Công thức Số phức Toán 12

Tổng hợp toàn bộ công thức về Số phức
1. Định nghĩa số phức
- Số phức có dạng: z  a  bi a b  2 , , ,i  1
 trong đó a là phần thức, b là phần ảo
- Tập các số phức là tập   a  c
- Hai số phức bằng nhau: Hai số phức z  a  bi,w  c  di bằng nhau khi:  b   d
- Số phức đối của z là z : z  a  bi  z  a  bi
- Số phức liên hợp của z là z : z  a  bi  z  a  bi
- Biểu diễn hình học của số phức z  a  bi là điểm M a,b trên mặt phẳng tọa độ
- Mô đun của số phức z là: 2 2
z  a  b
2. Công thức cần nhớ
a. Công thức cộng, trừ, nhân, chia số phức
Cho hai số phức z  a  bi w  c  di a b c d   2 , , , , , ,i  1ta có:
z  w  a  c  b  di
z  w  a  c  b  di .
z w  ac  bd  ad  bci w c  di
c dia bi ac bd ad bc    
.i, a  bi  0 2 2 2 2 2 2   z a  bi a  b a  b a  b b. Tính chất cần nhớ - Cho số phức 2
z  a  bi,a,b  ,i  1 
 z  z Số phức z là số thực
 z  z  Số phức x là số ảo
- Cho hai số phức z  a  bi, z  c  di, a,b,c,d  ta có: 1 2  
 z  z  z  z 1 2 1 2
 z .z  z .z 1 2 1 2  z z 1 1  , z  0 2 z2 z2
 z .z  z . z 1 2 1 2 z z  1 1  , z  0 2 z z 2 2
 z  z  z  z 1 2 1 2
c. Căn bậc hai của một số phức
Cho số phức z  a  bi . Tìm căn bậc hai của một số phức
- Nếu z  0  z có căn bậc hai là: 0
- Nếu z  a  0  z có căn bậc hai là: a , a
- Nếu z  a  0  z có căn bậc hai là: i a , i  a
- Nếu z  a  bi,b  0 . Giả sử w  x  yi,x, y  là một căn bậc hai của số phức z ta có:
w  z  x  yi2 2  a  bi 2 2
x  y  a
  2xy b
Giải hệ phương trình trên mỗi cặp (x; y) thu được cho ta một căn bậc hai của z
3. Công thức giải nhanh số phức
Công thức giải nhanh phương trình az  bz  c . a c  . b c z  2 2 a  b
4. Bất đẳng thức số phức
 z  z  z  z dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z  kz ,k  0 1 2 1 2 1 2
 z  z  z  z dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z  kz ,k  0 1 2 1 2 1 2
 z  z  z  z dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z  kz ,k  0 1 2 1 2 1 2
 z  z  z  z dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi z  kz ,k  0 1 2 1 2 1 2