Chuyên đề trắc nghiệm tỉ số thể tích

Tài liệu gồm 56 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề tỉ số thể tích, có đáp án và lời giải chi tiết.Mời bạn đọc đón xem.

CH ĐỀ 9: T S TH TÍCH
I. LÝ THUYT TRNG TÂM
Chú thích
1
V =
Th tích cũ,
2
V =
Th tích mi (dùng cho k thut chuyển đỉnh và đáy).
1. K thut đổi đỉnh (đáy không đổi)
a. Song song với đáy
12
1
.
3
V V Bh= =
b. Cắt đáy
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
1
2
1
.; .
;
3
.
1
;
.; .
3
đ
đ
dAP S
dAP
V
IB
V IA
dB P
dB P S
= = =
2. K thut chuyển đáy (đường cao không đổi)
11
22
VS
VS
=
;vi
1
S
là diện tích đáy cũ;
2
S
là diện tích đáy mới
Chú ý:
i. Đưa hai khối đa diện v cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường
thì đáy chứa đáy mi). Áp dng công thc tính din tích ca đa giác đ so sánh tỉ s gia đáy
cũ và đáy mới.
ii. Nếu tăng (hoặc gim) mi cnh ca đa giác (tam giác, t giác), k ln thì din tích đa giác s tăng
(hoc gim)
2
k
ln.
iii. T s đa giác hay gặp là t s din tích ca hai tam giác.
3. T s th tích ca khi chóp
a. T số th tích của khối chóp tam giác
Công thc:
.
.
..
S ABC
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
′′
′′
=
Lưu ý: Công thc ch áp dụng vi khối chóp đáy tam giác nên
trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các
hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.
b. T số th tích của khối chóp t giác
Trưng hợp đặc bit: Cho hình chóp
.
S ABCD
đáy
ABCD
(hoc đa giác bt k), mt phng
( )
P
song song với đáy cắt các cạnh bên
,,,SA SB SC SD
lần lượt ti
,,,ABC D
′′
.
Khi đó
3
.
.
S ABCD
S ABCD
V
k
V
′′
=
; vi
..
SA SB SC SD
k
SA SB SC SD
′′
= =
.
Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác.
Trưng hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)
Bài toán: Cho hình chóp
.S ABCD
đáy
ABCD
hình nh hành. Mặt phng
( )
P
ct các cnh
,,,SA SB SC SD
lần lượt ti
,,,
ABC D
′′
sao cho
;;;.
SA SB SC SD
xyzt
SA SB SC SD
′′
= = = =
Khi đó
11 11
xz yt
+=+
.
.
1 1 11
4

= +++


S MNPQ
S ABCD
V
xyzt
V xyzt
4. T s th tích ca khối lăng trụ
a. Lăng trụ tam giác
Kết qu 1:
Gi V là th tích khối ng trụ,
1
V
là th tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh ca lăng trụ,
2
V
là th
tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:
12
2
;
33
VV
VV= =
Ví d: Hình lăng trụ
..
12
.;
33
ABBC ABC ABC ABABC ABC ABC
ABC A B C V V V V
′′ ′′ ′′ ′′
′′
→ = =
Kết qu 2:
Cho hình lăng trụ tam giác
.ABC A B C
′′
. Mặt phng
( )
α
ct các đưng
thng
,,AA BB CC
′′
lần lượt ti
,,MNP
(tham khảo hình vẽ bên).
Tính t s
.
.
ABC MNP
ABC A B C
V
V
′′
.
HD: Ta có
. ..ABC MNP M ABC A BNPC
V VV= +
Li có
( )
( )
( )
( )
.
11
.;. ..;.
33
M ABC ABC ABC
AM
V d M ABC S d A ABC S
AA
∆∆
= =
.. .
11
.. ..
33
ABC A B C M ABC ABC A B C
AM AM
VV V
AA AA
′′ ′′
= → =
′′
( )
.;
2
BNPC
h
S BN CP= +
( )
..
2
BCC B
h
S BB CC h BB
′′
′′
= +=
( )
.
11
2
.
.2 2
BNPC
BCC B
h
BN CP
S
BN CP BN CP
S h BB BB BB CC
′′
+
+

⇒= = = +

′′

Suy ra
(
)
( )
.
1
.; .
3
A BNPC BNPC
V d A BCC B S
′′
=
( )
( )
.
11 1
.; . . .
32 2
BCC B A BCC B
BN CP BN CP
d A BCC B S V
BB CC BB CC
′′ ′′

′′
= +=+

′′ ′′

. .. .
21
..
33
A BCC B ABC A B C A BNPC ABC A B C
BN CP
VV V V
BB CC
′′ ′′

= ⇒= +

′′

Vy
.
.. .
.
11 1
.. . .
33 3
ABC MNP
ABC MNP ABC A B C ABC A B C
ABC A B C
V
AM BN CP AM BN CP
VV V
AA BB CC V AA BB CC
′′ ′′
′′

= + + = ++

′′ ′′′

Công thức tính nhanh
.
.
1
3
ABC MNP
ABC A B C
V
AM BN CP
V AA BB CC
′′

= ++

′′′

b. Khi hp
Kết qu 1:
Gi V là th tích khi hộp,
1
V
là th tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đnh ca khi hp gm hai
đường chéo ca hai mặt song song,
2
V
là th tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh ca khi hp
các trưng hp còn lại. Khi đó:
12
;
36
VV
VV= =
Ví d: Hình hộp
'. .
11
.;
36
AC BD ABCD ABCD ACDD ABCD ABCD
ABCD A B C D V V V V
′′′ ′′ ′′′′
′′′′
→ = =
Kết qu 2:
Cho hình lăng trụ tam giác
.ABCD A B C D
′′′′
. Mặt phng
( )
α
ct
các đưng thng
,,,AA BB CC DD
′′
lần lượt ti
, ,,M N PQ
(tham
khảo hình vẽ n).
Chứng minh rằng
AM CP BN DQ
AA CC BB DD
+=+
′′
.
.
11
22
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM CP BN DQ
V AA CC BB DD
′′

= += +

′′

Chng minh
AM CP BN DQ
AA CC BB DD
+=+
′′
Gi I là tâm hình vuông ABCD;
I
là tâm hình vuông
ABCD
′′′′
.
Ta có:
2
;
AM CP AM PC OI
AA CC AA AA
+
+= =
′′
2
.
BN DQ BN DQ OI AM CP BN DQ
BB DD BB BB AA CC BB DD
+
+= = +=+
′′ ′′
Chng minh
.
.
11
22
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM CP BN DQ
V AA CC BB DD
′′

= += +

′′

Chia khối đa diện
.ABCD MNPQ
thành hai khối đa diện
.ABC MNP
.
ACD MPQ
;
Làm tương tự vi th tích khối lăng trụ tam giác;
Cng th tích hai khối đa diện
.
.
1
4
ABC MNP
ABC A B C
V
AM CP BN DQ
V AA CC BB DD
′′

= +++

′′

.
.
11
22
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM CP BN DQ AM CP BN DQ
AA CC BB DD V AA CC BB DD
′′

+=+ = + = +

′′ ′′

Công thức tính nhanh
.
.
1 11
4 22
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM CP BN DQ AM CP BN DQ
V AA CC BB DD AA CC BB DD
′′
 
= +++ = + = +
 
′′ ′′
 
II. CÁC DNG TOÁN TRNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GII
Dạng 1. Tỉ s th tích ca khi chóp
Ví d 1: Cho hình chóp
.S ABC
th tích
18.V =
Gi M trung điểm ca SA, E đim đi xng vi B
qua C. Gi N là giao điểm của hai đường thng SB ME.
a) Tính thể tích khối chóp MABE
b) Tính thể tích khối chóp AMNBC
c) Tính th tích khối chóp SANE
Lời giải
E đối xng vi B qua C
C là trung điểm của BE.
M là trung điểm của SB.
SC ME N
∩=
Suy ra N là trng tâm
2
3
SN
SBE
SC
→ =
.
a) Ta có:
11
. 2 . 2.
22
SBE A BC A BC ABC
S d BE d BC S
∆→
= = =
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
;
1
;;
2
;
d S ABC
SB
d M ABC d S ABC
BM
d M ABC
=⇒=
Khi đó
( )
( )
.
1
;.
3
M ABE SBE
V d M ABC S
=
( )
( )
.
11
.2. ; . 18.
23
ABC S ABC
d M ABC S V
= = =
b) Ta có
.
..
.
12 1 1
..
23 3 3
S AMN
S AMN S ABC
S ABC
V
SM SN
VV
V SB SC
= ==⇒=
Li có
. . .. .
22
.18 12
33
S ABC S AMN AMNBC AMNBC S ABC S AMN S ABC
V V V V VV V= + → = = = =
c) Ta có
... . .
1
3
S ANE S AME S AMN S AME S ABC
VVV V V
=−=
Li có
.
. . ..
.
1 11
.2
2 22
S AME
S AME S ABE S ABC S ABC
S ABE
V
SM
V V VV
V SB
= = → = = =
Do đó
.. . .
122
.18 12
333
S ANE S ABC S ABC S ABC
VV V V=−===
Ví d 2: Cho hình chóp đều
.S ABC
có đáy cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Gi M, N lần lượt thuc AB, AC sao cho
2 , 2.AM AB AN NC= =
Tính
.S MBCN
V
b) Mt phng
( )
P
đi qua trọng tâm ca tam giác ABC, song song với SA và BC, biết
( )
P
ct SB, SC ln
t ti P, Q. Tính th tích khối chóp MPQCB
Lời giải
Gi G là trng tâm tam giác
( )
ABC SG ABC⇒⊥
.
Tam giác SAG vuông ti G, có
( )
2
2
22
3 33
2.
33
aa
SG SA AG a

= −= =



Th tích khối chóp
.S ABC
3
.
1 11
..
3 12
S ABC ABC
a
V SG S
= =
a) Ta có
.
.
12 1 1
..
23 3 3
AMN S AMN
ABC S ABC
SV
AM AN
S AB AC V
= ==⇒=
3
... . .
2 11
3 18
S ABC S AMN S MBCN S MBCN S ABC
a
VVV V V= + → = =
b) Qua G kẻ đường thng song song vi BC, cắt AB, AC lần lượt ti E, N. Tương tự, từ E, N kẻ c đưng
thẳng song song với BC ct SB, SC lần lượt ti P, Q.
D dàng chứng minh được
2
.
3
SP SQ AN
SB SC AC
= = =
Ta có:
( )
. .. . . .
11 1 5
.. .
2 2 2 18
MPQCB A PQCB S ABC S APQ S ABC S ABC S ABC
SP SQ
V V VV V V V
SB SC

= = −= =


Vy th tích cn tìm là
3
3
5 11 5 11
.
18 12 216
MPQCB
a
Va= =
.
Ví d 3: Cho hình chóp
.
S ABC
đáy ABCD là hình vuông cnh
2a
, cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Góc giữa hai mặt phng
(
)
SBD
( )
ABCD
bằng
45
°
.
a) Gi M, N, P lần lượt là trung điểm ca SA, SB, AB. Tính
MNPD
V
.
b) Gi H là hình chiếu ca A trên SD; E trung điểm ca BC. Ni AC ct DE ti F. Tính th tích các khi
đa diện MHCD, HFCD.
Lời giải
Gi O là tâm hình vuông ABCD
( )
( )
; 45SBD ABCD SOA⇒==°
Suy ra
( )
3
2
.
12
.. . 2 .
2 333
S ABCD ABCD
AC a a
SA OA a V SA S a= = = → = = =
a) Ta có
MNP SAB SMN AMP BPN
S SS S S
∆∆
=−−
1111
.
4444
SAB SAB SAB SAB SAB
SSSS S
∆∆∆∆
=−−−=
Li có
( )
( )
..
11
;.
34
MNPD D MNP MNP D SAB
V V d D SAB S V
= = =
33
. ..
1 1 1 12
.. . .
4 4 8 8 3 12
ABD
S ABD S ABCD S ABCD
ABCD
S
aa
V VV
S
= = = = =
b) Xét
SAD
vuông ti A, đường cao AH
2
1
.
3
SH SA
SD SD

⇒= =


Tính th tích khối chóp MHCD.
Ta có
11
33
HCD
HCD SCD
SCD
S
HD
SS
S SD
∆∆
==⇒=
( )
( )
( )
( )
.
1 11
.;. ..;.
3 63
M HCD HCD SCD
V d M SCD S d A SCD S
∆∆
⇒= =
3
.. . .
1 1 11 1
. ..
6 6 6 2 12 18
A SCD S ACD S ABCD S ABCD
a
VV V V= = = = =
Tính th tích khối chóp HFCD.
12
// .
23
EC CF EF DF
EC AD
AD AC FD DE
⇒====
Cách 1. Ta có
( )
( )
.
1
.; .
3
H FCD FCD
V d H ABCD S
=
( )
( )
( )
( )
;
2
.
3
;
d H ABCD
HD
SD
d S ABCD
= =
3
.. . .
2 4 41 1 2
.. .
3 9 9 4 9 27
FCD
H FCD S ECD S ABCD S ABCD
ECD
S
DF a
VV VV
S DE
= = → = = = =
Cách 2. Ta có
( )
( )
(
)
( )
..
1 11 2
.;. .;.
3 33 3
H FCD F HCD HCD SCD
V V d F SCD S d A SCD S
∆∆
= = =
3
.. . .
2 2 21 1 2
..
9 9 9 2 9 27
A SCD S ACD S ABCD S ABCD
a
VV V V= = = = =
Ví d 4: Cho tứ din ABCD có th tích V. Gi
V
là th tích ca khi t din có các đỉnh là trọng m ca
các mt của khối t din ABCD. Tính t s
V
V
.
A.
8
.
27
V
V
=
B.
23
.
27
V
V
=
C.
1
.
27
V
V
=
D.
4
.
27
V
V
=
Lời giải
Gi M trung điểm AC; E, F lần lượt trng tâm ca tam giác ABC,
ACD. Trong tam giác MBD
1
.
3
EF BD=
Tương t ta c cnh còn li ca t diện mới sinh ra bng
1
3
cnh ca
t diện ban đầu. Do đó
3
11
.
3 27
V
V

= =


Chn C.
Ví d 5: Cho tứ din ABCD AB, AC, AD đôi mt vuông góc và
6, 9, 3.AB a AC a AD a= = =
Gi M, N,
P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Tính th tích V của khối t din AMNP.
A.
2
8.
Va=
B.
2
4.Va=
C.
2
6.
Va=
D.
2
2.Va
=
Lời giải
Ta có:
3
1
. . 27 .
6
ABCD
V AB AC AD a= =
Gi E, F, G lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.
Suy ra
3
1 27
.
44
AEFG ABCD
VV a= =
Do M, N, P là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
Nên ta có:
2
.
3
AM AN AP
AE AF AG
= = =
Li có:
.
.
8
.. .
27
A MNP
A EFG
V
AM AN AP
V AE AF AG
= =
3
..
8
. 2.
27
A MNP A EFG
V Va → = =
Chn D.
Ví d 6: Cho hình chóp S.ABCD chiu cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gi M là trung điểm ca cnh
SB N thuc cạnh SC sao cho
2.NS NC=
Tính th tích V của khối chóp A.BMNC.
A.
15.V =
B.
5.V =
C.
10.
V =
D.
6.V =
Lời giải
T gi thiết, ta có
2
3
SN
SC
=
1
2
SM
SB
=
.
Th tích khối chóp
.
1
.9.5 15
3
S ABC
V
= =
Ta có
.
.
.
12
. 10.
33
S AMN
ABMNC S ABC
S ABC
V
SM SN
VV
V SB SC
= =⇒= =
Chn C.
Ví d 7: Cho hình chóp S.ABC
3, 4, 5SA SB SC
= = =
60 .ASB BSC CSA= = = °
Tính th tích V ca
khối chóp đã cho.
A.
5 2.V =
B.
5 3.
V
=
C.
10.V =
D.
15.V =
Lời giải
Trên SB, SC lần lượt ly các đim E, F sao cho
3.SE SF= =
.
Khi đó S.AEF là khối t diện đều có cạnh
3a =
.
Suy ra thể tích khối chóp S.AEF
3
.
2 92
.
12 4
S AEF
a
V = =
Ta có:
.
.
33 9
. ..
4 5 20
S ABC
S AEF
V
SE SF
V SB SC
= = =
.
.
20
. 5 2.
9
S S AEFABC
VV → = =
Chn A.
Ví d 8: Cho tứ diện đều cnh ABCD có cạnh bằng a. Gi M, N lần lượt là trung điểm ca các cnh AB, BC
E đim đi xng vi B qua D. Mặt phng
( )
MNE
chia khi t din ABCD thành hai khối đa diện,
trong đó khối đa diện cha đnh A có thể tích V. Tính V
A.
3
72
216
a
V =
B.
3
11 2
216
a
V =
C.
3
13 2
216
a
V =
D.
3
2
18
a
V =
Lời giải
Th tích khối t diện đều ABCD cnh a
3
2
12
ABCD
a
V
=
Gi
P EN CD=
Q EM AD
=
.
P, Q lần lượt là trọng tâm của
BCE
ABE
Gi S là din tích tam giác BCD
.
CDE BNE
SSS
∆∆
⇒==
Ta có:
1
..
33
∆∆
= =
PDE CDE
S
SS
Gi h là chiều cao của t din ABCD, suy ra
( ) (
)
; ;; .
23
hh
d M BCD d Q BCD= =


Khi đó
( )
(
)
.
1.
.;
36
M BNE BNE
Sh
V S d M BCD
= =
;
( )
( )
.
1.
.;
3 27
Q PDE PDE
Sh
V S d Q BCD
= =
Suy ra
. ..
. .7.7.7
. ..
6 27 54 18 3 18
PQD NMB M BNE Q PDE ABCD
Sh Sh Sh Sh
V VV V= =−= = =
Vy th tích khối đa diện cha đnh A
33
.
11 2 11 2
.
18 12 216
ABCD PQD NMB
aa
VV V=−= =
. Chn B.
Ví d 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A B,
2, 1.AD BA BC
= = =
Cnh
bên SA vuông góc với đáy và
2SA =
. Gi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính th tích V ca
khối đa diện SAHCD.
A.
22
.
3
V =
B.
42
.
9
V
=
C.
42
.
3
V =
D.
22
.
9
V =
Lời giải
Tam giác vuông SAB, có
22
3SB SA AB= +=
Gi M là trung điểm của AD
ABCM là hình vuông nên
.
2
AD
CM AB a= = =
→
Tam giác ACD vuông ti C.
Ta có
. ..
= +
S AHCD S ACD S AHC
V VV
..
1 11 2
.
3 32 3
S ACD ACD
V S SA AD AB SA

= = =


2
.
..
2
.
2 22
3 39
S AHC
S AHC S ABC
S ABC
V
SH SA
VV
V SB
SB
===⇒= =
Vy
.
2 2 42
.
39 9
S AHCD
V
=+=
Chn B
Ví d 10: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cnh a,
SA a=
vuông góc với mt phng
đáy
( )
ABCD
. Đim M thuc cnh SA sao cho
SM
k
SA
=
. Xác đnh k sao cho mặt phng
( )
MBC
chia khi
chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.
A.
13
.
2
k
−+
=
B.
15
.
2
k
−+
=
C.
12
.
2
k
−+
=
D.
15
.
4
k
+
=
Lời giải
Cách 1. K
( )
// .
SN SM
AD N SD k
SD SA
MN → = =
Khi đó mặt phng
( )
MBC
chia khối chóp thành hai phần là S.MBCN và AMBDNC.
Ta có
. ..
.
S MBCN S MBC S MCN
V VV= +
.
..
.
..
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
V
SM
k V kV
V SA
==⇒=
22
.
..
.
. ..
S MCN
S MCN S ACD
S ACD
V
SM SN
k V kV
V SA SD
= =⇒=
Li có
2
. . ...
11
. ...
22
S MBCN S ABCD S ABC S ACD S ABCD
V V kV k V V= ⇒+ =
22
..
.
1
...
15
1
2 222
.
S ABCD S ABCD
S ABCD
VV
kk V k kk + = → + =
−+
=
Cách 2: Vi
11
; 1; 1;
SA SB SC SD
SM k SB SC SN k
= = = =
Áp dng công thức, ta được
2
.
.
1
2. 2
1 15
.
11
22 2
4. .
1
S MBCN
S ABCD
V
k
k
k
V
kk
+
−+
= = =⇒=
+
Chn B.
Ví d 11: Cho hình chóp đều S.ABCD. Gi N là trung đim SB, M đim đi xng vi B qua A. Mặt
phng
( )
MNC
chia khi chóp S.ABCD thành hai phần có th tích lần lượt là
12
,VV
vi
12
VV<
. Tính t s
th tích
1
2
V
V
.
A.
1
2
5
7
V
V
=
B.
1
2
5
11
V
V
=
C.
1
2
5
9
V
V
=
D.
1
2
5
13
V
V
=
Lời giải
Gi h, S ln t là chiều cao diện tích đáy ca khi
chóp S.ABCD. Khi đó
.
1
..
3
S ABCD
V Sh
=
Ni MN ct SA ti E, MC ct AD ti F.
Tam giác SBM A, N lần lượt trung điểm ca BM
SB. Suy ra E là trng tâm tam giác SBM.
ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC.
Ta có
..BNC AEF ABCEN E ACF
V VV= +
.
..
.
21 1 1
.
32 3 3
S ENC
S ENC S ABC
S ABC
V
SE SN
VV
V SA SB
= = × = → =
. ..
2 21 1
.
3 32 3
ABCEN S ABC S ABCD S ABCD
VV V V

→ = = =


( )
( )
..
1 11 1 1
. ; .. . .
3 3 4 3 12
E ACF ACF S ABCD
V S d E ACF S h V
= = =
Do đó
. . . . .1
11 5
. ..
3 12 12
BNC AEF ABCEN E ACF S ABCD S ABCD S ABCD
V VV V V V V
= += + = =
Suy ra
1
2.
2
75
..
12 7
S ABCD
V
VV
V
= → =
Chn A.
Ví d 12: Cho hình chóp S.ABC
1, 2, 3, 60 , 90 , 120 .SA SB SC ASB ASC CSB== = =°=°=°
Th tích ca
khối chóp S.ABC bằng?
A.
2
.
4
B.
2
.
2
C.
2
D.
2
.
6
Lời giải
Kí hiệu như hình v vi
1SA SP SK= = =
Hình chiếu vuông góc
H h t S xung
( )
APK
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
APK
.
Ta có
1, 2AP AK= =
Gi H là trung điểm của cnh PK
33
sin 60 2 3
22
HP
HP PK HP
SP
°= = = = =
Như vy
22 2
12AP AK PK AP AK+ =+=
H là tâm đường tròn ngoại tiếp
APK
( )
.SH APK⇒⊥
Cnh
22
31
1
42
SH SP HP= = −=
.
1 1 1 111 2
. . . . . .1. 2
3 3 2 3 2 2 12
S APK APK
V SH S SH AP AK
⇒= = = =
.
Ta có:
.
..
.
11 2
. . 1. . 6 .
23 2
S APK
S ABC S APK
S ABC
V
SA SP SK
VV
V SA SB SC
= =⇒= =
Chn B.
Ví d 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông n ti B, vi
2.
AC a=
Cnh
SA a=
và
vuông góc với mt phng đáy. Gi G trng tâm ca tam giác SBC, mặt phng
(
)
α
qua A, G và song song
vi BC ct SB, SC lần lượt ti M N. Tính theo a th tích V của khối chóp A.BCNM
A.
3
5
.
54
a
V =
B.
3
5
.
27
a
V
=
C.
3
2
.
27
a
V =
D.
3
.
18
a
V =
Lời giải
Ta có
.
.
. . ..
S AMN
S ABC
V
SA SM SN SM SN
V SA SB SC SB SC
= =
Bài ra có:
2
// .
3
SM SN SG
MN BC
SB SC GP
⇒===
.
..
.
44
99
S AMN
S AMN S ABC
S ABC
V
VV
V
=⇒=
. .. .
5
.
9
A BCNM S ABC S AMN S ABC
V VV V
=−=
Tam giác ABC vuông cân ti B, vi
2.AC a=
2
AC
AB BC a⇒== =
33
2
. ..
1 11 5 5
.. .
3 3 2 6 9 54
S ABC ABC A BCNM S ABC
aa
V SA S a a V V⇒= = = = =
Chn A.
Ví d 14: Cho hình chóp
S.ABCD
, trên cnh
SA
ly đim
M
sao cho
SM AM=
. Mt phng
( )
α
đi qua
M
và song song với mt phẳng đáy cắt SB, SC, SD lần lượt ti N, P, Q. Kí hiu
1
V
2
V
lần lượt là th tích của
khối chóp S.MNPQ S.ABCD. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
1
2
1
.
16
V
V
=
B.
1
2
1
.
8
V
V
=
C.
1
2
1
.
4
V
V
=
D.
1
2
1
.
24
V
V
=
Lời giải
Ta có N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SC, SD.
T s
.
.
111 1
. . .. .
222 8
S MNP
S ABC
V
SM SN SP
V SA SB SC
= = =
T s
.
.
111 1
. . .. .
222 8
S MPQ
S ACD
V
SM SP SQ
V SA SC SD
= = =
. .. . .
11 1
88 8
S MNPQ S MNP S MPQ S ABC S ACD SABCD
V VV V V V =+= + =
1
12
2
11
88
V
VV
V
⇒= =
Hoặc áp dụng công thc
2
1
2
1
8
V
SM
V SA

= =


. Chn B
Ví d 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình ch nht, vi
, 3.AB a AD a
= =
Cnh
2SA a=
và vuông góc với mt phng đáy. Mt phng
( )
α
qua A và vuông góc với SC ct SB, SC, SD lần lượt ti H,
I, K. Tính theo a th tích V của khối chóp S.AHIK.
A.
3
43
.
35
a
V =
B.
3
63
.
35
a
V =
C.
3
83
.
35
a
V =
D.
3
12 3
.
35
a
V
=
Lời giải
Ta có
( )
,.SC AHIK SC AI SC AH AH SC ⇒⊥
Li có
( )
.
BC AB
BC SAB BC AH AH BC
BC SA
⇒⊥ ⇒⊥
Như vy
( )
,
AH SC
AH SBC AH SB
AH BC
⇒⊥ ⇒⊥
tương t
thì
.AK SD
Cnh
2 2 22
45SB SA AB a a a= + = +=
22
44 5
4
55
SA a a SB
SH
SB SH
a
⇒= = = =
2SA a SA AC SAC= = ⇒∆
vuông cân ti A
I là trung điểm của cnh
2.
SC
SC
SI
⇒=
Do đó
7
.
4
SA SC SB SD SD
SA SI SH SK SK
+=+=
Áp dng công thức, ta được:
.
.
57
12
12
44
.
57
35
4.1. .2.
44
S AHIK
S ABCD
V
V
+ ++
= =
Do đó
3
.
12 1 4 8 3
. . .2 . . 3 .
35 3 35 35
S AHIK ABCD
a
V SAS aaa
= = =
Chn C.
Ví d 16: Cho hình chóp S.ABC
6, 2, 4, 2 10
SA SB SC AB= = = =
90 , 120 .SBC ASC=°=°
Mặt
phng
( )
P
đi qua B trung điểm N ca SC đng thi vuông góc với mt phng
( )
SAC
, cắt cạnh SA tại
M. Tính t s th tích
.
.
.
S BMN
S ABC
V
k
V
=
A.
2
9
k =
B.
2
5
k
=
C.
1
6
k =
D.
1
4
k =
Lời giải
Gi D thuc SA sao cho
3. 2.SA SD SD= ⇒=
Xét
SBC
vuông ti B, có
1
cos 60 .
2
SB
BSC BSC
SC
==⇒=°
222
AB SA SB SAB= + ⇒∆
vuông ti S
90ASB⇒=°
Xét t din S.BND
90 , 60 , 120DSB BSN DSN=°=°=°
22 2
BD BN DN BDN + = ⇒∆
vuông ti B
SB SN SD= =
hình chiếu ca S trên mt phng
( )
BDN
trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.
Gi H là trung điểm
( ) ( ) ( )
DN SH BDN SDN BDN⇒⊥
Hay
( ) ( ) (
) ( )
.BDN SAC mp P BDN M D ⇒≡
Vy
.
.
11 1
. ..
23 6
S BMN
S ABC
V
SN SM
k
V SC SD
= = = =
Chn C.
Ví d 17: Cho khối t din ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau
2,AB a=
4.AC AD a= =
Gi H, K lần lượt là hình chiếu ca A lên BC BD. Th tích của khối t din ABHK
A.
3
16
75
a
B.
3
32
75
a
C.
3
2
3
a
D.
3
3
2
a
Lời giải
Ta có
( ) ( )
22
22
2 4 25
BD AB AD a a a= += + =
2
2
2
21
..
5
25
BK AB a
AB BK BD
BD BD
a


= ⇒= = =




Tương tự, được
1
.
5
BH
BC
=
Li có
3
..
1 16
.4 .4 .2 .
63
B ACD D ABC
a
V V aaa= = =
Vy
33
.
.
1 1 1 1 16 16
.. . .
5 5 25 25 3 75
B AKH
ABHK
B ACD
V
BK BH a a
V
V BD BC
= ==⇒= =
Chn A.
Ví d 18: Cho hình hộp S.ABC
2SC a=
( )
SC ABC
. Đáy ABC tam giác vuông cân ti B
2AB a=
. Mặt phng
( )
α
đi qua C vuông góc với SA,
( )
α
ct SA, SB lần lượt ti D, E. Tính th tích
khối chóp S.CDE
A.
3
4
9
a
B.
3
2
3
a
C.
3
2
9
a
D.
3
3
a
Lời giải
Ta có
( )
SC AB
AB SBC CE AB
BC AB
⇒⊥ ⇒⊥
( )
SA SA CE
α
⇒⊥
suy ra
( )
CE SAB CE SB ⇒⊥
Tam giác ABC vuông cân ti B
22AC AB a⇒= =
Suy ra
SC AC SAC
= ⇒∆
cân ti C
1
.
2
SD
SD DA
SA
⇒= =
Tam giác SBC vuông ti C, có
22
. 23
.
3
SC BC a
CE
SC BC
= =
+
Do đó
22
26 26 2
:6 .
3 33
a SE a
SE SC CE a
SB
= = → = =
Khi đó
23
.
.
.
1 11 2
. .. .
3 33 2 9
S CDE
S CDE
S CAB
V
SD SE AB a
V SC
V SA SB
= =⇒= =
Chn C.
Ví d 19: Cho tứ din ABCD các cnh AB, AC AD đôi một vuông góc. Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm các đon thng BC, CD, BD. Biết rng
4, 6, 7.AB a AC a AD a= = =
Tính th tích của khi t
din AMNP.
A.
3
7Va=
B.
3
28Va
=
C.
3
14
Va=
D.
3
21Va
=
Lời giải
T din ABCD có các cnh AB, AC AD đôi một vuông góc
3
1
. . 28
6
ABCD
V AB AC AD a → = =
Ta có
1
,
4
MNP BCD
SS
∆∆
=
suy ra
3
.
1
7.
4
AMNP A BCD
VVa
= =
Chn A.
Ví d 20: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành. Gọi M trung điểm SB G trng
tâm ca tam giác SBC. Gi
,VV
lần lượt là th tích ca các khối chóp M.ABCG.ABD. Tính t s
V
V
A.
3
2
V
V
=
B.
4
3
V
V
=
C.
5
3
V
V
=
D.
2
3
V
V
=
Lời giải
Gi H K lần lượt là hình chiếu ca M G trên
( )
mp ABCD
Suy ra
3
// .
2
MH CM
MH GK
GK CG
→ = =
Ta có
1
1
.
33
3
2
..
11
22
.
32
ABC
ABCD
ABD ABCD
MH S
S
V
V
GK S S
= = =
Chn D
Ví d 21: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành. I nm trên cnh SC sao cho
2
IS IC=
.
Mặt phng
(
)
P
cha cnh AI ct cnh SB, SD lần t ti M, N. Gi
,VV
lần lượt là th tích khi chóp
S.AMIN S.ABCD. Tính giá trị nh nht ca t s th tích
V
V
A.
4
5
B.
5
54
C.
8
15
D.
5
24
Lời giải
Gi O là tâm của hình bình hành ABCD.
Gi
,H SK AI=
qua H kẻ
//
d BD
ct SB, SD ti M, N.
Xét tam giác SAC, có
14
.. 1 .
45
IS AC OH OH SH
IC OC SH SC SC
= =⇒=
4
//
5
SM SN SH
MN BD
SB SD SO
→ = = =
Ta có
..
..
21
.. .
33
S AMI S AMI
S ABC S ABCD
VV
SM SI SM SM
V SB SC SB V SB
= =⇒=
..
..
21
.. .
33
S ANI S ANI
S ACD S ABCD
VV
SN SI SN SN
V SD SC SD V SD
= =⇒=
Suy ra
1 144 8
..
3 3 5 5 15
V SM SN
V SB SD

= + = +=


Chn C.
Ví d 22: Cho điểm M nm trên cnh SA, điểm N nm trên cnh SB ca khi chóp tam giác S.ABC sao cho
1
; 2.
2
SM SN
MA NB
= =
Mặt phng
( )
α
đi qua MN song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gi
1
V
là
th tích của khối đa diện cha A,
2
V
là th ch ca khối đa diện còn li. Tính t s
1
2
V
V
?
A.
1
2
4
5
V
V
=
B.
1
2
5
4
V
V
=
C.
1
2
5
6
V
V
=
D.
1
2
6
5
V
V
=
Lời giải
K
(
)
// ,NP SC P BC
kẻ
(
)
// .
MQ SC Q SC
Khi đó, mặt phng
( )
α
cắt hình chóp theo thiết din là MNPQ.
21
// ; // .
33
CP CQ
NP SC MQ SC
CB CA
⇒= =
Ta có
12 2 2
.. .
33 9 9
CPQ
CPQ ABC
CBA
S
CP CQ
SS
S CB CA
∆∆
= ==⇒=
( )
( )
( )
( )
..
1 22
; .; .
3 27 27
N CPQ S ABC
V
d N ABC d S ABC V V= ⇒= =
Li có
22 4 5
.. .
33 9 9
AMQ
SMQC SAC
ASC
S
AM AQ
SS
S SA AC
= ==⇒=
(
)
(
)
( )
(
)
..
2 10 10
; .; .
3 27 27
N SMQC S ABC
d N SAC d B SAC V V V= ⇒= =
Do đó
2 .. 1
2 10 4 5
.
27 27 9 9
SCMNPQ N CPQ N SMQC
V VV
VV V V V V= = + = + = ⇒=
Vy
1
2
54 5
:.
994
V
VV
V
= =
Chn B
Ví d 23: Th T n xây dng mt ngọn tháp đèn lộng ly hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh bên
12
SA m=
và
30ASB = °
. Ngưi ta cần mắc mt đường y điện t đim A đến trung đim K ca SA gm
AE, EF, FH, HK như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí người ta cn thiết kế được chiều dài con đường t A đến
K là ngn nht. Tính t s
HF HK
k
EA EF
+
=
+
A.
3
4
k =
B.
1
2
k =
C.
1
3
k =
D.
2
3
k =
Lời giải
Gi s ngọn tháp được làm bằng bìa nên ta cắt đưc ngọn tháp
theo các đưng SA, AB, BC, CD, DA. Và tri các mặt bên SAB,
SBC, SCD, SDA lên cùng một mặt phng.
Vì
30ASB BSC CSA DSA
= = = = °
nên khi trải ra mt phng
ta thu được mt tam giác cân SAA góc đỉnh
4.30 120
S
= °= °
như hình vẽ bên.
Để độ dài đon gấp khúc
AE EF FH HK
+++
nh nhất khi
và ch khi A, E, F, H, K thng hàng.
K là trung điểm của
SA F SC AK F⇒=
là trọng tâm của tam giác SAA
Vy t s
1
.
2
HF HK FK
k
EA EF AF
+
= = =
+
Chn B.
Ví d 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có thể tích là V. Gi M một điểm trên
cnh AB sao cho
,0 1.
MA
xx
MB
= <<
Biết rằng mặt phng
( )
α
qua M song song vi
( )
SBC
chia khi
chóp S.ABCD thành hai phần trong đó phần chứa điểm A th tích bng
4
27
V
. Tính giá trị ca biu thc
1
1
x
P
x
=
+
.
A.
1
2
B.
1
5
C.
1
3
D.
3
5
Lời giải
K
( )
( ) (
)
// , // , // .MN BC N CD NP SC P SD MQ SB Q SA∈∈
( )
mp
α
cắt chóp S.ABCD theo thiết din là MNPQ.
Ta
1
MA AQ ND SQ SP
xx
AB SA CD SA SD
= = =⇒==
Mặt khác
AMN ADN∆=
2
.. . .
..
22
Q AMN P ADN S AMN S AMND
xx
V V xV V V⇒== = =
(
)
( )
2
..
1
1.
2
N APQ N SAD
xx
V x xV V
= −× =
Do đó
....AQM DPN Q AMN P AND N APQ
V V VV= ++
23
34
2 27
xx
VV
= ×=
32
81
x3 0
27 3
xx + =⇒=
. Vy
1
3
11
.
12
x
x
P
x
=

= =

+

Chn A.
Ví d 25: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành thể tích bằng 1. Trên cạnh SC ly đim E
sao cho
2.
SE EC=
Tính th tích V của khối t din SEBD.
A.
2
.
3
V
=
B.
1
.
6
V =
C.
1
.
3
V =
D.
4
.
3
V =
Lời giải
Ta có
.
..
.
2 2 21 1 1
. .1 .
3 3 32 3 3
S EBD
S EBD S BCD ABCD
S BCD
V
SE
VV S
V SC
==⇒= = ==
Chn C.
Ví d 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đu cnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là
trung điểm ca BC. Mặt phng
( )
P
đi qua A vuông góc với SM ct SB, SC lần lượt ti E, F. Biết
..
1
4
S AEF S ABC
VV=
. Tính th tích V của khối chóp S.ABC.
A.
3
2
a
V =
B.
3
8
a
V
=
C.
3
2
5
a
V =
D.
3
12
a
V
=
Lời giải
Dng
,AH SM
dựng đường thẳng qua H song song vi BC ct SB,
SC lần lượt ti E, F.
Khi đó
( )
// .EF BC SM mp AEF SM⊥⇒
Li có:
..
11
.
42
S AEF S ABC
SE SF SH
VV
SB SC SM
= ⇒== =
Do đó
SAM
vuông cân ti
3
2
a
A SA SM⇒= =
Vy
3
.
1
.. .
38
S ABC ABC
a
V SA S= =
Chn B.
Ví d 27: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, gi M, P lần lượt trung điểm ca SA SC.
Đim N thuc cnh SB sao cho
.
SN
k
SB
=
Mặt phng
( )
MNP
cắt khối chóp theo thiết din là t giác MNPQ.
Biết rằng
.
.
2
,
15
S MNPQ
S ABCD
V
V
=
giá tr ca k là:
A.
12
;.
33
k



B.
12
;.
35
k



C.
22
;.
35
k



D.
32
;.
55
k



Lời giải
Ta có
; ; ;.
SM SN SP SQ
x yzt
SA SB SC SD
= = = =
Ta có:
1
z.
2
x = =
1111
4.
xz yt
++ +=
Áp dng công thức nhanh ta có:
.
.
1111 2
. .2.4 .
4 16 15
S MNPQ
S ABCD
V
xyzt yt
V xz yt

= +++ = =


4
4
4
15
16
15
4
15
15
yt
yt
yt
yt
yt
yt
+
=
=

⇔=


=
=
Khi đó y, t là nghiệm của phương trình
2
2
16 4 2 2
3
0 ;.
2
15 15 5 3
5
X
XX k
X
=

+ = ⇒∈


=
Chn C
Ví d 28: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD là hình ch nhật,
1, 2,AB AD SA= =
vuông góc với mt
phẳng đáy
( )
ABCD
2SA =
. Đim M trên cnh SA sao cho
( )
MBC
chia khối chóp S.ABCD thành hai
phần có th tích bằng nhau. Tính diện tích S ca tam giác MAC.
A.
35 5
.
2
S
=
B.
5
.
2
S
=
C.
5
.
3
S =
D.
55
.
4
S
=
Lời giải
Qua M kẻ đưng thng
// ,d BC
ct SD ti
( )
N N MBC⇒∈
Đặt
SA SD
kk
SM SN
=⇒=
Khi đó
.
2
.
1
2
4. . . .
S MBCN
S ABCD
SA SB SC SD
V
k
SM SB SC SN
SA SB SC SD
V
k
SM SB SC SN
+++
+
= =
Theo bài:
.
2
.
1 11 1 5
35
2 22
2
S MBCN
S ABCD
V
k
k MA
V
k
++
= =⇔= =
Diện tích tam giác MAC
( )
1 1 35 5
. .3 5. 5 .
22 2
S MA AC
= =−=
Chn A.
Ví d 29: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành, M thuc cnh SA, P thuc cnh SC sao
cho
2 ,.SM AM SP PC= =
Mặt phng
( )
α
cha MP, chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa din. Gi
1
V
, V lần lượt là th tích khối đa diện cha đnh S và th tích khối chóp S.ABCD. Giá tr nh nht ca biu
thc
1
V
V
A.
5
12
B.
1
25
C.
1
15
D.
2
25
Lời giải
Gi s mặt phng
( )
α
cha MP, cắt đường thng SB, SD lần lượt ti N, Q.
Khi đó
3 2 5.
SA SC SB SD
xy xy
SM SP SN SQ
+ = + +=+⇔+=
.
.
5 55
4.3. .2.y 24 12
4. . . .
S MNPQ
S ABCD
SA SB SC SD
V
xy xy
SM SN SP SQ
SA SB SC SD
V x xy xy
SM SN SP SQ
+++
++ ++
= = = =
Ta có
( )
2
5 51
4 25 12 75
12 75 15
xy x y xy
xy
+ = → =
Vy t s
1
V
V
đạt giá trị nh nhất bằng
1
15
. Chn C.
Ví d 30: Cho khối chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành, M đim thuc cnh SB, N đim
thuc cnh SD sao cho
3 , 2.
SB BM SN ND= =
Mặt phng
( )
AMN
chia khối chóp S.ABCD thành hai khi
đa diện. Gi
1
V
,
2
V
lần lượt là th tích khối đa diện cha đnh S và đỉnh C. Tính t s
1
2
V
V
A.
2
3
B.
2
C.
1
3
D.
1
2
Lời giải
Gi s mặt phng
( )
AMN
cắt đường thng SC ti P.
Khi đó
33
12
22
SA SC SB SD SC SC
SA SP SM SN SP SP
+= ++=+=
.
.1
.
33
12
61
22
3
33
18 3
4. . . . 4.1. .2.
22
S AMPN
S ABCD
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SM SP SN
VV
SA SB SC SD
V
SA SM SP SN
+ ++
+ ++
= = ==⇒=
1
. . . 12 1 2 1
2
1
32 .
2
S ABCD S AMPN AMPN BCD
V
V V V VV V V V
V
= + =+= = =
Chn D.
Dạng 2: Tỉ s th tích khối lăng trụ
Ví d 1: Gi V là th tích ca hình lập phương
1
.,
ABCD A B C D V
′′′′
là th tích t din
A ABD
. H thc nào
sau đây đúng?
A.
1
6VV
=
B.
1
4VV=
C.
1
3VV=
D.
1
2VV
=
Lời giải
Ta
.
ABCD
V S AA
=
1
1
.
3
ABD
V S AA
=
1
1
6
2
ABD ABCD
V
SS
V
= → =
Suy ra
1
6VV=
. Chn A.
Ví d 2: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′
. Gi D là trung điểm ca AC. Tính t s th tích khối t din
B BAD
và th tích khối lăng tr đã cho.
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
12
D.
1
3
Lời giải
Ta có
.
.
ABC A B C ABC
V S BB
′′
=
1
..
3
B BAD BAD
V S BB
=
.
11
.
26
B BAD
BAD ABC
ABC A B C
V
SS k
V
∆∆
′′
= → = =
Chn B.
Ví d 3: Cho khối lăng tr
.ABC A B C
′′
. Đưng thng đi qua trọng tâm của tam giác ABC song song
vi BC ct các cnh AB, AC lần lượt ti M, N. Mặt phng
( )
A MN
chia khối ng tr thành hai phần. Tính
t s th tích (phần bé chia phần ln) của chúng.
A.
2
3
B.
4
23
C.
4
9
D.
4
27
Lời giải
Gi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gi E là trung điểm của BC
2
3
AG
AE
⇒=
Qua G kẻ đường thng
// ,
d BC
ct AB, AC lần lượt ti M, N.
2
3
AM AN AG
AB AC AE
⇒===
ịnh lí Talet)
2
4
3
2
9
3
AMN ABC
AM AB
SS
AN AC
∆∆
=
⇒=
=
(1).
Ta có
.
.'
ABC A B C ABC
V S AA
′′
=
.
1
.'
3
A AMN AMN
V S AA
=
(2).
T (1) và (2)
. ., .
4 23
27 27
A AMN ABC A B C BMNC A B C ABC A B C
VVV V
′′ ′′ ′′
⇒= =
Vy t s cn tìm là
4 23 4
:.
27 27 23
=
Chn B.
Ví d 4: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′
đáy ABC tam giác vuông cân ti A,
2 2.AC =
Biết
AC
tạo với mặt phng
( )
ABC
một góc
60°
4AC
=
. Tính th tích ca khối đa diện
ABCC B
′′
.
A.
83
3
B.
3
3
C.
23
D.
16 3
3
Lời giải
Gi H là hình chiếu ca A trên mặt phng
( )
ABC
′′
.
Suy ra
HC
là hình chiếu ca
AC
trên mặt phng
( )
ABC
′′
.
Do đó
( )
( )
(
)
; ; 60
AC ABC AC HC AHC
′′
= = = °
Tam giác
AHC
, có
sin 2 3AH AC AC H
′′
= =
Diện tích tam giác
2
4
2
ABC
AC
S
= =
Suy ra
.
. 83
ABC A B C ABC
V S AH
′′
= =
Ta có
..
1 1 83
..
3 33
AABC ABC ABC ABC
V S AH V
′′ ′′ ′′
= = =
Suy ra
..
16 3
3
ABCC B ABC A B C A A B C
VV V
′′ ′′
= −=
. Chn D.
Ví d 5: Cho hình hộp ch nht
.ABCD A B C D
′′′′
th tích V. Các đim M, N, P ln t thuc các cnh
,,
AC AB AD
′′
sao cho
2, 3 , 4 .AM AC AN AB AP AD
′′
= = =
Tính th tích của khối t din
AMNP
theo V.
A.
8
AMNP
VV
=
B.
4
AMNP
VV=
C.
6
AMNP
VV=
D.
12
AMNP
VV=
Lời giải
Ta có
( )
.
AB D C AA B D CC B D D DAC B BAC
VV V V V V
′′′ ′′ ′′
= + + ++
.
6
AA B D CC B D D DAC B BAC
V
V V VV
′′ ′′
= = = =
Suy ra
.
3
AB D C
V
V
′′′
=
T gia thiết, ta có
111
;;.
324
AB AC AD
AN AM AP
′′
= = =
Ta có
.
.
1
.. .
24
ABDC
A NPM
V
AB AD AC
V AN AP AM
′′′
′′
= =
..
24 24. 8 .
3
A NPM A B D C
V
VV V
′′′
→ = = =
Chn A.
Nhn xét: Công thc giải nhanh: Thể tích ca khi t diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt
đối diện) có thể tích bng
1
3
của khối lăng trụ tam giác.
Ví d 6:
Cho lăng trụ tam giác đu
.ABC A B C
′′
có góc gia hai mt phng
( )
A BC
và
( )
ABC
bằng
30°
.
Đim M nằm trên cạnh
AA
. Biết cnh
3,AB a=
th tích khối đa diện
MBCC B
′′
bằng
A.
3
3
.
4
a
B.
3
33
.
2
a
C.
3
32
.
4
a
D.
3
2
.
3
a
Lời giải
Gi V là th tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
′′
.
Do
.. .
2
//
33
M BCB C A BCC B A ABC
VV
AA BB V V V V V
′′
′′
= = =−=
Dng
AH BC
( )
AA BC BC A HA
′′
⊥⇒
Do đó
( ) (
)
33
; 30 .
22
AB a
A BC ABC A HA AH
′′
= = °⇒ = =
Khi đó
3
39
.tan 30 . .
28
ABC
aa
AA AH V AA S
′′
= °= = =
Vy th tích cn tính là
3
.
3
2.
34
M BCC B
Va
V
′′
= =
Chn A.
Ví d 7: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′
th tích bng V. Các đim M, N, P lần lượt thuc các cnh
,,AA BB CC
′′
sao cho
12
;.
23
AM BN CP
AA BB CC
= = =
′′
Tính th tích của khối đa diện
.ABC MNP
A.
2
3
VV
=
B.
9
16
VV
=
C.
20
27
VV
=
D.
11
18
VV
=
Lời giải
Công thc giải nhanh
.
3
ABC MNP
mnp
VV
++

=


vi
,, .
AM BN CP
mnp
AA BB CC
= = =
′′
Áp dng vi:
122
;; ,
23 3
mnp= = =
ta được
.
11
18
ABC MNP
VV=
. Chn D.
Ví d 8: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cnh 2a, gi M trung đim ca
BB
P thuc cnh
DD
sao cho
1
4
DP DD
=
. Mặt phng
( )
AMP
ct
CC
ti N. Th tích khối đa diện AMNPBCD bằng
A.
3
2Va=
B.
3
3Va=
C.
3
11
3
a
V =
D.
3
9
4
a
V
=
Lời giải
Áp dng công thức tính nhanh, ta được
( )
3
3
.
1 111 3 3
. .2 3
2 224 8 8
ABCD A B C D
AMNPBCD
AMNPBCD
V
BM DP
V aa
V BB DD
′′

= + = + = → = =

′′

. Chn B
Ví d 9: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′′′
. Gi M đim thuc
CC
tha mãn
4CC CM
=
. Mặt phng
( )
AB M
chia khi hộp thành hai phần có thể tích là
1
V
2
V
. Gi
1
V
là phn th tíchcha đim B. Tính
t s
1
2
V
k
V
=
.
A.
7
32
k
=
B.
7
16
k =
C.
7
25
k
=
D.
25
32
k
=
Lời giải
Trong mặt phng
( )
,CDD C
′′
kẻ
// .MN C D
Suy ra
1
4
CN CD=
1
V
là khối đa diện
.ABB NCM
Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó
.
.
ABB NCM ABB CM MACN
V VV
′′
= +
.
1
01
51
4
..
3 12 2
ABB CM ABC A B C
V VV
′′
++

= =


..
11 1 1 1
.. .
4 4 16 3 96
MACN C ADC ADC A D C
VV V V
′′

= = =


Vy
1
12
2
7 25 7
.
32 32 25
ABCMB MACN
V
VV V V V
V
= + = → = → =
Chn C
Nhn xét: Ta có
.
11
.
44
MACN C ADC
VV
=
vì din tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần
Ví d 10: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cnh a. Gi M trung điểm ca
,
AB
′′
N là trung điểm
ca BC. Tính th tích của khối t din ADMN.
A.
3
.
3
a
V =
B.
3
.
12
a
V =
C.
3
.
6
a
V =
D.
3
.
2
a
V
=
Lời giải
Ta có
( )
( )
.
1
.; .
3
ADMN M ADN AMD
V V d M ABCD S
= =
Li có
( )
( )
( )
( )
;;d M ABCD d A ABCD AA
′′
= =
11
22
AMD ABCD ABN CDN ABCD ABCD ABCD
S SSS S S S
∆∆
=−− = =
Do đó
3
.
11 1
.. . .
32 6 6 6
ABCD A B C D
ADMN ABCD ABCD
V
a
V AA S AA S
′′
′′
= = = =
Chn C.
Ví d 11: Cho hình hộp ch nht
.ABCD A B C D
′′′′
, 2.AB a AD a= =
Din tích tam giác
A DC
bằng
2
13
.
2
a
Tính th tích khối chóp
.A BCC B
′′
theo a.
A.
3
a
B.
3
2a
C.
3
3a
D.
3
6a
Lời giải
Ta có
( )
.
CD DD
CD ADD A CD A D
CD AD
′′
⇒⊥ ⇒⊥
Suy ra
2
1 13
. . 13
22
A CD
a
S ADCD AD a
′′
= = → =
Do đó
( )
( )
2
2
22
13 2 3 .AA A D AD a a a
′′
= −= =
Th tích của khối hp
.ABCD A B C D
′′′′
3
.. 6V AA AB AD a
= =
.
Li có
33
..
11
.6 2 .
33
A BCC B ABCD A B C D
V V aa
′′
= = =
Chn B.
Ví d 12:
Cho khối hp
.ABCD A B C D
′′′′
. Gi M thuc cnh AB sao cho
2.MB MA=
Mặt phng
( )
MB D
′′
chia khối hộp thành hai phần. Tính t s th tích ca hai phần đó.
A.
5
.
12
B.
7
.
17
C.
13
.
41
D.
5
.
17
Lời giải
Lý thuyết b sung:
Cho hình chóp cụt
.ABC A B C
′′
chiều cao h,
1
S
diện tích tam giác ABC,
2
S
diện tích tam giác
.ABC
′′
Th tích khối chóp cụt
.ABC A B C
′′
( )
1 2 12
1
3
V h S S SS= ++
Qua M kẻ đưng thng
// ,d BD
ct AD ti N
Suy ra thiết din ct bởi mặt phng
( )
MB D
′′
MND B
′′
Khi đó
. ..ABCD ABCD AMN ABD BCD MBCDN
V VV
′′ ′′
= +
Đặt
.
;.
ABCD ABCD A B C D
AA h S S V S h
′′
= = → =
Áp dng công thc tính th tích chóp cụt, ta có
( )
.
1
..
3
AMN ABD AMN ABD AMN ABD
V AA S S S S
′′ ′′′ ′′
∆∆
= ++
11
..
9 9 18
AMN
AMN ABD
ABD
S
AM AN S
SS
S AB AD
∆∆
= =⇒= =
.
1 13
.
2 3 18 2 18 2 54
ABD AMN ABD
S S S SS
S Vh V
′′ ′′

= → = + + =



Vy t s th tích cn tính là
13 13 13
:1 .
54 54 41

−=


Chn C.
Ví d 13:
Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Gi I trung điểm ca
,BB
mặt phng
( )
DIC
chia
khối lập phương thành 2 phần có tỉ s th tích phần bé chia phần lớn bằng
A.
3
8
B.
2
3
C.
7
.
17
D.
5
12
Lời giải
Tham khảo hình vẽ dưới đây:
Đặt
.
;.
ABCD ABCD A B C D
AA h S S V S h
′′
= = → =
Ni
IC
ct BC ti F; ni FD ct AB ti M.
Suy ra
( )
mp DIC
chia khối lập phương thành hai khối
.IBM C CD
.IMAA B C DD
′′
M là trung điểm của AB
1
// .
2
FB
BM CD
FC
⇒=
Ta có
1 11
//
2 48
IBM BAB ABB A
IB FB
BI CC S S S
CC FC
′′
∆∆
⇒== = =
Áp dng công thc tính th tích chóp cụt, ta được
( )
.
1 17
. . . ..
3 3 8 2 8 2 24
IBM C CD IBM C CD IBM C CD
S S SS
V BC S S S S h Sh
′′
∆∆

= + + = ++ =



Do đó, thể tích khối
.IMAA B C DD
′′
.
7 17
.
24 24
IMAA B C DD
V VV V
′′
=−=
Vy t s cn tính là
7 17 7
:.
24 24 17
=
Chn C.
Ví d 14: Cho khối lăng tr
.ABC A B C
′′
th tích bng 1. Gi M, N lần lượt là trung đim ca các đon
thng
AA
và
BB
. Đưng thng CM cắt đường thng
CA
′′
ti P, đường thng CN ct đưng thng
CB
′′
ti Q. Th tích của khối đa diện li
AMPBNQ
′′
bằng:
A. 1 B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
Lời giải
Ta có:
.. .
1 12 1
..
2 23 3
C ABNM C ABB A ABC A B C
VV V
′′
= = =
Suy ra
. ..
12
1.
33
CMN A B C ABC A B C C ABNM
V VV
′′ ′′
= =−=
Li có
..
CCPQ CMN ABC AMPBNQ
VV V
′′
= +
.
2
.
3
A MPB NQ C C PQ
VV
′′
⇒=
4
CPQ ABC
SS
′′
=
.. .
14
4 4. .
33
CCPQ C ABC ABC ABC
VV V
′′ ′′′
⇒= = =
Vy
422
.
333
AMPBNQ
V
′′
=−=
Chn D.
BÀI TP T LUYN
Câu 1: Cho khi chóp S.ABC, trên ba cnh SA, SB, SC lần lượt ly ba điểm
,,ABC
′′
sao cho
11 1
,, .
33 3
SA SA SB SB SC SC
′′
= = =
Gi
V
V
lần lượt là th tích ca các khi chóp
.S ABC
.SABC
′′
.
Tính t s
V
V
A.
1
3
B.
1
27
C.
1
9
D.
1
6
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC. Gi M trung điểm canh SA N đim trên cnh SC sao cho
3.
SN NC=
Tính t s k gia th tích khi chóp ABMN và th tích khi chóp S.ABC.
A.
3
8
k =
B.
2
5
k =
C.
1
3
k =
D.
3
4
k =
Câu 3: Cho khi t din có th tích bng V. Gi
V
là th tích ca khối đa diện các đnh là các trung
điểm ca các cnh ca khi t diện đã cho, tính tỉ s
V
V
.
A.
1
2
V
V
=
B.
1
4
V
V
=
C.
2
3
V
V
=
D.
5
8
V
V
=
Câu 4: Cho khi chóp S.ABC có th tích bng V. Đim M trung điểm ca đon thng AB, N đim nm
gia AC sao cho
2.
AN NC=
Gi
V
là th tích khi chóp S.AMN. Tính t s
V
V
.
A.
1
3
V
V
=
B.
1
2
V
V
=
C.
1
6
V
V
=
D.
2
3
V
V
=
Câu 5: Cho t din ABCD có th tích bng V G là trng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD. Th
tích khi chóp AGMC
A.
18
V
B.
9
V
C.
6
V
D.
3
V
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân ti B,
2,AC a=
SA vuông góc vi đáy,
SA a=
, I thuc cnh SB sao cho
1
.
3
SI SB=
Tính th tích khi chóp S.ACI.
A.
3
3
a
B.
3
6
a
C.
3
12
a
D.
3
9
a
Câu 7: Cho khi chóp S.ABC có th tích bng V. Gi M, N, K lần lượt là trung điểm ca AB, BC, CA. nh
th tích khi chóp
A.
2
V
B.
3
V
C.
4
V
D.
8
V
Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC
3.SA a=
D thuc cnh SB
.DB a=
Mt phng
( )
α
đi qua AD
song song vi BC ct SC ti E. Tính t s gia th ch khi t din SADE và th tích khi chóp S.ABC.
A.
2
9
B.
4
9
C.
1
3
D.
1
4
Câu 9: Cho khi t din ABCD có th tích là V điểm E trên cnh AB sao
3.AE EB=
nh th tích
V
ca
khi t din EBCD theo V.
A.
2
V
V
=
B.
5
V
V
=
C.
3
V
V
=
D.
4
V
V
=
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC,
( )
,,SA ABC SA a ABC⊥=
vuông cân,
,
AB AC a
= =
B
là trung điểm ca
SB,
C
là chân đường cao h t A ca
SAC
. Tính th tích ca khi chóp
.S AB C
′′
A.
3
9
a
B.
3
12
a
C.
3
36
a
D.
3
24
a
Câu 11: Cho khi chóp S.ABC. Gi G là trng tâm ca tam giác SBC. Mt phng
(
)
α
qua AG và song song
vi BC ct SB, SC lần lượt ti I, J. Tính t s ca hai khi t din SAIJ S.ABC.
A.
2
9
B.
2
3
C.
4
9
D.
8
27
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân ti B,
.AB a=
Đưng thng SA vuông
góc vi mt phng
(
)
ABC
, góc gia đưng thng SB và mt phng
(
)
ABC
bng
60°
. Tính th tích V ca
khi chóp M.ABC, vi M là trung điểm ca SB.
A.
3
3
.
2
a
V
=
B.
3
3
.
4
a
V =
C.
3
3
.
12
a
V
=
D.
3
3
.
6
a
V
=
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác vuông cân,
,AB AC a= =
SC vuông góc vi mt
phng
(
)
ABC
.SC a=
Mt phẳng qua C, vuông góc vi SB và ct SA, SB lần lượt ti E, F. Tính th tích
khi chóp S.CEF.
A.
3
2
12
a
B.
3
2
36
a
C.
3
36
a
D.
3
12
a
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có th tích V. Gi H, K lần lượt trung điểm ca SB và SC. Tính th tích
khi chóp S.AHK theo V.
A.
.
1
2
S AHK
VV=
B.
.
1
4
S AHK
VV=
C.
.
1
12
S AHK
VV=
D.
.
1
6
S AHK
VV=
Câu 15: Cho khi chóp S.ABCD có th tích là
3
3
a
. Gi G là trng tâm ca tam giác SAB. Th tích ca khi
chóp G.ABCD
A.
3
Va=
B.
3
2Va=
C.
3
1
3
Va=
D.
3
4
3
Va=
Câu 16: Cho hình chóp đều S.ABCD đ dài cnh bên và cạnh đáy đu bng a. Gi M, N, O lần lượt là
trung điểm SC, SD, AC. Tính t s th tích
.
.
.
S OMN
S ABCD
V
V
A.
1
6
B.
1
4
C.
1
12
D.
1
16
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC
2SC a=
( )
SC ABC
. Đáy ABC là tam giác vuông cân ti B và có
2.
AB a=
Mt phng
( )
α
đi qua C vuông góc vi SA và ct SA, SB lần lượt ti D, E. Tính th tích khi
chóp S.CDE.
A.
3
4
9
a
B.
3
2
3
a
C.
3
2
9
a
D.
3
9
a
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC tho mãn
2, 4, 25.AB a BC a AC a= = =
Cnh bên
SA vuông góc vi đáy và
2SA a=
. Gi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc ca A trên SB, SC. Tính th
tích V ca khi chóp S.AMN.
A.
3
2
9
a
V =
B.
3
12
a
V =
C.
3
5
2
a
V
=
D.
3
5
3
a
V =
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân ti B, cnh SA vuông góc với đáy, góc
60 ,ACB = °
, 3.BC a SA a= =
Gi M là trung điểm ca SB. Tính th tích V ca khi t din MABC.
A.
3
2
a
V =
B.
3
3
a
V =
C.
3
6
a
V =
D.
3
4
a
V
=
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác đu cnh a,
2SA a=
SA vuông góc vi đáy
( )
ABC
.
Gi M, N ln lượt trung điểm ca SA, SB P là hình chiếu vuông góc ca A lên SC. Tính th tích V ca
khi chóp S.MNP.
A.
3
3
30
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3
15
a
D.
3
3
10
a
Câu 21: Cho hình chóp tam giác S.ABC
60 , 90ASB CSB ASC==°=°
.
1SA SB= =
, 3.SC =
Gi M
điểm trên cnh SC sao cho
1
.
3
SM SC=
Khi đó, thể tích ca khi chóp S.ABM bng
A.
6
36
V =
B.
3
36
V =
C.
2
12
V
=
D.
2
4
V =
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC
4, 5, 6SA SB SC= = =
,
45
ASB BSC= = °
,
60 .CSA = °
Các đim M, N, P
thỏa mãn đẳng thc
4 ; 4 ; 4.AB AM BC BN CA CP= = =
     
Tính th tích khi chóp S.MNP.
A.
128 2
3
B.
35
8
C.
245
32
D.
35 2
8
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân ti B,
( )
.SA ABC
Biết
,AB a=
2,SA a=
mt phẳng đi qua A và vuông góc vi SC và ct SB, SC lần lượt ti H K. Tính th tích V ca
hình chóp S.AHK.
A.
3
8
15
a
V
=
B.
3
8
45
a
V
=
C.
3
3
15
a
V
=
D.
3
4
45
a
V =
Câu 24: (S GD và ĐT Bc Giang) Cho khi chóp S.ABCD đáy ABCD là hình ch nht,
1,
AB
=
2,
AD
=
SA vuông góc vi mt phẳng đáy
( )
ABCD
2.SA =
Đim M điểm trên cnh SA sao cho mt
phng
(
)
MBC
chia khi chóp S.ABCD thành hai phn có th tích bng nhau. Tính din tích S ca tam giác
MAC.
A.
35 5
2
S
=
B.
5
2
S
=
C.
5
3
S =
D.
55
4
S
=
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cnh a, cnh bên SA vuông góc vi mt đáy,
.SA a=
Mt phng
( )
P
qua A và vuông góc vi SC ct SB, SC, SD ln t ti
,,BCD
′′
. Tính th tích V
ca khối đa diện
.ABCDD C B
′′
A.
3
5
18
a
V =
B.
3
5
9
a
V
=
C.
3
5
12
a
V
=
D.
3
5
6
a
V =
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc vi mt phng
( )
ABC
.SA a
=
Gi M, N lần lượt là trung đim ca AD, DC. Góc gia mt phng
( )
SBM
và mt phng
( )
ABC
bng
45°
. Tính th tích khi chóp S.ABNM.
A.
3
25
8
a
B.
3
25
16
a
C.
3
25
18
a
D.
3
25
24
a
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD. Gi
,,,ABCD
′′
theo th t trung điểm ca các cnh SA, SB, SC, SD.
Tính t s th tích ca hai khi chóp
.SABCD
′′′′
.S ABCD
A.
1
4
B.
1
16
C.
1
8
D.
1
2
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD th tích V, có đáy ABCD hình bình hành. Gi N là trung điểm ca SC.
Mt mt phẳng đi qua AN ct các cnh SB, SD lần lượt ti M, P. Gi
V
là th tích ca khi chóp S.AMNP.
Tính giá tr nh nht ca
V
T
V
=
A.
3
8
B.
1
3
C.
2
3
D.
1
8
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành, M trung điểm ca SC. Mt phng
( )
P
cha AM và song song vi BD chia khi chóp thành hai phn. Gi
1
V
là th tích ca phn cha đnh S
2
V
là th tích phn còn li. Tính t s
1
2
V
V
.
A.
2
9
B.
2
3
C.
1
3
D.
1
2
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tứ giác li vi O giao đim ca AC và BD. Gi M, N, P, Q
lần lượt là trng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD SDA. Gi
1
V
,
2
V
lần t là th tích ca khi chóp
S.ABCD O.MNPQ. nh t s
1
2
V
V
.
A. 8 B.
27
4
C.
27
2
D. 9
Câu 31: Cho hình chóp t giác đu S.ABCD. Gi N trung điểm ca SB, M đim đi xng vi B qua A.
Mt phng
( )
MNC
chia khi S.ABCD thành hai phn có th tích lần lượt là
1
V
,
2
V
vi
1
V
<
2
V
. Tính t s
1
2
V
k
V
=
.
A.
5
7
k
=
B.
5
9
k
=
C.
5
11
k =
D.
5
13
k =
Câu 32: (S GD và ĐT Tha Thiên Huế 2017) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bng 2a. Mt bên
hình chóp to vi đáy mt góc bng
60°
. Mt phng
( )
P
cha AB đi qua trọng tâm G ca tam giác SAC ct
SC, SD lần lượt ti M, N. Tính theo a th tích V ca khi chóp S.ABMN.
A.
3
3Va=
B.
3
3
4
Va=
C.
3
3
2
Va=
D.
3
33
2
Va=
Câu 33: Cho hình chóp đều S.ABCD
,
SA a=
c gia mt bên và mt đáy
60°
. Gi M trung điểm
SA, mt phng
( )
P
đi qua CM và song song vi BD ct SB, SD lần lượt ti E, F. Tính th tích khi chóp
S.CEMF
A.
3
15
75
a
B.
3
15
225
a
C.
3
4 15
225
a
D.
3
4 15
75
a
Câu 34: Cho khi lăng tr tam giác
.ABC A B C
′′
th ch là
1
V
. Gi E trung điểm ca
,AC
′′
F giao
điểm ca AE
.AC
Biết khi chóp
.FABC
′′
có th tích là
2
V
. Tính t s
2
1
V
V
A.
2
1
1
3
V
V
=
B.
2
1
1
6
V
V
=
C.
2
1
2
9
V
V
=
D.
2
1
1
9
V
V
=
Câu 35: (S GD&ĐT Cần Thơ 2017) Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′
và M đim tùy ý thuc cnh
bên
BB
. Gi
,VV
lần lượt là th tích ca khi lăng tr
.ABC A B C
′′
và khi chóp
..M AA C C
′′
Tính t s
V
k
V
=
A.
2
3
k =
B.
1
6
k =
C.
5
6
k =
D.
1
3
k =
Câu 36: Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′
th tích bng 18. Gi M, N lần lượt trung điểm ca
,.AA BB
′′
Tính
th tích V ca khối đa diện
CNMA B C
′′
.
A. 12 B. 6 C. 9 D. 15
Câu 37: Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′
th tích bng V. Gi G là trng tâm tam giác ABC. Tính th tích khi
chóp
.G A BC
theo V.
A.
12
V
B.
6
V
C.
5
V
D.
9
V
Câu 38: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
′′
có th tích V. Gi G là trng tâm ca tam giác ABC. Khi đó thể tích
khi chóp
.GABC
′′
A.
3
V
B.
3V
C.
2V
D.
2
V
Câu 39: Cho khi lăng tr tam giác
.
ABC A B C
′′
th tích
0
V
. Gi P là mt điểm trên đường thng
AA
.
Tính th tích khi chóp t giác
.P BCC B
′′
theo
0
V
A.
0
2
3
V
B.
0
2
V
C.
0
3
V
D.
0
4
V
Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đu
.ABC A B C
′′
có tt c c cạnh đều bng a. Gi M, N lần lượt là
trung điểm ca các cnh
,.
AB B C
Mt phng
( )
A MN
ct cnh BC ti P. Tính th tích ca khối đa diện
.MBPABN
′′
A.
3
73
32
a
B.
3
3
32
a
C.
3
73
68
a
D.
3
73
96
a
Câu 41: Cho khi lăng tr tam giác
.ABC A B C
′′
. Gi M, N lần lượt là các đim thuc các cnh bên
,AA CC
′′
sao cho
MA MA
=
4.NC NC
=
Gi G là trng tâm tam giác ABC. Trong bn khi t din
GABC
′′
,
BB MN
,
ABB C
′′
,
A BCN
khi nào có th tích nh nht?
A. Khi
A BCN
B. Khi
GABC
′′
C. Khi
ABB C
′′
D. Khi
BB MN
Câu 42: Cho khi ng tr
.ABC A B C
′′
đáy ABC là tam giác vuông ti B.
2,
AB BC a= =
3.AA a
=
Tính th tích V ca khi chóp
.A BCC B
′′
theo a.
A.
3
43
3
a
V =
B.
3
3Va=
C.
3
23
3
a
V =
D.
3
23Va=
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′
, 2, 2 3AB a AC a AA a
= = =
,
120BAC = °
. Gi K, I ln
ợt là trung điểm ca các cnh
,.CC BB
′′
Tính th tích V ca khi t din
IA BK
A.
3
2
a
V =
B.
3
3
6
a
V
=
C.
3
5
2
a
V =
D.
3
6
a
V =
Câu 44: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
có cnh bng a. Tính th tích V ca khi t din
ACD B
′′
A.
3
1
3
Va=
B.
3
2
3
a
V =
C.
3
4
a
V =
D.
3
6
4
a
V =
Câu 45: Cho khi hp ch nht
.ABCD A B C D
′′′′
. T s th tích ca khi t din
A ABC
và khi hp ch
nht
.ABCD A B C D
′′′′
bng
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
2
D.
1
3
Câu 46: Cho hình hp
.ABCD A B C D
′′′′
có th tích V. Gi
1
V
là th tích ca t din
.ACB D
′′
Tính t s
1
V
V
.
A.
1
3
B.
2
3
C.
1
5
D.
4
5
Câu 47: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cnh a. Gi M trung điểm ca
AB
′′
N trung điểm
ca BC. Tính th tích ca khi t din ADMN.
A.
3
3
a
V =
B.
3
12
a
V
=
C.
3
6
a
V =
D.
3
2
a
V =
Câu 48: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
có cnh a.Tính th tích ca khi t giác
.D ABC D
′′
.
A.
3
3
a
B.
3
2
6
a
C.
3
2
3
a
D.
3
4
a
Câu 49: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Gi M điểm trên đường chéo
CA
sao cho
3MC MA
=
 
Tính t s gia th tích
1
V
ca khi chóp
.M ABCD
và th tích
2
V
ca khi lập phương.
A.
1
2
1
3
V
V
=
B.
1
2
3
4
V
V
=
C.
1
2
1
9
V
V
=
D.
1
2
1
4
V
V
=
Câu 50: Cho hình hp
.ABCD A B C D
′′′′
. Gi M thuc cnh AB sao cho
2.MB MA=
Mt phng
( )
MB D
′′
chia khi hp thành hai phn. Tính t s th tích ca hai phần đó.
A.
5
12
B.
7
17
C.
13
41
D.
5
17
Câu 51: Cho hình hp ch nht
.ABCD A B C D
′′′′
th tích bng 1 và G là trng tâm ca tam giác
BCD
.
Tính th tích V ca khi chóp
GABC
A.
1
18
V =
B.
1
12
V =
C.
1
3
V =
D.
1
6
V =
Câu 52: Cho hình hp ch nht
.ABCD A B C D
′′′′
. T s th tích ca khi t din
A ABC
khi hp ch nht
.ABCD A B C D
′′′′
bng
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
2
D.
1
3
Câu 53: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Gi M, N ln t trung đim ca AB AD, mt phng
( )
C MN
chia khi lập phương thành hai khối đa diện. Gi
1
V
là th tích ca khi đa din có th tích nh
hơn,
2
V
là th tích ca khối đa diện có th tích ln. Tính
1
2
V
V
.
A.
1
2
1
3
V
V
=
B.
1
2
13
23
V
V
=
C.
1
2
1
2
V
V
=
D.
1
2
25
47
V
V
=
Câu 54: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Gi I trung điểm ca
BB
, mt phng
( )
DIC
chia khi
lập phương thành hai phần có t s th tích phn bé chia phn ln bng
A.
3
8
B.
2
3
C.
7
17
D.
5
12
LI GII BÀI TP T LUYN
Câu 1: Ta có
.
.
111 1
. . .. .
333 27
S ABC
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
′′
′′
= = =
Chn B
Câu 2: Ta có
13
;.
24
AMN SAN
SAN SAC
SS
AM SN
S SA S SC
∆∆
∆∆
= = = =
Suy ra
13 3
.
24 8
AMN SAC SAC
S SS
∆∆
= =
( )
(
)
( )
( )
1 31
;. ;.
3 83
AMN SAC
d B SAC S d B SAC S
∆∆
⇔=×
Chn A
Câu 3: Kí hiu t diện và các điểm như hình v.
Ta có
.
.
.
1
..
88
S ABC
S ABC
S ABC
V
SA SB SC V
V
V SA SB SC
′′
′′
′′
= =⇒=
Tương tự
...
8
A A MP B B MN C C NP
V
VVV
′′
= = =
Do đó
(
)
. . .. .S ABC S ABC A AMP B BMN C CNP
VV V V V V
′′
= +++
1
.
8888 2 2
VVVV V V
V
V

= +++ = =


Chn A
Câu 4: Ta có
12 1
..
23 3
AMN
ABC
S
AM AN
S AB AC
= = =
Li có
( )
(
)
( )
( )
..
11
;.; ;.
33
S AMN AMN S ABC ABC
V d A ABC S V d A ABC S
∆∆
= =
Suy ra
.
.
.
1
.
33
S AMN AMN
S AMN
S ABC ABC
VS
V
V
VS
= = → =
Chn A
Câu 5: Ta có
1
3
MCG
MCB
S
MG
S MB
= =
1
2
MCB BCD
SS
∆∆
=
Suy ra
1 11 1
.
3 32 6
MCG MCB BCD BCD
SS SS
∆∆
= = =
Li có
(
)
( )
.
1
;.
3
A GMC MGC
V d A BCD S
=
( )
( )
11
.; .
63 6
BCD
V
d A BCD S
= =
. Chn C
Câu 6: Diện tích tam giác ABC
23
2
.
1
..
4 33
ABC S ABC ABC
AC a
S a V SA S
∆∆
==⇒= =
Vy
33
.
..
.
1 11
.
3 3 33 9
S AIC
S AIC S ABC
S ABC
V
SI a a
VV
V SB
==⇒= ==
. Chn D
Câu 7: Ta có
.
.
.
1
.
11
3
1
3 44
.
3
MNK
S MNK
MNK ABC S MNK
S ABC
ABC
hS
V
V
SS V
V
hS
∆∆
= → = = =
. Chn C
Câu 8: Qua D k đưng thng
// ,d BC
ct SC ti E
Mt phng
( )
α
ct khi chóp theo thiết din là
ADE
Theo định lí Talet, ta có
2
3
SD SE
SB SC
= =
Do đó
.
.
22 4
. ..
33 9
S ADE
S ABC
V
SD SE
V SB SC
= = =
Chn B
Câu 9: Ta có
( )
( )
( )
( )
.
.
1
;.
3
1
.; .
3
BCD
E BCD
A BCD
BCD
d E BCD S
V
AE
V AB
d A BCD S
= =
.
.
11
.
44
E BCD
A BCD
V
EB
AB V
=⇒=
Chn D
Câu 10: Tam giác SAC cân ti A
AC SC
Suy ra
C
là trung điểm ca
1
2
SC
SC
SC
→ =
Tam giác ABC vuông cân tại
22
22
ABC
AB a
AS
→ = =
Do đó, thể tích khi chóp
.S ABC
3
.
1
..
36
S ABC ABC
a
V SA S
= =
Vy
3
.
.
.
11 1
.. .
2 2 4 24
S AB C
S AB C
S ABC
V
SB SC a
V
V SB SC
′′
′′
= ==⇒=
′′
Chn D
Câu 11: Qua G k đường thẳng
// ,d BC
ct SB, SC ti I, J.
Ta có
2
//
3
SG SI SJ
d BC
SM SB SC
⇒===
(M là trung điểm ca BC)
Khi đó
.
.
22 4
. ..
33 9
S AIJ
S ABC
V
SI SJ
V SB SC
= = =
Chn C
Câu 12: Diện tích tam giác ABC
2
1
..
22
ABC
a
S AB BC
= =
Ta có
( ) ( )
( )
; ; 60SA ABC SB ABC SB AB SBA⊥⇒ = ==°
Tam giác
SAB
vuông tại A,
.tan 3
SA AB SBA a
= =
Suy ra th tích khi chóp
.
S ABC
23
.
1 33
.. .
3 32 6
S ABC ABC
aaa
V SA S
= = =
M là trung điểm ca
3
..
13
.
2 12
M ABC S ABC
a
SB V V → = =
Chn C
Câu 13: K
( )
CF SB F SB⊥∈
Ta có
( )
SC AB
AB SAC
AC AB
⇒⊥
K
( )
CE SA E SA⊥∈
Do đó
,,CEF
đồng phẳng
.
.
.
S CEF
S CAB
V
SE SF
V SA SB
⇒=
Tam giác
SAC
vuông cân tại
1
2
SE
C
SA
→ =
Tam giác
SBC
vuông tại
C
, có
222
111 6
3
a
CF
CF SC BC
= + ⇒=
Tam giác
SCF
vuông tại
F
, có
22
31
33
a SF
SF SC CF
SB
= = ⇒=
Vy
23
.
..
.
11 1 1 1
. .. .
2 3 6 6 6 3 2 36
S CEF
S CEF S ABC
S CAB
V
aa a
VV
V
==⇒= = =
Chn C
Câu 14: Ta có
.
.
11 1
. . 1. .
22 4
S AHK
S ABC
V
SA SH SK
V SA SB SC
= = =
Do đó
..
11
.
44
S AHK S ABC
VVV
= =
Chn B
Câu 15: Gi M trung điểm ca
,,AB A G M
thẳng
hàng và
( )
( )
( )
(
)
1
3; ;
3
SM GM d G ABC d S ABC=⇒=
Ta có:
( )
(
)
.
1
;.
3
G ABCD ABCD
V d G ABCD S=
(
)
(
)
3
.
11 1
.; .
33 3
ABCD S ABCD
d A ABCD S V a
= = =
. Chn A
Câu 16: Do
..
44
ABCD OCD S ABCD S OCD
S SV V=⇒=
Mt khác
.
.
1
..
4
S OMN
S OCD
V
SO SM SN
V SO SC SD
= =
.
..
1
4 16
S OCD
S OMN S ABCD
V
VV⇒==
. Chn D
Câu 17:
2, 2 2
BC AB a AC AB a= = = =
Do
.
AB BC
AB CE
AB SC
⇒⊥
Mt khác
( ) ( )
CE CE SA CE SAB CE SB
α
⇒⊥⇒⊥ ⇒⊥
Tam giác
SCB
vuông tại
S
có đường cao
CE
có:
22
2
2 22
4
.
6
SC SE SE SC
SC SE SB
SB SB
SB SC BC
= =⇒= =
+
SC AC SCA= ⇒∆
vuông cân tại
C
nên
D
là trung điểm ca
SA
Suy ra
.
.
41 1
.. .
62 3
S CED
S CBA
V
SC SE SD
V SC SB SA
= = =
Mt khác
( )
2
3 33
..
1 1 1 2 12 2
. . .2 . 2 . .
3 2 2 3 33 9
S CAB ABC S CDE
V SC S a a a V a a= = =⇒= =
Chn C
Câu 18: Ta có
22 2 2
20AB BC AC a ABC
+ = = ⇒∆
vuông tại
B
Do đó
3
2
.
1 18
.4 . .
2 33
ABC S ABC ABC
a
S AB BC a V SA S= =⇒= =
Xét tam giác
SAB
vuông tại
S
có đường cao
AM
có:
22
2
2 22
1
.
2
SA SM SM SA
SA SM SB
SB SB
SB SA AB
= =⇒= =
+
Tương tự
2
22
41
4 20 6
SN SA
SC
SA AC
= = =
+
+
Mt khác
33
.
.
.
1 18 2
. ..
12 12 3 9
S AMN
S AMN
S ABC
V
SM SN a a
V
V SB SC
= =⇒= =
Chn A.
Câu 19:
ABC
vuông tại
B
tan tan 60 3
AB BC B a = = °=
2
13
.
22
ABC
a
S AB BC= =
Gi
H
trung điểm ca
AB MH
là đường trung bình của tam
giác
( )
//
3
.
22
MH SA MH ABC
SAB
SA a
MH
⇒⊥
= =
Do đó
3
.
1
..
34
M ABC ABC
a
V MH S= =
Chn D.
Câu 20: Xét tam giác
SAC
vuông tại
S
có đường cao
AP
có:
22
2
2 22
44
..
41 5
SA SP SP SA
SA SP SC
SC SC
SC SA AC
= =⇒= = =
+
+
Do đó
.
.
114 1
. . ..
225 5
S MNP
S ABC
V
SM SN SP
V SA SB SC
= = =
Li có
23
.
31 3
..
4 36
ABC S ABC ABC
aa
S V SA S=⇒= =
Suy ra
33
.
13 3
..
5 6 30
S MNP
aa
V = =
Chn A.
Câu 21: Ta có
1SA SB SM
= = =
hình chiếu ca đnh
S
xuống mặt phng
( )
ABM
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABM
.
Mt khác
22
90 2.
ASC AS SM AM SA SM= °⇒ + =
Các tam giác
,ASB ASM
là các tam giác đu nên
1.AB BM
= =
Suy ra
22 2
2AB BM AM ABM
+ = = ⇒∆
vuông tại
.B
Khi đó
( )
SH ABM
thì
H
là trung điểm ca cnh huyn
.
AM
Ta có
22
22
.
22
AH SH SA AH
=⇒= =
.
1 12 . 2
. .. .
3 3 2 2 12
S ABM ABM
AB BM
V SH S= = =
Chn C.
Câu 22: Trên
SB
lấy điểm
E
sao cho
1SE =
Dng
( )
, ,.EF SA EG SC F SA G SC ∈∈
Khi đó
,SEF SEG∆∆
vuông cân tại
E
.
Ta có
12EF EG SF SG= =⇒==
Do
60 60CSA FSG FSG= °⇒ = °⇒
đều suy ra
2.FG =
Khi đó
EFG
vuông cân tại
11
.
22
EFG
E S EF FG⇒= =
.
11
..
36
S EFG EFG
V SE S⇒= =
Ta có
.
.
21 2 1
. . .. .
4 5 6 60
S EFG
S ABC
V
SF SE SG
V SA SB SC
= = =
Suy ra
..
60 10
S ABC S EFG
VV= =
Mt khác
33
.
16 16
AMP
AMP ABC
ABC
S
AM AP
SS
S AB AC
= =⇒=
Tương tự
3 37
1 3.
16 16 16
AMP BMN CNP ABC MNP ABC ABC
SSS S S S S

⇒=== ⇒= =


Suy ra
..
7 7 35
. .10 .
16 16 8
S MNP S ABC
VV
= = =
Chn B.
Câu 23: D dàng chứng minh được
,AH SB
22
AC AB a= =
.
Tam giác
SAB
vuông tại
A
, có đường cao
AH
nên
22
2
2 22
4
..
5
SA SH SA
SA SH SB
SB
SB SA AB
= ⇒== =
+
Tương tự, ta tính được
2
22
2
3
SK SA
SC
SA AC
= =
+
Vy
23
.
.
.
42 8 8 1 8
. . . .2 . .
5 3 15 15 3 2 45
S AHK
S AHK
S ABC
V
SH SK a a
Va
V SB SC
= ==⇒= =
Chn B.
Câu 24: Gi
( )
.N MBC SD=
Ta có:
( ) ( )
//BC AD MAC SAD MN ∩=
suy ra
// // .MN BC AD
.
..
.
2
S ABCD
S ABC S ACD
V
VV= =
Đặt
.
SM
x
SA
=
Ta có
.
.
.
S ACM
S ABC
V
SM
x
V SA
= =
.
..
.
.
2
2
S ACM
S ACM S ABCD
S ABCD
V
x
xV V
V
=⇒=
Li có:
2
2
.
..
.
.
2
S CMN
S CMN S ABCD
S CAD
V
SM SN x
xV V
V SA SD
= =⇒=
22
..
1 1 15
15
22 2 222 2
S ACNM S ABCD
xx xx
V V x SM

−+
= + = + = = =−+


Li có
( )
1 4 5, 2 1 5 3 5, 5AC MA AC= + = = −−+ = =
Suy ra
1 35 5
..
22
MAC
S MA AC
= =
Chn A.
Câu 25: Do
BC AB
BC AB
BC SA
⇒⊥
Ta có:
( )
AB SC
AB SBC AB SB
AB BC
′′
⇒⊥ ⇒⊥
Do hình chóp có
( )
SAC
là mt phẳng đối xứng nên
..
..
..
S AB C D S AB C
S ABCD S ABC
VV
SB SC
V V SB SC
′′′ ′′
′′
= =
Xét tam giác
SAB
vuông tại
S
có đường cao
AB
có:
22
2
2 22
1
.
2
SA SB SB SA
SA SB SB
SB SB
SB SA AB
′′
= =⇒= =
+
Tương tự
22
..
222
..
11
36
S AB C S AB C D
S ABC S ABCD
VV
SC SA SA
SC V V
SC SA AC
′′ ′′′
== =⇒==
+
Mt khác
3
33
. . ..
11 1 5
.
3 3 18 18
ABCD ABCD S AB C D AB C D ABCD S ABCD S AB C D
a
V SAS aV aV V V
′′′ ′′′ ′′′
= == =−=
.
Chn A.
Câu 26: Dng
AH BM
Ta có
( )
.BM SA BM SHA⊥⇒
Khi đó
( ) ( )
(
)
; 45SBM ABCD SHA= = °
Đặt
2
x
AB AD x AM MD DN==⇒===
Mt khác
22
.
5
AM AB x
AH
AM AB
= =
+
Suy ra
22 2 2
2
5 25
84 8 8
AMNB ABCD DMN BCN
xx x a
S S SSx= =−−= =
Do đó
3
2
.
1 1 25 25
. .. .
3 3 8 24
S ABNM ABNM
a
V S SA a a= = =
Chn D.
Câu 27: Ta có
.
.
2222 1
.
4.2.2.2.2 8
4. . . .
S AB C D
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SB SC SD
SA SB SC SD
V
SA SB SC SD
′′′
′′
+++
+++
′′
= = =
′′
′′
Chn C.
Câu 28: Gi
O
là tâm hình bình hành
ABCD
Ni
AN SO I I∩=
là trng tâm tam giác
SAC
Qua
I
k đường thẳng
d
ct
,SB SD
lần lượt ti
,
MP
Đặt
1; ; 2;
SA SB SC SD
xy
SA SM SN SP
= = = =
Suy ra
12 3xy xy
+=+⇔+=
33
88
V xy xy
V xy xy
++ ++
= =
Ta có
( )
2
2.3 1
49 .
2.9 3
V
xy x y
V
≤+ = =
Chn B.
Câu 29: Ni
AN SO I I∩=
là trọng tâm tam giác
SAC
Qua
I
k đường thẳng
// ,d BD
ct
,SB SD
lần lượt ti
,EF
Suy ra
2
;,
3
SE SF
EF
SB SD
= =
thuc mt phng
( )
P
Khi đó
1
.
3
1 2. 2
1
2
33
3
4. . . . 4.1. . .2
22
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SE SM SF
SA SB SC SD
V
SA SE SM SF
++ +
++
= = =
1
. 12
2
1
.
2
S ABCD
V
V VV
V
= + → =
Chn D.
Câu 30: Ta có
(
) (
)
( )
(
)
( )
(
)
2
// ; ;
3
MNPQ ABCD d S MNPQ d S ABCD⇒=
( ) ( )
(
)
( )
(
)
1
;;
3
O ABCD d O MNPQ d S ABCD
→ =
Li có
2
1
2
2 1 2 1 27
..
12
32 9 2
.
39
MNPQ ABCD ABCD
V
S SS
V

= = → = =


Chn C
Câu 31: Ni
MN SA E E
∩=
là trọng tâm
SMB
Ni
MC AD F F∩=
là trung điểm
AD
Ta có
. ..AEF BNC N MBC E MAF
V VV=
( )
( )
( )
( )
1 11
.;...E;.
3 34
MBC MAF
d N ABCD S d ABCD S
∆∆
=
( )
( )
(
)
( )
11 11 1
.;...;.
32 33 4
ABCD ABCD
d S ABCD S d A ABCD S
=
1
.. .
2
11 5 5
2 12 12 7
S ABCD S ABCD S ABCD
V
VV V
V
= = ⇒=
. Chn A.
Câu 32: Gi O là tâm hình vuông
( )
ABCD SO ABCD⇒⊥
Gi E là trung điểm
(
)
BC BC SEO⇒⊥
Do đó
( ) ( )
( )
; ; 60SNO ABCD SN ON SNO= = = °
Tam giác
SEO
vuông tại
,O
.tan 3
SO OE SEO a= =
Suy ra th tích khi chóp
.S ABCD
3
.
43
3
S ABCD
a
V =
( )
P
cha
AG
nên
( )
P SC M
∩=
là trung điểm ca
SC
Qua
M
k đường thẳng
// ,d CD
ct
SD
ti
N
Khi đó
3
.
.
.
112 2 3 3
4.1.1.2.2 8 2
... .
S ABMN
S ABMN
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SB SM SN
Va
SA SB SC SD
V
a
SA SB SM SN
++ +
++ +
= = =⇒=
. Chn C
Câu 33: Gi O là tâm hình vuông
( )
ABCD SO ABCD⇒⊥
Gi N là trung điểm
( )
BC BC SNO⇒⊥
Do đó
( ) ( )
( )
; ; 60SNO ABCD SN ON SNO= = = °
Tam giác
SNO
vuông tại
,O
3
.tan
2
x
SO ON SNO= =
Tam giác
SAO
vuông tại
,O
2
22 2
2
x
SO SA OA a= −=
Suy ra
22 2
22
3 3 25
2 24 2 5
x xx x a
a a AB x= =−⇔ ==
Th tích khi chóp
.S ABCD
2
3
.
1 125325 4 15
.. . . .
3 3 5 2 5 75
S ABCD ABCD
a aa
V SO S

= = =



Ni
SO CM I I = →
là trọng tâm
2
.
3
SI
SAC
SO
⇒=
Qua I k đường thẳng
// ,d BD
ct
,SB SD
lần lượt ti
2
,
3
SE SF
EF
SB SD
⇒==
Đặt
.
.
3
2 2. 1
1
2
;;;
33
43
4.2. . .1
22
S MECF
S ABCD
V
SA SB SC SD x y z t
xyzt
SM SE SC SF V xyzt
++
+++
====⇒= = =
Vy
33
..
1 1 4 15 4 15
.. .
3 3 75 225
S MECF S ABCD
aa
VV= = =
Chn C
Câu 34: Do
11
//
23
FA A E FA
A E AC
FC AC CA
′′
⇒==⇒=
Do đó
( )
( )
( )
( )
1
;;
3
d F ABC d C ABC
′′ ′′
=
Suy ra
.. .
11
.
39
F AB C C A B C ABCD ABC
VV V
′′ ′′
= =
Vy
2
1
1
.
9
V
V
=
Chn D
Câu 35: Ta có
( )
//MB ACC A
′′
nên
( )
( )
( )
( )
; ;.d M A AC d B A AC
′′
=
Do đó
..
12
33
B ACC A B ABC
V V VV V V V
′′
= = =−=
Vy
2
.
3
V
k
V
= =
Chn A
Câu 36: Gi V là th tích ca khi tr.
Ta có:
..
11
.
22
MNBA A B BA C MNBA C A B BA
S SV V
′′ ′′
= ⇒=
Mt khác
. ..
2
33
C ABBA ABC ABC C ABC
VV
V V VV
′′ ′′
= =−=
.
12 1
. .18 6
23 3
C MNBA
V
V
⇒===
Do đó
.
12.
CNMAB C C MNBA
V VV
′′
=−=
Chn A.
Câu 37: Gi I là trung điểm ca
3BC AI GI⇒=
Khi đó
(
)
( )
( )
(
)
.
; 3; 3
AABC GABC
d A A BC d G A BC V V
′′
′′
= ⇒=
Mt khác
..
39
A A BC A ABC G A BC
VV
VV V
′′
==⇒=
Chn D
Câu 38: Do
( ) ( ) ( )
( )
// ;ABC ABC d G ABC h
′′ ′′
⇒=
vi h
chiu cao khi lăng tr.
Do đó
.
11
..
33
G ABC ABC
V hS V
′′ ′′
= =
. Chn A
u 39: Do
( )
//AA BCC B
′′
P AA
nên ta có:
00
. . 0. 0
2
.
33
P BCC B A BCC B A ABC
VV
V V VV V
′′ ′′
= = =−=
Chn A.
Câu 40: Gi E là trung điểm ca BC, F là trung điểm ca BE.
Khi đó
//
MF AE
//AE A N
nên
//MF A N
Suy ra các đim
, ,,AMFN
thuộc cùng một mt phng.
Vy
( )
A MN
ct cnh
BC
tại điểm
PP
trùng với
F
.
Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện
“Th tích khi chóp ct là
( )
3
h
V B B BB
′′
= ++
vi h là chiu cao,
,BB
lần lượt là diện tích hai đáy
Xét khi chóp ct
.MBPABN
′′
có chiu cao
h BB a
= =
.
Và diện tích đáy
88
22
ABC
MBP
ABC
ABN
S
S
BS
S
S
BS
′′
′′
= = =
= = =
vi
2
3
4
a
S =
Th tích khối đa diện
.MBPABN
′′
3
73
. ..
3 8 2 8 2 96
BB S S S S a
V

= ++ =



Chn D
Câu 41: Gi V là th tích khối lăng trụ
.ABC A B C
′′
Ta có:
..
2
33
A BCC B A ABC
VV
V VV V
′′
= =−=
Khi đó
. .. .
1
,
32
G ABC M BBN A BBN A BCCB
V
V VV V
′′
= = =
(Do
1
2
NBB CC B B
SS
′′
=
). Do đó
.
12
..
23 3
M BB N
VV
V
= =
Tương tự
.. .
1
..
23
ACBB A CBB A BCCB
V
VV V
′′ ′′ ′′
= = =
Do
..
11
..
2 23
BCN BCC BCC B A BCN A BCC B
V
SS S V V
′′ ′′
<= < =
Vy khi chóp
BB MN
có th tích nh nht. Chn D
Câu 42: Gi V là th tích khi chóp
.ABC A B C
′′
Ta có:
..
2
33
A BCC B A ABC
VV
V VV V
′′
= =−=
Li có
3
.
. . 23
2
ABC
AB AC
V S AA AA a
′′
= = =
Suy ra
3
3
.
2 43
.2 3
33
A BCC B
a
Va
′′
= =
. Chn A
Câu 43: Gi V là th tích khi chóp
.ABC A B C
′′
Ta có
..
2
33
A BCC B A ABC
VV
V VV V
′′
= =−=
Li có:
11
24
IKB KICB BCC B
SS S
′′
= =
Suy ra
..
1 12 1
.
4 43 6
A IKB A BCC B
V V VV
′′
= = =
Mt khác
1
. . .sin .
2
ABC
V S AA AB AC BAC AA
′′
= =
3
3
.
11
. .2 .sin120 .2 3 3 .
2 62
A IKB
a
aa a a V V
= °===
Chn
A.
Câu 44: Th tích khi lập phương là
3
.Va=
Ta có
3
. ...
1
6
A A B D B ABC D ACD D B C C
V VVV a
′′
= = = =
. , ...ACD B ABCD A B C D A A B D B ABC D ACD D B C C
VV V VV V
′′ ′′
= −−
Suy ra
33
3
4.
63
ACD B
aa
Va
′′
=−=
. Chn A
Câu 45: Ta có
..
22
ABCD ABC A ABCD A ABC
S SV V
′′
=⇒=
Mt khác
..
1
3
A ABCD ABCD A B C D
VV
′′′
=
Do đó
.. .
1 11
.
2 23
A ABC A ABCD ABCD A B C D
VV V
′′′
= =
.
1
.
6
ABCD A B C D
V
′′
=
Chn B
Câu 46: Gi h là chiu cao ca khi hp
Ta có
.
1 11 1 1
.. .
3 32 6 6
B ABC ABC ABCD ABCD
V hS h S hS V
= = = =
1.
11
4. 4. .
63
B ABC
VV V V V V
= =−=
Chn A
Câu 47: Ta có
( )
1
.; .
3
ADMN AND
V d M ABCD S
=


( )
1
..
3
ABCD ABN NCD
AA S S S
∆∆
= −−
1 11
..
3 44
ABCD ABCD ABCD
AASSS

= −−


=
3
11
..
32 6
ABCD
a
AA S
= =
Vy th tích cn tính là
3
6
a
V =
. Chn C
Câu 48: Ta có
. ..
D ABC D C ABD C ADD
V VV
′′
= +
11
..
33
ABD ADD
CC S C D S
∆∆
′′
= +
1 11
. ..
3 32
ABCD AA DD
CC S C D S
′′
′′
= +
3
22
11 11
..
32 32 3
a
aa aa
=+=
Vy th tích cn tính là
3
3
a
V =
. Chn A
Câu 49: Ta có
( )
( )
( )
( )
;
3
3
4
A;
d M ABCD
MC
MC MA
AC
d ABCD
=⇒==
Do đó
( )
( )
( )
( )
.
.
1
;.
13 1
3
.,
34 4
A;
ABCD
M ABCD
ABCD A B C D
ABCD
d M ABCD S
V
V
d ABCD S
′′
= = =
Chn D
Câu 50: Chuẩn hóa thành hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cnh I
Qua M k đường thẳng
// ,d BD
ct AD ti
// ,N MN BD
// // , , ,BD BD MN BD M N B D
′′ ′′
⇒⇒
đồng phẳng
Dó đó
( )
.
1
..
3
AMN ABD AMN ABD AMN ABD
V AA S S S S
′′ ′′ ′′
∆∆
= ++
1 1 1 1 1 13
.1. .
3 18 2 18 2 54

= ++ =



Th tích khối còn lại là
13 41 13
:
54 54 41
=
. Chn C
Câu 51: D thy
// , , ,AB C D A B C D
′′
đồng phẳng
Do đó
( ) (
)
..
11
;;
33
G ABC C ABC
d G ABC d C ABC V V
′′
′′
= ⇒=


Ta có
..
1 11
..
3 32 6
C ABC C ABC ABC ABCD
V
V V CC S CC S
′′
′′
= = = =
Vy
..
11 1
..
3 3 6 18 18
G ABC C ABC
VV
VV
′′
= = = =
Chn A.
Câu 52: Ta có
.
.
11
.. .
1
33
.
. 2. 6
ABC ABC
A ABC
ABCD A B C D ABCD ABC
AA S S
V
V AA S S
∆∆
′′
= = =
Chn B
Câu 53: Chn
1AB =
Ni
;
MN BC P MN CD Q
∩= =
Ni
,CP BB E CQ DD F
′′
∩= =
Do đó thiết din cắt bởi
( )
mp C MN
C EMNF
D thy
11
23
PB QD
BM BP DQ DN
PC QC
====⇒==
Khi đó
.B .
1 11111 1
. . ....
3 33222 72
E PM F DQN BPM
V V EB S
= = = =
Ta có
.
1 1 13
. .1. 1
3 3 88
C CPQ CPQ
V CC S

= = +=


Gi
0
V
là th tích đa diện chứa điểm
0 . .B .
25
72
C CPQ E PM F DQN
CVV V V
⇒= =
Vy t s th tích cn tính là
1
2
25
72
V
V
=
. Chn D
Câu 54: Gi
M
là trung điểm
// //AB IM AB C D
′′
Do đó
(
)
mp DIC
cắt hình lập phương theo thiết din
IMDC
Ta có
( )
.
1
..
3
IBM C CD IBM C CD IBM C CD
V BC S S S S
′′
∆∆
= ++
11 1 1 1
..
38 2 8 2
ABCD ABCD ABCD ABCD
BC S S S S

= ++



.
17 7
.
3 8 24
ABCD ABCD A B C D
BC S V
′′
= =
Vy t s cn tính là
7
17
. Chn C
| 1/56

Preview text:

CHỦ ĐỀ 9: TỈ SỐ THỂ TÍCH
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Chú thích V = Thể tích cũ, V =Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy). 1 2
1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi) a. Song song với đáy 1
V = V = B . h 1 2 3 b. Cắt đáy
1.d ( ;A(P)). V d ( ; A (P)) 1 3 IB = = = . V 1 d B P IA 2 .d ( ; B (P)) ( ;( )) .S 3 đ
2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) V S 1 1 =
;với S là diện tích đáy cũ; S là diện tích đáy mới V S 1 2 2 2 Chú ý:
i. Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường
thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.
ii. Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng (hoặc giảm) 2 k lần.
iii. Tỉ số đa giác hay gặp là tỉ số diện tích của hai tam giác.
1 .AM.AN.sin A S AMN 2 AM = = . AN . S 1 ∆ AB AC ABC .A . B AC.sin A 2
3. Tỉ số thể tích của khối chóp
a. Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác
′ ′ ′
Công thức: VS.ABC′′ SA = . SB . SC V SA SB SC S.ABC
Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên
trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các
hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.

b. Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác
Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD (hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng (P)
song song với đáy cắt các cạnh bên ,
SA SB, SC, SD lần lượt tại A ,′ B ,′C ,′ D′ . ′ ′ ′ ′
Khi đó VS.ABCD′′ 3
= k ; với SA . SB . SC SD = = k . V SA SB SC SD S.ABCD
Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác.
Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)
Bài toán:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh ′ ′ ′ ′ ,
SA SB, SC, SD lần lượt tại A ,′ B ,′C ,′ D′ sao cho SA = ; SB = ; SC = ; SD x y z = t. SA SB SC SD VS MNPQ xyzt   Khi đó 1 1 1 1 + = + và . 1 1 1 1 = + + + x z y t V x y z t S ABCD 4   .  
4. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ a. Lăng trụ tam giác
Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, V là thể 1 2
tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: V 2 = ; V V V = 1 2 3 3
Ví dụ: Hình lăng trụ 1 2
ABC.AB C ′ ′  →V = = ′ ′ V ′ ′ ′ V ′ ′ V A B BC ABC A B C ; . A B ABC ABC. 3 3 AB C ′ ′ Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.AB C
′ ′ . Mặt phẳng (α ) cắt các đường
thẳng AA ,′ BB ,′CC′ lần lượt tại M , N, P (tham khảo hình vẽ bên).
Tính tỉ số VABC.MNP .
VABC.ABC′′ HD: Ta có V = V + V ABC.MNP M .ABC . A BNPC Lại có 1 1 AM V = d M ABC S = ′ ∆ d A ABC S M ABC . ; . ABC . . ; . . ( ( )) ( ( )) 3 3 ABC AA ∆ ′ 1 AM 1 = . . AM V  → = ′ ′ ′ V V ABC A B C M ABC . . . . ABC. 3 AA′ 3 AB C AA ′ ′ ′ Và h S = BN + CP h S = ′ + ′ = ′ ′ ′ BB CC h BB BCC B .( ) . BNPC .( ); 2 2
h .(BN +CP) S  + BNPC 2
1 BN CP  1  BN CP  ⇒ = = = +    . S ′  ′   ′ ′ ′ ′ h BB BB BB CC BCC B . 2 2  Suy ra 1 V = d A BCC B ′ ′ S A BNPC . ; . . ( ( )) 3 BNPC 1 = ( ( )) 1  BN CP  1 . ; . + .  BN CP d A BCC B S  ′ ′ = +   ′ ′   V BCC B . . 3
2  BBCC′  2 A BCC BBBCC ′ ′ ′  Mà 2 1  BN CP V  = ⇒ = + ′ ′ V ′ ′ ′ V   V A BCC B ABC A B C A BNPC . . . . . ABC. 3 3 AB CBBCC ′ ′ ′  Vậy 1 AM 1  BN CP VABC.MNP 1  AM BN CP V V  = + + ⇒ = + + ′ ′ ′   V ABC MNP . . ABC ABC . . . . ABC. 3 AA 3 AB CBB CC ′ ′  V   ′ ′ ′  ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA BB CC ABC A B C 3 . 
Công thức tính nhanh VABC.MNP 1  AM BN CP  = + + V    ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA BB CC ABC A B C 3 .  b. Khối hộp
Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối hộp, V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai 1
đường chéo của hai mặt song song, V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở 2
các trường hợp còn lại. Khi đó: V = ; V V V = 1 2 3 6
Ví dụ: Hình hộp 1 1 ABC . D AB CD ′ ′  →V = = V
′ ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V A C BD ABCD A B C D ; ' . A C D D ABCD. 3 6 AB CD ′ ′ Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC . D AB CD
′ ′ . Mặt phẳng (α ) cắt
các đường thẳng AA ,′ BB ,′CC ,′ DD′ lần lượt tại M , N, P,Q (tham khảo hình vẽ bên). Chứng minh rằng AM CP BN DQ + = +
AACCBBDDVABCD.MNPQ 1  AM CP  1  BN DQ  = + = + V      ′ ′   ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD ABCD A B C D 2 2 .  • Chứng minh AM CP BN DQ + = +
AACCBBDD
Gọi I là tâm hình vuông ABCD; I′ là tâm hình vuông AB CD ′ ′. Ta có: AM CP
AM + PC 2OI + = = ; AACCAAAABN DQ
BN + DQ 2OI AM CP BN DQ + = = ⇒ + = + . BBDDBBBB
AACCBBDDV
Chứng minh ABCD.MNPQ 1  AM CP  1  BN DQ  = + = + V      ′ ′   ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD ABCD A B C D 2 2 . 
Chia khối đa diện ABC .
D MNPQ thành hai khối đa diện ABC.MNP AC . D MPQ ;
Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;
Cộng thể tích hai khối đa diện VABC.MNP 1  AM CP BN DQ  ⇒ = + + + V    ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD ABC A B C 4 .  AM CP BN DQ VABCD.MNPQ 1  AM CP  1  BN DQ  + = + ⇒ = + = + AA CC BB DD V     ′ ′ ′ ′  ′ ′   ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD ABCD A B C D 2 2 . 
Công thức tính nhanh VABCD.MNPQ 1  AM CP BN DQ  1  AM CP  1  BN DQ  = + + + = + = + V        ′ ′ ′ ′   ′ ′   ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD AA CC BB DD ABCD A B C D 4 2 2 . 
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Tỉ số thể tích của khối chóp
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V = 18. Gọi M là trung điểm của SA, E là điểm đối xứng với B
qua C. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng SB ME.
a) Tính thể tích khối chóp MABE
b) Tính thể tích khối chóp AMNBC
c) Tính thể tích khối chóp SANE Lời giải
E đối xứng với B qua CC là trung điểm của BE.
M là trung điểm của SB. SC ME = N
Suy ra N là trọng tâm SN 2 SBE  → = . SC 3 a) Ta có: 1 1 S = = = ∆ d BE d BC S SBE A BC . 2 A BC . 2. 2 2 ABC
d (S;( ABC)) Và SB 1 = ⇒ = d (
d (M; ABC )
d (S;( ABC)) M ;( ABC)) ( ) BM 2 Khi đó 1 V = d M ABC S M ABE ; . . ( ( )) 3 SBE 1 1
= .2. d (M;( ABC)).S = = ∆ V 18. . 2 3 ABC S ABC b) Ta có VS.AMN SM SN 1 2 1 1 = . = . = ⇒ V = V S.AMN S. V SB SC ABC 2 3 3 3 ABC S. Lại có 2 2 V = V + V  →V = VV = V = = S ABC S AMN AMNBC AMNBC S ABC S AMN S ABC .18 12 . . . . . 3 3 c) Ta có 1 V = VV = VV S.ANE S.AME S.AMN S.AME S. 3 ABC Lại có VS.AME SM 1 1 1 = =  →V = V = V = V S AME S ABE .2 . . S.ABC S. V SB ABE 2 2 2 ABC S. Do đó 1 2 2 V = VV = V = = S ANE S ABC S ABC S ABC .18 12 . . . . 3 3 3
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Gọi M, N lần lượt thuộc AB, AC sao cho 2AM = AB, AN = 2NC. Tính V S.MBCN
b) Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm của tam giác ABC, song song với SABC, biết (P) cắt SB, SC lần
lượt tại P, Q. Tính thể tích khối chóp MPQCB Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC SG ⊥ ( ABC) .
Tam giác SAG vuông tại G, có 2   2 2
SG = SA AG = ( a)2 a 3 a 33 2 −   = .  3  3   3
⇒ Thể tích khối chóp S.ABC là 1 a 11 V = SG S = S ABC . . . 3 ABC ∆ 12 a) Ta có SAM AN V AMN 1 2 1 S.AMN 1 = . = . = ⇒ = SAB AC V ABC 2 3 3 S ABC 3 . 3 Mà 2 a 11 V = V + V  →V = V = S.ABC S.AMN S.MBCN S.MBCN S. 3 ABC 18
b) Qua G kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại E, N. Tương tự, từ E, N kẻ các đường
thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại P, Q.
Dễ dàng chứng minh được SP SQ AN 2 = = = . SB SC AC 3 Ta có: 1 1 1  SP SQ  5 V = V = VV = VV =   V MPQCB A PQCB S ABC S APQ S ABC . . S ABC S ABC . . ( . . ) . . . 2 2 2  SB SC  18 3
Vậy thể tích cần tìm là 5 a 11 5 11 3 V = = a . MPQCB . 18 12 216
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và ( ABCD) bằng 45°.
a) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AB. Tính V . MNPD
b) Gọi H là hình chiếu của A trên SD; E là trung điểm của BC. Nối AC cắt DE tại F. Tính thể tích các khối đa diện MHCD, HFCD. Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ (SBD) ( ABCD)  =  ; SOA = 45° Suy ra AC 1 a a SA = OA = = a  →V = SA S = a = S ABCD ABCD ( ) 3 2 2 . . . 2 . . 2 3 3 3 a) Ta có S = − − − ∆ SSSS MNP SAB SMN AMP BPN ∆ 1 1 1 1 = S − − − = ∆ SSSS SAB SAB SAB SAB SAB . 4 4 4 4 Lại có 1 1 V = V = d D SAB S = ∆ V MNPD D MNP ; . . ( ( )) MNP D. 3 4 SAB 3 3 1 1 S ABD ∆ 1 1 2a a = V = V = V = = S ABD . . S ABCD S ABCD . . . . . 4 4 SABCD 8 8 3 12 2 b) Xét S
AD vuông tại A, đường cao AH SH SA  1 ⇒ = =   . SD SD  3
• Tính thể tích khối chóp MHCD. Ta có S HCD HD 1 1 = = ⇒ S = ∆ S SSD 3 HCD 3 SCD SCD 1 1 1 ⇒ V = d M SCD S = ∆ d A SCD S M HCD . ; . HCD . . ; . . ( ( )) ( ( )) 3 6 3 SCD 3 1 1 1 1 1 a = V = V = V = V = A SCD S ACD . S ABCD . S ABCD . . . . . 6 6 6 2 12 18
• Tính thể tích khối chóp HFCD. Vì EC CF EF 1 DF 2 EC / / AD ⇒ = = = ⇒ = . AD AC FD 2 DE 3
d (H;( ABCD)) Cách 1. Ta có 1 V = d H ABCD SHD 2 = = . H FCD . ; . . ( ( )) 3 FCD
d (S;( ABCD)) SD 3 3 Và S FCD DF 2 4 4 1 1 2a = =  →V = V = V = V = H FCD . S ECD . S ABCD S ABCD . . . . . SDE ECD 3 9 9 4 9 27 Cách 2. Ta có 1 1 1 2 V = V = d F SCD S = ∆ d A SCD S H FCD F HCD . ; . HCD . ; . . . ( ( )) ( ( )) 3 3 3 3 SCD 3 2 2 2 1 1 2a = V = V = V = V = A SCD S ACD . S ABCD S ABCD . . . . . 9 9 9 2 9 27
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi V ′ là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của ′
các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số V . V ′ ′ ′ ′ A. V 8 = . B. V 23 = . C. V 1 = . D. V 4 = . V 27 V 27 V 27 V 27 Lời giải
Gọi M là trung điểm AC; E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC,
ACD. Trong tam giác MBD có 1 EF = B . D 3
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng 1 cạnh của 3 3 ′
tứ diện ban đầu. Do đó V  1  1 = =   . Chọn C. V  3  27
Ví dụ 5:
Cho tứ diện ABCDAB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 6a, AC = 9a, AD = 3 . a Gọi M, N,
P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP. A. 2 V = 8a . B. 2 V = 4a . C. 2 V = 6a . D. 2 V = 2a . Lời giải Ta có: 1 3 V = AB AC AD = a ABCD . . 27 . 6
Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB. Suy ra 1 27 3 V = V = a AEFG ABCD . 4 4
Do M, N, P là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Nên ta có: AM AN AP 2 = = = . AE AF AG 3
Lại có: V .AMNP AM AN AP 8 = . . = . V AE AF AG A EFG 27 . 8 3  →V = V = a Chọn D. A MNP . A EFG 2 . . . 27
Ví dụ 6:
Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm của cạnh
SBN thuộc cạnh SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích V của khối chóp A.BMNC. A. V = 15. B. V = 5. C. V = 10. D. V = 6. Lời giải
Từ giả thiết, ta có SN 2 = và SM 1 = . SC 3 SB 2 Thể tích khối chóp 1 V = = S ABC .9.5 15 . 3 Ta có VS.AMN SM SN 1 2 = . = ⇒ V = V = Chọn C. ABMNC S ABC 10. . V SB SC S ABC 3 3 .
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCSA = 3, SB = 4, SC = 5 và  =  = 
ASB BSC CSA = 60 .° Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. V = 5 2. B. V = 5 3. C. V = 10. D. V = 15. Lời giải
Trên SB, SC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho SE = SF = 3..
Khi đó S.AEF là khối tứ diện đều có cạnh a = 3. 3
Suy ra thể tích khối chóp S.AEFa 2 9 2 V = = S AEF . . 12 4 Ta có: VS.AEF SE SF 3 3 9 = . = . = . V SB SC S ABC 4 5 20 . 20  →V = V = Chọn A. S ABC . S AEF 5 2. . . 9
Ví dụ 8:
Cho tứ diện đều cạnh ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC
E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện,
trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V 3 3 3 3 A. 7 2a V = B. 11 2a V = C. 13 2a V = D. 2a V = 216 216 216 18 Lời giải 3
Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh aa 2 V = ABCD 12
Gọi P = EN CD Q = EM AD .
P, Q lần lượt là trọng tâm của BCE ABE
Gọi S là diện tích tam giác BCDS = = ∆ SS CDE BNE . Ta có: 1 = = S S SPDE . ∆CDE . 3 3
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, suy ra  ;  ( ) h  = ;  ;   ( ) h d M BCD d Q BCD  = . 2  3 Khi đó 1 S.h V = S = ; ∆ d M BCD M BNE BNE . ; . ( ( )) 3 6 Và 1 S.h V = S = ∆ d Q BCD Q PDE PDE . ; . ( ( )) 3 27 Suy ra
S.h S.h 7S.h 7 S.h 7 V = VV = − = = = V PQD NMB M BNE Q PDE . . ABCD. . . . 6 27 54 18 3 18 3 3
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là 11 a 2 11 2a V = VV = = . Chọn B. ABCD PQD NMB . . 18 12 216
Ví dụ 9:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại AB, AD = 2, BA = BC = 1. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA = 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính thể tích V của
khối đa diện SAHCD. A. 2 2 V = . B. 4 2 V = . C. 4 2 V = . D. 2 2 V = . 3 9 3 9 Lời giải
Tam giác vuông SAB, có 2 2
SB = SA + AB = 3
Gọi M là trung điểm của ADABCM là hình vuông nên AD
CM = AB = a = . 2 
→ Tam giác ACD vuông tại C. Ta có V = V +V S.AHCD S.ACD S.AHC • 1 1  1  2 V = S = = ∆ SAAD AB SA S ACD ACD . . . 3 3  2  3 2 VS.AHC SH SA 2 2 2 = = = ⇒ V = V = 2 S.AHC S. V SB SB 3 3 ABC S ABC 9 . Vậy 2 2 4 2 V = + = Chọn B S AHCD . . 3 9 9
Ví dụ 10:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a vuông góc với mặt phẳng
đáy ( ABCD) . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM = k . Xác định k sao cho mặt phẳng (MBC) chia khối SA
chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. A. 1 3 k − + = . B. 1 5 k − + = . C. 1 2 k − + = . D. 1 5 k + = . 2 2 2 4 Lời giải
Cách 1. Kẻ MN / / ( ∈ ) SN SM AD N SD  → = = k. SD SA
Khi đó mặt phẳng (MBC) chia khối chóp thành hai phần là S.MBCNAMBDNC. Ta có V = V + V S MBCN S MBC S MCN . . . . VS.MBC SM = = k V = k V S MBC . S ABC. . . V SA S.ABC VS.MCN SM SN 2 2 = . = k V = k V S MCN . S ACD. . . V SA SD S.ACD Lại có 1 2 1 V = Vk V + k V = V S MBCN . S ABCD . S ABC . S ACD . . . . . S. 2 2 ABCD V V − + S.ABCD 2 S.ABCD 1 2 ⇒ k. + k . = . 1 5 V 
k + k = ⇒ k = S ABCD 1 . . 2 2 2 2
Cách 2: Với SA 1 SB SC SD 1 = ; = 1; = 1; = SM k SB SC SN k 1 2. + 2 2
Áp dụng công thức, ta được V + − + S.MBCN k k 1 1 1 5 = = = ⇒ k = . Chọn B. V 1 1 S ABCD 2 2 2 . 4. . k k
Ví dụ 11: Cho hình chóp đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt
phẳng (MNC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là V ,V với V < V . Tính tỉ số 1 2 1 2 thể tích V1 . V2 A. V V V V 1 5 = B. 1 5 = C. 1 5 = D. 1 5 = V 7 V 11 V 9 V 13 2 2 2 2 Lời giải
Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp S.ABCD. Khi đó 1 V = S h S ABCD . . . 3
Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F.
Tam giác SBMA, N lần lượt là trung điểm của BM
SB. Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.
ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC. Ta có V = V + V BNC.AEF ABCEN E.ACF VS.ENC SE SN 2 1 1 1 = . = × =  →V = V S.ENC S. V SA SB ABC 3 2 3 3 ABC S. 2 2  1  1  →V = V = V =   V ABCEN S ABC S ABCD S ABCD . . . . 3 3  2  3 • 1 1 1 1 1 V = S = = ∆ d E ACF S h V E ACF ACF . ; . . . S ABCD. . ( ( )) . 3 3 4 3 12 Do đó 1 1 5 V = V + V = V + V = V = V BNC AEF ABCEN E ACF S ABCD . S ABCD . S ABCD . . . . . . 1 3 12 12 Suy ra 7 V1 5 V = .V  → = Chọn A. S ABCD . 2 . 12 V 7 2
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABC có = = =  = °  = ° 
SA 1, SB 2, SC 3, ASB 60 , ASC 90 ,CSB = 120 .° Thể tích của
khối chóp S.ABC bằng? A. 2 . B. 2 . C. 2 D. 2 . 4 2 6 Lời giải
Kí hiệu như hình vẽ với SA = SP = SK = 1 ⇒ Hình chiếu vuông góc
H hạ từ S xuống ( APK ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp APK .
Ta có AP = 1, AK = 2
Gọi H là trung điểm của cạnh PK HP 3 3 ⇒ sin 60° = = ⇒ HP =
PK = 2HP = 3 SP 2 2 Như vậy 2 2 2
AP + AK = 1+ 2 = PK AP AK
H là tâm đường tròn ngoại tiếp A
PK SH ⊥ ( APK ). Cạnh 2 2 3 1
SH = SP HP = 1− = 4 2 1 1 1 1 1 1 2 ⇒ V = SH S = SH AP AK = = . S APK . APK . . . . .1. 2 . 3 3 2 3 2 2 12 Ta có: VS.APK SA SP SK 1 1 2 = . . = 1. . ⇒ V = V = Chọn B. S ABC 6 S APK . . . V SA SB SC S ABC 2 3 2 .
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, với AC = a 2. Cạnh SA = a
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC, mặt phẳng (α ) qua A, G và song song
với BC cắt SB, SC lần lượt tại MN. Tính theo a thể tích V của khối chóp A.BCNM 3 3 3 3 A. 5a V = . B. 5a V = . C. 2a V = . D. a V = . 54 27 27 18 Lời giải Ta có VS.AMN SA = . SM . SN SM = . SN . V SA SB SC SB SC S.ABC Bài ra có: SM SN SG 2 MN / /BC ⇒ = = = . SB SC GP 3 VS.AMN 4 4 ⇒ = ⇒ V = V S.AMN S. V ABC 9 9 ABC S. 5 ⇒ V = VV = V A BCNM S ABC S AMN S ABC . . . . . 9
Tam giác ABC vuông cân tại B, với AC = a 2. ACAB = BC = = a 2 3 3 1 1 1 2 a 5 5aV = SA S = a a = ⇒ V = V = Chọn A. S ABC . ABC . A BCNM S ABC . . . . 3 3 2 6 9 54
Ví dụ 14:
Cho hình chóp S.ABCD, trên cạnh SA lấy điểm M sao cho SM = AM . Mặt phẳng (α ) đi qua M
và song song với mặt phẳng đáy cắt SB, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Kí hiệu V V lần lượt là thể tích của 1 2
khối chóp S.MNPQS.ABCD. Tính tỉ số V1 . V2 A. V V V V 1 1 = . B. 1 1 = . C. 1 1 = . D. 1 1 = . V 16 V 8 V 4 V 24 2 2 2 2 Lời giải
Ta có N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SC, SD. Tỉ số VS.MNP SM SN SP 1 1 1 1 = . . = . . = . V SA SB SC S ABC 2 2 2 8 . V Tỉ số S.MPQ SM SP SQ 1 1 1 1 = . . = . . = . V SA SC SD S ACD 2 2 2 8 . 1 1 1 ⇒ V = V + V = V + V = V S.MNPQ S.MNP S.MPQ S.ABC S. 8 8 ACD 8 SABCD 1 V1 1 ⇒ V = V ⇒ = 1 2 8 V 8 2 2
Hoặc áp dụng công thức V1  SM  1 = = . Chọn B VSA    8 2
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = a, AD = a 3. Cạnh SA = 2a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (α ) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại H,
I, K.
Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AHIK. 3 3 3 3 A. 4a 3 V = . B. 6a 3 V = . C. 8a 3 V = . D. 12a 3 V = . 35 35 35 35 Lời giải
Ta có SC ⊥ ( AHIK ) ⇒ SC AI, SC AH AH SC. BC AB Lại có 
BC ⊥ (SAB) ⇒ BC AH AH BC.  BC SAAH SC Như vậy 
AH ⊥ (SBC) ⇒ AH SB, tương tự AH BC thì AK S . D Cạnh 2 2 2 2
SB = SA + AB = 4a + a = a 5 2 2 SA 4a 4a SB 5 ⇒ SH = = = ⇒ = SB a 5 5 SH 4
SA = 2a SA = AC SA
C vuông cân tại A
I là trung điểm của cạnh SC SC ⇒ = 2. SI Do đó SA SC SB SD SD 7 + = + ⇒ = . SA SI SH SK SK 4
Áp dụng công thức, ta được: 5 7 1+ + 2 V + S.AHIK 4 4 12 = = . V 5 7 S ABCD 35 . 4.1. .2. 4 4 3 Do đó 12 1 4 8a 3 V = SA S = a a a = Chọn C. S AHIK . . ABCD .2 . . 3 . . 35 3 35 35
Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABCSA = 6, SB = 2, SC = 4, AB = 2 10 và  = ° 
SBC 90 , ASC = 120 .° Mặt
phẳng (P) đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (SAC), cắt cạnh SA tại V
M. Tính tỉ số thể tích S.BMN k = . VS.ABC A. 2 k = B. 2 k = C. 1 k = D. 1 k = 9 5 6 4 Lời giải
Gọi D thuộc SA sao cho SA = 3.SD SD = 2. Xét S
BC vuông tại B, có  SB 1 = = ⇒  cos BSC BSC = 60 .° SC 2 Và 2 2 2
AB = SA + SB SA
B vuông tại S ⇒  ASB = 90°
Xét tứ diện S.BND có  = °  = ° 
DSB 90 , BSN 60 , DSN = 120° 2 2 2
BD + BN = DN B
DN vuông tại B
SB = SN = SD ⇒hình chiếu của S trên mặt phẳng (BDN ) trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.
Gọi H là trung điểm DN SH ⊥ (BDN ) ⇒ (SDN ) ⊥ (BDN )
Hay (BDN ) ⊥ (SAC) ⇒ mp(P) ≡ (BDN ) ⇒ M ≡ . D Vậy
VS.BMN SN SM 1 1 1 k = = . = . = . Chọn C. V SC SD S ABC 2 3 6 .
Ví dụ 17: Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB = 2a, AC = AD = 4 .
a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên BCBD. Thể tích của khối tứ diện ABHK là 3 3 3 3 A. 16a B. 32a C. 2a D. 3a 75 75 3 2 Lời giải Ta có 2 2
BD = AB + AD = (2a)2 + (4a)2 = 2a 5 2 2 Và 2 BK AB   2a  1
AB = BK.BD ⇒ = = =     . BD BD   2a 5  5
Tương tự, được BH 1 = . BC 5 3 Lại có 1 16a V = V = a a a = B ACD D ABC .4 .4 .2 . . . 6 3 3 3 Vậy VB.AKH BK BH 1 1 1 1 16a 16 = . = . a = ⇒ V = = ABHK . . V BD BC B ACD 5 5 25 25 3 75 . Chọn A.
Ví dụ 18:
Cho hình hộp S.ABCSC = 2a SC ⊥ ( ABC). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B
AB = a 2 . Mặt phẳng (α ) đi qua C và vuông góc với SA, (α ) cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE 3 3 3 3 A. 4a B. 2a C. 2a D. a 9 3 9 3 Lời giải SC AB Ta có 
AB ⊥ (SBC) ⇒ CE AB BC AB
SA ⊥ (α ) ⇒ SA CE suy ra CE ⊥ (SAB) ⇒ CE SB
Tam giác ABC vuông cân tại BAC = AB 2 = 2a
Suy ra SC = AC S
AC cân tại C SD 1 ⇒ SD = DA ⇔ = . SA 2
Tam giác SBC vuông tại C, có SC.BC 2 3a CE = = . 2 2 SC + BC 3 Do đó 2 2 2 6a SE 2 6a 2
SE = SC CE =  → = : a 6 = . 3 SB 3 3 2 3 Khi đó VS.CDE SD SE 1 1 1 AB 2 = . a = ⇒ V = SC = S CDE . . . . V SA SB S CAB 3 3 3 2 9 . Chọn C.
Ví dụ 19:
Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, ACAD đôi một vuông góc. Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm các đoạn thẳng BC, CD, BD. Biết rằng AB = 4a, AC = 6a, AD = 7 .
a Tính thể tích của khối tứ diện AMNP. A. 3 V = 7a B. 3 V = 28a C. 3 V = 14a D. 3 V = 21a Lời giải
Tứ diện ABCD có các cạnh AB, ACAD đôi một vuông góc 1 3  →V = AB AC AD = a ABCD . . 28 6 Ta có 1 S = suy ra 1 3 V = V = a Chọn A. AMNP A BCD 7 . ∆ S MNP BCD , 4 . 4
Ví dụ 20:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SBG là trọng
tâm của tam giác SBC. Gọi V ,V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABCG.ABD. Tính tỉ số V V A. V 3 = B. V 4 = C. V 5 = D. V 2 = V ′ 2 V ′ 3 V ′ 3 V ′ 3 Lời giải
Gọi HK lần lượt là hình chiếu của MG trên mp( ABCD) Suy ra MH CM 3 MH / /GK  → = = . GK CG 2 1 1 MH.SS ABC ABCD Ta có V 3 3 2 3 = = . = . Chọn D V ′ 1 2 1 2 GK.SS 3 ABD 2 ABCD
Ví dụ 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho IS = 2IC .
Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V ,′V lần lượt là thể tích khối chóp ′
S.AMIN S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích V V A. 4 B. 5 C. 8 D. 5 5 54 15 24 Lời giải
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.
Gọi H = SK AI, qua H kẻ d / /BD cắt SB, SD tại M, N.
Xét tam giác SAC, có IS AC OH OH 1 SH 4 . . = 1 ⇒ = ⇒ = . IC OC SH SC 4 SC 5 Mà SM SN SH 4 MN / /BD  → = = = SB SD SO 5 Ta có V SM SI SM V S.AMI 2 S.AMI 1 = . = . ⇒ = . SM V SB SC SB V SB S ABC 3 S ABCD 3 . . Và V SN SI SN V S.ANI 2 S.ANI 1 = . = . ⇒ = . SN V SD SC SD V SD S ACD 3 S ABCD 3 . . ′ Suy ra V
1  SM SN  1  4 4  8 = + = . + =     . Chọn C. V
3  SB SD  3  5 5  15
Ví dụ 22:
Cho điểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của khối chóp tam giác S.ABC sao cho SM 1
= ; SN = 2. Mặt phẳng (α ) đi qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V MA 2 NB 1
thể tích của khối đa diện chứa A, V
V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 ? 2 V2 A. V V V V 1 4 = B. 1 5 = C. 1 5 = D. 1 6 = V 5 V 4 V 6 V 5 2 2 2 2 Lời giải
Kẻ NP / /SC (P BC), kẻ MQ / /SC (Q SC).
Khi đó, mặt phẳng (α ) cắt hình chóp theo thiết diện là MNPQ. CP 2 CQ 1 NP / /SC ⇒ = ;MQ / /SC ⇒ = . CB 3 CA 3 S Ta có CPQ CP CQ 1 2 2 2 = . = . = ⇒ S = ∆ S CPQ . SCB CA 3 3 9 9 ABCCBA Và ( ( )) 1 = ( ( )) 2 2 ; . ; V d N ABC d S ABC V = V = N CPQ S ABC . . . 3 27 27 S Lại có AMQ AM AQ 2 2 4 5 = . = . = ⇒ S = S SMQC SAC . SSA AC ASC 3 3 9 9
d (N (SAC)) 2
= d (B (SAC)) 10 10 ; . ; ⇒ V = V = V N SMQC S ABC . . . 3 27 27 Do đó 2V 10 4V 5V V = V = V + V = + V = ⇒ V = SCMNPQ N CPQ N SMQC . 2 . . 1 27 27 9 9
Vậy V1 5V 4V 5 = : = . Chọn B V 9 9 4 2
Ví dụ 23:
Thị xã Từ Sơn xây dựng một ngọn tháp đèn lộng lẫy hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên SA = 12m và 
ASB = 30° . Người ta cần mắc một đường dây điện từ điểm A đến trung điểm K của SA gồm
AE, EF, FH, HK như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí người ta cần thiết kế được chiều dài con đường từ A đến
K là ngắn nhất. Tính tỉ số HF + HK k = EA + EF A. 3 k = B. 1 k = C. 1 k = D. 2 k = 4 2 3 3 Lời giải
Giả sử ngọn tháp được làm bằng bìa nên ta cắt được ngọn tháp
theo các đường SA, AB, BC, CD, DA. Và trải các mặt bên SAB,
SBC, SCD, SDA
lên cùng một mặt phẳng. Vì  =  =  = 
ASB BSC CSA DSA = 30° nên khi trải ra mặt phẳng
ta thu được một tam giác cân SAA có góc ở đỉnh
S = 4.30° =120° như hình vẽ bên.
Để độ dài đoạn gấp khúc AE + EF + FH + HK nhỏ nhất khi
và chỉ khi A, E, F, H, K thẳng hàng.
K là trung điểm của SA F = SC AK F là trọng tâm của tam giác SAA Vậy tỉ số HF + HK FK 1 k = = = . Chọn B. EA + EF AF 2
Ví dụ 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V. Gọi M là một điểm trên
cạnh AB sao cho MA = x,0 < x < 1. Biết rằng mặt phẳng (α ) qua M và song song với (SBC) chia khối MB
chóp S.ABCD thành hai phần trong đó phần chứa điểm A có thể tích bằng 4 V . Tính giá trị của biểu thức 27 1− x P = . 1+ x A. 1 B. 1 C. 1 D. 3 2 5 3 5 Lời giải
Kẻ MN / /BC (N CD), NP / /SC (P SD), MQ / /SB(Q SA).
mp(α ) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là MNPQ. Ta có MA AQ ND SQ SP = = = x ⇒ = = 1− x AB SA CD SA SD Mặt khác AMN = ADN 2 x xV = V = xV = V = V Q AMN P ADN . S AMN S AMND . . . . . 2 2 2 x 1− xV
= x x ×V = V N APQ 1 N SAD . . ( ) ( ) . 2 Do đó V = V + V + V AQM .DPN Q.AMN P.AND N.APQ 2 3 3x x 4 = ×V = V 2 27 3 2 8 1  − ⇒ x − 3x + = 0 ⇒ x = . Vậy 1 x  1 P = =   . Chọn A. 27 3 1+ x  1 = 2 x 3
Ví dụ 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E
sao cho SE = 2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD. A. 2 V = . B. 1 V = . C. 1 V = . D. 4 V = . 3 6 3 3 Lời giải Ta có VS.EBD SE 2 2 2 1 1 1 = = ⇒ V = V = S = = Chọn C. S EBD S BCD . ABCD .1 . . . V SC S BCD 3 3 3 2 3 3 .
Ví dụ 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M
trung điểm của BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F. Biết 1 V = V
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. S.AEF S. 4 ABC 3 3 3 3 A. a V = B. a V = C. 2a V = D. a V = 2 8 5 12 Lời giải
Dựng AH SM , dựng đường thẳng qua H song song với BC cắt SB,
SC
lần lượt tại E, F.
Khi đó EF / /BC SM mp( AEF ) ⊥ SM. Lại có: 1 SE SF SH 1 V = V ⇒ = = = S AEF S ABC . . . 4 SB SC SM 2 Do đó S
AM vuông cân tại a 3
A SA = SM = 2 3 Vậy 1 a V = SA S = Chọn B. S ABC . . ABC . . 3 8
Ví dụ 27:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M, P lần lượt là trung điểm của SASC.
Điểm N thuộc cạnh SB sao cho SN = k. Mặt phẳng (MNP) cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác MNPQ. SB V
Biết rằng S.MNPQ 2 =
, giá trị của k là: VS ABCD 15 . A. 1 2 k  ;  ∈     . B. 1 2 k  ∈  ; . C. 2 2 k  ∈  ; . D. 3 2 k  ∈  ; . 3 3 3 5 3 5  5 5 Lời giải
Ta có SM = ; SN = ; SP = ; SQ x y z = t. SA SB SC SD Ta có: 1 x = z = . mà 1 1 1 1 + + + = 4. 2 x z y t
Áp dụng công thức nhanh ta có:
VS.MNPQ xyzt  1 1 1 1 yt 2 = . + + + = .2.4 =   . Vx z y t S ABCD 4  16 15 .  y + t  4 = 4 = 4  yt yt    15 ⇔ yt = ⇒  ⇔ 15   4 16 yt  = yt =  15  15  2 X = 
Khi đó y, t là nghiệm của phương trình 2 16 4 3 2 2 X X 0  k  ;  − + = ⇒ ⇒ ∈ . Chọn C 15 15  2 5 3 X  =  5
Ví dụ 28: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ( ABCD) và SA = 2 . Điểm M trên cạnh SA sao cho (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai
phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích S của tam giác MAC. A. 3 5 5 S − = . B. 5 S = . C. 5 S = . D. 5 5 S − = . 2 2 3 4 Lời giải
Qua M kẻ đường thẳng d / /BC, cắt SD tại N N ∈(MBC) Đặt SA SD = k ⇒ = k SM SN SA SB SC SD + + + Khi đó V + S.MBCN SM SB SC SN k 1 = = 2 V SA SB SC SD k S ABCD 2 . 4. . . . SM SB SC SN Theo bài: V + + S.MBCN 1 k 1 1 1 5 = ⇒ = ⇔ k = ⇒ MA = 3 − 5 2 V k S ABCD 2 2 2 2 .
Diện tích tam giác MAC là 1 1
S = MA AC = ( − ) 3 5 − 5 . . 3 5 . 5 = . Chọn A. 2 2 2
Ví dụ 29:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M thuộc cạnh SA, P thuộc cạnh SC sao
cho 2SM = AM , SP = PC. Mặt phẳng (α ) chứa MP, chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi
V , V lần lượt là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và thể tích khối chóp S.ABCD. Giá trị nhỏ nhất của biểu 1 thức V1 là V A. 5 B. 1 C. 1 D. 2 12 25 15 25 Lời giải
Giả sử mặt phẳng (α ) chứa MP, cắt đường thẳng SB, SD lần lượt tại N, Q. Khi đó SA SC SB SD + = +
⇔ 3 + 2 = x + y x + y = 5. SM SP SN SQ SA SB SC SD V + + + Và S.MNPQ SM SN SP SQ
x + y + 5 x + y + 5 5 = = = = V SA SB SC SD x xy xy S ABCD 4.3. .2.y 24 12 . 4. . . . SM SN SP SQ
Ta có xy ≤ (x + y)2 5 5 1 4
= 25 ⇔ 12xy ≤ 75  → ≥ = 12xy 75 15
Vậy tỉ số V1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 . Chọn C. V 15
Ví dụ 30:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là điểm thuộc cạnh SB, N là điểm
thuộc cạnh SD sao cho SB = 3BM , SN = 2N .
D Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi V
V , V lần lượt là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và đỉnh C. Tính tỉ số 1 1 2 V2 A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 3 3 2 Lời giải
Giả sử mặt phẳng ( AMN ) cắt đường thẳng SC tại P. Khi đó SA SC SB SD SC 3 3 + = + ⇔ 1 SC + = + ⇔ = 2 SA SP SM SN SP 2 2 SP SA SB SC SD 3 3 + + + 1+ + 2 + Và VS.AMPN SA SM SP SN 2 2 6 1 = = = = ⇒ V = V S ABCD 3 . 1 V SA SB SC SD 3 3 S ABCD 18 3 . 4. . . . 4.1. .2. SA SM SP SN 2 2 Mà V1 1 V = V + V
= V +V = V V = V ⇔ = Chọn D. S ABCD S AMPN AMPN BCD 3 2 . . . . 1 2 1 2 1 V 2 2
Dạng 2: Tỉ số thể tích khối lăng trụ
Ví dụ 1:
Gọi V là thể tích của hình lập phương ABC . D AB CD
′ ,′V là thể tích tứ diện AABD . Hệ thức nào 1 sau đây đúng?
A. V = 6V
B. V = 4V
C. V = 3V
D. V = 2V 1 1 1 1 Lời giải Ta có V = S AA′ và 1 V = S ′ ∆ .AA ABCD . 1 3 ABD Mà 1 V S =  → = ∆ S ABD ABCD 6 2 V1
Suy ra V = 6V . Chọn A. 1
Ví dụ 2:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.AB C
′ ′ . Gọi D là trung điểm của AC. Tính tỉ số thể tích khối tứ diện B B
AD và thể tích khối lăng trụ đã cho. A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 6 12 3 Lời giải Ta có V = ′ và 1 V = ′ ′ SBB B BAD BAD . . ′ ′ ′ SBB ABC A B C ABC . . 3 Mà 1 VBBAD ′ 1 S =  → = = Chọn B. Sk BAD ABC . 2
VABC ABC′′ 6 .
Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ ABC.AB C
′ ′ . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song
với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng ( AMN ) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính
tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng. A. 2 B. 4 C. 4 D. 4 3 23 9 27 Lời giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gọi E là trung điểm của BC AG 2 ⇒ = AE 3
Qua G kẻ đường thẳng d / /BC, cắt AB, AC lần lượt tại M, N. AM AN AG 2 ⇒ = = = (định lí Talet) AB AC AE 3  2 AM = AB  3 4 ⇒  ⇒ S = (1). ∆ S 2 AMN 9 ABC ∆  AN = AC  3 Ta có V = và 1 V = (2). ′ SAA A AMN AMN . ' ′ ′ ′ SAA ABC A B C ABC . ' . . 3 Từ (1) và (2) 4 23 ⇒ V = ⇒ = ′ V ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V A .AMN ABC.A B C BMNC,A B C ABC. 27 27 AB C ′ ′
Vậy tỉ số cần tìm là 4 23 4 : = . Chọn B. 27 27 23
Ví dụ 4:
Cho hình lăng trụ ABC.AB C
′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC = 2 2. Biết AC
tạo với mặt phẳng ( ABC) một góc 60° và AC′ = 4 . Tính thể tích của khối đa diện ABCC B ′ ′ . A. 8 3 B. 3 C. 2 3 D. 16 3 3 3 3 Lời giải
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( AB C ′ ′).
Suy ra HC′ là hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng ( AB C ′ ′).
Do đó ( AC′ ( ABC))
 = (ACHC′)  =  ; ; AHC′ = 60° Tam giác AHC′, có = ′  AH AC sin AC H ′ = 2 3 2 Diện tích tam giác AC S = = ABC ∆ 4 2 Suy ra V = = ′ ′ ′ SAH ABC A B C ABC . 8 3 . Ta có 1 1 8 3 V = = = ′ ′ ′
S∆ ′ ′ ′ AH V A A B C A B C . ABC AB C ′ ′ . . . 3 3 3 Suy ra 16 3 V = − = . Chọn D. ′ ′ V ′ ′ ′ V ABCC B ABC.A B C . A AB C ′ ′ 3
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB CD
′ ′ có thể tích V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AC, AB ,′ AD′ sao cho AM = 2AC, AN = 3AB ,′ AP = 4AD .′ Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V. A. V = V B. V = V C. V = V D. V = V AMNP 12 AMNP 6 AMNP 4 AMNP 8 Lời giải Ta có V = V + + + + ′ ′ ′
V ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V V AB D C ( AABD CC B D D DAC B BAC ′ ). Mà V V = = = = ′ ′ ′
V ′ ′ ′ V V AA B D CC B D D DAC B BAC ′ . 6 Suy ra V V = AB DC ′ ′ . 3 ′ ′
Từ gia thiết, ta có AB 1 AC 1 AD 1 = ; = ; = . AN 3 AM 2 AP 4 ′ ′
Ta có V .ABDC′′ AB AD AC 1 = . . = . V AN AP AM A NPM 24 . V  →V = V = = Chọn A. ′ ′ ′ V A NPM 24 A BDC 24. 8 . . . 3
Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt
đối diện) có thể tích bằng 1 của khối lăng trụ tam giác. 3
Ví dụ 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
′ ′ có góc giữa hai mặt phẳng ( ABC) và ( ABC) bằng 30° .
Điểm M nằm trên cạnh AA′. Biết cạnh AB = a 3, thể tích khối đa diện MBCC B ′ ′ bằng 3 3 3 3 A. 3a . B. 3a 3 . C. 3a 2 . D. 2a . 4 2 4 3 Lời giải
Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.AB C ′ ′ . Do V 2 ′ / / V AA BB′ ⇒ V = = − = − = ′ ′
V ′ ′ ′ V V V M .BCB C A .BCC B A .ABC 3 3
Dựng AH BC AA′ ⊥ BC BC ⊥ ( AHA) Do đó ( ′ ) ( )  =  AB 3 3 ; ′ = 30 a A BC ABC A HA ° ⇒ AH = = . 2 2 3 Khi đó a 3 9 ′ = .tan 30° = ⇒ = . a AA AH V AAS = ABC ∆ . 2 8 3
Vậy thể tích cần tính là V 3a V = = Chọn A. M BCC B ′ ′ 2 . . 3 4
Ví dụ 7:
Cho hình lăng trụ ABC.AB C
′ ′ có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AA ,′ BB ,′CC′ sao cho AM 1 BN CP 2 = ; =
= . Tính thể tích của khối đa diện ABC.MNP
AA′ 2 BBCC′ 3 A. 2 V ′ = V B. 9 V ′ = V C. 20 V ′ = V D. 11 V ′ = V 3 16 27 18 Lời giải Công thức giải nhanh
m + n + p V  = AM BN CP  V với m = ,n = , p = . ABC.MNP  3  AABBCC′ Áp dụng với: 1 2 2
m = ;n = ; p = , ta được 11 V = V . Chọn D. 2 3 3 ABC.MNP 18
Ví dụ 8:
Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB′ và P thuộc cạnh DD′ sao cho 1
DP = DD′ . Mặt phẳng ( AMP) cắt CC′ tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng 4 3 3 A. 3 V = 2a B. 3 V = 3a C. 11a V = D. 9a V = 3 4 Lời giải
Áp dụng công thức tính nhanh, ta được VAMNPBCD 1  BM DP  1  1 1  3 3 = + = . + =  →V = a =     a . Chọn B AMNPBCD .(2 )3 3 3 V  ′ ′ ′ ′ ′ ′ BB DD ABCD A B C D 2  2  2 4  8 8 .
Ví dụ 9: Cho hình hộp ABC . D AB CD
′ ′ . Gọi M là điểm thuộc CC′ thỏa mãn CC′ = 4CM . Mặt phẳng ( AB M
′ ) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V V . Gọi V là phần thể tích có chứa điểm B. Tính 1 2 1 tỉ số V1 k = . V2 A. 7 k = B. 7 k = C. 7 k = D. 25 k = 32 16 25 32 Lời giải
Trong mặt phẳng (CDD C
′ ′), kẻ MN / /C . D ′ Suy ra 1
CN = CD V là khối đa diện ABB NCM. 4 1
Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó V = + ′ V V ABB NCM ABB CM MACN . . 1 0 + +1 • 4 5  1 V  = = ′ V ′ ′ ′  V ABB CM . ABC ABC . . 3 12 2    • 1 1 1  1  1 V = V = = ′  V ′ ′ ′  V MACN . C ADC . ADC A D C . . . 4 4 16  3  96 Vậy 7 25 V1 7 V = V + =  → =  → = Chọn C V V V ABCMB MACN . 1 2 32 32 V 25 2
Nhận xét: Ta có 1 1 V = V
vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần MACN . C . 4 4 ′ ADC
Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB ,′ N là trung điểm
của BC. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN. 3 3 3 3 A. a V = . B. a V = . C. a V = . D. a V = . 3 12 6 2 Lời giải Ta có 1 V = V = d M ABCD S ADMN M ADN . ; . . ( ( )) 3 AMD
Lại có d (M;( ABCD)) = d ( A ;′( ABCD)) = AA′ Và 1 1 S = − − = − = ∆ S SSS S S AMD ABCD ABN CDN ABCD 2 ABCD 2 ABCD 3 Do đó 1 1 1 VABCD. = . . = . A B C D a V AA S AA S ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = ADMN ABCD ABCD . 3 2 6 6 6 Chọn C.
Ví dụ 11:
Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB CD
′ ′ có AB = a, AD = 2 .
a Diện tích tam giác ADC bằng 2
a 13 . Tính thể tích khối chóp A.′BCC B′′ theo a. 2 A. 3 a B. 3 2a C. 3 3a D. 3 6a Lời giải CD DD′ Ta có 
CD ⊥ ( ADD A
′ ′) ⇒ CD A′ . D CD AD 2 Suy ra 1 a 13 S = ′ =  → ′ = ∆ ′ A D CD A D a A CD . . 13 2 2 2 Do đó 2 2
AA′ = AD AD = (a 13) − (2a)2 = 3 .a
Thể tích của khối hộp ABC . D AB CD ′ ′ là 3
V = AA .′A . B AD = 6a . Lại có 1 1 3 3 V = = = Chọn B. ′ ′ ′ V ′ ′ ′ ′ a a A BCC B ABCD A B C D .6 2 . . . 3 3
Ví dụ 12:
Cho khối hộp ABC . D AB CD
′ ′ . Gọi M thuộc cạnh AB sao cho MB = 2 .
MA Mặt phẳng (MB D ′ ′)
chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. A. 5 . B. 7 . C. 13 . D. 5 . 12 17 41 17 Lời giải Lý thuyết bổ sung:
Cho hình chóp cụt ABC
.AB C
′ ′ có chiều cao h, S là diện tích tam giác ABC, S là diện tích tam giác 1 2 AB C
′ .′ Thể tích khối chóp cụt ABC.AB C ′ ′ 1
V = h(S + S + S S 1 2 1 2 ) 3
Qua M kẻ đường thẳng d / /BD, cắt AD tại N
Suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MB D ′ ′) là MND B ′ ′ Khi đó V = + ′ ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V ABCD.A B C D AMN.A B D B CD ′ .′MBCDN Đặt AA′ = ; h S = S  →V = ′ ′ ′ ′ S h ABCD ABCD A B C D . .
Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta có 1 V = ′ + + ′ ′ ′ AA SS∆ ′ ′ ′ SS AMN A B D . AMN A B D AMN . . ( A ∆ ′B D ′ ′ ) 3 Mà S AMN AM AN 1 1 = . S = ⇒ S = = ∆ S AMN ABD ∆ . SAB AD ABD 9 9 18   Và S 1 S S S S 13 S =  → =  + +  = ∆ ′ ′ ′ V ′ ′ ′ h V A B D AMN A B D . . 2 3 18 2 18 2  54  
Vậy tỉ số thể tích cần tính là 13  13  13 : 1− =   . Chọn C. 54  54  41
Ví dụ 13:
Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ . Gọi I là trung điểm của BB ,′ mặt phẳng (DIC′) chia
khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng A. 3 B. 2 C. 7 . D. 5 8 3 17 12 Lời giải
Tham khảo hình vẽ dưới đây: Đặt AA′ = ; h S = S  →V = ′ ′ ′ ′ S h ABCD ABCD A B C D . .
Nối IC′ cắt BC tại F; nối FD cắt AB tại M.
Suy ra mp(DIC′) chia khối lập phương thành hai khối IBM.C C
D IMAAB .′C DD
M là trung điểm của ABFB 1 BM / /CD ⇒ = . FC 2 Ta có IB FB 1 1 1 BI / /CC′ ⇒ = = ⇒ S = = ∆ S∆ ′ S CCFC 2 IBM 4 BAB 8 ABBA′′
Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta được 1 1  S S S S  7 V = + + =  + +  = ′ BC SS∆ ′ SS∆ ′ h Sh IBM C CD . IBM C CD IBM . C CD . . . . ( ) 3 3  8 2 8 2  24  
Do đó, thể tích khối IMAAB .′C DD′ là 7 17 V = − = ′ ′ ′ ′ V V V IMAA B C DD . . 24 24
Vậy tỉ số cần tính là 7 17 7 : = . Chọn C. 24 24 17
Ví dụ 14:
Cho khối lăng trụ ABC.AB C
′ ′ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng AA′ và BB′. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A
′ ′ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B ′ ′
tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi AMPB NQ bằng: A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 3 2 3 Lời giải Ta có: 1 1 2 1 V = V = = ′ ′ V C ABNM C ABB A . ABC AB C ′ ′ . . . . 2 2 3 3 Suy ra 1 2 V = − = − = ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V CMN A B C ABC A B C C ABNM 1 . . . . 3 3 Lại có V = + ′ V ′ ′ ′ V C.C PQ CMN.A B C AMPB NQ 2 ⇒ V = − Mà S = ∆ ′ S C PQ 4 ′ ′ V A MPB NQ C C PQ ′ . . 3 AB C ′ ′ 1 4 ⇒ V = = = ′ V ′ ′ ′ ′ V C C PQ
4 C ABC 4. ABC ABC′′ . . . . 3 3 Vậy 4 2 2 V = − = Chọn D. AMPB NQ . 3 3 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho khối chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A ,′ B ,′C′ sao cho 1 1 1 SA′ = ,
SA SB′ = SB, SC′ = SC. Gọi V V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC S.AB C ′ ′. 3 3 3 Tính tỉ số V V A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 3 27 9 6
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm canh SA N là điểm trên cạnh SC sao cho SN = 3NC.
Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp S.ABC. A. 3 k = B. 2 k = C. 1 k = D. 3 k = 8 5 3 4
Câu 3: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V ′ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung ′
điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V . V ′ ′ ′ ′ A. V 1 = B. V 1 = C. V 2 = D. V 5 = V 2 V 4 V 3 V 8
Câu 4: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, N là điểm nằm ′
giữa AC sao cho AN = 2NC. Gọi V ′ là thể tích khối chóp S.AMN. Tính tỉ số V . V ′ ′ ′ ′ A. V 1 = B. V 1 = C. V 1 = D. V 2 = V 3 V 2 V 6 V 3
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng VG là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD. Thể
tích khối chóp AGMC A. V B. V C. V D. V 18 9 6 3
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, SA vuông góc với đáy,
SA = a , I thuộc cạnh SB sao cho 1 SI = .
SB Tính thể tích khối chóp S.ACI. 3 3 3 3 3 A. a B. a C. a D. a 3 6 12 9
Câu 7: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Tính
thể tích khối chóp A. V B. V C. V D. V 2 3 4 8
Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC SA = 3 .
a D thuộc cạnh SB DB = .
a Mặt phẳng (α ) đi qua AD
song song với BC cắt SC tại E. Tính tỉ số giữa thể tích khối tứ diện SADE và thể tích khối chóp S.ABC. A. 2 B. 4 C. 1 D. 1 9 9 3 4
Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V và điểm E trên cạnh AB sao AE = 3E .
B Tính thể tích V ′ của
khối tứ diện EBCD theo V. A. V V ′ = B. V V ′ = C. V V ′ = D. V V ′ = 2 5 3 4
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ ( ABC),SA = a, A
BC vuông cân, AB = AC = a, B′ là trung điểm của
SB, C là chân đường cao hạ từ A của S
AC . Tính thể tích của khối chóp S.AB C ′ ′ 3 3 3 3 A. a B. a C. a D. a 9 12 36 24
Câu 11: Cho khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (α ) qua AG và song song
với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Tính tỉ số của hai khối tứ diện SAIJ S.ABC. A. 2 B. 2 C. 4 D. 8 9 3 9 27
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = .
a Đường thẳng SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABC), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC) bằng 60°. Tính thể tích V của
khối chóp M.ABC, với M là trung điểm của SB. 3 3 3 3 A. 3a V = . B. 3a V = . C. 3a V = . D. 3a V = . 2 4 12 6
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a, SC vuông góc với mặt
phẳng ( ABC) và SC = .
a Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB và cắt SA, SB lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEF. 3 3 3 3 A. a 2 B. a 2 C. a D. a 12 36 36 12
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB SC. Tính thể tích
khối chóp S.AHK theo V. A. 1 V = V B. 1 V = V C. 1 V = V D. 1 V = V S.AHK 2 S.AHK 4 S.AHK 12 S.AHK 6
Câu 15: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3
3a . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Thể tích của khối chóp G.ABCD A. 3 V = a B. 3 V = 2a C. 1 3 V = a D. 4 3 V = a 3 3
Câu 16: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M, N, O lần lượt là
trung điểm SC, SD, AC. Tính tỉ số thể tích VS.OMN . VS.ABCD A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 6 4 12 16
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC SC = 2a SC ⊥ ( ABC). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có
AB = a 2. Mặt phẳng (α ) đi qua C vuông góc với SA và cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE. 3 3 3 3 A. 4a B. 2a C. 2a D. a 9 3 9 9
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thoả mãn AB = 2a, BC = 4a, AC = 2 5 . a Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể
tích V của khối chóp S.AMN. 3 3 3 3 A. 2a V = B. a V = C. a 5 V = D. a 5 V = 9 12 2 3
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc 
ACB = 60 ,° BC = a, SA = a 3. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích V của khối tứ diện MABC. 3 3 3 3 A. a V = B. a V = C. a V = D. a V = 2 3 6 4
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với đáy ( ABC).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB P là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Tính thể tích V của khối chóp S.MNP. A. 3 3 a B. 3 3 a C. 3 3 a D. 3 3 a 30 6 15 10
Câu 21: Cho hình chóp tam giác S.ABC có  =  = ° 
ASB CSB 60 , ASC = 90°. SA = SB = 1 , SC = 3. Gọi M
điểm trên cạnh SC sao cho 1
SM = SC. Khi đó, thể tích của khối chóp S.ABM bằng 3 A. 6 V = B. 3 V = C. 2 V = D. 2 V = 36 36 12 4
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC SA = 4, SB = 5, SC = 6 ,  =  ASB BSC = 45°, 
CSA = 60 .° Các điểm M, N, P      
thỏa mãn đẳng thức AB = 4AM ; BC = 4BN;CA = 4C .
P Tính thể tích khối chóp S.MNP. A. 128 2 B. 35 C. 245 D. 35 2 3 8 32 8
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA ⊥ ( ABC). Biết AB = a,
SA = 2a, mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC và cắt SB, SC lần lượt tại H K. Tính thể tích V của hình chóp S.AHK. 3 3 3 3 A. 8a V = B. 8a V = C. 3a V = D. 4a V = 15 45 15 45
Câu 24: (Sở GD và ĐT Bắc Giang) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1,
AD = 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) và SA = 2. Điểm M điểm trên cạnh SA sao cho mặt
phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích S của tam giác MAC. A. 3 5 5 S − = B. 5 S = C. 5 S = D. 5 5 S − = 2 2 3 4
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = .
a Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B ,′C ,′ D′. Tính thể tích V
của khối đa diện ABCDD CB ′ .′ 3 3 3 3 A. 5a V = B. 5a V = C. 5a V = D. 5a V = 18 9 12 6
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) và SA = .
a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM ) và mặt phẳng ( ABC)
bằng 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABNM. 3 3 3 3 A. 25a B. 25a C. 25a D. 25a 8 16 18 24
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A ,′ B ,′C ,′ D′ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD.
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.AB CD
′ ′ và S.ABCD A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 16 8 2
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là trung điểm của SC.
Một mặt phẳng đi qua AN cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, P. Gọi V ′ là thể tích của khối chóp S.AMNP.
Tính giá trị nhỏ nhất của V T = V A. 3 B. 1 C. 2 D. 1 8 3 3 8
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P)
chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của phần chứa đỉnh S V 1 2
là thể tích phần còn lại. Tính tỉ số V1 . V2 A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 9 3 3 2
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tứ giác lồi với O là giao điểm của AC BD. Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD SDA. Gọi V , V lần lượt là thể tích của khối chóp 1 2
S.ABCD O.MNPQ. Tính tỉ số V1 . V2 A. 8 B. 27 C. 27 D. 9 4 2
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm của SB, M là điểm đối xứng với B qua A.
Mặt phẳng (MNC) chia khối S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là V , V với V <V . Tính tỉ số 1 2 1 2 V1 k = . V2 A. 5 k = B. 5 k = C. 5 k = D. 5 k = 7 9 11 13
Câu 32: (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế 2017) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên
hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60°. Mặt phẳng (P) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt
SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN. A. 3 V = 3a B. 3 3 V = a C. 3 3 V = a D. 3 3 3 V = a 4 2 2
Câu 33: Cho hình chóp đều S.ABCD SA = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°. Gọi M là trung điểm
SA, mặt phẳng (P) đi qua CM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEMF 3 3 3 3 A. a 15 B. a 15 C. 4a 15 D. 4a 15 75 225 225 75
Câu 34: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.AB C
′ ′ có thể tích là V . Gọi E là trung điểm của AC ,′ F là giao 1 điểm của AE V
AC. Biết khối chóp F.AB C
′ ′ có thể tích là V . Tính tỉ số 2 2 V1 A. V V V V 2 1 = B. 2 1 = C. 2 2 = D. 2 1 = V 3 V 6 V 9 V 9 1 1 1 1
Câu 35: (Sở GD&ĐT Cần Thơ 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.AB C
′ ′ và M là điểm tùy ý thuộc cạnh
bên BB′. Gọi V ,V ′ lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ABC.AB C
′ ′ và khối chóp M.AAC C ′ . Tính tỉ số V k = V A. 2 k = B. 1 k = C. 5 k = D. 1 k = 3 6 6 3
Câu 36: Cho lăng trụ ABC.AB C
′ ′ có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA ,′ BB .′ Tính
thể tích V của khối đa diện CNMAB C ′ ′ . A. 12 B. 6 C. 9 D. 15
Câu 37: Cho lăng trụ ABC.AB C
′ ′ có thể tích bằng V. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp .
G ABC theo V. A. V B. V C. V D. V 12 6 5 9
Câu 38: Cho hình lăng trụ ABC.AB C
′ ′ có thể tích V. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó thể tích khối chóp . G AB C ′ ′ là A. V B. 3V C. 2V D. V 3 2
Câu 39: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.AB C
′ ′ có thể tích V . Gọi P là một điểm trên đường thẳng AA′. 0
Tính thể tích khối chóp tứ giác . P BCC B ′ ′ theo V 0 A. 2V V V V 0 B. 0 C. 0 D. 0 3 2 3 4
Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.AB C
′ ′ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, B C
′ . Mặt phẳng ( AMN ) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích của khối đa diện MB . P AB N ′ 3 3 3 3 A. 7a 3 B. a 3 C. 7a 3 D. 7a 3 32 32 68 96
Câu 41: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.AB C
′ ′ . Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên
AA ,′CC′ sao cho MA = MA′ và NC = 4NC .′ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GAB C ′ ′, BB MN ′ , ABB C
′ ′, ABCN khối nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối ABCN
B. Khối GAB C ′ ′ C. Khối ABB C ′ ′ D. Khối BB MN
Câu 42: Cho khối lăng trụ ABC.AB C
′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = BC = 2a, AA′ = a 3.
Tính thể tích V của khối chóp . A BCC B ′ ′theo a. 3 3 A. 4a 3 V = B. 3 V = a 3 C. 2a 3 V = D. 3 V = 2a 3 3 3
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng ABC.AB C
′ ′ có AB = a, AC = 2a, AA′ = 2a 3 , 
BAC = 120° . Gọi K, I lần
lượt là trung điểm của các cạnh CC ,′ BB .′ Tính thể tích V của khối tứ diện IABK 3 3 3 3 A. a V = B. a 3 V = C. a 5 V = D. a V = 2 6 2 6
Câu 44: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ có cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ACD B ′ ′ 3 3 3 A. 1 3 V = a B. a 2 V = C. a V = D. a 6 V = 3 3 4 4
Câu 45: Cho khối hộp chữ nhật ABC . D AB CD
′ ′ . Tỉ số thể tích của khối tứ diện AABC và khối hộp chữ nhật ABC . D AB CD ′ ′ bằng A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 6 2 3
Câu 46: Cho hình hộp V ABC . D AB CD
′ ′ có thể tích V. Gọi V là thể tích của tứ diện ACB D ′ .′ Tính tỉ số 1 . 1 V A. 1 B. 2 C. 1 D. 4 3 3 5 5
Câu 47: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ cạnh a. Gọi M là trung điểm của AB′ và N là trung điểm
của BC. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN. 3 3 3 3 A. a V = B. a V = C. a V = D. a V = 3 12 6 2
Câu 48: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ có cạnh a.Tính thể tích của khối tứ giác . D ABC D ′ ′ . 3 3 3 3 A. a B. a 2 C. a 2 D. a 3 6 3 4  
Câu 49: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ . Gọi M là điểm trên đường chéo CA′ sao cho MC = 3 − MA
Tính tỉ số giữa thể tích V của khối chóp M.ABCD và thể tích V của khối lập phương. 1 2 A. V V V V 1 1 = B. 1 3 = C. 1 1 = D. 1 1 = V 3 V 4 V 9 V 4 2 2 2 2
Câu 50: Cho hình hộp ABC . D AB CD
′ ′ . Gọi M thuộc cạnh AB sao cho MB = 2 .
MA Mặt phẳng (MB D ′ ′)
chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. A. 5 B. 7 C. 13 D. 5 12 17 41 17
Câu 51: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB CD
′ ′ có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm của tam giác BCD′.
Tính thể tích V của khối chóp GABCA. 1 V = B. 1 V = C. 1 V = D. 1 V = 18 12 3 6
Câu 52: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D AB CD
′ ′ . Tỉ số thể tích của khối tứ diện AABC khối hộp chữ nhật ABC . D AB CD ′ ′ bằng A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 6 2 3
Câu 53: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB AD, mặt phẳng (C MN
) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Gọi V là thể tích của khối đa diện có thể tích nhỏ 1 hơn, V
V là thể tích của khối đa diện có thể tích lớn. Tính 1 . 2 V2 A. V V V V 1 1 = B. 1 13 = C. 1 1 = D. 1 25 = V 3 V 23 V 2 V 47 2 2 2 2
Câu 54: Cho hình lập phương ABC . D AB CD
′ ′ . Gọi I là trung điểm của BB′, mặt phẳng (DIC′) chia khối
lập phương thành hai phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng A. 3 B. 2 C. 7 D. 5 8 3 17 12
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN ′ ′ ′
Câu 1: Ta có VS.ABC′′ SA SB SC 1 1 1 1 = . . = . . = . Chọn B V SA SB SC S ABC 3 3 3 27 .
Câu 2: Ta có SAM S AMN 1 SAN SN 3 = = ; = = . SSA SSC SAN 2 SAC 4 Suy ra 1 3 3 S = = ∆ SS AMN .
2 4 SAC 8 SAC 1
d (B (SAC)) 3 1 ; .S = × ∆ d B SAC S AMN ( ;( )). 3 8 3 SAC 3 VABMN 3 ⇔ V = Vk = = Chọn A B AMN B SAC . . . 8 VS ABC 8 .
Câu 3: Kí hiệu tứ diện và các điểm như hình vẽ. ′ ′ ′
Ta có VS.ABC′′ SA SB SC 1 = . . V = ⇒ V = S. V SA SB SC 8 AB C ′ ′ S ABC 8 . Tương tự V V = = = ′ V V . A A MP B.B MN C.C NP 8
Do đó V ′ = VV + + + ′ ′ ′ V V V S.ABC ( S.ABC . A A MP B.B MN C.C NP ) V V V V V V ′ 1 = V − + + + = ⇒ =   . Chọn A  8 8 8 8  2 V 2
Câu 4: Ta có S AMN AM AN 1 2 1 = . = . = SAB AC ABC 2 3 3 Lại có 1 1 V = d A ABC S = ∆ V d A ABC S S AMN ; . AMN ; S ABC ; . . ( ( )) . ( ( )) 3 3 ABC ∆ Suy ra V S S.AMN AMN 1 V = =  →V = Chọn A S AMN . . V S S ABC ABC ∆ 3 3 .
Câu 5: Ta có S MCG MG 1 = = mà 1 S = ∆ S S MCB 2 BCDMB MCB 3 Suy ra 1 1 1 1 S = = = ∆ SSS MCG MCB . 3 3 2 BCD 6 BCD Lại có 1 V = d A BCD S A GMC ; . . ( ( )) 3 MGC 1 1 = . ( ;( )). V d A BCD S = . Chọn C 6 3 BCD 6 2 3
Câu 6: Diện tích tam giác ABC AC 2 1 a S = = ⇒ = = ∆ a V SA S ABC S ABC . . . 4 3 ABC ∆ 3 3 3 Vậy VS.AIC SI 1 1 1 a a = = ⇒ V = V = = . Chọn D S AIC S ABC . . . V SB S ABC 3 3 3 3 9 . 1 .hS MNK Câu 7: Ta có 1 VS.MNK 3 1 V S =  → = = ⇒ = . Chọn C SV MNK ABC S. 3 V 1 4 MNK S ABC 4 . . h S 3 ABC
Câu 8: Qua D kẻ đường thẳng d / /BC, cắt SC tại E
⇒ Mặt phẳng (α ) cắt khối chóp theo thiết diện là ADE
Theo định lí Talet, ta có SD SE 2 = = SB SC 3 Do đó VS.ADE SD SE 2 2 4 = . = . = . Chọn B V SB SC S ABC 3 3 9 .
1 d (E;(BCD)).S BCD Câu 9: Ta có V EB V E.BCD 3 AE = = mà 1 E.BCD 1 = ⇒ = . Chọn D V 1 AB AB 4 VA BCD 4 . A BCD .d ( ;
A (BCD)).S . 3 BCD
Câu 10: Tam giác SAC cân tại AAC′ ⊥ SC
Suy ra C′ là trung điểm của SC 1 SC  → = SC 2 2 2
Tam giác ABC vuông cân tại AB a A  → S = = ABC ∆ 2 2 3
Do đó, thể tích khối chóp S.ABC là 1 a V = SA S = S ABC . . . 3 ABC ∆ 6 3
Vậy VS.ABC′′ SB SC 1 1 1 = . = . a = ⇒ V = Chọn D S AB C ′ ′ . . V SBSCS ABC 2 2 4 24 .
Câu 11: Qua G kẻ đường thẳng d / /BC, cắt SB, SC tại I, J. Ta có SG SI SJ 2 d / /BC ⇒ = =
= (M là trung điểm của BC) SM SB SC 3 Khi đó VS.AIJ SI SJ 2 2 4 = . = . = . Chọn C V SB SC S ABC 3 3 9 . 2
Câu 12: Diện tích tam giác ABC là 1 a S = = ∆ AB BC ABC . . 2 2
Ta có SA ⊥ ( ABC) ⇒ SB ( ABC)  = (SB AB)  =  ; ; SBA = 60°
Tam giác SAB vuông tại A, có =  SA A .
B tan SBA = a 3 2 3
Suy ra thể tích khối chóp S.ABC là 1 a 3 a a 3 V = SA S = = S ABC . . ABC ∆ . . 3 3 2 6 3
M là trung điểm của 1 a 3 SB  →V = V = Chọn C M ABC S ABC . . . 2 12
Câu 13: Kẻ CF SB(F SB)  SC AB Ta có 
AB ⊥ (SAC) AC AB
Kẻ CE SA(E SA) mà AB CE CE ⊥ (SAB) ⇒ CE SB Do đó V
C, E, F đồng phẳng S.CEF SE ⇒ = . SF V SA SB S.CAB
Tam giác SAC vuông cân tại SE 1 C  → = SA 2
Tam giác SBC vuông tại C , có 1 1 1 a 6 = + ⇒ CF = 2 2 2 CF SC BC 3
Tam giác SCF vuông tại F , có 2 2 a 3 SF 1
SF = SC CF = ⇒ = 3 SB 3 2 3 Vậy VS.CEF 1 1 1 1 1 = . a a a = ⇒ V = V = = Chọn C S CEF S ABC . . . . . VS CAB 2 3 6 6 6 3 2 36 .
Câu 14: Ta có VS.AHK SA SH SK 1 1 1 = . . = 1. . = V SA SB SC S ABC 2 2 4 . Do đó 1 1 V = V = V Chọn B S AHK S ABC . . . 4 4
Câu 15: Gọi M là trung điểm của AB ⇒ , A G, M thẳng
hàng và SM = GM d (G ( ABC)) 1 3 ;
= d (S;( ABC)) 3 Ta có: 1 V = d G ABCD S G ABCD ; . . ( ( )) 3 ABCD 1 1 = . d ( ; A ( ABCD)) 1 3 .S = V = a . Chọn A ABCD S. 3 3 3 ABCD Câu 16: Do S = SV = V ABCD 4 OCD S ABCD 4 . S.OCD
Mặt khác VS.OMN SO SM SN 1 = . . = V SO SC SD S OCD 4 . VS.OCD 1 ⇒ V = = V . Chọn D S.OMN S. 4 16 ABCD
Câu 17: BC = AB = a 2, AC = AB 2 = 2a AB BC Do  ⇒ AB CE.  AB SC
Mặt khác CE ⊂ (α ) ⇒ CE SA CE ⊥ (SAB) ⇒ CE SB
Tam giác SCB vuông tại S có đường cao CE có: 2 2 2 SC SE SE SC 4
SC = SE.SB ⇒ = ⇒ = = 2 2 2 SB SB SB SC + BC 6
SC = AC SC
A vuông cân tại C nên D là trung điểm của SA Suy ra VS.CED SC SE SD 4 1 1 = . . = . = V SC SB SA S CBA 6 2 3 . Mặt khác 1 1 1 V = SC S = a a = a V =
a = a Chọn C S CAB . . ABC .2 . ( 2)2 2 3 1 2 3 2 3 S CDE . . . . 3 2 2 3 3 3 9 Câu 18: Ta có 2 2 2 2
AB + BC = AC = 20a A
BC vuông tại B 3 Do đó 1 2 1 8a S
= AB BC = a V = SA S = ABC . 4 S ABC . ABC . . 2 3 3
Xét tam giác SAB vuông tại S có đường cao AM có: 2 2 2 SA SM SM SA 1
SA = SM.SB ⇒ = ⇒ = = 2 2 2 SB SB SB SA + AB 2 2 Tương tự SN SA 4 1 = = = 2 2 SC SA + AC 4 + 20 6 3 3
Mặt khác VS.AMN SM SN 1 1 8a 2 = . a = ⇒ V = = S AMN . . . V SB SC S ABC 12 12 3 9 . Chọn A. Câu 19: A
BC vuông tại B
AB = BC tan B = tan 60° = a 3 2 1 a 3 S = AB BC = ABC . 2 2
Gọi H là trung điểm của AB MH là đường trung bình của tam
MH / /SA MH ⊥ ( ABC) giác SAB  ⇒  SA a 3  MH = = .  2 2 3 Do đó 1 a V = MH S = Chọn D. M ABC . ABC . . 3 4
Câu 20: Xét tam giác SAC vuông tại S có đường cao AP có: 2 2 2 SA SP SP SA 4 4 SA = . SP SC ⇒ = ⇒ = = = . 2 2 2 SC SC SC SA + AC 4 +1 5 Do đó VS.MNP SM SN SP 1 1 4 1 = . . = . . = V SA SB SC S ABC 2 2 5 5 . 2 3 Lại có a 3 1 a 3 S = ⇒ V = SA S = ABC S ABC . ABC . . 4 3 6 3 3 Suy ra 1 a 3 a 3 V = = Chọn A. S MNP . . . 5 6 30
Câu 21: Ta có SA = SB = SM = 1 ⇒ hình chiếu của đỉnh S
xuống mặt phẳng ( ABM ) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM . Mặt khác  2 2
ASC = 90° ⇒ AS SM AM SA + SM = 2.
Các tam giác ASB, ASM là các tam giác đều nên AB = BM = 1. Suy ra 2 2 2
AB + BM = AM = 2 ⇒ ABM vuông tại . B
Khi đó SH ⊥ ( ABM ) thì H là trung điểm của cạnh huyền AM. Ta có 2 2 2 2 AH =
SH = SA AH = . 2 2 1 1 2 A . B BM 2 V = SH S = = Chọn C. S ABM . ABM . . . . 3 3 2 2 12
Câu 22: Trên SB lấy điểm E sao cho SE = 1 Dựng EF ⊥ ,
SA EG SC (F ∈ , SA G SC). Khi đó SEF, S
EG vuông cân tại E .
Ta có EF = EG = 1 ⇒ SF = SG = 2 Do  = ° ⇒  CSA 60 FSG = 60° ⇒ F
SG đều suy ra FG = 2. Khi đó E
FG vuông cân tại 1 1 E S = EF FG = EFG . 2 2 1 1 ⇒ V = SE S = S EFG . EFG . . 3 6 Ta có VS.EFG SF SE SG 2 1 2 1 = . . = . . = . V SA SB SC S ABC 4 5 6 60 . Suy ra V = V = S ABC 60 S EFG 10 . . Mặt khác SAMP AM AP 3 3 = . = ⇒ S = S S AB AC 16 AMP 16 ABC ABC Tương tự 3  3  7 ⇒ S = S = S = SS = − S =   S AMP BMN CNP ABC MNP 1 3. 16  16 ABC  16 ABC Suy ra 7 7 35 V = V = = Chọn B. S MNP . S ABC .10 . . . 16 16 8
Câu 23:
Dễ dàng chứng minh được AH SB,
AC = AB 2 = a 2 .
Tam giác SAB vuông tại A , có đường cao AH nên 2 2 2 SA SH SA 4
SA = SH.SB ⇒ = = = . 2 2 2 SB SB SA + AB 5 2
Tương tự, ta tính được SK SA 2 = = 2 2 SC SA + AC 3 2 3 Vậy VS.AHK SH SK 4 2 8 8 1 a 8 = . = . a = ⇒ V = a = S AHK . .2 . . . V SB SC S ABC 5 3 15 15 3 2 45 . Chọn B.
Câu 24: Gọi N = (MBC) ∩ S . D
Ta có: BC / / AD ⇒ (MAC) ∩ (SAD) = MN suy ra V
MN / /BC / / A . D S.ABCD V = V = S ABC S ACD . . . 2 Đặt SM V = .
x Ta có S.ACM SM = = . x SA V SA S.ABC VS.ACM x ⇒ = x V = V S ACM S ABCD . . . VS.ABCD 2 2 2
Lại có: VS.CMN SM SN 2 = . x = x V = V S.CMN S. V SA SD CAD 2 ABCD S. 2 2  x x  1 x x 1 1 − + 5 ⇒ V =  + V = ⇒ + = ⇒ x = ⇒ SM = − + S ACNM S ABCD 1 5 . .  2 2  2 2 2 2 2
Lại có AC = 1+ 4 = 5, MA = 2 − ( 1
− + 5) = 3− 5, AC = 5 Suy ra 1 3 5 5 S MA AC − = = Chọn A. MAC . . 2 2 BC AB Câu 25: Do 
BC AB′  BC SAAB′ ⊥ SC Ta có: 
AB′ ⊥ (SBC) ⇒ AB′ ⊥ SB AB′ ⊥ BC
Do hình chóp có (SAC) là mặt phẳng đối xứng nên V ′ ′ ′ ′ ′ V S.AB C D S.AB C ′ ′ SB = = . SC . V V SB SC S.ABCD S.ABC
Xét tam giác SAB vuông tại S có đường cao AB′ có: 2 2 ′ ′ 2 SA SB SB SA 1
SA = SB .′SB ⇒ = ⇒ = = 2 2 2 SB SB SB SA + AB 2 2 2 ′ Tương tự SC SA SA 1 V ′ ′ V S.AB C 1 S.AB CD ′ ′ = = = ⇒ = = 2 2 2 SC SC SA + AC 3 V V S ABC 6 . S.ABCD 3 Mặt khác 1 1 3 1 3 5a V = SA S = a V = ⇒ = − = . ′ ′ ′ a V ′ ′ ′ V V ABCD . ABCD S.AB C D AB C D .ABCD S.ABCD S. 3 3 18 AB CD ′ ′ 18 Chọn A.
Câu 26: Dựng AH BM
Ta có BM SA BM ⊥ (SHA).
Khi đó (SBM ) ( ABCD)  ( )=  ; SHA = 45° Đặt x
AB = AD = x AM = MD = DN = 2 Mặt khác AM.AB x AH = = 2 2 AM + AB 5 Suy ra = tan 45 x SA AH ° =
= a x = a 5 5 2 2 2 2 2 x x 5x 25a S = SSS = x − − = = AMNB ABCD DMN BCN 8 4 8 8 3 Do đó 1 1 25 2 25a V = S SA = a a = Chọn D. S ABNM ABNM . . . . . 3 3 8 24
SA SBSCSD + + +
Câu 27: Ta có V ′ ′ + + + S.AB CD ′ ′ SA SB SC SD 2 2 2 2 1 = = = . Chọn C. V
SA SBSCSD S ABCD 4.2.2.2.2 8 . 4. . . .
SASB SC SD
Câu 28: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD
Nối AN SO = I I là trọng tâm tam giác SAC
Qua I kẻ đường thẳng d cắt SB, SD lần lượt tại M , P
Đặt SA = 1; SB = ; SC = 2; SD x = y SA SM SN SP ′ Suy ra 1 + + + +
+ 2 = x + y x + y = 3 và V x y 3 x y 3 = = V 8xy 8xy
Ta có xy ≤ (x + y)2 V 2.3 1 4 = 9 ⇒ ≥ = . Chọn B. V 2.9 3
Câu 29: Nối AN SO = I I là trọng tâm tam giác SAC
Qua I kẻ đường thẳng d / /BD, cắt SB, SD lần lượt tại E, F Suy ra SE SF 2 =
= ; E, F thuộc mặt phẳng (P) SB SD 3 SA SB SC SD 3 + + + 1+ 2. + 2 Khi đó V1 SA SE SM SF 2 1 = = = V SA SB SC SD 3 3 S ABCD 3 . 4. . . . 4.1. . .2 SA SE SM SF 2 2 Mà V1 1 V = V +V  → = Chọn D. S ABCD . . 1 2 V 2 2
Câu 30: Ta có (MNPQ) ( ABCD) ⇒ d (S (MNPQ)) 2 / / ;
= d (S;( ABCD)) 3
O ∈( ABCD) 
d (O (MNPQ)) 1 ;
= d (S;( ABCD)) 3 2 Lại có  2  1 2 V1 1 27 S =   S = S  → = = Chọn C MNPQ . ABCD ABCD .  3  2 9 V 1 2 2 2 . 3 9
Câu 31:
Nối MN SA = E E là trọng tâm SMB
Nối MC AD = F F là trung điểm AD Ta có V = VV AEF.BNC N.MBC E.MAF 1
= d (N ( ABCD)) 1 S − ∆ d ABCD S MBC ( ( )) 1 . ; . . E; . 3 3 4 MAF 1 1 =
d (S ( ABCD)) 1 1 Sd A ABCD S ABCD ( ( )) 1 . ; . . . ; . 3 2 3 3 4 ABCD 1 1 5 V1 5 = VV = V ⇒ = . Chọn A. S.ABCD S.ABCD S. 2 12 12 ABCD V 7 2
Câu 32: Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO ⊥ ( ABCD)
Gọi E là trung điểm BC BC ⊥ (SEO)
Do đó (SNO) ( ABCD)  = (SN ON)  =  ; ; SNO = 60°
Tam giác SEO vuông tại O, có = 
SO OE.tan SEO = a 3 3
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là 4a 3 V = S.ABCD 3
Vì (P) chứa AG nên (P) ∩ SC = M là trung điểm của SC
Qua M kẻ đường thẳng d / /CD, cắt SD tại N SA SB SC SD + + + Khi đó V + + + S.ABMN SA SB SM SN 1 1 2 2 3 3 3 = = = ⇒ V = a . Chọn C S. V SA SB SC SD 4.1.1.2.2 8 ABMN S ABCD 2 . . a . . . SA SB SM SN
Câu 33:
Gọi O là tâm hình vuông ABCD SO ⊥ ( ABCD)
Gọi N là trung điểm BC BC ⊥ (SNO)
Do đó (SNO) ( ABCD)  = (SN ON)  =  ; ; SNO = 60°
Tam giác SNO vuông tại O, có =  x 3 SO ON.tan SNO = 2 2
Tam giác SAO vuông tại O, có 2 2 2 x
SO = SA OA = a − 2 2 2 2 Suy ra x 3 2 x 3x 2 x 2a 5 = a − ⇔ = a − ⇔ AB = x = 2 2 4 2 5 2 3  
Thể tích khối chóp S.ABCD là 1 1 2a 5 3 2a 5 4a 15 V = SO S =   = S ABCD . . ABCD . . . . 3 3 5 2  5  75  
Nối SO CM = I 
I là trọng tâm SI 2 SAC ⇒ = . SO 3
Qua I kẻ đường thẳng d / /BD, cắt SB, SD lần lượt tại SE SF 2 E, F ⇒ = = SB SD 3 3 2 + 2. +1 Đặt SA SB SC SD V + + + S.MECF x y z t 2 1 = ; x = y; = z; = t ⇒ = = = SM SE SC SF V xyzt S ABCD 4 3 3 3 . 4.2. . .1 2 2 3 3 Vậy 1 1 4a 15 4a 15 V = V = = Chọn C S MECF . S ABCD . . . . 3 3 75 225 ′ ′ ′ Câu 34: Do FA A E 1 FA 1
AE / / AC ⇒ = = ⇒ = FC AC 2 CA′ 3
Do đó d (F ( AB C ′ ′)) 1 ;
= d (C;( AB C ′ ′)) 3 Suy ra 1 1 V = = ′ ′ V ′ ′ ′ V F AB C C A B C ABCD ABC′ . . . . 3 9 Vậy V2 1 = . Chọn D V 9 1
Câu 35:
Ta có MB′ / / ( ACC A ′ ′) nên
d (M;( AAC)) = d (B ;′( AAC)). Do đó 1 2 V ′ = V = − = − = ′ ′ ′ V V V V V B .ACC A B .ABC 3 3 ′ Vậy V 2 k = = . Chọn A V 3
Câu 36:
Gọi V là thể tích của khối trụ. Ta có: 1 1 S = S ⇒ = ′ ′ V V MNBA A B BA C MNBA C AB BA ′ . . . 2 2 Mặt khác V 2V V = − = − = ′ ′ V ′ ′ V ′ ′ ′ V C.A B BA ABC.A BC C.A B C 3 3 1 2V 1 ⇒ V = = = C MNBA . .18 6 . 2 3 3 Do đó V = − = Chọn A. ′ ′ V V CNMAB C C MNBA 12. .
Câu 37:
Gọi I là trung điểm của BC AI = 3GI Khi đó d ( ;
A ( ABC)) = 3d (G;( ABC)) ⇒ V = ′ V A A BC 3 . G A ′ ′B C ′ ′ Mặt khác V V V = = ⇒ = Chọn D V V . A A BC A ABC G. 3 ABC 9
Câu 38:
Do ( ABC) / / ( AB C
′ ′) ⇒ d (G;( AB C
′ ′)) = h với h
chiều cao khối lăng trụ. Do đó 1 1 V = = . Chọn A ′ ′ h S ′ ′ ′ V G AB C . ABC . . 3 3
Câu 39:
Do AA′ / / (BCC B
′ ′) và P AA′ nên ta có: V 2V 0 0 V = = − = − = Chọn A. ′ ′
V ′ ′ ′ V V V P BCC B A BCC B A ABC . . . 0 . 0 3 3
Câu 40:
Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
Khi đó MF / / AE AE / / AN nên MF / / AN
Suy ra các điểm A ,′ M , F, N thuộc cùng một mặt phẳng.
Vậy ( AMN ) cắt cạnh BC tại điểm P P trùng với F .
Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện
“Thể tích khối chóp cụt là h
V = (B + B′ + BB′) với h là chiều cao, 3
B, B′ lần lượt là diện tích hai đáy”
Xét khối chóp cụt MB . P AB N
′ có chiều cao h = BB′ = a .  SABC S B = S = =  MBP 2 Và diện tích đáy  8 8 a 3  với S = S  4 A B C S B′ = S ′ ′ ′ = = AB N ′ ′  2 2 Thể tích khối đa diện MB . P AB N ′ là 3 BB′  S S S S  7 3 = . + + . a V  = . Chọn D 3  8 2 8 2  96  
Câu 41:
Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.AB C ′ ′ Ta có: V 2V V = − = − = ′ ′ V V V . A BCC B A .ABC 3 3 Khi đó V 1 V = = = ′ ′ ′ VV ′ ′ V G A B C , . M .BB N A .BB N A . 3 2 ′ BCC B′′ (Do 1 S = ). Do đó 1 2V V V = = M BB N ′ . . ′ S NBB 2 CC BB′ . 2 3 3 Tương tự 1 V V = = = ′ ′ V ′ ′ ′ V A C B B A C B B
. ABCCB′′ . . . . 2 3 Do 1 1 V S < S = ⇒ < = ′ S ′ ′ V V BCN BCC BCC B A BCN
. ABCCB′′ . . . 2 2 3
Vậy khối chóp BB MN
có thể tích nhỏ nhất. Chọn D
Câu 42:
Gọi V là thể tích khối chóp ABC.AB C ′ ′ Ta có: V 2V V = − = − = ′ ′ V V V . A BCC B A .ABC 3 3 Lại có A . B AC 3 V = S AA′ = AA′ = a ABC . . 2 3 2 3 Suy ra 2 3 4a 3 V = = . Chọn A ′ ′ a A BCC B .2 3 . 3 3
Câu 43:
Gọi V là thể tích khối chóp ABC.AB C ′ ′ Ta có V 2V V = − = − = ′ ′ V V V . A BCC B A .ABC 3 3 Lại có: 1 1 S = S = S IKB
2 KICB 4 BCC B′′ Suy ra 1 1 2 1 V = = = ′ V ′ ′ V V A IKB A BCC B . . . 4 4 3 6 Mặt khác 1 = ′ =  V S AA AB AC BAC AAABC . . .sin . 2 3 1 3 1 = . .2 .sin120 .2 ° 3 = 3 a a a a a V = = Chọn V A IKB . . 2 6 2 A.
Câu 44:
Thể tích khối lập phương là 3 V = a . Ta có 1 3 V = = = = ′ ′ ′ V V V ′ ′ ′ a . A A B D B .ABC D .ACD D .B C C 6 V = − − − − ′ ′ V ′ ′ ′ ′
V ′ ′ ′ V V V ACD B ABCD.A B C D A,A B D B .ABC D .ACD D .′B CC ′ 3 3 Suy ra 3 a a V = − = . Chọn A ′ ′ a ACD B 4. 6 3 Câu 45: Ta có S = SV = ′ V ABCD 2 ABC A ABCD 2 . A .′ABC Mặt khác 1 V = ′ V A .ABCD ABCD. 3 A BCD ′ ′ Do đó 1 1 1 V = = ′ V V A ABC A ABCD . . . ABCD. 2 2 3 AB CD ′ ′ 1 = V Chọn B ′ ′ ′ ′ . . 6 ABCD ABC D
Câu 46:
Gọi h là chiều cao của khối hộp Ta có 1 1 1 1 1 V = = = = ′ h S h S h S V B ABC . ABC . ABCD . . 3 3 2 6 ABCD 6 1 1
V = V − 4.V = − = Chọn A V V V B ABC 4. . 1 . 6 3 Câu 47: Ta có 1 V
= d M ABCD S ADMN . ;  ( ) . 3  AND 1 = .AA .′(SS − ∆ S∆ ) 3 ABCD ABN NCD 1  1 1 = .AA . SS −  S  ′ 3 ABCD
4 ABCD 4 ABCD    3 = 1 1 = . . a AAS = 3 2 ABCD 6 3
Vậy thể tích cần tính là a V = . Chọn C 6 Câu 48: Ta có V = + ′ ′ V V D.ABC D C .ABD C .′ADD′ 1 1 = CC .′S + ′ ′ ∆ C D S ABD . 3 3 ADD′ 1 1 1 = CC .′S + C D ′ ′ S ABCD . . 3 3 2 AADD′ 3 1 1 2 1 1 2 = . + . a a a a a = 3 2 3 2 3 3
Vậy thể tích cần tính là a V = . Chọn A 3
d (M;( ABCD)) Câu 49: Ta có MC 3 MC = 3MA′ ⇒ = =
d (A ;′( ABCD)) AC 4
1 d (M;(ABCD)).SABCD Do đó VM.ABCD 3 1 3 1 = = . = , Chọn D VABCD AB CD ′ ′ d A ; ABCD S 3 4 4 . ( ( )) ABCD
Câu 50:
Chuẩn hóa thành hình lập phương ABC . D AB CD ′ ′ cạnh I
Qua M kẻ đường thẳng d / /BD, cắt AD tại N MN / /BD, Mà BD / /B D
′ ′ ⇒ MN / /B D
′ ′ ⇒ M , N, B ,′ D′ đồng phẳng Dó đó 1 V = ′ + + ′ ′ ′ AA SS∆ ′ ′ ′ SS AMN A B D . AMN A B D AMN . . ( A ∆ ′B D ′ ′ ) 3 1  1 1 1 1  13 = .1. + + .  = 3 18 2 18 2  54  
⇒ Thể tích khối còn lại là 13 41 13 : = . Chọn C 54 54 41
Câu 51:
Dễ thấy AB / /C D ′ ′ ⇒ ,
A B,C ,′ D′ đồng phẳng Do đó d G  ( ABC′) 1  = d C   ( ABC′) 1 ; ;  ⇒ V =  ′ V G.ABC C. 3 3 ABC′ Ta có 1 1 1 V V = = ′ = ′ = ′ V CC SCC S C ABC C ABC . ABC . . . 3 3 2 ABCD 6 Vậy 1 1 V V 1 V = = = = Chọn A. V G ABC C ABC′ . . . . 3 3 6 18 18 1 1 .AA .′SS ABC . ABC
Câu 52: Ta có VA.′ABC 3 3 1 = = = . Chọn B V ′ ′ ′ ′ ′ AA S S ABCD A B C D . ABCD 2. ABC ∆ 6 .
Câu 53:
Chọn AB = 1
Nối MN BC = ;
P MN CD = Q Nối C P
′ ∩ BB′ = E,C Q
′ ∩ DD′ = F
Do đó thiết diện cắt bởi mp(C MN
) là C EMNF Dễ thấy 1 PB QD 1
BM = BP = DQ = DN = ⇒ = = 2 PC QC 3 Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 V = V = EB S = = E PM F DQN . . BPM ∆ . . . . .B . 3 3 3 2 2 2 72 Ta có 1 1  1  3 V = ′ = + = ′ CC S C CPQ . CPQ .1.1 . 3 3 8    8
Gọi V là thể tích đa diện chứa điểm 25
C V = V − − = ′ V V 0 0 C .CPQ E.B PM F.DQN 72
Vậy tỉ số thể tích cần tính là V1 25 = . Chọn D V 72 2
Câu 54:
Gọi M là trung điểm AB IM / / AB′ / /C D
Do đó mp(DIC′) cắt hình lập phương theo thiết diện IMDC′ Ta có 1 V = + + ′ BC SS∆ ′ SS IBM C CD . IBM C CD IBM . . ( CCD ) 3 1  1 1 1 1  = BC. S + S + S S ABCD ABCD ABCD . 3 8 2 8 2 ABCD      1 7 7 = BC. S = V ABCD ABCD. 3 8 24 AB CD ′ ′
Vậy tỉ số cần tính là 7 . Chọn C 17
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1