30 trang 46 lượt tải

Chuyên đề trắc nghiệm thể tích khối lăng trụ

92

Tài liệu gồm 30 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề thể tích khối lăng trụ, có đáp án và lời giải chi tiết.Mời bạn đọc đón xem.

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện 172 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Lan Tường

1 năm trước
Danh sách Quiz
/30
CHỦ ĐỀ 8: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tính thể tích khối lăng trụ:
.=V Sh
Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ đứng
Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác dều cạnh a. Biết mặt phẳng (A'BC) tạo với
đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
23
4
a
B.
3
3
8
a
C.
3
33
8
a
D.
3
33
4
a
Lời giải
Diện tích đáy cùa lăng trụ là
2
3
.
4
=
ABC
a
S
Dựng
,⊥AH BC
có
Do đó:
(
) ( )
( )
; 60
′′
= = °A BC ABC A HA
Ta có:
33
tan 60 .
22
′
= ⇒ = °=
aa
AH A H AH
Thể tích khối lăng trụ là:
3
33
..
8
′
= =
ABC
a
V S AA
Chọn C
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng
AC
′
tạo với
mặt phẳng
()BCC B
′′
một góc
30
°
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A.
3
15
5
a
B.
3
6
8
a
C.
3
15
8
a
D.
3
6
4
a
Lời giải
Dựng
AH BC
′ ′′
⊥⇒
H là trung điểm của
BC
′′
.
Mặt khác
()A H BB A H BCC B
′ ′ ′ ′′
⊥⇒ ⊥
.
Khi đó
( ;( )) 30A C BCC B A CH
′ ′′ ′
= = °
Ta có:
3
sin 30 3
2
a
AC AH AC a
′′ ′
°− − ⇒ =
Suy ra
22
2.AA A C AC a
′′
= −=
Thể tích khối lăng trụ là:
23
36
. .2
44
ABC
aa
V S AA a
′
= = =
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác vuông cân tại A có
AB AC a= =
. Biết
diện tích tam giác
A BC
′
bằng
2
3
2
a
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A.
3
2a
B.
3
a
C.
3
3
a
D.
3
2
a
Lời giải
Diện tích đáy của lăng trụ là
2
.
2
ABC
a
S =
Dựng
,AH BC⊥
có
() .BC AA BC A HA BC A H
′′ ′
⊥⇒⊥ ⇒⊥
Mặt khác
22
2
3
2.
2
ABC
S
BC AB AC a A H a
BC
′
= +=⇒= =
Do
22
2
.
22
BC a
AH AA A H AH a
′′
== ⇒= − =
Thể tích khối lăng trụ là:
3
..
2
ABC
a
V S AA
′
= =
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác cân với
AB AC a= =
,
120 ,BAC
= °
mặt phẳng
()AB C
′′
tạo với đáy một góc
60°
. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A.
3
3
8
a
V =
B.
3
9
8
a
V
=
C.
3
8
a
V =
D.
3
3
4
a
V =
Lời giải
Gọi M là trung điểm của
BC
′′
Khi đó
( ) 60
BC AM
BC AMA AMA
B C AA
′′ ′
⊥
′′ ′ ′
⇒⊥ ⇒ =°
′′ ′
⊥
Ta có:
2 22 2
2 2 cos120 3 3BC a a a BC a= − °= ⇒ =
2
2
33
tan 60 .
22 2
aa a
AM a AA h AM

′ ′′
= − = ⇒ = = °=



23
2
13 3
sin120 . .
24 8
ABC ABC
aa
S a V S AA
′
= °= ⇒ = =
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác cân tại A có
3AB AC a= =
. Biết
rằng
3AA a
′
=
và mặt phẳng
(
)
A BC
′
tạo với đáy một góc
60°
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
6a
B.
3
66a
C.
3
26a
D.
3
26
3
a
Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC, ta có
AM BC⊥
Mặt khác
( )
BC AA BC AA M
′′
⊥⇒⊥
Do đó
60A MA
′
= °
. Khi đó
tan 60AA AM
′
= °
22
2 2.
AM a BM AB AM a⇒=⇒= − =
Khi đó
2
1
. . 2 2.
2
ABC
S BC AM BM AM a= = =
Do đó
23
.
. . 3.2 2 2 6
ABC A B C ABC
V AA S a a a
′′′
′
= = =
. Chọn C.
Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác ABC vuông tại B có
3, .AB a BC a= =
Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng
BM
′
tạo với đáy một góc
45 .°
Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
3
2
a
B.
3
6
2
a
C.
3
3
4
a
D.
3
6
6
a
Lời giải
Ta có:
22
2
AC AB BC a= +=
.
Do vậy
2
AC
BM a= =
(tính chất trung tuyến trong tam giác vuông).
Lại có:
2
13
.
22
ABC
a
S AB AC= =
Mặt khác:
( )
( )
; 45 .B M ABC B MB
′′
= = °
Suy ra
tan 45 .
BB BM a
′
= °=
Vậy
3
3
V. .
2
ABC
a
BB S
′
= =
Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có tam giác ABC vuông tại B có
3BC a=
. Gọi M là trung
điểm của
AC
′′
và I là giao điểm của
AC
′
và AM. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng
()ABC
bằng 2a và
5AB a
′
=
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
6a
B.
3
2a
C.
3
9a
D.
3
18a
Lời giải
Do
//
AM AC
nên
13
.
22
IA MA A C
IC AC IC
′′ ′
==⇒=
Do đó
(
)
(
)
( )
(
)
3
d ; d; 3 .
2
A ABC I ABC a AA
′′
= = =
Mặt khác
22
4.
AB A B AA a
′′
= −=
Do đó
3
.
4 .3
. . 3 . 18
2
ABC A B C ABC
aa
V AA S a a
′′′
′
= = =
. Chọn D
Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ đứng
.
ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác ABC vuông tại A có
5 , 12 .AB a AC a= =
Biết rằng mặt phẳng
( )
A BC
′
tạo với đáy một góc
60
°
. Tính thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
.
A.
3
800 3
.
13
a
B.
3
3600 3
.
13
a
C.
3
900 3
.
13
a
D.
3
1800 3
.
13
a
Lời giải
Dựng
.AH BC⊥
Mặt khác
.AA BC
′
⊥
Do đó
( )
.A HA BC
′
⊥
Khi đó
( ) ( )
( )
; 60 .A BC ABC A HA
′′
= = °
Mặt khác
22
. 60
.
13
AB AC
AH a
AB AC
= =
+
Suy ra
60 3
tan .
13
AA AH A HA a
′′
= =
Vậy
3
1800 3
..
13
ABC
a
V AA S
′
= =
Chọn D.
Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác ABC có
60 , 3BAC AB a=°=
và
4.AC a=
Gọi M là trung điểm của
BC
′′
, biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng
(B AC)
′
bằng
3 15
10
a
. Thể
tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
a
B.
3
9
a
C.
3
4a
D.
3
27a
Lời giải
Ta có:
2
1
. sin 3 3.
2
ABC
S AB AC BAC a
= =
Dựng
;.
BE AC BF B E
′
⊥⊥
Khi đó
BC B B
BC BE
′
⊥
⊥
Suy ra
Do vậy
( )
33
d ;(B AC) ; sin .
2
a
M BF BE AB A
′
= = =
Mặt khác
( ) (
)
1
d ;(B AC) d C;(B AC)
2
M
′′
=
( )
1 1 3 15 3 15
d B;(B AC)
2 2 10 5
aa
BF BF
′
= = = ⇒=
Mặt khác
3
.
2 22
111
3 3 . 27
ABC A B C ABC
BB a V BB S a
BF BB BE
′′′
′′
= + ⇒= ⇒ = =
′
. Chọn D.
Ví dụ 10: Cho hình lăng trụ đứng
.
ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác
vuông, AB=BC=a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng
( )
ACC
′
và
()AB C
′′
bằng
60
°
(tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp
.B ACC A
′ ′′
bằng
A.
3
.
3
a
B.
3
.
6
a
C.
3
.
2
a
D.
3
3
.
3
a
Lời giải
Dựng
( )
BM AC BM ACCA
′ ′ ′ ′ ′′
⊥⇒⊥
Dựng
()
MN AC AC MNB
′′ ′
⊥⇒⊥
Khi đó
( )
( )
( ); ( ) 60AB C AC A MNB
′ ′ ′′ ′
= = °
Ta có:
26
26
tan ( )
BM
aa
B M MN
MNB
′
′
= ⇒= =
′
Mặt khác
tan
MN AA
AC A
CN AC
′
′′
= =
′ ′′
Trong đó
62
,
62
aa
MN MC
′
= =
22
3
3
a
CN CM MN AA a
′′ ′
⇒= − = ⇒=
Thể tích lăng trụ
23 3
..
2
..
2 2 33 3
B ACC A B BAC
AB a V a
V h V VV V V
′ ′′ ′
= = ⇒ =− =−= =
Chọn A.
Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có
, 30 ,AB AC a ACB
= = = °
đường thẳng
AC
′
tạo với
mặt phẳng
( )
ABB A
′′
một góc
45
°
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là
A.
3
3
8
a
B.
3
6
8
a
C.
3
3
4
a
D.
3
6
4
a
Lời giải
Ta có tam giác ABC cân tại A do đó
30BC= = °
120 .BAC = °
Dựng
CH AB⊥
, có
CH AA
′
⊥
suy ra
( ) ( )
( )
; 45CH ABB A CA ABB A CA H
′′ ′ ′′ ′
⊥⇒ ==°
Mặt khác
3
sin sin 60
2
a
CH AC CAH a
= = °=
.
Suy ra
6
sin 45
2
a
CA CH A C
′′
°= ⇒ =
22
.
2
ABC
a
AA A C AC V AA S
′′ ′
⇒ = − = ⇒=
3
16
. .sin120
28
a
AA AB
′
= °=
.Chọn B.
Ví dụ 12: Cho khối lăng trụ đứng
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình chữ nhật ABCD có
, 3.AB a AD a
= =
Mặt phẳng
(
)
A BD
′
tạo với đáy một góc
60°
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
33
2
a
B.
3
3
2
a
C.
3
3
a
D.
3
3
2
a
Lời giải
Dựng
,AH BD⊥
ta có
( )
AH AA A AH BD
′′
⊥⇒ ⊥
Do đó
( ) ( )
( )
; 60A BD ABCD A HA
′′
= = °
Mặt khác
22
.3
2
AB AD a
AH
AB AD
= =
+
Suy ra
2
3
tan 60 , . 3
2
ABCD
a
A A AH S AB AD a
′
= °= = =
3
.
33
..
2
ABCD A B C D ABCD
a
V AA S
′′′′
′
⇒==
Chọn A
Ví dụ 13: Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình chữ nhật ABCD có
3, 4.AB a AD a= =
Đường thẳng
AC
′
tạo với mặt phẳng
(
)
ABBA
′′
một góc
30°
. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là:
A.
3
2 39.a
B.
3
18 39.
a
C.
3
39.a
D.
3
6 39.a
Lời giải
Ta có:
( )
BC AB
BC ABB A
BC B B
⊥
′′
⇒⊥
′
⊥
( )
( )
; 30AC ABBA CAB
′ ′′ ′
⇒==°
Khi đó
.tan 30 4 4 3AB BC a AB a
′′
°= = ⇒ =
Do vậy
22
39AA AB AB a
′′
= −=
3
. 6 39.
ABCD
V AAA a
′
⇒= =
Chọn D.
Ví dụ 14: Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
đáy là hình chữ nhật có
2, 6.AB a AD a= =
Gọi M là
trung điểm của AD, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng
( )
A BM
′
bằng
12
7
a
. Thể tích khối hộp
.ABCD A B C D
′′′′
là:
A.
3
24a
B.
3
12a
C.
3
3a
D.
3
8a
Lời giải
Gọi
I AC BM= ∩
ta có
1
2
IA AM
IC BC
= =
Do vậy
(
)
(
)
(
)
( )
12
; 2; .
7
d C A BM d A A BM a
′′
= =
Dựng
,
AE BM AF A E
′
⊥⊥
khi đó
( )
( )
6
;
7
a
d A A BM AF
′
= =
. Mặt khác
222 2 222
11 1 1 111
AE AA AF AF AM AB AA
+ = ⇔ = ++
′′
3
. 12
ABCD
AA a V AA S a
′′
⇒ =⇒= =
. Chọn B.
Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác vuông cân
3AC BC a
= =
, hình chiếu vuông
góc của
B
′
lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng
( )
ABB A
′′
tạo với mặt phẳng
( )
ABC
một góc
60°
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
96
8
a
B.
3
96
4
a
C.
3
36
4
a
D.
3
9
4
a
Lời giải
Dựng
CI AB I⊥⇒
là trung điểm của AB.
Ta có:
( )
60 .BGI AB BIG
′′
⊥⇒ =°
Lại có:
1 32 2
22 2
aa
CI AB GI= = ⇒=
6
tan 60
2
a
B G GI
′
⇒ = °=
23
.
69 9 6
..
22 4
ABC A B C ABC
a aa
V BGS
′′′
′
= = =
.Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của
B
′
lên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng
( )
BCC B
′′
và mặt phẳng đáy bằng
60°
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
33
8
a
B.
3
93
16
a
C.
3
36
16
a
D.
3
33
16
a
Lời giải
Kẻ
( )
60 .
HK BC BC B HK B KH
′′
⊥⇒⊥ ⇒ =°
Ta có:
33
sin 60 tan 60
44
aa
HK HB B H HK
′
= °= ⇒ = °=
23
.
3 33 3
..
4 4 16
ABC A B C ABC
aa a
V BHS
′′′
′
= = =
.
Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A
′
trên
mặt phẳng
( )
ABC
là trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa đường thẳng
AA
′
và mặt phẳng đáy
( )
ABC
bằng
30°
. Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
là:
A.
3
3
4
a
B.
3
3
16
a
C.
3
53
12
a
D.
3
3
12
a
Lời giải
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC.
Ta có:
323
2 33
aa
AM AH AM
= ⇒= =
Khi đó:
2
3
tan 30 ,
34
ABC
aa
A H HA S
′
= °= =
Do vậy:
3
.
3
.
12
ABC A B C ABC
a
V S AH
′′′
′
= =
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh 4a. Hình chiếu của
A
′
trên mặt phẳng
(
)
ABC
là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
3.HB HA=
Góc tạo bởi đường thẳng
AC
′
và mặt đáy bằng
30°
.
Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
′′′
là:
A.
3
4 13a
B.
3
13
8
a
C.
3
13
4
a
D.
3
13a
Lời giải
Ta có:
3; .HB a HA a= =
Gọi E là trung điểm của AB.
Ta có:
( )
43
23
2
a
CE a= =
222 2
2 . cos60 13
CH HA AC HA AC a
⇒ = + − °=
Hoặc
22
13CH CE HE a
= +=
2
13
tan 30 ; 4 3
3
ABC
a
A H CH S a
′
⇒ = °= =
Khi đó
3
.
. 4 13
ABC A B C ABC
V S AH a
′′′
′
= =
Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C có
2,AC BC a= =
hình
chiếu vuông góc của
A
′
lên mặt đáy trùng với trung điểm của AB. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng
AC
′
và AB bằng
2
.
3
a
Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
là:
A.
3
42a
B.
3
8a
C.
3
4a
D.
3
2a
Lời giải
Gọi H là trung điểm của
2AB CH a
⇒=
Khi đó ta có:
( )
CH AB
AB A HC
AB A H
⊥
′
⇒⊥
′
⊥
Dựng
( )
;HK A C d A C AB HK
′′
⊥⇒ =
Mặt khác
22
111
2AH a
HK
AH HC
′
= + ⇒=
Do vậy
3
.
.4
ABC A B C ABC
V AHS a
′′′
′
= =
. Chọn C.
Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, tam
giác
C MC
′
cân tại
C
′
và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng
AC
′
tạo với đáy góc
60°
. Thể
tích khối lăng trụ là:
A.
3
37
16
a
B.
3
21
16
a
C.
3
33
16
a
D.
3
21
4
a
Lời giải
Ta có:
2
33
,
24
ABC
aa
CM S= =
Gọi H là trung điểm của CM suy ra
.
C H CM
′
⊥
Mặt khác có
( ) ( ) (
)
C MC ABC C H ABC
′′
⊥ ⇒⊥
( )
( )
; 60 ..AC ABC C AH
′′
⇒==°
Lại có
22
7
.
4
a
AH MH AM= +=
Suy ra
21
tan 60
4
a
C H AH
′
= °=
.
Vậy
3
.
37
.
16
ABC A B C ABC
a
V CHS
′′′
′
= =
. Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có tam giác ABC vuông tại B, có
,2AB a AC a= =
. Tam giác
A AC
′
cân tại
A
′
và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng
( )
A AC
′
tạo với đáy một góc
45°
.
Thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
′′′
là:
A.
3
23a
B.
3
3
12
a
C.
3
3
6
a
D.
3
3
4
a
Lời giải
Gọi H là trung điểm của AC khi đó
AH AC
⊥
.
Mặt khác
( ) ( )
.
A AC ABC
′
⊥
Do đó
( )
A H ABC
′
⊥
. Dựng
HK BC
⊥
(
)
45AHK BC AKH
′′
⇒ ⊥⇒ =°
Ta có:
22 2
AB a a
HK A H HK
′
==⇒==
23
.
33
..
22 4
ABC A B C ABC
aa a
V AHS
′′′
′
= = =
Chọn D.
Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác ABC vuông tại B có
2AB BC a= =
. Biết rằng
hình chiếu của
A
′
lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết
2 14
3
a
AC
′
=
. Thể tích khối lăng
trụ đã cho là:
A.
3
2
a
B.
3
4a
C.
3
4
3
a
D.
3
8a
Lời giải
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của
AB ta có:
22
5CM MB CB a= +=
22
2
52
3
CH a A H A C CH a
′′
⇒= ⇒ = − =
Do vậy
( )
2
3
.
2
. 2. 4
2
ABC A B C ABC
a
V AHS a a
′′′
′
= = =
.
Chọn B.
Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác ABC đều cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh
A
′
xuống mặt đáy thuộc cạnh AC sao cho
2HC HA=
. Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng
( )
ABB A
′′
bằng
9
2
a
. Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
là:
A.
3
18 3a
B.
3
36 3a
C.
3
54 3
a
D.
3
27 3a
Lời giải
Dựng
( )
,HK AC HF A E HF ABA
′′
⊥ ⊥⇒⊥
Ta có:
(
)
( )
( )
( )
9
;3;3
2
a
d C ABA d H ABA HF
′′
= = =
Lại có:
3
sin 60 2 sin 60 3; .
2
a
HE HA a a HF= °= °= =
Mặt khác:
2 22
111
3.AH a
HE A H HF
′
+ = ⇒=
′
Vậy
(
)
2
3
.
63
. 3 . 27 3
4
ABC A B C ABC
a
V AHS a a
′′′
′
= = =
Chọn D.
Ví dụ 10: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết rằng hình chiếu vuông góc
A
′
xuống đáy trùng với trung điểm của AB và
3
2
a
AC
′
=
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
4
a
B.
3
12
a
C.
3
3
4
a
D.
3
3
12
a
Lời giải
Gọi H là trung điểm của
.
2
a
AB AH
⇒=
Ta có:
;AB A H AB CH C H AB
′′
⊥ ⊥⇒ ⊥
222 2222
2AH HC AC HC AC AH a
′′ ′′
⇒+ = ⇒ =−=
22
A H HC AC a
′ ′′
⇒= − =
23
.
33
..
44
ABC A B C ABC
aa
V AHS a
′′′
′
= = =
. Chọn C.
Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
biết
.C ABC
′
là hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h.
Đường thẳng
AA
′
tạo với đáy một góc
60°
. Thể tích khối lăng trụ đã cho tính theo h là:
A.
3
3
8
h
B.
3
3
4
h
C.
3
3
4
h
D.
3
3
2
h
Lời giải
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC.
Khi đó
( )
C H ABC
′
⊥
và
.CH h
′
=
Ta có:
//AA CC
′′
suy ra
CC
′
tạo với đáy một góc
60°
60 .C CH
′
⇒=°
Khi đó
tan 60 .
3
h
CH h CH°= ⇒ =
Đặt
23 3
..
32 3
3
aa h
AB a CH h a=⇒ = = = ⇒=
Do đó
3
.
3
4
ABC A B C
h
V
′′′
=
. Chọn B.
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A
′
xuống đáy là trung điểm của AB. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng
( )
A BC
′
bằng
15
5
a
. Thể tích khối
lăng trụ
.ABC A B C
′′′
là:
A.
3
3
8
a
B.
3
3
4
a
C.
3
8
a
D.
3
3
8
a
Lời giải
Gọi H là trung điểm của
(
)
AB A H ABC
′
⇒⊥
Dựng
,HF A E.HE BC
′
⊥⊥
Khi đó
( )
( )
d; .H A BC HF
′
=
Mặt khác
3
sin sin 60 .
24
aa
HE HB ABC= = °=
Lại có
( )
( )
( )
( )
15
dA;2d;2
5
a
A BC H A BC HF
′′
= = =
15
10
a
HF⇒=
. Mặt khác:
22 2
111
HF HE A H
= +
′
3
33
.
28
ABC
aa
AH V AHS
′′
⇒ = ⇒= =
. Chọn A.
Ví dụ 13: Cho hình chóp hộp
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình chữ nhật có
3, 4AB a AD a= =
. Biết
AA AB AC AD
′′′ ′
= = =
và mặt phẳng
(
)
A CD
′
tạo với đáy một góc
60
°
. Thể tích khối hộp đã cho là:
A.
3
43a
B.
3
12 3
a
C.
3
83a
D.
3
24 3
a
Lời giải
Ta có
AA AB AC AD
′′′ ′
= = =
nên hình chiếu của
A
′
xuống mặt đáy trùng với tâm H của hình chữ nhật
ABCD. Dựng
.HK CD⊥
Lại có
(
)
A H CD CD A CD
′′
⊥⇒⊥
Do vậy
( ) ( )
( )
; 60 .A CD ABCD A KH
′′
= = °
Lại có
2 tan 60 2 3
2
AD
HK A H HK a
′
= = ⇒ = °=
Vậy
3
.
. 24 3
ABCD A B C D ABCD
V AHS a
′′′′
′
= =
. Chọn D.
Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình thoi ABCD tâm O có
2,AC a=
2 3.
BD a=
Hình chiếu vuông góc của
B
′
xuống đáy trùng cới trung điểm của OB. Đường thẳng
BC
′
tạo với đáy góc
45°
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:
A.
3
2 7.a
B.
3
2 3.a
C.
3
3 21.a
D.
3
21.a
Lời giải
Gọi H là trung điểm của OB. Khi đó
22
37
,.
22
aa
OC a OH CH OC OH= = ⇒= + =
Ta có:
( )
( )
; 45B C ABC B CH
′′
= = °
7
2
a
B H CH
′
⇒==
Lại có:
2
1
. 23
2
ABCD
S AC BD a= =
23
.
7
2 3. 21.
2
ABCD A B C D
a
V aa
′′′′
⇒= =
Chọn D
Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy là hình vuông ABCD cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc
của
A
′
xuống đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Biết tam giác
AA C
′
vuông tại
A
′
. Thể tích khối lăng
trụ
.
ABCD A B C D
′′′′
là:
A.
3
72a
B.
3
144a
C.
3
72a 3
D.
3
48a
Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD khi đó ta có:
1
3
GA AC=
. Mặt khác
6 2.AC a=
Suy ra
22, 42.GA a GC a= =
Áp dụng hệ thức lượng trong tam
giác
ACA
′
vuông tại
A
′
có đường cao
AG
′
nên ta có:
.4A G GA GC a
′
= =
3
.
.S 144a
ABCD A B C D ABCD
V AG
′′′′
′
⇒==
. Chọn B.
Ví dụ 16: Cho lăng trụ
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy ABCD là hình chữ nhật có
2 , 2 3,AB a AD a
= =
hình
chiếu vuông góc của
A
′
lên mặt phẳng
(
)
ABCD
trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Biết cạnh
AA
′
tạo với đáy một góc
60°
. Thể tích lăng trụ
.ABCD A B C D
′′′′
là:
A.
3
8a
B.
3
12 3 a
C.
3
24a
D.
3
8 3a
Lời giải
Ta có:
( )
( )
; 60 .AA ABCD A AO
′′
= = °
Mặt khác:
22
42AC AB BC a OA a= + =⇒=
tan 60 2 3OA OA a
′
⇒ = °=
23
.
.S 2 3.4 3 24a
ABCD A B C D ABCD
V OA a a
′′′′
′
= = =
Chọn C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tính thể tích V của khối lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
, biết
3AC a
=
.
A.
3
Va=
B.
3
36
4
a
V
=
C.
3
33Va=
D.
3
1
3
Va=
Câu 2: Cho khối lăng trụ đứng
111
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại A, cạnh
2,BC a=
1
3AB a=
. Thể tích khối lăng trụ
111
.ABC A B C
là:
A.
111
3
.
2
.
3
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
2
ABC A B C
Va=
C.
111
3
.
6
ABC A B C
Va=
D.
111
3
.
2
ABC A B C
Va=
Câu 3: Cho khối lăng trụ đứng
111
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại A, cạnh
2,BC a
=
1
AC
tạo với mặt đáy một góc
60
°
. Thể tích khối lăng trụ
111
.
ABC A B C
là:
A.
111
3
.
33
.
2
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
3 3.
ABC A B C
Va=
C.
111
3
.
3
.
2
ABC A B C
a
V
=
D.
111
3
.
6 3.
ABC A B C
Va=
Câu 4: Cho khối lăng trụ đứng
111
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại A, cạnh
2,BC a=
( )
1
A BC
hợp với mặt đáy một góc
30
°
. Thể tích khối lăng trụ
111
.
ABC A B C
là:
A.
111
3
.
3
.
6
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
3
.
12
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
6
.
36
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
6
.
12
ABC A B C
a
V =
Câu 5: Cho khối lăng trụ đứng
111
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại B,
2,
BA BC a= =
( )
1
AC
hợp với mặt đáy một góc
60°
. Thể tích khối lăng trụ
111
.
ABC A B C
là:
A.
111
3
.
46
.
3
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
46
ABC A B C
Va=
C.
111
3
.
42
.
9
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
42
.
3
ABC A B C
a
V =
Câu 6: Cho khối lăng trụ đứng
111
.ABC A B C
có đáy
ABC
với
, AC 2 ,AB a a
= =
và
120 ,BAC = °
mặt phẳng
( )
1
A BC
hợp với đáy một góc
60°
. Thể tích khối lăng trụ
111
.ABC A B C
là:
A.
111
3
.
21
.
14
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
3 21
.
14
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
7
.
14
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
7
.
42
ABC A B C
a
V
=
Câu 7: Cho lăng trụ đứng
111 1
.ABCD A B C D
có đáy ABCD là hình chữ nhật với
2,AB a=
,AD a=
đường
chéo
1
BD
của lăng trụ với đáy ABCD một góc
30°
. Thể tích khối lăng trụ
111 1
.ABCD A B C D
là:
A.
1111
3
.
2 15
.
9
ABCD A B C D
a
V =
B.
1111
3
.
2 15
.
3
ABCD A B C D
a
V =
C.
1111
3
.
3
.
3
ABCD A B C D
a
V =
D.
1111
3
.
3
.
9
ABCD A B C D
a
V =
Câu 8: Cho lăng trụ tứ giác đều
111 1
.ABCD A B C D
có cạnh đáy bằng a và mặt
( )
1
DBC
tạo với đáy ABCD
một góc
60°
. Thể tích khối lăng trụ
111 1
.ABCD A B C D
là:
A.
1111
3
.
3
.
3
ABCD A B C D
a
V =
B.
1111
3
.
3
.
9
ABCD A B C D
a
V =
C.
1111
3
.
6
.
2
ABCD A B C D
a
V =
D.
1111
3
.
6
.
6
ABCD A B C D
a
V =
Câu 9: Cho lăng trụ
111
.ABC A B C
có đáy là tam giác đều canh a. Hình chiếu của điểm
1
A
lên
( )
ABC
trùng
với trọng tâm tam giác ABC,
1
23
3
a
AA =
. Thể tích khối lăng trụ
111
.ABC A B C
là:
A.
111
3
.
6
.
12
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
6
.
6
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
3
.
12
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
3
.
4
ABC A B C
a
V =
Câu 10: Cho lăng trụ
111
.ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
3a
, cạnh bên có độ dài bằng
2a
.
Hình chiếu của điểm
1
A
lên
( )
ABC
trùng với trung điểm của BC. Thể tích khối lăng trụ
111
.
ABC A B C
là:
A.
111
3
.
3 21
.
8
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
21
.
24
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
14
.
12
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
14
.
8
ABC A B C
a
V =
Câu 11: Cho lăng trụ
111
.ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
3a
. Hình chiếu của điểm
1
A
lên
( )
ABC
trùng với trung điểm của BC, cạnh bên hợp với đáy một góc
60°
. Thể tích khối lăng trụ
111
.ABC A B C
là:
A.
111
3
.
3
.
12
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
33
.
8
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
9
.
8
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
27
.
8
ABC A B C
a
V =
Câu 12: Cho lăng trụ
111
.
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
3a
. Hình chiếu của điểm
1
A
lên
( )
ABC
trùng với trung điểm của BC, mặt
( )
1
A AB
hợp với đáy một góc
α
thỏa mãn
2
tan .
3
α
=
Thể tích
khối lăng trụ
111
.ABC A B C
là:
A.
111
3
.
3
.
24
ABC A B C
a
V
=
B.
111
3
.
33
.
8
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
6
.
12
ABC A B C
a
V
=
D.
111
3
.
6
.
9
ABC A B C
a
V =
Câu 13: Cho lăng trụ
111
.ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
.BA BC a= =
Hình chiếu
của điểm
1
A
lên
(
)
ABC
trùng với trung điểm của AC,
11
2
2.
AA CC
Sa=
Thể tích khối lăng trụ
111
.ABC A B C
là:
A.
111
3
.
.
2
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
.
6
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
2
.
3
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
2
.
6
ABC A B C
a
V
=
Câu 14: Cho lăng trụ
111
.ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
.BA BC a= =
Hình chiếu
của điểm
1
A
lên
( )
ABC
trùng với trung điểm của AC, cạnh
1
AB
hợp với đáy một góc
45°
. Thể tích khối
lăng trụ
111
.ABC A B C
là:
A.
111
3
.
3
.
2
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
3
.
6
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
2
.
6
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
2
.
4
ABC A B C
a
V =
Câu 15: Cho lăng trụ
111
.ABC A B C
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
.BA BC a= =
Hình chiếu
của điểm
1
A
lên
( )
ABC
trùng với trung điểm của AC, mặt
( )
1
A AB
hợp với đáy một góc
60°
. Thể tích khối
lăng trụ
111
.ABC A B C
là:
A.
111
3
.
3
.
4
ABC A B C
a
V =
B.
111
3
.
3
.
6
ABC A B C
a
V =
C.
111
3
.
6
.
6
ABC A B C
a
V =
D.
111
3
.
6
.
9
ABC A B C
a
V
=
Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′′′
có cạnh đáy bằng
2a
, khoảng cách từ A đến mặt
phẳng
( )
A BC
′
bằng
6
2
a
. Khi đó thể tích lăng trụ bằng:
A.
3
a
B.
3
3a
C.
3
4
3
a
D.
3
43
3
a
Câu 17: Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
2
a
, hình chiếu của điểm
A
′
lên
( )
ABC
trùng với trung điểm của AB. Biết góc giữa
( )
AA C C
′′
và mặt đáy bằng
60°
. Thể tích khối lăng trụ
bằng:
A.
3
23
a
B.
3
33a
C.
3
33
2
a
D.
3
3a
Câu 18: Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác đều cạnh
2a
, hình chiếu của điểm
A
′
lên
( )
ABC
trùng với trọng tâm
ABC∆
. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60°
. Thể tích khối lăng trụ
bằng:
A.
3
3
4
a
B.
3
3
2
a
C.
3
23
a
D.
3
43
a
Câu 19: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′′′
có đáy là một hình thoi và hai mặt chéo
.ACC A BDD B
′′ ′′
đều
vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt này có diện tích lần lượt bằng
22
100 ,105cm cm
và cắt nhau theo một
đoạn thẳng có độ dài 10cm . Khi đó thể tích của hình hộp đã cho là:
A.
3
225 5cm
B.
3
425cm
C.
3
235 5cm
D.
3
525cm
Câu 20: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cạnh a tâm O. Khi đó thể tích khối tứ diện
.A A BO
′
là:
A.
3
8
a
B.
3
9
a
C.
3
2
3
a
D.
3
12
a
Câu 21: Đáy của lăng trụ đứng tam giác
.ABC A B C
′′′
là tam giác đều cạnh
4a =
và diện tích tam giác
A BC
′
bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
A.
83
B.
43
C. Kết quả khác D.
23
Câu 22: Cho lăng trụ xiên tam giác
.ABC A B C
′′′
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là
3a
và hợp với đáy
( )
ABC
một góc
60°
. Tính thể tích lăng trụ.
A.
3
33
8
a
B. Đáp án khác C.
3
2
9
a
D.
3
53
8
a
Câu 23: Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy
ABC
là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
A
′
xuống
( )
ABC
là trung điểm của
AB
. Mặt bên
( )
AA C C
′′
tạo với đáy một góc bằng
45°
. Tính thể tích của
khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
.
A.
3
3
8
a
B.
3
3
16
a
C.
3
16
a
D.
3
8
a
Câu 24: Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng
α
. Diện
tích của một mặt bên bằng S. Thể tích của hình hộp đã cho là:
A.
2 sin
2
dS
α
B.
sindS
α
C.
1
sin
2
dS
α
D.
cos
2
dS
α
Câu 25: Cho khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có thể tích
3
27Va=
. Gọi M là trung điểm của
BB
′
, điểm N là
điểm bất kỳ trên
CC
′
. Tính thể tích khối chóp
AA M N
′′
A.
3
7a
B.
3
18
a
C.
3
9a
D.
3
8a
Câu 26: Cho lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
. Đáy
ABC
là tam giác đều. Mặt phẳng
( )
A BC
′
tạo với đáy góc
60
°
, tam giác
A BC
′
có diện tích bằng
23
. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của
BB
′
và
CC
′
. Thể tích của
khối tứ diện
A APQ
′
là:
A.
2 3.
B.
3.
C.
4 3.
D.
8 3.
Câu 27: Cho lăng trụ tứ giác đều
.ABCD A B C D
′′′′
có cạnh đáy bằng a, đường chéo
AC
′
tạo với mặt bên
( )
BCC B
′′
một góc
α
(0 45 )
α
<<°
. Khi đó, thể tích của khối lăng trụ bằng:
A.
32
cot 1a
α
+
B.
32
cos
a
α
C.
32
cot 1a
α
−
D.
32
tan 1a
α
−
Câu 28: Cho khối lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′′′
, M là trung điểm của
AA
′
. Mặt phẳng
( )
MBC
′
chia
khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số của hai phần đó bằng:
A.
5
6
B.
1
3
C. 1 D.
2
5
Câu 29: Cho hình lăng trụ tam giác
.ABC A B C
′′′
có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b và hợp với
mặt đáy góc
60
°
. Thể tích của khối chóp
A BCC B
′ ′′
là:
A.
2
2
ab
B.
2
4
ab
C.
2
3
2
ab
D.
2
43
ab
Câu 30: Cho hình lập phương
.
ABCD A B C D
′′′′
. I là trung điểm của
BB
′
. Mặt phẳng
( )
DIC
′
chia khối lập
phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A.
1
3
B.
7
17
C.
4
14
D.
1
2
Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có
, 2 , 120AC a BC a ACB= = = °
và đường thẳng
AC
′
tạo với
mặt phẳng
( )
ABB A
′′
góc
30°
. Thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
là:
A.
3
15
4
a
B.
3
105
14
a
C.
3
15
14
a
D.
3
105
4
a
Câu 32: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Mặt phẳng
( )
BDC
′
chia khối lập phương thành hai phần
có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng:
A.
1
2
B.
1
5
C.
1
3
D.
1
4
Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có
AA a
′
=
. Tam giác
ABC
đều cạnh a. Gọi I là trung điểm
của
AA
′
. Tìm mệnh đề đúng.
A.
..
1
.
2
I ABC ABC A B C
VV
′′′
=
B.
..
1
.
3
I ABC ABC A B C
VV
′′′
=
C.
..
1
.
12
I ABC ABC A B C
VV
′′′
=
D.
..
1
.
6
I ABC ABC A B C
VV
′′′
=
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Ta có
33
.
3
ABCD A B C D
AC
AB a V AB a
′′′′
==⇒==
. Chọn A.
Câu 2: Ta có:
22
11
22
2
BC
AB AC a AA A B AB a===⇒= − =
111
22
3
.1
1
. . 2 2. 2.
22 2
ABC ABC A B C ABC
aa
S AB AC V AA S a a= =⇒== =
Chọn B
Câu 3:
( ) { }
1
A C ABC C∩=
và
( )
(
)
( )
( )
1 1 11
, , AC 60AA ABC A C ABC A C ACA
⊥⇒ = ==°
1
11 1
tan tan
AA
ACA AA AC ACA
AC
=⇒=
mà
1
3
2
BC
AB AC a AA a===⇒=
111
2 23
.1
13
. . 3.
2 2 22
ABC ABC A B C ABC
a aa
S AB AC V AA S a
= =⇒===
. Chọn C.
Câu 4: Gọi M là trung điểm của BC. Ta có
( )
1
1
BC AM
BC AMA
BC AA
⊥
⇒⊥
⊥
( )
(
)
( )
(
)
1 11
, , 30
A BC ABC AM A M AMA
⇒===°
1
11 1
tan tan
AA
AMA AA AM AMA
AM
= ⇒=
mà
1
26
22 6
BC a a
AM AA== ⇒=
111
2 23
.1
1 66
. ..
2 2 6 2 12
ABC ABC A B C ABC
a a aa
S AB AC V AA S= =⇒===
. Chọn D
Câu 5:
( ) {
}
1
A C ABC C∩=
và
( ) ( )
( )
( )
1 1 11
, , AC 60AA ABC A C ABC A C ACA⊥⇒ = ==°
1
11 1
tan tan
AA
ACA AA AC ACA
AC
=⇒=
mà
1
222 26AC AB a AA a= = ⇒=
111
2 23
.1
1
.B 2 . 2 6.2 4 6
2
ABC ABC A B C ABC
S BA C a V AA S a a a= =⇒== =
. Chọn B
Câu 6: Kẻ
.AM BC⊥
Ta có
( )
1
1
BC AM
BC AMA
BC AA
⊥
⇒⊥
⊥
( ) ( )
( )
( )
1 11
, , 60A BC ABC AM A M AMA⇒===°
1
11 1
tan tan
AA
AMA AA AM AMA
AM
= ⇒=
2
22
13
BC 2 . .cos120 7 . .sin120
22
ABC
a
AB AC AB AC a S AB AC= + − °= ⇒ = °=
111
3
1 .1
2
21 3 7 3 21
.
7 7 14
ABC
ABC A B C ABC
S
aa a
AM AA V AA S
BC
= = ⇒= ⇒ = =
. Chọn B
Câu 7:
( )
{
}
1
B D ABCD D∩=
và
(
) (
)
( )
(
)
1 1 11
,,
BB ABCD B D ABCD B D BD BDB⊥⇒ = =
1
11 1
tan tan
BB
BDB BB BD BDB
BD
=⇔=
mà
22
1
15
5
3
a
BD AB AD a BB
= + = ⇒=
1111
3
22
.1
15 2 15
. 2 . .2
33
ABCD ABCD A B C D ABCD
aa
S AB AD a V BB S a==⇒===
. Chọn B
Câu 8: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có
( )
1
1
BD OC
BD OCC
BD CC
⊥
⇒⊥
⊥
( ) ( )
( )
( )
1 11
, OC,OC 60DBC ABCD COC⇒===°
1
11 1
26
tan tan .tan 60
22
CC
aa
COC CC CO COC
CO
= ⇒ = = °=
3
22
.''' ' 1
66
. ..
22
ABCD ABCD A B C D ABCD
aa
S a V CC S a
=⇒===
Chọn C
Câu 9: Gọi M là trung điểm của BC, H là trọng tâm của tam
giác ABC
( )
1
A H ABC
⇒⊥
2 23 3
.
3 32 3
aa
AH AM= = =
22
11
A H A A AH a= −=
và
2
3
4
ABC
a
S =
111
23
.1
33
..
44
ABC A B C ABC
aa
V AH S a⇒= ==
Chọn D.
Câu 10: Gọi H là trung điểm của BC
( )
1
A H ABC⇒⊥
3. 3 3
22
aa
AH = =
22
11
7
2
a
A H AA AH= −=
( )
2
2
33
33
44
ABC
a
a
S
= =
111
23
.1
7 3 3 3 21
..
24 8
ABC A B C ABC
aa a
V AH S
= = =
Chọn A.
Câu 11: Gọi H là trung điểm của BC
( )
1
A H ABC⇒⊥
Ta có
( ) { }
1
AA ABC A∩=
và
( )
1
A H ABC⊥
(
)
( )
( )
1 11
, , 60AA ABC AA AH A AH
⇒===°
3. 3 3
22
aa
AH
= =
1
1 11
33
tan tan
2
AH
a
A AH A H AH A AH
AH
=⇒= =
( )
2
2
33
33
44
ABC
a
a
S = =
111
23
.1
3 3 3 3 27
..
24 8
ABC A B C ABC
aa a
V AH S= = =
. Chọn D.
Câu 12: Gọi H là trung điểm của BC
( )
1
A H ABC⇒⊥
Kẻ
HK AB⊥
ta có
( )
1
1
BC HK
BC A HK
BC A H
⊥
⇒⊥
⊥
( )
( )
( )
( )
1 11
,,
A AB ABC A K HK A KH
α
⇒===
1
1
2
tan tan
3
AH
A H HK HK
HK
αα
=⇒= =
1
1 3. 3 3
.
22 4 2
aa a
HK A H
= =⇒=
( )
2
2
33
33
44
ABC
a
a
S = =
111
23
.1
3 33 3
..
24 8
ABC A B C ABC
aa a
V AH S= = =
. Chọn B
Câu 13: Gọi H là trung điểm của AC.
11
2
1
2.
AA CC
S a A H AC= =
1
22AC AB a A H a= =⇒=
23
1
11
.. .
22
ABC
V AHS a a a⇒= = =
Chọn A
Câu 14: Gọi H là trung điểm của AC.
( ) ( )
( )
11
; 45A B ABC A BH= = °
1
22
AB a
A H BH
⇒===
3
2
1
12
.. .
24
2
ABC
aa
V AHS a⇒= = =
Chọn D
Câu 15: Gọi H là trung điểm của AC, kẻ
HP AB⊥
( ) ( )
( )
11
; 60A AB ABC A PH= = °
1
3
3 3.
22
BC a
A H PH⇒= = =
3
2
1
31 3
.. .
22 4
ABC
aa
V AHS a⇒= = =
Chọn A.
Câu 16: Kẻ
,AK BC AP A K
′
⊥⊥
( )
( )
6
;
2
a
AP d A A BC
′
⇒= =
Cạnh
3
3.
2
AB
AK a= =
Từ
2 22
111
3AA a
AP A A AK
′
= + ⇒=
′
( )
2
3
23
. 3. 3
4
ABC
a
V AAS a a
′
⇒= = =
. Chọn B
Câu 17: Gọi H là trung điểm của AB, kẻ
HP AC⊥
(
) ( )
( )
; 60 3AA C C ABC A PH A H HP
′′ ′ ′
= = °⇒ =
33
sin 60
22
2
HP HP a a
HP A H
AB
AH
′
°= = ⇒ = ⇒ =
( )
2
3
23
3 33
..
24 2
ABC
a
aa
V AHS
′
⇒= = =
.
Chọn C.
Câu 18: Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC.
( )
( )
, 60 3A A ABC A AH A H AH
′′ ′
= = °⇒ =
2
3
AB
AH A H a
′
=⇒=
(
)
2
3
23
. 2. 2 3
4
ABC
a
V AHS a a
′
⇒= = =
Chọn C.
Câu 19: Ta có
( )
( )
(
) (
)
( ) (
)
ACC A ABCD
BDD B ABCD
ACC A BDD B O O
′′
⊥
′′
⊥
′′ ′′ ′
∩=
( )
.O O ABCD
′
⇒⊥
Lại có:
100 .
10
105 .
10.5
10
O O AC
AC
O O BD
BD
OO
′
=
=
′
= ⇒

=
′
=
3
1
. 10. . 525 .
2
ABCD
V O O S AC BD cm
′
⇒= = =
Chọn D
Câu 20: Ta có O là trung điểm của
AC
′
( )
( )
11
.; .
32
AA BO OABA ABA
V V d O ABB A S
′′ ′
′′
= =
23
11
.. .
3 2 2 12
aa
a= =
Chọn D.
Câu 21: Ta có
2
43
V . . 4 3.
4
ABC
AAS AA AA
′′ ′
= = =
1
. 8 4 16 3.
2
A BC
S AAAB AA V
′
′′
= =⇒ =⇒=
Chọn C.
Câu 22: Kẻ
( ) (
)
(
)
; 60
C H ABC CC ABC C CH
′ ′′
⊥⇒ ==°
3
sin 60
2
CH a
CH
CC
′
′
⇒ °= ⇒ =
′
23
3 33 3
.. .
24 8
ABC
aa a
V CHS
′
= = =
Chọn A
Câu 23: Gọi H là trung điểm của AB,
.HP AC
⊥
( ) ( )
( )
; 45AA C C ABC A PH A H HP
′′ ′ ′
= = °⇒ =
33
sin 60
44
2
HP HP a a
HP A H
AB
AH
′
°= = ⇒ = ⇒ =
23
3 33
..
4 4 16
ABC
aa a
V AHS
′
⇒= = =
. Chọn B
Câu 24: Giả sử đáy là hình thoi ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O,
AC d=
Ta có
2
1
tan tan tan . tan
2 22 2 2 2
2
ABCD
OB d
OB BD d S AC BD d
d
α αα α
=⇒= ⇒= ⇒ = =
22
22
2 cos
2
tan
2 22
2cos
2
S
dd d S
AB OA OB h
AB d
α
α
α

= + = + = ⇒= =


2
2 cos
2
. . tan 2 sin
22
ABCD
S
V h S d dS
d
α
αα
= = =
. Chọn C
Câu 25: Ta có
3
. . . ABC .
1
9
3
AA MN C AA M B AA C A ABC A B C
VV VV V a
′ ′ ′ ′ ′′′
= = = = =
. Chọn C
Câu 26: Gọi M là trung điểm của BC.
Ta có
( )
BC AM
BC AMA
BC AA
⊥
′
⇒⊥
′
⊥
( ) (
)
( )
( )
, , 60A BC ABC AM A M AMA
′ ′′
⇒===°
Giả sử:
3
.
2
a
AB a AM=⇒=
3
tan tan
2
AA a
AMA AA AM AMA
AM
′
′′ ′
= ⇒= =
22
3A M AA AM a
′′
⇒= + =
2
'
13
. 23 2
22
A BC
a
S A M BC a
′
= = = ⇒=
2
.
3
3 . 3. 3 3 3
4
ABC ABC A B C ABC
a
S V AA S
′′′
′
==⇒===
.
1
3.
3
A APQ ABC A B C
VV
′ ′′′
= =
Chọn B.
Câu 27: Ta có
( ) { }
AC BCC B C
′ ′′ ′
∩=
và
( )
AB BCC B
′′
⊥
( )
( )
( )
,,AC BCC B AC BC AC B
α
′ ′′ ′ ′ ′
⇒===
tan cot
tan
AB AB
AC B BC a
BC
AC B
α
′′
=⇒= =
′
′
22 2
cot 1CC BC BC a
α
′′
= −= −
2 32
.
. cot 1
ABCD ABCD A B C D ABCD
SaV CCSa
α
′′′′
′
=⇒==−
Chọn C.
Câu 28:
1 33
4 42
ABM ABB A A B BM ABB A A B B
SSS S S
′′ ′′ ′′ ′′
= ⇒= =
...
31
22
C ABBM C ABB ABC ABC
V VV
′ ′′ ′ ′′ ′′′
⇒= =
.
.. .
..
1
1
2
C ABBM
B ACC M ABC A B C
B ACC M
V
VV
V
′ ′′
′′′
⇒= ⇒ =
Chọn C
Câu 29: Kẻ
( ) ( )
( )
; 60C H ABC CC ABC C CH
′ ′′
⊥⇒ ==°
3
sin 60
2
CH b
CH
CC
′
′
⇒ °= ⇒ =
′
22
.
2 2 23 3
. ..
3 3 32 4 4
A BCC B ABC A B C ABC
b a ab
V V CHS
′ ′′ ′′′
′
⇒= = = =
Chọn B.
Câu 30: Ta có
( )
DIC
′
cắt AB tại P như hình vẽ
Đặt
.
.
ABCD A B C D
VV
′′′′
=
Ta có
C DAPIB C APIB C APD
V VV
′ ′ ′′ ′
= +
3 1 31 11 5
..
4 2 46 26 24
C ABB C ABD
V V V VV
′′ ′
= + =+=
.
15 7
2 24 24
IBP C CD
V VV V
′
⇒ =−=
1
2
7
7
24
.
7
17
24
V
V
V
VV
⇒= =
−
Chọn B
Câu 31: Kẻ
(
)
( )
; 30CP AB A C ABC A CP
′′
⊥⇒ = =°
sin 30 2
CP
A C CP
AC
′
⇒ °= ⇒ =
′
.
2 22
2 . cos120 7AB AC BC AC BC AB a= + − °⇒ =
.
11
. . .sin120
22
ABC
S CP AB AC BC
= = °
21 2 21
77
aa
CP A C
′
⇒= ⇒ =
22
5
7
AA AC AC a
′′
⇒= − =
3
5 1 105
. . . .sin120
7 2 14
ABC
a
V A A S a AC BC
′
⇒ = = °=
Chọn B.
Câu 32: Ta có
.
11
66
C CBD ABCD A B C D
VV V
′ ′′′′
= =
1
2
1
1
6
.
1
5
6
V
V
V
VV
⇒= =
−
Chọn B.
Câu 33:
.. . .
1 11 1
.
2 23 6
I ABC A ABC ABC A B C ABC A B C
VV V V
′ ′′′ ′′′
= = =
Chọn D

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 8: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = S.h
Trong đó: S là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Thể tích khối lăng trụ đứng
Chú ý: Lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác dều cạnh a. Biết mặt phẳng (A'BC) tạo với
đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3 3 3 3 A. 2a 3 B. a 3 C. 3a 3 D. 3a 3 4 8 8 4 Lời giải 2
Diện tích đáy cùa lăng trụ là a 3 S = ABC . 4
Dựng AH ⊥ BC, có BC ⊥ A ′
A ⇒ BC ⊥ ( ′ A H ) A Do đó: (( ′ A BC) ( ABC))  =  ; ′ A HA = 60° Ta có: a 3 3 = ⇒ ′ = tan 60° = a AH A H AH . 2 2 3
Thể tích khối lăng trụ là: 3a 3
V = S .A ′ A = Chọn C ABC . 8
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Đường thẳng A′C tạo với mặt phẳng (BCC B
′ )′ một góc 30° . Thể tích khối lăng trụ đã cho là 3 3 3 3 A. a 15 B. a 6 C. a 15 D. a 6 5 8 8 4 Lời giải
Dựng A′H ⊥ B C
′ ′ ⇒H là trung điểm của B C ′ ′ .
Mặt khác A′H ⊥ BB′ ⇒ A′H ⊥ (BCC B ′ )′ . Khi đó  ′ ′ ′ = 
(A C;(BCC B )) A′CH = 30° Ta có: a 3
A′C sin 30° − A′H −
⇒ A′C = a 3 2 Suy ra 2 2
AA′ = A′C − AC = a 2. 2 3
Thể tích khối lăng trụ là: a 3 a 6 V = S AA′ = a = ABC . . 2 4 4 Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác vuông cân tại A có AB = AC = a . Biết 2
diện tích tam giác A′BC bằng a 3 . Thể tích khối lăng trụ đã cho là 2 3 A. 3 2a B. 3 a C. 3 3a D. a 2 Lời giải 2
Diện tích đáy của lăng trụ là a S = ABC . 2
Dựng AH ⊥ BC, có BC ⊥ AA′ ⇒ BC ⊥ (A′H )
A ⇒ BC ⊥ A′H. Mặt khác 2 2 2SABC 3
BC = AB + AC = a 2 ⇒ A′H = = . a BC 2 Do BC a 2 2 2 AH = =
⇒ AA′ = A′H − AH = . a 2 2 3
Thể tích khối lăng trụ là: a V = S AA′ = Chọn D. ABC . . 2
Ví dụ 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a ,  BAC = 120 ,° mặt phẳng (AB C
′ )′ tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. 3 3 3 3 A. 3a V = B. 9a V = C. a V = D. 3a V = 8 8 8 4 Lời giải
Gọi M là trung điểm của B C ′ ′ B C
′ ′ ⊥ A′M Khi đó  ⇒ ′ ′ ⊥ ′ ⇒  B C (A M ) A A′MA = 60°  B C ′ ′ ⊥ AA′ Ta có: 2 2 2 2
BC = 2a − 2a cos120° = 3a ⇒ BC = a 3 2   2 a 3 a a 3
A′M = a − 
 = ⇒ AA′ = h = A′M tan 60° = .  2  2 2   2 3 1 2 a 3 3a S = a ° = ⇒ V = S AA′ = Chọn A. ABC sin120 ABC . . 2 4 8
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác cân tại A có AB = AC = 3a . Biết
rằng AA′ = a 3 và mặt phẳng ( A′BC)tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3 A. 3 a 6 B. 3 6a 6 C. 3 2a 6 D. 2a 6 3 Lời giải
Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AA′ ⇒ BC ⊥ ( AA′M ) Do đó 
A′MA = 60°. Khi đó AA′ = AM tan 60° 2 2
⇒ AM = a ⇒ BM = AB − AM = 2a 2. Khi đó 1 2 S
= BC AM = BM AM = a ABC . . 2 2. 2 Do đó 2 3 V = ′ = = . Chọn C. ′ ′ ′ AA S a a a ABC A B C . ABC. 3.2 2 2 6 .
Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB = a 3, BC = . a
Gọi M là trung điểm của AC, đường thẳng B M
′ tạo với đáy một góc 45 .°Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3 3 3 3 A. a 3 B. a 6 C. a 3 D. a 6 2 2 4 6 Lời giải Ta có: 2 2
AC = AB + BC = 2a . Do vậy AC BM =
= a (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông). 2 2 Lại có: 1 a 3 S = AB AC = ABC . 2 2 Mặt khác: (B M ′ ( ABC))  =  ; B M ′ B = 45 .°
Suy ra BB′ = BM tan 45° = . a 3 Vậy a 3 V = BB .′S = Chọn A. ABC . 2
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có tam giác ABC vuông tại B có BC = 3a . Gọi M là trung
điểm của A′C′ và I là giao điểm của A′C và AM. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) bằng 2a và
A′B = 5a . Thể tích khối lăng trụ đã cho là: A. 3 6a B. 3 2a C. 3 9a D. 3 18a Lời giải ′ ′ ′
Do AM / / AC nên IA MA 1 A C 3 = = ⇒ = . IC AC 2 IC 2
Do đó ( A′ ( ABC)) 3 d ;
= d(I;( ABC)) = 3a = AA .′ 2 Mặt khác 2 2
AB = A′B − AA′ = 4 . a Do đó 4 .3 a a 3 V = ′ = = . Chọn D ′ ′ ′ AA S a a ABC A B C . ABC. 3 . 18 . 2
Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác ABC vuông tại A có AB = 5a, AC = 12 . a
Biết rằng mặt phẳng ( A′BC) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ . 3 3 3 3 A. 800a 3 . B. 3600a 3 . C. 900a 3 . D. 1800a 3 . 13 13 13 13 Lời giải
Dựng AH ⊥ BC. Mặt khác AA′ ⊥ BC.
Do đó ( A′HA) ⊥ BC.
Khi đó (( A′BC) ( ABC))  =  ; A′HA = 60 .° Mặt khác A . B AC 60 AH = = . a 2 2 AB + AC 13 Suy ra ′ =  60 3 AA
AH tan A′HA = . a 13 3 Vậy 1800a 3
V = AA .′S = Chọn D. ABC . 13
Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác ABC có 
BAC = 60 ,° AB = 3a và AC = 4 .
a Gọi M là trung điểm của B C
′ ′ , biết khoảng cách từ M đến mặt phẳng (B AC ′ ) bằng 3a 15 . Thể 10
tích khối lăng trụ đã cho là: A. 3 a B. 3 9a C. 3 4a D. 3 27a Lời giải Ta có: 1 =  2 S AB AC BAC = a ABC . sin 3 3. 2 BC ⊥ B B ′
Dựng BE ⊥ AC; BF ⊥ B E ′ . Khi đó   BC ⊥ BE
Suy ra BC ⊥ BF ⇒ BF ⊥ (B A ′ C). Do vậy (M ′ ) 3a 3 d
;(B AC) = BF; BE = ABsin A = . 2 Mặt khác (M ′ ) 1 d ;(B AC) = d(C;(B A ′ C)) 2 1 = ( ′ ) 1 3a 15 3a 15 d B;(B AC) = BF = ⇒ BF = 2 2 10 5 Mặt khác 1 1 1 3 = +
⇒ BB′ = 3a 3 ⇒ V = BB′ S = a . Chọn D. ABC A B C . ABC 27 2 2 2 . BF BB′ BE ′ ′ ′
Ví dụ 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác
vuông, AB=BC=a. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng ( ACC′) và (AB C ′ )′
bằng 60°(tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B .′ACC A ′ ′ bằng 3 3 A. a . B. a . 3 6 3 3 C. a . D. 3a . 2 3 Lời giải Dựng B M
′ ⊥ A′C′ ⇒ B M ′ ⊥ ( ACC A ′ ′)
Dựng MN ⊥ AC′ ⇒ AC′ ⊥ (MNB )′ Khi đó ( AB C ′ ′ ( AC A ′ ′))  =  ( ); (MNB )′ = 60° ′ Ta có: a 2 B M a 6 B M ′ = ⇒ MN = = 2  tan (MNB )′ 6 ′ Mặt khác  tan MN AA AC A ′ ′ = = C N ′ A′C′ Trong đó a 6 a 2 MN = , MC′ = 6 2 2 2 a 3 ⇒ C N ′ = C M ′ − MN = ⇒ AA′ = a 3 2 3 3 Thể tích lăng trụ AB a V 2 = . a V h = ⇒ V = − = − = = Chọn A. ′ ′ ′ V V ′ V V B ACC A B BAC . . . 2 2 3 3 3
Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C ′ ′ có = = 
AB AC a, ACB = 30 ,° đường thẳng A C ′ tạo với mặt phẳng ( ABB A
′ ′) một góc 45°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là 3 3 3 3 A. a 3 B. a 6 C. a 3 D. a 6 8 8 4 4 Lời giải
Ta có tam giác ABC cân tại A do đó  =  B C = 30° 
BAC = 120 .° Dựng CH ⊥ AB , có CH ⊥ AA′ suy ra CH ⊥ ( ABB A
′ ′) ⇒ (CA′ ( ABB A ′ ′))  =  ; CA′H = 45° Mặt khác =  a 3
CH AC sin CAH = asin 60° = . 2 Suy ra a 6
CA′sin 45° = CH ⇒ A′C = 2 2 2 a
⇒ AA′ = A′C − AC =
⇒ V = AA .′S 2 ABC 3 1 a 6 = AA .′ A . B sin120° = .Chọn B. 2 8
Ví dụ 12: Cho khối lăng trụ đứng ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a 3.
Mặt phẳng ( A′BD)tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3 3 3 3 A. 3a 3 B. 3a C. a D. a 3 2 2 3 2 Lời giải
Dựng AH ⊥ BD, ta có AH ⊥ AA′ ⇒ ( A′AH ) ⊥ BD
Do đó (( A′BD) ( ABCD))  =  ; A′HA = 60° Mặt khác A . B AD a 3 AH = = 2 2 AB + AD 2 Suy ra 3a 2
A′A = AH tan 60° = , S = A . B AD = a 3 2 ABCD 3 3a 3 ⇒ V = ′ = Chọn A ′ ′ ′ ′ AA S ABCD A B C D . ABCD . . 2
Ví dụ 13: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4 . a
Đường thẳng A′C tạo với mặt phẳng ( A′B B
′ A) một góc 30°. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là: A. 3 2a 39. B. 3 18a 39. C. 3 a 39. D. 3 6a 39. Lời giải BC ⊥ AB Ta có: 
⇒ BC ⊥ ( ABB A ′ ′) BC ⊥ B B ′
⇒ ( A′C ( ABB A ′ ′))  =  ; CA′B = 30° Khi đó A′ .
B tan 30° = BC = 4a ⇒ A′B = 4a 3 Do vậy 2 2
A′A = A′B − AB = a 39 3 ⇒ V = A′ . A A = a Chọn D. ABCD 6 39.
Ví dụ 14: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ đáy là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = 6 . a Gọi M là
trung điểm của AD, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( A′BM ) bằng 12a . Thể tích khối hộp 7 ABC . D A′B C ′ D ′ ′ là: A. 3 24a B. 3 12a C. 3 3a D. 3 8a Lời giải
Gọi I = AC ∩ BM ta có IA AM 1 = = IC BC 2
Do vậy d (C ( A′BM )) = d ( A ( A′BM )) 12 ; 2 ; = . a 7
Dựng AE ⊥ BM , AF ⊥ A′E khi đó ( ( ′ )) 6 ; a d A A BM = = AF . Mặt khác 7 1 1 1 1 1 1 1 + = ⇔ = + + 2 2 2 2 2 2 2 AE AA′ AF AF AM AB AA′ 3
⇒ AA′ = a ⇒ V = AA .′S = a . Chọn B. ABCD 12
Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác vuông cân AC = BC = 3a , hình chiếu vuông
góc của B′ lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng ( ABB A
′ ′) tạo với mặt phẳng ( ABC)
một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3 3 3 3 A. 9a 6 B. 9a 6 C. 3a 6 D. 9a 8 4 4 4 Lời giải
Dựng CI ⊥ AB ⇒ I là trung điểm của AB. Ta có: (B G ′ I ) ⊥ ⇒  AB
B I′G = 60 .° Lại có: 1 3a 2 a 2 CI = AB = ⇒ GI = 2 2 2 a 6 ⇒ B G ′ = GI tan 60° = 2 2 3 a 6 9a 9a 6 V = ′ = = .Chọn B. ′ ′ ′ B G S ABC A B C . ABC . . 2 2 4
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của B′ lên
mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của cạnh AB, góc giữa mặt phẳng (BCC B
′ ′) và mặt phẳng đáy bằng
60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 3 3 3 3 A. 3a 3 B. 9a 3 C. 3a 6 D. 3a 3 8 16 16 16 Lời giải
Kẻ HK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (B HK ′ ) ⇒  B K ′ H = 60 .° Ta có: a 3 3 = sin 60° = ⇒ ′ = tan 60 a HK HB B H HK ° = 4 4 2 3 3a a 3 3a 3 V = ′ = = . ′ ′ ′ B H S ABC A B C . ABC . . 4 4 16 Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A′ trên
mặt phẳng ( ABC) là trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa đường thẳng AA′ và mặt phẳng đáy
( ABC) bằng 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ là: 3 3 3 3 A. a 3 B. a 3 C. 5a 3 D. a 3 4 16 12 12 Lời giải
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC và M là trung điểm của BC. Ta có: a 3 2 a 3 AM = ⇒ AH = AM = 2 3 3 2 Khi đó: a a 3
A′H = HAtan 30° = , S = 3 ABC 4 3 Do vậy: a 3 V = ′ = ′ ′ ′ S A H ABC A B C ABC . . 12 Chọn D.
Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh 4a. Hình chiếu của A′ trên mặt phẳng
( ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB = 3 .
HA Góc tạo bởi đường thẳng A′C và mặt đáy bằng 30° .
Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ là: 3 3 A. 3 4a 13 B. a 13 C. a 13 D. 3 a 13 8 4 Lời giải Ta có: HB = 3 ; a HA = .
a Gọi E là trung điểm của AB. (4a) 3 Ta có: CE = = 2a 3 2 2 2 2 2
⇒ CH = HA + AC − 2 .
HA AC cos60° = 13a Hoặc 2 2
CH = CE + HE = a 13 a 13 2
⇒ A′H = CH tan 30° = ;S = 4a 3 3 ABC Khi đó 3 V = ′ = ′ ′ ′ S A H a ABC A B C ABC . 4 13 . Chọn A.
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C có AC = BC = 2a, hình
chiếu vuông góc của A′ lên mặt đáy trùng với trung điểm của AB. Biết khoảng cách giữa 2 đường thẳng
A′C và AB bằng 2a . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ là: 3 A. 3 4a 2 B. 3 8a C. 3 4a D. 3 2a Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ CH = a 2  CH ⊥ AB Khi đó ta có: 
⇒ AB ⊥ ( A′HC)
AB ⊥ A′H
Dựng HK ⊥ A′C ⇒ d ( A′C; AB) = HK Mặt khác 1 1 1 = +
⇒ A′H = 2a 2 2 HK AH HC Do vậy 3 V = ′ = . Chọn C. ′ ′ ′ A H S a ABC A B C . ABC 4 .
Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB, tam giác C MC ′
cân tại C′ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng AC′ tạo với đáy góc 60°. Thể tích khối lăng trụ là: 3 3 3 3 A. 3a 7 B. a 21 C. 3a 3 D. a 21 16 16 16 4 Lời giải 2 Ta có: a 3 a 3 CM = , S = 2 ABC 4
Gọi H là trung điểm của CM suy ra C H ′ ⊥ CM. Mặt khác có (C M
′ C) ⊥ ( ABC) ⇒ C H ′ ⊥ ( ABC)
⇒ ( AC′ ( ABC))  =  ; C A ′ H = 60 .. ° Lại có 2 2 a 7
AH = MH + AM = . 4 Suy ra a 21 C H ′ = AH tan 60° = . 4 3 Vậy 3a 7 V = ′ = . Chọn A. ′ ′ ′ C H S ABC A B C . . ABC 16
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có tam giác ABC vuông tại B, có AB = a, AC = 2a . Tam giác
A′AC cân tại A′ và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng ( A′AC) tạo với đáy một góc 45°.
Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ là: 3 3 3 A. 3 2a 3 B. a 3 C. a 3 D. a 3 12 6 4 Lời giải
Gọi H là trung điểm của AC khi đó AH ⊥ AC .
Mặt khác ( A′AC) ⊥ ( ABC).
Do đó A′H ⊥ ( ABC) . Dựng HK ⊥ BC
⇒ ( A′HK ) ⊥ ⇒  BC A′KH = 45° Ta có: AB a a HK =
= ⇒ A′H = HK = 2 2 2 2 3 a a 3 a 3 V = ′ = = ′ ′ ′ A H S ABC A B C . ABC . . 2 2 4 Chọn D.
Ví dụ 8: Cho khối lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB = BC = 2a . Biết rằng
hình chiếu của A′ lên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết 2a 14 A′C = . Thể tích khối lăng 3 trụ đã cho là: 3 A. 3 2a B. 3 4a C. 4a D. 3 8a 3 Lời giải
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB ta có: 2 2
CM = MB + CB = a 5 2 2 2
⇒ CH = a 5 ⇒ A′H = A′C − CH = 2a 3 (2a)2 Do vậy 3 V = ′ = = . ′ ′ ′ A H S a a ABC A B C . ABC 2 . 4 . 2 Chọn B.
Ví dụ 9: Cho khối lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác ABC đều cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc của
đỉnh A′ xuống mặt đáy thuộc cạnh AC sao cho HC = 2HA . Biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB A
′ ′) bằng 9a . Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ là: 2 A. 3 18a 3 B. 3 36a 3 C. 3 54a 3 D. 3 27a 3 Lời giải
Dựng HK ⊥ AC, HF ⊥ A′E ⇒ HF ⊥ ( ABA′) Ta có: ( ( ′)) = ( ( ′)) 9 ; 3 ; = 3 a d C ABA d H ABA HF = 2 Lại có: 3 = sin 60° = 2 sin 60° = 3; a HE HA a a HF = . 2 Mặt khác: 1 1 1 + = ⇒ A′H = 3 . a 2 2 2 HE A′H HF (6a)2 3 Vậy 3 V = ′ = = ′ ′ ′ A H S a a ABC A B C . ABC 3 . 27 3 . 4 Chọn D.
Ví dụ 10: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Biết rằng hình chiếu vuông góc
A′ xuống đáy trùng với trung điểm của AB và 3a AC′ =
. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: 2 3 3 3 3 A. a B. a C. a 3 D. a 3 4 12 4 12 Lời giải
Gọi H là trung điểm của a AB ⇒ AH = . 2
Ta có: AB ⊥ A′H; AB ⊥ CH ⇒ C H ′ ⊥ AB 2 2 2 2 2 2 2
⇒ AH + HC′ = AC′ ⇒ HC′ = AC′ − AH = 2a 2 2
⇒ A′H = HC′ − AC′ = a 2 3 a 3 a 3 V = ′ = = . Chọn C. ′ ′ ′ A H S a ABC A B C . ABC . . 4 4
Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ biết C .′ABC là hình chóp tam giác đều có đường cao bằng h.
Đường thẳng AA′tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ đã cho tính theo h là: 3 3 3 3 A. h 3 B. h 3 C. 3h D. h 3 8 4 4 2 Lời giải
Gọi H là trọng tâm tam giác đều ABC. Khi đó C H
′ ⊥ ( ABC) và C H ′ = . h
Ta có: AA′ / /CC′ suy ra CC′tạo với đáy một góc 60° ⇒  C CH ′ = 60 .° Khi đó tan 60 h CH ° = h ⇒ CH = . 3 Đặt 2 a 3 a 3 = ⇒ = . h AB a CH = = ⇒ h = . a 3 2 3 3 3 Do đó h 3 V = . Chọn B.
ABC.A′B C ′ ′ 4
Ví dụ 12: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A′
xuống đáy là trung điểm của AB. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A′BC) bằng a 15 . Thể tích khối 5
lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ là: 3 3 3 3 A. 3a B. 3a C. a D. a 3 8 4 8 8 Lời giải
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ A′H ⊥ ( ABC)
Dựng HE ⊥ BC,HF ⊥ A E
′ .Khi đó d(H;( A′BC)) = HF. Mặt khác =  a a 3
HE HBsin ABC = sin 60° = . 2 4
Lại có ( ( A′BC)) =
(H (A′BC)) a 15 d A; 2d ; = 2HF = 5 a 15 ⇒ HF = . Mặt khác: 1 1 1 = + 10 2 2 2 HF HE A′H 3 a 3 3 ⇒ ′ = ⇒ = ′ . a A H V A H S = . Chọn A. 2 ABC 8
Ví dụ 13: Cho hình chóp hộp ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình chữ nhật có AB = 3a, AD = 4a . Biết
A′A = A′B = A′C = A′D và mặt phẳng ( A′CD) tạo với đáy một góc 60°. Thể tích khối hộp đã cho là: A. 3 4a 3 B. 3 12a 3 C. 3 8a 3 D. 3 24a 3 Lời giải
Ta có A′A = A′B = A′C = A′D nên hình chiếu của
A′ xuống mặt đáy trùng với tâm H của hình chữ nhật
ABCD. Dựng HK ⊥ C . D
Lại có A′H ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( A′CD)
Do vậy (( A′CD) ( ABCD))  =  ; A′KH = 60 .° Lại có AD HK =
= 2 ⇒ A′H = HK tan 60° = 2a 3 2 Vậy 3 V = ′ = . Chọn D. ′ ′ ′ ′ A H S a ABCD A B C D . ABCD 24 3 .
Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình thoi ABCD tâm O có AC = 2a, BD = 2a 3.
Hình chiếu vuông góc của B′ xuống đáy trùng cới trung điểm của OB. Đường thẳng B C ′ tạo với đáy góc
45°. Thể tích khối lăng trụ đã cho là: A. 3 2a 7. B. 3 2a 3. C. 3 3a 21. D. 3 a 21. Lời giải
Gọi H là trung điểm của OB. Khi đó a 3 2 2 a 7
OC = a,OH =
⇒ CH = OC + OH = . 2 2 Ta có: (B C ′ ( ABC))  =  ; B C ′ H = 45° a 7 ⇒ B H ′ = CH = 2 Lại có: 1 2 S = AC BD = a ABCD . 2 3 2 2 a 7 3 ⇒ V = = Chọn D ′ ′ ′ ′ a a ABCD A B C D 2 3. 21. . 2
Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là hình vuông ABCD cạnh 6a. Hình chiếu vuông góc
của A′ xuống đáy trùng với trọng tâm tam giác ABD. Biết tam giác AA′C vuông tại A′ . Thể tích khối lăng trụ ABC . D A′B C ′ D ′ ′ là: A. 3 72a B. 3 144a C. 3 72a 3 D. 3 48a Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABD khi đó ta có: 1
GA = AC . Mặt khác AC = 6a 2. 3
Suy ra GA = 2a 2,GC = 4a 2. Áp dụng hệ thức lượng trong tam
giác ACA′ vuông tại A′ có đường cao A′G nên ta có: A′G = . GAGC = 4a 3 ⇒ V = ′ = . Chọn B. ′ ′ ′ ′ A G ABCD A B C D .SABCD 144a .
Ví dụ 16: Cho lăng trụ ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = 2a 3, hình
chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng ( ABCD) trùng với tâm O của hình chữ nhật ABCD. Biết cạnh AA′
tạo với đáy một góc 60°. Thể tích lăng trụ ABC . D A′B C ′ D ′ ′ là: A. 3 8a B. 3 12 3 a C. 3 24a D. 3 8 3 a Lời giải
Ta có: ( AA′ ( ABCD))  =  ; A′AO = 60 .° Mặt khác: 2 2
AC = AB + BC = 4a ⇒ OA = 2a
⇒ OA′ = OAtan 60° = 2a 3 2 3 V = ′ = = ′ ′ ′ ′ OA a a ABCD A B C D .SABCD 2 3.4 3 24a . Chọn C.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Tính thể tích V của khối lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ , biết AC = a 3 . 3 A. 3 V = a B. 3 6a V = C. 3 V = 3 3a D. 1 3 V = a 4 3
Câu 2: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2, 1 1 1
A B = 3a . Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 1 1 1 3 A. a 2 V = B. 3 V = a ABC A B C 2 ABC A B C . . 1 1 1 3 . 1 1 1 C. 3 V = a D. 3 V = a ABC A B C 2 ABC A B C 6 . 1 1 1 . 1 1 1
Câu 3: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2, 1 1 1
A C tạo với mặt đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 1 1 1 3 A. 3a 3 V = B. 3 V = a ABC A B C 3 3. ABC A B C . . 1 1 1 2 . 1 1 1 3 C. a 3 V = D. 3 V = a ABC A B C 6 3. ABC A B C . . 1 1 1 2 . 1 1 1
Câu 4: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2, 1 1 1
( A BC hợp với mặt đáy một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 ) 1 1 1 3 3 A. a 3 V = B. a 3 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 6 . 1 1 1 12 3 3 C. a 6 V = D. a 6 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 36 . 1 1 1 12
Câu 5: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = BC = 2a, 1 1 1
( AC hợp với mặt đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 ) 1 1 1 3 A. 4a 6 V = B. 3 V = a ABC A B C 4 6 ABC A B C . . 1 1 1 3 . 1 1 1 3 3 C. 4a 2 V = D. 4a 2 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 9 . 1 1 1 3
Câu 6: Cho khối lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC với AB = a,AC = 2a, và 
BAC = 120 ,° mặt phẳng 1 1 1
( A BC hợp với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 ) 1 1 1 3 3 A. a 21 V = B. 3a 21 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 14 . 1 1 1 14 3 3 C. a 7 V = D. a 7 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 14 . 1 1 1 42
Câu 7: Cho lăng trụ đứng ABC .
D A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a, đường 1 1 1 1
chéo B D của lăng trụ với đáy ABCD một góc 30° . Thể tích khối lăng trụ ABC . D A B C D là: 1 1 1 1 1 3 3 A. 2a 15 V = B. 2a 15 V = ABCD A B C D . ABCD A B C D . . 1 1 1 1 9 . 1 1 1 1 3 3 3 C. a 3 V = D. a 3 V = ABCD A B C D . ABCD A B C D . . 1 1 1 1 3 . 1 1 1 1 9
Câu 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABC .
D A B C D có cạnh đáy bằng a và mặt (DBC tạo với đáy ABCD 1 ) 1 1 1 1
một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC . D A B C D là: 1 1 1 1 3 3 A. a 3 V = B. a 3 V = ABCD A B C D . ABCD A B C D . . 1 1 1 1 3 . 1 1 1 1 9 3 3 C. a 6 V = D. a 6 V = ABCD A B C D . ABCD A B C D . . 1 1 1 1 2 . 1 1 1 1 6
Câu 9: Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều canh a. Hình chiếu của điểm A lên ( ABC) trùng 1 1 1 1
với trọng tâm tam giác ABC, 2a 3 AA =
. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 3 1 1 1 3 3 3 3 A. a 6 V = B. a 6 V = C. a 3 V = D. a 3 V = ABC A B C . ABC A B C . ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 12 . 1 1 1 6 . 1 1 1 12 . 1 1 1 4
Câu 10: Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 , cạnh bên có độ dài bằng 2a . 1 1 1
Hình chiếu của điểm A lên ( ABC) trùng với trung điểm của BC. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 1 1 1 3 3 A. 3a 21 V = B. a 21 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 8 . 1 1 1 24 3 3 C. a 14 V = D. a 14 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 12 . 1 1 1 8
Câu 11: Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 . Hình chiếu của điểm A lên 1 1 1 1
( ABC) trùng với trung điểm của BC, cạnh bên hợp với đáy một góc 60°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 1 1 3 3 A. a 3 V = B. 3a 3 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 12 . 1 1 1 8 3 3 C. 9a V = D. 27a V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 8 . 1 1 1 8
Câu 12: Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác đều cạnh a 3 . Hình chiếu của điểm A lên 1 1 1 1
( ABC) trùng với trung điểm của BC, mặt ( A AB hợp với đáy một góc α thỏa mãn 2 tanα = . Thể tích 1 ) 3
khối lăng trụ ABC.A B C là: 1 1 1 3 3 A. a 3 V = B. 3a 3 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 24 . 1 1 1 8 3 3 C. a 6 V = D. a 6 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 12 . 1 1 1 9
Câu 13: Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = . a Hình chiếu 1 1 1
của điểm A lên ( ABC) trùng với trung điểm của AC, 2 S = a
Thể tích khối lăng trụ ABC.A B C AA CC 2. 1 1 1 1 1 1 là: 3 3 A. a V = B. a V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 2 . 1 1 1 6 3 3 C. a 2 V = D. a 2 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 3 . 1 1 1 6
Câu 14: Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = . a Hình chiếu 1 1 1
của điểm A lên ( ABC) trùng với trung điểm của AC, cạnh A B hợp với đáy một góc 45°. Thể tích khối 1 1
lăng trụ ABC.A B C là: 1 1 1 3 3 A. a 3 V = B. a 3 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 2 . 1 1 1 6 3 3 C. a 2 V = D. a 2 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 6 . 1 1 1 4
Câu 15: Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = . a Hình chiếu 1 1 1
của điểm A lên ( ABC) trùng với trung điểm của AC, mặt ( A AB hợp với đáy một góc 60°. Thể tích khối 1 ) 1
lăng trụ ABC.A B C là: 1 1 1 3 3 A. a 3 V = B. a 3 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 4 . 1 1 1 6 3 3 C. a 6 V = D. a 6 V = ABC A B C . ABC A B C . . 1 1 1 6 . 1 1 1 9
Câu 16: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B C
′ ′ có cạnh đáy bằng 2a , khoảng cách từ A đến mặt
phẳng ( A′BC) bằng a 6 . Khi đó thể tích lăng trụ bằng: 2 3 3 A. 3 a B. 3 3a C. 4a D. 4a 3 3 3
Câu 17: Cho lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của điểm A′ lên
( ABC) trùng với trung điểm của AB. Biết góc giữa ( AA′C C
′ ) và mặt đáy bằng 60°. Thể tích khối lăng trụ bằng: 3 A. 3 2a 3 B. 3 3a 3 C. 3a 3 D. 3 a 3 2
Câu 18: Cho lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a , hình chiếu của điểm A′ lên
( ABC) trùng với trọng tâm A
∆ BC . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Thể tích khối lăng trụ bằng: 3 3 A. a 3 B. a 3 C. 3 2a 3 D. 3 4a 3 4 2
Câu 19: Cho hình hộp ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có đáy là một hình thoi và hai mặt chéo ACC A ′ .′BDD B ′ ′ đều
vuông góc với mặt phẳng đáy. Hai mặt này có diện tích lần lượt bằng 2 2
100cm ,105cm và cắt nhau theo một
đoạn thẳng có độ dài 10cm . Khi đó thể tích của hình hộp đã cho là: A. 3 225 5cm B. 3 425cm C. 3 235 5cm D. 3 525cm
Câu 20: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ cạnh a tâm O. Khi đó thể tích khối tứ diện . A A′BO là: 3 3 3 3 A. a B. a C. a 2 D. a 8 9 3 12
Câu 21: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A′B C
′ ′ là tam giác đều cạnh a = 4 và diện tích tam giác
A′BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ. A. 8 3 B. 4 3 C. Kết quả khác D. 2 3
Câu 22: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, biết cạnh bên là a 3
và hợp với đáy ( ABC) một góc 60°. Tính thể tích lăng trụ. 3 3 3 A. 3a 3 B. Đáp án khác C. 2a D. 5a 3 8 9 8
Câu 23: Cho lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A′
xuống ( ABC) là trung điểm của AB . Mặt bên ( AA′C C
′ ) tạo với đáy một góc bằng 45°. Tính thể tích của
khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ . 3 3 3 3 A. 3a B. 3a C. a D. a 8 16 16 8
Câu 24: Đáy của một hình hộp đứng là một hình thoi có đường chéo nhỏ bằng d và góc nhọn bằng α . Diện
tích của một mặt bên bằng S. Thể tích của hình hộp đã cho là: A. α α 2dS sin B. dS sinα C. 1 dS sinα D. dS cos 2 2 2
Câu 25: Cho khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ có thể tích 3
V = 27a . Gọi M là trung điểm của BB′, điểm N là
điểm bất kỳ trên CC′. Tính thể tích khối chóp AA′M N ′ A. 3 7a B. 3 18a C. 3 9a D. 3 8a
Câu 26: Cho lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ . Đáy ABC là tam giác đều. Mặt phẳng ( A′BC) tạo với đáy góc
60°, tam giác A′BC có diện tích bằng 2 3 . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BB′ và CC′. Thể tích của
khối tứ diện A′APQ là: A. 2 3. B. 3. C. 4 3. D. 8 3.
Câu 27: Cho lăng trụ tứ giác đều ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có cạnh đáy bằng a, đường chéo AC′ tạo với mặt bên
(BCC B′′) một góc α (0 < α < 45 )° . Khi đó, thể tích của khối lăng trụ bằng: A. 3 2 a cot α +1 B. 3 2 a cos α C. 3 2 a cot α −1 D. 3 2 a tan α −1
Câu 28: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B C
′ ′ , M là trung điểm của AA′. Mặt phẳng (MBC′) chia
khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số của hai phần đó bằng: A. 5 B. 1 C. 1 D. 2 6 3 5
Câu 29: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B C
′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên bằng b và hợp với
mặt đáy góc 60°. Thể tích của khối chóp A′BCC B ′ ′ là: 2 2 2 2 A. a b B. a b C. a b 3 D. a b 2 4 2 4 3
Câu 30: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . I là trung điểm của BB′. Mặt phẳng (DIC′) chia khối lập
phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng: A. 1 B. 7 C. 4 D. 1 3 17 14 2
Câu 31: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C ′ ′ có = = 
AC a, BC 2a, ACB = 120° và đường thẳng A′C tạo với mặt phẳng ( ABB A
′ ′) góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ là: 3 3 3 3 A. a 15 B. a 105 C. a 15 D. a 105 4 14 14 4
Câu 32: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Mặt phẳng (BDC′) chia khối lập phương thành hai phần
có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng: A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 2 5 3 4
Câu 33: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có AA′ = a . Tam giác ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm
của AA′. Tìm mệnh đề đúng. A. 1 V = V B. 1 V = V I ABC ABC A′B C ′ ′ . I ABC ABC A′B C ′ ′ . . . 2 . . 3 C. 1 V = V D. 1 V = V I ABC ABC A′B C ′ ′ . I ABC ABC A′B C ′ ′ . . . 12 . . 6
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có AC 3 3 AB = = a ⇒ V = = . Chọn A. ′ ′ ′ ′ AB a . 3 ABCD A B C D Câu 2: Ta có: BC 2 2 AB = AC =
= a ⇒ AA = A B − AB = 2a 2 1 1 2 2 2 1 a a 3 S = AB AC = ⇒ V = AA S = a = a Chọn B ABC . ABC A B C . ABC 2 2. 2. . 1 1 1 1 2 2 2
Câu 3: A C ∩ ABC = C và AA ⊥ ABC ⇒ A C, ABC = A C,AC = ACA = 60° 1 ( ) ( 1 ( ))  ( 1 )   1 ( ) { } 1 AA BC   1 = ⇒ =  tan ACA AA
AC tan ACA mà AB = AC =
= a ⇒ AA = a 3 1 1 1 AC 1 2 2 2 3 1 a a a 3  S = AB AC = ⇒ V = AA S = a = . Chọn C. ABC . ABC A B C . ABC 3. . 1 1 1 1 2 2 2 2 BC ⊥ AM
Câu 4: Gọi M là trung điểm của BC. Ta có 
⇒ BC ⊥ ( AMA 1 ) BC ⊥  AA1
⇒ (( A BC),( ABC))  = (AM, A M )  =  AMA = 30° 1 1 1 AA BC a 2 a 6   1 = ⇒ =  tan AMA AA
AM tan AMA mà AM = = ⇒ AA = 1 1 1 AM 1 2 2 6 2 2 3 1 a a 6 a a 6  S = AB AC = ⇒ V = AA S = = . Chọn D ABC . ABC A B C . ABC . . 1 1 1 1 2 2 6 2 12
Câu 5: A C ∩ ABC = C và AA ⊥ ABC ⇒ A C, ABC = A C,AC = ACA = 60° 1 ( ) ( 1 ( ))  ( 1 )   1 ( ) { } 1 AA   1 = ⇒ =  tan ACA AA
AC tan ACA mà AC = AB 2 = 2a 2 ⇒ AA = 2a 6 1 1 1 AC 1 1  2 2 3 S
= BA C = a ⇒ V = AA S = a a = a . Chọn B ABC .B 2 ABC A B C . ABC 2 6.2 4 6 . 1 1 1 1 2 BC ⊥ AM
Câu 6: Kẻ AM ⊥ BC. Ta có 
⇒ BC ⊥ ( AMA 1 ) BC ⊥  AA1
⇒ (( A BC),( ABC))  = (AM, A M )  =  AMA = 60° 1 1 1 AA   1 = ⇒ =  tan AMA AA AM tan AMA 1 1 1 AM 2 a  2 2 1 3
BC = AB + AC − 2A .
B AC.cos120° = a 7 ⇒ S = AB AC ° = ABC . .sin120 2 2 3 2SABC a 21 3a 7 3a 21  AM = = ⇒ AA = ⇒ V = AA S = . Chọn B ABC A B C . 1 . 1 1 1 1 BC 7 7 ABC 14
Câu 7: B D ∩ ABCD = D và BB ⊥ ABCD ⇒ B D, ABCD = B D, BD = BDB 1 ( ) ( 1 ( ))  ( 1 )   1 ( ) { } 1 BB a 15   1 = ⇔ =  tan BDB BB BD tan BDB mà 2 2
BD = AB + AD = a 5 ⇒ BB = 1 1 1 BD 1 3 3 a 15 2a 15  2 2 S
= AB AD = a ⇒ V = BB S = a = . Chọn B ABCD . 2 ABCD A B C D . ABCD .2 . 1 1 1 1 1 3 3  BD ⊥ OC
Câu 8: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có 
⇒ BD ⊥ (OCC 1 ) BD ⊥  CC1
⇒ ((DBC ),( ABCD))  = (OC,OC )  =  COC = 60° 1 1 1 CC a 2 a 6   1 = ⇒ =  tan COC CC CO tan COC = .tan 60° = 1 1 1 CO 2 2 3 a 6 a 6  2 2 S = a ⇒ V = CC S = a = Chọn C ABCD ABCD A B C D . ABCD . . . ' ' ' ' 1 2 2
Câu 9: Gọi M là trung điểm của BC, H là trọng tâm của tam
giác ABC ⇒ A H ⊥ ABC 1 ( ) a a  2 2 3 3 AH = AM = . = 3 3 2 3 2 a 3  2 2
A H = A A − AH = a và S = 1 1 ABC 4 2 3 a 3 a 3 ⇒ V = A H S = a = ABC A B C . ABC . . 1 1 1 1 4 4 Chọn D.
Câu 10: Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A H ⊥ ABC 1 ( ) a a  3. 3 3 AH = = 2 2 a 7  2 2
A H = AA − AH = 1 1 2 (a 3)2 3 2 3a 3  S = = ABC 4 4 2 3
a 7 3a 3 3a 21  V = A H S = = ABC A B C . ABC . . 1 1 1 1 2 4 8 Chọn A.
Câu 11: Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A H ⊥ ABC 1 ( )
Ta có AA ∩ ABC = A và A H ⊥ ABC 1 ( ) 1 ( ) { }
⇒ ( AA ,( ABC))  = (AA , AH )  =  A AH = 60° 1 1 1 a a  3. 3 3 AH = = 2 2 A H 3a 3   1 = ⇒ =  tan A AH
A H AH tan A AH = 1 1 1 AH 2 (a 3)2 3 2 3a 3  S = = ABC 4 4 2 3
3a 3 3a 3 27aV = A H S = = . Chọn D. ABC A B C . ABC . . 1 1 1 1 2 4 8
Câu 12: Gọi H là trung điểm của BC ⇒ A H ⊥ ABC 1 ( )  BC ⊥ HK
Kẻ HK ⊥ AB ta có 
⇒ BC ⊥ ( A HK 1 ) BC ⊥  A H 1
⇒ (( A AB),( ABC))  = (A K,HK)  =  A KH = α 1 1 1 A H 2  1 tanα =
⇒ A H = HK tanα = HK 1 HK 3 1 a 3. 3 3a aHK = . = ⇒ A H = 1 2 2 4 2 (a 3)2 3 2 3a 3  S = = ABC 4 4 2 3
a 3a 3 3a 3  V = A H S = = . Chọn B ABC A B C . ABC . . 1 1 1 1 2 4 8
Câu 13: Gọi H là trung điểm của AC.  2 S = a = A H AC AA CC 2 . 1 1 1
AC = AB 2 = a 2 ⇒ A H = a 1 1 2 1 3
⇒ V = A H.S
= a a = a Chọn A ABC . . 1 2 2
Câu 14: Gọi H là trung điểm của AC. ((A B);(ABC))  =  A BH = 45° 1 1 AB a ⇒ A H = BH = = 1 2 2 3 a 1 2 a 2
⇒ V = A H.S = a = Chọn D ABC . . 1 2 2 4
Câu 15: Gọi H là trung điểm của AC, kẻ HP ⊥ AB ((A AB);(ABC))  =  A PH = 60° 1 1 BC a 3
⇒ A H = PH 3 = 3. = 1 2 2 3 a 3 1 2 a 3
⇒ V = A H.S = a = ABC . . 1 2 2 4 Chọn A.
Câu 16: Kẻ AK ⊥ BC, AP ⊥ A′K
⇒ AP = d ( A ( A′BC)) a 6 ; = 2 Cạnh AB 3 AK = = a 3. 2 Từ 1 1 1 = +
⇒ A′A = a 3 2 2 2 AP A′A AK (2a)2 3 3 ⇒ V = A′ . A S = a = a . Chọn B ABC 3. 3 4
Câu 17: Gọi H là trung điểm của AB, kẻ HP ⊥ AC
((AA′C C′) (ABC))  =  ;
A′PH = 60° ⇒ A′H = HP 3 HP HP a 3 3 sin 60 a ° = = ⇒ HP = ⇒ A′H = AH AB 2 2 2 3a ( a)2 3 2 3 3a 3
⇒ V = A′H.S = = . ABC . 2 4 2 Chọn C.
Câu 18: Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC.
(A′A (ABC))  =  ,
A′AH = 60° ⇒ A′H = AH 3 AB AH =
⇒ A′H = 2a 3 (2a)2 3 3
⇒ V = A′H.S = a = a ABC 2 . 2 3 4 Chọn C.
( ACC A′′) ⊥ ( ABCD) Câu 19: Ta có  (BDD B ′ ′) ⊥ ( ABCD) (  ACC A′′  ) ∩(BDD B ′ ′) = O O ′ ⇒ O O ′ ⊥ ( ABCD). 100  = O′ . O AC   AC = 10 Lại có: 105  = O′ . O BD ⇒   BD = 10.5 O O ′ =  10 1 3 ⇒ V = O′ . O S = AC BD = cm Chọn D ABCD 10. . 525 . 2
Câu 20: Ta có O là trung điểm của A′C 1 1 V = = ′ ′ ′ V ′ d O ABB A S AA BO OABA . ( ;( )). 3 2 ABA′ 2 3 1 1 = . . a a a = . 3 2 2 12 Chọn D. 2 Câu 21: Ta có 4 3 V = A′ . A S = A′A = A′A ABC . 4 3. 4 1 S = ′ = ⇒ ′ = ⇒ = ′ A A AB A A V A BC . 8 4 16 3. 2 Chọn C.
Câu 22: Kẻ C H
′ ⊥ ( ABC) ⇒ (CC′ ( ABC))  =  ; C C ′ H = 60° C H ′ 3 ⇒ sin 60 a ° = ⇒ C H ′ = CC′ 2 2 3 3a a 3 3a 3 V = C H ′ .S = = ABC . . 2 4 8 Chọn A
Câu 23: Gọi H là trung điểm của AB, HP ⊥ AC.
((AA′C C′) (ABC))  =  ;
A′PH = 45° ⇒ A′H = HP HP HP a 3 a 3 sin 60° = = ⇒ HP = ⇒ A′H = AH AB 4 4 2 2 3 a 3 a 3 3 ⇒ = ′ . a V A H S = = . Chọn B ABC . 4 4 16
Câu 24: Giả sử đáy là hình thoi ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại O, AC = d Ta có α OB d α α 1 2 α tan =
⇒ OB = tan ⇒ BD = d tan ⇒ S = AC BD = d ABCD . tan 2 d 2 2 2 2 2 2 α 2 2 2S cos  d   d α  d S  2 2 2
AB = OA + OB = +   tan = ⇒  h = =   2   2 2  α 2cos AB d 2 α 2S cos α α  2 2 V = . h S = d = dS . Chọn C ABCD . tan 2 sin d 2 2 Câu 25: Ta có 1 3 V = = = = = . Chọn C ′ V ′ V ′ V ′ V ′ ′ ′ a AA MN C AA M B AA C A ABC A B C 9 . . .ABC . 3
Câu 26: Gọi M là trung điểm của BC.BC ⊥ AM Ta có 
⇒ BC ⊥ ( AMA′)  BC ⊥ AA′
⇒ (( A′BC) ( ABC))
 = (AM A′M )  =  , , AMA′ = 60° Giả sử: a 3
AB = a ⇒ AM = . 2 AA′ a  ′ = ⇒ ′ =  3 tan AMA AA AM tan AMA′ = AM 2 2 2
⇒ A′M = AA′ + AM = a 3 2 1 a 3  S = A′M BC = = ⇒ a = A BC . 2 3 2 ' 2 2 2 a 3  S = = ⇒ V = ′ = = ′ ′ ′ AA S ABC 3 ABC A B C . ABC 3. 3 3 3 . 4 1  V = = Chọn B. ′ V A APQ ABC A′B C ′ ′ 3. . 3
Câu 27: Ta có AC′ ∩ (BCC B
′ ′) = {C }′ và AB ⊥ (BCC B ′ ′)
⇒ ( AC′ (BCC B ′ ′))
 = (AC′ BC′)  =  , , AC B ′ = α AB AB   tan AC B ′ = ⇒ BC′ = = α BC′  a cot tan AC B ′  2 2 2
CC′ = BC′ − BC = a cot α −1  2 3 2 S = a ⇒ V = ′ = − ′ ′ ′ ′ CC S a α ABCD ABCD A B C D . ABCD cot 1 . Chọn C. Câu 28: 1 3 3 S = S ⇒ = = ′ ′ S ′ ′ S ′ ′ S ABM 4 ABBA A B BM 4 ABBA 2 A′BB′ 3 1 ⇒ V = = ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V C .A B BM C .A B B ABC. 2 2 A′B C ′ ′ 1
VC .′A′BB′M ⇒ V = V ⇒ = B ACC M ABC A′B C ′ ′ 1 . . . 2 VB.ACC.M Chọn C
Câu 29: Kẻ C H
′ ⊥ ( ABC) ⇒ (CC′ ( ABC))  =  ; C C ′ H = 60° C H ′ b 3 ⇒ sin 60° = ⇒ C H ′ = CC′ 2 2 2 2 2
2 b 3 a 3 a b ⇒ V = = ′ = = ′ ′ ′ V ′ ′ ′ C H S A BCC B ABC A B C . ABC . . . 3 3 3 2 4 4 Chọn B.
Câu 30: Ta có (DIC′) cắt AB tại P như hình vẽ Đặt V = ′ ′ ′ ′ V ABCD A B C D . . Ta có V = + ′ ′ V ′ ′ V C DAPIB C APIB C APD ′ 3 1 3 1 1 1 5 = V + = + = ′ ′ V ′ V V V C ABB C ABD . . 4 2 4 6 2 6 24 1 5 7 ⇒ V = − = ′ V V V IBP.C CD 2 24 24 7 V V1 24 7 ⇒ = = . Chọn B V 7 17 2 V − V 24
Câu 31: Kẻ CP ⊥ AB ⇒ ( A′C ( ABC))  =  ; A′CP = 30° ⇒ sin 30 CP ° =
⇒ A′C = 2CP . A′C 2 2 2
AB = AC + BC − 2AC.BC cos120° ⇒ AB = a 7 . 1 1 S = CP AB = AC BC ° ABC . . .sin120 2 2 a 21 2a 21 ⇒ CP = ⇒ A′C = 7 7 2 2 5
⇒ A′A = A′C − AC = a 7 3 5 1 a 105 ⇒ V = A′ . A S = a AC BC ° = ABC . . .sin120 7 2 14 Chọn B. Câu 32: Ta có 1 1 V = = ′ V ′ ′ ′ ′ V C CBD ABCD. 6 A B C D 6 1V V1 6 1 ⇒ = = . Chọn B. V 1 5 2 V − V 6 Câu 33: 1 1 1 1 V = V = = ′ V ′ ′ ′ V I ABC A ABC . . . ABC.A B C ABC. 2 2 3 6 A′B C ′ ′ Chọn D
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: