Đề Cương Ôn Tập Toán 9 Giữa Học Kỳ 2 Năm 2025-2026

TRƯỜNG THCS QUANG TRUNG ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP GIỮA KÌ II
TỔ TOÁN – LÝ MÔN: TOÁN 9
DẠNG 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN  −   + − 
Bài 1: Cho biểu thức 2 x 1 x 2 x 1 P =  +  : −  
x 2 2 x x   x x 2  − − −    
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P tại x = 4 − 2 3 . c) Tìm x để P = 3.
d) Tìm x nguyên để P nhận giá trị là số nguyên.  +   − 
Bài 2: Cho biểu thức x 2 x 4 x P = − x :    −   x +1   1 x x +1 −  
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P tại x = 6 − 2 5 . c) Tìm x để P = 1/2. d) So sánh P với 1. + +
Bài 3: Cho P = 2 x x 3x 3 + −
và Q = x 1 với x  0; x  9 x + 3 x − 3 x − 9 x − 3
a) Tính giá trị của Q tại x = 4 − 2 3
b) Rút gọn biểu thức P và tính M = P Q 4x + 7
c) Cho biểu thức A = x.M +
. Tìm giá trị nhỏ nhất của A x + 3 x x −
Bài 4: Cho biểu thức 3 6 4 P = + − x − 1 x + 1 x − 1
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi x = 4 + 2 3 c) Tìm x để P < ½. 2 x +1 x − 3 x + 4 1
Bài 5: Cho biểu thức A = và −
với x  0; x  4 x x − 2 x x − 2
a) Tính giá trị của A khi x = 9 b) Rút gọn biểu thức B
c) Cho P = B . Tìm x để P  P A x +1 x + 2 x − 8 Bài 6: Cho A = và B = +
với x  0; x  4; x  9 x − 2
x − 3 x − 5 x + 6 a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để B < A Trang 1 +
Bài 7: Cho A = x 2 và B = x 1 1 + +
với x  0; x  4 x x − 4 x − 2 x + 2
a) Rút gọn biểu thức B và tính P = A B
b) Tìm x để B = B c) Tìm x thỏa mãn: .
x P  10 x − 29 − x − 25
DẠNG 2: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1 :Một ca nô chạy xuôi dòng một khúc sông dài 60km, sau đó chạy ngược dòng 48km trên khúc
sông đó thì hết 6 giờ.Nếu ca nô chạy xuôi dòng 40 km và ngược dòng 80km trên khúc sông đó thì
hết 7giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước.
Bài 2: Hai tổ sản xuất phải làm được 900 sản phẩm trong một thời gian quy định. Do tổ một làm
vượt mức kế hoạch 20%, tổ hai làm vượt mức kế hoạch 30% nên hai tổ làm được 1130 sản phẩm.
Tính số sản phẩm mỗi tổ phải làm theo kế hoạch.
Bài 3: Hai người cùng làm một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong công việc. Nếu người thứ
nhất làm trong 4 giờ, người thứ hai làm trong 3 giờ thì được 50 % công việc. Hỏi mỗi người làm một
mình trong mấy giờ thì xong công việc?
Bài 4: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định. Nếu tăng vận tốc thêm 10km/h thì
đến B sớm hơn dự định 2h. Nếu giảm vận tốc 10km/h thì đến B chậm hơn dự định 3h. Tính quãng đường AB
Bài 5: Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đến Cần Thơ , quãng đường dài 189 km. Sau khi xe
tải xuất phát 1 giờ. Một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP.CầnThơ về TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải
sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút . Tính vận tốc của mỗi xe , biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
Bài 6: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ
hai bị điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ
làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Bài 7: Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180 m2. Tính chiều dài cạnh đáy thửa ruộng, biết
rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tích không đổi
Bài 8: Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng, biết
rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài đi 5m thì diện tích của thửa ruộng sẽ tăng thêm 5m2
Bài 9: Trong 1 phòng họp có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu bớt đi 2
dãy ghế, mỗi dãy còn lại xếp thêm 2 người nữa mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế.
Bài 10: Trong một phòng họp có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 5 người thì có 9 người không có
chỗ. Nếu xếp ghế 6 người thì thừa 1 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu ghế và có bao nhiêu người dự họp?
Bài 11: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 8 giờ. Sau 3 giờ làm chung thì tổ
1 được điều đi làm việc khác, tổ 2 làm tiếp trong 7 giờ thì còn lại 1 công việc. Hỏi nếu mỗi tổ làm 3
riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó? Trang 2
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1: Giải các phương trình sau: a)2 2
x − 5x + 1 = 0 d) − 3 2 x + 2x + 8 = 0 b)4 2 x + 4x + 1 = 0 e 5 ) 2
x − 6x − 1 = 0 c) − 3 2
x + 14x − 8 = 0 f ) − 7 2
x − 8x − 3 = 0
Bài 2: Nhẩm nghiệm các phương trình bậc hai sau: a) 5x2 + 3x -2 = 0 c) x2 + 1001x + 1000 = 0 b) -18x2 +7x + 11 = 0 d) -7x2 – 8x + 15 = 0
Bài 3: Tìm 2 số biết tổng và tích của chúng: a) u + v = 14; u.v = 40 c) u + v = -7; u.v =12 b) u + v = -5; u.v = -24 d) u + v = 4; u.v = 19
Bài 4: Giải các hệ phương trình sau: 3x − 2y = 4  1 3  a)  − − − =  − = −2 2 x 1 3 y 2 5  h) 2x + y = 5  x +1 y + 2  e) 
4 x −1 + y − 2 = 17  4x − 2y = 3 2 1  b) + = 3   − + − =  + + x 1 2 y 2 3  6x − 3y = 5 x 1 y 2 i)    − − − =
(3x + 2)(2 y − 3) = 6xy  5x y 2 x 1 y 2 1 + =  c) 27 
x +1 y −3
(4x + 5)(y − 5) = 4xy f)  1 13  + 2 y + 3 = 2x 3y x − y 2 2y − 5x y + 27  − = 4 + k) 5 = − 2x    + −  x 1 y 3 2 3 4  d ) + + =  y 3 4  x +1 6 y − 5x
2 x +1 − 5y = 3  x − y  + y =   3 7 g)  3 −  x +1 + 2y =  5
mx + 2my = −10
Bài 5: Cho hệ phương trình:   1 ( − ) m x + y = 0
a, Giải hệ phương trình với m = -2.
b, Giải và biện luận hệ phương trình đã cho theo m x + my = 1
Bài 6: . Cho hệ phương trình:  mx + y = 1
a. Giải hệ phương trình khi m = 2.
b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất mà x >0; y > 0. x + my = 1
Bài 7: Cho hệ phương trình:  x + 2y = 3
a, Giải hệ phương trình khi m = 1.
b, Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x và y là những số nguyên.
Bài 8: Cho phương trình: 2
x − 2(m − 3) x + 8 − 4m = 0 (1), ẩn x, tham số m
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Trang 3
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm
d) Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm dương
e) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x , x thỏa mãn: x  3  x 1 2 1 2
Bài 9: Cho phương trình: x2 -2mx + m2 -1 = 0.
a, Giải phương trình khi m = 2.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 2 2 1; x2 mà x1 + x2 = 10.
Bài 10: Cho phương trình: 2 x − 3 ( m − ) 1 x + 2 2 m − m = 0
a, Giải phương trình khi m = 1.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 mà x − x = 2 1 2
Bài 11: Cho phương trình: 2
x − mx + m −1 = 0
a, Giải phương trình khi m = 3.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x2 = 2x1 .
Bài 12: Cho phương trình: 2 x − 2 2 mx + m −1 = 0
a, Giải phương trình khi m = 2.
b, Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 1 3
1; x2 thoả mãn điều kiện: + = x x 4 1 2
DẠNG 4: HÀM SỐ- ĐỒ THỊ
Bài 1: Cho hai hàm số: y = x2 và y = x + 2.
a, Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.
b, Bằng phép tính hãy xác định toạ độ các giao điểm A và B của hai đồ thị trên ( điểm A có hoành độ âm).
c, Tính diện tích của ∆OAB ( O là gốc toạ độ)
Bài 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d): y = x – m +1.
Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung.
Bài 3: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol (P) và đường thẳng (d): y = x + 2.
a, Cm (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. b, Tính diện tích ∆OAB.
Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: y = mx + m + 1.
a, Tìm m để đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
b, Gọi x1, x2 là hoành độ của A và B. Tìm m sao cho x − x = . 2 1 2
Bài 5: Cho parabol (P) y = -x2 và đường thẳng d: y = mx – 2.
a, Cmr với mọi giá trị của m, d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. b, Gọi x 2 2
1; x2 là hoành độ của A và B. Tìm m sao cho x1 x2 + x2 x1 = 2014.
Bài 6: Cho parabol (P) y = x2 và đường thẳng d: y = mx – m + 1. Tìm m sao cho đường thẳng d cắt
parabol (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở hai phía của trục tung. DẠNG 5: HÌNH HỌC
Bài 1:Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi M là điểm chính
giữa cung BC, dây AM cắt OC tại E. Tia CM cắt đường thẳng AB tại N Trang 4
a) Chứng minh: tam giác MCE cân b) Chứng minh: BN = BC
c) Tính diện tích tam giác CBN theo R
Bài 2: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là
tiếp tuyến). Kẻ cát tuyến AMN với (O) (M nằm giữa A và N) a) Chứng minh: AB2 = AM.AN
b) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh: AH.AO = AM.AN
c) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 3: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M
thuộc cung AC ( M ≠ A; C). Hạ MH ⊥ AB tại H. Nối MB cắt CA tại E. Hạ EI ⊥ AB tại I. Gọi K là
giao điểm của AC và MH. Cm:
a, BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp. b, AK . AC = AM 2.
c, AE. AC + BE. BM không phụ thuộc vị trí của điểm M.
Bài 4: Cho đường tròn (O; R) với đường kính AB cố định, EF là đường kính di động. Kẻ đường
thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Nối AE, AF cắt đường thẳng d lần lượt tại M và N.
a, Cm: Tứ giác AEBF là hình chữ nhật. b, Cm: AE. AM = AF. AN.
c, Hạ AD ⊥ EF cắt MN tại I. Cm I là trung điểm của MN.
d, Gọi H là trực tâm của ∆MNF. Cmr khi đường kính EF di động , H luôn thuộc một đường tròn cố định.
Bài 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn.
M là một điểm trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt Ax, By tương ứng tại C
và D. Nối OC cắt AM tại I, nối OD cắt BM tại K.
a, Cm: OACM và CIKD là các tứ giác nội tiếp.
b, Cho R = 5cm, góc MDB = 600. Tính MA, MB.
c, BM cắt Ax tại E. Cm C là trung điểm của AE.
d, Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OCD. Cm: 1 r 1   3 R 2
Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD vuông góc
với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK ⊥ AE tại K. Đường thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh
a) Tứ giác AHCK nội tiếp b) AH.AB = AD2
c) Tam giác ACF là tam giác cân
Bài 7: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm
của OB. CI cắt đường tròn (O) tại M ( M ≠ C); AM cắt CD tại N, cắt BD tại K.
a, Cm: OBMN là tứ giác nội tiếp. b, Cm: AM . AN = AC 2. c, Tính tan MAB?
d, Tính theo R diện tích tam giác OKB. Trang 5
Bài 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD ( ADC > 900). Các đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại E; các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại F.
a, Cm: BD ⊥ EF ( gọi H là chân đường vuông góc). b, Cm: BA. BE = BC . BF
c, Cm: D là tâm đường tròn nội tiếp ∆AHC. d, Cho 0
ADC = 135 , BD = 10cm. Tính AC.
Bài 9: Cho đường tròn (O; R), dây AB cố định( AB không đi qua O). Điểm M thuộc cung lớn AB.
Gọi I là trung điểm dây AB. Vẽ đường tròn (O’) qua M tiếp xúc với AB tại A. Tia MI cắt đường tròn
(O’) tại N và cắt đường tròn (O; R) tại C. a, Cm: NA // BC.
b, Cm: ∆INB đồng dạng với ∆IBM.
c, Cm: IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆BMN.
d, CM: 4 điểm A, B, N, O thuộc một đường tròn khi và chỉ khi AB = R 3 .
DẠNG 6: BẤT ĐẲNG THỨC- CỰC TRỊ - PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
Bài 1: Giải phương trình: 4 x +1 2 = x − 5x +14
Bài 2: Cho tam giác ABC và các trung tuyến AM, BN, CP. Cmr:
3 (AB + BC + CA)  AM + BN + CP  AB + BC + CA 4 3 2 1 x2
Bài 3: Giải phương trình: 5x + 3x + 3x − 2 + = + 3x 2 2
Bài 4: Cho x > 0. Tìm GTNN của biểu thức: 2 1
A = x + 3x + x
Bài 5: Cho −1  a,b,c  2 và a + b + c = . 0 Cmr : 2 2 2
a + b + c  6 Bài 6: Cho: 4 2 x + 2 2 y + 2 2
z − 4xy − 4xz + 2yx − 6y −10z + 34 = 0 .
Tính S = (x − ) 4 2010 + ( y − ) 4 6 + (z − ) 4 26.
Bài 7: Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 4. Cmr: 4 3 4 3 4 3
a + b + c  2 2
Bài 8: Cho a, b >0. Chứng minh rằng: 1 + 1  4 a b a + b
Bài 9: Giải phương trình: 10 3 x +1 = ( 3 2 x + ) 2 Bài 10: Cho ( 2 x + x + 2012 ).( 2
y + y + 2012 ) = 2012. Tính x+y. 2 − 2 + 2 + 2 + 2 Bài 11: Cm: 1  3 2 − 2 + 2 + 2
Bài 12: Giải phương trình: 2
x + x +12 x +1 = 36 Trang 6