Chuyên đề trắc nghiệm cực trị số phức Toán 12

Chuyên đề trắc nghiệm cực trị số phức Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

CH ĐỀ 19: BÀI TOÁN CC TR S PHC
Dng 1: Cho s phc
z
tha mãn
zz zz
−=
12
. Tìm s phc tha mãn
zz
0
nh nht.
Phương pháp: Đt
M(z); A(z ); B(z )
12
các điểm biểu diễn s
phc
1
z; z
z
2
. Khi đó từ giả thiết
zz zz−=
12
suy ra
MA MB=
, tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
đưng trung
trc ca AB.
Gi
N(z )
0
là điểm biểu diễn s phc
Ta
MN z z=
0
nh nhất khi
min
MN
khi M hình chiếu
vuông góc của N trên d
min
MN d(N; )
=
Ví d 1: Cho s phc
z
tha mãn
4−−= +z i zi
. Gi
(; )z a bi a b=+∈
là s phc tha mãn
13−+zi
nh nhất. Giá trị của biểu thc
23= +T ab
là:
A.
4
B. 4 C. 0 D. 1
Lời giải
Đặt
( ); (4;1), B(0; 1)
Mz A
các điểm biểu diễn s phc
;4zi+
i
. Khi đó từ gi thiết suy ra
=MA MB
, tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đưng trung
trc ca AB đi qua
I(2; 0)
VTPT
( 4; 2) : 2 4 0= ⇒∆ + =n AB x y

Gi
(1; 3)N
là điểm biểu diễn s phc
13 i
Ta
13−+zi
nh nhất khi
min
MN
khi M hình chiếu vuông
góc ca N trên
, suy ra
:x 2y 1 0 +=MN
Giải hệ
( )
2 40 3
3; 2 3 2 2 3 0
2 70 2
+−= =

⇒= + =

−= =

xy x
M z i ab
xy y
. Chn C.
Ví d 2: Cho các s phc
z
tha mãn
22−=+ziz
. Gi
z
là s phc tha mãn
(2 ) 5−+iz
nh nht.
Khi đó :
A.
01<<z
B.
12<<z
C.
23
<<z
D.
3>z
Lời giải
Gọi
(x; y); (0; 2), B( 2;0)MA
là các điểm biểu diễn s phc
;2zi
2
.
T gi thiết
= ⇒∈
MA MB M
trung trc của AB có phương trình
:0 +=xy
Li có:
5
(2 ) 5 2 5 2
2
= + = + = ++
P iz iz z i
i
, gi
( 2; 1)−−N
điểm biểu diễn s phc
2−−i
suy ra
5=P MN
Ta P nh nhất khi
min
MN
khi M hình chiếu vuông góc của N trên
, suy ra phương trình
:x y 1 0−+=MN
Giải hệ
1
0
11 1 1 2
2
;
10 1
22 2 2 2
2
=
+=
−−

⇒= + =


+=

=
x
xy
M z iz
xy
y
. Chn A.
Dng 2: Cho s phc
z
tha mãn
zz R−=
0
. Tìm s phc tha mãn
P zz=
1
đạt giá tr ln nht,
nh nht.
Phương pháp: Đt
M(z); I(z );E(z )
01
các điểm biểu diễn s
phc
0
z; z
z
1
. Khi đó từ gi thiết
0
z z R MI R−= =
M
thuc đưng tròn tâm I bán kính R. Ta có:
P ME=
ln
nht
max
ME
và P nh nht
min
ME
. Khi đó:
max
P IE R M M= +⇔
2
min
P IE R M M= −⇔
1
(Đim E có thể nm trong hoặc ngoài đường tròn).
Ví d 1: Cho s phc
z
tha mãn
32 3−+ =iz i
. Tìm giá trị nh nht ca biểu thc:
1
= −−Pz i
A.
min
P = 3
B.
min
P 13 3=
C.
min
P = 2
D.
min
P = 10
Lời giải
Ta có:
3
32 3 2 3 23 3−+ = + = ++ =iz i i z z i
i
tp hợp đim M biểu diễn s phc
z
đường
tròn tâm
( 2; 3)
−−I
bán kính
3=R
Gi
E( ; )11
là điểm biểu diễn s phc
min
12+⇒ = = =i P ME P EI R
Ví d 2: Cho s phc
z
tha mãn
25+−=
zi
. Gi
1
z
2
z
ln t là 2 s phc làm cho biu thc
23= −−Pz i
đạt giá tr nh nht và ln nht. Tính
12
32= +Tz z
A.
T = 20
B.
T = 6
C.
T =
14
D.
T = 24
Lời giải
Ta có:
25+−= zi
tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
đường tròn tâm
( 2;1)
I
bán kính
5=R
. Gi
E(2; 3) P ME⇒=
Phương trình đường thng
: 2 40 +=
IE x y
Da vào hình v ta có
max
P IE R M M= +⇔
2
Giải hệ
2 min
22
1 min
2 40
( 4; 0) 3 5
( 2) ( 1) 5
(0; 2) P 5
+=
−⇒=
+ +− =
⇒=
xy
MP
xy
M
.
Do đó
12
3 2 3.2 2.4 14= + =+=Tz z
. Chn C.
Dng 3: Cho s phc
z
tha mãn
zz zz−=
12
. Tìm s phc tha mãn
P zz zz= +−
34
đạt giá
tr nh nht.
Phương pháp: Đt
M(z); A(z ); B(z ); H(z ); K(z )
12 3 4
các điểm biểu diễn s phc
z;z ;z ;z
123
z
4
. Khi
đó từ gi thiết
12
zz zz−=
suy ra
MA MB=
, tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đường trung trc
ca AB;
P z z z z MH MK
= +− = +
34
TH1: H, K nm khác phía so với đường thng
Ta có:
P MH MK HK
=+≥
Du bng xy ra
o
M M HK ( ) = ∩∆
Khi đó
min
P HK
=
TH2: H, K nm cùng phía so với đường thng
Gọi H’ là điểm đối xứng ca
Khi đó:
P MH MK MH ' MK H 'K=+=+≥
Du bng xy ra
o
M M H'K ( ) = ∩∆
Khi đó
min
P H'K=
Ví d 1: Cho s phc
z
tha mãn
12 32
−+ = + z iz i
. Gi
= +z a bi
(; )ab
sao cho
24 1= + +−Pz iz i
đạt giá tr nh nhất. Khi đó
+
ab
là:
A. 3 B. 5 C. 8 D. 4
Lời giải
Đặt
( ); (1; 2), B( 3; 2)−−Mz A
t gi thiết suy ra
=MA MB
nên M thuc đường thng trung trc ca AB
phương trình
: 10 +=xy
, gi
H(2; 4)
K( 1; 1)
là các đim
biểu diễn s phc
24+ i
1−+i
Ta có
P MH MK= +
và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thng
Gọi H’ là điểm đối xứng ca
: 10 +=xy
Ta có:
HH' : 6 0+−=xy
ta đ trung điểm ca HH là nghim h
phương trình
10
57
;
60
22
+=


+−=

xy
I
xy
Suy ra
H'(3; 3)
Li có:
P MH MK MH ' MK H 'K=+=+≥
Du bng xy ra
M H'K d
⇔=
. Phương trình đường thng HK là:
': 2 30 +=
HK x y
Suy ra
o
M H'K M ( ; ) z i= ∩∆ = +
0
12 1 2
. Khi đó
min
' 25= =P HK
. Chn A.
d 2: Cho s phc
z
tha mãn
24 2−+ = z i iz
. Gi
= +z a bi
(; )ab
sao cho
13= + ++P zi z i
đạt giá tr nh nht. Giá tr nh nhất đấy bng
A.
53
B.
37
C. 4 D.
41
Lời giải
Ta có:
2
24 2 24 2−+ = −+ = = +
z iiz z iiz zi
i
Gi
( ); (2; 4), B(0; 2)
−−
Mz A
t gi thiết suy ra
=MA MB
nên M thuc đưng thng trung trc ca AB
phương trình
: 40 −−=xy
, gi
H(0;1)
K( 1; 3)−−
các điểm biểu diễn s phc
i
13−−
i
Ta :
P MH MK= +
2 điểm H, K cùng phía so vi
đường thng
Gọi H’ là điểm đối xứng ca
: 50 −=xy
Ta :
HH' : 1 0+ −=xy
ta đ trung điểm ca HH’
nghiệm h phương trình
40
53
;
10
22
−−=

⇒−

+ −=

xy
I
xy
Suy ra
H'(5; 4)
Li có:
P MH MK MH ' MK H 'K 37=+=+≥ =
. Chn B.
Dng 4: Cho s phc
z
tha mãn
zz zz−=
12
. Tìm s phc tha mãn
22
34
P zz zz
= +−
đạt
giá tr nh nht.
Phương pháp: Đt
M(z); A(z ); B(z ); H(z ); K(z )
12 3 4
là các
điểm biểu diễn s phc
z;z ;z ;z
123
z
4
. Khi đó từ gi
thiết
zz zz ≡−
12
suy ra
MA MB
=
, tp hợp điểm biểu
diễn s phc
z
là đưng trung trc ca AB;
22
22
34
P z z z z MH MK= +− = +
Gọi I là trung điểm ca
222 2
2 22 2
2
24 2
+
= ⇒= + = +
MH MK HK HK
HK MI P MH MK MI
nh nhất khi
min
MI M
là hình chiếu vuông góc của I xung
.
d 1: Cho s phc
z
tha mãn
24 2+− = z izi
. Gi z s phc tho mãn biểu thc
22
4
= + −+P zi z i
đạt giá tr nh nht. Tính
2
z
.
A.
2
12
=z
B.
2
10
=z
C.
2
2=z
D.
2
5=
z
Lời giải
Gi
( ); ( 2; 4), B(0; 2)
Mz A
là các điểm biểu diễn s phc
;2 4−+zi
2i
Khi đó
24 2
+−=−⇔ =
z i z i MA MB M
thuc trung trc
ca AB có phương trình
: 40
−+=xy
Gọi
( ) ( )
2
22 2
0;1 , 4; 1 2
2
−⇒= + = +
HK
H K P MH MK MI
(với
( )
2; 0I
là trung điểm ca HK)
Do đó
min min
P ME
hay M là hình chiếu vuông góc của I xung
, khi đó
( )
2
2
: 2 0 1; 3 10+ = = ∩∆ = =IM x y M IM M z OM
. Chn B.
d 2:
Cho s phc
z
tha mãn
13 2−+ = + +z iz i
. Giá trị nh nht của biểu thc
22
24 2
= −+ + +Pz i z i
là:
A.
min
8=P
B.
min
9=P
C.
min
16
=P
D.
min
25=P
Lời giải
Gi
( ); (1; 3) , B( 1; 1)
−−Mz A
là các điểm biểu diễn s phc
;1 3zi+
1−−i
Khi đó
13 1−+ = ++ = z i z i MA MB M
thuc trung trc
của AB có phương trình
: 20
−−=xy
Gọi
( ) ( )
2
22 2
2; 4 , 0; 2 2
2
−⇒= + = +
HK
H K P MH MK MI
(với
( )
1; 3I
là trung điểm ca HK)
Do đó
min min
P ME
hay M hình chiếu vuông góc của I
xung
, khi đó
( )
2
2
min
2; 8
2
= ∆+ =


HK
P dI
. Chn A.
Dng 5: Cho s phc
z
tha mãn
0
zz R−=
. Tìm s phc tha mãn
22
12
P zz zz= +−
đạt giá tr
ln nht, nh nht.
Phương pháp: Đt
( )
1 20
M(z); A(z ); B(z ); I z
các điểm biểu diễn s
phc
12
z;z ;z
0
z
.
Khi đó từ gi thiết
0
z z R MI R M−= =
thuc đưng tròn tâm I
bán kính R.
Gi E là trung điểm ca AB ta có:
2
2
2
2
= +
AB
P ME
ln nht
max
ME
và P nh nht
min
ME
.
Khi đó
2
⇔≡
max
P MM
min 1
⇔≡P MM
.
Ví d 1: Cho s phc
z
tha mãn
12 2−+ =zi
. Gọi
( )
;=+∈z a bi a b
là s thc tha mãn biu thc
22
23 5= −− +
Pz i zi
đạt giá tr ln nht. Tính
= +T ab
A.
1=T
B.
3=T
C.
1= T
D.
3= T
Lời giải
Gi
( ) ( )
; 1; 2Mz I
khi đó
2= MI M
thuộc đường tròn tâm
( )
1; 2
I
bán kính
2=R
Đặt
( ) ( )
22
2;3 ; 0;5 ⇒= +A B P MA MB
Gọi
( )
1; 4H
là trung điểm ca AB ta có :
2
2
2
2
= +
AB
P MH
ln nht
max
MH
Do
max 2
+ ⇔≡MH MI IH MH M M
Ta có:
:1=IH x
Giải hệ
( ) ( )
( )
( )
1
22
2
1
1; 0
1; 4
1 24
=


++ =
x
M
M
xy
. Do đó
3+=ab
. Chn D.
Ví d 2: Cho s phc
z
tha mãn
13
3
2
−+=zi
. Gọi
( )
;=+∈z a bi a b
là s thc tha mãn biểu thc
22
23= −− + Pz i zi
đạt giá tr nh nht. Tính
= +
T ab
A.
5
2
=
T
B.
3
2
=T
C.
13
2
=T
D.
9
2
=
T
Lời giải
Gi
( ) ( )
; 3; 1
Mz I
khi đó
13
2
= MI M
thuc đưng tròn tâm
( )
3; 1I
bán kính
13
2
=R
Đặt
( ) ( )
22
2;1 ; 0;3 ⇒= +A B P MA MB
Gọi
( )
1; 2E
là trung điểm ca AB ta có :
2
2
2
2
= +
AB
P ME
nh nht
min
ME
Do
min 1
⇔≡ME MI IE ME M M
Ta có:
:3 2 7 0+ −=IE x y
. Giải hệ
(
)
( )
1
22
2
1
2;
3 2 70
2
13
31
5
4;
4
2

−=



++ =




M
xy
xy
M
. Do đó
5
2
+=ab
. Chn A.
Dng 6: Cho hai số phc
12
z ;z
tha mãn
10
zz R−=
21 2 2
ww−=zz
;
trong đó
0; 1 2
w ;wz
là các s phức đã biết. Tìm giá tr nh nht của biểu thc
12
z= Pz
Phương pháp: Đt
( )
12
M(z ); N z
lần lượt là các điểm biểu diễn
s phc
1
z
2
z
.
Đim M thuc đưng tròn tâm
(
)
0
Iz
bán kính
R
,
N
thuc trung
trc
ca AB với
(
)
( )
12
w; wAB
Li có:
min ( ; )
=⇒=
t
P MN P d R
Ví d 1: Cho s phc
1
z
tha mãn
22
21 −+ =z zi
và s phc
2
z
tha mãn
45−−=zi
. Tìm giá tr
nh nht ca
12
zz
A.
25
5
B.
5
C.
25
D.
35
5
Lời giải
Gi
(; )Mzy
là điểm biểu diễn s phc
1
z
. Khi đó
22
21 −+ =z zi
2 22 2
(x 2) ( 1) 1 4 2 2 ( ) : 2 1 0 + + = ⇔− =− + =y x y x y xy
Gi
N(a; b)
là điểm biểu diễn s phc
2
z
. Khi đó
22
4 5 ( 4) ( 1) 5−−= + =
zi a b
Hay tp hợp điểm N trong mt phng Oxy là đường tròn
22
( ) : (x 4) (y 1) 5 +− =C
Ta có
( )
() ( )
8
;( ) 5
5
∆= > =
cC
dI R
( )
⇒∆
không cắt đường tròn
( )
C
.
Li có
12
=−⇒MN z z
da vào hình v ta thy
( )
( )
( )
( )
min
; = ∆−
CC
MN MN d I R
Hay
12
min
85 35
5
55
= −=zz
. Chn D.
Bài toán th hi thêm tìm s phc
1
z
hoc
để
12
min
zz
thì ta ch cần viết phương trình đường
thng
( )
⊥∆MN
sau đó tìm giao điểm
(
)
( )
=∆∩
=
M MN
N C MN
.
Ví d 2: Cho hai s phc
12
;
zz
tha mãn
1
55+=z
22
13 36
+− =
z iz i
. Tìm giá tr nh nht ca
biểu thc
12
= Pzz
A.
min
5
2
=
P
B.
min
15
2
=P
C.
min
3=P
D.
min
10=
P
Li giải
Gi
( ) ( )
12
;Mz Nz
lần lượt là các điểm biểu diễn các s phc
1
z
2
z
.
Đim M thuộc đường thng tròn tâm
( )
5; 0I
bán kính
5=R
.
Đim N thuc đưng thng trung trc
ca AB với
( ) ( )
35
1; 3 ; B 3; 6 : 4 3 0
2
⇒∆ + =A xy
Li có:
(
)
;
5
2
= = −=
min
I
P MN P d R
. Chn A.
Dng 7: Cho hai s phc
12
z ;z
tha mãn
11 1
zw R−=
21 2
w−=
zR
trong đó
12
w ;w
là các s
phức đã biết. Tìm giá tr ln nht, nh nht của biểu thc
12
= Pzz
.
Phương pháp: Đặt
( )
12
M(z ); N z
lần lượt là các điểm biểu diễn s phc
1
z
2
z
.
Đim M thuc đưng tròn tâm
( )
1
C
tâm
( )
1
wI
bán kính
1
R
và
N
thuc đưng tròn
( )
2
C
tâm
(
)
2
wK
bán kính
2
⇒=R P MN
. Da vào các v trí tương đối của 2 đường tròn để tìm
min
;
max
MN MN
dụ 1: Cho hai số phức
;w
z
thỏa mãn
.1=zz
w34 2−+ =i
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
w= Pz
A.
5=
max
P
B.
max
8=P
C.
max
10=P
D.
max
52= +P
Lời giải
Ta có:
.1 1=⇔=zz z
Gi
( ) ( )
;wMz N
lần lượt là các điểm biểu diễn các s phc
z
w
.
Đim M thuc đưng tròn tâm
( )
1
C
tâm
( )
0; 0O
bán kính
1
1
=
R
N
thuc đưng tròn
( )
2
C
tâm
(3; 4)K
bán kính
2
2
=⇒=
R P MN
.
D thy
12
5=>+OK R R
nên
( )
1
C
( )
2
C
nằm ngoài nhau suy ra
12
8= ++ =
max
MN OK R R
. Chn B.
Ví d 2: tham kho B GD & ĐT 2018] Xét các s phc
( )
,b=+∈z a bi a
tha mãn điều kiện
43 5−− =zi
. Tính
= +
P ab
khi giá trị biểu thc
13 1+ + −+z iz i
đạt giá tr ln nht
A.
10=P
B.
4
=
P
C.
6=P
D.
8
=P
Lời giải
Gọi
( )
;M xy
là điểm biểu diễn s phc
z
T gi thiết, ta
( )
(
)
22
43 5 4 3 5=−+−=zi x y M
thuc đưng tn
( )
C
tâm
( )
4;3I
, bán
kính
5=R
. Khi đó
= +P MA MB
, với
( ) ( )
1; 3 , 1; 1−−AB
.
Ta có
(
)
222 22
2. 2 .
=++ +P MA MB MA MB MA MB
Gọi
(
)
0;1
E
là trung điểm
222
2
24
+
⇒=
MA MB AB
AB ME
.
Do đó
2 22
4.≤+
P ME AB
35
≤=ME CE
suy ra
( ) ( )
22
2
4. 3 5 2 5 200 +=P
.
Với C là giao điểm ca đưng thng EI với đường tròn
( )
C
.
Vậy
10 2P
. Du
""=
xy ra
( )
6; 4 10
=
+=
MA MB
M ab
MC
. Chn A.
Ví d 3: tham kho B GD & ĐT 2017] Xét các s phc
z
thỏa mãn điều kiện:
2 4 7 62+−+ =z iz i
. Gi M, m ln t giá tr ln nht giá tr nh nht ca
1−+zi
. Tính
= +
PMm
A.
13 73= +P
B.
52 273
2
+
=P
C.
5 2 73
= +P
D.
5 2 73
2
+
=P
Lời giải
Đặt
( )
,=+∈z x yi x y
và gi
( ) ( ) ( )
; , 2;1 , 4; 7M xy A B
suy ra
62=AB
.
Ta có
(
) ( )
6; 6 1; 1= ⇒=

AB n
phương trình đường thng
AB
30+=xy
.
T gi thiết, ta có
62+= +=MA MB MA MB AB
suy ra M thuc đoạn thng AB.
Gọi
(
)
(
) (
)
min
22
max
max
1
1; 1 1 1 1
1
−+ =
−+ = + + =
−+ =
min
z i MN
N z i x y MN
z i MN
.
Độ dài đoạn thng MN nh nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu ca N trên AB.
Hay
( )
( )
( )
( )
min
2
2
1 13
52 52
;
22
11
−− +
= = = →=
+−
MN d N AB m
Độ dài đoạn thng MN ln nhất khi và chỉ khi
MA
hoc
MB
.
Ta có
13
73 73.
73
≡→ = =
= →=
≡→ = =
max
M A MN AN
MN M
M B MN BN
Vậy giá tr biểu thc
52 273
2
+
= +=
PMm
. Chn B.
Ví d 4: Xét các s phc
z
thỏa mãn điều kiện:
1 7 4 35−−+ =z iz i
. Gi M, m lần lượt là giá tr ln
nhất và giá trị nh nht ca
52−+
zi
. Tính
= +PMm
A.
5 10= +P
B.
2 5 10
2
+
=
P
C.
( )
2 5 10= +P
D.
5 2 10
2
+
=P
Lời giải
Đặt
( )
,
=+∈z x yi x y
và gi
(
) (
)
( )
; , 1;1 , 7; 4
M xy A B
suy ra
35=AB
.
Ta có
( ) (
)
()
6; 3 1; 2
AB
AB n= = −⇒

phương trình đường
thng AB
2 10 +=xy
.
T gi thiết, ta có
35+= +=
MA MB MA MB AB
suy ra M thuc đoạn thng AB.
Gọi
( )
min
max
52
5; 2 5 2
52
−+ =
−+ =
−+ =
min
max
z i MN
N z i MN
z i MN
.
Độ dài đoạn thng MN nh nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu ca N trên AB.
Hay
( )
( )
( )
( )
min
2
2
52 2 1
; 25 25
12
−+
= = = →=
+−
MN d N AB m
Độ dài đoạn thng MN ln nhất khi và chỉ khi
MA
hoc
MB
.
Ta có
5
2 10 2 10.
2 10
≡→ = =
= →=
≡→ = =
max
M A MN AN
MN M
M B MN BN
Vậy giá tr biểu thc
( )
2 5 10 .= += +PMm
Chn C.
Ví d 5: Biết s phc
z
tha mãn đng thời hai điều kiện
34 5−− =zi
và biểu thc
22
2
=+ −−
M z zi
đạt giá tr ln nhất. Tính môđun ca s phc
+zi
.
A.
z i 2 41+=
B.
z i 35+=
C.
z i 52+=
D.
z i 41+=
Lời giải
Gi
( )
,=+∈z x yi x y
Ta :
( ) (
)
22
34 5 3 4 5−− = + =zi x y
tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
ng tròn
( )
C
tâm
(
)
3; 4I
5
=R
.
Mt khác:
( )
( )
( )
22
22
22
2 2 1 423

=+ −− = + + + = + +

M z zi x y x y x y
:4 2 3 0 + +− =dx y M
Do s phc
z
thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d
( )
C
có điểm chung
( )
23
; R 5 23 10 13 33
25
≤⇔
M
d Id M M
(
) ( )
22
4 2 30 0
5
33 5 4 41
5
3 45
max
xy
x
M zi i zi
y
xy
+−=
=
= += + =

=
+− =
. Chn D.
Ví d 6: Cho hai số phc
1
z
2
z
tha mãn
12
86+=+zz i
12
2−=zz
. Tìm giá tr ln nht ca
12
?= +
Pz z
A.
P 46=
B.
P 5 35= +
C.
P 2 26=
D.
P 34 3 2= +
Lời giải
Đặt
( ) ( )
12
A;z Bz
theo giả thiết ta có:
(8; 6); 2;+= = =+
 
 
OA OB OA OB P OA OB
( )
( )
( )
( )
22
2
22 2
104 2 104 2 26=++−= +≥+==
   
OA OB OA OB OA OB OA OB P P
. Chn C.
Ví d 7: thi th chuyên Đi học Vinh 2018] Gi s
12
,zz
là hai trong các s phc
z
tha mãn
21+ −=
iz i
12
2−=zz
. Giá trị ln nht ca
12
+zz
bng
A. 3 B.
23
C.
32
D. 4
Lời giải
Ta có:
( )
21 21+ −= + + −=iz i i x yi i
(với
( )
;
=+∈z x yi x y
)
(
)
( )
( )
2
2
1 2 1 x;⇔− +− =x y My
biểu diễn
z
thuộc đường tròn tâm
( )
1; 2I
bán kính
1=R
.
Gi s
( ) ( )
12
A;z Bz
do
12
2 22−= ==z z AB R
nên
AB
là đường kính của đường tròn
( )
;IR
Li có:
12
+=+z z OA OB
Mt khác theo công thc trung tuyến ta có:
22 2
2 22
8
24
+
= ⇒+=
OA OB AB
OI OA OB
Theo BĐT Bunhiascopky ta có:
( )
( )
2
22
24+ + ⇒+OA OB OA OB OA OB
. Chn D.
Ví d 8: Cho
12
,zz
là hai trong các s phc
z
tha mãn điều kiện
53 5−− =zi
12
8
−=zz
. Giá tr nh
nht của biểu thc
12
+
zz
là:
A.
6 34
B.
2 34 6
C.
2 34 6+
D.
34 6+
Lời giải
Gi s
12
w = +zz
Đặt
11
22
w 53
w 53
= −−
= −−
zi
zi
suy ra
1212 12
w w 10 6 w 10 6 w w w 10 6+ =+−−=−− + = −−zz i i i
12
1 2 12
ww5
ww 8zz
= =
=−=
(
)
2 2 22 2
12 12 1 2 12
w w w w 2 w w w w 36.+ +− = + + =
Vậy
12
w 10 6 w w 36 6 w
−−= + = =i
thuộc đường tròn tâm
( )
10; 6I
, bán kính
6
=R
.
Cách 2: Gi
( ) ( )
12
A;z Bz
biểu diễn s phc
12
;zz
Ta có: tập hp
z
là đường tròn tâm
(
)
5; 3I
bán kính
5, 8= =R AB
Gọi H là trung điểm ca
( )
12
w 21⇒=+= + =
  
AB z z OA OB OH
Mt khác
22
3
= −=IH IA HA
tp hợp điểm H là đường tròn
( ) ( ) ( )
22
5 39 +− =xy C
.
Gi s
( ) (
)
( ) ( ) ( )
22
22
w ; , 1 ; 5 3 9 10 6 36.
22 2 2

+ = +− =


ab a b
ab H C a b
Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm
( )
10; 6I
, bán kính
6=R
.
Ta có:
min
w 2 34 6.= −=
OI R
Chn B.
Ví d 9: Cho
12
,zz
hai nghiệm của phương trình
63 2 69 + = −−i iz z i
, tha mãn điều kiện
12
8
5
−=zz
. Giá trị ln nht ca
12
+zz
A.
31
5
B.
56
5
C.
42
D.
5
Lời giải
Đặt
( )
;=+∈z x yi x y
suy ra
( ) ( )
( )
63 63 6 3
2 69 2 2 69 2 6 2 9
−+=−+ + =+
−− = + −− = −+
iiz iix yi y x i
z ixyi ix y i
Khi đó, giả thiết
( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
) ( )
22 2 2 22
3 6 26 29 3 4 1xy x y xy C⇔− +− = + +− =
.
Tp hp
z
là đường tròn tâm
(
)
3; 4I
bán kính
8
1,
5
= =R AB
Đặt
12
w = +
zz
gọi H là trung điểm ca
( )
12
w 21⇒=+= + =
  
AB z z OA OB OH
Mt khác
22
3
5
= −=IH IA HA
tp hợp điểm H là đường tròn
( )
( )
(
)
22
9
34
25
xy C +− =
.
Gi s
(
) (
) ( ) (
)
( )
22
22
9 36
w ; ,1 ; 3 4 6 8 .
2 2 2 2 25 25

+ = +− =


ab a b
ab H C a b
Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm
( )
6;8I
, bán kính
6
5
=R
.
Ta có:
6 56
w 10 .
55
= += +=
max
OI R
Chn B.
Ví d 10: thi th chuyên Đi học Vinh 2018] Cho s phc
z
tha mãn
z
không phi s thc và
2
w
2
=
+
z
z
là s thực. Giá trị ln nht của biểu thc
1
= +−Mz i
A.
2
B.
22
C.
2
D. 8
Lời giải
Ta có
( )
2
22
ww 1
22
2
= ⇒= =
++
+
z zz
zz
z
. Vì w là số thc nên
( )
w w2=
.
T (1), (2) suy ra
(
)
( )
( ) ( )
2
2
2
2
w 2 22 .
2
2
= = += +⇔ =
+
+
zz
z z z z zz zzzz
z
z
( )
( )
22
20 2 2
⇔− −= ==zz z z z
(vì
z
không là s thc nên
0−≠zz
).
Đặt
w 1 w1= + = −+z iz i
nên
22
w 1 2 w 2 1 1 22
−+ = = + + =
max
i
. Chn B.
Cách 2: Ta có w là s thc nên
12
w
= +z
z
là s thc.
Đặt
( )
22
2
1
w
=+ =++
+
a bi
z a bi a bi
ab
là s thc khi
( )
22
22
0/
2
0
22
=
−=
+
+=⇒=
b kot mycbt
b
b
ab
ab z
Tp hợp điểm biểu diễn z là đường tròn
(
)
0; 0 ; 2
=OR
Đặt
( ) ( )
; 1;1 2 2 = +=
max
M z A MA AO R
. Chn B.
Ví d 11: Cho s phc
z
tha mãn
1=z
. Gi
M
m
lần lượt giá tr ln nht giá tr nh nht ca
biểu thc
2
11= ++ −+Pz z z
. Tính giá trị ca M.m
A.
13 3
4
B.
39
4
C.
33
D.
13
4
Lời giải
Gi
( )
;;=+ ∈∈z x yi x y
. Ta có:
1 .1=⇔=z zz
.
Đặt
1,
= +tz
ta có
[
]
0 1 1 1 2 0; 2= + += ⇒∈zzz t
.
Ta có
( )
( )
2
2
2
1 1 1 . 22
2
= + + =+ ++=+ =
t
t z z zzzz x x
Suy ra
( )
2
22 2
1 . 1 21 21 3−+= −+ = + = = = zz zzzzzz z x x t
t hàm s
( )
[ ]
2
3 , 0; 2=+− ft t t t
. Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
( )
( )
13 13 3
max ;min 3 . .
44
= =⇒=ft ft Mn
Chn A.
Ví d 12:
Cho s phc z tha mãn
1=
z
. Tìm giá trị ln nht của biểu thc
12 1= ++
Tz z
A.
MaxT=2 5
B.
MaxT=2 10
C.
MaxT=3 5
D.
MaxT=3 2
Lời giải
( )
( ) ( )
22 2
2
1 2 1 1 2 1 1 5.2 1 2 5= ++ + + + = + =Tz z z z z
(BĐT Cauchy-Swart)
Chú ý:
( )
22 2
22
1 1 2 2 22 1+ + = + += +z z xy z
vi
= +z x yi
Cách 2: Đặt
= +
z x yi
. Ta có :
22 22
1 2 1 ( 1) 2 ( 1)=+++ = +++ −+
T x yi x yi x y x y
Li có
( )
22
1 22222+ = = ++ +=x y T x x fx
Ta có:
( )
12 6
' 0 25
10
2 2 22
= =⇔= =
+−
max
fx x T
xx
. Chn A.
Ví d 13:
Cho s phc z tha mãn
4 4 10−++=
zz
. Giá tr ln nht giá tr nh nht ca
lần lượt
:
A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 D. 5 và 3
Lời giải
Đặt
( )
; ; (; )=+ ∈⇒z x yi xy Mxy
biểu diễn
z
Ta có:
4 4 10 4 4 10−++= + −++ +=z z z yi x yi
Gi
1 2 12
F ( 4;0); F (4; 0) MF MF 10 ⇒+=
Khi đó điểm biểu diễn
z
là Elip có trục ln
12
2 10 5; 2 8= ⇒= = =a a FF c
22
43⇒=⇒= =c b ac
. Do đó
3 53 5 ≤⇒≤
OM z
. Chn D.
BÀI TP T LUYN
Câu 1: Trong mt phng ta đ, hãy tìm s phc
z
môđun nhỏ nht, biết rng s phc
z
tha mãn điu
kin
24 5−− =zi
A.
12=−−zi
B.
12= zi
C.
12= +zi
D.
12=−+zi
Câu 2: Cho s phc
z
tha mãn
34 4−+ =zi
. Tìm giá tr ln nht ca biểu thức
=Pz
A.
9
=
max
P
B.
5
=
max
P
C.
12=
max
P
D.
3=
max
P
Câu 3: Cho s phc
z
tha mãn
22 1−+ =zi
. Tìm giá tr ln nht ca
z
A.
42 2
B.
22 1+
C.
22+
D.
32 1+
Câu 4: Trong các s phc
z
tha mãn
34 2++ =zi
.Gi
0
z
là s phc của môđun nhỏ nhất. Tìm môđun của
s phc
A.
4=
o
z
B.
2
=
o
z
C.
7=
o
z
D.
3=
o
z
Câu 5: Cho s phc
z
tha mãn
23 1−− =zi
. Tìm giá tr ln nht ca
1= ++Pz i
A.
13 2
+
B.
4
C. 3 D.
13 1+
Câu 6: Cho s phc
z
thỏa mãn điều kiện
32−=zz
12 2−+ = +max z i a b
. Tính
+ab
A. 4 B.
42
C. 3 D.
4
3
Câu 7: Cho s phc
z
2=z
thì s phc
3wz i= +
có môđun nhỏ nht và ln nht lần lượt là bao nhiêu?
A. 2 và 5 B. 1 và 6 C. 2 và 6 D. 1 và 5
Câu 8: Trong tt c các s phc có dng
3 ( 2)= −− zm m i
vi
m
, hãy tìm s phc
z
môđun nhỏ
nht ?
A.
11
22
= zi
B.
11
22
=−+zi
C.
11
22
=−−zi
D.
11
22
= +zi
Câu 9: Cho s phc
( 1) ( 2) ,= −+ z m m im
. Tìm giá tr ca m đ môđun của s phc
z
có giá tr ln
nht
5
A.
30−≤ m
B.
03≤≤m
C.
3
0
≤−
m
m
D.
6
2
≤−
m
m
Câu 10: Cho s phc
( 3) ,=+−
z m m im
. Tìm m để
z
đạt giá tr nh nht?
A.
0=
m
B.
3=m
C.
3
2
=
m
D.
3
2
=
m
Câu 11: Cho s phc
z
tha mãn
23−− = z i zi
. Gi
(; )=+∈z a bi a b
là s phc tha mãn
22++zi
nh nht. Giá tr ca biểu thức
3+ab
là:
A. 4 B. 3 C. 6 D. 0
Câu 12: Biết s phc
(, )
=+∈z a bi a b
tha mãn điều kiện
24 2−− = z izi
môđun nhỏ nht ca.
Tính
22
= +
Ma b
A.
8=
M
B.
10=M
C.
16=M
D.
26=M
Câu 13: Cho s phc
z
điểm biểu diễn nằm trên đường thng
3 4 30 −=xy
. Tìm giá tr nh nht ca
z
A.
1
5
B.
3
5
C.
4
5
D.
2
5
Câu 14: Xét s phc
,( , )=+∈z a bi a b
tha mãn
24 2−− = z izi
. Tìm giá tr nh nht ca
z
A. 4 B.
22
C. 10 D. 8
Câu 15: Cho s phc
z
tha mãn
12−+ = z iz i
. Gi
,( , )=+∈z a bi a b
là s phc tha mãn
zi
nh nht. Giá tr ca biểu thức
+ab
là:
A.
7
10
B.
9
10
C.
3
10
D.
7
10
Câu 16: Cho các s phc
,z
ω
tha mãn
22 4
+− = z izi
. Gi
,( , )=+∈z a bi a b
là s phc tha mãn
1+
iz
nh nht. Tính giá tr ca biểu thức
22
+ab
A. 4 B.
5
2
C. 5 D. 2
Câu 17: Cho s phc
z
tha mãn
1+= +z zi
. Tìm giá tr nh nht ca
12−−
zi
A.
1
3
B.
3
C.
1
2
D.
2
Câu 18: Cho s phc
(x, y )=+∈z x yi
tha mãn
1−= +z zi
. Biết
2zi
nh nht, tính
2= +Sx y
A.
2=S
B.
3=S
C.
1=S
D.
4=S
Câu 19: Xét các s phc
,( , )=+∈z a bi a b
tha mãn
12−+ = z i zi
. Tính
2
2=
P ab
khi
z
đạt giá
tr nh nht
A.
1
25
=P
B.
19
25
=P
C.
4
25
= P
D.
14
25
=P
Câu 20: Cho các s phc
,z
ω
tha mãn
22 4+− = z izi
1w iz= +
. Tính giá tr nh nht ca
w
A.
min
2w
=
B.
min
2
2
w =
C.
min
22w =
D.
min
32
2
w =
Câu 21: Cho s phc
z
tha mãn
2
2 5 ( 1 2 )( 3 1) + = −+ + z z z iz i
. Tính
min w
, biết
22wz i=−+
A.
3
min
2
w =
B.
min 2w =
C.
min 1w =
D.
1
min
2
w =
Câu 22: Cho s phc
z
tha mãn
32
−=
zz
12 2−+ = +max z i a b
. Tính
+ab
A. 4 B.
42
C. 3 D.
4
3
Câu 23: Cho s phc
z
tha mãn
z
không phi s thc và
2
2
z
w
z
=
+
là s thc. Biểu thc
1+−zi
đạt giá
tr ln nht khi
,( , )=+∈z a bi a b
. Tính
2
2= Pa b
A.
2
B.
1
C.
3
D.
5
Câu 24: Cho s phc
z
tha mãn
11−+ = +−zizi
. Gi
,( , )
=+∈
z a bi a b
sao cho
15 2
= −− + + +Pz iz i
đạt giá tr nh nhất. Khi đó
+
ab
bng
A.
6
5
B.
6
5
C.
3
5
D.
3
5
Câu 25: Cho s phc
z
tha mãn
23−+= z izi
. Gi
,( , )=+∈z a bi a b
sao cho
2
= −+ P zi z
đạt
giá tr nh nhất. Khi đó
2 ab
bng
A.
1
5
B.
7
5
C.
1
5
D.
3
5
Câu 26: Cho s phc
z
tha mãn
12 1−− = +z iz
. Gi
,( , )=+∈z a bi a b
là s phc tha mãn biểu thức
22
12= −+ +
P z i zi
đạt giá tr nh nht. Tng
+ab
A.
0+=
ab
B.
1
+=ab
C.
2+=ab
D.
3+=ab
Câu 27: Cho s phc
z
tha mãn
31 = ++z iz i
. Gi
,( , )=+∈z a bi a b
là s phc tha mãn biu
thc
22
12= −− + + +
Pz i z i
đạt giá tr nh nht. Tng
+
ab
A.
13
10
+=ab
B.
1
10
+=ab
C.
1+=
ab
D.
2+=ab
Câu 28: Cho s phc
z
tha mãn
12 5−+ =
zi
1= ++zi
ω
môđun lớn nht. Tính môđun của s
phc
z
A.
25=z
B.
32=z
C.
6=z
D.
52=z
Câu 29: Cho s phc
z
tha mãn
1=z
. Tìm giá tr ln nht ca
12 1= ++ Tz z
A.
max 2 5=T
B.
max 2 10=T
C.
max 3 5
=T
D.
max 3 2=
T
Câu 30: Cho s phc
z
tha mãn
2
2 5 ( 1 2 )( 3 1) + = −+ + z z z iz i
. Tính
min
ω
, vi
22=−=zi
ω
A.
3
min
2
=
ω
B.
min 2=
ω
C.
min 1=
ω
D.
1
min
2
=
ω
Câu 31: Cho s phc
z
tha mãn
2
1−=
zi
. Tìm giá tr ln nht ca
z
A.
5
B. 2 C.
22
D.
2
Câu 32: Cho s phc
z
tha mãn
22
4
11
+ ++ =
−−
iz iz
ii
. Gi M, m lần lượt là giá tr ln nht và nh nht
z
. Tính Mm.
A.
2Mm =
B.
1
Mm =
C.
22Mm =
D.
23Mm =
Câu 33: Cho s phc
z
tha mãn
2
2
zi
z
là s o. Tìm giá tr ln nht ca
1= −+ P z zi
A.
52
B.
32
C.
25
D.
35
Câu 34: Gi S là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s m để tn ti duy nht s phc
z
tha mãn
.1=
zz
3 +=z im
. Tìm s phn t ca S.
A. 2 B. 4 C. 1 D. 3
Câu 35: Biết rng tn ti hai s phc
z
tha mãn
21 3+= ++z zz
8
z
đạt giá tr nh nht. Tính tng
hai phn thc ca hai s phức đó.
A. 7 B. 0 C. 14 D. 8
Câu 36: Cho s phc
(x, y )=+∈z x yi
thay đi tha mãn
1=z
. Hãy tính tng giá tr ln nht và giá tr
nh nht ca biểu thức
= Pxy
A. 0 B. 12 C.
5
D.
25
Câu 37: Cho s phc
z
tha mãn
1=z
. Tìm giá tr ln nht ca biểu thức
22 2=++ Tz z
A.
25
B.
2 10
C.
35
D.
52
LI GII BÀI TP T LUYN
Câu 1: Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
là đường tròn
()C
tâm
(2; 4)I
bán kính
5
=
R
Ta có:
=z OM
, mt khác
OM
đạt giá tr ln nht và nh nhất khi
()
=
M OI C
Phương trình đường thng
:2=OI y x
, phương trình đường tròn
22
( ) : (x 2) (y 4) 5 +− =C
Giải hệ phương trình:
22 22
22
( 2) ( 4) 5 ( 2) ( 4) 5
= =


+− = +− =

yx yx
xy xy
1
2
5
12
36
35
=
=⇒=
⇔⇒
=⇒=
=
OM
xy
xy
OM
suy ra
1
12= +zi
là s phc thỏa mãn điều kiện
24 5−− =zi
Và có môđun nhỏ nht,
2
36= +zi
là s phức có môđun lớn nht. Chn C.
Câu 2: Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
là đường tròn
()C
tâm
(3; 4)I
bán kính
4
=R
Ta có:
=z OM
, khi đó
549= = + =+=
max max
P OM OI R
. Chn A.
Câu 3: Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
là đường tròn
()
C
tâm
(2; 2)
I
bán kính
1=
R
Ta có:
=z OM
, khi đó
22 1= = += +
max
max
z OM OI R
. Chn B.
Câu 4: Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
là đường tròn
()C
tâm
( 3; 4)−−I
bán kính
2=R
Ta có:
=z OM
, khi đó
min
min
52 2= = =−=z OM OI R
. Chn D.
Câu 5: Đặt
= +
z x yi
(x, y )
, ta có :
22
2 3 1 ( 2) ( 3) 1zi x y=−+−=
Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
là đường tròn
()C
tâm
(2; 3)I
bán kính
1=R
Li có:
2 2 22
1 ( 1) (1 ) ( 1) (y 1)=++= ++ = ++P x yi i x y x
Gi
( 1; 1) 13 1 = = += +
max
K P MK P IK R
. Chn D.
Câu 6: Đặt
= +z x yi
(x, y )
, ta có :
32 32−= + −= +
z z x yi x yi
22 22 2 2 22
(3) 4( )3 3 690 230 + = + + + = + + −=x y xy x y x xy x
22
( 1) 4⇔+ +=xy
Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
là đường tròn tâm
( 1; 0 )I
bán kính
2=R
Gọi
2
(1; 2) 1 2 2 2 2 4
2
max
a
K z i MK MK IK R a b
b
=
−= = = + = + + =
=
.
Chn A.
Câu 7: Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
là đường tròn tâm
(0; 0)O
bán kính
2=R
Gi
(0; 3) 3K w z i MK−⇒ =+ =
Ta có:
min
5; 1= += = =
max
MK OI R MK OK R
. Chn D.
Câu 8:
2
2
2 22
5 11
( 3) ( 2) 2 10 13 2
2 22

= + = + = +≥


zm m m m m
Do đó
min
1 5 11
2 22
2
= = ⇒=z mz i
. Chn C.
Câu 9:
2
2 22 2
(1)( 2)2 6 552 6 00 3
= + = +≤ z m m mm mm m
. Chn B.
Câu 10:
2
2
2 22
3 99
( 3) 2 6 9 2
2 22

= + = += +


zmm m m m
Do đó
min
33
2
2
= ⇔=zm
. Chn C.
Câu 11: Đặt
( ); (2; 3), B(0;1)Mz A
là các điểm biểu diễn s phc
;2 3+zi
i
. Khi đó t gi thiết suy ra
=
MA MB
, tp hợp điểm biểu diễn s
phc
z
là đưng trung trc ca AB đi qua
I(1; 2 )
có VTCP là
(1; 1) : 3 0
+−=n dx y
Gi
( 2; 2)−−N
là điểm biểu diễn s phc
22−−i
Ta có
22++
zi
nh nht khi
min
MN
khi M hình chiếu vuông góc ca
N trên d, suy ra
:x y 0
−=MN
Giải hệ
3
0
33 3 3
2
; 36
30 3
22 2
2
=
−=
+

= ⇒+ =


+−=

=
x
xy
i
M z ab
xy
y
. Chn C.
Câu 12: Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
trung trc ca AB vi
(2; 4), B(0; 2)A
Trung điểm ca AB là
1
(1; 3); (1; 1) : 4 0
2
=− = ⇒∆ + =I n AB x y

Mt khác
=z OM
nh nhất khi M là hình chiếu vuông góc ca O xung
Khi đó
2
: 0 (2; 2) 8
2
=
= = ∩∆= =
=
o
a
OM x y M OM M
b
. Chn A.
Câu 13: Ta có
=z OM
nh nhất khi M là hình chiếu vuông góc ca O xung
:3 4 3 0 −=xy
Khi đó
min
min
22
33
(O; )
5
34
= = ∆= =
+
z OM d
. Chn B.
Câu 14: Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
trung trc ca AB vi
(2; 4), B(0; 2)A
Trung điểm ca AB
1
(1; 3); (1; 1) : 4 0
2
=− = ⇒∆ + =I n AB x y

Mt khác
=z OM
nh nhất khi M là hình chiếu vuông góc ca O xung
Khi đó
min
4
(;) 22
2
= ∆= =OM d O
. Chn B.
Câu 15: Đặt
( ); (1; 1), B( 2;1)
Mz A
các điểm biểu diễn s phc
;1 iz
2
+ i
. Khi đó từ gi thiết suy ra
=MA MB
, tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đưng trung trc ca AB
đi qua
3
I ;0
2



và có VTCP
3
(1; 2) : 2 0
2
+ −=n dx y
Gi
(0;1)
N
là điểm biểu diễn s phc
i
Ta có
zi
nh nhất khi
min
MN
khi M hình chiếu vuông góc ca N trên
d, suy ra
:2x y 1 0−+=MN
Giải hệ
1
3
20
14 1 4 7
10
;
2
4
10 5 10 5 10
2 10
5
=
+ −=
−−


= + +=




+=
=
x
xy
i
M z ab
xy
y
. Chn D.
Câu 16: Gi
I(x; y); M( 2; 2), N(0; 4)
là điểm biểu diễn các s phc
; 2 2 ;4
−+z ii
T gi thiết
= ⇒∈IM IN I
trung trc ca MN là
: 20+−=dx y
Khi đó
22
1 1 1 ( 1)+=+ +⇒ + = + =iz y xi iz x y NM
vi
(0;1)N
Ta có
1+iz
nh nhất khi
min
MN
khi M là hình chiếu vuông góc ca N trên d, suy ra
:x y 1 0
−+=MN
Giải hệ
22
1
20
13 1 3 5
2
;
10 3
22 2 2 2
2
=
+−=

⇒=+ + =


+=

=
x
xy
M z i ab
xy
y
. Chn B
Câu 17: Gi
= +
z x yi
(x, y )
222 2
1 ( 1)
( 1) ( 1) 0
++ = + +
+ + = + + ⇔−=
x yi x y i
x y x y xy
()
Mz
có quỹ tích là đường thng
:x y 0−=d
Vi
' 1 2 ( ') (1; 2)=+⇒ =z i Nz
Ta có
min
min
⇔⊥z NM NM d
min
1
(;)
2
⇒= =z dNd
. Chn C.
u 18: Gi
= +z x yi
(x, y )
222 2
1 ( 1)
( 1) ( 1) 0
−+ = + +
−+=+++=
x yi x y i
x y x y xy
() Mz
có quỹ tích là đường thng
:x y 0+=d
Vi
' 2 ( ') (0; 2)=⇒=z i Nz
Ta có
min
min
:0 −+=z NM NM d MN x y k
Mà MN qua
(0; 2) k 2 MN : x y 2 0 = −+ =N
Ta đ M là nghiệm ca h
20 1
( 1; 1) 1
01
−+= =

⇒=

+= =

xy x
MS
xy y
. Chn C.
Câu 19: Đặt
() (;)=M z M ab
(1; 2), B(0;1) MA MB ⇒=A
Suy ra tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đường thng trung trc ca AB
( ): 3 2 0 −=
dx y
Gọi H là hình chiếu ca O trên (d)
Phương trình đường thng
:3 0+=OH x y
Ta có
= z OM OH
. Du bằng xay ra khi và chỉ khi
()≡⇒ =
M H M d OH
Khi đó, tọa đ điểm M là nghiệm ca h
1
3 20
5
30 3
5
=
−=

+=
=
a
ab
ab
b
. Vy
1
25
=P
. Chn A.
Câu 20: Đặt
() (;)
=M z M ab
( 2; 2), B(0; 4) MA MB ⇒=A
Suy ra tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đường thng trung trc ca AB
( ): 2 0 +−=dxy
Ta có
1
1
11
w iz
w iz w iz w z MC
ii i
+
=+⇔=+ = ⇔=+=
, vi
(0;1)C
Gọi H là hình chiếu ca C trên (d)
CM CH
. Du = xy ra
⇔≡MH
Vy
min
22
0.1 1.1 2
2
( ;( ))
2
11
w CH d C d
+−
= = = =
+
. Chn B.
Câu 21:
2
2 5 (z 1 2i)(z 3i 1) ( 1 2 )( 1 2 ) (z 1 2i)(z 3i 1)
+ = −+ + −+ −− = −+ +
z z z iz i
12 0 12 1 1
12 13 12 13 (*)
z i z iw w
z iz i z iz i
−+ = = =−→ =
⇔⇔

−− = −+ −− = −+


Đặt
() (;)=M z M ab
(1; 2) , B(1; 3) (*) MA MB−⇒ =A
Suy ra tp hợp điểm biểu diễn s phc
z
là đường thng trung trc ca AB
( ):2 1 0 +=dy
Ta có
22 22wziwziMC=−+ = −+ =
, vi
(2; 2)C
Gọi H là hình chiếu ca C trên (d)
CM CH
. Du = xy ra
⇔≡MH
Khi đó
min
22
2.0 2.( 2) 1
3
( ;( ))
2
02
w CH d C d
+ −+
= = = =
+
. Vy
min 1w =
. Chn C.
Câu 22: Đặt
= +z x yi
(x, y )
khi đó
2
2
3 2 ( 3) 4−= =z zz z
22 22 22 22
(x3)4() 230(1)4+= + ++=++=y xy xy x x y
(C)
Tp hợp điểm M biểu diễn s phc
z
là đường tròn (C) tâm
( 1; 0 )I
, bán kính
2=R
Gi
(1; 2 ) 2 2−⇒ = >A IA R A
nằm ngoài đường tròn (C)
2 22 = +=+
max
MA IA R
Mt khác
max 1 2 2 2
−+ = + = =
z i ab a b
. Vy
4
+=ab
. Chn A.
Câu 23:
w
là s thc suy ra
2
12 2
z
z
wz z
+
= = +
là s thc
22
2
+=+⇔ =
zz z
zz
Suy ra tp hợp đim M biểu diễn s phc
z
là đường tròn (C) :
22
2
+=
xy
vi
(0; 0)
2
=
I
R
Gi
( 1; 1) 1 +− =A z i MA
2= = IA R A
nằm trên đường tròn (C)
Khi đó
max
MA 2 2= +=IA R
. Du bng xảy ra khi I là trung điểm MA
(1; 1)⇒−M
Vy
1
= zi
thì
2
1
1 2 2 1 2.( 1) 3
1
=
+− = = =
=
a
zi P
b
. Chn C.
Câu 24: Gi
( ); A(1; 1) ; ( 1;1)−−Mz B
t gi thiết suy ra MA = MB nên M thuc đưng thng trung trc ca
AB có phương trình
()=
y xd
.
Gi
(1; 5) ; ( 2; 1)−− = +H K P MH MK
, 2 điểm H, K cùng phía so với đường thng d
Gọi H’ là điểm đối xứng ca
:
=dy x
Ta có:
': x y 6 0 I(3;3) H'(5;1)+−=
HH
Li có:
''=+= +≥P MH MK MH MK H K
Du bng xy ra
'⇔= M HK d
Phương trình đường thẳng H’K là:
2 7 30 −=xy
Suy ra
33 6
;
55 5

= +=


M ab
. Chn B.
Câu 25: Ta có:
2 333
+=−=−=+z izizizi
Gi
( ); A(2; 1); (0; 3)−−
Mz B
suy ra MA = MB nên M thuc
đường thng trung trc của AB có phương trình
1 0( )
+ +=zy d
.
Gi
(0;1); (2; 0)
⇒= +H K P MH MK
, 2 điểm H, K cùng phía so
với đường thng d
Gọi H’ là điểm đối xứng ca
:z y 1 0++=d
Ta có:
':x y1 0 I(1;0) H'(2;1)−+= HH
Li có:
''=+= +≥P MH MK MH MK H K
Du bng xy ra
'⇔= M HK d
Phương trình đường thẳng H’K là:
4 20
−=xy
Suy ra
23 1
;2
55 5

= −=


M ab
. Chn C.
Câu 26: Gi
( ); (1; 2 ), B( 1; 0 )Mz A
Khi đó
12 1−− = + = z i z MA MB M
thuc trung trc ca AB có
phương trình
10+ −=xy
(d)
Gi
2
22 2
IJ
(1; 2);J(0;1) P MI 2
2
⇒= + = +I MJ ME
(vi
11
;
22



E
là trung điểm ca IJ)
Do đó
min min
P ME
hay M là hình chiếu vuông góc ca E xung d, khi đó
:x y 1 0−=
EM
( )
1; 0 1 = +=M EM d M a b
. Chn A.
Câu 27: Gọi
( ); (3;1), B( 1; 1)−−Mz A
Khi đó
31 = ++ = z i z i MA MB M
thuc trung trc ca AB có phương trình
2 20+−=
xy
(d)
Gọi
2
22 2
IJ
(1;1); J( 2; 1) P MI 2
2
−− = + = +I MJ ME
(vi
1
;0
2



E
là trung điểm ca IJ)
Do đó
min min
P ME
hay M hình chiếu vuông góc ca E xung d, khi
đó
1
:x 2y 0
2
+=EM
7 3 13
;
10 5 10

= +=


M EM d M a b
. Chn A.
Câu 28: Ta có
11= ++ = −−z iz i
ωω
nên
12 1 12 2−+ = −−−+ = +zi ii i
ωω
Khi đó
12 5 2 5−+ = + =zi i
ω
nên
25 4 2= ⇔=
max
i
ωω
Suy ra
22
1 4 2 1 3 3 3 ( 3) 3 2= −−= −−= = + =
z i i i iz
ω
. Chn B.
Câu 29: Xét hai cách gii:
Cách 1: Gi
(, ) (, )z x yixy Mxy=+ ∈⇒
( 1; 0 ), B(1; 0)A
. Ta có
22
11 1=⇒+ = + =z x yi x y
M thuộc đường tròn đường kính AB.
222
4+==MA MB AB
. Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có
22 2 2
2 (1 2 )( ) 5.4 2 5T MA MB MA MB=+ ≤+ + = =
Vy giá tr ln nht ca biu thc
maxT=2 5
. Chn A.
Cách 2: Đặt
= +z x yi
22
(x, y ) 1 (x 1) += + +zy
22
1 (x 1)−= +zy
Mt khác
22 22
1 11= +=⇔+=z xy xy
, khi đó
22 22 22 22 22
(x 1) 2 ( 1) (1 2 ) ( 1) ( 1)

= +++ −+ + +++−+

T yxy xyxy
22
10( 1) 10.2 2 5 max 2 5
= + += = =xy T
Câu 30:
2 2 22
25(1)4(1)(2) (12)(12) + = + = = −+ −−
z z z z i z iz i
Khi đó, giả thiết
12
( 1 2)( 1 2) ( 1 2)( 3 1)
12 3 1
=
−+ −− = −+ +
−− = +
zi
z iz i z iz i
z izi
TH1. Vi
12=
zi
, ta có
22 12 22 1 1
wz i i i w=−+ = −+ = =
TH2. Vi
12 3 1−− = + z izi
(*), đặt
= +z x yi
(x, y )
, ta có
(*)
22 22
1
1 ( 2) 1 ( 3) ( 1) (y 2) ( 1) (y 3)
2
−+ = −+ + + = + + =
xyixyix x y
Do đó
2
1 3 93
22 22 2 ( 2)
2 2 42
wz ix i ix i w x=−+ = −+ =−+ = +
So sánh hai trường hợp, ta được giá tr nh nht ca
ω
bng 1. Chn A.
Câu 31: Đặt
= +z x yi
(x, y )
nên
22
1( ) 1
−= + −=
z i z yi i
22 222 2 22
(2 1) 1 ( ) ( 2 1) 1 2+−=+−=+=x y xy i x y xy x y xy
22 22 22
2 2( ) 2 2 + = ≤+ + + xy xyxy xy xy z
. Chn D.
Câu 32: Ta có
22
4 1 14 1 1 4
11
+ ++ =+++−=+++=
−−
iz iz iz i iz i z i z i
ii
Gi
( 1;1), (1; 1)−−AB
có trung điểm là
(0; 0)O
. Điểm M biểu diễn s phc
z
Theo công thức trung tuyến thì
222
2
2
24
+
= =
MA MB AB
z OM
Ta có
(
)
2
2
22
4
8
22
+
+≥ ==
MA MB
MA MB
. Do đó
2
88
22
24
≥−= zz
Li có
4 1 1 1 12 2= ++ −+ +−+ −+ = zizizizizz
Vy
2; 2 . m 2 2==→=Mm M
. Chn C.
Câu 33: Đặt
= +z x yi
(x, y )
, khi đó
[
][ ]
22
( 2) 2
2 ( 2)
2 2 ( 2)
+ −−
+−
= =
−+ +
x y i x yi
z ix y i
z x yi x y
22
22
2 2 2( 2)
( 2)
+ +−
=
−+
x y x y xy i
xy
là s o
22 22
2 2 0 2( )⇔+−−=⇔+= +xy xy xy xy
Suy ra
2
22 2
()
2() ()4()0 4
2
+
+ = + + + ⇔+
xy
xy x y xy xy xy
Ta có
22 2 2 22 22
1 ( 1) ( 1) 2 1 2 1=+= ++ + = +−++ +−+Pz zi x y x y xy x xy y
2 1 2 12 124125= ++ +≤ ++= +=y x xy
. Vy
25=
max
P
. Chn C.
Câu 34:
.1 1=⇔=zz z
nên tp hợp biểu diễ s phc
z
là đường tròn
1
()
C
tâm O, R = 1
Li có
3 +=z im
nên tp hợp biểu diễn s phc
z
là đường tròn
2
()C
tâm
( 3; 1), R' m−=I
Yêu cầu bài toán
12
(C ), ( ) C
tiếp xúc trong hoc tiếp xúc ngoài
'1
'3
=+=

⇔⇔

+= =

OI R R m
OI R R m
Chn A.
Câu 35: Đặt
= +z x yi
(x, y )
, ta có
2 1 3 2 12 2 3+ = + + ++ = +
z z z x yi x
2
22
2
2 2 2 22 2
(2 1) (2 ) (2 3) 1 8 ( 8) 9
22

+ + = + = −⇒ = + = +


yy
x yx x z x y y
Xét hàm s
2
2
2 42 2 2
11
( ) 9 8 81 ( 16) 17 17
24 4

= + = +≥ +


y
fx y y y y
Suy ra
min ( ) 17=
fy
. Du bng xy ra khi
2
47
16
47
=→=
=
=−→ =
yx
y
yx
Vy tổng hai phần thc của hai số phc là 14. Chn C.
Câu 36:
22
4= +zxy
22
1 41=⇔+ =z xy
(*)
Li có
=−⇔=P xy y xP
thế vào (*), ta được
22
4( ) 1+−=x xP
22 2 2 2
4 8Px 4P 1 5 8 . 4P 1 0 + + = + −=
x x x Px
(**)
Phương trình (**) có nghiệm
22
' ( 4 ) 5(4 1) 0
⇔∆ = PP
2
55 5 5
5 4 P 0 min ;max
22 2 2
⇔− =− =
PP
. Chn A.
Câu 37: Đặt
= +z x yi
22 22
(x, y ) 2 ( 2) ; 2 ( 2) ⇒+= + + = + z x yz x y
Mt khác
22 22
1 11= +=⇔+=z xy xy
, khi đó
22 22 22 22 22
( 2) 2 ( 2) (1 2 ) ( 2) ( 2)

= +++ −+ + +++−+

Txyxy xyxy
22
10( 4) 10.5 5 2 max 5 2
= ++= = =xy T
Vy giá tr ln nht ca biu thc T là
52=T
. Chn D.
| 1/27

Preview text:

CHỦ ĐỀ 19: BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn z − z = z −
. Tìm số phức thỏa mãn z − z nhỏ nhất. 1 z2 0
Phương pháp: Đặt M(z);A(z
là các điểm biểu diễn số 1); B(z2)
phức z; z và z . Khi đó từ giả thiết z − z = z − suy ra 1 z 1 2 2
MA = MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực ∆ của AB.
Gọi N(z là điểm biểu diễn số phức z 0) 0
Ta có MN = z − z nhỏ nhất khi MN khi M là hình chiếu 0 min
vuông góc của N trên d và MN = d(N;∆) min
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z − 4 − i = z + i . Gọi z = a + bi ( ;
a b∈) là số phức thỏa mãn
z −1+ 3i nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức T = 2a + 3b là: A. 4 − B. 4 C. 0 D. 1 Lời giải Đặt M (z); ( A 4;1), B(0; 1)
− là các điểm biểu diễn số phức z; 4 + i và −i . Khi đó từ giả thiết suy ra
MA = MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung
trực của AB đi qua I(2;0) và có VTPT là   n = AB( 4; − 2
− ) ⇒ ∆ : 2x + y − 4 = 0 Gọi N(1; 3
− ) là điểm biểu diễn số phức 1− 3i
Ta có z −1+ 3i nhỏ nhất khi MN khi M là hình chiếu vuông min
góc của N trên ∆, suy ra MN : x− 2 y+1= 0
2x + y − 4 = 0 x = 3 Giải hệ  ⇒  ⇒ M (3; 2
− ) ⇒ z = 3− 2i ⇒ 2a + 3b = 0 . Chọn C.
x − 2y − 7 = 0 y = 2 −
Ví dụ 2: Cho các số phức z thỏa mãn z − 2i = z + 2 . Gọi z là số phức thỏa mãn (2 − i)z + 5 nhỏ nhất. Khi đó :
A. 0 < z <1
B. 1< z < 2
C. 2 < z < 3 D. z > 3 Lời giải Gọi M (x; y); ( A 0;2),B( 2;
− 0) là các điểm biểu diễn số phức z; 2i và 2 − .
Từ giả thiết ⇒ MA = MB M ∈trung trực của AB có phương trình ∆ : x + y = 0 Lại có: 5
P = (2 − i)z + 5 = 2 − i z +
= 5 z + 2 + i , gọi N( 2 − ; 1)
− là điểm biểu diễn số phức 2 − − i 2 − i suy ra P = 5MN
Ta có P nhỏ nhất khi MN khi M là hình chiếu vuông góc của N trên min ∆, suy ra phương trình MN : x− y+1 = 0  1 − x + y = 0 x =  Giải hệ  2  1 − 1  1 − 1 2  ⇒ 
M  ; ⇒ z = + i z = . Chọn A. x y 1 0 1 2 2  − + =    2 2 2 y =  2
Dạng 2: Cho số phức z thỏa mãn z − z = . Tìm số phức thỏa mãn P = z − z đạt giá trị lớn nhất, 0 R 1 nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt M(z);I(z
là các điểm biểu diễn số 0); E(z1)
phức z; z và z . Khi đó từ giả thiết z − z = R ⇔ MI = R 0 1 0
⇒ M thuộc đường tròn tâm I bán kính R. Ta có: P = ME lớn
nhất ⇔ ME và P nhỏ nhất ⇔ ME . Khi đó: max min
P = IE + R ⇔ M ≡ M và P = IE − R ⇔ M ≡ M max 2 min 1
(Điểm E có thể nằm trong hoặc ngoài đường tròn).
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn iz − 3+ 2i = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = z −1− i A. P = 3 B. P = 13 − 3 C. P = 2 D. P = 10 min min min min Lời giải Ta có: 3
iz − 3+ 2i = 3 ⇔ i z − + 2 = 3 ⇔ z + 2 + 3i = 3 ⇒ tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường i tròn tâm I( 2; − 3) − bán kính R = 3 Gọi E( ; )
11 là điểm biểu diễn số phức 1+ i P = ME P = EI R = 2 min
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − i = 5 . Gọi z z lần lượt là 2 số phức làm cho biểu thức 1 2
P = z − 2 − 3i đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất. Tính T = 3 z + 2 z 1 2 A. T = 20 B. T = 6 C. T = 14 D. T = 24 Lời giải
Ta có: z + 2 − i = 5 ⇒ tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I( 2 − ;1) bán kính
R = 5 . Gọi E(2;3) ⇒ P = ME
Phương trình đường thẳng IE : x − 2y + 4 = 0
Dựa vào hình vẽ ta có P = IE + R ⇔ M ≡ M max 2
x − 2y + 4 = 0 M ( 4; − 0) ⇒ P = 3 5 Giải hệ 2 min  ⇒  . 2 2
(x + 2) + (y −1) = 5 M (0;2) ⇒ P = 5 1 min
Do đó T = 3 z + 2 z = 3.2 + 2.4 =14 . Chọn C. 1 2
Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn z − z = z −
. Tìm số phức thỏa mãn P = z − z + z − đạt giá 3 z 1 z2 4 trị nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt M(z);A(z
là các điểm biểu diễn số phức z;z ;z và z . Khi 1 2;z 1); B(z2); H(z3); K(z4) 3 4
đó từ giả thiết z − z = z − z suy ra MA = MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực 1 2 ∆
của AB; P = z − z + z − z = MH + 3 4 MK
TH1: H, K nằm khác phía so với đường thẳng ∆ Ta có: P = MH + MK ≥ HK
Dấu bằng xảy ra ⇔ M ≡ M = HK ∩ (∆) o Khi đó P = HK min
TH2: H, K nằm cùng phía so với đường thẳng ∆
Gọi H’ là điểm đối xứng của ∆
Khi đó: P = MH + MK = MH '+ MK ≥ H 'K
Dấu bằng xảy ra ⇔ M ≡ M = H 'K ∩ (∆) o Khi đó P = H 'K min
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 2i = z + 3− 2i . Gọi z = a + bi ( ; a b∈) sao cho
P = z − 2 − 4i + z +1− i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a + b là: A. 3 B. 5 C. 8 D. 4 Lời giải Đặt M (z); ( A 1; 2 − ),B( 3
− ;2) tử giả thiết suy ra MA = MB nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có
phương trình ∆ : x y +1 = 0 , gọi H(2;4) và K( 1; − 1) là các điểm
biểu diễn số phức 2 + 4i và 1 − + i
Ta có P = MH + MK và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆
Gọi H’ là điểm đối xứng của ∆ : x y +1 = 0
Ta có: HH': x + y − 6 = 0 tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ
x y +1 = 0 phương trình  5 7  I  ;  ⇒ x y 6 0 2 2  + − =   Suy ra H'(3;3)
Lại có: P = MH + MK = MH '+ MK ≥ H 'K
Dấu bằng xảy ra ⇔ M = H 'K ∩ d . Phương trình đường thẳng H’K là: H 'K : x − 2y + 3 = 0
Suy ra M = H 'K ∩ ∆ ⇒ M ( ;1 ) 2 ⇒ z = +
1 2 . Khi đó P = H 'K = 2 5 . Chọn A. 0 i o min
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + 4i = iz − 2 . Gọi z = a + bi ( ; a b∈) sao cho
P = z i + z +1+ 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất đấy bằng A. 53 B. 37 C. 4 D. 41 Lời giải Ta có: 2
z − 2 + 4i = iz − 2 ⇔ z − 2 + 4i = i z − = z + 2i i Gọi M (z); ( A 2; 4 − ),B(0; 2
− ) từ giả thiết suy ra MA = MB nên M thuộc đường thẳng trung trực của AB có
phương trình ∆ : x y − 4 = 0, gọi H(0;1) và K( 1; − 3 − ) là
các điểm biểu diễn số phức i và 1 − − 3i
Ta có: P = MH + MK và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆
Gọi H’ là điểm đối xứng của ∆ : x y − 5 = 0
Ta có: HH': x + y −1 = 0 tọa độ trung điểm của HH’ là
x y − 4 = 0 nghiệm hệ phương trình  5 3  I  ;  ⇒ − x y 1 0 2 2  + − =   Suy ra H'(5; 4 − )
Lại có: P = MH + MK = MH '+ MK ≥ H 'K = 37 . Chọn B.
Dạng 4: Cho số phức z thỏa mãn z − z = z −
. Tìm số phức thỏa mãn 2 2 P = z − z + z − z đạt 1 z2 3 4 giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt M(z);A(z là các 1); B(z2); H(z3); K(z4)
điểm biểu diễn số phức z;z ;z và z . Khi đó từ giả 1 2;z3 4
thiết z − z ≡ z − suy ra MA = MB , tập hợp điểm biểu 1 z2
diễn số phức z là đường trung trực ∆ của AB; 2 2 2 2
P = z − z + z − z = MH + MK 3 4 2 2 2 2
Gọi I là trung điểm của 2 MH + MK HK 2 2 2 ⇒ = − ⇒ = + = 2 + HK HK MI P MH MK MI 2 4 2
nhỏ nhất khi MI M là hình chiếu vuông góc của I xuống ∆ . min
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 − 4i = z − 2i . Gọi z là số phức thoả mãn biểu thức 2 2
P = z i + z − 4 + i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 2 z . A. 2 z =12 B. 2 z =10 C. 2 z = 2 D. 2 z = 5 Lời giải Gọi M (z); ( A 2;
− 4),B(0;2) là các điểm biểu diễn số phức z; 2
− + 4i và 2i
Khi đó z + 2 − 4i = z − 2i MA = MB M thuộc trung trực
của AB có phương trình ∆ : x y + 4 = 0 2 Gọi ( ) ( − ) 2 2 2 0;1 , 4; 1 ⇒ = + = 2 + HK H K P MH MK MI 2
(với I (2;0) là trung điểm của HK)
Do đó P ME hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống ∆ , khi đó min min
IM x + y − = ⇒ M = IM ∩ ∆ ⇒ M (− ) 2 2 : 2 0
1;3 ⇒ z = OM =10 . Chọn B.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 3i = z + 2 + i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
P = z − 2 + 4i + z + 2i là: A. P = 8 B. P = 9 C. P =16 D. P = 25 min min min min Lời giải Gọi M (z); ( A 1; 3 − ),B( 1; − 1
− ) là các điểm biểu diễn số phức z; 1+ 3i và 1 − − i
Khi đó z −1+ 3i = z +1+ i MA = MB M thuộc trung trực
của AB có phương trình ∆ : x y − 2 = 0 2 Gọi ( − ) ( − ) 2 2 2 2; 4 , 0; 2 ⇒ = + = 2 + HK H K P MH MK MI 2 (với I (1; 3
− )là trung điểm của HK)
Do đó P ME hay M là hình chiếu vuông góc của I min min 2 xuống ∆ , khi đó = 2  HK Pd (I;∆) 2  + = 8. Chọn A. min  2
Dạng 5: Cho số phức z thỏa mãn z − z = R . Tìm số phức thỏa mãn 2 2
P = z − z + z − z đạt giá trị 0 1 2 lớn nhất, nhỏ nhất.
Phương pháp: Đặt M(z);A(z );B(z );I z là các điểm biểu diễn số 1 2 ( 0) phức z;z ;z và z . 1 2 0
Khi đó từ giả thiết z − z = R ⇔ MI = R ⇒ M thuộc đường tròn tâm I 0 bán kính R. 2
Gọi E là trung điểm của AB ta có: 2 = 2 + AB P ME
lớn nhất ⇔ ME và P nhỏ nhất ⇔ ME . 2 max min
Khi đó P M M P M M . max 2 min 1
Ví dụ 1:
Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 2i = 2 . Gọi z = a + bi(a;b∈) là số thức thỏa mãn biểu thức 2 2
P = z − 2 − 3i + z − 5i đạt giá trị lớn nhất. Tính T = a + b A. T =1 B. T = 3 C. T = 1 − D. T = 3 − Lời giải
Gọi M (z); I (1; 2
− ) khi đó MI = 2 ⇔ M thuộc đường tròn tâm I (1; 2 − ) bán kính R = 2 Đặt A( ) B( ) 2 2
2;3 ; 0;5 ⇒ P = MA + MB
Gọi H (1;4) là trung điểm của AB ta có : 2 2 = 2 + AB P MH lớn nhất ⇔ MH 2 max
Do MH MI + IH MHM M max 2
Ta có: IH : x =1 x =1   M 1;0 1 ( ) Giải hệ (
. Do đó a + b = 3 − . Chọn D.x −  ) ⇒ 2  1 + ( y + 2)2 = 4 M 1; 4 −  2 ( )
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn 13 z − 3+ i =
. Gọi z = a + bi(a;b∈) là số thức thỏa mãn biểu thức 2 2 2
P = z − 2 − i + z − 3i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính T = a + b A. 5 T = B. 3 T = C. 13 T = D. 9 T = 2 2 2 2 Lời giải
Gọi M (z); I (3; ) 1 − khi đó 13 MI =
M thuộc đường tròn tâm 2 I (3; ) 1 − bán kính 13 R = 2 Đặt A( ) B( ) 2 2
2;1 ; 0;3 ⇒ P = MA + MB
Gọi E (1;2) là trung điểm của AB ta có : 2 2 = 2 + AB P ME nhỏ nhất ⇔ ME 2 min
Do ME MI IE ME M M min 1   1  3
x − 2y − 7 = 0 M  2; 1    2 
Ta có: IE :3x + 2y − 7 = 0 . Giải hệ  (  . Do đó 5
a + b = . Chọn A.x )2 ( y )2 13 ⇒ 3 1  − + + =   5 −  2  4 M 4; 2  2    
Dạng 6: Cho hai số phức z ;z thỏa mãn z − z = R và z − w = z − w ; 1 2 1 0 2 1 2 2
trong đó z w ;w là các số phức đã biết. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z − z 0; 1 2 1 2
Phương pháp: Đặt M(z ); N z lần lượt là các điểm biểu diễn 1 ( 2) số phức z và z . 1 2
Điểm M thuộc đường tròn tâm I (z bán kính R , N thuộc trung 0 )
trực ∆ của AB với A(w ; B w 1 ) ( 2)
Lại có: P = MN P = dR min (t;∆)
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn 2 2
z − 2 − z + i =1 và số phức z thỏa mãn z − 4 − i = 5 . Tìm giá trị 1 2
nhỏ nhất của z z 1 2 A. 2 5 B. 5 C. 2 5 D. 3 5 5 5 Lời giải
Gọi M (z; y)là điểm biểu diễn số phức z . Khi đó 2 2
z − 2 − z + i =1 1 2 2 2 2
⇔ (x− 2) + y x − (y +1) =1 ⇔ 4 − x − 2y = 2
− ⇔ (∆) : 2x + y −1 = 0
Gọi N(a;b) là điểm biểu diễn số phức z . Khi đó 2 2
z − 4 − i = 5 ⇔ (a − 4) + (b −1) = 5 2
Hay tập hợp điểm N trong mặt phẳng Oxy là đường tròn 2 2
(C) : (x− 4) + (y−1) = 5 Ta có d ( 8 I R c ;(∆) = > 5 = ( ) ) (C) 5
⇒ (∆) không cắt đường tròn(C).
Lại có MN = z z ⇒ dựa vào hình vẽ ta thấy 1 2
MN MN = d I ; ∆ − R min ( C ( )) ( ) (C) Hay 8 5 3 5 z z = − 5 = . Chọn D. 1 2 min 5 5
Bài toán có thể hỏi thêm là tìm số phức z hoặc z để z z
thì ta chỉ cần viết phương trình đường 1 2 1 2 min M =  (∆)∩ MN
thẳng MN ⊥ (∆) sau đó tìm giao điểm  . N =  (C)∩ MN
Ví dụ 2: Cho hai số phức z ; z thỏa mãn z + 5 = 5 và z +1− 3i = z − 3− 6i . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 2 1 2 2
biểu thức P = z z 1 2 A. 5 P = B. 15 P = C. P = 3 D. P =10 min 2 min 2 min min Lời giải
Gọi M (z ; N z lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z z . 1 ) ( 2) 1 2
Điểm M thuộc đường thẳng tròn tâm I ( 5;
− 0) bán kính R = 5.
Điểm N thuộc đường thẳng trung trực ∆ của AB với A(− ) ( ) 35
1;3 ;B 3;6 ⇒ ∆ : 4x + 3y − = 0 2 Lại có: 5
P = MN P = d( − R = . Chọn A. min I ;∆) 2
Dạng 7: Cho hai số phức z ;z thỏa mãn z − w = R và z − w = R trong đó w ;w là các số 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2
phức đã biết. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = z z . 1 2
Phương pháp: Đặt M(z ); N z lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z và z . 1 ( 2) 1 2
Điểm M thuộc đường tròn tâm (C tâm I (w bán kính R N thuộc đường tròn (C tâm K (w 2 ) 2 ) 1 ) 1 ) 1
bán kính R P = MN . Dựa vào các vị trí tương đối của 2 đường tròn để tìm MN MN max ; 2 min
Ví dụ 1: Cho hai số phức z;w thỏa mãn z.z =1 và w − 3+ 4i = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − w A. P = B. P = 8 C. P =10 D. P = 5 + 2 max 5 max max max Lời giải
Ta có: z.z =1 ⇔ z =1
Gọi M (z); N (w) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z và w .
Điểm M thuộc đường tròn tâm (C tâm O(0;0) bán kính R =1 và N thuộc đường tròn (C tâm 2 ) 1 ) 1 K(3; 4
− ) bán kính R = 2 ⇒ P = MN . 2
Dễ thấy OK = 5 > R + R nên (C và (C nằm ngoài nhau suy ra MN = OK + R + R = . Chọn B. max 8 2 ) 1 ) 1 2 1 2
Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2018] Xét các số phức z = a + bi(a,b∈) thỏa mãn điều kiện
z − 4 − 3i = 5 . Tính P = a + b khi giá trị biểu thức z +1− 3i + z −1+ i đạt giá trị lớn nhất A. P =10 B. P = 4 C. P = 6 D. P = 8 Lời giải Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z
Từ giả thiết, ta có z − − i =
⇔ (x − )2 + ( y − )2 4 3 5 4
3 = 5 ⇒ M thuộc đường tròn (C)tâm I (4;3) , bán
kính R = 5 . Khi đó P = MA + MB , với A( 1; − 3), B(1;− ) 1 . Ta có 2 2 2
P = MA + MB + MA MB ≤ ( 2 2 2 . 2 MA + MB ). 2 2 2 Gọi E (0; ) 1 là trung điểm 2 MA + ⇒ = MB AB AB ME . 2 4 Do đó 2 2 2 2 2
P ≤ 4.ME + AB ME CE = 3 5 suy ra 2
P ≤ 4.(3 5) +(2 5) = 200.
Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn(C). MA = MB
Vậy P ≤10 2 . Dấu" = " xảy ra 
M (6;4) ⇒ a + b =10. Chọn A.M C
Ví dụ 3: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2017] Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện:
z + 2 − i + z − 4 − 7i = 6 2 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z −1+ i . Tính
P = M + m A. P + + = 13 + 73 B. 5 2 2 73 P = C. P = 5 2 + 73 D. 5 2 73 P = 2 2 Lời giải
Đặt z = x + yi(x, y ∈) và gọi M ( ; x y), A( 2; − )
1 , B(4;7) suy ra AB = 6 2 .  
Ta có AB = (6;6) ⇒ n = (1;− )
1 ⇒ phương trình đường thẳng
ABx y + 3 = 0 .
Từ giả thiết, ta có MA + MB = 6 2 → MA + MB = AB
suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.  z −  1+ i = MN Gọi N (1;− )
1 ⇒ z −1+ i = (x − )2 1 + ( y + )2 min min 1 = MN ⇒  . z −1+ i =  MN max max
 Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB. 1− 1 − + 3 Hay 5 2 5 2
MN = d N; AB = = → m = min ( ( )) ( ) 2 + (− )2 2 2 1 1
 Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi M A hoặc M B .
M A MN = AN = 13 Ta có  ⇒ MN = M max 73 → = 73.
M B MN = BN = 73
Vậy giá trị biểu thức 5 2 + 2 73
P = M + m = . Chọn B. 2
Ví dụ 4: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện: z −1− i + z − 7 − 4i = 3 5 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của z − 5 + 2i . Tính P = M + m A. P + + = 5 + 10 B. 2 5 10 P =
C. P = 2( 5 + 10) D. 5 2 10 P = 2 2 Lời giải
Đặt z = x + yi(x, y ∈) và gọi M ( ; x y), A(1; ) 1 , B(7;4) suy ra AB = 3 5 .  
Ta có AB = (6;3) ⇒ n =
− ⇒ phương trình đường AB 1; 2 ( ) ( )
thẳng AB x − 2y +1 = 0 .
Từ giả thiết, ta có MA + MB = 3 5 → MA + MB = AB
suy ra M thuộc đoạn thẳng AB.  z −  5 + 2i = MN Gọi N (5; 2 − ) min min
z − 5 + 2i = MN ⇒  . z − 5 + 2i =  MN max max
 Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của N trên AB. 5 − 2 2 − +1
Hay MN = d N; AB = = 2 5 → m = 2 5 min ( ( )) ( ) 2 1 + ( 2 − )2
 Độ dài đoạn thẳng MN lớn nhất khi và chỉ khi M A hoặc M B .
M A MN = AN =  5 Ta có  ⇒ MN = M max 2 10 → = 2 10.
M B MN = BN = 2 10
Vậy giá trị biểu thức P = M + m = 2( 5 + 10). Chọn C.
Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z − 3− 4i = 5 và biểu thức 2 2
M = z + 2 − z i
đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức z + i . A. z + i = 2 41 B. z + i = 3 5 C. z + i = 5 2 D. z + i = 41 Lời giải
Gọi z = x + yi(x, y ∈)
Ta có: z − − i =
⇔ (x − )2 + ( y − )2 3 4 5 3
4 = 5 ⇒ tập hợp điểm biểu diễn số phức z là dường tròn (C)
tâm I (3;4) và R = 5 . Mặt khác: 2 2 M = z +
z i = (x + )2 2 + y − ( 2 2 2 x ) + ( y − )2
1  = 4x + 2y + 3  
d : 4x + 2y + 3− M = 0
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d và (C) có điểm chung d (I d ) 23− M ⇔ ; ≤ R ⇔
≤ 5 ⇔ 23− M ≤10 ⇔ 13 ≤ M ≤ 33 2 5
4x + 2y − 30 = 0  x = 5 ⇒ M = ⇔  ⇔ 
z + i = − i z + i = . Chọn D. max 33 (  x − 3  ) 5 4 41
2 + ( y − 4)2 = 5 y = 5 −
Ví dụ 6: Cho hai số phức z z thỏa mãn z + z = 8 + 6i z z = 2. Tìm giá trị lớn nhất của 1 2 1 2 1 2
P = z + z ? 1 2 A. P = 4 6 B. P = 5 + 3 5 C. P = 2 26 D. P = 34 + 3 2 Lời giải    
Đặt A(z ; B z theo giả thiết ta có: OA+ OB = (8;6); OAOB = 2; P = OA+ OB 1 ) ( 2)    
= (OA+ OB)2 + (OAOB)2 = ( 2 2
OA + OB ) ≥ (OA+ OB)2 2 104 2
= P P ≤ 104 = 2 26 . Chọn C.
Ví dụ 7: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Giả sử z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn 1 2
iz + 2 − i =1 và z z = 2. Giá trị lớn nhất của z + z bằng 1 2 1 2 A. 3 B. 2 3 C. 3 2 D. 4 Lời giải
Ta có: iz + 2 − i =1 ⇔ i(x + yi) + 2 −i =1 (với z = x + yi( ; x y ∈) )
⇔ (x − ) + ( y − )2 2 1
2 =1⇒ M (x; y) biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I (1; 2) bán kính R =1.
Giả sử A(z ; B z do z z = 2 ⇒ AB = 2 = 2R nên AB là đường kính của đường tròn(I; R) 1 ) ( 2) 1 2
Lại có: z + z = OA + OB 1 2 2 2 2
Mặt khác theo công thức trung tuyến ta có: 2 OA + OB AB 2 2 OI = − ⇒ OA + OB = 8 2 4
Theo BĐT Bunhiascopky ta có: ( 2 2
2 OA + OB ) ≥ (OA+ OB)2 ⇒ OA+ OB ≤ 4. Chọn D.
Ví dụ 8: Cho z , z là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z − 5 − 3i = 5và z z = 8 . Giá trị nhỏ 1 2 1 2
nhất của biểu thức z + z là: 1 2 A. 6 − 34 B. 2 34 − 6 C. 2 34 + 6 D. 34 + 6 Lời giải
Giả sử w = z + z 1 2
w = z − 5 − 3i Đặt 1 1 
suy ra w + w = z + z −10 − 6i = w −10 − 6i ⇔ w + w = w −10 − 6i w = z − 5 −  3i 1 2 1 2 1 2 2 2  w = w =  5 Mà 1 2  mà 2 2 w + w + w − w = 2 w + w ⇒ w + w = 36. 1 2 1 2 ( 2 2 1 2 ) 2
 w − w = z z = 8 1 2  1 2 1 2
Vậy w −10 − 6i = w + w = 36 = 6 ⇒ w thuộc đường tròn tâm I (10;6) , bán kính R = 6 . 1 2
Cách 2: Gọi A(z ; B z biểu diễn số phức z ; z 1 ) ( 2) 1 2
Ta có: tập hợp z là đường tròn tâm I (5;3) bán kính R = 5, AB = 8   
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ w = z + z = OA + OB = 2OH 1 1 2 ( ) Mặt khác 2 2
IH = IA HA = 3 ⇒ tập hợp điểm H là đường tròn (x − )2 + ( y − )2 5 3 = 9(C) . 2 2 Giả sử (a b) ( )  a b H
(C)  a   b  ⇒ ∈ ⇒ − + −
= ⇔ (a − )2 + (b − )2 w ; , 1 ; 5 3 9 10 6 =       36.  2 2   2   2 
Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm I (10;6) , bán kính R = 6 . Ta có: w
= OI R = 2 34 − 6. Chọn B. min
Ví dụ 9: Cho z , z là hai nghiệm của phương trình 6 − 3i + iz = 2z − 6 − 9i , thỏa mãn điều kiện 1 2 8
z z = . Giá trị lớn nhất của z + z 1 2 5 1 2 A. 31 B. 56 C. 4 2 D. 5 5 5 Lời giải
6 −3i + iz = 6 −3i + i(x + yi) = 6 − y + (x −3)i
Đặt z = x + yi( ; x y ∈) suy ra 
2z − 6 − 9i = 2x + 2yi − 6 − 9i = 2x − 6 +  (2y −9)i
Khi đó, giả thiết ⇔ (x − )2 + ( y − )2 = ( x − )2 + ( y − )2 ⇔ (x − )2 + ( y − )2 3 6 2 6 2 9 3 4 =1 (C) .
Tập hợp z là đường tròn tâm I (3;4) bán kính 8 R =1, AB =
5   
Đặt w = z + z gọi H là trung điểm của AB ⇒ w = z + z = OA + OB = 2OH 1 1 2 ( ) 1 2 Mặt khác 2 2 3
IH = IA HA = ⇒ tập hợp điểm H là đường tròn (x − )2 + ( y − )2 9 3 4 = (C) . 5 25 2 2 Giả sử (a b) ( )  a b  ⇒ H ∈(C)  a   b  9 ⇒ − + − =
⇔ (a − )2 + (b − )2 36 w ; , 1 ; 3 4 6 8 =       .  2 2   2   2  25 25
Do đó tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm I (6;8) , bán kính 6 R = . 5 Ta có: 6 56 w = OI + R =10 + = . max 5 5 Chọn B.
Ví dụ 10:
[Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Cho số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và
w = z là số thực. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = z +1− i là 2 2 + z A. 2 B. 2 2 C. 2 D. 8 Lời giải
Ta có w = z ⇒ w = z = z
1 . Vì w là số thực nên w = w (2) . 2 2 2 ( ) 2 + z 2 + z 2 + z
Từ (1), (2) suy ra w = z = z z 2 + z = z 2 + z ⇔ 2 z z = z.z z z 2 ( 2) ( 2 2 ) ( ) ( ) 2 + z 2 + z ⇔ (z z)( 2 z − ) 2
2 = 0 ⇔ z = 2 ⇔ z = 2 (vì z không là số thực nên z z ≠ 0 ).
Đặt w = z +1− i z = w −1+ i nên 2 2 w −1+ i = 2 ⇒ w
= 2 + 1 +1 = 2 2 . Chọn B. max
Cách 2: Ta có w là số thực nên 1 2 = z + là số thực. w z 1 2(a bi) b = 0(kot / 2 mycbt b )
Đặt z = a + bi ⇒ = a + bi +
là số thực khi b − = 0 ⇔  2 2 w a + b 2 2 2 2 a + b
a + b = 2 ⇒ z = 2 
Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn O(0;0); R = 2
Đặt M (z); A( 1; − )
1 ⇒ MA = AO + R = . Chọn B. max 2 2
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z =1. Gọi Mm lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
P = z +1 + z z +1 . Tính giá trị của M.m A. 13 3 B. 39 C. 3 3 D. 13 4 4 4 Lời giải
Gọi z = x + yi;(x∈ ;
y ∈). Ta có: z =1 ⇔ z.z =1.
Đặt t = z +1 , ta có 0 = z −1≤ z +1 ≤ z +1 = 2 ⇒ t ∈[0;2]. Ta có = ( + )( + ) 2 2 − 2 1 1
=1+ . + + = 2 + 2 ⇒ = t t z z z z z z x x 2 Suy ra 2 2
z z + = z z + z z = z z − + z = ( x − )2 2 1 . 1
2 1 = 2x −1 = t − 3
Xét hàm số f (t) 2
= t + t − 3 ,t ∈[0;2]. Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra f (t) 13 = f (t) 13 3 max ;min = 3 ⇒ M.n = . 4 4 Chọn A.
Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn z =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z +1 + 2 z −1 A. MaxT=2 5 B. MaxT=2 10 C. MaxT=3 5 D. MaxT=3 2 Lời giải
T = z + + z − ≤ ( 2 1 2 1 1+ 2 )( 2 2
z +1 + z −1 ) = 5.2( 2
z + )1 = 2 5 (BĐT Cauchy-Swart) Chú ý: 2 2 2 2
z +1 + z −1 = 2x + 2y + 2 = 2( 2
z + )1 với z = x + yi
Cách 2: Đặt z = x + yi . Ta có : 2 2 2 2
T = x + yi +1 + 2 x yi −1 = (x +1) + y + 2 (x −1) + y Lại có 2 2
x + y =1⇒ T = 2x + 2 + 2 2
x + 2 = f (x) Ta có: f (x) 1 2 6 ' 0 − = − = ⇔ x = ⇒ T = . Chọn A. max 2 5 2x + 2 2 − 2x 10
Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn z − 4 + z + 4 =10 . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là : A. 10 và 4 B. 5 và 4 C. 4 và 3 D. 5 và 3 Lời giải
Đặt z = x + yi;( ;
x y ∈) ⇒ M ( ;
x y) biểu diễn z
Ta có: z − 4 + z + 4 =10 ⇔ z + yi − 4 + x + yi + 4 =10 Gọi F ( 4
− ;0);F (4;0) ⇒ MF + MF =10 1 2 1 2
Khi đó điểm biểu diễn z là Elip có trục lớn
2a =10 ⇒ a = 5; F F = 2c = 8 1 2 2 2
c = 4 ⇒ b = a c = 3. Do đó 3 ≤ OM ≤ 5 ⇒ 3 ≤ z ≤ 5. Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, biết rằng số phức z thỏa mãn điều
kiện z − 2 − 4i = 5 A. z = 1 − − 2i
B. z =1− 2i
C. z =1+ 2i D. z = 1 − + 2i
Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z − 3+ 4i = 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z A. P = B. P = C. P = D. P = max 3 max 12 max 5 max 9
Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + 2i =1. Tìm giá trị lớn nhất của z A. 4 2 − 2 B. 2 2 +1 C. 2 + 2 D. 3 2 +1
Câu 4: Trong các số phức z thỏa mãn z + 3+ 4i = 2 .Gọi z là số phức của môđun nhỏ nhất. Tìm môđun của 0 số phức z 0 A. z = B. z = C. z = D. z = o 3 o 7 o 2 o 4
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i =1. Tìm giá trị lớn nhất của P = z +1+ i A. 13 + 2 B. 4 C. 3 D. 13 +1
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − 3 = 2 z max z −1+ 2i = a + b 2 . Tính a + b A. 4 B. 4 2 C. 3 D. 4 3
Câu 7: Cho số phức z z = 2 thì số phức w = z + 3i có môđun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt là bao nhiêu? A. 2 và 5 B. 1 và 6 C. 2 và 6 D. 1 và 5
Câu 8: Trong tất cả các số phức có dạng z = m − 3− (m − 2)i với m∈ , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất ? A. 1 1 z = − i B. 1 1 z = − + i C. 1 1 z = − − i D. 1 1 z = + i 2 2 2 2 2 2 2 2
Câu 9: Cho số phức z = (m −1) + (m − 2)i,m∈ . Tìm giá trị của m để môđun của số phức z có giá trị lớn nhất là 5 m ≤ 3 − m ≤ 6 − A. 3 − ≤ m ≤ 0
B. 0 ≤ m ≤ 3 C.D.  m ≥ 0 m ≥ 2
Câu 10: Cho số phức z = m + (m − 3)i,m∈ . Tìm m để z đạt giá trị nhỏ nhất? A. m = 0 B. m = 3 C. 3 m = D. 3 m = − 2 2
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = z i . Gọi z = a + bi( ;
a b∈) là số phức thỏa mãn
z + 2 + 2i nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a + 3b là: A. 4 B. 3 C. 6 D. 0
Câu 12: Biết số phức z = a + bi(a,b∈) thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = z − 2i có môđun nhỏ nhất của. Tính 2 2
M = a + b A. M = 8 B. M =10 C. M =16 D. M = 26
Câu 13: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x − 4y − 3 = 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của z A. 1 B. 3 C. 4 D. 2 5 5 5 5
Câu 14: Xét số phức z = a + bi,(a,b∈) thỏa mãn z − 2 − 4i = z − 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z A. 4 B. 2 2 C. 10 D. 8
Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ i = z − 2 − i . Gọi z = a + bi,(a,b∈) là số phức thỏa mãn z i
nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức a + b là: A. 7 − B. 9 C. 3 D. 7 10 10 10 10
Câu 16: Cho các số phức z,ω thỏa mãn z + 2 − 2i = z − 4i . Gọi z = a + bi,(a,b∈) là số phức thỏa mãn
iz +1 nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức 2 2 a + b A. 4 B. 5 C. 5 D. 2 2
Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z +1 = z + i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z −1− 2i A. 1 B. 3 C. 1 D. 2 3 2
Câu 18: Cho số phức z = x + yi(x, y∈) thỏa mãn z −1 = z + i . Biết z − 2i nhỏ nhất, tính S = x + 2y A. S = 2 B. S = 3 C. S =1 D. S = 4
Câu 19: Xét các số phức z = a + bi,(a,b∈) thỏa mãn z −1+ 2i = z i . Tính 2
P = 2a b khi z đạt giá trị nhỏ nhất A. 1 P = B. 19 P = C. 4 P = − D. 14 P = 25 25 25 25
Câu 20: Cho các số phức z,ω thỏa mãn z + 2 − 2i = z − 4i w = iz +1. Tính giá trị nhỏ nhất của w A. w = 2 B. 2 w = C. w = 2 2 D. 3 2 w = min min 2 min min 2
Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn 2
z − 2z + 5 = (z −1+ 2i)(z + 3i −1) . Tính min w , biết w = z − 2 + 2i A. 3 min w = B. min w = 2 C. min w =1 D. 1 min w = 2 2
Câu 22:
Cho số phức z thỏa mãn z − 3 = 2 z max z −1+ 2i = a + b 2 . Tính a + b A. 4 B. 4 2 C. 3 D. 4 3
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z không phải số thực và z w =
là số thực. Biểu thức z +1− i đạt giá 2 2 + z
trị lớn nhất khi z = a + bi,(a,b∈). Tính 2
P = a − 2b A. 2 − B. 1 C. 3 D. 5 −
Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ i = z +1−i . Gọi z = a + bi,(a,b∈) sao cho
P = z −1− 5i + z + 2 + i đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó a + b bằng A. 6 B. 6 − C. 3 − D. 3 5 5 5 5
Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z − 2 + i = z − 3i . Gọi z = a + bi,(a,b∈) sao cho P = z i + z − 2 đạt
giá trị nhỏ nhất. Khi đó 2a b bằng A. 1 B. 7 − C. 1 − D. 3 5 5 5 5
Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z −1− 2i = z +1 . Gọi z = a + bi,(a,b∈) là số phức thỏa mãn biểu thức 2 2
P = z −1+ 2i + z i đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b
A. a + b = 0
B. a + b =1
C. a + b = 2
D. a + b = 3
Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z − 3− i = z +1+ i . Gọi z = a + bi,(a,b∈) là số phức thỏa mãn biểu thức 2 2
P = z −1− i + z + 2 + i đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a + b A. 13 a + b = B. 1 a + b =
C. a + b =1
D. a + b = 2 10 10
Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z −1+ 2i = 5 và ω = z +1+ i có môđun lớn nhất. Tính môđun của số phức z A. z = 2 5 B. z = 3 2 C. z = 6 D. z = 5 2
Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z =1. Tìm giá trị lớn nhất của T = z +1 + 2 z −1 A. maxT = 2 5 B. maxT = 2 10 C. maxT = 3 5 D. maxT = 3 2
Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn 2
z − 2z + 5 = (z −1+ 2i)(z + 3i −1) . Tính min ω , với ω = z − 2 = 2i A. 3 min ω = B. min ω = 2 C. min ω =1 D. 1 min ω = 2 2
Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn 2
z i =1. Tìm giá trị lớn nhất của z A. 5 B. 2 C. 2 2 D. 2
Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn 2 2 iz + + iz +
= 4 . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất 1− i i −1 z . Tính Mm. A. Mm = 2 B. Mm =1 C. Mm = 2 2 D. Mm = 2 3
Câu 33: Cho số phức z z thỏa mãn
2i là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của P = z −1 + z i z − 2 A. 5 2 B. 3 2 C. 2 5 D. 3 5
Câu 34: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn
z.z =1 và z − 3 + i = m . Tìm số phần tử của S. A. 2 B. 4 C. 1 D. 3
Câu 35: Biết rằng tồn tại hai số phức z thỏa mãn 2z +1 = z + z + 3 và z −8 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng
hai phần thực của hai số phức đó. A. 7 B. 0 C. 14 D. 8
Câu 36: Cho số phức z = x + yi(x, y∈) thay đổi thỏa mãn z =1. Hãy tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P = x y A. 0 B. 12 C. 5 D. 2 5
Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = z + 2 + 2 z − 2 A. 2 5 B. 2 10 C. 3 5 D. 5 2
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C)tâm I(2;4) bán kính R = 5
Ta có: z = OM , mặt khác OM đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất khi M = OI ∩ (C)
Phương trình đường thẳng OI : y = 2x , phương trình đường tròn 2 2
(C) : (x− 2) + (y− 4) = 5 y = 2xy = 2x
Giải hệ phương trình:  ⇔ 2 2  2 2
(x − 2) + (y − 4) = 5
(x − 2) + (y − 4) = 5 x =1⇒ y = 2 OM = 5 1 ⇔ ⇒ 
suy ra z =1+ 2i là số phức thỏa mãn điều kiện z − 2 − 4i = 5
x = 3 ⇒ y = 6  1 OM =  3 5 2
Và có môđun nhỏ nhất, z = 3+ 6i là số phức có môđun lớn nhất. Chọn C. 2
Câu 2: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I(3; 4 − ) bán kính R = 4
Ta có: z = OM , khi đó P = OM
= OI + R = 5 + 4 = . Chọn A. max max 9
Câu 3: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I(2; 2 − ) bán kính R =1
Ta có: z = OM , khi đó z = OM
= OI + R = 2 2 + . Chọn B. max max 1
Câu 4: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I( 3 − ; 4 − ) bán kính R = 2
Ta có: z = OM , khi đó z = OM
= OI R = 5 − 2 = 2 . Chọn D. min min
Câu 5: Đặt z = x + yi (x, y∈) , ta có : 2 2
z − 2 − 3i =1 ⇔ (x − 2) + (y − 3) =1
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C)tâm I(2;3) bán kính R =1 Lại có: 2 2 2 2
P = x yi +1+ i = (x +1) + (1− y) = (x +1) + (y−1) Gọi K( 1;
− 1) ⇒ P = MK P = IK + R = 13 + . Chọn D. max 1
Câu 6: Đặt z = x + yi (x, y∈) , ta có : z −3 = 2 z x + yi −3 = 2 x + yi 2 2 2 2 2 2 2 2
⇔ (x − 3) + y = 4(x + y ) ⇔ 3x + 3y + 6x − 9 = 0 ⇔ x + y + 2x − 3 = 0 2 2
⇔ (x +1) + y = 4 ⇒ Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I( 1;
− 0) bán kính R = 2 a = 2
Gọi K(1;2) ⇒ z −1 = 2i = MK MK = IK + R = + ⇒  ⇒ a + b = . max 2 2 2 4 b  = 2 Chọn A.
Câu 7:
Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O(0;0) bán kính R = 2 Gọi K(0; 3)
− ⇒ w = z + 3i = MK Ta có: MK
= OI + R = 5;MK = OK R = . Chọn D. max 1 min 2 Câu 8: 2 2 2 2  5  1 1
z = (m − 3) + (m − 2) = 2m −10m +13 = 2 m − + ≥  2    2 2 Do đó 1 5 1 1 z =
m = ⇒ z = − − i . Chọn C. min 2 2 2 2 Câu 9: 2 2 2 2 2
z = (m −1) + (m − 2) = 2m − 6m + 5 ≤ 5 ⇔ 2m − 6m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 3. Chọn B. 2 Câu 10: 2 2 2 2  3  9 9
z = m + (m − 3) = 2m − 6m + 9 = 2 m − + ≥  2    2 2 Do đó 3 3 z =
m = . Chọn C. min 2 2
Câu 11: Đặt M (z); (
A 2;3),B(0;1) là các điểm biểu diễn số phức z;2 + 3i
i . Khi đó từ giả thiết suy ra MA = MB , tập hợp điểm biểu diễn số
phức z là đường trung trực của AB đi qua I(1;2) và có VTCP là
n(1;1)⇒ d :x+ y−3= 0 Gọi N( 2; − 2
− ) là điểm biểu diễn số phức 2 − − 2i
Ta có z + 2 + 2i nhỏ nhất khi MN khi M là hình chiếu vuông góc của min
N trên d, suy ra MN : x− y = 0  3 x y = 0 x =  Giải hệ  2  3 3  3+ 3i  ⇒ 
M  ; ⇒ z = ⇒ a + 
3b = 6. Chọn C.
x + y − 3 = 0 3   2 2  2 y =  2
Câu 12: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là trung trực ∆ của AB với ( A 2;4),B(0;2)   Trung điểm của AB là 1
I(1;3);n = − AB = (1;1) ⇒ ∆ : x + y − 4 = 0 2
Mặt khác z = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O xuống ∆ a = 2
Khi đó OM : x y = 0 ⇒ M = OM ∩ ∆ = M . Chọn A. o (2;2) ⇒  ⇒ = 8 b = 2
Câu 13: Ta có z = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O xuống ∆ :3x − 4y − 3 = 0 Khi đó 3 3 z = OM = d(O;∆) = = . Chọn B. min min 2 2 3 + 4 5
Câu 14: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là trung trực ∆ của AB với ( A 2;4),B(0;2)   Trung điểm của AB là 1
I(1;3);n = − AB = (1;1) ⇒ ∆ : x + y − 4 = 0 2
Mặt khác z = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O xuống ∆ Khi đó 4 OM = d( ; O ∆) = = 2 2 . Chọn B. min 2
Câu 15: Đặt M (z); ( A 1; 1)
− ,B(2;1) là các điểm biểu diễn số phức z;1− i và 2 + i . Khi đó từ giả thiết suy ra
MA = MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của AB  đi qua  3 I ;0  và có VTCP là 3
n(1;2) ⇒ d : x + 2y − = 0 2    2
Gọi N(0;1) là điểm biểu diễn số phức i
Ta có z i nhỏ nhất khi MN khi M là hình chiếu vuông góc của N trên min
d, suy ra MN : 2 x− y+1 = 0  1  3 − x
x + 2y − = 0 =  Giải hệ  10  1 − 4  1 − 4i 7  2 ⇒ 
M  ; ⇒ z = + ⇒ a + b = . Chọn D. 4 10 5 
 x y + =    10 5 10 2 1 0 y =  5
Câu 16: Gọi I(x; y);M( 2;
− 2), N(0;4) là điểm biểu diễn các số phức z; 2 − + 2i;4i
Từ giả thiết ⇒ IM = IN I ∈trung trực của MN là d : x + y − 2 = 0 Khi đó 2 2
iz +1 = −y + xi +1⇒ iz +1 = x + (y −1) = NM với N(0;1)
Ta có iz +1 nhỏ nhất khi MN khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d, suy ra MN : x− y+1 = 0 min  1
x + y − 2 = 0 x =  Giải hệ  2  1 3  1 3 2 2 5  ⇒ 
M  ; ⇒ z = + i a + b = . Chọn B x y 1 0 3 2 2  − + =    2 2 2 y =  2
Câu 17: Gọi z = x + yi (x, y∈)
x +1+ yi = x + (y +1)i 2 2 2 2
⇔ (x +1) + y = x + (y +1) ⇔ x y = 0
M (z) có quỹ tích là đường thẳng d : x− y = 0
Với z ' =1+ 2i N(z ') = (1;2) Ta có zNMNM d min min 1 ⇒ z
= d(N;d) = . Chọn C. min 2
Câu 18: Gọi z = x + yi (x, y∈)
x −1+ yi = x + (y +1)i 2 2 2 2
⇔ (x −1) + y = x + (y +1) ⇔ x + y = 0
M (z)có quỹ tích là đường thẳng d : x+ y = 0
Với z ' = 2i N(z ') = (0;2) Ta có zNM
NM d MN : x y + k = 0 min min
Mà MN qua N(0;2) ⇒ k = 2 ⇒ MN : x− y+ 2 = 0
Tọa độ M là nghiệm của hệ
x y + 2 = 0 x = 1 −  ⇒ M ( 1; − 1) ⇒ 
S =1. Chọn C.x + y = 0 y = 1
Câu 19: Đặt M (z) = M (a;b) và ( A 1; 2 − ),B(0;1) ⇒ MA = MB
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng trung trực của AB ⇒ (d) : x − 3y − 2 = 0
Gọi H là hình chiếu của O trên (d) ⇒ Phương trình đường thẳng OH :3x + y = 0
Ta có z = OM OH . Dấu bằng xay ra khi và chỉ khi M H M = (d) ∩OH  1
a − 3b − 2 = 0 a = 
Khi đó, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ  5  ⇒ . Vậy 1 P = . Chọn A. 3  a b 0  + = 3 b = − 25  5
Câu 20: Đặt M (z) = M (a;b) và ( A 2; − 2),B(0;4) ⇒ MA = MB
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng trung trực của AB ⇒ (d) : x + y − 2 = 0 w iz +1 Ta có 1
w = iz +1 ⇔ w = iz +1 ⇔ =
w = z + = MC , với C(0;1) i i i
Gọi H là hình chiếu của C trên (d) ⇒ CM CH . Dấu = xảy ra ⇔ M H 0.1+1.1− 2 Vậy 2 w
= CH = d(C;(d)) = = . Chọn B. min 2 2 1 +1 2 Câu 21: 2
z − 2z + 5 = (z−1+ 2i)(z+ 3i−1) ⇔ (z −1+ 2i)(z −1− 2i) = (z−1+ 2i)(z+ 3i−1)
z −1+ 2i = 0
z =1− 2i w = 1 − → w =1 ⇔  ⇔ 
z −1− 2i = z −1+ 3i
z −1− 2i = z −1+ 3i (*) 
Đặt M (z) = M (a;b) và ( A 1;2),B(1; 3 − ) ⇒ (*) ⇔ MA = MB
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng trung trực của AB ⇒ (d) : 2y +1 = 0
Ta có w = z − 2 + 2i w = z − 2 + 2i = MC , với C(2; 2 − )
Gọi H là hình chiếu của C trên (d) ⇒ CM CH . Dấu = xảy ra ⇔ M H 2.0 + 2.( 2) − +1 Khi đó 3 w
= CH = d(C;(d)) =
= . Vậy min w =1. Chọn C. min 2 2 0 + 2 2
Câu 22: Đặt z = x + yi (x, y∈) khi đó 2 2
z − 3 = 2 z ⇔ (z − 3) = 4 z 2 2 2 2 2 2 2 2
⇔ (x− 3) + y = 4(x + y ) ⇔ x + y + 2x − 3 = 0 ⇔ (x +1) + y = 4 (C)
⇒ Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm I( 1;
− 0) , bán kính R = 2 Gọi ( A 1; 2
− ) ⇒ IA = 2 2 > R A nằm ngoài đường tròn (C) ⇒ MA = IA + R = 2 + max 2 2
Mặt khác max z −1+ 2i = a + b 2 → a = b = 2 . Vậy a + b = 4 . Chọn A. 2
Câu 23:w là số thực suy ra 1 2 + z 2 = = z + là số thực 2 2
z + = z + ⇔ z = 2 w z z z z I(0;0)
Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) : 2 2
x + y = 2 với  R = 2 Gọi ( A 1;
− 1) ⇒ z +1− i = MA IA = 2 = R Anằm trên đường tròn (C) Khi đó MA
= IA + R = 2 2 . Dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm MAM (1; 1 − ) max a =1
Vậy z =1− i thì 2
z +1− i = 2 2 →  ⇒ P =1 − 2.( 1 − ) = 3. Chọn C. b = 1 −
Câu 24: Gọi M (z);A(1; 1 − ); B( 1;
− 1) từ giả thiết suy ra MA = MB nên M thuộc đường thẳng trung trực của
AB có phương trình y = x(d) .
Gọi H (1;5); K( 2 − ; 1
− ) ⇒ P = MH + MK , 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng d
Gọi H’ là điểm đối xứng của d : y = x
Ta có: HH ': x+ y− 6 = 0 ⇒ I(3;3) ⇒ H'(5;1)
Lại có: P = MH + MK = MH '+ MK H 'K
Dấu bằng xảy ra ⇔ M = H 'K d
Phương trình đường thẳng H’K là: 2x − 7y − 3 = 0 Suy ra  3 3  6 M = − ; − − ⇒ a + b =  . Chọn B. 5 5    5
Câu 25: Ta có: z − 2 + i = z − 3i = z − 3i = z + 3i
Gọi M (z);A(2; 1 − ); B(0; 3)
− suy ra MA = MB nên M thuộc
đường thẳng trung trực của AB có phương trình z + y +1 = 0(d) .
Gọi H (0;1); K(2;0) ⇒ P = MH + MK , 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng d
Gọi H’ là điểm đối xứng của d : z+ y+1 = 0
Ta có: HH ': x− y+1 = 0 ⇒ I( 1 − ;0) ⇒ H'( 2 − ; 1 − )
Lại có: P = MH + MK = MH '+ MK H 'K
Dấu bằng xảy ra ⇔ M = H 'K d
Phương trình đường thẳng H’K là: x − 4y − 2 = 0 Suy ra  2 3  1 M = − ;− ⇒  2a b = −  . Chọn C.  5 5  5
Câu 26: Gọi M (z); ( A 1;2),B( 1; − 0)
Khi đó z −1− 2i = z +1 ⇔ MA = MB M thuộc trung trực của AB có
phương trình x + y −1 = 0 (d) 2 Gọi 2 2 2 IJ I(1; 2
− );J(0;1) ⇒ P = MI + MJ = 2ME + 2 (với  1 1 E ; −  
là trung điểm của IJ) 2 2   
Do đó P ME hay M là hình chiếu vuông góc của E xuống d, khi đó EM : x− y−1 = 0 min min
M = EM d M (1;0) ⇒ a + b =1. Chọn A.
Câu 27: Gọi M (z); (3 A ;1),B( 1 − ; 1 − )
Khi đó z − 3− i = z +1+ i MA = MB M thuộc trung trực của AB có phương trình 2x + y − 2 = 0 (d) 2 Gọi 2 2 2 IJ I(1;1);J( 2 − ; 1)
− ⇒ P = MI + MJ = 2ME + 2 (với  1 − E ;0 
là trung điểm của IJ) 2   
Do đó P ME hay M là hình chiếu vuông góc của E xuống d, khi min min đó 1 EM : x− 2 y+ = 0 2  7 3  13
M = EM d M ; ⇒ a + b =  . Chọn A. 10 5    10
Câu 28: Ta có ω = z +1+ i z = ω −1− i nên z −1+ 2i = ω −1− i −1+ 2i = ω − 2 + i
Khi đó z −1+ 2i = 5 ⇔ ω − 2 + i = 5 nên ω
= 2 5 ⇔ ω = 4 − 2i max Suy ra 2 2
z = ω −1− i = 4 − 2i −1− i = 3− 3i z = 3 + ( 3) −
= 3 2 . Chọn B.
Câu 29: Xét hai cách giải:
Cách 1: Gọi z = x + yi (x, y ∈) ⇒ M (x, y) Và ( A 1; − 0),B(1;0). Ta có 2 2
z =1⇒ x + yi =1 ⇔ x + y =1
⇒ M thuộc đường tròn đường kính AB. ⇒ 2 2 2
MA + MB = AB = 4 . Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có 2 2 2 2
T = MA + 2MB ≤ (1 + 2 )(MA + MB ) = 5.4 = 2 5
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức maxT=2 5 . Chọn A.
Cách 2: Đặt z = x + yi 2 2
(x, y∈) ⇒ z +1 = (x+1) + y và 2 2
z −1 = (x−1) + y Mặt khác 2 2 2 2
z =1 ⇔ x + y =1 ⇔ x + y =1, khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T = (x+1) + y + 2 (x −1) + y ≤ (1 + 2 ) (x +1) + y + (x −1) + y    2 2
= 10(x + y +1) = 10.2 = 2 5 ⇒ maxT = 2 5 Câu 30: 2 2 2 2
z − 2z + 5 = (z −1) + 4 = (z −1) − (2i) = (z −1+ 2i)(z −1− 2i) z =1− 2i
Khi đó, giả thiết ⇔ (z −1+ 2i)(z −1− 2i) = (z −1+ 2i)(z + 3i −1) ⇔ 
z −1− 2i = z + 3i −1 
TH1. Với z =1− 2i , ta có w = z − 2 + 2i =1− 2i − 2 + 2i = 1 − ⇒ w =1
TH2. Với z −1− 2i = z + 3i −1 (*), đặt z = x + yi (x, y∈) , ta có (*) 2 2 2 2 1
x −1+ (y − 2)i = x −1+ (y + 3)i ⇔ (x −1) + (y− 2) = (x −1) + (y+ 3) ⇔ y = − 2 Do đó 1 3 2 9 3
w = z − 2 + 2i = x i − 2 + 2i = x − 2 + i w = (x − 2) + ≥ 2 2 4 2
So sánh hai trường hợp, ta được giá trị nhỏ nhất của ω bằng 1. Chọn A.
Câu 31: Đặt z = x + yi (x, y∈) nên 2 2
z i =1 ⇔ (z + yi) − i =1 2 2 2 2 2 2 2 2
x y + (2xy −1)i =1 ⇔ (x y ) + (2xy −1) =1 ⇔ x + y = 2 xy 2 2 2 2 2 2
x + y = 2 xy x + y ≤ 2(x + y ) ⇔ x + y ≤ 2 ⇔ z ≤ 2 . Chọn D. Câu 32: Ta có 2 2 iz + + iz +
= 4 ⇔ iz + i +1 + iz i −1 = 4 ⇔ z +1− i + z −1+ i = 4 1− i i −1 Gọi ( A 1; − 1), B(1; 1
− ) có trung điểm là O(0;0) . Điểm M biểu diễn số phức z 2 2 2
Theo công thức trung tuyến thì 2 2 MA + = = MB AB z OM 2 4 MA + MB 2 2 ( )2 2 Ta có 4 MA + MB ≥ = = 8 . Do đó 2 8 8
z ≥ − = 2 ⇔ z ≥ 2 2 2 2 4
Lại có 4 = z +1− i + z −1+ i z +1− i + z −1+ i = 2 z z ≤ 2
Vậy M = 2;m = 2 → M.m = 2 2 . Chọn C.
z − 2i x + (y − 2)i [x + (y − 2)i][x − 2 − yi]
Câu 33: Đặt z = x + yi (x, y∈) , khi đó = = 2 2 z − 2 x − 2 + yi (x − 2) + y 2 2
x + y − 2x − 2y − 2(x + y − 2) = i là số ảo 2 2 2 2
x + y − 2x − 2y = 0 ⇔ x + y = 2(x + y) 2 2 (x − 2) + y 2 Suy ra 2 2 (x + y) 2
2(x + y) = x + y
⇔ (x + y) − 4(x + y) ≤ 0 ⇔ x + y ≤ 4 2 Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2
P = z −1 + z i = (x −1) + y + x + (y −1) = x + y − 2x +1 + x + y − 2y +1
= 2y +1 + 2x +1 ≤ 2 x + y +1 = 2 4 +1 = 2 5 . Vậy P = . Chọn C. max 2 5
Câu 34: z.z =1 ⇔ z =1 nên tập hợp biểu diễ số phức z là đường tròn (C ) tâm O, R = 1 1
Lại có z − 3 + i = m nên tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) tâm I( 3; −1),R' = m 2
OI = R + R ' m =1
Yêu cầu bài toán ⇔ (C ),(C ) tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài ⇔ ⇔ 1 2  OI R R '  + = m = 3 Chọn A.
Câu 35:
Đặt z = x + yi (x, y∈) , ta có 2z +1 = z + z + 3 ⇔ 2x +1+ 2yi = 2x + 3 2 2 2 yy  2 2 2 2 2 2 2
⇔ (2x +1) + (2y) = (2x + 3) ⇔ x =
−1⇒ z −8 = (x −8) + y =  −9 + y 2  2  2 2  y  Xét hàm số 2 1 4 2 1 2 2
f (x) =  −9 + y = y −8y +81≥ (y −16) +17 ≥17  2  4 4
y = 4 → x = 7
Suy ra min f (y) =17 . Dấu bằng xảy ra khi 2 y =16 ⇔   y = 4 − → x = 7
Vậy tổng hai phần thực của hai số phức là 14. Chọn C. Câu 36: 2 2
z = x + 4y mà 2 2
z =1 ⇔ x + 4y =1 (*)
Lại có P = x y y = x P thế vào (*), ta được 2 2
x + 4(x P) =1 2 2 2 2 2
x + 4x −8Px+ 4P =1 ⇔ 5x −8 . P x + 4P −1 = 0 (**)
Phương trình (**) có nghiệm 2 2 ⇔ ∆ ' = ( 4
P) − 5(4P −1) ≥ 0 2 5 5 5 5 ⇔ 5 − 4P ≥ 0 ⇔ − ≤ P ≤ → min P = − ;max = . Chọn A. 2 2 2 2
Câu 37: Đặt z = x + yi 2 2 2 2
(x, y∈) ⇒ z + 2 = (x + 2) + y ; z − 2 = (x − 2) + y Mặt khác 2 2 2 2
z =1 ⇔ x + y =1 ⇔ x + y =1, khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
T = (x + 2) + y + 2 (x − 2) + y ≤ (1 + 2 ) (x + 2) + y + (x − 2) + y    2 2
= 10(x + y + 4) = 10.5 = 5 2 ⇒ maxT = 5 2
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là T = 5 2 . Chọn D.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1