Nguyên hàm và ứng dụng trong kinh tế - Toán Kinh Tế | Trường Đại học Tôn Đức Thắng

TOÁN KINH TẾ
(Nguyên hàm và ứng dụng trong kinh tế)
Problem 1. Trong các bài tập dưới đây, chi phí, doanh thu và lợi nhuận được tính trong USD và x là số đơn vị sản phẩm.
1. Chi phí cận biên hàng ngày M C = 2x + 10 và chi phí cố định là 200 USD. Tìm hàm chi phí mỗi ngày.
2. Chi phí cận biên hàng tháng M C = x + 30 và chi phí cố định là 5000 USD. Tìm hàm chi phí mỗi tháng.
3. Chi phí cận biên hàng tháng M C = 2x + 2 và chi phí cho sản xuất 10 đơn vị sản phẩm là 300 USD.
Tìm hàm chi phí mỗi tháng.
4. Chi phí cận biên hàng tháng M C = 4x + 40 và chi phí cho sản xuất 25 đơn vị sản phẩm là 3000
USD. Tìm chi phí cho sản xuất 30 đơn vị sản phẩm.
5. Chi phí cận biên hàng tháng M C = 140 + 0.15√x và chi phí cho sản xuất 100 đơn vị sản phẩm là
25000 USD. Tìm hàm chi phí và chi phí cố định mỗi tháng.
6. Chi phí cận biên cho việc sản xuất là M C = 88 .
x và chi phí cố định là 6200 USD. Tìm − 2e−0 01
hàm chi phí và chi phí cho sản xuất 20 đơn vị sản phẩm.
7. Công ty biết rằng chi phí cận biên cho việc sản xuất là M C = 3x + 20, doanh thu cận biên là
M R = 44 − 5x và chi phí cho sản xuất 80 sản phẩm là 11200 USD.
(a) Tìm mức sản xuất tối ưu (b) Tìm hàm lợi nhuận
(c) Tìm lợi nhuận hoặc thua lỗ tại mức sản xuất tối ưu.
8. Công ty biết rằng chi phí cận biên cho việc sản xuất là M C = 6x + 60, doanh thu cận biên là
M R = 180 − 2x và chi phí cho sản xuất 10 sản phẩm là 1000 USD.
(a) Tìm mức sản xuất tối ưu (b) Tìm hàm lợi nhuận
(c) Tìm lợi nhuận hoặc thua lỗ tại mức sản xuất tối ưu.
(d) Việc sản xuất có nên được tiếp tục trong thời gian ngắn hay không?
(e) Việc sản xuất có nên được tiếp tục trong thời gian dài hay không?
9. Giả sử rằng doanh thu cận biên của một sản phẩm là M R = 900 và chi phí cận biên là M C =
30√x + 4, với chi phí cố định là 1000 USD.
(a) Tìm lãi hoặc khoản lỗ từ việc sản xuất và bán 5 căn.
(b) Bao nhiêu đơn vị được sản xuất sẽ dẫn đến lợi nhuận tối đa?
10. Giả sử rằng doanh thu cận biên của một sản phẩm là M R = 80x và chi phí cận biên là M C =
60√x + 1, với chi phí cố định là 340 USD. Tìm lợi nhuận thu được hoặc khoản lỗ nếu sản xuất và
bán: (a) 3 sản phẩm (b) 8 sản phẩm
11. Chi phí trung bình của một sản phẩm thay đổi với tốc độ 6 1 C′ = − + x2 6
và chi phí trung bình cho 6 sản phẩm là 10 USD.
(a) Tìm hàm chi phí trung bình
(b) Tìm chi phí trung bình cho việc sản xuất 12 sản phẩm.
12. Chi phí trung bình của một sản phẩm thay đổi với tốc độ 10 1 C′ = + − x2 10
và chi phí trung bình cho 10 sản phẩm là 20 USD.
(a) Tìm hàm chi phí trung bình
(b) Tìm chi phí trung bình cho việc sản xuất 20 sản phẩm. TS. Đặng Văn Hiếu 1
Problem 2. Giả sử chi phí cận biên và doanh thu cận biên cho một sản phẩm có dạng M C = 1.05(x + 180)0.05 và M R = 2.8 + 1 √
, trong đó x tính theo ngàn đơn vị, và chi phí và doanh thu tính theo 0.5x+4
ngàn USD. Chi phí cố định là 200,000 USD và mức sản xuất tối đa 200,000 đơn vị sản phẩm. (a) Tìm C(x) và R(x)
(b) Vẽ đồ thị của C(x) và R(x) để xác định liệu có lợi nhuận được tạo ra.
(c) Xác định mức sản suất để đạt lợi nhuận tối đa. Tìm lợi nhuận tối đa (hoặc khoản lỗ tối thiểu)
Problem 3. Như Bài tập 2 nhưng cho các hàm M C = 1.02(x + 200)0.02 và M R = 1.75 + 2 √ . Chi 4x+1
phí cố định là 150,000 USD và mức sản xuất tối đa 200,000 đơn vị sản phẩm.
Problem 4. Nếu tiêu dùng quốc gia là 7 tỷ đô la khi thu nhập khả dụng (disposable income) là 0 USD,
và nếu xu hướng tiêu dùng cận biên là 0.8, hãy tìm hàm tiêu dùng quốc gia (tính bằng tỷ đô la).
Problem 5. Nếu tiêu dùng quốc gia là 9 tỷ đô la khi thu nhập khả dụng (disposable income) là 0 USD,
và nếu xu hướng tiêu dùng cận biên là 0.30, hỏi tiêu dùng quốc gia là bao nhiêu khi thu nhập khả dụng là 20 tỷ đô la?
Problem 6. Nếu tiêu dùng quốc gia là 8,7 tỷ đô la khi thu nhập khả dụng (disposable income) là 1 tỷ
USD và nếu xu hướng tiêu dùng cận biên là dC 0.2 = 0.3 + dy √y
Tìm hàm tiêu dùng quốc gia
Problem 7. Nếu tiêu dùng quốc gia là 6 tỷ đô la khi thu nhập khả dụng (disposable income) là 0 USD
và nếu xu hướng tiêu dùng cận biên là dC 1 = 0.4 + dy √y + 1
Tìm hàm tiêu dùng quốc gia
Problem 8. Nếu tiêu dùng quốc gia là 5.65 tỷ đô la khi thu nhập khả dụng (disposable income) là 0 USD
và nếu xu hướng tiêu dùng cận biên là dC = 0.7 dy − e−2y
Tìm hàm tiêu dùng quốc gia
Problem 9 (Tổng sản phẩm quốc nội (Gross domestic product)). Với dữ liệu của Cơ quan Quản lý An
sinh Xã hội từ năm 1995 và dự kiến đến năm 2070, tổng sản phẩm quốc nội (GDP), G (tỷ USD) có thể được mô hình hóa bằng dG = 0.05317G, G(15) = 12, 145. dt
trong đó t là số năm trước 1990 (và do đó G(15) là GDP năm 2005).
(a) Tìm nghiệm cho phương trình vi phân này.
(b) Dự báo của Cơ quan An sinh Xã hội về GDP năm 2020 là 27,683 tỷ USD. Mô hình dự đoán điều gì cho GDP năm 2020?
Problem 10 (Tác động của lạm phát (Impact of Inflation)). Tác động của tốc độ lạm phát 5% lên một
khoản lương hưu 80.000 USD mỗi năm có thể là rất nghiêm trọng. Nếu P đại diện cho sức mua (tính
bằng đô la) của 80.000 USD lương hưu, thì ảnh hưởng của tốc độ lạm phát 5% có thể được mô hình hóa bởi phương trình vi phân dP = dt −0.05P, P (0) = 80, 000. trong đó t tính theo năm.
(a) Tìm nghiệm cho phương trình vi phân này. (b) Tìm sức mua sau 15 năm
Problem 11 (Alzheimer’s disease). Tốc độ thay đổi của số lượng người Mỹ trên 65 tuổi mắc bệnh
Alzheimer (triệu người mỗi năm) trong các năm từ 2000 và dự kiến đến 2050 có thể được mô hình hóa bởi phương trình vi phân dA = 0.0228A dt TS. Đặng Văn Hiếu 2
trong đó t là số năm sau năm 2000 (Nguồn: Hiệp hội bệnh Alzheimer).
(a) Biết rằng năm 2010 bệnh Alzheimer đã ảnh hưởng tới 5,15 triệu người Mỹ trên 65 tuổi. Tìm
nghiệm cho phương trình vi phân. Mô hình mô tả số lượng người Mỹ trên 65 tuổi bị bệnh Alzheimer.
(b) Sử dụng mô hình được tìm trong phần (a) để dự đoán số người Mỹ trên 65 tuổi mắc bệnh Alzheimer bệnh năm 2035. Tài liệu
[1] Ronald J. Harshbarger, James J. Reynolds, [2019], Mathematical Applications for the Management,
Life, and Social Sciences, 12th ed., Cengage Learning. TS. Đặng Văn Hiếu 3