Đề cương môn đại số tuyến tính- Trường Đại học bách khoa - Đại học đà nẵng.

Hỗ trợ Sinh viên Bách Khoa ĐỀ 1
CLB Hỗ trợ Học tập
ĐỀ THI THỬ CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20231 Nhóm ngành 1 và 3
Thời gian làm bài: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi. −
Câu 1. [1đ] Cho ánh xạ f : C → C, f (z) = 2z3 +6(2+3i)z +9(1− i)2. Xác định f 1({14}).
Câu 2. [1đ] Tìm tất cả các số thực λ sao cho tồn tại ma trận X thỏa mãn: 2 10 1 2λ + 3 − 1 λ − 3 3 − λ X = 5 1 5 λ 2
Câu 3. [2đ] Trong không gian véctơ M (
2 R) các ma trận vuông cấp 2, cho các véctơ: 1 1 −2 −1 −1 −2 −2 −1 u 1 = ; u2 = ; u3 = ; u4 = −1 −5 2 4 4 9 5 2
Đặt W1 = span{u1, u2}, W2 = span{u3, u4}. 3 2
a) Tìm số thực m để véctơ u =
thuộc không gian véctơ W = W1 +W2.
3m2 − 6m 2m − 15
b) Xác định một cơ sở và số chiều của không gian con W1 ∩ W2.
Câu 4. [2,5đ]: Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R4 . Biết:
f (1, 0, 0) = (1, 0, 1, 1); f (1, 2, 1) = (3, 3, 2, 4); f (2, 5, 6) = (7, 11, 8, 13)
a) Tìm ma trận của f với cặp cơ sở chính tắc của R3 và R4.
b) f có phải là một đơn cấu không ?
c) Với tích vô hướng chính tắc trên R4, tìm hình chiếu trực giao của v = (1, 1, 4, 1) lên Im f .
Câu 5. [2,5đ] Trên R3, cho dạng toàn phương:
w(x) = 2ax2 + 6x2 + (8 − a)x2 − 4x1x2 − (a − 1)x1x3 − 2x2x3 1 2 3
a) Với giá trị nào của a, tồn tại tích vô hướng tương ứng với dạng toàn phương đã cho?
b) Cho a = 3, tìm một cơ sở mà w có dạng chính tắc, từ đó nhận dạng mặt bậc hai (S) có
phương trình w(x) = 2 trong hệ tọa độ Descartes vuông góc.
Câu 6. [1đ] Giả sử tồn tại các ma trận thực, vuông cấp n là A và B thỏa mãn: AB = 5A + 6B.
Chứng minh rằng rank(A) = rank(B).
Chúc các bạn hoàn thành tốt bài thi!