CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
I. Vi phân của hàm số
Vi phân của hàm số y = f (x) được ký hiệu là dy và cho bởi dy = df (x) = y dx
′ = f ′(x)dx
Ví dụ: d (sin x cos x) (sin x cos x)′ + = +
dx = (cos x − sin x)dx
II. Một số công thức vi phân quan trọng (1). 1 ( ) 1 dx d ax b − = ± =
d (b ± ax) a a (2). 1 xdx = d ( 2 x ) 1 = d ( 2 ax ± b) 1 = − d ( 2
b ± ax ) 2 2a 2a (3). 2 1 x dx d ( 3 x ) 1 d ( 3 ax b) 1 − = = ± = d ( 3
b ± ax ) 3 3a 3a (4). x ( ) 1 sin d cosx − = − =
d (a cos x ± b) a (5). xdx = d ( ) 1 cos
sinx = d (asin x ± b) a (6). dx 1
= d tan x = d a tan x ± b 2 ( ) ( ) cos x a (7). dx 1 d cot x − = − =
d a cot x ± b 2 ( ) ( ) sin x a (8). dx − = d ( x) 1
= d (a x ±b) 1 =
d (b ± a x) 2 x a a (9). x ( x) 1 ( x ) 1 − = = ± = ( x e dx d e d ae b
d b ± ae ) a a
(10). dx d ( x) 1 d (a x b) 1 ln ln − = = ± =
d (b ± a ln x) x a a
Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm sin x − cos x . dx ∫ sin x + cos x A. 1 − + C. B. 1 + C. sin x + cos x sin x + cos x
C. ln sin x + cos x + C.
D. −ln sin x + cos x + C. Lời giải: − − + ′
Ta có sin x cos x cos x sin x (sin x cos x) dx = − dx = − dx ∫ sinx ∫ ∫ + cos x sin x + cos x sin x + cos x d(sin x + cos x) = −
= − ln sin x + cos x + C. ∫ Chọn D. sin x + cos x
Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm x +1 I = ∫ ( dx x + 2x) . 2 2 A. 1 2 − −
− ln x + 2x + C. B. 1 + C. C. 1 + C. D. 2 + C. 2 2 2x + 4x 2 x + 2x (x +2x)3 2 Lời giải: x +1 1 2x + 2 1 d ( 2 x + 2x) Ta có: ∫ ( dx = dx = ∫ ∫ x + 2x)2 2 (x + 2x)2 2 (x + 2x)2 2 2 2 Áp dụng du 1 − 1 C I − = + ⇒ = + C. ∫ Chọn B. 2 2 u u 2(x + 2x)
Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm xdx I = . ∫ (1+ x )2 2 3 A. 3 2 x +1 + C B. 3 3 2 x +1 + C. C. 2 3 2 x +1 + C. D. 3 (x + )2 2 3 1 + C. 2 2 3 2 Lời giải: xdx 1 d ( 2 x ) 2 1 − + Ta có: 1 I = = = ∫ ∫
∫( 2x + )1 d ( 2 3 x + ) 1
( + x )2 2 ( + x )2 2 2 3 3 2 1 1 1 = .3.( 2 x + )1 3 3 2 3 1 + C =
x +1 + C. Chọn B. 2 2
Ví dụ 4: Hàm số nào sau đây không phải nguyên hàm của hàm số ( ) 1+ sin x f x = . x − cos x
A. ln 2x − 2cos x .
B. ln x − cos x +1.
C. 1 ln (x − cos x)2 . D. ( x − )2 ln 2 2cosx . 2 Lời giải: 1+ sin x x cos x ′ − d x − cos x Ta có: F (x) ( ) ( ) = dx = dx =
= ln x − cos x + C x ∫ ∫ − cos x x − cos x x − cos x
Với C = ln 2 ta được F (x) = ln 2x − 2cos x .
Với C =1 ta được F (x) = ln x − cos x +1.
Với C = 0 ta được F (x) 1
= ln (x − cos x)2 = ln x − cos x . 2
Đáp án sai là D. Chọn D. Ví dụ 5: Giả sử  π
F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) cos x f x = . Biết rằng F  =   1. 4sin x − 3  2  Tìm F (x) .
A. F (x) 1 1 = 4sin x − 3 + .
B. F (x) = 4sin x −3. 2 2 C. F (x) 1 3 = − 4sin x − 3 + .
D. F (x) = − 4sin x −3 + 2. 2 2 Lời giải: cos xdx d sin x 1 d 4sin x − 3 Ta có: F (x) ( ) ( ) = = = ∫ ∫ ∫ 4sin x − 3 4sin x − 3 4 4sin x − 3
Áp dụng du = u + C ⇒ F ∫ (x) 1 =
4sin x − 3 + C 2 u 2 Do  π  1 F
= + C = ⇒ F (x) 1 1 1 = 4sin x − 3 +   .Chọn A.  2  2 2 2
Ví dụ 6: Giả sử F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = . Biết rằng  1 F  =   1. x(2 + 3ln x)2  e  Tìm F (x). A. F (x) 1 4 − = + . B. F (x) 1 2 = + . 9ln x + 6 3 9ln x + 6 3 C. F (x) 1 − = + 2. D. F (x) 1 = . 3ln x + 2 3ln x + 2 Lời giải: dx d (ln x) 1 d (3ln x + 2) Ta có: F (x) 1 − = = = = + C ∫ ∫ ∫ x(2 + 3ln x)2
(2+3ln x)2 3 (2+3ln x)2 3(3ln x + 2) Do  1  1 − 2 F =
+ C = ⇒ C = ⇒ F (x) 1 − 2 1 = +   .Chọn B.  e  3 − 3 9ln x + 6 3
xsin x + x +1 cos x
Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) ( ) = .
xsin x + cos x A. 2
x + ln xsin x + cos x + C.
B. x + ln xsin x + cos x + C. (x x + x)2 sin cos C. x + + C.
D. x + xsin x + cos x . 2 Lời giải:
Nhận xét (xsin x cos x)′ +
= sin x + x cos x − sinx = x cos x
xsin x + (x + ) 1 cos x Ta có:  x cosx  x cos = 1 x dx + dx = dx + ∫ ∫  dx xsin x ∫ ∫ + cos x 
xsin x + cos x 
xsin x + cos x
d (xsin x + cos x) x +
= x + ln xsin x + cos x + C. ∫ Chọn B.
xsin x + cos x
Ví dụ 8: Cho hàm số f (x) luôn dương và thỏa mãn f ′(x) = (2x + )
1 . f (x) với mọi x∈ . Biết rằng
f (2) =16 . Gía trị của f ( ) 1 bằng: A. 2. B. 5 . C.4. D. 5. 2 Lời giải: f ′ x
Ta có: f ′(x) = (2x + ) 1 . f (x) ( ) ⇔ = 2x +1 f (x) f ′(x) df ′ x
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: dx = ∫ ∫( x+ ) ( ) 2 2 1 dx ⇔
= x + x + C ∫ f (x) f (x) ⇔ ( ) 2
2 f x = x + x + C Thay x = 2 ta có: 2
2. 6 = 2 + 2 + C ⇒ C = 2 Thay x =1ta có: f ( ) 2 2 1 =1 +1+ 2 ⇒ f ( ) 1 = 4.Chọn C.
Ví dụ 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2008] Cho hàm số f (x) thỏa mãn f ( ) 2 2 = − và 9
f ′(x) = x  f (x) 2 2  
 với mọi x ∈  . Giá trị của f ( ) 1 bằng: A. 35 − − − − . B. 2 . C. 19 . D. 2 . 36 3 36 15 Lời giải: f ′ x
Ta có: f ′(x) = 2x  f  ( x) 2 ( )  ⇒ = 2x   f (x) 2    f ′(x) d  f  ( x)
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có:  2 1 − 2 dx = 2xdx ⇔ = x + C ⇔ = x + C. ∫ ∫ ∫  f  ( x) 2   f   ( x) 2  f (x)  Mặt khác f ( ) 2 9 2 1 1 − 2 1
2 = − ⇒ = 2 + C ⇔ C = ⇒ = x + 9 2 2 f (x) 2 Thay x 1 1 3 2 = 1ta được − = + = ⇒ = − Chọn B. f ( ) 1 f ( ) 1 . 1 2 2 3
Ví dụ 10: Cho hàm số f (x) luôn dương và thỏa mãn f ′(x) 2
= 3x . f (x) với mọi x∈ . Biết rằng f (0) =1. Giá trị của f ( ) 1 bằng: A.1. B. .e C. 2 e . D. 3 e . Lời giải: f ′ x Ta có: f ′(x) 2 = x f (x) ( ) 2 3 . ⇔ ( ) = 3x f x f ′(x) df ′ x 2 ( )
Lấy nguyên hàm 2 vế ta có: 3
∫ ( ) dx = 3x dx ⇔ ∫ ∫ ( ) = x +C f x f x ⇔  ( ) 3
ln f x  = x + C 
(Do f (x) > 0 x ∀ ∈ ) Suy ra ( ) 3 x C f x e + = . Do (0) C f
= e =1 ⇔ C = 0 ⇒ f ( )
1 = e . Chọn B.
Ví dụ 11: Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) f ′(x) 5 2 .
= 3x + 6x . Biết f (0) = 2. Tính giá trị 2 f (2). A. 2 f (2) =144. B. 2 f (2) =100. C. 2 f (2) = 64. D. 2 f (2) = 81. Lời giải:
Ta có f (x) f ′(x) 5 2
= x + x ⇔ f
∫ (x) f ′(x)dx = ∫( 5 2 . 3 6 .
3x + 6x )dx 6 2 6 ⇔ f
∫ (x)d ( f (x)) x f x 3 ( ) x 3 2 = + x + C ⇔ =
+ x + C ⇔ f (x) 6 3 2 2
= x + 4x + 2C. 2 2 2 Mà f ( ) 2 = ⇒ f ( ) 2
= ⇒ C = ⇒ f (x) 6 3 0 2 0 4 2 4 = x + 4x + 4. Vậy 2 f (2) = ( 6 3 x + 4x + 4) 6 3
= 2 + 4.2 + 4 =100. Chọn B. x=2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số ( ) x f x =
và F (0) =1. Tính F ( ) 1 . 2 x +1 A. ln 2 +1. B. 1 ln 2 +1. C. 0. D. ln 2 + 2. 2
Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2 = x 1+ x . A. 1 2 2
x 1+ x + C.
B. 1 (x 1+ x )3 2 2 + C. C. 1 ( 1+ x )3 2 + C. D. 1 2 2
x 1+ x + C. 2 3 3 3
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 5 = cos xsin . x A. 1 6 − cos x + C. B. 1 6 − sin x + C. C. 1 6 cos x + C. D. 1 4 − cos x + C. 6 6 6 4
Câu 4: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x(x + )4 2 2 1 thỏa mãn F ( ) 1 = 6. x (x + )5 2 2 1 (x + )5 2 1 A. F (x) 2 = − . B. F (x) 2 = − . 5 5 5 5 x (x + )5 2 2 1 (x + )4 2 1 C. F (x) 2 = + . D. F (x) 2 = − . 5 5 5 5
Câu 5: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x(x + )9 2 1 thỏa mãn F ( ) 21 0 = . 20 A. F (x) 1 = − (x + )10 2 1 +1.
B. F (x) 1 = (x + )10 2 1 +1. 20 20
C. F (x) = (x + )10 2 2 1 −1.
D. F (x) = (x + )10 2 1 + 2.
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 3cos x f x = e .sin .x A. 1 3cosx e cos x + C. B. 1 3cosx − e + C. C. 3cos 3 x e + C. D. 3cos 3 x e cos x + C. 3 3
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = cos x sin x +1. A. 2 (sin x + )3 1 + C. B. 2 − (sin x + )3 1 + C. 3 3
C. 2 sin x +1 + C. D. 2 (sin x + )3 1 + C. 3 3
Câu 8: Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 . x x f x x e − = −
, biết rằng đồ thị của hàm số F (x) có điểm
cực tiểu nằm trên trục hoành. 3 x −3x+2 3 x −3x 2 3 x −3x A. F (x) 3 x −3x 2 − − − = e − e .
B. F (x) e 1 = . C. ( ) e e F x = .
D. F (x) e 1 = . 2 3e 3 3
Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 2 x 1 xe + = . A. 1 2x e + C. B. 1 2x − e + C. C. 1 2x 1 e + + C. D. 1 2x 1 e − + C. 2 2 2 2 Câu 10: Hàm số ( ) 2 x
f x = xe có một nguyên hàm là F (x) thỏa F ( ) 1
0 = . Tìm nghiệm của phương trình 2 F (x) x 2 2 e + = . A. x = 1 − hoặc x = 2.
B. x = 0 hoặc x = 2. − C. x = 1 − hoặc x = 0.
D. x = 0 hoặc x = 2.
Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln x f x = . 2x 2 2 2
A. ln x + C.
B. ln x + C.
C. ln x + C. D. 1 + C. 4 2 4x 2 2x
Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số ( )  1 x f x  = +  ln . x  x ln x  2 2 A. 2 2 ln +
x + x + C.
B. ln x x + C. 2 2 2   C. ln x 2 + x + C. D. x 2 ln x + ln x + C. 2  2ln x 
Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ln x f x = . x A. 2 ln x + C.
B. 1 ln x + C. C. 1 2 ln x + C. D. 1 + C. 2 2 2 x
Câu 14: Một nguyên hàm F (x) của hàm số ( ) x f x =
thỏa F (0) =1. Tính log F 1 − . 2  ( ) 2  x +1 A. 2 log F 1 −  = . 1 log F 1 −  = . log F 1 −  = 2. log F 1 −  = 2. 2  ( ) B. 2  ( ) 2  C. 2  ( ) 2  D. 2  ( )
Câu 15: Tìm hàm số f (x) . Biết rằng f ′(x) 2
= x 1+ x và 2 f (− ) 1 = 3. ( +x )32 1 2
A. f (x) = +1. B. ( ) 1 x f x + = +1. 3 3 x ( + x )2 2 2 1 ( +x )32 1
C. f (x) = −1.
D. f (x) = −1. 2 2
Câu 16: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) x −1 = thỏa mãn F ( ) 1 = 2017. 2 x − 2x + 5 A. F (x) 2
= x − 2x + 5 + 2015. B. F (x) 2
= 2 x − 2x + 5 + 2017. 2 C. F (x) x − 2x + 5 − = + 2016. D. F (x) 2x 2 = + 2016. 2 2 x − 2x + 5 Câu 17: Hàm số ( ) x f x =
có một nguyên hàm là F (x) thỏa F ( ) 3 1 = ln 3. Tính F( 7) e . 2 x + 2 2 A. F( 7) e = 3. B. F( 7) e = 9. C. F( 7) e = 27. D. F( 7) e = 81.
Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) 1 = .
x ln x + x
A. ln ln x +1 + C.
B. ln ln x −1 + C.
C. −ln ln x +1 + C.
D. −ln ln x −1 + C.
Câu 19: Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x f x = . 2 3x + 2 2 A. 1 2 3 + x + 2 + C. B. 1 2 C − 3x + 2. C. 1 2 3x + 2 + C.
D. 2 3x 2 + C. 3 3 6 3
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN x 1 d ( 2 x + ) 1
Câu 1: F (x) 1 = dx = = ln ∫ ∫
( 2x +1 +C mà F (0) =1⇒ C =1 2 2 ) x +1 2 x +1 2 Do đó F (x) 1 =
( 2x + )+ ⇒ F ( ) 1 ln 1 1 1 = ln 2 +1.Chọn B. 2 2 3 Câu 2: 1 x + x dx = + x d ∫ ∫ ( + x ) 1 2 = (x + ) 1 1 1 1 . 1 + C = (x + )3 2 2 2 2 2 2 1 + C.Chọn C. 2 2 3 3 Câu 3: 5 5
cos xsin xdx = − cos xd ∫ ∫ (cos x) 1 6
= − cos x + C.Chọn A. 6
Câu 4: F (x) = x
∫ (x + )4 dx = ∫(x + )4 d (x + ) 1 2 1 1 1 = (x + )5 2 2 2 2 1 + C 5 2 (x + )5 2 1
Mà F ( ) = ⇒ C = − ⇒ F (x) 2 1 6 = − .Chọn B. 5 5 5
Câu 5: F (x) = x ∫ (x + )9 1
dx = ∫(x + )9 d (x + ) 1 1 = (x + )10 1 1 1 1 . 1 + C = (x + )10 2 2 2 2 2 1 + C 2 2 10 20 Mà F ( ) 21 =
⇒ C = ⇒ F (x) 1 0 1 = (x + )10 2 1 +1. Chọn B. 20 20 Câu 6: 3cosx 1 3cos sin x = − ∫ ∫ (3cos ) 1 3cosx e xdx e d x = − e + C.Chọn B. 3 3 Câu 7: x x + dx = x + d ∫ ∫ ( x + ) 2 cos sin 1 sin 1 sin 1 = (sin x + )3 1 + C.Chọn A. 3 x = −
Câu 8: ( ) = ∫( − ) 3x− x 1 3 1 x − x = ∫ ( −3 ) 1 3 2 3 3 3 x −3x F x x e dx e d x x = e
+ C. Ta có f (x) 1 = 0 ⇔ 3 3  x = 1 3 x −3x+2
Do hàm số có cực tiểu nằm trên trục hoành nên F ( ) 1 e −1 1 = 0 ⇔ C = − ⇒ F x = . 2 ( ) 2 3e 3e Chọn B. Câu 9: 2 x + 1 2x xe dx e + d ∫ (x ) 1 2 1 1 2 x 1 1 e + = + = + C.Chọn C. 2 2 Câu 10: ( ) 2 x 1 2 x = = ∫ ∫ ( ) 1 2 2 x F x xe dx
e d x = e + C.Mà (0) 1 = ⇒ = 0 ⇒ ( ) 1 2x F C F x = e 2 2 2 2  = − + + x 1 Ta có 2F (x) 2 x 2 x x 2 2 = e ⇔ e = e
⇔ x = x + 2 ⇔  .Chọn A. x = 2 Câu 11: ln x 1 dx = ln xd ∫ ∫ (ln x) 1 2
= ln x + C.Chọn A. 2x 2 4 Câu 12:  1 x  ln + ln x xdx =
dx + xdx = ln xd ∫ ∫ ∫ ∫ (ln x) 1 2 1 2
+ xdx = ln x + x +   C. ∫ Chọn B.  x ln x  x 2 2
Câu 13: ln x dx = ln xd ∫ ∫ (ln x) 1 2
= ln x + C.Chọn C. x 2 x 1 d ( 2 x + ) 1
Câu 14: F (x) 2 = dx = = x +1 + C ∫ ∫ mà 2 2 x +1 2 x +1
F ( ) = ⇒ C = ⇒ F (x) 2 0 1 0 = x +1 Ta có F (− ) 1 1 = 2 ⇒ log F 1 −  = log 2 = . 2  ( ) Chọn B. 2 2
Câu 15: f (x) 1 = x + x dx = + x d ∫ ∫ ( + x ) 1 1 1 1 = (1+ x )3 2 2 2 2 + C 2 3 3 ( + x )3 2 1 Mà 2 f (− ) 1 = 3 ⇔ f (− )
1 = ⇒ C =1⇒ f (x) = +1. Chọn A. 2 3 x −1 d ( 2 x − 2x + 5)
Câu 16: F (x) 2 = dx =
= x − 2x + 5 + C. ∫ ∫ 2 2 x − 2x + 5 2 x − 2x + 5 Mà F ( ) = ⇒ C = ⇒ F (x) 2 1 2017 2015
= x − 2x + 5 + 2015. Chọn A. x 1 d ( 2 x + 2)
Câu 17: F (x) 1 = dx = = ln ∫ ∫
( 2x +2 +C mà F ( ) 3 1 = ln 3 ⇒ C = ln 3 2 2 ) x + 2 2 x + 2 2 2 Do đó F (x) 1
= ln (x + 2) + ln3 ⇒ F ( 7) F( 7 2 ) 2ln3 = 2ln 3 ⇒ e = e = 9.Chọn B. 2 1 1 dx d (ln x) Câu 18: dx = =
= ln ln x +1 + C. ∫ xlnx ∫ ∫ Chọn A. + x ln x +1 x ln x +1 x 1 d ( 2 3x + 2) Câu 19: 1 2 dx = = 3x + 2 + C. ∫ ∫ Chọn A. 2 2 3x + 2 6 3x + 2 3
Document Outline

• ITMTTL~1
• IIBITP~1
• IIILIG~1