Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm của hàm hữu tỉ Toán 12

Tài liệu gồm 22 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề nguyên hàm của hàm hữu tỉ, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 3.

Môn:

Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:
22 trang 1 năm trước
Tác giả:
Student
Mai Nguyệt
docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm của hàm hữu tỉ Toán 12

Tài liệu gồm 22 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề nguyên hàm của hàm hữu tỉ, có đáp án và lời giải chi tiết; hỗ trợ học sinh lớp 12 trong quá trình học tập chương trình Toán 12 phần Giải tích chương 3.

100 50 lượt tải Tải xuống

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.8 K tài liệu

Thông tin:

22 trang 1 năm trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHỦ ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ
A. LÝ THUYẾT
I. Các công thức cần nhớ
(1).
1 dx 1
dx ln x a C ln ax b C
x a ax b a
= ++→ = ++
++
∫∫
(2).
22
dx 1 x a
ln C
x a 2a x a
−
= +
−+
∫
(3).
22 22
1 1x 1 1u
dx arctan C du arctan C
xa a a ua a a
= +→ = +
++
∫∫
II. Nguyên hàm dạng
( )
(
)
P x dx
I
Qx
=
∫
Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc của mẫu số thực hiện phép chia đa thức ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
P x P' x
gx .
Qx Qx
= +
Dưới đây là một số dạng thường gặp.
Dạng 1:
( )
P x dx
I
ax b
=
+
∫
Phân tích:
( )
( )
Px
k
gx
ax b ax b
= +
++
khi đó
(
)
dx
I g x dx k
ax b
= +
+
∫∫
Dạng 2:
2
mx n
I dx
ax bx c
+
=
++
∫
Trường hợp 1:
Phân tích:
( )
( )
2
12 1 2
mx n mx m 1 A B
ax bxc axx xx axx xx

++
= = +

++ − − − −

(Đồng nhất hệ số để tìm A, B).
( )
12
1
I A ln x x B ln x x C.
a
⇒= − + − +
Trường hợp 2:
( )
( )
( )
( )
( )
0
22 2
2
0
00 0
mx x p
mx n mx n m P
a.x bx c a x x
ax x ax x ax x
−+
++
= = = +
++ −
−− −
Trường hợp 3:
Phân tích:
( )
(
)
2
22
0
k 2ax b
mx n p
ax bx c ax bx c
ax x q
+
+
= +
++ ++
−+
Khi đó
( )
( )
2
2
2
2
0
kd ax bx c
p1
I dx
ax bx c a
xx n
++
= +
++
−+
∫∫
Dạng 3:
( )
( )
P x dx
I
Qx
=
∫
với
( )
32
Q x ax bx cx d
= + ++
Trường hợp 1:
(
)
(
)
(
)
32
123
ax bx cxdaxx xx xx
+ + += − − −
Phân tích:
( )
32
123
Px
ABC
ax bx cxd xx xx xx
=++
+ ++ − − −
Trường hợp 2:
( )( )
2
32
12
ax bx cx d a x x x x+ + += − −
Phân tích:
( )
( )
2
32
1
2
Px
A Bx C
ax bx cx d x x
xx
+
= +
+ ++ −
−
Trường hợp 3:
( )
( )
32 2
1
ax bx cx d a x x mx nx p+ + += − + +
trong đó
2
mx nx p 0
+ +=
vô nghiệm.
Phân tích:
(
)
32 2
1
Px
A Bx C
ax bx cx d x x mx nx p
+
= +
+ ++ − ++
Dạng 4: [Tham khảo và nâng cao]:
( )
42
P x dx
I
xa
=
±
∫
trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn 4.
Trường hợp 1:
( )
42
P x dx
I
xa
=
+
∫
Phân tích:
( )
( ) ( )
2 23
42 42
A x a B x a Cx Dx
Px
xa xa
++ −+ +
=
++
Khi đó ta có:
2
2
11
22
42 2
2
2
a
a
dx
1
x a du
x
x
I dx dx I
a
x a u 2a
a
x
x 2a
x
x

−
+

+

= = = →=
++

+
−+


∫∫ ∫ ∫
2
2
22
22
42 2
2
2
a
a
dx
1
x a du
x
x
I dx dx I
a
xa u2a
a
x
x 2a
x
x

+
−

−

= = = →=
+−

+
+−


∫∫ ∫ ∫
( )
42
3
42
3
42 42
dx a
x dx 1 1
I ln x a C
xa 4 xa 4
+
= = = ++
++
∫∫
( )
2
44
42 42 22
dx
xdx 1 1 du
I I.
xa 2xa 2ua
= = →=
++ +
∫∫ ∫
Từ đó suy ra nguyên hàm
( )
42
P x dx
I
xa
=
+
∫
Trường hợp 2:
( )
42
P x dx
I
xa
=
−
∫
Phân tích:
( )
(
)
32
42 42
Ax Bx Cx D
Px
xa xa
++ +
=
−−
Khi đó xét:
( ) (
)
42 2
3
11
42 42 42 22
dx a dx
Ax Bx A B A du B dv
I dx I
xa 4 xa 2xa 4u2va
−
+
= = + →= +
− −− −
∫ ∫ ∫ ∫∫
Phân tích
2
2
42 2 2
Cx D M N
I dx dx
xa xaxa
+

= = +

− −+

∫∫
(Đồng nhất tìm M, N).
Dạng 5 [Tham khảo và nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ khi Q(x) là đa thức bậc 6.
•
( )(
)
1
6 33
33
dx dx 1 1 1
I
x 1 2 x 1x 1
x 1x 1

= = = −

− −+
−+

∫∫ ∫
•
( )
2
22
3
63
2
xdx 1 dx 1 du
II
x 1 2 2u 1
x1
= = →=
−−
−
∫∫ ∫
•
(
)
3
2
33
66 2
dx
x dx 1 1 du
II
x13x1 3u1
= = →=
−− −
∫∫ ∫
•
( )
22
3
44
66 3
xd x
x dx 1 1 udu
II
x12 x1 2u1
= = →=
−− −
∫∫ ∫
•
(
)
(
)
(
)( )
42 2
4
5
6 2 42 6
2 42
x x1 x12
x dx dx dx dx
I dx 2
x1 x1 x x1 x1
x 1x x 1
+ ++ −−
== =−−
− − ++ −
− ++
∫∫ ∫∫ ∫
Với
( )
( )
22
22
42 42 42 42
x1 x1
dx 1 1 x 1 1 x 1
K dx dx dx
x x12 x x1 2x x1 2x x1
+− −
+−
= = = −
++ ++ ++ ++
∫∫ ∫ ∫
22
2
22
22
11
11
dx dx
11
1 1 11
xx
xx
dx dx
11
1
2 2 22
1
x1 x1
x1
x3
xx
x
x
 
−+
+−
 
 
=−=−


++ ++
+−
−+




∫ ∫ ∫∫
22
1 du 1 dv
K
2u 3 2v 1
→= −
+−
∫∫
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A.
1
4
I dx
2x 1
=
−
∫
B.
2
x1
I dx
x1
+
=
−
∫
C.
3
2x 1
I dx
3 4x
+
=
−
∫
D.
2
4
x x4
I
x3
++
=
+
∫
Lời giải
a)
( )
1
d 2x 1
44
I dx 2 ln 2x 1 C
2x 1 2 2x 1
−
= = = −+
−−
∫∫
b)
2
x1 x12 2 dx
I dx dx 1 dx dx 2 x 2ln x 1 C.
x1 x1 x1 x1
+ −+

= = = + = + = + −+

−− − −

∫ ∫ ∫ ∫∫
c)
( )
(
)
3
15
3 4x
2x 1 1 5 1 5 dx
22
I dx dx dx x
3 4x 3 4x 2 2 3 4x 2 2 3 4x
−−+

+
= = = −+ =− + =


−− − −

∫∫ ∫ ∫
( )
3
d 3 4x
15 15 15
x x ln 3 4x C I x ln 3 4x C
2834x 28 28
−
=−− =−− −+→=−− −+
−
∫
d)
( )
( )
22
4
dx 3
x x 4 10 x
I x 2 dx x 2 dx 10 2x 10ln x 3 C.
x3 x3 x3 2
+
++

= = −+ = − + = − + ++

++ +

∫∫ ∫ ∫
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A.
3
5
x x7
I dx
2x 5
−+
=
+
∫
B.
32
6
3x 3x x 2
I dx
x1
+ ++
=
−
∫
C.
42
7
4x 3x x 2
I dx
2x 1
+ ++
=
+
∫
Lời giải
a) Chia tử số cho mẫu số ta được
3
2
49
x x 7 1 5 21
8
xx
2x 5 2 4 8 2x 5
−+
= − +−
++
Khi đó:
3
22
5
49
x x 7 1 5 21 1 5 21 49 dx
8
I dx x x dx x x dx
2x 5 2 4 8 2x 5 2 4 8 8 2x 5


−+

= = −+− = −+ −


++ +



∫∫ ∫ ∫
( )
3 2 32
d 2x 5
1 x 5 x 21 49 x 5x 21x 49
. . x ln 2x 5 C.
2 3 4 2 8 16 2x 5 6 8 8 16
+
= − + − = − + − ++
+
∫
b) Ta có
32
2 32
6
3x 3x x 2 9
I dx 3x 6x 7 dx x 3x 7x 9 ln x 1 C.
x1 x1
+ ++

= = + ++ = + + + −+

−−

∫∫
c) Chia tử số cho mẫu số ta được
42
22
5
4x 3x x 2 1
2
2x x 2x
2x 1 2 2x 1
+ ++
= − + −+
++
42
32 32
7
5
4x 3x x 2 1 1 5 dx
2
I dx 2x x 2x dx 2x x 2x dx
2x 1 2 2x 1 2 2 2x 1


+ ++

= = −+−+ = −+− +


++ +



∫∫ ∫ ∫
( )
43 43
22
d 2x 1
xx 1 5 xx 1 5
2. xx xxln2x1C
43 2 42x1 23 2 4
+
= −+− + = −+− + ++
+
∫
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A.
1
2
dx
I dx
x 2x 3
=
−−
∫
B.
2
2
2dx
I
3x 4x 1
=
− +−
∫
C.
3
2
2x 3
I dx
x 3x 4
+
=
−−
∫
D.
4
2
3x 4
I dx
5x 6x 1
+
=
++
∫
Lời giải
a)
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
1
2
x1 x3
dx dx 1 1 dx dx 1 x 3
I dx dx ln C
x 2x3 x1x3 4 x1x3 4 x3 x1 4 x1
+− −
−

= = = = −= +

−− +− +− − + +

∫ ∫ ∫ ∫∫
b) Ta có
( )( )
(
) (
)
( )
( )
2
22
3x1 3x1
2dx dx dx 2
I 2 2 dx
3x 4x1 3x 4x1 x13x1 4 x13x1
−− −
−
= =−=− =
−+− −+ −− −−
∫ ∫∫ ∫
( )
d 3x 1
1 dx dx 1 1 1 1 1 3x 1
3 ln x 1 ln x 1 ln 3x 1 C ln C.
2 x1 3x1 2 2 3x1 2 2 2 x1
−
−

=− − =− −+ =− −+ −+ = +

−− − −

∫∫ ∫
c)
3
2
2x 3
I dx
x 3x 4
+
=
−−
∫
Cách 1:
Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm
x1= −
và
x4=
, khi đó
( )
( )
2
2x 3 2x 3 A B
x 3x4 x1x4 x1x4
++
= = +
−−+−+−
Đồng nhất ta được
( ) ( )
1
A
2AB
5
2x 3 A x 4 B x 1
3 4A B 11
B
5
= −
= +
+≡ − + + → ↔

=−+
=
3
2
1 11
2x 3 1 dx 11 dx 1 11
55
I dx dx ln x 1 ln x 4 C.
x 3x4 x1x4 5x1 5 x4 5 5

−

+
⇒ = = + =− + =− ++ − +

−− + − + −


∫ ∫ ∫∫
Vậy
3
1 11
I ln x 1 ln x 4 C
55
=− ++ − +
Cách 2:
Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:
( )
( )
( )( )
2
3
2 2 22 2
d x 3x 4
2x 3 dx
2x 3 2x 3 6 dx dx
I dx dx 6 6
x 3x4 x 3x4 x 3x4 x 3x4 x 3x4 x1x4
−−
−
+ −+
= = =+= +
−− −− −− −− −− + −
∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫
(
) (
)
( )
( )
2 22
x1 x4
6 6 dx dx 6 x 4
ln x 3x 4 dx ln x 3x 4 ln x 3x 4 ln C
5 x1x4 5 x 4 x1 5 x1
+− −
−

= − −+ = − −+ − = − −+ +

+− − + +

∫ ∫∫
Nhận xét:
Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài
phép biến đổi logarit đơn giản ta có ngay cùng kết quả.
Thật vậy, thao cách 2 ta có:
2
6 x 4 6 6 1 11
ln x 3x 4 ln ln x 4 ln x 1 ln x 4 ln x 1 C ln x 1 ln x 4 .
5 x1 5 5 5 5
−
− − + = − + ++ − − ++ =− ++ −
+
Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cùng không cần đến giấy
nháp ta có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được!
d)
( )( )
4
2
3x 4 3x 4
I dx dx
5x 6x1 x15x1
++
= =
++ + +
∫∫
Cách 1:
( )( )
(
)
( )
1
A
3 5A B
3x 4 A B
4
3x 4 A5x1 Bx1
4 A B 17
x15x1 x1 5x1
B
4
= −
= +
+
= + → +≡ + + + ↔ →

= +
++ + +
=
Từ đó
( )( ) ( ) ( )
4
3x 4 1 17 1 dx 17 dx
I dx dx
x15x6 4x1 45x1 4x1 4 5x1

+
= =−+ =−+


++ + + + +

∫ ∫ ∫∫
4
1 17
I ln x 1 ln 5x 1 C
4 20
→ =− ++ ++
Cách 2:
Do mẫu số có đạo hàm là
10x 6+
nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau:
( )
( )
4
22 2 2
3 22
10x 6
10x 6
3x 4 3 22 dx
10 10
I dx dx dx
5x 6x 1 5x 6x 1 10 5x 6x 1 10 5x 6x 1
++
+
+
= = = +
++ ++ ++ ++
∫∫ ∫ ∫
( )
( )( )
(
) ( )
( )( )
2
2
2
d 5x 6x 1
5x1 5x1
3 22 dx 3 22
ln 5x 6x 1 dx
10 5x 6x1 10 5x1x1 10 40 5x1x1
++
+− +
= + = + +−
++ ++ ++
∫∫ ∫
22
3 22 dx 5x 3 11 x 1
ln 5x 6x 1 ln 5x 6x 1 ln C.
10 40 x 1 5x 1 10 20 5x 1
+

= + +− − = + +− +

++ +

∫∫
Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A.
3
5
2
4x 2x 1
I dx
x1
+−
=
−
∫
B.
6
2
5x
I dx
3 2x x
−
=
−−
∫
Lời giải
Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được
3
5
22
4x 2x 1 6x 1
I dx 4x dx
x1 x1
+− −

= = +

−−

∫∫
Mà
( )( )
( ) ( )
2
7
A
6AB
6x 1 6x 1 A B
2
6x1Ax1 Bx1
1 AB 5
x 1 x1x1 x1 x1
B
2
=
= +
−−
= = + ⇒ −≡ − + + ⇔ ⇔

−=− +
− −+ + −
=
( ) ( )
2
5
75 7 5
I 4x dx 2x ln x 1 ln x 1 C
2x 1 2x 1 2 2

→=+ + =+++−+


+−

∫
b) Ta có:
(
)( )
( ) ( )
22
5x x5 x5 A B
x 5 Ax 3 Bx 1
3 2x x x 2x 3 x 1 x 3 x 1 x 3
−− −
= = = + →−≡ + + −
−− +− − + − +
6
2
1AB A 1
5 x 1 2 dx dx
I dx dx 2
5 3A B B 2
32x x x1 x3 x1 x3
=+=−

−−

→ ⇔ →= = + =− +


−= − =
−− − + − +


∫ ∫ ∫∫
( )
( )
22
6
x3 x3
ln x 1 2 ln x 3 C ln C I ln C
x1 x1
−−
=− −+ + + = + → = +
−−
.
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
A.
1
2
2dx
I
x 2x 1
=
−+
∫
B.
2
2
dx
I
6x 9x 1
=
++
∫
C.
3
2
dx
I
25x 10x 1
=
−+
∫
Lời giải
a)
( )
(
)
(
)
11
22
2
dx 1
2dx dx 2 2
I 2 2 CI C
x 2x1 x1 x1
x1 x1
−
= = = =−+→=−+
−+ − −
−−
∫ ∫∫
b)
( )
( )
(
)
( ) ( )
22
22
2
d 3x 1
dx dx 1 1 1
I C I C.
6x 9x1 3 33x1 33x1
3x 1 3x 1
+
= = = =−+→=−+
++ + +
++
∫ ∫∫
c)
( )
( )
( )
( ) ( )
33
22
2
d 5x 1
dx dx 1 1 1
I CI C
25x 10x 1 5 5 5x 1 5 5x 1
5x 1 5x 1
−
= = = =−+→=−+
−+ − −
−−
∫ ∫∫
Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a.
4
2
2x 1
I dx
4x 4x 1
−
=
++
∫
b.
2
5
2
4x 3
I dx
4x 12x 9
−
=
++
∫
c.
6
2
1 5x
I dx
9x 24x 16
−
=
−+
∫
Lời giải
a)
( )
4
2
2
2x 1 2x 1
I dx dx
4x 4x 1
2x 1
−−
= =
++
+
∫∫
Cách 1:
Đặt
( )
4
2
22
2x t 1
2x 1 t 2 dt 1 dt 2dt 1 1
t 2x 1 I dx ln t C
dt 2dx
t22 t t 2 t
2x 1
= −
−−

= +→ → = = = − = + +

=

+
∫ ∫ ∫∫
4
11
I ln 2x 1 C
2 2x 1
→ = ++ +
+
.
Cách 2:
( )
( )
( )
4
2
22 2
1
8x 4 2
8x 4
2x 1 1 dx
4
I dx dx dx 2
4x 4x 1 4x 4x 1 4 4x 4x 1
2x 1
+−
+
−
= = = −
++ ++ ++
+
∫∫ ∫ ∫
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
22
22
22
d 4x 4x 1 d 4x 4x 1
d 2x 1 d 2x 1
11
4 4x 4x 1 4 4x 4x 1
2x 1 2x 1
++ ++
++
= =−= −
++ ++
++
∫ ∫∫ ∫
2
1 11 1
ln 4x 4x 1 C ln 2x 1 C
4 2x 1 2 2x 1
= + ++ + = ++ +
++
b)
( )
( )
(
)
2
5
22
22
d 2x 3
4x 3 12x 12 dx 6
I dx 1 dx 12 x 6 x C
4x 12x 9 4x 12x 9 2x 3
2x 3 2x 3
+
−+

= =− − =− =++

++ ++ +

++
∫ ∫ ∫∫
c)
( )
6
2
2
1 5x 1 5x
I dx dx
9x 24x 16
3x 4
−−
= =
−+
−
∫∫
Cách 1:
Đặt
( )
( )
6
2
22
5t 4
t4
1
x
1 5x dt 1 5t 17
3
t 3x 4 I dx dt
3
t 3 9t
3x 4
dt 3dx
+
+
−
=
−+
= −→ → = = =−
−
=
∫∫ ∫
( )
6
1 17 1 17 5 17
5ln t C I 5 ln 3x 4 C ln 3x 4 C
9 t 9 3x 4 9 9 3x 4

=− − +→ =− −− +=− −+ +

−−

Cách 2:
( )
( )
( )
( )
6
22 2
5 17
3x 4
1 5x 5 dx 17 dx
33
I dx dx
3 3x 4 3
3x 4 3x 4 3x 4
− −−
−
= = =−− =
−
−− −
∫ ∫ ∫∫
( )
( )
( )
(
)
2
d 3x 4 d 3x 4
5 17 5 17 1
ln 3x 4 . C
9 3x 4 9 9 9 3x 4
3x 4
−−
=− − =− −+ +
−−
−
∫∫
( )
6
5 17
I ln 3x 4 C
9 9 3x 4
→ =− −+ +
−
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a.
1
2
dx
I
x 2x 3
=
++
∫
b.
2
2
dx
I
4x 4x 2
=
++
∫
c.
3
2
dx
I
9x 24x 20
=
++
∫
Lời giải
a)
(
)
( )
( )
( )
1
22
2
2
dx 1
dx dx 1 x 1
I arctan C
x 2x 3
22
x1 2
x1 2
+
+

= = = = +

++
++

++
∫∫∫
b)
( )
( )
( )
( )
2
22
2
2
d 2x 1
dx dx 1 1
I arctan 2x 1 C
4x 4x 2 2 2
2x 1 1 2x 1 1
+
= = = = ++
++
++ ++
∫∫ ∫
c)
( )
( )
( )
3
22
2
2
d 3x 4
dx dx 1 3x 4
I a rctan C
9x 24x 20 2 2
3x 4 4 3x 4 2
+
+

= = = = +

++

++ ++
∫ ∫∫
Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a.
4
2
3x 5
I dx
2x x 10
+
=
++
∫
b.
5
2
4x 1
I dx
6x 9x 4
−
=
++
∫
c.
4
6
2
2x x
I dx
x 2x 7
−
=
++
∫
Lời giải
a)
( )
( )
4
2 2 22
3 17
4x 1
4x 1 dx
3x 5 3 17 dx
44
I dx dx
2x x 10 2x x 10 4 2x x 10 4 2x x 10
++
+
+
= = = +
++ ++ ++ ++
∫∫ ∫∫
( )
( )
2
2
2
2
2
d 2x x 10
3 17 dx 3 17 dx
ln 2x x 10
x
4 2x x 10 8 4 8
1 79
x5
x
2
4 16
++
= + = ++ +
++

++
++


∫∫ ∫
( ) ( )
22
2
2
1
dx
3 17 3 17 4 4x 1
4
ln 2x x 10 ln 2x x 10 . arc tan C
48 48
79 79
1 79
x
44

+

+


= ++ + = ++ + +




++




∫
Vậy
( )
2
4
3 17 4x 1
I ln 2x x 10 arctan C
4
2 79 79
+

= ++ + +


b)
(
)
( )
5
22 22
1
12x 9 4
12x 9 dx
4x 1 1 dx
3
I dx dx dx 4
6x 9x 4 6x 9x 4 3 6x 9x 4 6x 9x 4
+−
+
−
= = = −
++ ++ ++ ++
∫∫ ∫ ∫
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
22
2
2
d 6x 9x 4
d 3x 1
1 dx 1 4
dx 4 ln 6x 9x 4
3 6x 9x 4 3 3
3x 1 3
3x 1 3
++
+
= − = + +−
++
++
++
∫∫ ∫
( )
2
1 4 1 3x 1
ln 6x 9x 4 . arctan C
33
33
+

= + +− +


( )
2
5
1 4 3x 1
I ln 6x 9x 4 arctan C
3
33 3
+

⇒= + +− +


c)
43
22
6
22 2
2x x 25x 7 2x 25x 7
I dx 2x 4x 1 dx 2x x dx
x 2x 7 x 2x 7 3 x 2x 7
−− −

= = − ++ = − + +

++ ++ ++

∫∫ ∫
Đặt
( )
( )
2 2 22
25
2x 2 32
2x 2 dx
25x 7 25 dx
2
J dx dx dx 32
x 2x 7 x 2x 7 2 x 2x 7 x 2x 7
+−
+
−
= = = −
++ ++ ++ ++
∫∫ ∫ ∫
(
)
( )
( )
( )
(
)
2
2
22
2
2
d x 2x 7
25 dx 25 d(x 1)
ln x 2x 7 32
2 x 2x 7 2
x1 6
x1 6
++
+
= − = + +−
++
++
++
∫∫ ∫
( )
2
2
d x 2x 7
25 32 x 1
arctan
2 x 2x 7
66
++
+
= −
++
∫
(
)
3
22
6
2x 25 32 x 1
I 2x x ln x 2x 7 arctan C
32
66
+

⇒ = − ++ + + − +


Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải
quyết bài toán là xử lý mẫu số.
Nếu
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
2
12
2
12
2
22
2 22
2
2
2
Px
1A B
ax bxcaxx xx
ax bxc axx xx
Px
du 1 u
ax bx c mx n k arctan C
ax bx c u
du 1
ax bx c mx n C
uu

+ += − − → = +

++ − −

+ += + + → = +
+ + +α α α
+ += + → =− +
∫
∫
Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a.
( )
( )
1
2
dx
I
x2x 9
=
−−
∫
b.
( )
2
2
2
6x x 2
I dx
xx 1
+−
=
−
∫
c.
( )
42
3
2
3x x 3z 7
I dx
xx x 2
−+−
=
+−
∫
Lời giải
a)
( )
(
)
1
2
dx
I
x2x 9
=
−−
∫
=
( )( )( )
dx
x2x3x3−+−
∫
Ta có
( )
( )(
)
( )
( )( )
( )( )
2
1 ABC
1Ax 9 Bx2x3 Cx2x3
x2x3x3 x2 x3 x3
= + + ⇒≡ −+− −+− +
−+− − + −
1
A
5
0 ABC
1
0 5B C B
30
1 9A 6B 6C
1
C
6
= −
=++

⇔ =−+ ⇔ =


=−+−
=
Nhận xét:
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời
gian cho việc tính toán. Suy nghĩ:
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )( )
( )( ) ( )(
)
1
x3 x3
dx 1 1 dx 1 dx
I dx dx
x2x3x3 6 x2x3x3 6 x2x3 6 x2x3
+−−
= = = −
−+− −+− −− −+
∫ ∫ ∫∫
Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến!
b)
( )
( )( )
22
2
2
6x x 2 6x x 2
I dx dx
xx 1 x 1
xx 1
+− +−
= =
+−
−
∫∫
Cách 1:
Ta có
( )( )
( )
( ) ( )
2
22
6x x 2 A B C
6x x 2 Ax 1 Bxx 1 Cxx 1
xx1x1 x x1 x1
+−
= + + → +−≡ −+ −+ +
+− + −
2
A2
35
6 ABC
3 2 35
22
1 B C B I dx 2 ln x ln x 1 ln x 1 C
2 x x1 x1 2 2
2A
5
C
2
=

=++


⇔=−+⇔=→=++ =+++−+


+−


−=−

+
∫
Cách 2:
( )
( )
( )
( )
( )
22
2
2
3 3 33
2
2 3x 1 x 1 1 3x 1 dx
x 1 dx
6x x 2 dx
I dx dx 2 dx
xx xx xx xx
xx 1
−+ −+ −
−
+−
= = = + +=
− − −−
−
∫ ∫ ∫ ∫∫
( )
( ) ( )( )
3
3
3
dx x
dx dx
2 dx 2ln x x J K
x x xx 1 xx 1 x 1
−
= + + = − ++
− + −+
∫ ∫∫
( )
(
)
( )
x1 x
dx 1 1 x
J dx dx ln x ln x 1 ln
xx1 xx1 x x1 x1
+−

= = = − = − +=

++ + +

∫∫ ∫
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
x1 x
dx dx dx
K dx
xx1x1 xx1x1 xx1 x1x1
+−
= = =−=
−+ −+ − +−
∫ ∫ ∫∫
( )
( )
(
) ( )
(
)(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
x x1 x1 x1 x x1 x1 x1
11
dx dx dx dx
xx1 2 x1x1 xx1 2 x1x1
−− +−− −− +−−
=−=−
− +− − +−
∫∫ ∫∫
1 1 1 1 1 x1 1 x1
dx dx ln ln
x1 x 2 x1 x1 x 2 x1
−−

= −− − = −

− −+ +

∫∫
Từ đó ta được
3
2
x x1 1 x1
I 2 ln x x ln ln ln C
x1 x 2 x1
−−
= −+ + − +
++
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, xin dành cho các bạn đọc!
c)
(
)
( )
42 2 2
3
22
3x x 3x 7 8x 3x 7 3x
I dx 3x 3 dx 3x J
2
xx x 2 xx x 2

−+− −+

= = − = −+
+− +−


∫∫
Với
( )
( )( )
22
2
8x 3x 7 8x 3x 7
J dx dx
xx 1 x 2
xx x 2
−+ −+
= =
−+
+−
∫∫
Ta có:
( )(
)
( )(
) ( ) ( )
2
2
8x 3x 7 A B C
8x 3x 7 Ax 1 x 2 Bxx 2 Cxx 1
xx1x 2 x x1 x 2
−+
=+ + → −+≡ − ++ ++ −
−+ − +
7
A
8 ABC
2
7 15
3 A 2B C B 4 J ln x 4 ln x 1 ln x 2 C.
22
7 2A 15
C
2
= −
=++
⇔−= + − ⇔ = ⇒ =− + −+ + +


= −
=
Vậy
2
3
3x 7 15
I 3x ln x 4 ln x 1 ln x 2 C
22 2
= − − + −+ + +
Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm:
4x 1
I dx
2x 3
+
=
+
∫
A.
I 2x ln 2x 3 C= − ++
B.
1
I 2x ln 2x 3 C
2
= − ++
C.
1
I x ln 2x 3 C
2
=− ++
D.
I xln2x3C=− ++
Lời giải
Ta có:
( )
2 2x 1 1
4x 1 dx 1
I dx dx 2dx 2x ln 2x 3 C.
2x 3 2x 3 2x 3 2
+−
+
= = = − = − ++
++ +
∫ ∫ ∫∫
Chọn B.
Ví dụ 11: Tính nguyên hàm:
2
3x 2x 1
I dx
x1
++
=
+
∫
A.
2
3
I x x ln x 1 C
2
= ++ ++
B.
2
3
I x x 2 ln x 1 C
2
= −− ++
C.
2
3
I x 2x ln x 1 C
2
= − + ++
D.
2
3
I x x 2 ln x 1 C
2
= −+ ++
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
2
3xx1 x1 2
3x 2x 1 2
3x 1
x1 x1 x1
+− ++
++
= = −+
++ +
Khi đó
2
3
I x x 2 ln x 1 C.
2
= −+ ++
Chọn D.
Ví dụ 12: Tính nguyên hàm:
2
dx
I.
2x x 1
=
+−
∫
A.
1 2x 1
I ln C
3 x1
−
= +
+
B.
2x 1
I ln C
x1
−
= +
+
C.
2 2x 1
I ln C
3 x1
−
= +
+
D.
( )
2
2x 1
1
I ln C
3 x1
−
= +
+
Lời giải
Ta có:
(
)(
)
(
) (
)
(
)(
)
2
2 x 1 2x 1
dx dx 1
I dx
2x x 1 2x 1 x 1 3 2x 1 x 1
+− −
= = =
+− −+ −+
∫∫ ∫
1 2 1 1 2dx 1 dx 1 1 1 2x 1
dx ln 2x 1 ln x 1 C ln C
3 2x1 x1 32x13x1 3 3 3 x1
−

= − = − = −− ++ = +

−+ − + +

∫ ∫∫
. Chọn A.
Ví dụ 13: Tính nguyên hàm:
2
x5
I dx.
x1
−
=
−
∫
A.
3 x1
I ln C
2 x1
+
= +
−
B.
3 x1
I ln C
2 x1
−
= +
+
C.
(
)
( )
3
2
x1
I ln C
x1
+
= +
−
D.
( )
( )
2
3
x1
I ln C
x1
+
= +
−
Lời giải
Ta có:
( )
22
A Bx A B
x5 A B
x1x1x1 x1
+ +−
−
=+=
−−+ −
Đồng nhất 2 vế ta có:
AB1 A 2
AB 5 B3
+= =−

⇔

−=− =

Suy ra
( )
( )
3
2
x1
32
I dx 3ln x 1 2 ln x 1 C ln C.
x1 x1
x1
+

= − = +− −+ = +

+−

−
∫
Chọn C.
Ví dụ 14: Tính nguyên hàm:
(
)
2
2x 1
I dx
3x 2
+
=
+
∫
A.
2 51
I ln 3x 2 . C.
3 9 3x 2
= +− +
+
B.
2 11
I ln 3x 2 . C
3 3 3x 2
= ++ +
+
C.
2 11
I ln 3x 2 . C
3 9 3x 2
= ++ +
+
D.
2 11
I ln 3x 2 . C
9 9 3x 2
= ++ +
+
Lời giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
22 2
21
3x 2
2x 1 2 dx 1 dx
33
I dx dx
3 3x 2 3
3x 2 3x 2 3x 2
+−
+
= = = −
+
++ +
∫ ∫ ∫∫
2 11
ln 3x 2 . C.
9 9 3x 2
= ++ +
+
Chọn D.
Ví dụ 15: Tính nguyên hàm:
( )
2
2x 3 dx
I.
4x 4x 1
+
=
−+
∫
A.
2
I ln 2x 1 C.
1 2x
= − −+
−
B.
2
I 2 ln 2x 1 C.
2 4x
= + −+
−
C.
21
I ln 2x 1 C.
2x 1 2
= + −+
−
D.
21
I ln 2x 1 C.
1 2x 2
= + −+
−
Lời giải
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
22 2
2
2x 3 dx
2x 3 2x 1 4 1 4
4x 4x 1 2x 1
2x 1 2x 1 2x 1
+
+ −+
= = = +
−+ −
−− −
Khi đó
( )
2
4dx dx 2 1
I ln 2x 1 C.
2x 1 2x 1 2
2x 1
−
= + = + −+
−−
−
∫∫
Chọn D.
Ví dụ 16: Tính nguyên hàm:
2
4x 3
I dx.
x 2x 2
+
=
++
∫
A.
( )
( )
2
I 2 ln x 2x 2 arctan x 1 C= + + − ++
B.
( )
( )
2
I 2 ln x 2x 2 arctan x 1 C= + + + ++
C.
( )
( )
2
I ln x 2x 2 arctan x 1 C= + + − ++
D.
( )
( )
2
I ln x 2x 2 arctan x 1 C= + + + ++
Lời giải
Ta có:
( )
( )
2
2
2 2x 2 1
4x 3
I dx dx
x 2x 2
x1 1
+−
+
= =
++
++
∫∫
( )
( )
(
)
2
2
2
2
2d x 2x 2
1
2 ln x 2x 2 arctan x 1 C
x 2x 2
x1 1
++
= − = + +− ++
++
++
∫∫
.
( )
( )
2
2 ln x 2x 2 arctan x 1 C.= + + − ++
Chọn A.
Ví dụ 17: Tính nguyên hàm:
3
dx
I
xx
=
−
∫
A.
2
1
I ln x 1 ln x C
2
= −− +
B.
2
1
I ln x 1 2 ln x C
2
= −− +
C.
2
I ln x 1 ln x C= −− +
D.
2
1
I ln x 1 ln x C
2
= −− +
Lời giải
Ta có:
(
)( ) ( )( )
3
dx dx x 1 x
I dx
x x xx 1 x 1 xx 1 x 1
+−
= = =
− +− +−
∫∫ ∫
( )
( )
( )
dx dx 1 1 1 1 1
dx dx
x1x x1x1 x1 x 2 x1 x1

= − = −− −

− −+ − − +

∫∫ ∫ ∫
2
x1 1 x1 1
ln ln C ln x 1 ln x C.
x 2 x1 2
−−
= − + = −− +
+
Chọn D.
Ví dụ 18: Tính nguyên hàm:
3
dx
I
x 3x 2
=
−+
∫
A.
( )
1 1 x1
I ln C
3x 1 9 x 2
−
=−+
−+
B.
( )
1 1 x1
I ln C
3x 1 9 x 2
−
=−− +
−+
C.
(
)
1 1 x1
I ln C
3x 1 3 x 2
−
=−− +
−+
D.
( )
1 1 x1
I ln C
3x 1 3 x 2
−
=−+
−+
Lời giải
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
22
x 2 x1
dx 1
I dx
3
x1 x 2 x1 x 2
+−−
= =
−+ −+
∫∫
( )
( )
( ) ( )
2
1 dx 1 dx 1 1 1 1
dx
3 3 x1x 2 3x1 9 x1 x 2
x1
−

= − =−−

−+ − − +

−
∫∫ ∫
( )
1 1 x1
ln C.
3x 1 9 x 2
−
=−− +
−+
Chọn B.
Ví dụ 19: Tính nguyên hàm:
2
4
3x 2
I dx
x4
+
=
−
∫
A.
1 x2 x
I ln arctan C.
2x 2 2
−
= ++
+
B.
x2 x
I ln arctan C.
x2 2
−
= ++
+
C.
x21 x
I ln arctan C.
x2 2 2
−
=++
+
D.
1 x21 x
I ln arctan C.
2x 2 2 2
−
= ++
+
Lời giải
Ta có:
(
) (
)
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
22
2
2
4
22 22
Ax 2 Bx 2
A B x 2A 2B
3x 2
x4
x2x2 xxx2
++ −
+ +−
+
= =
−
−+ −+
Đồng nhất 2 vế ta có:
AB3 A 2
2A 2B 2 B 1
+= =

⇔

−= =

Khi đó
22
2dx dx 1 x 2 1 x
I ln arctan C.
x2 x2
2x 2 2 2
−
=+= + +
−+
+
∫∫
Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm nguyên hàm
2
2x 3x 4
I dx.
x1
++
=
+
∫
A.
2
I x 3 ln x 1 C.= − ++
B.
2
I x 3 ln x 1 C.= + ++
C.
2
I x x 3 ln x 1 C.= +− ++
D.
2
I x x 3 ln x 1 C.= ++ ++
Câu 2: Tìm nguyên hàm
3
x
I dx
x1
=
+
∫
A.
32
xx
I x ln x 1 C
32
= + +− ++
B.
32
xx
I x ln x 1 C
32
= + ++ ++
C.
32
xx
I x ln x 1 C
32
= − +− ++
D.
32
xx
I x ln x 1 C
32
= − ++ ++
Câu 3: Tìm nguyên hàm
32
x 2x x
I dx.
x1
+−
=
+
∫
A.
32
xx
2x 2 ln x 1 C
32
− − + ++
B.
32
xx
2x 2 ln x 1 C
32
+ − + ++
C.
32
xx
2x 2 ln x 1 C
32
− + + ++
D.
32
xx
2x 2 ln x 1 C
32
+ − − ++
Câu 4: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
2
2
x
fx
x 3x 2
=
++
thỏa
( )
F 1 ln 2.=
A.
( )
F x x ln x 1 4 ln x 2 4 ln 3 1=+ +− + + −
B.
( )
F x x ln x 1 4 ln x 2 4 ln 3 1
=+ +− + + +
C.
( )
F x x ln x 1 4 ln x 2 4 ln 3 1=+ ++ + + +
D.
( )
F x x ln x 1 4 ln x 2 4 ln 3 1=+ ++ + + −
Câu 5: Tìm một nguyên hàm của hàm số
( )
2
2
x 5x
fx
x 5x 6
−
=
−+
thỏa
( )
F 4 6ln 2.=
A.
(
)
x3
F x x 6 ln 4
x2
−
=−−
−
B.
( )
x3
F x x 6 ln 4
x2
−
=−+
−
C.
(
)
x2
F x x 6 ln 4
x3
−
=−+
−
D.
( )
x2
F x x 6 ln 4
x3
−
=−−
−
Câu 6: Hàm số
( )
2
5x 11
fx
x 3x 10
+
=
+−
có một nguyên hàm F(x) thỏa
( )
F 3 3ln 8.=
Tìm
( )
F6
e.
−
A.
( )
F6
e 64
−
=
B.
( )
F6
e 512
−
=
C.
( )
F6
e 4096
−
=
D.
( )
F6
e 32768
−
=
Câu 7: Hàm số
( )
2
9x 10
fx
6x 11x 3
−
=
−+
có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn
( )
F 1 ln 2.=
Gọi x
1
, x
2
là hai
nghiệm của phương trình
( )
1
F x ln 3x 1 ln 3.
2
= −+
Tính
12
xx
3 3.+
A.
12
xx
3 3 28+=
B.
12
xx
33 4+=
C.
12
xx
730
33
27
+=
D.
12
xx
82
33
27
+=
Câu 8: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
2
2
x
fx
x 7x 12
=
−+
thỏa
( )
F 5 5.=
A.
( )
F x x 16 ln x 4 9 ln x 3 9 ln 2=+ −− −−
B.
( )
F x x 16 ln x 4 9 ln x 3 9 ln 2
=− −+ −+
C.
( )
F x x 16 ln x 4 9 ln x 3 9 ln 2=+ −− −+
D.
( )
F x x 16 ln x 4 9 ln x 3 9 ln 2=− −+ −−
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
(
)
2
1
fx ;
x a b x ab
=
++ +
giả sử hàm số xác định.
A.
( )
xb
f x dx ln C
xa
+
= +
+
∫
B.
( )
1 xa
f x dx ln C
ba xb
+
= +
−+
∫
C.
( )
xa
f x dx ln C
xb
+
= +
+
∫
D.
( )
1 xb
f x dx ln C
ba xa
+
= +
−+
∫
Câu 10: Hàm số
( )
4
2
x
fx
x1
=
−
có một nguyên hàm là F(x) thỏa
( )
14
F0 .
3
= −
Tính
( )
F2
e.
A.
( )
F2
23
e
3
=
B.
( )
F2
3
e
2
=
C.
( )
F2
e3=
D.
( )
F2
3
e
3
=
Câu 11: Hàm số
( )
2
2x 1
fx
x x2
−
=
+−
có một nguyên hàm là F(x) thỏa
(
)
10 ln 2
F2 .
3
=
Tính
( )
F1
e.
−
A.
( )
F1
3
5
e2
−
=
B.
( )
F1
3
e ln 2
−
=
C.
( )
F1
3
e2
−
=
D.
( )
F1
3
5
e4
−
=
Câu 12: Hàm số
2
5x 3
y
x 7x 12
+
=
++
có một nguyên hàm F(x) thỏa
( )
F 2 18ln 2.−=
Tìm
( )
F 5.−
A.
( )
F 5 33ln 2−=−
B.
( )
F 5 21ln 2−=−
C.
( )
F 5 17 ln 2−=−
D.
( )
F 5 11ln 2−=−
Câu 13: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
3
2
x 5x 2
fx
4x
−+ +
=
−
thỏa mãn
( )
3
F1 .
2
=
A.
( )
3
x
F x ln x 2 1
3
= + −−
B.
( )
3
x
F x ln x 2 1
3
= − −−
C.
( )
2
x2
F x ln 2 x
2
+
= −−
D.
( )
2
x
F x ln 2 x 1
2
= − −+
Câu 14: Hàm số
( )
2
1
fx
x 5x 6
=
−+
có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn
( )
F 4 1 ln 2.= −
Phương trình
( )
Fx 1=
có nghiệm
a
x;
b
=
với
a
b
là phân số tối giản. Tìm
a b.+
A.
ab 2+=−
B.
ab5
+=
C.
ab7+=
D.
ab9+=
Câu 15: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
(
)
(
)
2
x
fx ;
x1
= −
+
biết rằng đồ thị của hàm số
(
)
y Fx
=
đi
qua gốc tọa độ O.
A.
(
)
x
F x ln x 1
x1
= −+
+
B.
( )
1x
F x ln x 1
2 x1
=− −+
+
C.
( )
1
F x ln x 1 1
x1
=− + ++
+
D.
( )
x
F x ln x 1
x1
= ++
+
Câu 16: Hàm số
( )
( )
2
1
fx
x x1
=
+
có một nguyên hàm là F(x) thỏa
(
)
F 1 ln 2.=
Tính
( )
F2
−
.
A.
(
)
51
F 2 ln
22
−=−
B.
( )
5
F 2 ln 2
2
−=−
C.
( )
31
F 2 ln
22
−=−
D.
( )
3
F 2 ln 2
2
−=−
Câu 17: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
2
x1
fx ,
x
−
=
biết đồ thị hàm số
( )
y Fx=
đi qua điểm
1
M e; 2
e

+


.
A.
( )
1
F x ln x 2
x
= −+
B.
( )
1
F x ln x 1
x
= ++
C.
( )
1
F x ln x 2
x
= +−
D.
( )
2
F x ln x ln x 1=−+
Câu 18: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
( )
2
2
x 2x 1
fx ,
x 2x 1
+−
=
++
biết rằng đồ thị hàm số
( )
y Fx=
cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1.
A.
( )
2
Fx x 2
x1
=+−
+
B.
( )
2
Fx x 2
x1
=++
+
C.
(
) ( )
2
F x x 2 ln x 1=−+
D.
( )
2
Fx x 2
x1
=−+
+
Câu 19: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số
( )
32
2
x 3x 3x 1
fx
x 2x 1
+ +−
=
++
và thỏa
( )
1
F1
3
=
. Xác định hàm
số F(x).
A.
(
)
2
x 2 13
Fx x
2 x1 6
= ++ +
+
B.
(
)
2
x 1 11
Fx x
2 x1 6
= ++ +
+
C.
(
)
2
x 2 13
Fx x
2 x1 6
= ++ −
+
D.
( )
2
x 2 11
Fx x
2 x1 6
= ++ −
+
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
( )
(
)
2
2
2xx1 x1 3
2x 3x 4 3
2x1 I x x3lnx1 C.
x1 x1 x1
++ ++
++
= = ++ ⇒= + + + +
++ +
Chọn D.
Câu 2:
3 3 32
2
x x 11 1 x x
x x1 I xlnx1 C.
x1 x1 x1 3 2
+−
= = − +− ⇒= − + − + +
++ +
Chọn C.
Câu 3:
( ) ( )
( )
32 2
32
2
x x x x 2x 1 2
x 2x x 2
x x2
x1 x1 x1
+++− ++
+−
= = +−+
++ +
32
xx
I 2x 2 ln x 1 C.
32
⇒= + − + ++
Chọn B.
Câu 4:
(
)
(
)(
)
( ) ( )
( )( )
4x 1 x 2
3x 2 4 1
fx 1 1 1
x1x2 x1x 2 x 2 x1
+− +
+

=− =− =−−

++ ++ + +

( ) ( )
F x f x dx x 4 ln x 2 ln x 1 C⇒ = =− + + ++
∫
( )
F 1 1 4 ln 3 ln 2 C ln 2 C 1 4 ln 3.⇒ =− + + = ⇒ =−+
Chọn A.
Câu 5:
( )
( )( )
6 11
fx 1 16
x2x3 x3 x2

=− =−−

−− −−

( ) ( )
F x f x dx x 6 ln x 3 6 ln x 2 C⇒ = =− −+ −+
∫
( )
F 4 4 6ln 2 C 6ln 2 C 4.⇒ =+ += ⇒=−
Chọn A.
Câu 6:
( )
(
)( )
(
) (
)
(
)
( )
2x 2 3x 5
5x 11 2 3
fx
x2x5 x2x5 x5 x2
−+ +
+
= = = +
−+ −+ +−
( )
( )
F x 2 ln x 5 3ln x 2 C F 3 2 ln 8 C 3ln 8 C ln 8⇒ = ++ −+⇒ = += ⇒ =
( )
( )
F6
F 6 3ln 8 ln 8 4 ln8 e 4096.
−
⇒ −= + = ⇒ =
Chọn C.
Câu 7:
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
3 2x 3 3x 1
9x 10 3 1
fx
2x 3 3x 1 2x 3 3x 1 3x 1 2x 3
−+ −
−
= = = +
−− −− −−
( ) (
)
1
F x ln 3x 1 ln 2x 3 C F 1 ln 2 C ln 2 C 0.
2
⇒ = −+ −+ ⇒ = + = ⇒ =
( )
x3
11
F x ln 3x 1 ln 2x 3 ln 3x 1 ln 3 2x 3 3
x0
22
=
⇒ = −+ − = −+ ⇒ − =⇔ ⇒
=
Chọn A.
Câu 8:
( )
( )
( )
( )
( )
( )(
)
116 x 3 9 x 4
7x 12 16 9
fx 1 1 1
x3x4 x3x4 x4 x3
−− −
−
=+ =+ =+−
−− −− − −
( )
( )
F x x 16 ln x 4 9 ln x 3 C F 5 5 9 ln 2 C 5 C 9 ln 2.⇒ =+ −− −+⇒ =− + =⇒ =
Chọn C.
Câu 9:
( )
(
)( )
( )
1 1 1 1 1 xa
f x F x ln C.
xaxb baxa xb ba xb
+

= = − ⇒= +

++ −+ + − +

Chọn B.
Câu 10:
( )
(
)(
)
4
22
2
x 11 1 1 1 1
fx x1 x1
x 1 x1x1 2x1 x1
−+

= = ++ = ++ −

− −+ − +

( ) ( )
( )
3
F2
x 1 x 1 14 3
F x x ln C F 0 C e .
3 2 x1 3 3
−
⇒ = ++ +⇒ = =− ⇒ =
+
Chọn D.
Câu 11:
( )
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
)
( )
51
x1 x 2
2x 1 5 1
33
f x F x ln x 2 ln x 1 C
x1x 2 x1x 2 3 3
−+ +
−
= = ⇒ = + + −+
−+ −+
(
)
( )
F1
3
5 10
F 2 ln 4 C ln 2 C 0 e 2.
33
−
⇒ = += ⇒=⇒ =
Chọn C.
Câu 12:
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
17 x 3 12 x 4
5x 3
y F x 17 ln x 4 12 ln x 3 C
x3x4 x3x4
+− +
+
= = ⇒ = +− ++
++ ++
( )
( )
F 2 17 ln 2 C 18 ln 2 C ln 2 F 5 11ln 2.−= += ⇒= ⇒ −=−
Chọn D.
Câu 13:
(
)
(
)
( )
2
32
22
xx 4 x 2
x 5x 2 1 x
f x x F x ln x 2 C
x4 x4 x2 2
− −−
−−
= = =− ⇒ = − −+
−−−
( )
13
F 1 C C 1.
22
⇒ =+=⇒=
Chọn C.
Câu 14:
( )
( )( )
(
) ( )
1 x3 1
f x F x ln C F 4 ln C 1 ln 2 C 1
x2x3 x2 2
−
= ⇒ = +⇒ = +=− ⇒=
−− −
( )
x3
1
x3 x3 5
x2
F x ln 1 1 1 x .
x3
x2 x2 2
1
x2
−
=
−−
−
⇒ = +=⇔ =⇔ ⇔ =
−
−−
= −
−
Chọn C.
Câu 15:
( )
(
)
(
)
( )
22
x 11 1 1 1
f x F x ln x 1 C
x1 x1
x1 x1
+−
=− =− + ⇒ =− +− +
++
++
( )
F 0 1 C 0 C 1.⇒ =−+ = ⇒ =
Chọn A.
Câu 16:
( )
( ) ( )
( )
22
1xx 1 1 1 x
f x F x ln C
x x1 x xx1 x x1
+−
= = − ⇒ =−− +
++ +
( ) ( )
13
F 1 1 ln C ln 2 C 1 F 2 ln 2.
22
⇒ =−− + = ⇒ = ⇒ − = −
Chọn D.
Câu 17:
( )
( ) ( )
2
11 1 1 1
f x F x ln x C F e 1 C 2 C 1.
xx x e e
= − ⇒ = ++⇒ =++=+⇒ =
Chọn B.
Câu 18:
( )
( )
( )
( )
2
22
f x 1 F x x C F 1 2 C 0 C 2.
x1
x1
=− ⇒ =+ +⇒ =+=⇒=−
+
+
Chọn A.
Câu 19:
( )
( )
( )
22
2
2
x x 2x 1 x 2x 1 2
2
fx x 1
x 2x 1
x1
+++++−
= = +−
++
+
(
) ( )
2
x 2 5 1 13
F x x C F1 C C .
2 x1 2 3 6
⇒ = ++ +⇒ = + =⇒ =−
+
Chọn C.
| 1/22

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 5: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ A. LÝ THUYẾT
I. Các công thức cần nhớ (1). 1 dx 1 dx = ln x + a + C → = ln ax + b + C ∫ x ∫ + a ax + b a (2). dx 1 x − a = ln + C ∫ 2 2 x − a 2a x + a (3). 1 1 x 1 1 u dx = arctan + C → du = arctan + C ∫ 2 2 ∫ 2 2 x + a a a u + a a a P(x)dx
II. Nguyên hàm dạng I = ∫ Q(x)
Nếu bậc của tử số lớn hơn hoặc của mẫu số thực hiện phép chia đa thức ta có: P(x) P' x ( ) = g(x) ( )
+ ( ). Dưới đây là một số dạng thường gặp. Q x Q x P(x)dx  Dạng 1: I = ∫ ax + b P(x) Phân tích: = ( ) k g x + khi đó = ∫ ( ) dx I g x dx + k ax ∫ + b ax + b ax + b mx + n  Dạng 2: I = dx ∫ 2 ax + bx + c  Trường hợp 1: 2 ∆ = b − 4ac > 0 + +   Phân tích: mx n mx m 1 A B = =  + 2 ax bx c a (x x x x a  x x x x  + + − − − − 1 ) ( 2 ) 1 2 
(Đồng nhất hệ số để tìm A, B). 1
⇒ I = (Aln x − x + Bln x − x + C. 1 2 ) a  Trường hợp 2: 2 ∆ = b − 4ac = 0 mx + n mx + n m(x − x + p 0 ) m P = = = + 2 a.x + bx + c a (x − x a x − x a x − x a x − x 0 )2 ( 0 )2 ( 0 ) ( 0 )2  Trường hợp 3: 2
∆ = b − 4ac < 0 mx + n k (2ax + b) Phân tích: p = + 2 2
ax + bx + c ax + bx + c a (x − x + q 0 )2 kd( 2 ax + bx + c) Khi đó p 1 I = + dx ∫ 2 ax ∫ + bx + c a (x − x )2 2 + n 0 P(x)dx  Dạng 3: I = ∫ với ( ) 3 2 Q x = ax + bx + cx + d Q(x)
Trường hợp 1: 3 2
ax + bx + cx + d = a (x − x x − x x − x 1 ) ( 2 ) ( 3 ) P(x) Phân tích: A B C = + + 3 2 ax + bx + cx + d x − x x − x x − x 1 2 3
Trường hợp 2: ax + bx + cx + d = a (x − x )(x − x )2 3 2 1 2 P(x) Phân tích: A Bx + C = + 3 2
ax + bx + cx + d x − x1 (x − x2 )2
Trường hợp 3: 3 2
ax + bx + cx + d = a (x − x )( 2
mx + nx + p trong đó 2 mx + nx + p = 0 vô nghiệm. 1 ) P(x) Phân tích: A Bx + C = + 3 2 2 ax + bx + cx + d x − x mx + nx + p 1 P(x)dx
Dạng 4: [Tham khảo và nâng cao]: I = ∫
trong đó bậc của P(x) nhỏ hơn 4. 4 2 x ± a P(x)dx
Trường hợp 1: I = ∫ 4 2 x + a P(x) A( 2 x + a) + B( 2 x − a) 3 + Cx + Dx Phân tích: = 4 2 4 2 x + a x + a a  a  1+ d x − 2  Khi đó ta có: + 2 x a x  x  du I = dx = dx = → I = 1 ∫ 4 2 ∫ 2 ∫ 2 1 ∫ 2 x + a 2 a  a  u + 2a x + 2 x − +   2a x  x  a  a  1− d x + 2  − 2 x a x  x  du I = dx = dx = → I = 2 ∫ 4 2 ∫ 2 ∫ 2 2 ∫ 2 x + a 2 a  a  u − 2a x + 2 x + −   2a x  x  x dx 1 d( 4 2 3 x + a ) 1 4 2 I = = = ln x + a + C 3 ∫ 4 2 ∫ 4 2 x + a 4 x + a 4 xdx 1 d( 2 x ) 1 du I = = → I = . 4 ∫ 4 2 ∫ 4 2 4 ∫ 2 2 x + a 2 x + a 2 u + a P(x)dx
Từ đó suy ra nguyên hàm I = ∫ 4 2 x + a P(x)dx
Trường hợp 2: I = ∫ 4 2 x − a P(x) 3 Ax + Bx + ( 2 Cx + D) Phân tích: = 4 2 4 2 x − a x − a Ax + Bx A d( 4 2 x − a ) B d( 2 3 x ) Khi đó xét: A du B dv I = dx = + → I = + 1 ∫ 4 2 ∫ 4 2 ∫ 4 2 1 ∫ ∫ 2 2 x − a 4 x − a 2 x − a 4 u 2 v − a 2 Phân tích Cx + D  M N I dx  = = + ∫ ∫
dx (Đồng nhất tìm M, N). 2 4 2 2 2 x − a  x − a x + a 
Dạng 5 [Tham khảo và nâng cao]: Một số nguyên hàm hữu tỷ khi Q(x) là đa thức bậc 6. • dx dx 1  1 1 I  = = = − 1 ∫ 6x 1 ∫( ∫ 3 x − ) 1 ( 3 x + )  3 3 1 2  x 1 x 1 − − +  2 • xdx 1 dx 1 du I = = → I = 2 ∫ 6x ∫ ∫ −1 2 ( )3 2 3 2 2 u − − 1 x 1 x dx 1 d( 3 2 x ) • 1 du I = = → I = 3 ∫ 6 ∫ 6 3 ∫ 2 x −1 3 x −1 3 u −1 2 x dx 1 x d( 2 3 x ) • 1 udu I = = → I = 4 ∫ 6 ∫ 6 4 ∫ 3 x −1 2 x −1 2 u −1 x dx ( 4 2 x + x + ) 1 + ( 2 4 x − ) 1 − 2 • dx dx dx I = = dx = − − 2 5 ∫ 6x ∫ ∫ ∫ ∫ −1 ( 2x − )1( 4 2 x + x + ) 2 4 2 6 1 x −1 x + x +1 x −1 dx 1 ( 2 x + ) 1 − ( 2 x − ) 2 2 1 Với 1 x +1 1 x −1 K = = dx = dx − dx ∫ 4 2 ∫ 4 2 ∫ 4 2 ∫ 4 2 x + x +1 2 x + x +1 2 x + x +1 2 x + x +1 1 1  1   1  1+ 1− d x −  d x +  2 2 1 x 1 x 1  x  1  x dx dx  = − = − ∫ ∫ ∫ 2 2 ∫ 2 1 2 2 1 2  + + + + 1  2  1 x 1 x 1  − + + − 2 2  x  3  x  1 x x  x   x  1 du 1 dv → K = − ∫ 2 ∫ 2 2 u + 3 2 v −1 B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 A. 4 I + + + + = dx x 1 I = dx 2x 1 I = dx x x 4 I = 1 ∫ B. 2x ∫ C. ∫ D. ∫ −1 2 x −1 3 3− 4x 4 x + 3 Lời giải 4 4 d(2x − ) 1 a) I = dx = = 2ln 2x −1 + C 1 ∫ 2x ∫ −1 2 2x −1 b) x +1 x −1+ 2  2  dx I = dx = dx = 1+ dx = dx + 2 = x + 2ln x −1 + ∫ ∫ ∫  C. 2 x ∫ ∫ −1 x −1  x −1 x −1 1 − ( − ) 5 3 4x + +   c) 2x 1 2 2 1 5 1 5 dx I = dx = dx = ∫ ∫ ∫− + dx = − x + = 3 3 4x 3 4x  2 2 ∫  (3 4x)  − − − 2 2 3− 4x  1 5 d(3− 4x) 1 5 1 5 = − x −
= − x − ln 3− 4x + C → I = − x − ln 3− 4x + C ∫ 3 2 8 3− 4x 2 8 2 8 2 2 x + x + 4  10  d x + 3 d) x I = = x − 2 + dx = x − 2 dx +10 = − 2x +10ln x + 3 + ∫ ∫  C. 4 ∫( ) ( ) x ∫ + 3  x + 3  x + 3 2
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3 3 2 A. x − x + 7 I + + + = dx 3x 3x x 2 I = dx 5 ∫ B. 2x ∫ + 5 6 x −1 4 2 C. 4x + 3x + x + 2 I = dx 7 ∫ 2x +1 Lời giải 49 3
a) Chia tử số cho mẫu số ta được x − x + 7 1 2 5 21 8 = x − x + − 2x + 5 2 4 8 2x + 5  49  3 − +   Khi đó: x x 7 1 2 5 21 8  1 2 5 21 49 dx I = dx = ∫ ∫ x − x + −
dx = ∫ x − x + dx − 5 2x ∫ + 5 2 4 8 2x + 5    2 4 8  8 2x + 5   3 2 1 x 5 x 21 49 ( + ) 3 2 d 2x 5 x 5x 21x 49 = . − . + x − = − + − ln 2x + 5 + C. 2 3 4 2 8 16 ∫ 2x + 5 6 8 8 16 3 2 b) Ta có 3x + 3x + x + 2  2 9  3 2 I = dx = 3x + 6x + 7 +
dx = x + 3x + 7x + 9ln x −1 + ∫ ∫  C. 6 x −1  x −1 5 4 2
c) Chia tử số cho mẫu số ta được 4x + 3x + x + 2 2 2 1 2 = 2x − x + 2x − + 2x +1 2 2x +1  5  4 2 4x + 3x + x + 2   3 2 1 2  3 2 1  5 dx I = dx = ∫ ∫2x − x + 2x − + d
 x = ∫2x − x + 2x − d  x + 7 2x ∫ +1 2 2x +1  2  2 2x +1     4 3 x x 1 5 d(2x + ) 4 3 1 2 x x 2 1 5 = 2. − + x − x + = − + x − x + ln 2x +1 + C 4 3 2 4 ∫ 2x +1 2 3 2 4
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: A. dx I + + = dx 2dx I = 2x 3 I = dx 3x 4 I = dx 1 ∫ B. 2 x ∫ C. ∫ D. ∫ − 2x − 3 2 2 3x − + 4x −1 3 2 x − 3x − 4 4 2 5x + 6x +1 Lời giải dx dx 1 (x + ) 1 − (x −3) a) 1  dx dx  1 x − 3 I = dx = = dx = − = ln + ∫ ∫ ∫  ∫ ∫  C 1 2 x − 2x − 3
(x + )1(x −3) 4 (x + )1(x −3) 4  x − 3 x +1 4 x +1 2dx dx dx 2 − (3x − )1−3(x − )1 b) Ta có I = = 2 − = 2 − = dx 2 ∫ 2 ∫ 2 3 ∫ ∫ − x + 4x −1 3x − 4x +1 (x − )1(3x − )1 4 (x − )1(3x − )1 1  dx dx  1 1 d(3x − ) 1 1 1 1 3x −1 = − − 3 = − ln x −1 +
= − ln x −1 + ln 3x −1 + C = ln +  ∫ ∫  C. 2 ∫  x −1 3x −1 2 2 3x −1 2 2 2 x −1 c) 2x + 3 I = dx 3 ∫ 2 x − 3x − 4 Cách 1:
Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x 2x + 3 2x + 3 A B = 1 − và x = 4, khi đó = = + 2 x − 3x − 4 (x + ) 1 (x − 4) x +1 x − 4  1 A 2 = A + B = −  Đồng nhất ta được + ≡ ( − ) + ( + )  5 2x 3 A x 4 B x 1 →  ↔ 3  4A B  = − + 11 B =  5  1 11  2x + 3 −  5 5  1 dx 11 dx 1 11 ⇒ I = dx = ∫ ∫ + dx = − +
= − ln x +1 + ln x − 4 + C. 3 2 x ∫ ∫ − 3x − 4 x +1 x − 4 5 x +1 5 x − 4 5 5     Vậy 1 11
I = − ln x +1 + ln x − 4 + C 3 5 5 Cách 2:
Do mẫu số có đạo hàm là 2x – 3 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: 2x + 3 2x − 3+ 6 (2x −3)dx dx d( 2 x − 3x − 4) dx I = dx = dx = + 6 = + 6 3 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 x ∫ − 3x − 4 x − 3x − 4 x − 3x − 4 x − 3x − 4 x − 3x − 4 (x + )1(x − 4) 6 x +1 − x − 4 2 ( ) ( ) 2 6  dx dx  2 6 x − 4 = ln x − 3x − 4 + ∫ ( ∫ ∫
+ )( − ) dx = ln x − 3x − 4 + − = ln x − 3x − 4 + ln +   C 5 x 1 x 4 5  x − 4 x +1 5 x +1 Nhận xét:
Nhìn hai cách giải, thoạt nhìn chúng ta lầm tưởng là bài toán ra hai đáp số. Nhưng, chỉ bằng một vài
phép biến đổi logarit đơn giản ta có ngay cùng kết quả.
Thật vậy, thao cách 2 ta có: 2 6 x − 4 6 6 1 11 ln x − 3x − 4 + ln
= ln x − 4 + ln x +1 + ln x − 4 − ln x +1 + C = − ln x +1 + ln x − 4 . 5 x +1 5 5 5 5
Rõ ràng, chúng ta thấy ngay ưu điểm của cách 2 là không phải đồng nhất, và cùng không cần đến giấy
nháp ta có thể giải quyết nhanh gọn bài toán, và đó là điều mà tôi mong muốn các bạn thực hiện được! d) 3x + 4 3x + 4 I = dx = dx 4 ∫ 2 5x ∫ + 6x +1 (x + )1(5x + )1  Cách 1:  1 A = − 3x + 4 A B 3  = 5A + B  4 ( = + → + ≡ + + + ↔  → x + ) 1 (5x + ) 3x 4 A(5x ) 1 B(x ) 1 1 x +1 5x +1 4 A B  = + 17 B =  4 +   Từ đó 3x 4 1 17 1 dx 17 dx I = dx = ∫ ∫− + dx = − + 4 (x )1(5x 6)  4 ∫ ∫  (x )1 4(5x )1  + + + + 4 x +1 4 5x +1  1 17 → I = − ln x +1 + ln 5x +1 + C 4 4 20  Cách 2:
Do mẫu số có đạo hàm là 10x + 6 nên ta sẽ phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu như sau: 3 ( + ) 22 10x 6 3x + 4 + 10 10 3 (10x + 6) 22 dx I = dx = dx = dx + 4 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 5x + 6x +1 5x + 6x +1 10 5x + 6x +1 10 5x + 6x +1 3 d( 2 5x + 6x + ) 1 22 dx 3 22 5x +1 − 5 x +1 2 ( ) ( ) = + = ln 5x + 6x +1 − dx ∫ 2 10 5x ∫ ∫ + 6x +1 10 (5x + ) 1 (x + ) 1 10 40 (5x + )1(x + )1 3 2 22  dx 5x  3 2 11 x +1 = ln 5x + 6x +1 − − = ln 5x + 6x +1 − ln +  ∫ ∫  C. 10 40  x +1 5x +1 10 20 5x +1
Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3 A. 4x + 2x −1 I − = dx 5 x I = dx 5 ∫ B. 2 x ∫ −1 6 2 3− 2x − x Lời giải 3
Do tử số có bậc lớn hơn mẫu nên chia đa thức ta được 4x + 2x −1  6x −1 I dx 4x  = = + ∫ ∫ dx 5 2 2 x −1  x −1   7 A = 6x −1 6x −1 A B 6 = A + B  Mà  2 = = +
⇒ 6x −1 ≡ A x −1 + B x +1 ⇔  ⇔ 2 x −1 (x − ) 1 (x + ) ( ) ( ) 1 x +1 x −1  1 A B  − = − + 5 B =  2  7 5  2 7 5 → I = ∫4x + +
dx = 2x + ln x +1 + ln x −1 + C 5  2  (x )1 2(x )1  + − 2 2  b) Ta có: 5 − x x − 5 x − 5 A B = = = +
→ x − 5 ≡ A x + 3 + B x −1 2 2 3− 2x − x x + 2x − 3 (x − ) 1 (x + 3) ( ) ( ) x −1 x + 3 1  = A + B A = 1 − 5 − x  1 − 2  dx dx →  ⇔  → I = dx = + ∫ ∫ dx = − +  2 6 2 ∫ ∫  5 − = 3A − B B = 2 3− 2x − x  x −1 x + 3  x −1 x + 3 (x −3)2 (x −3)2
= −ln x −1 + 2ln x + 3 + C = ln + C → I = ln + C . 6 x −1 x −1
Ví dụ 5: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: A. 2dx I = dx I = dx I = 1 ∫ B. 2 x ∫ C. ∫ − 2x +1 2 2 6x + 9x +1 3 2 25x −10x +1 Lời giải 2dx dx d(x − ) 1 a) 2 2 I = = 2 = 2 = − + C → I = − + C 1 ∫ 2x ∫ ∫ − 2x +1 (x − )2 1 (x − )2 1 1 x −1 x −1 dx dx 1 d(3x + ) 1 b) 1 1 I = = = = − + C → I = − + C. 2 ∫ 2 6x ∫ ∫ + 9x +1 (3x + )2 1 3 (3x + )2 1 3(3x + ) 2 1 3(3x + ) 1 dx dx 1 d(5x − ) 1 c) 1 1 I = = = = − + C → I = − + C 3 ∫ 2 25x ∫ ∫ −10x +1 (5x − )2 1 5 (5x − )2 1 5(5x − ) 3 1 5(5x − ) 1
Ví dụ 6: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 a. 2x −1 I − − = dx 4x 3 I = dx 1 5x I = dx 4 ∫ b. 2 4x ∫ c. ∫ + 4x +1 5 2 4x +12x + 9 6 2 9x − 24x +16 Lời giải a) 2x −1 2x −1 I = dx = dx 4 ∫ 2 4x ∫ + 4x +1 (2x + )2 1  Cách 1: 2x = t −1 Đặt 2x −1 t − 2 dt 1  dt 2dt  1 1 t = 2x +1→  → I = dx = = − = ∫ ∫  ∫ ∫  ln t + +C 4 dt = 2dx (2x + )2 2 2 1 t 2 2  t t  2 t 1 1 → I = ln 2x +1 + + C . 4 2 2x +1  Cách 2: 1 (8x +4)−2 2x −1 4 1 (8x + 4) dx I = dx = dx = dx − 2 4 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 4x ∫ + 4x +1 4x + 4x +1 4 4x + 4x +1 (2x + )2 1 1 d( 2 4x + 4x + ) 1 d(2x + ) 1 1 d( 2 4x + 4x + ) 1 d(2x + ) 1 = = − = − ∫ 2 4 4x ∫ ∫ ∫ + 4x +1 (2x + )2 2 1 4 4x + 4x +1 (2x + )2 1 1 2 1 1 1 = ln 4x + 4x +1 + + C = ln 2x +1 + + C 4 2x +1 2 2x +1 2 4x − 3  12x +12  dx d(2x + 3) b) 6 I = dx = 1− dx −12 = x − 6 = x + + ∫ ∫  C 5 2 2 4x ∫ ∫ +12x + 9  4x +12x + 9  (2x +3)2 (2x +3)2 2x + 3 c) 1− 5x 1− 5x I = dx = dx 6 ∫ 2 9x ∫ − 24x +16 (3x − 4)2  Cách 1: 5(t + 4)  t + 4 1 x − = Đặt 1− 5x 3 dt 1 5t +17 t = 3x − 4 →  3 → I = dx = = − dt 6 ∫ ∫ ∫  (3x − 4)2 2 2 t 3 9 t dt = 3dx 1  17  1  17  5 17 = − 5ln t − + C → I = − 5ln 3x − 4 − + C = − ln 3x − 4 + +     C 6 9  t  9  3x − 4  9 9(3x − 4)  Cách 2: 5 − ( − ) 17 3x 4 1 5x − − 3 3 5 dx 17 dx I = dx = dx = − − = 6 ∫ ( ∫ ∫ ∫ 3x − 4)2 (3x − 4)2 3 3x − 4 3 (3x − 4)2 5 d(3x − 4) 17 d(3x − 4) 5 17 1 = − ∫ ( ∫ − ) − = − ln 3x − 4 + . + C 9 3x 4 9 (3x − 4)2 9 9 3x − 4 5 17 → I = − ln 3x − 4 + + C 6 9 9(3x − 4)
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a. dx I = dx I = dx I = 1 ∫ b. 2 x ∫ c. ∫ + 2x + 3 2 2 4x + 4x + 2 3 2 9x + 24x + 20 Lời giải dx dx d(x + ) 1 a) 1  x +1 I arctan  = = = = + ∫ ∫ ∫   C 1 2 x + 2x + 3 (x + )2 1 + 2 (x + )2 1 + ( 2)2 2  2  dx dx 1 d(2x + ) 1 b) 1 I = = = = arctan 2x +1 + C 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ( ) 4x + 4x + 2 (2x + )1 +1 2 (2x + ) 2 1 +1 2 dx dx d(3x + 4) c) 1  3x + 4 I a rctan  = = = = + ∫ ∫ ∫   C 3 2 9x + 24x + 20 (3x + 4)2 + 4 (3x + 4)2 2 + 2 2  2 
Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 4 a. 3x + 5 I − − = dx 4x 1 I = dx 2x x I = dx 4 ∫ b. 2 2x ∫ c. ∫ + x +10 5 2 6x + 9x + 4 6 2 x + 2x + 7 Lời giải 3 ( + ) 17 4x 1 3x + 5 + 4 4 3 (4x + ) 1 dx a) 17 dx I = dx = dx = + 4 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 2x + x +10 2x + x +10 4 2x + x +10 4 2x + x +10 3 d( 2 2x + x +10) 17 dx 3 17 dx = + = ln 2x + x +10 + ∫ 2 ∫ ( 2 ) ∫ 2 4 2x + x +10 8 2 x 4 8  1  + + 79 x 5 x 2 + +  4    16  1 d x  + 3  = ln ( 2 2x + x +10) 17  4  3 + = ln ∫ ( 2 17 4  4x +1 2x + x +10 + . arc tan  +   C 2 ) 2 4 8     4 8 79  79 1 79   x + +  4    4    Vậy 3 ( 2 17  4x +1 I ln 2x x 10 arctan  = + + + +   C 4 ) 4 2 79  79  1 (12x +9)−4 4x −1 3 1 (12x + 9)dx b) dx I = dx = dx = dx − 4 5 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 6x + 9x + 4 6x + 9x + 4 3 6x + 9x + 4 6x + 9x + 4 1 d( 2 6x + 9x + 4) dx 1 4 d 3x +1 = dx − 4 = ln 6x + 9x + 4 − ∫ 2 ∫ ( 2 2 ) ( ) 3 6x ∫ + 9x + 4 (3x + )1 +3 3 3 (3x + )2 1 + ( 3)2 1 ( 2 ) 4 1  3x +1 ln 6x 9x 4 . arctan  = + + − +   C 3 3 3  3  1 ( 2 4  3x +1 I ln 6x 9x 4 arctan  ⇒ = + + − +   C 5 ) 3 3 3  3  4 3 c) 2x − x  2 25x − 7  2x 2 25x − 7 I = dx = 2x − 4x +1+ dx = − 2x + x + ∫ ∫  dx 6 2 2 ∫ 2 x + 2x + 7  x + 2x + 7  3 x + 2x + 7 25 (2x +2)−32 25x − 7 2 25 (2x + 2)dx Đặt dx J = dx = dx = dx − 32 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 ∫ 2 x + 2x + 7 x + 2x + 7 2 x + 2x + 7 x + 2x + 7 25 d( 2 x + 2x + 7) dx 25 d(x +1) = − = ln x + 2x + 7 − 32 ∫ 2 ∫ ( 2 2 ) 2 x ∫ + 2x + 7 (x + )1 + 6 2 (x + )2 1 + ( 6)2 25 d( 2 x + 2x + 7) 32 x +1 = − arctan ∫ 2 2 x + 2x + 7 6 6 3 2x 2 25 ( 2 32  x +1 I 2x x ln x 2x 7 arctan  ⇒ = − + + + + − +   C 6 ) 3 2 6  6  Tổng kết:
Qua ba phần trình bày về hàm phân thức có mẫu số là bậc hai, chúng ta nhận thấy điểm mấu chốt giải
quyết bài toán là xử lý mẫu số. P x   2 + + = ( 1 A B ax bx c a x − x x − x → =  + 1 ) ( 2 ) ( ) 2 ax bx c a x x x x  + + − −  1 2  P(x) Nếu + + = ( + )2 2 2 du 1 u ax bx c mx n + k → = arctan + C 2 ∫ 2 2 ax + bx + c u + α α α + + = ( + )2 2 du 1 ax bx c mx n → = − + C ∫ 2u u
Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 4 2 a. dx I + − − + − = b. 6x x 2 I = dx 3x x 3z 7 I = dx 1 ∫ ( ∫ c. ∫ x − 2)( 2 x − 9) 2 x ( 2 x − ) 1 3 x ( 2 x + x − 2) Lời giải a) dx I = = dx 1 ∫ ( ∫ x − 2)( 2 x − 9) (x − 2)(x +3)(x −3) Ta có 1 A B C = + + ⇒1 ≡ A( 2 x − 9) ( + − − + − + x − 2)(x + 3)(x −3) B(x 2)(x 3) C(x 2)(x 3) x − 2 x + 3 x − 3  1 A = −  5 0 = A + B + C    1 ⇔ 0 = 5B − + C ⇔ B = 30 1  9A 6B 6C  = − + −   1 C =  6 Nhận xét:
Ngoài cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể biến đổi cách khác như sau mà không mất nhiều thời
gian cho việc tính toán. Suy nghĩ: dx 1 (x +3)−(x −3) 1 dx 1 dx I = = dx = dx − 1 ∫ (x ∫ ∫ ∫
− 2)(x + 3)(x − 3) 6 (x − 2)(x + 3)(x − 3) 6 (x − 2)(x −3) 6 (x − 2)(x + 3)
Đến đây, bài toán trở về các dạng biến đổi đơn giản đã xét đến! 2 2 b) 6x + x − 2 6x + x − 2 I = dx = dx 2 ∫ ∫ x ( 2 x − ) 1 x (x + ) 1 (x − ) 1  Cách 1: 2 Ta có 6x + x − 2 A B C 2 = + + → 6x + x − 2 ≡ A( 2 x − ) ( + )( − ) 1 + Bx (x − ) 1 + Cx (x + ) 1 x x 1 x 1 x x +1 x −1  A = 2 6 = A + B + C  3 5     3  2 2 2  3 5 ⇔ 1  = −B + C ⇔ B = → I = ∫ + +
dx = 2ln x + ln x +1 + ln x −1 + C 2 2 x x +1 x −1 2 2  2 A    − = −   5   C +  2  Cách 2: 6x + x − 2 2( 2 3x − ) 1 + (x − ) 1 +1 ( 2 2 3x − ) 1 dx (x − )1dx dx I = dx = dx = 2 dx + + = 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x ( 2 x − ) 3 3 3 3 1 x − x x − x x − x x − x d( 3 x − x) dx dx 3 = 2 dx + + = 2ln x − x + J + K ∫ 3x ∫ ∫ − x x (x + ) 1 x (x − ) 1 (x + ) 1 dx (x + )1− x  1 1  x J = ∫ ( ∫ ∫ + ) = ( + ) dx = − dx = ln x − ln x +1 =   ln x x 1 x x 1  x x +1 x +1 dx (x + )1− x dx dx K = ∫ ( ∫ ∫ ∫ − )( + ) = ( − )( + ) dx = − = x x 1 x 1 x x 1 x 1 x (x − ) 1 (x + )1(x − )1 x − (x − ) 1 1 (x + ) 1 − (x − ) 1 x − (x − ) 1 1 (x + ) 1 − (x − ) 1
= ∫ ( ) dx− ∫ ( )( ) dx = ∫ ( ) dx− ∫ − + − − ( + )( − ) dx x x 1 2 x 1 x 1 x x 1 2 x 1 x 1  1 1  1  1 1  x −1 1 x −1 = − dx − − dx = ln − ∫  ∫  ln  x −1 x  2  x −1 x +1 x 2 x +1 Từ đó ta được 3 x x −1 1 x −1 I = 2ln x − x + ln + ln − ln + C 2 x +1 x 2 x +1
Nhận xét: Cách phân tích như trên vẫn chưa thực sự tối ưu, xin dành cho các bạn đọc! 4 2  2  2 c) 3x − x + 3x − 7 8x − 3x + 7 3x I = dx = 3x − 3  dx = − 3x + J 3 ∫ ∫ x ( 2 x + x − 2)  x  ( 2x + x −2) 2  2 2 Với 8x − 3x + 7 8x − 3x + 7 J = = ∫ ∫ x ( dx dx 2 x + x − 2) x (x − ) 1 (x + 2) 2 Ta có: 8x − 3x + 7 A B C 2 ( − )( + ) = + +
→ 8x − 3x + 7 ≡ A(x − )
1 (x + 2) + Bx (x + 2) + Cx (x − ) 1 x x 1 x 2 x x −1 x + 2  7 A 8  = A + B + C = −  2   7 15 ⇔  3
− = A + 2B − C ⇔ B = 4 ⇒ J = − ln x + 4ln x −1 + ln x + 2 + C. 2 2 7 2A  = −  15 C =  2 2 Vậy 3x 7 15 I = − 3x − ln x + 4ln x −1 + ln x + 2 + C 3 2 2 2
Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm: 4x +1 I = dx ∫ 2x + 3
A. I = 2x − ln 2x + 3 + C B. 1 I = 2x − ln 2x + 3 + C 2 C. 1 I = x − ln 2x + 3 + C
D. I = x − ln 2x + 3 + C 2 Lời giải 4x +1 2(2x + ) 1 −1 Ta có: dx 1 I = dx = dx = 2dx − = 2x − ln 2x + 3 + C. ∫ 2x ∫ ∫ ∫ Chọn B. + 3 2x + 3 2x + 3 2 2
Ví dụ 11: Tính nguyên hàm: 3x + 2x +1 I = dx ∫ x +1 A. 3 2 I = x + x + ln x +1 + C B. 3 2 I = x − x − 2ln x +1 + C 2 2 C. 3 2 I = x − 2x + ln x +1 + C D. 3 2 I = x − x + 2ln x +1 + C 2 2 Lời giải 2 3x + 2x +1 3x (x + ) 1 − (x + ) 1 + 2 Ta có: 2 = = 3x −1+ x +1 x +1 x +1 Khi đó 3 2
I = x − x + 2ln x +1 + C. Chọn D. 2
Ví dụ 12: Tính nguyên hàm: dx I = . ∫ 2 2x + x −1 1 ( − )2 2x 1 A. 1 2x −1 I − − = ln + C B. 2x 1 I = ln + C C. 2 2x 1 I = ln + C D. I = ln + C 3 x +1 x +1 3 x +1 3 x +1 Lời giải dx dx 1 2(x + ) 1 − (2x − ) 1 Ta có: I = = = dx ∫ 2 2x ∫ ∫ + x −1
(2x − )1(x + )1 3 (2x − )1(x + )1 1  2 1  1 2dx 1 dx 1 1 1 2x −1 = − dx = −
= ln 2x −1 − ln x +1 + C = ln + ∫  C 3 ∫ ∫ . Chọn A.  2x −1 x +1 3 2x −1 3 x +1 3 3 3 x +1
Ví dụ 13: Tính nguyên hàm: x − 5 I = dx. ∫ 2 x −1 (x + )3 1 (x + )2 1 A. 3 x +1 I − = ln + C B. 3 x 1 I = ln + C C. I = ln + C D. I = ln + C 2 x −1 2 x +1 (x − )2 1 (x − )3 1 Lời giải x − 5 A B (A + B)x + A − B Ta có: = + = 2 2 x −1 x −1 x +1 x −1 A + B =1 A = 2 −
Đồng nhất 2 vế ta có:  ⇔ A B 5  − = − B = 3  3 2  (x + )3 1 Suy ra I = −
dx = 3ln x +1 − 2ln x −1 + C = ln + ∫  C. Chọn C.  x +1 x −1 (x − )2 1
Ví dụ 14: Tính nguyên hàm: 2x +1 I = dx ∫ (3x + 2)2 A. 2 5 1 I = ln 3x + 2 − . + C. B. 2 1 1 I = ln 3x + 2 + . + C 3 9 3x + 2 3 3 3x + 2 C. 2 1 1 I = ln 3x + 2 + . + C D. 2 1 1 I = ln 3x + 2 + . + C 3 9 3x + 2 9 9 3x + 2 Lời giải 2 ( + ) 1 3x 2 − Ta có: 2x +1 3 3 2 dx 1 dx I = dx = dx = − ∫ ( ∫ ∫ ∫ 3x + 2)2 (3x + 2)2 3 3x + 2 3 (3x + 2)2 2 1 1 = ln 3x + 2 + . + C. Chọn D. 9 9 3x + 2 (2x +3)dx
Ví dụ 15: Tính nguyên hàm: I = . ∫ 2 4x − 4x +1 A. 2 I = − ln 2x −1 + C. B. 2 I = + 2ln 2x −1 + C. 1− 2x 2 − 4x C. 2 1 I = + ln 2x −1 + C. D. 2 1 I = + ln 2x −1 + C. 2x −1 2 1− 2x 2 Lời giải (2x +3)dx Ta có: 2x + 3 2x −1+ 4 1 4 = = = + 2 4x − 4x +1 (2x − )2 1 (2x − )2 1 2x −1 (2x − )2 1 Khi đó 4dx dx 2 − 1 I = + = + ln 2x −1 + C. ∫ ( ∫ Chọn D. 2x − )2 1 2x −1 2x −1 2
Ví dụ 16: Tính nguyên hàm: 4x + 3 I = dx. ∫ 2 x + 2x + 2 A. = ( 2
I 2ln x + 2x + 2) − arctan(x + ) 1 + C B. = ( 2
I 2ln x + 2x + 2) + arctan(x + ) 1 + C C. = ( 2
I ln x + 2x + 2) − arctan(x + ) 1 + C D. = ( 2
I ln x + 2x + 2) + arctan(x + ) 1 + C Lời giải 4x + 3 2(2x + 2) −1 Ta có: I = dx = dx ∫ 2x ∫ + 2x + 2 (x + )2 1 +1 2d( 2 x + 2x + 2) 1 2 = −
= 2ln x + 2x + 2 − arctan x +1 + C ∫ 2 ∫ . 2 ( ) x + 2x + 2 (x + )1 +1 = ( 2
2ln x + 2x + 2) − arctan(x + ) 1 + C. Chọn A.
Ví dụ 17: Tính nguyên hàm: dx I = ∫ 3 x − x A. 2 1 I = ln x −1 − ln x + C B. 1 2 I = ln x −1 − 2ln x + C 2 2 C. 2 I = ln x −1 − ln x + C D. 1 2 I = ln x −1 − ln x + C 2 Lời giải Ta có: dx dx x +1− x I = = = dx ∫ 3x ∫ ∫ − x x (x + ) 1 (x − ) 1 x (x + ) 1 (x − ) 1 dx dx  1 1  1  1 1  = ∫ ( ∫ ∫ ∫ − ) − ( − )( + ) = − dx − −    dx x 1 x x 1 x 1  x −1 x  2  x −1 x +1 x −1 1 x −1 1 2 = ln − ln
+ C = ln x −1 − ln x + C. Chọn D. x 2 x +1 2
Ví dụ 18: Tính nguyên hàm: dx I = ∫ 3 x − 3x + 2 A. 1 1 x −1 I − = 1 1 x 1 ( B. I = − − ln + C − ) − ln + C 3 x 1 9 x + 2 3(x − ) 1 9 x + 2 C. 1 1 x −1 I − = − 1 1 x 1 ( D. I = − ln + C − ) − ln + C 3 x 1 3 x + 2 3(x − ) 1 3 x + 2 Lời giải dx 1 (x + 2) − (x − ) 1 Ta có: I = = dx ∫ ( ∫ x − )2 1 (x + 2) 3 (x − )2 1 (x + 2) 1 dx 1 dx 1 − 1  1 1  = − = − − ∫ ∫ ∫ dx 3 (x − )2 1 3 (x − ) 1 (x + 2) 3(x − ) 1 9  x −1 x + 2  1 1 x −1 = − ( Chọn B. − ) − ln + C. 3 x 1 9 x + 2 2
Ví dụ 19: Tính nguyên hàm: 3x + 2 I = dx ∫ 4 x − 4 A. 1 x − 2 x I − = ln + arctan + C. B. x 2 x I = ln + arctan + C. 2 x + 2 2 x + 2 2 C. x − 2 1 x I − = ln + arctan + C. D. 1 x 2 1 x I = ln + arctan + C. x + 2 2 2 2 x + 2 2 2 Lời giải 2 3x + 2 A( 2 x + 2) + B( 2 x − 2) (A + B) 2 x + 2A − 2B Ta có: = = 4 x − 4 ( 2x −2)( 2x +2) ( 2x −x)( 2x +2) A + B = 3 A = 2
Đồng nhất 2 vế ta có:  ⇔ 2A 2B 2  − = B = 1 Khi đó 2dx dx 1 x − 2 1 x I = + = ln + arctan + C. ∫ 2 ∫ Chọn D. 2 x − 2 x + 2 2 x + 2 2 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2
Câu 1: Tìm nguyên hàm 2x + 3x + 4 I = dx. ∫ x +1 A. 2 I = x − 3ln x +1 + C. B. 2 I = x + 3ln x +1 + C. C. 2
I = x + x − 3ln x +1 + C. D. 2
I = x + x + 3ln x +1 + C. 3
Câu 2: Tìm nguyên hàm x I = dx ∫ x +1 3 2 3 2 A. x x I = + + x − ln x +1 + C B. x x I = + + x + ln x +1 + C 3 2 3 2 3 2 3 2 C. x x I = − + x − ln x +1 + C D. x x I = − + x + ln x +1 + C 3 2 3 2 3 2
Câu 3: Tìm nguyên hàm x + 2x − x I = dx. ∫ x +1 3 2 3 2 A. x x − − 2x + 2ln x +1 + C B. x x + − 2x + 2ln x +1 + C 3 2 3 2 3 2 3 2 C. x x − + 2x + 2ln x +1 + C D. x x +
− 2x − 2ln x +1 + C 3 2 3 2 2
Câu 4: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) x f x = thỏa F( ) 1 = ln 2. 2 x + 3x + 2
A. F(x) = x + ln x +1 − 4ln x + 2 + 4ln3−1
B. F(x) = x + ln x +1 − 4ln x + 2 + 4ln3+1
C. F(x) = x + ln x +1 + 4ln x + 2 + 4ln3+1
D. F(x) = x + ln x +1 + 4ln x + 2 + 4ln3−1 2
Câu 5: Tìm một nguyên hàm của hàm số ( ) x − 5x f x = thỏa F(4) = 6ln 2. 2 x − 5x + 6 A. ( ) x − 3 F x − = x − 6ln − 4 B. ( ) x 3 F x = x − 6ln + 4 x − 2 x − 2 C. ( ) x − 2 F x − = x − 6ln + 4 D. ( ) x 2 F x = x − 6ln − 4 x − 3 x − 3 Câu 6: Hàm số ( ) 5x +11 f x =
có một nguyên hàm F(x) thỏa F(3) = 3ln8. Tìm F( 6−) e . 2 x + 3x −10 A. F( 6−) e = 64 B. F( 6−) e = 512 C. F( 6−) e = 4096 D. F( 6−) e = 32768 Câu 7: Hàm số ( ) 9x −10 f x =
có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F( ) 1 = ln 2. Gọi x 2 6x −11x + 3 1, x2 là hai
nghiệm của phương trình ( ) 1
F x = ln 3x −1 + ln 3. Tính 1x x2 3 + 3 . 2 A. 1x x2 3 + 3 = 28 B. 1x x2 3 + 3 = 4 C. 1x x 730 2 3 + 3 = D. 1x x 82 2 3 + 3 = 27 27 2
Câu 8: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) x f x = thỏa F(5) = 5. 2 x − 7x +12
A. F(x) = x +16ln x − 4 −9ln x −3 −9ln 2
B. F(x) = x −16ln x − 4 + 9ln x −3 + 9ln 2
C. F(x) = x +16ln x − 4 −9ln x −3 + 9ln 2
D. F(x) = x −16ln x − 4 + 9ln x −3 −9ln 2
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1 f x =
; giả sử hàm số xác định. 2 x + (a + b)x + ab A. ∫ ( ) x + b f x dx + = ln + C B. ∫ ( ) 1 x a f x dx = ln + C x + a b − a x + b C. ∫ ( ) x + a f x dx + = ln + C D. ∫ ( ) 1 x b f x dx = ln + C x + b b − a x + a 4 Câu 10: Hàm số ( ) x f x =
có một nguyên hàm là F(x) thỏa ( ) 14 F 0 = − . Tính F(2) e . 2 x −1 3 A. F(2) 2 3 e = B. F(2) 3 e = C. F(2) e = 3 D. F(2) 3 e = 3 2 3 Câu 11: Hàm số ( ) 2x −1 f x =
có một nguyên hàm là F(x) thỏa ( ) 10ln 2 F 2 = . Tính F(− )1 e . 2 x + x − 2 3 A. F(− )1 3 5 e = 2 B. F(− )1 3 e = ln 2 C. F(− )1 3 e = 2 D. F(− )1 3 5 e = 4 Câu 12: Hàm số 5x + 3 y =
có một nguyên hàm F(x) thỏa F( 2 − ) =18ln 2. Tìm F( 5 − ). 2 x + 7x +12 A. F( 5 − ) = 3 − 3ln 2 B. F( 5 − ) = 2 − 1ln 2 C. F( 5 − ) = 1 − 7ln 2 D. F( 5 − ) = 1 − 1ln 2 3
Câu 13: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) −x + 5x + 2 f x = thỏa mãn ( ) 3 F 1 = . 2 4 − x 2 3 3 A. ( ) x F x = + ln x − 2 −1 B. ( ) x F x = − ln x − 2 −1 3 3 2 2 C. ( ) x + 2 F x = − ln 2 − x D. ( ) x F x = − ln 2 − x +1 2 2 Câu 14: Hàm số ( ) 1 f x =
có một nguyên hàm là F(x) thỏa mãn F(4) =1− ln 2. Phương trình 2 x − 5x + 6 F(x) =1 có nghiệm a
x = ; với a là phân số tối giản. Tìm a + b. b b A. a + b = 2 − B. a + b = 5 C. a + b = 7 D. a + b = 9
Câu 15: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) x f x = −
; biết rằng đồ thị của hàm số y = F(x) đi (x + )2 1 qua gốc tọa độ O. A. ( ) x F x = − ln x +1 B. ( ) 1 x F x = − − ln x +1 x +1 2 x +1 C. ( ) 1 F x = − + ln x +1 +1 D. ( ) x F x = + ln x +1 x +1 x +1 Câu 16: Hàm số ( ) 1 f x =
có một nguyên hàm là F(x) thỏa F( ) 1 = ln 2. Tính F( 2 − ). 2 x (x + ) 1 A. (− ) 5 1 F 2 = − ln B. (− ) 5 F 2 = − ln 2 2 2 2 C. (− ) 3 1 F 2 = − ln D. (− ) 3 F 2 = − ln 2 2 2 2
Câu 17: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) x −1 f x =
, biết đồ thị hàm số y = F(x) đi qua điểm 2 x  1 M e;2  +  . e    A. ( ) 1 F x = ln x − + 2 B. ( ) 1 F x = ln x + +1 x x C. ( ) 1 F x = ln x + − 2 D. ( ) 2 F x = ln x − ln x +1 x 2
Câu 18: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số ( ) x + 2x −1 f x =
, biết rằng đồ thị hàm số y = F(x) cắt 2 x + 2x +1
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. A. ( ) 2 F x = x + − 2 B. ( ) 2 F x = x + + 2 x +1 x +1 C. ( ) = − ( + )2 F x x 2ln x 1 D. ( ) 2 F x = x − + 2 x +1 3 2
Câu 19: Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x + 3x + 3x −1 f x = và thỏa ( ) 1 F 1 = . Xác định hàm 2 x + 2x +1 3 số F(x). 2 2 A. ( ) x 2 13 F x = + x + + B. ( ) x 1 11 F x = + x + + 2 x +1 6 2 x +1 6 2 2 C. ( ) x 2 13 F x = + x + − D. ( ) x 2 11 F x = + x + − 2 x +1 6 2 x +1 6
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 2x + 3x + 4 2x (x + ) 1 + (x + ) 1 + 3 Câu 1: 3 2 = = 2x +1+
⇒ I = x + x + 3ln x +1 + C. Chọn D. x +1 x +1 x +1 3 3 3 2 Câu 2: x x +1−1 2 1 x x = = x − x +1− ⇒ I = −
+ x − ln x +1 + C. Chọn C. x +1 x +1 x +1 3 2 x + 2x − x ( 3 2 x + x ) + ( 2 3 2 x + x) − 2(x + ) 1 + 2 Câu 3: 2 2 = = x + x − 2 + x +1 x +1 x +1 3 2 x x ⇒ I = +
− 2x + 2ln x +1 + C. Chọn B. 3 2 3x + 2 4(x + ) 1 − (x + 2) Câu 4: ( )  4 1 f x 1 
= − ( )( ) =1− ( )( ) =1− − x 1 x 2 x 1 x 2   x 2 x 1 + + + + + +  ⇒ F(x) = f
∫ (x)dx = x −4ln x + 2 +ln x +1 +C ⇒ F( )
1 =1− 4ln 3+ ln 2 + C = ln 2 ⇒ C = 1 − + 4ln 3. Chọn A. Câu 5: ( ) 6  1 1 f x 1  = − ( )( ) =1−6 − x 2 x 3   x 3 x 2  − − − −  ⇒ F(x) = f
∫ (x)dx = x −6ln x −3 +6ln x −2 +C
⇒ F(4) = 4 + 6ln 2 + C = 6ln 2 ⇒ C = 4 − . Chọn A. 5x +11 2(x − 2) + 3(x + 5) Câu 6: ( ) 2 3 f x = ( = = + x − 2)(x + 5) (x − 2)(x +5) x + 5 x − 2
⇒ F(x) = 2ln x + 5 + 3ln x − 2 + C ⇒ F(3) = 2ln8 + C = 3ln8 ⇒ C = ln8 ⇒ F( 6 − ) F( 6 − ) = 3ln8 + ln8 = 4ln8 ⇒ e = 4096. Chọn C. 9x −10 3(2x −3) + (3x − ) 1 Câu 7: ( ) 3 1 f x = ( = = + 2x − 3)(3x − ) 1 (2x −3)(3x − )1 3x −1 2x − 3 ⇒ ( ) 1
F x = ln 3x −1 + ln 2x − 3 + C ⇒ F( )
1 = ln 2 + C = ln 2 ⇒ C = 0. 2  = ⇒ F(x) 1 1 x 3
= ln 3x −1 + ln 2x − 3 = ln 3x −1 + ln 3 ⇒ 2x − 3 = 3 ⇔ ⇒ Chọn A. 2 2  x = 0 7x −12 116(x −3) −9(x − 4) Câu 8: ( ) 16 9 f x =1+ ( − )( − ) =1+ ( − )( − ) = 1+ − x 3 x 4 x 3 x 4 x − 4 x − 3
⇒ F(x) = x +16ln x − 4 − 9ln x − 3 + C ⇒ F(5) = 5 − 9ln 2 + C = 5 ⇒ C = 9ln 2. Chọn C. Câu 9: ( ) 1 1  1 1  1 x + a f x = ( Chọn B. + )( + ) = − ⇒ F(x) = ln +   C. x a x b b − a  x + a x + b  b − a x + b 4 Câu 10: ( ) x −1+1 2 1 2 1  1 1 f x x 1 x 1  = = + + = + + − 2 x 1 (x )1(x )1 2  x 1 x 1 − − + − +  3 ⇒ ( ) x 1 x −1 = + + + ⇒ ( ) 14 F(2) 3 F x x ln C F 0 = C = − ⇒ e = . Chọn D. 3 2 x +1 3 3 5 ( − ) 1 x 1 + (x + 2) Câu 11: f (x) 2x −1 3 3 5 1 = ( − )( + ) =
( − )( + ) ⇒ F(x) = ln x + 2 + ln x −1 + C x 1 x 2 x 1 x 2 3 3 ⇒ F(2) 5 10 F(− ) 1 3 = ln 4 + C = ln 2 ⇒ C = 0 ⇒ e = 2. Chọn C. 3 3 5x + 3 17(x + 3) −12(x + 4) Câu 12: y = ( + )( + ) = ( + )( + )
⇒ F(x) =17ln x + 4 −12ln x + 3 + C x 3 x 4 x 3 x 4 F( 2
− ) =17ln 2 + C =18ln 2 ⇒ C = ln 2 ⇒ F( 5 − ) = 1 − 1ln 2. Chọn D. x − 5x − 2 x ( 2 3 x − 4) 2 − x − 2 Câu 13: ( ) 1 x f x = = = x − ⇒ F x = − ln x − 2 + C 2 2 ( ) x − 4 x − 4 x − 2 2 ⇒ ( ) 1 3
F 1 = + C = ⇒ C =1. Chọn C. 2 2 Câu 14: ( ) 1 x − 3 1 f x = ( − )( − ) ⇒ F(x) = ln
+ C ⇒ F(4) = ln + C =1− ln 2 ⇒ C =1 x 2 x 3 x − 2 2  x − 3 =1  ⇒ F(x) x − 3 x − 3 x − 2 5 = ln +1 =1 ⇔ = 1 ⇔  ⇔ x = . Chọn C. x − 2 x − 2  x − 3 2 = 1 −  x − 2 Câu 15: ( ) x +1−1 1 1 1 f x = − = − + ⇒ F x = −ln x +1 − + C 2 2 ( ) (x + )1 x +1 (x + ) 1 x +1 ⇒ F(0) = 1
− + C = 0 ⇒ C =1. Chọn A. Câu 16: ( ) 1+ x − x 1 1 1 x f x = = − ⇒ F x = − − ln + C 2 x (x + ) 2 1 x x (x + ) ( ) 1 x x +1 ⇒ ( ) 1 = − − + = ⇒ = ⇒ (− ) 3 F 1 1 ln C ln 2
C 1 F 2 = − ln 2. Chọn D. 2 2 Câu 17: ( ) 1 1 1 1 1 f x = −
⇒ F x = ln x + + C ⇒ F e =1+ + C = 2 + ⇒ C =1. Chọn B. 2 ( ) ( ) x x x e e Câu 18: ( ) 2 2 f x =1− ⇒ F x = x +
+ C ⇒ F 1 = 2 + C = 0 ⇒ C = 2. − Chọn A. 2 ( ) ( ) (x + )1 x +1 x ( 2 x + 2x + ) 2 1 + x + 2x +1− 2 Câu 19: ( ) 2 f x = = x +1− 2 x + 2x +1 (x + )2 1 2 ⇒ ( ) x 2 = + + + ⇒ ( ) 5 1 13 F x x C
F 1 = + C = ⇒ C = − . Chọn C. 2 x +1 2 3 6
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1