Chuyên Đề Trắc Nghiệm Nguyên Hàm Có Đáp Án

Chuyền đề trắc nghiệm nguyên hàm được biên soạn dưới dạng file PDF gồm 42 trang. Tài liệu là kiến thức từ cơ bản đến nâng cao khác nhau và kèm sẵn đáp án để các em học sinh dễ dàng so sánh kết quả sao cho chuẩn xác nhất. Mời các em tham khảo thêm nhé!

44 22 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

42 trang 7 tháng trước

Tác giả:

Profile ha phan
Trang1
CHƢƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
CHỦ ĐỀ 1
NGUYÊN HÀM
I. Định nghĩa:
Giả sử
y f x
liên tục trên khoảng
,ab
, khi đó hàm số
y F x
là một nguyên hàm của hàm số
y f x
khi và chỉ khi
'( ) ( )F x f x
,
,x a b
.
Nếu
y F x
là một nguyên hàm của hàm số
y f x
thì
f ( x )dx F( x ) C
,
C
II. Vi phân:
Giả sử
y f x
xác định trên khoảng
,ab
và có đạo hàm tại điểm
.
Vi phân của hàm số
y f x
là:
'.dy f x dx
Quan hệ giữa đạo hàm nguyên hàm và vi phân:
f x dx F x c F x f x dF x f x dx
III. Các tính chất của nguyên hàm
1. Nếu
fx
là hàm số có nguyên hàm thì :
f x dx f x
;
d f x dx f x dx
2. Nếu
Fx
có đạo hàm thì:
d F x F x C
3. Phép cộng, phép trừ:
f x g x dx f x dx g x dx


4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:

kf x dx k f x dx
, k 0
IV. Phƣơng pháp tính nguyên hàm:
1. Phương pháp đổi biến số:
Nếu
( ) ( )f u du F u C
và
()u u x
có đạo hàm liên tục thì:
( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C
2. Phương pháp từng phần
Nếu hai hàm số
u u x
và
v v x
có đạo hàm liên tục trên K thì:
u x .v' x dx u x .v x u' x .v x dx

Hay:
u.dv u.v v.du

Trang2
V. Nguyên hàm của một số hàm thƣờng gặp
VI. Vi phân
+ Cho hàm số
y f x
có đạo hàm tại
0
x
vi phân của hàm số
y f x
tại điểm
0
x
là :
00
.df x f x x

.
+ Cho hàm số
y f x
có đạo hàm
fx
thì tích
.f x x
được gọi là vi phân của hàm số
y f x
Kí hiệu :
..df x f x x f x dx

hay
.dy y dx
.
VII. Các quy tắc tính đạo: Cho
; ; :u u x v v x C
là hằng số .
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm hàm số thƣờng gặp
Nguyên hàm của hàm số hợp
Cxdx
1
1
1
C
x
dxx
2
11
dx C
xx
1
2dx x C
x

Cbax
a
baxd
1
1
1
1
1
C
bax
a
dxbax
2
1 1 1
dx C
a ax b
ax b
1 1 2
dx C
a
ax b ax b


Cudu
1
1
1
C
u
duu
2
11
du C
uu
1
2du u C
u

Cxxdx
sincos
Cxxdx
cossin
Cxdx
x
tan
cos
1
2
Cxdx
x
cot
sin
1
2
Cbax
a
dxbax
sin
1
cos
Cbax
a
dxbax
cos
1
sin
Cbax
a
dx
bax
tan
1
cos
1
2
Cbax
a
dx
bax
cot
1
sin
1
2
Cuudu
sincos
Cuudu
cossin
Cudu
u
tan
cos
1
2
Cudu
u
cot
sin
1
2
0ln
xCx
x
dx
Cedxe
xx
10
ln
aC
a
a
dxa
x
x
0ln
1
xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
1
1
. 0 1
ln
x
x
a
a dx C a
a


0ln
uCu
u
du
Cedue
uu
10
ln
aC
a
a
dxa
u
u
' ' 'u v u v
. ' '. '. . .u v u v v u C u C u
22
'. '. .
,0
u u v v u C C u
v
vu
vu
Nếu
,.
x u x
y f u u u x y y u
Trang3
VIII. Các công thức tính đạo:
IX. Nguyên hàm mở rộng
C
x
x
dx
x
1
1
ln.
2
1
.
1
1
2
C
ax
ax
a
dx
ax
ln.
2
1
.
1
22
)0( a
Cxdx
x
arctan.
1
1
2
)0(arctan.
1
.
1
22
aC
a
x
a
dx
ax
Cxdx
x
arcsin
1
1
2
C
a
x
dx
xa
arcsin
1
22
)0( a
Cxxdx
x
1ln
1
1
2
2
Caxxdx
ax
22
22
ln
1
Cxdxx cosln.tan
C
a
xa
xa
x
dxxa arcsin
2
.
2
2
2222
Cxdxx sinln.cot
Caxx
a
ax
x
dxax
22
2
2222
ln
2
.
2
'
1
. . .ln
.ln
x
x
x
xx
ab
a
dx dx a b C
a b a b b a


Đạo hàm của hàm số sơ cấp
Đạo hàm của hàm số hợp
0 ; 1Cx


1
.
nn
x n x
1
. . , , 2
nn
u n u u n n
'
2
11
x
x




'
2
1 u
u
u




1
,0
2
xx
x

,0
2
u
uu
u

sin cosxx
sin . cosu u u
cos sinxx

cos .sinu u u

2
1
tan
cos
x
x
2
tan
cos
u
u
u
2
1
cot
sin
x
x

2
cot
sin
u
u
u

'
1
. , 0x x x


'
1
. . 'u u u

'
.ln
xx
a a a
'
.ln . '
uu
a a u u
'
xx
ee
'
.'
uu
e e u
'
1
log
ln
a
x
xa
'
'
log
ln
a
u
u
ua
'
1
ln , 0xx
x

'
'
ln
u
u
u
'
1
1
.
n
n
n
x
nx
'
1
'
.
n
n
n
u
u
nu
Trang4
X. Lƣợng giác
1. Hệ thức cơ bản:
sin
tan
cos
cos
cot
sin
2 2 2 2
sin cos 1 sin cos 1
n
tan .cot 1 tan .cot 1
nn
22
22
11
1 tan ; 1 cot
cos sin


2. Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Để thuộc các công thức trên chỉ cần hiểu và thuộc câu thần chú sau:
cos đối, sin bù, phụ chéo
kém
tan, cot, kém
2
chéo cos
Góc hơn kém
Góc hơn kém
2
sin( ) sin
sin cos
2





cos( ) cos
cos sin
2




tan( ) tan

tan cot
2




cot( ) cot

cot tan
2




Góc đối nhau
Góc bù nhau
Góc phụ nhau
cos( ) cos


sin( ) sin

sin cos
2





sin( ) sin

cos( ) cos
cos sin
2





tan( ) tan

tan( ) tan
tan cot
2





cot( ) cot

cot( ) cot
cot tan
2





Trang5
3. Công thức lƣợng giác
a. Công thức cộng
b. Công thức nhân đôi
c. Công thức biến đổi tích thành tổng
d. Công thức biến đổi tổng thành tích
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b






Công thức nhân đôi
Công thức hạ bậc
Công thức nhân ba
sin2 2sin .cos



22
2
2
cos2 cos sin
2cos 1
1 2sin
2
2tan
tan2
1 tan
2
cot 1
cot2
2cot
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan



sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31
hoặc:
sin thì 3sin 4sỉn , cos thì 4 cổ 3cô
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b
tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab

tan tan
tan( )
1 tan .tan
ab
ab
ab

Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan




Trang6
PHẦN 1
NGUYÊN HÀM
VẤN ĐỀ 1
Lý thuyết
Câu 1. Hàm số
( )
fx
có nguyên hàm trên
K
nếu:
A.
( )
fx
xác định trên
K
. B.
( )
fx
có giá trị lớn nhất trên
K
.
C.
( )
fx
có giá trị nhỏ nhất trên
K
. D.
( )
fx
liên tục trên
K
.
Câu 2. Giả sử hàm số
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
fx
trên
K
. Khẳng định nào sau đây đúng.
A. Chỉ có duy nhất một hằng số
C
sao cho hàm số
()y F x C
là một nguyên hàm của hàm
f
trên
.K
B. Với mỗi nguyên hàm
G
của
f
trên
K
thì tồn tại một hằng số
C
sao cho
( ) ( )G x F x C
với
x
thuộc
K
.
C. Chỉ có duy nhất hàm số
()y F x
là nguyên hàm của
f
trên
.K
D. Với mỗi nguyên hàm
G
của
f
trên
K
thì
( ) ( )G x F x C
với mọi
x
thuộc
K
và
C
bất kỳ.
Câu 3. Cho hàm số
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
trên
K
. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A.

( ) ( ) .f x dx F x C
B.
( ) ( ).f x dx f x
C.
( ) ( ).f x dx f x
D.
( ) ( ).f x dx F x
Câu 4. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai.
A.


( ) ( ) ,( )kf x dx k f x dx k R
. B.
. . .f x g x dx f x dx g x dx
C.


.f x g x dx f x dx g x dx
D.


.f x g x dx f x dx g x dx
Câu 5. Cho hai hàm số
( ), ( )f x g x
là hàm số liên tục, có
( ), ( )F x G x
lần lượt là nguyên hàm của
( ), ( )f x g x
.
Xét các mệnh đề sau:
(I).
( ) ( )F x G x
là một nguyên hàm của
( ) ( ).f x g x
cos cos 2cos .cos
22
a b a b
ab


cos cos 2sin .sin
22
a b a b
ab

sin sin 2sin .cos
22
a b a b
ab


sin sin 2cos .sin
22
a b a b
ab


sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab
ab

sin( )
tan tan
cos .cos
ab
ab
ab

sin( )
cot cot
sin .sin
ab
ab
ab

ba
ab
ab
sin( )
cot cot
sin .sin

Chú ý:



sin cos 2.sin
4



sin cos 2cos
4
Trang7
(II).
. ( )k F x
là một nguyên hàm của
()kf x
với
k R.
.
(III).
( ). ( )F x G x
là một nguyên hàm của
( ). ( ).f x g x
Các mệnh đúng là
A.(I). B. (I) và (II). C. Cả 3 mệnh đề. D. (II).
Câu 6. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
( )
;ab
và
C
là hằng số thì
( ) ( )
df x x F x C=+
ò
.
B. Mọi hàm số liên tục trên
( )
;ab
đều có nguyên hàm trên
( )
;ab
.
C.
( )
Fx
là một nguyên hàm của
( )
fx
trên
( ) ( ) ( ) ( )
/
; , ;a b F x f x x a bÛ = " Î
.
D.
( )
( )
( )
/
df x x f x=
ò
.
Câu 7. Xét hai khẳng định sau:
(I) Mọi hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
đều có đạo hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số
( )
fx
liên tục trên đoạn
[ ]
;ab
đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai.
Câu 8. Hàm số
( )
Fx
được gọi là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên đoạn
[ ]
;ab
nếu:
A. Với mọi
( )
;x a bÎ
, ta có
( ) ( )
/
F x f x=
.
B. Với mọi
( )
;x a bÎ
, ta có
( ) ( )
/
f x F x=
.
C. Với mọi
[ ]
;x a bÎ
, ta có
( ) ( )
/
F x f x=
.
D. Với mọi
( )
;x a bÎ
, ta có
( ) ( )
/
F x f x=
, ngoài ra
( )
( )
/
F a f a
+
=
và
( )
( )
/
F b f b
-
=
.
Câu 9. Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số
f
xác định trên khoảng
D
, câu nào là sai?
(I)
F
là nguyên hàm của
f
trên
D
nếu và chỉ nếu
( ) ( )
:'x D F x f x" Î =
.
(II) Nếu
f
liên tục trên
D
thì
f
có nguyên hàm trên
D
.
(III) Hai nguyên hàm trên
D
của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Không có câu nào sai. B. Câu (I) sai. C. Câu (II) sai. D.Câu (III) sai.
Câu 10. Giả sử
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên khoảng
( )
;ab
. Giả sử
( )
Gx
cũng là một nguyên
hàm của
( )
fx
trên khoảng
( )
;ab
. Khi đó:
A.
( ) ( )
F x G x=
trên khoảng
( )
;ab
.
B.
( ) ( )
G x F x C=-
trên khoảng
( )
;ab
, với
C
là hằng số.
C.
( ) ( )
F x G x C=+
với mọi
x
thuộc giao của hai miền xác định,
C
là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
Câu 11. Xét hai câu sau:
(I)
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
d d df x g x x f x x g x x F x G x C+ = + = + +
ò ò ò
,
trong đó
( )
Fx
và
( )
Gx
tương ứng là nguyên hàm của
( ) ( )
,f x g x
.
(II) Mỗi nguyên hàm của
( )
.a f x
là tích của
a
với một nguyên hàm của
( )
fx
.
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (I) đúng. B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai câu đều đúng. D. Cả hai câu đều sai.
Câu 12. Các khẳng định nào sau đây là sai?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
ddf x x F x C f t t F t C= + Þ = +
òò
. B.
( ) ( )
/
df x x f x
éù
=
êú
ëû
ò
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
ddf x x F x C f u x F u C= + Þ = +
òò
. D.
( ) ( )
ddkf x x k f x x=
òò
(
k
là hằng số).
Câu 13. Câu nào sau đây sai?
A. Nếu
( ) ( )
'F t f t=
thì
( )
( )
( )
( )
/
F u x f u x=
.
B.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
d ' df t t F t C f u x u x x F u x C= + Þ = +
òò
.
C. Nếu
( )
Gt
là một nguyên hàm của hàm số
( )
gt
thì
( )
( )
G u x
là một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
( )
/
.g u x u x
.
Trang8
D.
( ) ( ) ( ) ( )
ddf t t F t C f u u F u C= + Þ = +
òò
với
( )
u u x=
.
Câu 14. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai.
A.
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx
.
B.Nếu
()Fx
và
()Gx
đều là nguyên hàm của hàm số
()fx
thì
( ) ( )F x G x C
là hằng số.
C.
()F x x
là một nguyên hàm của
( ) 2 .f x x
D.
2
()F x x
là một nguyên hàm của
( ) 2 .f x x
VẤN ĐỀ 2
Tính nguyên hàm của một số hàm số đa thức
Câu 15. (ĐỀ THI TNTHPT 2021)Cho hàm số
2
( ) 3f x x
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
2
( ) 3f x dx x x C
B.
3
( ) 3
3
x
f x dx x C
.
C.
3
( ) 3f x dx x x C
. D.
( ) 2f x dx x C
.
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 17. Hàm số là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số: là
A. . B. .
3
32f x x x
4
2
32
3
x
F x x x C
42
3
2
42
xx
F x x C
42
2
42
xx
F x x C
2
33F x x x C
32
5 4 7 120F x x x x C
2
5 4 7f x x x
2
5 4 7f x x x
2 3 2
5 4 7
4 3 2
x x x
fx
2
15 8 7f x x x
2
1
3y x x
x
3
2
3
ln
32
x
F x x x C
3
2
3
ln
32
x
F x x x C
Trang9
C. . D. .
Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số
A. . B. .
C. . D. .
Câu 20. Biết hàm số
3
2 1 3f x x x
có nguyên hàm là
25
b
F x ax x C
c
với
,,abc
và
b
c
là
phân số tối giản .Tính giá trị biểu thức
..
abc
T
abc

.
A.
1
3
T
B.
2
5
T
C.
1
5
T
D.
7
3
T
Câu 21. Biết hàm số
5
21f x x
có nguyên hàm là
6
2
a
F x x c C
b
với
,,abc
và
a
b
là phân
số tối giản .Tính giá trị biểu thức
..
abc
T
abc

.
A.
5
3
T
B.
3
5
T
C.
6
7
T
D.
7
6
T
Câu 22. Một nguyên hàm
Fx
của
2
( ) 3 1f x x
thỏa
10F
là:
A.
3
1F x x
B.
3
2F x x x
C.
3
4F x x
D.
3
22F x x
Câu 23. Tìm một nguyên hàm
Fx
của hàm số
2
2f x x
biết
7
2
3
F
A.
3
1
2
33
x
F x x
B.
3
19
2
3
F x x x
C.
3
21
3
x
F x x
D.
3
23
3
x
F x x
Câu 24. Nguyên hàm
Fx
của hàm số
23
24f x x x
thỏa mãn điều kiện
là
A.
4Fx
B.
34
24F x x x
C.
4
3
2
4
34
x
F x x x
D.
34
2F x x x x
Câu 25. Cho hàm số
32
21f x x x x
. Gọi
Fx
là một nguyên hàm của
()fx
, biết rằng
14F
thì:
A.
43
2
49
4 3 12
xx
F x x x
B.
43
2
1
43
xx
F x x x
C.
43
2
2
43
xx
F x x x
D.
43
2
43
xx
F x x x
Câu 26. Biết hàm số

2
( ) ( 1)f x x
có nguyên hàm là
3
2
()
x
F x bx cx C
a
với
,,a b c
. Tính giá trị biểu
thức
T a b c
.
A.
1T
B.
3T
C.
5T
D.
10T
Câu 27. Biết hàm số

4
3f x x
có nguyên hàm là

3
a
x
F x C
b
với
,ab
. Tính giá trị biểu thức

22
T a b
.
3
2
3
ln
32
x
F x x x C
2
1
23 F x x C
x
12f x x x
23 F x x C
3
2
2
2
33
x
F x x x C
3
2
3
2
32
x
F x x x C
3
2
2
2
33
x
F x x x C
Trang10
A.
5T
B.
25T
C.
50T
D.
10T
Câu 28. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.
A.




2
2
11
2 1 2 1 .x dx x dx
xx
B.

2
11
2 1 2 2 1 .x dx x dx
xx
C.
2
1 1 1
2 1 2 1 . 2 1 .x dx x dx x dx
x x x
D.



2
2
2
1 1 2
2 1 4 4 4x dx x dx dx dx xdx dx dx
xx
x
Câu 29. Cho hàm số
4
2
1f x x x
. Biết
Fx
là một nguyên hàm của
()fx
; đồ thị hàm số
y F x
đi qua
điểm
M 1;6
. Nguyên hàm
Fx
là
A.
4
2
1
2
45
x
Fx

B.
5
2
1
2
55
x
Fx

C.
5
2
1
2
55
x
Fx

D.
4
2
1
2
45
x
Fx

Câu 30. Hãy xác định hàm số
()fx
từ đẳng thức:
2
()x xy C f y dy
A.
2f x x
B.
()f x x
C.
( ) 2 1f x x
D. Không tính được
Câu 31. Cho
f(x)dx F(x) C.
Khi đó với a 0, ta có
f(a x b)dx
bằng:
A.
1
F(a x b) C
2a

B.
F(a x b) C
C.
1
F(a x b) C
a

D.
F(a x b) C
Câu 32. Cho
2
()f x dx x x C
. Khi đó
2
f x dx
bằng:
A.
53
53
xx
C
B.
42
x x C
C.
3
2
3
x x C
D. Không được tính
Câu 33. Cho hàm số
y f x
thỏa mãn
2
'.y x y
và
11f 
thì
2f
bằng bao nhiêu?
A.
3
2fe
B.
2
2fe
C.
22fe
D.
21fe
Câu 34. Tìm giá trị thư
c của
m
để
32
34F x mx x x
là một nguyên hàm của hàm số
2
23f x x x
.
A.
1m 
. B.
1
3
m
. C.
1m
. D.
1
3
m 
.
Câu 35. Cho
1f x x
. Một nguyên hàm
Fx
của
fx
thỏa
11F
là:
A.
2
1xx
B.
2
2
2
1
khi 0
22
khi 0
2
x
xx
x
x C x
.
C.
2
1
2
2
khi 0
2
khi 0
2
x
x C x
x
x C x
. D.
2
1
2
2
khi 0
khi 0
2
x x C x
x
x C x
.
Trang11
Câu 36. Cho hàm số
fx
thỏa mãn
1
2
25
f 
và
2
3
4.f x x f x


với mọi
x
. Giá trị của
1f
bằng?
A.
41
100
. B.
1
10
. C.
391
400
. D.
1
40
.
Câu 37. Biết
3 5 4
1 1 1x x dx a x b x C
, với
,ab
. Tính giá trị
2020
.
ab
S
ab



A.
2020
1
.
2
S



B.
2020
2.S
C.
1.S
D.
0.S
Câu 38. Biết
2020 2022 2021
(1 ) ( 1) ( 1)x x dx a x b x C
, với
,ab
. Tính giá trị
.ab
S
ab
A.
4043.S 
B.
2020
2.S
C.
2020.S
D.
2020.S 
Câu 39. Biết
2 3 2019 3
3 (2020 ) (2020 )
b
x x dx a x C
, với
; ab
. Tính giá trị
2020
1
.
S
ab
A.
2020.S
B.
1.S
C.
4.S
D.
2019.S
Câu 40. Cho
43
2020
43
xx
f x dx C
. Khi đó
3f x dx
là:
A.
4
3
27 2020
3
43
x
xC
B.
4
3
3
3 2020
4
x
xC
C.
4
3
27
2020
4
x
xC
D.
4
3
2020
43
x
xC
Câu 41. Cho
10
( 1)x x dx
. Nếu đặt
1tx
thì
f t dt
là
A.
10 9
10 9
tt
C
B.
10 9
10 9
tt
C
C.
12 11
12 11
tt
C
D.
12 11
12 11
tt
C
VẤN ĐỀ 3
Tính nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ
()
()
()
Px
fx
Qx
Câu 42. Nguyên hàm của hàm số
2
f x x – 3x
201
9
x

là
A. F(x) =
32
x 3x
2019ln x C
32
B. F(x) =
32
x 3x
2019ln x C
32
C. F(x) =
32
x 3x
2019ln x C
32
D. F(x) =
32
x 3x
2019ln x C
32
Câu 43.
dx
2 3x
bằng:
A.
2
1
C
2 3x
B.
2
3
C
2 3x

C.
1
ln 2 3x C
3

D.
1
ln 3x 2 C
3
Trang12
Câu 44. Hàm nào khôngphải nguyên hàm của hàm số
2
2
y
(x 1)
:
A.
x1
x1
B.
2x
x1
C.
2
x1
D.
x1
x1

Câu 45. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số
2
1
f(x)
(x 2)
là:
A.
1
F(x) C
x2

B. Đáp án khác. C.
1
F(x) C
x2

D.
3
1
F(x) C
(x 2)

Câu 46. Tính
5
3
x1
dx
x
ta được kết quả nào sau đây?
A. Một kết quả khác B.
32
xx
C
32

C.
6
4
x
x
6
C
x
4
D.
3
2
x1
C
3 2x

Câu 47. Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số
2
x(2 x)
f(x)
(x 1)
?
A.
2
x x 1
x1

B.
2
x x 1
x1

C.
2
x x 1
x1

D.
2
x
x1
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số

3
1xx
y
x
là:
A.
3
ln .
3
x
x x C
B.
32
ln
32
xx
xC
. C.
3
ln .x x x C
D.
3
ln .
3
x
x x C
Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số
3
4
( ) .
1
x
fx
x
A.

4
4
3
( ) .
26
x
f x dx C
x
B.
4
( ) ln( 1) .f x dx x C
C.
34
( ) ln( 1) .f x dx x x C
D.
4
1
( ) ln( 1) .
4
f x dx x C
Câu 50. Nếu
1
ln 2f x dx x C
x
thì hàm số
fx
là
A.

1
.
2
f x x
x
B.
2
11
.fx
x
x
C.

2
1
ln 2 .f x x
x
D.
2
11
.
2
fx
x
x
Câu 51. Nguyên hàm của
2
1
31
fx
x
là:
A.
3
13
C
x
. B.
1
31
C
x
. C.
1
93
C
x
. D.
1
93
C
x
.
Câu 52. Một nguyên hàm của

2
2x 3
1
x
fx
x
là :
A.
2
3x 6 ln 1 .
2
x
x
B.

2
3x+6 ln 1
2
x
x
. C.

2
3x-6 ln 1 .
2
x
x
D.

2
3x+6 ln 1 .
2
x
x
Câu 53. Tìm nguyên hàm:
1
dx
x(x 3)
.
Trang13
A.
1x
ln C
3 x 3
B.
1 x 3
ln C
3x
C.
1x
ln C
3 x 3
D.
1 x 3
ln C
3x
Câu 54.
Tìm
F=

2
2
dx
x
xx
?
A.
F=
12
ln .
31
x
xC
x
B.
F=
11
ln .
32
x
xC
x
C.
F=
11
ln .
32
x
xC
x
D.
F=
2
ln .
1
x
xC
x
Câu 55.
2
1
dx
x 6x 9
bằng:
A.
1
C
x3

B.
C.
1
C
x3

D.
1
C
3x
Câu 56. Nguyên hàm của hàm số: y =
22
dx
ax
là:
A.
1 a x
ln
2a a x
+C B.
1 a x
ln
2a a x
+C C.
1 x a
ln
a x a
+C D.
1 x a
ln
a x a
+C
Câu 57. Tìm nguyên hàm

2
3
d
32
x
x
xx
.
A.

2
3
d 2ln 2 ln 1
32
x
x x x C
xx
. B.

2
3
d 2ln 1 ln 2
32
x
x x x C
xx
.
C.

2
3
d 2ln 1 ln 2
32
x
x x x C
xx
. D.

2
3
d ln 1 2 ln 2
32
x
x x x C
xx
.
Câu 58. Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của hàm số
2
2
.
1
xx
fx
x
A.

2
1
.
1
xx
x
B.

2
1
.
1
xx
x
C.
2
.
1
x
x
D.

2
1
.
1
xx
x
Câu 59. Cho hàm số

2
2
.
45
x
fx
xx
Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
2
1
ln 4 5 .
2
f x dx x x C
B.



2
1
ln 4 5 .
2
f x dx x x C
C.
2
1
ln 4 5 .
2
f x dx x x C
D.
2
1
ln 4 5 .
2
f x dx x x C
Câu 60. Kết quả

2
57
d
32
x
x
xx
bằng:
A.
2ln 2 3ln 1x x C
. B.
3ln 2 2ln 1x x C
.
C.
2ln 1 3ln 2x x C
. D.
3ln 2 2ln 1x x C
.
Câu 61. Nguyên hàm của (với C hằng số) là
2
2x
dx
1x
A.
1x
C
1x
B.
x
C
1x
C.
1
C
1x
D.
2
ln 1 x C
Câu 62.
2
4x 1
dx
4x 2x 5

bằng:
A.
2
1
C
4x 2x 5

B.
2
1
C
4x 2x 5


Trang14
C.
2
ln 4x 2x 5 C
D.
2
1
ln 4x 2x 5 C
2
Câu 63. Biết là một nguyên hàm của
1
1
fx
x
và . Tính .
A.
3 ln 2 1F
. B.
3 ln 2 1.F
C.
1
3
2
F
. D.
7
3
4
F
.
Câu 64. Tìm nguyên hàm
()Fx
của hàm số
3
2
1
()
x
fx
x
, biết
(1) 0F
.
A.
2
11
( ) .
22
x
Fx
x
B.
2
13
( ) .
22
x
Fx
x
C.
2
11
( ) .
22
x
Fx
x
D.
2
13
(x) .
22
x
F
x
Câu 65. Tìm một nguyên hàm
Fx
của hàm số
2
0
b
f x ax x
x
, biết rằng
1 1,F
1 4, 1 0Ff
A.
2
3 3 7
.
4 2 4
x
Fx
x
B.
2
3 3 7
.
4 2 4
x
Fx
x
C.
2
3 3 7
.
2 4 4
x
Fx
x
D.
2
3 3 1
.
2 2 2
x
Fx
x
Câu 66. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
32
2
x 3x 3x 1
f(x)
x 2x 1

biết
1
F(1)
3
A.
2
2
F(x) x x 6
x1
B.
2
2 13
F(x) x x
x 1 6
C.
2
x 2 13
F(x) x
2 x 1 6
D.
2
x2
F(x) x 6
2 x 1
Câu 67. Tìm 1 nguyên hàm F(x) của
3
2
x1
f(x)
x
biết F(1) = 0
A.
2
x 1 1
F(x)
2 x 2
B.
2
x 1 3
F(x)
2 x 2
C.
2
x 1 1
F(x)
2 x 2
D.
2
x 1 3
F(x)
2 x 2
Câu 68. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau:
32
41
C f(y)dy
xy
A.
3
1
y
B.
3
3
y
C.
3
2
y
D. Một kết quả khác.
Câu 69. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số
2
1
f(x)
x 3x 2

thỏa mãn
3
F0
2



. Khi đó F(3) bằng:
A. 2ln2 B. ln2 C. -2ln2 D. –ln2
Câu 70. Nếu
F(x)
là một nguyên hàm của hàm
2
x3
f(x) ,F(0) 0
x 2x 3


thì hằng số C bằng
A.
2
ln3
3
B.
3
ln3
2
C.
2
ln3
3
D.
3
ln3
2
Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số
32
2
x 3x 3x 7
f(x)
(x 1)
với F(0) = 8 là:
A.
2
x8
x
2 x 1

B.
2
x8
x
2 x 1

C.
2
x8
x
2 x 1

D. Một kết quả khác
Câu 72. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số:
2
1
f(x)
x 6x 5

. Một học sinh trình bày như sau:
(I)
2
1 1 1 1 1
f(x)
x 6x 5 (x 1)(x 5) 4 x 5 x 1



Fx
21F
3F
Trang15
(II) Nguyên hàm của các hàm số
11
,
x 5 x 1
theo thứ tự là:
ln x 5 , ln x 1
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là:
1 1 x 1
(ln x 5 ln x 1 C C
4 4 x 5
Nếu sai, thì sai ở phần nào?
A. I B. I, II C. II, III D. III
Câu 73. Tìm giá trị thực của
a
để
1
5
ax
Fx
x
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
5
fx
x
.
A.
6a
. B.
2
5
a
. C.
3
5
a
. D.
2
5
a 
.
Câu 74. Biết
2
1
ln 2 7
2 5 7
xa
dx x C
x x b

, với
a
b
là phân số tối giản. Tính S = a + b?
A.
4.S
B.
2.S
C.
3.S
D.
5.S
Câu 75. *Biết
()Fx
là nguyên hàm của
2
2
2
5 8 4
1
xx
dx
xx

với
01x
và
1
26
2
F



. Giá trị nhỏ nhất của
()Fx
là:
A.
24.
B.
20.
C.
25.
D.
26.
Câu 76. Biết
2
11
52
25 20 4
dx C
ax
xx

. Với a là số nguyên. Tìm a?
A.
4.a
B.
100.a
C.
5.a
D.
25.a
Câu 77. Biết . Tính giá trị biểu thức
ab
A.
5.ab
B.
1.ab
C.
5.ab
D.
1.ab
Câu 78. Nguyên hàm của hàm số là hàm số nào?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 79. Biết
2
2
1
ln | 1|
1
xx
dx ax b x C
x

, với
; ab
. Tính giá trị
2020
1
.
S
ab
A.
2020
2.S
B.
1.S
C.
2.S
D.
1
.
2
S
Câu 80. Biết
2
2
3
1xb
dx ax cx C
xx



, với
; ,a b c
. Tính giá trị
S a b c
.
A.
5
.
2
S
B.
4
.
3
S
C.
3
.
2
S
D.
1
.
2
S
Câu 81. Biết
2
2
23
ln 1
1
xx
dx ax bx c x C
x

, với
; ,a b c
. Tính giá trị
2 3 5S a b c
.
A.
0.S
B.
3.S
C.
8.S
D.
20.S

1
ln 1 ln 2
12
x
dx a x b x C
xx
Fx
2
2 2 3
52
fx
xxx
3
ln 5 2 2lnF x x x C
x
3
ln 5 2 2lnF x x x C
x
3
ln 5 2 2lnF x x x C
x
3
ln 5 2 2lnF x x x C
x
Trang16
Câu 82. Hàm số
4
2
23x
fx
x
có nguyên hàm là
3
b
F x ax C
x
với với
; ab
. Tính giá trị biểu
thức
.
ab
T
ab
.
A.
5
3
T
B.
1T
C.
7
3
T 
D.
7
6
T
Câu 83. Biết
31
ln
2
x
dx ax b x c C
x
, với
,,abc
. Tính giá trị
..
abc
S
abc

.
A.
1.S
B.
2
.
3
S
C.
1
.
21
S
D.
3
.
7
S
Câu 84. Biết
1
ln ln
12
dx a x b c x d C
xx

, với
, , ,a b c d
. Tính giá trị
2020
. . .S abc d
.
A.
2020
2.S 
B.
2020
2.S
C.
2020
3.S 
D.
2020
3.S
Câu 85. Biết
2
1
ln ln
32
x
dx a x b c x d C
xx

, với
, , ,a b c d
. Tính giá trị
S a b c d
.
A.
4.S
B.
8.S
C.
7.S
D.
9.S
Câu 86. Biết
2
23
ln 1 ln 3
43
x
dx a x b x C
xx

, với
,ab
. Tính giá trị
.ab
S
ab
.
A.
3
.
8
S
B.
4
.
3
S
C.
8
.
3
S
D.
3
.
4
S
Câu 87. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số:
2
2
()
1
xx
fx
x
là:
A.
2
1
()
1
xx
Fx
x

B.
2
1
()
1
xx
Fx
x

C.
2
()
1
x
Fx
x
D.
2
1
()
1
xx
Fx
x

Câu 88. Biết
2
2
ln( )
1
x
dx a b x C
x
, với
; ab
. Tính giá trị
2019
.ab
S
ab



.
A.
1.S
B.
1.S 
C.
2019
1
.
2
S



D.
2019
1
.
2
S




Câu 89. Biết
4 3
22
2
d
9 . 9
x
xC
x b x
a

, với
; ab
. Tính giá trị
S a b
.
A.
7
.
3
S 
B.
1
.
3
S
C.
2
.
3
S
D.
7
.
3
S
Câu 90. Biết hàm số
2
2
()
43
x
fx
xx

có nguyên hàm là
2
ln | 3|
a
F x x cx C
b
với
,,abc
và
a
b
là phân số tối giản .Tính giá trị biểu thức
..
abc
T
abc

.
A.
1
.
8
S 
B.
1
.
8
S
C.
3
.
8
S
D.
5
.
8
S 
Câu 91. Biết
2
2
x
ln
1
x
d
aC
xx
bx

, với
;ab
. Tính giá trị
3
5
a
S
b

.
A.
5
.
3
S 
B.
5
.
16
S
C.
5
.
16
S 
D.
16
.
5
S
Trang17
Câu 92. Biết
2
3 5 2
1
ln ln
dx
b x c d x C
x x ax
, với
; , ,c a b d
. Tính giá trị
a b c d
S
b
.
A.
3
.
2
S
B.
3
.
2
S 
C.
2
.
3
S
D.
2
.
3
S 
Câu 93. Cho
2
2 3 1 3
ln 1 ln 3
4 3 2 2
x
dx x x C
xx

. Khi đó
2020f x dx
bằng:
A.
1010ln 1 3030ln 3x x C
B.
13
ln 1 ln 3
4040 4040
x x C
.
C.
13
ln 2020 1 ln 2020 3
22
x x C
D.
13
ln 2020 1 ln 2020 3
4040 4040
x x C
Câu 94. Cho
2
1
ln 1
1
1
x
dx x C
x
x
. Khi đó
2020f x dx
bằng:
A.
1
2020ln 1
1
xC
x
B.
1
ln 2021
2021
xC
x
.
C.
2020
2020ln 1
1
xC
x
D.
1
ln 2020
2020
xC
x
VẤN ĐỀ 4
Tính nguyên hàm của một số hàm số vô tỉ
Câu 95. Nguyên hàm của hàm số
3
f x x
là:
A.
3
2
3x
F x C
4

B.
3
3x x
F x C
4

C.
3
4x
F x C
3x

D.
3
2
4x
F x C
3x

Câu 96. Nguyên hàm của hàm số
1
fx
xx
là:
A.
2
F x C
x

B.
2
F x C
x
C.
x
F x C
2

D.
x
F x C
2
Trang18
Câu 97.
3
5
x dx
x



bằng:
A.
5
2
5ln x x C
5

B.
5
2
5ln x x C
5
C.
5
2
5ln x x C
5
D.
5
2
5ln x x C
5

Câu 98. Nguyên hàm của hàm số
2
x x x
fx
x
là:
A.
2 x 1
F x C
x

B.
2
2 x 1
F x C
x

C.
2 3 x
F x C
x

D.
1 2 x
F x C
x

Câu 99. Tìm nguyên hàm:
3
2
51
x dx
x2



A.
5
51
xC
x5
B.
5
51
xC
x5

C.
5
54
xC
x5
D.
5
51
xC
x5

Câu 100. Tìm nguyên hàm:
3
2
x x dx
x




A.
43
12
x 2ln x x C
43
B.
43
12
x 2ln x x C
43
C.
43
12
x 2ln x x C
43
D.
43
12
x 2ln x x C
43
Câu 101. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 102. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 103. Tìm nguyên hàm:
3
2
4
x dx
x



A.
3
5
5
x 4ln x C
3

B.
3
5
3
x 4ln x C
5
C.
3
5
3
x 4ln x C
5

D.
3
5
3
x 4ln x C
5

Câu 104. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 105. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 106. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
3
4
f(x) x x x
?
A.
4
35
3
24
234
F(x) x x x C
3 4 5
B.
24
5
33
4
234
F(x) x x x C
3 4 5
1
()
3
fx
x
23f x dx x C
3f x dx x C
23f x dx x C
33f x dx x C
( ) 5 3f x x
2
5 3 5 3
9
f x dx x x C
2
5 3 5 3
3
f x dx x x
2
5 3 5 3
9
f x dx x x
2
53
3
f x dx x C
3
( ) 2f x x
2
3
1
2
3
f x dx x C
3
3
22
4
f x dx x x C
2
22
3
f x dx x x
3
3
22
4
f x dx x x C
3
( ) 1 3f x x
3
3
1 3 1 3
4
f x dx x x C
3
1
1 3 1 3
4
f x dx x x C
3
1
1 3 1 3
4
f x dx x x C
2
3
13f x dx x C
Trang19
C.
24
5
33
4
2 4 5
F(x) x x x C
334
D.
1
35
3
24
2 1 4
F(x) x x x C
3 3 5
Câu 107. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết
1
f(x)
x 9 x

A.
3
3
2
x 9 x C
27
B. Đáp án khác
C.
3
3
2
C
3( x 9 x )

D.
3
3
2
x 9 x C
27
Câu 108. Một nguyên hàm của hàm số:
2
( ) 1f x x x
là:
A.
22
1
( ) 1
2
F x x x
B.
3
2
1
( ) 1
3
F x x
C.
2
3
2
( ) 1
3
x
F x x
D.
3
22
1
( ) 1
3
F x x x
Câu 109. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số:
2
1
4
y
x
A.
2
( ) ln 4 F x x x
B.
2
( ) ln 4 F x x x
C.
2
( ) 2 4F x x
D.
2
( ) 2 4 F x x x
Câu 110. Nguyên hàm của hàm số
2
1x
y
x
là:
A.
2
1 P x x x C
B.
22
1 ln 1 P x x x C
C.
2
2
11
1 ln

x
P x C
x
D. Đáp án khác.
Câu 111. Tìm hàm số
,Fx
biết
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
f x x
và
A.

21
.
33
F x x x
B.

11
.
2
2
Fx
x
C.
.F x x x
D.

31
.
22
F x x x
Câu 112. Cho
2 1 ln 2 1 4
2 1 4
dx
a x b x C
x

với
,ab
. Tính
M a b
.
A.
3M
B.
3M 
C.
0M
D.
2M
.
Câu 113. Cho
2
2
1
f x dx C
x

. Khi đó:
2f x dx
bằng:
A.
2
1
1
C
x
. B.
2
1
41
C
x
. C.
2
8
41
C
x
. D.
2
2
1
C
x
.
Câu 114. Cho các hàm số:
2
20x 30x 7
f(x)
2x 3

;
2
F x ax bx c 2x 3
với
3
x
2
. Để hàm số
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
f(x)
thì giá trị của
a,b,c
là:
A.
a 4;b 2;c 1
B.
a 4;b 2;c 1
C.
a 4;b 2;c 1
. D.
a 4;b 2;c 1
Câu 115. Hàm số
f(x) x x 1
có một nguyên hàm là
F(x)
. Nếu
F(0) 2
thì giá trị của
F(3)
là
A.
116
15
B. Một đáp số khác C.
146
15
D.
886
105
Trang20
Câu 116. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số
2
x
f(x)
8x
thỏa mãn F(2) =0. Khi đó phương trình F(x) = x có
nghiệm là:
A. x = 0 B. x = 1 C. x = -1 D.
x 1 3
Câu 117. Một học sinh tìm nguyên hàm của hàm số
y x 1 x
như sau:
(I) Đặt u = 1 - x ta được
y (1 u) u
(II) Suy ra
13
22
y u u
(III): Vậy nguyên hàm
2
5
3
2
22
F(x) u u C
35
(IV) Thay u = 1 - x ta được:
2
22
F(x) (1 x) 1 x (1 x) 1 x C
35
Lập luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
A. II B. III C. I D. IV
Câu 118. Tìm giá trị thực của
a
để
1
21
ax
Fx
x
là một nguyên hàm của hàm số
3
43
21
x
fx
x
.
A.
4a
. B.
5a
. C.
4a 
. D.
5a 
.
Câu 119. Cho
2
21F x ax bx c x
là một nguyên hàm của hàm số
2
10 7 2
21
xx
fx
x

trên khoảng
1
;
2




. Tính
S a b c
.
A.
3S
. B.
0S
. C.
6S 
. D.
2S 
.
Câu 120. Cho
2
23F x ax bx c x
là một nguyên hàm của hàm số
2
20 30 7
23
xx
fx
x

trên
khoảng
3
;
2




. Tính
P abc
.
A.
0P
. B.
3P
. C.
4P
. D.
8P 
.
Câu 121. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số
2
1
1
fx
x
trên khoảng
; 
?
A.
2
ln 1F x x x C
. B.
2
ln 1 1F x x C
.
C.
2
1F x x C
. D.
2
2
1
x
F x C
x

Câu 122. Biết
3 1 3 1
b
x dx a x C
, với
,ab
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
31
.
9
ab
B.
1
..
3
ab
C.
31
.
.3
ab
ab
D.
31
.
18
ab
Câu 123. Tính
2
3x x dx
. Nếu đặt
2
3tx
thì:
A.
22
3x x dx t dt

B.
2
3x x dx tdt

C.
2
3x x dx t tdt

D.
22
1
3
2
x x dx t dt

Câu 124. Cho
3
22
2
1
21
3
1
x
dx x x C
x
. Khi đó
2f x dx
bằng:
Trang21
A.
22
1
4 2 1 4
3
x x C
B.
22
1
4 2 1 4
6
x x C
.
C.
22
1
21
3
x x C
D.
22
1
4 2 1 4
6
x x C
Câu 125. Cho
2
2
1
ln 4
4
dx x x C
x
. Khi đó
1f x dx
bằng:
A.
2
ln 4 1x x C
B.
2
ln 1 4x x C
.
C.
2
ln 1 1 1x x C
D.
2
ln 1 2 5x x x C
Câu 126. Biết
ln 1
1
dx
a x b x C
x
, với
;ab
. Tính giá trị
2020
.ab
S
ab



.
A.
1.S
B.
1.S 
C.
2020
1
.
2
S



D.
2020
1
.
2
S




Câu 127. Nguyên hàm của hàm số:
3
1.I x x dx
là:
A.
4 3 2
2 5 6 2
1 1 1 1 1
9 7 5 3
F x x x x x x C



B.
4 3 2
2 6 6 2
1 1 1 1 1
9 7 5 3
F x x x x x x C



C.
432
2 6 6 2
1 1 1 1 1
9 7 7 3
F x x x x x x C



D.
4 3 2
2 6 6 1
1 1 1 1 1
9 7 5 3
F x x x x x x C



Câu 128. Biết
x
2x 1 ln 2x 1
2x 1 4
d
a b c C

, với
;;abc
. Tính giá trị
..abc
S
abc

.
A.
1.S
B.
1.S 
C.
16.S 
D.
16.S
Câu 129. Biết
2 3 3
3
2 lnx x dx ax b x c x C
x



, với
; ,b a c
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A.
2.abc
B.
4
. . .
3
abc
C.
3
.
. . 2
abc
abc

D.
3 3 8.a b c
Câu 130. Biết
4 7. 4 7 4 7
bd
x x dx a x c x C
, với
; ; ;a b c d
. Tính giá trị
S a b c d
.
A.
137
.
308
S
B.
308
.
137
S
C.
135
.
508
S
D.
508
.
135
S
Câu 131. Biết
3
4
4
ln
1
xa
dx x c C
xb
, với
;;abc
. Tính giá trị
.
abc
S
bc

.
A.
1
.
4
S 
B.
1.S 
C.
1
.
4
S
D.
1.S
Câu 132. Biết
3
22
2
4
2
x
dx a x b x C
x
, với
; ab
. Tính giá trị
ab
S
a
.
A.
1
.
5
S 
B.
5.S 
C.
1
.
5
S
D.
5.S
Câu 133. Biết
22
2
1
1 ln
1
x
dx a x bx x c C
x
, với
,,abc
. Tính giá trị
2020
abc
S
a

.
Trang22
A.
3
.
2020
S
B.
1
.
2020
S
C.
1
.
1010
D.
1
.
3030
VẤN ĐỀ 5
Tính nguyên hàm của một số hàm số mũ và logarit
Câu 134. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 135. Tìm nguyên hàm của hàm số .
()
xx
f x e e

xx
f x dx e e C
xx
f x dx e e C
xx
f x dx e e C
xx
f x dx e e C
2
( ) 2 .3
xx
fx
Trang23
A. . B. .
C. . D. .
Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số là
A. . B. .
C. . D. .
Câu 137. Hàm số là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. . B. .
C. . D. .
Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 139. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. B.
C. D.
Câu 140. Kết quả nào sai trong các kết quả sao?
A.
x 1 x 1
x x x
2 5 1 2
dx C
10 5.2 .ln 2 5 .ln5

B.
44
34
x x 2 1
dx ln x C
x 4x

C.
2
2
x 1 x 1
dx ln x C
1 x 2 x 1

D.
2
tan xdx tan x x C
Câu 141. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai:
A.
42
3
xx
x x dx C
42
B.
2x x
1
e dx e C
2

C.
sinxdx cosx C
D.
2
dx 4
ln
x x 3
Câu 142. Nguyên hàm của hàm số
2 5x
1
fx
e
là:
A.
2 5x
5
F x C
e

B.
2 5x
5
F x C
e
C.
2 5x
e
F x C
5
D.
5x
2
e
F x C
5e

Câu 143.
xx
3 4 dx
bằng:
A.
xx
34
C
ln3 ln 4

B.
xx
34
C
ln4 ln3

C.
xx
43
C
ln3 ln 4

D.
xx
34
C
ln3 ln4

Câu 144.
x1
2 dx
bằng
21
.
9 ln2 ln9
x
f x dx C




91
.
2 ln2 ln9
x
f x dx C




21
.
3 ln2 ln9
x
f x dx C




21
.
9 ln2 ln9
x
f x dx C




( ) (3 )
xx
f x e e

( ) 3
x
F x e x C
( ) 3 ln
x x x
F x e e e C
1
( ) 3
x
x
F x e C
e
( ) 3
x
F x e x C
7 tan
x
F x e x
2
7 tan 1
x
f x e x
2
1
7
cos
x
f x e
x

2
7
cos
x
x
e
f x e
x




2
1
7
cos
x
f x e
x




42
()
x
f x e
21
1
2
x
f x dx e C

21x
f x dx e C

42
1
2
x
f x dx e C

21
1
2
x
f x dx e C

3
x
f x e
3
2
3
x
e
f x dx C
3
3
2
x
f x dx C
e

3
3
2
x
e
f x dx C
32
2
2
32
x
e
f x dx C
x

Trang24
A.
x1
2
ln 2
B.
x1
2C
C.
x1
2
C
ln2
D.
x1
2 .ln 2 C
Câu 145. Nguyên hàm của hàm số
1 2x 3x
f x 3 .2
là:
A.
x
8
9
F x C
8
ln
9




B.
x
9
8
F x 3 C
8
ln
9




C.
x
8
9
F x 3 C
8
ln
9




D.
x
8
9
F x 3 C
9
ln
8




Câu 146. Nguyên hàm của hàm số
3x x
f x e .3
là:
A.
x
3
3
3.e
F x C
ln 3.e

B.
3x
3
e
F x 3. C
ln 3.e

C.
x
3
3.e
F x C
ln 3.e

D.
x
3
3.e
F x C
ln3

Câu 147.
2
x
x
1
3 dx
3



bằng:
A.
2
x
x
3 ln3
C
ln3 3




B.
3
x
x
1 3 1
C
3 ln3 3 ln3




C.
x
x
91
2x C
2ln3 2.9 ln3
D.
x
x
11
9 2x C
2ln3 9



Câu 148.
x
3.2 x dx
bằng:
A.
x
3
22
xC
ln2 3

B.
x
3
22
3. x C
ln2 3

C.
x
3
22
xC
3.ln2 3

D.
x
3
2
3. x C
ln2

Câu 149. Gọi
x
2022 dx F x C
, với C là hằng số. Khi đó hàm số
Fx
bằng
A.
x
2022 ln2022
B.
x1
2022
C.
x
2022
D.
x
2022
ln2022
Câu 150. Nguyên hàm của hàm số
x1
x
3
fx
4
là:
A.
x
4
3
F x 3 C
3
ln
4




B.
x
3
4
F x C
3
ln
4




C.
x
F x C
2

D.
x
3
4
F x 3 C
3
ln
4




Câu 151.
2x x x
2 .3 .7 dx
là
A.
B.
2x x x
2 .3 .7
C
ln4.ln3.ln7
C.
x
84 C
D.
x
84 ln84 C
Câu 152. Để tính
ln 2x x dx
theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt:
A.
ln 2ux
dv xdx

B.
ln 2
ln 2
u x x
dv x dx


C.
ln 2u x x
dv dx

D.
ln 2ux
dv dx

Câu 153. Họ nguyên hàm của hàm số
x
f x xe
là:
A.
.
xx
xe e C
B.
.
xx
xe e C
C.
2
.
2
x
x
eC
D.
.
x
eC
Câu 154. Tìm họ nguyên hàm
2x
F(x) x e dx
?
Trang25
A.
2x
F(x) (x 2x 2)e C
B.
2x
F(x) (2x x 2)e C
C.
2x
F(x) (x 2x 2)e C
D.
2x
F(x) (x 2x 2)e C
Câu 155.
2
x1
x.e dx
bằng:
A.
2
x1
1
eC
2
B.
2
x1
eC
C.
2
x1
2e C
D.
2
2 x 1
x .e C
Câu 156.
1
x
2
e
dx
x
bằng:
A.
1
x
eC
B.
x
eC
C.
1
x
eC
D.
1
x
1
C
e
Câu 157. Nguyên hàm của hàm số:
3
I x lnxdx.
là:
A. F(x) =
44
11
x .ln x x C
4 16

B. F(x) =
4 2 4
11
x .ln x x C
4 16

C. F(x) =
43
11
x .ln x x C
4 16

D. F(x) =
44
11
x .ln x x C
4 16

Câu 158. Tính
x
H x3 dx
A.
x
2
3
H (xln3 1) C
ln 3
B.
x
2
3
H (xln2 2) C
ln 3
C.
x
2
3
H (xln3 1) C
ln 3
D. Một kết quả khác
Câu 159. Một nguyên hàm của
1
x
f x 2x 1 e
là
A.
1
x
x.e
B.
1
2
x
x 1 e
C.
1
2
x
xe
D.
1
x
e
Câu 160. Tính
x
ln2
2 dx
x
, kết quả sai là:
A.
x
2 2 1 C
B.
x
2C
C.
x1
2C
D.
x
2 2 1 C
Câu 161. Cho ha
m sô
x 1 x 1
x
25
f(x)
10

. Khi đo
:
A.
xx
21
f(x).dx C
5 .ln5 5.2 .ln 2
.
B.
xx
21
f(x).dx C
5 ln5 5.2 .ln 2
C.
xx
5 5.2
f(x).dx C
2ln5 ln 2
D.
xx
5 5.2
f(x).dx C
2ln5 ln2
Câu 162. Một nguyên hàm của
3
1
()
1
x
x
e
fx
e
là:
A.
2
1
( ) .
2
xx
F x e e x
B.

2
1
( ) .
2
xx
F x e e
C.

2
1
( ) .
2
xx
F x e e
D.
2
1
( ) 1.
2
xx
F x e e
Câu 163.
x
dx
e1
bằng
A.
x
x
e
ln
2e 2
B.
x
x
2e
ln
e1
C.
x
x
e
ln
2 e 1
D.
x
ln e 1 ln2
Câu 164. Nguyên hàm của hàm số
2ln x x
f x ,x 0
x

là:
Trang26
A.
B.
2lnx 1 C
C.
2
2ln x x lnx C
D.
2
ln x
xC
x

Câu 165.
ln x
dx
x
bằng:
A.
3
3
ln x C
2
B.
3
2 ln x C
C.
3
2
ln x C
3
D.
3
3 ln x C
Câu 166. Tính nguyên hàm
ln ln x
I dx
x
được kết quả nào sau đây:
A.
ln .ln ln .I x x C
B.
ln .ln ln ln .I x x x C
C.
ln .ln ln ln .I x x x C
D.
ln ln ln .I x x C
Câu 167. Xác định a,b,c để hàm số
2x
F(x) (ax bx c)e
là một nguyên hàm của hàm số
2x
f(x) (x 3x 2)e
A.
a 1,b 1,c 1
B.
a 1,b 1,c 1
C.
a 1,b 1,c 1
D.
a 1,b 1,c 1
Câu 168. Gọi
F(x)
là một nguyên hàm của hàm
2
ln x
ln x 1.y
x
mà
1
F(1)
3
. Giá trị
2
F (e)
bằng:
A.
8
9
B.
1
9
. C.
8
3
. D.
1
3
.
Câu 169. Cho
2 2 2
. . . .
x x x
x e dx a x e b e C
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
A.
2 0.ba
B.
2 0.ba
C.
.ba
D.
.ba
Câu 170. Cho
()Fx
là một hàm số
( ) .lnf x x x
, biết
2
(1)
3
F
. Tìm
()Fx
A.
3
2
( ) .ln 1
3
x
F x x x
B.
3
2
2
( ) .ln
33
x
F x x x
C.
3
2
2
( ) .ln
33
x
F x x x
D.
3
2
( ) .ln 1
3
x
F x x x
Câu 171. Biết rằng
2
2 3 2
ln ln ln .x x dx x a x b x c
Giá trị biểu thức
P ab c
là:
A.
0.P
B.
2
.
27
P
C.
4
.
27
P
D.
1.P
Câu 172. Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) .
x
f x x e
thỏa mãn điều kiện
(0) 1 .F 
Tính tổng
S
các nghiệm của phương trình
( ) 1 0.F x x
A.
3.S 
B.
0.S
C.
2.S
D.
1.S 
Câu 173. Gọi
2
( ) ( ).
x
f x ax bx c e
là một nguyên hàm của hàm số
( ) (1 ). .
x
g x x x e

Tính
2 3 .A a b c
A.
6.A
B.
3.A
C.
9.A
D.
4.A
Câu 174. Gọi
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2x
f x xe
thỏa
1
0.
2
F



Khi đó
Fx
là
A.
2
1
2 1 .
4
x
F x x e
B.
2
1
2 1 .
2
x
F x x e
C.
2
1
2 1 1.
2
x
F x x e
D.
2
1
2 1 .
2
x
F x x e
Câu 175. Biết
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
x
f x xe
và
0 1.f 
Tính
4.F
Trang27
A.
4 3.F
B.
2
73
4.
44
Fe
C.
2
4 4 3 .Fe
D.
2
4 4 3.Fe
Câu 176. Tính
11
(2 1) ( )
xx
F x x e dx e Ax B C

. Giá trị của biểu thức
AB
bằng:
A.
3
. B.
3
. C.
0
. D.
5
.
Câu 177.
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
ln x
y
x
và
2
4Fe
. Tính
Fe
?
A.
( )
1
2
Fe=
. B.
( )
5
2
Fe=
C.
( )
3
2
Fe=-
D.
1
2
e+
Câu 178. Cho
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
1
1
x
fx
e
thỏa mãn
02lnF 
. Tìm tập nghiệm
S
của phương trình
13ln
x
F x e
A.
{ }
3S =±
. B.
{ }
3S =
. C.
S =Æ
D.
{ }
3S =-
Câu 179. Biết
Fx
là một nguyên hàm của
dx
fx
x 1 lnx
và
F 1 0
. Tính
Fe
.
A.
F e 2
. B.
F e 2
. C.
1
Fe
2

. D.
1
Fe
2

.
Câu 180. Biết
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
ln
ln 1.
x
f x x
x

thoả mãn
1
1
3
F
. Giá trị của
2
Fe
là
A.
8
9
. B.
1
9
. C.
8
3
. D.
1
3
.
Câu 181. Biết hàm số
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
ln
()
ln 3
x
fx
xx
có đồ thị đi qua điểm
;2020e
. Khi đó
1F
là
A.
3 2018
. B.
3 2020
. C.
2 3 2018
. D.
2 3 2020
.
Câu 182. Biết rằng
22
3 cos3 sin2
xx
I e cos xdx e a x b x c
, trong đó a, b , c là các hằng số. Khi đó, tổng
ab
có giá trị là:
A.
1
13
. B.
5
13
. C.
5
13
D.
1
13
Câu 183. Cho
2
1
x
xe
F x dx
x
, biết
02F
. Tìm
Fx
.
A.
2
2
1
x
x
xe
x

B.
11
1
x
x
xe
xe
x
C.
1
1
x
e
x
D.
2
1
x
e
x
Câu 184. Cho hàm số
thỏa mãn hệ thức
sin - cos π
x
f x xdx f x x cosxdx

. Hỏi
là hàm số nào trong các hàm số sau?
A.
π
lnπ
x
fx
. B.
π
lnπ
x
fx
C.
π .lnπ
x
fx
D.
π .lnπ
x
fx
Câu 185. Tìm một nguyên hàm
()Fx
của hàm số
( ) 4 1
x
f x x e
thỏa mãn điều kiện
(1) .Fe
A.
( ) 4 3
x
F x x e
B.
( ) 4 5 9
x
F x x e e
C.
( ) 4 3
x
F x x e e
D.
( ) 4 5
x
F x x e
Trang28
Câu 186. Cho
2
()
x
F x ax bx c e
là một nguyên hàm của hàm số
2
( ) 3
x
f x x e
. Tính
.S a b c
A.
12.S
B.
0.S
C.
10.S
D.
14.S
Câu 187. Cho
( ) (ln )
a
F x x b
x

là một nguyên hàm của hàm số
2
1 ln
()
x
fx
x
Tính
.S a b
A.
0.S
B.
2.S
C.
2.S 
D.
1.S
Câu 188. Biết
22
ln ( ln ln )xdx x a x b x c d
. Tính
P abc
A.
2P
B.
2P 
C.
4P
D.
4P 
Câu 189. Một nguyên hàm
(x a)cos3x 1
(x 2)sin3xdx sin3x 2017
bc
thì tổng
S a.b c
bằng:
A.
S 14
B.
S 15
C.
S3
D.
S 10
Câu 190. Gọi
F(x)
là một nguyên hàm của hàm
y xx.cos
mà
F(0) 1
. Phát biểu nào sau đây là đúng:
A.
F(x)
là hàm chẵn B.
F(x)
là hàm lẻ
C.
F(x)
là hàm tuần hoàn chu kỳ
2
D.
F(x)
không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ
Câu 191. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau:
uv
e e C f(v)dv
A.
v
e
B.
u
e
C.
v
e
D.
u
e
Câu 192. Cho hai hàm số
2
2
2x 3
F(x) ln(x 2mx 4) vaø f(x)
x 3x 4

. Định m để F(x) là một nguyên hàm
của f(x)
A.
3
2
B.
3
2
C.
2
3
D.
2
3
Câu 193. Biết hàm số
2 x
F x ax bx c e
là một nguyên hàm của hàm số
2
23
x
f x x x e
. Tính
23S a b c
.
A.
4S
. B.
6S
. C.
10S
. D.
7S
.
Câu 194. Cho
sinx
cosxe ; x 0
fx
1
; x0
1x


. Nhận xét nào sau đây đúng?
A.
cosx
e ; x 0
Fx
2 1 x
1; x0

là một nguyên hàm của
fx
B.
sinx
e ; x 0
Fx
2 1 x
x0 ;

là một nguyên hàm của
fx
C.
cosx
e ; x 0
Fx
21
x ; x 0

là một nguyên hàm của
fx
D.
sinx
e ; x 0
Fx
2 1 x
1; x0

là một nguyên hàm của
fx
Câu 195. Cho
2
()F x x
là một nguyên hàm của hàm số
2
()
x
f x e
. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
()
x
f x e
.
A.
22
( ) 2
x
f x e dx x x C
B.
22
()
x
f x e dx x x C
C.
22
( ) 2 2
x
f x e dx x x C
D.
22
( ) 2 2
x
f x e dx x x C
Câu 196. Cho
( ) ( 1)
x
F x x e
là một nguyên hàm của hàm số
2
()
x
f x e
. Tìm nguyên hàm của hàm số
2
()
x
f x e
.
Trang29
A.
2
( ) d (4 2 )
xx
f x e x x e C
B.
2
2
( ) d
2
xx
x
f x e x e C

C.
2
( ) d (2 )
xx
f x e x x e C
D.
2
( ) d ( 2)
xx
f x e x x e C
Câu 197. Cho
3
1
()
3
Fx
x

là một nguyên hàm của hàm số
()fx
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )lnf x x
.
A.
35
ln 1
( )ln
5
x
f x xdx C
xx
B.
35
ln 1
( )ln
5
x
f x xdx C
xx
C.
33
ln 1
( )ln
3
x
f x xdx C
xx
D.
33
ln 1
( )ln
3
x
f x xdx C
xx
Câu 198. Cho
2
1
()
2
Fx
x
là một nguyên hàm của hàm số
()fx
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )lnf x x
A.
22
ln 1
( )ln
2
x
f x xdx C
xx



B.
22
ln 1
( )ln
x
f x xdx C
xx
C.
22
ln 1
( )ln
x
f x xdx C
xx



D.
22
ln 1
( )ln
2
x
f x xdx C
xx
Câu 199. Cho
2
1
x
x
e
dx
e
. Nếu đặt
1
x
te
thì
f t dt
là
A.
.lnt t C
B.
1 lnt t C
C.
lnt t C
D.
lntC
Câu 200. Biết
ln ln 2 3
c
F x a x b x
x



là nguyên hàm của hàm số
2
ln 2 3x
fx
x
. Tính
S a b c
.
A.
1S 
. B.
1
3
S
. C.
7
3
S
. D.
4
3
S 
.
Câu 201. Cho
Fx
là nguyên hàm của hàm số
1
3
x
fx
e
và
1
0 ln 4
3
F 
. Tập nghiệm
S
của phương
trình
3
3 ln 3 2F x x
là:
A.
2S
. B.
2;2S 
. C.
1;2S
. D.
2;1S 
.
Câu 202. Biết
ln
xx
x
x x x
e e b
dx a e C
e e e
, với
,ab
. Tính giá trị
2
.
ab
S
ab



.
A.
1.S
B.
4.S
C.
9.S
D.
16.S
Câu 203. Biết
22
2 3 2
1.
x x x x b
x e dx a e C
, với
, ab
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
3
.
2
ab
B.
5
.
2
ab
C.
2 1.ab
D.
2 5.ab
Câu 204. Biết
ln
(1 ln ) . 1 ln
1 ln
b
x
dx a x c x C
xx
, với
, ,a b c
. Khẳng định nào sau đây
đúng?
A.
1
.
2
abc
B.
1
.
3
a b c
C.
3 1.a b c
D.
5
.
3
a b c
Câu 205. Biết
5
1
.ln .ln
c
a
dx C
x x b x

, với
,,abc
. Tính giá trị
2
..S ab c
.
A.
81.S
B.
225.S
C.
256.S
D.
196.S
Trang30
Câu 206. Cho
2ln 1
dx
xx
. Nếu đặt
2ln 1tx
thì
f t dt
là
A.
2tC
B.
tC
C.
1
4
tC
D.
1
2
tC
Câu 207. Biết
34
2ln 3 lnx a x b
dx C
xc


, với
,,abc
. Tính giá trị
..S abc
.
A.
48.S
B.
6.S
C.
8.S
D.
24.S
Câu 208. Biết
22
..
xx
a
x e dx e C
b


, với
,ab
. Tính giá trị
.S ab
.
A.
1.S
B.
2.S
C.
1.S 
D.
2.S 
Câu 209. Biết
1 ln
ln ln
c
x
dx a x b x C
x
, với
, ; a c b
. Tính giá trị
2020
S a b c
.
A.
2020
9
2.
4
S 
B.
13
.
4
S
C.
2020
3
2.
4
S 
D.Đáp án khác.
Câu 210. Cho
1
ln ln(ln )
dx
x x x
. Nếu đặt
ln(ln )tx
thì
f t dt
là
A.
2ln lntC
B.
ln tC
C.
ln lntC
D.
1
ln
2
tC
Câu 211. Biết
2
22
2
ln 1
ln 1
1
x x x
dx x a bx x cx C
x

, với
,,abc
. Tính giá trị
2020 2019 2018
S a b c
.
A.
2020
2 2.S 
B.
2020
2 1.S 
C.
3.S
D.
2.S
.
VẤN ĐỀ 6
Trang31
Tính nguyên hàm của một số hàm số lƣợng giác
Câu 212. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai.
A.

2
( ) 2019 cosF x x
là một nguyên hàm của hàm số
( ) sin 2f x x
.
B.Nếu
()Fx
và
()Gx
đều là nguyên hàm của hàm số
()fx
thì

( ) ( )F x g x dx
có dạng
()h x Cx D
với
,CD
là các hằng số,
0.C
C.

'( )
( ) .
2 ( )
ux
dx u x C
ux
D. Nếu

( ) ( )f t dt F t C
thì

[ ( )] [ ( )]f u x dx F u x C
.
Câu 213. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu
( ) ( )
df t t F t C=+
ò
thì
( )
( )
( ) ( )
( )
/
.df u x u x x F u x C=+
ò
.
B. Nếu
( )
Fx
và
( )
Gx
đều là nguyên hàm của hàm số
( )
fx
thì
( ) ( )
dF x G x x
éù
-
ëû
ò
có dạng
( )
h x Cx D=+
(
,CD
là các hằng số và
0C ¹
).
C.
( )
2
7 sinF x x=+
là một nguyên hàm của
( )
sin2f x x=
.
D.
( )
( )
( )
/
d
ux
x u x C
ux
=+
ò
.
Câu 214. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
thì mọi nguyên hàm của
( )
fx
đều có dạng
( )
F x C+
(
C
là
hằng số).
B.
( )
( )
( )
/
d log
ux
x u x C
ux
=+
ò
.
C.
( )
1 tanF x x=+
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
1 tanf x x=+
.
D.
( )
5 cosF x x=-
là một nguyên hàm của hàm số
( )
sinf x x=
.
Câu 215. Xét các mệnh đề sau, với
C
là hằng số:
(I)
tan d ln cosx x x C
.
(II)
3cos 3cos
1
sin d
3
xx
e x x e C
.
(III)
cos sin
d 2 sin cos
sin cos
xx
x x x C
xx
.
Số mệnh đề đúng là:
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 216. Tìm nguyên hàm của hàm số
A. . B. .
C. . D. .
Câu 217. Một nguyên hàm của hàm số
y sin3x
A.
1
cos3x
3
B.
C.
3cos3x
D.
1
cos3x
3
Câu 218. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
( ) sin2f x x
1
sin 2 cos2
2
xdx x C
1
sin 2 cos2
2
xdx x C
sin2 cos2xdx x C
sin2 cos2xdx x C
( ) cos 3
6
f x x




1
( ) sin 3
36
f x dx x C



( ). sin 3
6
f x dx x C



Trang32
C. . D. .
Câu 219. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 220. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 221. Tìm nguyên hàm của hàm số .
A. . B. .
C. . D. .
Câu 222. Nguyên hàm của hàm số: y = sin
2
x.cos
3
x là:
A. sin
3
x + sin
5
x + C B.
35
11
sin x sin x C
35

C. sin
3
x sin
5
x + C D.
35
11
sin x sin x C
35
Câu 223.
22
1
dx
sin x.cos x
bằng:
A.
2tan2x C
B.
4cot2x C
C. 4
cot2x C
D. 2
cot2x C
Câu 224.
2
sin2x cos2x dx
bằng:
A.
3
sin2x cos2x
C
3
B.
2
11
cos2x sin 2x C
22



C.
1
x sin 2x C
2

D.
1
x cos4x C
4

Câu 225.
2
2x
cos dx
3
bằng:
A.
4
3 2x
cos C
23
B.
4
1 2x
cos C
23
C.
x 3 4x
sin C
2 8 3

D.
x 4 4x
cos C
2 3 3

Câu 226. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số
2
f(x) sin x
là
A.
1
F(x) (2x sin 2x) C
4
B. Cả (A), (B) và (C) đều đúng
C.
1
F(x) (x sinx.cosx) C
2
D.
1 sin 2x
F(x) (x ) C
22
Câu 227. Một nguyên hàm của hàm số
2
4
f(x)
cos x
là:
A.
2
4x
sin x
B.
4tanx
C.
4 tanx
D.
3
4
4x tan x
3
1
( ) sin 3
36
f x dx x C



1
( ) sin 3
66
f x dx x C



2
a(
2
) 1 t nf
x
x
( ) 2 tan
2
x
f x dx C
( ) tan
2
x
f x dx C
1
( ) tan
22
x
f x dx C
( ) 2tan
2
x
f x dx C
2
1
()
sin
3
fx
x



1
( ) cot
33
f x dx x C



1
( ) cot
33
f x dx x C



( ) cot
3
f x dx x C



( ) cot
3
f x dx x C



3
( ) sin .cosf x x x
4
sin
()
4
x
f x dx C
4
sin
()
4
x
f x dx C
2
sin
()
2
x
f x dx C
2
sin
()
2
x
f x dx C
Trang33
Câu 228. Biểu thức nào sau đây bằng với
2
sin 3xdx
?
A.
11
(x sin 6x) C
26

B.
11
(x sin6x) C
26

C.
11
(x sin3x) C
23

D.
11
(x sin 3x) C
23

Câu 229. Một nguyên hàm của
f(x) cos3xcos2x
bằng
A.
11
sin x sin5x
22
B.
11
sin x sin5x
2 10
C.
11
cosx cos5c
2 10
D.
1
sin3xsin 2x
6
Câu 230. Tính
3
cos xdx
ta được kết quả là:
A.
4
cos x
C
x
B.
1 3sin x
sin3x C
12 4

C.
4
cos x.sin x
C
4
D.
1 sin3x
3sin x C
43




Câu 231. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
A.
sin 2f x x
và
2
cosg x x
. B.
2
tanf x x
và
22
1
cos
gx
x
.
C.
x
f x e
và
x
g x e
. D.
sin 2f x x
và
2
sing x x
.
Câu 232.
3cosx
dx
2 sin x
bằng:
A.
3ln 2 sin x C
B.
3ln 2 sin x C
C.
2
3sin x
C
2 sin x
D.
3sin x
C
ln 2 sin x

Câu 233.
3sin x 2cosx
dx
3cosx 2sin x
bằng:
A.
ln 3cosx 2sin x C
B.
ln 3cosx 2sinx C
C.
ln 3sin x 2cosx C
D.
ln 3sin x 2cosx C
Câu 234. Nguyên hàm của
sin x cos x
sin x cosx
là:
A.
ln sin x cosx C
B.
1
C
ln sin x cosx
C.
ln sin x cosx C
D.
1
C
sin x cos x
Câu 235.
2
cot x
dx
sin x
bằng:
A.
2
cot x
C
2

B.
2
cot x
C
2
C.
2
tan x
C
2

D.
2
tan x
C
2
Câu 236.
5
sinx
dx
cos x
bằng:
A.
4
1
C
4cos x
B.
4
1
C
4cos x
C.
4
1
C
4sin x
D.
4
1
C
4sin x
Câu 237.
5
sin x.cosxdx
bằng:
A.
6
sin x
C
6
B.
6
sin x
C
6

C.
6
cos x
C
6

D.
6
cos x
C
6
Câu 238. Tính A =
23
sin xcos xdx
, ta co
A.
35
sin x sin x
AC
35
B.
35
A sin x sin x C
C.
35
sin x sin x
AC
35
D. Đa
p a
n kha
c
Câu 239. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số
4
f(x) sin xcosx
A.
5
1
F(x) sin x C
5

B.
5
F(x) cos x C
Trang34
C.
5
F(x) sin x C
D.
5
1
F(x) sin x C
5
Câu 240. Họ nguyên hàm của hàm số
f x cos3x tanx
là
A.
3
4
cos x 3cos x C
3
B.
3
1
sin x 3sin x C
3

C.
3
4
cos x 3cosx C
3
D.
3
1
cos x 3cos x C
3

Câu 241. Họ nguyên hàm của
1
sin x
là:
A. ln
x
cot C
2
B. ln
x
tan C
2
C. -ln|cosx| + C D. ln
sin x C
Câu 242.
3
cosx.sin xdx
bằng:
A.
4
cos x
C
4
B.
4
sin x
C
4
C.
4
sin x C
D.
4
cos x C
Câu 243. Họ nguyên hàm của
2
f(x) x.cosx
là:
A.
2
cos x C
B.
2
sin x C
C.
2
1
sin x C
2
D.
2
2sin x C
Câu 244.
sinxcos2x dx
bằng:
A.
11
cos3x cosx C
22
B.
11
cos3x cosx C
62
C.
11
sin3x sin x C
62

D.
11
cos3x cos x C
22

Câu 245. Một nguyên hàm của hàm số:
2
f(x) xsin 1 x
là:
A.
2 2 2
F(x) 1 x cos 1 x sin 1 x
B.
2 2 2
F(x) 1 x cos 1 x sin 1 x
C.
2 2 2
F(x) 1 x cos 1 x sin 1 x
D.
2 2 2
F(x) 1 x cos 1 x sin 1 x
Câu 246. Kết quả nào sai trong các kết quả sau?
A.
dx 1 x
tan C
1 cosx 2 2

B.
2
22
dx 1 x 1 1
ln C
2
x x 1 x 1 1


C.
dx
ln(ln(ln x)) C
xln x.ln(ln x)

D.
2
2
xdx 1
ln 3 2x C
3 2x 4
Câu 247. Nguyên ha
m cu
a ha
m sô
2
cosx.sin x.dx
băng:
:
A.
3sin x sin3x
C
12
B.
3cos x cos3x
C
12
C.
3
sin x C
.
D.
2
sinx.cos x C
Câu 248. Họ nguyên hàm
Fx
của hàm số
2
cos x
fx
1 cos x
là:
A.
cosx
F x C
sin x
B.
1
F x C
sin x
C.
1
F x C
sin x

D.
2
1
F x C
sin x

Câu 249. Họ các nguyên hàm của hàm số
3
y tan x
là:
A.
2
tan x ln cosx
. B.
2
1
tan x ln cos x
2
C.
2
1
tan x ln cosx
2
D.
2
1
tan x ln cos x
2

Câu 250. Nguyên hàm của hàm số: y = sin
2
x.cos
3
x là:
A.
35
11
sin x sin x C
35

B. sin
3
x + sin
5
x + C
Trang35
C.
35
11
sin x sin x C
35
D. sin
3
x sin
5
x + C
Câu 251. Nguyên hàm
F(x)
của hàm số
2
sin 2x
y
sin x 3
khi
F(0) 0
là
A.
2
ln 1 sin x
B.
2
ln 2 sin x
3
C.
2
ln cos x
D.
2
sin x
ln 1
3
Câu 252. Nguyên hàm của hàm số: y =
5
cos x
dx
1 sin x
là:
A.
34
sin x cos x
cosx C
34
B.
34
sin 3x cos 4x
sin x C
34
C.
34
sin x cos x
sin x C
34
D.
34
sin x cos x
sin x C
94
Câu 253. Nguyên hàm của hàm số: y = cos
2
x.sinx là:
A.

3
1
cos
3
xC
B.
3
cos xC
C.
3
1
sin
3
xC
D. Đáp án khác.
Câu 254. Nếu
( )
d sin 2 cosf x x x x=
ò
thì
( )
fx
là:
A.
( ) ( )
1
3cos3 cos
2
f x x x=+
. B.
( ) ( )
1
cos3 cos
2
f x x x=+
.
C.
( ) ( )
1
3cos3 cos
2
f x x x=-
. D.
( ) ( )
1
cos3 cos
2
f x x x=-
.
Câu 255.
( )
Fx
là nguyên hàm của hàm số
4
sin cosy x x=
.
( )
Fx
là hàm số nào sau đây?
A.
( )
5
cos
5
x
F x C=+
. B.
( )
4
cos
4
x
F x C=+
.
C.
( )
4
sin
4
x
F x C=+
. D.
( )
5
sin
5
x
F x C=+
.
Câu 256. Xét các mệnh đề sau, với
C
là hằng số:
(I)
( )
tan d ln cosx x x C= - +
ò
.
(II)
3cos 3cos
1
sin d
3
xx
e x x e C= - +
ò
.
(III)
cos sin
d 2 sin cos
sin cos
xx
x x x C
xx
+
= - +
-
ò
.
Số mệnh đề đúng là:
A.
0
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 257. Tìm họ nguyên hàm của hàm số
2
f(x) cos x.cos2x
và
2
g(x) sin x.cos2x
A.
11
F(x) x sin2x sin4x C
44



;
11
G(x) x sin2x sin4x C
44



B.
11
F(x) x sin2x sin4x C
44



;
11
G(x) x sin2x sin4x C
44



C.
1
F(x) x sin 2x sin 4x C
4
;
1
G(x) x sin 2x sin 4x C
4
D.
11
F(x) x sin2x sin4x C
44



;
11
G(x) x sin2x sin4x C
44



Câu 258. Nguyên hàm
sin 4
d
sin cos
x
x
xx
bằng
A.

23
cos 3 2 cos
3 4 4
x x C
. B.

23
sin 3 2 sin
3 4 4
x x C
.
Trang36
C.

23
sin 3 2 sin
3 4 4
x x C
. D.

23
sin 3 2 cos
3 4 4
x x C
.
Câu 259. Nguyên hàm
2 tan 1
dx
x
bằng?
A.
2
ln 2 sin cos .
55
x
xC
B.
C.
1
ln 2sin cos .
55
x
x x C
D.
1
ln 2sin cos .
55
x
x x C
Câu 260. Tính
1 cosx xdx
.
A.
1 sin cos .x x x C
B.
1 sin cos .x x x C
C.
1 s in cos .x x x C
D.
1 sin sin .x x x C
Câu 261. Tính
sin 2 1x x dx
.
A.
1
cos 2 1 sin 2 1 .
24
x
x x C
B.
1
cos 2 1 sin 2 1 .
22
x
x x C
C.
cos 2 1 sin 2 1 .
2
x
x x C
D.
1
cos 2 1 sin 2 1 .
24
x
x x C
Câu 262. Tính
sin
sin2 .
x
I x e dx
:
A.
sin
cos2 1
x
e x C
B.
sin
sin2 1
x
e x C
C.
sin
sin 1
x
e x C
D.
sin
sin 1
x
e x C
Câu 263. Tìm nguyên hàm
I (x cosx)xdx
A.
3
x
xsin x cosx c
3
B. Đa
p a
n kha
c
C.
3
x
sin x x cosx c
3
D.
3
x
xsin x cosx c
3
Câu 264. Biểu thức nào sau đây bằng với
2
x sin xdx
?
A.
2
2xcosx x cosxdx
B.
2
x cosx 2xcosxdx
C.
2
x cosx 2xcosxdx
D.
2
2xcosx x cosxdx
Câu 265.
xcosxdx
bằng:
A.
2
x
sin x C
2
B.
xsinx cosx C
C.
xsinx sinx C
D.
2
x
cosx C
2
Câu 266.
xsinxcosxdx
bằng:
A.
1 1 x
sin2x cos2x C
2 4 2




B.
1 1 x
sin2x cos2x C
2 2 4



C.
1 1 x
sin2x cos2x C
2 4 2




D.
1 1 x
sin2x cos2x C
2 2 4



Câu 267.
x
3
xe dx
bằng:
A.
x
3
3 x 3 e C
B.
x
3
x 3 e C
C.
x
3
1
x 3 e C
3

D.
x
3
1
x 3 e C
3

Câu 268.
xlnxdx
bằng:
A.
22
xx
.ln x C
24

B.
22
xx
.ln x C
42

C.
22
x ln x x
C
42
D.
22
xx
.ln x C
24

21
ln 2 sin cos .
55
x
x x C
Trang37
Câu 269. Một nguyên hàm của
2
x
fx
cos x
là
A.
x tan x ln cosx
B.
xtan x ln cosx
C.
x tan x ln cosx
D.
x tanx ln sin x
Câu 270. Họ nguyên hàm của hàm số
x
f x e cosx
là
A.
x
1
F x e sin x cosx C
2
B.
x
1
F x e sin x cos x C
2
C.
x
1
F x e sin x cos x C
2
D.
x
1
F x e sin x cosx C
2
Câu 271. Nguyên hàm
lnxdx
bằng:
A.
ln x x
B.
xlnx x C
C.
lnx x C
D.
ln x x
Câu 272. Nguyên hàm của hàm số: y =
2x
x
(x x)e
dx
xe
là:
A. F(x) =
xx
xe 1 ln xe 1 C
B. F(x) =
xx
e 1 ln xe 1 C
C. F(x) =
xx
xe 1 ln xe 1 C
D. F(x) =
xx
xe 1 ln xe 1 C
Câu 273. Nguyên hàm của hàm số:
I cos2x.ln(sinx cosx)dx
là:
A.
11
1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C
24
B.
11
1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C
42
C.
11
1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C
44
D.
11
1 sin 2x ln 1 sin 2x sin 2x C
44
Câu 274. Nguyên hàm của hàm số:
I x 2 sin3xdx
là:
A. F(x) =
x 2 cos3x
1
sin3x C
39
B. F(x) =
x 2 cos3x
1
sin3x C
39

C. F(x) =
x 2 cos3x
1
sin3x C
39
D. F(x) =
x 2 cos3x
1
sin3x C
33
Câu 275.
x
F(x) 4sin x (4x 5)e 1
là một nguyên hàm của hàm số:
A.
x
f(x) 4cosx (4x 9)e
B.
x
f(x) 4cosx (4x 9)e
C.
x
f(x) 4cosx (4x 5)e
D.
x
f(x) 4cosx (4x 6)e
Câu 276. Hàm số
x
F(x) e tan x C
là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
A.
x
2
1
f(x) e
sin x

B. Đáp án khác C.
x
2
1
f(x) e
sin x

D.
x
x
2
e
f(x) e 1
cos x




Câu 277. Cho hàm số

2
4
( ) sin
m
f x x
. Giá trị của tham số để nguyên hàm Fx của hàm số fx thỏa mãn
điều kiện
(0) 1F
và




48
F
là
A.

4
.
3
m
B.
3
.
4
m
C.

3
.
4
m
D.
4
.
3
m
Câu 278. Thầy Hùng cho bài toán “ Tìm
2
cos
sin
x
dx
x
”. Bạn Minh Hiền giải bằng phương pháp đổi biến như sau:
+ Bước 1: Đặt
sinux
, ta có
cosdu xdx
+ Bước 2:
22
cos 1
sin
x du
dx C
x u u

Trang38
+ Bước 3: Kết luận
2
cos 1
sin
x
dx C
xx
Hỏi bạn Minh Hiền sai ở bước nào?
A.Bước 1 B.Bước 2 C.Bước 3 D.Không sai.
Câu 279. Cho
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
sin 2
1 cos
x
fx
x
thỏa mãn
0
2
F



. Tính
0F
.
A.
0 2ln2 2F 
. B.
0 2ln2F
C.
0 ln2F
. D.
0 2ln2 2F 
.
Câu 280. Cho
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
1
1 tan
fx
x
thỏa mãn
0
4
F
. Tính
2
F



.
A.
22
F




. B.
22
F





C.
24
F




. D.
24
F





.
Câu 281. Cho
3
sin cos 1
cos2
sin cos 2 sin cos 2
m
n
xx
x
dx C
x x x x

với
,mn
. Tính
A m n
.
A.
5A
. B.
2A
C.
3A
. D.
4A
.
Câu 282. Để tính
4
sin .cosx xdx
thì nên:
A. Dùng phương pháp đổi biến số đặt
costx
.
B. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt
4
sin
cos
ux
dv xdx
.
C. Dùng phương pháp đổi biến số đặt
sintx
.
D. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt
4
cos
sin
ux
dv xdx
.
Câu 283. Cho
1 2 1
tan .ln cos
1 cos 2 2 2
x x x
dx m x n C
x


,mn
. Tính 2m+ 3n?
A.
16
B.
4
C.
0
D.
8
Câu 284. Cho
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) cos 3f x x x
thỏa mãn điều kiện
(0) 1.F
Tính
π
( ).
3
F
A.
π
( ) 1.
3
F
B.
π
( ) 1.
3
F 
C.
π7
( ) .
39
F
D.
π7
( ) .
39
F 
Câu 285. Biết
Fx
là một nguyên hàm của
sin 2f x x x
và thỏa
π
0 π
2
FF

. Tính
π
4
F



A.
π
4
B.
π
4
C.
1
4
D.
1
4
Câu 286. Cho hàm số
()fx
biết
'( ) sinf x x x
và
(π) 0f
. Tính
π
()
6
f
A.
π 3 7π
()
3 2 6
f 
B.
π 3 7π
()
3 2 6
f
C.
π 3 7π
()
3 2 6
f
D.
π 3 7π
()
3 2 6
f 
Câu 287. Biết
()Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
( ) cos
2
x
f x x
thỏa
1
(0)
2
F 
Tính
(π).F
A.
1
(π)
2
F 
B.
1
(π)
2
F
C.
1
(π)
2
F
D.
Câu 288. Cho hàm số
( ) ( ). osf x ax b c x
thỏa mãn Tính ?
A.
3S
B.
4S
C.
5S
D.
6S
( ) .sin 2sin osf x dx x x x c x C

22
S a b
Trang39
Câu 289. ho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và
14
()
23
F
thì
A.
1 13
( ) sin3
33
F x x
B.
1
( ) sin3 5
3
F x x
C.
1
( ) sin3 5
3
F x x
D.
1 13
( ) sin3
33
F x x
Câu 290. Cho
f (x) 3 5sin x

và
f(0) 7
. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A.
f(x) 3x 5cos x 2
B.
3
f
22




C.
f3
D.
f x 3x 5cosx
Câu 291. Nguyên hàm
Fx
của hàm số
4
f x sin 2x
thỏa mãn điều kiện
3
F0
8
là
A.
3 1 1 3
x sin 2x sin 4x
8 8 64 8
B.
3 1 1
x sin 4x sin8x
8 8 64

C.
3 1 1
x 1 sin 4x sin8x
8 8 64
D.
3
x sin 4x sin 6x
8
Câu 292. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức:
sinu.cosv C f(u)du
A. 2cosucosv B. -cosucosv C. cosu + cosv D. cosucosv
Câu 293. Tìm nguyên hàm của:
y sin x.sin 7x
với
F0
2



là:
A.
sin 6x sin8x
12 16
B.
sin6x sin8x
12 16

C.
sin 6x sin8x
12 16
D.
sin6x sin8x
12 16




Câu 294. Cho
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
y
cos x

và
F 0 1
. Khi đó, ta có
Fx
là:
A.
tan x
B.
tanx 1
C.
tanx 1
D.
tanx 1
Câu 295. Cho
2
4m
f(x) sin x
. Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và
F
48




A.
4
m
3

B.
3
m
4
C.
3
m
4

D.
3
m
4
Câu 296. Cho hàm
2
1
y
sin x
. Nếu
Fx
là nguyên hàm của hàm số và đồ thị hàm số
y F x
đi qua điểm
M ;0
6



thì
Fx
là:
A.
3
cotx
3
B.
3
cot x
3

C.
3 cot x
D.
3 cot x
Câu 297. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại?
A.
sin2x
và
2
cos x
B.
2
tan x
và
22
1
cos x
C.
x
e
và
x
e
D.
sin2x
và
2
sin x
Câu 298. Gọi F
1
(x) là nguyên hàm của hàm số
2
1
f (x) sin x
thỏa mãn F
1
(0) =0 và F
2
(x) là nguyên hàm của hàm
số
2
2
f (x) cos x
thỏa mãn F
2
(0)=0.
Khi đó phương trình F
1
(x) = F
2
(x) có nghiệm là:
A.
x k2
B.
xk
C.
xk
2
D.
k
x
2
Câu 299. Nguyên hàm F(x) của hàm số
f(x) x sin x
thỏa mãn
là:
A.
2
x
F(x) cosx
2
B.
2
x
F(x) cosx 2
2
Trang40
C.
2
x
F(x) cosx 20
2
D.
2
x
F(x) cosx 20
2
Câu 300. Tìm nguyên hàm của hàm số
fx
thỏa mãn điều kiện:
f x 2x 3cosx, F 3
2



A.
2
2
F(x) x 3sin x 6
4
B.
2
2
F(x) x 3sin x
4
C.
2
2
F(x) x 3sin x
4
D.
2
2
F(x) x 3sin x 6
4
Câu 301. Nguyên hàm F(x) của hàm số
2
1
f(x) 2x
sin x

thỏa mãn
F( ) 1
4

là:
A.
2
2
F(x) cotx x
4
B.
2
2
F(x) cotx x
16
C.
2
F(x) cotx x
D.
2
2
F(x) cotx x
16
Câu 302. Cho hàm số
f x cos3x.cosx
. Nguyên hàm của hàm số
fx
bằng 0 khi
x0
là hàm số nào trong
các hàm số sau ?
A.
3sin3x sinx
B.
sin 4x sin 2x
84
C.
sin 4x sin 2x
24
D.
cos4x cos2x
84
Câu 303. Tính nguyên hàm
dx
I
cosx
được kết quả
2
x
I ln tan C
ab



với
a;b;c
. Giá trị của
2
ab
là:
A. 8 B. 4 C. 0 D. 2
Câu 304. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
3
2
sin x
(I): sin x dx C
3

2
2
4x 2
(II): dx 2ln x x 3 C
x x 3

x
x x x
6
(III): 3 2 3 dx x C
ln6
A.
(III)
B.
(I)
C. Cả 3 đều sai. D.
(II)
Câu 305. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?
A.
dx
ln x C
x

B.
1
x
x dx C 1
1


C.
x
x
a
a dx C 0 a 1
lna
D.
dx
tan x C
cosx

Câu 306. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.
F x 1 tan x
là một nguyên hàm của hàm số
2
f x 1 tan x
B. Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng
F x C
(C là hằng
số)
C.
u' x
dx lg u x C
ux

D.
F x 5 cosx
là một nguyên hàm của
f x sinx
Câu 307. Để tìm nguyên hàm của
45
f x sin xcos x
thì nên:
A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt
t cosx
Trang41
B. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt
44
u cosx
dv sin xcos xdx
C. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt
4
5
u sin x
dv cos xdx
D. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt
t sinx
Câu 308. Biết
sin cos
x
F x e m x n x
là một nguyên hàm của hàm số
2sin 3cos
x
f x e x x
. Tính
S m n
.
A.
1S 
. B.
3S 
. C.
2S
. D.
5
2
S
.
Câu 309. Cho F(x) là một nguyên hàm của
2
tan
cos 1 cos
x
fx
x a x
, biết
00F
,
1
4
F



. Tính
34
FF

?
A.
53
. B.
51
. C.
35
. D.
52
Câu 310. Biết
7
5
22
cos 2
cos sin .sin 4
x
x x xdx C
a
. Với a là số nguyên. Tìm a?
A.
6.a
B.
12.a
C.
7.a
D.
14.a
Câu 311. Biết
sin cos
ln sin cos
sin cos
xx
dx a x x C
xx
. Với a là số nguyên. Tìm a?
A.
1.a
B.
2.a
C.
3.a
D.
4.a
Câu 312. Tìm một nguyên hàm của:
2
2
2
tan
2
1 4.
tan 1
2
x
x



biết nguyên hàm này bằng 3 khi
4
x
.
A.
2
1
3.
cos x
B.
2
1
3.
sin x
C.
tan 2x
. D.
cot 2x
.
Câu 313.
ln 2sin cosF x x x x
là nguyên hàm của:
A.
sin cos
sin 3cos
xx
xx
. B.
sin 2cos
2sin cos
xx
xx
. C.
sin cos
sin 3cos
xx
xx
. D.
3sin cos
2sin cos
xx
xx
.
Câu 314. Biết
2
sin 2 cos2 cos4
a
x x dx x x C
b
, với a, b là các số nguyên. Tính S = a + b?
A.
4.S
B.
2.S
C.
3.S
D.
5.S
Câu 315. Biết
1
.
1 cos
x
dx a tan C
xb

, với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A.
4.S
B.
2.S
C.
3.S
D.
5.S
Câu 316. Biết
1
tan
1 sin2 4
a
dx x C
xb



, với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b?
A.
4.S
B.
2.S
C.
3.S
D.
5.S
Trang42
Câu 317. Cho
2
8sin
12
f x x




. Một nguyên hàm
Fx
của
fx
thỏa
08F
là:
A.
4 2sin 2 9
6
xx



. B.
4 2sin 2 9
6
xx



.
C.
4 2sin 2 7
6
xx



. D.
4 2sin 2 7
6
xx



.
| 1/42
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHƢƠNG III
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHỦ ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM I. Định nghĩa:
Giả sử y f x liên tục trên khoảng a,b, khi đó hàm số y F x là một nguyên hàm của hàm số
y f x khi và chỉ khi F '(x)  f (x), x
 a,b.
Nếu y F x là một nguyên hàm của hàm số y f x thì f ( x )dx F( x )C  , C  II. Vi phân:
Giả sử y f x xác định trên khoảng a,bvà có đạo hàm tại điểm x a,b .
Vi phân của hàm số y f x là: dy f ' x.dx
Quan hệ giữa đạo hàm nguyên hàm và vi phân:
                 
f x dx F x c F x f x dF x f x dx
III. Các tính chất của nguyên hàm
1. Nếu f x là hàm số có nguyên hàm thì :   
f x dx  f x ; d f x 
dx  f xdx
2. Nếu F x có đạo hàm thì: d
 Fx  FxC
3. Phép cộng, phép trừ: f
 x gxdx f
xdx gxdx  
4. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: kf xdx k f x   dx , k  0
IV. Phƣơng pháp tính nguyên hàm:
1. Phương pháp đổi biến số: Nếu f ( ) u du F( ) u C  và u  (
u x) có đạo hàm liên tục thì: f   ( u ) x .u'( ) x dx F  ( u ) x   C
2. Phương pháp từng phần
Nếu hai hàm số u u x và v vx có đạo hàm liên tục trên K thì:
u x.v' xdx u x.v x  u' x.v xdx  
Hay: u.dv u.v v.du   Trang1
V. Nguyên hàm của một số hàm thƣờng gặp
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp
Nguyên hàm hàm số thƣờng gặp
Nguyên hàm của hàm số hợp
dx x C   
dax b 
ax b du u C C  1 a  1   1      u xx dxC     ax u du   C    1   1 1 b  1    ax b   dx   C    1 1     1 a   1 1 1 1 1 dx    C  1 1 1 du    C  2 dx    C  2 x xu u ax b2 a ax b 1 1
dx  2 x C
du  2 u C 1 1 2 x dx   C u ax b a ax b 1 cos xdx x C  sin cos   c 
os ax bdx
ax b C  sin udu u C  sin a sin    sin    xdx x C  cos  1 udu u C  cos
sin ax bdx  
ax b C  cos 1 a 1 dx x C  tan du u C  tan cos 2 x 1 1 2 dx
ax b cos u C  tan 2 1
cos ax ba 1 dx   x C  cot du   u C  cot 2 2 sin x 1 1 sin u dx  
ax b C  cot
sin 2 ax ba dx dx 1 du
 ln x C   0  x
 ln ax b C   0  x
 ln u C   0  u x ax b a u x x u u
e dx e C     eax b dx   eax b C  1 e du e C a x u   u a a xa dxC 0    1  a a dx   C 0      1 x a x 1  a a dx  .
C 0  a    ln a 1  ln a ln a VI. Vi phân
+ Cho hàm số y f x có đạo hàm tại x
0 vi phân của hàm số y
f x tại điểm x0 là : df     0 x f  0 x . x .
+ Cho hàm số y f x có đạo hàm f  x thì tích f  x. x
 được gọi là vi phân của hàm số y f x
Kí hiệu : df x  f  x. x
  f x.dx hay dy y .dx .
VII. Các quy tắc tính đạo:
Cho u u x ; v v x ; C : là hằng số .
u v'  u'v'   .
u v'  u '.v v'.u   . C u  . C u 
u u'.v v'.uC C.u  , v  0        2 2  v vu u
Nếu y f u, u ux
y  y .  x u ux Trang2
VIII. Các công thức tính đạo:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp
Đạo hàm của hàm số hợp  
C  0 ; x 1      nxn 1  . n xnun 1  . n u
.u , n   , n  2 '  ' 1  1  1  u         2  x  2  u x u    ux  1  ,  x  0  u  , u  0 2 x 2 u   
sin x  cos x
sinu  .ucosu   
cos x  sin x cosu  u  .sinu 1 u    tan x  tanu  2 cos x 2 cos u   u  cot x 1   cotu   2 2 sin x sin u      x ' 1    .x , x  0 u ' 1    .u .u ' x x u u
a ' a .lna
a ' a .ln .uu'  'x x ee u u
e ' e .u' u log   a x ' 1 a u ' ' log x ln a u ln a u x' 1 ln  ,x  0  u' ' ln  x u n u ' x ' 1  n u' n n 1  n n 1  . n x . n u
IX. Nguyên hàm mở rộng 1 1 x 1 1 1 x a dx .  .ln  C dx .  .  C  ln (a  0) 2 2 2 x 1 2 x 1 x a a 2 x a 1 1 1 x dx .
 arctan x C .dx  .arctan  C (  0)  a x 2  1 2 2 x a a a  1 1 x
dx  arcsin x C dx  arcsin  C (a  0) 1  x2 a 2  2 a x 1 1 dx  ln x x2   C  1 dx  ln x x2  aC  2 x2  1 x2  a 2 tanxdx .
 ln cosx C 2 2 x 2 a 2 2 x
a x dx  . a x  arcsin  C 2 2 a  2 cot x dx .
 lnsin x C
x2  a2  x dx
. x 2  2  a a ln x
x 2  a 2  C 2 2  x x a b a ' Trang3 1 .dx  .dx  .ln x
a b C   x x a b a b . b ln a X. Lƣợng giác
1. Hệ thức cơ bản:     sin tan co  s     cos cot sin n 2 2 2 2
 sin   cos   1 sin   cos  1  ta  n .co  t  1 tan  n .cot  n  1 1 1  2 2 1 tan   ; 1 cot   2 2 cos  sin 
2. Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau    cos(   )  cos sin(   )  sin sin     cos    2     sin(   )   sin
cos(  )   cos cos     sin    2     tan(   )   tan
tan(  )   tan tan     cot    2     cot(   )   cot
cot(  )   cot  cot     tan    2  
Góc hơn kém Góc hơn kém 2   
sin(   )   sin sin     cos    2    
cos(   )   cos cos     sin    2     tan(   )  tan tan      cot    2     cot(   )  cot  cot      tan    2 
Để thuộc các công thức trên chỉ cần hiểu và thuộc câu thần chú sau:
cos đối, sin bù, phụ chéo 
kém  tan, cot, kém chéo cos 2 Trang4
3. Công thức lƣợng giác
a. Công thức cộng sin(a  ) b  sin . a cosb  sin . b cosa tan a  tan b tan(a  ) b  sin(a  ) b  sin . a cosb  sin . b cosa 1 tan . a tan b cos(a  ) b  cos . a cosb  sin . a sinb tan a  tan b tan(a  ) b  cos(a  ) b  cos . a cosb sin . a sin b 1 tan . a tan b    1 tan    1 tan Hệ quả: tan   , tan        4  1 tan  4  1 tan
b. Công thức nhân đôi
Công thức nhân đôi
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba sin2  2sin.cos   2 1 cos2 3 sin  
sin3  3sin  4sin  co  s2  2 cos   2 sin  2 3  
cos3  4cos   3cos 2 1 cos2  2 2cos  1 cos   3    2 3tan tan tan3   1 2 2sin    2 1 cos2 2 tan   1 3tan  2tan 1 cos2 tan  2 
sin thì 31 – 43, cos thì 43 – 31 1 2 tan  hoặc: 2 cot     1
sin thì 3sin 4sỉn , cos thì 4 cổ 3cô cot 2 2cot 
c. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos . a cosb  cos(a )
b  cos(a  ) b    2 1 sin . a sin b  cos(a )
b  cos(a  ) b    2 1 sin . a cosb  sin(a )
b  sin(a  ) b    2
d. Công thức biến đổi tổng thành tích Trang5 a b a b sin(a  ) b
cosa  cosb  2cos .cos
tan a  tan b  2 2 cos . a cosb a b a b sin(a  ) b
cosa  cosb   2sin .sin
tan a  tan b  2 2 cos . a cosb a b a b sin(a  ) b
sin a  sin b  2sin .cos
cot a  cot b  2 2 sin . a sin b a b a b sin(b a)
sin a  sin b  2cos .sin
cot a  cot b  2 2 sin a.sin b Chú ý:   sin co  s 2.sin         4    sin co  s 2 cos          4  PHẦN 1 NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ 1 Lý thuyết Câu 1.
Hàm số f (x) có nguyên hàm trên K nếu:
A. f (x) xác định trên K .
B. f (x) có giá trị lớn nhất trên K .
C. f (x) có giá trị nhỏ nhất trên K .
D. f (x) liên tục trên K . Câu 2.
Giả sử hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K . Khẳng định nào sau đây đúng.
A. Chỉ có duy nhất một hằng số C sao cho hàm số y  ( F )
x C là một nguyên hàm của hàm f trên . K
B. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x)  F(x)  C với x thuộc K .
C. Chỉ có duy nhất hàm số y F(x) là nguyên hàm của f trên . K
D. Với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì G(x)  F(x)  C với mọi x thuộc K và C bất kỳ. Câu 3.
Cho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( )
x trên K . Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A.
f x dx F x   ( ) ( ) . C
B. f x dx   ( ) f (x).
C.  f (x)dx  f (x).
D.  f (x)dx  F(x).
Câu 4. Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai. A. kf ( ) x dx k f ( ) x dx,(k    ) R . B.
f x.gxdx  
f xd .xgxdx. C.
f x gxdx   f xdx  
gxdx. D.
f xgxdx   f xdx  
gxdx. Câu 5. Cho hai hàm số f ( ) x , ( g )
x là hàm số liên tục, có F(x), (
G x) lần lượt là nguyên hàm của f ( ) x , ( g ) x . Xét các mệnh đề sau:
(I). F(x)  G(x) là một nguyên hàm của f ( ) x  ( g ) x . Trang6
(II). k.F(x) là một nguyên hàm của kf (x) với k R.. (III). F(x). (
G x) là một nguyên hàm của f ( ) x . ( g x). Các mệnh đúng là A.(I). B. (I) và (II).
C. Cả 3 mệnh đề. D. (II). Câu 6.
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên ( ;
a b) và C là hằng số thì
f (x )dx = F (x )+ C ò .
B. Mọi hàm số liên tục trên ( ;
a b) đều có nguyên hàm trên ( ; a b).
C. F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a ) /
;b Û F (x)= f (x), " x Î ( ; a ) b . /
D. ( f (x)dx ò ) = f (x). Câu 7. Xét hai khẳng định sau:
(I) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] đều có đạo hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ ;
a b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai đều đúng.
D. Cả hai đều sai. Câu 8.
Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên đoạn [ ; a b] nếu:
A. Với mọi x Î ( ; a ) b , ta có /
F (x)= f (x).
B. Với mọi x Î ( ; a ) b , ta có /
f (x)= F (x).
C. Với mọi x Î [ ; a b], ta có /
F (x)= f (x) .
D. Với mọi x Î ( ; a ) b , ta có /
F (x)= f (x), ngoài ra /
F (a+ )= f ( ) a và /
F (b- )= f ( ) b . Câu 9.
Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D , câu nào là sai?
(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chỉ nếu " x Î D : F '(x)= f (x).
(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D .
(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số.
A. Không có câu nào sai. B. Câu (I) sai. C. Câu (II) sai. D.Câu (III) sai.
Câu 10. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng ( ;
a b). Giả sử G (x) cũng là một nguyên
hàm của f (x) trên khoảng ( ; a b). Khi đó:
A. F (x)= G (x) trên khoảng ( ; a b).
B. G(x)= F (x)- C trên khoảng ( ;
a b), với C là hằng số.
C. F (x)= G(x)+ C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định, C là hằng số.
D. Cả ba câu trên đều sai.
Câu 11. Xét hai câu sau:
(I) ò ( f (x)+ g(x))dx =
f (x )dx +
g(x )dx = F (x )+ G (x )+ C ò ò ,
trong đó F (x) và G(x) tương ứng là nguyên hàm của f (x), g(x).
(II) Mỗi nguyên hàm của .
a f (x) là tích của a với một nguyên hàm của f (x). Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (I) đúng.
B. Chỉ có (II) đúng.
C. Cả hai câu đều đúng.
D. Cả hai câu đều sai.
Câu 12. Các khẳng định nào sau đây là sai? / A. é ù
f (x )dx = F (x )+ C Þ
f (t )dt = F (t )+ C ò ò . B. f ê (x)dx = f ò ú (x ). ë û C.
f (x )dx = F (x )+ C Þ
f (u)dx = F (u)+ C ò ò . D.
kf (x )dx = k f (x )dx ò ò
( k là hằng số).
Câu 13. Câu nào sau đây sai?
A. Nếu F '(t)= f (t) thì /
F (u(x))= f (u(x)). B.
f (t )dt = F (t )+ C Þ f ò
ò (u(x))u'(x)dx = F (u(x))+ C .
C. Nếu G (t) là một nguyên hàm của hàm số g(t) thì G(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số g(u(x)) / .u (x). Trang7 D.
f (t )dt = F (t )+ C Þ
f (u)du = F (u)+ C ò ò
với u = u(x).
Câu 14. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai. A. f ( ) x  (
g x)dx f (x)dx   
g(x)dx .
B.Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( )
x thì F(x)  G(x)  C là hằng số.
C. F(x)  x là một nguyên hàm của f (x)  2 x. D. F x  2
( ) x là một nguyên hàm của f ( ) x  2 . x VẤN ĐỀ 2
Tính nguyên hàm của một số hàm số đa thức Câu 15.
(ĐỀ THI TNTHPT 2021)Cho hàm số 2
f (x)  x  3 . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 x A. 2
f (x)dx x  3x CB.
f (x)dx   3x C  . 3 C. 3
f (x)dx x  3x C  . D.
f (x)dx  2x C  .
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f x 3
x  3x  2 là hàm số nào trong các hàm số sau? x x x
A. F x 4 2 
 3x  2x C .
B. F x 4 2 3    2x C . 3 4 2 x x
C. F x 4 2    2x C .
D. F x 2
 3x  3x C . 4 2
Câu 17. Hàm số F x 3 2
 5x  4x  7x 120  C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f x 2
 5x  4x  7 .
B. f x 2
 5x  4x  7 . x x x
C. f x 2 3 2 5 4 7    .
D. f x 2
15x  8x  7 . 4 3 2 1 2
Câu 18. Họ nguyên hàm của hàm số: y x  3x  là x x 3 x 3
A. F x 3 2 
x  ln x C .
B. F x 3 2 
x  ln x C . 3 2 3 2 Trang8 x 3 1
C. F x 3 2 
x  ln x C .
D. F x  2x  3   C . 3 2 2 x
Câu 19. Tìm nguyên hàm của hàm số f x   x   1  x  2 x 2
A. F x  2x  3  C .
B. F x 3 2 
x  2x C . 3 3 x 3 x 2
C. F x 3 2 
x  2x C .
D. F x 3 2 
x  2x C . 3 2 3 3 b b
Câu 20. Biết hàm số f x  x  3 2
1 3x  có nguyên hàm là F x 2 5
ax x C với a,b,c   và là c c   phân số tối giản a b c
.Tính giá trị biểu thức T  . . a . b c 1 2 1 7 A. T B.T C. T D. T  3 5 5 3 a a
Câu 21. Biết hàm số f x   x  5 2
1 có nguyên hàm là F x   x c6 2
C với a,b,c   và là phân b b   số tối giản a b c
.Tính giá trị biểu thức T  . . a . b c 5 3 6 7 A. T B.T C. T D. T  3 5 7 6
Câu 22. Một nguyên hàm F x của 2
f (x)  3x 1 thỏa F   1  0 là:
A. F x 3  x 1
B. F x 3
x x  2
C. F x 3  x  4
D. F x 3  2x  2
Câu 23. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x 2
 2  x biết F   7 2  3 x 19
A. F x 3 1  2x  
B. F x 3  2x x  3 3 3 x x
C. F x 3  2x  1
D. F x 3  2x   3 3 3
Câu 24. Nguyên hàm F x của hàm số f x  2 x  3 2
x  4 thỏa mãn điều kiện F 0  0 là
A. F x  4
B. F x 3 4  2x  4x 2 x
C. F x 4 3  x   4x
D. F x 3 4
x x  2x 3 4
Câu 25. Cho hàm số f x 3 2
x x  2x 1. Gọi F x là một nguyên hàm của f (x) , biết rằng F   1  4 thì: x x 49 x x
A. F x 4 3 2    x x
B. F x 4 3 2  
x x 1 4 3 12 4 3 x x x x
C. F x 4 3 2  
x x  2
D. F x 4 3 2    x x 4 3 4 3 3 x
Câu 26. Biết hàm số f x x  2 ( ) (
1) có nguyên hàm là F x   2 ( )
bx cx C với a,b,c  . Tính giá trị biểu a
thức T a b c . A. T  1 B.T  3 C. T  5 D. T  10 x a 4 3
Câu 27. Biết hàm số f x  x  3 có nguyên hàm là F x   
C với a,b . Tính giá trị biểu thức b  2  2 T a b . Trang9 A. T  5 B.T  25 C. T  50 D. T  10
Câu 28. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng.  2 1   1  2 A. 2x  1 dx     2x 1  dx  .  x    x    2 1  1  B. 2x  1  dx  2 2x 1     dx .  x   x   2 1  1   1  C. 2x  1 dx  2x  1 d . x 2x  1      dx .  x   x   x   1 2 1 2 D. 2x  1 dx  2
4 x dx dx dx  4 xdx dx       4 dx 2     x x x
Câu 29. Cho hàm số f x  x x  4 2
1 . Biết F x là một nguyên hàm của f (x) ; đồ thị hàm số y F x đi qua
điểm M 1;6. Nguyên hàm F x là x  4 2 1 x  5 2 2 1 2
A. F x  
B. F x   4 5 5 5 x  5 2 1 x  4 2 2 1 2
C. F x  
D. F x   5 5 4 5
Câu 30. Hãy xác định hàm số f ( x) từ đẳng thức: 2
x xy C f ( y)dy
A. f x  2x
B. f (x)  x
C. f (x)  2x 1
D. Không tính được
Câu 31. Cho f (x)dx  F(x)  C. 
Khi đó với a  0, ta có f (a x  b)dx  bằng: 1 1 A. F(a x  b)  C B. F(a x  b)  C C. F(a x  b)  C D. F(a x  b)  C 2a a Câu 32. Cho 2
f (x)dx x x C  . Khi đó  2 f x dx  bằng: 5 3 x x 2 A.   C B. 4 2
x x C C. 3
x x C
D. Không được tính 5 3 3
Câu 33. Cho hàm số y f x thỏa mãn 2
y '  x .y và f  
1  1thì f 2 bằng bao nhiêu? A. f   3 2  e B. f   2 2  e
C. f 2  2e
D. f 2  e 1 Câu 34. Tìm giá trị thực của
m để F x 3 2
mx x 3x  4 là một nguyên hàm của hàm số f x 2
 x  2x  3 . 1 1 A. m  1  . B. m  . C. m 1. D. m   . 3 3 Câu 35.
Cho f x  1 x . Một nguyên hàm F x của f x thỏa F   1  1 là: 2  x 1 x   khi x  0  2 2 A. 2 x x 1 B.  . 2  x x
C khi x  0 2  2 2  x  2
x C khi x  0 
x x C khi x  0 1  1 2  C.  . D. 2  x . 2  xx
C khi x  0 x
C khi x  0 2  2  2 2 Trang10 Câu 36.
Cho hàm số f  x thỏa mãn f   1 2  
và f  x  x f x 2 3 4 .  
 với mọi x . Giá trị của 25 f   1 bằng? 41 1 391 1 A. . B. . C. . D. . 100 10 400 40 2020   3 5 4 a b Câu 37. Biết x
 x 1 dx ax 1 bx 1 C , với a,b . Tính giá trị S     . a b  2020  1  A. S  .   B. 2020 S  2 . C. S 1. D. S  0.  2  . a b Câu 38. Biết 2020 2022 2021 x(1 x)
dx a(x 1)  ( b x 1)  C
, với a,b   . Tính giá trị S a b A. S  4043.  B. 2020 S  2 . C. S  2020. D. S  2020.  1 Câu 39. Biết 2 3 2019 3 3 (2020  )  (2020  )b x x dx a xC
, với a   ; b   . Tính giá trị S   . a b2020 A. S  2020. B. S 1. C. S  4.
D. S  2019. x x Câu 40. Cho f  x 4 3 dx  
 2020  C . Khi đó f 3xdx  là: 4 3 4 27x 2020 4 3x A. 3  3x   C B. 3
 3x  2020  C 4 3 4 4 27x 4 x 2020 C. 3
x  2020  C D. 3  x   C 4 4 3 Câu 41. Cho 10
x(x 1) dx
. Nếu đặt t x 1thì f tdt  là 10 9 t t 10 9 t t 12 11 t t 12 11 t t A.   C B.   C C.   C D.   C 10 9 10 9 12 11 12 11 VẤN ĐỀ 3 P x
Tính nguyên hàm của một số hàm số hữu tỉ ( ) f ( ) x ( Q ) x 9 Câu 42.
Nguyên hàm của hàm số   2 f x  x – 3x 201  là x 3 2 x 3x 3 2 x 3x A. F(x) =   2019ln x  C B. F(x) =   2019ln x  C 3 2 3 2 3 2 x 3x 3 2 x 3x C. F(x) =   2019ln x  C D. F(x) =   2019ln x  C 3 2 3 2 dx Câu 43.  bằng: 2  3x 1 3 1 1 A.          B. C C. ln 2 3x C D. ln 3x 2 C 2  3x  C 2 23x2 3 3 Trang11 2 Câu 44.
Hàm nào khôngphải nguyên hàm của hàm số y  2 (x  : 1) x 1 2x 2  x 1 A. B. C. D. x 1 x 1 x 1 x  1 1  Câu 45.
Họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  2 (x  là: 2) 1 1  1  A. F(x)   C F(x)   C F(x)   C x  B. Đáp án khác. C. 2 x  D. 2 3 (x  2) 5 x 1 Câu 46. Tính dx 
ta được kết quả nào sau đây? 3 x 6 x  3 2 x x x 3 6 x 1
A. Một kết quả khác B.   C C.  C D.   C 3 2 4 x 2 3 2x 4 x(2  x) Câu 47.
Hàm số nào dưới đây không là nguyên hàm của hàm số f (x)  2 (x  ? 1) 2 x  x 1 2 x  x 1 2 x  x 1 2 x A. x  B. 1 x  C. 1 x  D. 1 x  1 3 x x  1
Câu 48. Nguyên hàm của hàm số y  là: x 3 x 3 2 x x 3 x A.
x  ln x C. B.
 ln x C . C. 3
x x  ln x  . C D.
x  ln x C. 3 3 2 3 3 x
Câu 49. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  . 4 x  1 4 3x A.
f (x)dx    C. B. f x dx x    4 ( ) ln( 1) C. 4 2x  6 1 C. f x dx x x    3 4 ( ) ln( 1) . C D.
f (x)dx  ln(x  1)   4 C. 4 Câu 50. Nếu
f xdx   x  
1 ln 2 C thì hàm số f x là x 1 1
A. f x  x  1 .
B. f x    . 2x 2 x x 1 1 1
C. f x   ln 2x .
D. f x    . 2   x 2 x 2x 1
Câu 51. Nguyên hàm của f x   là: 3x  12 3 1 1 1 A.C . B.C . C.C . D.C . 1  3x 3x  1 9x  3 9x  3 2 x 2x 3
Câu 52. Một nguyên hàm của f x    là : x  1 2 x 2 x 2 x 2 x A.
 3x  6ln x 1 . B.  3x+6ln x  1 . C.  3x-6ln x 1 . D.  3x+6ln x  1 . 2 2 2 2 1 Câu 53. Tìm nguyên hàm: dx  . x(x  3) Trang12 1 x 1 x  3 1 x 1 x  3 A. ln  C B. ln  C C. ln  C D. ln  C 3 x  3 3 x 3 x  3 3 x dx
Câu 54. Tìm Fx =  ? 2 x x  2 1 x  2 1 x 1 A. Fx = ln  B. Fx = ln  . C x  . C 3 1 3 x  2 1 x  1 x  2 C. Fx = ln  D. Fx = ln  . C x  . C 3 2 x  1 1 Câu 55. dx  bằng: 2 x  6x  9 1 1 1 1 A.   C  C   C  C x  B. 3 x  C. 3 x  D. 3 3  x dx Câu 56.
Nguyên hàm của hàm số: y =  là: 2 2 a  x 1 a  x 1 a  x 1 x  a 1 x  a A. ln ln ln ln 2a a  +C B. x 2a a  +C C. x a x  +C D. a a x  +C a x  3
Câu 57. Tìm nguyên hàm  dx . 2 x  3x  2 x  3 x  3 A.
dx  2 ln x  2  ln x  1   C . B.
dx  2 ln x  1  ln x  2   C . 2 x  3x  2 2 x  3x  2 x  3 x  3 C.
dx  2 ln x  1  ln x  2   C . D.
dx  ln x  1  2 ln x  2   C . 2 x  3x  2 2 x  3x  2 x x  2
Câu 58. Hàm số nào dưới đây không là 1 nguyên hàm của hàm số f x     . x  12 2 x x  1 2 x x  1 2 x 2 x x  1 A. B. . C. . D. . x  . 1 x  1 x  1 x  1 x 2
Câu 59. Cho hàm số f x  
. Khẳng định nào sau đây là sai? 2 x  4x  5 1 1 A.
f xdx  ln x  4x  5   2 C.
B. f x   dx  2 ln
x  4x  5    . C 2  2  1 1 C.
f xdx  ln x  4x  5   2 C. D.
f xdx  lnx  4x  5   2 C. 2 2 5x  7
Câu 60. Kết quả  dx bằng: 2 x  3x  2
A. 2 ln x  2  3 ln x  1  C .
B. 3 ln x  2  2 ln x  1  C .
C. 2 ln x  1  3ln x  2  C .
D. 3ln x  2  2 ln x  1  C . 2x  Câu 61.
Nguyên hàm của (với C hằng số) là dx  2 1 x 1 x x 1 A.  C B.  C C.  C D. 2 ln 1 x  C 1 x 1 x 1 x 4x 1 Câu 62. dx  bằng: 2 4x  2x  5 1 1 A.  C   C 2 4x  2x  B. 5 2 4x  2x  5 Trang13 1 C. 2 ln 4x  2x  5  C D. 2 ln 4x  2x  5  C 2 1
Câu 63. Biết F x là một nguyên hàm của f x 
và F 2  1 . Tính F 3 . x  1
A. F 3  ln 2  1 .
B. F 3  ln 2  1.
C. F    1 3 .
D. F    7 3 . 2 4 3 x  1
Câu 64. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) 
, biết F(1)  0 . 2 x 2 x 1 1 2 x 1 3 2 x 1 1 2 x 1 3
A. F(x)    .
B. F(x)    .
C. F(x)    . D. F(x)    . 2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 b
Câu 65. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x  ax
x  0 , biết rằng F 1 1, 2  x F   1  4, f   1  0 2 3x 3 7 2 3x 3 7
A. F x    .
B. F x    . 4 2x 4 4 2x 4 2 3x 3 7 2 3x 3 1
C. F x    .
D. F x    . 2 4x 4 2 2x 2 3 2 x  3x  3x 1 1
Câu 66. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  F(1)  2 x  2x  biết 1 3 2 2 13 A. 2 F(x)  x  x   6 F(x)  x  x   x  B. 2 1 x  1 6 2 x 2 13 2 x 2 C. F(x)   x   F(x)   x   6 2 x  D. 1 6 2 x  1 3 x 1
Câu 67. Tìm 1 nguyên hàm F(x) của f (x)  biết F(1) = 0 2 x 2 x 1 1 2 x 1 3 2 x 1 1 2 x 1 3 A. F(x)    B. F(x)    C. F(x)    D. F(x)    2 x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 4 1
Câu 68. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau:   C  f (y)dy  3 2 x y 1 3 2 A. B. C.
D. Một kết quả khác. 3 y 3 y 3 y 1  3 
Câu 69. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x)  F  0   . Khi đó F(3) bằng: 2 x  3x  thỏa mãn 2  2  A. 2ln2 B. ln2 C. -2ln2 D. –ln2 x  3
Câu 70. Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm f (x)  , F(0)  0 2 x  2x  thì hằng số C bằng 3 2 3 2 3 A.  ln 3 B. ln 3 C. ln 3 D.  ln 3 3 2 3 2 3 2 x  3x  3x  7
Câu 71. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  2 (x  với F(0) = 8 là: 1) 2 x 8 2 x 8 2 x 8 A.  x   x   x  2 x  B. 1 2 x  C. 1 2 x 
D. Một kết quả khác 1 1
Câu 72. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số: f (x) 
. Một học sinh trình bày như sau: 2 x  6x  5 1 1 1  1 1  (I) f (x)       2 x  6x  5 (x 1)(x  5) 4  x  5 x 1 Trang14 1 1
(II) Nguyên hàm của các hàm số ,   x  5
x  theo thứ tự là: ln x 5 , ln x 1 1 1 1 x 1
(III) Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là: (ln x  5  ln x 1  C   C 4 4 x  5
Nếu sai, thì sai ở phần nào? A. I B. I, II C. II, III D. III ax  1 Câu 73.
Tìm giá trị thực của a để F x 1  f x  . x
là một nguyên hàm của hàm số   5 x 52 2 3 2 A. a  6 . B. a  . C. a  . D. a   . 5 5 5 1 x a a Câu 74. Biết dx
ln 2x  7  C
, với là phân số tối giản. Tính S = a + b? 2 2x  5x  7 b b A. S  4. B. S  2. C. S  3.
D. S  5. 2 5x  8x  4  1  Câu 75.
*Biết F ( x) là nguyên hàm của      dx với 0 x 1và F 26  
. Giá trị nhỏ nhất của x 1 x2 2  2  F (x) là: A. 24. B. 20. C. 25. D. 26. 1 1 Câu 76. Biết   dx  
C . Với a là số nguyên. Tìm a? 2
25x  20x  4 a 5x  2 A. a  4. B. a 100. C. a  5. D. a  25. x Câu 77. Biết dx a x   b
x   C . Tính giá trị biểu thức  1 ln 1 ln 2 a b
x 12x
A. a b  5.
B. a b  1.
C. a b  5.
D. a b  1. 2 2 3
Câu 78. Nguyên hàm F x của hàm số f x    là hàm số nào? 2 5  2x x x
A. F x 3
  ln 5  2x  2ln x   C .
B. F x 3
  ln 5  2x  2ln x   C . x x
C. F x 3
 ln 5  2x  2ln x   C .
D. F x 3
  ln 5  2x  2ln x   C . x x 2 x x 1 1 Câu 79. Biết 2
dx ax b ln | x 1| C
, với a   ; b   . Tính giá trị S x 1  .ab2020 1 A. 2020 S  2 . B. S 1. C. S  2. D. S  . 2 2 2  x 1 b Câu 80. Biết 3 
dx ax   cx C , với a   ; b,c   . Tính giá trị S a b c .  x x 5 4 3 1 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 2 3 2 2 2 x  2x  3 Câu 81. Biết 2
dx ax bx c ln x 1  C
, với a   ; b, c   . Tính giá trị S  2a  3b  5c . x 1 A. S  0. B. S  3. C. S  8.
D. S  20. Trang15 2x  3 b
Câu 82. Hàm số f x 4 
có nguyên hàm là F x 3
ax   C với với a   ; b   . Tính giá trị biểu 2 x x a b thứcT  . . a b 5 7 7 A. T B.T  1 C. T   D. T  3 3 6 3x 1
a b c Câu 83. Biết
dx ax b ln x c C
, với a, b, c   . Tính giá trị S  . x  2 . a . b c 2 1 3 A. S 1. B. S  . C. S  . D. S  . 3 21 7 1 Câu 84. Biết         , với a, ,
b c, d   . Tính giá trị S  a b c d 2020 . . . . 
x   dx a ln x b c ln x d C x 1 2 A. 2020 S  2 . B. 2020 S  2 . C. 2020 S  3 . D. 2020 S  3 . x 1 Câu 85. Biết
dx a ln x b c ln x d C  , với a, ,
b c, d   . Tính giá trị S a b c d . 2 x  3x  2 A. S  4. B. S  8. C. S  7.
D. S  9. 2x  3 . a b Câu 86. Biết
dx a ln x 1  b ln x  3  C
, với a, b   . Tính giá trị S  2 x  4x  3 a  . b 3 4 8 3 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 8 3 3 4 x 2  xCâu 87.
Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số: f (x)   là: x  2 1 2 x x 1 2 x x 1
A. F (x) 
B. F(x)  x 1 x 1 2 x 2 x x 1
C. F (x) 
D. F (x)  x 1 x 1 2019 x  . a b Câu 88. Biết 2
dx a ln(b x )  C
, với a   ; b   . Tính giá trị S    . 2 1 xa b  2019  2019 1   1  A. S 1. B. S  1.  C. S  .   D. S   .    2   2  2x a Câu 89. Biết      x   C , với a ; b
 . Tính giá trị S a b . x  9 d 4  .bx 93 2 2 7 1 2 7 A. S   . B. S  . C. S  . D. S  . 3 3 3 3 x  2 a a
Câu 90. Biết hàm số f (x)  F x x cx
C với a,b,c   và 2 x  4x  có nguyên hàm là   2 ln | 3 | 3 b b   là phân số tối giản a b c
.Tính giá trị biểu thức T  . . a . b c 1 1 3 5 A. S   . B. S  . C. S  .
D. S   . 8 8 8 8 x d x a 3 Câu 91. Biết    a ln
C , với a;b  . Tính giá trị S   . 2 1 x  2 x b x 5 b 5 5 5 16 A. S   . B. S  . C. S   . D. S  . 3 16 16 5 Trang16 dx 1
a b c d Câu 92. Biết 
b ln x c ln   2 d x
C , với c  ; a, ,
b d   . Tính giá trị S  . 3 5 2  x x ax b 3 3 2 2 A. S  . B. S   . C. S  . D. S   . 2 2 3 3 2x  3 1 3 Câu 93. Cho dx  ln x 1  ln x  3  C  . Khi đó
f 2020xdx  bằng: 2 x  4x  3 2 2 1 3
A.1010 ln x 1  3030 ln x  3  C B. ln x 1 
ln x  3  C . 4040 4040 1 3 1 3 C. ln 2020x 1 
ln 2020x  3  C D. ln 2020x 1 
ln 2020x  3  C 2 2 4040 4040 x 1 Câu 94. Cho        . Khi đó f
 x 2020dxbằng:
x   dx ln x 1 C 2 1 x 1 1 1
A. 2020 ln x 1   C ln x  2021   C x B. 1 x  . 2021 2020 1
C. 2020 ln x 1   C ln x  2020   C x D. 1 x 2020 VẤN ĐỀ 4
Tính nguyên hàm của một số hàm số vô tỉ Câu 95.
Nguyên hàm của hàm số   3 f x  x là: 4x 4x A.   3 2 3 x F x   C B.   3 3x x F x   C C. Fx   C D. Fx   C 4 4 3 3 x 3 2 3 x Câu 96.
Nguyên hàm của hàm số   1 f x  là: x x A.   2 F x   C B.   2 F x    C C.   x F x   C D.   x F x    C x x 2 2 Trang17  5  Câu 97. 3  x dx   bằng:  x  2 2 2 2 A. 5 5 ln x  x  C B. 5 5ln x  x  C C. 5 5  ln x  x  C D. 5 5 ln x  x  C 5 5 5 5 x x  x Câu 98.
Nguyên hàm của hàm số f x  là: 2 x 2 x   2 x 1 1   A. Fx     C B. Fx   C C.   2 3 x F x   C D.   1 2 x F x   C x 2 x x x  5 1  Câu 99. Tìm nguyên hàm: 3  x dx   2  x 2  5 1 5 1 5 4 5 1 A. 5   x  C B. 5  x  C C. 5   x  C D. 5  x  C x 5 x 5 x 5 x 5  2 
Câu 100. Tìm nguyên hàm: 3 x   x dx    x  1 2 1 2 A. 4 3 x  2 ln x  x  C B. 4 3 x  2 ln x  x  C 4 3 4 3 1 2 1 2 C. 4 3 x  2 ln x  x  C D. 4 3 x  2 ln x  x  C 4 3 4 3 1
Câu 101. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  . 3  x A. f
 xdx  2
 3 x C . B. f
 xdx   3 x C . C. f
 xdx  2 3 x C . D. f
 xdx  3
 3 x C .
Câu 102. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( )
x  5  3x . 2 2 A. f
 xdx   53x 53x C . B. f
 xdx   53x 53x . 9 3 2 C. f
 xdx  53x 53x . D. f  x 2 dx  
5  3x C . 9 3  4 
Câu 103. Tìm nguyên hàm: 3 2 x  dx    x  5 3 3 3 A. 3 5 x  4 ln x  C B. 3 5  x  4 ln x  C C. 3 5 x  4 ln x  C D. 3 5 x  4 ln x  C 3 5 5 5
Câu 104. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 f ( ) x x  2 . 1  3 A. f
 xdx  x2 23 C . B. f
 xdx   x2 3 x2 C . 3 4 2 3 C. f
 xdx  x 2 x 2 . D. f
 xdx  x2 3 x2 C . 3 4
Câu 105. Tìm nguyên hàm của hàm số 3
f (x)  1 3x . 3 1 A. f
 xdx   13x 3 13x C . B. f
 xdx   13x 3 13x C . 4 4 1  C. f
 xdx  13x 3 13x C . D. f
 xdx    x 23 1 3  C . 4
Câu 106. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 3 4 f (x)  x  x  x ? 3 4 5 2 3 4 2 4 5 2 3 4 A. 2 3 4 F(x)  x  x  x  C B. 3 3 4 F(x)  x  x  x  C 3 4 5 3 4 5 Trang18 2 4 5 2 4 5 3 1 5 2 1 4 C. 3 3 4 F(x)  x  x  x  C D. 2 3 4 F(x)  x  x  x  C 3 3 4 3 3 5 1
Câu 107. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) biết f (x)  x  9  x 2 3 A.  x9 3  x C B. Đáp án khác 27 2 2 3 C.  C D.    27   x 9 3 x  C 3( x  93 3  x )
Câu 108. Một nguyên hàm của hàm số: 2
f (x)  x 1  x là: 1 1
A. F (x)   2 2 x 1 x
B. F(x)   1 x 3 2 2 3 2 3 x 1 C. F x   2 ( ) 1 x
D. F(x) 
x  1 x 3 2 2 3 3 1
Câu 109. Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số: y  2 4  x A. F x   2 ( )
ln x  4  x B. F x   2 ( ) ln x  4  x C. 2
F(x)  2 4  x D. 2
F(x)  x  2 4  x 2 x 1
Câu 110. Nguyên hàm của hàm số y  là: x A. 2
P x x  1  x C B. 2 P x    2 1 ln x
x  1  C 2  x C. 2 1 1 P x  1  ln  C D. Đáp án khác. x
Câu 111. Tìm hàm số F x , biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x  x và F   1  1. 2 1 1 1 3 1
A. F x  x x  .
B. F x   .
C. F x  x x.
D. F x  x x  . 3 3 2 x 2 2 2 dx Câu 112. Cho
a 2x 1  bln 
 2x14Cvới a,b . Tính M ab. 2x 1  4 A. M  3 B. M  3  C. M  0 D. M  2 . 2 Câu 113. Cho f
 xdx
C . Khi đó: f 2xdx  bằng: 2 x 1 1 1 8 2 A.C . B.C . C.C . D.C . 2 x 1 2 4x 1 2 4x 1 2 x 1 2 20x  30x  7 3
Câu 114. Cho các hàm số: f (x)  ;     2 F x
ax  bx  c 2x  3 với x  . Để hàm số Fx 2x  3 2
là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì giá trị của a, b, c là:
A. a  4; b  2; c  1 B. a  4; b  2  ;c  1  C. a  4;b  2  ;c 1.
D. a  4; b  2; c  1 
Câu 115. Hàm số f (x)  x x 1 có một nguyên hàm là F(x) . Nếu F(0)  2 thì giá trị của F(3) là 116 146 886 A.
B. Một đáp số khác C. D. 15 15 105 Trang19 x
Câu 116. Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số f (x) 
thỏa mãn F(2) =0. Khi đó phương trình F(x) = x có 2 8  x nghiệm là: A. x = 0 B. x = 1 C. x = -1 D. x  1 3
Câu 117. Một học sinh tìm nguyên hàm của hàm số y  x 1 x như sau:
(I) Đặt u = 1 - x ta được y  (1 u) u 1 3 (II) Suy ra 2 2 y  u  u 2 5 2 2 (III): Vậy nguyên hàm 3 2 F(x)  u  u  C 3 5 2 2
(IV) Thay u = 1 - x ta được: 2 F(x)  (1 x) 1 x  (1 x) 1  x  C 3 5
Lập luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào? A. II B. III C. I D. IV ax  4x  3
Câu 118. Tìm giá trị thực của a để F x 1 
là một nguyên hàm của hàm số f x  . 2x 1 2x  3 1 A. a  4 . B. a  5 . C. a  4  . D. a  5  . x x
Câu 119. Cho F x   2
ax bx c 2x 1 là một nguyên hàm của hàm số f x 2 10 7 2  trên khoảng 2x 1  1  ;  
. Tính S a b c .  2  A. S  3. B. S  0 . C. S  6  . D. S  2  . x x
Câu 120. Cho F x   2
ax bx c 2x  3 là một nguyên hàm của hàm số f x 2 20 30 7  trên 2x  3  3  khoảng ;  
. Tính P abc .  2  A. P  0 . B. P  3. C. P  4 . D. P  8  . 1
Câu 121. Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số f x  trên khoảng  ;   ? 2 1 x
A. F x   2
ln x  1 x   C .
B. F x   2
ln 1 1 x   C . 2x
C. F x 2
 1 x C .
D. F x   C 2 1 x b Câu 122. Biết
3x 1dx a  3x  
1  C , với a, b   . Khẳng định nào sau đây đúng? 31 1 a b 31 31
A. a b  . B. . a b  . C.  .
D. a b  . 9 3 . a b 3 18 Câu 123. Tính 2 x x  3dx  . Nếu đặt 2 t x  3 thì: A. 2 2
x x  3dx t dt   B. 2
x x  3dx tdt   1 C. 2
x x  3dx t tdt   D. 2 2 x x  3dx t dt   2 3 x 1 Câu 124. Cho dx     2x 2 2
1 x C . Khi đó
f 2xdx  bằng: 2  3 1 x Trang20 1 1 A.   2 4x  2 2 1 4x C B.   2 4x  2 2 1 4x C . 3 6 1 1 C.  2x 2 2 1 x C D.  2 4x  2 2 1 4x C 3 6 1 Câu 125. Cho dx  ln   2 x  4  x
C . Khi đó f
 1 xdxbằng: 2  4  x 2
A. ln x  4  x   1 C B.  2
ln x 1 4  x   C . 2
C. ln x 1 1 1 x  C D.  2 ln x 1
x  2x  5  C 2020 dx  . a b Câu 126. Biết  a x b ln 
x  1C , với a;b . Tính giá trịS   . x 1  a b  2020  2020 1   1  A. S 1. B. S  1.  C. S  .   D. S   .    2   2 
Câu 127. Nguyên hàm của hàm số: 3 I x x 1d . x  là: 2 4 5 3 6 2 2 
A. F x  x   1  x   1   x   1  x   1 x 1  C   9 7 5 3  2 4 6 3 6 2 2 
B. F x  x   1  x   1   x   1  x   1 x 1  C   9 7 5 3  2 4 6 3 6 2 2 
C. F x  x   1  x   1  x   1  x   1 x 1  C   9 7 7 3  2 4 6 3 6 2 1 
D. F x  x   1  x   1   x   1   x   1 x 1  C   9 7 5 3  x d . a . b c Câu 128. Biết
a 2x 1  bln 
 2x1cC , với a; ;bc . Tính giá trịS  2x 1  4 a b  . c A. S 1. B. S  1.  C. S  16. 
D. S 16.  3  Câu 129. Biết 2 3 3 x
 2 x dx ax bln x c x C  
, với b   ; a, c   . Khẳng định nào sau đây  x  đúng? 4
a b c 3
A. a b c  2. B. . a . b c  . C.  .
D. 3a b  3c  8. 3 . a . b c 2 b d
Câu 130. Biết x 4x  7.dx a 4x  7  c 4x  7  C  , với a; ; b ;
c d   . Tính giá trị S a b c d . 137 308 135 508 A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 308 137 508 135 3 x a
a b c Câu 131. Biết 4 dx
ln x c C  , với a; ;
b c   . Tính giá trị S  . 4 x 1 b . b c 1 1 A. S   . B. S  1.  C. S  .
D. S 1. 4 4 3 x a b Câu 132. Biết dx a   2x 4 2
b x C , với a   ; b   . Tính giá trị S  . 2 2  x a 1 1 A. S   . B. S  5.  C. S  .
D. S  5. 5 5 x 1
a b c Câu 133. Biết 2 2
dx a x 1  ln bx x c C
, với a, b, c   . Tính giá trị S  . 2 x 1 2020a Trang21 3 1 1 1 A. S  . B. S  . C. . D. . 2020 2020 1010 3030 VẤN ĐỀ 5
Tính nguyên hàm của một số hàm số mũ và logarit
Câu 134. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x x f x e e   .   A.    x x f x dx e
  e C . B.    x x
f x dx e eC .   C.    x x
f x dx e eC . D.    x x f x dx e
  e C .
Câu 135. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 ( ) 2 .3 x x f x   . Trang22 x   x   A. f  x 2 1 dx  .  C . B. f  x 9 1 dx  .  C .      9  ln 2  ln 9  2  ln 2  ln 9 x   x   C. f  x 2 1 dx  .  C . D. f  x 2 1 dx  .  C .      3  ln 2  ln 9  9  ln 2  ln 9
Câu 136. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) x (3 x f x e e   ) là A. ( )  3 x F x
e x C . B. ( )  3 x x  ln x F x e e e C . 1
C. F (x)  3 x e   C . D. ( )  3 x F x
e x C . x e Câu 137. Hàm số    7 x F x
e  tan x là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây? x 1
A. f xx 2
 7e  tan x 1 .
B. f x  7e  . 2 cos xxex   x 1
C. f x  e  7   .
D. f x  7 e  . 2    cos x  2  cos x
Câu 138. Tìm nguyên hàm của hàm số 4 2 ( ) x f x e   . 1 x  A. f  x 2 1 dx e
C . B. f  x 2x 1 dx eC . 2 1 1 xx C. f  x 4 2 dx e
C . D. f  x 2 1 dx eC . 2 2
Câu 139. Tìm nguyên hàm của hàm số   3  x f x e . x e 3 A. f  x 3 2 dx   C B. f
 xdx   C 3 3 2 x e 3x2 x e 2 2e C. f  x 3 3 dx   C D. f
 xdx   C 2 3x  2
Câu 140. Kết quả nào sai trong các kết quả sao? x 1  x 1 2 5   1 2 4 4 x x   2 1 A. dx    C  B. dx  ln x   C  x x x 10 5.2 .ln 2 5 .ln 5 3 4 x 4x 2 x 1 x 1 C. dx  ln  x  C  D. 2 tan xdx  tan x  x  C  2 1 x 2 x 1
Câu 141. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai: x x 1 A. x  x 4 2 3 dx    C B. 2 x x e dx  e  C  4 2 2 dx 4
C. sin xdx  cos x  C  D.  ln  2 x  x 3 1
Câu 142. Nguyên hàm của hàm số f  x   là: 2 5x e   5 5 e A. F  x    C B. F x     C C.   2 5x e F x    C D. Fx 5x   C 2 5x e  2 5x e  5 2 5e Câu 143.  x x 3  4 dx bằng: x x 3 4 x x 3 4 x x 4 3 x x 3 4 A.   C B.   C C.   C D.   C ln 3 ln 4 ln 4 ln 3 ln 3 ln 4 ln 3 ln 4  Câu 144. x 1 2 dx  bằng Trang23 x 1 2  x 1   2  A. B. x 1 2  C C.  C D. x 1 2 .ln 2  C ln 2 ln 2 
Câu 145. Nguyên hàm của hàm số   1 2x 3x f x  3 .2 là: x  x x x 8   9   8   8           9   8   9   9  A. F x    C B. F  x   3  C C. Fx  3  C D. Fx  3  C 8 8 8 9 ln ln ln ln 9 9 9 8
Câu 146. Nguyên hàm của hàm số   3x x f x  e .3 là: 3.e x 3 3x e A. Fx    B. Fx  3.  C ln  C 3 3.e  ln  3 3.e  x 3.e  x 3 3.e C. Fx     D. Fx   C ln  C 3 3.e  ln 3 2  1  Câu 147. x 3  dx   bằng: x  3  2 3 x  3 ln 3  x 1  3 1  A.     C B.     C x  ln 3 3  x 3  ln 3 3 ln 3  x 9 1 1  1  C.   2x  C D. x 9   2x  C   x 2 ln 3 2.9 ln 3 x 2 ln 3  9  Câu 148.  x 3.2  x dx bằng: x 2 2 x 2 2 x 2 2 x 2 A. 3  x  C B. 3 3.  x  C C. 3  x  C D. 3 3.  x  C ln 2 3 ln 2 3 3.ln 2 3 ln 2 Câu 149. Gọi x 2022 dx  F 
xC, với C là hằng số. Khi đó hàm số Fx bằng x 2022 A. x 2022 ln 2022 B. x 1 2022  C. x 2022 D. ln 2022 3 
Câu 150. Nguyên hàm của hàm số f  x  x 1  là: x 4 x  x x 4   3   3         3   4   4  A. F  x   3  C B. Fx   C C.   x F x   C D. F  x   3  C 3 3 3 ln ln 2 ln 4 4 4 Câu 151. 2x x x 2 .3 .7 dx  là x 84 2x x x 2 .3 .7 A.  C B.  C C. x 84  C D. x 84 ln 84  C ln 84 ln 4.ln 3.ln 7
Câu 152. Để tính x ln
 2 xdxtheo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta đặt: u
  lnx  2 u
  xlnx   2 u
  xlnx  2 u
  lnx  2 A. B. C. D.  dv xdx dv  ln  x  2 dx dv dx dv dx
Câu 153. Họ nguyên hàm của hàm số   x f x xe là: 2 x A. x x xe e  . C B. x x xe e  . C C. x e C. D. x e  . C 2
Câu 154. Tìm họ nguyên hàm 2 x F(x)  x e dx  ? Trang24 A. 2 x
F(x)  (x  2x  2)e  C B. 2 x
F(x)  (2x  x  2)e  C C. 2 x
F(x)  (x  2x  2)e  C D. 2 x
F(x)  (x  2x  2)e  C 2  Câu 155. x 1 x.e dx  bằng: 2 1  2  2  2  A. x 1 e  C B. x 1 e  C C. x 1 2e  C D. 2 x 1 x .e  C 2 1 x e Câu 156. dx  bằng: 2 x 1 1 1 A. x e  C B. x e  C C. x e   C D.  C 1 x e
Câu 157. Nguyên hàm của hàm số: 3 I  x ln xdx.  là: 1 1 1 1 A. F(x) = 4 4 x .ln x  x  C B. F(x) = 4 2 4 x .ln x  x  C 4 16 4 16 1 1 1 1 C. F(x) = 4 3 x .ln x  x  C D. F(x) = 4 4 x .ln x  x  C 4 16 4 16 Câu 158. Tính x H  x3 dx  x 3 x 3 A. H  (x ln 3 1)  C B. H  (x ln 2  2)  C 2 ln 3 2 ln 3 x 3 C. H  (x ln 3 1)  C
D. Một kết quả khác 2 ln 3 1
Câu 159. Một nguyên hàm của       x f x 2x 1 e là 1 1 1 A. x x.e B.    1 2 x x 1 e C. 2 x x e D. x e ln 2 Câu 160. Tính x 2 dx  , kết quả sai là: x  A.  x 2 2  1 C B. x 2  C C. x 1 2  C D.  x 2 2  1 C x 1  x 1 2 5  
Câu 161. Cho hàm số f (x)  . Khi đó: x 10 2 1 2 1 A. f (x).dx     C  f (x).dx    C  x x . B. 5 .ln 5 5.2 .ln 2 x x 5 ln 5 5.2 .ln 2 x x 5 5.2 x x 5 5.2 C. f (x).dx    C  D. f (x).dx     C  2 ln 5 ln 2 2 ln 5 ln 2 3x e  1
Câu 162. Một nguyên hàm của f (x)  là: x e  1 1 1 1 1 A. ( )  2x x F x e e  . x B. ( )  2x x F x e e . C. ( )  2x x F x e e . D. ( )  2x x F x e e  1. 2 2 2 2 dx Câu 163.  bằng x e 1 x e x 2e x e A. ln ln ln D.  x ln e   1  ln 2 x 2e  B. 2 x e  C. 1 2 x e   1 
Câu 164. Nguyên hàm của hàm số   2 ln x x f x  , x  0 là: x Trang25 2 ln x 2 ln x A.  C B. 2ln x 1 C C.  2
2 ln x  xln x  C D.  x  C x x ln x Câu 165. dx  bằng: x 3 2 A. ln x3  C B.  3 2 ln x  C C. ln x3  C D.  3 3 ln x  C 2 3 ln ln x
Câu 166. Tính nguyên hàm I dx
được kết quả nào sau đây: x A. I  ln .
x ln ln x  . C B. I  ln .
x lnln x  ln x  . C C. I  ln .
x lnln x  ln x  . C
D. I  ln ln x  ln x  . C
Câu 167. Xác định a,b,c để hàm số 2 x F(x) (ax bx c)e   
là một nguyên hàm của hàm số 2 x f (x) (x 3x 2)e   
A. a  1, b  1, c  1  B. a  1
 , b  1,c  1 C. a  1  , b  1,c  1
D. a  1, b  1, c  1 ln x 1
Câu 168. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm 2 y  ln x 1. mà F(1)  . Giá trị 2 F (e) bằng: x 3 8 1 8 1 A. B. . C. . D. . 9 9 3 3 Câu 169. Cho 2x 2x 2 .  . .  . x x e dx a x e b e C
. Mệnh đề nào dưới đây là đúng
A. 2b a  0.
B. b  2a  0. C. b  . a D. b  . a 2
Câu 170. Cho F(x) là một hàm số f ( ) x  .
x ln x , biết F(1)  . Tìm F(x) 3 3 x 3 x A. 2
F(x)  x .ln x  1 B. 2 2
F(x)  x .ln x   3 3 3 3 x 3 x C. 2 2
F(x)  x .ln x   D. 2
F(x)  x .ln x  1 3 3 3 2
Câu 171. Biết rằng 2 x   x 3 dx x   2 ln
a ln x b ln x c. Giá trị biểu thức P ab c là: 2 4 A. P  0. B. P  . C. P  . D. P  1. 27 27
Câu 172. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) . x f x x e 
thỏa mãn điều kiện F(0)  1. Tính tổng S
các nghiệm của phương trình F(x)  x  1  0. A. S  3. 
B. S  0.
C. S  2. D. S  1.  Câu 173. Gọi 2 ( ) ( ). x f x ax bx c e   
là một nguyên hàm của hàm số ( ) (1 ). x g x x x e   . Tính
A a  2b  3 . c
A. A  6.
B. A  3.
C. A  9. D. A  4.  1 
Câu 174. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số   2x
f x xe thỏa F
  0. Khi đó F x là  2  1 1 1 A.    2   2 1 x F x x
e . B.    2   2 1 x F x x
e . C.    2   2 1 x F x x e  1. D. 4 2 2   1  2   2 1 x F x x e . 2 x
Câu 175. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2
xe và f 0  1  . Tính F 4. Trang26 7 3
A. F 4  3. B. F 4 2  e  . C. F   2 4  4e  3. D. F   2 4  4e  3. 4 4   Câu 176. Tính   1 x 1  (2 1) x F x x e dx e (Ax  ) B C
. Giá trị của biểu thức A B bằng: A. 3  . B. 3 . C. 0 . D. 5 . ln x
Câu 177. F x là một nguyên hàm của hàm số y  và F  2
e   4 . Tính F e ? x 1 5 3 1 A. F (e)= . B. F (e)=
C. F (e)= - D. + e 2 2 2 2
Câu 178. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1 
thỏa mãn F 0  ln 2 . Tìm tập nghiệm S x e 1
của phương trình    ln x F x e   1  3 A. S = {± } 3 . B. S = { } 3 . C. S = Æ D. S = {- } 3
Câu 179. Biết Fx là một nguyên hàm của   dx f x  và F  1  0 . Tính Fe . x 1 ln x A. Fe  2 . B. Fe  2  . C.   1 F e   . D.   1 F e   . 2 2 ln x
Câu 180. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2  ln x 1. thoả mãn F   1 1  . Giá trị của x 3 2 F e là 8 1 8 1 A. . B. . C. . D. . 9 9 3 3 ln x
Câu 181. Biết hàm số F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
có đồ thị đi qua điểm  ; e 2020 2 x ln x  3 . Khi đó F   1 là A. 3  2018 . B. 3  2020 . C. 2 3  2018 . D. 2 3  2020 .
Câu 182. Biết rằng  xx I e cos xdx e a x b x   2 2 3 cos 3 sin 2
c , trong đó a, b , c là các hằng số. Khi đó, tổng
a b có giá trị là: 1 5 5 1 A. . B. . C. D. 13 13 13 13 x xe
Câu 183. Cho F x    
, biết F 0 2 . Tìm F x .  xdx 2 1 x x xe x e 2 x e A. x   x      xe B.
x 1e 1 C. 1 D. 1  x 2 2 1  x 1  x 1  x
Câu 184. Cho hàm số y f x thỏa mãn hệ thức   sin
 -  cos  πx f x x dx f x x cosx dx
. Hỏi y f x
là hàm số nào trong các hàm số sau? x x
A. f x π   .
B. f x π  C.   πx f x  .lnπ D.   πx f x   .lnπ ln π ln π
Câu 185. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( )  4   1 x f x x
e thỏa mãn điều kiện F(1)  e.
A. ( )  4  3 x F x x e
B. ( )  4  5 x F x x e  9e
C. ( )  4  3 x F x x e e
D. ( )  4  5 x F x x e Trang27 Câu 186. Cho   2 ( )    x F x ax
bx c e là một nguyên hàm của hàm số    2 ( ) 3 x f x x
e . Tính S a b  . c A. S  12. B. S  0. C. S  10. D. S  14. a 1 ln x
Câu 187. Cho F(x) 
(ln x b) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 
Tính S a  . b x 2 x A. S  0. B. S  2. C. S  2.  D. S  1. Câu 188. Biết 2 2 ln xdx  (
x aln x bln x c)  d
. Tính P abc A. P  2 B. P  2  C. P  4 D. P  4  (x  a) cos 3x 1
Câu 189. Một nguyên hàm (x  2) sin 3xdx    sin 3x  2017 
thì tổng S  a.b  c bằng: b c A. S  14 B. S  15 C. S  3 D. S  10
Câu 190. Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm y  x.cos x mà F(0)  1. Phát biểu nào sau đây là đúng:
A. F(x) là hàm chẵn B. F(x) là hàm lẻ
C. F(x) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2
D. F(x) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ
Câu 191. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức sau: u v e  e  C  f (v)dv  A. v e B. u e C. v e D. u e 2x  3
Câu 192. Cho hai hàm số 2
F(x)  ln(x  2mx  4) vaø f (x) 
. Định m để F(x) là một nguyên hàm 2 x  3x  4 của f(x) 3 3 2 2 A. B. C. D.  2 2 3 3
Câu 193. Biết hàm số
    2    x F x ax
bx c e là một nguyên hàm của hàm số
    2 2 3 x f x x x e . Tính
S a  2b  3c . A. S  4 . B. S  6 . C. S  10 . D. S  7 . sinx cosxe ; x   0 
Câu 194. Cho f  x   1
. Nhận xét nào sau đây đúng? ; x   0  1 x cosx e ; x   0 A. F x  
là một nguyên hàm của f x 2 1 x  1 ; x   0 sinx e ; x   0 B. F x  
là một nguyên hàm của f x 2 1 x ; x   0 cosx e ; x   0 C. Fx  
là một nguyên hàm của f x 2 1 x ; x   0 sinx e ; x   0 D. F x  
là một nguyên hàm của f x 2 1 x  1 ; x   0 Câu 195. Cho 2
F (x)  x là một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số 2 (  ) x f x e . A. 2 x 2 f (
x)e dx  x  2x CB. 2 2 (  ) x
f x e dx  x x C C. 2 x 2 f (
x)e dx  2x  2x CD. 2 x 2 f (  x)e dx  2
x  2x C  2 (  ) x f x e Câu 196. Cho ( )  ( 1) x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số 2 ( ) x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số . Trang28x x 2 A. 2 (
 ) xd  (4 2 ) x f x e x x e C B. 2 f (  x)e d x x e C 2 C. 2 (
 ) xd  (2  ) x f x e x x e C D. 2 (
 ) xd  (  2) x f x e x x e C 1 f (x)
Câu 197. Cho F (x)  
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số f (  x)ln x . 3 3x x ln x 1 ln x 1 A. f (  x)ln xdx    C B. f (  x)ln xdx    C  3 5 x 5x 3 5 x 5x ln x 1 ln x 1 C. f (  x)ln xdx    C D. f (
x)ln xdx     C  3 3 x 3x 3 3 x 3x 1 f (x)
Câu 198. Cho F (x) 
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số f (  x)ln x 2 2x x  ln x 1  ln x 1 A. f (
x)ln xdx     C    B. f (  x)ln xdx    C 2 2  x 2x  2 2 x x  ln x 1  ln x 1 C. f (
x)ln xdx     C    D. f (  x)ln xdx    C  2 2  x x  2 2 x 2x 2 x e Câu 199. Cho dx  . Nếu đặt x
t e 1thì
f t dt  là x e 1 A. .
t ln t C
B. 1 t  ln t C
C. t  ln t C
D. ln t C c  ln 2x  3
Câu 200. Biết F x  a ln x b  ln 
 2x  3 là nguyên hàm của hàm số f x    . Tính  x  2 x
S a b c . 1 7 4 A. S  1  . B. S  . C. S  . D. S   . 3 3 3
Câu 201. Cho F x là nguyên hàm của hàm số f x 1  F  
. Tập nghiệm S của phương x e  và   1 0 ln 4 3 3
trình F x   3 3
ln x  3  2 là: A. S    2 . B. S   2  ;  2 .
C. S  1;  2 . D. S   2  ;  1 . xx 2 e e ba b Câu 202. Biết
dx a ln x e   C
, với a, b   . Tính giá trị S    . xx x e e e  . a b A. S 1. B. S  4. C. S  9.
D. S 16.    
Câu 203. Biết    2 2 x 2 x 3 x 2 1  . x b x e dx a e
C , với a   , b   . Khẳng định nào sau đây đúng? 3 5
A. a b  .
B. a b  .
C. 2a b  1  .
D. a  2b  5  . 2 2 ln x Câu 204. Biết
dx a (1 ln x)b  .
c 1 ln x C
, với a   , b, c   . Khẳng định nào sau đây x 1 ln x đúng? 1 1 5
A. a b c  .
B. a b c   .
C. 3a b c 1.
D. a b c  . 2 3 3 1 a Câu 205. Biết dx   C
, với a, b, c   . Tính giá trị S  a b c2 . . . 5 . x ln x . b lnc x A. S  81. B. S  225. C. S  256.
D. S 196. Trang29 dx Câu 206. Cho 
. Nếu đặt t  2ln x 1 thì f tdt  là x 2 ln x 1 1 1
A. 2t C
B. t C C. t C D. t C 4 2  x  3 a x b4 2 ln 3 ln Câu 207. Biết dx   C
, với a, b, c   . Tính giá trị S  . a . b c . x c A. S  48. B. S  6. C. S  8.
D. S  24. a Câu 208. Biết 2 2 . x x e dx  . x eC
, với a, b   . Tính giá trị S  . a b . b A. S 1. B. S  2. C. S  1.  D. S  2.  1 ln x Câu 209. Biết
dx a ln x b lnc x C
, với a, c   ; b   . Tính giá trị 2020 S ab c . x 9 13 3 A. 2020 S  2  . B. S  . C. 2020 S  2  .
D.Đáp án khác. 4 4 4 1 Câu 210. Cho dx
. Nếu đặt t  ln(ln x) thì f tdt  là
x ln x ln(ln x) 1
A. 2 ln ln t C
B. ln t C
C. ln ln t C D.
ln t C 2 x ln  2 x x 1 Câu 211. Biết 2 dx x a ln   2
bx x 1  cx C , với a, b, c   . Tính giá trị 2  x 1 2020 2019 2018 S abc . A. 2020 S  2  2. B. 2020 S  2 1. C. S  3.
D. S  2.. VẤN ĐỀ 6 Trang30
Tính nguyên hàm của một số hàm số lƣợng giác
Câu 212. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai. A. F x   2
( ) 2019 cos x là một nguyên hàm của hàm số f ( )
x  sin 2x .
B.Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f ( ) x thì  ( F ) x  ( g ) x   dx có dạng (
h x)  Cx D với
C, D là các hằng số, C  0. u x C. dx u x   '( ) ( ) C. 2 ( u x) D. Nếu
f t dt F t   ( )
( ) C thì f u x dx F u x   [ ( )] [ ( )] C .
Câu 213. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. Nếu
f (t )dt = F (t )+ C ò thì f ò (u(x)) /
.u (x )dx = F (u(x ))+ C .
B. Nếu F (x) và G (x) đều là nguyên hàm của hàm số f (x) thì F
é (x)- G(x) d ù x ò ë û
có dạng h(x)= Cx + D (
C, D là các hằng số và C ¹ 0 ). C. F (x) 2
= 7 + sin x là một nguyên hàm của f (x)= sin 2x . / u (x ) D. dx = u(x )+ C ò . u(x )
Câu 214. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Nếu F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) thì mọi nguyên hàm của f (x) đều có dạng F (x)+ C (C là hằng số). / u (x ) B.
dx = log u (x ) + C ò . u (x )
C. F (x)= 1+ tan x là một nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = 1+ tan x .
D. F (x)= 5- cos x là một nguyên hàm của hàm số f (x)= sin x .
Câu 215. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số: (I) x x    x tan d ln cos C . x 1 (II) sin d   x e x x e   3cos 3cos C . 3 x x (III) x x x
 cos sin d 2 sin cos C . sin x  cos x Số mệnh đề đúng là: A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 216. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  sin 2x 1
A. sin 2xdx  
cos 2x C . B. xdx
x C .  1 sin 2 cos 2  2 2
C. sin 2xdx  cos 2x C . D. xdx  
x C .  sin 2 cos 2 
Câu 217. Một nguyên hàm của hàm số y  sin 3x 1 1 A.  cos3x B. 3cos3x C. 3cos3x D. cos3x 3 3   
Câu 218. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  cos 3x  .    6  1     A.
f (x)dx   sin 3x   C . B.
f (x).dx  sin 3x   C .         3  6   6  Trang31 1     C.
f (x)dx  sin 3x   C . D.
f (x)dx  sin 3x   C .   1       3  6  6  6  x 2
Câu 219. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  1 tan . 2 x x A.
f (x)dx  2 tan  C . B. f x dx   C .  ( ) tan  2 2 1 x x C.
f (x)dx  tan
C . D. f x dx    C .  ( ) 2 tan  2 2 2 1
Câu 220. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x)  .    2 sin x     3  1     A.
f (x)dx  cot x   C . B.
f (x)dx   cot x   C .   1       3  3  3  3      C.
f (x)dx  cot x   C . D.
f (x)dx   cot x   C .          3   3 
Câu 221. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 f (x)  sin . x cos x . 4 sin x 4 sin x A.
f (x)dx    C . B.
f (x)dx   C .   4 4 2 sin x 2 sin x C.
f (x)dx   C . D.
f (x)dx    C .   2 2
Câu 222. Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là: 1 1 A. sin3x + sin5x + C B. 3 5 sin x  sin x  C 3 5 1 1 C. sin3x  sin5x + C D. 3 5  sin x  sin x  C 3 5 1 Câu 223. dx  bằng: 2 2 sin x.cos x A. 2 tan 2x  C B. 4  cot 2x C C. 4 cot 2x  C D. 2 cot 2x  C Câu 224.    2 sin 2x cos2x dx bằng:   3 sin 2x cos2x 2  1 1  A.  C B.  cos2x  sin 2x  C   3  2 2  1 1 C. x  sin 2x  C D. x  cos4x  C 2 4 2x Câu 225. 2 cos dx  bằng: 3 3 2x 1 2x x 3 4x x 4 4x A. 4 cos  C B. 4 cos  C C.  sin  C D.  cos  C 2 3 2 3 2 8 3 2 3 3
Câu 226. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số 2 f (x)  sin x là 1 A. F(x)  (2x  sin 2x)  C
B. Cả (A), (B) và (C) đều đúng 4 1 1 sin 2x C. F(x)  (x  sinx .cosx)  C D. F(x)  (x  )  C 2 2 2 4
Câu 227. Một nguyên hàm của hàm số f (x)  là: 2 cos x 4x 4 A. B. 4 tan x C. 4  tan x D. 3 4x  tan x 2 sin x 3 Trang32
Câu 228. Biểu thức nào sau đây bằng với 2 sin 3xdx  ? 1 1 1 1 1 1 1 1 A. (x  sin 6x)  C B. (x  sin 6x)  C C. (x  sin 3x)  C D. (x  sin 3x)  C 2 6 2 6 2 3 2 3
Câu 229. Một nguyên hàm của f (x)  cos 3x cos 2x bằng 1 1 1 1 1 1 1 A. sin x  sin 5x B. sin x  sin 5x C. cos x  cos 5c D. sin 3x sin 2x 2 2 2 10 2 10 6 Câu 230. Tính 3 cos xdx  ta được kết quả là: 4 cos x 1 3sin x 4 cos x.sin x 1  sin 3x  A.  C B. sin 3x   C C.  CD.  3sin x  C   x 12 4 4 4  3 
Câu 231. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? 1
A. f x  sin 2x và g x  2 cos x .
B. f x  2
tan x và g x  . 2 2 cos x C.    x f x e và     x g x e .
D. f x  sin 2x và g x  2 sin x . 3cos x Câu 232. dx  bằng: 2  sin x 3sin x 3sin x
A. 3ln 2  sin x  C B. 3  ln 2  sin x  C C.     D. C 2  sin x C 2 ln 2  sin x  3sin x  2 cos x Câu 233. dx  bằng: 3cos x  2 sin x
A. ln 3cos x  2sin x  C
B.  ln 3cos x  2sin x  C
C. ln 3sin x  2 cos x  C
D.  ln 3sin x  2 cos x  C sin x  cos x
Câu 234. Nguyên hàm của sin x  là: cos x 1 1
A. ln sin x  cos x  C B.  C   D.  C ln sin x  C. ln sin x cos x C cos x sin x  cos x cot x Câu 235. dx  bằng: 2 sin x 2 cot x 2 cot x 2 tan x 2 tan x A.   C B.  C C.   C D.  C 2 2 2 2 sin x Câu 236. dx  bằng: 5 cos x 1 1 1 1  A.  C B.  C C.  C D.  C 4 4cos x 4 4cos x 4 4sin x 4 4sin x Câu 237. 5 sin x.cosxdx  bằng: 6 sin x 6 sin x 6 cos x 6 cos x A.  C B.   C C.   C D.  C 6 6 6 6 Câu 238. Tính A = 2 3 sin x cos x dx  , ta có 3 5 sin x sin x A. A    C B. 3 5 A  sin x  sin x  C 3 5 3 5 sin x sin x C. A     C D. Đáp án khác 3 5
Câu 239. Họ nguyên hàm F(x) của hàm số 4 f (x)  sin x cos x 1 A. 5 F(x)  sin x  C B. 5 F(x)  cos x  C 5 Trang33 1 C. 5 F(x)  sin x  C D. 5 F(x)   sin x  C 5
Câu 240. Họ nguyên hàm của hàm số f x  cos 3x tan x là 4 1 A. 3  cos x  3cos x  C B. 3 sin x  3sin x  C 3 3 4 1 C. 3  cos x  3cos x  C D. 3 cos x  3cos x  C 3 3 1
Câu 241. Họ nguyên hàm của là: sin x x x A. ln cot  C B. ln tan  C C. -ln|cosx| + C D. ln sin x  C 2 2 Câu 242. 3 cos x.sin xdx  bằng: 4 cos x 4 sin x A.  C B.  C C. 4 sin x  C D. 4 cos x  C 4 4
Câu 243. Họ nguyên hàm của 2 f (x)  x.cos x là: 1 A. 2 cos x  C B. 2 sin x  C C. 2 sin x  C D. 2 2 sin x  C 2 Câu 244. sinx cos 2x dx  bằng: 1 1 1 1 A.  cos 3x  cos x  C B.  cos 3x  cos x  C 2 2 6 2 1 1 1 1 C. sin 3x  sin x  C D. cos 3x  cos x  C 6 2 2 2
Câu 245. Một nguyên hàm của hàm số: 2 f (x)  x sin 1 x là: A. 2 2 2
F(x)   1 x cos 1 x  sin 1 x B. 2 2 2
F(x)   1 x cos 1 x  sin 1 x C. 2 2 2
F(x)  1 x cos 1 x  sin 1 x D. 2 2 2
F(x)  1 x cos 1 x  sin 1 x
Câu 246. Kết quả nào sai trong các kết quả sau? dx 1 x 2 dx 1 x 1 1 A.  tan  C  B.  ln  C  1 cos x 2 2 2 2  2 x x 1 x 1 1 dx xdx 1 C.  ln(ln(ln x))  C  D. 2   ln 3  2x  C  x ln x.ln(ln x) 2 3  2x 4
Câu 247. Nguyên hàm của hàm số 2 cos x.sin x.dx  bằng: : 3sin x  sin 3x 3cos x  cos 3x A.  C B.  C C. 3 sin x  C D. 2 sinx .cos x  C 12 12 . cos x
Câu 248. Họ nguyên hàm Fx của hàm số f  x   2 1 là: cos x 1 A.   cos x F x    C B.   1 F x    C C.   1 F x   C D. F  x    C sin x sin x sin x 2 sin x
Câu 249. Họ các nguyên hàm của hàm số 3 y  tan x là: 1 A. 2 tan x  ln cos x . B. 2 tan x  ln cos x 2 1 1 C.  2 tan x  ln cos x  D. 2  tan x  ln cos x 2 2
Câu 250. Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là: 1 1 A. 3 5 sin x  sin x  C B. sin3x + sin5x + C 3 5 Trang34 1 1 C. 3 5  sin x  sin x  C D. sin3x  sin5x + C 3 5 sin 2x
Câu 251. Nguyên hàm F(x) của hàm số y   là 2 sin x  khi F(0) 0 3 2 ln 2  sin x 2 sin x A. 2 ln 1 sin x B. C. 2 ln cos x D. ln 1 3 3 5 cos x
Câu 252. Nguyên hàm của hàm số: y = dx  là: 1 sin x 3 4 sin x cos x 3 4 sin 3x cos 4x A. cos x    C B. sin x    C 3 4 3 4 3 4 sin x cos x 3 4 sin x cos x C. sin x    C D. sin x    C 3 4 9 4
Câu 253. Nguyên hàm của hàm số: y = cos2x.sinx là: 1 1 A.  3
cos x C B. 3
cos x C C. 3
sin x C
D. Đáp án khác. 3 3 Câu 254. Nếu
f (x )dx = sin 2x cos x ò thì f (x)là: 1 1
A. f (x)=
(3cos3x + cos x). B. f (x)=
(cos3x + cos x). 2 2 1 1
C. f (x)=
(3cos3x - cos x). D. f (x)=
(cos3x - cos x). 2 2
Câu 255. F (x) là nguyên hàm của hàm số 4
y = sin x cos x .
F (x)là hàm số nào sau đây? 5 cos x 4 cos x A. F (x)= + C .
B. F (x )= + C . 5 4 4 sin x 5 sin x
C. F (x )= + C . D. F (x)= + C . 4 5
Câu 256. Xét các mệnh đề sau, với C là hằng số: (I)
tan x dx = - ln (cos x )+ C ò . x 1 (II) 3 cos 3 cos sin d x e x x = - e + C ò . 3 cos x + sin x (III)
dx = 2 sin x - cos x + C ò . sin x - cos x Số mệnh đề đúng là: A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 3 .
Câu 257. Tìm họ nguyên hàm của hàm số 2 f (x)  cos x.cos 2x và 2 g(x)  sin x.cos 2x 1  1  1  1  A. F(x)  x  sin 2x  sin 4x  C   ; G(x)  x  sin 2x  sin 4x  C   4  4  4  4  1  1  1  1  B. F(x)   x  si n2x  sin 4x  C   ; G(x)  x  sin 2x  sin 4x  C   4  4  4  4  1 1
C. F(x)  x  sin 2x 
sin 4x  C ; G(x)  x  sin 2x  sin 4x  C 4 4 1  1  1  1  D. F(x)  x  si n2x  sin 4x  C   ; G(x)   x  sin 2x  sin 4x  C   4  4  4  4  x
Câu 258. Nguyên hàm  sin 4 bằng x  dx sin cos x 2   3     2   3     A.  cos 3x
  2 cos x   C . B.  sin 3x
  2 sin x   C . 3  4   4  3  4   4  Trang35 2   3     2   3     C.  sin 3x
  2 sin x   C . D.  sin 3x
  2 cos x   C . 3  4   4  3  4   4  dx
Câu 259. Nguyên hàm  bằng? 2 tan x  1 x 2 2x 1 A.
 ln 2sin cos x  . C B.
 ln 2sin x  cos x C. 5 5 5 5 x 1 x 1 C.
 ln 2sin x  cos x  . C D.
 ln 2sin x  cos x  . C 5 5 5 5
Câu 260. Tính 1 xcos xdx .
A. 1 xsin x  cos x  . C
B. 1 xsin x  cos x C.
C. 1 xsin x  cos x  . C
D. 1 xsin x  sin x  . C
Câu 261. Tính x sin 2x   1dx. x 1 x 1 A.
cos 2x 1  sin 2x 1  . C B.  cos2x   1  sin 2x   1  C. 2 4 2 2 x x 1 C.
cos 2x 1  sin 2x 1  . C D.
cos 2x 1  sin 2x 1  . C 2 2 4 Câu 262. Tính sin  sin 2 . x I x e dx  : A. sinx e
cos2x1C B. sinx e
sin2x 1C C. sinx e
sinx1C D. sinx e
sinx1C
Câu 263. Tìm nguyên hàm I  (x  cos x)xdx  3 x A.  x sin x  cos x  c B. Đáp án khác 3 3 x 3 x C.  sin x  x cos x  c D.  x sin x  cos x  c 3 3
Câu 264. Biểu thức nào sau đây bằng với 2 x sin xdx  ? A. 2 2  x cos x  x cos xdx  B. 2 x cos x  2x cos xdx  C. 2 x cos x  2x cos xdx  D. 2 2  x cos x  x cos xdx  Câu 265. x cos xdx  bằng: 2 x 2 x A. sin x  C
B. x sin x  cosx  C
C. x sin x  sinx  C D. cosx  C 2 2 Câu 266. x sin x cos xdx  bằng: 1  1 x  1  1 x  A. sin 2x  cos2x  C   B.  sin 2x  cos2x  C   2  4 2  2  2 4  1  1 x  1  1 x  C. sin 2x  cos2x  C   D.  sin 2x  cos2x  C   2  4 2  2  2 4  x Câu 267. 3 xe dx  bằng: x x x 1 x 1 A.    3 3 x 3 e  C B.    3 x 3 e  C C.  x  3 3 e  C D.  x  3 3 e  C 3 3 Câu 268. x ln xdx  bằng: 2 2 x x 2 2 x x 2 2 x ln x x 2 2 x x A. .ln x   C B. .ln x   C C.    C D. .ln x   C 2 4 4 2 4 2 2 4 Trang36 x
Câu 269. Một nguyên hàm của f  x   là 2 cos x
A. x tan x  ln cos x
B. x tan x  ln cos x C. x tan x  ln cos x
D. x tan x  ln sin x 
Câu 270. Họ nguyên hàm của hàm số   x f x  e cos x là 1  1  A. F x x
 e sin x  cos x  C B. F x x
 e sin x  cos x  C 2 2 1  1  C. F  x  x
  e sin x  cos x  C D. F  x  x
  e sin x  cos x  C 2 2
Câu 271. Nguyên hàm ln xdx  bằng: A. ln x  x B. x ln x  x  C C. ln x  x  C D. ln x  x 2 x (x  x)e
Câu 272. Nguyên hàm của hàm số: y = dx  là: x x  e A. F(x) = x x xe 1 ln xe 1  C B. F(x) = x x e 1 ln xe 1  C  C. F(x) = x x xe 1 ln xe 1  C D. F(x) = x x xe 1 ln xe 1  C
Câu 273. Nguyên hàm của hàm số: I  cos 2x.ln(sin x  cos x)dx  là: 1 1 1 1 A.
1sin 2xln1sin 2x sin 2x  C B.
1sin 2xln1sin 2x sin 2x  C 2 4 4 2 1 1 1 1 C.
1sin 2xln1sin 2x sin 2x  C D.
1sin 2xln1sin 2x sin 2x  C 4 4 4 4
Câu 274. Nguyên hàm của hàm số: I  x  2sin3xdx là: x  2cos3x 1 x  2cos3x 1 A. F(x) =   sin 3x  C B. F(x) =  sin 3x  C 3 9 3 9 x  2cos3x 1 x  2cos3x 1 C. F(x) =   sin 3x  C D. F(x) =   sin 3x  C 3 9 3 3 Câu 275. x
F(x)  4sin x  (4x  5)e 1 là một nguyên hàm của hàm số: A. x
f (x)  4 cos x  (4x  9)e B. x
f (x)  4 cos x  (4x  9)e C. x
f (x)  4 cos x  (4x  5)e D. x
f (x)  4 cos x  (4x  6)e Câu 276. Hàm số x
F(x)  e  tan x  C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào  1 1 x  e  A. x f (x)  e  B. Đáp án khác C. x f (x)  e  D. x f (x)  e 1  2 sin x 2 sin x 2  cos x  4m
Câu 277. Cho hàm số f (x)   2 
sin x . Giá trị của tham số để nguyên hàm Fx của hàm số fx thỏa mãn    
điều kiện F(0)  1 và F    là  4  8
A. m   4 . B. m  3 .
C. m   3 . D. m  4 . 3 4 4 3 cos x
Câu 278. Thầy Hùng cho bài toán “ Tìm dx
”. Bạn Minh Hiền giải bằng phương pháp đổi biến như sau: 2 sin x
+ Bước 1: Đặt u  sin x , ta có du  cos xdx cos x du 1 + Bước 2: dx     C   2 2 sin x u u Trang37 cos x 1 + Bước 3: Kết luận dx    C  2 sin x x
Hỏi bạn Minh Hiền sai ở bước nào? A.Bước 1 B.Bước 2 C.Bước 3 D.Không sai. x   
Câu 279. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x sin 2  F    . Tính F 0 . 1 thỏa mãn 0 cos x  2 
A. F 0  2ln 2  2 .
B. F 0  2 ln 2
C. F 0  ln 2 .
D. F 0  2ln 2  2 .    
Câu 280. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x 1  F 0  . Tính F   . 1 thỏa mãn   tan x 4  2                  A. F    . B. F     C. F    . D. F     .  2  2  2  2  2  4  2  4 m cos 2x
sin x cos x  1 Câu 281. Cho        dx C với ,
m n   . Tính A m n. n
sin x  cos x  23
sin x cos x  2 A. A  5. B. A  2 C. A  3. D. A  4 . Câu 282. Để tính 4 sin . x cos xdx  thì nên:
A. Dùng phương pháp đổi biến số đặt t  cos x . 4 u   sin x
B. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt  .
dv  cos xdx
C. Dùng phương pháp đổi biến số đặt t  sin x . u   cos x
D. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần đặt  . 4
dv  sin xdx 1 2x  1  x x Câu 283. Cho dx mx tan  . n ln cos    
C m,n  . Tính 2m+ 3n? 1 cos x  2  2 2 A. 16 B. 4 C. 0 D. 8 π
Câu 284. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f ( )
x x cos 3x thỏa mãn điều kiện F(0)  1. Tính F( ). 3 π π π 7 π 7 A. F( )  1. B. F( )  1  . C. F( )  .
D. F( )   . 3 3 3 9 3 9   π 
Câu 285. Biết F x là một nguyên hàm của f x  x sin 2x và thỏa F    F   π 0 π  . Tính F   2  4  π π 1 1 A. B. C. D. 4 4 4 4 π
Câu 286. Cho hàm số f ( ) x biết f '( )
x x sin x và f (π)  0 . Tính f ( ) 6 π 3 7π π 3 7π π 3 7π π 3 7π A. f ( )   B. f ( )    C. f ( )    D. f ( )   3 2 6 3 2 6 3 2 6 3 2 6 x 1
Câu 287. Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số 2
f (x)  x cos thỏa F(0) 
 Tính F(π). 2 2 1 1 1 A. F(π)   B. F(π)    C. F(π)    D. F(π)  1. 2 2 2
Câu 288. Cho hàm số f ( ) x  (ax  ) b . o
c sx thỏa mãn f ( ) x dx  .
x sin x  2 sin x  o
c sx C Tính 2 2 S a b ?    A. S  3 B. S  4 C. S  5
D. S  6 Trang38  14
Câu 289. ho hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = cos3x và F ( )  thì 2 3 1 13 1
A. F (x)  sin 3x
B. F (x)   sin 3x  5 3 3 3 1 1 13
C. F (x)  sin 3x  5
D. F (x)   sin 3x 3 3 3 Câu 290. Cho f (
 x)  3  5sin x và f (0)  7 . Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?    3
A. f (x)  3x  5 cos x  2 B. f     2  2
C. f   3
D. f x  3x  5cos x
Câu 291. Nguyên hàm Fx của hàm số   4
f x  sin 2x thỏa mãn điều kiện   3 F 0  là 8 3 1 1 3 3 1 1 A. x  sin 2x  sin 4x  B. x  sin 4x  sin 8x 8 8 64 8 8 8 64 3 1 1 3 C. x   1  sin 4x  sin 8x
D. x  sin 4x  sin 6 x 8 8 64 8
Câu 292. Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức: sin u.cos v  C  f (u)du  A. 2cosucosv B. -cosucosv C. cosu + cosv D. cosucosv   
Câu 293. Tìm nguyên hàm của: y  sin x.sin 7x với F  0   là:  2  sin 6x sin 8x sin 6x sin 8x sin 6x sin 8x sin 6x sin8x  A. B.   C. D.     12 16 12 16 12 16  12 16  1
Câu 294. Cho Fx là một nguyên hàm của hàm số y  
và F0  1 . Khi đó, ta có Fx là: 2 cos x A.  tan x B.  tan x 1 C. tan x 1 D. tan x 1 4m     Câu 295. Cho 2 f (x) 
 sin x . Tìm m để nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn F(0) = 1 và   F   4  8 4 3 3 3 A. m   B. m  C. m   D. m  3 4 4 4 1
Câu 296. Cho hàm y 
. Nếu Fx là nguyên hàm của hàm số và đồ thị hàm số y  Fx đi qua điểm 2 sin x    M ;0   thì Fx là:  6  3 3 A.  cot x B.   cot x C.  3  cot x D. 3  cot x 3 3
Câu 297. Cặp hàm số nào sau đây có tính chất: Có một hàm số là nguyên hàm của hàm số còn lại? 1 A. sin 2x và 2 cos x B. 2 tan x và C. x e và x e D. sin 2 x và 2 sin x 2 2 cos x
Câu 298. Gọi F (x) là nguyên hàm của hàm số 2 
(x) là nguyên hàm của hàm 1 f (x) sin x thỏa mãn F 1 1(0) =0 và F2 số 2 f (x)  cos x thỏa mãn F 2 2(0)=0. Khi đó phương trình F (x) có nghiệm là: 1(x) = F2  k A. x  k2 B. x  k C. x   k D. x  2 2
Câu 299. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  x  sin x thỏa mãn F(0)  19 là: 2 x 2 x A. F(x)  cosx  B. F(x)  cosx   2 2 2 Trang39 2 x 2 x C. F(x)  cosx   20 D. F(x)  cosx   20 2 2   
Câu 300. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  thỏa mãn điều kiện: f x  2x  3cos x, F  3    2  2  2  A. 2
F(x)  x  3sin x  6  B. 2 F(x)  x  3sin x  4 4 2  2  C. 2 F(x)  x  3sin x  D. 2
F(x)  x  3sin x  6  4 4 1 
Câu 301. Nguyên hàm F(x) của hàm số f (x)  2x  thỏa mãn F( )  1  là: 2 sin x 4 2  2  A. 2 F(x)  cotx  x  B. 2 F(x)  cotx  x  4 16 2  C. 2 F(x)  cotx  x D. 2 F(x)  cotx  x  16
Câu 302. Cho hàm số f x  cos3x.cos x . Nguyên hàm của hàm số f  x  bằng 0 khi x  0 là hàm số nào trong các hàm số sau ? sin 4x sin 2x sin 4x sin 2x cos 4x cos 2x A. 3sin 3x  sin x B. C. D.  8 4 2 4 8 4 dx  x  
Câu 303. Tính nguyên hàm I  
được kết quả I  ln tan   C  
với a; b;c   . Giá trị của 2 a  b cosx 2  a b  là: A. 8 B. 4 C. 0 D. 2
Câu 304. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? 3 sin x 2 (I) : sin x dx   C  3 4x  2 (II) : dx  2 ln   2x  x 3 C 2    x x 3 (III) : 3  2 3   x 6 x x x dx   x  C ln 6 A. (III) B. (I) C. Cả 3 đều sai. D. (II)
Câu 305. Công thức nguyên hàm nào sau đây không đúng?  dx 1  x A.  ln x  C  B. x dx   C      1 x  1 x a dx C. x a dx   C 0  a    1 D.  tan x  C  ln a cos x
Câu 306. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Fx  1 tan x   2 f x  1 tan x A.
là một nguyên hàm của hàm số Fx  C
B. Nêu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng (C là hằng số) u 'x
   dx lg ux C u x C. Fx  5  cos x f x  sin x D. là một nguyên hàm của
Câu 307. Để tìm nguyên hàm của   4 5
f x  sin x cos x thì nên:
A. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t  cos x Trang40 u  cos x
B. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt  4 4 dv  sin x cos xdx 4 u  sin x
C. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, đặt  5 dv  cos xdx
D. Dùng phương pháp đổi biến số, đặt t  sin x Câu 308. Biết   x
F x e msin x n cos x là một nguyên hàm của hàm số   x
f x e 2sin x  3cos x . Tính
S m n . 5 A. S  1  . B. S  3  . C. S  2 . D. S  . 2 tan x   
Câu 309. Cho F(x) là một nguyên hàm của f x 
, biết F 0  0 , F 1   . Tính 2
cos x 1 a cos x  4        FF      3   4  ? A. 5  3 . B. 5 1. C. 3  5 . D. 5  2 cos 2x
Câu 310. Biết cos x  sin x 7 5 2 2 .sin 4xdx  
C . Với a là số nguyên. Tìm a? a A. a  6. B. a 12. C. a  7. D. a 14. sin x  cos x Câu 311. Biết
dx a ln sin x  cos x C
. Với a là số nguyên. Tìm a? sin x  cos x A. a  1. B. a  2. C. a  3. D. a  4. x 2 tan 2 
Câu 312. Tìm một nguyên hàm của: 1 4.
biết nguyên hàm này bằng 3 khi x  . 2  x  4 2 tan 1    2  1 1 A.  3. B.  3.
C. tan x  2 .
D. cot x  2 . 2 cos x 2 sin x
Câu 313. F x  x  ln 2sin x  cos x là nguyên hàm của: sin x  cos x
sin x  2 cos x sin x  cos x 3sin x  cos x A. sin x  . B. 3cos x 2 sin x  . C. cos x sin x  . D. 3cos x 2 sin x  . cos x a
Câu 314. Biết   x x2 sin 2 cos 2 dx x
cos 4x C , với a, b là các số nguyên. Tính S = a + b? b A. S  4. B. S  2. C. S  3. D. S  5. 1 x Câu 315. Biết dx  . a tanC
, với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 1 cos x b A. S  4. B. S  2. C. S  3. D. S  5. 1 a   Câu 316. Biết dx  tan x   C    
, với a, b là cá số nguyên. Tính S = a + b? 1 sin 2x b  4  A. S  4. B. S  2. C. S  3. D. S  5. Trang41   
Câu 317. Cho f x 2  8sin x  
 . Một nguyên hàm F x của f x thỏa F 0  8 là:  12       
A. 4x  2sin 2x  9   .
B. 4x  2sin 2x   9   .  6   6       
C. 4x  2sin 2x  7   .
D. 4x  2sin 2x   7   .  6   6  Trang42