Chuyên đề trắc nghiệm vị trí tương đối, góc và khoảng cách Toán 12

Chuyên đề trắc nghiệm vị trí tương đối, góc và khoảng cách Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

72 36 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian

Môn: Toán 12

Thông tin:

34 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Mai Nguyệt
CHỦ ĐỀ 14: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI, GÓC, KHOẢNG CÁCH
VẤN ĐỀ 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1) Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng
( ): 0P Ax By Cz D
+ + +=
và
( ): ' ' ' ' 0Q Ax By Cz D+ + +=
Ta có:
() ()
''' '
( ) / /( )
''' '
ABC D
PQ
ABC D
ABC D
PQ
ABC D
≡ ⇔===
⇔==≠
(P) cắt (Q)
: : ': ': 'ABC A B C⇔≠
Đặc biệt:
() ()
() () . 0 .' .' .' 0
PQ
P Q n n AA BB CC⊥⇔ =⇔ ++ =
 
Nếu
( ) / /( )
PQ
thì vecto pháp tuyến
()
P
n

của mặt phẳng (P) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
Ngược lại vectơ pháp tuyến
()Q
n

của mặt phẳng (Q) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Nếu
() ()PQ⊥
thì
.
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng
( ): 2 0Pxyz
−+−=
song song với mặt phẳng
22
( ) : 2 ( 1) (3 1) 4 0
Q xm y m z m− ++ −− =
khi:
A.
1.m =
B.
1.
m = −
C.
1
.
2
m
m
=
=
D. Đáp án khác.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Ta có:
22
2 13 1 4
( ) / /( ) 1.
11 1 1
mm m
PQ m
+ −−
⇒= + ≠ ⇔=−
−
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng
( ): 2 1 0
Px yz− ++=
trùng với mặt phẳng
22
( ) : (2 1) ( 1) (2 ) 3 2 0Q m x m y mz m− − + + − + −=
khi:
A.
1.m = −
B.
2.m
=
C.
1.m =
D. Đáp án khác.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Ta có:
22
2 1 12 3 2
( ) ( ) 1.
1 21 1
m m mm
PQ m
− +− −
≡ ⇒ = + = ⇔=
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
22
( ) : ( 2) 2 0P mx y m z−+ − +=
và
2
( ):2 2 1 0Q x my z+ − +=
. Với m là tham số,
m ∈
. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi m
thỏa mãn
A.
2.m =
B.
1.m =
C.
2.m =
D.
3.
m
=
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Các vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là:
22 2
12
( ; 1; 2), (2; ; 2)nm m n m−− −

22 2 2
12
( ) ( ) . 0 2 2( 2) 0 4 2
P Q nn m m m m m
⊥ ⇔ =⇔ − − −=⇔ =⇔ =

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ):2 3 5 0P x ay z+ + −=
và
( ) : 4 ( 4) 1 0.Q xy a z− − + +=
Tìm a để (P) và (Q) vuông góc với nhau.
A.
0.a
=
B.
1.a
=
C.
1
.
3
a =
D.
1.a = −
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Ta có
(2; ; 3)
P
na=

và
( 4; 1; ( 4 ) )
Q
na= −− +

khi đó
( ) ( ) . 8 3( 4) 0 1
PQ
P Q nn a a a⊥ ⇔ =−− + =⇔ =−
 
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng
( ): 1 0xyz
α
+ −+=
và
( ) : 2 2 2 0.x my z
β
− + + −=
Tìm m để
()
α
song song với
()
β
A.
2.m =
B.
5.m =
C. Không tồn tại. D.
2.m = −
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Hai mặt phẳng đã cho song song nên
2 22
1 1 11
m
−−
= = ≠
−
do không tồn tại giá trị của tham số m
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ):3 3 1 0P x yz
+ −+=
và hai mặt phẳng
( ) : ( 1) ( 2) 5 0
Q m xy m z− +− − +=
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai mặt phẳng
( ), ( )PQ
vuông
góc với nhau.
A.
1
.
2
m =
B.
1
.
2
m = −
C.
2.m =
D.
3
.
2
m = −
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Để mp
() ()
1
( ) ( ) . 0 3( 1) 3 2 0 .
2
PQ
P mp Q n n m m m⊥ ⇔ = ⇔ − ++ += ⇔ =−
 
2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có phương trình chính tắc
,
o oo
xx yy zz
abc
−−−
= =
phương trình tham số
222
( 0)
o
o
o
x x at
yybtabc
z z ct
= +
=+ ++>
= +
với
(; ;)
o oo
Mx y z d
∈
và mặt phẳng (P) có phương trình
Ax+By+Cz+D=0 (A
2
+B
2
+C
2
>0).
Khi
.0
dP
un=
 
thì d//(P) hoặc d nằm trên (P) ta có:
•
()
.0
()
( ; ; ) ()
dP
o oo
un
dP
Mx y z P
=
⊂⇔
∈
 
•
()
.0
/ /( )
( ; ; ) ()
dP
o oo
un
dP
Mx y z P
=
⇔
∉
 
• D cắt (P)
()
.0
dP
un⇔≠
 
và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
0
o
o
o
x x at
y y bt
z z ct
Ax By Cz D
= +
= +
= +
+ + +=
Giải hệ phương trình trên ta được
...
ooo
Ax By Cz D
t
a A bB cC
+++
= −
++
•
() ()
d ( ) / / . ( 0)
dP d P
P u n u kn k⊥ ⇔ ⇔= ≠
   
Chú ý:
- Nếu
/ /( )
dP
hoặc
()dP
⊂
khi và chỉ khi
()dP
uu⊥
 
- Nếu
()
dP⊥
thì vecto chỉ phương
d
u

của d là vecto pháp tuyến của (P). Ngược lại, vecto pháp tuyến
của (P) là vecto chỉ phương của d.
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a)
86
:
4 31
xyz
d
−−
= =
và
( ):3 5 2 0P x yz+ −−=
b)
13
:
2 43
xyz
d
+−
= =
và
():33250Pxyz− + −=
Lời giải
a) Ta có:
() ()
(4; 3;1); (3; 5; 1) . 26 0
d P dP
u n un= = −⇒ = ≠
   
nên d cắt (P)
b) Ta có:
() ()
(2; 4; 3); (3; 3; 2) . 0
d P dP
u n un d= =−⇒ =⇒
   
song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)
Xét điểm
( 1; 3; 0 )
Md−∈
và
3.( 1) 3.3 2.0 5 17 0 ( )MP
−− + −=− ≠⇒ ∉
Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a)
913
:
823
x yz
d
− −−
= =
và
( ): 2 4 1 0Px y z+ − +=
b)
715
:
514
x yz
d
− −−
= =
và
( ):3 2 5 0P xy z−+ −=
Lời giải
a) Ta có:
() ()
(8; 2; 3); (1; 2; 4) . 0
d P dP
u n un= = −⇒ =
   
nên song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P)
Xét điểm
(9;1;3)Md∈
và
(9;1;3) ( ) ( )M P dP∈ ⇒⊂
b) Ta có:
() ()
(5;1; 4); (3; 1; 2) . 22 0
d P dP
u n un= =−⇒ =≠
   
nên d cắt (P).
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
11
:
122
xy z
d
−+
= =
−
và mặt phẳng
( ) : 2 15 0.P xy−+ =
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.
/ /( ).dP
B.
{ }
( ) (1; 1; 0 .dP I∩= −
C.
( ).dP⊥
D.
( ).dP
⊂
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Vecto chỉ phương của d là
(1; 2; 2),u
= −
VTPT của (P) là
( 2; 1; 0 )
n = −
Ta có:
. 0 / /( )
nu d P= ⇒

hoặc
( ).
dP⊂
Mà
(1; 1; 0 )
Ad−∈
nhưng
() //().
AP d P∉⇒
Ví dụ 4: Cho đường thẳng
10 2 2
:.
5 11
x yz− −+
∆==
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để cho mặt phẳng
( ) :10 2 11 0P x y mz+ + +=
vuông góc với đường thẳng
∆
.
A.
2.m = −
B.
2.m =
C.
52.m = −
D.
52.m =
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Để
() ()
10 2
( ) // . 2
511
PP
m
P u n u kn m
∆∆
∆⊥ ⇔ ⇔ = ⇔ = = ⇔ =
   
.
Ví dụ 5: Cho đường thẳng
15
:
1 31
x yz
d
+−
= =
−−
và mặt phẳng
( ):3 3 2 6 0Pxyz− + +=
. Mệnh đề nào sau
đây đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P). B. d vuông góc với (P).
C. d song song với (P). D. d nằm trong (P).
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Ta có
()
. 392 0
dP
un =+−≠
 
mà
()
.
dP
u kn d≠⇒
 
cắt và không vuông góc với (P).
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ):2 3 1 0
P x yz− +−=
và đường thẳng
11
:.
21 1
x yz
d
−+
= =
−
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P). B. d song song với (P).
C. d vuông góc với (P). D. d nằm trên (P).
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Ta có
(2; 3;1); (2;1; 1)
Pd
nu=−=−
 
Để ý rằng
/ /( )
. 431 0
()
Pd
dP
nu
dP
= −−= ⇒
⊂
 
Hơn nữa d qua
(1; 0; 1)
A −
mà
() ().
AP d P∈ ⇒⊂
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
:
21 1
x y zm
d
−
= =
−−
song song với mặt phẳng
2
( ):4 4 8 0
P x y mz
+ + −=
A.
2.m = ±
B.
2.m =
C.
2.m = −
D. Không tồn tại m.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Do
2
2
/ /( ) . 8 4 0
2
dP
m
d P un m
m
=
⇒ =−− =⇔
= −
 
Xét điểm
(0; 0; ) .A md∈
Cho
3
() 8 2AP m m∈ ⇒ =⇔=
do đó
2m =
thì d nằm trong (P). Vậy
2m = −
thì
/ /( ).dP
3) Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho 2 đường thẳng
1
d
(đi qua điểm
1
M
và có vecto chỉ phương
1
u

) và đường thẳng
2
d
(đi qua điểm
2
M
và có vecto chỉ phương
2
u

). Khi đó:
•
12
12
12 1 2
// .
Md
dd
u u u ku
∈
≡⇔
⇔=
 
•
12
12
12 1 2
//
// .
Md
dd
u u u ku
∉
⇔
⇔=
 
•
1 2 12
. 0.d d uu⊥⇔ =

•
1
d
và
2
d
cắt nhau
12
12 12
;0
;. 0
uu
u u MM

≠

⇔

=



•
1
d
và
2
d
chéo nhau
12 12
;. 0u u MM

⇔≠


Chú ý: Khi giải bài tập, nếu biết phương trình của 2 đường thẳng
1
d
và
2
d
ta có thể xét vị trí tương đối
của chúng bằng cách giải hệ phương trình để tìm giao điểm.
- Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì
1
d
và
2
d
cắt nhau.
- Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì
12
//
dd
hoặc
1
d
và
2
d
chéo nhau, lúc đó cần xét thêm vecto
chỉ phương của chúng (hai đường thẳng chéo nhau khi 2 vecto chỉ phương của chúng không cùng
phương).
- Nếu
12
//dd
hoặc
12
dd≡
thì vecto chỉ phương
1
u

của đường thẳng
1
d
cũng là vecto chỉ phương của
đường thẳng
2
d
và ngược lại vecto chỉ phương của
2
u

của đường thẳng
2
d
cũng là vecto chỉ phương của
đường thẳng
1
d
.
Ví dụ 1: Xác định vị tí tương đối của các cặp đường thẳng
1
d
và
2
d
dưới đây:
a)
1
173
:
214
xy z
d
−−−
= =
,
2
612
:
3 21
x yz
d
− ++
= =
−
b)
1
12
:,
2 21
xy z
d
−−
= =
−
2
84
:
23 1
xy z
d
+−
= =
−
c)
12
2 1 72
: ,:
4 6 6 6 9 12
x yz x y z
dd
− + −−
= = = =
−− − −
Lời giải
a) Ta có:
12
(2;1; 4); (3; 2;1)
uu= = −

và
1 2 12
.;u ku d d≠⇒

cắt nhau hoặc chéo nhau.
1
d
đi qua điểm
12
(1; 7; 3);Md
đi qua điểm
2 12
(6;1;2) (5;8;5)M MM−− ⇒ = −−

Xét
12 12 12
; 0;u u MM d d

= ⇒


cắt nhau.
b) Đường thẳng
1
d
qua
1
(1; 2; 0 )M
và có VTCP
1
(2; 2;1)u = −

Đường thẳng
2
d
qua
2
(0; 8; 4)M −
và có VTCP
2
( 2; 3;1)u = −

Ta có:
12
( 1; 10;4)MM
=−−

và
12 12 12
; ( 5; 4;2).( 1; 10;4) 0 ;u u MM d d

=−− −− ≠⇒


chéo nhau.
c) Ta có:
12
2
3
uu
= −

và điểm
11
(2; 0; 1)Md−∈

và
12
(2; 0; 1)Md−∉
nên
12
//
dd
Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng
1
d
và
2
d
dưới đây:
a)
12
163 7 25
:;
963 642
xy z x y z
dd
−−− − −−
= = = = =
b)
12
1 32
: 22; : 64
2 44
xt x u
d y td y u
zt z u
=+=+


=+=+


=− =−−

Lời giải
a) Ta có:
12
3
2
uu
=

và điểm
11
(1; 6; 3)
Md
∈
và
12
(1; 6; 3) dM ∉
nên
12
//dd
b) Ta có:
1 2 21
(1; 2; 2); (2; 4; 4) 2u u uu= − = −⇒ =
 
Mặt khác điểm
11
(1; 2; 0 )Md
∈
và
12
(1; 2; 0 )Md
∈
nên
1
d
trùng
2
d
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
234
:
123
xyz
d
+ ++
= =
và
2
2
: 14
26
xt
dy t
zt
=
= +
= +
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
1
d
và
2
d
cắt nhau. B.
1
d
và
2
d
trùng nhau.
C.
1
d
và
2
d
chéo nhau. D.
1
d
và
2
d
song song với nhau.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Ta có:
12
(2; 4; 6) 2(1; 2; 3) 2uu= ⇒= ⇒

1
d
và
2
d
song song hoặc trùng nhau.
Mà điểm
2
( 0; 1; 2 ) ,Ad∈
thay đổi tọa độ điểm A vào
1
d
thì
1
Ad∈
nên
12
dd≡
VẤN ĐỀ 2: BÀI TOÁN VỀ GÓC
1) Góc giữa 2 mặt phẳng .
Gọi
ϕ
là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có:
( )
()
222 2 2 2
.' .' .'
cos cos ; (0 )
.' ' '
oo
PQ
AA BB CC
nn
ABC A B C
ϕϕ
++
= = ≤ ,90
++ ++
 
2) Góc giữa 2 đường thẳng
Cho 2 đường thẳng
1
d
có vecto chỉ phương
1 11 2
(a ; ; )u bc=

và đường thẳng
2
d
có vecto chỉ phương
2 222
(;;)u abc=

. Góc
ϕ
giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức
( )
1 2 12 12
12
222 222
111 222
cos cos ; (0 )
.
oo
aa bb cc
uu
abcabc
ϕϕ
++
= = ≤ ,90
++ ++

3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương là
(;;)u abc=
và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là
. Gọi
ϕ
là góc giữa d và (P) thì
ϕ
được tính theo công thức
( )
2 2 2 222
.a .b .c
sin cos ; (0 )
.
oo
ABC
un
ABC abc
ϕϕ
++
= = ≤ ,90
+ + ++

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng
( ):2 2 5 0P xy z−− −=
và
( ): 1 0Qxy− +=
. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và
(Q) là:
A.
30 .
o
B.
45 .
o
C.
60 .
o
D.
135 .
o
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Ta có:
() 1 () 2
( 2; 1; 2); (1; 1; 0 )
PQ
nn nn= = −− = = −
 
Khi đó:
( )
(
)
(
)
0
12
2.1 2 2.0
31
cos ( );( ) cos ; ( );( ) 45
4 1 4. 2 3 2 2
PQ nn PQ
+−
= = ==⇒=
++

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng
( ):2 2 1 0P xy z
− + −=
và
( ): 2 3 0
Qx yz+ −+=
. Gọi
α
là góc giữa hai mặt
phẳng (P) và (Q) khi đó
cos
α
bằng
A.
6
.
9
−
B.
25
.
15
−
C.
25
.
15
D.
6
.
9
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Ta có
( ) 1 (Q) 2
( 2; 1; 2); (1; 2; 1)
P
nn nn==−==−
 
Khi đó:
( )
12
222
26
cos cos ; .
9
414.141 36
nn
α
−−
= = = =
++ + +

Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng
( ) : 2 12 0P mx y mz++ −=
và
( ): 3 0Q x my z+ ++=
. Có bao nhiêu giá trị của
m sao cho góc giữa hai mặt phẳng
()P
và (Q) bằng
45
o
A. 0. B. 2. C. 3. D. 4.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Ta có:
() 1 () 2
( ; 2; ); (1; ; 1)
PQ
n n m mn n m= = = =
 
Khi đó:
( )
( )
12
2
22
24
cos 45 cos ;
22
2 4. 2
o
m mm m
nn
m
mm
++
= = =
+
++

0
22
2
4
2
24 420 22 22
2
2( 2)
tm
m
m m tt t m
m
= >
⇔ = ⇔ += →− +=⇒=± ⇒ =± ±
+
Suy ra có 4 giá trị của m.
Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng
( ):4 1 0P x my mz+ + +=
và
( ): 3 0Qxy−−=
. Có bao nhiêu giá trị của m sao
cho góc giữa hai mặt phẳng
()P
và (Q) bằng
60
o
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Ta có
() 1 () 2
( 4; ; ) ; (1; 1; 0 )
PQ
n n mm n n= = = = −
 
Khi đó:
( )
12
22
44
cos 60 cos ;
2 16. 2 2 8
o
mm
nn
mm
−−
= = =
++

22
2
4
1
8 (4 ) 8 16 8 1
2
28
m
m m mm
m
−
⇔ = ⇔ += − ⇔= − ⇔ =
+
Ví dụ 5: Cho 2 đường thẳng
1
1
:
143
xy z
d
+
= =
−
và
2
12
:
14 3
xy z
d
++
= =
−−
. Góc giữa
1
d
và
2
d
là:
A.
0.
o
B.
30 .
o
C.
60 .
o
D.
90 .
o
Lời giải
Đáp án: Chọn A
( )
1 2 12 12
26
( 1; 4;3); (1; 4; 3) cos( ; ) cos ; 1.
1 16 9. 1 16 9
u u dd uu
−
=− = −− ⇒ = = =
++ ++
 
Do đó
( )
12
; 0.
o
dd =
Ví dụ 6: Cho 2 đường thẳng
1
: 52
14 3
xt
dy t
zt
=
= −
= −
và
2
14
:2
15
xt
dy t
zt
= −
= +
=−+
. Góc giữa
1
d
và
2
d
là:
A.
0.
o
B.
30 .
o
C.
60 .
o
D.
90 .
o
Lời giải
Đáp án: Chọn A
( )
1 2 1 2 12
4 2 15
21 3
(1; 2; 3); ( 4;1; 5) cos( ; ) cos ; .
2
1 4 9. 16 1 25 14 3
u u dd uu
−− −
=− =−⇒ = = = =
+ + ++
 
Suy ra
( )
12
; 30 .
o
dd =
Ví dụ 7: Cho 4 điểm
(1; 0; 0); (0;1; 0); (0; 0;1)ABC
và
( 2;1; 1)D −−
. Góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là:
A.
45 .
o
B.
30 .
o
C.
60 .
o
D.
90 .
o
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Ta có:
12
( 1;1; 0); ( 2; 1; 2 )
AB CD
uu uu==− ==−−
 
Khi đó:
(
)
(
)
(
)
12
21
1
cos ; cos ; ; 45 .
2.3 2
o
AB CD u u AB CD
+
= ==⇒=

Ví dụ 8: Cho 2 đường thẳng
1
11
:
22 1
x yz
d
−+
= =
−
và
2
123
:
1 21
xy z
d
+−+
= =
−
. Cosin góc giữa
1
d
và
2
d
là:
A.
6
.
3
B.
3
.
2
C.
1
.
6
D.
1
.
2
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Ta có:
( )
( )
1 2 1 2 12
241
31
(2; 2; 1); (1; 2;1) cos ; cos ; .
3. 6 3 6 6
u u dd uu
−−
= − =−⇒ = = = =
 
Suy ra
( )
12
; 30 .
o
dd =
Ví dụ 9: Cho hai đường thẳng
1
1
:2
2
xt
dyt
zt
=−+
= −
= +
và
2
2
: 12
2
xt
dy t
z mt
= +
= +
= +
. Tìm giá trị của m sao cho góc giữa ai
đường thẳng
1
d
và
2
d
bằng
60 .
o
A.
1.m =
B.
1.
m
= −
C.
1
m
=
và
1.m = −
D.
0.m =
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Ta có:
( )
( )
1 2 12 12
22
12 1
(1; 2 ;1) ; (1; 2 ; ) cos ; c o s ;
2. 3 2. 3
mm
u u m dd uu
mm
−+ −
=−= ⇒ = = =
++
 
Do
( )
12
22
11
1
; 60 cos 60 .
2
2 3 2. 3
oo
mm
dd
mm
−−
=⇒= ⇔ =
++
22 2
1 3 2 1 3 1.m m mm m m⇔ − = + ⇔ − += +⇔ =−
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )
: 2 10
xy z
α
− + +=
và đường thẳng
1
:.
12 1
xyz−
∆==
−
Góc giữa đường thẳng
∆
và mặt phẳng
()
α
bằng
A.
150 .
o
B.
60 .
o
C.
30 .
o
D.
120 .
o
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Ta có
( )
( )
( )
(
)
122
1
(1; 1; 2); (1; 2; 1) sin ( ); c o s ; ; 3 0 .
2
6. 6
o
nu n
αα
αα
∆
−−
= − = − ⇒ ∆= ∆ = = ⇒ ∆=
  
Ví dụ 11: Cho đường thẳng
65
:2
1
xt
dy t
z
= +
= +
=
và mặt phẳng
():3210.Pxy− +=
Góc hợp giữa đường thẳng d
và mặt phẳng (P) là:
A.
30 .
o
B.
45 .
o
C.
60 .
o
D.
90 .
o
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Ta có
( )
( )
( )
() ()
15 2
1
(3; 2;0); (5;1;0) sin ( ); cos ; ( ); 45 .
13. 26 2
o
Pd P
n u Pn P
−
= − = ⇒ ∆= ∆ = = ⇒ ∆=
  
Ví dụ 12: Cho đường thẳng
32
:
2 11
xyz
d
−−
= =
và mặt phẳng
( ) : 3 4 5 8 0.Pxyz+ + +=
Góc hợp giữa
đường thẳng d và mặt phẳng (P) là:
A.
30 .
o
B.
45 .
o
C.
60 .
o
D.
90 .
o
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Ta có
( )
( )
( )
() ()
645
3
(3;4;5); (2;1;1) sin ( ); cos ; ( ); 60 .
2
6. 50
o
Pd P
n u Pn P
++
= = ⇒ ∆= ∆ = = ⇒ ∆=
  
Ví dụ 13: Cho đường thẳng
13
:
2 11
x yz
d
+−
= =
−
và mặt phẳng
( ) : 3 2 5 3 0.
Pxyz− + +=
Gọi
α
là góc
giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó
sin
α
bằng
A.
13
.
2 57
B.
13
.
57
C.
13
.
75
D.
13
.
2 75
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Ta có
( )
( )
() ()
625
13
(3; 2;5); (2; 1;1) sin ( ); cos ; .
38. 6 2 57
Pd P
n u Pn
++
= − = − ⇒ ∆= ∆ = =
  
Ví dụ 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng
12
:
11 2
xy z
d
−+
= =
−−
và mặt phẳng
( ) : 2 5 0.P xyz+−+=
Góc giữa
d
và (P) là:
A.
60 .
o
B.
45 .
o
C.
30 .
o
D.
150 .
o
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Ta có
( )
(
)
() ()
212
1
( 2; 1; 1); (1; 1; 2) s i n ( ); co s ; .
2
6. 6
Pd P
n u Pn
−+
= − = − − ⇒ ∆= ∆ = =
  
Suy ra
( )
( ); 30 .
o
P ∆=
Ví dụ 15: Cho đường thẳng
11
:
3 45
xyz
d
−−
= =
và mặt phẳng
( ) : 2 1 0.P x my mz+ + −=
Gọi
α
là góc giữa
đường thẳng d và mặt phẳng (P). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho
60 .
o
α
=
Tổng các phần tử của
tập hợp S là:
A. 0. B. – 19. C. – 18. D. – 20.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Ta có
( )
( )
() ()
2
64 5
(2; ; ); (3; 4;5) sin ( ); cos ;
4 2 . 50
Pd P
mm
n mm u P n
m
++
= = ⇒ ∆= ∆ =
+
  
(
)
22
22
96 96
3
sin 60 3.25 2 9(3 2)
2
10 2 10 2
o
mm
mm
mm
++
⇔ = ⇔ = ⇔ += +
++
2 22
1
3(9 12 4) 25 50 2 36 38 0
19.
m
mm m mm
m
=
⇔ + += +⇔ + −=⇔
= −
VẤN ĐỀ 3: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng
( ): 0
P Ax By Cz D+ + +=
và điểm
( ;y ; )
oo oo
Mx z
khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt
phẳng (P) được tính theo công thức:
( )
222
;( )
ooo
Ax By Cz
dM P
ABC
++
=
++
2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho mặt phẳng
( ): 0P Ax By Cz D
+ + +=
Mặt phẳng
( ) / /( )QP
và có phương trình
( ): 0Q Ax By Cz E+ + +=
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) đến mặt
phẳng (Q). Ta thấy điểm
0; 0; ( )
D
HP
C
−

∈


suy ra:
( ) ( )
222 222
.
( );( ) ;( )
D
CE
DE
C
d P Q dH Q
ABC ABC
−
+
−
= = =
++ ++
3) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Công thức khoảng cách từ điểm
1
M
đến đường thẳng
∆
(đi qua điểm
o
M
và có vecto chỉ phương
u
) là
( )
10
1
;
;
MM u
dM
u


∆=

Ngoài ra ta còn có thể tìm hình chiếu của điểm
1
M
trên đường thẳng
∆
và khi đó
( )
11
;.
d M MH∆=
4) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
1
d
(đi qua điểm
1
M
và có vecto chỉ phương
1
u

)
và đường thẳng
2
d
(đi qua điểm
2
M
và có vecto chỉ phương
2
u

) là:
( )
12 12
12
12
;
;
;
u u MM
ddd
uu


=




Ngoài cách làm trên ta có thể tính
12
(; )dd d
như sau:
Gọi (P) là mặt phẳng chứa
2
d
và song song với
1
.d
Khi đó (P) xác định, đi qua điểm
2
M
và có một vecto
pháp tuyến là
() 1 2
;.
P
n uu

=


Khi đó
( ) ( ) ( )
12 1 1
; ;( ) ;( ) .ddd dd P dM P= =
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
(2; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 3).AB C−
Khoảng cách
từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) bằng
A.
7
.
6
B.
36
.
49
C.
49
.
36
D.
6
.
7
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Ta có:
( ): 1
213
xyz
ABC −+=
hay
( ):2 6 2 6 0
ABC x y z− + −=
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng
()ABC
là:
2 22
3.0 6.0 2.0 6
6
:
7
3 ( 6) 2
d
−+−
=
+− +
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng
( ) : 6 3 2 6 0.
Pxyz− + −=
Tính khoảng cách từ d từ điểm
(1; 2; 3)M −
đến mặt phẳng (P).
A.
12 85
.
85
d =
B.
31
.
7
d =
C.
18
.
7
D.
12
.
7
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là
2
6.1 3.2 2.3 6
12
.
7
6 94
d
++−
= =
++
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm
(1; 3; 2); (3; 1; 5)AB−
và mặt phẳng
( ) : 2 2 3 0.Px y z− + −=
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại M. Tính tỷ số
.
AM
BM
A.
1
.
2
AM
BM
=
B.
1
.
3
AM
BM
=
C.
3.
AM
BM
=
D.
2.
AM
BM
=
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Ta có:
1643
( ;( )) 1
.
( ;( ) 3 2 10 3 3
AM d A P
BM d B P
−+−
= = =
++ −
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 6 0.P x yz+ ++=
Tìm tọa độ điểm M
thuộc tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3.
A.
B.
(0; 0; 21).M
C.
(0; 0; 15).M −
D.
(0; 0; 3)M
hoặc
(0; 0; 15).M −
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Gọi
(0; 0; ) ( 0)M tt>
thuộc tia Oz (phần có cao độ lớn hơn 0) ta có:
0
6
( ; ( )) 3 6 9 3.
441
t
t
dM P t t
>
+
= = ⇔ + = → =
++
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 3 0.P x yz+ −+=
Tìm tọa độ điểm M
thuộc tia Oy sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3.
A.
(0; 6; 0),M −
B.
(0; 3; 0).M −
C.
(0; 6; 0).M
D.
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Gọi
(0; ; 0) ( 0)Mt t>
(Do M thuộc tia Oy)
Lại có
3
23
( ; ( )) 3 2 3 9
6( )
441
t
t
dM P t
tl
=
+
= =⇔ +=⇔
= −
++
Vậy
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ): 2 2 6 0
Px y z+ − −=
và
( ) : 2 2 3 0.Qx y z+ − +=
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
A. 1. B. 3. C. 9. D. 6.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Lấy điểm
(
) ( )
22 2
0 2.0 2( 3) 3
(0; 0; 3) (P) d ( ); (Q) ; ( ) 3.
1 2 ( 2)
A P dAQ
+ −−−
−∈ ⇒ = = =
+ +−
Ví dụ 7: Cho mặt phẳng
( ):2 2 1 0P x zz− −+=
và đường thẳng
1 21
:.
212
zy z−+−
∆==
Tính khoảng cách
d giữa
∆
và (P)
A.
1
.
3
d =
B.
5
.
3
d =
C.
2
.
3
d =
D.
2.
d =
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Do
()
. 422 0 //()
P
un P
∆
= − − = ⇒∆
 
Lấy điểm
(1; 2;1)A − ∈∆
ta có:
( ) ( )
2 411
6
;( ) ;( ) 2.
3
411
d P dAP
+ −+
∆= = ==
++
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ): 2 2 6 0
Px y z
+ − −=
và
( ) : 2 2 3 0.Qx y z
+ − +=
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
A. 1. B. 3. C. 9. D. 6.
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Lấy điểm
( )
(
)
22 2
0 2.0 2( 3) 3
(0; 0; 3) ( ) ( ); ( ) ; ( ) 3.
1 2 ( 2)
A P d P Q dAQ
+ −−+
−∈ ⇒ = = =
+ +−
Ví dụ 9: Cho mặt phẳng
( ) : 2 2 1 0.
Px y z− + −=
Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua
(1; 0; 2 )
M
−
song
song và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 là:
A.
2 2 50xyz
− + −=
hoặc
2 2 7 0.xyz
− + +=
B.
2 2 50xyz− + −=
hoặc
2 2 7 0.
xyz− + −=
C.
2 2 50
xyz− + +=
hoặc
2 2 7 0.xyz
− + −=
D.
2 2 50xyz− + +=
hoặc
2 2 7 0.xyz− + +=
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Ta có phương trình mặt phằng (Q) có dạng:
22 0
x y zD− + +=
Khi đó
(
)
2 22
5
1
( );( ) 2 1 6
7
1 ( 2) 2
D
D
dPQ D
D
=
+
= =⇒ +=⇔
= −
+− +
Ví dụ 10: Cho 4 điểm
(2; 2; 3); (0;1; 0); (1; 2;1); (3;1;5).A BCD
Phương trình mặt phẳng (P) cách đều 2 đường
thẳng AB và CD là:
A.
14 4 8 3 0.
xyz+ − +=
B.
14 4 8 1 0.
xyz− − +=
C.
14 4 8 3 0.xyz
− − −=
D.
14 4 8 3 0.xyz− − +=
Lời giải
Đáp án: Chọn D
Ta có:
()
; ( 7;2;4)
P
n AB CD

= = −

  
suy ra
(P) : 7 2 4 0x y zD− − +=
Mặt khác
( ) ( )
3
;( ) ;( ) 2 1 .
2
dA P dC P D D D= ⇔ − = −⇔ =
Vậy
( ) :14 4 8 3 0.P xyz− − +=
Ví dụ 11: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a)
2 11
(2; 3;1); :
12 2
x yz
Md
+ −+
= =
−
b)
3 31
(1;0;0); :
121
xyz
Md
−−−
= =
Lời giải
a) Ta có:
( 2;1; 1) (4; 2; 2); (1; 2; 2) ; ( 8;10; 6)
dd
A d AM u AM u

− −∈⇒ = = − ⇒ =−

   
Do đó
;
64 100 36 10 2
( ;) .
3
9
d
d
AM u
dMd
u

++

= = =
 

b) Ta có:
(3; 3;1) ( 2; 3; 1); (1; 2;1) ; ( 1;1; 1)
dd
A d AM u AM u

∈⇒ −−− ⇒ =− −

   
Do đó
;
32
( ;) .
2
6
d
d
AM u
dMd
u


= = =
 

Ví dụ 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a)
1
23
:2
42
xt
dyt
zt
= −
=
= −
và
2
121
:
312
xy z
d
−−+
= =
b)
1
11
:
1 22
x yz
d
−+
= =
−
và
2
2 31
:
2 45
xyz
d
− −−
= =
−−
Lời giải
a)Cách 1: Đường thẳng
1
d
qua
(2; 0; 4)A
và có VTCP:
1
( 3; 2; 2)
u =−−

Đường thẳng
2
d
qua
(1; 2; 1)B −
và có VTCP:
2
(3;1; 2 )u =

Gọi (P) là mặt phẳng chứa
1
d
và song song với
2
d
ta có:
() 1 2
; (6; 0; 9) 3(2; 0; 3)
P
n uu

= = −= −


Suy ra
12 2
13
():2 3 8 0 ( ; ) ( ;()) (;()) 13.
13
P x z dd d dd P dB P− +=⇒ = = = =
Cách 2: Ta có:
12
12
12
;
(6; 0; 9).( 1; 2; 5)
( ; ) 13.
36 81
;
u u AB
dd d
uu

−− −

= = =

+



b) Cách 1: Đường thẳng
1
d
qua
(1; 0; 1)A −
và có VTCP
1
(1; 2; 2)u
= −

Đường thẳng
2
d
qua
(2; 3;1)B
và có VTCP:
2
(2; 4; 5)u = −−

Gọi (P) là mặt phẳng chứa
1
d
và song song với
2
d
ta có:
() 1 2
; (18;9;0) 9(2;1;0)
P
n uu

= = =


Suy ra
12 2
():2 2 0 ( ; ) ( ;()) (;()) 5P x y dd d dd P dB P
+−=⇒ = = =
Cách 2: Ta có:
12
12
12
;
9(2;1;0).(1;3;2)
(; ) 5
95
;
u u AB
dd d
uu


= = =




Ví dụ 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng
112
( ):
211
xyz
d
−+−
= =
và điểm
( 3; 1; 2 ) .M −
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:
A.
14.
B.
6.
C.
2 5.
D.
2 7.
Lời giải
Đáp án: Chọn A
Ta có:
(1; 1; 2) ( 4; 2; 0); (2;1;1) ; (2; 4; 8)
dd
A d AM u AM u

− ∈⇒ =− = ⇒ = −

   
Do đó
;
4 16 64
( ; ) 14.
6
d
d
AM u
dMd
u

++

= = =
 

Ví dụ 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng
1
123
:
123
xy z
d
−−−
= =
và
2
11
:
11 1
x yz
d
−−
= =
−
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng
1
d
và
2
d
A.
26.
B.
13
.
13
C.
26
.
13
D.
2 2.
Lời giải
Đáp án: Chọn C
Cách 1: Đường thẳng
1
d
qua
(1; 2; 3)A
và có VTCP:
1
(1; 2; 3)u =

Đường thẳng
2
d
qua
(1; 0; 1)B
và có VTCP:
2
( 1;1;1)u = −

Gọi (P) là mặt phẳng chứa
1
d
và song song với
2
d
ta có:
() 1 2
; ( 1; 4; 3) (1; 4; 3)
P
n uu

= =−− =− −


Suy ra
( )
12 2
2
2 26
(): 4 3 0 ( ; ) () (;()) .
13
1 16 9 26
P x y z dd d d d P dB P
−
+−=⇒ = = = = =
++
Cách 2: Ta có:
12
12
12
;
( 1; 4; 3).(0; 2; 2) 2
26
(; ) .
13
1 16 9 26
;
u u AB
dd d
uu

−− −−

= = = =

++



Ví dụ 15: Cho mặt phẳng
( ):2 2 0P xy z−− =
và đường thẳng
12
:.
122
x yz
d
−+
= =
Tọa độ điểm A thuộc
Ox sao cho A cách đều d và (P) là
A.
( 3;0;0).
A −
B.
(3;0; 0).
A
C.
(3; 3; 0).A
D.
(3; 0; 3).
A
Lời giải
Đáp án: Chọn B
Gọi
( ;0;0)At
suy ra
;
2
(;()) ;(;)
3
d
d
AM u
t
dA P dAd
u


= =
 

trong đó
(1; 0; 2 )M −
Suy ra
22
;
2
16 (2 4) (2 2 )
(;)
33
d
d
AM u
t
tt
d Ad
u

+ − +−

= = =
 

2
36 24 4 0 3.tt t⇔ − + = ⇔=
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Câu 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1 21
:
63 3
xy z
d
+−−
= =
−−
và mặt phẳng
( ) : 2 3 0.P xyz−+−=
Mệnh đề nào đúng?
A. d song song với (P). B. d chứa trong (P).
C. d vuông góc với (P). D. d cắt (P) và không vuông góc với (P).
Câu 2:Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
( ):3 2 5 0Pxy− −=
và đường thẳng
2 11
:.
2 31
x yz
d
+ −+
= =
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
(4; 6; 2)
n
=
là một vecto chỉ phương của d. B. (P) cắt cả ba trục tọa độ.
C. Điểm
(1; 1; 2017)A −
thuộc (P). D.
( )// .Pd
Câu 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
:2
3
xt
dy t
zt
= +
= −
= −
và
2'
': 1 2 '
5 2'
xt
dy t
zt
=
=−−
= −
. Chọn
khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. d trùng d’. B. d cắt d’. C. d và d chéo nhau. D. d song song với d’.
Câu 4:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giá trị của m để hai mặt phẳng
( ):7 3 3 0x y mzα − + −=
và
( ): 3 4 5 0xyz
β − + +=
vuông góc với nhau là
A.6. B.– 4. C.1. D.2.
Câu 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
13
:2
2
xt
dy t
z mt
= −
=
= −
và mặt phẳng
( ) : 2 2 6 0.P xy z
−− −=
Giá trị của m để
()dP⊂
là
A.
2.m =
B.
2.
m = −
C.
4.
m =
D.
4.
m = −
m
Câu 6:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2 5 0,P xyz+++=
đường thẳng
132
:.
3 13
xyz
d
−−−
= =
−−
Tìm tọa độ giao điểm giữa (P) và d.
A.
(17;9;20).
B.
(17; 9; 20).−−
C.
( 17;9;20).−
D.
(1; 3; 2).
Câu 7:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
22
( ) : ( 2) 2 0P mx y m z−+ − +=
và
2
( ) : 2 2 1 0,Q x my z+ − +=
với m là tham số thực. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi m thỏa
mãn
A.
2.m =
B.
1.m =
C.
3.m =
D.
2.m =
Câu 8:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
21
( ):
3 32
x yz
d
+−
= =
nằm trên mặt
phẳng
( ): 3 5 0P mx ny z+ + +=
(m, n là các tham số). Khi đó giá trị của n là
A. – 3. B. 1. C. 3. D. – 1.
Câu 9:Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
11
:
211
xy z
d
−+
= =
−
và
2
31
:.
12 3
x yz
d
−+
= =
−
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
1
d
và
2
.
d
A. Chéo nhau. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Song song nhau.
Câu 10:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,, cho mặt phẳng
( ) : 2 1 0.P xz++=
Chọn mệnh đề đúng trong
các mệnh đề sau.
A.
( ) / /( ).P Oyz
B.
( )// .P Ox
C.
( ).Ox P⊂
D.
( )// .P Oy
Câu 11:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
2
: 14
26
xt
dy t
zt
=
= +
= +
và
2
13
:.
123
x yz
d
−−
= =
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
12
// .dd
B.
12
.dd≡
C.
12
,dd
chéo nhau. D.
1
d
cắt
2
.d
Câu 12:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ):2 1 0P xy+ +=
và đường thẳng
2
: 3( ,, ).
12
x mt
d y n t mnt
zt
= +
=+∈
= −
Tìm m, n để đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P).
A.
6, 5.mn= = −
B.
3
, 5.
2
mn=−=−
C.
2; 4.mn=−=−
D.
3
, 5.
2
mn= =
Câu 13:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:1,
22
xt
dy t t
zz t
= +
=−∈
= +
và mặt phẳng
( ) : 3 1 0.Px yz+ ++=
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.(d) cắt và không vuông góc với (P). B.(d) nằm trong (P).
C.(d) vuông góc với (P). D.(d) song song (P).
Câu 14:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ): 2 3 6 0xyzα + + −=
và đường thẳng
113
:.
1 11
xyz++−
∆==
−−
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
/ /( ).∆α
B.
( ).∆⊂ α
C.
( ).∆⊥ α
D.
∆
cắt và không vuông góc với
( ).α
Câu 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
34
:1
42
xt
dy t
zt
= +
=−−
= +
và mặt phẳng
( ) : 2 3 0.Px yz+ −+=
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.d song song với (P). B.d vuông góc với (P).
C.d nằm trên (P). D.d cắt (P).
Câu 16:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
234
:
123
xyz
d
+ ++
= =
và
2
2
: 1 4.
26
xt
dy t
zt
=
= +
= +
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.
1
d
và
2
d
cắt nhau. B.
1
d
và
2
d
trùng nhau.
C.
1
d
và
2
d
chéo nhau. D.
1
d
và
2
d
song song với nhau.
Câu 17:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
51
:
3 32
x yz
d
−+
= =
−
và mặt phẳng
( ) : 3 6 0.Px yz− −+=
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.d cắt và không vuông góc với (P). B.d song song với (P).
C.d nằm trong (P). D.d vuông góc với (P).
Câu 18:Cho 2 đường thẳng
137
:
241
xyz
d
−−−
= =
và
6 21
': .
31 2
xyz
d
−++
= =
−
Xác định vị trí tương đối
của hai đường thẳng d và d’.
A.d và d’ cắt nhau. B.d và d’ chéo nhau. C.d song song với d’. D.d vuông góc với d’.
Câu 19:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
:2
3
xt
dy t
zt
= +
= +
= −
và
1 2'
': 1 2 '.
2 2'
xt
dy t
zt
= +
=−+
= −
Hãy
xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường thẳng d’.
A.d song song với d’. B.d trùng d’. C.d cắt d’. D.d và d’ chéo nhau.
Câu 20:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
11
( ): ,
231
xy z−+
∆==
−
2
3 21
( ): .
2 31
xyz−−+
∆==
−−
Vị trí tương đối của
1
()
∆
và
2
()∆
là
A.trùng nhau. B.song song. C.cắt nhau. D.chéo nhau.
Câu 21:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng:
4
:
11 2
xyz
d
−
= =
−
và mặt phẳng
2
( ): 1 0P x my m z+ + −=
với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng (P) song song với
đường thẳng d.
A.
0m =
và
1
.
2
m =
B.
1
.
2
m =
C.
1.m
=
D.
1
m =
và
1
.
2
m =
Câu 22:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
15
:
1 31
x yz
d
+−
= =
−−
và mặt phẳng
( ) : 2 11 0.Pxy z+− + =
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.d cắt và vuông góc với (P). B.d vuông góc với (P).
C.d song song với (P). D.d nằm trong (P).
Câu 23:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình là
2 6 4 8 0;5 15 10 20 0xyz x y z+ − += + − + =
và
6 18 12 24 0.xyz+ − −=
Chọn mệnh đề đúng trong bốn mệnh
đề sau:
A.
( ) / /( ).PQ
B.(P) cắt (Q). C.(Q) cắt (R). D.
()//().RP
Câu 24:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) tương ứng có phương
trình là
312
2 11
x yz
− ++
= =
−
và
3 5 5 0,xy z+− +=
gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng (Oxz). Chọn mệnh đề
đúng trong bốn mệnh đề sau:
A.
/ /( )dP
và d cắt (Q). B.
()dP⊂
và d cắt (Q).
C.d cắt (P) và d cắt (Q). D.
/ /( )dP
và
/ /( ).dQ
Câu 25:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
2
( ) : ( 1) 2 1 0.m x y mz mα − + − + −=
Xác định
m biết
()α
song song với Ox.
A.
1.
m =
B.
1.
m = −
C.
1.
m = ±
D.
0.
m
=
Câu 26:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
11
:
2 13
xyz
d
−+
= =
−
và mặt phẳng
( ): 5 4 0x yzα + ++=
. Xác định vị trí tương đối của d và
( ).α
A.
( ).d ⊥α
B.
( ).d ⊂α
C.d cắt và không vuông góc với
( ).α
D.
/ /( ).
d α
Câu 27:Cho 4 điểm
(1; 3; 2), (2; 3;1), C(3;2;1), D(1; 2;3).AB−−
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB, song
song với đường thẳng CD. Vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến (P)?
A.
1
(1; 1;1).n = −

B.
2
(1; 1; 1).n = −

C.
3
(1; 1; 1).n =

D.
4
(5; 1;5).n = −

Câu 28:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm
(2; 6; 3)
I
−
và các mặt phẳng
( ): 2 0,( ): 6 0, ( ): 3 0.xyzα −= β −= γ +=
Khẳng định nào sau đây là sai?
A.
()β
đi qua I. B.
( ) ( ).α⊥β
C.
()γ
song song với Oz. D.
()β
song song với (Oxz).
Câu 29:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm
( ;0; ), (0; ; ), ( ; ;0).Aa a B aa Caa
Mặt phẳng
(ABC) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P. Tính thể tích khối tứ diện OMNP.
A.
3
4.a
B.
3
8
.
3
a
C.
3
8.a
D.
3
4
.
3
a
BÀI TẬP VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
Câu 30:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto
( 0; 1; 0), ( 3 ; 1; 0 ) .ab= =

Tính góc giữa hai vt
a
và
b
.
A.
( , ) 30 .
o
ab =

B.
( , ) 60 .
o
ab =

C.
( , ) 120 .
o
ab =

D.
( , ) 90 .
o
ab =

Câu 31:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
113
:
211
xyz
d
++−
= =
và
( ) : 2 5 0.Px yz
+ −+=
Góc
giữa d và (P) là
A.
30 .
o
B.
45 .
o
C.
60 .
o
D.
90 .
o
Câu 32:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ):3 4 5 8 0Pxyz+ + +=
và đường thẳng d là
giao tuyến của hai mặt phẳng
( ): 2 1 0xy
α − +=
và
( ) : x 2 3 0.zβ − −=
Gọi
ϕ
là góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng (P). Tính
ϕ
A.
45 .
o
ϕ=
B.
30 .
o
ϕ=
C.
60 .
o
ϕ=
D.
90 .
o
ϕ=
Câu 33:Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ): 4 2 0Pxy z−+ −=
và
( ) : 2 2 7 0.Qxz− +=
Tính góc
giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
A.
90 .
o
B.
45 .
o
C.
60 .
o
D.
30 .
o
Câu 34:Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ): 2 2 2 0
Pxz+ −=
và
( ) : 2 2 1 0.Qyz− −=
Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng
A.
30 .
o
B.
90 .
o
C.
60 .
o
D.
45 .
o
Câu 35:Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
( ): 2 1 0xy zα − + −=
và
( ) : 2 2 0.
x yzβ + −+=
Tính góc
ϕ
giữa hai mặt phẳng
()α
và
( ).β
A.
120 .
o
ϕ=
B.
30 .
o
ϕ=
C.
90 .
o
ϕ=
D.
60 .
o
ϕ=
Câu 36:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét giao tuyến d của hai mặt phẳng có phương trình theo thứ
tự là
2 1 0, 2 0.xyz xyz
− ++= + −− =
Tìm số đo độ của góc
α
giữa d và Oz.
A.
0.
o
α=
B.
30 .
o
α=
C.
45 .
o
α=
D.
60 .
o
α=
Câu 37:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để hai mặt
phẳng
( ):2 2 4 0x my mzα + + +=
và
( ):6 3 0xyzβ −−+=
vuông góc với nhau.
A.
4.m =
B.
3.m
=
C.
3.m = −
D.
4.m = −
Câu 38:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có
(1; 1; 1), ( 5; 1; 2)AB−
và
( ; 5;1).Ca
Tìm
0a >
biết
12
cos .
25
BAC
=
A.
4.a =
B.
3.a
=
C.
5.a
=
D.
1.a =
Câu 39:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ) : 2 2 1 0,P xy z− + +=
đường thẳng
12
:.
1 22
x yz
d
−+
= =
−−
Gọi
ϕ
là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tính
cos ϕ
A.
5
cos .
9
ϕ=
B.
65
cos .
9
ϕ=
C.
9 65
cos .
65
ϕ=
D.
4
cos .
9
ϕ=
Câu 40:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình
( ): 4 2 0Pxy z−+ −=
và
( ) : 2 2 7 0.Qxz− +=
Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng
A.
90 .
o
B.
45 .
o
C.
60 .
o
D.
30 .
o
Câu 41:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
11
:
11 2
xy z
d
+−
= =
−−
và
2
13
:.
11
x yz
d
z
+−
= =
−
Tính góc giữa hai đường thẳng
1
d
và
2
.d
A.
90 .
o
B.
60 .
o
C.
30 .
o
D.
45 .
o
Câu 42:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
( )
( ;0;1); 2; 2;0 .ux v= = −

Tìm x để góc giữa
u
và
v
bằng
60 ?
o
A.
1.x = −
B.
1.x = ±
C.
0.x
=
D.
1.x =
Câu 43:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
22 2
( ) : ( 2) ( 1) ( 4) 10Sx y z− ++ +− =
và mặt
phẳng
( ) : 2 5 9 0.P xy z− ++ +=
Gọi
()Q
là tiếp diện của (S) tại điểm
(5;0;4).M
Tính góc giữa hai mặt
phẳng (P) và (Q).
A.
45 .
o
B.
60 .
o
C.
120 .
o
D.
30 .
o
Câu 44:Trong không gian tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có
(0; 0; 0), (0;1; 0), (1;1; 0), '(0; 0;1).
A BCA
Tính góc giữa hai đường thẳng
''AC
và BC’.
A.
45 .
o
B.
60 .
o
C.
30 .
o
D.
90 .
o
Câu 45:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(2;1;2)H −−
là hình chiếu vuông góc của tọa độ O
xuống mặt phẳng (P). Tính số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng
( ) : 11 0.Qxy−− =
A.
90 .
o
B.
60 .
o
C.
45 .
o
D.
30 .
o
Câu 46:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ): 1 0x ay bzα + + −=
và đường thẳng
1
:
11 1
xyz−
∆==
−−
. Biết rằng
( )//α∆
và
α
tạo với các trục Ox, Oz các góc bằng nhau. Tìm giá trị của a.
A.
0.a =
B.
0a =
hoặc
2.a =
C.
2.a =
D.
1a = −
hoặc
1.a =
Câu 47:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
():34240Pxyz+ + +=
và hai điểm
(1; 2; 3) , B(1; 1; 2 )A −
. Gọi
12
,hh
lần lượt là khoảng cách từ điểm A đến B đến mặt phẳng (P). Trong các khẳng
định sau đây khẳng định nào đúng?
A.
21
.hh=
B.
21
2.
hh=
C.
21
3.hh=
D.
21
4.hh=
Câu 48:Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
( ):2 2 7 0P xy z−+ +=
và
( ) : 2 2 5 0.Q xy z−+ −=
A.
13
.
3
B.
11
.
3
C.4. D.3.
Câu 49:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
( ):
211
xyz
d
+
= =
−
và mặt phẳng
( ) : 2 2 5 0.
xyzα − − +=
Điểm A thuộc d sao cho khoàng cách từ A đến
()α
bằng 3. Tìm tọa độ điểm A biết
A’ có hoành độ dương.
A.
(0; 0; 1).A −
B.
( 2; 1; 2).A −−
C.
(4; 2;1).A −
D.
( 2; 1; 0).A −
Câu 50:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
(1; 2; 3)M −
và mặt phẳng
( ) : 2 2 3 0.
P xy z−− −=
Khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (P) là
A.
5
.
3
d
=
B.
2
.
3
d =
C.
3.d =
D.
5.
d =
Câu 51:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
(1; 2; 3), (3; 4; 4).AB
Tìm tất cả các giá trị của tham số m
sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
2 10x y mz
+ + −=
bằng độ dài đoạn thẳng AB.
A.
2.m =
B.
2.
m = −
C.
3.m
= −
D.
2.
m = ±
Câu 52:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm
(2; 0; 0), B(0; 1; 0), (0; 0; 3).AC
−
Khi đó khoảng
cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (ABC) bằng.
A.
6
.
7
B.
7
.
6
C.
49
.
36
D.
36
.
49
Câu 53:Trong không gian Oxyz, cho điểm
( 1; 2;3)M −−
và hai mặt phẳng
( ): 2 0,( ): 2 0.Pxy Qxz+−= ++=
Gọi
1
h
và
2
h
lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến (P) và (Q). Đẳng
thức nào sau đây đúng?
A.
12
.hh=
B.
12
4
.
5
hh=
C.
12
2.hh=
D.
12
5
.
4
hh=
Câu 54:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều
hai đường thẳng
1
2
:
1 11
x yz
d
−
= =
−
và
2
12
:.
21 1
xy z
d
−−
= =
−−
A.
2 2 1 0.xz− +=
B.
2 2 1 0.yz
− +=
C.
2 2 1 0.xy
− +=
D.
2 2 1 0.yz− −=
Câu 55:Trong không gian tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng
4 4 2 70xyz− + −=
và
2 2 10x yz− ++=
chứa hai
mặt phẳng của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là.
A.
93
.
2
V =
B.
81 3
.
8
V =
C.
64
.
27
V
=
D.
27
8
V =
Câu 56:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
: ,' 1
1
xt
d x y zd y
zt
=
= = = = −
= −
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng d, d’.
A.
1
6.
B.
2
3.
C.
2
.
6
D.
6
.
2
Câu 57:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
123
:
123
xy z−−−
∆==
2
11
:.
11 1
x yz
−−
∆==
−
Tính khoảng cách d giữa
12
,∆∆
A.
2 26
.
13
d =
B.
26
.
13
d =
C.
2 13
.
13
d =
D.
5
.
13
d =
Câu 58:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
3
:2
xt
yt
zt
= +
∆=−
=
song song với mặt phẳng
( ) : 2 2 0.
Px yz+ ++=
Tính khoảng cách
[ ]
;( )dd P= ∆
từ đường thẳng
∆
đến mặt phẳng (P).
A.
0.d
=
B.
6
.
3
d =
C.
6
.
6
d =
D.
46
.
3
d =
Câu 59:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
12
112 23
: ,: .
2 1 3 12 3
x y z xy z
dd
+−− + −
= = = =
− −−
Mặt phẳng (P) chứa
1
d
và song song với
2
.
d
Tính khoảng
cách từ điểm
(1; 1; 1)
M
đến (P).
A.
5
.
3
B. 4. C.
3.
D.1.
Câu 60:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ): 2 2 1 0Px y z+ + +=
và đường thẳng
11
:.
2 21
xyz
d
−−
= =
Gọi I là giao điểm của d và (P), M là điểm trên đường thẳng d sao cho
9.IM =
Tính
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
A.
( ,( )) 3 2.dM P =
B.
(;())4.dM P =
C.
( , ( )) 8.
dM P =
D.
( ,( )) 2 2.dM P =
Câu 61:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng có phương trình là
3 6 12 3 0xy z− + −=
và
2 8 2 0,x my z− + +=
với m là tham số thực. Tìm m để mặt phẳng (P) song song với
mặt phẳng (Q) và khi đó tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
A.
2
4, .
21
md
=−=
B.
1
4, .
21
md= =
C.
2
2, .
21
md
= =
D.
2
4, .
21
md
= =
Câu 62:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( ): 3 1 0Px yz− +−=
và đường thẳng
22
:
21 ,
xy z
m
++
∆= =
với m là tham số thực khác 0. Tìm m để đường thẳng
∆
song song với mặt phẳng (P)
và khi đó tính khoảng cách giữa đường thẳng
∆
và mặt phẳng (P).
A.
3
2, .
11
md= =
B.
2
1, .
11
md= =
C.
4
1, .
11
md= =
D.
3
1, .
11
md=−=
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Chọn C
Ta có
( 6; 3; 3)
d
u =−−

và
() ()
( 2; 1;1) 3
P dP
n un
=− ⇒=−
  
Suy ra d vuông góc với mặt phẳng (P).
Câu 2: Chọn B
Mặt phẳng (P) không cắt ba trục tọa độ.
Câu 3: Chọn D
Đường thẳng d có
(1; 1; 1)
d
u
= −−

qua
1
(1; 2; 3).M
Đường thẳng d’ có
2
(1; 1; 1)
d
u = −−

qua
2
( 2; 1; 5).M −
Ta có
'dd
uu
=
 
và
1
' / / '.M d dd∉⇒
Câu 4: Chọn B
Ta có
. 0 7.1 ( 3).( 3) 4 0 4
nn m m
αβ
= ⇔ +− − + = ⇔ =−
 
Câu 5: Chọn C
Để
()dP⊂
thì
()
. 0 2.( 3) 2.( 1) ( ).( 2) 0 4.
dP
un m m= ⇔ − + − +− − = ⇔ =
 
Câu 6: Chọn C
Giả sử M là giao điểm của (P) và d
(1 3 ; 3 ; 2 3 )M tt t⇒ + −−
Mà
( ) 2(1 3 ) (3 ) (2 3 ) 5 0 6 ( 17;9; 20).MP t t t t M∈ ⇒ + + − + − + = ⇔=−⇒ −
Câu 7: Chọn A
Ta có
22 2 2
. 0 2 2( 2) 0 4 2.
PQ
nn m m m m m=⇔ − − −=⇔ =⇔ =
 
Câu 8: Chọn A
Đường thẳng d có
(3; 3; 2)
d
u =

qua điểm
( 2;1; 0 ).M −
Để
()dP∪
thì
3 3 60 1
.0
2 50 3
()
dP
mn m
un
mm n
MP
+ += =

=
⇔⇔

− + += =−
∈

 
Câu 9: Chọn C
Đường thẳng
1
d
có
1
( 2; 1; 1)
d
u = −

qua
1
(1; 1; 0 )M −
. Đường thẳng
2
d
có
2
( 1; 2;3)
d
u
= −

qua
2
(3; 0; 1)M −
Ta có
12
; (5; 5; 5)
dd
uu

= −

 
và
12
12 12 12
( 2; 1; 1) ; . 0 ,
dd
MM u u MM d d

= −⇒ =⇒

   
cắt nhau.
Câu 10: Chọn B
Ta có
. 0 ( )// .
Ox P
u n P Ox= ⇒
 
Câu 11: Chọn A
Ta có
12
2
dd
uu=
 
và
1
12
2
( 0; 1; 2 )
// .
( 0; 1; 2 )
Md
dd
Md
∈
⇒
∉
Câu 12: Chọn B
Ta có
(2; ;1) ; ( ; 3; 2); (2;1; 0)
dP
A n du m n∈= − =
 
YCBT
()
4 10
3
; 5.
2 30
2
.0
dP
AP
n
mn
m
un
∈
++=
⇔ ⇔ ⇒=− =−

+=
=
 
Câu 13: Chọn D
Ta có
(1; 1; 2)
/ /( )
. 132 0
()
(1; 3; 1)
d
dP
P
u
dP
un
dP
n
= −
⇒ =−+ = ⇒
⊂
=

 

Mà
(1; 1; 2)
/ /( ).
(1; 1; 2) ( )
Ad
dP
AP
∈
⇒
∉
Câu 14: Chọn B
Ta có
(1; 2; 3)
/ /( )
. 123 0
()
( 1; 1;1)
n
nu
u
α
α
α
α
∆
∆
=
∆
⇒ =−− + = ⇒
∆⊂
=−−

 

Mà
( 1; 1; 3)
( ).
A ()
A
α
α
− − ∈∆
⇒∆⊂
∈
Câu 15: Chọn C
Ta có
( 4; 1; 2)
/ /( )
. 4220
()
(1; 2; 1)
d
dP
P
u
dP
un
dP
n
= −
⇒ =−−=⇒
⊂
= −

 

Mà
(3; 1; 4)
( ).
()
Ad
dP
AP
−∈
⇒⊂
∈
Câu 16: Chọn B
Ta có
1
21
2
12
12
(1; 2; 3)
//
2.
(2; 4; 6)
d
dd
d
u
dd
uu
dd
u
=
⇒= ⇒
≡
=

 

Mà
1
12
2
(2;3;4)
.
Ad
dd
Ad
−−−∈
⇒≡
∈
Câu 17: Chọn A
Ta có
(3; 3; 2)
. 10 0
(1;3;1)
d
dP
P
u
un d
n
= −
⇒ = ≠⇒
= −−

 

cắt (P).
Mà
33
13
d
−
≠⇒
−
không vuông góc với (P).
Câu 18: Chọn A
Ta có
1 2 6 3'
: 3 4 ; ': 2 '
7 1 2'
xtx t
d y td y t
zt z t
=+=+


= + =−+


= + =−−

Giải hệ
1 2 6 3' 2
2
34 2 ' ' 3
'3
7 1 2' 7 1 2'
t tt
t
t tt
t
tt tt
+=+ =−

= −

+ =−+ ⇔ =− ⇔ ⇒

= −

+=−− +=−−

hai đường cắt nhau.
Câu 19: Chọn A
Ta có
'
'
(1; 1; 1)
// '
2.
'
(2; 2; 2)
d
dd
d
u
dd
uu
dd
u
= −
⇒= ⇒
≡
= −

 

Mà
(1; 2; 3)
/ / '.
'
Ad
dd
Ad
∈
⇒
∉
Câu 20: Chọn A
Ta có
1
12
2
12
12
(2; 3; 1)
//
( 2; 3;1)
u
uu
u
∆
∆∆
∆
= −
∆∆
⇒ =−⇒
∆ ≡∆
=−−

 

Mà
1
12
2
(1; 1; 0 )
.
A
A
− ∈∆
⇒∆ ≡∆
∈∆
Câu 21: Chọn C
Ta có:
2
( 0; 0; 4) , (1;1; 2), (1; ; )
dP
A du n mm∈=− =
 
2
2
()
4 10
1.
.0
1 20
dP
AP
m
YCBT m
un
mm
∉
−≠

⇔ ⇔ ⇔=

=
+− =
 
Câu 22: Chọn D
Ta có
. 1.1 ( 3).1 ( 1).( 2) 0 d/ /(P)
dP
un= +− +− − = ⇒
 
Lại có
(1;0;5) () ().A P dP− ∈ → ⊂
Câu 23: Chọn D
Ta có
( ): 3 2 4 0
( ): 3 2 4 0
( ): 3 2 4 0
Px y z
Qx y z
Rx y z
+ − +=
+ − +=
+ − −=
suy ra
()//().
PR
Câu 24: Chọn A
Ta có
() ()
( 2; 1;1), (3; 1; 5) . 0
d P dP
u n un= − = − → =
   
Lại có
(3;1;2)Ad−− ∈
và
( ).AP∉
Vậy
/ /( )dP
và d cắt (Q).
Câu 25: Chọn B
Ta có
()
(1;0;0)
Ox
u =

và
2
()
( 1; 2; )nm m
α
= −−

Để
( ) ()
( )// . 0
Ox
Ox u n
α
α
⇒=
 
và
(0; 0; 0) ; ( ).O Ox O P∈∉
Khi đó, ta được hệ phương trình
2
10
1.
10
m
m
m
−=
⇔=−
−≠
Câu 26: Chọn B
Ta có
() ()
( 2; 1; 3), (1; 5;1) . 0
dd
u n un
αα
= − = → =
   
Lại có
(1; 1; 0 ) ( )MP− ∈ →
Đường thẳng d nằm trong
()
α
Câu 27: Chọn D
Ta có
(1; 0; 1), ( 2; 0; 2)AB CD=− =−⇒
 
Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.
Do đó
()
; (5; 1; 5)
P
n AB AC

= = −

  
Câu 28: Chọn C
Trục Oz có
(0; 0;1)u =
mà
() ()
(0; 0;1) ( ).n u n Oz
γγ
γ
= ⇒= ⇒ ⊥
 
Câu 29: Chọn D
Chọn
1 (1; 0; 1), ( 0; 1; 1), (1; 1; 0 )a ABC
= →
Ta có
()
( 1; 1; 0), ( 0; 1; 1) ; (1; 1; 1)
ABC
AB AC n AB AC

=− = −⇒ = =

   
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là
20 1
222
xyz
xyz
++−=⇔ + + =
Do đó
.
.. 4
(2; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 2) V .
63
O MNP
OM ON OP
MNP
⇒= =
Câu 30: Chọn B
Ta có
.
1
cos( ; ) ( ; ) 60 .
2
.
o
ab
ab ab
aa
= =⇒=

 

Câu 31: Chọn A
Ta có
(
)
.
(2;1;1)
1
sin ;() (()) 30.
2
(1; 2; 1)
dP
d
o
dP
P
un
u
d P dP
un
n
=
⇒ = =⇒=
= −
 

 

Câu 32: Chọn C
Ta có
(1; 2; 0 )
; (4; 2; 2).
(1; 0; 2)
d
n
u nn
n
α
αβ
β
= −

⇒= =

= −

  

Lại có
(3;4;5),
P
n =

tính
.
3
sin( ;( )) ( ( )) 60 .
2
.
dP
o
dP
un
d P dP
un
= =⇒=
 
 
Câu 33: Chọn C
Ta có
( )
.
(1; 1; 4)
1
cos ( ); ( ) (( );( )) 60 .
2
(2; 0; 2)
.
PQ
P
o
Q
PQ
nn
n
PQ PQ
n
nn
= −
⇒ ==⇒=
= −
 


 
Câu 34: Chọn C
Ta có
( )
.
(1; 0; 1)
1
cos ( ); ( ) (( );( )) 60 .
2
( 0; 1; 1)
.
PQ
P
o
Q
PQ
nn
n
PQ PQ
n
nn
=
⇒ ==⇒=
= −
 


 
Câu 35: Chọn D
Ta có
( )
.
(1; 1; 2)
1
cos ( ); ( ) (( );( )) 60 .
2
(1; 2; 1)
.
o
nn
n
n
nn
αβ
α
β
αβ
αβ αβ
= −
⇒ ==⇒=
= −
 


 
Câu 36: Chọn C
Hai mặt phẳng đã cho có VTPT lần lượt là
( 2; 1;1)
; ' (0; 3;3)
' (1; 1; 1)
d
n
u nn
n
= −

⇒= =

= −


và
( )
.
2
(0; 0;1) cos ; ( ; ) 45 .
2
.
d Oz
o
Oz d Oz
d Oz
uu
u u u d Oz
uu
=⇒ = =⇒=
 
  
 
Câu 37: Chọn A
Ta có
2.6 ( 1) 2 .( 1) 0 4YCBT m m m⇔ + −+ −=⇔ =
Câu 38: Chọn A
Ta có
2
.
(1 ; 4; 0)
44
12
25
.
( 4; 0; 3)
5 (1 ) 16
CA BA
CA a
a
CA BA
BA
a
=−−
−
⇒= =
= −
−+
 

 

22
9( 2 17) 25( 2 1) 4.aa aa a⇔ −+ = −+⇒=
Câu 39: Chọn D
Ta có
( )
.
( 1; 2; 2 )
4
cos ;( ) .
9
.
( 2; 1; 2)
dP
d
dP
P
un
u
dP
un
n
=−−
⇒==
= −
 

 

Câu 40: Chọn C
Ta có
( )
.
(1; 1; 4)
1
cos ( ); ( ) (( );( )) 60 .
2
(2; 0; 2)
.
PQ
P
o
Q
PQ
nn
n
PQ PQ
n
nn
= −
⇒ ==⇒=
= −
 


 
Câu 41: Chọn A
Ta có
12
1
12
2
12 12
.
( 1; 1; 2 )
cos( ; ) 0 ( ; ) 90 .
.
( 1; 1;1)
dd
d
o
dd
d
uu
u
dd dd
uu
u
=−−
⇒ = =⇒=
= −
 

 

Câu 42: Chọn B
22
2
2
.
1
cos 60 2 1 1.
2
.
1.2
o
x
uv
xx x
uv
x
= = = ⇒ = +⇔ =±
+


Câu 43: Chọn B
Mặt cầu (S) có tâm
( 2; 1; 4)I −
Ta có (Q) nhận
(3;1; 0)
Q
n IM
= =
 
là một VTPT
Lại có
( )
(
)
.
1
( 2;1; 5) cos ( ); ( ) ( );( ) 60 .
2
.
PQ
o
P
PQ
nn
n PQ PQ
nn
=−⇒ = =⇒ =
 

 
Câu 44: Chọn B
'
''' '
'
10
' ' ( 0; 0;1) ( 1; 1; z ) 1 0 '(1; 1;1)
1
C
CCC C
C
x
AA CC x y y C
z
−=
= ⇒ = − − ⇒ −= ⇒
=
 
Khi đó
'. '
' (1; 1; 1)
cos( ' , ') 0 (( ' ; ') 90 .
'. '
' (1; 0; 1)
o
A C BC
AC
A C BC A C BC
A C BC
BC
= −
⇒ ==⇒=
=
 

 

Câu 45: Chọn C
(P) nhận
(2;1;2)OH = −−

là một VTPT
Lại có
(
) (
)
.
2
(1; 1;0) cos ( );( ) ( );( ) 45 .
2
.
Q
o
Q
Q
OH n
n PQ PQ
OH n
=−⇒ = =⇒ =
 


Câu 46: Chọn B
( ) / / 1 0 1.ab ab
α
∆⇒ − − = ⇔ + =
( )
( )
22
22
.
1
sin ;( )
(1; ; )
.
1
10
(1;0;0) 1
12
.
(0; 0;1)
sin ;( )
.
1
Ox
Ox
Ox
Oz
Oz
Oz
nu
Ox
n ab
nu
ab
ba
nb
ba
nu
b
n
Oz
nu
ab
α
α
α
α
α
α
α
=
=
++
=⇒=

= ⇒ → = ⇔

=−⇒ =

=
=
++
 

 

 

 
Câu 47: Chọn C
( )
1 2 21
5 15
;( ) ; ( ;( )) 3
29 29
h d A P h dB P h h= = = = ⇒=
Câu 48: Chọn C
Lấy
(
) ( )
(0;7;0) ( ) ( );( ) ;( ) 4M P d P Q dM Q∈⇒ = =
Câu 49: Chọn D
Do
(2 ; ; 1 )Ad At t t∈ ⇒ − −+
Ta có
222
1 ( 2; 1; 0 )
2 2.( ) 2( 1 ) 5
( ;( )) 3 3 2 7 9
8 ( 16;8; 9) ( )
1 ( 2) ( 2)
tA
tt t
dA t
tA l
α
=⇒−
− − − −+ +
=⇔ =⇔ +=⇔
=−⇒ − −
+− +−
Câu 50: Chọn A
Ta có
22 2
2.1 ( 2) 2.3 3
5
( , ( )) .
3
2 (1) (2)
dM P
−− − −
= =
+− +−
Câu 51: Chọn A
2 22
22 2
33
( , ( )) 3 5 1 5 ( 1) 2.
21
m
d A P AB m m m m m
m
+
= ⇔ =⇔ += +⇔ += + ⇔ =
++
Câu 52: Chọn A
( ): 1
2 13
xyz
ABC
+ +=
−
hay
( ):36 260ABC x y z− + −=
Khi đó
2 22
6
6
( , ( )) .
7
3 ( 6) 2
d O ABC
−
= =
+− +
Câu 53: Chọn D
1 2 12
5 45
( , ( )) , ( ( ))
4
25
h dM P h dMQ h h= = = = ⇒=
Câu 54: Chọn B
12
; ( 0; 1; 1) ( ) : 0 .
P dd
n uu Pyzm

= = −⇒ −+ =

  
Lấy
12
(2; 0; 0) , (0;1; 2)
A dB d∈∈
Ta có
1
1
(,()) (,()) ():2 2 1 0
2
22
mm
dA P dB P m P y z
−
= ⇔ = ⇔ = ⇒ − +=
Câu 55: Chọn D
Giả sử
( ):4 4 2 7 0,( ):2 2 1 0.Pxyz Qxyz−+−= −++=
Lấy
(0; 0; 1) ( ).MQ
−∈
Ta có
2
222
9
3 3 27
(( ), ( )) ( , ( )) .
2 28
442
d P Q dM P V
−

= = =⇒= =


++
Câu 56: Chọn D
Đường thẳng d có VTCP
(1; 1; 1)
d
u =

và đi qua điểm
(0; 0; 0)O
Đường thẳng d’ có VTCP
'
(1; 0; 1)
d
u = −

và đi qua điểm
( 0; 1;1)A −
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’ có VTPT là:
'
; ( 1; 2; 1)
dd
n uu

= =−−

 
Suy ra
3 36
(): 2 0 (; ') (;()) .
2
141 6
P x y z ddd dA P−+ − = ⇒ = = = =
++
Câu 57: Chọn B
VTCP của đường thẳng
1
∆
và
2
∆
lần lượt là
1
(1; 2; 3)u =

và
2
( 1;1;1)u = −

Đường thẳng
1
∆
và
2
∆
lần lượt đi qua các điểm
(1; 2; 3)
A
và
(1; 0; 1)B
Phương trình mặt phẳng (P) chứa
1
∆
và song song với
2
∆
có VTPT là:
12
; ( 1; 4; 3)n uu

= =−−


Khi đó
12
2 26
(): 4 3 0 ( ; ) (,()) .
13
1 16 9
P x y z d dB P+ − = ⇒ ∆∆ = = =
++
Câu 58: Chọn C
Do
∆
có VTCP là
(1; 1; 1)u = −
và đi qua điểm
(3; 2; 0)A
−
Mặt phẳng (P) có
(1; 2;1),
P
n =

do
()
. 0 / /( )
P
un P
∆
= ⇒∆
 
Do đó
[ ]
342
1
,() (;()) .
141 6
d d P dA P
−+
=∆= = =
++
Câu 59: Chọn C
Đường thẳng
1
d
có VTCP
1
(2; 1;3)u = −

và đi qua điểm
( 1; 1; 2 )
−
Đường thẳng
2
d
có VTCP
2
( 1; 2; 3)u =−−

Mặt phẳng (P) chứa
1
d
và song song với
2
d
nên
() 1 2
; ( 3; 3; 3) 3(1; 1; 1)
P
n uu

= =− = −−

 
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm
( 1; 1; 2 )−
và có VTPT
()
(1; 1; 1)
P
n −−

có PT là:
3
4 0 ( ;( )) 3.
3
xyz d MP−−+=⇒∈ = =
Câu 60: Chọn C
Ta có:
()
(1;2;2)
P
n =

và
(2; 2;1)
d
u =

Khi đó
( )
()
242
8
sin( ; ( )) cos ;
9
144.441
dP
dP un
++
= = =
++ ++
 
Lại có
( )
8
( ;( )) .sin ;( ) 9. 8.
9
d M P IM d P= = =
Câu 61: Chọn D
3 6 12 3
( ) / /( ) 4.
2 82
PQ m
m
−−
⇔= = ≠ ⇔=
−
Lấy điểm
( 1;0;0) ( )AQ−∈
khi đó
2
33
2
(( );( )) ( ; ( )) .
21
9 36 12
d P Q dM P
−−
= = =
++
Câu 62: Chọn B
Mặt phẳng (P) có VTPT là:
()
(1; 3; 1)
P
n = −

Đường thẳng
∆
có VTCP là:
( 2; 1; )
um=
và đi qua điểm
(0; 2; 2)M −−
Để
()
/ /( ) . 0 2 3 0 1
Pd
P nu m m∆ ⇒ = ⇔ −+ = ⇔ =
 
Khi đó
621
3
( ;( )) ( ; ( )) .
191 11
d P dM P
−−
∆= = =
++
| 1/34
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

CHỦ ĐỀ 14: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI, GÓC, KHOẢNG CÁCH
VẤN ĐỀ 1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
1) Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng
Cho 2 mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và (Q) : A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 Ta có: ( ) ≡ ( ) A B C D P Q ⇔ = = =
A' B ' C ' D ' ( ) / /( ) A B C D P Q ⇔ = = ≠
A' B ' C ' D '
(P) cắt (Q) ⇔ A: B :C ≠ A': B ':C '  
Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) ⇔ n n = ⇔ A A + B B + C C = P . Q 0 . ' . ' . ' 0 ( ) ( ) 
Nếu (P) / /(Q) thì vecto pháp tuyến n của mặt phẳng (P) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q). (P) 
Ngược lại vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (Q) cùng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). (Q)  
Nếu (P) ⊥ (Q) thì n ⊥ n . (P) (Q)
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) : x − y + z − 2 = 0 song song với mặt phẳng 2 2
(Q) : 2x − (m +1)y + (3m −1)z − 4m = 0 khi: m =1 A. m =1. B. m = 1. − C.  . D. Đáp án khác. m = 2 Lời giải Đáp án: Chọn B 2 2 Ta có: 2 m +1 3m −1 4 ( ) / /( ) − m P Q ⇒ = + ≠ ⇔ m = 1. − 1 1 1 1 −
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) : x − 2y + z +1 = 0 trùng với mặt phẳng 2 2
(Q) : (2m −1)x − (m +1)y + (2 − m)z + 3m − 2 = 0 khi: A. m = 1. − B. m = 2. C. m =1. D. Đáp án khác. Lời giải Đáp án: Chọn C 2 2 Ta có:
2m −1 m +1 2 − m 3m − 2 (P) ≡ (Q) ⇒ = + = ⇔ m =1. 1 2 1 1
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng 2 2
(P) : m x − y + (m − 2)z + 2 = 0 và 2
(Q) : 2x + m y − 2z +1 = 0 . Với m là tham số, m∈ . Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi m thỏa mãn A. m = 2. B. m =1. C. m = 2. D. m = 3. Lời giải Đáp án: Chọn C  
Các vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: 2 2 2 n (m ; 1
− ;m − 2),n (2;m ; 2) − 1 2   2 2 2 2
(P) ⊥ (Q) ⇔ n .n = 0 ⇔ 2m − m − 2(m − 2) = 0 ⇔ m = 4 ⇔ m = 2 1 2
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x + ay + 3z − 5 = 0 và
(Q) : 4x − y − (a + 4)z +1 = 0. Tìm a để (P) và (Q) vuông góc với nhau. A. a = 0. B. a =1. C. 1 a = . D. a = 1. − 3 Lời giải Đáp án: Chọn D   Ta có n = a và n = − − a + khi đó Q (4; 1; ( 4)) P (2; ;3)  
(P) ⊥ (Q) ⇔ n n = − a − a + = ⇔ a = − P . Q 8 3( 4) 0 1
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (α) : x + y − z +1 = 0 và (β ) : 2
− x + my + 2z − 2 = 0. Tìm m để (α) song song với (β ) A. m = 2. B. m = 5. C. Không tồn tại. D. m = 2. − Lời giải Đáp án: Chọn C
Hai mặt phẳng đã cho song song nên 2 − m 2 2 − = = ≠
do không tồn tại giá trị của tham số m 1 1 1 − 1
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) :3x + 3y − z +1 = 0 và hai mặt phẳng
(Q) : (m −1)x + y − (m − 2)z + 5 = 0 . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với nhau. A. 1 m = . B. 1 m = − . C. m = 2. D. 3 m = − . 2 2 2 Lời giải Đáp án: Chọn B   Để mp 1
(P) ⊥ mp(Q) ⇔ n n = ⇔ m − + + m + = ⇔ m = − P . Q 0 3( 1) 3 2 0 . ( ) ( ) 2
2) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Cho đường thẳng − − −
d có phương trình chính tắc x x y y z z o o o = = , phương trình tham số a b c
x = x + at o  2 2 2
y = y + bt a + b + c >
với M (x y z ∈d và mặt phẳng (P) có phương trình
o ; o ; o ) o ( 0) z = z +  ct o
Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C2>0).  
Khi u n = thì d//(P) hoặc d nằm trên (P) ta có: d . P 0   u  n = d . P 0 • ( )
d ⊂ (P) ⇔ 
M (x y z ∈ P
o ; o ; o ) ( )  u  n = d . P 0 • ( ) d / /(P) ⇔ 
M (x y z ∉ P
o ; o ; o ) ( )  
• D cắt (P) ⇔ u n ≠ và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình: d . P 0 ( )
x = x + at o
y = y + bt o
z = z + cto
Ax + By +Cz + D = 0
Giải hệ phương trình trên ta được
Ax + By + Cz + D o o o t = − . a A + . b B + . c C    
• d ⊥ (P) ⇔ u
n ⇔ u = k n k ≠ d / / P d . P ( 0) ( ) ( ) Chú ý:  
- Nếu d / /(P) hoặc d ⊂ (P) khi và chỉ khi u ⊥ u d (P) 
- Nếu d ⊥ (P) thì vecto chỉ phương u của d là vecto pháp tuyến của (P). Ngược lại, vecto pháp tuyến d
của (P) là vecto chỉ phương của d.
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: a) x 8 y 6 : z d − − =
= và (P) :3x + 5y − z − 2 = 0 4 3 1 b) x 1 y 3 : z d + − =
= và (P) :3x − 3y + 2z − 5 = 0 2 4 3 Lời giải     a) Ta có: u = n = − ⇒ u n =
≠ nên d cắt (P) d (4;3;1); P (3;5; 1) d . P 26 0 ( ) ( )     b) Ta có: u = n = −
⇒ u n = ⇒ d song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) d (2;4;3); P (3; 3;2) d . P 0 ( ) ( ) Xét điểm M ( 1;
− 3;0)∈ d và 3.( 1 − ) − 3.3+ 2.0 − 5 = 17 −
≠ 0 ⇒ M ∉(P)
Ví dụ 2: Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: a)
x − 9 y −1 z − 3 d : = =
và (P) : x + 2y − 4z +1 = 0 8 2 3 b)
x − 7 y −1 z − 5 d : = =
và (P) :3x − y + 2z − 5 = 0 5 1 4 Lời giải     a) Ta có: u = n =
− ⇒ u n = nên song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) d (8;2;3); P (1;2; 4) d . P 0 ( ) ( )
Xét điểm M (9;1;3)∈d và M (9;1;3)∈(P) ⇒ d ⊂ (P)     b) Ta có: u = n = − ⇒ u n =
≠ nên d cắt (P). d (5;1;4); P (3; 1;2) d . P 22 0 ( ) ( )
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y 1 : z d − + = = và mặt phẳng 1 2 2 −
(P) : 2x − y +15 = 0. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. d / /(P).
B. d ∩ (P) = {I(1; 1; − } 0 .
C. d ⊥ (P).
D. d ⊂ (P). Lời giải Đáp án: Chọn A  
Vecto chỉ phương của d là u = (1;2; 2
− ), VTPT của (P) là n = (2; 1; − 0)   Ta có: .
n u = 0 ⇒ d / /(P) hoặc d ⊂ (P). Mà ( A 1; 1;
− 0)∈d nhưng A∉(P) ⇒ d / /(P).
Ví dụ 4: Cho đường thẳng
x −10 y − 2 z + 2 ∆ : = =
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để cho mặt phẳng 5 1 1
(P) :10x + 2y + mz +11 = 0 vuông góc với đường thẳng ∆ . A. m = 2. − B. m = 2. C. m = 52. − D. m = 52. Lời giải Đáp án: Chọn B     Để 10 2 ∆ ⊥ ( ) ⇔ ⇔ = ⇔ = = ⇔ = . ∆ / / m P u n u∆ k n m P . P 2 ( ) ( ) 5 1 1
Ví dụ 5: Cho đường thẳng x +1 y z − 5 d : = =
và mặt phẳng (P) :3x − 3y + 2z + 6 = 0. Mệnh đề nào sau 1 3 − 1 − đây đúng?
A. d cắt và không vuông góc với (P). B. d vuông góc với (P).
C. d song song với (P). D. d nằm trong (P). Lời giải Đáp án: Chọn A    
Ta có u n = + − ≠ mà u ≠ k n ⇒ d cắt và không vuông góc với (P). d . d . P 3 9 2 0 ( ) (P)
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − 3y + z −1 = 0 và đường thẳng x −1 y z +1 d : = =
. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 2 1 1 −
A. d cắt và không vuông góc với (P).
B. d song song với (P).
C. d vuông góc với (P). D. d nằm trên (P). Lời giải Đáp án: Chọn D   Ta có n = − u = − P (2; 3;1); d (2;1; 1)   d / /(P)
Để ý rằng n u = − − = ⇒ P . d 4 3 1 0  d ⊂ (P) Hơn nữa d qua ( A 1;0; 1
− ) mà A∈(P) ⇒ d ⊂ (P).
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng : x y z m d − = =
song song với mặt phẳng 2
(P) : 4x + 4y + m z −8 = 0 2 1 − 1 − A. m = 2. ± B. m = 2. C. m = 2. −
D. Không tồn tại m. Lời giải Đáp án: Chọn C   m = 2 Do 2
d / /(P) ⇒ u n = − − m = ⇔ d . P 8 4 0  m = 2 − Xét điểm (
A 0;0;m)∈d. Cho 3
A∈(P) ⇒ m = 8 ⇔ m = 2 do đó m = 2 thì d nằm trong (P). Vậy m = 2 − thì d / /(P).
3) Vị trí tương đối của hai đường thẳng 
Cho 2 đường thẳng d (đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u ) và đường thẳng d (đi qua điểm M 1 1 1 2 2 
và có vecto chỉ phương u ). Khi đó: 2 M ∈d • 1 2 d ≡ d ⇔ 1 2     u
 / /u ⇔ u = k.u 1 2 1 2 M ∉d • 1 2 d / /d ⇔ 1 2     u
 / /u ⇔ u = k.u 1 2 1 2  
• d ⊥ d ⇔ u .u = 0. 1 2 1 2   
u ;u  ≠ 0
• d và d cắt nhau 1 2   ⇔ 1 2
   
u ;u .M M = 0 1 2 1 2  
  
• d và d chéo nhau ⇔ u ;u .M M ≠ 0 1 2 1 2 1 2  
Chú ý: Khi giải bài tập, nếu biết phương trình của 2 đường thẳng d và d ta có thể xét vị trí tương đối 1 2
của chúng bằng cách giải hệ phương trình để tìm giao điểm.
- Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d và d cắt nhau. 1 2
- Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d / /d hoặc d và d chéo nhau, lúc đó cần xét thêm vecto 1 2 1 2
chỉ phương của chúng (hai đường thẳng chéo nhau khi 2 vecto chỉ phương của chúng không cùng phương). 
- Nếu d / /d hoặc d ≡ d thì vecto chỉ phương u của đường thẳng d cũng là vecto chỉ phương của 1 2 1 2 1 1 
đường thẳng d và ngược lại vecto chỉ phương của u của đường thẳng d cũng là vecto chỉ phương của 2 2 2 đường thẳng d . 1
Ví dụ 1: Xác định vị tí tương đối của các cặp đường thẳng d và d dưới đây: 1 2 a)
x −1 y − 7 z − 3 d : − + + = = ,
x 6 y 1 z 2 d : = = 1 2 1 4 2 3 2 − 1 b) x 1 y 2 : z d − − + − = = , x y 8 z 4 d : = = 1 2 2 − 1 2 2 − 3 1 c) x − 2 y z +1 x − 7 y − 2 : = = , : z d d = = 1 2 4 6 − 6 − 6 − 9 − 12 Lời giải    
a) Ta có: u = (2;1;4);u = (3; 2;
− 1) và u ≠ k.u ⇒ d ;d cắt nhau hoặc chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 
d đi qua điểm M (1;7;3);d đi qua điểm M (6; 1 − ; 2 − ) ⇒ M M = (5; 8 − ; 5 − ) 1 1 2 2 1 2
  
Xét u ;u M M = 0 ⇒ d ;d cắt nhau. 1 2 1 2 1 2   
b) Đường thẳng d qua M (1;2;0) và có VTCP u = (2; 2; − 1) 1 1 1 
Đường thẳng d qua M (0; 8;
− 4) và có VTCP u = ( 2 − ;3;1) 2 2 2 
   Ta có: M M = ( 1 − ; 10
− ;4) và u ;u M M = ( 5 − ; 4 − ;2).( 1 − ; 10
− ;4) ≠ 0 ⇒ d ;d chéo nhau. 1 2 1 2 1 2 1 2      c) Ta có: 2
u = − u và điểm M (2;0; 1
− )∈d và M (2;0; 1
− )∉d nên d / /d 1 2 3 1 1 1 2 1 2
Ví dụ 2: Xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d dưới đây: 1 2 a)
x −1 y − 6 z − 3
x − 7 y − 2 z − 5 d : = = ;d = = = 1 2 9 6 3 6 4 2 x =1+ tx = 3 + 2u
b) d : y 2 2t ;d :  = + y = 6 + 4u 1 2 z 2t  = − z = 4 − −   4u Lời giải   a) Ta có: 3
u = u và điểm M (1;6;3)∈d và M (1;6;3)∉d nên d / /d 1 2 2 1 1 1 2 1 2     b) Ta có: u = (1;2; 2 − );u = (2;4; 4
− ) ⇒ u = 2u 1 2 2 1
Mặt khác điểm M (1;2;0)∈d và M (1;2;0)∈d nên d trùng d 1 1 1 2 1 2
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x + 2 y + 3 z + 4 d : = = và 1 1 2 3 x = 2t
d : y =1+ 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 2 z = 2+  6t
A. d và d cắt nhau.
B. d và d trùng nhau. 1 2 1 2
C. d và d chéo nhau. D. d và d song song với nhau. 1 2 1 2 Lời giải Đáp án: Chọn B  
Ta có: (2;4;6) = 2(1;2;3) ⇒ u = 2u ⇒ d và d song song hoặc trùng nhau. 1 2 1 2 Mà điểm (
A 0;1;2)∈d , thay đổi tọa độ điểm A vào d thì A∈d nên d ≡ d 2 1 1 1 2
VẤN ĐỀ 2: BÀI TOÁN VỀ GÓC
1) Góc giữa 2 mặt phẳng .
Gọi ϕ là góc giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta có:   + + ϕ = ( . A A' .
B B ' C.C ' cos cos n ;n = (0o o ≤ ϕ,90 P Q ) ( ) ) 2 2 2 2 2 2
A + B + C . A' + B ' + C '
2) Góc giữa 2 đường thẳng 
Cho 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương u = (a ;b ;c ) và đường thẳng d có vecto chỉ phương 1 1 1 1 2 2 
u = (a ;b ;c ) . Góc ϕ giữa hai đường thẳng đó được tính theo công thức 2 2 2 2  
a a + b b + c c
cosϕ = cos(u ;u ) 1 2 1 2 1 2 = (0o o ≤ ϕ,90 ) 1 2 2 2 2 2 2 2
a + b + c . a + b + c 1 1 1 2 2 2
3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương là u = (a; ;
b c) và mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là
n( ;A ;BC). Gọi ϕ là góc giữa d và (P) thì ϕ được tính theo công thức   + + ϕ = (u n) . A a . B b C.c sin cos ; = (0o o ≤ ϕ,90 ) 2 2 2 2 2 2
A + B + C . a + b + c
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng (P) : 2x − y − 2z − 5 = 0 và (Q) : x − y +1 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: A. 30 .o B. 45 .o
C. 60 .o D. 135 .o Lời giải Đáp án: Chọn B     Ta có: n = n =
− − n = n = − P (2; 1; 2); Q (1; 1;0) ( ) 1 ( ) 2   2.1+ 2 − 2.0 Khi đó: ( P Q ) = (n n ) 3 1 cos ( );( ) cos ; = = = ⇒ ((P);(Q))  0 = 45 1 2 4 +1+ 4. 2 3 2 2
Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z −1 = 0 và (Q) : x + 2y − z + 3 = 0 . Gọi α là góc giữa hai mặt
phẳng (P) và (Q) khi đó cosα bằng A. 6 − − . B. 2 5 . C. 2 5 . D. 6 . 9 15 15 9 Lời giải Đáp án: Chọn D     Ta có n = n = − n = n = − P (2; 1;2); (1;2; 1) ( ) 1 (Q) 2   2 − 2 − 2 Khi đó: α = ( 2 6 cos cos n ;n = = = . 1 2 ) 4 +1+ 4. 1+ 4 +1 3 6 9
Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng (P) : mx + 2y + mz −12 = 0 và (Q) : x + my + z + 3 = 0 . Có bao nhiêu giá trị của
m sao cho góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 45o A. 0. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Đáp án: Chọn D    
Ta có: n = n = m m n = n = m P ( ;2; ); Q (1; ;1) ( ) 1 ( ) 2   m + m + m m o 2 4
Khi đó: cos 45 = cos(n ;n = = 1 2 ) 2 2 2m + 4. m + 2 2 ( 2 m + 2) 2 4 m 2 t= m >0 2 ⇔ =
⇔ m + 2 = 4 m →t − 4t + 2 = 0 ⇒ t = 2 ± 2 ⇒ m = ± 2 ± 2 2 2 2(m + 2)
Suy ra có 4 giá trị của m.
Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng (P) : 4x + my + mz +1 = 0 và (Q) : x − y − 3 = 0 . Có bao nhiêu giá trị của m sao
cho góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng 60o A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Đáp án: Chọn B     Ta có n = n = m m n = n = − P (4; ; ); Q (1; 1;0) ( ) 1 ( ) 2   − m − m o 4 4
Khi đó: cos60 = cos(n ;n = = 1 2 ) 2 2
2m +16. 2 2 m + 8 1 4 − m 2 2 ⇔ =
⇔ m + 8 = (4 − m) ⇔ 8 =16 −8m ⇔ m =1 2 2 2 m +8
Ví dụ 5: Cho 2 đường thẳng x y 1 : z d + + + = = và x y 1 z 2 d : = =
. Góc giữa d và d là: 1 1 − 4 3 2 1 4 − 3 − 1 2 A. 0 .o B. 30 .o C. 60 .o D. 90 .o Lời giải Đáp án: Chọn A     26 − u = ( 1 − ;4;3);u = (1; 4; − 3)
− ⇒ cos(d ;d ) = cos u ;u = = 1. 1 2 1 2 ( 1 2) 1+16+9. 1+16+9 Do đó ( ; )  0 .o d d = 1 2 x = tx =1− 4t
Ví dụ 6: Cho 2 đường thẳng d :  
y = 5 − 2t và d : y = 2 + t . Góc giữa d và d là: 1 2 1 2 z =14−   3t z = 1 − +  5t A. 0 .o B. 30 .o C. 60 .o D. 90 .o Lời giải Đáp án: Chọn A     4 − − 2 −15 21 3 u = (1; 2; − 3);u = ( 4;
− 1;5) ⇒ cos(d ;d ) = cos u ;u = = = . 1 2 1 2 ( 1 2) 1+4+9. 16+1+25 14 3 2 Suy ra ( ; )  30 .o d d = 1 2
Ví dụ 7: Cho 4 điểm (
A 1;0;0); B(0;1;0);C(0;0;1) và D( 2 − ;1; 1
− ) . Góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là: A. 45 .o B. 30 .o C. 60 .o D. 90 .o Lời giải Đáp án: Chọn A    
Ta có: u = u = − u = u = − − AB ( 1;1;0); CD ( 2;1; 2) 1 2   2 +1 Khi đó:  ( )= ( 1 cos ; cos ; = = ⇒ ; = 45 .o AB CD u u AB CD 1 2 )  ( ) 2.3 2
Ví dụ 8: Cho 2 đường thẳng x −1 y z +1 d : + − + = = và
x 1 y 2 z 3 d : = =
. Cosin góc giữa d và d là: 1 2 2 1 − 2 1 2 − 1 1 2 A. 6 . B. 3 . C. 1 . D. 1 . 3 2 6 2 Lời giải Đáp án: Chọn C     2 − 4 −1 Ta có: 3 1 u = (2;2; 1 − );u = (1; 2;
− 1) ⇒ cos d ;d = cos u ;u = = = . 1 2 ( 1 2) ( 1 2) 3. 6 3 6 6 Suy ra  ( ; 30 .o d d = 1 2 ) x = 1 − + tx = 2 + t  
Ví dụ 9: Cho hai đường thẳng d : y = t
− 2 và d : y =1+ t 2 . Tìm giá trị của m sao cho góc giữa ai 1 2 z = 2+t   z = 2 + mt
đường thẳng d và d bằng 60 .o 1 2 A. m =1. B. m = 1. −
C. m =1 và m = 1. −
D. m = 0. Lời giải Đáp án: Chọn B     1− 2 + m m −1
Ta có: u = (1;− 2;1);u = (1; 2;m) ⇒ cos d ;d = cos u ;u = = 1 2 ( 1 2) ( 1 2) 2 2
2. m + 3 2. m + 3 m − m − o o 1 1 Do  ( 1
d ;d = 60 ⇒ cos60 = ⇔ = . 1 2 ) 2 2 2 m + 3 2. m + 3 2 2 2 2
⇔ m −1 = m + 3 ⇔ m − 2m +1 = m + 3 ⇔ m = 1. −
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : x − y + 2z +1= 0 và đường thẳng x y z −1 ∆ : = =
. Góc giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) bằng 1 2 1 − A. 150 .o B. 60 .o C. 30 .o D.120 .o Lời giải Đáp án: Chọn C     1− 2 − 2 Ta có = − = − ⇒  α ∆ = ∆ = = ⇒ α ∆ = α ∆ ( )  ( α ) 1 (1; 1;2); (1;2; 1) sin ( ); cos ; ( )  ( ; ) 30 .o n u n 6. 6 2 x = 6 + 5t
Ví dụ 11: Cho đường thẳng d : y = 2 + t và mặt phẳng (P) :3x − 2y +1= 0. Góc hợp giữa đường thẳng dz =  1
và mặt phẳng (P) là: A. 30 .o
B. 45 .o
C. 60 .o
D. 90 .o Lời giải Đáp án: Chọn B     15 − 2 Ta có = − = ⇒  1 n u P ∆ = n ∆ = = ⇒ P ∆ = P
(3; 2;0); d (5;1;0) sin ( ); cos P ; ( ); 45 .o ( ) ( )  ( ( ) )  ( ) 13. 26 2
Ví dụ 12: Cho đường thẳng x 3 y 2 : z d − − =
= và mặt phẳng (P) :3x + 4y + 5z + 8 = 0. Góc hợp giữa 2 1 1
đường thẳng d và mặt phẳng (P) là: A. 30 .o
B. 45 .o
C. 60 .o
D. 90 .o Lời giải Đáp án: Chọn C     6 + 4 + 5 Ta có = = ⇒  3 n u P ∆ = n ∆ = = ⇒ P ∆ = P
(3;4;5); d (2;1;1) sin ( ); cos P ; ( ); 60 .o ( ) ( )  ( ( ) )  ( ) 6. 50 2
Ví dụ 13: Cho đường thẳng x +1 y z − 3 d : = =
và mặt phẳng (P) :3x − 2y + 5z + 3 = 0. Gọi α là góc 2 1 − 1
giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) khi đó sinα bằng A. 13 . B. 13 . C. 13 . D. 13 . 2 57 57 75 2 75 Lời giải Đáp án: Chọn A     6 + 2 + 5 Ta có = − = − ⇒  13 n u P ∆ = n ∆ = = P
(3; 2;5); d (2; 1;1) sin ( ); cos P ; . ( ) ( )  ( ( ) ) 38. 6 2 57
Ví dụ 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng x y −1 z + 2 d : = = và mặt phẳng 1 1 − 2 −
(P) : 2x + y − z + 5 = 0. Góc giữa d và (P) là: A. 60 .o
B. 45 .o
C. 30 .o
D. 150 .o Lời giải Đáp án: Chọn A     2 −1+ 2 Ta có = − = − − ⇒  1 n u P ∆ = n ∆ = = P
(2;1; 1); d (1; 1; 2) sin ( ); cos P ; . ( ) ( )  ( ( ) ) 6. 6 2 Suy ra  (( ); ) 30 .o P ∆ =
Ví dụ 15: Cho đường thẳng x 1 y 1 : z d − − =
= và mặt phẳng (P) : 2x + my + mz −1 = 0. Gọi α là góc giữa 3 4 5
đường thẳng d và mặt phẳng (P). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho 60 .o α =
Tổng các phần tử của tập hợp S là: A. 0. B. – 19. C. – 18. D. – 20. Lời giải Đáp án: Chọn C     6 + 4m + 5m Ta có = = ⇒  n m m u P ∆ = n ∆ = P
(2; ; ); d (3;4;5) sin ( ); cos P ; ( ) ( )  ( ( ) ) 2 4 + 2m . 50 m + m + o 9 6 3 9 6 ⇔ sin 60 = ⇔ = ⇔ 3.25( 2 m + 2) 2 = 9(3m + 2) 2 2 10 m + 2 2 10 m + 2 m =1 2 2 2
⇔ 3(9m +12m + 4) = 25m + 50 ⇔ 2m + 36m − 38 = 0 ⇔  m = 19. −
VẤN ĐỀ 3: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
1) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M x
z khi đó khoảng cách từ điểm M đến mặt
o ( o ; yo ; o )
phẳng (P) được tính theo công thức: (
Ax + By + Cz d M ;(P)) o o o = 2 2 2 A + B + C
2) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Cho mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0
Mặt phẳng (Q) / /(P) và có phương trình (Q) : Ax + By + Cz + E = 0
Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng (P) đến mặt
phẳng (Q). Ta thấy điểm 0;0; −D H ∈   (P) suy ra:  C  . −D C + E − d ( C D E
(P);(Q)) = d (H;(Q)) = = 2 2 2 2 2 2 A + B + C A + B + C
3) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Công thức khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ (đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u ) là 1 o   M M ;ud (M ; ) 1 0   ∆ = 1  u
Ngoài ra ta còn có thể tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆ và khi đó d (M ;∆ = M H. 1 ) 1 1
4) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 
Công thức khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d (đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u ) 1 1 1 
và đường thẳng d (đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u ) là: 2 2 2
  
u ;u M M d (d ;d ) 1 2 1 2   = 1 2   u ;u  1 2  
Ngoài cách làm trên ta có thể tính d(d ;d ) như sau: 1 2
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d . Khi đó (P) xác định, đi qua điểm M và có một vecto 2 1 2   
pháp tuyến là n = u u  Khi đó d (d ;d = d d ;(P) = d M ;(P) . 1 2 ) ( 1 ) ( 1 ) P ; . ( ) 1 2  
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ( A 2;0;0), B(0; 1
− ;0),C(0;0;3). Khoảng cách
từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) bằng A. 7 . B. 36 . C. 49 . D. 6 . 6 49 36 7 Lời giải Đáp án: Chọn D Ta có: ( ) : x y z ABC
− + =1 hay (ABC) : 2x − 6y + 2z − 6 = 0 2 1 3 3.0 − 6.0 + 2.0 − 6
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng (ABC) là: 6 d : = 2 2 2 3 + ( 6) − + 2 7
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) : 6x − 3y + 2z − 6 = 0. Tính khoảng cách từ d từ điểm M (1; 2;
− 3) đến mặt phẳng (P). A. 12 85 d = . B. 31 d = . C. 18. D. 12 . 85 7 7 7 Lời giải Đáp án: Chọn D 6.1+ 3.2 + 2.3− 6
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là 12 d = = . 2 6 + 9 + 4 7
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm (
A 1;3;2); B(3; 1; − 5) và mặt phẳng
(P) : x − 2y + 2z − 3 = 0. Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại M. Tính tỷ số AM . BM A. AM 1 = . B. AM 1 = .
C. AM = 3.
D. AM = 2. BM 2 BM 3 BM BM Lời giải Đáp án: Chọn B AM d( ; A (P)) 1− 6 + 4 − 3 Ta có: 1 = = = . BM d( ; B (P) 3+ 2 +10 − 3 3
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y + z + 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M
thuộc tia Oz sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3. A. M (0;0;3). B. M (0;0;21). C. M (0;0; 1 − 5).
D. M (0;0;3) hoặc M (0;0; 1 − 5). Lời giải Đáp án: Chọn A
Gọi M (0;0;t) (t > 0) thuộc tia Oz (phần có cao độ lớn hơn 0) ta có: t + 6 t>0
d(M ;(P)) =
= 3 ⇔ t + 6 = 9 →t = 3. 4 + 4 +1
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y − z + 3 = 0. Tìm tọa độ điểm M
thuộc tia Oy sao cho khoảng cách từ M đến (P) bằng 3. A. M (0; 6; − 0), B. M (0; 3 − ;0).
C. M (0;6;0).
D. M (0;3;0). Lời giải Đáp án: Chọn D
Gọi M (0;t;0)(t > 0) (Do M thuộc tia Oy) 2t + 3 t = 3
Lại có d(M ;(P)) = = 3 ⇔ 2t + 3 = 9 ⇔ 4 + 4 +1  t = 6( − l) Vậy M (0;3;0).
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z − 6 = 0 và
(Q) : x + 2y − 2z + 3 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng A. 1. B. 3. C. 9. D. 6. Lời giải Đáp án: Chọn B 0 + 2.0 − 2( 3 − ) − 3 Lấy điểm ( A 0;0; 3)
− ∈(P) ⇒ d((P);(Q)) = d ( ; A (Q)) = = 3. 2 2 2 1 + 2 + ( 2) −
Ví dụ 7: Cho mặt phẳng ( − + −
P) : 2x − 2z − z +1 = 0 và đường thẳng
z 1 y 2 z 1 ∆ : = = . Tính khoảng cách 2 1 2
d giữa ∆ và (P) A. 1 d = . B. 5 d = . C. 2 d = .
D. d = 2. 3 3 3 Lời giải Đáp án: Chọn D   Do u = − − = ⇒ ∆ ∆ .n P P 4 2 2 0 / /( ) ( ) + − + Lấy điểm ( A 1; 2
− ;1)∈ ∆ ta có: d (∆ P ) = d ( A P ) 2 4 1 1 6 ;( ) ;( ) = = = 2. 4 +1+1 3
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z − 6 = 0 và
(Q) : x + 2y − 2z + 3 = 0. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng A. 1. B. 3. C. 9. D. 6. Lời giải Đáp án: Chọn B 0 + 2.0 − 2( 3 − ) + 3 Lấy điểm ( A 0;0; 3)
− ∈(P) ⇒ d ((P);(Q)) = d ( ; A (Q)) = = 3. 2 2 2 1 + 2 + ( 2) −
Ví dụ 9: Cho mặt phẳng (P) : x − 2y + 2z −1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M (1;0; 2 − ) song
song và cách mặt phẳng (P) một khoảng bằng 2 là:
A. x − 2y + 2z − 5 = 0 hoặc x − 2y + 2z + 7 = 0.
B. x − 2y + 2z − 5 = 0 hoặc x − 2y + 2z − 7 = 0.
C. x − 2y + 2z + 5 = 0 hoặc x − 2y + 2z − 7 = 0.
D. x − 2y + 2z + 5 = 0 hoặc x − 2y + 2z + 7 = 0. Lời giải Đáp án: Chọn C
Ta có phương trình mặt phằng (Q) có dạng: x − 2y + 2z + D = 0 D +1 D = 5
Khi đó d ((P);(Q)) =
= 2 ⇒ D +1 = 6 ⇔  2 2 2 1 + ( 2) − + 2 D = 7 −
Ví dụ 10: Cho 4 điểm (
A 2;2;3); B(0;1;0);C(1;2;1); D(3;1;5). Phương trình mặt phẳng (P) cách đều 2 đường
thẳng AB và CD là:
A. 14x + 4y −8z + 3 = 0. B. 14x − 4y −8z +1 = 0.
C. 14x − 4y −8z − 3 = 0. D. 14x − 4y −8z + 3 = 0. Lời giải Đáp án: Chọn D   
Ta có: n = AB CD = −
suy ra (P) : 7x − 2y − 4z + D = 0 P ; ( 7;2;4) ( )  
Mặt khác d ( A P ) = d (C P ) 3 ;( )
;( ) ⇔ D − 2 = D −1 ⇔ D = . 2
Vậy (P) :14x − 4y −8z + 3 = 0.
Ví dụ 11: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: a)
x + 2 y −1 z +1 M (2;3;1);d : = = 1 2 2 − b)
x − 3 y − 3 z −1 M (1;0;0);d : = = 1 2 1 Lời giải     a) Ta có: ( A 2; − 1; 1
− )∈d ⇒ AM = (4;2;2);u =
− ⇒ AM u  = − d (1;2; 2) ; d ( 8;10;6)     AM;u  Do đó d   64 +100 + 36 10 2 d(M ;d) =  = = . u 9 3 d     b) Ta có: (
A 3;3;1)∈d ⇒ AM ( 2 − ; 3 − ; 1) − ;u ⇒ AM u  = − − d (1; 2;1) ; d ( 1;1; 1)     AM;u  Do đó d   3 2 d(M ;d) =  = = . u 6 2 d
Ví dụ 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: x = 2 − 3t a) d : 
x −1 y − 2 z +1 y = 2t và d : = = 1 2  3 1 2 z = 4 −  2t b) x −1 y z +1 d : − − − = = và
x 2 y 3 z 1 d : = = 1 1 2 − 2 2 2 4 − 5 −
Lời giải 
a)Cách 1: Đường thẳng d qua (
A 2;0;4) và có VTCP: u = ( 3 − ;2; 2 − ) 1 1 
Đường thẳng d qua B(1;2; 1
− ) và có VTCP: u = (3;1;2) 2 2   
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d ta có: n = u u  = − = − P ; (6;0; 9) 3(2;0; 3) 1 2 ( ) 1 2   13
Suy ra (P) : 2x − 3z + 8 = 0 ⇒ d(d ;d ) = d(d ;(P)) = d( ; B (P)) = = 13. 1 2 2 13   
u ;u AB   (6;0; 9 − ).( 1 − ;2; 5 − ) Cách 2: Ta có: 1 2
d(d ;d ) =   = = 13. 1 2 u ;u  36 + 81 1 2   
b) Cách 1: Đường thẳng d qua ( A 1;0; 1
− ) và có VTCP u = (1; 2 − ;2) 1 1 
Đường thẳng d qua B(2;3;1) và có VTCP: u = (2; 4; − 5 − ) 2 2   
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d ta có: n = u u  = = P ; (18;9;0) 9(2;1;0) 1 2 ( ) 1 2  
Suy ra (P) : 2x + y − 2 = 0 ⇒ d(d ;d ) = d(d ;(P)) = d( ; B (P)) = 5 1 2 2   
u ;u AB   9(2;1;0).(1;3;2) Cách 2: Ta có: 1 2
d(d ;d ) =   = = 5 1 2 u ;u  9 5 1 2  
Ví dụ 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng
x −1 y +1 z − 2 (d) : = = và điểm M ( 3 − ;1;2). 2 1 1
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là: A. 14. B. 6. C. 2 5. D. 2 7. Lời giải Đáp án: Chọn A     Ta có: ( A 1; 1
− ;2)∈d ⇒ AM = ( 4; − 2;0);u = ⇒ AM u  = − d (2;1;1) ; d (2;4; 8)     AM;u  Do đó d   4 +16 + 64 d(M ;d) =  = = 14. u 6 d
Ví dụ 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng
x −1 y − 2 z − 3 d : = = và 1 1 2 3 x −1 y z −1 d : = =
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d và d 2 1 − 1 1 1 2 A. 26. B. 13 . C. 26 . D. 2 2. 13 13 Lời giải Đáp án: Chọn C 
Cách 1: Đường thẳng d qua (
A 1;2;3) và có VTCP: u = (1;2;3) 1 1 
Đường thẳng d qua B(1;0;1) và có VTCP: u = ( 1; − 1;1) 2 2   
Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d ta có: n = u u  = − − = − − P ; ( 1; 4;3) (1;4; 3) 1 2 ( ) 1 2   2 − Suy ra 2 26
(P) : x + 4y − 3z = 0 ⇒ d(d ;d ) = d d (P) = d( ; B (P)) = = = . 1 2 ( 2 ) 1+16 + 9 26 13   
u ;u AB   ( 1 − ; 4; − 3).(0; 2; − 2 − ) 2 Cách 2: Ta có: 1 2 26
d(d ;d ) =   = = = . 1 2 u ;u  1+16 + 9 26 13 1 2  
Ví dụ 15: Cho mặt phẳng ( − +
P) : 2x − y − 2z = 0 và đường thẳng x 1 y z 2 d : = =
. Tọa độ điểm A thuộc 1 2 2
Ox sao cho A cách đều d và (P) là A. ( A 3 − ;0;0). B. (3 A ;0;0). C. ( A 3;3;0). D. ( A 3;0;3). Lời giải Đáp án: Chọn B   AM; 2 u t  Gọi (
A t;0;0) suy ra d( ; A (P)) ;d( ; A d) d   = =  trong đó M (1;0; 2 − ) 3 ud     2 2 AM ;ud  
16 + (2t − 4) + (2 − 2t) 2 t Suy ra d( ; A d) =  = = u 3 3 d 2
⇔ 36 − 24t + 4t = 0 ⇔ t = 3.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
Câu 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ + − −
Oxyz, cho đường thẳng
x 1 y 2 z 1 d : = = và mặt phẳng 6 − 3 3 −
(P) : 2x − y + z − 3 = 0. Mệnh đề nào đúng?
A. d song song với (P).
B. d chứa trong (P).
C. d vuông góc với (P).
D. d cắt (P) và không vuông góc với (P).
Câu 2:Trong không gian + − +
Oxyz, cho mặt phẳng (P) :3x − 2y − 5 = 0 và đường thẳng
x 2 y 1 z 1 d : = = . 2 3 1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. n = (4;6;2) là một vecto chỉ phương của d.
B. (P) cắt cả ba trục tọa độ. C. Điểm ( A 1; 1
− ;2017) thuộc (P).
D. (P) / /d. x =1+ tx = 2t '
Câu 3:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :  
y = 2 − t và d ': y = 1 − − 2t ' . Chọn z = 3−   t z = 5 −  2t '
khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. d trùng d’.
B. d cắt d’.
C. d và d chéo nhau.
D. d song song với d’.
Câu 4:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giá trị của m để hai mặt phẳng (α) : 7x − 3y + mz − 3 = 0 và ( )
β : x − 3y + 4z + 5 = 0 vuông góc với nhau là A.6. B.– 4. C.1. D.2. x =1− 3t
Câu 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = 2t và mặt phẳng z = 2−  mt
(P) : 2x − y − 2z − 6 = 0. Giá trị của m để d ⊂ (P) là A. m = 2. B. m = 2. − C. m = 4. D. m = 4. − m
Câu 6:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z + 5 = 0, đường thẳng
x −1 y − 3 z − 2 d : = =
. Tìm tọa độ giao điểm giữa (P) và d. 3 1 − 3 − A. (17;9;20). B. (17; 9 − ; 20) − . C. ( 17 − ;9;20). D. (1;3;2).
Câu 7:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng 2 2
(P) : m x − y + (m − 2)z + 2 = 0 và 2
(Q) : 2x + m y − 2z +1 = 0, với m là tham số thực. Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) khi m thỏa mãn A. m = 2. B. m =1. C. m = 3. D. m = 2.
Câu 8:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 2 y 1 ( ) : z d + − = = nằm trên mặt 3 3 2
phẳng (P) : mx + ny + 3z + 5 = 0 (m, n là các tham số). Khi đó giá trị của n là A. – 3. B. 1. C. 3. D. – 1.
Câu 9:Trong không gian tọa độ − +
Oxyz, cho hai đường thẳng x 1 y 1 : z d − + = = và x 3 y z 1 d : = = . 1 2 1 1 − 2 1 − 2 3
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d . 1 2 A. Chéo nhau. B. Trùng nhau. C. Cắt nhau. D. Song song nhau.
Câu 10:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,, cho mặt phẳng (P) : 2x + z +1 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
A. (P) / /(Oyz). B. (P) / / . Ox
C.Ox ⊂ (P). D. (P) / / . Oy x = 2t
Câu 11:Trong không gian với hệ tọa độ − −
Oxyz, cho hai đường thẳng d :  x 1 y z 3
y = 1+ 4t và d : = = . 1 2  1 2 3 z = 2 +  6t
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d / /d .
B. d ≡ d .
C. d ,d chéo nhau.
D. d cắt d . 1 2 1 2 1 2 1 2
Câu 12:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y +1 = 0 và đường thẳng x = 2 + mt
d : y = n + 3t ( , m ,
n t ∈). Tìm m, n để đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). z =1−  2t
A. m = 6,n = 5 − . B. 3 m = − ,n = 5. − C. m = 2; − n = 4 − . D. 3 m = ,n = 5. 2 2 x = 1+ t
Câu 13:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y =1−t ,t ∈ và mặt phẳng zz = 2+  2t
(P) : x + 3y + z +1 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.(d) cắt và không vuông góc với (P).
B.(d) nằm trong (P).
C.(d) vuông góc với (P).
D.(d) song song (P).
Câu 14:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x + 2y + 3z − 6 = 0 và đường thẳng
x +1 y +1 z − 3 ∆ : = =
. Mệnh đề nào sau đây đúng? 1 − 1 − 1 A. ∆ / /(α). B. ∆ ⊂ (α). C. ∆ ⊥ (α).
D. ∆ cắt và không vuông góc với (α). x = 3 + 4t
Câu 15:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : y = 1
− − t và mặt phẳng z = 4+  2t
(P) : x + 2y − z + 3 = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A.d song song với (P).
B.d vuông góc với (P).
C.d nằm trên (P).
D.d cắt (P).
Câu 16:Trong không gian với hệ tọa độ + + +
Oxyz, cho hai đường thẳng
x 2 y 3 z 4 d : = = và 1 1 2 3 x = 2t
d : y =1+ 4t . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 2 z = 2+  6t
A. d và d cắt nhau.
B. d và d trùng nhau. 1 2 1 2
C. d và d chéo nhau.
D. d và d song song với nhau. 1 2 1 2
Câu 17:Trong không gian với hệ tọa độ − +
Oxyz, cho đường thẳng x 5 y z 1 d : = = và mặt phẳng 3 3 − 2
(P) : x − 3y − z + 6 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.d cắt và không vuông góc với (P).
B.d song song với (P).
C.d nằm trong (P).
D.d vuông góc với (P).
Câu 18:Cho 2 đường thẳng
x −1 y − 3 z − 7 d : − + + = = và
x 6 y 2 z 1 d ': = =
. Xác định vị trí tương đối 2 4 1 3 1 2 −
của hai đường thẳng d và d’.
A.d và d’ cắt nhau.
B.d và d’ chéo nhau.
C.d song song với d’.
D.d vuông góc với d’. x = 1+ tx = 1+ 2t '
Câu 19:Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d :  
y = 2 + t và d ': y = 1 − + 2t '. Hãy z = 3−   t z = 2 −  2t '
xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng d và đường thẳng d’.
A.d song song với d’.
B.d trùng d’.
C.d cắt d’.
D.d và d’ chéo nhau.
Câu 20:Trong không gian với hệ tọa độ − +
Oxyz, cho hai đường thẳng x 1 y 1 (∆ ) : z = = , 1 2 3 1 −
x − 3 y − 2 z +1 (∆ ) : = =
. Vị trí tương đối của (∆ ) và (∆ ) là 2 2 − 3 − 1 1 2 A.trùng nhau. B.song song. C.cắt nhau. D.chéo nhau.
Câu 21:Trong không gian với hệ tọa độ −
Oxyz cho đường thẳng: x y z 4 d : = = và mặt phẳng 1 1 2 − 2
(P) : x + my + m z −1 = 0 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d. A. m = 0 và 1 m = . B. 1 m = . C. m =1. D. m =1 và 1 m = . 2 2 2
Câu 22:Trong không gian với hệ tọa độ + −
Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 5 d : = = và mặt phẳng 1 3 − 1 −
(P) : x + y − 2z +11 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.d cắt và vuông góc với (P).
B.d vuông góc với (P).
C.d song song với (P).
D.d nằm trong (P).
Câu 23:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình là
2x + 6y − 4z + 8 = 0;5x +15y −10z + 20 = 0 và 6x +18y −12z − 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề sau:
A. (P) / /(Q).
B.(P) cắt (Q).
C.(Q) cắt (R).
D. (R) / /(P).
Câu 24:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) tương ứng có phương
trình là x − 3 y +1 z + 2 = =
và 3x + y − 5z + 5 = 0, gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng (Oxz). Chọn mệnh đề 2 1 − 1
đúng trong bốn mệnh đề sau:
A. d / /(P) và d cắt (Q).
B. d ⊂ (P) và d cắt (Q).
C.d cắt (P) và d cắt (Q).
D. d / /(P) và d / /(Q).
Câu 25:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng 2
(α) : (m −1)x + 2y − mz + m −1 = 0. Xác định
m biết (α) song song với Ox. A. m =1. B. m = 1. − C. m = 1. ± D. m = 0.
Câu 26:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y 1 : z d − + = = và mặt phẳng 2 1 − 3
(α) : x + 5y + z + 4 = 0 . Xác định vị trí tương đối của d và (α). A. d ⊥ (α). B. d ⊂ (α).
C.d cắt và không vuông góc với (α). D. d / /(α). Câu 27:Cho 4 điểm ( A 1; 3 − ;2), B(2; 3
− ;1), C(3;2;1), D(1;2;3). Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB, song
song với đường thẳng CD. Vecto nào sau đây là một vecto pháp tuyến (P)?     A. n = (1; 1; − 1). B. n = (1;1; 1 − ). C. n = (1;1;1). D. n = (5; 1 − ;5). 1 2 3 4
Câu 28:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm I(2;6; 3) − và các mặt phẳng (α) : x − 2 = 0,( )
β : y − 6 = 0, (γ) : z + 3 = 0. Khẳng định nào sau đây là sai? A. ( ) β đi qua I. B. (α) ⊥ ( ). β
C. (γ) song song với Oz. D. ( )
β song song với (Oxz).
Câu 29:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm (
A a;0;a), B(0; ; a a),C( ; a ; a 0).Mặt phẳng
(ABC) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P. Tính thể tích khối tứ diện OMNP. 3 3 A. 3 4a . B. 8a . C. 3 8a . D. 4a . 3 3
BÀI TẬP VỀ GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH   
Câu 30:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vecto a = (0;1;0),b = ( 3;1;0). Tính góc giữa hai vt a  và b .         A. ( , ) 30 .o a b = B. ( , ) 60 .o a b = C. ( , ) 120 .o a b = D. ( , ) 90 .o a b =
Câu 31:Trong không gian với hệ tọa độ + + − Oxyz, cho
x 1 y 1 z 3 d : = =
và (P) : x + 2y − z + 5 = 0. Góc 2 1 1
giữa d và (P) là A.30 .o B. 45 .o C. 60 .o D.90 .o
Câu 32:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là
giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : x − 2y +1 = 0 và ( )
β : x− 2z − 3 = 0. Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng (P). Tính ϕ A. 45 .o ϕ = B. 30 .o ϕ = C. 60 .o ϕ = D. 90 .o ϕ =
Câu 33:Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x − y + 4z − 2 = 0 và (Q) : 2x − 2z + 7 = 0. Tính góc
giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). A.90 .o B. 45 .o C. 60 .o D.30 .o
Câu 34:Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : 2x + 2z − 2 = 0 và
(Q) : 2y − 2z −1 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng A.30 .o B.90 .o C. 60 .o D. 45 .o
Câu 35:Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) : x − y + 2z −1 = 0 và ( )
β : x + 2y − z + 2 = 0.
Tính góc ϕ giữa hai mặt phẳng (α) và ( ). β A. 120 .o ϕ = B. 30 .o ϕ = C. 90 .o ϕ = D. 60 .o ϕ =
Câu 36:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét giao tuyến d của hai mặt phẳng có phương trình theo thứ
tự là 2x − y + z +1 = 0, x + y − z − 2 = 0. Tìm số đo độ của góc α giữa d và Oz. A. 0 .o α = B. 30 .o α = C. 45 .o α = D. 60 .o α =
Câu 37:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định tất cả các giá trị thực của tham số m để hai mặt
phẳng (α) : 2x + my + 2mz + 4 = 0 và ( )
β : 6x − y − z + 3 = 0 vuông góc với nhau. A. m = 4. B. m = 3. C. m = 3. − D. m = 4. −
Câu 38:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tam giác ABC có (
A 1;1;1), B(5;1; 2 − ) và C( ; a 5;1). Tìm a > 0 biết  12 cos BAC = . 25 A. a = 4. B. a = 3. C. a = 5. D. a =1.
Câu 39:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z +1 = 0, đường thẳng x −1 y z + 2 d : = =
. Gọi ϕ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tính cosϕ 1 − 2 − 2 A. 5 cosϕ = . B. 65 cosϕ = . C. 9 65 cosϕ = . D. 4 cosϕ = . 9 9 65 9
Câu 40:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình (P) : x − y + 4z − 2 = 0 và
(Q) : 2x − 2z + 7 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng A.90 .o B. 45 .o C. 60 .o D.30 .o
Câu 41:Trong không gian với hệ tọa độ + −
Oxyz, cho hai đường thẳng x y 1 z 1 d : = = và 1 1 − 1 2 − x +1 y z − 3 d : = =
. Tính góc giữa hai đường thẳng d và d . 2 1 − z 1 1 2 A.90 .o B. 60 .o C.30 .o D. 45 .o    
Câu 42:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho u = ( ;
x 0;1);v = ( 2;− 2;0). Tìm x để góc giữa u và v bằng 60o ? A. x = 1. − B. x = 1. ± C. x = 0. D. x =1.
Câu 43:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2
(S) : (x − 2) + (y +1) + (z − 4) =10 và mặt phẳng (P) : 2
− x + y + 5z + 9 = 0. Gọi (Q) là tiếp diện của (S) tại điểm M (5;0;4). Tính góc giữa hai mặt
phẳng (P) và (Q). A. 45 .o B. 60 .o C.120 .o D.30 .o
Câu 44:Trong không gian tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có (
A 0;0;0), B(0;1;0),C(1;1;0), A'(0;0;1). Tính góc giữa hai đường thẳng A'C ' và BC’. A. 45 .o B. 60 .o C.30 .o D.90 .o
Câu 45:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm H (2; 1 − ; 2
− ) là hình chiếu vuông góc của tọa độ O
xuống mặt phẳng (P). Tính số đo góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) : x − y −11 = 0. A.90 .o B. 60 .o C. 45 .o D.30 .o
Câu 46:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x + ay + bz −1 = 0 và đường thẳng x y z −1 ∆ : = =
. Biết rằng (α) / /∆ và α tạo với các trục Ox, Oz các góc bằng nhau. Tìm giá trị của a. 1 1 − 1 − A. a = 0.
B. a = 0 hoặc a = 2. C. a = 2. D. a = 1 − hoặc a =1.
Câu 47:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) :3x + 4y + 2z + 4 = 0 và hai điểm ( A 1; 2
− ;3),B(1;1;2) . Gọi h ,h lần lượt là khoảng cách từ điểm A đến B đến mặt phẳng (P). Trong các khẳng 1 2
định sau đây khẳng định nào đúng?
A. h = h .
B. h = 2h .
C. h = 3h .
D. h = 4h . 2 1 2 1 2 1 2 1
Câu 48:Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z + 7 = 0 và (Q) : 2x − y + 2z − 5 = 0. A.13. B.11. C.4. D.3. 3 3
Câu 49:Trong không gian với hệ tọa độ +
Oxyz, cho đường thẳng x y z 1 (d) : = = và mặt phẳng 2 1 − 1
(α) : x − 2y − 2z + 5 = 0. Điểm A thuộc d sao cho khoàng cách từ A đến (α) bằng 3. Tìm tọa độ điểm A biết
A’ có hoành độ dương. A. ( A 0;0; 1 − ). B. ( A 2 − ;1; 2 − ). C. ( A 4; 2; − 1). D. ( A 2; 1; − 0).
Câu 50:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2;
− 3) và mặt phẳng (P) : 2x − y − 2z − 3 = 0.
Khoảng cách d từ điểm M đến mặt phẳng (P) là A. 5 d = . B. 2 d = . C. d = 3. D. d = 5. 3 3
Câu 51:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (
A 1;2;3), B(3;4;4). Tìm tất cả các giá trị của tham số m
sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng 2x + y + mz −1 = 0 bằng độ dài đoạn thẳng AB. A. m = 2. B. m = 2. − C. m = 3. − D. m = 2. ±
Câu 52:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm ( A 2;0;0),B(0; 1
− ;0),C(0;0;3). Khi đó khoảng
cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (ABC) bằng. A. 6 . B. 7 . C. 49 . D. 36 . 7 6 36 49
Câu 53:Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 1 − ; 2; − 3) và hai mặt phẳng
(P) : x + y − 2 = 0,(Q) : x + z + 2 = 0. Gọi h và h lần lượt là khoảng cách từ điểm M đến (P) và (Q). Đẳng 1 2 thức nào sau đây đúng? A. h 4 5 = h .
B. h = h .
C. h = 2h .
D. h = h . 1 2 1 2 5 1 2 1 2 4
Câu 54:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng x 2 : y z d − − − = = và x y 1 z 2 d : = = . 1 1 − 1 1 2 2 1 − 1 −
A. 2x − 2z +1 = 0.
B. 2y − 2z +1 = 0.
C. 2x − 2y +1 = 0.
D. 2y − 2z −1 = 0.
Câu 55:Trong không gian tọa độ Oxyz, hai mặt phẳng 4x − 4y + 2z − 7 = 0 và 2x − 2y + z +1 = 0 chứa hai
mặt phẳng của hình lập phương. Thể tích khối lập phương đó là. A. 9 3 V = . B. 81 3 V = . C. 64 V = . D. 27 V = 2 8 27 8 x = t
Câu 56:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d : x y z, d '  = = = y = 1 − . Tính z =1−  t
khoảng cách giữa hai đường thẳng d, d’. A. 1 B. 2 C. 2 . D. 6 . 6. 3. 6 2
Câu 57:Trong không gian với hệ tọa độ − − −
Oxyz, cho hai đường thẳng
x 1 y 2 z 3 ∆ : = = 1 1 2 3 x −1 y z −1 ∆ : = =
. Tính khoảng cách d giữa ∆ ,∆ 2 1 − 1 1 1 2 A. 2 26 d = . B. 26 d = . C. 2 13 d = . D. 5 d = . 13 13 13 13 x = 3 + t
Câu 58:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 
∆ y = 2 −t song song với mặt phẳng z =  t
(P) : x + 2y + z + 2 = 0. Tính khoảng cách d = d [ ;(
∆ P)] từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (P). A. d = 0. B. 6 d = . C. 6 d = . D. 4 6 d = . 3 6 3
Câu 59:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x +1 y −1 z − 2 x y + 2 z − 3 d : = = ,d : = =
. Mặt phẳng (P) chứa d và song song với d . Tính khoảng 1 2 2 1 − 3 1 − 2 3 − 1 2
cách từ điểm M (1;1;1) đến (P). A. 5 . B. 4. C. 3. D.1. 3
Câu 60:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z +1 = 0 và đường thẳng x 1 y 1 : z d − − =
= . Gọi I là giao điểm của d và (P), M là điểm trên đường thẳng d sao cho IM = 9. Tính 2 2 1
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).
A. d(M ,(P)) = 3 2.
B. d(M;(P)) = 4.
C. d(M ,(P)) = 8.
D. d(M ,(P)) = 2 2.
Câu 61:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) tương ứng có phương trình là
3x − 6y +12z − 3 = 0 và 2x − my + 8z + 2 = 0, với m là tham số thực. Tìm m để mặt phẳng (P) song song với
mặt phẳng (Q) và khi đó tính khoảng cách d giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). A. 2 m = 4, − d = . B. 1 m = 4,d = . C. 2 m = 2,d = . D. 2 m = 4,d = . 21 21 21 21
Câu 62:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x − 3y + z −1 = 0 và đường thẳng x y + 2 z + 2 ∆ : = =
với m là tham số thực khác 0. Tìm m để đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) 2 1 , m
và khi đó tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P). A. 3 m = 2,d = . B. 2 m =1,d = . C. 4 m =1,d = . D. 3 m = 1, − d = . 11 11 11 11
LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1: Chọn C     Ta có u = − − và n = − ⇒ u = − n P (2; 1;1) d 3 d ( 6;3; 3) ( ) (P)
Suy ra d vuông góc với mặt phẳng (P). Câu 2: Chọn B
Mặt phẳng (P) không cắt ba trục tọa độ.
Câu 3: Chọn D  
Đường thẳng d có u = − − qua M (1;2;3). Đường thẳng d’ có u = − − qua M (2; 1; − 5). Ta có d (1; 1; 1) d (1; 1; 1) 1 2 2  
u = u và M ∉d ' ⇒ d / /d '. d d ' 1
Câu 4: Chọn B   Ta có n = ⇔ + − − + = ⇔ = − α .nβ 0 7.1 ( 3).( 3) 4m 0 m 4
Câu 5: Chọn C 
Để d ⊂ (P) thì u n = ⇔ − +
− + −m − = ⇔ m = d . P 0 2.( 3) 2.( 1) ( ).( 2) 0 4. ( ) Câu 6: Chọn C
Giả sử M là giao điểm của (P) và d ⇒ M (1+ 3t;3− t;2 − 3t)
Mà M ∈(P) ⇒ 2(1+ 3t) + (3− t) + (2 − 3t) + 5 = 0 ⇔ t = 6 − ⇒ M ( 17 − ;9;20).
Câu 7: Chọn A   Ta có 2 2 2 2
n n = ⇔ m − m − m − = ⇔ m = ⇔ m = P . Q 0 2 2( 2) 0 4 2.
Câu 8: Chọn A 
Đường thẳng d có u = qua điểm M ( 2 − ;1;0). d (3;3;2)   u  n =  m + n + = m = d . P 0 3 3 6 0 1
Để d ∪ (P) thì  ⇔  ⇔  M ∈(P)  2
− m + m + 5 = 0 n = 3 −
Câu 9: Chọn C  
Đường thẳng d có u = − qua M (1; 1;
− 0) . Đường thẳng d có u = − qua M (3;0; 1) − d ( 1;2;3) d (2;1; 1) 1 1 1 2 2 2   
   Ta có u u  = − và M M = (2;1; 1
− ) ⇒ u u M M = ⇒ d d cắt nhau. d ; d . 0 , d ; d (5; 5;5)  1 2  1 2  1 2 1 2 1 2 
Câu 10: Chọn B  
Ta có u n = ⇒ P Ox Ox . P 0 ( ) / / .
Câu 11: Chọn A  
M (0;1;2)∈ d
Ta có u = u và 1  ⇒ d / /d . d 2 1 d2 1 2 M (0;1;2)∉  d2
Câu 12: Chọn B   Ta có ( A 2; ;
n 1)∈d;u = m − n = d ( ;3; 2); P (2;1;0) A∈(P) 4 + n +1 = 0 YCBT 3 ⇔   ⇔ 
⇒ m = − ;n = 5. − u  n =  m + = d . P 0 2 3 0 2
Câu 13: Chọn D  u  = −   d (1; 1;2) d / /(P) Ta có  ⇒ u n = − + = ⇒ d . P 1 3 2 0  n = d ⊂ P P (1;3;1) ( )  ( A 1;1;2)∈d Mà  ⇒ d / /(P).  ( A 1;1;2)∉(P)
Câu 14: Chọn B  n = α (1;2;3)   ∆ / /(α) Ta có  ⇒ n = − − + = ⇒ α .u∆ 1 2 3 0 u   = − − ∆ ⊂ ∆ ( 1; 1;1) (α)   ( A 1; − 1; − 3)∈∆ Mà  ⇒ ∆ ⊂ (α). A ∈(α)
Câu 15: Chọn C  u  = −   d (4; 1;2) d / /(P) Ta có  ⇒ u n = − − = ⇒ d . P 4 2 2 0  n = − d ⊂ P P (1;2; 1) ( )  ( A 3; 1; − 4)∈d Mà  ⇒ d ⊂ (P). A∈(P)
Câu 16: Chọn B  u  =  d (1;2;3)   d / /d Ta có 1 1 2  ⇒ u = u ⇒ d 2.  2 1 u  = d ≡ dd (2;4;6) d 1 2 2  ( A 2 − ; 3 − ; 4 − )∈d Mà 1  ⇒ d ≡ d . 1 2 A∈  d2
Câu 17: Chọn A  u  = −   d (3; 3;2) Ta có  ⇒ u n =
≠ ⇒ d cắt (P). d . P 10 0 n = − − P (1; 3; 1) Mà 3 3 − ≠
⇒ d không vuông góc với (P). 1 3 −
Câu 18: Chọn A x =1+ 2tx = 6 + 3t '
Ta có d : y 3 4t ;d ':  = + y = 2 − + t ' z 7 t  = + z = 1 − −   2t ' 1
 + 2t = 6 + 3t ' t  = 2 −   t  = 2 − Giải hệ 3  + 4t = 2 − + t ' ⇔ t  ' = 3 − ⇔  ⇒ hai đường cắt nhau. t    ' = 3 − 7 + t = 1 − − 2t ' 7 + t = 1 − −   2t '
Câu 19: Chọn A  u  = −   d (1;1; 1) d / /d ' Ta có  ⇒ u = u ⇒ d 2. '  u  = −  d ≡ d d (2;2; 2) d ' '  ( A 1;2;3)∈d Mà  ⇒ d / /d '. A∉ d '
Câu 20: Chọn A  u  = −  ∆ (2;3; 1)   ∆ / /∆ Ta có 1 1 2  ⇒ u = − ⇒ ∆ u  1 ∆2 u  = − − ∆ ≡ ∆   ∆ ( 2; 3;1) 1 2 2  ( A 1; 1; − 0)∈∆ Mà 1  ⇒ ∆ ≡ ∆ . 1 2 A∈∆  2
Câu 21: Chọn C   Ta có: 2 (
A 0;0;4)∈d,u = − n = m m d (1;1; 2), P (1; ; ) 2 A∉(P) 4m −1≠ 0
YCBT ⇔   ⇔  ⇔ m =1. 2 u  n =  + − = d . P 0 1 m 2m 0
Câu 22: Chọn D   Ta có u n = + − + − − = ⇒ d . P 1.1 ( 3).1 ( 1).( 2) 0 d/ /(P) Lại có ( A 1 − ;0;5)∈(P)  →d ⊂ (P).
Câu 23: Chọn D
(P) : x + 3y − 2z + 4 = 0
Ta có (Q) : x + 3y − 2z + 4 = 0 suy ra (P) / /(R).
(R): x +3y − 2z − 4 =  0
Câu 24: Chọn A     Ta có u = − n = −  →u n = d (2; 1;1), P (3;1; 5) d . P 0 ( ) ( ) Lại có ( A 3; 1 − ; 2
− )∈ d và A∉(P). Vậy d / /(P) và d cắt (Q).
Câu 25: Chọn B   Ta có u = và 2 n = − − α (m 1;2; m) Ox (1;0;0) ( ) ( )  
Để (α) / /Ox ⇒ u
n = và O(0;0;0)∈ ; Ox O ∉(P). Ox . α 0 ( ) ( ) 2  − =
Khi đó, ta được hệ phương trình m 1 0  ⇔ m = 1. − m −1 ≠ 0
Câu 26: Chọn B     Ta có u = − n =  → = α u n d (2; 1;3), (1;5;1) d . α 0 ( ) ( ) Lại có M (1; 1; − 0)∈(P) 
→ Đường thẳng d nằm trong (α)
Câu 27: Chọn D   Ta có AB = (1;0; 1 − ), CD = ( 2;
− 0;2) ⇒ Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng.   
Do đó n = AB AC = − P ; (5; 1;5) ( )  
Câu 28: Chọn C    
Trục Oz có u = (0;0;1) mà n = ⇒ = ⇒ ⊥ γ γ (0;0;1) u n γ Oz ( ). ( ) ( ) Câu 29: Chọn D Chọn a =1 → (
A 1;0;1), B(0;1;1),C(1;1;0)      Ta có AB = ( 1; − 1;0), AC = (0;1; 1 − ) ⇒ n = AB AC = ABC ; (1;1;1) ( )  
Suy ra phương trình mặt phẳng (ABC) là + + − 2 = 0 x y z x y z ⇔ + + = 1 2 2 2 Do đó
OM.ON.OP 4
M (2;0;0), N(0;2;0), P(0;0;2) ⇒ V = = O MNP . . 6 3
Câu 30: Chọn B     . a b   Ta có 1
cos(a;b) =   = ⇒ ( ; a b) = 60 .o a . a 2
Câu 31: Chọn A    u  = (2;1;1) u n d . Ta có  ⇒ (d P ) P d 1
sin ;( ) =   = ⇒ (d(P)) = 30 .o n = − u n P (1;2; 1) 2 d P
Câu 32: Chọn C  n = −    α (1; 2;0) Ta có  ⇒ u = n  = α ; nβ (4;2;2). n   = −  β (1;0; 2) d    u n d . Lại có n = tính P 3
sin(d;(P)) =   =
⇒ (d(P)) = 60 .o P (3;4;5), u n d . 2 P
Câu 33: Chọn C    n = − n n P (1; 1;4) P . Ta có  ⇒ ( P Q ) Q 1
cos ( );( ) =   = ⇒ ((P);(Q)) = 60 .on = − n nQ (2;0; 2) P . 2 Q
Câu 34: Chọn C    n = n n P (1;0;1) P . Ta có  ⇒ ( P Q ) Q 1
cos ( );( ) =   = ⇒ ((P);(Q)) = 60 .on = − n nQ (0;1; 1) P . 2 Q
Câu 35: Chọn D    n = − α (1; 1;2) nα.n Ta có  ⇒ ( α β ) β 1
cos ( );( ) =   = ⇒ ((α);(β)) = 60 .on = −  β (1;2; 1) nα . n 2 β
Câu 36: Chọn C  n = (2; 1; − 1)   
Hai mặt phẳng đã cho có VTPT lần lượt là  ⇒ u =  ; n n' = (0;3;3) n' (1;1; 1) d   = −      u u và u = ⇒
(u u ) d. Oz 2 (0;0;1) cos ; =   =
⇒ (d;Oz) = 45 .o Oz d Oz u u d . 2 Oz Câu 37: Chọn A
Ta có YCBT ⇔ 2.6 + m( 1 − ) + 2 .( m 1 − ) = 0 ⇔ m = 4
Câu 38: Chọn A    CA  = (1− ; a 4 − ;0) C . 12 A BA 4a − 4 Ta có  ⇒ =   = 2 BA = ( 4; − 0;3)
25 CA .BA 5 (1− a) +16 2 2
⇔ 9(a − 2a +17) = 25(a − 2a +1) ⇒ a = 4.
Câu 39: Chọn D    u  = ( 1; − 2 − ;2) u n d . Ta có  ⇒ (d P ) P d 4
cos ;( ) =   = . n = − u n P (2; 1;2) d . 9 P
Câu 40: Chọn C    n = − n n P (1; 1;4) P . Ta có  ⇒ ( P Q ) Q 1
cos ( );( ) =   = ⇒ ((P);(Q)) = 60 .on = − n nQ (2;0; 2) P . 2 Q
Câu 41: Chọn A    u  = − − u ud ( 1;1; 2) d . Ta có 1 1 d2 
⇒ cos(d ;d ) =   = 0 ⇒ (d ;d ) = 90 .o 1 2 1 2 u  = − u ud ( 1;1;1) d . 2 1 d2
Câu 42: Chọn B  . u v x 2 o 1 2 2 cos60 =   =
= ⇒ 2x = x +1 ⇔ x = 1. ± 2 u . v x +1.2 2 Câu 43: Chọn B
Mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; − 4)  
Ta có (Q) nhận n = IM = là một VTPT Q (3;1;0)    n n P . Lại có n = − ⇒ ( P Q ) Q 1 ( 2;1; 5)
cos ( );( ) =   = ⇒ ((P);(Q)) = 60 .o P n n P . 2 Q
Câu 44: Chọn B x − = C 1 0 '   AA' CC ' (0;0;1) (x y  = ⇒ = − −
⇒ y − = ⇒ C C 1; C 1;zC ) C 1 0 '(1;1;1) ' ' ' ' z =  C 1 ' 
 
A'C = (1;1; 1 − ) A'C.BC ' Khi đó 
⇒ cos(A'C, BC ') =   = 0 ⇒ ((A'C; BC ') = 90 .o BC ' = (1;0;1)
A'C . BC '
Câu 45: Chọn C 
(P) nhận OH = (2; 1 − ; 2 − ) là một VTPT    OH.n Lại có n = − ⇒ ( P Q ) Q 2 (1; 1;0) cos ( );( ) =  =
⇒ ((P);(Q)) = 45 .o Q OH. n 2 Q
Câu 46: Chọn B
(α) / /∆ ⇒1− a − b = 0 ⇔ a + b =1.    n  α .uOxn  = α =   α (1;a;b) (Ox ) 1 sin ;( ) 2 2  
nα . uOx a + b +1   b =1⇒ a = 0 n = ⇒   →   b = ⇔ Ox (1;0;0) 1    b = 1 − ⇒ a = 2 nα.u =  (0;0;1) b n  si  n (Oz;(α)) Oz Oz =   2 2 
nα . uOz a + b +1 
Câu 47: Chọn C 5 15 h = d ;( A P) = ;h = d( ;( B P)) = ⇒ h = 3h 1 ( ) 2 2 1 29 29 Câu 48: Chọn C
Lấy M (0;7;0)∈(P) ⇒ d ((P);(Q)) = d (M;(Q)) = 4 Câu 49: Chọn D
Do A∈d ⇒ (2 A t; t − ; 1 − + t) 2t − 2.( t − ) − 2( 1 − + t) + 5 t =1⇒ ( A 2; 1; − 0) Ta có d( ; A (α)) = 3 ⇔
= 3 ⇔ 2t + 7 = 9 ⇔  2 2 2 1 + ( 2) − + ( 2) − t = 8 − ⇒ ( A 16 − ;8; 9) − (l)
Câu 50: Chọn A 2.1− ( 2) − − 2.3− 3 Ta có 5
d(M ,(P)) = = . 2 2 2 2 + ( 1 − ) + ( 2 − ) 3
Câu 51: Chọn A 3m + 3 2 2 2 d( ,
A (P)) = AB ⇔
= 3 ⇔ m + 5 = m +1 ⇔ m + 5 = (m +1) ⇔ m = 2. 2 2 2 2 +1 + m
Câu 52: Chọn A ( ) : x y z ABC +
+ = 1 hay (ABC) :3x − 6y + 2z − 6 = 0 2 1 − 3 6 − Khi đó 6
d(O,(ABC)) = = . 2 2 2 3 + ( 6) − + 2 7
Câu 53: Chọn D 5 4 5
h = d(M ,(P)) =
,h = d(M (Q)) = ⇒ h = h 1 2 1 2 2 5 4
Câu 54: Chọn B    n = u u  =
− ⇒ P y − z + m = Lấy (
A 2;0;0)∈d , B(0;1;2)∈d P d ; d (0;1; 1) ( ) : 0.  1 2  1 2 m m −1 Ta có 1 d( ,
A (P)) = d(B,(P)) ⇔ =
⇔ m = ⇒ (P) : 2y − 2z +1 = 0 2 2 2 Câu 55: Chọn D
Giả sử (P) : 4x − 4y + 2z − 7 = 0,(Q) : 2x − 2y + z +1 = 0. Lấy M (0;0; 1 − )∈(Q). 2 9 − Ta có 3  3  27
d((P),(Q)) = d(M ,(P)) = = ⇒ V = =   . 2 2 2 4 + 4 + 2 2  2  8
Câu 56: Chọn D 
Đường thẳng d có VTCP u =
và đi qua điểm O(0;0;0) d (1;1;1) 
Đường thẳng d’ có VTCP u = − và đi qua điểm ( A 0; 1; − 1) d (1;0; 1) '   
Khi đó phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’ có VTPT là: n = u u  = − − d ; d ( 1;2; 1) '   Suy ra 3 3 6
(P) : −x + 2y − z = 0 ⇒ d(d;d ') = d( ; A (P)) = = = . 1+ 4 +1 6 2
Câu 57: Chọn B  
VTCP của đường thẳng ∆ và ∆ lần lượt là u = (1;2;3) và u = ( 1; − 1;1) 1 2 1 2
Đường thẳng ∆ và ∆ lần lượt đi qua các điểm (
A 1;2;3) và B(1;0;1) 1 2   
Phương trình mặt phẳng (P) chứa ∆ và song song với ∆ có VTPT là: n = u ;u  = ( 1 − ; 4; − 3) 1 2 1 2   Khi đó 2 26
(P) : x + 4y − 3z = 0 ⇒ d(∆ ;∆ ) = d(B,(P)) = = . 1 2 1+16 + 9 13
Câu 58: Chọn C
Do ∆ có VTCP là u = (1; 1; − 1) và đi qua điểm ( A 3; 2 − ;0)   
Mặt phẳng (P) có n = do u = ⇒ ∆ ∆ .n P P 0 / /( ) P (1;2;1), ( ) − +
Do đó d = d [∆ P ] 3 4 2 1 ,( ) = d( ; A (P)) = = . 1+ 4 +1 6
Câu 59: Chọn C 
Đường thẳng d có VTCP u = (2; 1
− ;3) và đi qua điểm ( 1; − 1;2) 1 1 
Đường thẳng d có VTCP u = ( 1 − ;2; 3) − 2 2   
Mặt phẳng (P) chứa d và song song với d nên n = u u  = − = − − P ; ( 3;3;3) 3(1; 1; 1) 1 2 ( ) 1 2   
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm ( 1; − 1;2) và có VTPT n − − có PT là: P (1; 1; 1) ( ) 3
x − y − z + 4 = 0 ⇒ d ∈(M ;(P)) = = 3. 3
Câu 60: Chọn C   Ta có: n = và u = d (2;2;1) P (1;2;2) ( )   2 + 4 + 2 Khi đó  d P = ( 8 sin( ;( )) cos u n = = d ; (P) ) 1+ 4 + 4. 4 + 4 +1 9 Lại có =  d M P IM (d P ) 8 ( ;( )) .sin ;( ) = 9. = 8. 9
Câu 61: Chọn D 3 6 − 12 3 (P) / /(Q) − ⇔ = = ≠ ⇔ m = 4. 2 −m 8 2 3 − − 3 Lấy điểm ( A 1 2
− ;0;0)∈(Q) khi đó d((P);(Q)) = d(M ;(P)) = = . 2 9 + 36 +12 21
Câu 62: Chọn B 
Mặt phẳng (P) có VTPT là: n = − P (1; 3;1) ( ) 
Đường thẳng ∆ có VTCP là: u = (2;1;m) và đi qua điểm M (0; 2; − 2 − )  
Để ∆ / /(P) ⇒ n u = ⇔ − + m = ⇔ m = P . d 0 2 3 0 1 ( ) 6 − 2 −1 Khi đó 3 d( ;
∆ (P)) = d(M ;(P)) = = . 1+ 9 +1 11
Document Outline

  • ITMTTL~1
  • IIBITP~1
  • IIILIG~1