BÀI GIẢNG 5. SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC CAO
Biên soạn: Kiều Thị Thùy Linh Tóm tắt lí thuyết
Trong nhiều bài toán giải phương trình lượng giác, ta thường gặp các dạng bài mà các hàm sin , x cos , x tan ,
x cot x có bậc 3 trở lên. Để giải quyết các dạng bài toán này, ta cần ghi nhớ
một số công thức hạ bậc cao sau:
1. Công thức hạ bậc ba  1 3 sin x 
3sin x sin3x. 4  1 3 o c s x  3cos x  o c s3x. 4 
3sin x  sin 3x 3 tan x  . 3cos x  o c s3x  3cos x  o c s3x 3 cot x  .
3sin x  sin 3x
2. Công thức hạ bậc dạng sinn  osn x c . x  1 4 4 2 sin x  o c s x  1 sin 2 . x 2  3 6 6 2 sin x  o c s x  1 sin 2 . x 4  4 4 o
c s x  sin x  o c s2 . x   1  6 6 2 o
c s x  sin x  o c s2x 1 sin 2x .    4 
 ………………………………………………
3. Một số công thức hạ bậc mở rộng tổng quát   n 1 n 1 k 1 2 o c s x  C o c s2 n n  k x  C . 2n 1  2n   2n 2 2 k o 2 n  n 1 n 2 1 o c s k x  C o
c s 2n  2k 1 . x 2n 2n 1    2 k o n 1 n  k n k 1 2   1  sin x   1  C o c s2 n n  k x  C . 2n 1    2n   2n 2 2 k o 2 n n 1 n  2n 1     k sin x   1 k  C
sin 2n  2k 1 . x 2n   2n 1   2 k o
Nhận xét: Nhờ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba, công thức góc mở rộng,… và qua các
biến đổi, ta nhận được công thức hạ bậc cao như ở trên. I. Một số ví dụ 2
Ví dụ 1. Giải phương trình lượng giác 3 3 o c s . x o c s3x  sin . x sin 3x  . 4 Giải 3cos x  os3 c x
3sin x  sin 3x 2 PT  os3 c x   4 4 4 2 2
 3cos3x cos x  3sin 3xsin x  os c
3x  sin 3x  2
 3cos3xcos x  sin 3xsin x  os c 6x  2  3cos 2x  os c 6x  2 3  4cos 2x  2 2 1 3  os c 2x   4  23 1   os c 2x   os c 2 4 
 x    k k  . 8 
Vậỵ phương trình đã cho có nghiệm là x  
 k k  . 8
Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác 3 3 3 o
c s x cos3x  sin xsin 3x  o c s 4 . x Giải 3cos x  os3 c x
3sin x  sin 3x 3 PT  os3 c x  sin 3x  os c 4x lim 4 4 x 1   3 2 2 os c
3x  sin 3x   os3 c
x cos x  sin 3x sin x 3  os c 4x 4 4 1 3 3  os c 6x  os c 2x  os c 4x 4 4 1   3 3
4 cos 2x  3cos 2x 3  os c 2x  os c 4x 4 4 3 3  os c 2x  os c 4x  os c 4x  os c 2x 4x  2  x  2k   k   x  k  .
4x  2x  2k 3 k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  k  . 3    1
Ví dụ 3. Giải phương trình lượng giác 4 4 sin x  o c s x   .    4  4 Giải 2       2 1 os c 2x    1 os c 2x   2  1 PT         2   2  4      1 os c
2x2  1 sin 2x2  1  sin 2x  os c 2x  1     2 os c 2x  1    4     1   os c 2x    os c    4  2 4    2x    2k x  k  4 4      k  .     x   k 2x     2k  4  4 4 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  k , x 
 k k  . 4 1
Ví dụ 4. Giải phương trình lượng giác 6 6 2 sin x  o c s x  o c s 2x  . 16 Giải 3 1 2 2 PT  1 sin 2x  os c 2x  4 16 3 1 2 2
 1 sin 2x 1 sin 2x  4 16 1 os c 4x  2  4sin 2x 1  4 1    2  1 
 2  2cos 4x 1  os c 4x   os c 2 3   4x   k2  3     x  
 k2 k  .   12 4x    k2  3 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  
 k2 k  . 12 17
Ví dụ 5. Giải phương trình lượng giác 8 8 2 sin x  o c s x  o c s 2 . x 16 Giải 4 4 1 o c s4x  1 o c s4x  17 2 PT    o c s 2x      2   2  16   o c s2x  4 1   o c s2x  4 2 1 17cos 2 . x Đặt t  o c s2 , x t  1.
Khi đó, phương trình trở thành t  4 1  t  4 2 1 17t   4 3 2
t  4t  6t  4t   1   4 3 2
t  4t  6t  4t   2 1  17t 1 4 2 2
 2t  5t  2  0  t  2 Từ đó ta có 1 1 o c s4x 1 2 o c s 2x    2 2 2   k  o
c s4x  0  4x 
 k  x   k  . 2 8 4  k
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x   k  . 8 4  6 6 2 sin x  o
c s x  sin x cos x
Ví dụ 6. Giải phương trình lượng giác  0. 2  2sin x Giải 1
Điều kiện : sin x  . 2  3  1 2 PT  2 1 sin 2x  sin 2x  0    4  2 2
 3sin 2x  sin 2x  4  0 sin 2x 1   
4  sin 2x  1  x 
 k k  . sin 2x   4  3 5
Kết hợp với điều kiện, ta có x 
 2k k  . 4 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x 
 2k k  . 4 II.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau: a. 3 3 3
cos x sin 3x  sin x cos3x  sin 4x . b. 3 3
4sin x sin 3x  4sin x cos 3x  3 3 o c s4x  3. 1 c. 3 3 3 o
c s x cos 3x  sin x sin 3x  o c s 4x  . 4 k  k  k Đ/S: a). x 
k  . b). x    ; x   k  . 12 24 2 8 2  k c). x   k  . 24 2
Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau a. 2 x
4 x    c x  2 2sin 4sin 1 os2
7 cos 2x  3cos 2x  4. 4 4 sin 2x  o c s 2x b. 4  o c s 4 . x       tan  x tan  x      4   4  17 c. 8 8 sin x  o c s x  . 32 1 d. 8 8 sin 2x  o c s 2x  . 8   k k Đ/S: a). x 
 k; x   
k  . b). x  k  . 4 6 2 2  k  k c). x  
k  . d). x   k  . 8 4 8 4
Bài 3. Cho f  x 6 4  x  x  c
x  m g  x 2 2 3cos 2 sin 2 os4 ;  2cos 2 .
x 1 3cos 2x. Tìm m để phương
trình f  x  g  x có nghiệm? Đ/S: 1   m  0.
Bài 4. Tìm m để phương trình x    x4 4 sin 1 sin  m có nghiệm?   Đ/S: 1 m  ;17 .   8 
Bài 5. Xác định a để phương trình 6 6 sin x  o
c s x  a sin 2x có nghiệm? Đ/S: 1 a   . 4