Đề cương Lý thuyết + Bài tập học phần Giải tích 1 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

MI1112 GIÀI TÍCH I
1. Tên học phần: GiÁi tích I – Analysis I
2. Mã học phần: MI1112
3. Khối lượng: 3 (2-2-0-8) • Lý thuyết: 30 tiết • Bài tập: 30 tiết • Thí nghiệm:
4. Đối tượng tham dự: Sinh viên đại học nhóm ngành 2, từ học kỳ 1
5. Điều kiện học phần:
• Học phần tiên quyết
• Học phần học trước • Học phần song hành
6. Mục tiêu học phần và kết quÁ mong đợi: Cung cấp cho sinh viên những kiến thāc cơ
bản về hàm số một biến số, làm cơ sở để có thể học tiếp các học phần sau về toán cũng như các môn kỹ thuật khác.
Māc độ đóng góp cho các tiêu chí đầu ra cÿa chương trình đào tạo: Tiêu chí 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 Māc độ GT GT SD GT GT SD SD SD
7. Nội dung vắn tắt học phần
: Giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân cÿa hàm số một biến
số. Tích phân cÿa hàm số một biến số.
8. Tài liệu học tập:
• Sách, giáo trình chính
[1]. Nguyễn Đình Trí (chÿ biên), Trần Việt Dũng, Trần Xuân Hiển, Nguyễn Xuân
Thảo, Toán học cao cấp tập 2: Giải tích 4
, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2015, 42 trang.
[2]. Nguyễn Đình Trí (chÿ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học
cao cấp tập 2: Phép tính giải tích một biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000, 256 trang.
[3]. Nguyễn Đình Trí (chÿ biên), Tạ Văn Đình, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập toán học
cao cấp tập 3: Phép tính giải tích nhiều biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1999, 499 trang. • Sách tham khảo:
[1]. Trần Bình: Giải tích I, Phép , N
tính vi phân và tích phân của hàm một biến XB
Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 1998, 359 trang.
[2]. Trần Bình: Giải tích II và III, Phép tính vi phân và tích phân của hàm nhiều
biến, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2005, 575 trang. [3]. Trần Bình, , NXB Đại học quốc
Hướng dẫn giải bài tập giải tích toán học, tập 1
gia Hà Nội, 2001, 394 trang.
[4]. Trần Bình, Bài tập giải sẵn giải tích II, NXB Khoa học và kỹ thuật, Hà Nội, 2001, 400 trang.
9. Phương pháp học tập và nhiệm vụ của sinh viên
Đặc thù cÿa học phần : Phương pháp học tập
Dự lớp: đầy đÿ theo qui chế
Bài tập : hoàn thành các bài tập cÿa học phần
Dự kiểm tra giữa kỳ : Tự luận, 60 phút, sau
khi học tám tuần, Viện tổ chāc, nội dung
từ hàm một biến số đến hết cực trị cÿa hàm số.
10. Đánh giá kết quÁ: QT (0.3) - T (0.7)
• Điểm quá trình trọng số 0.3
• Điểm thi cuối kỳ (trắc nghiệm hoặc tự luận ) trọng số 0.7
11. Nội dung và kế ho¿ch học tập cụ thể Giáo BT,T Tuần Nội dung trình N, …
Chương 1. Phép tính vi phân hàm một biến số (18 LT+ 18 BT)
1.1 Mở đầu
1.2 Định nghĩa hàm số, một số khái niệm cơ bản về hàm số, hàm 1.1 - 1 hợp, hàm ngược 1.3
1.3 Các hàm số sơ cấp cơ bản : Hàm lượng giác ngược, hàm
hyperbolic, khái niệm hàm số sơ cấp 1.4
Giới hạn hàm số: các phép toán và tính chất. Giới hạn cÿa
hàm hợp, giới hạn một phía, giới hạn ở vô cực và giới hạn vô cực 1.4 2
1.5 Các khái niệm vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL), so 1.5
sánh các VCB, VCL, các tính chất và các quy tắc ngắt bỏ VCB, VCL 1.6
Hàm số liên tục, liên tục một phía và các tính chất. Điểm gián
đoạn cÿa hàm số, phân loại điểm gián đoạn
1.7 Đạo hàm và vi phân 1.6 3
- Một số khái niệm cơ bản 1.7
- Đạo hàm một phía, mối quan hệ giữa đạo hàm và đạo hàm
một phía, mối quan hệ giữa đạo hàm và liên tục. -
Đạo hàm cÿa hàm hợp, Đạo hàm cÿa hàm số ngược
- Vi phân: định nghĩa, ý nghĩa hình học, āng dụng vi phân để
tính gần đúng. Mối liên hệ giữa hàm số có đạo hàm và hàm 4
khả vi. Vi phân cÿa hàm hợp và tính bất biến cÿa vi phân 1.7, cấp một
- Đạo hàm và vi phân cấp cao 1.8 -
Các định lý về hàm khả vi và āng dụng 5 1.8
- Các định lý Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy
- Các công thāc khai triển Taylor, Maclaurin 6
- Các quy tắc L’Hospital để khử dạng vô định, āng dụng 1.8
khai triển hữu hạn để tìm giới hạn
- Hàm số đơn điệu và các tính chất 7
- Bất đẳng thāc hàm lồi 1.8 - Cực trị cÿa hàm số 8 1.9
1.9 Giới thiệu các loại đường cong
- Hàm số y=f(x) (khảo sát) 9
THI GIỮA KỲ : Từ mục 1.1 đến hết mục 1.8 - Đường cong cho dạng tham số 10 1.9
- Đường cong cho trong toạ độ cực Chương 2
. Phép tính tích phân hàm một biến số (12 LT+ 12 BT)
2.1 Tích phân bất định 11
- Một số khái niệm cơ bản 2.1
- Tích phân các hàm phân thāc hữu tỉ
- Tích phân các lượng giác, vô tỉ. Một số ví dụ đơn giản về
phép đổi biến Euler 2.1, 12
2.2 Tích phân xác định 2.2
- Định nghĩa, ý nghĩa hình học, cơ học - Tiêu
chuẩn khả tích. Các tính chất cÿa tích phân xác định - -
Công thāc đạo hàm theo cận, công thāc Newton Leibniz
- Các phương pháp tính 2.2, 13
2.3 Tích phân suy rộng (TPSR): 2.3
- TPSR loại 1: Định nghĩa, ý nghĩa hình học, các khái niệm
hội tụ, phân kỳ, giá trị cÿa tích phân
- TPSR loại 1: TPSR cÿa hàm số không âm, các định lý so 14
sánh, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 2.3
- TPSR loại 2: Định nghĩa, ý nghĩa hình học, các khái niệm
hội tụ, phân kỳ, giá trị cÿa tích phân, TPSR cÿa hàm số 2.3, 15
không âm, các định lý so sánh, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ 2.4
2.4 Āng dụng cÿa tích phân xác định
- Sơ đồ tổng tích phân, vi phân
- Tính diện tích miền phẳng, mặt tròn xoay; thể tích vật thể; 16 độ dài cung phẳng 2.4
12. Nội dung các bài thí nghiệm (thực hành, tiểu luận, bài tập lớn)
Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng và Tin học
ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K62 Nhóm ngành 2 Mã số : MI 1112
1) Kiểm tra giữa kỳ hệ số 0.3: Tự luận, 60 phút.
Nội dung: Chương 1 đến hết mục 1.8, Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng.
2) Thi cuối kỳ hệ số 0.7: Tự luận, 90 phút. Chương 1
Phép tính vi phân hàm một biến số 1.1-1.4. Dãy số, hàm số
1. Tìm tập xác định của các hàm số √ √ a) y = arccotx − 5π x c) y = sinπx 2x b) y = arcsin 1 + x d) y = arccos (sin x).
2. Chứng minh các đẳng thức sau a) sinh(−x) = − sinh x, b) cosh2 x − sinh2 x = 1,
c) sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y,
d) cosh(x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y, e) sinh 2x = 2 sinh x cosh x,
f) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x.
3. Tìm miền giá trị của hàm số 1 a) y = lg (1 − 2 cos x) c) y = arctan(sin x)  x  b) y = arcsin lg 10 d) y = arctan(ex). 4. Tìm f(x) biết  1    a) 1 x f x + = x2 + b) f = x2. x x2 1 + x
5. Tìm hàm ngược của hàm số a) y = 2 arcsin x 1 1 b) − x y = c) y = (ex − e−x). 1 + x 2
1.5-1.6. Giới hạn hàm số 6. Tìm giới hạn √ √ √ a) lim 1 1 + x − 1 m 1 + αx − n 1 + βx x→0 x x d) lim x→0 x x100 b) − 2x + 1 √ √ lim
e) lim x  x2 + 2x − 2 x2 + x + x x→1 x50 − 2x + 1 x→+∞ √ √
c) lim  3 x3 + x2 − 1 − x f) lim 1+4x−1 x→+∞ x→0 ln(1+3x) 7. Tìm giới hạn √ √ ln(x + arccos3 x) cos x cos x a) − ln x − 3 lim c) lim x→0+ x2 x→0 sin2x √ √ 1 x x b) − cos x cos 2 cos 3 lim sin x + 1 − sin x d) lim . x→+∞ x→0 1 − cos x 8. Tìm giới hạn √ √ x 1 −  
d) lim n2 ( n x − n+1 x) , x > 0. x+1 a) x2 − 1 lim n→∞ x→∞ x2 + 1  x √ e) lim sin 1 + cos 1 . x x b) 1 lim (cos x) x→∞ x x→0+ f) lim (1 + sin πx)cotπx c) lim ln(1+4sinx) x→1 2 x→0 3x−1
g) lim [(x + 2) ln(x + 2) − 2(x + 1) ln(x + 1) + x ln x]. x→∞
9. So sánh các cặp VCB sau: a) √ α(x) = px +
x và β(x) = esin x − cos x, khi x → 0+. √ √
b) α(x) = 3 x − x và β(x) = cos x − 1, khi x → 0+.
c) α(x) = x3 + sin2 x và β(x) = 1 − cos x, khi x → 0. 1.7. Hàm số liên tục
10. Tìm a để hàm số liên tục tại x = 0  1 − cos x  , nếu x  6= 0, a) f(x) = x2  a, nếu x = 0.   ax2 + bx + 1, nếu x ≥ 0, b) g(x) =  a cos x + b sin x, nếu x < 0.
11. Hàm f(x) sau liên tục tại những giá trị x nào?     0, nếu x hữu tỉ , 0, nếu x hữu tỉ , a) f(x) = b) g(x) =   1, nếu x vô tỉ . x, nếu x vô tỉ .
12. Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại gì của hàm số 8 a) y = sin 1x 1 − 2cot x c) y = 1 e x + 1 eax − ebx b) y = 1 arcsin x d) y = , (a 6= b) x x 1.8. Đạo hàm và vi phân 3   1 − x, nếu x < 1,    
13. Tìm đạo hàm của hàm số f(x), biết f(x) = (1 − x)(2 − x), nếu 1 ≤ x ≤ 2,      x − 2, nếu x > 2.
14. Tính f0(x) biết f0(2017x) = x2.
15. Với điều kiện nào thì hàm số  1  xn sin , nếu x 6= 0, f (x) = x (n ∈ Z)  0, nếu x = 0 a) Liên tục tại x = 0
c) Có đạo hàm liên tục tại x = 0. b) Khả vi tại x = 0
16. Trong năm 2016, GDP (tổng thu nhập quốc dân) của Việt Nam theo
đầu người là 6.421 USD, dân số (ước tính) 95.414.640, tốc độ tăng trưởng
GDP 6,2%, tốc độ tăng dân số 1,1%. Xác định GDP và tốc độ tăng trưởng
GDP của Việt Nam trong năm 2016.
17. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x − a|ϕ(x), trong đó ϕ(x) là một
hàm số liên tục và ϕ(a) 6= 0, không khả vi tại điểm x = a.
18. Tìm vi phân của hàm số 1 x   a) 1 x − a y = arctan , (a 6= 0) c)   y = ln , (a a a   6= 0) 2a  x + a  x b) √ y = arcsin , (a 6= 0) d) a y = ln  . x + x2 + a 19. Tìm d   d(sin x) d a) sin x b) c) x3 − 2x6 − x9 . d(x2) x d(cos x) d(x3) 4
20. Cho hàm số f(x), biết rằng đường tiếp tuyến với đồ thị của f(x) tại
điểm (4,3) đi qua điểm (0,2), tính f(4) và f0(4).
21. Xét phản ứng hóa học: NaOH + HCl = NaCl + H2O trong dung dịch.
Ban đầu, nồng độ NaOH và HCl có giá trị a mol/l. Khi đó nồng độ chất
NaCl sẽ có giá trị: x = a2kt , với k là hằng số. akt+1
a) Xác định tốc độ phản ứng (số mol NaCl tạo thành trong một đơn vị
thời gian) theo thời gian t.
b) Chứng minh rằng x0(t) = k(a − x)2.
22. Phương trình chất khí lý tưởng có dạng pV = nRT với T là nhiệt độ
tuyệt đối (K), p là áp suất (atm), V là thể tích (l) và R là hằng số chất khí
(0, 0821l.atm.mol−1.K−1). Tại một thời điểm nào đó, áp suất p = 8atm và
tăng với vận tốc 0,1 atm/phút, thể tích V = 10l và giảm với vận tốc 0,15
l/phút. Tìm tốc độ thay đổi nhiệt độ của chất khí tại thời điểm nói trên
biết rằng số mol khí n = 10.
23. Nếu C(x) là chi phí sản xuất của x đơn vị một mặt hàng nào đó. Khi
đó chi phí biên là C0(x) cho biết chi phí phải bỏ ra khi muốn tăng sản
lượng thêm một đơn vị. Cho hàm
C(x) = 2000 + 3x + 0, 01x2 + 0, 0002x3.
Tìm hàm chi phí biên, xác định chi phí biên tại x = 100, giá trị đó nói lên điều gì?
24. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số x2 x2 a) y = , tính y(8) c) y = , tính y(8) 1 − x 1 − x 1 + x b) y = √ , tính y(100) 1 − x d) y = x2 sin x, tính y(50). 5
25. Tính đạo hàm cấp n của hàm số x x a) y = c) y = √ e) y = sin4 x + cos4 x x2 − 1 3 1 + x 1 b) y = 1 x2 − 3x + 2 d) y = eax sin(bx + c). f) y = xn−1ex
26. Tính vi phân cấp cao của các hàm số
a) y = (2x + 1) sin x. Tính d10y(0). c) y = x9 ln x. Tính d10y(1). b) y = ex cos x. Tính d20y(0) d) y = x2eax. Tính d20y(0)
27. Trong hệ sinh thái, mô hình thú săn mồi - con mồi thường được sử
dụng để tìm hiểu sự tương tác giữa các loài. Xét số lượng của sói rừng
và hươu theo thời gian W (t) và C(t). Sự tương tác được mô tả theo các phương trình: C0(t) = aC(t) − bC(t)W (t)
W 0(t) = −cW (t) + dC(t)W (t),
với a, b, c, d là các hằng số.
a) Với các giá trị nào của C(t) và W (t) thì hệ ổn định (số lượng sói và hươu không đổi).
b) Với điều kiện nào thì một trong hai loài tuyệt chủng.
c) Với điều kiện nào thì cả hai loài sẽ tuyệt chủng.
28. Trong một hồ nuôi cá, cá trong hồ liên tục được sinh ra và khai thác.
Số lượng cá trong hồ P được mô tả bởi phương trình:  P (t) P 0(t) = r0 1 − P (t) − βP (t) Pc
với r0 là tỉ lệ sinh sản, Pc là số lượng cá lớn nhất hồ có thể duy trì, β là tỉ
lệ khai thác. Cho Pc = 10000, tỉ lệ sinh sản và tỉ lệ khai thác tương ứng là 6
5% và 4%. Tìm số lượng cá ổn định.
1.9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng
29. Chứng minh rằng ∀a, b, c ∈ R, phương trình
a cos x + b cos 2x + c cos 3x = 0
có nghiệm trong khoảng (0, π).
30. Chứng minh rằng phương trình xn + px + q = 0 với n nguyên dương
không thể có quá 2 nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ. f (b) − f(a)
31. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng f 0(c) = không g(b) − g(a) g0(c)
áp dụng được đối với các hàm số f(x) = x2, g(x) = x3, −1 ≤ x ≤ 1.
32. Chứng minh bất đẳng thức
a) |sin x − sin y| ≤ |x − y| a b) − b a a − b < ln < , 0 < b < a a b b c) b−a < arctan b , 0 < a < b. 1+ − arctan a < b−a b2 1+a2
33. Tồn tại hay không hàm f sao cho f(0) = −1, f(2) = 4 và f0(x) ≤ 2 với mọi x? 34. Tìm giới hạn q √ √  πx a) lim x + px + x − x e) lim tan ln(2 − x) x 2 x→+∞ →1  x 1  1 b) lim − f) lim 1 − atan2xxsinx x→1 x − 1 ln x x→0 1 e x − cos 1 c) lim x tan π x 2 x→∞ q g) lim 1 − 1 − 1 ln(1 − x) x2 x→1− d) ex sin x − x(1 + x) lim h) lim (1 − cos x)tanx. x→0 x3 x→0 7
35. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi x → 0 1 1 a b f (x) = − − − sin3x x3 x2 x
36. Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f00(x) trên
(a, b). Chứng minh rằng với mọi x ∈ (a, b) có thể tìm được ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f(a) (x − a)(x − b) f (x) − f(a) − (x − a) = f 00(c). b − a 2
37. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số
a) y = x4 + x2 − x + 1 b) y = arctan x − x c) y = x + |sin 2x|
38. Chứng minh bất đẳng thức
a) 2x arctan x ≥ ln 1 + x2 với mọi x ∈ R x2 b) x −
≤ ln(1 + x) ≤ x với mọi x ≥ 0. 2
39. Tìm cực trị của hàm số 3x2 + 4x + 4 p 2 a) c) y = 3 (1 − x)(x − 2) y = x2 + x + 1 b) 2 2 y = x − ln(1 + x) d) y = x3 + (x − 2)3.
40. Một nhà bán lẻ bán 1200 TV một tuần ở mức giá 35 triệu. Một nghiên
cứu thị trường chỉ ra, cứ giảm giá 1 triệu thì lượng bán sẽ tăng lên 80 chiếc
một tuần. Giá thành sản xuất trong tuần là x chiếc TV là: C(x) = 350+12x (triệu).
a) Tìm hàm đơn giá và hàm doanh thu (theo lượng bán).
b) Cửa hàng nên bán ở mức giá bao nhiêu để cực đại doanh thu?
c) Tìm giá bán để cực đại lợi nhuận. 8
41. Cho f(x) là hàm lồi trên đoạn [a, b], chứng minh rằng ∀c ∈ (a, b), ta có: f (c) − f(a) f (b) − f(a) f (b) − f(c) ≤ ≤ . c − a b − a b − c
42. Cho x, y > 0, chứng minh các bất đẳng thức sau: a) ex+ey x+y 2
b) x ln x + y ln y ≥ (x + y) ln x+y 2 ≥ e 2
1.10. Khảo sát hàm số, đường cong
43. Tìm tiệm cận của các đường cong sau √ a) y = 3 1 + x3   x = 2t − t2  d) 2016t2  y =  b) 1 − t3 y = ln(1 + e−x)    x = t e) c) y = x3arccotx   y = t + 2 arctan t 1+x2 44. Khảo sát hàm số 2  2t a) − x2 y =  x =  1 + x4 e) 1 − t2 t2   y = √ 1 + t b) y = 3 x3 − x2 − x + 1   x = 2t − t2 f) x4 + 8 c)  y = 3t − t3 y = x3 + 1
g) r = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b) x a d) − 2 y = √ h) r = √ , (a > 0) . x2 + 1 cos 3ϕ 9 Chương 2
Phép tính tích phân hàm một biến số 2.1 Tích phân bất định 1. Tính các tích phân  1  xdx a) √ R 1 − px xdx e) R x2 (x + 2)(x + 5) b) R |x2 − 3x + 2|dx dx f) R dx (x + a)2(x + b)2 c) R √ x x2 + 1 g) R sin x sin(x + y)dx xdx d) R 1 + sin x h) R ( dx. x2 − 1)3/2 sin2x 2. Tính các tích phân a) R arctan xdx dx e) R x + 2 (x2 + 2x + 5)2 b) R √ dx n−1 x2 − 5x + 6 f) R sin x sin(n + 1)xdx xdx c) R √ g) R e−2x cos 3xdx x2 + x + 2 √ d) R x −x2 + 3x − 2dx h) R arcsin2 xdx.
3. Lập công thức truy hồi tính In a) I dx n = R xnexdx b) In = R sinn xdx c) I . n = R cosn x 2.2. Tích phân xác định 4. Tính các đạo hàm d y d y x3 a) R dt et2dt b) R et2dt c) d R √ . dx x dy x dx 1 + x2 t4 10
5. Dùng định nghĩa và cách tính tích phân xác định, tìm các giới hạn  1 1 1 1  a) lim + + + · · · + , (α, β > 0) n→∞ nα nα + β nα + 2β nα + (n − 1)β ! 1 r 1 r 2 r n b) lim 1 + + 1 + + · · · + 1 + . n→∞ n n n n 6. Tính các giới hạn sin x √ x  x 2 R R tan tdt (arctan t)2dt R et2dt a) 0 lim 0 b) lim √ c) lim 0 x x→0+ tan x √ x→+∞ x2 + 1 x→+∞ R sin tdt R e2t2dt 0 0 7. Tính các tích phân sau e 3π/2 π a) r R |ln x| (x + 1) dx 4 c) dx x R e) R arcsin dx 1/e 0 2 + cos x 0 1 + x e 3 sin2x cos x π/2 b) R (x ln x)2dx d) R dx f) R cosnx cos nxdx. 1 0 (1 + tan2x)2 0
8. Chứng minh rằng nếu f(x) liên tục trên [0, 1] thì π/2 π/2 π π π R R a) R f(sin x)dx = R f(cos x)dx b) xf (sin x)dx = f (sin x)dx. 2 0 0 0 0
Áp dụng tính các tích phân sau π π π c) R xsinxdx 2 √ 2 R sin xdx R dx 1+cos2 x d) √ √ e) √ 0 sin x+ cos x 1+(tan x) 2 0 0
9. Cho f(x), g(x) là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Giả sử, f2(x), g2(x) và
f (x).g(x) khả tích trên [a, b], chứng minh bất đẳng thức (với a < b):  2 b   b   b  Z Z Z f (x)g(x)dx f 2(x)dx g2(x)dx   ≤     a a a 11
(Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz) 2.3. Tích phân suy rộng
10. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau 0 +∞ dx a) R xexdx c) R −∞ −∞ (x2 + 1)2 +∞ 1 dx b) R R cos xdx d) . p 0 0 x(1 − x)
11. Xét sự hội tụ của các tích phân sau 1 1 √ +∞ a) dx xdx dx R c) R √ e) R √ 0 tan x − x 0 1 − x4 1 x + x3 1 √ +∞ +∞ x2dx b) xdx ln (1 + x) dx R d) R f) R . 4 2 0 esin x − 1 1 x 0 x − x + 1 +∞
12. Nếu R f(x)dx hội tụ thì có suy ra được f(x) → 0 khi x → +∞ không? 0 +∞
Xét ví dụ R sin x2 dx. 0
13. Cho hàm f(x) liên tục trên [a, +∞) và lim f(x) = A 6= 0. Hỏi x→+∞ +∞ R f (x)dx có hội tụ không. a
2.4. Ứng dụng của tích phân xác định
14. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) Đường parabol y = x2 + 4 và đường thẳng x − y + 4 = 0
b) Parabol bậc ba y = x3 và các đường y = x, y = 2x, (x ≥ 0)
c) Đường tròn x2 + y2 = 2x và parabol y2 = x, (y2 ≤ x) d) Đường y2 = x2 − x4.
15. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ x2 + y2 ≤ a2
và y2 + z2 ≤ a2, (a > 0). 12
16. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 − y2, các mặt
phẳng tọa độ x = 0, z = 0 và mặt phẳng x = a (a 6= 0).
17. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các
đường y = 2x − x2 và y = 0 a) Quanh trục Ox một vòng
b) Quanh trục Oy một vòng.
18. Tính độ dài đường cong ex + 1 a) y = ln
khi x biến thiên từ 1 đến 2. ex − 1   t   x = a cos t + ln tan π b) 2 π khi t biến thiên từ đến (a > 0). 3 2   y = a sin t
19. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo nên khi quay các đường sau π a) y = sin x, 0 ≤ x ≤ quay quanh trục Ox 2 1
b) y = (1 − x)3, 0 ≤ x ≤ 1 quay quanh trục Ox. 3 13