21 trang 55 lượt tải

Chuyên đề trắc nghiệm tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác Toán 12

110

Chuyên đề trắc nghiệm tích phân hàm hữu tỉ và hàm lượng giác Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 năm trước
Danh sách Quiz
/21
CHỦ ĐỀ 10: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a)
3
2
3
2
7 32
.
xx
dx
xx
−−
−
∫
b)
(
)
3
3
2
74
.
32
x dx
xx
−
−+
∫
c)
2
2
6
sin
sin 3
xdx
I
x
π
π
=
∫
d)
(
)
4
3
2
0
tan 1
.
cos 2 tan 1
x
I dx
xx
π
+
=
+
∫
Lời giải
a) Đồng nhất hệ số:
2
7 32
( 1)( 1) 1 1
x x AB C
xx x x x x
−−
=++
−+ − +
( )( ) ( ) ( )
2
7 3 2 1 1 1 1 (1)x x Ax x Bxx Cxx⇒ − −= − ++ ++ −
Xét PT (1) cho
1 22 1
02 2
1 82 4
x BB
x AA
x CC
=⇒= =

= ⇒− =− ⇔ =


=−⇒ = =
Khi đó ta có
34
2 ln ln 2 4 ln .
23
= ++
b) Đồng nhất
( ) (
) (
)
3 22
74 74
12
32
12 1
x x A BC
xx
xx
xx x
−−
= = ++
−+
−+
−+ −
Ta có
( )
( )
33
3
32
2
22
74
1 22 1 1 1 8
2 ln 2 ln .
12 1 2 2 5
32
1
x dx
x
I dx
xx x x
xx
x

−
− −
= = +− = + =+


−+ − +
−+
−


∫∫
c)
( )
22
22 2 2
3 22
66 6 6
cos
sin sin sin
sin 3
3sin 4sin 3 4sin 4 cos 1
dx
xdx xdx xdx
I
x
xx x x
ππ π π
ππ π π
= = = = −
−− −
∫∫ ∫ ∫
( )( )
( )
3
3
0
2
3
cos
2
0
3
0
2
1 21 1
ln ln 2 3
2121 4 21 4
41
tx
dt dt t
I
tt t
t
=
−
→ = = = = −
−+ +
−
∫∫
d) Ta có
(
)
4
3
2
0
tan 1
.
cos 2 tan 1
x
I dx
xx
π
+
=
+
∫
Đặt
2
1
tan .
cos
t x dt dx
x
= ⇒=
Đối cận
00
1
4
xt
xt
π
=⇒=
= ⇒=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 11
1
3 3 23 2
0
0 0 00
1 12 11 1 1 1 1 1 5
.
2 2 2 4 2 1 18
21 21 21 21 221
t t dt dt
I dt dt
t
t t tt t

+ ++

⇒= = = + = − − =

+
+ + ++ +

∫ ∫ ∫∫
Ví dụ 2: Cho tích phân
1
2
0
ln 2 ln 3
2 31
xdx
I abc
xx
= = ++
++
∫
với
,, .abc∈
Tính giá trị của biểu thức
2 3.Ta b c=++
A.
0T =
B.
2
T =
C.
2T = −
D.
1T
= −
Lời giải
( )
( )
( )
(
)
(
)(
)
11 1
2
00 0
21 1
21 1 21 1
2 31
xx
xdx xdx
I dx
xx xx
xx
+− +
= = =
++ ++
++
∫∫ ∫
1
0
1
ln 2 1
11 1 1
ln 1 ln 2 ln 3
12 1 2 2 2
0
a
x
dx x b
xx
c
=
+

= − = +− = − ⇒ =−


++


=
∫
Do đó
2 0.
T a bc=+ +=
Chọn A
Ví dụ 3: Cho tích phân
4
2
2
3
2 41
ln 5 ln 3
xx
I dx a b c
xx
++
= =++
+
∫
với
,, .abc∈
Tính giá trị của biểu thức
2
T a bc= +
A.
5T =
B.
3T =
C.
1T =
D.
1T = −
Lời giải
( )
( )
22
4 44
4
2
22
3
3 33
2 21
20
2 2 ln 2 ln
12
xx x dxx
I dx dx x x
xx xx
+++ +
= = + =+ +=+
++
∫ ∫∫
1
5
2 ln ln 5 ln 3 2 1 1.
3
2
a
bT
c
=
= + = − + ⇒ =−⇒ =−
=
Chọn D
Ví dụ 4: Cho tích phân
ln 2
0
ln 2 ln 5
32
x
dx
ab c
e
=++
+
∫
với
,, .abc∈
Tính giá trị của biểu thức
3 2.Ta b c=++
A.
1T = −
B.
2T = −
C.
1T =
D.
1T = −
Lời giải
Đặt
.
xx
t e dt e dx tdx=⇒= =
Đổi cận
01
ln 2 2
xt
xt
=⇒=
= ⇒=
Khi đó
( )
( )
( )
22 2
11 1
323
1 11 3
32 2 32 2 32
tt
dt
I dt dt
tt tt t t
+−

= = = −

++ +

∫∫ ∫
2
1
1 1 18 1
ln ln 3 2 ln 2 ln ln 2 ln 5
2 2 25 2
tt= − + = − =− +

Do đó
1
0; 1; 2 .
2
ab c T
= =− =⇒=−
Chọn B
Ví dụ 5: Cho tích phân
( )
2
2
0
sin 2
2 ln ,
2 sin
x
I dx a b
x
= = +
+
∫
với
,
ab
là các số hữu tỷ.
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A.
32 2ab+=−
B.
32 1ab+=−
C.
321ab
+=
D.
322ab
+=
Lời giải
Đặt
sin cost x dt xdx= ⇔=
và đổi cận
00
1
2
xt
xt
π
= →=
= →=
Khi đó
( )
(
) (
)
( )
11 1
2
2 22 2
0 00 0
2sin 2 2 1
.cos 2 2 2
2
2 sin 2 2 2
x tt t
I xdx dt dt dt
t
x tt t
π

+−
= = = = −

+
+ ++ +


∫ ∫∫∫
1
0
2
2 2 23
3
2 ln 2 2 ln 3 1 ln 2 2.ln 2.ln .
3
2 3 32
2
a
t ab
t
b
= −

= + + = + −− =− + = + ⇒

+

=
Chọn C
Ví dụ 6: Cho tích phân
6
3
2
21
ln 7 ln 5 ln 3
x
I dx a b c
xx
+
= =++
−
∫
với
,, .abc
∈
Tính giá trị của biểu thức
Sabc=++
A.
1
2
S
=
B.
3
2
S =
C.
3S =
D.
5
2
S =
Lời giải
Ta có
( )( ) ( ) ( )( )
6 6 66
3
2 2 22
21 1
.1 1 .1 1 1
x x x dx dx
dx dx
xx x xx x x
xx
+ ++
= = +
−+ − −+
−
∫∫ ∫∫
66
22
1 1 1 5 1 15 3 1 1
ln ln ln ln ln 5 ln 7 ln 3
2 1 32 7 2 2 2
xx
xx
−−
= + =+ =−−
+
Do đó
31 5
;.
22 2
a bc Sabc= ==−⇒= + + =
Chọn D
Ví dụ 7: Cho tích phân
( )
2
6
2sin 1 cos
ln 3 ln 2
2sin 1
x xdx
ac
x
π
π
−
=++
+
∫
với
,, .abc∈
Khẳng định nào sau đây là
đúng.
A.
.bc a+=
B.
2bc a
+=
C.
4bc a
−=
D.
4bc a−=−
Lời giải
( ) ( )
(
)
11
22
sin
11
6 6 22
2sin 1 cos 2sin 1 sin
21 2
1
2sin 1 2sin 1 2 1 2 1
tx
x xdx x d x
t
I I dt dt
x x tt
ππ
ππ
=
−−
−

= = → = = −

+ + ++

∫ ∫ ∫∫
( )
1
1
2
1 31 1
ln 2 1 ln ln 3 ln 2 a ; 1; 1 4 .
2 22 2
t t b c bc a= − + = − = − + ⇒= =− =⇒−=−
Chọn D
Ví dụ 8: Cho tích phân
( )
4
32
0
cos cos . 2 .x x dx a b c
π
π
− =++
∫
với
,, .abc∈
Tính tổng
.S abc
=++
A.
1
24
S
=
B.
1
12
S
−
=
C.
1
24
S
−
=
D.
5
24
S
−
=
Lời giải
( )
4 44 4 4
32 3 2 2
0 00 0 0
1 cos 2
cos cos cos cos cos sin
2
x
x x dx xdx xdx xd x dx
π ππ π π
+
−=−= −
∫ ∫∫∫ ∫
( )
3
4
44
2
0
00
sin 2 sin 1
1 sin sin sin
2 4 3 84
xx x
xd x x
π
ππ
π


= − −+ = − −+




∫
15 1 151 1
2.
4 12 8 4 12 8 24
abc
π
−
=−+ − ⇒++= + −=
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho tích phân
2
4
1
ln 3 ln 2 ln 5
2
dx
I abc
xx
= =++
+
∫
với
,, .abc∈
Tính giá trị của biểu thức
( )
T ab c= +
A.
2
9
T =
B.
5
18
T
−
=
C.
1
2
T
−
=
D.
1
9
T
−
=
Lời giải
( ) ( ) ( )
22 2 2
2
2 33
43
3 33 33
1
11 1 1
11
ln
36
22
22 2
dx dx x dx dx x
I
xx x
xx xx xx
= = = = =
++
++ +
∫∫ ∫ ∫
( )
( )
1
6
1 12 1 1 1
ln 2 ln 2 ln 3 ln 5 .
656 3 9
1
a
b ab c
c
=
−
= = + − ⇒ =⇒ +=
= −
Chọn D
Ví dụ 10: Cho tích phân
2
3
0
sin cos
ln 3 ln 3
1 cos
xx
I dxabc
x
π
= =++
+
∫
với
,, .abc∈
Tính tích
P abc=
A.
1
8
P
=
B.
1
4
P
=
C.
1
4
P
−
=
D.
1
8
P
−
=
Lời giải
( )
1
11
2 2 22
33
2
cos
11
00 1
22
sin cos cos 1
cos 1
1 cos 1 cos 1 1 1
tx
x x x t dt t dt
I dx d x t dt
x x tt t
ππ
=

= = → = = − +

+ + ++ +

∫ ∫ ∫ ∫∫
1
2
1
2
2
14 1 1
ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 1 .
2 83 8 4
1
8
a
t
t t b P abc
c
=

= −+ + =− + = − − ⇒ =−⇒ = =


−
=
Chọn B
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018) Tích phân
2
0
3
dx
x +
∫
bằng
A.
16
225
B.
5
log
3
C.
5
ln
3
D.
2
15
Câu 2: Cho
1
2
0
1
64
n
x dx =
∫
và
5
1
ln ,
21
dx
m
x
=
−
∫
với
,nm
là các số nguyên dương. Tìm khẳng định đúng?
A.
nm>
B.
15nm<+ <
C.
nm<
D.
nm=
Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho
,
ab
là các số nguyên thỏa mãn
1
0
11
ln 2 ln 3.
12
dx a b
xx

−=+

++

∫
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
2
ab
+=
B.
20
ab
−=
C.
2ab+=−
D.
2 0.
ab+=
Câu 4: Cho
1
0
32 34
ln ln .
23 23
dx a b
xx

+=+

++

∫
với
,ab
+
∈
. Mệnh đề nào đúng?
A.
2 3 10ab+=
B.
24
ab
−=
C.
7
ab+=
D.
3 2 13ab+=
Câu 5: Cho
5
4
2 3 25
ln ln 2
2 27
dx a b
xx

−=+

−

∫
với
,ab
là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng?
A.
2ab+=−
B.
21ab+=−
C.
1ab+=
D.
23ab
−=−
Câu 6: Cho
1
0
61
ln 2 ln 3
32 2
dx a b
xx

+=+

−+

∫
với
,ab
là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
.
4
b
a
= −
B.
1
.
4
a
b
= −
C.
5ba−=−
D.
5ba+=
Câu 7: Cho
4
3
1 6 17
ln 2 ln
2 3 5 14
dx a b
xx

−=+

−+

∫
với
,ab
là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
1
.
2
a
b
= −
B.
1
.
2
a
b
=
C.
1
.
2
b
a
=
D.
1
.
2
b
a
= −
Câu 8: Biết
5
2
3
1
ln
12
xx b
dx a
x
++
= +
+
∫
với
,ab
là các số nguyên. Tính
2.
Sa b= −
A.
2S = −
B.
10S =
C.
5S =
D.
2S =
Câu 9: Biết
0
2
1
3 51 2
ln
23
xx
dx a b
x
−
+−
= +
−
∫
với
,ab
là các số hữu tỉ. Tính
2.ab+
A.
2 30.ab+=
B.
2 40.ab+=
C.
2 50.ab+=
D.
2 60.ab+=
Câu 10: Biết
3
2
2
4
ln 2 ln 3
1
xx
dx a b c
x
−+
=+−
+
∫
với
,,abc
là các số dương. Tính
abc
.
A.
12
abc =
B.
36abc =
C.
62
abc =
D.
6
abc =
Câu 11: Biết
1
1
.
a
x
dx e
x
+
=
∫
Tính a.
A.
2
1
a
e
=
−
B.
2
1
a
e
=
−
C.
ae=
D.
.
2
e
a
=
Câu 12: Biết
1
0
23
ln 2
2
x
dx a b
x
+
= +
−
∫
với
,.
ab∈
Hãy tính
2.ab+
A.
2 0.ab+=
B.
2 2.ab+=
C.
2 3.ab+=
D.
2 7.ab+=
Câu 13: Biết
2
1
1
1 4 ln
3
xa
dx
xb
−
= +
+
∫
với
,.ab∈
và
a
b
là phân số tối giảm. Tính
2.ab
+
A.
2 0.
ab
+=
B.
2 13.ab+=
C.
2 14.ab+=
D.
2 20ab+=−
Câu 14: Tìm tất cả các số thực dương m thỏa mãn
2
0
1
ln 2 .
12
m
x dx
x
= −
+
∫
A.
2m =
B.
1m =
C.
3m >
D.
3m =
Câu 15: Biết
( )(
)
3
1
ln 2 ln 5 ln 7
14
dx
abc
xx
=++
++
∫
với
,, .abc∈
Tính
4.S a bc=+−
A.
2S
=
B.
4S
=
C.
3
S =
D.
5S =
Câu 16: Cho
,,abc
là các số nguyên thỏa mãn
( )( )
2
1
ln 2 ln 3 ln 5.
12 1
x
dx a b c
xx
= ++
++
∫
Tính
.S abc=++
A.
1S =
B.
0S =
C.
1S = −
D.
2S =
Câu 17: Cho
( )
5
4
4 25
ln ln 2
2 27
x
dx a b
xx
+
= +
−
∫
với
,ab
là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng?
A.
2.ab+=−
B.
21ab+=−
C.
1.
ab+=
D.
23ab−=−
Câu 18: Biết
3
2
2
ln 2 ln 3
1
x
dx a b
x
= −
−
∫
với
,.ab∈
Khi đó
a
và
b
đồng thời là hai nghiệm của phương
trình nào dưới đây?
A.
2
4 30xx− +=
B.
2
3
20
4
xx− +=
C.
2
3
0
4
xx−− =
D.
2
2 30xx− −=
Câu 19: Biết
4
2
3
ln 2 ln 3 ln 5
dx
abc
xx
= ++
+
∫
với
,,abc
là các số nguyên. Tính
.S abc=++
A.
6S =
B.
2S =
C.
2S = −
D.
0S =
Câu 20: Giả sử
( )
5
2
3
ln 5 ln 3 ln 2, , , .
dx
a b c abc
xx
=++ ∈
−
∫
Tính
2
2 3.S ab c=− ++
A.
3
S
=
B.
6S
=
C.
0S
=
D.
2
S = −
Câu 21: Cho
,ab
là các số nguyên thỏa mãn
2
2
1
3
ln 5 ln 2.
3
dx a b
xx
= +
+
∫
Mệnh đề nào đúng?
A.
20ab+=
B.
20ab−=
C.
4.ab
−=−
D.
0.ab+=
Câu 22: Cho
,ab
là các số nguyên thỏa mãn
2
2
1
2
ln 2 ln 3.
2
dx
ab
xx
= +
+
∫
Tính
2.
Sa b= +
A.
1S = −
B.
1S =
C.
2
S =
D.
0S =
Câu 23: Biết
4
2
3
ln 2 ln 5
2
dx
ab
xx
= +
+−
∫
với
,ab
là các số nguyên. Tính
2.Sa b
= −
A.
1
3
S = −
B.
2
3
S = −
C.
2S = −
D.
4
3
S = −
Câu 24: Biết
1
2
0
ln 2 ln 3
32
dx
ab
xx
= +
++
∫
với
,.ab∈
Mệnh đề nào đúng?
A.
2.ab+=
B.
20ab−=
C.
2.ab+=−
D.
20ab
+=
Câu 25: Cho
,
ab
là các số nguyên thỏa mãn
1
2
0
ln 2 ln 3.
56
dx
ab
xx
= +
−+
∫
Tính
.S ab= +
A.
3
S = −
B.
2S
= −
C.
1S =
D.
0S =
Câu 26: Biết
2
2
0
1
ln 5 ln 3
43
x
dx a b
xx
−
= +
++
∫
với
,.ab∈
Hãy tính
.P ab=
A.
8P =
B.
6
P
= −
C.
4P
= −
D.
5P
= −
Câu 27: Biết
5
2
4
12 3
ln ln 2
2
56
x
dx a b
xx
−
= +
−+
∫
với
,.ab∈
Mệnh đề nào đúng?
A.
2 11ab
+=
B.
27ab+=−
C.
8ab+=
D.
2 15
ab−=
Câu 28: Biết
1
2
0
4 15
ln 2 ln 3
26
x
dx a b
xx
+
= +
− −+
∫
với
,.
ab∈
Mệnh đề nào đúng?
A.
1
4
b
a
= −
B.
1
4
a
b
= −
C.
5ba−=−
D.
5ba+=
Câu 29: Biết
4
2
3
9 7 17
ln 2 ln
14
3 10
x
dx a b
xx
−
= +
− ++
∫
với
,.ab∈
Mệnh đề nào đúng?
A.
1
2
a
b
= −
B.
1
2
a
b
=
C.
1
2
b
a
=
D.
1
2
b
a
= −
Câu 30: Biết
1
2
0
2
ln 12 ln 7
47
x
dx a b
xx
+
= +
++
∫
với
,.ab∈
Tính tổng
.ab+
A.
1ab+=−
B.
1ab+=
C.
2ab+=
D.
0ab+=
Câu 31: Biết
1
2
0
32 5
2 ln
6
69
xa
dx
b
xx
−
= −
++
∫
với
,ab∈
và
a
b
tối giản. Tính
ab
.
A.
5ab
= −
B.
27ab =
C.
6ab =
D.
12
ab =
Câu 32: Cho
,
ab∈
thỏa mãn
2
2
2
1
1 ln 2 ln 3.
7 12
x
dx a b
xx
=++
−+
∫
Tính tổng
.S ab= +
A.
9S
= −
B.
41S =
C.
9S
=
D.
7S
=
Câu 33: Cho
,,abc∈
thỏa
3
2
2
2
32
ln 7 ln 3 .
1
xx
dx a b c
xx
−+
=++
−+
∫
Tính
23
2 3.
Ta b c=++
A.
T4
=
B.
T6=
C.
T3=
D.
T5=
Câu 34: Biết
3
32
2
ln 3 ln 2
dx
abc
xx
=++
+
∫
với
,,abc∈
. Tính
.S abc
=++
A.
3
2
S = −
B.
7
6
S = −
C.
2
3
S =
D.
7
6
S =
Câu 35: Biết
1
3
2
0
11
ln 2
21
1
x
dx
a
x
= −
+
+
∫
với
.a
∈
Hỏi
a
thuộc khoảng nào sau đây?
A.
( )
0; 2
B.
( )
2; 4
C.
(
)
4; 6a
∈
D.
(
)
6;8
a ∈
Câu 36: Biết
( )
1
2
3
0
ln
1
x dx a
c
b
x
=−+
+
∫
với
,,abc
∈
,
0c >
và
a
b
tối giản. Tính
.S abc=
A.
16S =
B.
8S =
C.
80S =
D.
10S =
Câu 37: Biết
2
4
1
111
ln ln ln
366
2
dx
abc
xx
=+−
+
∫
với
,,
abc
+
∈
. Tính
.abc
A.
16abc =
B.
20abc
=
C.
30abc =
D.
60abc =
Câu 38: Biết
( )
2
4
1
51
ln ln
44
1
dx
ab
xx
= −
+
∫
với
,
ab
+
∈
. Tính
2
.S ab a b=−−
A.
13S =
B.
17S =
C.
30S =
D.
34S =
Câu 39: Biết
( )
2
2
1
ln
1
dx a c
bd
xx
= −+
+
∫
với
,,,
abcd
+
∈
và
a
b
;
c
d
tối giản. Tính
.abcd+++
A. 32 B. 16 C. 12 D. 10
Câu 40: Biết
( )
( )
2
2
2
1
31
ln
1
x dx
ca
db
xx
+
= +
+
∫
với
,,,abcd
+
∈
và
a
b
;
c
d
là các phân số tối giản. Tính
.abcd+−+
A.
32−
B.
44−
C. 81 D. 7
Câu 41: Biết
(
)
2
2
1
25
5ln
1
x ac
dx
bd
xx
+
=−+
+
∫
với
,,,abcd
+
∈
và
a
b
;
c
d
là các phân số tối giản. Tính
.abcd+++
A. 7 B. 9 C. 10 D. 12
Câu 42: Biết
( )( )
1
2
2
0
1
ln
4
11
xdx a
c
b
xx
= −
−+
∫
với
,,abc
+
∈
và
a
b
tối giản. Tính
.
abc
++
A. 9 B. 10 C. 12 D. 14
Câu 43: Biết
2
3
cos 3,xdx a b
π
π
= +
∫
với a và b là các số hữu tỉ. Tính
4.
ab−
A.
9
4
2
ab−=
B.
43ab−=
C.
1
4
2
ab−=−
D.
1
4
2
ab−=
Câu 44: Cho
,ab
là các số hữu tỉ thỏa mãn
2
0
2
sin 5 .
2
xdx a b
π
= +
∫
Tính
.
ab
−
A.
1
5
ab
−=
B.
1
5
ab−=−
C.
1
10
ab−=
D.
0ab−=
Câu 45: Biết
1
2
0
cos 1.xdx m
π
= +
∫
Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng?
A.
1m
ππ
= −
B.
1 m
ππ
+=
C.
12m
ππ
−=
D.
13m
π
−=
Câu 46: Cho
(
)
1
2
0
1 sin 3
b
x dx
ac
π
−=+
∫
với
*
,ac∈
và
b
c
là phân số tối giản. Tính
2.abc
++
A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
Câu 47: Cho
,,abc
là các số nguyên thỏa mãn
3
4
2
6
1 sin 3 2
.
2
sin
x abc
dx
x
π
π
− +−
=
∫
Hãy tính giá trị của biểu
thức
23
23 .T a b abc= +−
A.
16T
= −
B.
12T = −
C.
3T =
D.
12T =
Câu 48: Cho hàm số
( )
.sin
fx a x b
π
= +
thỏa mãn
( )
12f =
và
( )
1
0
4.f x dx =
∫
Tính
ab
+
A.
π
B.
2
π
+
C.
22
π
+
D.
32
π
+
Câu 49: Biết rằng
0
1
sin cos .
4
a
x xdx
=
∫
Hãy tính giá trị của a.
A.
2
a
π
=
B.
2
3
a
π
=
C.
4
a
π
=
D.
6
a
π
=
Câu 50: Tìm tập hợp nghiệm của phương trình
0
sin 2 0
x
tdt =
∫
với ẩn x.
A.
( )
,kk
π
∈
B.
( )
2,kk
π
∈
C.
( )
,
2
kk
π
π
+∈
D.
( )
,
4
kk
π
π
+∈
Câu 51: Biết
2
6
2
8
cos 2 1 3
cos 2
xb
dx
ac d
x
π
π
π
−
= +−
∫
với
,,,abcd∈
và
b
c
là phân số tối giản. Tính tổng
S abcd=+++
A.
28S =
B.
29S =
C.
30S =
D.
31S =
Câu 52: Biết
2
2
2
1 sin
2
sin
2
x
dx b
x
a
π
π
π
+
= +
∫
với
,.ab
+
∈
Tính
ab+
.
A.
8ab+=
B.
9ab
+=
C.
11
ab+=
D.
6ab+=
Câu 53: Biết
2
2
0
sin cos .
22
xx
dx m
π
π

−=+


∫
Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?
A.
22
m
π
+=
B.
22m
π
+=−
C.
22m
π
+=
D.
22m
π
= +
Câu 54: Trong các hàm số sau, hàm số nào có tích phân trên đoạn
[ ]
0;
π
đạt giá trị bằng 0?
A.
( )
cos 3fx x=
B.
( )
sin 3fx x
=
C.
(
)
cos
42
x
fx
π

= +


D.
( )
sin
42
x
fx
π

= +


Câu 55: Cho
4
22
6
1
sin cos
ac
dx
b
xx
π
π
=
∫
với
*
,,
a
bc
b
∈
là phân số tối giản. Tính
2.a bc++
A. 11 B. 5 C. 10 D. 11
Câu 56: Cho
4
22
6
cos 2
3
sin cos
xb
dx a
c
xx
π
π
= +
∫
với
*
,bc∈
và
b
c
là phân số tối giản. Tính
.T abc=++
A.
9.T =
B.
5.T =
C.
5.T = −
D.
9.T = −
Câu 57: Để
3
2
0
1
sin 0,
2
t dt

−=


∫
với
k ∈
thì x phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
A.
2
xk
π
=
B.
xk
π
=
C.
2
k
x
π
=
D.
2
xk
ππ
= +
Câu 58: Nếu
(
)
0
sin cos 0
a
x x dx
+=
∫
với
02
a
π
<<
thì giá trị a bằng bao nhiêu?
A.
4
π
B.
2
π
C.
3
2
π
D.
π
Câu 59: Với giá trị nào của tham số m thì
( )
2
2
0
48
sin .
32
m
x x dx
ππ
+−
+=
∫
A.
1
m =
B.
6
m
π
=
C.
3
m
π
=
D.
4
m
π
=
Câu 60: Biết
4
2
0
sin
b
xdx
ac
π
π
= −
∫
với
,,abc
là các số nguyên với
b
c
là phân số tối giản. Tính tổng
.abc++
A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
Câu 61: Biết
0
sin cos 0
a
x xdx =
∫
với
02
a
π
<<
thì bằng bao nhiêu?
A.
a
π
=
B.
2
a
π
=
C.
3
2
a
π
=
D.
4
a
π
=
Câu 62: Biết
4
0
2
sin 3 sin 2
10
b
x xdx a
π
= +
∫
với
,ab
là các số nguyên. Tính
.S ab
= +
A.
2S = −
B.
3S = −
C.
2
S =
D.
3S =
Câu 63: Biết
2
2
sin 7 sin 2
a
x xdx
b
π
π
=
∫
với
a
b
là phân số tối giản. Tính tổng
2
.Sa b= +
A.
61S =
B.
23S =
C.
49S =
D.
63S
=
Câu 64:
4
0
cos 3 cos
a
x xdx
b
π
=
∫
với
*
b ∈
và
a
b
là phân số tối giản. Tính
.T ab= +
A.
1T =
B.
5T =
C.
3T =
D.
3T = −
Câu 65: Cho
4
0
1
1 cos 2
a
dx
xb
π
=
+
∫
với
*
b
∈
và
a
b
là phân số tối giản. Tính
.T ab= −
A.
1T = −
B.
1T =
C.
3T = −
D.
2T =
Câu 66: Cho
2
3
1
1 cos
dx a b
x
π
π
= +
−
∫
với
*
,.ab∈∈
Tính
2.T ab= −
A.
11T
=
B.
5
T
=
C.
6T
=
D.
7T
=
Câu 67: Với
0,
x >
ta có
(
)
2
0
cos .
x
f t dt x x
π
=
∫
Hãy tính
( )
4
f
.
A.
( )
1
4
2
f =
B.
( )
41f =
C.
( )
42f =
D.
( )
1
4
4
f =
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
2
0
5
ln 3 ln .
3
Ix
= +=
Chọn C
Câu 2: Ta có
1
1
1
2
0
1
1
2
3.
64 1 1
n
n
x
n
nn
+
+
= = ⇒=
++
Lại có
5
1
11
ln ln 2 1 ln 9 ln 3 3.
22
mx m= − = = ⇒=
Chọn D
Câu 3:
1
0
1 21
ln ln ln 2 ln 2 ln 3.
2 32
x
I
x
+
= =−= −
+
Chọn D
Câu 4:
( )
1
0
34
3ln 2 2 ln 3 3ln 2 ln .
23
Ix x= ++ + = +
Chọn D
Câu 5:
(
)
5
4
53
2 ln 3ln 2 2 ln 3ln .
42
I xx= − −= −
25
2 ln 5 2 ln 4 3ln 3 3ln 2 ln ln 2.
27
=−−+ = −
Chọn B
Câu 6:
( )
1
0
3ln 2 3 3ln 2 3ln 3 ln 3 ln 2 4 ln 3 ln 2.I xx=− −+ + = + − = −
Chọn B
Câu 7:
( )
4
3
17
ln 2 2 ln 3 5 ln 2 2 ln .
14
Ix x=− −− + =− −
Chọn B
Câu 8:
5
22
3
11 3
ln 1 8 ln .
1 12 2
xx x
xI x
xx

++
=+ ⇒= + + =+

++

Chọn D
Câu 9:
(
)( )
2
2 3 11 21
3 5 1 21
3 11
22 2
xx
xx
x
xx x
− ++
+−
= = ++
−− −
0
2
1
3 19 2 19
11 21ln 2 21ln 2 21ln 3 21ln .
2 2 32
x
I xx
−

⇒= + + − = + − = +


Chọn B
Câu 10:
( )( )
2
1 26
46
2
11 1
xx
xx
x
xx x
+ −+
−+
= =−+
++ +
( )
3
2
2
11
2 6 ln 1 6 ln 4 ln 3 12 ln 2 6 ln 3.
2 22
x
I xx

⇒= − + + =+ − =+ −


Chọn B
Câu 11: Ta có
( )
1
1
1
1 ln ln 1 .
a
a
e dx x x a a a e
x

= + = + = + −⇒ =


∫
Chọn C
Câu 12:
( )
( )
11
1
0
00
2 27
23 1
2 7 ln 2 2 7 ln 2 7 ln 2.
22 2
x
x
I dx dx x x
xx
−+
+
=− =− =− + − =−− =−+
−−
∫∫
Chọn C
Câu 13:
( )
2
2
1
1
4 54
1 4 ln 3 1 4 ln 1 4 ln .
3 45
I dx x x
x

=− =− +=− =+

+

∫
Chọn B
Câu 14:
22 2
0
11 1
1 ln 1
11 1 2
m
xx x
x I xx
xx x

−+
= = −+ ⇒ = − + +

++ +

2
1
ln 1 ln 2 1.
22
m
mm m= − + += − ⇒ =
Chọn B
Câu 15:
( )( )
( )
3
1
1 11 1 1
ln 1 ln 4
1 43 1 4 3
Ixx
xx x x

= − ⇒= +− +

++ + +

( ) ( )
11
ln 4 ln 2 ln 7 ln 5 ln 2 ln 5 ln 7
33
= −−+ = +−
. Chọn A
Câu 16:
( )( )
( ) ( )
( )( )
21 1
11
121 121 121
xx
x
xx xx x x
+− +
= = −
++ ++ + +
2
1
1 11 31
ln 1 ln 2 1 ln 3 ln 2 ln 5 ln 3 ln 2 ln 3 ln 5.
2 22 22
Ix x

⇒=+− +=−−+=−+−


Chọn B
Câu 17:
( )
( )
( )
( )
5
4
3 22
4 32
3ln 2 2 ln
2 22
xx
x
Ix x
xx xx xx
+−
+
= = +⇒=− −+
− −−
3 5 25
3ln 2 ln 3ln 3 3ln 2 2 ln 5 2 ln 4 ln ln 2.
2 4 27
=− + =−+ + − = −
Chọn B
Câu 18:
( )( )
2
11 1
1 12 1 1
1
xx
xx x x
x

= = +

−+ − +
−

( )
( )
( )
3
2
1 11
ln 1 ln 1 ln 2 ln 4 ln 3 3ln 2 ln 3 .
2 22
Ixx⇒= −+ + = + − = −
Chọn B
Câu 19:
( )
2
1 1 11
11xx x x
xx
= = −
++
+
( )
4
3
ln ln 1 ln 4 ln 3 ln 5 ln 4 4 ln 2 ln 3 ln 5.I xx⇒= − + =−−+ = −−
Chọn B
Câu 20:
55
5
2
3
33
11 1
ln ln 3 ln 2 ln 5
1
dx x
dx
xx x
xx
−

= − = =+−

−
−

∫∫
Lại có
5
2
3
1
ln 5 ln 3 ln 2 .
1
a
dx
abc
bc
xx
= −
= + + →
= =
−
∫
Vậy
6.S =
Chọn C
Câu 21:
22
2
2
1
11
1
3 11
ln 3ln 2 ln 5 .
3
33
3
a
x
dx dx
b
xx x
xx
= −

= − = = −⇒

=
++
+

∫∫
Chọn C
Câu 22:
22
2
2
1
11
1
2 11
ln ln 3 ln 2 .
1
22
2
a
x
dx dx
b
xx x
xx
= −

= − = =−⇒

=
++
+

∫∫
Chọn B
Câu 23:
44
4
2
3
33
11 1 1 1 1 2
ln ln 5 ln 2.
3 1 2 3 23 3
2
dx x
dx
xx x
xx
−

=−= =−

−+ +
+−

∫∫
Lại có
4
2
3
21 4
ln 2 ln 5 ; .
33 3
2
dx
ab a b S
xx
= + → = − = ⇒ = −
+−
∫
Chọn D
Câu 24:
11
1
2
0
00
11 1
ln 2 ln 2 ln 3.
12 2
32
dx x
dx
xx x
xx
+

=−= =−

++ +
++

∫∫
Lại có
1
2
0
2
ln 2 ln 3 .
1
32
a
dx
ab
b
xx
=
= + →
= −
++
∫
Vậy
2 0.ab+=
Chọn D
Câu 25:
11
1
2
0
00
11 3
ln 2 ln 2 ln 3.
32 2
56
dx x
dx
xx x
xx
−

=−= =−

−− −
−+

∫∫
Lại có
1
2
0
2
ln 2 ln 3 .
1
56
a
dx
ab
b
xx
=
= + →
= −
−+
∫
Vậy
1.ab+=
Chọn C
Câu 26:
( )
22
2
2
0
00
1 21
2 ln 3 ln 1 2 ln 5 3ln 3.
31
43
x
dx dx x x
xx
xx
−

= − = +− + = −

++
++

∫∫
Lại có
2
2
0
2
1
ln 5 ln 3 .
3
43
a
x
dx a b
b
xx
=
−
= + →
= −
++
∫
Vậy
(
)
2. 3 6.P ab= = −=−
Chọn C
Câu 27:
( )
55
5
2
4
44
12 3 5 3
3ln 2 5 ln 3 3ln 5 ln 2.
23 2
56
x
dx dx x x
xx
xx
−

= − = −− − = −

−−
−+

∫∫
Lại có
3
3
.ln .ln 2 .
5
2
a
Ia b
b
=
= + →
= −
Vậy
( )
2 3 2. 5 7.ab+ =+ −=−
Chọn B
Câu 28:
( )
11
1
2
0
00
4 15 1 6
ln 2 3ln 3 2 4ln 3 ln 2.
2 32
26
x
dx dx x x
xx
xx
+

= + = +− − = −

+−
− −+

∫∫
Lại có
1
1
.ln 2 .ln 3 .
4
4
a
a
Ia b
b
b
= −
= + → ⇒ = −
=
Chọn B
Câu 29:
( )
44
4
2
3
33
9 7 6 1 17
ln 2 2ln 3 5 ln 2 2 ln .
3 5 2 14
3 10
x
dx dx x x
xx
xx
−

= − − =− −− + =− −

+−
− ++

∫∫
Lại có
1
17
.ln 2 .ln .
2
24
a
Ia b
b
= −
= + →
= −
Vậy
11
.
22
a
b
−
= =
−
Chọn B
Câu 30:
( )
2
11
1
2
22
0
00
47
21 1
ln 4 7 ln 12 ln 7.
22
47 47
dx x
x
dx x x
xx xx
++
+
= = ++ = −
++ ++
∫∫
Lại có
1
.ln 12 b.ln 7 .
1
a
Ia
b
=
= + →
= −
Vậy
11 0ab+ =−=
. Chọn D
Câu 31:
( )
( )
(
)
2 22
3 3 10
3 1 3 10
.
3
69
33
x
x
x
xx
xx
+−
−
= = −
+
++
++
Suy ra
( )
11
1
22
0
00
3 1 3 10 10 4 5
3ln 3 2 ln .
3 3 36
69
3
x
dx dx x
xx
xx
x

−

= − = ++ = −


++
++

+


∫∫
Lại có:
4
5
2.ln .
3
6
a
a
I
b
b
=
= − →
=
Vậy
12.ab =
Chọn D
Câu 32:
(
)( )
22
2
16 9
1.
34 4 3
7 12
xx
xx x x
xx
= =+−
−− − −
−+
Suy ra
( )
2
2
2
2
1
1
16 ln 4 9ln 3 1 25ln 2 16 ln 3.
7 12
x
dx x x x
xx
= + −− − =+ −
−+
∫
Lại có
1 ln 2 ln 3 25; 16.Iab ab= + + → = = −
Vậy
9.S =
Chọn C
Câu 33:
22
22 2
3 2 12 1 2 1
1.
11 1
x x xx x x
xx xx xx
− + − +− + −
= = −
−+ −+ −+
Suy ra
( )
33
3
2
2
22
2
22
32 21
1 ln 1 1 ln 3 ln 7.
11
xx x
dx dx x x x
xx xx
−+ −

= − = − −+ =+ −

−+ −+

∫∫
Lại có
ln 3 . ln 7 1; 1; 1.I cb a a b c= + + → = − = =
Vậy
23
1 2.1 3.1 4.
T =−+ + =
Chọn A
Câu 34:
32 2 2
1 1 1 11
.
1
( 1)
xx
x x xx x
= =+−
+
++
Suy ra
33
3
32 2
2
22
1 1 1 11 1
ln 2 ln 3 3ln 2.
16
dx x
dx
x x xx
xx x
+

= +− = −=−+


+
+


∫∫
Lại có
1
ln 3 ln 2 2; 3; .
6
Ia b c a b c= + + → = − = =
Vậy
17
23 .
66
S =−+ + =
Chọn D
Câu 35: Ta có
( )
2
3
22 2
1
.
11 1
xx x
xx
x
xx x
+−
= = −
++ +
Suy ra
11
1
32
2
22
0
00
1 11
ln 1 ln 2 a 1.
2 2 22
11
x xx
dx x dx x
xx


= − = − + =− ⇒=


++


∫∫
Chọn A
Câu 36: Ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
3 3 23
11
12 1
.
1
1 1 11
x
x
x
x x xx
+−
= =−+
+
+ + ++
Suy ra
(
)
( )
1
1
2
32
0
0
5
43 5
ln 1 ln 2 8.
8
1 21
2
a
xx
dx x b
xx
c
=

+
= + + = − + → =

++


=
∫
Vậy abc = 80 Chọn C.
Câu 37: Ta có
(
)
(
)
2
4
33
1 11
.
2
2
2 2. 2
x
x
xx
xx x
= = −
+
++
Suy ra
2
2
3
4
1
1
1 1 1 12 1 1 1
ln ln 2 ln ln 2 ln 3 ln 5.
2 6 653 6 6
2
dx
xx
xx

= − += = +−

+

∫
Lại có
1 11
.ln ln ln 2; 3; 5.
3 66
I a b c abc
= + − → = = =
Vậy
30.
abc
=
Chọn C
Câu 38: Ta có
(
)
( )
44 3
4
44
1 11
.
1
11
xx x
x
x
xx xx
+−
= = −
+
++
Suy ra
( )
22
2
3
4
4
4
1
11
1 1 51
ln ln 1 ln 2 ln17.
4 44
1
1
dx x
dx x x
x
x
xx


=− =− += −


+
+


∫∫
Lại có
51
ln ln 2; 17.
44
I a b ab= − → = =
Vậy
22 2
2.17 2 17 13.
S ab a b=−−= −−=
Chọn A
Câu 39: Ta có
( )
22
1 1 11
.
1
1
xx
xx x
=+−
+
+
Suy ra
( )
2
2
2
1
1
11 31 1 3
ln ln ln 2 1 ln .
22 2 4
1
dx x
xx
xx
+
= − = − − += +

+

∫
Lại có
( )
2
2
1
ln 1; 2; 3; 4 .
1
dx a c
ab c d
bd
xx
= + → = = = =
+
∫
Chọn D
Câu 40: Ta có
( )
2
22
31 1 41
11
x
xx x x x
+
=+−
++
Suy ra
( )
2
2
2
2
1
1
3 1 1 1 2 81
4 ln 1 ln 4 ln 3 ln 2 4 ln 2 1 ln .
3 3 32
1
x
dx x x
x
xx
+

= +− − = − − − += +

+

∫
Lại có
2; 3
ln .
81; 32
ab
ac
I
cd
bd
= =
= + →
= =
Vậy
2 3 81 32 44.abcd+−+ =+− + =−
Chọn B
Câu 41:
( )
( )
22
25 5 5 3
.
1
11
x
xx
xx x
+
=−−
+
++
Suy ra
( )
2
2
2
1
1
2 5 3 2 13 1 4
5ln 5ln 1 5 ln 5ln .
1 1 3 22 2 3
1
xx
dx
xx
xx
+
= + = +− − =− +

++
+

∫
Lại có
1; 2
5.ln .
4; 3
ab
ac
I
cd
bd
= =
= − + →
= =
Vậy
10.abcd+++ =
Chọn C
Câu 42: Ta có
( )( )
( )
22
11 1 1
.
41 1
1 1 21
x
xx
xx x

= −+

−+

−+ +
Suy ra
( )( )
1
1
2
2
2
0
0
1 111 11
ln . ln 3.
4 12 1 64
11
xx
dx
xx
xx
−
=−=−

++
−+

∫
Lại có
1
1
ln 2 6.
4
3
a
a
Ib
b
c
=
= − → =
=
Vậy
10.abcd+++ =
Chọn B
Câu 43:
2
2
3
3
1
3
cos sin sin sin 1 .
1
23 2
2
a
xdx x
b
π
π
π
π
ππ
=
= = − =−⇒
= −
∫
Vậy
4 3.ab−=
Chọn B
Câu 44:
4
4
0
0
cos 5 5 1 2 1
sin 5 cos cos 0 .
5 4 5 10 5
x
xdx a b
π
π
π

=− =− − =+ ⇒==


∫
Chọn D
Câu 45:
1
1
2
2
0
0
sin 1 1 1
cos . sin sin 0 1.
2
x
xdx m
ππ
π
ππ π π

= = − =⇒=−


∫
Chọn A.
Câu 46:
( )
2
2
0
0
2
1 13 1 1
1 sin 3 cos 3 cos 0 cos 0 1.
3 23 2 3 32
3
a
x dx x x b
c
π
π
ππ π
=

− = + = + − + =−+ ⇒ =−


=
∫
Vậy
2 2.2 1 3 6.abc
+ + = −+ =
Chọn C.
Câu 47:
( )
3
4
44
22
6
66
1 sin 1 2 3
sin cot cos 1
22
sin sin
x
dx x dx x x
xx
π
ππ
π
ππ
−

= − =− + =−+ +


∫∫
Mà
1
23
.. .
2
22 2
ab
c
I ba
c
= =
= − + + →
=
Vậy
23
2 3 3.T a b abc= +− =
Chọn C.
Câu 48: Ta có
( )
1 .sin 2 2.fa b b
π
= +=⇔=
Lại có
( ) ( )
11
1
0
00
.cos
.sin 2 2 4
ax
f x dx a x dx x a
π
ππ
π

= + =− + =⇔=


∫∫
Vậy
2.ab
π
+=+
Chọn B.
Câu 49:
0
00
1 1 1 11
sin .cos sin 2 cos 2 cos 2 .
2 4 4 44 4
aa
a
x xdx xdx x a a
π
= =− =− +=⇒=
∫∫
Chọn C.
Câu 50:
( )
0
0
1 11
sin 2 cos 2 cos 2 0 cos 2 1 .
2 22
x
x
tdt t x x x k k
π
=− =− +=⇔ =⇔= ∈
∫
Chọn A.
Câu 51:
2
66
6
22
88 8
cos 2 1 1 1 1 3
1 tan 2
2 24 2 2
cos 2 cos 2
x
dx dx x x
xx
ππ
π
ππ π
π
−

= − = + = +−


∫∫
Suy ra
24; 1; 2 29.a b c d S abcd= = = = → = + + + =
Chọn B.
Câu 52:
2
22
2
22
1 sin
2
1
2
1 2 cot 2
4
22
sin sin
22
x
a
x
dx dx x
xx
b
π
ππ
π
ππ
π

+

=

= + = − = +⇒


=



∫∫
Vậy
6.ab+=
Chọn D.
Câu 53: Ta có
( ) ( )
2
22
2
00
0
sin cos 1 sin cos 1 1.
22 2 2
xx
dx x dx x x m
ππ
π
ππ

− = − = + = −⇒ =− −


∫∫
Chọn B.
Câu 54: Bấm máy ta có
( )
00
cos3 0.
f x dx xdx
ππ
= =
∫∫
Chọn A.
Câu 55:
44 4
4
22 22 2
6
66 6
2
1 1 4 23
2 cot 2
3
3
sin cos sin cos sin 2
a
dx dx dx x
bc
xx xx x
ππ π
π
π
ππ π
=
= = =−=⇒
= =
∫∫ ∫
.
Chọn A.
Câu 56: Ta có
22
44 4
22 22 2 2
66 6
cos 2 cos sin 1 1
sin cos sin cos sin cos
x xx
dx dx dx
xx xx x x
ππ π
ππ π
−

= = −


∫∫ ∫
( )
4
6
2
44
tan cot 2 2 . 3 .
4
3
3
3
a
xx
b
c
π
π
= −
=− + =−+ =−+ →
=
=
Vậy
5.abc++=
Chọn B.
Câu 57: Ta có
( )
2
0
0
11 1
sin sin 2 sin 2 0 .
24 4 2
x
x
k
t dt t x x k
π

− =− =− =⇔= ∈


∫
Chọn C.
Câu 58: Ta có
( ) ( )
0
0
3
sin cos sin cos sin cos 1 0 .
2
a
a
x x dx x x a a a
π
+ = − = − += ⇒ =
∫
Chọn C.
Câu 59:
( )
2 22
2
0
0
1 cos 2 1 cos 2 4 8
sin .
2 2 32 4
m
m
x xm m
x x dx m
ππ π

+− +− + −
+ = = = ⇒=


∫
Chọn D.
Câu 60: Ta có
44
4
2
00
0
8
1 cos 2 sin 2 1
sin 1.
2 2 4 84
4
a
xx x
xdx dx b
c
ππ
π
π
=
−

= = − = −⇒ =


=
∫∫
Chọn A.
Câu 61:
0
00
sin 2 cos 2 cos 2 1
sin cos 0 .
2 4 44
aa
a
x xa
x xdx dx a
π
= =− =− +=⇔=
∫∫
Chọn A.
Câu 62:
( )
44
4
00
0
0
1 sin cos5 3 2
sin 3 sin 2 cos cos 5
3
2 2 10 10
a
xx
x xdx x x dx
b
ππ
π
=

= − = − = →

=

∫∫
Vậy
0 3 3.
S ab=+=+=
Chọn D.
Câu 63:
( )
22
2
22 2
4
1 sin 5 cos 9 4
sin 7 sin 2 cos 5 cos 9 .
45
2 10 18 45
a
xx
x xdx x x dx
b
ππ
π
ππ π
=

= − = − = →

=

∫∫
Vậy
22
4 45 61.Sa b
= += + =
Chọn A.
Câu 64:
( )
44
4
00
0
1
1 sin 2 cos 4 1
cos 3 cos cos 2 cos 4 .
4
2 48 4
a
xx
x xdx x x dx
b
ππ
π
=

= + = + = →

=

∫∫
Vậy
1 4 5.T ab=+=+=
Chọn B.
Câu 65:
44
4
2
00
0
1
1 1 tan 1
.
2
1 cos 2 2 2
2 cos
a
xa
dx dx
b
xb
x
ππ
π
=
= = = = →
=
+
∫∫
Vậy
1.T ab=−=−
Chọn A.
Câu 66: Ta có
2
22
2
3
33
3
11
cot 3 1 .
1
1 cos 2
2sin
2
a
x
dx dx
x
b
x
π
ππ
π
ππ
=
= = − = − →
= −
−
∫∫
Vậy
( )
2.3 1 7.T = −− =
Chọn D.
Câu 67: Gọi
( )
Ft
là nguyên hàm của hàm số
( ) ( )
( )
(
) ( )
2
2
0
0 .cos * .
x
ft ftdt Fx F x x
π
⇒ = −=
∫
Đạo hàm 2 vế của
( )
*
, ta được
( )
(
)
2
2 . .cos cos .sinxF x x x x x x
π ππ π
′
′
= = −
( )
2
2 . cos .sin .xf x x x x
ππ π
⇔=−
Thay
2,
x =
ta có
( ) ( )
1
441 4 .
4
ff=⇔=
Chọn D.

Tài liệu khác của Toán 12

Preview text:

CHỦ ĐỀ 10: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ LƯỢNG GIÁC
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 3 2 3 (7x − 4)dx
a) 7x − 3x − 2 . dx ∫ b) . 3 x ∫ − x 3 x − 3x + 2 2 2 π π 2 2 4 c) sin xdx I + = ∫ d) tan x 1 I = . dx ∫ 2 3 π sin 3x
0 cos x ( 2 tan x + ) 1 6 Lời giải 2
a) Đồng nhất hệ số: 7x − 3x − 2 A B C = + +
x(x −1)(x +1) x x −1 x +1 2
⇒ 7x − 3x − 2 = A(x − ) 1 (x + ) 1 + Bx(x + ) 1 + Cx(x − ) 1 (1)
x = 1 ⇒ 2 = 2BB = 1
Xét PT (1) cho x 0 2 A
= ⇒ − = − ⇔ A = 2  x 1 8 2C C  = − ⇒ = =   4 3 3 Khi đó ta có  2 1 4 I  = + + dx = ∫
(2ln x + ln x −1 + 4ln x +   1)
x x −1 x +1 2  2 3 4 = 2ln + ln 2 + 4ln . 2 3
b) Đồng nhất 7x − 4 7x − 4 A B C = = + + 3
x − 3x + 2 (x − )2
1 (x + 2) (x − )2 1 x −1 x + 2 3 (7x − 4) 3   3 dx Ta có 1 2 2  1 − x −1  1 8 I = =  + − dx  = + ∫ ∫  2ln = +  2ln . 3 x − 3x + 2  x −1 x −1 x + 2  x −1 x + 2  2 5 2 2 ( )2 2  π π π π 2 2 2 2 2 2 sin xdx sin xdx sin xdx d (cos x) c) I = = = = − ∫ ∫ 3 ∫ 2 ∫ 2 π sin 3x
π 3sin x − 4 sin x π 3 − 4 sin x π 4 cos x − 1 6 6 6 6 3 3 0 2 t=cos x dt dt 1 2t −1 3 1 → I = = = ln = ln 2 − 3 ∫ 2 ∫ ( ) 4t −1 2t −1 2t +1 4 2t +1 4 3 0 ( )( ) 0 2 π 4 d) Ta có tan x +1 I = . dx ∫ Đặt 1
t = tan x ⇒ dt = . dx 2 2 cos x
0 cos x ( 2 tan x + )3 1 x = 0 ⇒ t = 0 Đối cận π x = ⇒ t = 1 4 1 1 1 1   1 t +1 1 2t +1+1 1 dt 1 dt 1 1 1 5 ⇒ I = dt = dt = + =  − −  = . ∫ ∫ ∫ ∫ 2t +1 2 2t +1 2 2t +1 2 2t +1
4  2t +1 2 2t +1  18 0 ( )3 0 ( )3 0 ( )2 0 ( )3  ( )2 0  1
Ví dụ 2: Cho tích phân xdx I =
= a ln 2 + bln 3 + c ∫
với a,b,c ∈ .
 Tính giá trị của biểu thức 2 2x + 3x +1 0
T = a + 2b + 3 . c A. T = 0 B. T = 2 C. T = 2 − D. T = 1 − Lời giải 1 1 1 xdx xdx
(2x + )1 − (x + )1 I = = = dx ∫ 2 2 ∫ ∫ x + 3x +1 2x +1 x +1 2x +1 x +1 0 0 ( )( ) 0 ( )( )  a = 1 1  1 1  ln 2x 1 1   +   1 = − ∫ dx =  ln x +1 −
 = ln 2 − ln 3 ⇒ b  = −
x +1 2x +1  2  2 2 0   c = 0 
Do đó T = a + 2b + c = 0. Chọn A 4 2
Ví dụ 3: Cho tích phân 2x + 4x +1 I =
dx = a ln 5 + bln 3 + c ∫
với a,b,c ∈ .
 Tính giá trị của biểu thức 2 x + x 3 2
T = a + bc A. T = 5 B. T = 3 C. T = 1 D. T = 1 − Lời giải 2( 2
x + x) + 2x +1 d ( 2 4 4 4 x + x) 4 2 20 I = dx = 2dx +
= 2 + ln x + x = 2 + ln ∫ 2 ∫ ∫ 2 x + x x + x 12 3 3 3 3  a = 1 5 2 ln ln 5 ln 3 2 b  = + = − + ⇒  = 1 − ⇒ T = 1 − . Chọn D 3  c =  2 ln 2
Ví dụ 4: Cho tích phân
dx = a +bln2+ cln5 ∫
với a,b,c ∈ .  3 x e + 2 0
Tính giá trị của biểu thức T = a + 3b + 2 .c A. T = 1 − B. T = 2 − C. T = 1 D. T = 1 − Lời giải x = 0 ⇒ t = 1 Đặt x x
t = e ⇒ dt = e dx = t . dx Đổi cận
x = ln 2 ⇒ t = 2 2 2 dt 1 (3t + 2) 2 − 3t Khi đó 1 1 3 I dt  = = = − ∫ ∫ ∫  dt t 3t + 2 2 t 3t + 2 2  t 3t + 2 1 ( ) 1 ( ) 1  2 1 1 1 8 1
= ln t − ln 3t + 2  = ln 2 − ln = −ln 2 + ln 5 2   2 2 5 2 1 Do đó 1 a = 0;b = 1;
− c = ⇒ T = 2 − . Chọn B 2 2
Ví dụ 5: Cho tích phân sin 2x I =
dx = a + 2ln b, ∫
với a,b là các số hữu tỷ. (2 + sin x)2 0
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. 3a + 2b = 2 −
B. 3a + 2b = 1 −
C. 3a + 2b = 1
D. 3a + 2b = 2 Lời giải
x = 0 → t = 0
Đặt t = sin x ⇔ dt = cos xdx và đổi cận  π x = → t =  1  2 π 2 1 1 1   Khi đó 2sin x t t + 2 − 2 1 = .cos = 2 =2 =2 t I xdx dt dt  −  dt ∫ ( ∫ ∫ ∫ 2 + sin x)2 (t + 2)2 (t + 2)2
t + 2 (t + 2)2 0 0 0 0     2 1 = −  2   2  2 3 a  3 = 2 +  ln t + 2 =  2 +  ln 3 −1− ln 2 = − + 
2.ln = a + 2.ln b ⇒  . Chọn C t + 2   3  3 2 3 0  b =  2 6
Ví dụ 6: Cho tích phân 2x +1 I =
dx = a ln 7 + bln 5 + c ln 3 ∫
với a,b,c ∈ .
 Tính giá trị của biểu thức 3 x − x 2
S = a + b + c A. 1 S = B. 3 S = C. S = 3 D. 5 S = 2 2 2 Lời giải 6 6 6 6 Ta có 2x +1 x +1+ x dx dx dx = dx = + ∫ 3 ∫ ∫ ∫ x − x .x x −1 x +1 .x x −1 x −1 x +1 2 2 ( )( ) 2 ( ) 2 ( )( ) 6 6 x −1 1 x −1 5 1 15 3 1 1 = ln + ln = ln + ln = ln 5 − ln 7 − ln 3 x 2 x +1 3 2 7 2 2 2 2 2 Do đó 3 1 5
a = ;b = c = − ⇒ S = a + b + c = . Chọn D 2 2 2 π 2 (2sin x − ) 1 cos xdx
Ví dụ 7: Cho tích phân
= a + ln 3 + c ln 2 ∫
với a,b,c ∈ .
 Khẳng định nào sau đây là + π 2sin x 1 6 đúng.
A. b + c = . a
B. b + c = 2a
C. b − c = 4a
D. b − c = 4 − a Lời giải π π 2 (2sin x − ) 2 1 cos xdx
(2sin x − )1d (sin x) 1 1 t=sin x 2t −1  2 I I dt 1  = = → = = − ∫ ∫ ∫ ∫  dt + + +  + π 2sin x 1 π 2sin x 1 1 2t 1 1 2t 1 6 6 2 2 1 = (t − t + ) 1 3 1 1 ln 2 1
= − ln = − ln 3 + ln 2 ⇒ a = ;b = 1
− ;c = 1 ⇒ b − c = 4 − . a Chọn D 1 2 2 2 2 2 π 4
Ví dụ 8: Cho tích phân ∫( 3 2
cos x − cos x)dx = a + .b 2 + .cπ với a,b,c ∈ .
 Tính tổng S = a + b + . c 0 A. 1 S = B. 1 S − = C. 1 S − = D. 5 S − = 24 12 24 24 Lời giải π π π π π 4∫( − ) 4 4 4 4 3 2 3 2 2 1+ cos 2 cos cos = cos − cos = cos sin x x x dx xdx xdx xd x − dx ∫ ∫ ∫ ∫ 2 0 0 0 0 0 π π π 4∫(      π x) 3 x sin 2x 4 sin x 4 2 1 1 sin d sin x   sin x  = − − + = −  − +  2 4   3    8 4  0  0 0 1 5 1 1 − 5 1 1 = − +
2 − π ⇒ a + b + c = + − = . Chọn A. 4 12 8 4 12 8 24 2
Ví dụ 9: Cho tích phân dx I =
= a ln 3 + bln 2 + c ln 5 ∫
với a,b,c ∈ .
 Tính giá trị của biểu thức 4 x + 2x 1
T = a(b + c) A. 2 T = B. 5 T − = C. 1 T − = D. 1 T − = 9 18 2 9 Lời giải 2 2 2 2 2 3 3 2 dx dx x dx 1 dx 1 = = = = = ln x I ∫ 4 ∫ ∫ ∫ x + 2x x x + 2 x x + 2 3 x x + 2 6 x + 2 1 1 ( 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 1 ( 3 ) 3 1  1 a =  6  1 12 1 = = ( + − )  1
⇒  b = ⇒ a(b + c) 1 ln 2ln 2 ln 3 ln 5 − = . Chọn D 6 5 6 3 9  c = 1 −  π 3 2
Ví dụ 10: Cho tích phân sin xcos x I =
dx = a ln 3 + bln 3 + c ∫
với a,b,c ∈ .
 Tính tích P = abc 1+ cos x 0 A. 1 P = B. 1 P = C. 1 P − = D. 1 P − = 8 4 4 8 Lời giải π π 1 3 2 3 2 2 2 1 2 1 sin xcos x cos x I dx d ∫ ∫
( x) t=cosx t dt t dt  1 cos t 1  = = → = = − + ∫ ∫ ∫  dt 1+ cos x 1+ cos x 1+ t 1+ t  1+ t 0 0 1 1 1  2 2  1  a = 2 2  t  1 4 1  1
=  −t + ln t +1  = − + ln = 2ln 2 − ln3− ⇒ b = 1
− ⇒ P = abc = . Chọn B  2 1  8 3 8 4  2 1 c −  =  8
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2
Câu 1: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2018) Tích phân dx ∫ bằng x + 3 0 A. 16 B. 5 log C. 5 ln D. 2 225 3 3 15 1 2 5 Câu 2: Cho n 1 x dx = ∫ và dx = ln ,m
n m là các số nguyên dương. Tìm khẳng định đúng? 64 ∫ với , 2x −1 0 1
A. n > m
B. 1 < n + m < 5
C. n < m D. n = m
Câu 3: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2017) Cho a,b là các số nguyên thỏa mãn 1  1 1  − dx = a ln 2 + ∫ 
bln 3. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  x +1 x + 2 0 
A. a + b = 2
B. a − 2b = 0
C. a + b = 2 −
D. a + 2b = 0. 1 Câu 4: Cho  3 2  3 4 + dx = a ln + ∫ 
bln . với a,b +
∈  . Mệnh đề nào đúng?
x + 2 x + 3  2 3 0
A. 2a + 3b = 10
B. a − 2b = 4
C. a + b = 7
D. 3a + 2b = 13 5 Câu 5: Cho  2 3  25 − dx = a ln + ∫ 
bln 2 với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng?  x x − 2  27 4
A. a + b = 2 −
B. a + 2b = 1 −
C. a + b = 1
D. a − 2b = 3 − 1 Câu 6: Cho  6 1  + dx = a ln 2 + ∫ 
bln 3 với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?  3 − 2x x + 2 0  A. b 1 = − . B. a 1 = − .
C. b − a = 5 −
D. b + a = 5 a 4 b 4 4 Câu 7: Cho  1 6  17 − dx = a ln 2 + ∫  bln
với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
 2 − x 3x + 5  14 3 A. a 1 = − . B. a 1 = . C. b 1 = . D. b 1 = − . b 2 b 2 a 2 a 2 5 2
Câu 8: Biết x + x +1 = + ln b dx a ∫
với a,b là các số nguyên. Tính S = a − 2 . b x +1 2 3 A. S = 2 − B. S = 10 C. S = 5 D. S = 2 0 2
Câu 9: Biết 3x + 5x −1 2
dx = a ln + b ∫
với a,b là các số hữu tỉ. Tính a + 2 . b − − x 2 3 1
A. a + 2b = 30.
B. a + 2b = 40.
C. a + 2b = 50.
D. a + 2b = 60. 3 2
Câu 10: Biết x − x + 4 dx = a + bln 2 − cln 3 ∫
với a,b,c là các số dương. Tính abc . x +1 2 A. abc = 12 B. abc = 36 C. abc = 62 D. abc = 6 a
Câu 11: Biết x +1dx = .e ∫ Tính a. x 1 A. 2 a = B. 2 a =
C. a = e D. e a = . 1− e e −1 2 1
Câu 12: Biết 2x + 3 dx a = ln 2 + b ∫ với a,b ∈ .  Hãy tính a + 2 . b 2 − x 0
A. a + 2b = 0.
B. a + 2b = 2.
C. a + 2b = 3.
D. a + 2b = 7. 2
Câu 13: Biết x −1 1 = + 4ln a dx ∫ với a,b ∈ .
 và a là phân số tối giảm. Tính 2a + . b x + 3 b b 1
A. 2a + b = 0.
B. 2a + b = 13.
C. 2a + b = 14.
D. 2a + b = 20 − m 2
Câu 14: Tìm tất cả các số thực dương m thỏa mãn x dx 1 = ln 2 − . ∫ x +1 2 0 A. m = 2 B. m = 1 C. m > 3 D. m = 3 3 Câu 15: Biết dx
= a ln 2 + bln 5 + c ln 7 ∫
với a,b,c ∈ .
 Tính S = a + 4b − . c x +1 x + 4 1 ( )( ) A. S = 2 B. S = 4 C. S = 3 D. S = 5 2
Câu 16: Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn x
dx = a ln 2 + bln 3 + c ln 5. ∫ Tính x +1 2x +1 1 ( )( )
S = a + b + . c A. S = 1 B. S = 0 C. S = 1 − D. S = 2 5 Câu 17: Cho x + 4 25 dx = a ln + bln 2 ∫
với a,b là các số nguyên. Mệnh đề nào đúng? x 2 − x 27 4 ( )
A. a + b = 2. −
B. a + 2b = 1 −
C. a + b = 1.
D. a − 2b = 3 − 3 Câu 18: Biết
x dx = aln2−bln3 ∫ với a,b ∈ .
 Khi đó a và b đồng thời là hai nghiệm của phương 2 x −1 2 trình nào dưới đây? A. 2
x − 4x + 3 = 0 B. 2 3 x − 2x + = 0 C. 2 3 x − x − = 0 D. 2
x − 2x − 3 = 0 4 4 4 Câu 19: Biết
dx = aln2+bln3+ cln5 ∫
với a,b,c là các số nguyên. Tính S = a + b + .c 2 x + x 3 A. S = 6 B. S = 2 C. S = 2 − D. S = 0 5 Câu 20: Giả sử
dx = aln5+bln3+ cln2, ∫
(a,b,c ∈). Tính 2 S = 2
− a + b + 3c . 2 x − x 3 A. S = 3 B. S = 6 C. S = 0 D. S = 2 − 2
Câu 21: Cho a,b là các số nguyên thỏa mãn 3
dx = a ln 5 + bln 2. ∫ Mệnh đề nào đúng? 2 x + 3x 1
A. a + 2b = 0
B. 2a − b = 0
C. a − b = 4. −
D. a + b = 0. 2
Câu 22: Cho a,b là các số nguyên thỏa mãn
2dx = aln2+bln3. ∫
Tính S = a + 2 . b 2 x + 2x 1 A. S = 1 − B. S = 1 C. S = 2 D. S = 0 4 Câu 23: Biết dx = a ln 2 + bln 5 ∫
với a,b là các số nguyên. Tính S = a − 2 . b 2 x + x − 2 3 A. 1 S = − B. 2 S = − C. S = 2 − D. 4 S = − 3 3 3 1 Câu 24: Biết dx = a ln 2 + bln 3 ∫ với a,b ∈ .  Mệnh đề nào đúng? 2 x + 3x + 2 0
A. a + b = 2.
B. a − 2b = 0
C. a + b = 2. −
D. a + 2b = 0 1
Câu 25: Cho a,b là các số nguyên thỏa mãn dx
= a ln 2 + bln 3. ∫ Tính S = a + . b 2 x − 5x + 6 0 A. S = 3 − B. S = 2 − C. S = 1 D. S = 0 2 Câu 26: Biết x −1
dx = a ln 5 + bln 3 ∫ với a,b ∈ .  Hãy tính P = . ab 2 x + 4x + 3 0 A. P = 8 B. P = 6 − C. P = 4 − D. P = 5 − 5 Câu 27: Biết 1− 2x 3
dx = a ln + bln 2 ∫ với a,b ∈ .  Mệnh đề nào đúng? 2 x − 5x + 6 2 4
A. 2a + b = 11
B. a + 2b = 7 −
C. a + b = 8
D. a − 2b = 15 1 Câu 28: Biết
4x +15 dx = aln2+bln3 ∫ với a,b ∈ .  Mệnh đề nào đúng? 2 2 − x − x + 6 0 A. b 1 = − B. a 1 = −
C. b − a = 5 −
D. b + a = 5 a 4 b 4 4 Câu 29: Biết 9x − 7 17
dx = a ln 2 + bln ∫ với a,b ∈ .  Mệnh đề nào đúng? 2 3 − x + x +10 14 3 A. a 1 = − B. a 1 = C. b 1 = D. b 1 = − b 2 b 2 a 2 a 2 1 Câu 30: Biết x + 2
dx = a ln 12 + bln 7 ∫ với a,b ∈ .  Tính tổng a + . b 2 x + 4x + 7 0
A. a + b = 1 −
B. a + b = 1
C. a + b = 2
D. a + b = 0 1 Câu 31: Biết 3x − 2 a 5 dx = 2ln − ∫
với a,b ∈  và a tối giản. Tính ab . 2 x + 6x + 9 b 6 b 0 A. ab = 5 − B. ab = 27 C. ab = 6 D. ab = 12 2 2
Câu 32: Cho a,b ∈ x  thỏa mãn dx 1
= + a ln 2 + bln 3. ∫
Tính tổng S = a + . b 2 x − 7x +12 1 A. S = 9 − B. S = 41 C. S = 9 D. S = 7 3 2 Câu 33: Cho − + a,b,c x 3x 2 ∈  thỏa dx a = ln 7 + bln 3 + . c ∫ Tính 2 3
T = a + 2b + 3c . 2 x − x +1 2 A. T = 4 B. T = 6 C. T = 3 D. T = 5 3 Câu 34: Biết dx a
= ln 3 + bln 2 + c ∫
với a,b,c ∈ . Tính S = a + b + .c 3 2 x + x 2 A. 3 S = − B. 7 S = − C. 2 S = D. 7 S = 2 6 3 6 1 3 Câu 35: Biết x 1 1 dx = − ln 2 ∫ với a ∈ .
 Hỏi a thuộc khoảng nào sau đây? 2 x +1 2 a +1 0 A. (0;2) B. (2;4) C. a ∈(4;6) D. a ∈(6;8) 1 2 Câu 36: Biết x dx a = − + ln c ∫
với a,b,c ∈
c > và a tối giản. Tính S = . abc ( , 0 x + )3 b b 0 1 A. S = 16 B. S = 8 C. S = 80 D. S = 10 2 Câu 37: Biết dx 1 1 1
= ln a + ln b − ln c ∫
với a,b,c + ∈  . Tính . abc 4 x + 2x 3 6 6 1 A. abc = 16 B. abc = 20 C. abc = 30 D. abc = 60 2 Câu 38: Biết dx 5 1 = − ∫ với a,b + ∈  . Tính 2
S = ab − a − . b x( ln a ln b 4 x +1 4 4 1 ) A. S = 13 B. S = 17 C. S = 30 D. S = 34 2 Câu 39: Biết dx a = − + ln c ∫
với a,b,c,d +
∈  và a ; c tối giản. Tính a + b + c + d. 2 x x +1 b d b d 1 ( ) A. 32 B. 16 C. 12 D. 10 ( 2 2 3x + ) 1 dx Câu 40: Biết = ln c a + ∫
với a,b,c,d +
∈  và a ; c là các phân số tối giản. Tính a + b − c + d. 2 x x +1 d b b d 1 ( ) A. 32 − B. 44 − C. 81 D. 7 2 Câu 41: Biết 2x + 5 a = − + 5ln c dx ∫
với a,b,c,d +
∈  và a ; c là các phân số tối giản. Tính x(x + )2 b d b d 1 1
a + b + c + d. A. 7 B. 9 C. 10 D. 12 1 2 Câu 42: Biết xdx a 1 = − ln c ∫
với a,b,c + ∈
tối giản. Tính a + b + .c (  và a x − ) 1 (x + )2 1 b 4 b 0 A. 9 B. 10 C. 12 D. 14 π 2
Câu 43: Biết cos xdx = a + b 3, ∫
với a và b là các số hữu tỉ. Tính a − 4 . b π 3 A. 9 a − 4b =
B. a − 4b = 3 C. 1 a − 4b = − D. 1 a − 4b = 2 2 2 π 2
Câu 44: Cho a,b là các số hữu tỉ thỏa mãn 2
sin 5xdx = a + b . ∫ Tính a − . b 2 0 A. 1 a − b = B. 1 a − b = − C. 1 a − b =
D. a − b = 0 5 5 10 1 2
Câu 45: Biết cosπ xdx = m +1. ∫
Hỏi khẳng định nào sau đây là đúng? 0
A. π m = 1− π B. 1+ π m = π
C. 1− π m = 2π D. 1− 3m = π 1 2 Câu 46: π Cho (1− sin 3 ) b x dx = + ∫ với *
a,c ∈  và b là phân số tối giản. Tính 2a + b + .c a c c 0 A. 4 B. 2 C. 6 D. 8 π 4 3 Câu 47: Cho − + −
a,b,c là các số nguyên thỏa mãn 1 sin x a 3 b 2 c dx = . ∫
Hãy tính giá trị của biểu 2 π sin x 2 6 thức 2 3
T = 2a + 3b − . abc A. T = 16 − B. T = 12 − C. T = 3 D. T = 12 1
Câu 48: Cho hàm số f (x) = .
a sinπ x + b thỏa mãn f ( ) 1 = 2 và f
∫ (x)dx = 4. Tính a + b 0 A. π B. 2 + π C. 2 + 2π D. 3 + 2π a Câu 49: Biết rằng 1 sin xcos xdx = . ∫
Hãy tính giá trị của a. 4 0 A. π π π π a = B. 2 a = C. a = D. a = 2 3 4 6 x
Câu 50: Tìm tập hợp nghiệm của phương trình sin 2tdt = 0 ∫ với ẩn x. 0
A. kπ ,(k ∈ )
B. k2π ,(k ∈ ) C. π π
+ kπ ,(k ∈ )
D. + kπ ,(k ∈ ) 2 4 π 6 2 Câu 51: − π Biết cos 2x 1 b 3 dx = + − ∫
với a,b,c,d ∈  và b là phân số tối giản. Tính tổng 2 π cos 2x a c d c 8
S = a + b + c + d A. S = 28 B. S = 29 C. S = 30 D. S = 31 2 π 1 + sin x Câu 52: Biết 2 π dx = + b ∫ với a,b +
∈  . Tính a + b . π 2 sin x a 2 2
A. a + b = 8
B. a + b = 9
C. a + b = 11
D. a + b = 6 π 2 2
Câu 53: Biết sin x cos x  − dx = π + ∫  .
m Hỏi khẳng định nào sau đây đúng?  2 2 0  A. 2m + 2 = π B. 2m + 2 = π − C. 2m + π = 2 D. 2m = π + 2
Câu 54: Trong các hàm số sau, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0;π ] đạt giá trị bằng 0?
A. f (x) = cos3x
B. f (x) = sin3x C. ( )  π  π cos x f x  = + x  
D. f (x) = sin + 4 2       4 2  π 4 Câu 55: Cho 1 a c dx = ∫ với * , ∈  , a b c
là phân số tối giản. Tính a + 2b + .c 2 2 π sin x cos x b b 6 A. 11 B. 5 C. 10 D. 11 π 4 Câu 56: Cho cos 2x b dx = a + 3 ∫ với * ,
b c ∈  và b là phân số tối giản. Tính T = a + b + .c 2 2 π sin x cos x c c 6 A. T = 9. B. T = 5. C. T = 5. − D. T = 9. − 3 Câu 57: Để  2 1 sin t  − dt = ∫ 
0, với k ∈  thì x phải thỏa mãn điều kiện nào sau đây?  2 0  A. π x = k2π
B. x = kπ C. k x =
D. x = π + k2π 2 a
Câu 58: Nếu ∫(sin x + cos x)dx = 0 với 0 < a < 2π thì giá trị a bằng bao nhiêu? 0 A. π B. π C. 3π D. π 4 2 2 m Câu 59: π + π
Với giá trị nào của tham số m thì ∫(x + x) 2 2 4 − 8 sin dx = . 32 0 A. π π π m = 1 B. m = C. m = D. m = 6 3 4 π 4 Câu 60: π Biết 2 sin b xdx = − ∫
với a,b,c là các số nguyên với b là phân số tối giản. Tính tổng a + b + .c a c c 0 A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 a
Câu 61: Biết sin xcos xdx = 0 ∫
với 0 < a < 2π thì bằng bao nhiêu? 0 A. π π π a = π B. a = C. 3 a = D. a = 2 2 4 π 4 Câu 62: Biết b 2
sin 3xsin 2xdx = a + ∫
với a,b là các số nguyên. Tính S = a + . b 10 0 A. S = 2 − B. S = 3 − C. S = 2 D. S = 3 π 2
Câu 63: Biết sin 7 sin 2 a x xdx = ∫
với a là phân số tối giản. Tính tổng 2 S = a + . b π b b 2 A. S = 61 B. S = 23 C. S = 49 D. S = 63 π 4 Câu 64: cos3 cos a x xdx = ∫ với *
b ∈  và a là phân số tối giản. Tính T = a + . b b b 0 A. T = 1 B. T = 5 C. T = 3 D. T = 3 − π 4 Câu 65: Cho 1 a dx = ∫ với *
b ∈  và a là phân số tối giản. Tính T = a − . b 1+ cos 2x b b 0 A. T = 1 − B. T = 1 C. T = 3 − D. T = 2 π 2 Câu 66: Cho 1
dx = a + b ∫ với *
a ∈  ,b ∈ .
 Tính T = 2a − . b − π 1 cos x 3 A. T = 11 B. T = 5 C. T = 6 D. T = 7 2 x
Câu 67: Với x > 0, ta có f
∫ (t)dt = xcosπ .x Hãy tính f (4). 0 A. f ( ) 1 4 = B. f (4) = 1 C. f (4) = 2 D. f ( ) 1 4 = 2 4
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 Câu 1: 5
I = ln x + 3 = ln . Chọn C 3 0 1 1 n 1 + n 1 + Câu 2: Ta có 1 x 2 2 = = ⇒ n = 3. 64 n +1 n +1 0 5 Lại có 1 1
ln m = ln 2x −1 = ln 9 = ln 3 ⇒ m = 3. Chọn D 2 2 1 1 Câu 3: x +1 2 1 I = ln
= ln − ln = 2ln 2 − ln 3. Chọn D x + 2 3 2 0 Câu 4: I = ( x + + x + ) 1 3 4 3ln 2 2ln 3 = 3ln + 2ln . Chọn D 2 3 0 Câu 5: I = ( x − x − ) 5 5 3 2ln 3ln 2 = 2ln − 3ln . 4 2 4 25
= 2ln 5 − 2ln 4 − 3ln 3 + 3ln 2 = ln − ln 2. Chọn B 27 Câu 6: I = ( 3
− ln 2x − 3 + 3ln x + 2 ) 1 = 3ln3 + ln3 − ln 2 = 4ln3 − ln 2. Chọn B 0
Câu 7: I = (− x − − x + ) 4 17 ln 2 2ln 3 5
= − ln 2 − 2ln . Chọn B 14 3 2 2 5 + +   Câu 8: x x 1 1 x 3 = x +
⇒ I =  + ln x +1  = 8 + ln . Chọn D x +1 x +1  2  2 3 2
3x + 5x −1 (x − 2)(3x + ) 11 + 21 Câu 9: 21 = = 3x +11+ x − 2 x − 2 x − 2 2 0  3x  19 2 19 ⇒ I = 
+11x + 21ln x − 2  = 21ln 2 + − 21ln3 = 21ln + . Chọn B  2  − 2 3 2 1 2
x − x + 4 (x + ) 1 (x − 2) + 6 Câu 10: 6 = = x − 2 + x +1 x +1 x +1 2 3  x  1
⇒ I =  − x + x +  = + ( − ) 1 2 6ln 1
6 ln 4 ln 3 = +12ln 2 − 6ln 3. Chọn B  2  2 2 2 a a Câu 11: Ta có  1 e 1  = + dx = ∫
(x + ln x ) = a + ln a −1⇒ a =   .e Chọn Cx 1  1 1 1 2x + 3 2(x − 2) 1 + 7 Câu 12: I = − dx = − dx = − ∫ ∫ ( x + x − ) 1 2 7ln 2 = 2 − − 7ln = 2 − + 7ln 2. x − 2 x − 2 2 0 0 0 Chọn C 2 2 Câu 13:  4 I  = − dx = ∫ (x − x + ) 5 4 1 4ln 3 = 1− 4ln = 1+   4ln . Chọn Bx + 3  4 5 1 1 2 2 2 m − +   Câu 14: x x 1 1 1 = = −1 x x +
⇒ I =  − x + ln x +1 x 1 x 1 x 1 2  + + +   0 2 m 1 =
− m + ln m +1 = ln 2 − ⇒ m = 1. Chọn B 2 2 Câu 15: 1 1  1 1  1 = −
⇒ I = (ln x +1 − ln x +   4 ) 3 ( x + )
1 (x + 4) 3  x +1 x + 4  3 1 1 = ( − − + ) 1
ln 4 ln 2 ln 7 ln 5 = (ln 2 + ln 5 − ln 7) . Chọn A 3 3 x
(2x + )1 − (x + )1 Câu 16: 1 1 ( = = − x + ) 1 (2x + ) 1 (x + ) 1 (2x + ) 1 x +1 2x +1 2  1  1 1 3 1
⇒ I = ln x +1 − ln 2x +1
= ln 3 − ln 2 − ln 5 + ln 3 = −ln 2 + ln 3 −   ln 5. Chọn B  2  2 2 2 2 1 x + 4 3x + 2(2 − x) Câu 17: 3 2 = = + ⇒ I = ( 3
− ln x − 2 + 2ln x ) 5 x(2 − x) x(2 − x) 2 − x x 4 3 5 25 = 3 − ln + 2ln = 3
− ln 3 + 3ln 2 + 2ln 5 − 2ln 4 = ln − ln 2. Chọn B 2 4 27 Câu 18: x x 1  1 1  = = + 2 x −1 (x ) 1 (x ) 1
2  x 1 x 1 − + − +  1
⇒ I = ( x − + x + ) 3 1 = ( + − ) 1 ln 1 ln 1
ln 2 ln 4 ln 3 = (3ln 2 − ln 3). Chọn B 2 2 2 2 Câu 19: 1 1 1 1 = = − 2
x + x x(x + ) 1 x x +1
⇒ I = (ln x − ln x +1) 4 = ln 4 − ln3 − ln5 + ln 4 = 4ln 2 − ln3 − ln5. Chọn B 3 5 5 5 Câu 20: dx  1 1  x −1 = − dx = ln = ln 3 + ln 2 − ∫ ∫  ln 5 2 x − xx −1 x x 3 3 3 5 dxa = 1 − Lại có
= a ln 5 + bln 3 + c ln 2  → ∫ 
. Vậy S = 6. Chọn C 2 x − x b  = c = 1 3 2 2 2 3  1 1  xa = 1 − Câu 21: dx = − ∫ ∫  dx = ln = 3ln 2 − ln 5 ⇒  . Chọn C 2 x + 3xx x + 3  x + 3  b = 3 1 1 1 2 2 2 2  1 1  xa = 1 − Câu 22: dx = − ∫ ∫  dx = ln = ln 3 − ln 2 ⇒  . Chọn B 2 x + 2xx x + 2  x + 2  b = 1 1 1 1 4 4 4 Câu 23: dx 1  1 1  1 x −1 1 2 = − dx = ln = ln 5 − ∫ ∫  ln 2. 2
x + x − 2 3  x −1 x + 2  3 x + 2 3 3 3 3 3 4 Lại có dx 2 1 4
= a ln 2 + bln 5 
→ a = − ;b = ⇒ S = − . ∫ Chọn D 2 x + x − 2 3 3 3 3 1 1 1 Câu 24: dx  1 1  x +1 = − dx = ln = 2ln 2 − ∫ ∫  ln 3. 2 x + 3x + 2
x +1 x + 2  x + 2 0 0 0 1 dxa = 2 Lại có
= a ln 2 + bln 3  → ∫ 
. Vậy a + 2b = 0. Chọn D 2 x + 3x + 2 b  = 1 − 0 1 1 1 Câu 25: dx  1 1  x − 3 = − dx = ln = 2ln 2 − ∫ ∫  ln 3. 2 x − 5x + 6
x − 3 x − 2  x − 2 0 0 0 1 dxa = 2 Lại có
= a ln 2 + bln 3  → ∫ 
. Vậy a + b = 1. Chọn C 2 x − 5x + 6 b  = 1 − 0 2 2 2 Câu 26: x −1  2 1 dx  = −
dx = 2ln x + 3 − ln x +1 = 2ln 5 − ∫ ∫  3ln 3. 2 ( ) x + 4x + 3  x + 3 x +1 0 0  0 2 x −1  a = 2 Lại có
dx = a ln 5 + bln 3  → ∫ 
. Vậy P = ab = 2.( 3 − ) = 6. − Chọn C 2 x + 4x + 3 b  = 3 − 0 5 5 5 Câu 27: 1− 2x  3 5  3 dx = −
dx = 3ln x − 2 − 5ln x − 3 = 3ln − ∫ ∫  5ln 2. 2 ( ) x − 5x + 6
x − 2 x − 3  2 4 4 4 3  a = 3 Lại có I = . a ln + . b ln 2  →
. Vậy a + 2b = 3 + 2.( 5 − ) = 7. − Chọn B 2 b  = 5 − 1 1 1 Câu 28: 4x +15  1 6 dx  = +
dx = ln x + 2 − 3ln 3 − 2x = 4ln 3 − ∫ ∫  ln 2. 2 ( ) 2 − x − x + 6
x + 2 3 − 2x 0 0  0 a = 1 − Lại có a 1 I = . a ln 2 + . b ln 3  → ⇒ = − . Chọn Bb = 4 b 4 4 4 4 Câu 29: 9x − 7  6 1  17 dx = − −
dx = −ln x − 2 − 2ln 3x + 5 = − ln 2 − ∫ ∫  2ln . 2 ( ) 3 − x + x +10
 3x + 5 x − 2  14 3 3 3 17 a = 1 − Lại có I − = . a ln 2 + . b ln  → a  . Vậy 1 1 = = . Chọn B 24 b  = 2 − b 2 − 2 x + 2 1 d ( 2 1 1 x + 4x + 7) 1 Câu 30: 1 2 dx =
= ln x + 4x + 7 = ln 12 − ln 7. ∫ 2 ∫ 2 x + 4x + 7 2 x + 4x + 7 2 0 0 0  a = 1 Lại có I = . a ln 12 + b.ln 7  →
. Vậy a + b = 1−1 = 0. Chọn D b  = 1 − 3x −1 3(x + 3) −10 Câu 31: 3 10 = = − . 2 x + 6x + 9 (x + 3)2 x + 3 (x + 3)2 1 1   1 Suy ra 3x −1 3 10  10  4 5 dx =  −  dx = ∫ ∫ 3ln x + 3 + =  2ln − . 2 x + 6x + 9  x + 3 x + 3   x + 3  3 6 0 0  ( )2 0  a 5 a = 4
Lại có: I = 2.ln −  →
. Vậy ab = 12. Chọn D b 6 b = 3 2 2 Câu 32: x x 16 9 = = 1+ − . 2
x − 7x +12 (x − 3)(x − 4) x − 4 x − 3 2 2 2 Suy ra x
dx = x +16ln x − 4 − 9ln x − 3 = 1+ 25ln 2 −16ln 3. ∫ 2 ( ) x − 7x +12 1 1
Lại có I = 1+ a ln 2 + bln 3 
→a = 25;b = 16. −
Vậy S = 9. Chọn C 2 2
Câu 33: x − 3x + 2 x − x +1− 2x +1 2x −1 = = 1− . 2 2 2 x − x +1 x − x +1 x − x +1 3 2 3 3
Suy ra x − 3x + 2  2x −1 dx 1  = − dx = ∫ ∫ ( 2
x − ln x − x +1 = 1+ ln 3 −   ln 7. 2 2 ) x − x +1  x − x +1 2 2  2
Lại có I = c + bln 3 + . a ln 7  → a = 1;
− b = 1;c = 1. Vậy 2 3 T = 1
− + 2.1 + 3.1 = 4. Chọn A Câu 34: 1 1 1 1 1 = = + − . 3 2 2 2 x + x
x (x +1) x x +1 x 3 3 3 Suy ra dx  1 1 1   x +1 1  1 = + − dx = ln − = − 2ln 3 + ∫ ∫    3ln 2. 3 2 2 x + xx x +1 x   x x  6 2 2 2 Lại có 1
I = a ln 3 + bln 2 + c  → a = 2
− ;b = 3;c = . Vậy 1 7 S = 2 − + 3 + = . Chọn D 6 6 6 x x( 2 3 x + ) 1 − x Câu 35: Ta có x = = x − . 2 2 2 x +1 x +1 x +1 1 3 1 2 1     Suy ra x x x 1 2 1 1 dx = ∫ ∫x −  dx = 
− ln x +1  = − ln 2 ⇒ a = 1. Chọn A 2 2 x +1  x +1  2 2  2 2 0 0 0 x (x +1− )2 2 1 Câu 36: Ta có 1 2 1 = = − + . (x + )3 1 (x + )3 1 x +1 (x + )2 1 (x + )3 1 a = 5 1 2   1 Suy ra x 4x + 3 5 dx  ln x 1 ln 2  = + + = − +  → ∫
b = 8. Vậy abc = 80 Chọn C. x +1 2 x +1  8 0 ( )3  ( )2 0  c =  2 2 Câu 37: Ta có 1 1 1 x = = − . 4
x + 2x x( 3x + 2) 2x 2.( 3x + 2) 2 2 Suy ra dx  1 1 3  1 12 1 1 1 =
ln x − ln x + 2 = ln = ln 2 + ln 3 − ∫   ln 5. 4 x + 2x  2 6  6 5 3 6 6 1 1 Lại có 1 1 1
I = .ln a + ln b − ln c 
→ a = 2;b = 3;c = 5. Vậy abc = 30. Chọn C 3 6 6 4 4 3 Câu 38: Ta có 1 x +1− x 1 x = = − x( . 4 x + ) 1 x( 4 x + ) 4 1 x x +1 2 2 3 2   Suy ra dx 1 x  1 4  5 1 = ∫ ∫ −
dx =ln x − ln x +1 =  ln 2 − ln17. x x +1  x x +1  4  4 4 1 ( 4 ) 4 1 1 Lại có 5 1
I = ln a − ln b 
→ a = 2;b = 17. Vậy 2 2 2
S = ab − a − b = 2.17 − 2 −17 = 13. Chọn A 4 4 Câu 39: Ta có 1 1 1 1 = + − . 2 x (x + ) 2 1 x x +1 x 2 2 Suy ra dxx +1 1  3 1 1 3 = ln − = ln − − ln 2 +1 = + ∫   ln . 2 x x +1  x x  2 2 2 4 1 ( ) 1 2 Lại có dx a = + ln c 
→ a = 1;b = 2;c = 3;d = 4. ∫ Chọn D 2 x x +1 b d 1 ( ) 2
Câu 40: Ta có 3x +1 1 4 1 = + − 2 x (x + ) 2 1 x x +1 x 2 2 2 Suy ra 3x +1  1  1 2 81
dx = 4ln x +1 − ln x −
= 4ln 3 − ln 2 − − 4ln 2 +1 = + ∫   ln . 2 x x +1  x  3 3 32 1 ( ) 1 a ca = 2;b = 3
Lại có I = + ln  →
. Vậy a + b − c + d = 2 + 3 − 81+ 32 = 44. − Chọn B b dc = 81;d = 32 Câu 41: 2x + 5 5 5 3 = − − . x(x + )2 1 x x +1 (x + )2 1 2 2 Suy ra 2x + 5  x 3  2 1 3 1 4 dx = 5ln + = 5ln +1− 5ln − = − + ∫   5ln . x x +1  x +1 x +1 3 2 2 2 3 1 ( )2 1 a ca = 1;b = 2
Lại có I = − + 5.ln  →
. Vậy a + b + c + d = 10. Chọn C b dc = 4;d = 3 Câu 42: Ta có x 1  1 1  1 = − +   . (x − )1(x + )2 1
4  x −1 x +1 2(x + )2 1 1 1 2 Suy ra x 1 x −1 1 1  2 1 1 dx = ln − . = − ∫   ln 3. (x − ) 1 (x + )2 1 4 x +1 2 x +1 6 4 0 0 a = 1 Lại có a 1 I ln 2 b  = − 
→ = 6. Vậy a + b + c + d = 10. Chọn B b 4 c =  3 π π  a = 1 2 Câu 43: π π 3  2
cos xdx = sin x = − = − ⇒ ∫
Vậy a − 4b = 3. Chọn B π sin sin 1  1 . π 2 3 2 b = − 3  2 3 π π 4 Câu 44: cos5x 4  5π  1 2 1 sin 5xdx = − = − cos − cos0 = + ⇒ a = b = ∫   . Chọn D 5  4  5 10 5 0 0 1 1 2 Câu 45: sinπ x 2 1  π  1 1 cosπ xdx =
= . sin − sin 0 = ⇒ m = − ∫   1. Chọn A. π π  2  π π 0 0 π π  a = 2 2 Câu 46:   π π   π ∫( − x) 1 2 1 3 1 1
1 sin 3 dx =  x + cos3x = +  cos − 0 + cos0 = − + ⇒  b   = 1 − .  3  2 3 2  3  3 2 0  0 c =  3
Vậy 2a + b + c = 2.2 −1+ 3 = 6. Chọn C. π π π 4 3 4 4
Câu 47: 1− sin x  1 dx ∫ ∫ x = −  dx =(− x + x) 2 3 sin cot cos = 1 − + + 2 2 π sin x π  sin x  π 2 2 6 6 6 c 2 3 a = b = 1 Mà I = − + . b + . a  → . Vậy 2 3
T = 2a + 3b − abc = 3. Chọn C. 2 2 2  c = 2
Câu 48: Ta có f ( ) 1 = .
a sinπ + b = 2 ⇔ b = 2. 1 1 1  π Lại có ∫ ( ) ∫( π ) . a cos .sin 2 x f x dx a x dx  2x = + = − + =  4 ⇔ a = π  π 0 0  0
Vậy a + b = 2 + π. Chọn B. a a a Câu 49: π 1 1 1 1 1 sin .xcos xdx =
sin 2xdx = − cos 2x = − cos 2a + = ⇒ a = . ∫ 2 ∫ Chọn C. 4 4 4 4 4 0 0 0 x x Câu 50: 1 1 1
sin 2tdt = − cos 2t = − cos 2x + = 0 ⇔ cos 2x = 1 ⇔ x = kπ (k ∈ ∫ ). Chọn A. 2 2 2 0 0 π π π 6 2 6 6
Câu 51: cos 2x −1  1   1  π 1 3 dx = ∫ ∫1−
dx =  x + tan 2x = + − 2 2  π cos 2x π  cos 2x   2  π 24 2 2 8 8 8
Suy ra a = 24;b = 1;c = d = 2 
→ S = a + b + c + d = 29. Chọn B. 2 1+ sin x   π π 2 π  1   x  π a = 2 Câu 52: dx = ∫ ∫1+ dx  =  x − 2cot = +  2 ⇒  2 x 2 x  2 π     = π π 2 b 4 sin sin 2 2 2 2  2 
Vậy a + b = 6. Chọn D. π π 2 π 2 2 Câu 53: Ta có   π π
sin x − cos x dx = ∫
∫(1−sin x)dx = (x + cos x) 2 = −1⇒ m = − −   1. Chọn B.  2 2  2 2 0 0 0 π π
Câu 54: Bấm máy ta có f
∫ (x)dx = cos3xdx = 0. ∫ Chọn A. 0 0 π π π 4 4 4 1 1 4 π 2 3  a = 2 Câu 55: 4 dx = dx = dx = 2 − cot 2x = ⇒ ∫ 2 2 ∫ 2 2 ∫ . 2 sin xcos x sin x cos x sin 2x π   = = π π π 3 b c 3 6 6 6 6 Chọn A. π π π 4 4 2 2 4 Câu 56: Ta có cos 2x cos x − sin x  1 1 dx dx  = = − ∫ ∫ ∫  dx 2 2 2 2 2 2 π sin x cos x π sin x cos x π  sin x cos x  6 6 6 a = 2 − π
= −(tan x + cot x) 4 4  4 = − + = − +  → =
Vậy a + b + c = 5. Chọn B. π 2 2 . 3 b 4 . 3 3 6   c = 3 x x Câu 57:   π Ta có 2 1 1 1 sin − = − sin 2 = − sin 2 = 0 k t dt t x ⇔ x = ∫ (k ∈   ). Chọn C.  2  4 4 2 0 0 a a Câu 58: π
Ta có ∫( x + x)dx = ( x − x) 3 sin cos sin cos
= sin a − cos a +1 = 0 ⇒ a = . Chọn C. 2 0 0 m m  + −  Câu 59: + − π + π − π ∫(x + x) 2 2 2 2 x 1 cos 2x m 1 cos 2m 4 8 sin dx =   = =
⇒ m = . Chọn D.  2  2 32 4 0 0 π π π a = 8 4 4 Câu 60: Ta có 1− cos 2x
x sin 2x  4 2 π 1 sin xdx = dx  = − = − ⇒ ∫ ∫  
b = 1. Chọn A. 2  2 4  8 4 0 0  0 c =  4 a a a Câu 61: sin 2x cos 2x cos 2a 1 sin xcos xdx = dx = − = − + = 0 ⇔ a = π. ∫ ∫ Chọn A. 2 4 4 4 0 0 0 π π π 4 4 1
 sin x cos5x  3 2 a = 0
Câu 62: sin 3xsin 2xdx = ∫
∫(cos x − cos5x) 4 dx = − =  → 2   2 10  10  b = 3 0 0 0
Vậy S = a + b = 0 + 3 = 3. Chọn D. π π π 2 2 2 1
 sin 5x cos9x  4  a = 4
Câu 63: sin 7xsin 2xdx = ∫
∫(cos5x − cos9x)dx = − =  →    .    = π 2 π 10 18 π 45 b 45 2 2 2 Vậy 2 2
S = a + b = 4 + 45 = 61. Chọn A. π π π 4 4 1
 sin 2x cos 4x  1 a = 1
Câu 64: cos3xcos xdx = ∫
∫(cos2x + cos4x) 4 dx = + =  →    . 2  4 8  4 b  = 4 0 0 0
Vậy T = a + b = 1+ 4 = 5. Chọn B. π π π 4 4 1 1 tan x 1 aa = 1 Câu 65: 4 dx = dx = = =  → ∫ ∫  . 2 1+ cos 2x 2cos x 2 2 b b  = 2 0 0 0
Vậy T = a − b = 1. − Chọn A. π π π 2 2 2 1 1 xa = 3 Câu 66: Ta có dx = dx = −cot = 3 −1 → ∫ ∫  . −  = − π 1 cos x π 2 x 2 π b 1 2sin 3 3 3 2
Vậy T = 2.3 − (− ) 1 = 7. Chọn D. 2 x
Câu 67: Gọi F (t) là nguyên hàm của hàm số f (t) ⇒ f
∫ (t)dt = F ( 2x ) − F (0) = .xcosπ x (*). 0
Đạo hàm 2 vế của (*) , ta được x F ( 2 2 .
x ) ( .xcosπ x)′ ′ = = cosπ x − π . x sinπ x ⇔ x f ( 2
2 . x ) = cosπ x −π .xsinπ .x Thay x = 2, ta có f ( ) = ⇔ f ( ) 1 4 4 1 4 = . Chọn D. 4
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1

Tài liệu liên quan: