23 trang 39 lượt tải

Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm từng phần Toán 12

77

Chuyên đề trắc nghiệm nguyên hàm từng phần Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/23
Chủ đề 4: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hai hàm số
( )
u ux=
và
( )
v vx
=
có đạo hàm liên tục trên
K
ta có công thức nguyên hàm từng
phần:
.
udv uv vdu= −
∫∫
Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng
( ) ( )
.,I f x g x dx=
∫
trong đó
( )
fx
và
( )
gx
là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm
số lượng giác, hàm số mũ.
Để tính nguyên hàm
( ) ( )
.f x g x dx
∫
từng phần ta làm như sau:
– Bước 1. Đặt
(trong đó
( )
Gx
là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số
( )
gx
)
– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
(
) ( )
( )
( ) (
) ( )
. . .' .f x g x dx f x G x G x f x dx= −
∫∫
Chú ý: Khi
( ) ( )
.I f x g x dx=
∫
và
( )
fx
và
(
)
gx
là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa
thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt
.u
Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)
Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)
Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt
u
bằng hàm đó. Ví dụ:
• Nếu
( )
fx
là hàm log,
( )
gx
là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt
(
)
( )
.
u fx
dv g x dx
=
=
• Tương tự nếu
( )
fx
là hàm mũ,
( )
gx
là hàm đa thức, ta sẽ đặt
( )
( )
u gx
dv f x dx
=
=
Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp.
Dạng 1:
(
) (
)
ln ,I P x mx n dx
= +
∫
trong đó
(
)
Px
là đa thức.
Theo quy tắc ta đặt
( )
( )
ln
.
u mx n
dv P x dx
= +
=
Dạng 2:
( )
sin
,
cos
x
I P x dx
x

=


∫
trong đó
( )
Px
là đa thức.
Theo quy tắc ta đặt
(
)
.
sin
cos
u Px
x
dv dx
x
=

=


Dạng 3:
( )
,
ax b
I P x e dx
+
=
∫
trong đó
( )
Px
là đa thức
Theo quy tắc ta đặt
( )
.
ax b
u Px
dv a dx
+
=
=
Dạng 4:
sin
.
cos
x
x
I e dx
x

=


∫
Theo quy tắc ta đặt
sin
cos
.
x
x
u
x
dv e dx

=


=
B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
sinI x xdx=
∫
b)
3
2
x
I xe dx=
∫
c)
2
3
cosI x xdx=
∫
d)
4
lnI x xdx=
∫
Lời giải:
a)
1
sinI x xdx=
∫
• Cách 1: Đặt
sin cos
u x du dx
xdx dv v x
= =

← →

= = −

1
sin cos cos cos sin .I xxdxxx xdxxx xC→= =−+ =−++
∫∫
• Cách 2:
( )
1
sin cos cos cos cos sinI x xdx xd x x x xdx x x x C

= =− =− − =− ++

∫∫ ∫
b)
3
2
x
I xe dx=
∫
• Cách 1: Đặt
3
3
1
3
x
x
du dx
ux
ve
e dx dv
=
=
← →

=
=
( )
33333 33
2
11 11 11
3
33 39 39
xxxxx xx
I xe dx xe e dx xe e d x xe e C
→ = = − = − = − +
∫ ∫∫
• Cách 2:
( )
( )
3 3 33 3 3 3 3
2
1 1 11 11
3
3 3 33 33
x x xx x x x x
I xe dx xd e xe e dx xe e d x xe e C


= = = − = − = −+




∫∫ ∫ ∫
c)
2
3
cosI x xdx=
∫
• Cách 1: Đặt
2
2
sin
cos
du xdx
ux
vx
xdx dv
=
=
← →

=
=
Khi đó
22 2
3
cos sin 2 sin sin 2I x xdx x x x xdx x x J==−=−
∫∫
Xét
sin .J x xdx=
∫
Đặt
cos cos cos sin
cos
sin
ux
du dx
Jxx xdxxx x
vx
xdx dv
=
=
→=−+ =−+

= −
= ← →
∫
( )
2
3
sin 2 cos sin .I x x x x xC → = − − + +
• Cách 2:
(
)
( )
2 2 2 22
3
cos sin sin sin sin 2 sinI x xdx x d x x x xd x x x x xdx===−=−
∫∫ ∫ ∫
( )
22 2
sin 2 cos sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2sin .xx xd xxxxx xdxxxxx xC
=+ =+− =+−+
∫∫
d)
4
lnI x xdx=
∫
• Cách 1: Đặt
2 2 22
4
2
ln
ln ln . ln .
2 224
2
dx
du
ux
x x dx x x
x
I x xdx x x C
xdx dv
x
x
v
=
=
← → → = = − = − +

=
=
∫∫
• Cách 2: Ta có:
( )
222 2222
4
ln ln ln ln ln ln .
222 2224
xxx xxdxxx
I x xdx xd x d x x x C
x

= = = − = − = −+


∫∫ ∫ ∫
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
5
ln
I x xdx=
∫
b)
( )
2
6
ln 1I x x dx= +
∫
c)
(
)
2
7
ln 1I x x dx= ++
∫
d)
8
sin
x
I e xdx=
∫
Lời giải:
a)
2
5
ln
I x xdx=
∫
• Cách 1:
Đặt
33 3 3
2
5
23
ln
ln ln . ln .
33 3 9
3
dx
du
ux
x x dx x x
x
I x xdx x C
x
x dx dv x
v
=
=
← → → = = − = − +

=
=
∫∫
• Cách 2:
Ta có
( )
333 3333
2
5
ln ln ln ln ln ln .
333 3339
xxx xxdxxx
I x xdx xd x d x x x C
x

= = = − = − = −+


∫∫ ∫ ∫
b)
( )
2
6
ln 1I x x dx= +
∫
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
22
22 2 2
6
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
22 2
xx x
I x xdx xd x d x

= + = + = +− +



∫∫ ∫
( )
( )
( ) ( ) ( )
22 2 2 2
2 22
2 ln 1
ln 1 . ln 1 ln 1 ln 1
2 21 2 1 2
x
xx x x x
x dx x x dx x J
xx
+
= +− = +− + = +−
++
∫∫
Xét
(
)
( )
( ) ( )
2
2
11
1
ln 1 ln 1 1 ln 1
11 1
x
x
J x dx x dx x x dx
xx x
−+

= += +=−+ +=

++ +

∫∫ ∫
( )
(
) ( )
( )
(
)
( )
( )
2
1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
12
dx x
x xdx x xd x xd x
x

=− +++ =+ −++ +=

+

∫ ∫∫ ∫
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
22 2 2
ln 1 ln 1
12
ln 1 ln 1 ln 1
2 2 2 2 21 2
xx
x x x xx
xx xdx xx dx
x
++
  
−
= − +− − + + = − +− +
  
+
  
∫∫
Xét
22
23
3 3 3ln 1
1 12
xx x
K dx x dx x x
xx
−

= = −+ = − + +

++

∫∫
( )
( )
2
22
ln 1
1
ln 1 3 3ln 1 .
2 22 2
x
xx
J xx x x C
+

→ = − + − − + + + +


Từ đó ta được
( )
( )
( )
22 2
22
6
ln 1 ln 1
1
ln 1 3 3ln 1 .
2 2 22 2
xx x
xx
I xx x x C
++

= − − ++ − + + − +


c)
(
)
2
7
ln 1I x x dx= ++
∫
Ngầm hiểu
(
)
2
ln 1 ;
u x x vx= ++ =
ta có
(
)
(
)
(
)
2
2 22
7
2
1
1
ln 1 ln 1 ln 1
1
x
x
Ixxxxdxxxxx xdx
xx
+
+

= ++ − ++ = ++ −


++
∫∫
(
)
(
)
( )
(
)
2
2 2 22
22
1
1
ln 1 ln 1 ln 1 1 .
2
11
dx
xdx
xx x xx x xx x xC
xx
+
= ++ − = ++ − = ++ −++
++
∫∫
Vậy
(
)
22
7
ln 1 1 .I xx x xC
= ++ −++
d)
8
sin
x
I e xdx=
∫
( )
( )
( )
8
sin sin sin sin sin cos sin cos
x xxx xx x x
I e xdx xd e e x e d x e x e xdx e x xd e== =− =−=−
∫∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )
sin cos sin cos cos sin cos sin
x xxx x xx x
ex xdeexe xed xexe xexdx

=− =−− =−+

∫∫ ∫
8 88
sin cos
sin cos sin cos .
2
xx
x x xx
e xe x
exe xIexe xI I C
−

= − + = − − → = +

Nhận xét: Trong nguyên hàm
8
I
chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong
mỗi vòng ta đều nhất quán đặt
u
là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực
tiếp được.
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:
a)
( )
( )
9
2
ln 1
21
x
I dx
x
−
=
+
∫
b)
( )
( )
10
2
ln 2 1
13
x
I dx
x
+
=
−
∫
c)
2
11
.sin .cosI x x xdx=
∫
d)
( )
2
12
2
2
x
xe
I dx
x
=
+
∫
Lời giải
a) Đặt
( )
( )
( )
2
1
ln 1
1
.
1
1
21
22 1
ux
du dx
x
dv dx
v
x
x
= −
=
−
⇒

−
=

=
+
+
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
9
ln 1
22 1 22 1 1
x
dx
I
x xx
−−
= +
+ +−
∫
( )
( )
( )
( )
ln 1 ln 1
11 2 1 1
ln
221 6 121 221 621
xx
x
dx C
x xx x x
−− −−
−

+− = + +

+ −+ + +

∫
b) Đặt
( )
(
)
(
)
2
1
ln 2 1
21
.
1
1
13
33 1
ux
du dx
x
dv dx
v
x
x
= +
=
+
⇒

−
=

=
−
−
Khi đó:
( )
( )
( )(
)
10
ln 2 1
331 32131
x
dx
I
x xx
−+
= +
− +−
∫
(
)
( )
( )
(
)
ln 2 1 ln 2 1
1 3 2 1 31
ln
331 153121 331 1521
xx
x
dx C
x xx x x
+ −+
−

−+ −= + +

− −+ − +

∫
c) Đặt
3
2
.
cos
sin cos
3
du dx
ux
x
dv x xdx
v
=
=
⇔

−
=
=
Khi đó
3
3
11
cos 1
cos
33
xx
I xdx
−
= +
∫
33
cos 1 cos 3 3cos cos sin 3 sin
3 3 4 3 36 4
xx x x xx x x
dx C
− +−
= + = + ++
∫
d) Đặt
( )
( )
2
2
2
1
2
2
x
x
u xe
du x x e dx
dx
dv
v
x
x
=
= +
⇒

−
=
=

+
+
22 2
12
.
22 2
xx x
x x xx
xe xe xe
I xe dx xe dx xe e C
xx x
−−
⇒=+=+=−+−+
++ +
∫∫
Ví dụ 4: Tính các nguyên hàm sau:
a)
( )
2
13
ln 1I x x dx= +
∫
b)
2
14
tanI x xdx=
∫
c)
( )
22
15
ln 1I x x dx= +
∫
d)
16
sinI x xdx=
∫
Lời giải
a)
(
)
2
13
ln 1 .
I x x dx= +
∫
Đặt
( )
2
2
2
2
ln 1
1
1
2
xdx
du
ux
x
x
xdx dv
v
=
= +

+
⇒

+
=
=
(
)
( )
( )
(
)
(
)
(
)
2 22
22 2
13
2
1 11
2
ln 1 ln 1 ln 1
2 21 2
x xx
x
I x x dx x dx x xdx
x
+ ++
⇒= + = +− = +−
+
∫∫ ∫
( )
( )
(
) (
)
2 2 22
2
2
13
1 1 ln 1
ln 1
22 2
x x xx
x
I xC C
+ + +−
⇒ = + − += +
b)
2
14
22
1
tan 1
cos cos
x
I x xdx x dx xdx dx
xx

= =−=−


∫ ∫ ∫∫
Ta đi tính
2
.
cos
x
J dx
x
=
∫
Đặt
2
1
tan
cos
ux
du dx
vx
dx dv
x
=
=
⇒

=
=
( )
cos
sin
tan tan tan tan tan ln cos
cos cos
dx
xdx
Jxx xdxxx xx xx xC
xx
⇒= − = − = + = + +
∫∫∫
2
14
tan ln cos
2
x
I x x xC⇒=+ + +
c)
( )
22
15
ln 1 .I x x dx= +
∫
Đặt
( )
2
2
3
2
2
ln 1
1
3
xdx
du
ux
x
x
x dx dv
v
=
= +

+
⇒

=

=
( ) ( ) ( )
3 33 4
22 2 2
15
22
22
ln 1 ln 1 . ln 1
3 313 3 1
x xx x x
I x x dx x dx x dx
xx
⇒ = + = +− = +−
++
∫ ∫∫
Ta đi tính
4
2
1
x
K dx
x
=
+
∫
Đặt
2
tan
cos
dt
x t dx
t
= ⇒=
và
43
22
22
13
1 tan 1 arctan
cos 1 3
x xx
x x K dx x C
tx
−
+= += ⇒ = = + +
+
∫
Do đó:
( )
( )
32
3
22
15
ln 1
23
ln 1 arctan
33 3
xx
xx
I x x dx x C
+

−
= += + + +


∫
d)
16
sinI x xdx=
∫
Đặt
16
1
2 2 sin .
2
x t dt xdx dt dx I t tdt=⇒= ⇒ =⇒ =
∫
Đặt
sin cos
u t du dt
tdt dv v t
= =

⇒

= = −

16 16
2 sin 2 cos cos 2 cos 2sin 2 cos 2sinI ttdt tt t tt tCI x x xC

⇒= =− + =− + +⇒=− + +

∫∫
Ví dụ 5: Tính nguyên hàm
( )
ln 2 .I x dx= +
∫
A.
(
)
ln 2 .
I x x xC
= + −+
B.
(
) (
)
2 ln 2 .
I x x xC= + + −+
C.
(
)
1
ln 2 .
2
Ix x C
x
= ++ +
+
D.
(
)
1
ln 2 .
2
Ix x C
x
= +− +
+
Lời giải:
Đặt
( )
ln 2
2
2
dx
ux
du
x
dv dx
vx
= +
=

⇒
+

=
= +
(Ta có thể chọn
; 1...,vxvx= = +
tuy nhiên ta nên chọn
2vx
= +
để
tính toán dễ dàng hơn).
Khi đó
( ) ( ) ( ) ( )
2 ln 2 2 ln 2 .IxxdxxxxC=+ +− =+ +−+
∫
Chọn B.
Ví dụ 6: Tính nguyên hàm
( )
ln 1 .I x x dx= −
∫
A.
(
)
22
ln 1 .
2 42
x xx
Ix C= −− ++
B.
( )
22
1
ln 1 .
2 42
x xx
Ix C
−
= −− ++
C.
( )
22
1
ln 1 .
2 42
x xx
Ix C
−
= −+ ++
D.
( )
22
1
ln 1 .
2 42
x xx
Ix C
−
= −− −+
Lời giải:
Đặt
( )
( )( )
22
ln 1
1
11
11
22 2 2
dx
du
ux
x
xx
xx
dv xdx
v
=
= −
−

⇒

−+
−
=
= −= =
Khi đó
( ) ( )
2 22
1 11
ln 1 ln 1 .
2 2 2 42
x x x xx
I x dx x C
− +−
= −− = −− −+
∫
Chọn D.
Ví dụ 7: Tính nguyên hàm
( )
2.
x
I x e dx= −
∫
A.
(
)
3.
x
I x eC=−+
B.
( )
1.
x
I x eC=−+
C.
.
x
I xe C= +
D.
( )
1.
x
I x eC=++
Lời giải:
Đặt
( ) ( ) ( )
2
2 2 3.
x x xx x
xx
u x du dx
I x e edx x eeC x eC
dv e dx v e
=−=

⇒ ⇒=−− =−−+=−+

= =

∫
Chọn A.
Ví dụ 8: Giả sử
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
2 1 sin .fx x x
= +
Biết
( )
0 3,F =
tìm
( )
.
Fx
A.
( ) ( )
2 1 cos 2sin 2.Fx x x x=+ ++
B.
(
) ( )
2 1 cos 2sin 4.Fx x x x=−+ + +
C.
( ) ( )
2 1 cos 2sin 2.Fx x x x=+ −+
D.
( ) ( )
2 1 cos 2sin 4.Fx x x x=−+ − +
Lời giải:
Ta có:
( ) ( )
2 1 sin .
F x x xdx= +
∫
Đặt
21 2
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
=+=

⇒

= = −

( )
( )
(
)
2 1 cos 2sin 2 1 cos 2sin
Fxxx xdxxxxC
⇒ =−+ + =−+ + +
∫
Mặt khác
( ) ( )
( )
0 1 3 4 2 1 cos 2sin 4.F C C Fx x x x=−+ = ⇒ = ⇒ =− + + +
Chọn B.
Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm
( )
2
ln
.
1
xdx
I
x
=
+
∫
A.
ln
ln1.
1
x
I xC
x
= − ++
+
B.
2 ln
ln1.
1
xx
xC
x
− ++
+
C.
ln
ln1.
1
xx
I xC
x
= − ++
+
D.
ln
ln1.
1
xx
I xC
x
= + ++
+
Lời giải:
Đặt
( )
2
ln
ln ln
ln1.
1
1 11
1
1
11
dx
ux
du
xx dx xx
x
dx
I xC
dv
x
x xx
v
x
xx
=
=

⇒ ⇒= − = − ++

=
+ ++

=− +=
+
++
∫
Chọn C.
Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm
( )
2 cos .I x xdx= −
∫
A.
( )
2 sin cos .I x x xC=− ++
B.
( )
2 sin cos .I x x xC=− −+
C.
( )
2 cos sin .I x x xC=− −+
D.
(
)
2 cos sin .I x x xC
=− ++
Lời giải:
Đặt
( ) ( )
2
2 sin sin 2 sin cos .
cos sin
u x du dx
I xx xdx xx xC
dv xdx v x
=−=−

⇒ ⇒=−+ =−−+

= =

∫
Chọn B.
Ví dụ 11: Tìm nguyên hàm
( )
1 .3
x
I x dx
= +
∫
ta được:
A.
.3
.
ln 3
x
x
IC= +
B.
( )
2
13
3
.
ln 3 ln 3
x
x
x
IC
+
= ++
C.
( )
13
3.
ln 3
x
x
x
IC
+
= −+
D.
( )
2
13
3
.
ln 3 ln 3
x
x
x
IC
+
= −+
Lời giải:
Đặt
( )
(
)
2
1
13 13
33
.
3
ln 3 ln 3 ln 3 ln 3
3
ln 3
xx
xx
x
x
du dx
ux
xx
dx
I IC
dv dx
v
=
= +
++
⇒ ⇒= − ⇒= − +

=
=
∫
Chọn D.
Ví dụ 12: Cho nguyên hàm
22
cos . . sin 2 .cos 2x xdx m x n x x p x C=+ ++
∫
trong đó
;, ; .mn pC∈
Tính giá
trị của
.P mn p= ++
A.
3
.
4
P =
B.
5
.
4
P
=
C.
3
.
2
P =
D.
5
.
8
P =
Lời giải:
Ta có:
1 cos 2 1 1
cos 2
2 22
x
I x dx xdx x xdx
+
= = +
∫ ∫∫
Đặt
sin 2 sin 2 sin 2 cos 2
cos 2
sin 2
cos 2
2 2 24
2
du dx
ux
xx xdxxx x
x xdx C
x
dv xdx
v
=
=
⇒ ⇒ = − = ++

=
=
∫∫
2
11 1 5
sin 2 cos 2 .
44 8 8
I x x x xC mn p
⇒= + + + ⇒ ++ =
Chọn D.
Ví dụ 13: Cho
( )
2
1
Fx
x
=
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
2
.
cos
fx
x
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
' tanfx x
A.
( )
3
sin 2
' tan .
xx
f x xdx C
x
+
=−+
∫
B.
(
)
3
sin 2
' tan .
xx
f x xdx C
x
+
= +
∫
C.
( )
2
3
cos
' tan .
xx
f x xdx C
x
+
=−+
∫
D.
( )
2
3
cos
' tan .
xx
f x xdx C
x
+
= +
∫
Lời giải:
Tính nguyên hàm
( )
' tan
I f x xdx=
∫
Đặt
( )
( )
( )
( )
( )
2
22
tan
1
cos
.tan tan
'
cos
dx
ux
du
f x dx
x
I fx x fx x C
dv f x dx
xx
v fx
=
=

⇒ ⇒= − = − +

=
=
∫
Mặt khác
( )
( ) ( )
2
2 43 3
2 2 2cos
'
cos
fx
xx
F x fx
x xx x
−− −
= ==⇒=
Do đó
2
3 2 32
2 cos 1 sin 2 1
.tan .
xx
I xC C
x x xx
−−
= −+= −+
Chọn A.
Ví dụ 14: Cho
( )
2
1 cos sin
2
x
Fx x x x

=−+


là một nguyên hàm của hàm số
( )
sin .fx x
Nguyên hàm của
hàm số
(
)
' cosfx x
là:
A.
cos sin .xx xC−+
B.
sin cos .xx xC++
C.
cos sin .xx xC++
D.
sin cos .
xx xC−+
Lời giải:
Tính nguyên hàm
( )
' cos
I f x xdx
=
∫
Đặt
( ) ( )
cos sin
'
u x du xdx
dv f x dx v f x
= = −


⇒

= =


( ) ( ) ( )
2
.cos sin cos 1 cos sin
2
x
I fx x fx xdx fx x xx x

⇒= + = + − +


∫
Mặt khác
( )
( )
22
sin
' cos 1 sin sin cos sin
22
x xx
Fx xx x xxx fx x

=− −− + + = =


Do đó
( )
2
cos sin .
2
x
fx I x x x= ⇒= +
Chọn C.
Ví dụ 15: Cho
(
)
x
Fx e x= +
là một nguyên hàm của hàm số
( )
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
' ln .fx x
A.
( )
ln .
xx
xe x xe xC+ − −+
B.
( )
1 ln .
xx
xe xe xC+ − −+
C.
( )
1 ln .
xx
xe xe xC+ − ++
D.
( )
ln .
xx
xex xexC+ + ++
Lời giải:
Tính nguyên hàm
( )
' lnI f x xdx=
∫
Đặt
( )
( )
( )
( )
( )
ln
ln ln .
'
x
dx
ux
du
f x dx
x
I fx x fx xe xC
dv f x dx
x
v fx
=
=

⇒ ⇒= − = − −+

=
=
∫
Mặt khác
( )
( ) ( )
( )
'1 1
xx
fx
F x e f x xe
x
= = +⇒ = +
Suy ra
( )
1 ln .
xx
I xe xe xC= + − −+
Chọn B.
Ví dụ 16: Cho
( )
sinFx x x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
.
x
f xe
Tìm nguyên hàm của hàm số
(
)
'
x
f xe
A.
( )
sin cos sin .
x x x xC+ ++
B.
( )
cos sin sin .
x
e x x xC− ++
C.
( )
cos 2sin sin .x x x xC− ++
D.
( )
cos sin sin .x x x xC− ++
Lời giải:
Đặt
( ) ( )
( )
(
) (
)
'. .
'
xx
xx x
u e du e dx
I f x e dx e f x f x e dx
dv f x dx v f x

= =

⇒ ⇒= = −

= =


∫∫
( )
sin .
x
f xe x x C
= −+
Lại có:
(
)
sin cos sin cos sin sin .
I xx xx xC x x x xC⇒= + − + = − + +
Chọn D.
Ví dụ 17: Cho
(
)
2
1Fx x
= +
là một nguyên hàm của hàm số
( )
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của
( )
' ln .fx x
A.
( )
( )
2
' ln 2 ln 1 .
f x xdx x x C= ++
∫
B.
( ) ( )
2
' ln 1 2 ln .f x xdx x x C=−+
∫
C.
( ) ( )
2
' ln 2 ln 1 .f x xdx x x C=− ++
∫
D.
( ) ( )
2
' ln 2 ln 1 .f x xdx x x C= −+
∫
Lời giải:
Đặt
( )
( )
ln
'
dx
ux
du
x
dv f x dx
v fx
=
=

⇔

=
=
suy ra
( ) ( )
( )
' .ln ln .
fx
f x xdx x f x dx
x
= −
∫∫
Ta có
( )
( ) ( )
( )
2
22
fx fx
Fx x fx x
xx
′
= ⇔= ⇔ =
Do đó
(
) ( )
22 2
.ln 2 .ln 1 2 ln 1 .f x xdx x x x C x x C
′
= − −+ = − +
∫
Chọn D.
Ví dụ 18: Cho
( )
lnFx x=
là một nguyên hàm của
( )
.xf x
Tìm nguyên hàm của
( )
' ln .fx x
A.
( )
2
11
' ln ln .
2
f x xdx x C
x

= ++


∫
B.
(
)
11
' ln ln .
2
f x xdx x C
x

= ++


∫
C.
( )
2
11
' ln ln .
2
f x xdx x C
x

= ++


∫
D.
( ) ( )
2
1
' ln 2 ln 1 .f x xdx x C
x
= ++
∫
Lời giải:
Đặt
( )
( )
ln
'
dx
ux
du
x
dv f x dx
v fx
=
=

⇔

=
=
suy ra
( ) ( )
( )
' .ln ln .
fx
f x xdx x f x dx
x
= −
∫∫
Ta có
( ) ( ) (
)
( )
2
11
..
Fx xfx xfx fx
xx
′
= ⇔= ⇔ =
Do đó
( )
2 3 22
ln ln 1
.ln .
2
x dx x
f x xdx C C
xx xx
′
= − += + +
∫∫
Chọn A.
Ví dụ 19: Cho
( )
ln
Fx x=
là một nguyên hàm của
( )
3
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của
( )
' ln .fx x
A.
( )
2
1
' ln ln .
2
f x xdx x x C

= −+


∫
B.
(
)
2
1
' ln ln .
2
f x xdx x x C

= ++


∫
C.
( ) ( )
2
' ln 2 ln 1 .f x xdx x x C= −+
∫
D.
( )
2
1
' ln ln .
2
f x xdx x x C

= −+


∫
Lời giải:
Đặt
( )
( )
ln
'
dx
ux
du
x
dv f x dx
v fx
=
=

⇔

=
=
suy ra
(
) ( )
( )
' .ln ln .
fx
f x xdx x f x dx
x
= −
∫∫
Ta có
( )
(
)
( )
( )
2
33
1
fx fx
Fx fx x
x xx
′
= ⇔= ⇔ =
Do đó
( )
2
22
.ln ln .ln .
2
x
f x xdx x x xdx x x C
′
= − = −+
∫∫
Chọn D.
Ví dụ 20: Cho
( )
tan ln cosFx x x x= +
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
.
cos
fx
x
Tìm nguyên hàm của hàm
số
( )
' tan .fx x
A.
( )
' tan ln cos .f x xdx x C= +
∫
B.
(
)
' tan ln sin .f x xdx x C= +
∫
C.
( )
' tan ln cos .
f x xdx x C=−+
∫
D.
( )
' tan ln sin .f x xdx x C
=−+
∫
Lời giải:
Đặt
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
tan
cos
' .tan .tan
'
cos
dx
ux
du
fx
x
f x xdx f x x dx
dv f x dx
x
v fx
=
=

⇔⇒ =−

=
=
∫∫
Ta có
( )
( )
( )
( )
2 22
cot tan .
cos cos cos
fx fx
x
Fx x x fx x
x xx
′
= ⇔+ −= ⇔ =
Do đó
( )
.tan .tan . tan ln cos ln cos C.fx xdxxxxx xC x
′
= − − +=− +
∫
Chọn C.
Ví dụ 21: Gọi
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
lnfx x=
thỏa mãn điều kiện
( )
1 3.F =
Tính giá trị
của biểu thức
(
)
( )
43
2 log 3.log .
Fe
T Fe= +


A.
2.T
=
B.
8.T =
C.
9
.
2
T =
D.
17.T
=
Lời giải:
Đặt
ln
dx
ux
du
x
dv dx
vx
=
=
⇔

=
=
suy ra
( )
.ln .lnf x dx x x dx x x x C= − = −+
∫∫
Mà
( )
1 3 1.ln1 1 3 4.F CC= → − + = ⇔ =
Vậy
17.T =
Chọn D.
Ví dụ 22: Gọi
(
)
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2x
f x xe=
thỏa mãn
1
0.
2
F

=


Tính
5
ln .
2
F



A.
5
ln 2.
2
F

= −


B.
5
ln 1.
2
F

=


C.
5
ln 5.
2
F

=


D.
5
ln 6.
2
F

=


Lời giải:
Đặt
( )
2 2 22
2
2
..
2 2 24
2
x x xx
x
x
du dx
ux
xe e xe e
f x dx dx C
e
dv e dx
v
=
=
⇔ ⇒ = − = −+

=
=
∫∫
Mà
( )
22
1.
0 0F .
2 24
xx
xe e
F Cx

= → = → = −


Vậy
5
ln 5.
2
F

=


Chọn C.
Ví dụ 23: Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
.
x
f x xe
−
=
thỏa mãn
( )
0 1.F = −
Tính tổng
S
các
nghiệm của phương trình
( )
1 0.Fx x++=
A.
3.S = −
B.
0.S =
C.
2.S =
D.
1.
S = −
Lời giải:
Đặt
( )
..
x x xx
xx
u x du dx
f x dx x e e dx x e e C
dv e dx v e
− − −−
−−
= =

⇔ ⇒ =−+ =−−+

= = −

∫∫
Mà
( ) ( )
0 1 11 0 F . .
xx
F C C x xe e
−−
= − → − = − ⇔ = → = − −
Do đó
( ) ( )
( )
1
10 . 10 11 0 .
0
xx x
x
F x x xe e x x e
x
−− −
= −
++= ⇔− − ++= ⇔ + − = ⇔
=
Chọn D.
Ví dụ 24: Biết
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
sinfx x x=
thỏa mãn
( )
2.F
ππ
=
Tính giá trị của
biểu thức
( ) ( )
2082.TF F
π
= −
A.
6.
T
π
=
B.
4.
T
π
=
C.
8.T
π
=
D.
10 .
T
π
=
Lời giải:
Đặt
.sin .cos cos .cos sin
sin cos
u x du dx
x xdx x x xdx x x x C
dv xdx v x
= =

⇔ ⇒ =−+ =−++

= = −

∫∫
Mà
( )
2 4.
FC
ππ π
= → =
Do đó
( )
.cos sin 4 .Fx x x x
π
=− ++
Vậy
2.4 8.2 8 .T
πππ
=−=−
Chọn C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
(
)
cosfx x x=
thỏa mãn
( )
2017.F
π
=
A.
( )
sin cos 2019.Fx x x x= −+
B.
( )
sin cos 2018.Fx x x x= ++
C.
( )
sin cos 1.Fx x x x
=− +−
D.
( )
sin cos 2017.Fx x x x=− −+
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
.
cos
x
fx
x
=
A.
cot ln cos .x x xC−− +
B.
tan ln cos .x x xC++
C.
cot ln cos .x x xC−+ +
D.
tan ln cos .
x x xC−+ +
Câu 3: Tìm nguyên hàm của
.
x
y xe=
A.
( )
2
.
x
f x dx x e C= +
∫
B.
( )
.
x
f x dx xe C
= +
∫
C.
( ) ( )
1.
x
f x dx x e C=++
∫
D.
( ) ( )
1.
x
f x dx x e C
=−+
∫
Câu 4: Tìm nguyên hàm của
ln .yxx=
A.
2
2
1
ln .
24
x
x xC++
B.
22
1
ln .
2
x x xC
−+
C.
2
2
1
ln .
24
x
x xC−+
D.
1
ln .
2
x x xC++
Câu 5: (THPT Chuyên Bến Tre 2017) Tìm nguyên hàm của
( )
ln .
fx x=
A.
ln .x xC+
B.
ln .xx xC−+
C.
ln .x xxC++
D.
ln .x xxC−+
Câu 6: Tìm một nguyên hàm
(
)
Fx
của hàm số
( )
sinfx x x=
thỏa mãn
2019.
2
F
π

=


A.
( )
sin cos 2019.Fx x x x= ++
B.
( )
sin cos 2018.Fx x x x=−+
C.
( )
sin cos 2019.Fx x x x= −+
D.
( )
sin cos 2018.Fx x x x=++
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
1 sin .fx x x= +
A.
( )
1 cos sin .
x x xC+ ++
B.
( )
1 cos sin .x x xC−+ + +
C.
( )
1 cos sin .
x x xC−+ − +
D.
( )
1 cos sin .x x xC+ −+
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
21 .
x
fx x e
−
= −
A.
(
)
21 .
x
xeC
−
−+ +
B.
( )
21 .
x
xeC
−
−− +
C.
( )
23 .
x
x eC
−
−+ +
D.
( )
23 .
x
x eC
−
−− +
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
1 cos .fx x x= +
A.
( )
1 sin cos .
x x xC+ −+
B.
( )
1 sin cos .x x xC
+ ++
C.
( )
1 sin cos .x x xC−+ − +
D.
( )
1 sin cos .x x xC−+ + +
Câu 10: Một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
( )
ln
fx x
=
thỏa mãn
( )
1 3.F =
Tính
( )
.Fe
A.
( )
3.Fe=
B.
( )
1.
Fe=
C.
( )
4.Fe=
D.
( )
0.Fe=
Câu 11: Tìm một nguyên hàm
( )
Fx
của hàm số
(
)
.
x
f x xe
−
=
thỏa mãn
( )
0 1.F =
A.
( )
1 1.
x
xe
−
−+ +
B.
(
)
1 2.
x
xe
−
−+ +
C.
( )
1 1.
x
xe
−
++
D.
( )
1 2.
x
xe
−
++
Câu 12: Tìm một nguyên hàm của hàm số
( )
( )
2
2.
x
f x x xe= +
A.
( )
22.
x
xe
+
B.
2
.
x
xe
C.
( )
2
.
x
x xe+
D.
(
)
2
2.
x
x xe−
Câu 13: (THPT Chuyên Đại học Vinh 2017) Cho
( )
y fx=
thỏa mãn
( ) ( )
'1
x
fx x e= +
và
( ) ( )
,
x
f x dx ax b e c=++
∫
với
,, .abc∈
Tính
.ab+
A.
0.ab+=
B.
3.ab+=
C.
2.
ab+=
D.
1.ab+=
Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho
( )
2
Fx x=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
..
x
f xe
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
' ..
x
f xe
A.
(
)
22
'. 2 .
x
f x e dx x x C=−+ +
∫
B.
( )
22
'. .
x
f x e dx x x C=− ++
∫
C.
(
)
22
'. 2 2 .
x
f x e dx x x C= −+
∫
D.
( )
22
'. 2 2 .
x
f x e dx x x C=− ++
∫
Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho
( ) ( )
1
x
Fx x e= −
là một nguyên hàm của hàm số
( )
2
..
x
f xe
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
2
' ..
x
f xe
A.
(
) (
)
2
' 2.
xx
f x e dx x e C
=−+
∫
B.
( )
2
2
'.
2
xx
x
f x e dx e C
−
= +
∫
C.
( ) ( )
2
' 2.
xx
f xe dx xe C=−+
∫
D.
( ) (
)
2
' 42 .
xx
f xe dx xe C=−+
∫
Câu 16: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho
( )
3
1
3
Fx
x
= −
là một nguyên hàm của hàm số
(
)
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
' ln .fx x
A.
( )
35
ln 1
' ln .
5
x
f x xdx C
xx
=++
∫
B.
(
)
35
ln 1
' ln .
5
x
f x xdx C
xx
=−+
∫
C.
( )
33
ln 1
' ln .
3
x
f x xdx C
xx
=++
∫
D.
(
)
33
ln 1
' ln .
3
x
f x xdx C
xx
=−++
∫
Câu 17: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho
( )
2
1
2
Fx
x
=
là một nguyên hàm của hàm số
( )
.
fx
x
Tìm
nguyên hàm của hàm số
( )
' ln .fx x
A.
( )
22
ln 1
' ln .
2
x
f x xdx C
xx

=−++


∫
B.
( )
22
ln 1
' ln .
x
f x xdx C
xx
= ++
∫
C.
(
)
22
ln 1
' ln .
2
x
f x xdx C
xx
=++
∫
D.
( )
22
ln 1
' ln .
x
f x xdx C
xx

=− ++


∫
Câu 18: Cho
( )
2
1
Fx
x
=
là một nguyên hàm của
( )
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
' ln .fx x
A.
(
)
22
2 ln 1
' ln .
x
f x xdx C
xx
= ++
∫
B.
( )
22
2 ln 1
' ln .
x
f x xdx C
xx

=− ++


∫
C.
(
)
22
2 ln 1
' ln .
x
f x xdx C
xx
= −+
∫
D.
(
)
22
2 ln 1
' ln .
x
f x xdx C
xx

=− −+


∫
Câu 19: Cho
( )
lnFx x=
là một nguyên hàm của
( )
2
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của
( )
' ln .fx x
A.
( ) ( )
' ln ln 1 .fxxdxxx C
= ++
∫
B.
( ) ( )
' ln ln 1 .fxxdxxx C
= −+
∫
C.
( ) ( )
' ln ln .
fxxdxxxxC
= −+
∫
D.
( )
(
)
' ln 1 ln .f x xdx x x C=−+
∫
Câu 20: Cho
( )
3
1
Fx
x
=
là một nguyên hàm của
( )
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
' ln .fx x
A.
( )
22
3ln 3
' ln .
2
x
f x xdx C
xx
=− ++
∫
B.
( )
22
3ln 3
' ln .
2
x
f x xdx C
xx
= −+
∫
C.
( )
22
3ln 3
' ln .
2
x
f x xdx C
xx
=− −+
∫
D.
( )
22
3ln 3
' ln .
2
x
f x xdx C
xx
= +
∫
Câu 21: Cho
(
)
2
1
Fx
x
=
là một nguyên hàm của
( )
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
' . ln .f xx x
A.
( )
2
1 ln
' ln 4 .
x
f x x xdx C
xx

=−− +


∫
B.
( )
2
ln 1
' ln 4 .
x
f x x xdx C
xx

= ++


∫
C.
( )
2
1 ln
' ln 4 .
x
f x x xdx C
xx

=−+


∫
D.
( )
2
ln 1
' ln 4 .
x
f x x xdx C
xx

=− ++


∫
Câu 22: Cho
( )
2
1
Fx
x
=
là một nguyên hàm của
( )
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của
( )
( )
3
' . 1.fx x+
A.
(
)
( )
3
2
2
' 14 .
f x x dx x C
x
+ =++
∫
B.
( )
( )
3
2
2
' 14 .f x x dx x C
x
+ =−+
∫
C.
( )
( )
3
2
2
' 14 .f x x dx x C
x
+ =−− +
∫
D.
(
)
( )
3
2
2
'1 .f x x dx x C
x
+ =++
∫
Câu 23: Cho
( )
2
4
x
Fx=
là một nguyên hàm của
( )
.
fx
x
Tìm nguyên hàm của
(
)
' ln .fx x
A.
( )
2
1
' ln ln .
22
x
f x xdx x C

= −+


∫
B.
( )
2
1
' ln ln .
22
x
f x xdx x C

= ++


∫
C.
( )
2
1
' ln ln .
22
x
f x xdx x C
x

= −+


∫
D.
( )
2
1
' ln ln .
22
x
f x xdx x C
x

= ++


∫
Câu 24: Cho
( )
x
F x xe= −
là một nguyên hàm của
( )
2
.
x
f xe
Tìm nguyên hàm của
( )
2
'.
x
f xe
A.
(
) (
)
2
' 21 .
xx
f xe dx xe C
=−+
∫
B.
( )
2
1
'.
2
xx
x
f x e dx e C
−
= +
∫
C.
( ) ( )
2
' 1.
xx
f x e dx x e C=−+
∫
D.
( ) ( )
2
' 2.
xx
f x e dx x e C=−+
∫
Câu 25: Cho
( ) ( )
21
x
Fx x e= −
là một nguyên hàm của hàm số
( )
'
x
f xe
và
( )
0 0.f =
Tìm nguyên hàm
của hàm số
(
)
.
x
f xe
A.
( )
( )
2
21 .
xx
f x e dx x x e C= −+ +
∫
B.
( )
(
)
2
22 .
xx
f x e dx x x e C= +− +
∫
C.
(
)
(
)
2
22 .
xx
f x e dx x x e C
= −+ +
∫
D.
(
)
(
)
2
21 .
xx
f x e dx x x e C
= +− +
∫
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Đặt
( )
cos sin sin
cos sin
u x du dx
F x x xdx x x xdx
dv xdx v x
= =

⇒ ⇒= = −

= =

∫∫
sin cos .
x x xC= ++
Lại có
( )
sin cos C 1 C 2017 C 2018F
πππ π
= + +=−+= ⇒=
Do đó
( )
sin cos 2018.Fx x x x= ++
Chọn B.
Câu 2: Đặt
(
)
2
tan tan
tan
cos
ux
du dx
f x dx x x xdx
dx
vx
dv
x
=
=
⇒⇒=−

=
=
∫∫
( )
cos
sin
tan sin sin ln cos .
cos cos
dx
x
xx dxxx xx xC
xx
=− =+ =++
∫∫
Chọn B.
Câu 3: Đặt
xx
u x du dx
dv e dx v e
= =

⇒

= =

Khi đó
( )
1.
xxxxx x
xe dx xe e dx xe e C x e C= − = −+= − +
∫∫
Chọn D.
Câu 4: Đặt
2 22
2
ln
ln ln
ln .
2 2 24
2
dx
du
ux
xx x xxx
x
x xdx dx C
dv xdx
x
v
=
=
⇒ ⇒ = − = −+

=
=
∫∫
Chọn C.
Câu 5: Đặt
ln
ln ln ln .
dx
ux
du
xdx x x dx x x x C
x
dv dx
vx
=
=
⇒ ⇒ = − = −+

=
=
∫∫
Chọn D.
Câu 6: Đặt
sin cos cos
sin cos
u x du dx
x xdx x x xdx
dv xdx v x
= =

⇒ ⇒ =−+

= = −

∫∫
( ) ( )
cos sin sin cos .x x xC Fx fxdx xx xC=− + +⇒ = = − +
∫
Lại có:
cos sin 1 2019 2018
2 22 2
F CC C
π ππ π

=− + +=+= ⇒=


Vậy
( )
sin cos 2018.Fx x x x=−+
Chọn B.
Câu 7: Đặt
( ) ( )
1
1 cos cos
sin cos
u x du dx
f x dx x x xdx
dv xdx v x
=+=

⇒ ⇒ =−+ +

= = −

∫∫
( )
1 cos sin .x x xC=−+ + +
Chọn B.
Câu 8: Đặt
21 2
xx
u x du dx
dv e dx v e
−−
=−=

⇒

= = −

Khi đó
( )
( ) ( )
21 21 2 12 2
x x x xx
x e dx x e e dx x e e C
− − −−
− =−− + =− − +
∫∫
( ) ( )
12 2 1 .
xx
xeC xeC
−−
=−− + =− + +
Chọn A.
Câu 9: Đặt
( )
( )
1
1 cos 1 sin sin
cos sin
u x du dx
x xdx x x xdx
dv xdx v x
=+=

⇒ ⇒+ =+ −

= =

∫∫
( )
1 sin cos .x x xC=+ ++
Chọn B.
Câu 10: Đặt
( )
ln
ln ln ln .
dx
ux
du
F x xdx x x dx x x x C
x
dv dx
vx
=
=
⇒ ⇒ = = − = −+

=
=
∫∫
Lại có:
( ) ( )
1 1.ln1 1 3 4 ln 4 4.F C C Fe e e e= −+ = ⇒ = ⇒ = −+ =
Chọn C.
Câu 11: Đặt
xx
u x du dx
dv e dx v e
−−
= =

⇒

= = −

Khi đó
( ) ( )
1.
xxxxx x
F x xe dx xe e dx xe e C x e C
−−−−− −
= =−+ =−−+=−+ +
∫∫
Mặt khác
( )
( ) ( )
0 1 1 2 1 2.
x
F C C Fx x e
−
=−+ = ⇒ = ⇒ =− + +
Chọn B.
Câu 12: Đặt
(
)
( )
(
)
(
)
2
2
22
2
2 22
xx
x
x
du x dx
ux x
f x dx x x e x e dx
dv e dx
ve
= +
= +

⇒ ⇒ =+ −+

=
=
∫∫
Xét nguyên hàm
( )
22
x
x e dx+
∫
Đặt
( ) (
)
11
11
22 2
22 22 2
x xx
xx
u x du dx
x e dx x e e dx
dv e dx v e
=+=

⇒ ⇒ + =+−

= =

∫∫
( )
22 2 2 .
xx x
x e e xe C=+ −= +
Do đó
(
)
( )
22
22 .
xx x
fxdx x xe xeCxeC= + − += +
∫
Chọn B.
Câu 13: Ta có
( ) ( )
.
x
f x dx ax b e c
=++
∫
Đạo hàm 2 vế ta được
( ) ( )
x
f x dx ax b e c
′
′


=++


∫
( ) (
) ( )
xx x
f x ae ax b e ax a b e⇔ = + + = ++
Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta được:
( ) ( )
( ) ( )
' 21
x x xx
f x ae ax a b e ax a b e x e=+++=++=+
Đồng nhất 2 vế ta có:
1
0.
21
a
ab
ab
=
⇒+=
+=
Chọn A.
Câu 14: Đặt
( )
( )
( ) ( ) ( )
22
22 2
2
' . . 2.
'
xx
xx x
u e du e dx
f x e dx e f x e f x dx
dv f x dx v f x

= =

⇒⇒ =−

= =


∫∫
( )
22
.2
x
e fx x C= −+
Mặt khác
( ) ( ) (
)
2 22
. ' 2 '. 22 .
xx
f xe F x x f xedx x x C= =⇒ =−+
∫
Chọn D.
Câu 15: Đặt
( ) ( )
( ) ( ) ( )
22
22 2
2
' . . 2.
'
xx
xx x
u e du e dx
f x e dx e f x e f x dx
dv f x dx v f x

= =

⇒⇒ =−

= =


∫∫
( ) ( )
2
. 21
xx
e fx x e C= −− +
Mặt khác
( ) ( ) ( )
2
.' 1
x x xx
f x e F x e x e xe= =+− =
( )
( ) ( )
2
'. 2 1 2 .
xx x x
fxedxxe x eC xeC
= − − += − +
∫
Chọn C.
Câu 16: Đặt
( )
(
)
( ) ( )
( )
ln
' ln ln
'
dx
ux
du
fx
x
f x xdx f x x dx
dv f x dx
x
v fx
=
=

⇒⇒ =−

=
=
∫∫
( )
3
1
ln
3
fx x C
x
= ++
Lại có:
( )
( )
( ) ( )
2
64 3 3
1 3 1 1 ln
' . ln
3
fx
xx
F x fx fx x
x xx x x
−
= =− =⇒=⇒ =
Do đó
( )
33
ln 1
' ln .
3
x
f x xdx C
xx
=++
∫
Chọn C.
Câu 17: Ta có
( )
( ) ( )
32
11
'
fx
F x fx
x xx
−−
= =⇒=
suy ra
(
)
3
2
' ln .ln .fx x x
x
=
Đặt
( )
2 32 2
3
2
1
ln
ln ln 1
' ln .
2
1
2
ux
du dx
x dx x
x
f x xdx C
x xx x
dv dx
v
x
x
=
=
−

⇒ ⇒ =−+ = −+

−
=

=
∫∫
Cách 2: Đặt
( )
( )
( ) ( )
( )
ln
ln
'
dx
ux
du
f x dx
x
fxdx fx x
dv f x dx
x
v fx
=
=

⇒ ⇒=−

=
=
∫∫
( )
2
1
ln
2
fx x C
x
= −+
Mặt khác
( )
( ) ( ) ( )
32 2
1 1 ln
' ln
fx
x
F x fx fx x
x xx x
−− −
= =⇒=⇒ =
Do đó
(
)
22
ln 1
' ln .
2
x
f x xdx C
xx

=−++


∫
Chọn A.
Câu 18: Đặt
( )
( )
( ) ( )
( )
ln
.ln .ln
dx
ux
du
fx
x
f x xdx f x x dx
dv f x dx
x
v fx
=
=

′
⇔⇒ =−

′
=
=
∫∫
Ta có
( )
(
)
( )
32
22
.
fx
Fx fx
xx x
′
= − = → = −
Vậy
( )
22
2.ln 1
.ln .
x
f x xdx C
xx

′
=− ++


∫
Chọn B.
Câu 19: Đặt
( )
(
)
ln
dx
ux
du
x
dv f x dx
v fx
=
=

⇔

′
=
=
suy ra
( ) ( )
( )
.ln ln .
fx
f x xdx x f x dx
x
′
= −
∫∫
Ta có
( )
( )
(
)
(
)
22
1
fx fx
Fx fx x
x xx
′
= ⇔= ⇔ =
Do đó
( ) ( )
.ln .ln ln 1 .f x xdx x x dx x x C
′
= − = −+
∫∫
Chọn B.
Câu 20: Đặt
(
)
( )
( )
( )
( )
ln
.ln .ln
dx
ux
du
fx
x
f x xdx f x x dx
dv f x dx
x
v fx
=
=

′
⇔⇒ =−

′
=
=
∫∫
Ta có
( )
( )
( )
43
33
.
fx
Fx fx
xx x
′
= − = → = −
Vậy
(
)
22
2.ln 1
.ln .
x
f x xdx C
xx

′
=− ++


∫
Chọn B.
Câu 21: Đặt
( ) ( )
( ) ( )
( )
.ln ln 1
. ln . ln
u x x du x
fx
f x x xdx f x x x dx
dv f x dx v f x
x
= = +


′
⇔⇒ =−

′
= =


∫∫
Ta có
( )
( )
( )
32
22
.
fx
Fx fx
xx x
′
= − = → = −
Vậy
(
)
22
2.ln 1
.ln .
x
f x xdx C
xx

′
=− ++


∫
Chọn B.
Câu 22: Đặt
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
32
33 2
13
. 1 1. 3 . .
u x du x dx
f x x dx x f x x f x dx
dv f x dx v f x

=+=

′
⇔ ⇒ +=+ −

′
= =


∫∫
Ta có
( )
( )
( )
( )
32
22
.
fx fx
Fx fx
x xx x
′
= ⇔− = ⇔ =−
Khi đó
(
)
( )
( )
3
3
22
21
2
. 1 64 .
x
f x x dx dx x C
xx
+
′
+ =− + =−+
∫∫
Chọn B.
Câu 23: Đặt
( )
( )
ln
dx
ux
du
x
dv f x dx
v fx
=
=

⇔

′
=
=
suy ra
( ) ( )
( )
.ln ln .
fx
f x xdx x f x dx
x
′
= −
∫∫
Ta có
( )
( ) ( )
( )
2
22
fx fx
xx
Fx fx
xx
′
= ⇔= ⇔ =
Do đó
( )
2 22
.ln .ln
.ln .
2 2 24
xxx xxx
f x xdx dx C
′
= − = −+
∫∫
Chọn A.
Câu 24: Đặt
(
) ( )
( ) ( ) ( )
22
22 2
2
.2 .
xx
xx x
u e du e dx
f x e dx f x e f x e dx
dv f x dx v f x

= =

′
⇔⇒=−

′
= =


∫∫
Ta có
( ) ( )
( )
(
) ( ) ( ) ( )
22 2
1
. . . 1. .
x x xx x
x
x
Fx fxe xe fxe e x fxe fx
e
+
′
′
= ⇔ − = ⇔− + = ⇔ =−
Khi đó
( )
( )
( )
22
1
. 2. 1 .
xx x x
x
x
f x e dx e x e C x e C
e
+

′
= − −− += − +


∫
Chọn C.
Câu 25: Đặt
( ) (
)
( )
( )
( )
. ..
x xx
xx
u f x du f x dx
f xedx fxe f xedx
dv e dx v e
′
= =

′
⇔ ⇒=−

= =


∫∫
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. 2 1 . 2. . 2
x x xx x
Fx fxe x e fxe xe fxe fx x
′
′′ ′ ′ ′

= ⇔− = ⇔ = ⇔ =

Lại có
( ) ( )
2
2
f x f x dx xdx x C
′
= = = +
∫∫
mà
(
)
( )
2
00 0 .f C fx x
= → = ⇒ =
Do đó
(
)
( )
( )
22
. . 2 1 22 .
xx x x
fxedxxe x eC x x eC= − − += − + +
∫
Chọn C.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

Chủ đề 4: NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cho hai hàm số u = u (x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng
phần: udv = uv − v . du ∫ ∫
Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng I = f
∫ (x).g(x)dx, trong đó f (x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm
số lượng giác, hàm số mũ.
Để tính nguyên hàm f (x).g (x)dx ∫
từng phần ta làm như sau: u  = f (x)  
du = f '( x) dx
– Bước 1. Đặt  ⇒ 
(trong đó G (x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số dv = g
(x)dx v = G  (x) g (x) )
– Bước 2. Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có: f
∫ (x).g(x)dx = f (x).G(x)− G
∫ (x).f '(x) . dx
Chú ý: Khi I = f
∫ (x).g(x)dx và f (x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa
thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt . u
Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)
Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)
Tức là hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Ví dụ: u  =  f (x)
• Nếu f (x) là hàm log, g (x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt  dv = g  (x) . dx u  =  g (x)
• Tương tự nếu f (x) là hàm mũ, g (x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt  dv = f  (x)dx
Một số dạng nguyên hàm từng phần thường gặp.
Dạng 1: I = P
∫ (x)ln(mx+ n)dx, trong đó P(x) là đa thức. u  =  ln (mx + n) Theo quy tắc ta đặt  dv = P  (x) . dxx
Dạng 2: I = P ∫ (x) sin 
dx, trong đó P ( x) là đa thức. cos xu  = P(x)
Theo quy tắc ta đặt  sin x  . dv =    dx  cos x
Dạng 3: = ∫ ( ) ax+b I
P x e dx, trong đó P(x) là đa thức u  = P(x) Theo quy tắc ta đặt  . ax+b dv = a dx sin x   Dạng 4: x I = ∫   e . dx cos x  sin x u  = Theo quy tắc ta đặt cos x   .  xdv = e dx B. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) I = xsin xdx x I = xe dx
I = x cos xdx
I = x ln xdx 1 ∫ b) 3 2 ∫ c) 2 3 ∫ d) 4 ∫ Lời giải:
a) I = xsin xdx 1 ∫ u  = xdu = dx • Cách 1: Đặt  ←→ s  in xdx dv  = v = − cos x 
→ I = xsin xdx = −x cos x + cos xdx = −x cos x + sin x + C. 1 ∫ ∫
• Cách 2: I = xsin xdx = − xd cos x = − x cos x − cos xdx = −x cos x + sin x + C 1 ∫ ∫ ( )  ∫  b) 3x I = xe dx 2 ∫ du = dx u  = x • Cách 1: Đặt   ←→ 3  x 1 3xe dx = dvv = e  3 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x  → = = − = − ∫ ∫ ∫ (3 ) 1 3x 1 3x I xe dx xe e dx xe
e d x = xe − e + C 2 3 3 3 9 3 9 • Cách 2: 3x 1 = = ∫ ∫ ( 3x) 1 3x 3x 1  3x 1 3x = − = − ∫ ∫
(3 ) 1 3x 1 3x I xe dx xd e xe e dx xe e d x = xe − e    +       C 2 3 3 3  3  3  3  c) 2
I = x cos xdx 3 ∫ 2 u  = xdu = 2xdx • Cách 1: Đặt  ←→ cos xdx = dvv = sin x Khi đó 2 2 2
I = x cos xdx = x sin x − 2xsin xdx = x sin x − 2J 3 ∫ ∫
Xét J = xsin xd .x ∫ Đặt u  = xdu = dx   
→ J = −x cos x + cos xdx = −x cos x + sin x ∫ si
 n xdx = dv ←→v = − cos x 2 
→ I = x sin x − 2 −x cos x + sin x + C. 3 ( ) • Cách 2: 2 2
I = x cos xdx = x d ∫ ∫ (sin x) 2
= x sin x − sin xd ∫ ( 2x) 2
= x sin x − 2xsin xdx 3 ∫ 2 = x x + xd ∫ ( x) 2 2 sin 2
cos = x sin x + 2xcos x − 2 cos xdx = x sin x + 2xcos x − 2sin x + C. ∫
d) I = xln xdx 4 ∫  dx du =  =  2 2 2 2 u ln x • Cách 1: Đặt  x  ←→  → I = x ln x xdx = ln x x − . dx x = ln x x − + C. ∫ ∫ 2 4 xdx = dvx 2 2 x 2 4 v =  2 • Cách 2: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2   = ln = ln x x ∫ ∫   = ln x − ln x = ln x dx x − = ln x I x xdx xd x d x x x − + C. 4 ∫ ( ) ∫  2  2 2 2 2 x 2 4
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2
I = x ln xdx 2
I = x ln x +1 dx 5 ∫ b) 6 ∫ ( ) c) I = ln ∫ ( 2
x + 1+ x dx d) x
I = e sin xdx 7 ) 8 ∫ Lời giải: a) 2
I = x ln xdx 5 ∫ • Cách 1: dx du =  =  3 3 3 3 u ln x Đặt  x 2  ←→  → I = x ln x xdx = ln x − . dx x = ln x x − + C. ∫ ∫ 2 3 5 x dx = dvx 3 3 x 3 9 v =  3 • Cách 2: 3 3 3 3 3 3 3   Ta có 2 = ln = ln x x ∫ ∫   = ln x − ln x = ln x dx x − = ln x I x xdx xd x d x x x − + C. 5 ∫ ( ) ∫  3  3 3 3 3 x 3 9 b) 2
I = x ln x +1 dx 6 ∫ ( ) 2 2 2   Ta có 2 = ln ∫ ( + ) 2 1 = ln ∫ ( + ) x x 2 1   = ln ( + ) 1 x I x x dx x d x − d ∫ ( 2 ln x +1 6 ( ))  2  2 2   2 2 2 2 2 x x 2ln x +1 2 = ln (x + ) ( ) x 2 1 − . dx = ln ∫ (x + ) 1 x − ln ∫ (x + ) x 2 1 dx = ln (x + ) 1 − J 2 2 x +1 2 x +1 2 x ( 2 2 x − ) 1 +1 Xét J ∫ (x )dx ∫ (x )  1 ln 1 ln 1 dx ∫ x 1  = + = + = − + ln ( x + ) 1 dx = x +1 x +1  x +1 2 ∫( )   = −1 ln ( + ) 1 + ln ∫ ( + )1 dx = ln ∫ ( + )1 x x x dx x x
d  − x + ln
∫ (x+ )1d (ln(x+ )1) = x +1  2  2 2 2 2 2 2  x   xx +  xx − x x +
=  − xln(x + )
1 − ∫ − xd (ln(x + )1) ln ( )1 +
=  − xln(x + ) 1 2 ln ( )1 1 − dx + ∫  2   2  2  2  2 x +1 2 2 2 Xét x − 2x  3 = = − 3  x K dx x + dx = − 3x + 3ln x + ∫ ∫  1 x +1  x +1 2 2 2 2  x   xx + 
→ J =  − xln(x + ) 1 ln ( )1
1 −  −3x + 3ln x +1  + + C.  2  2  2  2 2 2 x ln (x + ) 2 2 2 1  x  1  x  ln x +1
Từ đó ta được I =
−  − xln x +1 +  −3x + 3ln x +1  − + C. 6 ( ) ( ) 2  2  2  2  2 c) I = ln ∫ ( 2
x + 1+ x dx 7 ) Ngầm hiểu u = ( 2
ln x + 1+ x );v = x ta có x + ( )  ∫  ( ) = + + − + + =  ( + + ) 1 2 2 2 2 1 ln 1 ln 1 ln 1 + x I x x x xd x x x x x − xdx 7 ∫ 2 x + 1+ x xdx d x +
= x ln (x + 1+ x )− = x ln ∫
(x+ 1+x ) 1 ( 2 1 2 2 ) − = x ln ∫ ( 2 x + 1+ x ) 2 − 1+ x + C. 2 2 1+ x 2 1+ x Vậy I = xln ( 2 x + 1+ x ) 2 − 1+ x + C. 7 d) x
I = e sin xdx 8 ∫ x = sin = sin x x = sin x − sin x = sin x − cos x = sin − cos x I e xdx xd e e x e d x e x e xdx e x xd e 8 ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ∫ ( ) x = sin − cos ∫ ( x) x = sin x −  cos x − ∫ (cos ) x  = sin x −  cos x e x xd e e x e x e d x e x e
x + e sin xdx    ∫  x sin x x x x x e x − e cos
= sin −  cos +  = sin − cos x e x e x I e x e x − I  → I = + C.  8  8 8 2
Nhận xét: Trong nguyên hàm I chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong 8
mỗi vòng ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được.
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau: ln (x − ) 1 ln (2x + ) 1 a) I = dx I = dx 9 ∫ b) ( ∫ 2x + )2 1 10 (1−3x)2 2 x c) 2 I = . x sin . x cos xdx x e I = dx 11 ∫ d) 12 ∫ (x + )2 2 Lời giải u  = (x − )  1 ln 1 du = dx    − − ln (x − ) 1 a) Đặt x 1 dx  1 ⇒  . Khi đó: I = + dv = dx 1 − 9 ∫  2(2x + ) 1 2(2x + ) 1 (x − ) ( 1 2 )2 1 v x = +   2  (2x + ) 1 − ln (x − ) 1 1  1 2  − ln (x − ) 1 1 x −1 ( + − = + + x ∫ + )   dxx − x +  ( x + ) ln C 2 2 1 6 1 2 1 2 2 1 6 2x +1 u  = ( x + )  1 ln 2 1 du = dx    + − ln (2x + ) 1 b) Đặt 2x 1 dx  1 ⇒  . Khi đó: I = + dv = dx 1 − 10 ∫  ( 3(3x − ) 1 3(2x + ) 1 (3x − ) 1 1 3 )2 v x = −   3  (3x − ) 1 ln (2x + ) 1 1  3 2  −ln (2x + ) 1 1 3x −1 − ( + − = + + x ∫ − )   dxx − x +  ( x − ) ln C 3 3 1 15 3 1 2 1 3 3 1 15 2x +1 du = dx u  = x 3 c) Đặt  −x cos x 1 3  ⇔  − cos x . Khi đó 3 I = + cos xdx ∫ 2 11
dv = sin x cos xdxv = 3 3  3 3 3
−x cos x 1 cos3x + 3cos x
−x cos x sin 3x sin x = + dx = + + + C 3 3 ∫ 4 3 36 4 2 x  =  = ( + 2) x u x e du x x e dx d) Đặt  dx  ⇒  1 dv − =   ( + 2)2 v = xx + 2 2 x 2 x 2 x −x e x −x e x x e x x ⇒ I = + xe dx = + xe dx = −
+ xe − e + C. 12 x ∫ ∫ + 2 x + 2 x + 2
Ví dụ 4: Tính các nguyên hàm sau:
a) I = xln
∫ ( 2x +1 dx b) 2
I = x tan xdx 13 ) 14 ∫ c) 2 I = x ln ∫
( 2x +1 dx d) I = x sin xdx 15 ) 16 ∫ Lời giải  2xdx u  = ln( 2 1+ x ) du =  2 a) I = xln ∫ ( 2x +1 . dx Đặt  1+ x  ⇒ 13 )  2 xdx = dvx +1 v =  2 2 2 2 x + x + x x + ⇒ I = x ln ∫ ( 1 1 2 1 2 1+ x ) ( ) dx = ln ( 2 1+ x ) ( ) ( ) − dx = ln ∫ ( 2 1+ x − xdx 13 2 ) 2 2 1 ∫ + x 2 ( 2x + ) 2 2 2 1 x
x +1 ln 1+ x − x ⇒ I = ln 1+ x − + C = + C 13 ( ) 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 b) 2  1 = tan = 1  x I x xdx x − dx = xdx − ∫ ∫   dx 14 2 ∫ ∫ 2  cos x  cos x u  = x  du = dx Ta đi tính x J = . dx ∫ Đặt  ⇒ 2 cos x 1  dx = dv  v = tan x 2 cos x sin xdx d (cos x)
⇒ J = x tan x − tan xdx = x tan x − = x tan x +
= x tan x + ln cos x + C ∫ ∫ cosx ∫ cos x 2 x ⇒ I =
+ x tan x + ln cos x + C 14 2  2xdx u  = ln( 2 1+ x ) du =  2 c) 2 I = x ln ∫ ( 2x +1 . dx Đặt  1+ x  ⇒ 15 )  3 2 x dx = dvx v =  3 ⇒ = ∫ ( + ) 3 x = ( + ) 3 3 x 2x x − = ∫ ( + ) 4 2 2 2 2 2 ln 1 ln 1 . ln 1 x I x x dx x dx x − dx 15 2 ∫ 2 3 3 x +1 3 3 x +1 4 Ta đi tính x K = dx ∫ 2 1+ x 4 3 Đặt − = tan dt x t ⇒ dx = và 2 2 1 x x 3 +1 = tan +1 = ⇒ = = arctan x x x K dx x + + C 2 cos t 2 ∫ 2 cos t 1+ x 3 3 2 3 x ln x +1  −  Do đó: 2 = ∫ ( 2 2 x 3 ln +1 = + arctan x I x x dx x +  + C 15 ) ( ) 3 3  3  d) I = x sin xdx 16 ∫ u  = tdu = dt Đặt 1
x = t ⇒ dt =
xdx ⇒ 2dt = dx ⇒ I = 2t sin tdt.  ⇒ 16 2 ∫
Đặt sintdt dv  = v = − cost
⇒ I = 2t sin tdt = 2  t
− cost + cost = 2
− t cost + 2sin t + C ⇒ I = 2 −
x cos x + 2sin x + C 16 ∫ ∫ 16  
Ví dụ 5: Tính nguyên hàm I = ln ∫ (x+ 2) . dx
A. I = xln (x + 2) − x + C.
B. I = (x + 2)ln(x + 2) − x + C.
C. I = x (x + ) 1 ln 2 + + C.
D. I = x (x + ) 1 ln 2 − + C. x + 2 x + 2 Lời giải:  = ln ( + 2)  dx u xdu = Đặt  ⇒ 
x + 2 (Ta có thể chọn v = ;
x v = x +1..., tuy nhiên ta nên chọn v = x + 2 để dv = dx v = x + 2 tính toán dễ dàng hơn).
Khi đó I = (x + 2)ln(x + 2) − dx = ∫
(x + 2)ln(x + 2)− x +C. Chọn B.
Ví dụ 6: Tính nguyên hàm I = xln (x − ∫ ) 1 . dx 2 2 2 2 A. x − = ln ( − ) 1 x x I x − + + C. B. x 1 = ln ( − ) 1 x x I x − + + C. 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 C. x −1 − = ln ( − ) 1 x x I x + + + C. D. x 1 = ln ( − ) 1 x x I x − − + C. 2 4 2 2 4 2 Lời giải:dx  = ln ( − ) 1 du u x =  Đặt  x −1  ⇒  2 2 dv = xdxx
1 x −1 (x − ) 1 (x + ) 1 v = − = =  2 2 2 2 2 2 2 Khi đó x −1 = ( − ) x +1 x −1 ln 1 − = ln ∫ ( − )1 x x I x dx x −
− + C. Chọn D. 2 2 2 4 2
Ví dụ 7: Tính nguyên hàm = ∫( −2) x I x e . dx A. = ( −3) x I x e + C. B. = ( − ) 1 x I x e + C. C. x
I = xe + C. D. = ( + ) 1 x I x e + C. Lời giải: u  = x − 2 du = dx Đặt  ⇒ 
⇒ I = (x − 2) x x e − e dx = ∫ (x − 2) x x
e − e + C = (x −3) x
e + C. Chọn A. x xdv = e dxv = e
Ví dụ 8: Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = (2x + ) 1 sin .x
Biết F (0) = 3, tìm F (x).
A. F (x) = (2x + )
1 cos x + 2sin x + 2.
B. F (x) = −(2x + )
1 cos x + 2sin x + 4.
C. F (x) = (2x + )
1 cos x − 2sin x + 2.
D. F (x) = −(2x + )
1 cos x − 2sin x + 4. Lời giải: u  = 2x +1 du = 2dx
Ta có: F (x) = (2x + ∫ )
1 sin xd .x Đặt  ⇒ dv sin xdx  = v = − cos x
⇒ F (x) = −(2x + )
1 cos x + 2sin xdx = − ∫ (2x + )
1 cos x + 2sin x + C Mặt khác F (0) = 1
− + C = 3 ⇒ C = 4 ⇒ F (x) = −(2x + )
1 cos x + 2sin x + 4. Chọn B.
Ví dụ 9: Tìm nguyên hàm ln xdx I = . ∫ (x + )2 1 A. ln x I =
− ln x +1 + C.
B. 2xln x − ln x +1 + C. x +1 x +1 C. x ln x I =
− ln x +1 + C. D. x ln x I =
+ ln x +1 + C. x +1 x +1 Lời giải:  = ln  dx u x du =  Đặt   x x ln x dx x ln xdx ⇒  ⇒ I = − = − ln x +1 + C. dv = ∫ Chọn C. ( + + +  x +  )2 1 x x 1 x 1 x 1 1 v = − +1 =  x +1 x +1
Ví dụ 10: Tìm nguyên hàm I = ∫(2− x)cos xd .x
A. I = (2 − x)sin x + cos x + C.
B. I = (2 − x)sin x − cos x + C.
C. I = (2 − x)cos x −sin x + C.
D. I = (2 − x)cos x + sin x + C. Lời giải: u  = 2 − xdu = −dx Đặt  ⇒ 
⇒ I = (2 − x)sin x + sin xdx = ∫
(2− x)sin x −cos x +C. Chọn B.dv = cos xdxv = sin x
Ví dụ 11: Tìm nguyên hàm = ( + ∫ ) 1 .3x I x dx ta được: x ( + ) 1 3x x x A. .3 x I = + C. B. 3 I = + + C. ln 3 2 ln 3 ln 3 (x + ) 1 3x ( + ) 1 3x x x C. I =
− 3x + C. D. 3 I = − + C. ln 3 2 ln 3 ln 3 Lời giải:  = +1 du = dx u x  (x + ) 1 3x 3x dx (x + ) 1 3x x Đặt 3  ⇒  ⇒ I = − ⇒ I = − + C ∫ Chọn D. x 3x . 2 dv = 3 dxv = ln 3 ln 3 ln 3 ln 3  ln 3
Ví dụ 12: Cho nguyên hàm 2 2 x cos xdx = . m x + . n xsin 2x + .
p cos 2x + C ∫ trong đó ;
m n, p;C ∈ .  Tính giá
trị của P = m + n + . p A. 3 P = . B. 5 P = . C. 3 P = . D. 5 P = . 4 4 2 8 Lời giải: Ta có: 1+ cos 2x 1 1 I = x dx = xdx + x cos 2xdx ∫ 2 2 ∫ 2 ∫ du = dx u  = x Đặt  xsin 2x
sin 2xdx xsin 2x cos 2x  ⇒ 
sin 2x ⇒ xcos 2xdx = − = + + C ∫ ∫ dv = cos 2xdxv = 2 2 2 4  2 1 2 1 1 5
⇒ I = x + xsin 2x + cos 2x + C ⇒ m + n + p = . Chọn D. 4 4 8 8 f (x) Ví dụ 13: Cho ( ) 1 F x =
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số 2 x 2 cos x
f '(x) tan x A. ∫ ( ) x + sin 2 ' tan x f x xdx + = − + C. B. ∫ ( ) x sin 2 ' tan x f x xdx = + C. 3 x 3 x 2 2 C. ∫ ( ) x + cos ' tan x f x xdx + = − + C. D. ∫ ( ) x cos ' tan x f x xdx = + C. 3 x 3 x Lời giải:
Tính nguyên hàm I = f ' ∫ (x)tan xdx  =  tan  dx u xdu = f x dx Đặt 2 1  ⇒ 
x ⇒ I = f x x − = f x x − + C ∫ dv = f '  (x) cos ( ) ( ) .tan tan 2 ( ) dx  =  ( ) 2 cos x x v f x f (x) 2 Mặt khác 2 − x 2 − 2 − cos = ' x F x = = ⇒ f x = 2 ( ) 4 3 ( ) 3 cos x x x x 2 Do đó 2 − cos x 1 −sin 2x 1 I = .tan x − + C = − + C. Chọn A. 3 2 3 2 x x x x 2  
Ví dụ 14: Cho ( ) = 1 x F x −
cos x + xsin x là một nguyên hàm của hàm số f ( x)sin . x Nguyên hàm của  2 
hàm số f '(x)cos x là:
A. cos x − xsin x + C.
B. sin x + xcos x + C.
C. cos x + xsin x + C.
D. sin x − xcos x + C. Lời giải:
Tính nguyên hàm I = f ' ∫ (x)cos xdx u  =  cos x
du = −sin xdx Đặt  ⇒ dv f '  (x)dx  = v = f  (x) 2 ( )   ⇒ = .cos + ∫ ( )sin = ( )cos + 1 x I f x x f x xdx f x x −
cos x +xsin x  2  2 2   Mặt khác ( ) x x sin '
= − cos − 1− sin + sin + cos x F x x x x x x x =
= f (x)sin x  2  2 2 Do đó ( ) x f x =
⇒ I = cos x + xsin . x Chọn C. 2 f (x) Ví dụ 15: Cho ( ) x
F x = e + x là một nguyên hàm của hàm số . x
Tìm nguyên hàm của hàm số f '(x)ln .x A. ( x + )ln x x e x
x − e − x + C. B. ( x + ) 1 ln x x e
x − e − x + C. C. ( x + ) 1 ln x x e
x − e + x + C. D. ( x + )ln x x e x
x + e + x + C. Lời giải:
Tính nguyên hàm I = f ' ∫ (x)ln xdx  =  ln  dx u xdu = f x dx Đặt x  ⇒  ⇒ = − = − − + ∫ dv = f  (x) x I f (x) ( ) ln x
f (x)ln x e x C. ' dx  =  ( ) x v f x f (x) Mặt khác = F '(x) x
= e +1⇒ f (x) = x( x e + ) 1 x Suy ra = ( x + ) 1 ln x I x e
x − e − x + C. Chọn B.
Ví dụ 16: Cho F (x) = xsin x là một nguyên hàm của hàm số ( ) x f x e .
Tìm nguyên hàm của hàm số '( ) x f x e
A. x(sin x + cos x) + sin x + C. B. x
e (cos x −sin x) + sin x + C.
C. x(cos x − 2sin x) + sin x + C.
D. x(cos x −sin x) + sin x + C. Lời giải: x x u  = e du = e dx Đặt  ⇒  ⇒ I = f ' ∫ (x) x x
e dx = e . f (x) − f ∫ (x) x  = 
(x)dx v = f  (x) .e dx dv f ' = ( ) x
f x e − xsin x + C. Lại có: ( ). x
f x e = F '(x) = sin x + xcos x
⇒ I = sin x + x cos x − xsin x + C = x(cos x − sin x) + sin x + C. Chọn D. f (x)
Ví dụ 17: Cho F (x) 2
= x +1 là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của f '(x)ln .x x A. f ∫ (x) 2 '
ln xdx = x (2ln x + ) 1 + C. B. f ∫ (x) 2 '
ln xdx = x (1− 2ln x) + C. C. f ∫ (x) 2 '
ln xdx = −x (2ln x + ) 1 + C. D. f ∫ (x) 2 '
ln xdx = x (2ln x − ) 1 + C. Lời giải:  =  ln  dx u xdu = f x Đặt  ⇔  x suy ra f
∫ (x) xdx = x f (x) ( ) ' .ln ln . − dx ∫ dv = f ' 
(x)dx v = f x  (x) f x f x Ta có F′(x) ( ) ( ) = ⇔ x = ⇔ f (x) 2 2 = 2x x x Do đó f ′ ∫ (x) 2 2 2
.ln xdx = 2x .ln x − x −1+ C = x (2ln x − )
1 + C. Chọn D.
Ví dụ 18: Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của xf (x). Tìm nguyên hàm của f '(x)ln .x A. f ∫ (x) 1  1 ' ln xdx ln x  = + +     C. B. f ∫ (x) 1 1 ' ln xdx = ln x + +   C. 2 x  2  x  2  C. f ∫ (x) 1  1 ' ln xdx ln x  = + + 1   C. D. f '
∫ (x)ln xdx = 2ln x+1 +C. 2 ( ) 2 x  2  x Lời giải:  =  ln  dx u xdu = f x Đặt  ⇔  x suy ra f
∫ (x) xdx = x f (x) ( ) ' .ln ln . − dx ∫ dv = f ' 
(x)dx v = f x  (x)
Ta có F′(x) = x f (x) 1
⇔ = x f (x) ⇔ f (x) 1 . . = 2 x x Do đó f ′ ∫ (x) ln x dx ln x 1 .ln xdx = − + C = + + C. 2 ∫ Chọn A. 3 2 2 x x x 2x f (x)
Ví dụ 19: Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của f '(x)ln .x 3 x A. f ∫ (x) 2  1 ' ln xdx x ln x = − +     C. B. f ∫ (x) 2 1 '
ln xdx = x ln x + +   C.  2   2  C. f ∫ (x) 2 '
ln xdx = x (2ln x − ) 1 + C. D. f ∫ (x) 2  1 ' ln xdx x ln x  = − +   C.  2  Lời giải:  =  ln  dx u xdu = f x Đặt  ⇔  x suy ra f
∫ (x) xdx = x f (x) ( ) ' .ln ln . − dx ∫ dv = f ' 
(x)dx v = f x  (x) f x f x Ta có F′(x) ( ) 1 ( ) = ⇔ = ⇔ f (x) 2 = x 3 3 x x x 2 Do đó ′ ∫ ( ) 2 2 .ln = ln − = .ln x f x xdx x x xdx x x − + C. ∫ Chọn D. 2 f (x)
Ví dụ 20: Cho F (x) = x tan x + ln cos x là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm 2 cos x
số f '(x) tan .x A. f '
∫ (x)tan xdx = ln cos x +C. B. f '
∫ (x)tan xdx = ln sin x +C. C. f '
∫ (x)tan xdx = −ln cos x +C. D. f '
∫ (x)tan xdx = −ln sin x +C. Lời giải:  =  tan  dx u xdu = f x Đặt 2  ∫ ∫  =  ( ⇔  ⇒ = − x) cos x
f '(x).tan xdx f (x) ( ) .tan x dx dv f ' dx  =  ( ) 2 cos x v f x f x x f x Ta có F′(x) ( ) ( ) = ⇔ cot x + − tan x = ⇔ f x = . x 2 2 2 ( ) cos x cos x cos x Do đó f ′
∫ (x).tan xdx = .xtan x− .xtan x−ln cos x +C = −ln cos x +C. Chọn C.
Ví dụ 21: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = ln x thỏa mãn điều kiện F ( ) 1 = 3. Tính giá trị của biểu thức F(e) T = 2 + log 3.log F e . 4 3  ( )
A. T = 2.
B. T = 8. C. 9 T = .
D. T =17. 2 Lời giải:  = ln  dx u xdu = Đặt  ⇔  x suy ra f
∫ (x)dx = .xln x− dx = .xln x− x+C ∫ dv = dx v = x Mà F ( ) 1 = 3 
→1.ln1−1+ C = 3 ⇔ C = 4. Vậy T =17. Chọn D.
Ví dụ 22: Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2x
f x = xe thỏa mãn 1 F   =   0.  2  Tính 5 ln F     .  2  A. 5 ln F   = 2 −   . B. 5 ln F   =   1. C. 5 ln F   =   5. D. 5 ln F   =   6.  2   2   2   2  Lời giải:du = dx 2x 2x 2x 2x u  = x Đặt  .xe e .xe e 2x  ⇔  e ⇒ f ∫ (x)dx = − dx = − + C ∫ 2xdv = e dxv = 2 2 2 4  2 2x 2x Mà  1  =  → =  → ( ) . 0 0 F x e e F C x = −   . Vậy 5 ln F   =   5. Chọn C.  2  2 4  2 
Ví dụ 23: Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) . x f x x e− = thỏa mãn F (0) = 1.
− Tính tổng S các
nghiệm của phương trình F (x) + x +1 = 0. A. S = 3. −
B. S = 0.
C. S = 2. D. S = 1. − Lời giải: u  = xdu = dx Đặt  ⇔  ⇒ f
∫ (x)dx = − . −x − x
x e + e dx = − . −x − x
x e − e + C ∫ − x − xdv = e dxv = −e Mà (0) = 1 −  → −1 = 1 − ⇔ = 0  →F( ) = − . −x − x F C C x x e − e .  = − − − − x Do đó F (x) x x
+ x + = ⇔ −x e − e + x + = ⇔ (x + )( x − e ) 1 1 0 . 1 0 1 1 = 0 ⇔  . Chọn D. x = 0
Ví dụ 24: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = xsin x thỏa mãn F (π ) = 2π. Tính giá trị của
biểu thức T = 2F (0) −8F (2π ).
A. T = 6π.
B. T = 4π.
C. T = 8π.
D. T =10π. Lời giải: u  = xdu = dx Đặt  ⇔  ⇒
.xsin xdx = − .xcos x + cos xdx = − .xcos x + sin x + C ∫ ∫ dv = sin xdxv = − cos x
Mà F (π ) = 2π 
→C = 4π. Do đó F (x) = − .xcos x + sin x + 4π.
Vậy T = 2.4π −8.2π = 8 − π. Chọn C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = xcos x thỏa mãn F (π ) = 2017.
A. F (x) = xsin x − cos x + 2019.
B. F (x) = xsin x + cos x + 2018.
C. F (x) = −xsin x + cos x −1.
D. F (x) = −xsin x − cos x + 2017.
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x f x = . 2 cos x
A. −xcot x − ln cos x + C.
B. x tan x + ln cos x + C.
C. −xcot x + ln cos x + C.
D. −x tan x + ln cos x + C.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của x y = xe . A. ∫ ( ) 2 x
f x dx = x e + C. B. ∫ ( ) x
f x dx = xe + C.
C. ∫ ( ) = ( + )1 x f x dx x e + C.
D. ∫ ( ) = ( − )1 x f x dx x e + C.
Câu 4: Tìm nguyên hàm của y = xln .x 2 2 A. x 1 2
ln x + x + C. B. 2 1 2
x ln x − x + C. C. x 1 2
ln x − x + C. D. 1
x ln x + x + C. 2 4 2 2 4 2
Câu 5: (THPT Chuyên Bến Tre 2017) Tìm nguyên hàm của f (x) = ln .x
A. xln x + C.
B. x − xln x + C.
C. xln x + x + C.
D. xln x − x + C.
Câu 6: Tìm một nguyên hàm  π
F (x) của hàm số f (x) = xsin x thỏa mãn F  =   2019.  2 
A. F (x) = xsin x + cos x + 2019.
B. F (x) = sin x − xcos x + 2018.
C. F (x) = xsin x − cos x + 2019.
D. F (x) = sin x + xcos x + 2018.
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + ) 1 sin .x A. (x + )
1 cos x + sin x + C. B. −(x + )
1 cos x + sin x + C. C. −(x + )
1 cos x − sin x + C. D. (x + )
1 cos x − sin x + C.
Câu 8: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) (2 )1 x f x x e− = − . A. −(2 + ) 1 −x x e + C. B. −(2 − ) 1 −x x e + C.
C. −(2 + 3) −x x e + C.
D. −(2 −3) −x x e + C.
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + ) 1 cos .x A. (x + )
1 sin x − cos x + C. B. (x + )
1 sin x + cos x + C. C. −(x + )
1 sin x − cos x + C. D. −(x + )
1 sin x + cos x + C.
Câu 10: Một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = ln x thỏa mãn F ( )
1 = 3. Tính F (e).
A. F (e) = 3.
B. F (e) =1.
C. F (e) = 4.
D. F (e) = 0.
Câu 11: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số ( ) . x f x x e− = thỏa mãn F (0) =1. A. ( )1 x x e− − + +1. B. ( )1 x x e− − + + 2. C. ( )1 x x e− + +1. D. ( )1 x x e− + + 2.
Câu 12: Tìm một nguyên hàm của hàm số ( ) = ( 2 + 2 ) x f x x x e . A. (2 + 2) x x e . B. 2 x x e . C. ( 2 + ) x x x e . D. ( 2 − 2 ) x x x e .
Câu 13: (THPT Chuyên Đại học Vinh 2017) Cho y = f (x) thỏa mãn '( ) = ( + ) 1 x f x x e và ∫ ( ) = ( + ) x f x dx
ax b e + c, với a,b,c ∈ .  Tính a + . b
A. a + b = 0.
B. a + b = 3.
C. a + b = 2.
D. a + b =1.
Câu 14: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho ( ) 2
F x = x là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 . x f x e .
Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 ' . x f x e . A. f ∫ (x) 2x 2 '
.e dx = −x + 2x + C. B. f ∫ (x) 2x 2 '
.e dx = −x + x + C. C. f ∫ (x) 2x 2 '
.e dx = 2x − 2x + C. D. f ∫ (x) 2x 2 ' .e dx = 2
− x + 2x + C.
Câu 15: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho ( ) = ( − ) 1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số ( ) 2 . x
f x e . Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 ' . x f x e . A. ∫ ( ) 2 ' x − = ( − 2) x f x e dx x e + C. B. f ∫ (x) 2x 2 ' x x e dx = e + C. 2 C. ∫ ( ) 2 ' x = (2 − ) x f x e dx x e + C. D. ∫ ( ) 2 ' x = (4 − 2 ) x f x e dx x e + C. f (x)
Câu 16: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F (x) 1 = −
là một nguyên hàm của hàm số . 3 3x x
Tìm nguyên hàm của hàm số f '(x)ln .x A. f ∫ (x) ln x 1 ' ln xdx = + + C. B. f ∫ (x) ln x 1 ' ln xdx = − + C. 3 5 x 5x 3 5 x 5x C. f ∫ (x) ln x 1 ' ln xdx = + + C. D. f ∫ (x) ln x 1 ' ln xdx = − + + C. 3 3 x 3x 3 3 x 3x f (x)
Câu 17: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho F (x) 1 =
là một nguyên hàm của hàm số . Tìm 2 2x x
nguyên hàm của hàm số f '(x)ln .x A. f ∫ (x)  ln x 1 ' ln xdx  = − + + ln x 1   C. B. f ' ∫ (x)ln xdx = + + C. 2 2  x 2x  2 2 x x C. f ∫ (x) ln x 1 ' ln xdx = + + C. D. f ∫ (x)  ln x 1 ' ln xdx  = − + +   C. 2 2 x 2x 2 2  x x f (x) Câu 18: Cho ( ) 1 F x = là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của hàm số f '(x)ln .x 2 x x A. f ∫ (x) 2ln x 1 ' ln xdx = + + C. B. f ∫ (x)  2ln x 1 ' ln xdx  = − + +   C. 2 2 x x 2 2  x x C. f ∫ (x) 2ln x 1 ' ln xdx = − + C. D. f ∫ (x)  2ln x 1 ' ln xdx  = − − +   C. 2 2 x x 2 2  x x f (x)
Câu 19: Cho F (x) = ln x là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của f '(x)ln .x 2 x A. f '
∫ (x)ln xdx = x(ln x+ )1+C. B. f '
∫ (x)ln xdx = x(ln x− )1+C. C. f '
∫ (x)ln xdx = x(ln x− x)+C. D. f '
∫ (x)ln xdx = x(1−ln x)+C. f (x) Câu 20: Cho ( ) 1 F x = là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của hàm số f '(x)ln .x 3 x x A. f ∫ (x) 3ln x 3 ' ln xdx = − + + C. B. f ∫ (x) 3ln x 3 ' ln xdx = − + C. 2 2 x 2x 2 2 x 2x C. f ∫ (x) 3ln x 3 ' ln xdx = − − + C. D. f ∫ (x) 3ln x 3 ' ln xdx = + C. 2 2 x 2x 2 2 x 2x f (x) Câu 21: Cho ( ) 1 F x = là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của hàm số f '(x).xln .x 2 x x A. ∫ ( )  1 ln ' ln 4 x f x x xdx  = − − +  ln x 1    C. B. f '
∫ (x)xln xdx = 4 + +   C. 2  x x  2  x x C. ∫ ( )  1 ln ' ln 4 x f x x xdx  = − +  ln x 1    C. D. f '
∫ (x)xln xdx = 4 − + +   C. 2  x x  2  x x f (x) Câu 22: Cho ( ) 1 F x = là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của f (x) ( 3 ' . x + ) 1 . 2 x x A. f ∫ (x)( 3x + ) 2 ' 1 dx = 4x + + C. B. f ∫ (x)( 3x + ) 2 ' 1 dx = 4x − + C. 2 x 2 x C. f ∫ (x)( 3x + ) 2 ' 1 dx = 4 − x − + C. D. f ∫ (x)( 3x + ) 2 ' 1 dx = x + + C. 2 x 2 x 2 f (x)
Câu 23: Cho ( ) x F x = là một nguyên hàm của
. Tìm nguyên hàm của f '(x)ln .x 4 x 2 2 A. f ∫ (x) x  1 ' ln xdx ln x  = − + x  1    C. B. f ' ∫ (x)ln xdx = ln x + +   C. 2  2  2  2  2 2 C. f ∫ (x) x  1 ' ln xdx ln x  = − + x  1    C. D. f ' ∫ (x)ln xdx = ln x + +   C. 2  2x  2  2x Câu 24: Cho ( ) x
F x = −xe là một nguyên hàm của ( ) 2x
f x e . Tìm nguyên hàm của ( ) 2 ' x f x e . A. ∫ ( ) 2 ' x − = 2(1− ) x f x e dx x e + C. B. f ∫ (x) 2x 1 ' x x e dx = e + C. 2 C. ∫ ( ) 2 ' x = ( − ) 1 x f x e dx x e + C. D. ∫ ( ) 2 ' x = ( − 2) x f x e dx x e + C.
Câu 25: Cho ( ) = 2( − ) 1 x F x x
e là một nguyên hàm của hàm số '( ) x
f x e và f (0) = 0. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x f x e .
A. ∫ ( ) x = ( 2 −2 + )1 x f x e dx x x e + C.
B. ∫ ( ) x = ( 2 + 2 −2) x f x e dx x x e + C.
C. ∫ ( ) x = ( 2 −2 + 2) x f x e dx x x e + C.
D. ∫ ( ) x = ( 2 + 2 − )1 x f x e dx x x e + C.
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN u  = xdu = dx Câu 1: Đặt  ⇒ 
⇒ F (x) = xcos xdx = xsin x − sin xdx ∫ ∫ dv = cos xdxv = sin x
= xsin x + cos x + C. Lại có F (π ) = π sinπ + cosπ + C = 1 − + C = 2017 ⇒ C = 2018
Do đó F (x) = xsin x + cos x + 2018. Chọn B. u  = x  du = dx Câu 2: Đặt  dx ⇒  ⇒ f
∫ (x)dx = xtan x− tan xdx ∫ dv = v = tan x 2  cos x sin x d (cos x) = x tan x −
dx = xsin x +
= xsin x + ln cos x + C. ∫ cosx ∫ Chọn B. cos x u  = xdu = dx Câu 3: Đặt  ⇒  x xdv = e dxv = e Khi đó x x x x x = − = − + = ∫ ∫ ( − ) 1 x xe dx xe e dx xe e C x
e + C. Chọn D. dx du =  =  2 2 2 u ln x Câu 4: Đặt  x x ln x x x ln  ⇒  ⇒ x ln x x xdx = − dx = − + C. ∫ ∫ Chọn C. 2 dv = xdxx 2 2 2 4 v =  2  = ln  dx u x  = Câu 5: du Đặt  ⇒ 
x ⇒ ln xdx = x ln x − dx = x ln x − x + C. ∫ ∫ Chọn D. dv = dx v = x u  = xdu = dx Câu 6: Đặt  ⇒ 
⇒ xsin xdx = −x cos x + cos xdx ∫ ∫ dv = sin xdxv = − cos x
= −x cos x + sin x + C ⇒ F (x) = f
∫ (x)dx = sin x− xcos x+C. Lại có:  π  π π π F
= − cos + sin + C =1+ C = 2019 ⇒ C =   2018  2  2 2 2
Vậy F (x) = sin x − xcos x + 2018. Chọn B. u  = x +1 du = dx Câu 7: Đặt  ⇒  ⇒ f
∫ (x)dx = −(x+ )1cos x+ cos xdx ∫ dv = sin xdxv = − cos x = −(x + )
1 cos x + sin x + C. Chọn B. u  = 2x −1 du = 2dx Câu 8: Đặt  ⇒  − x − xdv = e dxv = −e
Khi đó ∫(2 − )1 −x = −(2 − )1 x + 2 −x = ∫
(1− 2 ) −x − 2 −x x e dx x e e dx x e e + C = ( 1
− − 2 ) −x + = −(2 + ) 1 −x x e C x
e + C. Chọn A. u  = x +1 du = dx Câu 9: Đặt  ⇒ 
⇒ ∫(x + )1cos xdx = (x + )1sin x − sin xdx ∫ dv = cos xdxv = sin x = (x + )
1 sin x + cos x + C. Chọn B.  = ln  dx u x  = Câu 10: du Đặt  ⇒ 
x ⇒ F (x) = ln xdx = x ln x − dx = x ln x − x + C. ∫ ∫ dv = dx v = x Lại có: F ( )
1 =1.ln1−1+ C = 3 ⇒ C = 4 ⇒ F (e) = eln e − e + 4 = 4. Chọn C. u  = xdu = dx Câu 11: Đặt  ⇒  − x − xdv = e dxv = −e Khi đó ( ) − x − x − x − x − x = = − + = − − + = − ∫ ∫ ( + ) 1 −x F x xe dx xe e dx xe e C x e + C. Mặt khác (0) 1 1 2 ( ) ( )1 x F C C F x x e− = − + = ⇒ = ⇒ = − + + 2. Chọn B. 2 u  = x + 2x
du = (2x + 2)dx Câu 12: Đặt  ⇒  ⇒ f
∫ (x)dx = ( 2x + 2x) xe − ∫(2x+ 2) xedx x x dv = e dx v = e
Xét nguyên hàm ∫(2 + 2) x x e dx u  = 2x + 2 du = 2dx Đặt 1 1  ⇒ 
⇒ ∫(2x + 2) xedx = (2x + 2) xe −2 xedx ∫ x x dv = e dx v =   e 1 1
= (2 + 2) x − 2 x = 2 x x e e xe + C.
Do đó ∫ ( ) = ( 2 + ) x x 2 2 − 2 x f x dx x x e
xe + C = x e + C. Chọn B.
Câu 13: Ta có ∫ ( ) = ( + ) x f x dx ax b e + . c
Đạo hàm 2 vế ta được ∫ ( ) ′ = ( + ) x f x dx ax b e + c ′         ⇔ ( ) x =
+ ( + ) x = ( + + ) x f x ae ax b e ax a b e
Tiếp tục đạo hàm 2 vế ta được: '( ) x =
+ ( + + ) x = ( + 2 + ) x = ( + ) 1 x f x ae ax a b e ax a b e x e a =1
Đồng nhất 2 vế ta có: 
⇒ a + b = 0. Chọn A. 2a + b = 1 2x 2 u  = e du = 2 x e dx Câu 14: Đặt  ⇒  ⇒ f ' ∫ (x) 2x 2 . x
e dx = e . f (x) 2 − 2 x e . f ∫ (x)dx dv = f ' 
(x)dx v = f  (x) 2x = e f (x) 2 . − 2x + C
Mặt khác f (x) 2x
e = F (x) = x ⇒ f ∫ (x) 2x 2 . ' 2 '
.e dx = 2x − 2x + C. Chọn D. 2x 2 u  = e du = 2 x e dx Câu 15: Đặt  ⇒  ⇒ f ' ∫ (x) 2x 2 . x
e dx = e . f (x) 2 − 2 x e . f ∫ (x)dx dv = f ' 
(x)dx v = f  (x) 2x = . ( ) − 2( − ) 1 x e f x x e + C Mặt khác ( ) 2 . x = '( ) x = + ( − ) 1 x x f x e F x e x e = xe ∫ ( ) 2 ' . x x = − 2( − )
1 x + = (2 − ) x f x e dx xe x e C
x e + C. Chọn C.  =  ln  dx u xdu = f x Câu 16: Đặt  ∫ ∫  =  ( ⇒  ⇒ = − x) x
f '(x)ln xdx f (x) ( ) ln x dx dv f ' dx  =  ( ) x v f x = f (x) 1 ln x + + C 3 3x f (x) 2 Lại có: = ( ) 1 3 − x 1 1 ln ' = − . = ⇒ = ⇒ ln x F x f x f x x = 6 4 ( ) 3 ( ) 3 x 3 x x x x Do đó f ∫ (x) ln x 1 ' ln xdx = + + C. Chọn C. 3 3 x 3x f (x) Câu 17: Ta có F (x) 1 − 1 ' f x − = = ⇒ = suy ra f (x) 2 ' ln x = .ln .x 3 ( ) 2 x x x 3 x  1 u  = ln x du = dx  Đặt   x x dx − x  2 ⇒  ⇒ f ∫ (x) ln ln 1 ' ln xdx = − + = − + C. 2 ∫ 3 2 2 dv =  dx 1 − x x x 2x 3  xv = 2  x  =  ln  dx u xdu = f x dx Cách 2: Đặt  ∫ ∫  =  ( ⇒  ⇒ = − x) x
f (x)dx f (x) ( ) ln x dv f ' dx  =  ( ) x v f x = f (x) 1 ln x − + C 2 2x f (x) Mặt khác = ( ) 1 − 1 − − ln ' = ⇒ = ⇒ ln x F x f x f x x = 3 ( ) 2 ( ) 2 x x x x Do đó f ∫ (x)  ln x 1 ' ln xdx  = − + + 
C. Chọn A. 2 2  x 2x   =  ln  dx u xdu = f x Câu 18: Đặt  ∫ ∫  = ′  ( ) ⇔ 
x ⇒ f ′(x).ln xdx = f (x) ( ) .ln x − dx dv f x dx  =  ( ) x v f x f x Ta có F′(x) 2 ( ) 2 = − = 
→ f x = − . Vậy f ∫ (x)  2.ln x 1 .ln xdx  ′ = − + +   C. 3 ( ) 2 x x x 2 2  x x Chọn B.  =  ln  dx u xdu = f x Câu 19: Đặt  suy ra f ′
∫ (x) xdx = x f (x) ( ) .ln ln . − dx ∫  = ′  ( ) ⇔  x dv f x dxv = f x  (x) f x f x Ta có F′(x) ( ) 1 ( ) = ⇔ = ⇔ f x = x 2 2 ( ) x x x Do đó f ′
∫ (x).ln xdx = .xln x− dx = x ∫ (ln x − )
1 + C. Chọn B.  =  ln  dx u xdu = f x Câu 20: Đặt  ∫ ∫  = ′  ( ) ⇔ 
x ⇒ f ′(x).ln xdx = f (x) ( ) .ln x − dx dv f x dx  =  ( ) x v f x f x Ta có F′(x) 3 ( ) 3 = − =  → f x = − . 4 ( ) 3 x x x Vậy f ∫ (x)  2.ln x 1 .ln xdx  ′ = − + + 
C. Chọn B. 2 2  x x u  =  .xln x
du = ln x +1 f x Câu 21: Đặt  ∫ ∫  =  ( ) ⇔  ′  = 
( ) ⇒ f ′(x).xln xdx = f (x) ( ) .xln x − dx dv f x dx v f x x f x Ta có F′(x) 2 ( ) 2 = − =  → f x = − . 3 ( ) 2 x x x Vậy f ∫ (x)  2.ln x 1 .ln xdx  ′ = − + + 
C. Chọn B. 2 2  x x  3 2 u  = x +1 du = 3x dx Câu 22: Đặt  ⇔  ⇒ f ′
∫ (x).( 3x + )1dx = ( 3x + )1.f (x) 2 − 3x . f ∫ (x)  = ′  ( )  =  ( ) . dx dv f x dx v f x f x f x Ta có F′(x) ( ) 2 ( ) 2 = ⇔ − = ⇔ f x = − . 3 ( ) 2 x x x x 3 2 x +1 Khi đó f ′ ∫ (x) ( 3x + ) ( ) 2 . 1 dx = − + 6dx = 4x − + C. 2 ∫ Chọn B. 2 x x  =  ln  dx u xdu = f x Câu 23: Đặt  suy ra f ′
∫ (x) xdx = x f (x) ( ) .ln ln . − dx ∫  = ′  ( ) ⇔  x dv f x dxv = f x  (x) 2 f x x f x Ta có ′( ) ( ) ( ) = ⇔ = ⇔ ( ) x F x f x = x 2 x 2 2 2 2 Do đó ′ ∫ ( ) x .ln x x x .ln .ln x x f x xdx = − dx = − + C. 2 ∫ Chọn A. 2 2 4 2x 2 u  = e du = 2 x e dx Câu 24: Đặt  ⇔  ⇒ f ′ ∫ (x) 2x
e dx = f (x) 2 . x e − 2 f ∫ (x) 2x  = ′  ( )  =  ( ) .e dx dv f x dx v f x
Ta có F (x) f (x) 2x e ( x x e )′ ′ = ⇔ −
= f (x) 2x x
e ⇔ −e (x + ) = f (x) 2x
e ⇔ f (x) x +1 . . . 1 . = − . x e Khi đó f ∫ (x) 2x 2x x +1 e dx e .  ′ = −
− 2 −x e + C = x − e +   C Chọn C. x ( . x) ( ) 1 x .  e u  = f (x)
du = f ′(x)dx Câu 25: Đặt  ⇔  ⇒ f
∫ (x). xedx = f (x). xe − f ′ ∫ (x). xedx x x dv = e dx v = e
Ta có ( ) = ( ). x ⇔ 2( − ) 1 x ′ ′ ′
 = ′( ). x ⇔ 2 . x = ′( ). x F x f x e x e f x e x e
f x e ⇔ f ′(x) = 2x  
Lại có f (x) = f ′ ∫ (x) 2
dx = 2xdx = x + C ∫ mà f ( ) = 
→C = ⇒ f (x) 2 0 0 0 = x . Do đó ∫ ( ) x 2 x = − ( − ) x + = ( 2 . . 2 1 − 2 + 2) x f x e dx x e x e C x x
e + C. Chọn C.
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: