =− ⇒ =− ⇒ =
= −
. Chọn D.
Ví dụ 16: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017]: Cho số phức z; w khác 0 sao cho
2
zw z w−= =
. Phần thực
của số phức
z
u
w
=
.
A.
1
8
a
= −
. B.
1
4
a
=
. C.
1a =
. D.
1
8
a =
.
Lời giải
Giả sử
( )
;u a bi a b=+∈
. Theo giả thiết suy ra
1
2
11
z
z
u
ww
zw
zw z
u
w ww
= = =
−
−
= = −= −
( )
(
)
22
2
2
2
2
1
3 31
4
1 21
4 48
11
ab
aa a a
ab
+=
⇔ ⇒ − − = ⇒− + = ⇔ =
−+=
. Chọn D.
Dạng 3: Lấy môđun 2 vế tìm số phức
Ta có:
12 1 2
zz z z=⇒=
Lưu ý sử dụng các tính chất:
2
12 1 2
, . ; .z z zz z zz z z= = =
và
( )
1
1
2
22
0
z
z
z
zz
= ≠
.
Ví dụ 1: Cho số phức
( )
;z a bi a b=+∈
thỏa mãn
( )
( )
4 1 43z i z zi−= + − +
.
Tìm tổng
2S ab= +
.
A.
2S =
. B.
4
5
S =
. C.
4S =
. D.
0S =
.
Lời giải
Ta có:
(
)
(
)
( )
( )
4 4 3 13 4 4 *
⇔−= + − − ⇔ + = + + −PT z z i z i iz i z z z i
Lấy môđun 2 vế ta được:
( )
(
)
( )
22
13 4 4iz z z
+ = ++−
( )
( )
22
22
10 4 4 10 2 32 2zz z zz z
⇔ = + + − ⇔ = +⇔=
Thế vào (*) ta có:
( )
62 68 6 8 4
13 62 ;
13 5 5 5 5
ii
iz i z a b S
i
+− −
+ =+ ⇒= = ⇒= = ⇒=
+
. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho số phức
0
z ≠
thỏa mãn
( )
26
23 32iz i
z
+ = +−
. Khi đó
A.
01z
<<
. B.
12z
≤<
. C.
23z≤<
. D.
3z ≥
.
Lời giải
Ta có:
( )
26 26
23 32 2 33 2
i z i z iz i
zz
+ = +− ⇔ −+ + =
( ) ( )
( )
26
2 33 2 *z zi
z
⇔ −+ + =
Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được:
(
)
( )
( )
22
26 26
23 32 *zz
z
z
−+ + = =
2
2 42
2
2
1
26
13 13 2 0 1
2
=
⇔ + = ⇔ + −=⇔ ⇒ =
= −
z
z zz z
z
z
. Chọn B.
Ví dụ 3: Cho số phức
( )
;z a bi a b=+∈
thỏa mãn phương trình
( )
( )
11
1
−+
=
−
z iz
i
z
z
. Tính
22
ab
+
.
A.
3 22+
. B.
2 22+
. C.
3 22−
. D. 4.
Lời giải
ĐK:
1; 0zz≠≠
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )( )
2
11 1 1
1
.1
11
1
−+ − +
−
−
=⇔− += = =
−
z iz z z
z
zz
i z iz i i i
zz z
z
z
( )
( )
( )
2
11 1z iz i z z i z z⇔ + = + ⇔ = +−
Lấy môđun 2 vế ta được:
22
11zizzzzz= +− ⇔ = +−
. Đặt
0zt= ≥
Khi đó
( )
2
22
2
12
1
1 2 10
1
12
t
t tt
tt t t t
ttt
t loai
= +
+− =
= +− ⇔ ⇒ − −= ⇒
+− =−
= −
Suy ra
2
22
1 2 3 22z ab z=+ ⇒+= =+
. Chọn A.
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn
( )
10
12 2iz i
z
+ = −+
. Hỏi phần thực của số phức
1
1
w
z
=
+
bằng bao
nhiêu?
A.
3
2
. B.
3
2
−
. C.
1
2
. D.
1
4
.
Lời giải
Giả thiết
( )
( )
10 10 10
1 2 2 2. 2 2 2 1i z i z iz i z z i
z zz
+ = −+⇔ + +−= ⇔ ++ − =
.
Lấy môđun hai vế của (*) ta được
( ) ( )
22
10
2 21 1+ + − = ⇒=zz z
z
.
Do đó
10 10 1 1 3 10
12 2
3 12 2
i iz w i
z iz
−+
+ = −+⇔ = ⇒ = = +
++
. Chọn C.
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn
( )
4
34 8
iz
z
− −=
. Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến
điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào?
A.
9
;
4

+∞


. B.
15
;
44



. C.
1
0;
4



. D.
19
;
24



.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) (
)
44
34 8 34 8 *iz iz
zz
− −=⇔− =+
.
Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức
12 1 2
..zz z z=
, ta được
( )
( )
44
* 34 8 8iz
zz
⇔− =+ =+
2
4
5858402
z zz z
z
⇔ =+ ⇔ − −=⇔ =
. Gọi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó
22
19
2;
24
OM x y z

= +==∈


. Chọn D.
Ví dụ 6: Xét số phức z thỏa mãn
( ) ( )
2 11
iz i z i=− −+
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
22z =
. B.
2z =
. C.
1z =
. D.
2z =
.
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
2 1 1 2 1 2 1 1 *iz i z i iz z i z i iz z z i= − − + ⇔ = − −−⇔ =− −+ −
Lấy môđun hai vế của (*), ta được
( )
(
)
( )
( )
22 22
2 112 11izz z zz z
= ++−⇔ = ++−
( ) ( )
22
2 22 2
4 1 1422 1 1zz z z z z z⇔=++−⇔=+⇔=⇔=
. Chọn C.
Ví dụ 7: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
( ) ( )
4 25z z i i iz−− + = −
:
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Lời giải
( )
( )
5 42PT z i z z z i
⇔ −− =− + −
Lấy môđun 2 vế ta được:
( )
2
2
. 5 16 2
z iz z z−− = + −
Đặt
( )
0t zt= ≥
ta có:
( ) ( )
22
2 22
. 5 16 2 . 5 1 17 4 4t it t t t t t t−− = + − ⇔ − + = − +
( )
(
)
(
)
4 32 32
1
8, 95
109440 1 940
0, 69
0, 64
t
t
t ttt t tt
t
t loai
=
=
⇔ − + + −=⇔ − − + =⇔
=
= −
Ứng với mỗi giá trị
( )
42
0
5
t ti
tz
it
−+ −
≥⇒= ⇒
−−
có một số phức z.
Do vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ví dụ 8: Cho hai số phức
12
, zz
thỏa mãn
12
2, 2
zz= =
. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức
1
z
và
2
iz
. Biết rằng
45MON = °
với O là gốc tọa độ. Tính
22
12
4zz+
.
A.
42
. B. 4. C. 6. D.
45
.
Lời giải
Ta có
11
11
22
22
22
22
22
22
zz
zz
z iz
iz z i
= =

= =

⇔ ⇔⇔

= =
= = −




Do đó, điểm N biểu diễn số phức
2
iz
có tọa độ là
( )
2;0N
.
Vì
45MON = °
và
( )
2 2 2; 2OM OM ON M=⇒= ⇒
.
Suy ra
1
22zi= +
và
22
2 12
2 4 45zi zz= − → + =
. Chọn D.
Ví dụ 9: Cho hai số phức
1
z
và
2
z
thỏa mãn
1 2 12
3, 4, 37z z zz= = −=
. Xét số phức
1
2
z
z a bi
z
= = +
.
Tìm
b
.
A.
3
8
b
=
. B.
3
8
b
=
. C.
33
8
b =
. D.
8
3
b
=
.
Lời giải
Chọn
1
2
1
3
4
4 37
=
= →
−=
z
z
z
. Gọi
( )
22
1
2
2
3
9
2
33
4 37
2
= −
+=

=+⇒ ⇔

− +=
= −
a
ab
z a bi
ab
b
.
Vậy
1
2
3 33
3 33 33
22
4 88 8
i
z
z ib
z
−−
= = = − − → =
. Chọn C.
Ví dụ 10: Cho hai số phức
12
, zz
thỏa mãn
12 1 2
3, 1+= = =zz z z
. Tính
1 2 12
zz zz+
.
A.
1 2 12
0zz zz+=
. B.
1 2 12
1
zz zz+=
. C.
1 2 12
2zz zz+=
. D.
1 2 12
1zz zz+=−
.
Lời giải
Chọn
1
2
1
1
1
13
z
z
z
=
= →
+=
. Gọi
( )
22
1
2
2
1
1
2
3
13
2
a
ab
z a bi
ab
b
=
+=

=+⇒ ⇔

+ +=
= −
.
Vậy
1 1 2 12
13 1313
1
22 22 22
z i zz zz i i= − → + = − + + =
. Chọn B.
Ví dụ 11: Cho ba số phức
123
, , zzz
thỏa mãn
123
1zzz
= = =
và
123
0
zzz++=
. Tính giá trị của biểu
thức
222
1 23
Pzzz=++
.
A.
1P = −
. B.
0P =
. C.
1
P =
. D.
2P =
.
Lời giải
Ta có
( ) ( ) ( )
2
222
1 2 3 1 2 3 12 23 31 12 23 31
22=++=++− ++ =− ++Azzz zzz zzzzzz zzzzzz
( )
123
123 123 123 1 2 3
123 1 2 3
111
22
zzz
zzz zzz zzz z z z
zzz z z z


=− + + =− + + =− ++




Mặt khác
123 123
00zz z zz z++=⇒++=
suy ra
0P =
. Chọn B.
Ví dụ 12: Cho số phức
( )
0 ,z a bi a b=+≠ ∈
sao cho z không phải là số thực và
2
1
z
z+
là số thực. Tính
giá trị của biểu thức
.
A.
1
5
P =
. B.
1
2
P =
. C.
1
3
P =
. D.
1P =
.
Lời giải
Cách 1. Tư duy nhanh, w là số thực →
1
w
là số thực →
1
z
z
+
là số thực.
Mà dễ thấy
zz
+
là số thực nên
2
2
11
.1 1 1
2
1
=⇔ =⇔ =⇔=⇒ =
+
z
z zz z z
z
z
.
Cách 2. Ta có biến đổi
( )
2
2
2
2
. . ..
1
1
zz
z zz z zz z z z z zz
z
z
= ⇔+ =+ ⇔−= −
+
+
2
2
0
1
.1 1
2
1
.1
zz
z
zz z
z
zz
−=
⇔ ⇔=⇔=⇒ =
+
=
.
Cách 3. Chọn
(
)
2
2
2
11
10 1 1
12 2
1
z
z
w z zz
z
z
= = ⇔ − =⇔=⇒ =⇒ =
+
+
. Chọn B.
Ví dụ 13: Cho hai số phức
12
, zz
thỏa
12 1 2
, 0, 0zz z z≠ +≠
và
12 1 2
1 12
zz z z
= +
+
. Tính
1
2
z
z
.
A.
1
2
2
2
z
z
=
. B.
1
2
3
2
z
z
=
. C.
1
2
23
z
z
=
. D.
1
2
2
3
z
z
=
.
Lời giải
Cách 1. Ta có
( )
(
)
12
1212 12
1 2 12 12 12
2
12 1 1
2
zz
zzzz zz
z z zz zz zz
+
+= ⇔ = ⇔ + + =
++
.
( ) ( )
2
22
11 1
2 12 1
22 2
1
2. . 2 0 2 2 1 0
2
 
+
⇔ + + = ⇔ + += ⇔ =−
 
 
zz z
i
z zz z
zz z
.
Khi đó
1
2
12
22
z
i
P
z
+
==−=
.
Cách 2. Chọn
1
12
22 2
12 1 2
1
2
z
zi z i
i z iz z
=⇒ + = ⇒ =−⇒ =
+
. Chọn A.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho số phức
3
1z ii=−+
. Tìm phần thực a và
phần ảo b của z.
A.
0, 1ab= =
. B.
2, 1ab=−=
. C.
1, 0
ab
= =
. D.
1, 2ab= = −
.
Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Cho hai số phức
1
13zi= −
và
2
25zi=−−
. Tìm
phần ảo b của số phức
12
zz z= −
.
A.
2
b = −
. B.
2
b =
. C.
3b =
. D.
3b = −
.
Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 101) Cho hai số phức
1
57zi= −
và
2
23zi= +
. Tính số
phức
12
zz z= +
.
A.
74zi= −
. B.
25
zi= +
. C.
25zi=−+
. D.
3 10zi= −
.
Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho hai số phức
1
43zi= −
và
2
73zi= +
. Tìm số
phức
12
zz z
= −
.
A.
11
z
=
. B.
36zi
= +
. C.
1 10zi=−−
. D.
36zi=−−
.
Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
23 32zii+− =−
.
A.
15zi= −
. B.
1zi= +
. C.
55zi= −
. D.
1zi= −
.
Câu 6: Cho số phức
25zi= +
. Tìm số phức
w iz z= +
.
A.
73wi= −
. B.
. C.
37wi= +
. D.
77wi=−−
.
Câu 7: Cho hai số phức
1 3, 2z iw i
=+=−
. Tìm phần ảo của số phức
.u zw
=
.
A.
7−
. B.
5i
. C. 5. D.
7i−
.
Câu 8: Trong tập các số phức, tìm số phức z biết
( ) ( )
1 23 2 2iz i z i+ +− = − −
.
A.
12zi= +
. B.
2zi
= +
. C.
2zi= −
. D.
12zi= −
.
Câu 9: Cho số phức
32zi= −
. Tìm phần ảo b của số phức liên hợp của z.
A.
2bi=
. B.
2bi= −
. C.
2b =
. D.
2b = −
.
Câu 10: Cho hai số phức
1
23zi= −
và
2
15zi=−+
. Tổng phần thực và phần ảo của số phức
12
wz z= +
bằng.
A.
3i
. B. 1. C.
2i
. D. 3.
Câu 11: Cho z là một số ảo khác 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
zz=
. B.
0zz+=
. C.
z
là số thực. D. Phần ảo z bằng 0.
Câu 12: Cho số phức
( )
( )
6
4
1
2
5
i
zi
i
+
= −
. Số phức
53zi+
là số phức nào sau đây?
A.
440 3i+
. B.
88 3i+
. C.
440 3i−
. D.
88 3i−
.
Câu 13: Cho số phức
( )
,z a bi a b=+∈
thỏa
( )( )
12 3z ii=+−
. Tính tổng
P ab= +
.
A.
6P =
. B.
10P
=
. C.
5P =
. D.
0
P
=
.
Câu 14: Cho
( )
,z a bi a b=+∈
thỏa
(
)
( )
2 35 44iz i i+ −− =−
. Tính tổng
P ab= +
.
A.
26
5
P
= −
. B.
8
3
P =
. C.
4
P = −
. D.
2
P =
.
Câu 15: Tìm phần ảo b của số phức
12
2wz z= +
. Biết số phức
1
33
zi
= −
và
2
12
zi
=−+
.
A.
1b
=
. B.
1b = −
. C.
7b = −
. D.
7b =
.
Câu 16: Cho hai số phức
12
2 , 1
z iz i=−=+
. Tính
12 12
..T zz zz= +
.
A.
2T =
. B.
5
T =
. C.
2 10T
=
. D.
2T =
.
Câu 17: Cho hai số phức
12
1 5 , 3 2z iz i=−=+
. Tính phần ảo b của số phức
2
1
2
z
z
z
=
.
A.
19b
=
. B.
18
13
bi=
. C.
18
13
b =
. D.
13
18
b =
.
Câu 18: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
( )
12 1 52 0iz i+ − −+ =
.
A.
12 6
55
zi
= −
. B.
6 12
55
zi= +
. C.
6 12
55
zi= −
. D.
1 12
55
zi= −
.
Câu 19: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
( )
1 12 32 0iz i i− +− −+ =
.
A.
43zi= +
. B.
35
22
zi= +
. C.
53
22
zi= +
. D.
43zi= −
.
Câu 20: Tìm số phức z mà
( )
42z zi+= −
.
A.
22zi
= +
. B.
1zi
= +
. C.
12zi= +
. D.
2zi= +
.
Câu 21: Cho số phức
32zi= +
. Tìm số phức
( )
2
1
wz i z= +−
.
A.
35wi= +
. B.
78
wi= −
. C.
35wi=−+
. D.
78wi=−+
.
Câu 22: Cho số phức
32zi= +
. Tìm phần thực của số phức
2
z
.
A. 9. B. 12. C. 5. D. 13.
Câu 23: Cho số phức
( )
,
z a bi a b=+∈
thỏa mãn
( )
2
1 45 16
iz i i+ + − =−+
. Tính
S ab
= +
.
A.
3S = −
. B.
8S =
. C.
6S =
. D.
3S =
.
Câu 24: Tìm tất cả các số thực x, y sao cho
2
1 12
x yi i−+ =−+
.
A.
2, 2xy=−=
. B.
2, 2xy= =
. C.
0, 2xy= =
. D.
2, 2xy= = −
.
Câu 25: Trên tập số phức,
( ) ( )
2 2 2 3 21x y y xi x y y x i++ − =− ++ + +
với
,xy∈
. Tính giá trị của biểu
thức
23P xy= +
.
A.
7
P =
. B.
3P =
. C.
1P =
. D.
4P =
.
Câu 26: Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
12 12 1ix yi i− ++ =+
.
A.
1; 1xy= = −
. B.
. C.
1; 1xy= = −
. D.
1; 1xy=−=−
.
Câu 27: Tìm tất cả các số thực
( )
;xy
thỏa điều kiện
( )
3 2 12x yi y x i+ = ++ −
.
A.
( )
1;1
. B.
( )
(
)
1;1 , 0; 1
−
. C.
( ) ( )
1; 0 , 1; 1−−
. D.
(
)
1; 1
−−
.
Câu 28: Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức
( ) ( )
3
3 5 1 2 35 23x iy i i+ + − =−+
.
A.
( ) ( )
; 3; 4xy = −
. B.
( ) ( )
; 3; 4xy =
. C.
( ) ( )
; 3; 4xy = −
. D.
( ) ( )
; 3; 4xy =−−
.
Câu 29: Cho số thực x, y thỏa
( ) ( )
2 1 1 2 22x y i i yi x++ − = − + −
. Tính
2
3T x xy y=−−
.
A.
1T = −
. B.
1T =
. C.
2T = −
. D.
3T
= −
.
Câu 30: Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp
z
của số phức
( )
43z ii=−+
.
A. Phần thực là 4 và phần ảo bằng −3. B. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3.
C. Phần thực là 4 và phần ảo bằng
3i
. D. Phần thực là −4 và phần ảo bằng
3i
.
Câu 31: Cho các số phức
12zi
= +
và
2
wi= +
. Hỏi số phức
.u zw=
có đặc điểm nào?
A. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3. B. Phần thực là 0 và phần ảo bằng 3.
C. Phần thực là 0 và phần ảo bằng
3i
. D. Phần thực là 4 và phần ảo bằng
3i
.
Câu 32: Cho các số phức
1
23zi= −
và
2
14zi= +
. Tìm số phức liên hợp với số phức
12
zz
.
A.
14 5i
−−
. B.
10 5i−−
. C.
10 5i
−+
. D.
14 5i−
.
Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn
1
32
z
i
i
= −
+
. Tìm số phức liên hợp
z
.
A.
5zi=−−
. B.
15zi=−−
. C.
5zi= +
. D.
15zi=−+
.
Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn
( )
1 14 2iz i+=−
. Giả sử số phức liên hợp của z có dạng
z a bi= +
. Tìm
ab
+
.
A.
4ab+=−
. B.
14
ab+=
. C.
4
ab+=
. D.
14ab+=−
.
Câu 35: Tìm số phức liên hợp của số phức
( )( )( )
2
2 1 21z i ii= + −+ +
.
A.
15 5zi= +
. B.
13
zi= +
. C.
5 15zi= +
. D.
5 15zi= −
.
Câu 36: (Đề Thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho số phức
2zi= +
. Tìm
z
.
A.
3z =
. B.
5z =
. C.
2z =
. D.
5z =
.
Câu 37: Tính môđun của số phức z thỏa mãn
(
)
2 13 1zi i−+ =
.
A.
34z =
. B.
34z =
. C.
5 34
3
z
=
. D.
34
3
z =
.
Câu 38: Tính môđun của số phức z thỏa mãn
( ) ( )
12 2 32z i ii i= − ++ −


.
A.
4 10
z
=
. B.
45
z
=
. C.
160z =
. D.
2 10z =
.
Câu 39: Cho hai số phức
1
1
zi= +
và
2
23
zi= −
. Tính môđun của số phức
12
zz+
.
A.
12
13zz+=
. B.
12
5zz+=
. C.
12
1zz+=
. D.
.
Câu 40: Cho số phức
23zi
= −
. Tìm môđun của số phức
(
)
1w iz z
=+−
.
A.
3w =
. B.
5w
=
. C.
4w = −
. D.
7w =
.
Câu 41: Tìm số môđun của số phức
15
23
3
i
zi
i
+
+=+
−
.
A.
170
7
z =
. B.
170
4
z =
. C.
170
5
z =
. D.
170
3
z =
.
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
13 1iz i z− ++=−
. Tìm môđun của số phức
13 2
w zi
= +
.
A.
2w =
. B.
26
13
w =
. C.
10w =
. D.
4
13
w
=
.
Câu 43: Cho hai số phức
1
23zi= −
và
2
12zi= +
. Tính môđun của số phức
( )
12
2zz z
= +
.
A.
15z =
. B.
55
z =
. C.
65z =
. D.
137z
=
.
Câu 44: Cho số phức
34
zi=−−
. Tính môđun của số phức
25
w iz
z
= +
.
A.
2
w =
. B.
2w =
. C.
5w =
. D.
5w =
.
Câu 45: Tìm môđun của số phức z, biết z thỏa mãn
( )
( )
4 48 2
zi i=−+ +
.
A.
85z =
. B.
55
z =
. C.
65z =
. D.
95z =
.
Câu 46: Cho số phức
1
13
zi= +
và
2
34zi= −
. Tìm môđun của số phức
12
zz+
.
A.
12
17zz+=
. B.
12
15zz+=
. C.
12
4zz+=
. D.
.
Câu 47: Cho hai số phức
1
12zi= +
và
2
22zi=−−
. Tìm môđun của số phức
12
zz−
.
A.
12
22zz−=
. B.
12
1zz−=
. C.
12
17zz−=
. D.
.
Câu 48: Cho hai số phức
1
23
zi= +
và
2
1zi= +
. Tính
12
3zz+
.
A.
12
3 10zz+=
. B.
12
3 61zz+=
. C.
12
3 61zz+=
. D.
12
3 10zz+=
.
Câu 49: Cho hai số phức
1
34zi= −
,
2
43zi= +
. Tính
1
2
2
3
z
z
.
A.
1
2
2
2
3
z
z
=
. B.
1
2
2
2
33
z
z
=
. C.
1
2
2
3
32
z
z
=
. D.
1
2
2
5
32
z
z
=
.
Câu 50: Cho số phức
23
zi= −
. Tìm phần ảo a của số phức
(
) (
)
12
w iz iz=+ −−
.
A.
9ai= −
. B.
9
a
= −
. C.
5a = −
. D.
5ai= −
.
Câu 51: Cho số phức
12zi= −
. Tìm phần thực a của số phức
3
2
.
w z zz
z
= −+
.
A.
33
5
a = −
. B.
31
5
a = −
. C.
32
5
a = −
. D.
32
5
a
=
.
Câu 52: Cho hai số phức
1
52zi
= −
và
2
34zi
= −
. Tìm số phức liên hợp của số
1 2 12
2w z z zz=++
.
A.
54 26wi= +
. B.
54 26wi=−−
. C.
54 26wi= −
. D.
54 30wi= −
.
Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
(
)
1
25
1
i
iz i
i
−
++ =−
+
. Tìm môđun của số phức
2
12w zz
=++
.
A.
4w =
. B.
27w =
. C.
10w =
. D.
100
w =
.
Câu 54: Cho số phức z thỏa
( )
1 13 0iz i+ −− =
. Tìm phần ảo của số phức
1w iz z=−+
.
A. Phần ảo là 1. B. Phần ảo là −3. C. Phần ảo là −2. D. Phần ảo là −2.
Câu 55: Số phức z thỏa mãn
0zz
+=
. Tìm khẳng định đúng?
A. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0. B.
1z =
C. Phần thực của z là một số âm. D. z là số thuần ảo.
Câu 56: Với số thuần ảo z, số
2
2
zz+
có đặc điểm nào sau đây?
A. là số 0. B. là số ảo khác 0. C. là số thực âm. D. là số thực dương.
Câu 57: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
2
1
12
3
z iz

= −−


.
A.
3
2
4
zi=−−
. B.
3
2
4
zi=−+
. C.
3
2
4
zi= +
. D.
3
2
4
zi= −
.
Câu 58: Rút gọn biểu thức
( )
2016
1Pi= −
.
A.
1008
2
P =
. B.
1008
2P = −
. C.
1008
2Pi=
. D.
.
Câu 59: Cho số phức
( )
, ,z a bi a b=+∈
thỏa mãn
2016
1
1
i
z
i
−

=

+

. Tính tổng
S ab= +
.
A.
1S = −
. B.
0S =
. C.
1S =
. D.
2S =
.
Câu 60: Cho số phức
( )
, ,z a bi a b=+∈
thỏa mãn
( )
5
12
2
i
z
i
−
=
+
. Tính tổng
2
Sa b= +
.
A.
38S =
. B.
10S =
. C.
31S =
. D.
55S =
.
Câu 61: Tìm số phức
( ) ( ) ( ) ( )
234 20
1 1 1 1 ... 1=+++ ++ ++ +++zz z i i i
.Tìm phần thực a của số phức z
A.
1025 1025zi= −
. B.
1025 1025zi=−−
. C.
1025 1025zi=−+
. D.
1025 1025zi= +
.
Câu 62: Cho số phức
( ) (
)
( )
( )
234 22
1 1 1 ... 1zz i i i=+ ++ ++ +++
. Tìm phần thực a của số phức z.
A.
11
2a = −
. B.
11
22a =−+
. C.
11
22a =−−
. D.
11
2a =
.
Câu 63: Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức
2 3 2016
1 ...z ii i i=++ + + +
.
A.
0, 1ab= = −
. B.
0, 1ab
= =
. C.
. D.
1, 0ab= =
.
Câu 64: Tìm môđun của số phức
2 4 2 2016
1 ... ... ,
n
z ii i i n=++++ ++ ∈
A.
2
z
=
. B.
1z =
. C.
1008z =
. D.
2006z =
.
Câu 65: Tìm phần thực a của số phức
( ) ( ) ( )
2 3 26
1 1 1 1 ... 1
z ii i i
=++++ ++ +++
.
A.
13
2
a = −
. B.
13
2a =
. C.
13
12a =−−
. D.
13
12
a
= +
.
Câu 66: Cho số phức
(
)
,
z a bi a b=+∈
thỏa mãn
( )
1 2 32iz z i+ +=+
. Tính
P ab
= +
.
A.
1
2
P =
. B.
1P
=
. C.
1P = −
. D.
1
2
P = −
.
Câu 67: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 101) Cho số phức
( )
,z a bi a b
=+∈
thỏa mãn
13 0z i zi++ − =
. Tính
3
Sa b= +
.
A.
7
3
S =
. B.
5S = −
. C.
5S =
. D.
7
3
S = −
.
Câu 68: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn
5z =
và
3 3 10zz i+ = ++
. Tìm số phức
43wz i=−+
.
A.
38wi
=−+
. B.
13wi
= +
. C.
17wi=−+
. D.
48wi=−+
.
Câu 69: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 103) Cho số phức z thỏa mãn
35z +=
và
2 22ziz i
− = −−
. Tính
z
.
A.
17z =
. B.
17z =
. C.
10z =
. D.
10z =
.
Câu 70: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 102) Cho số phức
( )
,z a bi a b=+∈
thỏa mãn
2z iz+ +=
. Tính
4S ab= +
.
A.
4S =
. B.
2S =
. C.
2S = −
. D.
4S = −
.
Câu 71: (Đề tham khảo – Bộ GD&ĐT năm 2018) Cho số phức
( )
,z a bi a b=+∈
thỏa mãn
( )
2 10z iz i+ +− + =
và
1z >
. Tính
P ab= +
.
A.
1P
= −
. B.
5P = −
. C.
3P =
. D.
7P =
.
Câu 72: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
1 4 77iz z i− +=−
. Tìm môđun của số phức z.
A.
3z =
. B.
5z =
. C.
5z =
. D.
3z =
.
Câu 73: Tính môđun của số phức z thỏa mãn
(
)
3 . 2017 12 2018
zz z z i+ −=−
.
A.
2z =
. B.
2017z =
. C.
4z =
. D.
2018z =
.
Câu 74: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
12 24
z iz i
+− =−
. Tìm môđun của số phức z.
A.
3z =
. B.
5z =
. C.
5z =
. D.
3z =
.
Câu 75: Cho số phức
( )
,z a bi a b=+∈
thỏa
(
)
2 3 8 . 16 15− =−−
z i iz i
. Tính
3
ab
−
.
A. 4. B. 6. C. 5. D. −1.
Câu 76: Cho số phức
( )
,z a bi a b
=+∈
thỏa mãn
( ) ( )
2 13 5z zi i+= + −
. Tính
2
ab+
.
A.
21ab
+=
. B.
23
ab
+=−
. C.
23ab
+=
. D.
21ab
+=−
.
Câu 77: Cho số phức
(
)
,
z a bi a b=+∈
thỏa mãn
23zz i+=+
. Tính giá trị của biểu thức
3ab+
.
A.
33ab+=
. B.
34
ab
+=
. C.
36
ab
+=
. D.
35ab+=
.
Câu 78: Tính môđun của số phức z thỏa mãn
(
)
. 3 43+ −=−
zz z z i
.
A.
2
z =
. B.
3z =
. C.
4z =
. D.
1z =
.
Câu 79: Cho số phức z thỏa mãn
( )
2
32 4zz i+=−
. Tính môđun của số phức z.
A.
73
z =
. B.
5z =
. C.
73z =
. D.
73z =
.
Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn
( )
23z iz
= +
. Hãy tìm môđun của số phức z.
A.
5z =
. B.
5z =
. C.
35
4
z =
. D.
35
2
z =
.
Câu 81: Cho số phức
( )
,z a bi a b=+∈
thỏa mãn
2 44zi z i+=−
. Tìm
22
ab
+
.
A.
1
22
36
ab
+=
. B.
2 2 48
ab
+=
. C.
1
22
16
ab
+=
. D.
2 2 32
ab
+=
.
Câu 82: Tìm môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện
( ) (
)
1 3 26iz iz i+ +− =−
.
A.
13z =
. B.
15z =
. C.
5
z =
. D.
3z
=
.
Câu 83: Tìm môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện
( )
2 1 53z iz i++ =+
.
A.
5z =
. B.
3z =
. C.
3z =
. D.
5z =
.
Câu 84: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
2 22zi+−=
và
( )
2
1z
−
là số thuần ảo?
A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 85: Biết rằng có hai số phức thỏa mãn
21 2z zz i
−= −+
và
(
)
(
)
2 ziz
−+
là số thực. Tính tổng các
phần ảo của hai số thực đó.
A. 9. B. 7. C. 5. D. 3.
Câu 86: Gọi số phức
( )
,
z a bi a b=+∈
thỏa mãn
( )( )
2 32z izi+− +
là số thuần ảo và
1 .2z i iz+− = −
.
Tính tổng
23
ab+
.
A. 1. B. 11. C. 21. D. 31.
Câu 87: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện
12
1
34
zi
zi
+−
=
++
và số phức
2zi
zi
−
+
là số
thuần ảo.
A. 0. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 88: Cho số phức
4
1
m
i
z
i

=

+

, m là số nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của
[ ]
1;100m ∈
để z là số
thực?
A. 25. B. 26. C. 27. D. 28.
Câu 89: Cho số phức
26
3
m
i
z
i
+

=

−

, m là số nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của
[ ]
1; 5 0m ∈
để z là số
thuần ảo?
A. 24. B. 25. C. 26. D. 50.
Câu 90: Cho số phức z thỏa mãn
( )
34 43 52 0z iz i + − + − =

. Tính giá trị của
z
.
A.
2z =
. B.
2z =
. C.
22z =
. D.
1z =
.
Câu 91: Cho số phức
0z ≠
thỏa mãn
( )
2
23
1
2
iz
i
i
z
z
−
−
+= +
. Hỏi mệnh đề nào đúng?
A.
3
2
2
z<≤
. B.
2z
>
. C.
1
2
z ≤
. D.
13
22
z
≤≤
.
Câu 92: Cho số phức
0z ≠
thỏa mãn
( )
10
12 2iz i
z
+ = −+
. Tính
42
zz+
.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 93: Cho số phức
0z ≠
thỏa mãn
( )
26
23 32iz i
z
+ = +−
. Tính
42
zz+
.
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 94: Cho số phức
0z
≠
thỏa mãn
( )
4 10
13 3iz i
z
− = ++
. Tính
42
zz+
.
A. 1. B. 16. C. 9. D. 25.
Câu 95: Cho hai số phức
12
,
zz
thỏa mãn
12
22zz= =
và
12
23 4zz−=
. Tính
12
2zz+
.
A.
10
. B.
11
. C.
15
. D.
25
.
Câu 96: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12
1zz= =
và
12
32zz−=
. Tính
12
23zz+
.
A.
249
. B. 1. C.
241
. D. 5.
Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn
1z
=
. Tìm phần thực b của số phức
1
1 z−
.
A.
1
2
b
=
. B.
3
2
b = −
. C.
3
2
b =
. D.
1
b = −
.
Câu 98: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12
1zz= =
và
12
3zz
+=
. Tính
12
zz−
.
A.
12
1zz−=
. B.
. C.
. D.
.
Câu 99: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
12 1 2
3, 1, 2zz z z
+= = =
. Tính
1 2 12
.z z zz+
.
A. 2. B. 0. C. 8. D. 4.
Câu 100: Cho hai số phức
12
,zz
thỏa mãn
1 2 12
1z z zz= =−=
. Tính
12
zz
+
.
A.
3
. B.
23
. C. 1. D.
3
2
.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
3
1 1121, 2z ii ii i a b=−+ =−−=− ⇒ = =−
. Chọn D.
Câu 2:
(
)
( )
12
13 25 32 2zz z i i i b
= − = − −−− = + ⇒ =
. Chọn B.
Câu 3:
(
) ( )
12
57 23 74zz z i i i
=+=− ++ =−
. Chọn A.
Câu 4:
( ) ( )
12
43 73 36zz z i i i= − = − − + =−−
. Chọn D.
Câu 5:
23 32 1z i iz i+− =− ⇔=+
. Chọn B.
Câu 6:
( ) ( )
25 25 52 25 33w iz z i i i i i i=+= + +− =−++−=−−
. Chọn B.
Câu 7:
( )
(
)
. 13 2 17u zw i i i= = − − =−− ⇒
phần ảo của số phức là −7. Chọn A.
Câu 8:
( ) (
) ( )
34
1 23 2 2 2 1 3 4 2
21
i
iz i z i i z i z i
i
−
+ +− = −−⇔ − = −⇔= =+
−
. Chọn B.
Câu 9: Số phức liên hợp của z là
32zi=+⇒
phần ảo
2b =
. Chọn C.
Câu 10:
( ) ( )
12
2 3 1 5 1 2 1, 2 3w z z i i i a b ab= + = − +−+ =+ ⇒ = = ⇒ + =
. Chọn D.
Câu 11:
0z bi z bi z z= ⇒=−⇒+=
. Chọn B.
Câu 12:
( )
( ) ( )
63
4
42
12
8 8 88
2 16 16 16
5 5 5 55
ii
zi i i
ii
+
= − = − = − = +=
Do đó
5 3 88 3 88 3zi i i+= += −
. Chọn D.
Câu 13:
( )( )
1 2 3 5 5 5, 5 10z i i i a b P ab=+ −=+⇒= =⇒=+=
. Chọn B.
Câu 14:
( ) ( ) ( )
79
21 35 44 2 79 15
2
i
z i i iz i z i
i
−
+ − − =− ⇔ + =− ⇔= =−
+
.
Do đó suy ra
1, 5 4a b ab= =−⇒ + =−
. Chọn C.
Câu 15:
( ) (
)
12
2 33 2 12 1 1wz z i i i b= + = − + −+ =+⇒ =
. Chọn A.
Câu 16:
( )(
) ( )( )
1 2 12
21 21 2
T zz zz i i i i= + = − −+ + + =
. Chọn D.
Câu 17:
( )
2
2
1
2
2
15
24 10 92 18 18
3 2 3 2 13 13 13
i
z
i
z ib
zi i
−
−−
= = = =− + ⇒=
++
. Chọn C.
Câu 18:
( )( ) ( )
6 6 12
12 1 52 0 12 6
12 5 5
i z i iz z i
i
+ − −+ = ⇔ + = ⇔ = = −
+
. Chọn C.
Câu 19:
( )( ) ( ) ( )( )
1 12 32 0 1 1 12 32iz i i z i i i i− +− −+ = ⇔ − + − − = −
( ) ( )
4 35
1 13 32 1 4
1 22
i
z i i iz i iz z i
i
+
⇔ −−− =− ⇔ −=+⇔= ⇔=+
−
. Chọn B.
Câu 20:
( ) ( )
4
4 2 1 4 22
1
z z i zi z z i
i
+= −⇔ −=⇔= ⇔=+
−
. Chọn A.
Câu 21:
( ) (
)
( )
( )
(
)
22
1 32 1 32 232 32 6 432 78wz i z i i i i i i i i i= + −= + + − − = + −+ = −−+ =−+
. Chọn D.
Câu 22:
( )
2
2
3 2 5 12
zi i=+ =+⇒
phần thực là 5. Chọn C.
Câu 23:
( )
2
5 11 11 5 11 5
1 4 5 1 6 2 5 11
2 22 22
i
i z i i iz i z i z i
i
−+
+ + − =−+ ⇔ =−+ ⇔ = = + ⇒ = −
Do đó suy ra
11 5
, 3
22
a b ab
= =−⇒+=
. Chọn D.
Câu 24: Ta có
2
0
11
2
2
x
x
y
y
=
−=−
⇔

=
=
. Chọn C.
Câu 25: Ta có
2 23 0
2 21 1
xyx y x
yx y x y
+=− + =

⇔

−=+ + =

. Chọn B.
Câu 26: Ta có
( )
1
2 12 1 1
2 12 1
x
x x yi i x y
xy
=
+− ++ =+⇔ ⇔ = =
− ++ =
. Chọn B.
Câu 27: Ta có
3 21
1
2
xy
xy
yx
= +
⇔==
= −
. Chọn A.
Câu 28: Ta có
( )
3 11 35
3 5 11 2 35 23 3; 4
5 2 23
xy
x xi y i i x y
xy
−=−
+ + −+ =− + ⇔ ⇔= =
+=
. Chọn B.
Câu 29: Ta có
2 14
1
12 2
xx
xy
yy
+= −
⇔==
− =−+
. Chọn D.
Câu 30: Số phức
43 43z iz i=− ⇒=+
có phần thực là 4 và phần ảo bằng 3. Chọn B.
Câu 31: Số phức
( )( )
12 2 43u ii i=+ −=+
có phần thực là 4 và phần ảo bằng 3. Chọn A.
Câu 32:
12 12
14 5 14 5zz i zz i= +⇒ = −
. Chọn D.
Câu 33:
( )( )
32 1 5 5z i i iz i= + − = −⇒ = +
. Chọn C.
Câu 34:
14 2
68 68
1
i
z iz i
i
−
= =− ⇒=+
+
. Chọn B.
Câu 35:
5 15 5 15z iz i=− ⇒=+
. Chọn C.
Câu 36:
22
21 5z = +=
. Chọn D.
Câu 37:
22
1 13
3 5 3 ( 5) 34
2
−
= = − ⇒ = +− =
−
i
z iz
i
. Chọn A.
Câu 38:
22
12 4 12 ( 4) 4 10= − ⇒ = +− =z iz
. Chọn A.
Câu 39:
22
12 12
3 2 3 ( 2) 13+ = − ⇒ + = +− =zz i zz
. Chọn A.
Câu 40:
( )( ) ( )
22
1 23 23 34 3 (4) 5= + − − + = − ⇒ = +− =w i i i iw
. Chọn B.
Câu 41:
22
1 5 11 7 11 7 170
23
3 55 5 5 5
i
z i iz
i
+

=+− = + ⇒ = + =

−

. Chọn C.
Câu 42:
(
)
22
1 15
2 3 1 1 3 1 ( 3) 10
2 3 13 13
−−
− =−− ⇔ = = − ⇒ = − ⇒ = +− =
−
i
z i i z iw i w
i
. Chọn C.
Câu 43:
22
10 5 10 5 5 5z iz= +⇒= + =
. Chọn B.
Câu 44:
22
1 11 2w iw=+⇒ = + =
. Chọn A.
Câu 45:
( ) ( ) (
)
22
8 43 4 83 8 43 4 83 85
z iz=−− +−+ ⇒ = −− +−+ =
. Chọn A.
Câu 46:
22
12 12
4 4 ( 1) 17
+ = −⇒ + = +− =zz i zz
. Chọn A.
Câu 47:
22
12 12
34 3 4 5zz i zz−=+⇒− = + =
. Chọn D.
Câu 48:
22
12 12
3 5 6 3 5 6 61zz izz+ =+⇒ + = + =
. Chọn C.
Câu 49:
11
22
22
22
3 333
zz
i
zz
=−⇒ =
. Chọn B.
Câu 50:
( )(
) ( )( )
1 23 2 23 25wi i i i i= + − − − + =−−
. Chọn C.
Câu 51:
( )
(
)( )
3
2 32 6
12 12 12
12 5 5
w i ii i
i
=− − +− + =− +
−
. Chọn C.
Câu 52:
(
)
( )
( )
( )
5 2 3 4 2 5 2 3 4 54 26 54 26
w i i i i iw i=+ +− + − + = + ⇒= −
. Chọn C.
Câu 53:
( ) ( )
2
2
1
5 : 2 2 8 6 8 6 10
1
i
z i i iw i w
i
−

= −− + = −⇒ = − ⇒ = +− =

+

. Chọn C.
Câu 54:
13
2 2 23
1
i
z iz iw i
i
+
= = +⇒ = −⇒ = −
+
. Chọn B.
Câu 55: Ta có
( )
22
,0z x yi x y x y x yi=+ ∈ ⇒ + ++ =
22
2
0
0
0
0
0
x
xy x
xx
zx
y
y
y
≤
+=−

= −
⇔ ⇔ ⇔ ⇒=≤

=
=
=
. Chọn A.
Câu 56: Ta có
( ) ( )
2
2
22
,0z yi x y z z yi y= ∈ ⇒+ = +=
. Chọn A.
Câu 57: Ta có
(
) ( ) ( )
2
1
, 12
3
z x yi x y x yi i x yi

=+ ∈ ⇒− = + − +

( ) ( )
3
33
3 34 3 4
4
34
2
xx
x
x yi i x yi x y i
yy
y
=−−
= −
⇔ − =−+ − − =−− + − ⇔ ⇔

−=−
= −
. Chọn A.
Câu 58:
( ) ( )
( )
1008
504
2 1008
2008 2 2008
1 22 2

=− =−= =

Pi i i
. Chọn A.
Câu 59:
( )
( )
504
1008
2
1
zi i=−= =
. Chọn C.
Câu 60:
( )( )
2
4 3 1 2 24 7 24 7z i i iz i=−+ − = + ⇒ = −
. Chọn B.
Câu 61:
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
5
20 10
10 2
2. 1
1 1 21
1 . 1 . 1 . 1025 1025
11
i
ii
zi i i i
ii i
−
+− −
=+ =+ =+ =−+
+−
. Chọn C.
Câu 62:
( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( )
21
10
11
1.1. 22 1 1
11
i
zi i i i
i

+−

=+ + = +−


+−


( )
( )
( )
5
10 2 10 10
22. 1 1 2 1 2 2.ii i

= + − = −− −


. Chọn C.
Câu 63:
(
)
1008
2
2016
1
1
1. 1.
11
i
i
zi i
ii
−
−
=+=+
−−
. Chọn D.
Câu 64:
( )
1008
2
2
2
1
1. 1 1
1
i
zi z
i
−
=+ =⇒=
−
. Chọn B.
Câu 65:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
6
26 13
13 2
2. 1
1 1 21
1 1 . 1 1 . 1 1 . 8192 8193
11
ii
ii
zi i i i
ii i
−
+− −
=++ =++ =++ = +
+−
. Chọn B.
Câu 66: Ta có
(
)( )
( ) ( )
1 2 32 2 2 32
i a bi a bi i a b a b i a bi i+ + + − =+ ⇔ −+ + + − =+
23
1
21
ab a
ab
ab b
−+ =
⇔ ⇒+=−
+− =
. Chọn C.
Câu 67:
( )
22
22
2
2
1
1
10
13 0 3
4
30
3
31
a
a
a
a bi i i a b b
b
b ab
bb
= −
= −
+=

+ + + − + = ⇔ ⇔ ≥− ⇔

= −
+− + =

+=+
. Chọn B.
Câu 68:
( ) ( )
( )
22
22
2 22
2
5
25
0; 5 4 8
5
3 3 10
ab
ab
ab w i
b
a ba b
+=
+=
⇔ ⇔ = =−⇒ =−+

= −
++=+++
. Chọn D.
Câu 69:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
22
2
2 22
2
3 25
6 16
9 3 10
1
2 22
ab
ab a
bb z
a
ab a b
+ +=
++ =
⇔ ⇔ = ⇔ =±⇒ =

=
+− =− +−
. Chọn C.
Câu 70:
( )
22
2
22 2
2
3
2
2 21
4
10
1
1
a
a
a ab
a bi i a b a a
b
b
b
≥−
= −

+= +
+ + += + ⇔ ⇔ + = +⇔

+=

= −
= −
. Chọn D.
Câu 71:
( ) ( )
( )
22
2 10 21z i z i a bi i i a b++− + =⇔ + ++= + +
( ) ( )
22
22 22
22
2
21
1
a ab
a b i abiab
b ab
+= +
⇔+++ = ++ + ⇔
+= +
( )
2
2
21 1 2 1
a b ba a a a⇒+=+⇔=+⇒+= + +
( ) ( )
22
2
20
34
10
21
a
ab
ab
a aa
+≥
=⇒=
⇔⇔

=−⇒ =
+ =++
.
Lại có
22
11
z ab>⇔ + >
nên
3, 4ab
= =
thỏa mãn
7P⇒=
. Chọn D.
Câu 72:
( )( ) ( ) ( ) ( )
1 4 77 4 77i a bi a bi i a b b a i a bi i− ++ −=−⇔++−+ −=−
47 1
5
47 2
ab a a
z
ba b b
++ = =

⇔ ⇔ ⇒=

−− =− =

. Chọn C.
Câu 73:
( )
( )
22
3 2017 12 2018a b a bi a bi i+ + + −+ = −
( )
22
22
3 12
2
2017.2 2018
ab
z ab
b
+=
⇔ ⇒= + =
= −
. Chọn A
Câu 74:
( )( )
12 24 2 2 24a bi i a bi i a bi a b ai bi i++− − =−⇔++− − −=−
22 2
5
241
aa b a
z
b ab b
+− = =

⇔ ⇔ ⇒=

− −=− =

. Chọn B.
Câu 75:
( )( ) ( )
3 2 8 16 2
2 3 8 16 15
2 3 8 15 1
abb a
a bi i i a bi i
aba b
−−−=− =

+ −− − =−− ⇔ ⇔

−−=− =

. Chọn D.
Câu 76:
( )
( )
2 23 1
2 1 3 51 1
2 35
aa
a bi a bi i a b
bb
+= +
+ + = − + +⇔ ⇔ = =
=−+
. Chọn C.
Câu 77:
(
) ( )
23
23 1
21
aa
a bi a bi i a b
bb
+=
+ + − = +⇔ ⇔ = =
−=
. Chọn B
Câu 78:
22 22
22
63
3.2 4 3 2
4
b
ab bi i z ab
ab
= −
++ =−⇔ ⇔ = + =
+=
. Chọn A
Câu 79:
( )
( )
3 2 15
3 2 15 8 3; 8 73
32 8
aa
a bi a bi i a b z
bb
+=
+ + − = − ⇔ ⇔ = =−⇒ =
−=−
. Chọn C.
Câu 80:
( ) ( )
2
2 3 1; 2 5
23
ab
a bi i a bi a b z
ba
=
+ = +− ⇔ ⇔ = = ⇒ =
= +
. Chọn A.
Câu 81:
( ) ( )
24
2 44 4
24
ba
a bi a bi i a b
ab
−+ =
+ + − =− ⇔ ⇔==
−=−
. Chọn D.
Câu 82:
( )( ) ( )( )
( )
( )
32
4
1 3 2 6 1;
3
26
ab ab
i a bi i a bi i a b
ba a b
−− − =
+ + − − − =− ⇔ ⇔=− =−
+ −− − =−
. Chọn B.
Câu 83:
( ) ( )( )
25
2 1 5 3 1; 2
23
aab
a bi i a bi i a b
bab
++=
+ ++ − =+⇔ ⇔= =
+−=
. Chọn A.
Câu 84: Giả sử
( )
( )
(
)
(
)
( )
( )
22
22
2
2 18
,
1 1 21
ab
z a bi a b
z a b ba i
+ +− =
=+ ∈⇔
− =− −+ −
(
) (
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
22
22 2 2
22
22
2 18
2 18 2 28
1
10 28
1
ab
ab aa
ba
ab a a
ba
+ +− =

++−= ++−=
⇔⇔⇒

= −
− −= + +=


= −
0
13
a
a
=
⇔
=−±
. Chọn C.
Câu 85: Đặt
( )
,z a bi a b=+∈
ta có:
2 2 2 22z i z z i a bi i bi i−= −+ ⇔ + −= +
( ) ( )
22
2 22 2 2
4 1 4 1 21 21 4a b b ab b b b a b

⇔ + − = + ⇔ + − += + +⇔ =

Lại có:
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
22 2 1z i z a bi i a bi a bi a b i− + = −− +− = − − + −


là số thực nên phần ảo của nó
( )( )
2
2 1 02 202 2. 0
4
a
abababa− − − =⇔−− =⇔−− =
2
1:2
35
2 40 1 5
2
aa a b
±
⇔− − + = ⇔ =− ± ⇒ = ⇒
tổng các phần ảo của hai số phức đó là
12
3bb+=
.
Chọn D.
Câu 86: Đặt
(
)
,z a bi a b=+∈
ta có:
( )
1 .2 1 2
z i i z a bi i i a bi
+− = − ⇔ + +− = − −
(
) (
)
(
) (
)
(
)
22 2
2
11 2 1 1 2
a b i ai b a b a b
⇔ ++− = +−⇔+ +− = +−
222 1a b ab
⇔ + =⇔+=
.
Lại có:
( )( ) ( ) ( ) ( )
2 32 2 3 2 2 1z izi a b i a b i+− + = + + − + +


là số ảo nên phần thực của nó là
( ) ( )( )
22
2 3 2 2 1 0 2 3 2 20a a b b a ab+ − − + =⇔ + − +=
(
)
2
2 23
2 3 21 2 0 5 0 0 1 1⇔ + − − +=⇔ =⇔=⇒=⇒ + =a a a a a b ab
. Chọn A.
Câu 87: Đặt
( )
( )
,z a bi a b z i= + ∈ ≠−
ta có
12
1 12 34
34
zi
z iz i
zi
+−
=⇔ +− = ++
++
( ) ( ) ( ) ( )
22 22
12 34 1 2 3 4a bi i a bi i a b a b⇔ + +− = − ++ ⇔ + + − = + + −
4 4 20 0 5a b ab⇔ − + =⇔−=−
Mặt khác
( ) ( )
( )
2
2
2. 1
22
1
ab iab i
z i a bi i
a bi i
zi
ab
+− +−

− +−

= =
−+
+
+−
là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0 suy
ra
( )( ) ( )
( )
2
22
2 10 5 320ab b b bb−− −=⇔ − − − + =
.
23 12
7 23 0
77
b ba⇔−+=⇔= ⇒=−⇒
có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu. Chọn B.
Câu 88:
( )
(
)
( )
2
2
2
4
22 22 8
1
m
m
m
m
i
z i ii
i


= =+=+ =


+

Để z là số thực thì
24
2
m
kmk
= ⇔=
Giải điều kiện
( )
1 4 100 1 25
k kk≤ ≤ ⇔≤ ≤ ∈ ⇒
có 25 giá trị của k nên tương ứng có 25 giá trị của m.
Chọn A.
Câu 89:
(
)
26
2 2.
3
m
m
mm
i
z ii
i
+

= = =

−

Để z là số thuần ảo thì
21
mk= +
, kết hợp
[ ]
1; 5 0m ∈
và
m
∈⇒
có 25 giá trị của tham số m là
{ }
1;3;5;...; 49m =
. Chọn B.
Câu 90:
( ) ( )
34 43 52 0 *z iz i + − + − =

Do
0z =
không phải là nghiệm của phương trình
Với
0z ≠
ta có:
( ) ( )
( ) (
)
( )
52 52
* 34 43 3 4 4 3 1iz i z z i
zz
⇔ + −+ = ⇔ − + + =
.
Lấy môđun 2 vế (1) ta được:
( ) ( )
22
52 52 52
3 43zz
z
z
z
+ += = =
( )
2
2 42 2
2
2
1
50
25 1 2 1
2
z
z zz z
z
z
=
⇔ += ⇔ + =⇔ ⇒ =
= −
Do đó
1zz= =
. Chọn D.
Câu 91: Ta có
2
1
.
zz
z
zz
z
= =
Do đó
( )
2
23
1 1 23 12 12 43
2 22
25
iz
i i i i ii
i i iz
z zz z i
z
−
− − − −+ −+ −+
+= + ⇔ += + ⇔ = −⇒ = =
−
Suy ra
1z =
. Chọn D.
Câu 92: Giả thiết
( )
( )
10 10 10
1 2 2 2. 2 2 2 1
i z i z iz i z z i
z zz
+ = −+⇔ + +−= ⇔ ++ − =
.
Lấy môđun hai vế của (*), ta được
(
) ( )
22
10
2 21 1zz z
z
+ + − = ⇒=
.
Do đó:
42
2zz+=
. Chọn B.
Câu 93: Ta có
( )
26 26
23 32 2 33 2i z i z iz i
z
z
+ = +− ⇔ −+ + =
(
)
( )
(
)
26
2 33 2 *
z zi
z
⇔ −+ + =
Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được
( ) ( )
( )
22
26 26
23 32 *zz
zz
−+ + = =
2
2 42 42
2
2
1
26
13 13 2 0 1 2
2
z
z zz z zz
z
z
=
⇔ + = ⇔ + −=⇔ ⇒ =⇒ + =
= −
. Chọn B.
Câu 94: Từ giả thiết, ta có
(
)
( )
4 10 4 10
13 3 13 3− = ++⇔ − −−=
iz i iz i
zz
.
( )
( )
4 10 4 10
3 3 33 1 *z zi i z z i
zz
⇔ − −−= ⇔ −− + =
Lấy môđun hai vế của (*), ta được
(
)
(
)
( )
22
4 10
* 3 31zz
z
⇔ −+ +=
.
Đặt
tz=
, ta có
( ) (
)
( )
22
2 2 42
4 10
3 3 1 10 10 160 16− + + = ⇔ + = ⇔+=t t t t tt
t
.
Vậy
42
16zz
+=
. Chọn B.
Câu 95: Chọn
1
2
1
2
1
2 34
z
z
z
=
= →
−=
. Gọi
( )
22
1
2
2
3
4
4
55
2 3 4 16
4
a
ab
z a bi
ab
b
=
+=

=+⇒ ⇔

−+ =
=
.
Vậy
12
3 55 11 55
2 2 11
44 4 4
zz i i+ = + += + =
. Chọn B.
Câu 96: Chọn
1
2
1
1
1
32
z
z
z
=
= →
−=
. Gọi
( )
22
1
2
2
1
1
0
34
ab
a
z a bi
b
ab
+=
=
=+⇒ ⇔

=
− +=
.
Vậy
12
2 3 23 5zz+ =+=
. Chọn D.
Câu 97: Chọn
1 11
11 2
i
zi
zi
+
= → = =
−−
. Chọn A.
Câu 98: Ta có
( )
2 2 22
12 12 1 2 12
21zz zz z z zz+ +− = + ⇒− =
. Chọn A.
Câu 99: Chọn
1
2
1
1
2
23
z
z
z
=
= →
+=
. Gọi
( )
22
1
2
2
1
1
0
29
ab
a
z a bi
b
ab
+=
=
=+⇒ ⇔

=
+ +=
.
Vậy
1 1 2 12
1 1.2 1.2 4z zz zz= → + = + =
. Chọn D.
Câu 100: Ta có
( )
2 2 22
12 12 1 2 12
23zz zz z z zz+ +− = + ⇒+ =
. Chọn A.
| 1/33
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 16: CÁC PHÉP TÍNH TOÁN VỚI SỐ PHỨC
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1) Các khái niệm cơ bản.
• Định nghĩa: Số phức là số có dạng a + bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn 2i = 1 − . Kí
hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .
Trong đó i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức
z = a + bi .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là . Chú ý:
- Số phức z = a = a + 0.i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0.i = a ∈ .
- Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo): z = 0 + bi = bi(b∈) .
Ví dụ z = 5i là số thuần ảo.
- Số 0 = 0 + 0.i vừa là số thực, vừa là số ảo.
Ví dụ: Số phức z = 5 + 3i có phần thực bằng 5, phần ảo bằng 3 . Số phức z = 4
− i có phần thực bằng 0, phần ảo bằng 4
− ; đó là một số thuần ảo. a = a′
• Hai số phức z = a + bi; z′ = a′ + b i′ ( a;a ;′ ;
b b′∈) gọi là bằng nhau nếu . b   = b′
Khi đó ta viết z = z′ .
2) Biểu diễn hình học của số phức
Xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức a + bi ( ;
a b∈) được biểu
diễn bởi điểm M (a;b) . Ngược lại, mỗi điểm M (a;b) biểu diễn
một số phức z = a + bi . Ta còn viết M (a + bi) hay đơn giản là M (z).
Mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức.
Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực, do đó trục Ox còn được gọi là trục thực. Các điểm
trên trục tung Oy biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy còn được gọi là trục ảo.
3) Phép cộng và phép trừ số phức
a) Phép cộng hai số phức
Tổng của hai số phức z = a + bi; z′ = a′ + b i′ ( a;a ;′ ;
b b′∈) là số phức z + z′ = a + a′ + (b + b′)i .
Ví dụ: 4 + i + 5 − 2i = (4 + 5) + (i − 2i) = 9 −i .
3 + i − 2 3 − 4i = 2 − 3 − 3i .
Một số tính chất của phép cộng số phức
 Tính chất kết hợp: ( z + z + z = z + z + z , z ∀ ; z ; z ∈ 1 2 ) 3 1 ( 2 3) 1 2 3  .
 Tính chất giao hoán: z + z ' = z '+ z,∀z ', z ∈
 Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z, z ∀ ∈ .
 Với mỗi số phức z = a + bi ( ;
a b∈) nếu kí hiệu số phức −a −bi là −z thì ta có:
z + (−z) = (−z) + z = 0
Số −z được gọi là số đối của số phức z .
b) Phép trừ hai số phức
Hiệu của hai số phức z và z′ là tổng của z và −z ' , tức là z − z′ = z + (−z′)
Nếu z = a + bi; z′ = a′ + b i′ thì z − z′ = a − a′ + (b −b′)i .
Ví dụ: (4 + 5i) −(1+ 2i) = (4 − )
1 + (5 − 2)i = 3+ 3i .
c) Phép nhân hai số phức
Tích của hai số phức z = a + bi và z′ = a′ + b i′ ( a;a ;′ ;
b b′∈) là số phức:
′ = ( + )( ′ + ′ ) = ′ + ( ′ + ′ ) 2 zz a bi a b i aa
ab b a i + bb i′ = (aa′ −bb′) + (ab′ + a b ′ )i .
Biến đổi tương tự như trên ta có: • 2
z = (a + bi)2 2
= a + abi + (bi)2 2 2 2
= a − b + 2abi • 3
z = (a + bi)3 3 2
= a + a bi + a(bi)2 + (bi)3 3 2 = a − ab + ( 2 3 3 3 3
3a b − b )i .
• ( + i)2 = i ( − i)2 1 2 ; 1 = 2 − i .
Ví dụ: (3−i)(1+ 2i) = 3+ 2 −i + 6i = 5+ 5i .
Một số tính chất của phép nhân hai số phức:
 Tính chất giao hoán: zz′ = z z′, z ∀ ; z′∈.
 Tính chất kết hợp: ( z z z = z z z , z ∀ ; z ; z ∈ 1 2 ) 3 1 ( 2 3 ) 1 2 3  .
 Nhân với 1: 1.z = z.1, z ∀ ∈ .
 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: z ( z + z = zz + zz , z ∀ ; z ; z ∈ 1 2 ) 1 2 1 2  .
4) Số phức liên hợp và môđun của số phức
a) Số phức liên hợp
• Số phức liên hợp của z = a + bi ( ;
a b∈) là a −bi và được kí hiệu là z .
Như vậy z = a + bi = a − bi .
Ví dụ: 2 + 5i = 2 − 5i .
4 − 3i = 4 + 3i . i = i − . 2 − i = 2i . 5 = 5 .
• Chú ý: Vì z = z nên z và z là hai số phức liên hợp với nhau.
• Tính chất: Với mọi số phức z; z′ ta có: z + z′ = z + z′ và zz′ = z.z′
b) Mô-đun của số phức
Mô-đun của số phức z = a + bi ( ;
a b∈) là số thực không âm 2 2
a + b và được kí hiệu là z .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy điểm M (a;b) biểu diễn số phức z. Khi đó 2 2
OM = a + b = z .
Như vậy, nếu z = a + bi ( ; a b∈) thì 2 2
z = z.z = a + b . Ví dụ: 2 2 5
− i = 5; 4 + 3i = 4 + 3 = 5.
5) Phép chia cho số phức khác 0
Định nghĩa: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1− 1 z z z = = = 2 z z.z z ′
Thương z của phép chia số phức z′ cho số phức z khác 0 là tích của z′ với số nghịch đảo của số phức z, z ′ ′ ′ tức là z 1
= z .′z− . Như vậy, nếu z ≠ 0 thì z z .z = . z 2 z z 4 + i (4+i)(2+3i) Ví dụ: 5 +14i = = .
2 − 3i (2 −3i)(2 + 3i) 13
6) Một số các kết quả quan trọng
Cho z = a + b i; z = a + b i ta có: 1 1 1 2 2 2 a) z z = z z . 1 2 1 2 z z b) 1 1 = (z ≠ 0 . 2 ) z z 2 2
Chứng minh: Ta có: z z = a a − b b + a b + a b i 1 2 ( 1 2 1 2) ( 1 2 2 1)
Khi đó z z = (a a −b b )2 + (a b + a b )2 = (a a )2 + (b b )2 + (a b )2 + (a b )2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 = ( 2 2 a + b )( 2 2
a + b = z z (đpcm) 1 1 2 2 ) 1 2
Tổng quát: z z .........z = z z z n ......... 1 2 1 2 n z z
Hoàn toàn tương tự ta có thể chứng minh 1 1 = (z ≠ 0 . 2 ) z z 2 2
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng 1: Tính toán cơ bản với số phức
Phương pháp CASIO: Ngoài cách thực hiện tính toán thông thường, ta còn có thể sử dụng máy tính
CASIO để hỗ trợ việc tính toán các phép tính số phức.
Bước 1: Nhấn Mode 2 để chuyển sang màn hình tính toán số phức (màn hình CMPLX).
Bước 2: Nhập biểu thức cần tính toán với số i ta bấm: Chú ý:
1. (Tổ hợp phím SHIFT – 2 – 2 – Anpha X): Conjg là số phức liên hợp của X.
2. (Tổ hợp phím SHIFT – Abs – Anpha – X): X là modun của số phức X
Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = ( + i)2 1 − (3+ i)
A. Phần thực bằng 3 và phần ảo bằng i.
B. Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 1.
C. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng i.
D. Phần thực bằng −3 và phần ảo bằng −1. Lời giải
Ta có: z = ( + i)2 −( + i) = ( 2 1 3
1+ 2i + i ) −3−i = 2i −3−i = 3 − + i .
Phần thực bằng -3 và phần ảo bằng 1. Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hai số phức z = 2 + 3i và z = 3− i . Tính môđun của số phức z = z + z 1 2 1 2 A. z = 3 3 . B. z = 30 . C. z = 29 . D. z = 5 2 . Lời giải
Ta có: z = z + z = 5 + 2i ⇒ z = 29 . Chọn C. 1 2
Ví dụ 3: Tìm các số thực x; y biết x − ( y + ) 1 i = 2 + 3i
A. x = 2; y = 2 .
B. x = 2; y = 2 − .
C. x = 2; y = 4 − .
D. x = 3; y = 4 − . Lời giải x = 2 x = 2 Do x − ( y + )
1 i = 2 + 3i ⇔  . Chọn C.  ( ⇔ y ) 1 3  − + = y = 4 −
Ví dụ 4: Cho số phức z = 2m −1+ 3mi(m∈). Tìm m biết z = 10 A.  9 m 1;  =      . B. 9 m  =  1; − . C. 9 m  =  1; − − . D. 9 m = 1;  − . 13       13  13  13 Lời giảim =1 Ta có: z 10 (2m )2 1 (3m)2 2 10 13m 4m 9 0  = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔ 9 . Chọn D. m −  =  13
Ví dụ 5: Cho số phức 2 2
z thỏa mãn: z = (1+ 3i) +(1− 3i) . Tính môđun của số phức w = iz +3. A. w = 5. B. w = 7 . C. w = 9. D. w =1. Lời giải
Ta có: z = ( + i)2 +( − i)2 1 3 1
3 =1+ 2i 3 − 3+1− 2i 3 − 3 = 4 − ⇒ z = 4 − Do đó w = 4
− i + 3 ⇒ w = 5. Chọn A
Ví dụ 6: Điểm M trên hình vẽ biểu diễn số phức z. Số phức liên hợp của số phức z là: A. w = 3 − + 2i . B. w = 3 − − 2i .
C. w = 2 − 3i .
D. w = 2 + 3i . Lời giải Điểm M ( 3 − ;2) ⇒ z = 3
− + 2i ⇒ w = z = 3
− − 2i . Chọn B.
Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn z = 5 . Tính mô-đun của số phức w = (3+ 4i) z . A. w = 5 2 . B. w = 5 5 . C. w = 5 . D. w =10 . Lời giải
Ta có: w = (3+ 4i) z = 3+ 4i . z = 5. z = 5 5 . Chọn C.
Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn (1+ i) z = 3−i . Hỏi điểm biểu diễn z là điểm nào trong các điểm M, N, P Q ở hình bên. A. Điểm P. B. Điểm Q. C. Điểm M. D. Điểm N. Lời giải Ta có: 3− i z =
= 1− 2i ⇒ Điểm biểu diễn số phức z là điểm Q(1; 2 − ) . Chọn B. 1+ i ( −i )3 1 3
Ví dụ 9: Cho số phức z =
. Tìm mô-đun của số phức w = z + iz 1− i A. w = 0. B. w = 8 2 . C. w = 8 . D. w = 4 2 . Lời giải
( −i )3 − i + (i )2 3 1 3 1 3 3 3 3 − 3i 3 Ta có: 8 z − = = = = 4
− − 4i ⇒ z = 4 − + 4i 1− i 1− i 1− i
Do đó w = z + iz = 4
− − 4i + i( 4 − + 4i) = 8
− − 8i ⇒ w = 8 2 . Chọn B.
Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1+ i)(z −i) + 2z = 2i . Mô-đun của số phức w = z +1 là A. 2 2 . B. 1. C. 2 . D. 2. Lời giải
⇔ ( + i) z − ( + i)i + z = i ⇔ z ( + i) 3i −1 PT 1 1 2 2 3
= 3i −1 ⇔ z =
= i ⇒ z +1 = 2 . Chọn C. 3+ i
Ví dụ 11: Tìm phần ảo của số phức z thỏa mãn ( + i)2 1
(2−i) z = 8+i +(1+ 2i) z A. 2. B. 2i. C. −3. D. −3i. Lời giải
Sử dụng CASIO ta có: ( + i)2 1
(2−i) = 2+ 4i ⇒ (2+ 4i) z −(1+ 2i) z = 8+i ⇔ ( + ) 8 1 2 = 8 + i i z + i ⇔ z = = 2 − 3i 1+ 2i
Do đó phần ảo của số phức z là −3. Chọn C.
Dạng 2: Bài toán quy về giải hệ phương trình nghiệm thực
Phương pháp: Đặt z = a + bi( ;
a b∈) từ đó suy ra 2 2
z = a = bi; z = a + b . a = a
Sử dụng tính chất 2 số phức bằng nhau: z = a + b i; z = a + b i ta có: 1 2 z = z ⇔ . 1 1 1 2 2 2 1 2 b  =  b 1 2
Ví dụ 1: Tìm 2 số thực x và y thỏa mãn (2x −3yi) + (1−3i) = x + 6i với i là đơn vị ảo A. x = 1; − y = 3 − . B. x = 1; − y = 1 − .
C. x =1; y = 1 − .
D. x =1; y = 3 − . Lời giảix + = xx = −
Ta có: ( x − yi) + ( − i) = x + i ⇔ ( x + ) + (− y − ) 2 1 1 2 3 1 3 6 2 1 3
3 i = x + 6i ⇔  ⇔ . Chọn A.  3y 3 6  − − = y = 3 −
Ví dụ 2: Tìm mô-đun của số phức z biết rằng (1+ 2i) z + (1−i) z = 21+ 3i . A. z = 34 . B. z = 5 . C. z = 3 2 . D. z = 29 . Lời giải
Đặt z = a + bi; , a b∈ .
Ta có: (1+ 2i)(a + bi) + (1−i)(a −bi) = 21+ 3i
⇔ a − 2b + (2a + b)i + a − b − ai − bi = 21+ 3i ⇔ (  − =  = a − b) 2a 3b 21 a 3 2
3 + ai = 21+ 3i ⇔  ⇔ 
⇒ z = 34 . Chọn A. a = 3 b  = 5 −
Ví dụ 3: Tìm tổng phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng (1+ 2i) z + (2 − 2i) z = i . A. T = 7 − . B. 1 T = . C. 7 T − = . D. 1 T − = . 3 3 3 Lời giải
Đặt z = a + bi; , a b∈ .
Ta có: (1+ 2i)(a + bi) + (2 − 2i)(a −bi) = i
⇔ a − 2b + (2a + b)i + 2a − 2b − 2ai − 2bi = i  4 3  a − 4b = 0 a − = 7
⇔ 3a − 4b − bi = i − ⇔  ⇔  3 ⇒ S = . Chọn C. b − = 1 3 b  = 1 −
Ví dụ 4: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b∈) thỏa mãn: ( − i) z + ( + i) z = −( + i)2 2 3 4
1 3 . Tính T = 2a + b A. T = 8 − . B. T = 8. C. T = 1 − . D. T =1. Lời giải
Ta có: (2 −3i)(a + bi) + (4 + i)(a −bi) = 8 − 6i a b a
⇔ a + b − ( a + b) 6 + 4 = 8  = 2 − 6 4 2
2 i = 8 − 6i ⇔  ⇔ 
⇒ T = 2a + b =1. Chọn D. 2a + 2b = 6 b = 5
Ví dụ 5: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b∈) thỏa mãn (1+ i)(2z − ) 1 + (z + )
1 (1−i) = 2 − 2i . Tính P = a + b . A. P = 0 . B. P =1. C. P = 1 − . D. 1 P = − . 3 Lời giải
Đặt z = a + bi(a,b∈) ⇒ z = a −bi . Ta có (1+ i)(2z − ) 1 + (z + )
1 (1−i) = 2(1+ i) z + (1−i) z − 2i .
Suy ra 2(1+ i) z + (1−i) z = 2 ⇔ 2(1+ i)(a + bi) + (1−i)(a −bi) = 2 .  − − =
⇔ a − b + a − b + (a + b)i = ⇔ a − b − + (a + b) 3a 3b 2 0 2 2 2 3 3 2 i = 0 ⇔ 
⇒ P = 0 . Chọn A. a + b = 0
Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức ( + ) 2 3 + i i z +
= (2 − i) z . Mô đun của số phức w = z − i là i A. 26 . B. 6 . C. 2 5 . D. 26 . 25 5 5 5 Lời giải Đặt = + ( ∈ ) ⇒ ( + )( + ) 2 , 3 + i z a bi a b i a bi +
= (2 − i)(a − bi) ⇔ ( 2
− a − 5b + 2) + (a + ) 1 i = 0 ia = 1  2
− a − 5b + 2 = 0 −  4 1 26 ⇔  ⇔  4 ⇒ z = 1
− + i ⇒ w = 1
− − i ⇒ w = . Chọn D. a +1 = 0 b = 5 5 5  5
Ví dụ 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời z − (2 + i) = 10 và z.z = 25 A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải
Đặt z = a + bi (a b∈) 2 2 ,
⇒ z = a − bi ⇒ z.z = a + b = 25
Ta có: a + bi − − i =
⇔ (a − )2 + (b − )2 2 2 2 10 2
1 =10 ⇔ a + b − 4a − 2b = 5 2 2 a + b = 25 a = 5;b = 0 Giải hệ  ⇔
⇒ có 2 số phức thỏa mãn. Chọn A. 2 2
a + b − 4a − 2b = 5  a = 3;b = 4
Ví dụ 8: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z thỏa mãn z = 5 và z + 3 = z + 3−10i . Tìm số phức
w = z − 4 + 3i . A. w = 3 − + 8i .
B. w =1+ 3i . C. w = 1 − + 7i . D. w = 4 − + 8i . Lời giải
Đặt z = a + bi; , a b∈ . 2 2  a + bi = 5 a + b =   25 ⇒  ⇔ 
a + bi + 3 = a + 3 + (b −10)i  (  a + 3  )2 2
+ b = (a + 3)2 + (b −10)2 2 2 a + b = 25 a = 0 ⇔  ⇒ 
⇒ z = 5i ⇒ w = 5i − 4 + 3i = 4
− + 8i . Chọn D. b  = 5 b  = 5
Ví dụ 9: [Đề THPT Quốc gia 2017] Cho số phức z = a + bi(a,b∈) thỏa mãn z +1+ 3i − z i = 0. Tính
S = a + 3b . A. 7 S = − . B. S = 5 − . C. 7 S = . D. S = 5. 3 3 Lời giải a = 1 −
Đặt z = a + bi(a,b∈) ta có: 2 2
a +1+ bi + 3i − a + b i = 0 ⇔  2 2 b
 + 3 = a + ba = 1 a = 1 − −  ⇔  ⇔  4 ⇒ S = 5 − . Chọn B. 2 b  + 3 = b +1 b = −  3
Ví dụ 10: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z + 2 − i = 2 2 và (z − )2 1 là số thuần ảo? A. 0. B. 2. C. 4. D. 3. Lời giải
Đặt z = a + bi(a,b∈) ta có: a + bi + −i =
⇔ (a + )2 + (b − )2 2 2 2 2 1 = 8 .
Mặt khác (z − )2 = (a + bi − )2 = (a − )2 2 1 1
1 − b + 2(a − )
1 bi là số thuần ảo suy ra (a − )2 2 1 − b = 0 (
a + 2)2 +(b − )2 1 = 8 a = 0; b = 1 −   Do đó  a −1 = ⇔ b a =  1 − − 3; 2 b = + 3 (  a − )2 2 1 = b ⇔   a −1  = −b a =  1 − + 3; 2 b = − 3
Suy ra có 3 số phức thỏa mãn. Chọn D.
Ví dụ 11: [Đề THPT Quốc gia 2017] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z −3i = 5 và z là số thuần ảo? z − 4 A. Vô số. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải z a + bi
(a +bi)(a − 4−bi)
Đặt z = a + bi(z ≠ 4) ta có: = = là số thuần ảo khi
z − 4 a + bi − 4 (a − 4)2 2 + b a(a − ) 2 4 + b = ( ) 0 1 . Mặt khác 2
z − 3i = 5 ⇔ a + (b − 3)2 = 25 ( 2) 2 2 a = 4; 0 b = (loai)
a + b − 4a = 0 2a − 3b = 8 Từ (1) và (2) suy ra   ⇔  ⇔  . Chọn C. 2 2 2 2 16 24
a + b − 6b =16 a b 4aa = b − + = = ( ; / t m)  13 3
Ví dụ 12: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z −1 = 5 và số phức 2
w = z là số ảo? A. Vô số. B. 4. C. 5. D. 3. Lời giải
Đặt z = a + bi ta có: w = (a + bi)2 2 2
= a − b + 2abi là số thuần ảo nên 2 2 a = b
a = 4 ⇒ b = 4 ± Mặt khác 2 2 2
a −1+ bi = 5 ⇔ a − 2a + b = 24 ⇒ 2a − 2a − 24 = 0 ⇔  a = 3 − ⇒ b = 3 ±
Vậy z = 4 ± 4i; z = 3
− ± 3i là các số phức cần tìm. Chọn B.
Ví dụ 13: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z = 2 2 và 2
z là số thuần ảo? A. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Lời giải Đặt 2 2
z = a + bi; a,b∈ ⇒ a + bi = 2 2 ⇔ a + b = ( ) 8 1 . Mặt khác 2
z = (a + bi)2 2 2 = a − b + 2 .
ab i là số thuần ảo, suy ra 2 2 a − b = ( 0 2) . 2 2 a + b = 8 Từ (1) và (2), suy ra 
⇒ a = b = 2 ⇒ Có 4 số phức z thỏa mãn đề bài. Chọn A. 2 2
a − b = 0
Ví dụ 14: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z.z + z = 2, 2 z = . A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải
 (a + bi)(a −bi) 2 2 + a + bi = 2
a + b + a + bi =   2
Đặt z = a + bi;a,b∈ ⇒  ⇔   a + bi = 2   a + bi = 2  ( 2 2
a + b + a)2 2 + b = 4 (  a + 4)2 2 + b = 4 (  a + 4)2 2 = aa = 2 − a = 2 − ⇔  ⇔  ⇔  ⇔  ⇒  ⇒ z = 2 − . 2 2 2 2 2 2 2 a + b = 4 a + b = 4 a + b = 4 b  = 0 b  = 0 Chọn C. 2 z 2(z + i)
Ví dụ 15: Cho số phức z = a + bi ( , a b∈) thỏa mãn =
− 2iz . Tính S = ab . z i −1 A. 1 S = . B. 1 S = . C. 5 S = . D. 5 S = . 9 27 9 27 Lời giải 2 z
Đặt z = a + bi ( , a b∈) , ta có
= z = a − bi và 2 = 1
− − i , khi đó giả thiết trở thành z i −1
z + (1+ i)(z + i) + 2iz = 0 ⇔ z + (3i + )
1 z =1− i ⇔ a − bi + (3i + )
1 (a + bi) =1−i 2a − 3b =1 1 5 5
⇔ 2a − 3b + 3ai =1− i ⇔ 
⇔ a = − ⇒ b = − ⇒ S = . Chọn D. 3  a = 1 − 3 9 27
Ví dụ 16: [Đề Chuyên Đại học Vinh 2017]: Cho số phức z; w khác 0 sao cho z − w = 2 z = w . Phần thực của số phức z u = . w A. 1 a = − . B. 1 a = . C. a =1. D. 1 a = . 8 4 8 Lời giảiz z 1  u = = =  w w 2
Giả sử u = a + bi(a;b∈) . Theo giả thiết suy ra   z − w z − w z = = −1 = u −1  w w w   2 2 1 a + b =  ⇔  ⇒ (a − )2 2 3 3 1 4 1 − a = ⇒ 2
− a +1 = ⇔ a = . Chọn D. (  a −  )2 2 4 4 8 1 + b =1
Dạng 3: Lấy môđun 2 vế tìm số phức
Ta có: z = z ⇒ z = z 1 2 1 2 z z
Lưu ý sử dụng các tính chất: 2
z = z , .zz = z ; z z = z . z và 1 1 = (z ≠ 0 . 2 ) 1 2 1 2 z z 2 2
Ví dụ 1: Cho số phức z = a + bi(a;b∈) thỏa mãn z − 4 = (1+ i) z −(4 + 3z)i .
Tìm tổng S = 2a + b . A. S = 2 . B. 4 S = . C. S = 4 . D. S = 0 . 5 Lời giải
Ta có: PT ⇔ z − 4 = z + i z − 4i − 3iz ⇔ (1+ 3i) z = ( z + 4) + ( z − 4)i (*)
Lấy môđun 2 vế ta được: ( + i) z = ( z + )2 + ( z − )2 1 3 4 4 ⇔
z = ( z + )2 + ( z − )2 2 2 10 4
4 ⇔ 10 z = 2 z + 32 ⇔ z = 2
Thế vào (*) ta có: ( + i) 6 + 2i 6 −8i 6 8 − 4
1 3 z = 6 + 2i ⇒ z = = ⇒ a = ;b =
⇒ S = . Chọn B. 1+ 3i 5 5 5 5
Ví dụ 2: Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn ( + i) 26 2 3 z = + 3− 2i . Khi đó z
A. 0 < z <1.
B. 1≤ z < 2 .
C. 2 ≤ z < 3. D. z ≥ 3. Lời giải Ta có: ( + i) 26 26 2 3 z =
+ 3− 2i ⇔ 2 z − 3+ 3i z + 2i = z z
⇔ ( z − ) + ( z + ) 26 2 3 3 2 i = (*) z
Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được: ( z − )2 + ( z + )2 26 26 2 3 3 2 = = (*) z z 2 26  z =1 2 4 2 ⇔ 13 z +13 =
⇔ z + z − 2 = 0 ⇔ 
⇒ z =1. Chọn B. 2 2 zz = 2 −  ( z − )1(1+iz)
Ví dụ 3: Cho số phức z = a + bi( ;
a b∈) thỏa mãn phương trình 1 = i . Tính 2 2 a + b . z − z A. 3+ 2 2 . B. 2 + 2 2 . C. 3− 2 2 . D. 4. Lời giải ĐK: z ≠ 1; 0 z ≠ ( z − )( +iz) 2 1 1 z.z −1 z −1
( z − )1( z + )1 Ta có:
= i ⇔ ( z − ) 1 (1+ iz) 1 = i = i = i − z z z z z
⇔ z ( + iz) = i( z + ) ⇔ z = i( 2 1 1 z +1− z )
Lấy môđun 2 vế ta được: 2 2
z = i z +1− z ⇔ z = z +1− z . Đặt z = t ≥ 0 2
t +1− t = tt =1+ 2 Khi đó 2 2
t = t +1− t ⇔ 
⇒ t − 2t −1 = 0 ⇒  2
t +1− t = t − t =1− 2  (loai) Suy ra 2 2 2
z =1+ 2 ⇒ a + b = z = 3+ 2 2 . Chọn A.
Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn ( + i) 10 1 2 z =
− 2 + i . Hỏi phần thực của số phức 1 w = bằng bao z 1+ z nhiêu? A. 3 . B. 3 − . C. 1 . D. 1 . 2 2 2 4 Lời giải Giả thiết ( + i) 10 10 z =
− + i ⇔ z + i z + − i =
⇔ z + + ( z − ) 10 1 2 2 2 . 2 2 2 1 i = . z z z
Lấy môđun hai vế của (*) ta được ( z + )2 + ( z − )2 10 2 2 1 = ⇒ z =1. z Do đó 10 10 1 1 3 − + 10 1+ 2i =
− 2 + i ⇔ z = ⇒ w = = + i . Chọn C. z 3+ i 1+ z 2 2
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn ( − i) 4 3 4 z −
= 8 . Trên mặt phẳng tọa độ, khoảng cách từ gốc tọa độ đến z
điểm biểu diễn số phức z thuộc tập nào? A.  9 ;  +∞        . B. 1 5  ; . C. 1 0; . D. 1 9  ; . 4        4 4   4   2 4  Lời giải Ta có ( − i) 4 z − = ⇔ ( − i) 4 3 4 8 3 4 z = 8 + (*) . z z
Lấy môđun hai vế của (*) và sử dụng công thức z .z = z . z , ta được 1 2 1 2 ( ) ⇔ ( − i) 4 4 * 3 4 z = 8 + = 8 + z z 4 2 ⇔ 5 z = 8 +
⇔ 5 z −8 z − 4 = 0 ⇔ z = 2. Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó z 2 2  1 9 OM x y z 2 ;  = + = = ∈ . Chọn D. 2 4   
Ví dụ 6: Xét số phức z thỏa mãn 2iz = (i − )
1 z − (1+ i) . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. z = 2 2 . B. z = 2 . C. z =1. D. z = 2. Lời giải
Ta có: 2iz = (i − )
1 z − (1+ i) ⇔ 2iz = z i − z −1−i ⇔ 2iz = − z −1+ ( z − ) 1 i (*)
Lấy môđun hai vế của (*), ta được iz = ( z + )2 + ( z − )2 ⇔ z = ( z + )2 + ( z − )2 2 1 1 2 1 1 2
⇔ z = ( z + )2 + ( z − )2 2 2 2 4 1
1 ⇔ 4 z = 2 z + 2 ⇔ z =1 ⇔ z =1. Chọn C.
Ví dụ 7: [Đề thi THPT Quốc gia 2018] Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z (z − 4 −i) + 2i = (5−i) z : A. 2. B. 3. C. 1. D. 4. Lời giải
PT ⇔ z (5−i − z ) = 4
− z + (2 − z )i
Lấy môđun 2 vế ta được: 2
z . 5 − i − z = 16 z + (2 − z )2
Đặt t = z (t ≥ 0) ta có: 2
t − i − t =
t + ( −t)2 ⇔ t ( −t)2 2 2 . 5 16 2 . 5
+1 = 17t − 4t + 4 t =1 t = 8,95 4 3 2 t 10t 9t 4t 4 0 (t ) 1 ( 3 2 t 9t 4) 0  ⇔ − + + − = ⇔ − − + = ⇔  t = 0,69  t = 0, − 64  (loai) 4
− t + (2 − t)i
Ứng với mỗi giá trị t ≥ 0 ⇒ z =
⇒ có một số phức z. 5 − i − t
Do vậy có 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
Ví dụ 8: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z = 2, 2 z =
. Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức 1 2 1 2
z và iz . Biết rằng 
MON = 45° với O là gốc tọa độ. Tính 2 2 z + 4z . 1 2 1 2 A. 4 2 . B. 4. C. 6. D. 4 5 . Lời giảiz = 2  z = 2  z = 2  z =     2 Ta có 1 1 1 1  ⇔  ⇔  ⇔   z = 2   iz = 2   =   = − 2 2 iz 2 z i 2 2 2
Do đó, điểm N biểu diễn số phức iz có tọa độ là N ( 2;0). 2 Vì 
MON = 45° và OM = 2 ⇒ OM = ON 2 ⇒ M ( 2; 2).
Suy ra z = 2 + i 2 và 2 2 z = i − 2 
→ z + 4z = 4 5 . Chọn D. 1 2 1 2
Ví dụ 9: Cho hai số phức z và z thỏa mãn z = 3, z = 4,
z − z = 37 . Xét số phức z1 z = = a + bi . 1 2 1 2 1 2 z2 Tìm b . A. 3 b = . B. 3 b = . C. 3 3 b = . D. 8 b = . 8 8 8 3 Lời giải  3  z = 3 2 2 a + b = a  9 = −  Chọn  1 z = 4  → . Gọi  2
z = a + bi ⇒  ⇔ . 2  1   z − 4 = 37 2  (  a − 4  ) 2 + b = 37  3 3 1 b = −  2 3 3 3 − − i Vậy z 2 2 3 3 3 3 3 1 z = = = − − i  → b = . Chọn C. z 4 8 8 8 2
Ví dụ 10: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z + z = 3, 1
z = z = . Tính z z + z z . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
A. z z + z z = 0 .
B. z z + z z =1.
C. z z + z z = 2.
D. z z + z z = 1 − . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Lời giải  1  z =1 2 2  + =  1 a a b =  Chọn  1 z =1 → . Gọi  2
z = a + bi ⇒  ⇔ . 2  1   z +1 = 3 2  (  a +  ) 2 1 + b = 3  3 1 b = −  2 Vậy 1 3 1 3 1 3 z = − i 
→ z z + z z = − i + + i =1. Chọn B. 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2
Ví dụ 11: Cho ba số phức z , z , z thỏa mãn z = z = z =1 và z + z + z = 0 . Tính giá trị của biểu 1 2 3 1 2 3 1 2 3 thức 2 2 2
P = z + z + z . 1 2 3 A. P = 1 − . B. P = 0 . C. P =1. D. P = 2 . Lời giải Ta có 2 2 2
A = z + z + z = z + z + z
− 2 z z + z z + z z = 2
− z z + z z + z z 1 2 3 ( 1 2 3)2 ( 1 2 2 3 3 1) ( 1 2 2 3 3 1)    z z z  1 1 1 1 2 3 = 2
− z z z  + +  = 2 − z z z  + +
 = −z z z z + z + z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( 1 2 3 )  z z z   z z z 1 2 3 1 2 3 
Mặt khác z + z + z = 0 ⇒ z + z + z = 0 suy ra P = 0 . Chọn B. 1 2 3 1 2 3
Ví dụ 12: Cho số phức z = a + bi ≠ ( 0 , a b∈ z
) sao cho z không phải là số thực và là số thực. Tính 2 1+ z z
giá trị của biểu thức P = . 2 1+ z A. 1 P = . B. 1 P = . C. 1 P = . D. P =1. 5 2 3 Lời giải
Cách 1. Tư duy nhanh, w là số thực → 1 là số thực → 1 z + là số thực. w z z
Mà dễ thấy z + z là số thực nên 1 2 1
z = ⇔ z.z =1 ⇔ z =1 ⇔ z =1⇒ = . 2 z 1+ z 2
Cách 2. Ta có biến đổi z z 2 2 =
⇔ z + z.z = z + z.z ⇔ z − z = z − z .z.z 2 2 ( ) 1+ z 1+ zz − z = 0 z 2 1 ⇔ 
⇔ z.z =1 ⇔ z =1⇒ = . 2 z.z =1 1+ z 2 z z Cách 3. Chọn 1 1 w =
= ⇔ z −1 = 0 ⇔ z =1⇒ z =1⇒ = . Chọn B. 2 ( )2 2 1+ z 2 1+ z 2
Ví dụ 13: Cho hai số phức z , z thỏa z , z ≠ 0, 0 z + z ≠ và 1 1 2 = + . Tính z1 . 1 2 1 2 1 2 z + z z z z 1 2 1 2 2 A. z 2 z 3 z z 2 1 = . B. 1 = . C. 1 = 2 3 . D. 1 = . z 2 z 2 z z 2 2 2 2 3 Lời giải Cách 1. Ta có 1 2 1 2z + z 1 1 2 + = ⇔ =
⇔ (2z + z z + z = z z . 1 2 ) ( 1 2 ) 1 2 z z z + z z z z + z 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ⇔ (z )2  z   z
+ 2.z .z + 2(z )2 z 1+ i 1 1 1
= 0 ⇔ 2  + 2  +1= 0 ⇔ = − . 2 1 2 1  z   z z 2 2 2 2 Khi đó z 1+ i 2 1 P = = − = . z 2 2 2 Cách 2. Chọn 1 2 1 z 2 1 z = i ⇒ + =
⇒ z =1− i ⇒ = . Chọn A. 1 2 i z i + z z 2 2 2 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho số phức 3
z =1− i + i . Tìm phần thực a và
phần ảo b của z. A. a = 0, 1 b = . B. a = 2, − 1 b = . C. a =1, 0 b = . D. a =1, b = 2 − .
Câu 2: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 103) Cho hai số phức z =1− 3i và z = 2 − − 5i . Tìm 1 2
phần ảo b của số phức z = z − z . 1 2 A. b = 2 − . B. b = 2 . C. b = 3 . D. b = 3 − .
Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 101) Cho hai số phức z = 5 − 7i và z = 2 + 3i . Tính số 1 2
phức z = z + z . 1 2
A. z = 7 − 4i .
B. z = 2 + 5i . C. z = 2 − + 5i .
D. z = 3−10i .
Câu 4: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Cho hai số phức z = 4 − 3i và z = 7 + 3i . Tìm số 1 2
phức z = z − z . 1 2 A. z =11.
B. z = 3+ 6i . C. z = 1 − −10i . D. z = 3 − − 6i .
Câu 5: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 104) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện
z + 2 − 3i = 3− 2i .
A. z =1− 5i .
B. z =1+ i .
C. z = 5 − 5i .
D. z =1− i .
Câu 6: Cho số phức z = 2 + 5i . Tìm số phức w = iz + z .
A. w = 7 − 3i . B. w = 3 − − 3i .
C. w = 3+ 7i . D. w = 7 − − 7i .
Câu 7: Cho hai số phức z =1+ 3i,
w = 2 − i . Tìm phần ảo của số phức u = z.w . A. 7 − . B. 5i . C. 5. D. 7 − i .
Câu 8: Trong tập các số phức, tìm số phức z biết (1+ i) z + 2 −3i = z (2 −i) − 2 .
A. z =1+ 2i .
B. z = 2 + i .
C. z = 2 − i .
D. z =1− 2i .
Câu 9: Cho số phức z = 3− 2i . Tìm phần ảo b của số phức liên hợp của z.
A. b = 2i . B. b = 2 − i . C. b = 2 . D. b = 2 − .
Câu 10: Cho hai số phức z = 2 − 3i và z = 1
− + 5i . Tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z + z 1 2 1 2 bằng. A. 3i . B. 1. C. 2i . D. 3.
Câu 11: Cho z là một số ảo khác 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. z = z .
B. z + z = 0 .
C. z là số thực.
D. Phần ảo z bằng 0. + i
Câu 12: Cho số phức z = ( i) ( )6 4 1 2 −
. Số phức 5z + 3i là số phức nào sau đây? 5i A. 440 + 3i . B. 88 + 3i . C. 440 − 3i . D. 88 − 3i .
Câu 13: Cho số phức z = a + bi(a,b∈) thỏa z = (1+ 2i)(3−i) . Tính tổng P = a + b . A. P = 6 . B. P =10. C. P = 5. D. P = 0 .
Câu 14: Cho z = a + bi(a,b∈) thỏa(2 + i) z −(3−5i) = 4 − 4i . Tính tổng P = a + b . A. 26 P = − . B. 8 P = . C. P = 4 − . D. P = 2 . 5 3
Câu 15: Tìm phần ảo b của số phức w = z + 2z . Biết số phức z = 3− 3i và z = 1 − + 2i . 1 2 1 2 A. b =1. B. b = 1 − . C. b = 7 − . D. b = 7 .
Câu 16: Cho hai số phức z = 2 − i,
z =1+ i . Tính T = z .z + z .z . 1 2 1 2 1 2 A. T = 2 . B. T = 5 . C. T = 2 10 . D. T = 2. 2
Câu 17: Cho hai số phức z =1− 5i,
z = 3+ 2i . Tính phần ảo b của số phức z1 z = . 1 2 z2 A. b = 19 . B. 18 b = i . C. 18 b = . D. 13 b = . 13 13 18
Câu 18: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1+ 2i)(z − ) 1 − 5 + 2i = 0 . A. 12 6 z = − i . B. 6 12 z = + i . C. 6 12 z = − i . D. 1 12 z = − i . 5 5 5 5 5 5 5 5
Câu 19: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện (1−i)(z +1− 2i) −3+ 2i = 0.
A. z = 4 + 3i . B. 3 5 z = + i . C. 5 3 z = + i .
D. z = 4 − 3i . 2 2 2 2
Câu 20: Tìm số phức z mà z + 4 = z (2 −i) .
A. z = 2 + 2i .
B. z =1+ i .
C. z =1+ 2i .
D. z = 2 + i .
Câu 21: Cho số phức z = 3+ 2i . Tìm số phức w = z ( + i)2 1 − z .
A. w = 3+ 5i .
B. w = 7 −8i . C. w = 3 − + 5i . D. w = 7 − + 8i .
Câu 22: Cho số phức z = 3+ 2i . Tìm phần thực của số phức 2 z . A. 9. B. 12. C. 5. D. 13.
Câu 23: Cho số phức z = a + bi(a,b∈) thỏa mãn ( + i)2 1 z + 4 − 5i = 1
− + 6i . Tính S = a + b . A. S = 3 − . B. S = 8. C. S = 6 . D. S = 3.
Câu 24: Tìm tất cả các số thực x, y sao cho 2 x −1+ yi = 1 − + 2i . A. x = − 2, 2 y = . B. x = 2, 2 y = . C. x = 0, 2 y = . D. x = 2, 2 y = − .
Câu 25: Trên tập số phức, 2x + y + (2y − x)i = x − 2y + 3+ ( y + 2x + )
1 i với x, y ∈ . Tính giá trị của biểu
thức P = 2x + 3y . A. P = 7 . B. P = 3. C. P =1. D. P = 4 .
Câu 26: Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn điều kiện (1− 2i) x + (1+ 2y)i =1+ i . A. x =1; 1 y = − . B. x =1; 1 y = . C. x =1; 1 y = − . D. x = 1; − 1 y = − .
Câu 27: Tìm tất cả các số thực ( ;
x y) thỏa điều kiện 3x + yi = 2y +1+ (2 − x)i . A. (1; ) 1 . B. (1; ) 1 ,(0; ) 1 − . C. (1;0),( 1; − − ) 1 . D. ( 1; − − ) 1 .
Câu 28: Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn đẳng thức x( + i) + y( − i)3 3 5 1 2 = 35 − + 23i . A. ( ; x y) = ( 3 − ;4) . B. ( ; x y) = (3;4) . C. ( ; x y) = (3; 4 − ) . D. ( ; x y) = ( 3 − ; 4 − ) .
Câu 29: Cho số thực x, y thỏa 2x +1+ (1− 2y)i = 2(2 −i) + yi − x . Tính 2
T = x − 3xy − y . A. T = 1 − . B. T =1. C. T = 2 − . D. T = 3 − .
Câu 30: Tìm phần thực và phần ảo của số phức liên hợp z của số phức z = i − (4i + 3) .
A. Phần thực là 4 và phần ảo bằng −3.
B. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3.
C. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3i .
D. Phần thực là −4 và phần ảo bằng 3i .
Câu 31: Cho các số phức z =1+ 2i và w = 2 + i . Hỏi số phức u = z.w có đặc điểm nào?
A. Phần thực là 4 và phần ảo bằng 3.
B. Phần thực là 0 và phần ảo bằng 3.
C. Phần thực là 0 và phần ảo bằng3i .
D. Phần thực là 4 và phần ảo bằng3i .
Câu 32: Cho các số phức z = 2 − 3i và z =1+ 4i . Tìm số phức liên hợp với số phức z z . 1 2 1 2 A. 14 − − 5i . B. 10 − − 5i . C. 10 − + 5i . D. 14 −5i .
Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn z =1− i . Tìm số phức liên hợp z . 3+ 2i A. z = 5 − − i . B. z = 1 − − 5i .
C. z = 5 + i . D. z = 1 − + 5i .
Câu 34: Cho số phức z thỏa mãn (1+ i) z =14 − 2i . Giả sử số phức liên hợp của z có dạng z = a + bi . Tìm a + b .
A. a + b = 4 − .
B. a + b =14.
C. a + b = 4 .
D. a + b = 14 − .
Câu 35: Tìm số phức liên hợp của số phức z = ( + i)(− + i)( i + )2 2 1 2 1 .
A. z =15 + 5i .
B. z =1+ 3i .
C. z = 5 +15i .
D. z = 5 −15i .
Câu 36: (Đề Thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho số phức z = 2 + i . Tìm z . A. z = 3 . B. z = 5 . C. z = 2. D. z = 5 .
Câu 37: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z (2 −i) +13i =1. A. z = 34 . B. z = 34 . C. 5 34 z = . D. 34 z = . 3 3
Câu 38: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z = (1− 2i) 2 + i + i(3− 2i)   . A. z = 4 10 . B. z = 4 5 . C. z =160 . D. z = 2 10 .
Câu 39: Cho hai số phức z =1+ i và z = 2 − 3i . Tính môđun của số phức z + z . 1 2 1 2
A. z + z = 13 .
B. z + z = 5 .
C. z + z =1.
D. z + z = 5 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 40: Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm môđun của số phức w = (1+ i) z − z . A. w = 3. B. w = 5. C. w = 4 − . D. w = 7 .
Câu 41: Tìm số môđun của số phức 1+ 5i z + = 2 + 3i . 3− i A. 170 z = . B. 170 z = . C. 170 z = . D. 170 z = . 7 4 5 3
Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1−3i) z +1+ i = −z . Tìm môđun của số phức w =13z + 2i . A. w = 2 . B. 26 w = . C. w = 10 . D. 4 w = . 13 13
Câu 43: Cho hai số phức z = 2 − 3i và z =1+ 2i . Tính môđun của số phức z = (z + 2 z . 1 ) 1 2 2 A. z =15 . B. z = 5 5 . C. z = 65 . D. z = 137 .
Câu 44: Cho số phức z = 3
− − 4i . Tính môđun của số phức 25 w = iz + . z A. w = 2 . B. w = 2 . C. w = 5. D. w = 5 .
Câu 45: Tìm môđun của số phức z, biết z thỏa mãn z = ( 4
− + i 48)(2+i). A. z = 8 5 . B. z = 5 5 . C. z = 6 5 . D. z = 9 5 .
Câu 46: Cho số phức z =1+ 3i và z = 3− 4i . Tìm môđun của số phức z + z . 1 2 1 2
A. z + z = 17 .
B. z + z = 15 .
C. z + z = 4 .
D. z + z = 8 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 47: Cho hai số phức z =1+ 2i và z = 2
− − 2i . Tìm môđun của số phức z − z . 1 2 1 2
A. z − z = 2 2 .
B. z − z =1.
C. z − z = 17 .
D. z − z = 5 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 48: Cho hai số phức z = 2 + 3i và z =1+ i . Tính z + 3z . 1 2 1 2
A. z + 3z =10 .
B. z + 3z = 61.
C. z + 3z = 61 .
D. z + 3z = 10 . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 49: Cho hai số phức z 2
= 3− 4i , z = 4 + 3i . Tính z1 . 1 2 3z2 A. 2z 2z 2 2z 3 2z 5 1 = 2 . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . 3z 3z 3 3z 2 3z 2 2 2 2 2
Câu 50: Cho số phức z = 2 − 3i . Tìm phần ảo a của số phức w = (1+ i) z −(2 −i) z . A. a = 9 − i . B. a = 9 − . C. a = 5 − . D. a = 5 − i .
Câu 51: Cho số phức z =1− 2i . Tìm phần thực a của số phức 3 2
w = z − + z.z . z A. 33 a = − . B. 31 a = − . C. 32 a = − . D. 32 a = . 5 5 5 5
Câu 52: Cho hai số phức z = 5 − 2i và z = 3− 4i . Tìm số phức liên hợp của số w = z + z + 2z z . 1 2 1 2 1 2
A. w = 54 + 26i . B. w = 54 − − 26i .
C. w = 54 − 26i .
D. w = 54 − 30i .
Câu 53: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( + ) 1 2 − i i z +
= 5 − i . Tìm môđun của số phức 2
w =1+ 2z + z . 1+ i A. w = 4 . B. w = 2 7 . C. w =10. D. w =100.
Câu 54: Cho số phức z thỏa (1+ i) z −1−3i = 0. Tìm phần ảo của số phức w =1−iz + z . A. Phần ảo là 1.
B. Phần ảo là −3.
C. Phần ảo là −2.
D. Phần ảo là −2.
Câu 55: Số phức z thỏa mãn z + z = 0 . Tìm khẳng định đúng?
A. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0. B. z =1
C. Phần thực của z là một số âm.
D. z là số thuần ảo.
Câu 56: Với số thuần ảo z, số 2 2
z + z có đặc điểm nào sau đây? A. là số 0.
B. là số ảo khác 0.
C. là số thực âm.
D. là số thực dương.
Câu 57: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z  ( i)2 1 1 2 z = − − . 3   A. 3
z = − − 2i . B. 3 z = − + 2i . C. 3 z = 2 + i . D. 3 z = 2 − i . 4 4 4 4
Câu 58: Rút gọn biểu thức P = ( −i)2016 1 . A. 1008 P = 2 . B. 1008 P = 2 − . C. 1008 P = 2 i . D. 1008 P = 2 − i . 2016
Câu 59: Cho số phức z  − = a + bi, ( a,b∈ 1 i ) thỏa mãn z  = 
. Tính tổng S = a + b . 1 i  +  A. S = 1 − . B. S = 0 . C. S =1. D. S = 2 . ( − i)5 1 2
Câu 60: Cho số phức z = a + bi, (
a,b∈) thỏa mãn z =
. Tính tổng S = a + 2b . 2 + i A. S = 38. B. S =10 . C. S = 31. D. S = 55.
Câu 61: Tìm số phức z = + z + ( + z)2 + ( + i)3 + ( + i)4 + + ( + i)20 1 1 1 1 ... 1
.Tìm phần thực a của số phức z
A. z =1025 −1025i . B. z = 1025 − −1025i . C. z = 1025 − +1025i .
D. z =1025 +1025i .
Câu 62: Cho số phức z = ( + z)2 + ( + i)3 + ( + i)4 + + ( + i)22 1 1 1 ... 1
. Tìm phần thực a của số phức z. A. 11 a = 2 − . B. 11 a = 2 − + 2 . C. 11 a = 2 − − 2. D. 11 a = 2 .
Câu 63: Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức 2 3 2016
z =1+ i + i + i +...+ i . A. a = 0, b = 1 − . B. a = 0, 1 b = . C. a =1, 1 b = . D. a =1, 0 b = .
Câu 64: Tìm môđun của số phức 2 4 2n 2016
z =1+ i + i +...+ i +...+ i ,n∈ A. z = 2. B. z =1. C. z =1008 . D. z = 2006.
Câu 65: Tìm phần thực a của số phức z = + + i + ( + i)2 + ( + i)3 + + ( + i)26 1 1 1 1 ... 1 . A. 13 a = 2 − . B. 13 a = 2 . C. 13 a = 1 − − 2 . D. 13 a =1+ 2 .
Câu 66: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b∈) thỏa mãn (1+ i) z + 2z = 3+ 2i . Tính P = a + b . A. 1 P = . B. P =1. C. P = 1 − . D. 1 P = − . 2 2
Câu 67: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 101) Cho số phức z = a + bi ( , a b∈) thỏa mãn
z +1+ 3i − z i = 0. Tính S = a + 3b . A. 7 S = . B. S = 5 − . C. S = 5. D. 7 S = − . 3 3
Câu 68: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 104) Cho số phức z thỏa mãn z = 5 và
z + 3 = z + 3+10i . Tìm số phức w = z − 4 + 3i . A. w = 3 − + 8i .
B. w =1+ 3i . C. w = 1 − + 7i . D. w = 4 − + 8i .
Câu 69: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 103) Cho số phức z thỏa mãn z + 3 = 5 và
z − 2i = z − 2 − 2i . Tính z . A. z =17 . B. z = 17 . C. z = 10 . D. z =10 .
Câu 70: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Mã đề 102) Cho số phức z = a + bi ( , a b∈) thỏa mãn
z + 2 + i = z . Tính S = 4a + b . A. S = 4 . B. S = 2 . C. S = 2 − . D. S = 4 − .
Câu 71: (Đề tham khảo – Bộ GD&ĐT năm 2018) Cho số phức z = a + bi ( , a b∈) thỏa mãn
z + 2 + i − z (1+ i) = 0 và z >1. Tính P = a + b . A. P = 1 − . B. P = 5 − . C. P = 3. D. P = 7 .
Câu 72: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1−i) z + 4z = 7 − 7i . Tìm môđun của số phức z. A. z = 3 . B. z = 5 . C. z = 5 . D. z = 3 .
Câu 73: Tính môđun của số phức z thỏa mãn 3z.z + 2017(z − z) =12− 2018i . A. z = 2. B. z = 2017 . C. z = 4. D. z = 2018 .
Câu 74: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (1− 2i) z = 2 − 4i . Tìm môđun của số phức z. A. z = 3 . B. z = 5 . C. z = 5 . D. z = 3 .
Câu 75: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b∈) thỏa z (2i −3)8 .iz = 16
− −15i . Tính a − 3b . A. 4. B. 6. C. 5. D. −1.
Câu 76: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b∈) thỏa mãn 2(z + )
1 = 3z + i(5 −i) . Tính a + 2b .
A. a + 2b =1.
B. a + 2b = 3 − .
C. a + 2b = 3.
D. a + 2b = 1 − .
Câu 77: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b∈) thỏa mãn 2z + z = 3+ i . Tính giá trị của biểu thức 3a + b .
A. 3a + b = 3.
B. 3a + b = 4 .
C. 3a + b = 6 .
D. 3a + b = 5.
Câu 78: Tính môđun của số phức z thỏa mãn z.z + 3(z − z) = 4−3i. A. z = 2. B. z = 3 . C. z = 4. D. z =1.
Câu 79: Cho số phức z thỏa mãn z + z = ( −i)2 3 2 4
. Tính môđun của số phức z. A. z = 73. B. z = 5 . C. z = 73 . D. z = 7 3 .
Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn 2z = i(z +3). Hãy tìm môđun của số phức z. A. z = 5 . B. z = 5 . C. 3 5 z = . D. 3 5 z = . 4 2
Câu 81: Cho số phức z = a + bi ( ,
a b∈) thỏa mãn zi + 2z = 4 − 4i . Tìm 2a 2b + . A. a b 1 2 + 2 = . B. 2a 2b + = 48 . C. a b 1 2 + 2 = . D. 2a 2b + = 32. 36 16
Câu 82: Tìm môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện (1+ i) z + (3−i) z = 2 − 6i . A. z = 13 . B. z = 15 . C. z = 5 . D. z = 3 .
Câu 83: Tìm môđun của số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + (1+ i) z = 5+ 3i . A. z = 5 . B. z = 3 . C. z = 3 . D. z = 5 .
Câu 84: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017 – Mã đề 102) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn
z + 2 − i = 2 2 và (z − )2 1 là số thuần ảo? A. 0. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 85: Biết rằng có hai số phức thỏa mãn 2 z −1 = z − z + 2i và (2 − z)(i + z) là số thực. Tính tổng các
phần ảo của hai số thực đó. A. 9. B. 7. C. 5. D. 3.
Câu 86: Gọi số phức z = a + bi ( ,
a b∈) thỏa mãn (2z + 3− 2i)(z + i) là số thuần ảo và z +1−i = .iz − 2 . Tính tổng 2 3 a + b . A. 1. B. 11. C. 21. D. 31.
Câu 87: Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z +1− 2i −
= 1 và số phức z 2i là số z + 3+ 4i z + i thuần ảo. A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. m
Câu 88: Cho số phức  4i z  = 
, m là số nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của m∈[1;100] để z là số  i 1 +  thực? A. 25. B. 26. C. 27. D. 28. m
Câu 89: Cho số phức  2 + 6i z  = 
, m là số nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị của m∈[1;50] để z là số  3 i  −  thuần ảo? A. 24. B. 25. C. 26. D. 50.
Câu 90: Cho số phức z thỏa mãn z (3+ 4i) z − 4+3i −5 2 = 0 
. Tính giá trị của z . A. z = 2. B. z = 2 . C. z = 2 2 . D. z =1. 1− i (2−3i) z
Câu 91: Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn + i =
+ 2 . Hỏi mệnh đề nào đúng? 2 z z
A. 3 < z ≤ 2 . B. z > 2. C. 1 z ≤ . D. 1 3 ≤ z ≤ . 2 2 2 2
Câu 92: Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn ( + i) 10 1 2 z = − 2 + i . Tính 4 2 z + z . z A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 93: Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn ( + i) 26 2 3 z = + 3− 2i . Tính 4 2 z + z . z A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 94: Cho số phức z ≠ 0 thỏa mãn ( − i) 4 10 1 3 z = + 3+ i . Tính 4 2 z + z . z A. 1. B. 16. C. 9. D. 25.
Câu 95: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z = 2 z = 2 và 2z − 3z = 4 . Tính z + 2z . 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 10 . B. 11 . C. 15 . D. 2 5 .
Câu 96: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z = z =1 và z − 3z = 2 . Tính 2z + 3z . 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 249 . B. 1. C. 241 . D. 5.
Câu 97: Cho số phức z thỏa mãn z =1. Tìm phần thực b của số phức 1 . 1− z A. 1 b = . B. 3 b = − . C. 3 b = . D. b = 1 − . 2 2 2
Câu 98: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z = z =1 và z + z = 3 . Tính z − z . 1 2 1 2 1 2 1 2
A. z − z =1.
B. z − z = 2.
C. z − z = 3 .
D. z − z = 4. 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 99: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z + z = 3, z =1,
z = 2 . Tính z .z + z z . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 2. B. 0. C. 8. D. 4.
Câu 100: Cho hai số phức z , z thỏa mãn z = z = z − z =1. Tính z + z . 1 2 1 2 1 2 1 2 A. 3 . B. 2 3 . C. 1. D. 3 . 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: 3
z =1− i + i =1− i − i =1− 2i ⇒ a = 1, b = 2 − . Chọn D.
Câu 2: z = z − z = 1− 3i − 2
− − 5i = 3+ 2i ⇒ b = 2. Chọn B. 1 2 ( ) ( )
Câu 3: z = z + z = 5 − 7i + 2 + 3i = 7 − 4i . Chọn A. 1 2 ( ) ( )
Câu 4: z = z − z = 4 − 3i − 7 + 3i = 3
− − 6i . Chọn D. 1 2 ( ) ( )
Câu 5: z + 2 − 3i = 3− 2i ⇔ z =1+ i . Chọn B.
Câu 6: w = iz + z = i(2 + 5i) + (2 −5i) = 5
− + 2i + 2 − 5i = 3
− − 3i . Chọn B.
Câu 7: u = z.w = (1−3i)(2 −i) = 1
− − 7i ⇒ phần ảo của số phức là −7. Chọn A.
Câu 8: ( + i) z + − i = z ( −i) − ⇔ ( i − ) 3i − 4 1 2 3 2 2
2 1 z = 3i − 4 ⇔ z =
= 2 + i . Chọn B. 2i −1
Câu 9: Số phức liên hợp của z là z = 3+ 2i ⇒ phần ảo b = 2 . Chọn C.
Câu 10: w = z + z = 2 − 3i + 1
− + 5i =1+ 2i ⇒ a =1,b = 2 ⇒ a + b = 3 . Chọn D. 1 2 ( ) ( )
Câu 11: z = bi ⇒ z = bi
− ⇒ z + z = 0 . Chọn B. 6 3 1+ i 2i
Câu 12: z = ( i)4 ( ) 4 ( ) 8 2 8 88 2 − = 16i − = 16 − i =16 + = 5i 5i 5 5 5
Do đó 5z + 3i = 88 + 3i = 88 − 3i . Chọn D.
Câu 13: z = (1+ 2i)(3−i) = 5+ 5i ⇒ a = 5,b = 5 ⇒ P = a + b =10. Chọn B.
Câu 14: ( + ) −( − ) = − ⇔ ( + ) 7 − 9 2 1 3 5 4 4 2 = 7 − 9 i z i i i z i ⇔ z = = 1− 5i . 2 + i Do đó suy ra a =1, b = 5
− ⇒ a + b = 4 − . Chọn C.
Câu 15: w = z + 2z = 3− 3i + 2 1
− + 2i =1+ i ⇒ b =1. Chọn A. 1 2 ( ) ( )
Câu 16: T = z z + z z = 2 − i 1− i + 2 + i 1+ i = 2. Chọn D. 1 2 1 2 ( )( ) ( )( ) z (1−5i)2 2 Câu 17: 24 − −10i 92 18 18 1 z = = = = − + i ⇒ b = . Chọn C. 2 z 3+ 2i 3+ 2i 13 13 13 2
Câu 18: ( + i)(z − ) − + i = ⇔ ( + i) 6 6 12 1 2 1 5 2 0
1 2 z = 6 ⇔ z = = − i . Chọn C. 1+ 2i 5 5
Câu 19: (1−i)(z +1− 2i) −3+ 2i = 0 ⇔ z (1−i) + (1−i)(1− 2i) = 3− 2i
⇔ z ( − i) − − i = − i ⇔ z ( − i) 4 + i 3 5 1 1 3 3 2 1 = 4 + i ⇔ z =
⇔ z = + i . Chọn B. 1− i 2 2
Câu 20: z + = z ( −i) ⇔ z ( −i) 4 4 2 1 = 4 ⇔ z =
⇔ z = 2 + 2i . Chọn A. 1− i
Câu 21: w = z ( + i)2 − z = ( + i)( + i)2 1 3 2 1
− (3− 2i) = 2i(3+ 2i) − 3+ 2i = 6i − 4 − 3+ 2i = 7
− + 8i . Chọn D. Câu 22: 2
z = (3+ 2i)2 = 5 +12i ⇒ phần thực là 5. Chọn C. Câu 23: ( + i)2 5 − +11i 11 5 11 5 1 z + 4 − 5i = 1
− + 6i ⇔ 2iz = 5 − +11i ⇔ z = = + i ⇒ z = − i 2i 2 2 2 2 Do đó suy ra 11 5 a = ,
b = − ⇒ a + b = 3 . Chọn D. 2 2 2 x −1 = 1 − x = 0 Câu 24: Ta có  ⇔  . Chọn C.y = 2 y = 2
2x + y = x − 2y + 3 x = 0 Câu 25: Ta có  ⇔ . Chọn B. 2y x y 2x 1  − = + + y = 1 x =
Câu 26: Ta có x + (− x + + y) 1
2 1 2 i =1+ i ⇔ 
⇔ x = y =1. Chọn B.  2 − x +1+ 2y =1 3  x = 2y +1 Câu 27: Ta có 
⇔ x = y =1. Chọn A.y = 2 − x
x − y = −
Câu 28: Ta có x + xi + y(− + i) 3 11 35 3 5 11 2 = 35 − + 23i ⇔ 
⇔ x = 3; y = 4. Chọn B. 5  x + 2y = 23
2x +1 = 4 − x Câu 29: Ta có 
⇔ x = y =1. Chọn D. 1  − 2y = 2 − + y
Câu 30: Số phức z = 4 − 3i ⇒ z = 4 + 3i có phần thực là 4 và phần ảo bằng 3. Chọn B.
Câu 31: Số phức u = (1+ 2i)(2 −i) = 4 + 3i có phần thực là 4 và phần ảo bằng 3. Chọn A.
Câu 32: z z =14 + 5i ⇒ z z =14 − 5i . Chọn D. 1 2 1 2
Câu 33: z = (3+ 2i)(1−i) = 5−i ⇒ z = 5+ i . Chọn C. Câu 34: 14 − 2i z =
= 6 −8i ⇒ z = 6 + 8i . Chọn B. 1+ i
Câu 35: z = 5 −15i ⇒ z = 5 +15i . Chọn C. Câu 36: 2 2
z = 2 +1 = 5 . Chọn D. Câu 37: 1−13i 2 2 z =
= 3− 5i ⇒ z = 3 + ( 5) − = 34 . Chọn A. 2 − i Câu 38: 2 2
z =12 − 4i ⇒ z = 12 + ( 4) − = 4 10 . Chọn A. Câu 39: 2 2
z + z = 3− 2i ⇒ z + z = 3 + ( 2) − = 13 . Chọn A. 1 2 1 2
Câu 40: w = ( + i)( − i) −( + i) 2 2 1 2 3
2 3 = 3− 4i ⇒ w = 3 + ( 4 − ) = 5 . Chọn B. 2 2 Câu 41: 1+ 5i 11 7 11  7  170 z = 2 + 3i − = + i ⇒ z = + = . Chọn C. 3 i 5 5  5   5  −     5
Câu 42: z (2 −3i) 1 − − i 1 5 2 2 = 1
− − i ⇔ z = = −
i ⇒ w =1− 3i ⇒ w = 1 + ( 3) − = 10 . Chọn C. 2 − 3i 13 13 Câu 43: 2 2
z =10 + 5i ⇒ z = 10 + 5 = 5 5 . Chọn B. Câu 44: 2 2
w =1+ i ⇒ w = 1 +1 = 2 . Chọn A. Câu 45: 2 2 z = 8 − − 4 3 + ( 4
− + 8 3)i ⇒ z = ( 8 − − 4 3) +( 4
− + 8 3) = 8 5 . Chọn A. Câu 46: 2 2
z + z = 4 − i ⇒ z + z = 4 + ( 1) − = 17 . Chọn A. 1 2 1 2 Câu 47: 2 2
z − z = 3+ 4i ⇒ z − z = 3 + 4 = 5 . Chọn D. 1 2 1 2 Câu 48: 2 2
z + 3z = 5 + 6i ⇒ z + 3z = 5 + 6 = 61 . Chọn C. 1 2 1 2 Câu 49: 2z 2 2z 2 1 1 = − i ⇒ = . Chọn B. 3z 3 3z 3 2 2
Câu 50: w = (1+ i)(2 −3i) −(2 −i)(2 + 3i) = 2
− − 5i . Chọn C.
Câu 51: w = ( − i)3 2 − + ( − i)( + i) 32 6 1 2 1 2 1 2 = − + i . Chọn C. 1− 2i 5 5
Câu 52: w = (5+ 2i) + (3− 4i) + 2(5− 2i)(3+ 4i) = 54 + 26i ⇒ w = 54 − 26i . Chọn C. Câu 53:  1 5 − i z i  = − − :(2 + i) 2
= 2 − i ⇒ w = 8 − 6i ⇒ w = 8 + ( 6 − )2 =   10. Chọn C.  1+ i Câu 54: 1+ 3i z =
= 2 + i ⇒ z = 2 − i ⇒ w = 2 − 3i . Chọn B. 1+ i
Câu 55: Ta có z = x + yi(x y ∈) 2 2 ,
⇒ x + y + x + yi = 0  2 2  + = −  2 x y xx = −xx ≤ 0 ⇔  ⇔  ⇔ 
⇒ z = x ≤ 0. Chọn A. y = 0 y = 0 y = 0
Câu 56: Ta có z = yi (x y ∈) 2 2
⇒ z + z = ( yi)2 2 ,
+ y = 0. Chọn A.
Câu 57: Ta có z = x + yi (x y ∈) 1 ,
⇒ x − yi = (1+ 2i)2 − (x + yi) 3    3 ⇔ (  = − −  = −
x − yi) = − + i − x − yi = − − x + ( − y) 3x 3 x x 3 3 4 3 4 i ⇔  ⇔  4 . Chọn A.  3 − y = 4 − y y = 2 − 1008
Câu 58: P = ( −i)2  = (− i)1008 2008 = ( 2i)504 2008 1 2 2 = 2   . Chọn A.
Câu 59: z = ( i
− )1008 = ( 2i )504 =1. Chọn C.
Câu 60: z = (− + i)( − i)2
4 3 1 2 = 24 + 7i ⇒ z = 24 − 7i . Chọn B. 1+ i −1 2i −1 (i )5 20 10 10 2 2 . −1
Câu 61: z = (1+ i) ( ) . ( = + = + = − + . Chọn C. + i) (1 i) ( ) . (1 i). 1025 1025i 1 −1 i i 21  1+ i −1
Câu 62: z = (1+ i).(1+ i) ( ) 10 .  =  + −   ( +i) 2 (2i) (1 i) 1 1 −1       (i )5 10 2 ( i)  = + − = ( 10 10 2 2 . 1 1 2 1 − − 2 − 2 .i)  . Chọn C.   i −1 (i )1008 2 2016 −1
Câu 63: z =1+ .i = 1+ .i . Chọn D. i −1 i −1 i −1 2 ( )1008 2
Câu 64: z =1+ i .
=1⇒ z =1. Chọn B. 2 i −1 1+ i −1 2i −1 (i )6 26 13 13 2 2 . i −1
Câu 65: z =1+ (1+ i) ( ) . ( = + + = + + = + . Chọn B. + i) 1 (1 i) ( ) . 1 (1 i). 8192 8193i 1 −1 i i
Câu 66: Ta có (1+ i)(a + bi) + 2(a −bi) = 3+ 2i ⇔ a −b + (a + b)i + 2a − 2bi = 3+ 2i
a − b + 2a = 3 ⇔  ⇒ a + b = 1 − . Chọn C.
a + b − 2b = 1 a = 1 − a = 1 a +1= 0 −  Câu 67: 2 2 a bi 1 3i i a b 0  b   3  + + + − + = ⇔ ⇔ ≥ − ⇔  4 . Chọn B. 2 2 b
 + 3− a + b = 0 b = − (    b + 3  )2 2 = b +1  3  2 2 2 2  a + b = 5  + = Câu 68: a b 25  ⇔  ⇔ a = 0;b = 5 − ⇒ w = 4
− + 8i . Chọn D. (  a + 3  )2 2
+ b = (a + 3)2 + (b +10)2 b  = 5 − (  a +3)2 2 2 2 + b = 25  + + = Câu 69: a b 6a 16 2  ⇔ 
⇔ b = 9 ⇔ b = 3
± ⇒ z = 10 . Chọn C. 2 a + 
(b − 2)2 = (a − 2)2 +(b − 2)2 a = 1 a ≥ 2 −  3  2 2
a + = a + b  a = − Câu 70: 2 2 2
a + bi + 2 + i = a + b ⇔  ⇔ (  a + 2)2 2 = a +1 ⇔  4 . Chọn D. b  +1 = 0 b  = 1 − b  = 1 − 
Câu 71: z + + i − z ( + i) = ⇔ (a + bi) + + i = ( + i) 2 2 2 1 0 2 1 a + b  2 2 ⇔ (
a + = a + b a + 2) + (b + ) 2 2 2 2 2
1 i = a + b + i a + b ⇔  2 2 b  +1= a + b 2
⇒ a + 2 = b +1 ⇔ b = a +1⇒ a + 2 = a + (a + )2 1 a + 2 ≥ 0 
a = 3 ⇒ b = 4 ⇔ ( ⇔  .  a + 2  )2 2 = a + (a + )2 1 a = 1 − ⇒ b = 0 Lại có 2 2
z >1 ⇔ a + b >1 nên a = 3, 4
b = thỏa mãn ⇒ P = 7 . Chọn D.
Câu 72: (1−i)(a + bi) + 4(a −bi) = 7 − 7i ⇔ a + b + (b − a)i + 4(a −bi) = 7 − 7i
a + b + 4a = 7 a =1 ⇔  ⇔ 
⇒ z = 5 . Chọn C. b
 − a − 4b = 7 − b  = 2 Câu 73: ( 2 2
3 a + b ) + 2017(a + bi − a + bi) =12 − 2018i 3  ( 2 2 a + b ) =12 2 2 ⇔ 
⇒ z = a + b = 2 . Chọn A 2017.2b = 2018 −
Câu 74: a + bi + (1− 2i)(a −bi) = 2 − 4i ⇔ a + bi + a − 2b − 2ai −bi = 2 − 4i
a + a − 2b = 2 a = 2 ⇔  ⇔ 
⇒ z = 5 . Chọn B. b
 − 2a − b = 4 − b  =1
− a − b − b = − a =
Câu 75: (a + bi)( i − ) − i(a −bi) 3 2 8 16 2 2 3 8 = 16 − −15i ⇔  ⇔ . Chọn D.
2a 3b 8a 15 b  − − = −  = 1  a + = a +
Câu 76: (a + bi + ) = (a −bi) 2 2 3 1 2 1 3 + 5i +1 ⇔ 
⇔ a = b =1. Chọn C. 2b = 3 − b + 5  a + a =
Câu 77: (a + bi) + (a −bi) 2 3 2 = 3+ i ⇔ 
⇔ a = b =1. Chọn B 2b − b = 1 6b = 3 − Câu 78: 2 2 2 2
a + b + 3.2bi = 4 − 3i ⇔ 
⇔ z = a + b = 2. Chọn A 2 2 a + b = 4  a + a =
Câu 79: (a + bi) + (a −bi) 3 2 15 3 2 = 15 −8i ⇔  ⇔ a = 3;b = 8
− ⇒ z = 73 . Chọn C. 3  b − 2b = 8 −  a = b
Câu 80: (a + bi) = i(a + −bi) 2 2 3 ⇔ 
⇔ a =1;b = 2 ⇒ z = 5 . Chọn A. 2b = a + 3  b − + a =
Câu 81: (a + bi) + (a −bi) 2 4 2 = 4 − 4i ⇔ 
⇔ a = b = 4 . Chọn D.a − 2b = 4 −
a −b −(3a −b) = 2
Câu 82: ( + i)(a + bi) −( −i)(a −bi) 4 1 3 = 2 − 6i ⇔  . Chọn B.  + −  (
⇔ a = − b = −
b a −a − 2b) 1; = 6 − 3
a + a + b =
Câu 83: (a + bi) + ( + i)(a −bi) 2 5 2 1 = 5 + 3i ⇔  ⇔ a =1; 2 b = . Chọn A.
2b + a − b = 3 (
a + 2)2 +(b − )2 1 =  8
Câu 84: Giả sử z = a + bi ( , a b∈) ⇔  (  z −  )2 1 = (a − )2 2
1 − b + 2b(a − ) 1 i 2 2 (  + + − =
 a + )2 +(b − )2 (a 2) (b )1 8 2 1 = 8  
(a + 2)2 +(a − 2)2 = 8 ⇔  ⇔  = − ⇒  (  a −  )2 b a 1 2 1 − b = 0   (a + 2)2 2 + a = 8 b = 1− aa = 0 ⇔  . Chọn C.a = 1 − ± 3
Câu 85: Đặt z = a + bi ( ,
a b∈) ta có: 2 z −i = z − z + 2i ⇔ 2 a + bi −i = 2bi + 2i 2
⇔ a + (b − )2  = (b + )2 2 2 2 2 4 1 4
1 ⇔ a + b − 2b +1 = b + 2b +1 ⇔ a = 4b  
Lại có: (2 − z)(i + z) = (2− a −bi)(i + a −bi) = (2− a)−bi a +(1−b)i   
 là số thực nên phần ảo của nó 2
(2− )(1− )− = 0 ⇔ 2− − 2 = 0 ⇔ 2− − 2.a a b ab a b a = 0 4 2 3 5 a 2a 4 0 a 1 5 b ± ⇔ − − + = ⇔ = − ± ⇒ =
⇒ tổng các phần ảo của hai số phức đó là b + b = 3. 1:2 2 1 2 Chọn D.
Câu 86: Đặt z = a + bi ( ,
a b∈) ta có: z +1−i = .iz − 2 ⇔ a + bi +1−i = i(a −bi) − 2
⇔ (a + ) + (b − )i = ai + b − ⇔ (a + )2 + (b − )2 2 1 1 2 1
1 = a + (b − 2)2
⇔ 2a + 2b = 2 ⇔ a + b =1.
Lại có: (2z + 3− 2i)(z + i) = (2a + 3) + (2b − 2)i a + (b + ) 1 i   
 là số ảo nên phần thực của nó là
( a + )a −( b − )(b + ) 2 2 2 3 2 2
1 = 0 ⇔ 2a + 3a − 2b + 2 = 0 2
⇔ a + a − ( − a)2 2 3 2 3 2 1
+ 2 = 0 ⇔ 5a = 0 ⇔ a = 0 ⇒ b =1⇒ a + b =1. Chọn A.
Câu 87: Đặt z + − = a + bi ( , a b∈ z i )(z ≠ i − ) ta có
1 2 =1⇔ z +1−2i = z +3+4i z + 3+ 4i
⇔ a + bi + − i = a − bi + + i ⇔ (a + )2 + (b − )2 = (a + )2 + ( − b)2 1 2 3 4 1 2 3 4
⇔ 4a − 4b + 20 = 0 ⇔ a − b = 5 −
z − 2i a + bi − 2i a + 
(b − 2)i.a +   (b − ) 1 i Mặt khác  = =
là số thuần ảo nên phần thực của nó bằng 0 suy 2 z + i
a − bi + i a + (1−b)2 ra 2
a − (b − )(b − ) = ⇔ (b − )2 −( 2 2 1 0 5
b − 3b + 2) = 0 . 23 12 ⇔ 7
− b + 23 = 0 ⇔ b = ⇒ a = −
⇒ có 1 số phức thỏa mãn yêu cầu. Chọn B. 7 7 m m m Câu 88:  4i z  =
= (2 + 2i)m = (2 + 2i)2 2  =   (8i)2  i +1   
Để z là số thực thì m = 2k ⇔ m = 4k 2
Giải điều kiện 1≤ 4k ≤100 ⇔ 1≤ k ≤ 25(k ∈) ⇒ có 25 giá trị của k nên tương ứng có 25 giá trị của m. Chọn A. m Câu 89:  2 + 6i z  = = (2i)m =   2 .m m i  3 − i
Để z là số thuần ảo thì m = 2k +1, kết hợp m∈[1;50] và m∈ ⇒ có 25 giá trị của tham số m là m = {1;3;5;...; } 49 . Chọn B.
Câu 90: z (3+ 4i) z − 4+3i −5 2 = 0  (*)
Do z = 0 không phải là nghiệm của phương trình
Với z ≠ 0 ta có: ( ) ⇔ ( + i) 5 2 z − + i =
⇔ ( z − ) + ( z + ) 5 2 * 3 4 4 3 3 4 4 3 i = ( ) 1 . z z
Lấy môđun 2 vế (1) ta được: ( z )2 + ( z + )2 5 2 5 2 5 2 3 4 3 = = = z z zz = ⇔ 25( z + ) 2 50 1 2 4 2 2 1 =
⇔ z + z = 2 ⇔  ⇒ z =1 2 2 zz = 2 − 
Do đó z = z =1. Chọn D. Câu 91: Ta có 1 z z = = 2 z z.z z 1− i (2−3i) z Do đó 1− i 2 − 3i 1 − + 2i 1 − + 2i 4 − + 3 + = + 2 ⇔ + = + 2 ⇔ = 2 i i i − i ⇒ z = = 2 z z z z z 2 − i 5
Suy ra z =1. Chọn D.
Câu 92: Giả thiết ( + i) 10 10 z =
− + i ⇔ z + i z + − i =
⇔ z + + ( z − ) 10 1 2 2 2 . 2 2 2 1 i = . z z z
Lấy môđun hai vế của (*), ta được ( z + )2 + ( z − )2 10 2 2 1 = ⇒ z =1. z Do đó: 4 2
z + z = 2 . Chọn B.
Câu 93: Ta có ( + i) 26 26 2 3 z =
+ 3− 2i ⇔ 2 z − 3+ 3i z + 2i = z z
⇔ ( z − ) + ( z + ) 26 2 3 3 2 i = (*) z
Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được ( z − )2 + ( z + )2 26 26 2 3 3 2 = = (*) z z 2 26  z =1 2 4 2 4 2 ⇔ 13 z +13 =
⇔ z + z − 2 = 0 ⇔ 
⇒ z =1⇒ z + z = 2 . Chọn B. 2 2 zz = 2 − 
Câu 94: Từ giả thiết, ta có ( − i) 4 10 z =
+ + i ⇔ ( − i) 4 10 1 3 3
1 3 z − 3− i = . z z 4 10
⇔ z − z i − − i =
⇔ z − − ( z + ) 4 10 3 3 3 3 1 i = (*) z z
Lấy môđun hai vế của (*), ta được ( ) ⇔ ( z − )2 + ( z + )2 4 10 * 3 3 1 = . z
Đặt t = z , ta có (t −3)2 + (3t + )2 4 10 2 1 = ⇔ t ( 2 10t +10) 4 2
= 160 ⇔ t + t =16 . t Vậy 4 2
z + z =16 . Chọn B.  3  z = a =  2 2 2 a + b =  4  Câu 95: Chọn 1 z =1 → . Gọi  4
z = a + bi ⇒  ⇔ . 2    2z − 3 = 4 1 2  (  2a − 3  ) 2 1 + 4b =16  55 b =  4 Vậy 3 55 11 55 z + 2z = + i + 2 = +
i = 11. Chọn B. 1 2 4 4 4 4  z =  1 2 2 a +b =1 a =1 Câu 96: Chọn 1 z =1 →
. Gọi z = a + bi ⇒  ⇔ . 2    z − 3 = 2 1 2  (  a − 3  ) 2 + b = 4 b  = 0 1
Vậy 2z + 3z = 2 + 3 = 5. Chọn D. 1 2 Câu 97: Chọn 1 1 1+ i z = i  → = = . Chọn A. 1− z 1− i 2 Câu 98: Ta có 2 2
z + z + z − z = 2( 2 2 z + z
⇒ z − z =1. Chọn A. 1 2 1 2 1 2 ) 1 2  z =  1 2 2 a +b =1 a =1 Câu 99: Chọn 1 z = 2  →
. Gọi z = a + bi ⇒  ⇔ . 2    z + 2 = 3 1 2  (  a + 2  ) 2 + b = 9 b  = 0 1 Vậy z =1
→ z z + z z =1.2 +1.2 = 4. Chọn D. 1 1 2 1 2 Câu 100: Ta có 2 2
z + z + z − z = 2( 2 2 z + z
⇒ z + z = 3 . Chọn A. 1 2 1 2 1 2 ) 1 2
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1