Cực trị hàm một biến - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng

TOÁN KINH TẾ
Problem 1. Tìm cực đại tuyệt đối và cực tiểu tuyệt đối của hàm số trên khoảng [a, b]
1. f (x) = x3 − 2x2 − 4x + 2, [−1, 3]
2. f (x) = x3 − 3x + 3, [−3, 1.5]
3. f (x) = x3 + x2 − x + 1, [−2, 0]
4. f (x) = x3 − 3x2 − 24x + 7, [−3, 6]
5. f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x − 5, [−10, 10]
6. f (x) = 9 + 6x2 − x3, [−3, 10]
Problem 2. (a) Nếu hàm tổng doanh thu cho mặt hàng búa là R = 36x − 0.01x2, thì bán bao nhiêu búa,
x, sẽ tối đa hóa tổng doanh thu tính bằng đô la? Tìm doanh thu tối đa.
(b) Tìm doanh thu tối đa nếu số lượng sản phẩm bị giới hạn tối đa 1500 búa.
Problem 3. (a) Nếu hàm tổng doanh thu của máy xay sinh tố là R(x) = 25x − 0.05x2, thì bán bao nhiêu
đơn vị, x, sẽ cung cấp tổng doanh thu tối đa (đô la)? Tìm doanh thu tối đa.
(b) Tìm doanh thu tối đa nếu mức sản xuất được giới hạn tối đa 200 máy xay.
Problem 4. Nếu hàm tổng doanh thu của một máy tính là R(x) = 2000x − 20x2 − x3, tìm mức độ bán
hàng, x, để tối đa hóa doanh thu và tìm doanh thu tối đa bằng đô la.
Problem 5. Một công ty có tổng doanh thu do R(x) = 2800x − 8x2 − x3 đô la. Trong đó, x là số đơn vị
của sản phẩm. Tìm doanh thu tối đa từ việc bán sản phẩm đó.
Problem 6. Một một hãng du lịch (agency) tính phí 100 đô la mỗi người cho một chuyến đi xem hòa
nhạc nếu 70 người đi du lịch trong một nhóm. Nhưng đối với mỗi người trên 70 tuổi, phí sẽ giảm xuống
1 đô la. Có bao nhiêu người sẽ tối đa tổng doanh thu cho hãng nếu chuyến đi bị giới hạn tối đa 90 người?
Problem 7. Một công ty xử lý một tòa nhà chung cư (apartment building) với 70 phòng. Kinh nghiệm
cho thấy nếu cho thuê mỗi phòng là $1080 mỗi tháng, thì tất cả các phòng sẽ được thuê hết, nhưng 1
phòng sẽ bị bỏ trống cho mỗi lần tăng $20 trong tỷ giá hàng tháng. Giá thuê là bao nhiêu để tối đa hóa
tổng doanh thu từ tòa nhà nếu giới hạn trên của tiền thuê là $1300 mỗi tháng?
Problem 8. Một công ty truyền hình cáp (cable TV company) có 4000 khách hàng trả tiền 110 đô la
mỗi tháng. Nếu mỗi lần giảm giá $1 sẽ thu hút 50 khách hàng mới, tìm mức giá mang lại lợi nhuận tối
đa doanh thu. Tìm doanh thu tối đa.
Problem 9. Nếu các thành viên câu lạc bộ được tính phí $5 trên vé để vào xem một chiếc xe cổ, thì thấy
có 1000 người sẽ tham dự. Mỗi lần tăng giá 1 đô la, thì sẽ có ít hơn 100 người tham dự. Giá nào sẽ đưa
ra để doanh thu đạt được tối đa? Tìm doanh thu tối đa
Problem 10. Tìm số đơn vị sản phẩm được sản xuất, x, sao cho chi phí trung bình (tính theo USD)
trên mỗi đơn vị sản phẩm là nhỏ nhất. Tìm chi phí trung bình nhỏ nhất đó. 1. C(x) = 250 + 33x + 0.1x2 2. C(x) = 300 + 10x + 0.03x2 3. C(x) = 810 + 0.1x2 4. C(x) = 250 + 6x + 0.1x2 5. C(x) = 100(0.02x + 4)3 6. C(x) = (x + 5)3
Problem 11. Tìm số đơn vị sản phẩm được sản xuất, x, sao cho lợi nhuận (tính theo USD) là lớn nhất.
Tìm lợi nhuận lớn nhất đó.
1. P (x) = 5600x + 85x2 − x3 − 200, 000
2. P (x) = 6400x − 18x2 − 1 x3 − 40, 000 3 TS. Đặng Văn Hiếu 1
Problem 12. Tìm số đơn vị sản phẩm được sản xuất, x, sao cho lợi nhuận (tính theo USD) là lớn nhất
và tìm lợi nhuận lớn nhất đó, nếu hàm chi phí và hàm tổng thu nhập có dạng:
1. C(x) = 45, 000 + 100x + x3, R(x) = 4600x
2. C(x) = 800 + 100x2 + x3, R(x) = 60, 000x − 50x2
Problem 13. Một công ty chỉ có thể sản xuất 1000 chiếc mỗi tháng. Tổng chi phí hàng tháng được cho
bởi C(x) = 300 + 200x đô la, trong đó x là số lượng sản phẩm được sản xuất. Nếu tổng doanh thu được
cho bởi R(x) = 250x − 1001x2 đô la, thì có bao nhiêu các mặt hàng, x, công ty nên sản xuất để đạt lợi
nhuận tối đa? Tìm lợi nhuận tối đa.
Problem 14. Một công ty có thể sản xuất 100 chiếc mỗi tuần. Nếu tổng chi phí của nó hàm là C =
500 + 1500x đô la và hàm tổng doanh thu của nó là R = 1600x − x2 đô la, bao nhiêu đơn vị, x, công ty
nên sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận của nó? Tìm lợi nhuận tối đa.
Problem 15. Một công ty xử lý một tòa nhà chung cư với 50 căn hộ. Kinh nghiệm cho thấy rằng nếu
tiền thuê mỗi căn hộ là $720 mỗi tháng, tất cả các đơn vị sẽ được thuê hết. Nhưng 1 căn sẽ bị bỏ trống
cho mỗi lần tăng $20 hàng tháng này. Nếu chi phí duy trì hàng tháng tòa nhà chung cư là $12 cho mỗi
căn hộ, thì tiền thuê căn hộ nên là bao nhiêu mỗi tháng để tối đa hóa lợi nhuận?
Problem 16. Một công ty du lịch sẽ lên kế hoạch cho một chuyến tham quan cho các nhóm có quy mô
25 hoặc lớn hơn. Nếu nhóm chứa chính xác 25 người, chi phí là $500 mỗi người. Tuy nhiên, chi phí của
mỗi người được giảm $10 cho mỗi người bổ sung trên 25. Nếu công ty du lịch phải chịu chi phí $125 mỗi
người cho chuyến tham quan, thì quy mô nhóm như thế nào để mang lại lợi nhuận cho công ty là tối đa?
Problem 17. Một công ty có chi phí trung bình hàng tháng, tính bằng đô la, được cho bởi 45.000 C = + 100 + x x
trong đó x là số đơn vị được sản xuất mỗi tháng. Công ty có thể bán sản phẩm của mình trong một thị
trường cạnh tranh với giá $1600 mỗi chiếc. Nếu sản xuất giới hạn 600 chiếc mỗi tháng, hãy tìm số đơn
vị mang lại lợi nhuận tối đa và tìm lợi nhuận tối đa.
Problem 18. Hàm cầu (hàng tuần) đối với x đơn vị sản phẩm chỉ được bán bởi một công ty là p = 600− 1 x 2
đô la, và chi phí sản xuất và bán hàng trung bình là C = 300 + 2x USD.
(a) Tìm số lượng sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận.
(b) Tìm giá bán tại số lượng tối ưu này.
(c) Lợi nhuận tối đa là bao nhiêu?
Problem 19. Câu hỏi như Bài tập 18 cho các hàm sau đây:
(a) p = 8000 − x, C = 4000 + 5x
(b) p = 1960 − x2/3, C = 1000 + 2x + x2
Problem 20. Công ty Coastal Soda Sales đã được cấp độc quyền thị trường cho lễ hội Beaufort Seafood
Festival sắp tới. Điều này có nghĩa là trong lễ hội, Coastal sẽ có độc quyền, và công ty nóng lòng muốn
tận dụng lợi thế này trong chiến lược định giá của nó. Hàm cầu hàng ngày là p = 2 − 0.0004x
và hàm tổng chi phí hàng ngày là C(x) = 800 + 0.2x + 0.0001x2
trong đó x là số đơn vị.
(a) Xác định tổng doanh thu và lợi nhuận của Coastal Sode.
(b) Mức giá bao nhiêu mà công ty tính để tối đa lợi nhuận? Bao nhiêu nước Soda được bán ở mức giá
này? Lợi nhuận là bao nhiêu?
(c) Nếu ban tổ chức lễ hội muốn đặt một mức giá hiệu quả kinh tế là $1,25 cho mỗi lon nước ngọt,
thì điều này sẽ thay đổi kết quả từ phần (b) như thế nào? Côn ty Coastal Soda có sẵn sàng cung cấp nước
ngọt cho lễ hội với mức giá quy định này không? Tại sao?
Problem 21. Một người về hưu từ một công ty dịch vụ tài chính lớn ở Atlanta muốn tăng thêm thu nhập
khi về hưu đã quyết định mở một công ty nghệ thuật dân gian cao cấp (upscale folk art company) tên là
Sand Dollar Art ở gần Charleston, Nam Carolina. Công ty sản xuất và bán trong một thị trường cạnh
tranh thuần túy và áp dụng thông tin thị trường hàng tháng cho x đơn vị với p đô la trên mỗi đơn vị: TS. Đặng Văn Hiếu 2 Nhu cầu: p = 2000 − 4.5x Cung cấp: p = 100 + 0.25x
(a) Tìm số lượng và giá cân bằng thị trường cho thị trường này.
(b) Nếu hàm chi phí hàng tháng của Sand Dollar Art là C(x) = 400 + 100x + x2.
Tìm số đơn vị sản phẩm để lợi nhuận đạt tối đa hàng tháng. Tìm tổng doanh thu và chi phí hàng tháng.
Lợi nhuận mà công ty Sand Dollar Art kiếm được hàng tháng?
(c) Giả sử rằng Sand Dollar Art là đại diện của các công ty trong thị trường cạnh tranh này. Mức
chia sẻ của công ty đối với thị trường này là bao nhiêu?
Problem 22 (Modeling Social Security beneficiaries). Số người (triệu) thụ hưởng an sinh xã hội (Social
Security beneficiaries) cho các năm, từ 1950 và dự kiến đến năm 2030, được đưa ra trong Bảng 1.
Bảng 1: Số người thụ hưởng an sinh xã hội - Nguồn: Social Security Trustees Report Năm Số người (triệu) Năm Số người (triệu) 1950 2.9 2000 45.2 1960 14.3 2010 53.4 1970 25.2 2020 69.1 1980 35.1 2030 84.7 1990 39.5
(a) Tìm hàm lập phương mô hình hóa những dữ liệu này, với x bằng số năm trước 1950 (Báo cáo mô
hình có 3 chữ số có nghĩa)
(b) Tìm điểm uốn của đồ thị mô hình cho x ≥ 0.
(c) Vẽ đồ thị cho hàm này và thảo luận về điểm uốn của đồ thị. Tài liệu
[1] Ronald J. Harshbarger, James J. Reynolds, [2019], Mathematical Applications for the Management,
Life, and Social Sciences, 12th ed., Cengage Learning. TS. Đặng Văn Hiếu 3