Đề cương ôn tập môn Toán đại cương | Trường Đại học Công nghệ Giao thông vận tải

BỘ XÂY DỰNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ GTVT Khoa: KHUD ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP
MÔN: TOÁN ĐẠI CƯƠNG (DC1CB51) 1
Ma trận – Định thức - Hệ phương trình tuyến tính 1.1
Ma trận và phép toán trên ma trận
Câu 1. Tìm ma trận X thỏa mãn (X + 2A)T = 3B với     3 1 2 1 2 −4 A =     5 0 2 ; B =  3 2 9      1 4 3 −1 1 2 Câu 2.   1         a 2 0 4 2 10 2 Biết .   − =      . Tính a + b.   4 0 1 3 3 b 13   4
Câu 3. Tìm tất cả các ma trận vuông B cấp 2 sao cho AB = BA biết     −1 0 2 −1 1. A =   2. A =   −1 −1 0 3       1 3 −2 −1 1
Câu 4. Tìm trận vuông X thoả mãn   X +   X =   . 2 4 1 2 3 Câu 5.
a) Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 có bình phương của nó bằng ma trận 0.
b) Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 có bình phương của nó bằng ma trận đơn vị.     1 3 8 7 Câu 6. Cho 2 ma trận A = , B = .    
Tìm ma trận X thoả mãn AX = B − X. 4 4 14 11   −1 6 Câu 7. Cho ma trận A = 
 . Tìm ma trận X thoả mãn X 2 − 2X = A. 0 3
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT 1.2 Định thức Câu 8. 3 a a + 2 Cho định thức D = 2 1
3 . Xác định a để D > 0. 1 0 2
Câu 9. Khai triển theo hàng hoặc cột thích hợp để tính các định thức sau: 0 b 0 5 6 1 3 2 a 3 0 4 4 7 0 −5 1. det A = 3. det C = 1 3 0 d 0 3 5 0 3 2 c 1 0 1 2 3 1 2 3 4 5 4 5 7 0 3 3 a 0 0 5 2 7 3 3 0 2. det B = b 0 0 0 2 4. det D = 4 12 2 0 0 0 0 0 0 d 7 5 0 0 0 c 9 0 2 3 2 0 0 0 0
Câu 10. Cho A là ma trận vuông cấp 3 có det A = 2. Tính det(3A2), det(2A−1). x 1 3
Câu 11. Giải phương trình: 3 x 1 = 0. 1 3 x
Câu 12. Giải phương trình 1 −1 −2 1 1 2 4 4 = 0. 2 3 1 −1 1 x 2x x2 Câu 13. Cho       2 0 0 1 2 3 0 0 2 A =       2
1 0 , B = 4 1 0 , C = 0 3 4       4 5 1 2 0 0 1 2 3
Tính det(A.B), det A−1 và det(ABC).
Câu 14. Cho A, B, C là các ma trận vuông cấp 2 thoả mãn:
det A = 3; det B = 9(det C)2, A.B.C−1 = 2I (I là ma trận đơn vị cấp 2). Tính det B.
Câu 15. Tìm điều kiện của ma trận vuông A sao cho det(−A) = − det A. 2
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT   1 2 0 Câu 16. Cho A =   3 1 −2 . Tính det(A5)   0 1 4
Câu 17. Cho A, B là các ma trận vuông cấp 2 thỏa mãn det A = 2, det B = 3. Tính det(4AB). a 2 2 2 2 a 2 2
Câu 18. Tính định thức D = . 2 2 a 2 2 2 2 a a b c 2x 2y 2z Câu 19. Cho x y
z = 2025. Tính định thức: D = −m −n −p . m n p 2a − x 2b − y 2c − z a b −c d 1 2 −3 4 1 2 −3 4 4 8 −12 17
Câu 20. Cho 2 định thức A = , B = . 4 8 −12 17 6 12 −16 8 3 6 −8 4 3a 3b −3c 3d
Tìm số thực k biết B = k.A. 1.3 Ma trận nghịch đảo
Câu 21. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:       1 2 2 2 3 1 3 −5 7 1. A =       3 5 2. B =  1 −1 0 0 1 2 −3   3. C =   −   1 2 1 0 0 1 2    0 0 0 1   m 1 2
Câu 22. Xác định m để ma trận sau khả nghịch: A =    2 −2 1  .   2 0 −1
Câu 23. Cho A là ma trận vuông thoả mãn A2 − 2A + 2I = 0, trong đó I là ma trận đơn vị
cùng cấp với A. Chứng minh A khả đảo và tìm ma trận nghịch đảo của A.   2 4 0 Câu 24. Cho ma trận A =    1 2 3  .   −2 1 m
Xác định m để ma trận trên khả nghịch, khi đó tìm ma trận nghịch đảo của A. 3
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT
Câu 25. Giải các phương trình ma trận sau:     2 5 4 −6 1.   .X =   1 3 2 1   1 −1 1   6 2 −7 2. X.   1 0 −1 =     15 2 −13 1 1 −2   2 0 2 Câu 26. Cho ma trận B =   1 1
1  . Tìm m để B là khả đảo.   0 0 m
Câu 27. Xác định các giá trị của a để ma trận sau khả nghịch?   1 2 a 3   3 2 5 8  A =     0 2 0 4    3 1 5 2a + 9 1.4 Hạng của ma trận   1 2 3 4   1 1 1 3   5 6 7 8 
Câu 28. Tìm hạng của các trận sau: A =     1 2 −1 4 , B =     9 0 1 1  1 0 3 7   3 3 −9 −11
Câu 29. Xác định m để hạng ma trận sau bằng 4:   m 1 1 1    1 m 1 1  A =      1 1 m 1    1 1 1 m
Câu 30. Biện luận hạng ma trận sau theo các tham số a, b.   1 1 2 A =   2 a 3   3 5 b
Câu 31. Tìm giá trị của m để các ma trận sau có hạng lớn nhất, nhỏ nhất.   1 2 1 1   3 4 2    2 3 2 6  A =     6 8 4  , B =     1 − m2 −1 0 m + 3 9 12 m   1 1 1 5 4
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT 1.5
Hệ phương trình tuyến tính  x  1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 0   
Câu 32. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp khử Gauss: 2x1 + x2 − 3x3 + x4 = 0    
x1 − 2x2 − 2x3 − x4 = 0
Câu 33. Giải hệ phương trình AX = b với       1 3 5 9 x1 58       −3 6 1 3 x2 24 A =   , X =   , b =   .        2 8 1 5 x3 41       1 4 4 4 x4 37
Câu 34. a) Giải các hệ phương trình sau:  x  1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6,     
2x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 8,  3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4,     
2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8.       1 2 1 3 x1 6       2 1 4 −3 x2 10 b) AX = b với A =   ; X =   ; b =   .       0 2 1 4  x3  8        1 3 2 4 x4 4
Câu 35. Với giá trị nào của λ thì hệ sau có nghiệm?  x − y + 2z = 3     x + λy + 3z = 1     3x + 3y + z = 4
Câu 36. Tìm k để hệ phương trình sau vô nghiệm:  (k + 1)x + y + z = 1     x + (k + 1)y + z = k     x + y + (k + 1)z = k2 5
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT
Câu 37. Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình tuyến tính sau:  x  1 − x2 + 3x3 + 4x4 = 5      x1 + x2 + 4x3 + 6x4 = 7 . 
x1 − x2 + (m + 1)x3 + 7x4 = 8     
x1 − x2 + 3x3 + (6 − m)x4 = m + 4
Câu 38. Cho hệ phương trình:  x  1 + 3x2 − x3 + ax4 = 0,     
x1 + 5x2 + 2x3 + (a + 2)x4 = 0, . 
x1 + 3x2 + (a − 2)x3 + ax4 = 0,     
x1 + 3x2 − ax3 + (a2 − 2a + 2)x4 = 0.
Với các giá trị thực nào của a để hệ trên: a) Có nghiệm duy nhất?
b) Có nghiệm phụ thuộc 1 tham số? 2 Không gian vectơ
Câu 1. Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ gồm các vectơ sau:
a) u1 = (2, 5, 3, 1); u2 = (3, −1, 2, 1); u3 = (7, −2, 4, 2).
b) u1 = (1, 3, 0, 1); u2 = (1, 2, 1, 0), u3 = (1, 0, 1, 0), u4 = (1, 1, 1, 0).
Câu 2. Xác định m để hệ vectơ S = {u1 = (1, 2, 2), u2 = (m, 1, 3), u3 = (3, 1, m)} độc lập tuyến tính.
Câu 3. Giả sử {v1, v2, v3} độc lập tuyến tính. Chứng minh hệ vectơ {a1, a2, a3} cũng độc lập
tuyến tính, với a1 = v1 + v2, a2 = v1 + v3, a3 = v1 − 2v2.
Câu 4. Xác định a để vectơ x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1, a2, a3
a) x = (7, −2, a), a1 = (2, 3, 5), a2 = (3, 7, 8), a3 = (1, −6, 1).
b) x = (5, 9, a), a1 = (4, 4, 3), a2 = (7, 2, 1), a3 = (4, 1, 6). Câu 5. Trong KGVT 3
R cho x = (1, 0, 4) và 3 vectơ u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1), w = (1, 0, −1).
a) CMR {u, v, w} là một cơ sở của KGVT 3 R .
b) Tìm tọa độ của x đối với cơ sở đã cho. 6
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT
Câu 6. Cho tập hợp S = {x = (a, a − 3b, 0, −2b) | a, b ∈ R}.
Chứng minh S là không gian con của 4
R . Tìm cơ sở và số chiều của S.
Câu 7. Cho M2[R] là không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2 và đặt      a + b b  W = A = .   a, b ∈ R  a 0 
Chứng minh W là một không gian con của M2[R]. Tìm số chiều của W.        1 −1 0       Câu 8. Cho hệ vectơ B = u      
1 = 2 , u2 =  0  , u3 =  2  .            3 4 −1    0
Biết B là cơ sở của không gian vectơ M  
3×1 các ma trận cỡ 3 × 1, tìm toạ độ vectơ u = 4   6 đối với cơ sở B.
Câu 9. Cho hệ phương trình tuyến tính A.X = b với:       1 2 1 3 x1 0       2 3 1 1  x2 0 A =   ; X =   ; b =   .       3 5 2 4  x3 0       1 1 0 −2 x4 0
a) Giải hệ phương trình trên.
b) Gọi tập nghiệm của hệ là S. Chứng minh rằng S là một không gian vectơ con của không gian 4 R .
c) Tìm một cơ sở tùy ý của không gian nghiệm S và chỉ rõ số chiều của nó.?  x  1 − x3 + x4 = 0      x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0
Câu 10. Cho hệ phương trình  2x1 + x2 − 4x3 + x4 = 0     
3x1 − x2 − 2x3 + 5x4 = 0 a) Giải hệ trên.
b) Chứng minh tập nghiệm S của hệ là không gian con của 4 R .
c) Tìm cơ sở và số chiều của S. 7
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT
Câu 11. Cho hệ phương trình A.x = b với   x   1   1 2 3 4 0   x2 A =       2 3 4 1 ; x = ; b = 0 .       x3 3 4 1 2   0 x4 a) Giải hệ trên.
b) Chứng minh tập nghiệm W của hệ là không gian con của 4 R .
c) Tìm cơ sở và số chiều của W . Câu 12. Trong không gian 2 R cho hai hệ vectơ:
B1 = {u1 = (1; 2), u2 = (2; 1)}
B2 = {v1 = (−1; 1), v2 = (1; 0)}. a) Chứng minh rằng B 2
1, B2 là hai cơ sở của R .
b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B1 sang B2.
c) Biết toạ độ của vectơ u đối với cơ sở B2 là (u)B = (2; −1). Tìm toạ độ của u đối với cơ cở 2 B1. Câu 13. Trong không gian 3 R cho hai hệ vectơ:
B1 = {u1 = (2; 1; 1), u2 = (2; −1; 1); u3 = (1; 2; 1)}
B2 = {v1 = (3; 1; −5), v2 = (1; 1; −3), v3 = (−1; 0; 2)} a) Chứng minh rằng B 3
1, B2 là hai cơ sở của R .
b) Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B2 sang B1.
c) Biết toạ độ của vectơ u đối với cơ sở B1 là (u)B = (1; 0; 0). Tìm toạ độ của u đối với cơ cở 1 B2. 3 Ánh xạ tuyến tính Câu 1. 1. Chứng minh ánh xạ f : 2 2 R −→ R xác định bởi
f (x, y) = (2x + y, x − 3y) là một ánh xạ tuyến tính. 2. Chứng minh ánh xạ f : 3 2 R −→ R xác định bởi
f (x, y, z) = (2x + z, x − y + z) là một ánh xạ tuyến tính.
Câu 2. Cho ánh xạ tuyến tính f : 2 2 R −→ R thoả mãn
f (1, 0) = (3, 5), f (0, −1) = (2, 1). 8
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT
1. Tính f (2, 0), f (1, 1) và f (3, 2). 2. Xác định (a, b) ∈ 2 R biết f (a, b) = (3, 12).
Câu 3. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 R
−→ R thoả mãn f(1, 2, 3) = (0, 1, −2), f(1, 2, 0) =
(1, 0, 1), f (1, 0, 0) = (2, −1, 3).
1. Tính f (2, 0, 2), f (3, 2, 3). 2. Tìm f (x, y, z). Câu 4. Cho ánh xạ f : 4 3 R → R xác định như sau:
f (x1, x2, x3, x4) = (2x1 + 2x2 − x3, x2 + x3 + x4, x3 + 2x4).
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc.
c) Tìm Ker(f ), Im(f ), cơ sở và số chiều của Ker(f ), Im(f ). Câu 5. Cho ánh xạ f : 3 3 R → R xác định như sau:
f (x1, x2, x3) = (x1 − 2x3, 0, x1 + x3).
a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f đối với cặp cơ sở chính tắc.
c) Xác định Ker(f ), tìm cơ sở, số chiều của Ker(f ), Im(f ).
Câu 6. Cho ánh xạ tuyến tính f : P2[x] → P2[x] (P2[x] là không gian vectơ các đa thức có bậc ≤ 2) xác định như sau:
f (a + bx + cx2) = (a + 2b − 4c) + (2a + 3b − 7c)x + (3a + b − 7c)x2.
a) Tìm ma trận A của ánh xạ f đối với cơ sở {1, x, x2}.
b) Giả sử u = 1 + mx + (m + 3)x2. Xác định m để u ∈ Imf.
Câu 7. Cho ánh xạ tuyến tính f : 4 3
R → R , biết ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc là   0 0 0 0 A =   1 −1 0 0 .   1 1 0 0 a) Tìm f .
b) Tìm Ker(f ), Im(f ), cơ sở và số chiều của Ker(f ), Im(f ). 9
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT
Câu 8. Xác định m để λ = 3 là giá trị riêng của ma trận sau:   −1 1 m A =   −1 2 1  .   1 −1 2
Câu 9. Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3
R → R , có ma trận đối với cơ sở chính tắc là   1 4 6 A =   −3 −7 −7 .   4 8 7 a) Tìm f .
b) Tìm Ker(f ), cơ sở và số chiều của Ker(f ), Im(f ).
Câu 10. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận sau:     1 3 0 5 4 A =     , B = 3 −2 −1 . 8 9   0 −1 1 4 Chuỗi 4.1 Chuỗi số
Câu 1. Dùng tiêu chuẩn D’Alembert xét sự hội tụ của các chuỗi sau: ∞ ∞ ∞ X n2 + 5 X 1 X 1.5.9...(4n − 3) 1. 2. 3. 3n (2n + 1).22n−1 2.5.8...(3n − 1) n=1 n=1 n=1
Câu 2. Dùng tiêu chuẩn Côsi xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: ∞ 2n ∞ X 3n − 1 X (n + 1)2n 1. 3. .πn+1 4n + 1 (3n2 + 2)n n=1 n=1  1 n ∞ 1 + cos X ∞ 2. n   n2 X 1 n + 1  1  4. n=1 1 + tan 2n n n n=1
Câu 3. Dùng tiêu chuẩn so sánh xét sự hội tụ của các chuỗi sau: 10
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT ∞ ∞ X 1 X 1 1 1. √ 3. sin 3 n + 1 n n n=1 n=1 1 ∞ ∞ ln(1 + ) X n3 + 1 X 2. 4. n (n2 + 1)2 n + 1 n=1 n=1
Câu 4. Xét sự hội tụ của các chuỗi đan dấu sau: ∞ ∞ X (−1)n X 2n + 1 1. √ 3. (−1)n. 2 n + 1 n2 + n n=1 n=1 ∞ ∞ √ X 2n − 1 X n + 1 2. (−1)n−1. 4. (−1)n−1. 3n + 1 n + 1 n=1 n=1
Câu 5. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau: ∞ ∞ X n X 3.2n + 2.6n 1. 7. 5n2 + 1 6.5n n=1 n=1 ∞ ∞ X 1 1 X 3n + 2n 2. − 8. n n2 + 1 5n + 1 n=1 n=1 ∞ ∞ X n X 2n − 1 3. 9. √ p(n − 1)(n + 2) ( 2)n n=2 n=1 ∞ n2 1 1 1 X 1 1 10. + + + ... 4. 1 − 22 52 82 5n n n=1 ∞ √ X n + 1 n + 2 ∞ √ 11. ln X 2n + 1 5. n n + 1 n=1 n2 − n + 1 n=1 2 ∞ ln(1 + ) 2 1 2 2 1 2 n X n 6. + + ... + + ... 12. 5 2 5 n 5 n3 n=1 4.2 Chuỗi hàm
Câu 6. Tìm khoảng hội tụ và bán kính hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau: ∞ ∞ X (n + 1)xn X (−1)n−1(x − 1)3n 1. . 4. √ . n2 + 5 n2 + 2n n=1 n=1 ∞ ∞ X (x + 4)n X 8nx3n 2. √ . 5. √ . 2n. 3n2 − 1 5n + 1 n=1 n=1 ∞ ∞ n X (−1)n−15n(x − 3)n X n 2x − 1 3. . 6. . 2n2 + 7 2n + 1 3 n=1 n=1 11
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT ∞ ∞ n X (−1)n−15nx2n X 2nx 7. √ . 9. . 7n + 1 4n + 7 n=1 n=1 1 3 5 10. (2x − 1) + (2x − 1)2 + (2x − 1)3 + ∞ n 2 6 12 X nx 8. . 7 2n + 3 (2x − 1)4 + ... n=1 20
Câu 7. Tìm miền hội tụ của các chuỗi lũy thừa sau ∞ ∞ X xn X (n + 1)5x2n 1. . 4. . 2n + 1 2n + 1 n=1 n=1 ∞ ∞ X xn n 2. . X n 2x + 1 n.2n 5. . n=1 2n + 1 3 n=1 ∞ X (x − 2)n 3. . 4(x − 1)6 8(x − 1)9 n2 6. 2(x − 1)3 + + + · · · . n=1 3 5 5
Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số
Câu 1. Tìm miền xác định của các hàm số sau: 1 1. z = . 2. z = ln(2x + y + 1). 3. z = x ln(y − x2). p9 − x2 − y2
Câu 2. Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau: x x 1. z = x4 + 2xy + . 7. z = ye y . 13. z = ln(x + px2 + y2). y p 2. z = (x − y)5 8. z = x2 ln y (y > 0). x2 + y2 − x 14. z = ln . px2 + y2 + x 3. z = px2 + y2. 9. z = 3 px3 + y3. √ √ x − y
15. u = xyz (x > 0, y > 0). 4. z = ln( 3 x − 10. z = . 4 y + 1). x + y 1 √ √ x 16. u = e x2+y2+z2 . 5. z = ( x + 3 y)3. 11. z = y2 sin . y √ y 6. z = sin2 x + 8ey. 12. z = xy3 (x > 0). 17. u = exyz sin . 2
Câu 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
1. z = 7 − 2x + 4y − x2 − 4y2 5. z = 2x3 − xy2 + 5x2 + y2 2. z = x4 + y4 − 4xy
6. z = x4 + y4 − 2(x + y)2 với xy 6= 0
3. z = x3 + y2 − 3x2 − 2y + 1 4 2 7. z = xy + + 4. z = xy3 − 8x + 12y2 x y 12
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT
Câu 4. Tìm cực trị của các hàm số:
1. z = 2x2 + x − y2 + 1 với điều kiện 2x + y = 3.
2. z = x3 − xy + y2 − 3 với điều kiện x − 2y − 1 = 0.
Câu 5. Giả sử rằng hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm là π = 160Q1 − 3Q2 − 2Q + 120Q 1 1Q2 − 2Q2 2 2 − 18.
Tìm Q1, Q2 để lợi nhuận đạt tối đa.
Câu 6. Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm, đơn giá của chúng trên thị trường là p1 = 30
và p2 = 45. Hàm tổng chi phí là T C = Q2 + Q
. Hãy xác định các mức sản lượng Q 1 1Q2 + Q2 2 1 và
Q2 để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa. Biết lợi nhuận π = p1Q1 + p2Q2 − T C.
Câu 7. a) Cho hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp là
π = 100K0,6L0,2 − 20K − 10L (K, L > 0).
Hãy xác định K, L để lợi nhuận của doanh nghiệp đạt mức tối đa.
b) Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất:
Q(K, L) = −2K2 + 3KL − 3L2 + 30K + 20L (K, L > 0).
Hãy xác định mức sử dụng K, L để doanh nghiệp thu được mức sản lượng cực đại.
Câu 8. Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng U (x, y) = x + y + xy với x, y tương ứng là số lượng của
hai loại mặt hàng. Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là p1 = $2, p2 = $5 và ngân sách dành
cho tiêu dùng là B = $53. Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng
tối đa hóa lợi ích của mình.
Câu 9. Cho hàm số z = cos(2x + 3y2). Tính dz.
Câu 10. Cho hàm số z = f (x, y) = ln(2y + x2). Tính z0 , z0 , z00 , z00 , z00 . x y xx xy yy
Câu 11. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số
a) z = x4 + 2y4 − 5(x − y)2; b) z = e2xy − sin(2x + 3y);
c) z = 3x4y − ln x − 2 ln y (x > 0, y > 0). x
Câu 12. Cho hàm số z = f (x, y) = ye y + p2x + y2.Tính df (0; 1).
Câu 13. Tìm các điểm tới hạn của hàm số z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2.
Câu 14. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = x4 + y4 − 2(x − y)2 và chỉ ra các điểm
tới hạn của hàm số đó. 13
Đề cương ôn tập Toán đại cương
Bộ môn Toán -ĐH Công nghệ GTVT
Câu 15. Cho hàm số z = f (x, y) = x2 + 2x + y3 − 3y + 1. Cho biết điểm M (−1; 1) có phải là
điểm cực trị của hàm số trên không? Vì sao? 2
Câu 16. Cho hàm số z = f (x, y) =
− x2 − y2. Cho biết điểm M (1; −1) có phải là điểm cực xy
trị của hàm số trên không? Vì sao? 14