Chuyên đề trắc nghiệm tỉ số thể tích

Tài liệu gồm 56 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán trọng tâm kèm phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm tự luyện chuyên đề tỉ số thể tích, có đáp án và lời giải chi tiết.Mời bạn đọc đón xem.

49 25 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 1: Khối đa diện

Môn: Toán 12

Thông tin:

56 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
CHỦ ĐỀ 9: TỈ SỐ THỂ TÍCH
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Chú thích
1
V =
Thể tích cũ,
2
V =
Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy).
1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi)
a. Song song với đáy
12
1
.
3
V V Bh= =
b. Cắt đáy
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
1
2
1
.; .
;
3
.
1
;
.; .
3
đ
đ
dAP S
dAP
V
IB
V IA
dB P
dB P S
= = =
2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi)
11
22
VS
VS
=
;với
1
S
là diện tích đáy cũ;
2
S
là diện tích đáy mới
Chú ý:
i. Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường
thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy
cũ và đáy mới.
ii. Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng
(hoặc giảm)
2
k
lần.
iii. Tỉ số đa giác hay gặp là tỉ số diện tích của hai tam giác.
3. Tỉ số thể tích của khối chóp
a. Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác
Công thức:
.
.
..
S ABC
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
′′′
′′′
=
Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên
trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các
hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.
b. Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác
Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
(hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng
( )
P
song song với đáy cắt các cạnh bên
,,,SA SB SC SD
lần lượt tại
,,,ABC D
′′′′
.
Khi đó
3
.
.
S ABCD
S ABCD
V
k
V
′′′′
=
; với
..
SA SB SC SD
k
SA SB SC SD
′′′ ′
= =
.
Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác.
Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)
Bài toán: Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình bình hành. Mặt phẳng
( )
P
cắt các cạnh
,,,SA SB SC SD
lần lượt tại
,,,
ABC D
′′′′
sao cho
;;;.
SA SB SC SD
xyzt
SA SB SC SD
′′ ′′
= = = =
Khi đó
11 11
xz yt
+=+
và
.
.
1 1 11
4

= +++


S MNPQ
S ABCD
V
xyzt
V xyzt
4. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ
a. Lăng trụ tam giác
Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối lăng trụ,
1
V
là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ,
2
V
là thể
tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó:
12
2
;
33
VV
VV= =
Ví dụ: Hình lăng trụ
..
12
.;
33
ABBC ABC ABC ABABC ABC ABC
ABC A B C V V V V
′′ ′′′ ′′ ′′′
′′′
→ = =
Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác
.ABC A B C
′′′
. Mặt phẳng
( )
α
cắt các đường
thẳng
,,AA BB CC
′′′
lần lượt tại
,,MNP
(tham khảo hình vẽ bên).
Tính tỉ số
.
.
ABC MNP
ABC A B C
V
V
′′′
.
HD: Ta có
. ..ABC MNP M ABC A BNPC
V VV= +
Lại có
( )
( )
( )
( )
.
11
.;. ..;.
33
M ABC ABC ABC
AM
V d M ABC S d A ABC S
AA
∆∆
′
= =
′
.. .
11
.. ..
33
ABC A B C M ABC ABC A B C
AM AM
VV V
AA AA
′′′ ′′′
= → =
′′
Và
( )
.;
2
BNPC
h
S BN CP= +
( )
..
2
BCC B
h
S BB CC h BB
′′
′′ ′
= +=
( )
.
11
2
.
.2 2
BNPC
BCC B
h
BN CP
S
BN CP BN CP
S h BB BB BB CC
′′
+
+

⇒= = = +

′ ′ ′′

Suy ra
(
)
( )
.
1
.; .
3
A BNPC BNPC
V d A BCC B S
′′
=
( )
( )
.
11 1
.; . . .
32 2
BCC B A BCC B
BN CP BN CP
d A BCC B S V
BB CC BB CC
′′ ′′

′′
= +=+

′′ ′′

Mà
. .. .
21
..
33
A BCC B ABC A B C A BNPC ABC A B C
BN CP
VV V V
BB CC
′′ ′′′ ′′′

= ⇒= +

′′

Vậy
.
.. .
.
11 1
.. . .
33 3
ABC MNP
ABC MNP ABC A B C ABC A B C
ABC A B C
V
AM BN CP AM BN CP
VV V
AA BB CC V AA BB CC
′′′ ′′′
′′′

= + + ⇒ = ++

′ ′′ ′′′

Công thức tính nhanh
.
.
1
3
ABC MNP
ABC A B C
V
AM BN CP
V AA BB CC
′′′

= ++

′′′

b. Khối hộp
Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối hộp,
1
V
là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai
đường chéo của hai mặt song song,
2
V
là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở
các trường hợp còn lại. Khi đó:
12
;
36
VV
VV= =
Ví dụ: Hình hộp
'. .
11
.;
36
AC BD ABCD ABCD ACDD ABCD ABCD
ABCD A B C D V V V V
′ ′′′′ ′′′ ′′′′
′′′′
→ = =
Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác
.ABCD A B C D
′′′′
. Mặt phẳng
( )
α
cắt
các đường thẳng
,,,AA BB CC DD
′′′ ′
lần lượt tại
, ,,M N PQ
(tham
khảo hình vẽ bên).
Chứng minh rằng
AM CP BN DQ
AA CC BB DD
+=+
′′′′
và
.
.
11
22
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM CP BN DQ
V AA CC BB DD
′′′′

= += +

′′ ′′

• Chứng minh
AM CP BN DQ
AA CC BB DD
+=+
′′′′
Gọi I là tâm hình vuông ABCD;
I
′
là tâm hình vuông
ABCD
′′′′
.
Ta có:
2
;
AM CP AM PC OI
AA CC AA AA
+
+= =
′′ ′ ′
2
.
BN DQ BN DQ OI AM CP BN DQ
BB DD BB BB AA CC BB DD
′
+
+= = ⇒+=+
′′ ′ ′ ′′′′
• Chứng minh
.
.
11
22
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM CP BN DQ
V AA CC BB DD
′′′′

= += +

′′ ′′

Chia khối đa diện
.ABCD MNPQ
thành hai khối đa diện
.ABC MNP
và
.
ACD MPQ
;
Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;
Cộng thể tích hai khối đa diện
.
.
1
4
ABC MNP
ABC A B C
V
AM CP BN DQ
V AA CC BB DD
′′′

⇒ = +++

′ ′′ ′

Mà
.
.
11
22
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM CP BN DQ AM CP BN DQ
AA CC BB DD V AA CC BB DD
′′′′

+=+⇒ = + = +

′′′′ ′′ ′′

Công thức tính nhanh
.
.
1 11
4 22
ABCD MNPQ
ABCD A B C D
V
AM CP BN DQ AM CP BN DQ
V AA CC BB DD AA CC BB DD
′′′′
 
= +++ = + = +
 
′′′′ ′′ ′′
 
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Tỉ số thể tích của khối chóp
Ví dụ 1: Cho hình chóp
.S ABC
có thể tích
18.V =
Gọi M là trung điểm của SA, E là điểm đối xứng với B
qua C. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng SB và ME.
a) Tính thể tích khối chóp MABE
b) Tính thể tích khối chóp AMNBC
c) Tính thể tích khối chóp SANE
Lời giải
Vì E đối xứng với B qua C
⇒
C là trung điểm của BE.
Mà M là trung điểm của SB.
SC ME N
∩=
Suy ra N là trọng tâm
2
3
SN
SBE
SC
∆ → =
.
a) Ta có:
11
. 2 . 2.
22
SBE A BC A BC ABC
S d BE d BC S
∆→ →
= = =
Và
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
;
1
;;
2
;
d S ABC
SB
d M ABC d S ABC
BM
d M ABC
=⇒=
Khi đó
( )
( )
.
1
;.
3
M ABE SBE
V d M ABC S
∆
=
( )
( )
.
11
.2. ; . 18.
23
ABC S ABC
d M ABC S V
∆
= = =
b) Ta có
.
..
.
12 1 1
..
23 3 3
S AMN
S AMN S ABC
S ABC
V
SM SN
VV
V SB SC
= ==⇒=
Lại có
. . .. .
22
.18 12
33
S ABC S AMN AMNBC AMNBC S ABC S AMN S ABC
V V V V VV V= + → = − = = =
c) Ta có
... . .
1
3
S ANE S AME S AMN S AME S ABC
VVV V V
=−=−
Lại có
.
. . ..
.
1 11
.2
2 22
S AME
S AME S ABE S ABC S ABC
S ABE
V
SM
V V VV
V SB
= = → = = =
Do đó
.. . .
122
.18 12
333
S ANE S ABC S ABC S ABC
VV V V=−===
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều
.S ABC
có đáy cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Gọi M, N lần lượt thuộc AB, AC sao cho
2 , 2.AM AB AN NC= =
Tính
.S MBCN
V
b) Mặt phẳng
( )
P
đi qua trọng tâm của tam giác ABC, song song với SA và BC, biết
( )
P
cắt SB, SC lần
lượt tại P, Q. Tính thể tích khối chóp MPQCB
Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác
( )
ABC SG ABC⇒⊥
.
Tam giác SAG vuông tại G, có
( )
2
2
22
3 33
2.
33
aa
SG SA AG a

= −= − =



⇒
Thể tích khối chóp
.S ABC
là
3
.
1 11
..
3 12
S ABC ABC
a
V SG S
∆
= =
a) Ta có
.
.
12 1 1
..
23 3 3
AMN S AMN
ABC S ABC
SV
AM AN
S AB AC V
∆
∆
= ==⇒=
Mà
3
... . .
2 11
3 18
S ABC S AMN S MBCN S MBCN S ABC
a
VVV V V= + → = =
b) Qua G kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại E, N. Tương tự, từ E, N kẻ các đường
thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại P, Q.
Dễ dàng chứng minh được
2
.
3
SP SQ AN
SB SC AC
= = =
Ta có:
( )
. .. . . .
11 1 5
.. .
2 2 2 18
MPQCB A PQCB S ABC S APQ S ABC S ABC S ABC
SP SQ
V V VV V V V
SB SC

= = −= − =


Vậy thể tích cần tìm là
3
3
5 11 5 11
.
18 12 216
MPQCB
a
Va= =
.
Ví dụ 3: Cho hình chóp
.
S ABC
có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a
, cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Góc giữa hai mặt phẳng
(
)
SBD
và
( )
ABCD
bằng
45
°
.
a) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AB. Tính
MNPD
V
.
b) Gọi H là hình chiếu của A trên SD; E là trung điểm của BC. Nối AC cắt DE tại F. Tính thể tích các khối
đa diện MHCD, HFCD.
Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD
( )
( )
; 45SBD ABCD SOA⇒==°
Suy ra
( )
3
2
.
12
.. . 2 .
2 333
S ABCD ABCD
AC a a
SA OA a V SA S a= = = → = = =
a) Ta có
MNP SAB SMN AMP BPN
S SS S S
∆ ∆∆ ∆ ∆
=−−−
1111
.
4444
SAB SAB SAB SAB SAB
SSSS S
∆∆∆∆ ∆
=−−−=
Lại có
( )
( )
..
11
;.
34
MNPD D MNP MNP D SAB
V V d D SAB S V
∆
= = =
33
. ..
1 1 1 12
.. . .
4 4 8 8 3 12
ABD
S ABD S ABCD S ABCD
ABCD
S
aa
V VV
S
∆
= = = = =
b) Xét
SAD∆
vuông tại A, đường cao AH
2
1
.
3
SH SA
SD SD

⇒= =


• Tính thể tích khối chóp MHCD.
Ta có
11
33
HCD
HCD SCD
SCD
S
HD
SS
S SD
∆
∆∆
∆
==⇒=
( )
( )
( )
( )
.
1 11
.;. ..;.
3 63
M HCD HCD SCD
V d M SCD S d A SCD S
∆∆
⇒= =
3
.. . .
1 1 11 1
. ..
6 6 6 2 12 18
A SCD S ACD S ABCD S ABCD
a
VV V V= = = = =
• Tính thể tích khối chóp HFCD.
Vì
12
// .
23
EC CF EF DF
EC AD
AD AC FD DE
⇒===⇒=
Cách 1. Ta có
( )
( )
.
1
.; .
3
H FCD FCD
V d H ABCD S
∆
=
mà
( )
( )
( )
( )
;
2
.
3
;
d H ABCD
HD
SD
d S ABCD
= =
Và
3
.. . .
2 4 41 1 2
.. .
3 9 9 4 9 27
FCD
H FCD S ECD S ABCD S ABCD
ECD
S
DF a
VV VV
S DE
∆
∆
= = → = = = =
Cách 2. Ta có
( )
( )
(
)
( )
..
1 11 2
.;. .;.
3 33 3
H FCD F HCD HCD SCD
V V d F SCD S d A SCD S
∆∆
= = =
3
.. . .
2 2 21 1 2
..
9 9 9 2 9 27
A SCD S ACD S ABCD S ABCD
a
VV V V= = = = =
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi
V
′
là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của
các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số
V
V
′
.
A.
8
.
27
V
V
′
=
B.
23
.
27
V
V
′
=
C.
1
.
27
V
V
′
=
D.
4
.
27
V
V
′
=
Lời giải
Gọi M là trung điểm AC; E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC,
ACD. Trong tam giác MBD có
1
.
3
EF BD=
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng
1
3
cạnh của
tứ diện ban đầu. Do đó
3
11
.
3 27
V
V
′

= =


Chọn C.
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và
6, 9, 3.AB a AC a AD a= = =
Gọi M, N,
P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.
A.
2
8.
Va=
B.
2
4.Va=
C.
2
6.
Va=
D.
2
2.Va
=
Lời giải
Ta có:
3
1
. . 27 .
6
ABCD
V AB AC AD a= =
Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.
Suy ra
3
1 27
.
44
AEFG ABCD
VV a= =
Do M, N, P là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.
Nên ta có:
2
.
3
AM AN AP
AE AF AG
= = =
Lại có:
.
.
8
.. .
27
A MNP
A EFG
V
AM AN AP
V AE AF AG
= =
3
..
8
. 2.
27
A MNP A EFG
V Va → = =
Chọn D.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm của cạnh
SB và N thuộc cạnh SC sao cho
2.NS NC=
Tính thể tích V của khối chóp A.BMNC.
A.
15.V =
B.
5.V =
C.
10.
V =
D.
6.V =
Lời giải
Từ giả thiết, ta có
2
3
SN
SC
=
và
1
2
SM
SB
=
.
Thể tích khối chóp
.
1
.9.5 15
3
S ABC
V
= =
Ta có
.
.
.
12
. 10.
33
S AMN
ABMNC S ABC
S ABC
V
SM SN
VV
V SB SC
= =⇒= =
Chọn C.
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có
3, 4, 5SA SB SC
= = =
và
60 .ASB BSC CSA= = = °
Tính thể tích V của
khối chóp đã cho.
A.
5 2.V =
B.
5 3.
V
=
C.
10.V =
D.
15.V =
Lời giải
Trên SB, SC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho
3.SE SF= =
.
Khi đó S.AEF là khối tứ diện đều có cạnh
3a =
.
Suy ra thể tích khối chóp S.AEF là
3
.
2 92
.
12 4
S AEF
a
V = =
Ta có:
.
.
33 9
. ..
4 5 20
S ABC
S AEF
V
SE SF
V SB SC
= = =
.
.
20
. 5 2.
9
S S AEFABC
VV → = =
Chọn A.
Ví dụ 8: Cho tứ diện đều cạnh ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC
và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng
( )
MNE
chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện,
trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V
A.
3
72
216
a
V =
B.
3
11 2
216
a
V =
C.
3
13 2
216
a
V =
D.
3
2
18
a
V =
Lời giải
Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là
3
2
12
ABCD
a
V
=
Gọi
P EN CD= ∩
và
Q EM AD
= ∩
.
⇒
P, Q lần lượt là trọng tâm của
BCE
∆
và
ABE
∆
Gọi S là diện tích tam giác BCD
.
CDE BNE
SSS
∆∆
⇒==
Ta có:
1
..
33
∆∆
= =
PDE CDE
S
SS
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, suy ra
( ) (
)
; ;; .
23
hh
d M BCD d Q BCD= =


Khi đó
( )
(
)
.
1.
.;
36
M BNE BNE
Sh
V S d M BCD
∆
= =
;
Và
( )
( )
.
1.
.;
3 27
Q PDE PDE
Sh
V S d Q BCD
∆
= =
Suy ra
. ..
. .7.7.7
. ..
6 27 54 18 3 18
PQD NMB M BNE Q PDE ABCD
Sh Sh Sh Sh
V VV V= − =−= = =
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là
33
.
11 2 11 2
.
18 12 216
ABCD PQD NMB
aa
VV V=−= =
. Chọn B.
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
2, 1.AD BA BC
= = =
Cạnh
bên SA vuông góc với đáy và
2SA =
. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính thể tích V của
khối đa diện SAHCD.
A.
22
.
3
V =
B.
42
.
9
V
=
C.
42
.
3
V =
D.
22
.
9
V =
Lời giải
Tam giác vuông SAB, có
22
3SB SA AB= +=
Gọi M là trung điểm của AD
⇒
ABCM là hình vuông nên
.
2
AD
CM AB a= = =
→
Tam giác ACD vuông tại C.
Ta có
. ..
= +
S AHCD S ACD S AHC
V VV
•
..
1 11 2
.
3 32 3
S ACD ACD
V S SA AD AB SA
∆

= = =


•
2
.
..
2
.
2 22
3 39
S AHC
S AHC S ABC
S ABC
V
SH SA
VV
V SB
SB
===⇒= =
Vậy
.
2 2 42
.
39 9
S AHCD
V
=+=
Chọn B
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA a=
vuông góc với mặt phẳng
đáy
( )
ABCD
. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho
SM
k
SA
=
. Xác định k sao cho mặt phẳng
( )
MBC
chia khối
chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau.
A.
13
.
2
k
−+
=
B.
15
.
2
k
−+
=
C.
12
.
2
k
−+
=
D.
15
.
4
k
+
=
Lời giải
Cách 1. Kẻ
( )
// .
SN SM
AD N SD k
SD SA
MN ∈ → = =
Khi đó mặt phẳng
( )
MBC
chia khối chóp thành hai phần là S.MBCN và AMBDNC.
Ta có
. ..
.
S MBCN S MBC S MCN
V VV= +
•
.
..
.
..
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
V
SM
k V kV
V SA
==⇒=
•
22
.
..
.
. ..
S MCN
S MCN S ACD
S ACD
V
SM SN
k V kV
V SA SD
= =⇒=
Lại có
2
. . ...
11
. ...
22
S MBCN S ABCD S ABC S ACD S ABCD
V V kV k V V= ⇒+ =
22
..
.
1
...
15
1
2 222
.
S ABCD S ABCD
S ABCD
VV
kk V k kk⇒ + = → + = ⇒
−+
=
Cách 2: Với
11
; 1; 1;
SA SB SC SD
SM k SB SC SN k
= = = =
Áp dụng công thức, ta được
2
.
.
1
2. 2
1 15
.
11
22 2
4. .
1
S MBCN
S ABCD
V
k
k
k
V
kk
+
−+
= = =⇒=
+
Chọn B.
Ví dụ 11: Cho hình chóp đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt
phẳng
( )
MNC
chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là
12
,VV
với
12
VV<
. Tính tỉ số
thể tích
1
2
V
V
.
A.
1
2
5
7
V
V
=
B.
1
2
5
11
V
V
=
C.
1
2
5
9
V
V
=
D.
1
2
5
13
V
V
=
Lời giải
Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối
chóp S.ABCD. Khi đó
.
1
..
3
S ABCD
V Sh
=
Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F.
Tam giác SBM có A, N lần lượt là trung điểm của BM và
SB. Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.
Vì ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC.
Ta có
..BNC AEF ABCEN E ACF
V VV= +
•
.
..
.
21 1 1
.
32 3 3
S ENC
S ENC S ABC
S ABC
V
SE SN
VV
V SA SB
= = × = → =
. ..
2 21 1
.
3 32 3
ABCEN S ABC S ABCD S ABCD
VV V V

→ = = =


•
( )
( )
..
1 11 1 1
. ; .. . .
3 3 4 3 12
E ACF ACF S ABCD
V S d E ACF S h V
∆
= = =
Do đó
. . . . .1
11 5
. ..
3 12 12
BNC AEF ABCEN E ACF S ABCD S ABCD S ABCD
V VV V V V V
= += + = =
Suy ra
1
2.
2
75
..
12 7
S ABCD
V
VV
V
= → =
Chọn A.
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABC có
1, 2, 3, 60 , 90 , 120 .SA SB SC ASB ASC CSB== = =°=°=°
Thể tích của
khối chóp S.ABC bằng?
A.
2
.
4
B.
2
.
2
C.
2
D.
2
.
6
Lời giải
Kí hiệu như hình vẽ với
1SA SP SK= = = ⇒
Hình chiếu vuông góc
H hạ từ S xuống
( )
APK
trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
APK∆
.
Ta có
1, 2AP AK= =
Gọi H là trung điểm của cạnh PK
33
sin 60 2 3
22
HP
HP PK HP
SP
⇒ °= = ⇒ = ⇒ = =
Như vậy
22 2
12AP AK PK AP AK+ =+= ⇒ ⊥
⇒
H là tâm đường tròn ngoại tiếp
APK∆
( )
.SH APK⇒⊥
Cạnh
22
31
1
42
SH SP HP= − = −=
.
1 1 1 111 2
. . . . . .1. 2
3 3 2 3 2 2 12
S APK APK
V SH S SH AP AK
⇒= = = =
.
Ta có:
.
..
.
11 2
. . 1. . 6 .
23 2
S APK
S ABC S APK
S ABC
V
SA SP SK
VV
V SA SB SC
= =⇒= =
Chọn B.
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, với
2.
AC a=
Cạnh
SA a=
và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC, mặt phẳng
(
)
α
qua A, G và song song
với BC cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Tính theo a thể tích V của khối chóp A.BCNM
A.
3
5
.
54
a
V =
B.
3
5
.
27
a
V
=
C.
3
2
.
27
a
V =
D.
3
.
18
a
V =
Lời giải
Ta có
.
.
. . ..
S AMN
S ABC
V
SA SM SN SM SN
V SA SB SC SB SC
= =
Bài ra có:
2
// .
3
SM SN SG
MN BC
SB SC GP
⇒===
.
..
.
44
99
S AMN
S AMN S ABC
S ABC
V
VV
V
⇒ =⇒=
. .. .
5
.
9
A BCNM S ABC S AMN S ABC
V VV V
⇒ =−=
Tam giác ABC vuông cân tại B, với
2.AC a=
2
AC
AB BC a⇒== =
33
2
. ..
1 11 5 5
.. .
3 3 2 6 9 54
S ABC ABC A BCNM S ABC
aa
V SA S a a V V⇒= = =⇒ = =
Chọn A.
Ví dụ 14: Cho hình chóp
S.ABCD
, trên cạnh
SA
lấy điểm
M
sao cho
SM AM=
. Mặt phẳng
( )
α
đi qua
M
và song song với mặt phẳng đáy cắt SB, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Kí hiệu
1
V
và
2
V
lần lượt là thể tích của
khối chóp S.MNPQ và S.ABCD. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
1
2
1
.
16
V
V
=
B.
1
2
1
.
8
V
V
=
C.
1
2
1
.
4
V
V
=
D.
1
2
1
.
24
V
V
=
Lời giải
Ta có N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SC, SD.
Tỉ số
.
.
111 1
. . .. .
222 8
S MNP
S ABC
V
SM SN SP
V SA SB SC
= = =
Tỉ số
.
.
111 1
. . .. .
222 8
S MPQ
S ACD
V
SM SP SQ
V SA SC SD
= = =
. .. . .
11 1
88 8
S MNPQ S MNP S MPQ S ABC S ACD SABCD
V VV V V V⇒ =+= + =
1
12
2
11
88
V
VV
V
⇒= ⇒ =
Hoặc áp dụng công thức
2
1
2
1
8
V
SM
V SA

= =


. Chọn B
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với
, 3.AB a AD a
= =
Cạnh
2SA a=
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng
( )
α
qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại H,
I, K. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AHIK.
A.
3
43
.
35
a
V =
B.
3
63
.
35
a
V =
C.
3
83
.
35
a
V =
D.
3
12 3
.
35
a
V
=
Lời giải
Ta có
( )
,.SC AHIK SC AI SC AH AH SC⊥ ⇒⊥ ⊥ ⇒ ⊥
Lại có
( )
.
BC AB
BC SAB BC AH AH BC
BC SA
⊥
⇒⊥ ⇒⊥ ⇒ ⊥
⊥
Như vậy
( )
,
AH SC
AH SBC AH SB
AH BC
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
tương tự
thì
.AK SD⊥
Cạnh
2 2 22
45SB SA AB a a a= + = +=
22
44 5
4
55
SA a a SB
SH
SB SH
a
⇒= = =⇒ =
Mà
2SA a SA AC SAC= ⇒ = ⇒∆
vuông cân tại A
⇒
I là trung điểm của cạnh
2.
SC
SC
SI
⇒=
Do đó
7
.
4
SA SC SB SD SD
SA SI SH SK SK
+=+⇒=
Áp dụng công thức, ta được:
.
.
57
12
12
44
.
57
35
4.1. .2.
44
S AHIK
S ABCD
V
V
+ ++
= =
Do đó
3
.
12 1 4 8 3
. . .2 . . 3 .
35 3 35 35
S AHIK ABCD
a
V SAS aaa
= = =
Chọn C.
Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC có
6, 2, 4, 2 10
SA SB SC AB= = = =
và
90 , 120 .SBC ASC=°=°
Mặt
phẳng
( )
P
đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với mặt phẳng
( )
SAC
, cắt cạnh SA tại
M. Tính tỉ số thể tích
.
.
.
S BMN
S ABC
V
k
V
=
A.
2
9
k =
B.
2
5
k
=
C.
1
6
k =
D.
1
4
k =
Lời giải
Gọi D thuộc SA sao cho
3. 2.SA SD SD= ⇒=
Xét
SBC∆
vuông tại B, có
1
cos 60 .
2
SB
BSC BSC
SC
==⇒=°
Và
222
AB SA SB SAB= + ⇒∆
vuông tại S
90ASB⇒=°
Xét tứ diện S.BND có
90 , 60 , 120DSB BSN DSN=°=°=°
22 2
BD BN DN BDN⇒ + = ⇒∆
vuông tại B
Mà
SB SN SD= = ⇒
hình chiếu của S trên mặt phẳng
( )
BDN
trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.
Gọi H là trung điểm
( ) ( ) ( )
DN SH BDN SDN BDN⇒⊥ ⇒ ⊥
Hay
( ) ( ) (
) ( )
.BDN SAC mp P BDN M D⊥ ⇒ ≡ ⇒≡
Vậy
.
.
11 1
. ..
23 6
S BMN
S ABC
V
SN SM
k
V SC SD
= = = =
Chọn C.
Ví dụ 17: Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và
2,AB a=
4.AC AD a= =
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên BC và BD. Thể tích của khối tứ diện ABHK là
A.
3
16
75
a
B.
3
32
75
a
C.
3
2
3
a
D.
3
3
2
a
Lời giải
Ta có
( ) ( )
22
22
2 4 25
BD AB AD a a a= += + =
Và
2
2
2
21
..
5
25
BK AB a
AB BK BD
BD BD
a


= ⇒= = =




Tương tự, được
1
.
5
BH
BC
=
Lại có
3
..
1 16
.4 .4 .2 .
63
B ACD D ABC
a
V V aaa= = =
Vậy
33
.
.
1 1 1 1 16 16
.. . .
5 5 25 25 3 75
B AKH
ABHK
B ACD
V
BK BH a a
V
V BD BC
= ==⇒= =
Chọn A.
Ví dụ 18: Cho hình hộp S.ABC có
2SC a=
và
( )
SC ABC⊥
. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có
2AB a=
. Mặt phẳng
( )
α
đi qua C và vuông góc với SA,
( )
α
cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích
khối chóp S.CDE
A.
3
4
9
a
B.
3
2
3
a
C.
3
2
9
a
D.
3
3
a
Lời giải
Ta có
( )
SC AB
AB SBC CE AB
BC AB
⊥
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Mà
( )
SA SA CE
α
⊥ ⇒⊥
suy ra
( )
CE SAB CE SB⊥ ⇒⊥
Tam giác ABC vuông cân tại B
22AC AB a⇒= =
Suy ra
SC AC SAC
= ⇒∆
cân tại C
1
.
2
SD
SD DA
SA
⇒=⇔ =
Tam giác SBC vuông tại C, có
22
. 23
.
3
SC BC a
CE
SC BC
= =
+
Do đó
22
26 26 2
:6 .
3 33
a SE a
SE SC CE a
SB
= − = → = =
Khi đó
23
.
.
.
1 11 2
. .. .
3 33 2 9
S CDE
S CDE
S CAB
V
SD SE AB a
V SC
V SA SB
= =⇒= =
Chọn C.
Ví dụ 19: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc. Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm các đoạn thẳng BC, CD, BD. Biết rằng
4, 6, 7.AB a AC a AD a= = =
Tính thể tích của khối tứ
diện AMNP.
A.
3
7Va=
B.
3
28Va
=
C.
3
14
Va=
D.
3
21Va
=
Lời giải
Tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc
3
1
. . 28
6
ABCD
V AB AC AD a → = =
Ta có
1
,
4
MNP BCD
SS
∆∆
=
suy ra
3
.
1
7.
4
AMNP A BCD
VVa
= =
Chọn A.
Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB và G là trọng
tâm của tam giác SBC. Gọi
,VV
′
lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD. Tính tỉ số
V
V
′
A.
3
2
V
V
=
′
B.
4
3
V
V
=
′
C.
5
3
V
V
=
′
D.
2
3
V
V
=
′
Lời giải
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M và G trên
( )
mp ABCD
Suy ra
3
// .
2
MH CM
MH GK
GK CG
→ = =
Ta có
1
1
.
33
3
2
..
11
22
.
32
ABC
ABCD
ABD ABCD
MH S
S
V
V
GK S S
∆
∆
= = =
′
Chọn D
Ví dụ 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho
2
IS IC=
.
Mặt phẳng
(
)
P
chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi
,VV
′
lần lượt là thể tích khối chóp
S.AMIN và S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích
V
V
′
A.
4
5
B.
5
54
C.
8
15
D.
5
24
Lời giải
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.
Gọi
,H SK AI= ∩
qua H kẻ
//
d BD
cắt SB, SD tại M, N.
Xét tam giác SAC, có
14
.. 1 .
45
IS AC OH OH SH
IC OC SH SC SC
=⇒ =⇒=
Mà
4
//
5
SM SN SH
MN BD
SB SD SO
→ = = =
Ta có
..
..
21
.. .
33
S AMI S AMI
S ABC S ABCD
VV
SM SI SM SM
V SB SC SB V SB
= =⇒=
Và
..
..
21
.. .
33
S ANI S ANI
S ACD S ABCD
VV
SN SI SN SN
V SD SC SD V SD
= =⇒=
Suy ra
1 144 8
..
3 3 5 5 15
V SM SN
V SB SD
′

= + = +=


Chọn C.
Ví dụ 22: Cho điểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của khối chóp tam giác S.ABC sao cho
1
; 2.
2
SM SN
MA NB
= =
Mặt phẳng
( )
α
đi qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi
1
V
là
thể tích của khối đa diện chứa A,
2
V
là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
?
A.
1
2
4
5
V
V
=
B.
1
2
5
4
V
V
=
C.
1
2
5
6
V
V
=
D.
1
2
6
5
V
V
=
Lời giải
Kẻ
(
)
// ,NP SC P BC
∈
kẻ
(
)
// .
MQ SC Q SC
∈
Khi đó, mặt phẳng
( )
α
cắt hình chóp theo thiết diện là MNPQ.
Vì
21
// ; // .
33
CP CQ
NP SC MQ SC
CB CA
⇒= ⇒=
Ta có
12 2 2
.. .
33 9 9
CPQ
CPQ ABC
CBA
S
CP CQ
SS
S CB CA
∆
∆∆
∆
= ==⇒=
Và
( )
( )
( )
( )
..
1 22
; .; .
3 27 27
N CPQ S ABC
V
d N ABC d S ABC V V= ⇒= =
Lại có
22 4 5
.. .
33 9 9
AMQ
SMQC SAC
ASC
S
AM AQ
SS
S SA AC
∆
∆
∆
= ==⇒=
Và
(
)
(
)
( )
(
)
..
2 10 10
; .; .
3 27 27
N SMQC S ABC
d N SAC d B SAC V V V= ⇒= =
Do đó
2 .. 1
2 10 4 5
.
27 27 9 9
SCMNPQ N CPQ N SMQC
V VV
VV V V V V= = + = + = ⇒=
Vậy
1
2
54 5
:.
994
V
VV
V
= =
Chọn B
Ví dụ 23: Thị xã Từ Sơn xây dựng một ngọn tháp đèn lộng lẫy hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên
12
SA m=
và
30ASB = °
. Người ta cần mắc một đường dây điện từ điểm A đến trung điểm K của SA gồm
AE, EF, FH, HK như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí người ta cần thiết kế được chiều dài con đường từ A đến
K là ngắn nhất. Tính tỉ số
HF HK
k
EA EF
+
=
+
A.
3
4
k =
B.
1
2
k =
C.
1
3
k =
D.
2
3
k =
Lời giải
Giả sử ngọn tháp được làm bằng bìa nên ta cắt được ngọn tháp
theo các đường SA, AB, BC, CD, DA. Và trải các mặt bên SAB,
SBC, SCD, SDA lên cùng một mặt phẳng.
Vì
30ASB BSC CSA DSA
= = = = °
nên khi trải ra mặt phẳng
ta thu được một tam giác cân SAA có góc ở đỉnh
4.30 120
S
= °= °
như hình vẽ bên.
Để độ dài đoạn gấp khúc
AE EF FH HK
+++
nhỏ nhất khi
và chỉ khi A, E, F, H, K thẳng hàng.
Vì K là trung điểm của
SA F SC AK F⇒= ∩ ⇒
là trọng tâm của tam giác SAA
Vậy tỉ số
1
.
2
HF HK FK
k
EA EF AF
+
= = =
+
Chọn B.
Ví dụ 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V. Gọi M là một điểm trên
cạnh AB sao cho
,0 1.
MA
xx
MB
= <<
Biết rằng mặt phẳng
( )
α
qua M và song song với
( )
SBC
chia khối
chóp S.ABCD thành hai phần trong đó phần chứa điểm A có thể tích bằng
4
27
V
. Tính giá trị của biểu thức
1
1
x
P
x
−
=
+
.
A.
1
2
B.
1
5
C.
1
3
D.
3
5
Lời giải
Kẻ
( )
( ) (
)
// , // , // .MN BC N CD NP SC P SD MQ SB Q SA∈∈∈
( )
mp
α
⇒
cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là MNPQ.
Ta có
1
MA AQ ND SQ SP
xx
AB SA CD SA SD
= = =⇒==−
Mặt khác
AMN ADN∆=∆
2
.. . .
..
22
Q AMN P ADN S AMN S AMND
xx
V V xV V V⇒== = =
Và
(
)
( )
2
..
1
1.
2
N APQ N SAD
xx
V x xV V
−
= −× =
Do đó
....AQM DPN Q AMN P AND N APQ
V V VV= ++
23
34
2 27
xx
VV
−
= ×=
32
81
x3 0
27 3
xx⇒ − + =⇒=
. Vậy
1
3
11
.
12
x
x
P
x
=
−

= =

+

Chọn A.
Ví dụ 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E
sao cho
2.
SE EC=
Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD.
A.
2
.
3
V
=
B.
1
.
6
V =
C.
1
.
3
V =
D.
4
.
3
V =
Lời giải
Ta có
.
..
.
2 2 21 1 1
. .1 .
3 3 32 3 3
S EBD
S EBD S BCD ABCD
S BCD
V
SE
VV S
V SC
==⇒= = ==
Chọn C.
Ví dụ 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là
trung điểm của BC. Mặt phẳng
( )
P
đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F. Biết
..
1
4
S AEF S ABC
VV=
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A.
3
2
a
V =
B.
3
8
a
V
=
C.
3
2
5
a
V =
D.
3
12
a
V
=
Lời giải
Dựng
,AH SM⊥
dựng đường thẳng qua H song song với BC cắt SB,
SC lần lượt tại E, F.
Khi đó
( )
// .EF BC SM mp AEF SM⊥⇒ ⊥
Lại có:
..
11
.
42
S AEF S ABC
SE SF SH
VV
SB SC SM
= ⇒== =
Do đó
SAM∆
vuông cân tại
3
2
a
A SA SM⇒= =
Vậy
3
.
1
.. .
38
S ABC ABC
a
V SA S= =
Chọn B.
Ví dụ 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC.
Điểm N thuộc cạnh SB sao cho
.
SN
k
SB
=
Mặt phẳng
( )
MNP
cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác MNPQ.
Biết rằng
.
.
2
,
15
S MNPQ
S ABCD
V
V
=
giá trị của k là:
A.
12
;.
33
k

∈


B.
12
;.
35
k

∈


C.
22
;.
35
k

∈


D.
32
;.
55
k

∈


Lời giải
Ta có
; ; ;.
SM SN SP SQ
x yzt
SA SB SC SD
= = = =
Ta có:
1
z.
2
x = =
mà
1111
4.
xz yt
++ +=
Áp dụng công thức nhanh ta có:
.
.
1111 2
. .2.4 .
4 16 15
S MNPQ
S ABCD
V
xyzt yt
V xz yt

= +++ = =


4
4
4
15
16
15
4
15
15
yt
yt
yt
yt
yt
yt
+
=
=

⇔=⇒ ⇔


=
=
Khi đó y, t là nghiệm của phương trình
2
2
16 4 2 2
3
0 ;.
2
15 15 5 3
5
X
XX k
X
=

− + = ⇒ ⇒∈


=
Chọn C
Ví dụ 28: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
1, 2,AB AD SA= =
vuông góc với mặt
phẳng đáy
( )
ABCD
và
2SA =
. Điểm M trên cạnh SA sao cho
( )
MBC
chia khối chóp S.ABCD thành hai
phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích S của tam giác MAC.
A.
35 5
.
2
S
−
=
B.
5
.
2
S
=
C.
5
.
3
S =
D.
55
.
4
S
−
=
Lời giải
Qua M kẻ đường thẳng
// ,d BC
cắt SD tại
( )
N N MBC⇒∈
Đặt
SA SD
kk
SM SN
=⇒=
Khi đó
.
2
.
1
2
4. . . .
S MBCN
S ABCD
SA SB SC SD
V
k
SM SB SC SN
SA SB SC SD
V
k
SM SB SC SN
+++
+
= =
Theo bài:
.
2
.
1 11 1 5
35
2 22
2
S MBCN
S ABCD
V
k
k MA
V
k
++
=⇒ =⇔= ⇒ =−
Diện tích tam giác MAC là
( )
1 1 35 5
. .3 5. 5 .
22 2
S MA AC
−
= =−=
Chọn A.
Ví dụ 29: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M thuộc cạnh SA, P thuộc cạnh SC sao
cho
2 ,.SM AM SP PC= =
Mặt phẳng
( )
α
chứa MP, chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi
1
V
, V lần lượt là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và thể tích khối chóp S.ABCD. Giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
1
V
V
là
A.
5
12
B.
1
25
C.
1
15
D.
2
25
Lời giải
Giả sử mặt phẳng
( )
α
chứa MP, cắt đường thẳng SB, SD lần lượt tại N, Q.
Khi đó
3 2 5.
SA SC SB SD
xy xy
SM SP SN SQ
+ = + ⇔+=+⇔+=
Và
.
.
5 55
4.3. .2.y 24 12
4. . . .
S MNPQ
S ABCD
SA SB SC SD
V
xy xy
SM SN SP SQ
SA SB SC SD
V x xy xy
SM SN SP SQ
+++
++ ++
= = = =
Ta có
( )
2
5 51
4 25 12 75
12 75 15
xy x y xy
xy
≤ + = ⇔ ≤ → ≥ =
Vậy tỉ số
1
V
V
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1
15
. Chọn C.
Ví dụ 30: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là điểm thuộc cạnh SB, N là điểm
thuộc cạnh SD sao cho
3 , 2.
SB BM SN ND= =
Mặt phẳng
( )
AMN
chia khối chóp S.ABCD thành hai khối
đa diện. Gọi
1
V
,
2
V
lần lượt là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và đỉnh C. Tính tỉ số
1
2
V
V
A.
2
3
B.
2
C.
1
3
D.
1
2
Lời giải
Giả sử mặt phẳng
( )
AMN
cắt đường thẳng SC tại P.
Khi đó
33
12
22
SA SC SB SD SC SC
SA SP SM SN SP SP
+= +⇔+=+⇔=
Và
.
.1
.
33
12
61
22
3
33
18 3
4. . . . 4.1. .2.
22
S AMPN
S ABCD
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SM SP SN
VV
SA SB SC SD
V
SA SM SP SN
+ ++
+ ++
= = ==⇒=
Mà
1
. . . 12 1 2 1
2
1
32 .
2
S ABCD S AMPN AMPN BCD
V
V V V VV V V V
V
= + =+= ⇔= ⇔ =
Chọn D.
Dạng 2: Tỉ số thể tích khối lăng trụ
Ví dụ 1: Gọi V là thể tích của hình lập phương
1
.,
ABCD A B C D V
′′′′
là thể tích tứ diện
A ABD
′
. Hệ thức nào
sau đây đúng?
A.
1
6VV
=
B.
1
4VV=
C.
1
3VV=
D.
1
2VV
=
Lời giải
Ta có
.
ABCD
V S AA
′
=
và
1
1
.
3
ABD
V S AA
∆
′
=
Mà
1
1
6
2
ABD ABCD
V
SS
V
∆
= → =
Suy ra
1
6VV=
. Chọn A.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
. Gọi D là trung điểm của AC. Tính tỉ số thể tích khối tứ diện
B BAD
′
và thể tích khối lăng trụ đã cho.
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
12
D.
1
3
Lời giải
Ta có
.
.
ABC A B C ABC
V S BB
′′′
∆
′
=
và
1
..
3
B BAD BAD
V S BB
′
∆
′
=
Mà
.
11
.
26
B BAD
BAD ABC
ABC A B C
V
SS k
V
′
∆∆
′′′
= → = =
Chọn B.
Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song
với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng
( )
A MN
′
chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính
tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng.
A.
2
3
B.
4
23
C.
4
9
D.
4
27
Lời giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gọi E là trung điểm của BC
2
3
AG
AE
⇒=
Qua G kẻ đường thẳng
// ,
d BC
cắt AB, AC lần lượt tại M, N.
2
3
AM AN AG
AB AC AE
⇒===
(định lí Talet)
2
4
3
2
9
3
AMN ABC
AM AB
SS
AN AC
∆∆
=
⇒ ⇒=
=
(1).
Ta có
.
.'
ABC A B C ABC
V S AA
′′′
∆
=
và
.
1
.'
3
A AMN AMN
V S AA
′
∆
=
(2).
Từ (1) và (2)
. ., .
4 23
27 27
A AMN ABC A B C BMNC A B C ABC A B C
VVV V
′ ′′′ ′′′ ′′′
⇒= ⇒ =
Vậy tỉ số cần tìm là
4 23 4
:.
27 27 23
=
Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
2 2.AC =
Biết
AC
′
tạo với mặt phẳng
( )
ABC
một góc
60°
và
4AC
′
=
. Tính thể tích của khối đa diện
ABCC B
′′
.
A.
83
3
B.
3
3
C.
23
D.
16 3
3
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng
( )
ABC
′′′
.
Suy ra
HC
′
là hình chiếu của
AC
′
trên mặt phẳng
( )
ABC
′′′
.
Do đó
( )
( )
(
)
; ; 60
AC ABC AC HC AHC
′ ′′ ′
= = = °
Tam giác
AHC
′
, có
sin 2 3AH AC AC H
′′
= =
Diện tích tam giác
2
4
2
ABC
AC
S
∆
= =
Suy ra
.
. 83
ABC A B C ABC
V S AH
′′′
∆
= =
Ta có
..
1 1 83
..
3 33
AABC ABC ABC ABC
V S AH V
′′′ ′′′ ′′′
∆
= = =
Suy ra
..
16 3
3
ABCC B ABC A B C A A B C
VV V
′′ ′′′ ′′′
= −=
. Chọn D.
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
có thể tích V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
,,
AC AB AD
′′
sao cho
2, 3 , 4 .AM AC AN AB AP AD
′′
= = =
Tính thể tích của khối tứ diện
AMNP
theo V.
A.
8
AMNP
VV
=
B.
4
AMNP
VV=
C.
6
AMNP
VV=
D.
12
AMNP
VV=
Lời giải
Ta có
( )
.
AB D C AA B D CC B D D DAC B BAC
VV V V V V
′′′ ′′′ ′′′ ′ ′
= + + ++
Mà
.
6
AA B D CC B D D DAC B BAC
V
V V VV
′′′ ′′′ ′ ′
= = = =
Suy ra
.
3
AB D C
V
V
′′′
=
Từ gia thiết, ta có
111
;;.
324
AB AC AD
AN AM AP
′′
= = =
Ta có
.
.
1
.. .
24
ABDC
A NPM
V
AB AD AC
V AN AP AM
′′′
′′
= =
..
24 24. 8 .
3
A NPM A B D C
V
VV V
′′′
→ = = =
Chọn A.
Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt
đối diện) có thể tích bằng
1
3
của khối lăng trụ tam giác.
Ví dụ 6:
Cho lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′′′
có góc giữa hai mặt phẳng
( )
A BC
′
và
( )
ABC
bằng
30°
.
Điểm M nằm trên cạnh
AA
′
. Biết cạnh
3,AB a=
thể tích khối đa diện
MBCC B
′′
bằng
A.
3
3
.
4
a
B.
3
33
.
2
a
C.
3
32
.
4
a
D.
3
2
.
3
a
Lời giải
Gọi V là thể tích khối lăng trụ
.
ABC A B C
′′′
.
Do
.. .
2
//
33
M BCB C A BCC B A ABC
VV
AA BB V V V V V
′′ ′ ′′ ′
′′
⇒ = =− =−=
Dựng
AH BC⊥
mà
( )
AA BC BC A HA
′′
⊥⇒⊥
Do đó
( ) (
)
33
; 30 .
22
AB a
A BC ABC A HA AH
′′
= = °⇒ = =
Khi đó
3
39
.tan 30 . .
28
ABC
aa
AA AH V AA S
∆
′′
= °= ⇒ = =
Vậy thể tích cần tính là
3
.
3
2.
34
M BCC B
Va
V
′′
= =
Chọn A.
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
,,AA BB CC
′′′
sao cho
12
;.
23
AM BN CP
AA BB CC
= = =
′ ′′
Tính thể tích của khối đa diện
.ABC MNP
A.
2
3
VV
′
=
B.
9
16
VV
′
=
C.
20
27
VV
′
=
D.
11
18
VV
′
=
Lời giải
Công thức giải nhanh
.
3
ABC MNP
mnp
VV
++

=


với
,, .
AM BN CP
mnp
AA BB CC
= = =
′′ ′
Áp dụng với:
122
;; ,
23 3
mnp= = =
ta được
.
11
18
ABC MNP
VV=
. Chọn D.
Ví dụ 8: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cạnh 2a, gọi M là trung điểm của
BB
′
và P thuộc cạnh
DD
′
sao cho
1
4
DP DD
′
=
. Mặt phẳng
( )
AMP
cắt
CC
′
tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng
A.
3
2Va=
B.
3
3Va=
C.
3
11
3
a
V =
D.
3
9
4
a
V
=
Lời giải
Áp dụng công thức tính nhanh, ta được
( )
3
3
.
1 111 3 3
. .2 3
2 224 8 8
ABCD A B C D
AMNPBCD
AMNPBCD
V
BM DP
V aa
V BB DD
′′′′

= + = + = → = =

′′

. Chọn B
Ví dụ 9: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′′′
. Gọi M là điểm thuộc
CC
′
thỏa mãn
4CC CM
′
=
. Mặt phẳng
( )
AB M
′
chia khối hộp thành hai phần có thể tích là
1
V
và
2
V
. Gọi
1
V
là phần thể tích có chứa điểm B. Tính
tỉ số
1
2
V
k
V
=
.
A.
7
32
k
=
B.
7
16
k =
C.
7
25
k
=
D.
25
32
k
=
Lời giải
Trong mặt phẳng
( )
,CDD C
′′
kẻ
// .MN C D
′
Suy ra
1
4
CN CD=
và
1
V
là khối đa diện
.ABB NCM
′
Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó
.
.
ABB NCM ABB CM MACN
V VV
′′
= +
•
.
1
01
51
4
..
3 12 2
ABB CM ABC A B C
V VV
′ ′′′
++

= =


•
..
11 1 1 1
.. .
4 4 16 3 96
MACN C ADC ADC A D C
VV V V
′ ′′′

= = =


Vậy
1
12
2
7 25 7
.
32 32 25
ABCMB MACN
V
VV V V V
V
′
= + = → = → =
Chọn C
Nhận xét: Ta có
.
11
.
44
MACN C ADC
VV
′
=
vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần
Ví dụ 10: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cạnh a. Gọi M là trung điểm của
,
AB
′′
N là trung điểm
của BC. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN.
A.
3
.
3
a
V =
B.
3
.
12
a
V =
C.
3
.
6
a
V =
D.
3
.
2
a
V
=
Lời giải
Ta có
( )
( )
.
1
.; .
3
ADMN M ADN AMD
V V d M ABCD S
∆
= =
Lại có
( )
( )
( )
( )
;;d M ABCD d A ABCD AA
′′
= =
Và
11
22
AMD ABCD ABN CDN ABCD ABCD ABCD
S SSS S S S
∆ ∆∆
=−− =− =
Do đó
3
.
11 1
.. . .
32 6 6 6
ABCD A B C D
ADMN ABCD ABCD
V
a
V AA S AA S
′′′′
′′
= = = =
Chọn C.
Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
có
, 2.AB a AD a= =
Diện tích tam giác
A DC
′
bằng
2
13
.
2
a
Tính thể tích khối chóp
.A BCC B
′ ′′
theo a.
A.
3
a
B.
3
2a
C.
3
3a
D.
3
6a
Lời giải
Ta có
( )
.
CD DD
CD ADD A CD A D
CD AD
′
⊥
′′ ′
⇒⊥ ⇒⊥
⊥
Suy ra
2
1 13
. . 13
22
A CD
a
S ADCD AD a
′
∆
′′
= = → =
Do đó
( )
( )
2
2
22
13 2 3 .AA A D AD a a a
′′
= −= − =
Thể tích của khối hộp
.ABCD A B C D
′′′′
là
3
.. 6V AA AB AD a
′
= =
.
Lại có
33
..
11
.6 2 .
33
A BCC B ABCD A B C D
V V aa
′ ′′ ′′ ′′
= = =
Chọn B.
Ví dụ 12:
Cho khối hộp
.ABCD A B C D
′′′′
. Gọi M thuộc cạnh AB sao cho
2.MB MA=
Mặt phẳng
( )
MB D
′′
chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
A.
5
.
12
B.
7
.
17
C.
13
.
41
D.
5
.
17
Lời giải
Lý thuyết bổ sung:
Cho hình chóp cụt
.ABC A B C
′′′
có chiều cao h,
1
S
là diện tích tam giác ABC,
2
S
là diện tích tam giác
.ABC
′′′
Thể tích khối chóp cụt
.ABC A B C
′′′
là
( )
1 2 12
1
3
V h S S SS= ++
Qua M kẻ đường thẳng
// ,d BD
cắt AD tại N
Suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng
( )
MB D
′′
là
MND B
′′
Khi đó
. ..ABCD ABCD AMN ABD BCD MBCDN
V VV
′′′′ ′′′ ′′′
= +
Đặt
.
;.
ABCD ABCD A B C D
AA h S S V S h
′′′′
′
= = → =
Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta có
( )
.
1
..
3
AMN ABD AMN ABD AMN ABD
V AA S S S S
′′′ ′′′ ′′′
∆ ∆ ∆∆
′
= ++
Mà
11
..
9 9 18
AMN
AMN ABD
ABD
S
AM AN S
SS
S AB AD
∆
∆∆
∆
= =⇒= =
Và
.
1 13
.
2 3 18 2 18 2 54
ABD AMN ABD
S S S SS
S Vh V
′′′ ′′′
∆

= → = + + =



Vậy tỉ số thể tích cần tính là
13 13 13
:1 .
54 54 41

−=


Chọn C.
Ví dụ 13:
Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Gọi I là trung điểm của
,BB
′
mặt phẳng
( )
DIC
′
chia
khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng
A.
3
8
B.
2
3
C.
7
.
17
D.
5
12
Lời giải
Tham khảo hình vẽ dưới đây:
Đặt
.
;.
ABCD ABCD A B C D
AA h S S V S h
′′′′
′
= = → =
Nối
IC
′
cắt BC tại F; nối FD cắt AB tại M.
Suy ra
( )
mp DIC
′
chia khối lập phương thành hai khối
.IBM C CD
′
và
.IMAA B C DD
′′ ′ ′
Vì M là trung điểm của AB mà
1
// .
2
FB
BM CD
FC
⇒=
Ta có
1 11
//
2 48
IBM BAB ABB A
IB FB
BI CC S S S
CC FC
′ ′′
∆∆
′
⇒==⇒ = =
′
Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta được
( )
.
1 17
. . . ..
3 3 8 2 8 2 24
IBM C CD IBM C CD IBM C CD
S S SS
V BC S S S S h Sh
′ ′′
∆ ∆ ∆∆

= + + = ++ =



Do đó, thể tích khối
.IMAA B C DD
′′ ′ ′
là
.
7 17
.
24 24
IMAA B C DD
V VV V
′′ ′ ′
=−=
Vậy tỉ số cần tính là
7 17 7
:.
24 24 17
=
Chọn C.
Ví dụ 14: Cho khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng
AA
′
và
BB
′
. Đường thẳng CM cắt đường thẳng
CA
′′
tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng
CB
′′
tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi
AMPBNQ
′′
bằng:
A. 1 B.
1
3
C.
1
2
D.
2
3
Lời giải
Ta có:
.. .
1 12 1
..
2 23 3
C ABNM C ABB A ABC A B C
VV V
′′ ′′′
= = =
Suy ra
. ..
12
1.
33
CMN A B C ABC A B C C ABNM
V VV
′′′ ′′′
= − =−=
Lại có
..
CCPQ CMN ABC AMPBNQ
VV V
′ ′′′ ′ ′
= +
.
2
.
3
A MPB NQ C C PQ
VV
′′ ′
⇒=−
Mà
4
CPQ ABC
SS
′ ′′′
∆
=
.. .
14
4 4. .
33
CCPQ C ABC ABC ABC
VV V
′ ′ ′′′ ′′′
⇒= = =
Vậy
422
.
333
AMPBNQ
V
′′
=−=
Chọn D.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho khối chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm
,,ABC
′′′
sao cho
11 1
,, .
33 3
SA SA SB SB SC SC
′′′
= = =
Gọi
V
và
V
′
lần lượt là thể tích của các khối chóp
.S ABC
và
.SABC
′′′
.
Tính tỉ số
V
V
′
A.
1
3
B.
1
27
C.
1
9
D.
1
6
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm canh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho
3.
SN NC=
Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp S.ABC.
A.
3
8
k =
B.
2
5
k =
C.
1
3
k =
D.
3
4
k =
Câu 3: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi
V
′
là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung
điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số
V
V
′
.
A.
1
2
V
V
′
=
B.
1
4
V
V
′
=
C.
2
3
V
V
′
=
D.
5
8
V
V
′
=
Câu 4: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, N là điểm nằm
giữa AC sao cho
2.
AN NC=
Gọi
V
′
là thể tích khối chóp S.AMN. Tính tỉ số
V
V
′
.
A.
1
3
V
V
′
=
B.
1
2
V
V
′
=
C.
1
6
V
V
′
=
D.
2
3
V
V
′
=
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V và G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD. Thể
tích khối chóp AGMC là
A.
18
V
B.
9
V
C.
6
V
D.
3
V
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
2,AC a=
SA vuông góc với đáy,
SA a=
, I thuộc cạnh SB sao cho
1
.
3
SI SB=
Tính thể tích khối chóp S.ACI.
A.
3
3
a
B.
3
6
a
C.
3
12
a
D.
3
9
a
Câu 7: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Tính
thể tích khối chóp
A.
2
V
B.
3
V
C.
4
V
D.
8
V
Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC có
3.SA a=
D thuộc cạnh SB và
.DB a=
Mặt phẳng
( )
α
đi qua AD và
song song với BC cắt SC tại E. Tính tỉ số giữa thể tích khối tứ diện SADE và thể tích khối chóp S.ABC.
A.
2
9
B.
4
9
C.
1
3
D.
1
4
Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V và điểm E trên cạnh AB sao
3.AE EB=
Tính thể tích
V
′
của
khối tứ diện EBCD theo V.
A.
2
V
V
′
=
B.
5
V
V
′
=
C.
3
V
V
′
=
D.
4
V
V
′
=
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC,
( )
,,SA ABC SA a ABC⊥=∆
vuông cân,
,
AB AC a
= =
B
′
là trung điểm của
SB,
C
′
là chân đường cao hạ từ A của
SAC∆
. Tính thể tích của khối chóp
.S AB C
′′
A.
3
9
a
B.
3
12
a
C.
3
36
a
D.
3
24
a
Câu 11: Cho khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng
(
)
α
qua AG và song song
với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Tính tỉ số của hai khối tứ diện SAIJ và S.ABC.
A.
2
9
B.
2
3
C.
4
9
D.
8
27
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
.AB a=
Đường thẳng SA vuông
góc với mặt phẳng
(
)
ABC
, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng
(
)
ABC
bằng
60°
. Tính thể tích V của
khối chóp M.ABC, với M là trung điểm của SB.
A.
3
3
.
2
a
V
=
B.
3
3
.
4
a
V =
C.
3
3
.
12
a
V
=
D.
3
3
.
6
a
V
=
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân,
,AB AC a= =
SC vuông góc với mặt
phẳng
(
)
ABC
và
.SC a=
Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB và cắt SA, SB lần lượt tại E, F. Tính thể tích
khối chóp S.CEF.
A.
3
2
12
a
B.
3
2
36
a
C.
3
36
a
D.
3
12
a
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích
khối chóp S.AHK theo V.
A.
.
1
2
S AHK
VV=
B.
.
1
4
S AHK
VV=
C.
.
1
12
S AHK
VV=
D.
.
1
6
S AHK
VV=
Câu 15: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là
3
3
a
. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Thể tích của khối
chóp G.ABCD là
A.
3
Va=
B.
3
2Va=
C.
3
1
3
Va=
D.
3
4
3
Va=
Câu 16: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M, N, O lần lượt là
trung điểm SC, SD, AC. Tính tỉ số thể tích
.
.
.
S OMN
S ABCD
V
V
A.
1
6
B.
1
4
C.
1
12
D.
1
16
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có
2SC a=
và
( )
SC ABC⊥
. Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có
2.
AB a=
Mặt phẳng
( )
α
đi qua C vuông góc với SA và cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối
chóp S.CDE.
A.
3
4
9
a
B.
3
2
3
a
C.
3
2
9
a
D.
3
9
a
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thoả mãn
2, 4, 25.AB a BC a AC a= = =
Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và
2SA a=
. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể
tích V của khối chóp S.AMN.
A.
3
2
9
a
V =
B.
3
12
a
V =
C.
3
5
2
a
V
=
D.
3
5
3
a
V =
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc
60 ,ACB = °
, 3.BC a SA a= =
Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích V của khối tứ diện MABC.
A.
3
2
a
V =
B.
3
3
a
V =
C.
3
6
a
V =
D.
3
4
a
V
=
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a,
2SA a=
và SA vuông góc với đáy
( )
ABC
.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Tính thể tích V của
khối chóp S.MNP.
A.
3
3
30
a
B.
3
3
6
a
C.
3
3
15
a
D.
3
3
10
a
Câu 21: Cho hình chóp tam giác S.ABC có
60 , 90ASB CSB ASC==°=°
.
1SA SB= =
, 3.SC =
Gọi M là
điểm trên cạnh SC sao cho
1
.
3
SM SC=
Khi đó, thể tích của khối chóp S.ABM bằng
A.
6
36
V =
B.
3
36
V =
C.
2
12
V
=
D.
2
4
V =
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có
4, 5, 6SA SB SC= = =
,
45
ASB BSC= = °
,
60 .CSA = °
Các điểm M, N, P
thỏa mãn đẳng thức
4 ; 4 ; 4.AB AM BC BN CA CP= = =
     
Tính thể tích khối chóp S.MNP.
A.
128 2
3
B.
35
8
C.
245
32
D.
35 2
8
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
( )
.SA ABC⊥
Biết
,AB a=
2,SA a=
mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC và cắt SB, SC lần lượt tại H và K. Tính thể tích V của
hình chóp S.AHK.
A.
3
8
15
a
V
=
B.
3
8
45
a
V
=
C.
3
3
15
a
V
=
D.
3
4
45
a
V =
Câu 24: (Sở GD và ĐT Bắc Giang) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
1,
AB
=
2,
AD
=
SA vuông góc với mặt phẳng đáy
( )
ABCD
và
2.SA =
Điểm M điểm trên cạnh SA sao cho mặt
phẳng
(
)
MBC
chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích S của tam giác
MAC.
A.
35 5
2
S
−
=
B.
5
2
S
=
C.
5
3
S =
D.
55
4
S
−
=
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy,
.SA a=
Mặt phẳng
( )
P
qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại
,,BCD
′′′
. Tính thể tích V
của khối đa diện
.ABCDD C B
′′′
A.
3
5
18
a
V =
B.
3
5
9
a
V
=
C.
3
5
12
a
V
=
D.
3
5
6
a
V =
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
và
.SA a
=
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng
( )
SBM
và mặt phẳng
( )
ABC
bằng
45°
. Tính thể tích khối chóp S.ABNM.
A.
3
25
8
a
B.
3
25
16
a
C.
3
25
18
a
D.
3
25
24
a
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi
,,,ABCD
′′′′
theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD.
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp
.SABCD
′′′′
và
.S ABCD
A.
1
4
B.
1
16
C.
1
8
D.
1
2
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là trung điểm của SC.
Một mặt phẳng đi qua AN cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, P. Gọi
V
′
là thể tích của khối chóp S.AMNP.
Tính giá trị nhỏ nhất của
V
T
V
′
=
A.
3
8
B.
1
3
C.
2
3
D.
1
8
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng
( )
P
chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Gọi
1
V
là thể tích của phần chứa đỉnh S và
2
V
là thể tích phần còn lại. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A.
2
9
B.
2
3
C.
1
3
D.
1
2
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tứ giác lồi với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Gọi
1
V
,
2
V
lần lượt là thể tích của khối chóp
S.ABCD và O.MNPQ. Tính tỉ số
1
2
V
V
.
A. 8 B.
27
4
C.
27
2
D. 9
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm của SB, M là điểm đối xứng với B qua A.
Mặt phẳng
( )
MNC
chia khối S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là
1
V
,
2
V
với
1
V
<
2
V
. Tính tỉ số
1
2
V
k
V
=
.
A.
5
7
k
=
B.
5
9
k
=
C.
5
11
k =
D.
5
13
k =
Câu 32: (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế 2017) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên
hình chóp tạo với đáy một góc bằng
60°
. Mặt phẳng
( )
P
chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt
SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN.
A.
3
3Va=
B.
3
3
4
Va=
C.
3
3
2
Va=
D.
3
33
2
Va=
Câu 33: Cho hình chóp đều S.ABCD có
,
SA a=
góc giữa mặt bên và mặt đáy là
60°
. Gọi M là trung điểm
SA, mặt phẳng
( )
P
đi qua CM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp
S.CEMF
A.
3
15
75
a
B.
3
15
225
a
C.
3
4 15
225
a
D.
3
4 15
75
a
Câu 34: Cho khối lăng trụ tam giác
.ABC A B C
′′′
có thể tích là
1
V
. Gọi E là trung điểm của
,AC
′′
F là giao
điểm của AE và
.AC
′
Biết khối chóp
.FABC
′′′
có thể tích là
2
V
. Tính tỉ số
2
1
V
V
A.
2
1
1
3
V
V
=
B.
2
1
1
6
V
V
=
C.
2
1
2
9
V
V
=
D.
2
1
1
9
V
V
=
Câu 35: (Sở GD&ĐT Cần Thơ 2017) Cho khối lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
và M là điểm tùy ý thuộc cạnh
bên
BB
′
. Gọi
,VV
′
lần lượt là thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
và khối chóp
..M AA C C
′′
Tính tỉ số
V
k
V
′
=
A.
2
3
k =
B.
1
6
k =
C.
5
6
k =
D.
1
3
k =
Câu 36: Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
,.AA BB
′′
Tính
thể tích V của khối đa diện
CNMA B C
′′′
.
A. 12 B. 6 C. 9 D. 15
Câu 37: Cho lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có thể tích bằng V. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối
chóp
.G A BC
′
theo V.
A.
12
V
B.
6
V
C.
5
V
D.
9
V
Câu 38: Cho hình lăng trụ
.
ABC A B C
′′′
có thể tích V. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó thể tích
khối chóp
.GABC
′′′
là
A.
3
V
B.
3V
C.
2V
D.
2
V
Câu 39: Cho khối lăng trụ tam giác
.
ABC A B C
′′′
có thể tích
0
V
. Gọi P là một điểm trên đường thẳng
AA
′
.
Tính thể tích khối chóp tứ giác
.P BCC B
′′
theo
0
V
A.
0
2
3
V
B.
0
2
V
C.
0
3
V
D.
0
4
V
Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều
.ABC A B C
′′′
có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh
,.
AB B C
′
Mặt phẳng
( )
A MN
′
cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích của khối đa diện
.MBPABN
′′
A.
3
73
32
a
B.
3
3
32
a
C.
3
73
68
a
D.
3
73
96
a
Câu 41: Cho khối lăng trụ tam giác
.ABC A B C
′′′
. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên
,AA CC
′′
sao cho
MA MA
′
=
và
4.NC NC
′
=
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện
GABC
′′′
,
BB MN
′
,
ABB C
′′
,
A BCN
′
khối nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối
A BCN
′
B. Khối
GABC
′′′
C. Khối
ABB C
′′
D. Khối
BB MN
′
Câu 42: Cho khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
có đáy ABC là tam giác vuông tại B.
2,
AB BC a= =
3.AA a
′
=
Tính thể tích V của khối chóp
.A BCC B
′′
theo a.
A.
3
43
3
a
V =
B.
3
3Va=
C.
3
23
3
a
V =
D.
3
23Va=
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
′′′
có
, 2, 2 3AB a AC a AA a
′
= = =
,
120BAC = °
. Gọi K, I lần
lượt là trung điểm của các cạnh
,.CC BB
′′
Tính thể tích V của khối tứ diện
IA BK
′
A.
3
2
a
V =
B.
3
3
6
a
V
=
C.
3
5
2
a
V =
D.
3
6
a
V =
Câu 44: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
có cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện
ACD B
′′
A.
3
1
3
Va=
B.
3
2
3
a
V =
C.
3
4
a
V =
D.
3
6
4
a
V =
Câu 45: Cho khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
. Tỉ số thể tích của khối tứ diện
A ABC
′
và khối hộp chữ
nhật
.ABCD A B C D
′′′′
bằng
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
2
D.
1
3
Câu 46: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′′′
có thể tích V. Gọi
1
V
là thể tích của tứ diện
.ACB D
′′
Tính tỉ số
1
V
V
.
A.
1
3
B.
2
3
C.
1
5
D.
4
5
Câu 47: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cạnh a. Gọi M là trung điểm của
AB
′′
và N là trung điểm
của BC. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN.
A.
3
3
a
V =
B.
3
12
a
V
=
C.
3
6
a
V =
D.
3
2
a
V =
Câu 48: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
có cạnh a.Tính thể tích của khối tứ giác
.D ABC D
′′
.
A.
3
3
a
B.
3
2
6
a
C.
3
2
3
a
D.
3
4
a
Câu 49: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Gọi M là điểm trên đường chéo
CA
′
sao cho
3MC MA
′
= −
 
Tính tỉ số giữa thể tích
1
V
của khối chóp
.M ABCD
và thể tích
2
V
của khối lập phương.
A.
1
2
1
3
V
V
=
B.
1
2
3
4
V
V
=
C.
1
2
1
9
V
V
=
D.
1
2
1
4
V
V
=
Câu 50: Cho hình hộp
.ABCD A B C D
′′′′
. Gọi M thuộc cạnh AB sao cho
2.MB MA=
Mặt phẳng
( )
MB D
′′
chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
A.
5
12
B.
7
17
C.
13
41
D.
5
17
Câu 51: Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm của tam giác
BCD
′
.
Tính thể tích V của khối chóp
GABC
′
A.
1
18
V =
B.
1
12
V =
C.
1
3
V =
D.
1
6
V =
Câu 52: Cho hình hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
. Tỉ số thể tích của khối tứ diện
A ABC
′
khối hộp chữ nhật
.ABCD A B C D
′′′′
bằng
A.
1
4
B.
1
6
C.
1
2
D.
1
3
Câu 53: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, mặt phẳng
( )
C MN
′
chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Gọi
1
V
là thể tích của khối đa diện có thể tích nhỏ
hơn,
2
V
là thể tích của khối đa diện có thể tích lớn. Tính
1
2
V
V
.
A.
1
2
1
3
V
V
=
B.
1
2
13
23
V
V
=
C.
1
2
1
2
V
V
=
D.
1
2
25
47
V
V
=
Câu 54: Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
. Gọi I là trung điểm của
BB
′
, mặt phẳng
( )
DIC
′
chia khối
lập phương thành hai phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng
A.
3
8
B.
2
3
C.
7
17
D.
5
12
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Ta có
.
.
111 1
. . .. .
333 27
S ABC
S ABC
V
SA SB SC
V SA SB SC
′′′
′′′
= = =
Chọn B
Câu 2: Ta có
13
;.
24
AMN SAN
SAN SAC
SS
AM SN
S SA S SC
∆∆
∆∆
= = = =
Suy ra
13 3
.
24 8
AMN SAC SAC
S SS
∆ ∆∆
= =
( )
(
)
( )
( )
1 31
;. ;.
3 83
AMN SAC
d B SAC S d B SAC S
∆∆
⇔=×
Chọn A
Câu 3: Kí hiệu tứ diện và các điểm như hình vẽ.
Ta có
.
.
.
1
..
88
S ABC
S ABC
S ABC
V
SA SB SC V
V
V SA SB SC
′′′
′′′
′′′
= =⇒=
Tương tự
...
8
A A MP B B MN C C NP
V
VVV
′′ ′
= = =
Do đó
(
)
. . .. .S ABC S ABC A AMP B BMN C CNP
VV V V V V
′′′ ′ ′ ′
′
=− +++
1
.
8888 2 2
VVVV V V
V
V
′

=− +++ =⇒ =


Chọn A
Câu 4: Ta có
12 1
..
23 3
AMN
ABC
S
AM AN
S AB AC
∆
∆
= = =
Lại có
( )
(
)
( )
( )
..
11
;.; ;.
33
S AMN AMN S ABC ABC
V d A ABC S V d A ABC S
∆∆
= =
Suy ra
.
.
.
1
.
33
S AMN AMN
S AMN
S ABC ABC
VS
V
V
VS
∆
∆
= = → =
Chọn A
Câu 5: Ta có
1
3
MCG
MCB
S
MG
S MB
∆
∆
= =
mà
1
2
MCB BCD
SS
∆∆
=
Suy ra
1 11 1
.
3 32 6
MCG MCB BCD BCD
SS SS
∆ ∆ ∆∆
= = =
Lại có
(
)
( )
.
1
;.
3
A GMC MGC
V d A BCD S
∆
=
( )
( )
11
.; .
63 6
BCD
V
d A BCD S
∆
= =
. Chọn C
Câu 6: Diện tích tam giác ABC là
23
2
.
1
..
4 33
ABC S ABC ABC
AC a
S a V SA S
∆∆
==⇒= =
Vậy
33
.
..
.
1 11
.
3 3 33 9
S AIC
S AIC S ABC
S ABC
V
SI a a
VV
V SB
==⇒= ==
. Chọn D
Câu 7: Ta có
.
.
.
1
.
11
3
1
3 44
.
3
MNK
S MNK
MNK ABC S MNK
S ABC
ABC
hS
V
V
SS V
V
hS
∆
∆∆
∆
= → = = ⇒ =
. Chọn C
Câu 8: Qua D kẻ đường thẳng
// ,d BC
cắt SC tại E
⇒
Mặt phẳng
( )
α
cắt khối chóp theo thiết diện là
ADE∆
Theo định lí Talet, ta có
2
3
SD SE
SB SC
= =
Do đó
.
.
22 4
. ..
33 9
S ADE
S ABC
V
SD SE
V SB SC
= = =
Chọn B
Câu 9: Ta có
( )
( )
( )
( )
.
.
1
;.
3
1
.; .
3
BCD
E BCD
A BCD
BCD
d E BCD S
V
AE
V AB
d A BCD S
∆
∆
= =
mà
.
.
11
.
44
E BCD
A BCD
V
EB
AB V
=⇒=
Chọn D
Câu 10: Tam giác SAC cân tại A mà
AC SC
′
⊥
Suy ra
C
′
là trung điểm của
1
2
SC
SC
SC
′
→ =
Tam giác ABC vuông cân tại
22
22
ABC
AB a
AS
∆
→ = =
Do đó, thể tích khối chóp
.S ABC
là
3
.
1
..
36
S ABC ABC
a
V SA S
∆
= =
Vậy
3
.
.
.
11 1
.. .
2 2 4 24
S AB C
S AB C
S ABC
V
SB SC a
V
V SB SC
′′
′′
= ==⇒=
′′
Chọn D
Câu 11: Qua G kẻ đường thẳng
// ,d BC
cắt SB, SC tại I, J.
Ta có
2
//
3
SG SI SJ
d BC
SM SB SC
⇒===
(M là trung điểm của BC)
Khi đó
.
.
22 4
. ..
33 9
S AIJ
S ABC
V
SI SJ
V SB SC
= = =
Chọn C
Câu 12: Diện tích tam giác ABC là
2
1
..
22
ABC
a
S AB BC
∆
= =
Ta có
( ) ( )
( )
; ; 60SA ABC SB ABC SB AB SBA⊥⇒ = ==°
Tam giác
SAB
vuông tại A, có
.tan 3
SA AB SBA a
= =
Suy ra thể tích khối chóp
.
S ABC
là
23
.
1 33
.. .
3 32 6
S ABC ABC
aaa
V SA S
∆
= = =
Vì M là trung điểm của
3
..
13
.
2 12
M ABC S ABC
a
SB V V → = =
Chọn C
Câu 13: Kẻ
( )
CF SB F SB⊥∈
Ta có
( )
SC AB
AB SAC
AC AB
⊥
⇒⊥
⊥
Kẻ
( )
CE SA E SA⊥∈
mà
Do đó
,,CEF
đồng phẳng
.
.
.
S CEF
S CAB
V
SE SF
V SA SB
⇒=
Tam giác
SAC
vuông cân tại
1
2
SE
C
SA
→ =
Tam giác
SBC
vuông tại
C
, có
222
111 6
3
a
CF
CF SC BC
= + ⇒=
Tam giác
SCF
vuông tại
F
, có
22
31
33
a SF
SF SC CF
SB
= − = ⇒=
Vậy
23
.
..
.
11 1 1 1
. .. .
2 3 6 6 6 3 2 36
S CEF
S CEF S ABC
S CAB
V
aa a
VV
V
==⇒= = =
Chọn C
Câu 14: Ta có
.
.
11 1
. . 1. .
22 4
S AHK
S ABC
V
SA SH SK
V SA SB SC
= = =
Do đó
..
11
.
44
S AHK S ABC
VVV
= =
Chọn B
Câu 15: Gọi M là trung điểm của
,,AB A G M
⇒
thẳng
hàng và
( )
( )
( )
(
)
1
3; ;
3
SM GM d G ABC d S ABC=⇒=
Ta có:
( )
(
)
.
1
;.
3
G ABCD ABCD
V d G ABCD S=
(
)
(
)
3
.
11 1
.; .
33 3
ABCD S ABCD
d A ABCD S V a
= = =
. Chọn A
Câu 16: Do
..
44
ABCD OCD S ABCD S OCD
S SV V=⇒=
Mặt khác
.
.
1
..
4
S OMN
S OCD
V
SO SM SN
V SO SC SD
= =
.
..
1
4 16
S OCD
S OMN S ABCD
V
VV⇒==
. Chọn D
Câu 17:
2, 2 2
BC AB a AC AB a= = = =
Do
.
AB BC
AB CE
AB SC
⊥
⇒⊥
⊥
Mặt khác
( ) ( )
CE CE SA CE SAB CE SB
α
⊂⇒⊥⇒⊥ ⇒⊥
Tam giác
SCB
vuông tại
S
có đường cao
CE
có:
22
2
2 22
4
.
6
SC SE SE SC
SC SE SB
SB SB
SB SC BC
= ⇒ =⇒= =
+
SC AC SCA= ⇒∆
vuông cân tại
C
nên
D
là trung điểm của
SA
Suy ra
.
.
41 1
.. .
62 3
S CED
S CBA
V
SC SE SD
V SC SB SA
= = =
Mặt khác
( )
2
3 33
..
1 1 1 2 12 2
. . .2 . 2 . .
3 2 2 3 33 9
S CAB ABC S CDE
V SC S a a a V a a= = =⇒= =
Chọn C
Câu 18: Ta có
22 2 2
20AB BC AC a ABC
+ = = ⇒∆
vuông tại
B
Do đó
3
2
.
1 18
.4 . .
2 33
ABC S ABC ABC
a
S AB BC a V SA S= =⇒= =
Xét tam giác
SAB
vuông tại
S
có đường cao
AM
có:
22
2
2 22
1
.
2
SA SM SM SA
SA SM SB
SB SB
SB SA AB
= ⇒=⇒= =
+
Tương tự
2
22
41
4 20 6
SN SA
SC
SA AC
= = =
+
+
Mặt khác
33
.
.
.
1 18 2
. ..
12 12 3 9
S AMN
S AMN
S ABC
V
SM SN a a
V
V SB SC
= =⇒= =
Chọn A.
Câu 19:
ABC∆
vuông tại
B
tan tan 60 3
AB BC B a⇒ = = °=
2
13
.
22
ABC
a
S AB BC= =
Gọi
H
là trung điểm của
AB MH⇒
là đường trung bình của tam
giác
( )
//
3
.
22
MH SA MH ABC
SAB
SA a
MH
⇒⊥
⇒
= =
Do đó
3
.
1
..
34
M ABC ABC
a
V MH S= =
Chọn D.
Câu 20: Xét tam giác
SAC
vuông tại
S
có đường cao
AP
có:
22
2
2 22
44
..
41 5
SA SP SP SA
SA SP SC
SC SC
SC SA AC
= ⇒ =⇒= = =
+
+
Do đó
.
.
114 1
. . ..
225 5
S MNP
S ABC
V
SM SN SP
V SA SB SC
= = =
Lại có
23
.
31 3
..
4 36
ABC S ABC ABC
aa
S V SA S=⇒= =
Suy ra
33
.
13 3
..
5 6 30
S MNP
aa
V = =
Chọn A.
Câu 21: Ta có
1SA SB SM
= = = ⇒
hình chiếu của đỉnh
S
xuống mặt phẳng
( )
ABM
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABM∆
.
Mặt khác
22
90 2.
ASC AS SM AM SA SM= °⇒ ⊥ ⇒ ⊥ + =
Các tam giác
,ASB ASM
là các tam giác đều nên
1.AB BM
= =
Suy ra
22 2
2AB BM AM ABM
+ = = ⇒∆
vuông tại
.B
Khi đó
( )
SH ABM⊥
thì
H
là trung điểm của cạnh huyền
.
AM
Ta có
22
22
.
22
AH SH SA AH
=⇒= − =
.
1 12 . 2
. .. .
3 3 2 2 12
S ABM ABM
AB BM
V SH S= = =
Chọn C.
Câu 22: Trên
SB
lấy điểm
E
sao cho
1SE =
Dựng
( )
, ,.EF SA EG SC F SA G SC⊥ ⊥ ∈∈
Khi đó
,SEF SEG∆∆
vuông cân tại
E
.
Ta có
12EF EG SF SG= =⇒==
Do
60 60CSA FSG FSG= °⇒ = °⇒∆
đều suy ra
2.FG =
Khi đó
EFG∆
vuông cân tại
11
.
22
EFG
E S EF FG⇒= =
.
11
..
36
S EFG EFG
V SE S⇒= =
Ta có
.
.
21 2 1
. . .. .
4 5 6 60
S EFG
S ABC
V
SF SE SG
V SA SB SC
= = =
Suy ra
..
60 10
S ABC S EFG
VV= =
Mặt khác
33
.
16 16
AMP
AMP ABC
ABC
S
AM AP
SS
S AB AC
= =⇒=
Tương tự
3 37
1 3.
16 16 16
AMP BMN CNP ABC MNP ABC ABC
SSS S S S S

⇒=== ⇒=− =


Suy ra
..
7 7 35
. .10 .
16 16 8
S MNP S ABC
VV
= = =
Chọn B.
Câu 23: Dễ dàng chứng minh được
,AH SB⊥
22
AC AB a= =
.
Tam giác
SAB
vuông tại
A
, có đường cao
AH
nên
22
2
2 22
4
..
5
SA SH SA
SA SH SB
SB
SB SA AB
= ⇒== =
+
Tương tự, ta tính được
2
22
2
3
SK SA
SC
SA AC
= =
+
Vậy
23
.
.
.
42 8 8 1 8
. . . .2 . .
5 3 15 15 3 2 45
S AHK
S AHK
S ABC
V
SH SK a a
Va
V SB SC
= ==⇒= =
Chọn B.
Câu 24: Gọi
( )
.N MBC SD= ∩
Ta có:
( ) ( )
//BC AD MAC SAD MN⇒ ∩=
suy ra
// // .MN BC AD
.
..
.
2
S ABCD
S ABC S ACD
V
VV= =
Đặt
.
SM
x
SA
=
Ta có
.
.
.
S ACM
S ABC
V
SM
x
V SA
= =
.
..
.
.
2
2
S ACM
S ACM S ABCD
S ABCD
V
x
xV V
V
⇒ =⇒=
Lại có:
2
2
.
..
.
.
2
S CMN
S CMN S ABCD
S CAD
V
SM SN x
xV V
V SA SD
= =⇒=
22
..
1 1 15
15
22 2 222 2
S ACNM S ABCD
xx xx
V V x SM

−+
⇒ = + = ⇒ + = ⇒ = ⇒ =−+


Lại có
( )
1 4 5, 2 1 5 3 5, 5AC MA AC= + = = −−+ = − =
Suy ra
1 35 5
..
22
MAC
S MA AC
−
= =
Chọn A.
Câu 25: Do
BC AB
BC AB
BC SA
⊥
′
⇒⊥
⊥
Ta có:
( )
AB SC
AB SBC AB SB
AB BC
′
⊥
′′
⇒⊥ ⇒⊥
′
⊥
Do hình chóp có
( )
SAC
là mặt phẳng đối xứng nên
..
..
..
S AB C D S AB C
S ABCD S ABC
VV
SB SC
V V SB SC
′′′ ′′
′′
= =
Xét tam giác
SAB
vuông tại
S
có đường cao
AB
′
có:
22
2
2 22
1
.
2
SA SB SB SA
SA SB SB
SB SB
SB SA AB
′′
′
= ⇒ =⇒= =
+
Tương tự
22
..
222
..
11
36
S AB C S AB C D
S ABC S ABCD
VV
SC SA SA
SC V V
SC SA AC
′′ ′′′
′
== =⇒==
+
Mặt khác
3
33
. . ..
11 1 5
.
3 3 18 18
ABCD ABCD S AB C D AB C D ABCD S ABCD S AB C D
a
V SAS aV aV V V
′′′ ′′′ ′′′
= =⇒=⇒ =−=
.
Chọn A.
Câu 26: Dựng
AH BM⊥
Ta có
( )
.BM SA BM SHA⊥⇒ ⊥
Khi đó
( ) ( )
(
)
; 45SBM ABCD SHA= = °
Đặt
2
x
AB AD x AM MD DN==⇒===
Mặt khác
22
.
5
AM AB x
AH
AM AB
= =
+
Suy ra
22 2 2
2
5 25
84 8 8
AMNB ABCD DMN BCN
xx x a
S S SSx= − − =−−= =
Do đó
3
2
.
1 1 25 25
. .. .
3 3 8 24
S ABNM ABNM
a
V S SA a a= = =
Chọn D.
Câu 27: Ta có
.
.
2222 1
.
4.2.2.2.2 8
4. . . .
S AB C D
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SB SC SD
SA SB SC SD
V
SA SB SC SD
′′′
′′
+++
+++
′′
= = =
′′
′′
Chọn C.
Câu 28: Gọi
O
là tâm hình bình hành
ABCD
Nối
AN SO I I∩=⇒
là trọng tâm tam giác
SAC
Qua
I
kẻ đường thẳng
d
cắt
,SB SD
lần lượt tại
,
MP
Đặt
1; ; 2;
SA SB SC SD
xy
SA SM SN SP
= = = =
Suy ra
12 3xy xy
+=+⇔+=
và
33
88
V xy xy
V xy xy
′
++ ++
= =
Ta có
( )
2
2.3 1
49 .
2.9 3
V
xy x y
V
′
≤+ =⇒ ≥ =
Chọn B.
Câu 29: Nối
AN SO I I∩=⇒
là trọng tâm tam giác
SAC
Qua
I
kẻ đường thẳng
// ,d BD
cắt
,SB SD
lần lượt tại
,EF
Suy ra
2
;,
3
SE SF
EF
SB SD
= =
thuộc mặt phẳng
( )
P
Khi đó
1
.
3
1 2. 2
1
2
33
3
4. . . . 4.1. . .2
22
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SE SM SF
SA SB SC SD
V
SA SE SM SF
++ +
++
= = =
Mà
1
. 12
2
1
.
2
S ABCD
V
V VV
V
= + → =
Chọn D.
Câu 30: Ta có
(
) (
)
( )
(
)
( )
(
)
2
// ; ;
3
MNPQ ABCD d S MNPQ d S ABCD⇒=
Mà
( ) ( )
(
)
( )
(
)
1
;;
3
O ABCD d O MNPQ d S ABCD
∈ → =
Lại có
2
1
2
2 1 2 1 27
..
12
32 9 2
.
39
MNPQ ABCD ABCD
V
S SS
V

= = → = =


Chọn C
Câu 31: Nối
MN SA E E
∩=⇒
là trọng tâm
SMB∆
Nối
MC AD F F∩=⇒
là trung điểm
AD
Ta có
. ..AEF BNC N MBC E MAF
V VV= −
( )
( )
( )
( )
1 11
.;...E;.
3 34
MBC MAF
d N ABCD S d ABCD S
∆∆
= −
( )
( )
(
)
( )
11 11 1
.;...;.
32 33 4
ABCD ABCD
d S ABCD S d A ABCD S
= −
1
.. .
2
11 5 5
2 12 12 7
S ABCD S ABCD S ABCD
V
VV V
V
= − = ⇒=
. Chọn A.
Câu 32: Gọi O là tâm hình vuông
( )
ABCD SO ABCD⇒⊥
Gọi E là trung điểm
(
)
BC BC SEO⇒⊥
Do đó
( ) ( )
( )
; ; 60SNO ABCD SN ON SNO= = = °
Tam giác
SEO
vuông tại
,O
có
.tan 3
SO OE SEO a= =
Suy ra thể tích khối chóp
.S ABCD
là
3
.
43
3
S ABCD
a
V =
Vì
( )
P
chứa
AG
nên
( )
P SC M
∩=
là trung điểm của
SC
Qua
M
kẻ đường thẳng
// ,d CD
cắt
SD
tại
N
Khi đó
3
.
.
.
112 2 3 3
4.1.1.2.2 8 2
... .
S ABMN
S ABMN
S ABCD
SA SB SC SD
V
SA SB SM SN
Va
SA SB SC SD
V
a
SA SB SM SN
++ +
++ +
= = =⇒=
. Chọn C
Câu 33: Gọi O là tâm hình vuông
( )
ABCD SO ABCD⇒⊥
Gọi N là trung điểm
( )
BC BC SNO⇒⊥
Do đó
( ) ( )
( )
; ; 60SNO ABCD SN ON SNO= = = °
Tam giác
SNO
vuông tại
,O
có
3
.tan
2
x
SO ON SNO= =
Tam giác
SAO
vuông tại
,O
có
2
22 2
2
x
SO SA OA a= −=−
Suy ra
22 2
22
3 3 25
2 24 2 5
x xx x a
a a AB x= −⇔ =−⇔ ==
Thể tích khối chóp
.S ABCD
là
2
3
.
1 125325 4 15
.. . . .
3 3 5 2 5 75
S ABCD ABCD
a aa
V SO S

= = =



Nối
SO CM I I∩ = →
là trọng tâm
2
.
3
SI
SAC
SO
∆⇒=
Qua I kẻ đường thẳng
// ,d BD
cắt
,SB SD
lần lượt tại
2
,
3
SE SF
EF
SB SD
⇒==
Đặt
.
.
3
2 2. 1
1
2
;;;
33
43
4.2. . .1
22
S MECF
S ABCD
V
SA SB SC SD x y z t
xyzt
SM SE SC SF V xyzt
++
+++
====⇒= = =
Vậy
33
..
1 1 4 15 4 15
.. .
3 3 75 225
S MECF S ABCD
aa
VV= = =
Chọn C
Câu 34: Do
11
//
23
FA A E FA
A E AC
FC AC CA
′′ ′
′
⇒==⇒=
′
Do đó
( )
( )
( )
( )
1
;;
3
d F ABC d C ABC
′′′ ′′′
=
Suy ra
.. .
11
.
39
F AB C C A B C ABCD ABC
VV V
′′ ′′′ ′
= =
Vậy
2
1
1
.
9
V
V
=
Chọn D
Câu 35: Ta có
( )
//MB ACC A
′ ′′
nên
( )
( )
( )
( )
; ;.d M A AC d B A AC
′ ′′
=
Do đó
..
12
33
B ACC A B ABC
V V VV V V V
′ ′′ ′
′
= =− =−=
Vậy
2
.
3
V
k
V
′
= =
Chọn A
Câu 36: Gọi V là thể tích của khối trụ.
Ta có:
..
11
.
22
MNBA A B BA C MNBA C A B BA
S SV V
′′ ′′
= ⇒=
Mặt khác
. ..
2
33
C ABBA ABC ABC C ABC
VV
V V VV
′′ ′ ′ ′′′
= − =−=
.
12 1
. .18 6
23 3
C MNBA
V
V
⇒===
Do đó
.
12.
CNMAB C C MNBA
V VV
′′
=−=
Chọn A.
Câu 37: Gọi I là trung điểm của
3BC AI GI⇒=
Khi đó
(
)
( )
( )
(
)
.
; 3; 3
AABC GABC
d A A BC d G A BC V V
′ ′′′ ′
′′
= ⇒=
Mặt khác
..
39
A A BC A ABC G A BC
VV
VV V
′′ ′
==⇒=
Chọn D
Câu 38: Do
( ) ( ) ( )
( )
// ;ABC ABC d G ABC h
′′′ ′′′
⇒=
với h là
chiều cao khối lăng trụ.
Do đó
.
11
..
33
G ABC ABC
V hS V
′′ ′′′
= =
. Chọn A
Câu 39: Do
( )
//AA BCC B
′ ′′
và
P AA
′
∈
nên ta có:
00
. . 0. 0
2
.
33
P BCC B A BCC B A ABC
VV
V V VV V
′′ ′ ′′ ′
= =− =−=
Chọn A.
Câu 40: Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
Khi đó
//
MF AE
mà
//AE A N
′
nên
//MF A N
′
Suy ra các điểm
, ,,AMFN
′
thuộc cùng một mặt phẳng.
Vậy
( )
A MN
′
cắt cạnh
BC
tại điểm
PP⇒
trùng với
F
.
Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện
“Thể tích khối chóp cụt là
( )
3
h
V B B BB
′′
= ++
với h là chiều cao,
,BB
′
lần lượt là diện tích hai đáy”
Xét khối chóp cụt
.MBPABN
′′
có chiều cao
h BB a
′
= =
.
Và diện tích đáy
88
22
ABC
MBP
ABC
ABN
S
S
BS
S
S
BS
′′′
′′′
= = =
′
= = =
với
2
3
4
a
S =
Thể tích khối đa diện
.MBPABN
′′
là
3
73
. ..
3 8 2 8 2 96
BB S S S S a
V

′
= ++ =



Chọn D
Câu 41: Gọi V là thể tích khối lăng trụ
.ABC A B C
′′′
Ta có:
..
2
33
A BCC B A ABC
VV
V VV V
′′ ′
=− =−=
Khi đó
. .. .
1
,
32
G ABC M BBN A BBN A BCCB
V
V VV V
′′′ ′ ′ ′ ′ ′′
= = =
(Do
1
2
NBB CC B B
SS
′ ′′
=
). Do đó
.
12
..
23 3
M BB N
VV
V
′
= =
Tương tự
.. .
1
..
23
ACBB A CBB A BCCB
V
VV V
′′ ′ ′′ ′ ′′
= = =
Do
..
11
..
2 23
BCN BCC BCC B A BCN A BCC B
V
SS S V V
′ ′′ ′ ′ ′′
<= ⇒ < =
Vậy khối chóp
BB MN
′
có thể tích nhỏ nhất. Chọn D
Câu 42: Gọi V là thể tích khối chóp
.ABC A B C
′′′
Ta có:
..
2
33
A BCC B A ABC
VV
V VV V
′′ ′
=− =−=
Lại có
3
.
. . 23
2
ABC
AB AC
V S AA AA a
′′
= = =
Suy ra
3
3
.
2 43
.2 3
33
A BCC B
a
Va
′′
= =
. Chọn A
Câu 43: Gọi V là thể tích khối chóp
.ABC A B C
′′′
Ta có
..
2
33
A BCC B A ABC
VV
V VV V
′′ ′
=− =−=
Lại có:
11
24
IKB KICB BCC B
SS S
′′
= =
Suy ra
..
1 12 1
.
4 43 6
A IKB A BCC B
V V VV
′ ′′
= = =
Mặt khác
1
. . .sin .
2
ABC
V S AA AB AC BAC AA
′′
= =
3
3
.
11
. .2 .sin120 .2 3 3 .
2 62
A IKB
a
aa a a V V
′
= °=⇒==
Chọn
A.
Câu 44: Thể tích khối lập phương là
3
.Va=
Ta có
3
. ...
1
6
A A B D B ABC D ACD D B C C
V VVV a
′′′ ′ ′ ′ ′′
= = = =
. , ...ACD B ABCD A B C D A A B D B ABC D ACD D B C C
VV V VV V
′′ ′′′′ ′′′ ′ ′ ′ ′′
= − −−−
Suy ra
33
3
4.
63
ACD B
aa
Va
′′
=−=
. Chọn A
Câu 45: Ta có
..
22
ABCD ABC A ABCD A ABC
S SV V
′′
=⇒=
Mặt khác
..
1
3
A ABCD ABCD A B C D
VV
′ ′′′′
=
Do đó
.. .
1 11
.
2 23
A ABC A ABCD ABCD A B C D
VV V
′ ′ ′′′′
= =
.
1
.
6
ABCD A B C D
V
′′′′
=
Chọn B
Câu 46: Gọi h là chiều cao của khối hộp
Ta có
.
1 11 1 1
.. .
3 32 6 6
B ABC ABC ABCD ABCD
V hS h S hS V
′
= = = =
1.
11
4. 4. .
63
B ABC
VV V V V V
′
=− =−=
Chọn A
Câu 47: Ta có
( )
1
.; .
3
ADMN AND
V d M ABCD S
∆
=


( )
1
..
3
ABCD ABN NCD
AA S S S
∆∆
′
= −−
1 11
..
3 44
ABCD ABCD ABCD
AASSS

′
= −−


=
3
11
..
32 6
ABCD
a
AA S
′
= =
Vậy thể tích cần tính là
3
6
a
V =
. Chọn C
Câu 48: Ta có
. ..
D ABC D C ABD C ADD
V VV
′′ ′ ′ ′
= +
11
..
33
ABD ADD
CC S C D S
′
∆∆
′ ′′
= +
1 11
. ..
3 32
ABCD AA DD
CC S C D S
′′
′ ′′
= +
3
22
11 11
..
32 32 3
a
aa aa
=+=
Vậy thể tích cần tính là
3
3
a
V =
. Chọn A
Câu 49: Ta có
( )
( )
( )
( )
;
3
3
4
A;
d M ABCD
MC
MC MA
AC
d ABCD
′
=⇒==
′
′
Do đó
( )
( )
( )
( )
.
.
1
;.
13 1
3
.,
34 4
A;
ABCD
M ABCD
ABCD A B C D
ABCD
d M ABCD S
V
V
d ABCD S
′′′′
= = =
′
Chọn D
Câu 50: Chuẩn hóa thành hình lập phương
.ABCD A B C D
′′′′
cạnh I
Qua M kẻ đường thẳng
// ,d BD
cắt AD tại
// ,N MN BD⇒
Mà
// // , , ,BD BD MN BD M N B D
′′ ′′ ′ ′
⇒⇒
đồng phẳng
Dó đó
( )
.
1
..
3
AMN ABD AMN ABD AMN ABD
V AA S S S S
′′′ ′′′ ′′′
∆ ∆ ∆∆
′
= ++
1 1 1 1 1 13
.1. .
3 18 2 18 2 54

= ++ =



⇒
Thể tích khối còn lại là
13 41 13
:
54 54 41
=
. Chọn C
Câu 51: Dễ thấy
// , , ,AB C D A B C D
′′ ′ ′
⇒
đồng phẳng
Do đó
( ) (
)
..
11
;;
33
G ABC C ABC
d G ABC d C ABC V V
′′
′′
= ⇒=


Ta có
..
1 11
..
3 32 6
C ABC C ABC ABC ABCD
V
V V CC S CC S
′′
∆
′′
= = = =
Vậy
..
11 1
..
3 3 6 18 18
G ABC C ABC
VV
VV
′′
= = = =
Chọn A.
Câu 52: Ta có
.
.
11
.. .
1
33
.
. 2. 6
ABC ABC
A ABC
ABCD A B C D ABCD ABC
AA S S
V
V AA S S
∆∆
′
′′′′
∆
′
= = =
′
Chọn B
Câu 53: Chọn
1AB =
Nối
;
MN BC P MN CD Q
∩= ∩=
Nối
,CP BB E CQ DD F
′ ′′ ′
∩= ∩ =
Do đó thiết diện cắt bởi
( )
mp C MN
′
là
C EMNF
′
Dễ thấy
11
23
PB QD
BM BP DQ DN
PC QC
====⇒==
Khi đó
.B .
1 11111 1
. . ....
3 33222 72
E PM F DQN BPM
V V EB S
∆
= = = =
Ta có
.
1 1 13
. .1. 1
3 3 88
C CPQ CPQ
V CC S
′
∆

′
= = +=


Gọi
0
V
là thể tích đa diện chứa điểm
0 . .B .
25
72
C CPQ E PM F DQN
CVV V V
′
⇒= − − =
Vậy tỉ số thể tích cần tính là
1
2
25
72
V
V
=
. Chọn D
Câu 54: Gọi
M
là trung điểm
// //AB IM AB C D
′′
⇒
Do đó
(
)
mp DIC
′
cắt hình lập phương theo thiết diện
IMDC
′
Ta có
( )
.
1
..
3
IBM C CD IBM C CD IBM C CD
V BC S S S S
′ ′′
∆ ∆ ∆∆
= ++
11 1 1 1
..
38 2 8 2
ABCD ABCD ABCD ABCD
BC S S S S

= ++



.
17 7
.
3 8 24
ABCD ABCD A B C D
BC S V
′′′′
= =
Vậy tỉ số cần tính là
7
17
. Chọn C
| 1/56
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 9: TỈ SỐ THỂ TÍCH
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Chú thích V = Thể tích cũ, V =Thể tích mới (dùng cho kỹ thuật chuyển đỉnh và đáy). 1 2
1. Kỹ thuật đổi đỉnh (đáy không đổi) a. Song song với đáy 1
V = V = B . h 1 2 3 b. Cắt đáy
1.d ( ;A(P)).Sđ V d ( ; A (P)) 1 3 IB = = = . V 1 d B P IA 2 .d ( ; B (P)) ( ;( )) .S 3 đ
2. Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) V S 1 1 =
;với S là diện tích đáy cũ; S là diện tích đáy mới V S 1 2 2 2 Chú ý:
i. Đưa hai khối đa diện về cùng một đỉnh; hai đáy mới và cũ nằm trong cùng một mặt phẳng (thường
thì đáy cũ chứa đáy mới). Áp dụng công thức tính diện tích của đa giác để so sánh tỉ số giữa đáy cũ và đáy mới.
ii. Nếu tăng (hoặc giảm) mỗi cạnh của đa giác (tam giác, tứ giác), k lần thì diện tích đa giác sẽ tăng (hoặc giảm) 2 k lần.
iii. Tỉ số đa giác hay gặp là tỉ số diện tích của hai tam giác.
1 .AM.AN.sin A S A∆MN 2 AM = = . AN . S 1 ∆ AB AC ABC .A . B AC.sin A 2
3. Tỉ số thể tích của khối chóp
a. Tỉ số thể tích của khối chóp tam giác ′ ′ ′
Công thức: VS.A′BC′′ SA = . SB . SC V SA SB SC S.ABC
Lưu ý: Công thức chỉ áp dụng với khối chóp có đáy là tam giác nên
trong nhiều trường hợp ta cần chia nhỏ các khối đa diện thành các
hình chóp tam giác khác nhau rồi mới áp dụng.
b. Tỉ số thể tích của khối chóp tứ giác
Trường hợp đặc biệt: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD (hoặc đa giác bất kỳ), mặt phẳng (P)
song song với đáy cắt các cạnh bên ,
SA SB, SC, SD lần lượt tại A ,′ B ,′C ,′ D′ . ′ ′ ′ ′
Khi đó VS.A′BC′ D′′ 3
= k ; với SA . SB . SC SD = = k . V SA SB SC SD S.ABCD
Chú ý: Công thức trên đúng với đáy n giác.
Trường hợp đáy là hình bình hành (hay gặp)
Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh ′ ′ ′ ′ ,
SA SB, SC, SD lần lượt tại A ,′ B ,′C ,′ D′ sao cho SA = ; SB = ; SC = ; SD x y z = t. SA SB SC SD VS MNPQ xyzt   Khi đó 1 1 1 1 + = + và . 1 1 1 1 = + + + x z y t V x y z t S ABCD 4   .  
4. Tỉ số thể tích của khối lăng trụ a. Lăng trụ tam giác
Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, V là thể 1 2
tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: V 2 = ; V V V = 1 2 3 3
Ví dụ: Hình lăng trụ 1 2
ABC.A′B C ′ ′  →V = = ′ ′ V ′ ′ ′ V ′ ′ V A B BC ABC A B C ; . A B ABC ABC. 3 3 A′B C ′ ′ Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B C
′ ′ . Mặt phẳng (α ) cắt các đường
thẳng AA ,′ BB ,′CC′ lần lượt tại M , N, P (tham khảo hình vẽ bên).
Tính tỉ số VABC.MNP .
VABC.A′BC′′ HD: Ta có V = V + V ABC.MNP M .ABC . A BNPC Lại có 1 1 AM V = d M ABC S = ′ ∆ d A ABC S M ABC . ; . ABC . . ; . . ( ( )) ( ( )) 3 3 ABC AA ∆ ′ 1 AM 1 = . . AM V  → = ′ ′ ′ V V ABC A B C M ABC . . . . ABC. 3 AA′ 3 A′B C AA ′ ′ ′ Và h S = BN + CP h S = ′ + ′ = ′ ′ ′ BB CC h BB BCC B .( ) . BNPC .( ); 2 2
h .(BN +CP) S  + BNPC 2
1 BN CP  1  BN CP  ⇒ = = = +    . S ′  ′   ′ ′ ′ ′ h BB BB BB CC BCC B . 2 2  Suy ra 1 V = d A BCC B ′ ′ S A BNPC . ; . . ( ( )) 3 BNPC 1 = ( ( )) 1  BN CP  1 . ; . + .  BN CP d A BCC B S  ′ ′ = +   ′ ′   V BCC B . . 3
2  BB′ CC′  2 A BCC BBB′ CC ′ ′ ′  Mà 2 1  BN CP V  = ⇒ = + ′ ′ V ′ ′ ′ V   V A BCC B ABC A B C A BNPC . . . . . ABC. 3 3 A′B CBB′ CC ′ ′ ′  Vậy 1 AM 1  BN CP VABC.MNP 1  AM BN CP V V  = + + ⇒ = + + ′ ′ ′   V ABC MNP . . ABC ABC . . . . ABC. 3 AA 3 A′B CBB CC ′ ′  V   ′ ′ ′  ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA BB CC ABC A B C 3 . 
Công thức tính nhanh VABC.MNP 1  AM BN CP  = + + V    ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA BB CC ABC A B C 3 .  b. Khối hộp
Kết quả 1:
Gọi V là thể tích khối hộp, V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai 1
đường chéo của hai mặt song song, V là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở 2
các trường hợp còn lại. Khi đó: V = ; V V V = 1 2 3 6
Ví dụ: Hình hộp 1 1 ABC . D A′B C ′ D ′ ′  →V = = ′ V
′ ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V A C BD ABCD A B C D ; ' . A C D D ABCD. 3 6 A′B C ′ D ′ ′ Kết quả 2:
Cho hình lăng trụ tam giác ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Mặt phẳng (α ) cắt
các đường thẳng AA ,′ BB ,′CC ,′ DD′ lần lượt tại M , N, P,Q (tham khảo hình vẽ bên). Chứng minh rằng AM CP BN DQ + = +
AA′ CC′ BB′ DD′ V và ABCD.MNPQ 1  AM CP  1  BN DQ  = + = + V      ′ ′   ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD ABCD A B C D 2 2 .  • Chứng minh AM CP BN DQ + = +
AA′ CC′ BB′ DD′
Gọi I là tâm hình vuông ABCD; I′ là tâm hình vuông A′B C ′ D ′ ′. Ta có: AM CP
AM + PC 2OI + = = ; AA′ CC′ AA′ AA′ BN DQ
BN + DQ 2OI ′ AM CP BN DQ + = = ⇒ + = + . BB′ DD′ BB′ BB′
AA′ CC′ BB′ DD′ V
• Chứng minh ABCD.MNPQ 1  AM CP  1  BN DQ  = + = + V      ′ ′   ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD ABCD A B C D 2 2 . 
Chia khối đa diện ABC .
D MNPQ thành hai khối đa diện ABC.MNP và AC . D MPQ ;
Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;
Cộng thể tích hai khối đa diện VABC.MNP 1  AM CP BN DQ  ⇒ = + + + V    ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD ABC A B C 4 .  AM CP BN DQ V Mà ABCD.MNPQ 1  AM CP  1  BN DQ  + = + ⇒ = + = + AA CC BB DD V     ′ ′ ′ ′  ′ ′   ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD ABCD A B C D 2 2 . 
Công thức tính nhanh VABCD.MNPQ 1  AM CP BN DQ  1  AM CP  1  BN DQ  = + + + = + = + V        ′ ′ ′ ′   ′ ′   ′ ′ ′ ′ ′ ′ AA CC BB DD AA CC BB DD ABCD A B C D 4 2 2 . 
II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1. Tỉ số thể tích của khối chóp
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V = 18. Gọi M là trung điểm của SA, E là điểm đối xứng với B
qua C. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng SB và ME.
a) Tính thể tích khối chóp MABE
b) Tính thể tích khối chóp AMNBC
c) Tính thể tích khối chóp SANE Lời giải
Vì E đối xứng với B qua C ⇒ C là trung điểm của BE.
Mà M là trung điểm của SB. SC ∩ ME = N
Suy ra N là trọng tâm SN 2 S ∆ BE  → = . SC 3 a) Ta có: 1 1 S = = = ∆ d → BE d → BC S SBE A BC . 2 A BC . 2. 2 2 ABC
d (S;( ABC)) Và SB 1 = ⇒ = d (
d (M; ABC )
d (S;( ABC)) M ;( ABC)) ( ) BM 2 Khi đó 1 V = d M ABC S M ABE ; . . ( ( )) 3 S ∆ BE 1 1
= .2. d (M;( ABC)).S = = ∆ V 18. . 2 3 ABC S ABC b) Ta có VS.AMN SM SN 1 2 1 1 = . = . = ⇒ V = V S.AMN S. V SB SC ABC 2 3 3 3 ABC S. Lại có 2 2 V = V + V  →V = V −V = V = = S ABC S AMN AMNBC AMNBC S ABC S AMN S ABC .18 12 . . . . . 3 3 c) Ta có 1 V = V −V = V − V S.ANE S.AME S.AMN S.AME S. 3 ABC Lại có VS.AME SM 1 1 1 = =  →V = V = V = V S AME S ABE .2 . . S.ABC S. V SB ABE 2 2 2 ABC S. Do đó 1 2 2 V = V − V = V = = S ANE S ABC S ABC S ABC .18 12 . . . . 3 3 3
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABC có đáy cạnh bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Gọi M, N lần lượt thuộc AB, AC sao cho 2AM = AB, AN = 2NC. Tính V S.MBCN
b) Mặt phẳng (P) đi qua trọng tâm của tam giác ABC, song song với SA và BC, biết (P) cắt SB, SC lần
lượt tại P, Q. Tính thể tích khối chóp MPQCB Lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ SG ⊥ ( ABC) .
Tam giác SAG vuông tại G, có 2   2 2
SG = SA − AG = ( a)2 a 3 a 33 2 −   = .  3  3   3
⇒ Thể tích khối chóp S.ABC là 1 a 11 V = SG S = S ABC . . . 3 ABC ∆ 12 a) Ta có S∆ AM AN V AMN 1 2 1 S.AMN 1 = . = . = ⇒ = S∆ AB AC V ABC 2 3 3 S ABC 3 . 3 Mà 2 a 11 V = V + V  →V = V = S.ABC S.AMN S.MBCN S.MBCN S. 3 ABC 18
b) Qua G kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AB, AC lần lượt tại E, N. Tương tự, từ E, N kẻ các đường
thẳng song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại P, Q.
Dễ dàng chứng minh được SP SQ AN 2 = = = . SB SC AC 3 Ta có: 1 1 1  SP SQ  5 V = V = V −V = V − V =   V MPQCB A PQCB S ABC S APQ S ABC . . S ABC S ABC . . ( . . ) . . . 2 2 2  SB SC  18 3
Vậy thể tích cần tìm là 5 a 11 5 11 3 V = = a . MPQCB . 18 12 216
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với đáy.
Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và ( ABCD) bằng 45°.
a) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AB. Tính V . MNPD
b) Gọi H là hình chiếu của A trên SD; E là trung điểm của BC. Nối AC cắt DE tại F. Tính thể tích các khối đa diện MHCD, HFCD. Lời giải
Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ (SBD) ( ABCD)  =  ; SOA = 45° Suy ra AC 1 a a SA = OA = = a  →V = SA S = a = S ABCD ABCD ( ) 3 2 2 . . . 2 . . 2 3 3 3 a) Ta có S = − − − ∆ S∆ S∆ S∆ S MNP SAB SMN AMP BPN ∆ 1 1 1 1 = S − − − = ∆ S∆ S∆ S∆ S SAB SAB SAB SAB S ∆ AB . 4 4 4 4 Lại có 1 1 V = V = d D SAB S = ∆ V MNPD D MNP ; . . ( ( )) MNP D. 3 4 SAB 3 3 1 1 S ABD ∆ 1 1 2a a = V = V = V = = S ABD . . S ABCD S ABCD . . . . . 4 4 SABCD 8 8 3 12 2 b) Xét S
∆ AD vuông tại A, đường cao AH SH SA  1 ⇒ = =   . SD SD  3
• Tính thể tích khối chóp MHCD. Ta có S HC ∆ D HD 1 1 = = ⇒ S = ∆ S S∆ SD 3 HCD 3 S∆CD SCD 1 1 1 ⇒ V = d M SCD S = ∆ d A SCD S M HCD . ; . HCD . . ; . . ( ( )) ( ( )) 3 6 3 S ∆ CD 3 1 1 1 1 1 a = V = V = V = V = A SCD S ACD . S ABCD . S ABCD . . . . . 6 6 6 2 12 18
• Tính thể tích khối chóp HFCD. Vì EC CF EF 1 DF 2 EC / / AD ⇒ = = = ⇒ = . AD AC FD 2 DE 3
d (H;( ABCD)) Cách 1. Ta có 1 V = d H ABCD S mà HD 2 = = . H FCD . ; . . ( ( )) 3 FC ∆ D
d (S;( ABCD)) SD 3 3 Và S FC ∆ D DF 2 4 4 1 1 2a = =  →V = V = V = V = H FCD . S ECD . S ABCD S ABCD . . . . . S∆ DE ECD 3 9 9 4 9 27 Cách 2. Ta có 1 1 1 2 V = V = d F SCD S = ∆ d A SCD S H FCD F HCD . ; . HCD . ; . . . ( ( )) ( ( )) 3 3 3 3 S∆CD 3 2 2 2 1 1 2a = V = V = V = V = A SCD S ACD . S ABCD S ABCD . . . . . 9 9 9 2 9 27
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có thể tích V. Gọi V ′ là thể tích của khối tứ diện có các đỉnh là trọng tâm của ′
các mặt của khối tứ diện ABCD. Tính tỉ số V . V ′ ′ ′ ′ A. V 8 = . B. V 23 = . C. V 1 = . D. V 4 = . V 27 V 27 V 27 V 27 Lời giải
Gọi M là trung điểm AC; E, F lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC,
ACD. Trong tam giác MBD có 1 EF = B . D 3
Tương tự ta có các cạnh còn lại của tứ diện mới sinh ra bằng 1 cạnh của 3 3 ′
tứ diện ban đầu. Do đó V  1  1 = =   . Chọn C. V  3  27
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 6a, AC = 9a, AD = 3 . a Gọi M, N,
P lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP. A. 2 V = 8a . B. 2 V = 4a . C. 2 V = 6a . D. 2 V = 2a . Lời giải Ta có: 1 3 V = AB AC AD = a ABCD . . 27 . 6
Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB. Suy ra 1 27 3 V = V = a AEFG ABCD . 4 4
Do M, N, P là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB. Nên ta có: AM AN AP 2 = = = . AE AF AG 3
Lại có: V .AMNP AM AN AP 8 = . . = . V AE AF AG A EFG 27 . 8 3  →V = V = a Chọn D. A MNP . A EFG 2 . . . 27
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9, diện tích đáy bằng 5. Gọi M là trung điểm của cạnh
SB và N thuộc cạnh SC sao cho NS = 2NC. Tính thể tích V của khối chóp A.BMNC. A. V = 15. B. V = 5. C. V = 10. D. V = 6. Lời giải
Từ giả thiết, ta có SN 2 = và SM 1 = . SC 3 SB 2 Thể tích khối chóp 1 V = = S ABC .9.5 15 . 3 Ta có VS.AMN SM SN 1 2 = . = ⇒ V = V = Chọn C. ABMNC S ABC 10. . V SB SC S ABC 3 3 .
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3, SB = 4, SC = 5 và  =  = 
ASB BSC CSA = 60 .° Tính thể tích V của khối chóp đã cho. A. V = 5 2. B. V = 5 3. C. V = 10. D. V = 15. Lời giải
Trên SB, SC lần lượt lấy các điểm E, F sao cho SE = SF = 3..
Khi đó S.AEF là khối tứ diện đều có cạnh a = 3. 3
Suy ra thể tích khối chóp S.AEF là a 2 9 2 V = = S AEF . . 12 4 Ta có: VS.AEF SE SF 3 3 9 = . = . = . V SB SC S ABC 4 5 20 . 20  →V = V = Chọn A. S ABC . S AEF 5 2. . . 9
Ví dụ 8: Cho tứ diện đều cạnh ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC
và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện,
trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V. Tính V 3 3 3 3 A. 7 2a V = B. 11 2a V = C. 13 2a V = D. 2a V = 216 216 216 18 Lời giải 3
Thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là a 2 V = ABCD 12
Gọi P = EN ∩ CD và Q = EM ∩ AD .
⇒ P, Q lần lượt là trọng tâm của B ∆ CE và A ∆ BE
Gọi S là diện tích tam giác BCD ⇒ S = = ∆ S∆ S CDE BNE . Ta có: 1 = = S S S ∆PDE . ∆CDE . 3 3
Gọi h là chiều cao của tứ diện ABCD, suy ra  ;  ( ) h  = ;  ;   ( ) h d M BCD d Q BCD  = . 2  3 Khi đó 1 S.h V = S = ; ∆ d M BCD M BNE BNE . ; . ( ( )) 3 6 Và 1 S.h V = S = ∆ d Q BCD Q PDE PDE . ; . ( ( )) 3 27 Suy ra
S.h S.h 7S.h 7 S.h 7 V = V −V = − = = = V PQD NMB M BNE Q PDE . . ABCD. . . . 6 27 54 18 3 18 3 3
Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là 11 a 2 11 2a V = V −V = = . Chọn B. ABCD PQD NMB . . 18 12 216
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AD = 2, BA = BC = 1. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA = 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Tính thể tích V của
khối đa diện SAHCD. A. 2 2 V = . B. 4 2 V = . C. 4 2 V = . D. 2 2 V = . 3 9 3 9 Lời giải
Tam giác vuông SAB, có 2 2
SB = SA + AB = 3
Gọi M là trung điểm của AD ⇒ ABCM là hình vuông nên AD
CM = AB = a = . 2 
→ Tam giác ACD vuông tại C. Ta có V = V +V S.AHCD S.ACD S.AHC • 1 1  1  2 V = S = = ∆ SAAD AB SA S ACD ACD . . . 3 3  2  3 2 V • S.AHC SH SA 2 2 2 = = = ⇒ V = V = 2 S.AHC S. V SB SB 3 3 ABC S ABC 9 . Vậy 2 2 4 2 V = + = Chọn B S AHCD . . 3 9 9
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a vuông góc với mặt phẳng
đáy ( ABCD) . Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SM = k . Xác định k sao cho mặt phẳng (MBC) chia khối SA
chóp đã cho thành hai phần có thể tích bằng nhau. A. 1 3 k − + = . B. 1 5 k − + = . C. 1 2 k − + = . D. 1 5 k + = . 2 2 2 4 Lời giải
Cách 1. Kẻ MN / / ( ∈ ) SN SM AD N SD  → = = k. SD SA
Khi đó mặt phẳng (MBC) chia khối chóp thành hai phần là S.MBCN và AMBDNC. Ta có V = V + V S MBCN S MBC S MCN . . . . V • S.MBC SM = = k ⇒ V = k V S MBC . S ABC. . . V SA S.ABC V • S.MCN SM SN 2 2 = . = k ⇒ V = k V S MCN . S ACD. . . V SA SD S.ACD Lại có 1 2 1 V = V ⇒ k V + k V = V S MBCN . S ABCD . S ABC . S ACD . . . . . S. 2 2 ABCD V V − + S.ABCD 2 S.ABCD 1 2 ⇒ k. + k . = . 1 5 V 
→ k + k = ⇒ k = S ABCD 1 . . 2 2 2 2
Cách 2: Với SA 1 SB SC SD 1 = ; = 1; = 1; = SM k SB SC SN k 1 2. + 2 2
Áp dụng công thức, ta được V + − + S.MBCN k k 1 1 1 5 = = = ⇒ k = . Chọn B. V 1 1 S ABCD 2 2 2 . 4. . k k
Ví dụ 11: Cho hình chóp đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt
phẳng (MNC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là V ,V với V < V . Tính tỉ số 1 2 1 2 thể tích V1 . V2 A. V V V V 1 5 = B. 1 5 = C. 1 5 = D. 1 5 = V 7 V 11 V 9 V 13 2 2 2 2 Lời giải
Gọi h, S lần lượt là chiều cao và diện tích đáy của khối chóp S.ABCD. Khi đó 1 V = S h S ABCD . . . 3
Nối MN cắt SA tại E, MC cắt AD tại F.
Tam giác SBM có A, N lần lượt là trung điểm của BM và
SB. Suy ra E là trọng tâm tam giác SBM.
Vì ACDM là hình bình hành nên F là trung điểm MC. Ta có V = V + V BNC.AEF ABCEN E.ACF V • S.ENC SE SN 2 1 1 1 = . = × =  →V = V S.ENC S. V SA SB ABC 3 2 3 3 ABC S. 2 2  1  1  →V = V = V =   V ABCEN S ABC S ABCD S ABCD . . . . 3 3  2  3 • 1 1 1 1 1 V = S = = ∆ d E ACF S h V E ACF ACF . ; . . . S ABCD. . ( ( )) . 3 3 4 3 12 Do đó 1 1 5 V = V + V = V + V = V = V BNC AEF ABCEN E ACF S ABCD . S ABCD . S ABCD . . . . . . 1 3 12 12 Suy ra 7 V1 5 V = .V  → = Chọn A. S ABCD . 2 . 12 V 7 2
Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABC có = = =  = °  = ° 
SA 1, SB 2, SC 3, ASB 60 , ASC 90 ,CSB = 120 .° Thể tích của
khối chóp S.ABC bằng? A. 2 . B. 2 . C. 2 D. 2 . 4 2 6 Lời giải
Kí hiệu như hình vẽ với SA = SP = SK = 1 ⇒ Hình chiếu vuông góc
H hạ từ S xuống ( APK ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp A ∆ PK .
Ta có AP = 1, AK = 2
Gọi H là trung điểm của cạnh PK HP 3 3 ⇒ sin 60° = = ⇒ HP =
⇒ PK = 2HP = 3 SP 2 2 Như vậy 2 2 2
AP + AK = 1+ 2 = PK ⇒ AP ⊥ AK
⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp A
∆ PK ⇒ SH ⊥ ( APK ). Cạnh 2 2 3 1
SH = SP − HP = 1− = 4 2 1 1 1 1 1 1 2 ⇒ V = SH S = SH AP AK = = . S APK . APK . . . . .1. 2 . 3 3 2 3 2 2 12 Ta có: VS.APK SA SP SK 1 1 2 = . . = 1. . ⇒ V = V = Chọn B. S ABC 6 S APK . . . V SA SB SC S ABC 2 3 2 .
Ví dụ 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, với AC = a 2. Cạnh SA = a và
vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC, mặt phẳng (α ) qua A, G và song song
với BC cắt SB, SC lần lượt tại M và N. Tính theo a thể tích V của khối chóp A.BCNM 3 3 3 3 A. 5a V = . B. 5a V = . C. 2a V = . D. a V = . 54 27 27 18 Lời giải Ta có VS.AMN SA = . SM . SN SM = . SN . V SA SB SC SB SC S.ABC Bài ra có: SM SN SG 2 MN / /BC ⇒ = = = . SB SC GP 3 VS.AMN 4 4 ⇒ = ⇒ V = V S.AMN S. V ABC 9 9 ABC S. 5 ⇒ V = V −V = V A BCNM S ABC S AMN S ABC . . . . . 9
Tam giác ABC vuông cân tại B, với AC = a 2. AC ⇒ AB = BC = = a 2 3 3 1 1 1 2 a 5 5a ⇒ V = SA S = a a = ⇒ V = V = Chọn A. S ABC . ABC . A BCNM S ABC . . . . 3 3 2 6 9 54
Ví dụ 14: Cho hình chóp S.ABCD, trên cạnh SA lấy điểm M sao cho SM = AM . Mặt phẳng (α ) đi qua M
và song song với mặt phẳng đáy cắt SB, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. Kí hiệu V và V lần lượt là thể tích của 1 2
khối chóp S.MNPQ và S.ABCD. Tính tỉ số V1 . V2 A. V V V V 1 1 = . B. 1 1 = . C. 1 1 = . D. 1 1 = . V 16 V 8 V 4 V 24 2 2 2 2 Lời giải
Ta có N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, SC, SD. Tỉ số VS.MNP SM SN SP 1 1 1 1 = . . = . . = . V SA SB SC S ABC 2 2 2 8 . V Tỉ số S.MPQ SM SP SQ 1 1 1 1 = . . = . . = . V SA SC SD S ACD 2 2 2 8 . 1 1 1 ⇒ V = V + V = V + V = V S.MNPQ S.MNP S.MPQ S.ABC S. 8 8 ACD 8 SABCD 1 V1 1 ⇒ V = V ⇒ = 1 2 8 V 8 2 2
Hoặc áp dụng công thức V1  SM  1 = = . Chọn B VSA    8 2
Ví dụ 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = a, AD = a 3. Cạnh SA = 2a
và vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng (α ) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại H,
I, K. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.AHIK. 3 3 3 3 A. 4a 3 V = . B. 6a 3 V = . C. 8a 3 V = . D. 12a 3 V = . 35 35 35 35 Lời giải
Ta có SC ⊥ ( AHIK ) ⇒ SC ⊥ AI, SC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ SC. BC ⊥ AB Lại có 
⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ BC.  BC ⊥ SAAH ⊥ SC Như vậy 
⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SB, tương tự AH ⊥ BC thì AK ⊥ S . D Cạnh 2 2 2 2
SB = SA + AB = 4a + a = a 5 2 2 SA 4a 4a SB 5 ⇒ SH = = = ⇒ = SB a 5 5 SH 4
Mà SA = 2a ⇒ SA = AC ⇒ SA
∆ C vuông cân tại A
⇒ I là trung điểm của cạnh SC SC ⇒ = 2. SI Do đó SA SC SB SD SD 7 + = + ⇒ = . SA SI SH SK SK 4
Áp dụng công thức, ta được: 5 7 1+ + 2 V + S.AHIK 4 4 12 = = . V 5 7 S ABCD 35 . 4.1. .2. 4 4 3 Do đó 12 1 4 8a 3 V = SA S = a a a = Chọn C. S AHIK . . ABCD .2 . . 3 . . 35 3 35 35
Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABC có SA = 6, SB = 2, SC = 4, AB = 2 10 và  = ° 
SBC 90 , ASC = 120 .° Mặt
phẳng (P) đi qua B và trung điểm N của SC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (SAC), cắt cạnh SA tại V
M. Tính tỉ số thể tích S.BMN k = . VS.ABC A. 2 k = B. 2 k = C. 1 k = D. 1 k = 9 5 6 4 Lời giải
Gọi D thuộc SA sao cho SA = 3.SD ⇒ SD = 2. Xét S
∆ BC vuông tại B, có  SB 1 = = ⇒  cos BSC BSC = 60 .° SC 2 Và 2 2 2
AB = SA + SB ⇒ SA
∆ B vuông tại S ⇒  ASB = 90°
Xét tứ diện S.BND có  = °  = ° 
DSB 90 , BSN 60 , DSN = 120° 2 2 2
⇒ BD + BN = DN ⇒ B
∆ DN vuông tại B
Mà SB = SN = SD ⇒hình chiếu của S trên mặt phẳng (BDN ) trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDN.
Gọi H là trung điểm DN ⇒ SH ⊥ (BDN ) ⇒ (SDN ) ⊥ (BDN )
Hay (BDN ) ⊥ (SAC) ⇒ mp(P) ≡ (BDN ) ⇒ M ≡ . D Vậy
VS.BMN SN SM 1 1 1 k = = . = . = . Chọn C. V SC SD S ABC 2 3 6 .
Ví dụ 17: Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB = 2a, AC = AD = 4 .
a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên BC và BD. Thể tích của khối tứ diện ABHK là 3 3 3 3 A. 16a B. 32a C. 2a D. 3a 75 75 3 2 Lời giải Ta có 2 2
BD = AB + AD = (2a)2 + (4a)2 = 2a 5 2 2 Và 2 BK AB   2a  1
AB = BK.BD ⇒ = = =     . BD BD   2a 5  5
Tương tự, được BH 1 = . BC 5 3 Lại có 1 16a V = V = a a a = B ACD D ABC .4 .4 .2 . . . 6 3 3 3 Vậy VB.AKH BK BH 1 1 1 1 16a 16 = . = . a = ⇒ V = = ABHK . . V BD BC B ACD 5 5 25 25 3 75 . Chọn A.
Ví dụ 18: Cho hình hộp S.ABC có SC = 2a và SC ⊥ ( ABC). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B có
AB = a 2 . Mặt phẳng (α ) đi qua C và vuông góc với SA, (α ) cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE 3 3 3 3 A. 4a B. 2a C. 2a D. a 9 3 9 3 Lời giải SC ⊥ AB Ta có 
⇒ AB ⊥ (SBC) ⇒ CE ⊥ AB BC ⊥ AB
Mà SA ⊥ (α ) ⇒ SA ⊥ CE suy ra CE ⊥ (SAB) ⇒ CE ⊥ SB
Tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AC = AB 2 = 2a
Suy ra SC = AC ⇒ S
∆ AC cân tại C SD 1 ⇒ SD = DA ⇔ = . SA 2
Tam giác SBC vuông tại C, có SC.BC 2 3a CE = = . 2 2 SC + BC 3 Do đó 2 2 2 6a SE 2 6a 2
SE = SC − CE =  → = : a 6 = . 3 SB 3 3 2 3 Khi đó VS.CDE SD SE 1 1 1 AB 2 = . a = ⇒ V = SC = S CDE . . . . V SA SB S CAB 3 3 3 2 9 . Chọn C.
Ví dụ 19: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc. Các điểm M, N, P lần lượt là
trung điểm các đoạn thẳng BC, CD, BD. Biết rằng AB = 4a, AC = 6a, AD = 7 .
a Tính thể tích của khối tứ diện AMNP. A. 3 V = 7a B. 3 V = 28a C. 3 V = 14a D. 3 V = 21a Lời giải
Tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc 1 3  →V = AB AC AD = a ABCD . . 28 6 Ta có 1 S = suy ra 1 3 V = V = a Chọn A. AMNP A BCD 7 . ∆ S MNP B ∆ CD , 4 . 4
Ví dụ 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB và G là trọng
tâm của tam giác SBC. Gọi V ,V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD. Tính tỉ số V V ′ A. V 3 = B. V 4 = C. V 5 = D. V 2 = V ′ 2 V ′ 3 V ′ 3 V ′ 3 Lời giải
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M và G trên mp( ABCD) Suy ra MH CM 3 MH / /GK  → = = . GK CG 2 1 1 MH.S∆ S ABC ABCD Ta có V 3 3 2 3 = = . = . Chọn D V ′ 1 2 1 2 GK.S∆ S 3 ABD 2 ABCD
Ví dụ 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho IS = 2IC .
Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V ,′V lần lượt là thể tích khối chóp ′
S.AMIN và S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích V V A. 4 B. 5 C. 8 D. 5 5 54 15 24 Lời giải
Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD.
Gọi H = SK ∩ AI, qua H kẻ d / /BD cắt SB, SD tại M, N.
Xét tam giác SAC, có IS AC OH OH 1 SH 4 . . = 1 ⇒ = ⇒ = . IC OC SH SC 4 SC 5 Mà SM SN SH 4 MN / /BD  → = = = SB SD SO 5 Ta có V SM SI SM V S.AMI 2 S.AMI 1 = . = . ⇒ = . SM V SB SC SB V SB S ABC 3 S ABCD 3 . . Và V SN SI SN V S.ANI 2 S.ANI 1 = . = . ⇒ = . SN V SD SC SD V SD S ACD 3 S ABCD 3 . . ′ Suy ra V
1  SM SN  1  4 4  8 = + = . + =     . Chọn C. V
3  SB SD  3  5 5  15
Ví dụ 22: Cho điểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của khối chóp tam giác S.ABC sao cho SM 1
= ; SN = 2. Mặt phẳng (α ) đi qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V là MA 2 NB 1
thể tích của khối đa diện chứa A, V
V là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số 1 ? 2 V2 A. V V V V 1 4 = B. 1 5 = C. 1 5 = D. 1 6 = V 5 V 4 V 6 V 5 2 2 2 2 Lời giải
Kẻ NP / /SC (P ∈ BC), kẻ MQ / /SC (Q ∈ SC).
Khi đó, mặt phẳng (α ) cắt hình chóp theo thiết diện là MNPQ. Vì CP 2 CQ 1 NP / /SC ⇒ = ;MQ / /SC ⇒ = . CB 3 CA 3 S Ta có C ∆ PQ CP CQ 1 2 2 2 = . = . = ⇒ S = ∆ S CPQ . S∆ CB CA 3 3 9 9 ABC ∆ CBA Và ( ( )) 1 = ( ( )) 2 2 ; . ; V d N ABC d S ABC ⇒ V = V = N CPQ S ABC . . . 3 27 27 S Lại có A ∆ MQ AM AQ 2 2 4 5 = . = . = ⇒ S = S SMQC SA ∆ C . S∆ SA AC ASC 3 3 9 9
Và d (N (SAC)) 2
= d (B (SAC)) 10 10 ; . ; ⇒ V = V = V N SMQC S ABC . . . 3 27 27 Do đó 2V 10 4V 5V V = V = V + V = + V = ⇒ V = SCMNPQ N CPQ N SMQC . 2 . . 1 27 27 9 9
Vậy V1 5V 4V 5 = : = . Chọn B V 9 9 4 2
Ví dụ 23: Thị xã Từ Sơn xây dựng một ngọn tháp đèn lộng lẫy hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên SA = 12m và 
ASB = 30° . Người ta cần mắc một đường dây điện từ điểm A đến trung điểm K của SA gồm
AE, EF, FH, HK như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí người ta cần thiết kế được chiều dài con đường từ A đến
K là ngắn nhất. Tính tỉ số HF + HK k = EA + EF A. 3 k = B. 1 k = C. 1 k = D. 2 k = 4 2 3 3 Lời giải
Giả sử ngọn tháp được làm bằng bìa nên ta cắt được ngọn tháp
theo các đường SA, AB, BC, CD, DA. Và trải các mặt bên SAB,
SBC, SCD, SDA lên cùng một mặt phẳng. Vì  =  =  = 
ASB BSC CSA DSA = 30° nên khi trải ra mặt phẳng
ta thu được một tam giác cân SAA có góc ở đỉnh
S = 4.30° =120° như hình vẽ bên.
Để độ dài đoạn gấp khúc AE + EF + FH + HK nhỏ nhất khi
và chỉ khi A, E, F, H, K thẳng hàng.
Vì K là trung điểm của SA ⇒ F = SC ∩ AK ⇒ F là trọng tâm của tam giác SAA Vậy tỉ số HF + HK FK 1 k = = = . Chọn B. EA + EF AF 2
Ví dụ 24: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích là V. Gọi M là một điểm trên
cạnh AB sao cho MA = x,0 < x < 1. Biết rằng mặt phẳng (α ) qua M và song song với (SBC) chia khối MB
chóp S.ABCD thành hai phần trong đó phần chứa điểm A có thể tích bằng 4 V . Tính giá trị của biểu thức 27 1− x P = . 1+ x A. 1 B. 1 C. 1 D. 3 2 5 3 5 Lời giải
Kẻ MN / /BC (N ∈CD), NP / /SC (P ∈ SD), MQ / /SB(Q ∈ SA).
⇒ mp(α ) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là MNPQ. Ta có MA AQ ND SQ SP = = = x ⇒ = = 1− x AB SA CD SA SD Mặt khác A ∆ MN = A ∆ DN 2 x x ⇒ V = V = xV = V = V Q AMN P ADN . S AMN S AMND . . . . . 2 2 2 x 1− x Và V
= x − x ×V = V N APQ 1 N SAD . . ( ) ( ) . 2 Do đó V = V + V + V AQM .DPN Q.AMN P.AND N.APQ 2 3 3x − x 4 = ×V = V 2 27 3 2 8 1  − ⇒ x − 3x + = 0 ⇒ x = . Vậy 1 x  1 P = =   . Chọn A. 27 3 1+ x  1 = 2 x 3
Ví dụ 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích bằng 1. Trên cạnh SC lấy điểm E
sao cho SE = 2EC. Tính thể tích V của khối tứ diện SEBD. A. 2 V = . B. 1 V = . C. 1 V = . D. 4 V = . 3 6 3 3 Lời giải Ta có VS.EBD SE 2 2 2 1 1 1 = = ⇒ V = V = S = = Chọn C. S EBD S BCD . ABCD .1 . . . V SC S BCD 3 3 3 2 3 3 .
Ví dụ 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là
trung điểm của BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F. Biết 1 V = V
. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC. S.AEF S. 4 ABC 3 3 3 3 A. a V = B. a V = C. 2a V = D. a V = 2 8 5 12 Lời giải
Dựng AH ⊥ SM , dựng đường thẳng qua H song song với BC cắt SB,
SC lần lượt tại E, F.
Khi đó EF / /BC ⊥ SM ⇒ mp( AEF ) ⊥ SM. Lại có: 1 SE SF SH 1 V = V ⇒ = = = S AEF S ABC . . . 4 SB SC SM 2 Do đó S
∆ AM vuông cân tại a 3
A ⇒ SA = SM = 2 3 Vậy 1 a V = SA S = Chọn B. S ABC . . ABC . . 3 8
Ví dụ 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M, P lần lượt là trung điểm của SA và SC.
Điểm N thuộc cạnh SB sao cho SN = k. Mặt phẳng (MNP) cắt khối chóp theo thiết diện là tứ giác MNPQ. SB V
Biết rằng S.MNPQ 2 =
, giá trị của k là: VS ABCD 15 . A. 1 2 k  ;  ∈     . B. 1 2 k  ∈  ; . C. 2 2 k  ∈  ; . D. 3 2 k  ∈  ; . 3 3 3 5 3 5  5 5 Lời giải
Ta có SM = ; SN = ; SP = ; SQ x y z = t. SA SB SC SD Ta có: 1 x = z = . mà 1 1 1 1 + + + = 4. 2 x z y t
Áp dụng công thức nhanh ta có:
VS.MNPQ xyzt  1 1 1 1 yt 2 = . + + + = .2.4 =   . Vx z y t S ABCD 4  16 15 .  y + t  4 = 4 = 4  yt yt    15 ⇔ yt = ⇒  ⇔ 15   4 16 yt  = yt =  15  15  2 X = 
Khi đó y, t là nghiệm của phương trình 2 16 4 3 2 2 X X 0  k  ;  − + = ⇒ ⇒ ∈ . Chọn C 15 15  2 5 3 X  =  5
Ví dụ 28: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1, AD = 2, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy ( ABCD) và SA = 2 . Điểm M trên cạnh SA sao cho (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai
phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích S của tam giác MAC. A. 3 5 5 S − = . B. 5 S = . C. 5 S = . D. 5 5 S − = . 2 2 3 4 Lời giải
Qua M kẻ đường thẳng d / /BC, cắt SD tại N ⇒ N ∈(MBC) Đặt SA SD = k ⇒ = k SM SN SA SB SC SD + + + Khi đó V + S.MBCN SM SB SC SN k 1 = = 2 V SA SB SC SD k S ABCD 2 . 4. . . . SM SB SC SN Theo bài: V + + S.MBCN 1 k 1 1 1 5 = ⇒ = ⇔ k = ⇒ MA = 3 − 5 2 V k S ABCD 2 2 2 2 .
Diện tích tam giác MAC là 1 1
S = MA AC = ( − ) 3 5 − 5 . . 3 5 . 5 = . Chọn A. 2 2 2
Ví dụ 29: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M thuộc cạnh SA, P thuộc cạnh SC sao
cho 2SM = AM , SP = PC. Mặt phẳng (α ) chứa MP, chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi
V , V lần lượt là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và thể tích khối chóp S.ABCD. Giá trị nhỏ nhất của biểu 1 thức V1 là V A. 5 B. 1 C. 1 D. 2 12 25 15 25 Lời giải
Giả sử mặt phẳng (α ) chứa MP, cắt đường thẳng SB, SD lần lượt tại N, Q. Khi đó SA SC SB SD + = +
⇔ 3 + 2 = x + y ⇔ x + y = 5. SM SP SN SQ SA SB SC SD V + + + Và S.MNPQ SM SN SP SQ
x + y + 5 x + y + 5 5 = = = = V SA SB SC SD x xy xy S ABCD 4.3. .2.y 24 12 . 4. . . . SM SN SP SQ
Ta có xy ≤ (x + y)2 5 5 1 4
= 25 ⇔ 12xy ≤ 75  → ≥ = 12xy 75 15
Vậy tỉ số V1 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 . Chọn C. V 15
Ví dụ 30: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là điểm thuộc cạnh SB, N là điểm
thuộc cạnh SD sao cho SB = 3BM , SN = 2N .
D Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Gọi V
V , V lần lượt là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và đỉnh C. Tính tỉ số 1 1 2 V2 A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 3 3 2 Lời giải
Giả sử mặt phẳng ( AMN ) cắt đường thẳng SC tại P. Khi đó SA SC SB SD SC 3 3 + = + ⇔ 1 SC + = + ⇔ = 2 SA SP SM SN SP 2 2 SP SA SB SC SD 3 3 + + + 1+ + 2 + Và VS.AMPN SA SM SP SN 2 2 6 1 = = = = ⇒ V = V S ABCD 3 . 1 V SA SB SC SD 3 3 S ABCD 18 3 . 4. . . . 4.1. .2. SA SM SP SN 2 2 Mà V1 1 V = V + V
= V +V = V ⇔ V = V ⇔ = Chọn D. S ABCD S AMPN AMPN BCD 3 2 . . . . 1 2 1 2 1 V 2 2
Dạng 2: Tỉ số thể tích khối lăng trụ
Ví dụ 1: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ,′V là thể tích tứ diện A′ABD . Hệ thức nào 1 sau đây đúng?
A. V = 6V
B. V = 4V
C. V = 3V
D. V = 2V 1 1 1 1 Lời giải Ta có V = S AA′ và 1 V = S ′ ∆ .AA ABCD . 1 3 ABD Mà 1 V S =  → = ∆ S ABD ABCD 6 2 V1
Suy ra V = 6V . Chọn A. 1
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ . Gọi D là trung điểm của AC. Tính tỉ số thể tích khối tứ diện B B
′ AD và thể tích khối lăng trụ đã cho. A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 6 12 3 Lời giải Ta có V = ′ và 1 V = ′ ′ S∆ BB B BAD BAD . . ′ ′ ′ S∆ BB ABC A B C ABC . . 3 Mà 1 VBBAD ′ 1 S =  → = = Chọn B. ∆ S∆ k BAD ABC . 2
VABC A′BC′′ 6 .
Ví dụ 3: Cho khối lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ . Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song
với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng ( A′MN ) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính
tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng. A. 2 B. 4 C. 4 D. 4 3 23 9 27 Lời giải
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.
Gọi E là trung điểm của BC AG 2 ⇒ = AE 3
Qua G kẻ đường thẳng d / /BC, cắt AB, AC lần lượt tại M, N. AM AN AG 2 ⇒ = = = (định lí Talet) AB AC AE 3  2 AM = AB  3 4 ⇒  ⇒ S = (1). ∆ S 2 AMN 9 ABC ∆  AN = AC  3 Ta có V = và 1 V = (2). ′ S∆ AA A AMN AMN . ' ′ ′ ′ S∆ AA ABC A B C ABC . ' . . 3 Từ (1) và (2) 4 23 ⇒ V = ⇒ = ′ V ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V A .AMN ABC.A B C BMNC,A B C ABC. 27 27 A′B C ′ ′
Vậy tỉ số cần tìm là 4 23 4 : = . Chọn B. 27 27 23
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AC = 2 2. Biết AC′
tạo với mặt phẳng ( ABC) một góc 60° và AC′ = 4 . Tính thể tích của khối đa diện ABCC B ′ ′ . A. 8 3 B. 3 C. 2 3 D. 16 3 3 3 3 Lời giải
Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng ( A′B C ′ ′).
Suy ra HC′ là hình chiếu của AC′ trên mặt phẳng ( A′B C ′ ′).
Do đó ( AC′ ( ABC))
 = (AC′ HC′)  =  ; ; AHC′ = 60° Tam giác AHC′, có = ′  AH AC sin AC H ′ = 2 3 2 Diện tích tam giác AC S = = ABC ∆ 4 2 Suy ra V = = ′ ′ ′ S∆ AH ABC A B C ABC . 8 3 . Ta có 1 1 8 3 V = = = ′ ′ ′
S∆ ′ ′ ′ AH V A A B C A B C . ABC A′B C ′ ′ . . . 3 3 3 Suy ra 16 3 V = − = . Chọn D. ′ ′ V ′ ′ ′ V ABCC B ABC.A B C . A A′B C ′ ′ 3
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có thể tích V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AC, AB ,′ AD′ sao cho AM = 2AC, AN = 3AB ,′ AP = 4AD .′ Tính thể tích của khối tứ diện AMNP theo V. A. V = V B. V = V C. V = V D. V = V AMNP 12 AMNP 6 AMNP 4 AMNP 8 Lời giải Ta có V = V + + + + ′ ′ ′
V ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V ′ V AB D C ( AABD CC B D D DAC B BAC ′ ). Mà V V = = = = ′ ′ ′
V ′ ′ ′ V ′ V AA B D CC B D D DAC B BAC ′ . 6 Suy ra V V = AB D ′ C ′ ′ . 3 ′ ′
Từ gia thiết, ta có AB 1 AC 1 AD 1 = ; = ; = . AN 3 AM 2 AP 4 ′ ′
Ta có V .ABD′C′′ AB AD AC 1 = . . = . V AN AP AM A NPM 24 . V  →V = V = = Chọn A. ′ ′ ′ V A NPM 24 A BDC 24. 8 . . . 3
Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt
đối diện) có thể tích bằng 1 của khối lăng trụ tam giác. 3
Ví dụ 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A′B C
′ ′ có góc giữa hai mặt phẳng ( A′BC) và ( ABC) bằng 30° .
Điểm M nằm trên cạnh AA′. Biết cạnh AB = a 3, thể tích khối đa diện MBCC B ′ ′ bằng 3 3 3 3 A. 3a . B. 3a 3 . C. 3a 2 . D. 2a . 4 2 4 3 Lời giải
Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ . Do V 2 ′ / / V AA BB′ ⇒ V = = − = − = ′ ′
V ′ ′ ′ V V ′ V M .BCB C A .BCC B A .ABC 3 3
Dựng AH ⊥ BC mà AA′ ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( A′HA) Do đó ( ′ ) ( )  =  AB 3 3 ; ′ = 30 a A BC ABC A HA ° ⇒ AH = = . 2 2 3 Khi đó a 3 9 ′ = .tan 30° = ⇒ = . a AA AH V AA′ S = ABC ∆ . 2 8 3
Vậy thể tích cần tính là V 3a V = = Chọn A. M BCC B ′ ′ 2 . . 3 4
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh
AA ,′ BB ,′CC′ sao cho AM 1 BN CP 2 = ; =
= . Tính thể tích của khối đa diện ABC.MNP
AA′ 2 BB′ CC′ 3 A. 2 V ′ = V B. 9 V ′ = V C. 20 V ′ = V D. 11 V ′ = V 3 16 27 18 Lời giải Công thức giải nhanh
m + n + p V  = AM BN CP  V với m = ,n = , p = . ABC.MNP  3  AA′ BB′ CC′ Áp dụng với: 1 2 2
m = ;n = ; p = , ta được 11 V = V . Chọn D. 2 3 3 ABC.MNP 18
Ví dụ 8: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB′ và P thuộc cạnh DD′ sao cho 1
DP = DD′ . Mặt phẳng ( AMP) cắt CC′ tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng 4 3 3 A. 3 V = 2a B. 3 V = 3a C. 11a V = D. 9a V = 3 4 Lời giải
Áp dụng công thức tính nhanh, ta được VAMNPBCD 1  BM DP  1  1 1  3 3 = + = . + =  →V = a =     a . Chọn B AMNPBCD .(2 )3 3 3 V  ′ ′ ′ ′ ′ ′ BB DD ABCD A B C D 2  2  2 4  8 8 .
Ví dụ 9: Cho hình hộp ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Gọi M là điểm thuộc CC′ thỏa mãn CC′ = 4CM . Mặt phẳng ( AB M
′ ) chia khối hộp thành hai phần có thể tích là V và V . Gọi V là phần thể tích có chứa điểm B. Tính 1 2 1 tỉ số V1 k = . V2 A. 7 k = B. 7 k = C. 7 k = D. 25 k = 32 16 25 32 Lời giải
Trong mặt phẳng (CDD C
′ ′), kẻ MN / /C . D ′ Suy ra 1
CN = CD và V là khối đa diện ABB N ′ CM. 4 1
Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó V = + ′ V ′ V ABB NCM ABB CM MACN . . 1 0 + +1 • 4 5  1 V  = = ′ V ′ ′ ′  V ABB CM . ABC ABC . . 3 12 2    • 1 1 1  1  1 V = V = = ′  V ′ ′ ′  V MACN . C ADC . ADC A D C . . . 4 4 16  3  96 Vậy 7 25 V1 7 V = V + =  → =  → = Chọn C ′ V V V ABCMB MACN . 1 2 32 32 V 25 2
Nhận xét: Ta có 1 1 V = V
vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần MACN . C . 4 4 ′ ADC
Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ cạnh a. Gọi M là trung điểm của A′B ,′ N là trung điểm
của BC. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN. 3 3 3 3 A. a V = . B. a V = . C. a V = . D. a V = . 3 12 6 2 Lời giải Ta có 1 V = V = d M ABCD S ADMN M ADN . ; . . ( ( )) 3 AM ∆ D
Lại có d (M;( ABCD)) = d ( A ;′( ABCD)) = AA′ Và 1 1 S = − − = − = ∆ S S∆ S∆ S S S AMD ABCD ABN CDN ABCD 2 ABCD 2 ABCD 3 Do đó 1 1 1 VABCD. = . . = . A B C D a V AA S AA S ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = ADMN ABCD ABCD . 3 2 6 6 6 Chọn C.
Ví dụ 11: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có AB = a, AD = 2 .
a Diện tích tam giác A′DC bằng 2
a 13 . Tính thể tích khối chóp A.′BCC B′′ theo a. 2 A. 3 a B. 3 2a C. 3 3a D. 3 6a Lời giải CD ⊥ DD′ Ta có 
⇒ CD ⊥ ( ADD A
′ ′) ⇒ CD ⊥ A′ . D CD ⊥ AD 2 Suy ra 1 a 13 S = ′ =  → ′ = ∆ ′ A D CD A D a A CD . . 13 2 2 2 Do đó 2 2
AA′ = A′D − AD = (a 13) − (2a)2 = 3 .a
Thể tích của khối hộp ABC . D A′B C ′ D ′ ′ là 3
V = AA .′A . B AD = 6a . Lại có 1 1 3 3 V = = = Chọn B. ′ ′ ′ V ′ ′ ′ ′ a a A BCC B ABCD A B C D .6 2 . . . 3 3
Ví dụ 12: Cho khối hộp ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Gọi M thuộc cạnh AB sao cho MB = 2 .
MA Mặt phẳng (MB D ′ ′)
chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. A. 5 . B. 7 . C. 13 . D. 5 . 12 17 41 17 Lời giải Lý thuyết bổ sung:
Cho hình chóp cụt ABC.A′B C
′ ′ có chiều cao h, S là diện tích tam giác ABC, S là diện tích tam giác 1 2 A′B C
′ .′ Thể tích khối chóp cụt ABC.A′B C ′ ′ là 1
V = h(S + S + S S 1 2 1 2 ) 3
Qua M kẻ đường thẳng d / /BD, cắt AD tại N
Suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MB D ′ ′) là MND B ′ ′ Khi đó V = + ′ ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V ABCD.A B C D AMN.A B D B C ′ D ′ .′MBCDN Đặt AA′ = ; h S = S  →V = ′ ′ ′ ′ S h ABCD ABCD A B C D . .
Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta có 1 V = ′ + + ′ ′ ′ AA S∆ S∆ ′ ′ ′ S∆ S AMN A B D . AMN A B D AMN . . ( A ∆ ′B D ′ ′ ) 3 Mà S A ∆ MN AM AN 1 1 = . S = ⇒ S = = ∆ S AMN ABD ∆ . S∆ AB AD ABD 9 9 18   Và S 1 S S S S 13 S =  → =  + +  = ∆ ′ ′ ′ V ′ ′ ′ h V A B D AMN A B D . . 2 3 18 2 18 2  54  
Vậy tỉ số thể tích cần tính là 13  13  13 : 1− =   . Chọn C. 54  54  41
Ví dụ 13: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Gọi I là trung điểm của BB ,′ mặt phẳng (DIC′) chia
khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng A. 3 B. 2 C. 7 . D. 5 8 3 17 12 Lời giải
Tham khảo hình vẽ dưới đây: Đặt AA′ = ; h S = S  →V = ′ ′ ′ ′ S h ABCD ABCD A B C D . .
Nối IC′ cắt BC tại F; nối FD cắt AB tại M.
Suy ra mp(DIC′) chia khối lập phương thành hai khối IBM.C C
′ D và IMAA′B .′C D ′ D′
Vì M là trung điểm của AB mà FB 1 BM / /CD ⇒ = . FC 2 Ta có IB FB 1 1 1 BI / /CC′ ⇒ = = ⇒ S = = ∆ S∆ ′ S CC′ FC 2 IBM 4 BAB 8 ABBA′′
Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta được 1 1  S S S S  7 V = + + =  + +  = ′ BC S∆ S∆ ′ S∆ S∆ ′ h Sh IBM C CD . IBM C CD IBM . C CD . . . . ( ) 3 3  8 2 8 2  24  
Do đó, thể tích khối IMAA′B .′C D ′ D′ là 7 17 V = − = ′ ′ ′ ′ V V V IMAA B C DD . . 24 24
Vậy tỉ số cần tính là 7 17 7 : = . Chọn C. 24 24 17
Ví dụ 14: Cho khối lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng AA′ và BB′. Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A
′ ′ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng C B ′ ′
tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi A′MPB N ′ Q bằng: A. 1 B. 1 C. 1 D. 2 3 2 3 Lời giải Ta có: 1 1 2 1 V = V = = ′ ′ V C ABNM C ABB A . ABC A′B C ′ ′ . . . . 2 2 3 3 Suy ra 1 2 V = − = − = ′ ′ ′ V ′ ′ ′ V CMN A B C ABC A B C C ABNM 1 . . . . 3 3 Lại có V = + ′ V ′ ′ ′ V C.C PQ CMN.A B C A′MPB N ′ Q 2 ⇒ V = − Mà S = ∆ ′ S C PQ 4 ′ ′ V A MPB NQ C C PQ ′ . . 3 A′B C ′ ′ 1 4 ⇒ V = = = ′ V ′ ′ ′ ′ V C C PQ
4 C ABC 4. ABC A′BC′′ . . . . 3 3 Vậy 4 2 2 V = − = Chọn D. A′MPB N ′ Q . 3 3 3
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Cho khối chóp S.ABC, trên ba cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A ,′ B ,′C′ sao cho 1 1 1 SA′ = ,
SA SB′ = SB, SC′ = SC. Gọi V và V ′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A′B C ′ ′. 3 3 3 Tính tỉ số V V ′ A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 3 27 9 6
Câu 2: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M là trung điểm canh SA và N là điểm trên cạnh SC sao cho SN = 3NC.
Tính tỉ số k giữa thể tích khối chóp ABMN và thể tích khối chóp S.ABC. A. 3 k = B. 2 k = C. 1 k = D. 3 k = 8 5 3 4
Câu 3: Cho khối tứ diện có thể tích bằng V. Gọi V ′ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các trung ′
điểm của các cạnh của khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V . V ′ ′ ′ ′ A. V 1 = B. V 1 = C. V 2 = D. V 5 = V 2 V 4 V 3 V 8
Câu 4: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB, N là điểm nằm ′
giữa AC sao cho AN = 2NC. Gọi V ′ là thể tích khối chóp S.AMN. Tính tỉ số V . V ′ ′ ′ ′ A. V 1 = B. V 1 = C. V 1 = D. V 2 = V 3 V 2 V 6 V 3
Câu 5: Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng V và G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm CD. Thể
tích khối chóp AGMC là A. V B. V C. V D. V 18 9 6 3
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, SA vuông góc với đáy,
SA = a , I thuộc cạnh SB sao cho 1 SI = .
SB Tính thể tích khối chóp S.ACI. 3 3 3 3 3 A. a B. a C. a D. a 3 6 12 9
Câu 7: Cho khối chóp S.ABC có thể tích bằng V. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA. Tính
thể tích khối chóp A. V B. V C. V D. V 2 3 4 8
Câu 8: Cho hình chóp đều S.ABC có SA = 3 .
a D thuộc cạnh SB và DB = .
a Mặt phẳng (α ) đi qua AD và
song song với BC cắt SC tại E. Tính tỉ số giữa thể tích khối tứ diện SADE và thể tích khối chóp S.ABC. A. 2 B. 4 C. 1 D. 1 9 9 3 4
Câu 9: Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V và điểm E trên cạnh AB sao AE = 3E .
B Tính thể tích V ′ của
khối tứ diện EBCD theo V. A. V V ′ = B. V V ′ = C. V V ′ = D. V V ′ = 2 5 3 4
Câu 10: Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ ( ABC),SA = a, A
∆ BC vuông cân, AB = AC = a, B′ là trung điểm của
SB, C′ là chân đường cao hạ từ A của S
∆ AC . Tính thể tích của khối chóp S.AB C ′ ′ 3 3 3 3 A. a B. a C. a D. a 9 12 36 24
Câu 11: Cho khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (α ) qua AG và song song
với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Tính tỉ số của hai khối tứ diện SAIJ và S.ABC. A. 2 B. 2 C. 4 D. 8 9 3 9 27
Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = .
a Đường thẳng SA vuông
góc với mặt phẳng ( ABC), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC) bằng 60°. Tính thể tích V của
khối chóp M.ABC, với M là trung điểm của SB. 3 3 3 3 A. 3a V = . B. 3a V = . C. 3a V = . D. 3a V = . 2 4 12 6
Câu 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân, AB = AC = a, SC vuông góc với mặt
phẳng ( ABC) và SC = .
a Mặt phẳng qua C, vuông góc với SB và cắt SA, SB lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEF. 3 3 3 3 A. a 2 B. a 2 C. a D. a 12 36 36 12
Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có thể tích V. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích
khối chóp S.AHK theo V. A. 1 V = V B. 1 V = V C. 1 V = V D. 1 V = V S.AHK 2 S.AHK 4 S.AHK 12 S.AHK 6
Câu 15: Cho khối chóp S.ABCD có thể tích là 3
3a . Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Thể tích của khối chóp G.ABCD là A. 3 V = a B. 3 V = 2a C. 1 3 V = a D. 4 3 V = a 3 3
Câu 16: Cho hình chóp đều S.ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Gọi M, N, O lần lượt là
trung điểm SC, SD, AC. Tính tỉ số thể tích VS.OMN . VS.ABCD A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 6 4 12 16
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có SC = 2a và SC ⊥ ( ABC). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và có
AB = a 2. Mặt phẳng (α ) đi qua C vuông góc với SA và cắt SA, SB lần lượt tại D, E. Tính thể tích khối chóp S.CDE. 3 3 3 3 A. 4a B. 2a C. 2a D. a 9 3 9 9
Câu 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thoả mãn AB = 2a, BC = 4a, AC = 2 5 . a Cạnh bên
SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính thể
tích V của khối chóp S.AMN. 3 3 3 3 A. 2a V = B. a V = C. a 5 V = D. a 5 V = 9 12 2 3
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, cạnh SA vuông góc với đáy, góc 
ACB = 60 ,° BC = a, SA = a 3. Gọi M là trung điểm của SB. Tính thể tích V của khối tứ diện MABC. 3 3 3 3 A. a V = B. a V = C. a V = D. a V = 2 3 6 4
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với đáy ( ABC).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB và P là hình chiếu vuông góc của A lên SC. Tính thể tích V của khối chóp S.MNP. A. 3 3 a B. 3 3 a C. 3 3 a D. 3 3 a 30 6 15 10
Câu 21: Cho hình chóp tam giác S.ABC có  =  = ° 
ASB CSB 60 , ASC = 90°. SA = SB = 1 , SC = 3. Gọi M là
điểm trên cạnh SC sao cho 1
SM = SC. Khi đó, thể tích của khối chóp S.ABM bằng 3 A. 6 V = B. 3 V = C. 2 V = D. 2 V = 36 36 12 4
Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có SA = 4, SB = 5, SC = 6 ,  =  ASB BSC = 45°, 
CSA = 60 .° Các điểm M, N, P      
thỏa mãn đẳng thức AB = 4AM ; BC = 4BN;CA = 4C .
P Tính thể tích khối chóp S.MNP. A. 128 2 B. 35 C. 245 D. 35 2 3 8 32 8
Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA ⊥ ( ABC). Biết AB = a,
SA = 2a, mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC và cắt SB, SC lần lượt tại H và K. Tính thể tích V của hình chóp S.AHK. 3 3 3 3 A. 8a V = B. 8a V = C. 3a V = D. 4a V = 15 45 15 45
Câu 24: (Sở GD và ĐT Bắc Giang) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 1,
AD = 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABCD) và SA = 2. Điểm M điểm trên cạnh SA sao cho mặt
phẳng (MBC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính diện tích S của tam giác MAC. A. 3 5 5 S − = B. 5 S = C. 5 S = D. 5 5 S − = 2 2 3 4
Câu 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA = .
a Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B ,′C ,′ D′. Tính thể tích V
của khối đa diện ABCDD C ′ B ′ .′ 3 3 3 3 A. 5a V = B. 5a V = C. 5a V = D. 5a V = 18 9 12 6
Câu 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC) và SA = .
a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, DC. Góc giữa mặt phẳng (SBM ) và mặt phẳng ( ABC)
bằng 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABNM. 3 3 3 3 A. 25a B. 25a C. 25a D. 25a 8 16 18 24
Câu 27: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A ,′ B ,′C ,′ D′ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC, SD.
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A′B C ′ D
′ ′ và S.ABCD A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 16 8 2
Câu 28: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích V, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi N là trung điểm của SC.
Một mặt phẳng đi qua AN cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, P. Gọi V ′ là thể tích của khối chóp S.AMNP. ′
Tính giá trị nhỏ nhất của V T = V A. 3 B. 1 C. 2 D. 1 8 3 3 8
Câu 29: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P)
chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Gọi V là thể tích của phần chứa đỉnh S và V 1 2
là thể tích phần còn lại. Tính tỉ số V1 . V2 A. 2 B. 2 C. 1 D. 1 9 3 3 2
Câu 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tứ giác lồi với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M, N, P, Q
lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD và SDA. Gọi V , V lần lượt là thể tích của khối chóp 1 2
S.ABCD và O.MNPQ. Tính tỉ số V1 . V2 A. 8 B. 27 C. 27 D. 9 4 2
Câu 31: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm của SB, M là điểm đối xứng với B qua A.
Mặt phẳng (MNC) chia khối S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là V , V với V <V . Tính tỉ số 1 2 1 2 V1 k = . V2 A. 5 k = B. 5 k = C. 5 k = D. 5 k = 7 9 11 13
Câu 32: (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế 2017) Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên
hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60°. Mặt phẳng (P) chứa AB đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt
SC, SD lần lượt tại M, N. Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABMN. A. 3 V = 3a B. 3 3 V = a C. 3 3 V = a D. 3 3 3 V = a 4 2 2
Câu 33: Cho hình chóp đều S.ABCD có SA = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy là 60°. Gọi M là trung điểm
SA, mặt phẳng (P) đi qua CM và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E, F. Tính thể tích khối chóp S.CEMF 3 3 3 3 A. a 15 B. a 15 C. 4a 15 D. 4a 15 75 225 225 75
Câu 34: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B C
′ ′ có thể tích là V . Gọi E là trung điểm của A′C ,′ F là giao 1 điểm của AE và V
A′C. Biết khối chóp F.A′B C
′ ′ có thể tích là V . Tính tỉ số 2 2 V1 A. V V V V 2 1 = B. 2 1 = C. 2 2 = D. 2 1 = V 3 V 6 V 9 V 9 1 1 1 1
Câu 35: (Sở GD&ĐT Cần Thơ 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ và M là điểm tùy ý thuộc cạnh
bên BB′. Gọi V ,V ′ lần lượt là thể tích của khối lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ và khối chóp M.AA′C C ′ . Tính tỉ số V ′ k = V A. 2 k = B. 1 k = C. 5 k = D. 1 k = 3 6 6 3
Câu 36: Cho lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có thể tích bằng 18. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA ,′ BB .′ Tính
thể tích V của khối đa diện CNMA′B C ′ ′ . A. 12 B. 6 C. 9 D. 15
Câu 37: Cho lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có thể tích bằng V. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối chóp .
G A′BC theo V. A. V B. V C. V D. V 12 6 5 9
Câu 38: Cho hình lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có thể tích V. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó thể tích khối chóp . G A′B C ′ ′ là A. V B. 3V C. 2V D. V 3 2
Câu 39: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B C
′ ′ có thể tích V . Gọi P là một điểm trên đường thẳng AA′. 0
Tính thể tích khối chóp tứ giác . P BCC B ′ ′ theo V 0 A. 2V V V V 0 B. 0 C. 0 D. 0 3 2 3 4
Câu 40: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B C
′ ′ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, B C
′ . Mặt phẳng ( A′MN ) cắt cạnh BC tại P. Tính thể tích của khối đa diện MB . P A′B N ′ 3 3 3 3 A. 7a 3 B. a 3 C. 7a 3 D. 7a 3 32 32 68 96
Câu 41: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B C
′ ′ . Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh bên
AA ,′CC′ sao cho MA = MA′ và NC = 4NC .′ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Trong bốn khối tứ diện GA′B C ′ ′, BB MN ′ , ABB C
′ ′, A′BCN khối nào có thể tích nhỏ nhất?
A. Khối A′BCN
B. Khối GA′B C ′ ′ C. Khối ABB C ′ ′ D. Khối BB MN ′
Câu 42: Cho khối lăng trụ ABC.A′B C
′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = BC = 2a, AA′ = a 3.
Tính thể tích V của khối chóp . A BCC B ′ ′theo a. 3 3 A. 4a 3 V = B. 3 V = a 3 C. 2a 3 V = D. 3 V = 2a 3 3 3
Câu 43: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B C
′ ′ có AB = a, AC = 2a, AA′ = 2a 3 , 
BAC = 120° . Gọi K, I lần
lượt là trung điểm của các cạnh CC ,′ BB .′ Tính thể tích V của khối tứ diện IA′BK 3 3 3 3 A. a V = B. a 3 V = C. a 5 V = D. a V = 2 6 2 6
Câu 44: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có cạnh bằng a. Tính thể tích V của khối tứ diện ACD B ′ ′ 3 3 3 A. 1 3 V = a B. a 2 V = C. a V = D. a 6 V = 3 3 4 4
Câu 45: Cho khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Tỉ số thể tích của khối tứ diện A′ABC và khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D ′ ′ bằng A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 6 2 3
Câu 46: Cho hình hộp V ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có thể tích V. Gọi V là thể tích của tứ diện ACB D ′ .′ Tính tỉ số 1 . 1 V A. 1 B. 2 C. 1 D. 4 3 3 5 5
Câu 47: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ cạnh a. Gọi M là trung điểm của A′B′ và N là trung điểm
của BC. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN. 3 3 3 3 A. a V = B. a V = C. a V = D. a V = 3 12 6 2
Câu 48: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có cạnh a.Tính thể tích của khối tứ giác . D ABC D ′ ′ . 3 3 3 3 A. a B. a 2 C. a 2 D. a 3 6 3 4  
Câu 49: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Gọi M là điểm trên đường chéo CA′ sao cho MC = 3 − MA′
Tính tỉ số giữa thể tích V của khối chóp M.ABCD và thể tích V của khối lập phương. 1 2 A. V V V V 1 1 = B. 1 3 = C. 1 1 = D. 1 1 = V 3 V 4 V 9 V 4 2 2 2 2
Câu 50: Cho hình hộp ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Gọi M thuộc cạnh AB sao cho MB = 2 .
MA Mặt phẳng (MB D ′ ′)
chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. A. 5 B. 7 C. 13 D. 5 12 17 41 17
Câu 51: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ có thể tích bằng 1 và G là trọng tâm của tam giác BCD′.
Tính thể tích V của khối chóp GABC′ A. 1 V = B. 1 V = C. 1 V = D. 1 V = 18 12 3 6
Câu 52: Cho hình hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Tỉ số thể tích của khối tứ diện A′ABC khối hộp chữ nhật ABC . D A′B C ′ D ′ ′ bằng A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 4 6 2 3
Câu 53: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, mặt phẳng (C MN ′
) chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Gọi V là thể tích của khối đa diện có thể tích nhỏ 1 hơn, V
V là thể tích của khối đa diện có thể tích lớn. Tính 1 . 2 V2 A. V V V V 1 1 = B. 1 13 = C. 1 1 = D. 1 25 = V 3 V 23 V 2 V 47 2 2 2 2
Câu 54: Cho hình lập phương ABC . D A′B C ′ D
′ ′ . Gọi I là trung điểm của BB′, mặt phẳng (DIC′) chia khối
lập phương thành hai phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng A. 3 B. 2 C. 7 D. 5 8 3 17 12
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN ′ ′ ′
Câu 1: Ta có VS.A′BC′′ SA SB SC 1 1 1 1 = . . = . . = . Chọn B V SA SB SC S ABC 3 3 3 27 .
Câu 2: Ta có S∆ AM S AMN 1 S ∆ AN SN 3 = = ; = = . S∆ SA S∆ SC SAN 2 SAC 4 Suy ra 1 3 3 S = = ∆ S∆ S AMN .
2 4 SAC 8 S∆AC 1
⇔ d (B (SAC)) 3 1 ; .S = × ∆ d B SAC S AMN ( ;( )). 3 8 3 S ∆ AC 3 VABMN 3 ⇔ V = V ⇔ k = = Chọn A B AMN B SAC . . . 8 VS ABC 8 .
Câu 3: Kí hiệu tứ diện và các điểm như hình vẽ. ′ ′ ′
Ta có VS.A′BC′′ SA SB SC 1 = . . V = ⇒ V = S. V SA SB SC 8 A′B C ′ ′ S ABC 8 . Tương tự V V = = = ′ V ′ V . A A MP B.B MN C.C N ′ P 8
Do đó V ′ = V − V + + + ′ ′ ′ V ′ V ′ V S.ABC ( S.ABC . A A MP B.B MN C.C N ′ P ) V V V V V V ′ 1 = V − + + + = ⇒ =   . Chọn A  8 8 8 8  2 V 2
Câu 4: Ta có S A ∆ MN AM AN 1 2 1 = . = . = S∆ AB AC ABC 2 3 3 Lại có 1 1 V = d A ABC S = ∆ V d A ABC S S AMN ; . AMN ; S ABC ; . . ( ( )) . ( ( )) 3 3 ABC ∆ Suy ra V S S.AMN A ∆ MN 1 V = =  →V = Chọn A S AMN . . V S S ABC ABC ∆ 3 3 .
Câu 5: Ta có S MC ∆ G MG 1 = = mà 1 S = ∆ S S MCB 2 B ∆ CD ∆ MB MCB 3 Suy ra 1 1 1 1 S = = = ∆ S∆ S∆ S MCG MCB . 3 3 2 BCD 6 B ∆ CD Lại có 1 V = d A BCD S A GMC ; . . ( ( )) 3 MG ∆ C 1 1 = . ( ;( )). V d A BCD S = . Chọn C 6 3 BC ∆ D 6 2 3
Câu 6: Diện tích tam giác ABC là AC 2 1 a S = = ⇒ = = ∆ a V SA S ABC S ABC . . . 4 3 ABC ∆ 3 3 3 Vậy VS.AIC SI 1 1 1 a a = = ⇒ V = V = = . Chọn D S AIC S ABC . . . V SB S ABC 3 3 3 3 9 . 1 .hS MN ∆ K Câu 7: Ta có 1 VS.MNK 3 1 V S =  → = = ⇒ = . Chọn C ∆ S∆ V MNK ABC S. 3 V 1 4 MNK S ABC 4 . . h S 3 ABC ∆
Câu 8: Qua D kẻ đường thẳng d / /BC, cắt SC tại E
⇒ Mặt phẳng (α ) cắt khối chóp theo thiết diện là A ∆ DE
Theo định lí Talet, ta có SD SE 2 = = SB SC 3 Do đó VS.ADE SD SE 2 2 4 = . = . = . Chọn B V SB SC S ABC 3 3 9 .
1 d (E;(BCD)).S BC ∆ D Câu 9: Ta có V EB V E.BCD 3 AE = = mà 1 E.BCD 1 = ⇒ = . Chọn D V 1 AB AB 4 VA BCD 4 . A BCD .d ( ;
A (BCD)).S . 3 BC ∆ D
Câu 10: Tam giác SAC cân tại A mà AC′ ⊥ SC ′
Suy ra C′ là trung điểm của SC 1 SC  → = SC 2 2 2
Tam giác ABC vuông cân tại AB a A  → S = = ABC ∆ 2 2 3
Do đó, thể tích khối chóp S.ABC là 1 a V = SA S = S ABC . . . 3 ABC ∆ 6 3
Vậy VS.ABC′′ SB SC 1 1 1 = . = . a = ⇒ V = Chọn D S AB C ′ ′ . . V SB′ SC′ S ABC 2 2 4 24 .
Câu 11: Qua G kẻ đường thẳng d / /BC, cắt SB, SC tại I, J. Ta có SG SI SJ 2 d / /BC ⇒ = =
= (M là trung điểm của BC) SM SB SC 3 Khi đó VS.AIJ SI SJ 2 2 4 = . = . = . Chọn C V SB SC S ABC 3 3 9 . 2
Câu 12: Diện tích tam giác ABC là 1 a S = = ∆ AB BC ABC . . 2 2
Ta có SA ⊥ ( ABC) ⇒ SB ( ABC)  = (SB AB)  =  ; ; SBA = 60°
Tam giác SAB vuông tại A, có =  SA A .
B tan SBA = a 3 2 3
Suy ra thể tích khối chóp S.ABC là 1 a 3 a a 3 V = SA S = = S ABC . . ABC ∆ . . 3 3 2 6 3
Vì M là trung điểm của 1 a 3 SB  →V = V = Chọn C M ABC S ABC . . . 2 12
Câu 13: Kẻ CF ⊥ SB(F ∈ SB)  SC ⊥ AB Ta có 
⇒ AB ⊥ (SAC) AC ⊥ AB
Kẻ CE ⊥ SA(E ∈ SA) mà AB ⊥ CE ⇒ CE ⊥ (SAB) ⇒ CE ⊥ SB Do đó V
C, E, F đồng phẳng S.CEF SE ⇒ = . SF V SA SB S.CAB
Tam giác SAC vuông cân tại SE 1 C  → = SA 2
Tam giác SBC vuông tại C , có 1 1 1 a 6 = + ⇒ CF = 2 2 2 CF SC BC 3
Tam giác SCF vuông tại F , có 2 2 a 3 SF 1
SF = SC − CF = ⇒ = 3 SB 3 2 3 Vậy VS.CEF 1 1 1 1 1 = . a a a = ⇒ V = V = = Chọn C S CEF S ABC . . . . . VS CAB 2 3 6 6 6 3 2 36 .
Câu 14: Ta có VS.AHK SA SH SK 1 1 1 = . . = 1. . = V SA SB SC S ABC 2 2 4 . Do đó 1 1 V = V = V Chọn B S AHK S ABC . . . 4 4
Câu 15: Gọi M là trung điểm của AB ⇒ , A G, M thẳng
hàng và SM = GM ⇒ d (G ( ABC)) 1 3 ;
= d (S;( ABC)) 3 Ta có: 1 V = d G ABCD S G ABCD ; . . ( ( )) 3 ABCD 1 1 = . d ( ; A ( ABCD)) 1 3 .S = V = a . Chọn A ABCD S. 3 3 3 ABCD Câu 16: Do S = S ⇒ V = V ABCD 4 OCD S ABCD 4 . S.OCD
Mặt khác VS.OMN SO SM SN 1 = . . = V SO SC SD S OCD 4 . VS.OCD 1 ⇒ V = = V . Chọn D S.OMN S. 4 16 ABCD
Câu 17: BC = AB = a 2, AC = AB 2 = 2a AB ⊥ BC Do  ⇒ AB ⊥ CE.  AB ⊥ SC
Mặt khác CE ⊂ (α ) ⇒ CE ⊥ SA ⇒ CE ⊥ (SAB) ⇒ CE ⊥ SB
Tam giác SCB vuông tại S có đường cao CE có: 2 2 2 SC SE SE SC 4
SC = SE.SB ⇒ = ⇒ = = 2 2 2 SB SB SB SC + BC 6
SC = AC ⇒ SC
∆ A vuông cân tại C nên D là trung điểm của SA Suy ra VS.CED SC SE SD 4 1 1 = . . = . = V SC SB SA S CBA 6 2 3 . Mặt khác 1 1 1 V = SC S = a a = a ⇒ V =
a = a Chọn C S CAB . . ABC .2 . ( 2)2 2 3 1 2 3 2 3 S CDE . . . . 3 2 2 3 3 3 9 Câu 18: Ta có 2 2 2 2
AB + BC = AC = 20a ⇒ A
∆ BC vuông tại B 3 Do đó 1 2 1 8a S
= AB BC = a ⇒ V = SA S = ABC . 4 S ABC . ABC . . 2 3 3
Xét tam giác SAB vuông tại S có đường cao AM có: 2 2 2 SA SM SM SA 1
SA = SM.SB ⇒ = ⇒ = = 2 2 2 SB SB SB SA + AB 2 2 Tương tự SN SA 4 1 = = = 2 2 SC SA + AC 4 + 20 6 3 3
Mặt khác VS.AMN SM SN 1 1 8a 2 = . a = ⇒ V = = S AMN . . . V SB SC S ABC 12 12 3 9 . Chọn A. Câu 19: A
∆ BC vuông tại B
⇒ AB = BC tan B = tan 60° = a 3 2 1 a 3 S = AB BC = ABC . 2 2
Gọi H là trung điểm của AB ⇒ MH là đường trung bình của tam
MH / /SA ⇒ MH ⊥ ( ABC) giác SAB  ⇒  SA a 3  MH = = .  2 2 3 Do đó 1 a V = MH S = Chọn D. M ABC . ABC . . 3 4
Câu 20: Xét tam giác SAC vuông tại S có đường cao AP có: 2 2 2 SA SP SP SA 4 4 SA = . SP SC ⇒ = ⇒ = = = . 2 2 2 SC SC SC SA + AC 4 +1 5 Do đó VS.MNP SM SN SP 1 1 4 1 = . . = . . = V SA SB SC S ABC 2 2 5 5 . 2 3 Lại có a 3 1 a 3 S = ⇒ V = SA S = ABC S ABC . ABC . . 4 3 6 3 3 Suy ra 1 a 3 a 3 V = = Chọn A. S MNP . . . 5 6 30
Câu 21: Ta có SA = SB = SM = 1 ⇒ hình chiếu của đỉnh S
xuống mặt phẳng ( ABM ) là tâm đường tròn ngoại tiếp A ∆ BM . Mặt khác  2 2
ASC = 90° ⇒ AS ⊥ SM ⇒ AM ⊥ SA + SM = 2.
Các tam giác ASB, ASM là các tam giác đều nên AB = BM = 1. Suy ra 2 2 2
AB + BM = AM = 2 ⇒ A ∆ BM vuông tại . B
Khi đó SH ⊥ ( ABM ) thì H là trung điểm của cạnh huyền AM. Ta có 2 2 2 2 AH =
⇒ SH = SA − AH = . 2 2 1 1 2 A . B BM 2 V = SH S = = Chọn C. S ABM . ABM . . . . 3 3 2 2 12
Câu 22: Trên SB lấy điểm E sao cho SE = 1 Dựng EF ⊥ ,
SA EG ⊥ SC (F ∈ , SA G ∈ SC). Khi đó S ∆ EF, S
∆ EG vuông cân tại E .
Ta có EF = EG = 1 ⇒ SF = SG = 2 Do  = ° ⇒  CSA 60 FSG = 60° ⇒ F
∆ SG đều suy ra FG = 2. Khi đó E
∆ FG vuông cân tại 1 1 E ⇒ S = EF FG = EFG . 2 2 1 1 ⇒ V = SE S = S EFG . EFG . . 3 6 Ta có VS.EFG SF SE SG 2 1 2 1 = . . = . . = . V SA SB SC S ABC 4 5 6 60 . Suy ra V = V = S ABC 60 S EFG 10 . . Mặt khác SAMP AM AP 3 3 = . = ⇒ S = S S AB AC 16 AMP 16 ABC ABC Tương tự 3  3  7 ⇒ S = S = S = S ⇒ S = − S =   S AMP BMN CNP ABC MNP 1 3. 16  16 ABC  16 ABC Suy ra 7 7 35 V = V = = Chọn B. S MNP . S ABC .10 . . . 16 16 8
Câu 23: Dễ dàng chứng minh được AH ⊥ SB,
AC = AB 2 = a 2 .
Tam giác SAB vuông tại A , có đường cao AH nên 2 2 2 SA SH SA 4
SA = SH.SB ⇒ = = = . 2 2 2 SB SB SA + AB 5 2
Tương tự, ta tính được SK SA 2 = = 2 2 SC SA + AC 3 2 3 Vậy VS.AHK SH SK 4 2 8 8 1 a 8 = . = . a = ⇒ V = a = S AHK . .2 . . . V SB SC S ABC 5 3 15 15 3 2 45 . Chọn B.
Câu 24: Gọi N = (MBC) ∩ S . D
Ta có: BC / / AD ⇒ (MAC) ∩ (SAD) = MN suy ra V
MN / /BC / / A . D S.ABCD V = V = S ABC S ACD . . . 2 Đặt SM V = .
x Ta có S.ACM SM = = . x SA V SA S.ABC VS.ACM x ⇒ = x ⇒ V = V S ACM S ABCD . . . VS.ABCD 2 2 2
Lại có: VS.CMN SM SN 2 = . x = x ⇒ V = V S.CMN S. V SA SD CAD 2 ABCD S. 2 2  x x  1 x x 1 1 − + 5 ⇒ V =  + V = ⇒ + = ⇒ x = ⇒ SM = − + S ACNM S ABCD 1 5 . .  2 2  2 2 2 2 2
Lại có AC = 1+ 4 = 5, MA = 2 − ( 1
− + 5) = 3− 5, AC = 5 Suy ra 1 3 5 5 S MA AC − = = Chọn A. MAC . . 2 2 BC ⊥ AB Câu 25: Do 
⇒ BC ⊥ AB′  BC ⊥ SAAB′ ⊥ SC Ta có: 
⇒ AB′ ⊥ (SBC) ⇒ AB′ ⊥ SB AB′ ⊥ BC
Do hình chóp có (SAC) là mặt phẳng đối xứng nên V ′ ′ ′ ′ ′ V S.AB C D S.AB C ′ ′ SB = = . SC . V V SB SC S.ABCD S.ABC
Xét tam giác SAB vuông tại S có đường cao AB′ có: 2 2 ′ ′ 2 SA SB SB SA 1
SA = SB .′SB ⇒ = ⇒ = = 2 2 2 SB SB SB SA + AB 2 2 2 ′ Tương tự SC SA SA 1 V ′ ′ V S.AB C 1 S.AB C ′ D ′ ′ = = = ⇒ = = 2 2 2 SC SC SA + AC 3 V V S ABC 6 . S.ABCD 3 Mặt khác 1 1 3 1 3 5a V = SA S = a ⇒ V = ⇒ = − = . ′ ′ ′ a V ′ ′ ′ V V ABCD . ABCD S.AB C D AB C D .ABCD S.ABCD S. 3 3 18 AB C ′ D ′ ′ 18 Chọn A.
Câu 26: Dựng AH ⊥ BM
Ta có BM ⊥ SA ⇒ BM ⊥ (SHA).
Khi đó (SBM ) ( ABCD)  ( )=  ; SHA = 45° Đặt x
AB = AD = x ⇒ AM = MD = DN = 2 Mặt khác AM.AB x AH = = 2 2 AM + AB 5 Suy ra = tan 45 x SA AH ° =
= a ⇒ x = a 5 5 2 2 2 2 2 x x 5x 25a S = S − S − S = x − − = = AMNB ABCD DMN BCN 8 4 8 8 3 Do đó 1 1 25 2 25a V = S SA = a a = Chọn D. S ABNM ABNM . . . . . 3 3 8 24
SA SB′ SC′ SD + + +
Câu 27: Ta có V ′ ′ + + + S.AB C ′ D ′ ′ SA SB SC SD 2 2 2 2 1 = = = . Chọn C. V
SA SB′ SC′ SD S ABCD 4.2.2.2.2 8 . 4. . . .
SA′ SB SC SD′
Câu 28: Gọi O là tâm hình bình hành ABCD
Nối AN ∩ SO = I ⇒ I là trọng tâm tam giác SAC
Qua I kẻ đường thẳng d cắt SB, SD lần lượt tại M , P
Đặt SA = 1; SB = ; SC = 2; SD x = y SA SM SN SP ′ Suy ra 1 + + + +
+ 2 = x + y ⇔ x + y = 3 và V x y 3 x y 3 = = V 8xy 8xy ′
Ta có xy ≤ (x + y)2 V 2.3 1 4 = 9 ⇒ ≥ = . Chọn B. V 2.9 3
Câu 29: Nối AN ∩ SO = I ⇒ I là trọng tâm tam giác SAC
Qua I kẻ đường thẳng d / /BD, cắt SB, SD lần lượt tại E, F Suy ra SE SF 2 =
= ; E, F thuộc mặt phẳng (P) SB SD 3 SA SB SC SD 3 + + + 1+ 2. + 2 Khi đó V1 SA SE SM SF 2 1 = = = V SA SB SC SD 3 3 S ABCD 3 . 4. . . . 4.1. . .2 SA SE SM SF 2 2 Mà V1 1 V = V +V  → = Chọn D. S ABCD . . 1 2 V 2 2
Câu 30: Ta có (MNPQ) ( ABCD) ⇒ d (S (MNPQ)) 2 / / ;
= d (S;( ABCD)) 3
Mà O ∈( ABCD) 
→ d (O (MNPQ)) 1 ;
= d (S;( ABCD)) 3 2 Lại có  2  1 2 V1 1 27 S =   S = S  → = = Chọn C MNPQ . ABCD ABCD .  3  2 9 V 1 2 2 2 . 3 9
Câu 31: Nối MN ∩ SA = E ⇒ E là trọng tâm S ∆ MB
Nối MC ∩ AD = F ⇒ F là trung điểm AD Ta có V = V −V AEF.BNC N.MBC E.MAF 1
= d (N ( ABCD)) 1 S − ∆ d ABCD S MBC ( ( )) 1 . ; . . E; . 3 3 4 MA ∆ F 1 1 =
d (S ( ABCD)) 1 1 S − d A ABCD S ABCD ( ( )) 1 . ; . . . ; . 3 2 3 3 4 ABCD 1 1 5 V1 5 = V − V = V ⇒ = . Chọn A. S.ABCD S.ABCD S. 2 12 12 ABCD V 7 2
Câu 32: Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD)
Gọi E là trung điểm BC ⇒ BC ⊥ (SEO)
Do đó (SNO) ( ABCD)  = (SN ON)  =  ; ; SNO = 60°
Tam giác SEO vuông tại O, có = 
SO OE.tan SEO = a 3 3
Suy ra thể tích khối chóp S.ABCD là 4a 3 V = S.ABCD 3
Vì (P) chứa AG nên (P) ∩ SC = M là trung điểm của SC
Qua M kẻ đường thẳng d / /CD, cắt SD tại N SA SB SC SD + + + Khi đó V + + + S.ABMN SA SB SM SN 1 1 2 2 3 3 3 = = = ⇒ V = a . Chọn C S. V SA SB SC SD 4.1.1.2.2 8 ABMN S ABCD 2 . . a . . . SA SB SM SN
Câu 33: Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD)
Gọi N là trung điểm BC ⇒ BC ⊥ (SNO)
Do đó (SNO) ( ABCD)  = (SN ON)  =  ; ; SNO = 60°
Tam giác SNO vuông tại O, có =  x 3 SO ON.tan SNO = 2 2
Tam giác SAO vuông tại O, có 2 2 2 x
SO = SA − OA = a − 2 2 2 2 Suy ra x 3 2 x 3x 2 x 2a 5 = a − ⇔ = a − ⇔ AB = x = 2 2 4 2 5 2 3  
Thể tích khối chóp S.ABCD là 1 1 2a 5 3 2a 5 4a 15 V = SO S =   = S ABCD . . ABCD . . . . 3 3 5 2  5  75  
Nối SO ∩ CM = I 
→ I là trọng tâm SI 2 S ∆ AC ⇒ = . SO 3
Qua I kẻ đường thẳng d / /BD, cắt SB, SD lần lượt tại SE SF 2 E, F ⇒ = = SB SD 3 3 2 + 2. +1 Đặt SA SB SC SD V + + + S.MECF x y z t 2 1 = ; x = y; = z; = t ⇒ = = = SM SE SC SF V xyzt S ABCD 4 3 3 3 . 4.2. . .1 2 2 3 3 Vậy 1 1 4a 15 4a 15 V = V = = Chọn C S MECF . S ABCD . . . . 3 3 75 225 ′ ′ ′ Câu 34: Do FA A E 1 FA 1
A′E / / AC ⇒ = = ⇒ = FC AC 2 CA′ 3
Do đó d (F ( A′B C ′ ′)) 1 ;
= d (C;( A′B C ′ ′)) 3 Suy ra 1 1 V = = ′ ′ V ′ ′ ′ V F AB C C A B C ABCD ABC′ . . . . 3 9 Vậy V2 1 = . Chọn D V 9 1
Câu 35: Ta có MB′ / / ( ACC A ′ ′) nên
d (M;( A′AC)) = d (B ;′( A′AC)). Do đó 1 2 V ′ = V = − = − = ′ ′ ′ V V ′ V V V B .ACC A B .ABC 3 3 ′ Vậy V 2 k = = . Chọn A V 3
Câu 36: Gọi V là thể tích của khối trụ. Ta có: 1 1 S = S ⇒ = ′ ′ V V MNBA A B BA C MNBA C A′B BA ′ . . . 2 2 Mặt khác V 2V V = − = − = ′ ′ V ′ ′ V ′ ′ ′ V C.A B BA ABC.A BC C.A B C 3 3 1 2V 1 ⇒ V = = = C MNBA . .18 6 . 2 3 3 Do đó V = − = Chọn A. ′ ′ V V CNMAB C C MNBA 12. .
Câu 37: Gọi I là trung điểm của BC ⇒ AI = 3GI Khi đó d ( ;
A ( A′BC)) = 3d (G;( A′BC)) ⇒ V = ′ V A A BC 3 . G A ′ ′B C ′ ′ Mặt khác V V V = = ⇒ = Chọn D ′ V ′ V . A A BC A ABC G. 3 A′BC 9
Câu 38: Do ( ABC) / / ( A′B C
′ ′) ⇒ d (G;( A′B C
′ ′)) = h với h là
chiều cao khối lăng trụ. Do đó 1 1 V = = . Chọn A ′ ′ h S ′ ′ ′ V G AB C . ABC . . 3 3
Câu 39: Do AA′ / / (BCC B
′ ′) và P ∈ AA′ nên ta có: V 2V 0 0 V = = − = − = Chọn A. ′ ′
V ′ ′ ′ V V ′ V P BCC B A BCC B A ABC . . . 0 . 0 3 3
Câu 40: Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE.
Khi đó MF / / AE mà AE / / A′N nên MF / / A′N
Suy ra các điểm A ,′ M , F, N thuộc cùng một mặt phẳng.
Vậy ( A′MN ) cắt cạnh BC tại điểm P ⇒ P trùng với F .
Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện
“Thể tích khối chóp cụt là h
V = (B + B′ + BB′) với h là chiều cao, 3
B, B′ lần lượt là diện tích hai đáy”
Xét khối chóp cụt MB . P A′B N
′ có chiều cao h = BB′ = a .  SABC S B = S = =  MBP 2 Và diện tích đáy  8 8 a 3  với S = S  4 A B C S B′ = S ′ ′ ′ = = A′B N ′ ′  2 2 Thể tích khối đa diện MB . P A′B N ′ là 3 BB′  S S S S  7 3 = . + + . a V  = . Chọn D 3  8 2 8 2  96  
Câu 41: Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC.A′B C ′ ′ Ta có: V 2V V = − = − = ′ ′ V V ′ V . A BCC B A .ABC 3 3 Khi đó V 1 V = = = ′ ′ ′ V ′ V ′ ′ V G A B C , . M .BB N A .BB N A . 3 2 ′ BCC B′′ (Do 1 S = ). Do đó 1 2V V V = = M BB N ′ . . ′ S NBB 2 CC B′B′ . 2 3 3 Tương tự 1 V V = = = ′ ′ V ′ ′ ′ V A C B B A C B B
. A′ BCCB′′ . . . . 2 3 Do 1 1 V S < S = ⇒ < = ′ S ′ ′ V ′ V BCN BCC BCC B A BCN
. A′ BCCB′′ . . . 2 2 3
Vậy khối chóp BB MN ′
có thể tích nhỏ nhất. Chọn D
Câu 42: Gọi V là thể tích khối chóp ABC.A′B C ′ ′ Ta có: V 2V V = − = − = ′ ′ V V ′ V . A BCC B A .ABC 3 3 Lại có A . B AC 3 V = S AA′ = AA′ = a ABC . . 2 3 2 3 Suy ra 2 3 4a 3 V = = . Chọn A ′ ′ a A BCC B .2 3 . 3 3
Câu 43: Gọi V là thể tích khối chóp ABC.A′B C ′ ′ Ta có V 2V V = − = − = ′ ′ V V ′ V . A BCC B A .ABC 3 3 Lại có: 1 1 S = S = S IKB
2 KICB 4 BCC B′′ Suy ra 1 1 2 1 V = = = ′ V ′ ′ V V A IKB A BCC B . . . 4 4 3 6 Mặt khác 1 = ′ =  V S AA AB AC BAC AA′ ABC . . .sin . 2 3 1 3 1 = . .2 .sin120 .2 ° 3 = 3 a a a a a ⇒ V = = Chọn ′ V A IKB . . 2 6 2 A.
Câu 44: Thể tích khối lập phương là 3 V = a . Ta có 1 3 V = = = = ′ ′ ′ V ′ V ′ V ′ ′ ′ a . A A B D B .ABC D .ACD D .B C C 6 V = − − − − ′ ′ V ′ ′ ′ ′
V ′ ′ ′ V ′ V ′ V ACD B ABCD.A B C D A,A B D B .ABC D .ACD D .′B C ′ C ′ 3 3 Suy ra 3 a a V = − = . Chọn A ′ ′ a ACD B 4. 6 3 Câu 45: Ta có S = S ⇒ V = ′ V ABCD 2 ABC A ABCD 2 . A .′ABC Mặt khác 1 V = ′ V A .ABCD ABCD. 3 A B ′ C ′ D ′ ′ Do đó 1 1 1 V = = ′ V ′ V A ABC A ABCD . . . ABCD. 2 2 3 A′B C ′ D ′ ′ 1 = V Chọn B ′ ′ ′ ′ . . 6 ABCD ABC D
Câu 46: Gọi h là chiều cao của khối hộp Ta có 1 1 1 1 1 V = = = = ′ h S h S h S V B ABC . ABC . ABCD . . 3 3 2 6 ABCD 6 1 1
V = V − 4.V = − = Chọn A ′ V V V B ABC 4. . 1 . 6 3 Câu 47: Ta có 1 V
= d M ABCD S ADMN . ;  ( ) . 3  AN ∆ D 1 = .AA .′(S − S − ∆ S∆ ) 3 ABCD ABN NCD 1  1 1 = .AA . S − S −  S  ′ 3 ABCD
4 ABCD 4 ABCD    3 = 1 1 = . . a AA′ S = 3 2 ABCD 6 3
Vậy thể tích cần tính là a V = . Chọn C 6 Câu 48: Ta có V = + ′ ′ V ′ V D.ABC D C .ABD C .′ADD′ 1 1 = CC .′S + ′ ′ ∆ C D S ABD . 3 3 AD ∆ D′ 1 1 1 = CC .′S + C D ′ ′ S ABCD . . 3 3 2 AA′DD′ 3 1 1 2 1 1 2 = . + . a a a a a = 3 2 3 2 3 3
Vậy thể tích cần tính là a V = . Chọn A 3
d (M;( ABCD)) Câu 49: Ta có MC 3 MC = 3MA′ ⇒ = =
d (A ;′( ABCD)) A′C 4
1 d (M;(ABCD)).SABCD Do đó VM.ABCD 3 1 3 1 = = . = , Chọn D V ′ ABCD A′B C ′ D ′ ′ d A ; ABCD S 3 4 4 . ( ( )) ABCD
Câu 50: Chuẩn hóa thành hình lập phương ABC . D A′B C ′ D ′ ′ cạnh I
Qua M kẻ đường thẳng d / /BD, cắt AD tại N ⇒ MN / /BD, Mà BD / /B D
′ ′ ⇒ MN / /B D
′ ′ ⇒ M , N, B ,′ D′ đồng phẳng Dó đó 1 V = ′ + + ′ ′ ′ AA S∆ S∆ ′ ′ ′ S∆ S AMN A B D . AMN A B D AMN . . ( A ∆ ′B D ′ ′ ) 3 1  1 1 1 1  13 = .1. + + .  = 3 18 2 18 2  54  
⇒ Thể tích khối còn lại là 13 41 13 : = . Chọn C 54 54 41
Câu 51: Dễ thấy AB / /C D ′ ′ ⇒ ,
A B,C ,′ D′ đồng phẳng Do đó d G  ( ABC′) 1  = d C   ( ABC′) 1 ; ;  ⇒ V =  ′ V G.ABC C. 3 3 ABC′ Ta có 1 1 1 V V = = ′ = ′ = ′ V ′ CC S∆ CC S C ABC C ABC . ABC . . . 3 3 2 ABCD 6 Vậy 1 1 V V 1 V = = = = Chọn A. ′ V G ABC C ABC′ . . . . 3 3 6 18 18 1 1 .AA .′S∆ S ABC . ABC ∆
Câu 52: Ta có VA.′ABC 3 3 1 = = = . Chọn B V ′ ′ ′ ′ ′ AA S S ABCD A B C D . ABCD 2. ABC ∆ 6 .
Câu 53: Chọn AB = 1
Nối MN ∩ BC = ;
P MN ∩ CD = Q Nối C P
′ ∩ BB′ = E,C Q
′ ∩ DD′ = F
Do đó thiết diện cắt bởi mp(C MN ′
) là C E′MNF Dễ thấy 1 PB QD 1
BM = BP = DQ = DN = ⇒ = = 2 PC QC 3 Khi đó 1 1 1 1 1 1 1 V = V = EB S = = E PM F DQN . . BPM ∆ . . . . .B . 3 3 3 2 2 2 72 Ta có 1 1  1  3 V = ′ = + = ′ CC S C CPQ . C ∆ PQ .1.1 . 3 3 8    8
Gọi V là thể tích đa diện chứa điểm 25
C ⇒ V = V − − = ′ V V 0 0 C .CPQ E.B PM F.DQN 72
Vậy tỉ số thể tích cần tính là V1 25 = . Chọn D V 72 2
Câu 54: Gọi M là trung điểm AB ⇒ IM / / AB′ / /C D ′
Do đó mp(DIC′) cắt hình lập phương theo thiết diện IMDC′ Ta có 1 V = + + ′ BC S∆ S∆ ′ S∆ S IBM C CD . IBM C CD IBM . . ( C ∆ C ′ D ) 3 1  1 1 1 1  = BC. S + S + S S ABCD ABCD ABCD . 3 8 2 8 2 ABCD      1 7 7 = BC. S = V ABCD ABCD. 3 8 24 A′B C ′ D ′ ′
Vậy tỉ số cần tính là 7 . Chọn C 17
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1