Đề cương ôn tập toán 9 học kỳ II (có đáp án và lời giải chi tiết)

Tổng hợp Đề cương ôn tập toán 9 học kỳ II (có đáp án và lời giải chi tiết) rất hay và bổ ích giúp bạn đạt điểm cao. Các bạn tham khảo và ôn tập để chuẩn bị thật tốt cho kỳ thi tốt nghiệp sắp đến nhé. Mời bạn đọc đón xem.

36 18 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Tài liệu chung Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

25 trang 9 tháng trước

Tác giả:

Profile Minh Thư
Trang 1
ĐỀ CUƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN 9
HỌC KÌ II
I. LÝ THUYẾT:
A. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
Câu 1: Nêu khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn.
Áp dụng cho phương trình x+3y=4, tìm nghiệm tổng quát của phương trình.
Trả lời:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax+by=c, trong đó a, b và c là các số đã biết a
0
hoặc b
0.
Áp dụng: nghiệm tổng quát của phương trình là
43xy
y

Câu 2: a) Nêu định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x và y. Cho ví dụ
b) Trong trường hợp nào thì (x
0
; y
0
) là nghiệm của hệ phương trình hai ẩn.
Trả lời:
a) Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c và a’x+b’y=c’. Khi đó, ta có hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn.
(1)
()
' ' ' (2)
ax by c
I
a x b y c


Ví dụ:
2 2 2 3 5
//
1 2 8
x y x y
ab
x y x y



b) Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x
0
; y
0
) thì (x
0
; y
0
) được gọi là nghiệm
của hệ (I)
Câu 3: Nêu các bước giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.
Áp dụng giải hệ phương trình
2 2 2 3 5
//
1 2 8
x y x y
ab
x y x y



Trả lời:
Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Dùng guy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong
đó có một phương trình một ẩn.
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Áp dụng:
2 2 2 (1 ) 2 1
)
1 1 0
x y x x x
a
x y y x y

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-1; 0)
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-2;3)
Câu 4: Nêu các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
Áp dụng giải các hệ phương trình sau:
5 7 2 5 2
))
3 2 4 3 2 4
x y x y
ab
x y x y



Trả lời:
Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng
Trang 2
Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (Nếu cần) sao cho các hệ số của cùng
một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.
Áp dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình mới, trong đó một phương trình có
hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (Tức là phương trình một ẩn)
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Áp dụng
5 7 3 15 21 17 17
)
3 2 4 3 2 4 5 7
12
5.1 7 1
x y x y y
a
x y x y x y
yx
xy





Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1)
2 5 2 4 10 4 19 16
)
3 2 4 15 10 20 3 2 4
16 16
19 19
16 14
3 2 4
19 19
x y x y x
b
x y x y x y
xx
yy










Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
16 14
;
19 19



Câu 5: Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Trả lời:
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
Lập hệ phương trình
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa điều
kiện bài toán rồi kết luận.
B. HÀM SỐ y=ax
2
(a
0) – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN:
Câu 1: Nêu các tính chất của hàm số y=ax
2
(a
0).
Áp dụng: nêu tính chất của hàm số y=-2x
2
.
Trả lời
Hàm số y=ax
2
(a
0) được xác định với mọi giá trị của x thuộc
Tính chất của hàm số y=ax
2
(a
0)
a>0
a<0
Hàm số đồng biến khi x>0 và nghịch biến
khi x<0
Hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi
x>0
y=0 là giá trị nhỏ nhất (khi x=0)
y=0 là giá trị lớn nhất (khi x=0)
Áp dụng:
Hàm số y=-2x
2
có dạng y=ax
2
với a=-2<0
Hàm số xác định với mọi x
Hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0
y=0 là giá trị lớn nhất của hàm số (khi x=0)
Câu 2: Nêu nhận xét đồ thị của hàm số y=ax
2
(a
0)
Áp dụng vẽ đồ thị của hàm số y=2x
2
.
Trả lời:
Trang 3
Nhận xét
Đồ thị của hàm số y=ax
2
(a
0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm
trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.
Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thi
Áp dụng:
x
-2
-1
0
1
2
y=-2x
2
-8
-2
0
-2
-8
Câu 3: Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn. Cho ba ví dụ về phương trình bậc hai.
Áp dụng: Với giá trị nào của a thì phương trình (4 – a
2
)x
2
+ax – 3=0 là phương trình bậc hai.
Trả lời:
Định nghĩa:
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax
2
+bx+c=0, x là ẩn số; a, b, c là những
số cho trước gọi là các hệ số và a
0.
Ví dụ: -3x
2
– 7x+10=0
Áp dụng: phương trình (4 – a
2
)x
2
+ax – 3=0 là phương trình bậc hai.
4 – a
2
0
4
a
2
a
2
Câu 4: Trình bày công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 (a
0)
Áp dụng giải phương trình -3x
2
– 7x+10=0
Trả lời:
Công thức tính nghiệm của phương trình ax
2
+ bx +c = 0
( 0)a
.
= b
2
– 4ac
> 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x
1
=
a
b
2
; x
1
=
a
b
2
= 0 phöông trình coù nghieäm keùp :x
1
= x
2
=
a
b
2
< 0 phöông trình voâ nghieäm
Áp dụng:
2
( 7) 4.( 3).10 169 0
169 13
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
7 13 10 7 13
;1
2.( 3) 3 2.( 3)
xx

Câu 5: Trình bày công thức nghiệm thu gọn của phương trình ax
2
+bx+c=0 (a
0)
Áp dụng: Giải phương trình x
2
+6x – 7=0
Trả lời:
2
4
6
8
10
5
5
Trang 4
Phương trình: ax
2
+bx + c = 0 (a 0) có hệ số b là số chẵn, ta có thể sử dụng công thức
nghiệm thu gọn với b’ =
2
b
;
’
= b
’2
– ac
’
> 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x
1
=
'
'b
a
; x
2
=
'
'b
a
’
=0 phöông trình coù nghieäm keùp :x
1
= x
2
=
b
a
'
’
< 0 phöông trình voâ nghieäm
Áp dụng: x
2
+6x – 7=0
' 2 '
3 1.( 7) 16 0 16 4
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
3 4 3 4
1; 7
11
xx
Câu 6: Phát biểu hệ thức Vi et về tổng và tích hai nghiệm của phương trình ax
2
+bx+c=0 (a
0)
Áp dụng: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm? Đối với phương trình có
nghiệm, hãy tính tổng và tích các nghiệm của phương trình mà không giải phương trình đó.
a) 2x
2
– 3x+2=0 b) 3x
2
+x – 10=0 c)-9x
2
– 6x – 1=0
Trả lời
a) Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0 ) coù hai nghieäm x
1
, x
2
thì
toång vaø tích cuûa chuùng laø :
a
c
xxP
a
b
xxS
21
21
.
b ) Ñònh lyù ñaûo : Neáu hai soá x
1
vaø x
2
maø toång x
1
+ x
2
= S vaø tích x
1
.x
2
=P và S
2
– 4P
0
thì hai soá naøy laø nghieäm cuûa phöông trình: X
2
– SX + P = 0.
Áp dụng:
a) 2x
2
– 3x+2=0 (1) (a=2, b=-3, c=2)
2
4b ac
=(-3)
2
– 4.2.2=9 – 16=-7<0
Vậy phương trình (1) vô nghiệm
b) 3x
2
+x – 10=0 (2) (a=3, b=1, c=-10)
2
4b ac
=1
2
– 4.3.(-10)=1+120=121>0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và
12
12
1
3
10
.
3
b
xx
a
c
xx
a

c) -9x
2
– 6x – 1=0 (3) (a=-9, b=-6, c=-1)
2
4b ac
=(-6)
2
– 4.(-9).(-1)=36 – 36=0
Vậy phương trình (3) có nghiệm kép
12
12
62
93
11
.
99
b
xx
a
c
xx
a

Câu 6: Định nghĩa và cách giải phương trình trùng phương
Trang 5
Áp dụng: Giải phương trình 3x
4
+4x
2
– 7=0
Trả lời:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax
4
+bx
2
+c=0
Đặt t=x
2
(điều kiện t
0), ta có phương trình at
2
+bt+c=0 (*)
Giải (*) rồi chọn nghiệm t
0, lúc đó x=
t
Áp dụng: 3x
4
+4x
2
– 7=0
Đặt t=x
2
(điều kiện t
0)
Ta có phương trình 3t
2
+4t – 7=0 (*)
Vì (*) có a+b+c=3+4+(-7)=0 nên phương trình (*) có hai nghiệm
t
1
=1>0 (nhận)
t
2
=
7
3
c
a

(loại)
Với t=1
x
2
=1
x=
1
Câu 7: Cho phương trình :
2
0ax bx c
( 0)a
có hai nghiệm x
1
và x
2
.Chứng
minh :

12
12
b
S x x
a
c
P x x
a
Trả lời: ta có
1
2
12
2 2 2
12
22
x
2
2
2
2 2 2
( ) 4
..
2 2 4 4
b
a
b
x
a
b b b b
xx
a a a a
b b b b b ac c
xx
a a a a a
ì
ï
- + D
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
- - D
ï
ï
=
ï
ï
î
- + D - - D - -
Þ + = + = =
- + D - - D - - D - +
= = = =
Câu 8: Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
Trả lời:
Bước 1: Lập phương trình
Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
Lập phương trình
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa điều kiện
bài toán rồi kết luận.
C. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN:
Câu 1: Giữa hai đường tròn có mấy vị trí tương đối? Kể ra và vẽ hình mô tả.
Trả lời:
Giữa hai đường tròn (O) và (O’) có ba vị trí tương đối
Hai đường tròn không giao nhau (không có điểm chung)
Hai đường tròn ở ngoài nhau
Hai đường tròn đựng nhau
Trang 6
Hai đường tròn tiếp xúc nhau (có một điểm chung)
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài
Hai đường tròn tiếp xúc trong
Hai đường tròn cắt nhau (có hai điểm chung)
Câu 2: Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’) khi hai đường tròn này
có:
a) 4 tiếp tuyến chung
b) 3 tiếp tuyến chung
c) Không có tiếp tuyến chung
Vẽ hình mô tả mỗi trường hợp
Trả lời:
Hình 1 Hình 2 Hình 3
Số tiếp tuyến của hai đường tròn
Vị trí tương đối của (O) và (O’)
4
Ngoài nhau (Hình 1)
3
Tiếp xúc ngoài (Hình 2)
0
Đựng nhau (Hình 3)
Câu 3: Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa
đoạn nối tâm d với các bán kính R, r.
Trả lời:
Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R)
và (O’;r) (R>r)
Số điểm
chung
Hệ thức giữa d với R và r
Hai đường tròn cắt nhau
2
R – r<OO’<R+r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
Tiếp xúc ngoài
Tiếp xúc trong
1
d=R+r
d=R – r
Hai đường tròn không giao nhau
0
O
O'
O
O'
O
O'
O
O'
B
A
O
O'
O
O'
O
O'
O
O'
Trang 7
O
A
C
B
m
n
O
I
J
K
(O) và (O’) ở ngoài nhau
(O) đựng (O’)
(O) và (O’) đồng tâm
d>R+r
d<R – r
d=0
Câu 4: a) Nêu định nghĩa góc ở tâm. Vẽ hình
b) Định nghĩa số đo của một cung trên trên một đường tròn.
Áp dụng: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho
AOB
=90
0
và số đo của cung
nhỏ BC bằng 30
0
(Điểm C nằm trên cung nhỏ AB). Tính số đo của góc AOC và số đo
cung lớn AB
Trả lời:
a) Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm.
b) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 360
0
và số đo của cung nhỏ (Có
chung hai mút với cung lớn)
Số đo của nửa đường tròn bằng 180
0
Áp dụng:
0
90AOB
sđ
ACB
=90
0
Vậy sđ
AnC
=sđ
ACB
- sđ
BmC
=90
0
– 30
0
=60
0
0
60AOC
Số đo cung lớn AB bằng 360
0
- sđ
ACB
=360
0
– 90
0
=270
0
.
Câu 5: Trên đường tròn (O) cho hai điểm A và B và điểm C nằm trên cung nhỏ AB.
Chứng minh sđ
AB
=sđ
AC
+sđ
CB
Áp dụng: Trên đường tròn (O) cho ba điểm I, J, K sao cho tam giác OIJ đều và OJ
OK.
Tính số đo cung lớn IK.
Trả lời:
Chứng minh sđ
AB
=sđ
AC
+sđ
CB
Ta có điểm C nằm trên cung AB
Do đó OC nằm giữa hai tia OA, OB
AOB AOC BOC
Hay sđ
AB
=sđ
AC
+sđ
CB
(đpcm)
Áp dụng:
Ta có tam giác OIJ đều
Do đó
0
60IOJ 
sđ
Im J
=60
0
Mặt khác ta có OJ
OK
Do đó
0
90JOK
0
90JnK
sđ
IJK
sđ
Im J
+sđ
JnK
=60
0
+90
0
=150
0
.
Số đo cung lớn IK là 360
0
– 150
0
=210
0
.
Câu 6:Phát biểu các định lí liên hệ giữa cung và dây.
Áp dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết Â=50
0
và
B
=65
0
. So sánh
hai cung nhỏ AB và AC.
m
n
O
A
B
m
n
O
B
A
C
Trang 8
O
A
B
C
O
B
A
C
D
Trả lời:
Định lí 1:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
Định lí 2:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn
Áp dụng:
Trong tam giác ABC, có
0 0 0 0 0
180 ( ) 180 (50 65 ) 65C A B
Do đó
0
65B C ABC
cân tại A
Nên AB=AC
Vậy hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau
Câu 7: Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường
tròn bằng nhau:
c) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
d) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau”
Trả lời:
a) Xét
OAB và
OCD có
OA=OC (bán kính)
AOB COD
(vì
AB CD
)
OB=OD (bán kính)
Do đó
OAB=
OCD (c – g – c)
AB=CD (hai cạnh tương ứng)
b) Xét
OAB và OCD có
AB=CD (gt)
OA=OC (bán kính)
OB=OD (bán kính)
Do đó
OAB=
OCD (c – c – c)
AOB COD
(hai góc tương ứng)
Vậy
AB CD
Câu 8: Định nghĩa góc nội tiếp và phát biểu (không chứng minh) định lí tính số đo của
góc nội tiếp.
Áp dụng: Xem hình bên (hai đường tròn có tâm O và tâm B, Điểm B nằm trên đường tròn
tâm O). Số đo của góc JOI bằng bao nhiêu biết
0
30MAN
Trả lời:
O
B
A
M
N
I
J
Trang 9
x
1
C
O
A
B
H
O
A
B
C
Định nghĩa:
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường
tròn đó
Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn
Định lí: Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn
Áp dụng:
Đối với đường tròn (B), ta có
MBN
sđ
0
2. 60MN MAN
Đối với đường tròn (O), ta có
IOJ
=sđ
00
2. 2.60 120IJ MBN
Câu 9: Chứng minh định lí “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo
của cung bị chắn” (trường hợp O nằm trên một cạnh của góc)
Trả lời:
Ta có
OAC cân tại O (OA=OC=bán kính)
Do đó
OAC OCA
Mặt khác ta có
BOC
là góc ngoài của
OAC
Do đó
2BOC OAC OCA OAC OAC OAC
11
22
OAC BOC
sđ
BC
Hay
1
2
BAC
sđ
BC
(đpcm)
Câu 10: Phát biểu các tính chất về góc nội tiếp trong một đường tròn
Trả lời:
Trong một đường tròn:
Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn
một cung.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Câu 11: Chứng minh định lí “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa
số đo của cung bị chắn” (trường hợp tâm nằm bên ngoài góc)
Trả lời:
Kẻ OH
AB
Ta có
OAB cân tại O
Do đó OH là tia phân giác của góc AOB
1
11
22
O AOB
sđ
AmB
Mà
1
BAx O
(cùng phụ với
OAB
)
Nên
1
2
BAx
sđ
AmB
Câu 12: Chứng minh định lí :Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai
C
O
O
A
B
C
A
B
Trang 10
O
P
A
D
B
C
m
n
M
O
A
D
C
D
A
C
D
O
F
n
E
O
D
C
A
B
m
cung bị chắn”.
Trả lời:
Ta có
BEC
là góc ngoài của
BDE
Do đó
BEC BDE DBE
1
2
BEC
sđ
BnC
+
1
2
sđ
AmD
=
1
2
( sđ
BnC
+sđ
AmD
)
Câu 13: Phát biểu (không chứng minh) định lí về số đo của góc có đỉnh ở bên
trong đường tròn.
Áp dụng: Tính số đo của góc
trong hình bên, biết sđ
0
90AmC
và
sđ
0
200BnD
Trả lời:
Định lí: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai
cung bị chắn.
Áp dụng:
Ta có
DMC
là góc có đỉnh bên trong đường tròn
1
2
DMC
(sđ
CD
+sđ
AD
)=
1
2
(360
0
– sđ
AmC
- sđ
BnD
)=
1
2
(360
0
– 90
0
– 200
0
)=35
0
.
Câu 14: Chứng minh định lí “Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai
cung bị chắn”
Trả lời:
Ta có
BAC
là góc ngoài của
ACF
Do đó
BAC AFC ACF
AFC BAC ACF
=
1
2
sđ
BC
-
1
2
sđ
AD
=
1
2
(sđ
BC
-sđ
AD
)
Câu 15: Phát biểu (không chứng minh) định lí về số đo của góc có đỉnh ở
bên ngoài đường tròn.
Áp dụng: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AD và BC kéo dài cắt
nhau tại P. Tính số đo của
APB
biết
0
16ADB
và
0
120DOC
Trả lời:
Định lí: Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung
bị chắn
Áp dụng: ta có
0
16ADB
Do đó sđ
AB
=2.
ADB
=2.16
0
=32
0
.
Mặt khác ta có
0
120DOC
Do đó sđ
DC
=
0
120DOC
1
2
APB
(sđ
DC
-sđ
AB
)=
1
2
(120
0
– 32
0
)=44
0
Câu 16: Chứng minh định lí “Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau
bằng 180
0
”
GT
. Cho đường tròn (O)
. ABCD nội tiếp (O)
O
D
C
A
B
B
Trang 11
B
A
C
H
O
A
B
KL
0
0
180
180
AC
BD


Ta có:
A
1
2
sđ
BCD
( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)
C
1
2
sđ
BAD
( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn)
1
2
AC
sđ(
BCD BAD
) =
1
2
.
0
360
=
0
180
Tương tự:
0
180BD
( hoặc
0 0 0
360 180 180BD
: tính chất tổng 4 góc của tứ
giác)
Câu 17: Tứ giác nội tiếp là gì? Phát biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Định
lí về tứ giác nội tiếp.
Trả lời:
* Định nghĩa:
Một tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
* Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) điểm đó là tâm của
đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc
* Định lí thuận: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
* Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
thì tứ giác đó nội
tiếp được đường tròn.
Câu 18:Viết công thức tính chu vi của đường tròn
Áp dụng: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH với BH=2
3
cm và CH=6
3
cm. Tính chu vi của các đường tròn (B;BA) và (A; AH)
Trả lời:
Công thức tính chu vi của đường tròn
C=2
R hay C=
d
Trong đó R là bán kính của đường tròn, d là đường kính đường
tròn
Áp dụng:
Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC
AB
2
=BH.BC=2
3
.(2
3
+6
3
)=2
3
.8
3
=16.3=48
43AB
cm
AH
2
=HB.CH=2
3
.6
3
=12.3=36
36 6AH
cm
Chu vi của đường tròn (B; BA) là
2
.BA=2.
4
3
=8
3
(cm)
Chu vi của đường tròn (A, AH) là
2
.AH=2
.6=12
(cm)
Câu 19: Viết công thức tính diện tích hình tròn và hình quạt tròn.
Áp dụng: Tính diện tích của phần hình quạt AOB và hình tròn trong
hình vẽ bên, biết OA=5cm,
0
50AOB
.
Trang 12
Trả lời:
Công thức tính diện tích hình tròn S=
R
2
Trong đó: S là diện tích của hình tròn, R là bán kính của hình tròn
Công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n
0
là
2
360
Rn
S
hay
2
lR
S
Trong đó: l là độ dài cung của hình quạt tròn
Áp dụng:
Diện tích hình tròn
S=
.OA
2
=
.5
2
=25
(cm
2
)
Diện tích hình quạt
S
AOB
=
2
. .60 25
360 6
OA

(cm
2
)
Câu 20 : Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song
thì bằng nhau. (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có
một dây đi qua tâm cuả đường tròn)
Trả lời:
GT
Cho đường tròn (O)
CD: dây cung
AB: đường kính
AB // CD
KL
AC BD
Ta có:
AOC OCD
( So le trong)
BOD ODC
( So le trong)
Mà
OCD ODC
(
OCD
cân tại O)
AOC BOD
AC BD
( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)
II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:
ĐẠI SỐ:
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
a) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng
' ' '
ax by c
I
a x b y c


+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất
''
ab
ab

+ Hệ (I) vô nghiệm
' ' '
a b c
a b c
+ Hệ (I) có vô số nghiệm khi
' ' '
abc
abc

b) Các bước giải hệ pt bằng phương pháp thế:
Bước 1: Biểu thị một ẩn (Giả sử ẩn x) theo ẩn kia từ một trong hai phương trình (Lưu ý chọn
các ẩn có hệ số bằng 1 hoặc -1)
Bước 2: Thay biểu thức của x vào pt kia rồi tìm giá trị của y.
Bước 3: Thay giá trị của y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x.
Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ pt.
c) Các bước giải hệ pt bằng phương pháp cộng:
Bước 1: Biến đổi các hệ số của một ẩn (Giả sử x) có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
O
A
B
C
D
Trang 13
Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của hai pt để khử ẩn của x. (Hệ số của ẩn x ở hai pt có dấu
giống nhau ta làm phép trừ, có dấu khác nhau ta làm phép cộng)
Bước 3: Giải pt tìm giá trị của y.
Bước 4: Thay giá trị của y vừa tìm được vào một trong hai pt ban đầu để tìm giá trị của x
(Lưu ý chọn pt đơn giản)
Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ pt.
d) Các bước giải bài toán bằng cách lập pt:
Bước 1:Lập hệ pt
+ Chọn các ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Chú ý phải ghi rõ đơn vị của ẩn.
+ Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập hệ pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ pt.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ pt nghiệm nào thích hợp với điều kiện bài
toán rồi kết luận.
2. HÀM SỐ y=ax
2
(a
0), PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN:
a. Hàm số y=ax
2
(a
0)
Tính chất
Nếu a>0
+ Hàm số nghịch biến khi x<0, đồng biến khi x>0
+ y=0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt được khi x=0
Nếu a<0
+ Hàm số hàm số nghịch biến khi x>0, đồng biến khi x<0
+ y=0 là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt được khi x=0
b. Đồ thị của hàm số y=ax
2
(a
0)
* Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax
2
(a
0)
+ Lập bảng giá trị gồm có 5 cặp giá trị
+ Vẽ đồ thị
* Xác định giao điểm của hai đồ thị Parabol (P) y=ax
2
(a
0) và đường thẳng (d) y=bx+c (b
0)
+ Lập pt hoành độ giao điểm
a
2
x=bx+c
+ Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế, rồi giải pt bậc hai để tìm x
+ Thay các giá trị x vừa tìm được vào một trong hai pt của (P) hoặc (d) để tìm giá trị y
+ Kết luận tọa độ giao điểm của hai đồ thị.
* Biện luận giao điểm của Parabol (P) y=ax
2
(a
0) và đường thẳng (d) y=bx+c (b
0)
Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm, chuyển các hạng tử sang vế trái, vế phải bằng 0 ta được
pt bậc hai một ẩn.
Bước 2: Tính hệ thức
hoặc
'
Bước 3: Biện luận
+ Nếu
>0 hoặc
'
>0 thì (P) cắt (d)
+ Nếu
=0 hoặc
'
=0 thì (P) tiếp xúc (d)
+ Nếu
<0 hoặc
'
<0 thì (P) không cắt (d)
c. Công thức nghiệm của pt bậc hai:
* Công thức nghiệm:
Pt bậc hai ax
2
+bx+c=0 (a
0)
=b
2
– 4ac
Nếu
>0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
12
à x
22
bb
xv
aa

Nếu
=0 thì pt có nghiệm kép
12
2
b
xx
a

Trang 14
Nếu
<0 thì pt vô nghiệm
* Công thức nghiệm thu gọn
Pt bậc hai ax
2
+bx+c=0 (a
0) và b=2b’ (hay b’=b:2)
'
=b’
2
– ac
Nếu
'
>0 thì pt có hai nghiệm phân biệt
12
' ' ' '
à x
bb
xv
aa

Nếu
'
=0 thì pt có nghiệm kép
12
'b
xx
a

Nếu
'
<0 thì pt vô nghiệm
* Các phương pháp giải pt bậc hai:
Phương pháp 1: Dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn.
Phương pháp 2: Trong các trường hợp đặc biệt:
+ Nếu a+b+c=0 thì pt có hai nghiệm x
1
=1 và
2
c
x
a
+ Nếu a – b+c=0 thì pt có hai nghiệm x
1
=-1 và x
2
=
c
a
* Lưu ý trước khi giải pt bậc hai ta phải xét xem pt đó có ở dạng đặc biệt nào không, rồi
mới áp dụng để giải.
d. Điều kiện có nghiệm của pt bậc hai:
* Pt bậc hai ax
2
+bx+c=0 (a
0)
+ Pt vô nghiệm khi
<0 hoặc
'
<0
+ Pt có nghiệm khi
0
hoặc
'
0
+ Pt có nghiệm kép khi
=0 hoặc
'
=0
+ Pt có hai nghiệm phâm biệt khi
>0 hoặc
'
>0
* Lưu ý trong trường hợp hệ số a có chứa tham số, ta cần xét hai trường hợp
Trường hợp 1: a=0, ta có pt bx+c=0, giải pt bậc nhất
Trường hợp 2:
+ Điều kiện để pt có hai nghiệm phân biệt
0
0
a

hoặc
0
'0
a

+ Điều kiện để pt có nghiệm kép
0
0
a

hoặc
0
'0
a

e. Hệ thức Viet và các ứng dụng:
Pt bậc hai ax
2
+bx+c=0 (a
0) có hai nghiệm x
1
, x
2
* Hệ thức Vi ét
12
12
b
S x x
a
c
P x x
a

* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số u+v=S và uv=P
Thì u và v là hai nghiệm của pt x
2
– Sx+P=0
* Tìm giá trị của biếu thức đối xứng giữa các nghiệm:
Bước 1: Tính
12
12
b
S x x
a
c
P x x
a

Bước 2: Tính
Trang 15
2 2 2 2 2
1 2 1 2
3 3 3
12
2
2 2 2
1 2 1 2
2
1 2 1 2
2 ; ( ) 4
3
1 1 1 1 2
;
2 ; 4
x x S P x x S P
x x S SP
S S P
x x P x x P
x x S P x x S P
f. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số:
Bước 1: Tìm điều kiện của m để pt có hai nghiệm x
1
, x
2
0
0
a

Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet ta được
12
12
()
()
x x f m
x x g m

(I)
Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta được hệ thức cần tìm
g. Xét dấu các nghiệm:
Pt bậc hai ax
2
+bx+c=0 (a
0)
Bước 1: Dùng hệ thức Vi et tính
12
12
b
S x x
a
c
P x x
a

Bước 2: Lập luận
+ Pt có hai nghiệm trái dấu
( ') 0
0P
+ Pt có hai nghiệm cùng dấu
( ') 0
0P
+ Pt có hai nghiệm dương
( ') 0
0
0
P
S

+ Pt có hai nghiệm âm
( ') 0
0
0
P
S

+ Pt có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
( ') 0
1P
+ Pt có hai nghiệm là hai số đối nhau khi
( ') 0
0S
h. Tìm điều kiện của m để các nghiệm của pt thỏa mãn một điều kiệm K cho trước.
Bước 1: Tìm điều kiệm của m để pt có hai nghiệm x
1
, x
2
khi
0
( ') 0
a
Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet, ta được
12
12
()
()
x x f m
x x g m

(I)
Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)
Bước 4: Kết luận
i. Tìm nghiệm còn lại của pt và tìm tham số m
+ Nếu cho nghiệm x
1
, tìm nghiệm x
2
dùng hệ thức Viet
+ Tìm m có hai cách:
Cách 1: Dùng hệ thức Viet
Trang 16
Cách 2: Thay giá trị x
1
vào pt bậc hai để tìm giá trị m
j. Phương trình quy về pt bậc hai:
* Pt chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của pt
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế, rồi khử mẫu
Bước 3: Giải pt vừa nhận được
Bước 4: Kiểm tra các giá trị tìm được ở trên có thõa mãn ĐKXĐ không rồi kết luận
* Giải pt bậc ba: ax
3
+bx
2
+cx+d=0 (1)
Bước 1: Dự đoán nghiệm x
0
của pt (1)
Các phương pháp dự đoán nghiệm:
+ Nếu a+b+c+d=0 thì (1) có nghiệm x=1
+ Nếu a-b+c-d=0 thì pt (1) có nghiệm x=-1
+ Nếu a,b,c,d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ
p
q
thì p,q theo thứ tự là ước của d và a
+ Nếu ac
3
=bd
3
(a, d
0) thì pt (1) có nghiệm x=
c
b
Bước 2: Phân tích (1) thành (x – x
0
)(ax
2
+b
1
x+c
1
)=0
0
2
11
( ) 0(2)
xx
g x ax b x c
Lưu ý: để phân tích (1) thành (x – x
0
)(ax
2
+b
1
x+c
1
)=0, ta lấy (1) đem chia cho x – x
0
ta
được ax
2
+b
1
x+c
1
Bước 3: Giải (2) rồi kết luận nghiệm của pt (1)
* Giải pt trùng phương ax
4
+bx
2
+c=0 (1)
Bước 1: Đặt t=x
2
điều kiện t
0
Bước 2: Khi đó pt(1) được biến đổi về dạng at
2
+bt+c=0 (2)
Bước 3: Giải (2) để tìm nghiệm t, từ đó suy ra nghiệm x cho pt (1) (Lưu ý nghiệm t khi giải
xong phải kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện hay không)
Chú ý: nếu pt (2) có nghiệm t
0
0 thì pt (1) có hai nghiệm x=
0
t
* Phương trình tích:
0
. . 0 0
0
A
A B C B
C
k. Giải bài toán bằng cách lập pt:
Bước 1:Lập pt
+ Chọn các ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Chú ý phải ghi rõ đơn vị của ẩn.
+ Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải pt.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của pt nghiệm nào thích hợp với điều kiện bài
toán rồi kết luận.
*HÌNH HỌC:
Các phương pháp giải bài toán hình học:
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
Vận dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng
Vận dụng hai tam giác bằng nhau
Vận dụng định nghĩa các hình
Vận dụng tính chất các hình
Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau
Vận dụng yếu tố số đo của góc
Trang 17
Vận dụng hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng
Vận dụng định nghĩa các hình
Vận dụng tính chất các hình
Dạng 3: Chứng minh hai cung bằng nhau (Lưu ý trong một đường tròn hay hai đường
tròn bằng nhau)
Hai cung có cùng số đo
Hai cung (Nhỏ hơn nửa đường tròn) có dây trương cung bằng nhau
Hai cung (nhỏ hơn nửa đường tròn) có góc ở tâm bằng nhau
Hai cung bị chằn bởi hai góc nội tiếp bằng nhau
Hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau
Đường kính vuông góc với một dây thì chia cung bị trương thành hai phần bằng nhau
Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì chia cung bị trương
thành hai phần bằng nhau
Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng song song
Vận dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
Vận dụng quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song
Vân dụng tính chất đường trung bình của tam giác của hình thang
Vận dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt
Vận dụng định lí Talet đảo
Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng là góc vuông
Vận dụng tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù
Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác vuông
Vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác
Vận dụng tính chất các đường chéo của hình thoi, hình vuông
Vận dụng định lí Pytago đảo
Vận dụng đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc
với dây đó
Vận dụng tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
Vận dụng đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau là đường trung trực của dây
chung, từ đó đường nối tâm thì vuông góc với dây chung
Vận dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Dạng 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Vận dụng tính chất của hai tia đối nhau
Vận dụng hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một
đường thẳng thì trùng nhau
Vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác
Vận dụng tính chất các đường chéo các tứ giác đặc biệt
Vận dụng hai mút của đường kính và tâm của đường tròn là ba điểm thẳng hàng
Vận dụng hai tâm của đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm là ba điểm thẳng hàng
Dạng 7: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 1800
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó
Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định). Điểm đó là tâm của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a
Dạng 8: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại
Trang 18
Chỉ ra một điểm thuộc cả ba đường thẳng
Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường cùng tên của một tam giác
Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành
Dạng 9: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
Đường thẳng vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó
Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn
Phương pháp phản chứng
Dạng 10: Tính toán
Vận dụng kiến thức về định lí, hệ quả của định lí Talet, tam giác đồng dạng
Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Vận dụng các công thức tính diện tích hình phẳng
Vận dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn
Vận dụng hệ thức về cạnh
Dạng 11: Chứng minh đẳng thức a.b=c.d
Chứng minh hai tam giác đồng dạng
Vận dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác.
III/ BÀI TẬP:
Câu 1: Giải các hệ phương trình sau:
2 0 2 4 10
))
3 4 2 3 10
22
2
))
35
2 2 2
x y x y
ab
x y x y
xy
xy
cd
xy
xy






3 4 7 5 2 1
))
2 1 2 3
3 4 1 12 7 2
))
3 2 7 5 12
1 1 1 1 1
1
3 3 4
))
4 2 5 1 2
1
63
x y x y
ef
x y x y
x y x y
gh
x y y x
x y x y
ik
x y x y













Câu 2: Giải các hệ phương trình sau:
2 3 1 2 1 2
))
47
21
7 3 6
( 3 1) 2
))
2
( 3 1) 3
23
3 2 1
3 2 1 2 3 2
)
2 1 3
3 2 1 2 3 4
x y x y
ab
xy
xy
xy
xy
cd
xy
xy
x y x y
e
x y x y







Trang 19
Câu 3: Cho hệ phương trình:
2 3 5
( 1) 3 2
xy
a x y

Tìm giá trị của a để hệ pt có nghiệm, vô nghiệm
Câu 4: Cho hệ pt
54
2 10
xy
y x m


Tìm m để hệ vô nghiệm, vô số nghiệm
Câu 5: Cho hai hàm số (P): y=x
2
và (d): y= -2x+3
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
Câu 6:Cho (P) y=
1
2
x
2
và (d) y=
1
2
x+1
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (d)
c) Gọi C là một điểm trên (P) có hoành độ là 1. Tính diện tích tam giác ABC
Câu 7: Cho hàm số y=ax
2
có đồ thị là (P)
a) Tìm hệ số a cho biết
1
1; ( )
3
MP



b) Tìm tung độ của điểm N thuộc (P) có hoành độ x= -2
c) Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ y=3
d) Vẽ (P)
Câu 8: Cho (P): y=2x
2
và (d): y=3x+m+1
a) Cho m= -1, Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ giao điểm của
chúng.
b) Với giá trị nào của m thì (P) cắt (d); (P) tiếp xúc (d); (P) không cắt (d)
Câu 9: Cho (P): y=
1
4
x
2
và đường thẳng (d) đi qua A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2
và 4.
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
Câu 10: giải phương trình
a) x
2
– 4x – 5=0
b) x
2
+8x+15=0
c) 3x
2
+8x+3=0
d) 2x
4
– 5x
2
– 7=0
e) x
4
– 4x
2
– 8=0
f) (3x+4)
2
– 9(x – 2)
2
=0
g) 5x
4
+2x
2
- 16=10 – x
2
h) (2x+
2
)
2
– 1=(x+1)(x – 1)
i)
2
2
5 6 1
42
xx
xx


j)
2 3 1
0
1 2 3
xx
xx



k)
2
2 3 10
2 4 2
x x x
x x x

l)
2
2
2 11 6
39
x x x
xx


m)
25
1
1 2 2
x
xx


Trang 20
Câu 11: Dùng hệ thức Viet để tìm nghiệm x
2
của phương trình rồi giá trị của m trong mỗi
trường hợp sau:
a) x
2
– (m – 1)x – 21=0, biết x
1
=3
b) 2x
2
– mx+4=0, biết x
1
=
2
3
c) x
2
– 2(m+4)x – 3=0, biết x
1
=
1
2
d) x
2
+x+m=0, biết x
1
=-2
Câu 12: Cho pt: x
2
– (m+2)x+3m – 4=0 (1)
a) Tìm m để pt có một nghiệm x=2
b) Tìm m để pt có hai nghiệm đối nhau. Tính hai nghiệm đó.
Câu 13: Cho pt 3x
2
– 9x +5=0 có hai nghiệm x
1
và x
2
. Không giải pt, hãy dùng hệ thức Viet
để tính:
a) x
1
2
+ x
2
2
b) x
1
3
+ x
2
3
c) x
1
- x
2
d)
12
11
xx
Câu 14: Với giá trị nào của m thì pt x
2
– 2(m+3)x+m
2
– 15=0
a) Có hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
Câu 15: Cho pt x
2
– 3mx+2m+4=0 (1)
a) Chứng tỏ pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Không giải pt, dùng hệ thức Viet tính tổng và tích các nghiệm x
1
, x
2
c) Cho pt (1) có một nghiệm x
1
=2. Hãy tính giá trị của m rồi tính nghiệm x
2
d) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm đối nhau
e) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo
Câu 16: Cho pt x
2
– (m – 1)x – m
2
+m – 2=0 (2)
a) Giải pt (2) khi m=0
b) CMR pt (2) có hai nghiệm với mọi m
c) Tìm m để A= x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 17: Cho pt x
2
– 2(1+2m)x+3+4m=0 (3)
a) Giải pt (3) khi m=1
b) CMR pt (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để A=x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 18: Cho pt x
2
– 2(m – 1)x+m – 5=0 (4)
a) Tìm m để pt (4) có một nghiệm x
1
= -1. Tìm nghiệm còn lại
b) CMR pt (4) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để A=x
1
2
+x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất
d) Tìm m để pt (4) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
e) Tìm m để pt (4) có hai nghiệm là hai số đối nhau
f) Tìm m để pt (4) có hai nghiệm trái dấu
g) Tìm m để pt (4) có hai nghiệm cùng dấu
Câu 19: Cho pt x
2
+2x – (m+1)=0 (5)
a) Giải pt (5) khi m=2
b) Tìm m để pt (5) có nghiệm
c) Tìm m để pt (5) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa (x
1
– x
2
)
2
=10
d) Tìm m để A=x
1
3
x
2
+x
1
x
2
3
đạt giá trị lớn nhất
Câu 20: Cho pt x
2
– 4x+m – 1=0 (6)
Trang 21
a) Tìm m để pt (6) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt (6) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép
c) Tìm m để pt (6) vô nghiệm
Câu 21:Cho pt x
2
– 4x+2m+1=0 (7)
a) Giải pt (7) khi m=1
b) Tìm điều kiện của m để (7) có nghiệm
c) Tìm giá trị của m sao cho (7) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
2
+x
2
2
=13
Câu 22: Cho pt bậc hai: x
2
+2x+m=0 (8)
a) Tìm điều kiện của m để pt (8) có nghiệm
b) Giải pt với m=-8.
c) Tìm giá trị của m để pt (8) có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
2
+x
2
2
=5.
Câu 23: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao và AM là trung tuyến (H, M thuộc
BC). Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt tia AB tại D và tia AC tại E.
a) Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng
b) Chứng minh MA vuông góc với DE
c) Giả sử C=30
0
, AH=4cm. Tính diện tích tam giác HEC.
Câu 24: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn tâm
O đường kính MC cắt BC tại N. Đường nối BM kéo dài gặp đường tròn tại D.
a) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.
b) Chúng minh DB là phân giác của góc ADN
c) Kéo dài BA cà CD gặp nhau tại S. Chứng minh ba điểm S, M, N thẳng hàng.
Câu 25: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Cho C, D là hai điểm nằm trên nửa
đường tròn ấy và C, D khác với A, B (D nằm giũa C và B), AC cắt BD tại E, AD cắt BC ở F.
a) Chứng minh tứ giác ECFD nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn đó.
b) CMR: Góc AEF bằng góc ABC. Suy ra EF vuông góc với AB.
c) Cho EF=AB=2R (cm) và AC=R (cm). Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác FEC.
Có nhận xét gì về tam giác ACF?
d) Tính diện tích tam giác ABE theo R
Câu 26: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O)
tại A, lấy điểm C rồi vẽ tiếp tuyến thứ hai CT. Đường thẳng BT cắt AC tại M.
a) CMR: Từ giác AOTC nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn đó.
b) CMR: Tam giác CTM cân tại C
c) Tính diện tích tứ giác OBMC theo R nếu AC=
3
2
R
Câu 27: Cho đường tròn (O,R) AB là đường kính. Trên đường tròn lấy hai điểm M và N
(theo thứ tự A, M, N, B). AM cắt BN tại S, BM cắt AN tại H
a) CM: Tứ giác SMHN nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của SH và AB. Chứng minh SH vuông góc với AB tại K, suy ra
AM.AS=AK.AB
c) Giả sử MN//AB và MN=R. Tính diện tích hình phẳng được giới hạnh bởi SM, SN và
cung nhỏ MN theo R.
Câu 28: Cho tam giác ABC vuông tại A(AB<AC) và nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh tứ giác AMON là hình chữ nhật
b) Vẽ đường cao AH và tia phân giác trong góc A của tam giác ABC, tia phân giác này
cắt BC tại tại I và đường tròn tâm O tại E. Chứng minh rằng E là điểm chính giữa của
cung BC và OE vuông góc với BC
c) Chứng minh AE cũng là tia phân giác của góc OAH
d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt CB kéo dài tại S. Chứng minh tam giác SAI
cân tại S
Trang 22
Câu 29: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bẳng 675m
2
và chu vi bằng 120m. Tìm
chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Câu 30:Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của
một tam giác vuông nội tiếp đường tròn bán kính 6,5cm.Biết rằng hai cạnh góc vuông của
tam giác hơn kém nhau 7cm .
Câu 31: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 50km, rồi ngược dòng trở lại 32km hết tất
cả 4giờ 30phút.
Tính vận tốc dòng nước biết vận tốc thực của ca nô là 18km/giờ.
Câu 32: Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó có tổng các chữ số bằng 8 và nếu đổi
vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó tăng lên 18 đơn vị.
Câu 33: Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là
5, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó
tăng 630 đơn vị.
Câu 34: Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10km/h. Sau khi đi
được nữa quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghĩ 30 phút. Vì muốn đến B kịp giờ
nên người ấy phải đi với vận tốc 15 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB.
Câu 35: Hai máy bơm cùng bơm nước vào một bể sau
1
5
giờ thì đầy bể. Nếu máy bơm I bơm
trong 10 phút, máy bơm II bơm trong 6 phút thì hai máy bơm được
7
10
bể. Hỏi mỗi máy bơm
làm việc một mình mất bao nhiêu giờ?
Câu 36: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 5 và tổng các bình phương của chúng bằng 125.
Câu 37: Một ô tô dự định đi quãng đường AB dài 60km. Trong một thời gian nhất định, trên
nửa quãng đường AB do đường xấu nên ô tô chỉ đi với vận tốc ít hơn dự định 6km/h, Để đến
B đúng dự định, ô tô phải đi quãng đường còn lại với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định
10km/h. Tính thời gian dự định đi hết quãng đường.
Câu 38: Đồng lúa của xã Đại Đồng rộng hơn đồng lúa của xã Bình Minh là 12ha. Trong vụ
thu hoạch, xã Đại Đồng thu được 1470 tấn, còn xã Bình Minh thu được 1440 tấn. Tuy nhiên,
năng suất lúa ở xã Bình Minh cao hơn ở xã Đại Đồng là 1 tạ/ha. Tính năng suất lúa ở mỗi xã.
(49, 50)
Câu 39: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ TP Hồ Chí Minh đi Tiền
Giang. Xe du lịch có vận tốc hơn vận tốc của xe khách là 20 km/h, do đó nó đến Tiền Giang
trước xe khách 25 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng khoảng cách giữa TP Hồ Chí
Minh và Tiền Gaing là 100km. (Khách: 60, du lịch: 80)
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN:
Câu 1:
3
23
4
) ) )
1 1 11
4
7
22
1
9
) ) )
2
1 13
21
9
74
1 2 4
109
) ) ) )
1 158 2 2
109
x
xx
a b c
yy
y
x
x
x
d e f
y
y
y
x
x x x
g h i k
y y y
y






Trang 23
Câu 2:
48 17 12 3
5 3 2
23 13
) ) ) )
3 66
1 2 5 3 7
23
13
xx
xx
a b c d
y
y
y
y


e) Đặt
11
3 2 1 2 3
ab
x y x y

Giải hệ phương trình được
2
7
5
28
a
b
Sau đó giải hệ phương trình theo ẩn x, y ta được
0,95
0,825
x
y
Câu 3: có nghiệm
3a
; a=3
Câu 4: Vô nghiệm m
-8; có vô số nghiệm m=-8
Câu 5:
a) Đồ thị HS tự vẽ
b) (1;1); (-3;9)
Câu 6:
a) HS tự vẽ
b) A(-1; 0,5); B(2;2)
c) C(1; 0,5)
Câu 7:
a) a=
1
3
b) y
N
=
4
3
c) x=
3
Câu 8:
a) (0;0); (1,5; 18)
b) (P) cắt (d) khi m>
17
8
; (P) tiếp xúc (d) khi m=
17
8
; (P) không cắt (d) khi m<
17
8
Câu 9:
a) HS tự vẽ
b) Tìm A(-2; 1) và B(4;4), rồi viết phương trình đường thẳng y=
1
2
x+2
Câu 10:
a) 5; -1 b) -3; -5 c)
25
3

d)
7
2
e)
2 2 3
f)
1
3
g)
2
h)
2
2;
3
i) 4 j)4;
2
3
k)3 l) 2 m)3;
1
4
Câu 11: sử dụng hệ thức viet để tìm x
2
, thay x
1
vào phương trình để tìm m
a) x
2
=-7; m=-3
b) x
2
=3; m=
22
3
c) x
2
=6; m=
5
4
d) x
2
=1; m=-2
Câu 12:
Trang 24
I
E
B
A
C
M
H
D
a) m=4 b)m=-2 x
1,2
=
10
Câu 13:
a)
17
3
b)12 c)
7
3
d)
9
5
Câu 14:
a) m>-4 b) m=-4; x
1
=x
2
=-1
Câu 15:
a) Chứng minh
>0 với mọi m
b) S=3m; P=2m+4
c) m=2; x
2
=4
d) m=0
e) m=
3
2
Câu 16:
a) 1; -2 b)
0 m
c)GTNN
11
3
khi m=
2
3
Câu 17:
a)
32
b) Chứng minh
'
>0 với mọi m
c) GTNN -6 khi m=1
Câu 18:
a) m=2; x
2
=3 b) Chứng minh
'
>0 với mọi m
c) GTNN:
31 5
;
44
m
d) m=6
e) m=1 f) m<5 g) m>5
Câu 19:
a) 1; -3 b) m
2
c) m=
1
2
d) GTLN: 2 khi m=-2
Câu 20:
a) m<5 b) m=5 nghiệm kép x=2 c) m>5
Câu 21:
a) 1; 3 b) m
3
2
c) m=
1
4
Câu 22:
a) m
1 b)-4; 2 c) m=
1
2
Câu 23:
a) Vận dụng hai mút của đường kính và tâm của đường tròn là ba điểm thẳng hàng
b) Chứng minh
0
0
90
90
AIE
IAE IEA

00
90 ( ó AHC 90 )C HAE AHC c
Chứng minh
IAE
=
C
và
IEA
=
HAE
c) Chứng minh AE=4cm, tính AC (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam
Trang 25
N
P
C
A
B
S
I
M
O
F
O
B
E
A
C
D
H
x
T
O
M
A
B
C
H
M
N
O
B
S
A
K
O
C
S
B
A
M
N
H
E
giác vuông AHC); tính EC=AC – AE; Tính đường cao HF của tam giác HEC (áp dụng hệ
thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông AHF); Tính S
HCE
=
1
2
EC.HF
Câu 24:
a) Sử dụng dấu hiệu 4
b) Chứng minh
ADB NDB
bằng cách sử dụng góc
trung gian
ACB
c) Chứng minh SM, MN cùng vuông góc với BC
(cách thứ hai trong chứng minh ba điểm
thẳng hàng)
Câu 25:
a) Sử dụng dấu hiệu một
b) Tìm góc trung gian là góc ADC
c) Hai tam giác ABC và tam giác FEC bằng nhau (Cạnh huyền –
góc nhọn). Tam giác ACF vuông cân tại C
d) S
ABE
=
1
2
HE. AB; Tính HE áp dụng hệ
thức giữa
cạnh và góc trong tam giác vuông AEH
Câu 26:
a) Dấu hiệu 1
b) Chứng minh
M CTM
BTx
c) S
OBMC
=S
ABM
– S
ACO
.
Câu 27:
a) Dấu hiệu 1
b) SH là đường cao thứ ba của tam giác SAB; Chứng minh hai
tam giác ASK và ABM đồng dạng
c) S
OMSN
- S
quạtMON
.
Câu 28:
a) Hình bình hành có một góc vuông
b)
EB EC
, từ đó suy ra OE vuông góc với BC
c)
OAE EAH
(góc trung gian
OEA
)
d)
SAI SIA
| 1/25
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

ĐỀ CUƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN 9 HỌC KÌ II I. LÝ THUYẾT:
A. HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
Câu 1: Nêu khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn.
Áp dụng cho phương trình x+3y=4, tìm nghiệm tổng quát của phương trình. Trả lời:
Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax+by=c, trong đó a, b và c là các số đã biết a  0 hoặc b  0.
x  4  3y
Áp dụng: nghiệm tổng quát của phương trình là   y
Câu 2: a) Nêu định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x và y. Cho ví dụ
b) Trong trường hợp nào thì (x0; y0) là nghiệm của hệ phương trình hai ẩn. Trả lời:
a) Cho hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by=c và a’x+b’y=c’. Khi đó, ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
ax by c (1)  (I )
a ' x b ' y c ' (2)
2x y  2 
2x  3y  5 Ví dụ: a /  b / 
x y  1
x  2y  8 
b) Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ (I)
Câu 3: Nêu các bước giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.
2x y  2 
2x  3y  5
Áp dụng giải hệ phương trình a /  b / 
x y  1
x  2y  8  Trả lời:
Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Dùng guy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong
đó có một phương trình một ẩn.
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Áp dụng:
2x y  2 
2x  (1 x)  2  x  1  a)     
x y  1 y  1 xy  0
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-1; 0)
2x  3y  5
2(2y  8)  3y  5 b)   
x  2y  8
x  2y  8
4y 16  3y  5 7 y  21 x  2      
x  2y  8
x  2y  8 y  3
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (-2;3)
Câu 4: Nêu các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng.
Áp dụng giải các hệ phương trình sau:
x  5y  7
2x  5y  2  a)  b)  3
x  2y  4 3
x  2y  4 Trả lời:
Các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng Trang 1
Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (Nếu cần) sao cho các hệ số của cùng
một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.
Áp dụng quy tắc cộng đại số để được một hệ phương trình mới, trong đó một phương trình có
hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (Tức là phương trình một ẩn)
Giải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Áp dụng
x  5y  7 3
x 15y  21 17  y 17 a)     3
x  2y  4 3
x  2y  4
x  5y  7 y  1 x  2     x  5.1  7 y 1
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1)
2x  5y  2 
4x 10y  4  19  x 16 b)      3
x  2y  4 15
x 10y  20 3
x  2y  4  16  16 x x     19  19     16 14  3  2 y 4     y   19  19  
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 16 14  ;   19 19 
Câu 5: Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình Trả lời:
Bước 1: Lập hệ phương trình
 Chọn 2 ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
 Lập hệ phương trình
Bước 2: Giải hệ phương trình
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa điều
kiện bài toán rồi kết luận.
B. HÀM SỐ y=ax2 (a 0) – PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN:
Câu 1: Nêu các tính chất của hàm số y=ax2 (a  0).
Áp dụng: nêu tính chất của hàm số y=-2x2. Trả lời
Hàm số y=ax2 (a  0) được xác định với mọi giá trị của x thuộc
Tính chất của hàm số y=ax2 (a  0) a>0 a<0
Hàm số đồng biến khi x>0 và nghịch biến Hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi khi x<0 x>0
y=0 là giá trị nhỏ nhất (khi x=0)
y=0 là giá trị lớn nhất (khi x=0) Áp dụng:
Hàm số y=-2x2 có dạng y=ax2 với a=-2<0
Hàm số xác định với mọi x
Hàm số đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0
y=0 là giá trị lớn nhất của hàm số (khi x=0)
Câu 2: Nêu nhận xét đồ thị của hàm số y=ax2 (a  0)
Áp dụng vẽ đồ thị của hàm số y=2x2. Trả lời: Trang 2 Nhận xét
Đồ thị của hàm số y=ax2 (a  0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm
trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.
Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thi Áp dụng: x -2 -1 0 1 2 y=-2x2 -8 -2 0 -2 -8 5 5 2 4 6 8 10
Câu 3: Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn. Cho ba ví dụ về phương trình bậc hai.
Áp dụng: Với giá trị nào của a thì phương trình (4 – a2)x2+ax – 3=0 là phương trình bậc hai. Trả lời: Định nghĩa:
Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2+bx+c=0, x là ẩn số; a, b, c là những
số cho trước gọi là các hệ số và a  0. Ví dụ: -3x2 – 7x+10=0
Áp dụng: phương trình (4 – a2)x2+ax – 3=0 là phương trình bậc hai.
 4 – a2  0  4  a2  a  2 
Câu 4: Trình bày công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 (a  0)
Áp dụng giải phương trình -3x2 – 7x+10=0 Trả lời:
Công thức tính nghiệm của phương trình ax2 + bx +c = 0 (a  0) .
= b2 – 4ac b  
  > 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1 = ; x1 = 2ab   2ab
  = 0 phöông trình coù nghieäm keùp :x1 = x2 = 2a
  < 0 phöông trình voâ nghieäm Áp dụng: 2   ( 7)   4.( 3
 ).10 169  0    169 13
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 7 13 1  0 7 13 x   ; x   1 1 2 2.( 3  ) 3 2.( 3  )
Câu 5: Trình bày công thức nghiệm thu gọn của phương trình ax2+bx+c=0 (a  0)
Áp dụng: Giải phương trình x2+6x – 7=0 Trả lời: Trang 3
Phương trình: ax2 +bx + c = 0 (a  0) có hệ số b là số chẵn, ta có thể sử dụng công thức
nghiệm thu gọn với b’ = b ; ’ = b’2 – ac 2 ' b   '
 ’ > 0 phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät: x1 = ; x a 2 = ' b   ' a b'  
’ =0 phöông trình coù nghieäm keùp :x1 = x2 = a
 ’ < 0 phöông trình voâ nghieäm Áp dụng: x2+6x – 7=0 ' 2 '   3 1.( 7
 ) 16  0    16  4
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 3   4 3   4 x   1; x   7 1 2 1 1
Câu 6: Phát biểu hệ thức Vi et về tổng và tích hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 (a  0)
Áp dụng: Trong các phương trình sau, phương trình nào có nghiệm? Đối với phương trình có
nghiệm, hãy tính tổng và tích các nghiệm của phương trình mà không giải phương trình đó. a) 2x2 – 3x+2=0 b) 3x2+x – 10=0 c)-9x2 – 6x – 1=0 Trả lời
a) Ñònh lyù thuaän: Neáu phöông trình baäc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0 ) coù hai nghieäm x1, x2 thì  b
S x x   1 2
toång vaø tích cuûa chuùng laø :  a
P x .  c x  1 2 a
b ) Ñònh lyù ñaûo : Neáu hai soá x1 vaø x2 maø toång x1 + x2 = S vaø tích x1.x2 =P và S2 – 4P  0
thì hai soá naøy laø nghieäm cuûa phöông trình: X2 – SX + P = 0. Áp dụng:
a) 2x2 – 3x+2=0 (1) (a=2, b=-3, c=2) 2
  b  4ac =(-3)2 – 4.2.2=9 – 16=-7<0
Vậy phương trình (1) vô nghiệm
b) 3x2+x – 10=0 (2) (a=3, b=1, c=-10) 2
  b  4ac =12 – 4.3.(-10)=1+120=121>0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và b  1  x x   1 2 a 3 c 10 x .x    1 2 a 3
c) -9x2 – 6x – 1=0 (3) (a=-9, b=-6, c=-1) 2
  b  4ac =(-6)2 – 4.(-9).(-1)=36 – 36=0
Vậy phương trình (3) có nghiệm kép b 6 2 x x    1 2 a 9 3 c 1 1 x .x    1 2 a 9 9
Câu 6: Định nghĩa và cách giải phương trình trùng phương Trang 4
Áp dụng: Giải phương trình 3x4+4x2 – 7=0 Trả lời:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4+bx2+c=0
Đặt t=x2 (điều kiện t  0), ta có phương trình at2+bt+c=0 (*)
Giải (*) rồi chọn nghiệm t  0, lúc đó x=  t Áp dụng: 3x4+4x2 – 7=0
Đặt t=x2 (điều kiện t  0)
Ta có phương trình 3t2+4t – 7=0 (*)
Vì (*) có a+b+c=3+4+(-7)=0 nên phương trình (*) có hai nghiệm t1=1>0 (nhận) c 7 t2=   (loại) a 3
Với t=1  x2=1  x=  1
Câu 7: Cho phương trình : 2
ax bx c  0 (a  0) có hai nghiệm x1 và x2 .Chứng minh :     b S x x 1 2 a   c P x x 1 2 a Trả lời: ta có ìï - b+ D ïï x = 1 ïï 2a í ïï - b- D ï x = ï 2 ïî 2a - b+ D - b- D - 2b - b Þ x + x = + = = 1 2 2a 2a 2a a 2 2 2 - b+ D - b- D (- ) b - D
b - b + 4ac c x .x = . = = = 1 2 2 2 2a 2a 4a 4a a
Câu 8: Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình Trả lời:
Bước 1: Lập phương trình
 Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết  Lập phương trình
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa điều kiện
bài toán rồi kết luận.
C. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN:
Câu 1: Giữa hai đường tròn có mấy vị trí tương đối? Kể ra và vẽ hình mô tả. Trả lời:
Giữa hai đường tròn (O) và (O’) có ba vị trí tương đối
Hai đường tròn không giao nhau (không có điểm chung)
Hai đường tròn ở ngoài nhau
Hai đường tròn đựng nhau Trang 5 O O' O O'
Hai đường tròn tiếp xúc nhau (có một điểm chung)
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài
Hai đường tròn tiếp xúc trong O O' O O'
Hai đường tròn cắt nhau (có hai điểm chung) A O O' B
Câu 2: Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’) khi hai đường tròn này có: a) 4 tiếp tuyến chung b) 3 tiếp tuyến chung
c) Không có tiếp tuyến chung
Vẽ hình mô tả mỗi trường hợp Trả lời: O O' O O' O O' Hình 1 Hình 2 Hình 3
Số tiếp tuyến của hai đường tròn Vị trí tương đối của (O) và (O’) 4 Ngoài nhau (Hình 1) 3 Tiếp xúc ngoài (Hình 2) 0 Đựng nhau (Hình 3)
Câu 3: Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa
đoạn nối tâm d với các bán kính R, r. Trả lời:
Vị trí tương đối của hai đường tròn (O;R) Số điểm
Hệ thức giữa d với R và r và (O’;r) (R>r) chung
Hai đường tròn cắt nhau 2
R – rHai đường tròn tiếp xúc nhau  Tiếp xúc ngoài 1 d=R+r  Tiếp xúc trong d=R – r
Hai đường tròn không giao nhau 0 Trang 6
 (O) và (O’) ở ngoài nhau d>R+r  (O) đựng (O’)
d (O) và (O’) đồng tâm d=0
Câu 4: a) Nêu định nghĩa góc ở tâm. Vẽ hình
b) Định nghĩa số đo của một cung trên trên một đường tròn.
Áp dụng: Trên đường tròn (O) lấy ba điểm A, B, C sao cho AOB =900 và số đo của cung
nhỏ BC bằng 300 (Điểm C nằm trên cung nhỏ AB). Tính số đo của góc AOC và số đo cung lớn AB Trả lời:
a) Góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn được gọi là góc ở tâm. A m B O n
b) Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó A
Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo của cung nhỏ (Có n
chung hai mút với cung lớn)
Số đo của nửa đường tròn bằng 1800 C m Áp dụng: B O 0
AOB  90  sđ ACB =900
Vậy sđ AnC =sđ ACB - sđ BmC =900 – 300=600 0  AOC  60
Số đo cung lớn AB bằng 3600 - sđ ACB =3600 – 900=2700.
Câu 5: Trên đường tròn (O) cho hai điểm A và B và điểm C nằm trên cung nhỏ AB.
Chứng minh sđ AB =sđ AC +sđ CB
Áp dụng: Trên đường tròn (O) cho ba điểm I, J, K sao cho tam giác OIJ đều và OJ  OK. Tính số đo cung lớn IK. Trả lời:
Chứng minh sđ AB =sđ AC +sđ CB
Ta có điểm C nằm trên cung AB A C
Do đó OC nằm giữa hai tia OA, OB B
AOB AOC BOC O
Hay sđ AB =sđ AC +sđ CB (đpcm) Áp dụng: Ta có tam giác OIJ đều m I J Do đó 0
IOJ  60  sđ Im J =600 Mặt khác ta có OJ  OK n 0 O Do đó 0
JOK  90  JnK  90 K
sđ IJK  sđ Im J +sđ JnK =600+900=1500.
Số đo cung lớn IK là 3600 – 1500=2100.
Câu 6:Phát biểu các định lí liên hệ giữa cung và dây.
Áp dụng: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết Â=500 và B =650. So sánh hai cung nhỏ AB và AC. Trang 7 Trả lời: Định lí 1:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau Định lí 2:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b) Dây lớn hơn căng cung lớn hơn Áp dụng: A Trong tam giác ABC, có 0 0 0 0 0
C  180  ( A B)  180  (50  65 )  65     O Do đó 0 B C 65 ABC cân tại A Nên AB=AC B C
Vậy hai cung nhỏ AB và AC bằng nhau
Câu 7: Chứng minh định lí: “Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
c) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
d) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau” Trả lời:
a) Xét  OAB và  OCD có OA=OC (bán kính)
AOB COD (vì AB CD ) OB=OD (bán kính)
Do đó  OAB=  OCD (c – g – c) A B
AB=CD (hai cạnh tương ứng) b) Xét  OAB và OCD có AB=CD (gt) O OA=OC (bán kính) OB=OD (bán kính) C
Do đó  OAB=  OCD (c – c – c) D
AOB COD (hai góc tương ứng)
Vậy AB CD
Câu 8: Định nghĩa góc nội tiếp và phát biểu (không chứng minh) định lí tính số đo của góc nội tiếp.
Áp dụng: Xem hình bên (hai đường tròn có tâm O và tâm B, Điểm B nằm trên đường tròn
tâm O). Số đo của góc JOI bằng bao nhiêu biết 0 MAN  30 A B M N O J I Trả lời: Trang 8 Định nghĩa:
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó
Cung nằm bên trong góc gọi là cung bị chắn A A C B O O C B
Định lí: Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn Áp dụng:
Đối với đường tròn (B), ta có MBN  sđ 0
MN  2.MAN  60
Đối với đường tròn (O), ta có IOJ =sđ 0 0
IJ  2.MBN  2.60  120
Câu 9: Chứng minh định lí “Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo
của cung bị chắn” (trường hợp O nằm trên một cạnh của góc) Trả lời:
Ta có  OAC cân tại O (OA=OC=bán kính) A C
Do đó OAC OCA
Mặt khác ta có BOC là góc ngoài của  OAC
Do đó BOC OAC OCA OAC OAC  2OAC O 1 1
OAC BOC  sđ BC 2 2 B 1 Hay BAC  sđ BC (đpcm) 2
Câu 10: Phát biểu các tính chất về góc nội tiếp trong một đường tròn Trả lời: Trong một đường tròn:
Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Câu 11: Chứng minh định lí “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa
số đo của cung bị chắn” (trường hợp tâm nằm bên ngoài góc) Trả lời: Kẻ OH  AB C Ta có  OAB cân tại O
Do đó OH là tia phân giác của góc AOB B 1 1    sđ 1 O AOB AmB O 2 2 1 H Mà BAx  (cùng phụ với 1 O OAB ) 1 Nên BAx  sđ AmB A x 2
Câu 12: Chứng minh định lí :Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai Trang 9 cung bị chắn”. m Trả lời: A D E
Ta có BEC là góc ngoài của  BDE O C
Do đó BEC BDE DBE 1 1 1 B BEC
sđ BnC + sđ AmD = ( sđ BnC +sđ AmD ) n 2 2 2
Câu 13: Phát biểu (không chứng minh) định lí về số đo của góc có đỉnh ở bên A trong đường tròn. D m
Áp dụng: Tính số đo của góc  trong hình bên, biết sđ 0 AmC  90 và M sđ 0 BnD  200 C O n Trả lời: D
Định lí: Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn. Áp dụng:
Ta có DMC là góc có đỉnh bên trong đường tròn 1 1 1 DMC
(sđ CD +sđ AD )= (3600 – sđ AmC - sđ BnD )= (3600 – 900 – 2000)=350. 2 2 2
Câu 14: Chứng minh định lí “Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn” Trả lời: D C F
Ta có BAC là góc ngoài của ACF
Do đó BAC AFC ACF O 1 1 1 A
AFC BAC ACF =B sđ BC - sđ AD = (sđ BC -sđ AD ) 2 2 2
Câu 15: Phát biểu (không chứng minh) định lí về số đo của góc có đỉnh ở P bên ngoài đường tròn.
Áp dụng: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), AD và BC kéo dài cắt
nhau tại P. Tính số đo của APB biết 0 ADB  16 và 0 DOC  120 Trả lời: A
Định lí: Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung B bị chắn O Áp dụng: ta có 0 ADB  16 D
Do đó sđ AB =2. ADB =2.160=320. C Mặt khác ta có 0 DOC  120 Do đó sđ DC = 0 DOC  120 1  1 APB
(sđ DC -sđ AB )= (1200 – 320)=440 2 2
Câu 16: Chứng minh định lí “Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 1800” B A . Cho đường tròn (O) GT . ABCD nội tiếp (O) O D C Trang 10 0 A C  180 KL 0 B D  180
Ta có: A  1 sđ BCD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn) 2
C  1 sđ BAD ( sđ góc nội tiếp bằng nửa sđ cung bị chắn) 2 1 1  A C
sđ( BCD BAD ) = . 0 360 = 0 180 2 2 Tương tự: 0
B D  180 ( hoặc 0 0 0
B D  360 180  180 : tính chất tổng 4 góc của tứ giác)
Câu 17: Tứ giác nội tiếp là gì? Phát biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp. Định
lí về tứ giác nội tiếp. Trả lời: * Định nghĩa:
Một tứ giác có 4 đỉnh nằm trên đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.
* Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) điểm đó là tâm của
đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc 
* Định lí thuận: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
* Định lí đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800 thì tứ giác đó nội
tiếp được đường tròn.
Câu 18:Viết công thức tính chu vi của đường tròn
Áp dụng: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH với BH=2 3 cm và CH=6 3
cm. Tính chu vi của các đường tròn (B;BA) và (A; AH) Trả lời:
Công thức tính chu vi của đường tròn C=2  R hay C=  d B
Trong đó R là bán kính của đường tròn, d là đường kính đường H tròn Áp dụng: A C
Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC
AB2=BH.BC=2 3 .(2 3 +6 3 )=2 3 .8 3 =16.3=48  AB  4 3 cm AH2=HB.CH=2 3 .6 3 =12.3=36  AH  36  6 cm
Chu vi của đường tròn (B; BA) là 2 .BA=2.  4 3 =8  3 (cm)
Chu vi của đường tròn (A, AH) là 2 .AH=2  .6=12  (cm) A B
Câu 19: Viết công thức tính diện tích hình tròn và hình quạt tròn.
Áp dụng: Tính diện tích của phần hình quạt AOB và hình tròn trong
hình vẽ bên, biết OA=5cm, 0 AOB  50 . O Trang 11 Trả lời:
Công thức tính diện tích hình tròn S= R2
Trong đó: S là diện tích của hình tròn, R là bán kính của hình tròn 2 
Công thức tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, R n lR cung n0 là S  hay S  360 2
Trong đó: l là độ dài cung của hình quạt tròn Áp dụng: Diện tích hình tròn
S=  .OA2=  .52=25 (cm2) Diện tích hình quạt 2 .OA .60 25 SAOB=  (cm2) 360 6
Câu 20 : Chứng minh rằng trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song
thì bằng nhau. (Chú ý: Học sinh chỉ chứng minh một trường hợp: một trong hai dây, có
một dây đi qua tâm cuả đường tròn) Trả lời: Cho đường tròn (O) C D CD: dây cung GT AB: đường kính A B AB // CD O KL AC BD
Ta có: AOC OCD ( So le trong)
BOD ODC ( So le trong)
Mà OCD ODC ( OCD cân tại O)
AOC BOD
AC BD ( 2 góc ở tâm bằng nhau thì chắn 2 cung bằng nhau)
II/ CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP: ĐẠI SỐ:
1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
ax by c
a) Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng  I
a ' x b ' y c ' + a b
Hệ (I) có nghiệm duy nhất   a ' b ' + a b c Hệ (I) vô nghiệm    a ' b ' c ' + a b c
Hệ (I) có vô số nghiệm khi   a ' b ' c '
b) Các bước giải hệ pt bằng phương pháp thế:
Bước 1: Biểu thị một ẩn (Giả sử ẩn x) theo ẩn kia từ một trong hai phương trình (Lưu ý chọn
các ẩn có hệ số bằng 1 hoặc -1)
Bước 2: Thay biểu thức của x vào pt kia rồi tìm giá trị của y.
Bước 3: Thay giá trị của y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm giá trị của x.
Bước 4: Kết luận nghiệm của hệ pt.
c) Các bước giải hệ pt bằng phương pháp cộng:
Bước 1: Biến đổi các hệ số của một ẩn (Giả sử x) có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Trang 12
Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế của hai pt để khử ẩn của x. (Hệ số của ẩn x ở hai pt có dấu
giống nhau ta làm phép trừ, có dấu khác nhau ta làm phép cộng)
Bước 3: Giải pt tìm giá trị của y.
Bước 4: Thay giá trị của y vừa tìm được vào một trong hai pt ban đầu để tìm giá trị của x
(Lưu ý chọn pt đơn giản)
Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ pt.
d) Các bước giải bài toán bằng cách lập pt:
Bước 1:Lập hệ pt
+ Chọn các ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Chú ý phải ghi rõ đơn vị của ẩn.
+ Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập hệ pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải hệ pt.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ pt nghiệm nào thích hợp với điều kiện bài toán rồi kết luận.
2. HÀM SỐ y=ax2 (a 0), PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN:
a. Hàm số y=ax2 (a 0) Tính chất Nếu a>0
+ Hàm số nghịch biến khi x<0, đồng biến khi x>0
+ y=0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số, đạt được khi x=0 Nếu a<0
+ Hàm số hàm số nghịch biến khi x>0, đồng biến khi x<0
+ y=0 là giá trị lớn nhất của hàm số, đạt được khi x=0
b. Đồ thị của hàm số y=ax2 (a 0)
* Cách vẽ đồ thị hàm số y=ax2 (a  0)
+ Lập bảng giá trị gồm có 5 cặp giá trị + Vẽ đồ thị
* Xác định giao điểm của hai đồ thị Parabol (P) y=ax2 (a  0) và đường thẳng (d) y=bx+c (b  0)
+ Lập pt hoành độ giao điểm a2x=bx+c
+ Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế, rồi giải pt bậc hai để tìm x
+ Thay các giá trị x vừa tìm được vào một trong hai pt của (P) hoặc (d) để tìm giá trị y
+ Kết luận tọa độ giao điểm của hai đồ thị.
* Biện luận giao điểm của Parabol (P) y=ax2 (a  0) và đường thẳng (d) y=bx+c (b  0)
Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm, chuyển các hạng tử sang vế trái, vế phải bằng 0 ta được pt bậc hai một ẩn.
Bước 2: Tính hệ thức  hoặc  '
Bước 3: Biện luận
+ Nếu  >0 hoặc  ' >0 thì (P) cắt (d)
+ Nếu  =0 hoặc  ' =0 thì (P) tiếp xúc (d)
+ Nếu  <0 hoặc  ' <0 thì (P) không cắt (d)
c. Công thức nghiệm của pt bậc hai: * Công thức nghiệm:
Pt bậc hai ax2+bx+c=0 (a  0)  =b2 – 4ac      
Nếu  >0 thì pt có hai nghiệm phân biệt b b x  à x v  1 2 2a 2a
Nếu  =0 thì pt có nghiệm kép b x x  1 2 2a Trang 13
Nếu  <0 thì pt vô nghiệm
* Công thức nghiệm thu gọn
Pt bậc hai ax2+bx+c=0 (a  0) và b=2b’ (hay b’=b:2)  ' =b’2 – ac       Nếu  b ' ' b ' '
' >0 thì pt có hai nghiệm phân biệt x  à v x  1 2 a a  Nếu  b '
' =0 thì pt có nghiệm kép x x  1 2 a
Nếu  ' <0 thì pt vô nghiệm
* Các phương pháp giải pt bậc hai:
Phương pháp 1: Dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn.
Phương pháp 2: Trong các trường hợp đặc biệt: + c
Nếu a+b+c=0 thì pt có hai nghiệm x1=1 và x  2 a + c
Nếu a – b+c=0 thì pt có hai nghiệm x1=-1 và x2= a
* Lưu ý trước khi giải pt bậc hai ta phải xét xem pt đó có ở dạng đặc biệt nào không, rồi
mới áp dụng để giải.
d. Điều kiện có nghiệm của pt bậc hai:
* Pt bậc hai ax2+bx+c=0 (a  0)
+ Pt vô nghiệm khi  <0 hoặc  ' <0
+ Pt có nghiệm khi   0 hoặc  '  0
+ Pt có nghiệm kép khi  =0 hoặc  ' =0
+ Pt có hai nghiệm phâm biệt khi  >0 hoặc  ' >0
* Lưu ý trong trường hợp hệ số a có chứa tham số, ta cần xét hai trường hợp
Trường hợp 1: a=0, ta có pt bx+c=0, giải pt bậc nhất Trường hợp 2: a  0 a  0
+ Điều kiện để pt có hai nghiệm phân biệt   hoặc     0  '  0 a  0 a  0
+ Điều kiện để pt có nghiệm kép  hoặc    0  '  0
e. Hệ thức Viet và các ứng dụng:
Pt bậc hai ax2+bx+c=0 (a  0) có hai nghiệm x1, x2
* Hệ thức Vi ét  b
S x x   1 2  acP x x  1 2  a
* Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số u+v=S và uv=P
Thì u và v là hai nghiệm của pt x2 – Sx+P=0
* Tìm giá trị của biếu thức đối xứng giữa các nghiệm:  b
S x x   1 2  Bước 1: a Tính  cP x x  1 2  a Bước 2: Tính Trang 14 2 2 2 2 2
x x S  2P ;
(x x )  S  4P 1 2 1 2 3 3 3
x x S  3SP 1 2 2 1 1 S 1 1 S  2P   ;   2 2 2 x x P x x P 1 2 1 2 2 x x S  2 P ; x x S  4P 1 2 1 2
f. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số: a  0
Bước 1: Tìm điều kiện của m để pt có hai nghiệm x1, x2     0
x x f (m)
Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet ta được 1 2  (I)
x x g(m)  1 2
Bước 3: Khử m từ hệ (I) ta được hệ thức cần tìm
g. Xét dấu các nghiệm:
Pt bậc hai ax2+bx+c=0 (a  0)  b
S x x   1 2 
Bước 1: Dùng hệ thức Vi et tính acP x x  1 2  a
Bước 2: Lập luận ( ')  0
+ Pt có hai nghiệm trái dấu   P  0 ( ')  0
+ Pt có hai nghiệm cùng dấu   P  0 ( ')  0 
+ Pt có hai nghiệm dương  P  0 S  0  ( ')  0 
+ Pt có hai nghiệm âm  P  0 S  0  ( ')  0
+ Pt có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau   P  1 ( ')  0
+ Pt có hai nghiệm là hai số đối nhau khi  S  0
h. Tìm điều kiện của m để các nghiệm của pt thỏa mãn một điều kiệm K cho trước. a  0
Bước 1: Tìm điều kiệm của m để pt có hai nghiệm x1, x2 khi  ( ')  0
x x f (m)
Bước 2: Áp dụng hệ thức Viet, ta được 1 2  (I)
x x g(m)  1 2
Bước 3: Biểu diễn điều kiện K thông qua (I)
Bước 4: Kết luận
i. Tìm nghiệm còn lại của pt và tìm tham số m
+ Nếu cho nghiệm x1, tìm nghiệm x2 dùng hệ thức Viet + Tìm m có hai cách:
Cách 1: Dùng hệ thức Viet Trang 15
Cách 2: Thay giá trị x1 vào pt bậc hai để tìm giá trị m
j. Phương trình quy về pt bậc hai:
* Pt chứa ẩn ở mẫu:
Bước 1: Tìm ĐKXĐ của pt
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế, rồi khử mẫu
Bước 3: Giải pt vừa nhận được
Bước 4: Kiểm tra các giá trị tìm được ở trên có thõa mãn ĐKXĐ không rồi kết luận
* Giải pt bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 (1)
Bước 1: Dự đoán nghiệm x0 của pt (1)
Các phương pháp dự đoán nghiệm:
+ Nếu a+b+c+d=0 thì (1) có nghiệm x=1
+ Nếu a-b+c-d=0 thì pt (1) có nghiệm x=-1
+ Nếu a,b,c,d nguyên và (1) có nghiệm hữu tỉ p thì p,q theo thứ tự là ước của d và a q
+ Nếu ac3=bd3 (a, d  0) thì pt (1) có nghiệm x= c bx x
Bước 2: Phân tích (1) thành (x – x  0)(ax2+b1x+c1)=0 0  2
g(x)  ax b x c  0(2)  1 1
Lưu ý: để phân tích (1) thành (x – x0)(ax2+b1x+c1)=0, ta lấy (1) đem chia cho x – x0 ta được ax2+b1x+c1
Bước 3: Giải (2) rồi kết luận nghiệm của pt (1)
* Giải pt trùng phương ax4+bx2+c=0 (1)
Bước 1: Đặt t=x2 điều kiện t  0
Bước 2: Khi đó pt(1) được biến đổi về dạng at2+bt+c=0 (2)
Bước 3: Giải (2) để tìm nghiệm t, từ đó suy ra nghiệm x cho pt (1) (Lưu ý nghiệm t khi giải
xong phải kiểm tra xem có thỏa mãn điều kiện hay không)
Chú ý: nếu pt (2) có nghiệm t0 0 thì pt (1) có hai nghiệm x= t 0
* Phương trình tích: A  0  . A .
B C  0  B  0  C  0 
k. Giải bài toán bằng cách lập pt: Bước 1:Lập pt
+ Chọn các ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn. Chú ý phải ghi rõ đơn vị của ẩn.
+ Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. Bước 2: Giải pt.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của pt nghiệm nào thích hợp với điều kiện bài toán rồi kết luận. *HÌNH HỌC:
Các phương pháp giải bài toán hình học:
Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
 Vận dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng
 Vận dụng hai tam giác bằng nhau
 Vận dụng định nghĩa các hình
 Vận dụng tính chất các hình
Dạng 2: Chứng minh hai góc bằng nhau
 Vận dụng yếu tố số đo của góc Trang 16
 Vận dụng hai tam giác bằng nhau, hai tam giác đồng dạng
 Vận dụng định nghĩa các hình
 Vận dụng tính chất các hình
Dạng 3: Chứng minh hai cung bằng nhau (Lưu ý trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau)
 Hai cung có cùng số đo
 Hai cung (Nhỏ hơn nửa đường tròn) có dây trương cung bằng nhau
 Hai cung (nhỏ hơn nửa đường tròn) có góc ở tâm bằng nhau
 Hai cung bị chằn bởi hai góc nội tiếp bằng nhau
 Hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau
 Đường kính vuông góc với một dây thì chia cung bị trương thành hai phần bằng nhau
 Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì chia cung bị trương thành hai phần bằng nhau
Dạng 4: Chứng minh hai đường thẳng song song
 Vận dụng dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
 Vận dụng quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song
 Vân dụng tính chất đường trung bình của tam giác của hình thang
 Vận dụng tính chất của các tứ giác đặc biệt
 Vận dụng định lí Talet đảo
Dạng 5: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
 Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng là góc vuông
 Vận dụng tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù
 Vận dụng tính chất của tam giác cân, tam giác vuông
 Vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác
 Vận dụng tính chất các đường chéo của hình thoi, hình vuông
 Vận dụng định lí Pytago đảo
 Vận dụng đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó
 Vận dụng tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
 Vận dụng đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau là đường trung trực của dây
chung, từ đó đường nối tâm thì vuông góc với dây chung
 Vận dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Dạng 6: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
 Vận dụng tính chất của hai tia đối nhau
 Vận dụng hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một
đường thẳng thì trùng nhau
 Vận dụng tính chất các đường đặc biệt trong tam giác
 Vận dụng tính chất các đường chéo các tứ giác đặc biệt
 Vận dụng hai mút của đường kính và tâm của đường tròn là ba điểm thẳng hàng
 Vận dụng hai tâm của đường tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm là ba điểm thẳng hàng
Dạng 7: Chứng minh tứ giác nội tiếp
 Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng 1800
 Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó
 Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định). Điểm đó là tâm của đường
tròn ngoại tiếp tứ giác
 Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a
Dạng 8: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
 Giao điểm của hai đường thẳng nằm trên đường thẳng còn lại Trang 17
 Chỉ ra một điểm thuộc cả ba đường thẳng
 Vận dụng tính chất đồng quy của ba đường cùng tên của một tam giác
 Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành
Dạng 9: Chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
 Đường thẳng vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
 Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó
 Khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn
 Phương pháp phản chứng Dạng 10: Tính toán
 Vận dụng kiến thức về định lí, hệ quả của định lí Talet, tam giác đồng dạng
 Vận dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
 Vận dụng các công thức tính diện tích hình phẳng
 Vận dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn
 Vận dụng hệ thức về cạnh
Dạng 11: Chứng minh đẳng thức a.b=c.d
 Chứng minh hai tam giác đồng dạng
 Vận dụng các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác. III/ BÀI TẬP:
Câu 1: Giải các hệ phương trình sau:
x  2y  0  2
x  4y  10  a)  b)   3
x  4y  2 3
x y  10     2x y  2 x y 2  c)  d )  3
x y  5 2 2  xy  2 3
x  4y  7 5
x  2y  1 e)  f ) 
2x y  1
2x y  3 3
x  4y  1  12
x  7 y  2  g)  h) 
x  3y  2
7 y  5x  12 1 1  1 1 1   1      x y 3x 3y 4 i)  k)  4 2 5 1 2  1       x y   6x y 3
Câu 2: Giải các hệ phương trình sau:
2x  3y  1
 2x y 1 2 a)  b) 
x  4y  7
x  2y  1
7x  3y  6  
( 3 1)x y  2 c)  x y d )    2 
x  ( 3 1)y  3 2 3  3 2 1  
3x  2y 1 x  2y 3 2 e)  2 1 3   
3x  2y 1 x  2y  3 4 Trang 18
2x  3y  5
Câu 3: Cho hệ phương trình: 
(a 1)x  3y  2
Tìm giá trị của a để hệ pt có nghiệm, vô nghiệm 5
x y  4 Câu 4: Cho hệ pt 
2y 10x m
Tìm m để hệ vô nghiệm, vô số nghiệm
Câu 5: Cho hai hàm số (P): y=x2 và (d): y= -2x+3
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) 1 1 Câu 6:Cho (P) y= x2 và (d) y= x+1 2 2
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm A, B của (P) và (d)
c) Gọi C là một điểm trên (P) có hoành độ là 1. Tính diện tích tam giác ABC
Câu 7: Cho hàm số y=ax2 có đồ thị là (P)
a) Tìm hệ số a cho biết  1  M 1;  (P)    3 
b) Tìm tung độ của điểm N thuộc (P) có hoành độ x= -2
c) Tìm các điểm thuộc (P) có tung độ y=3 d) Vẽ (P)
Câu 8: Cho (P): y=2x2 và (d): y=3x+m+1
a) Cho m= -1, Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ và xác định tọa độ giao điểm của chúng.
b) Với giá trị nào của m thì (P) cắt (d); (P) tiếp xúc (d); (P) không cắt (d) 1
Câu 9: Cho (P): y= x2 và đường thẳng (d) đi qua A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2 4 và 4. a) Vẽ đồ thị (P)
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
Câu 10: giải phương trình a) x2 – 4x – 5=0 b) x2+8x+15=0 c) 3x2+8x+3=0 d) 2x4 – 5x2 – 7=0 e) x4 – 4x2 – 8=0 f) (3x+4)2 – 9(x – 2)2=0 g) 5x4+2x2 - 16=10 – x2
h) (2x+ 2 )2 – 1=(x+1)(x – 1) 2 x  5x  6 1 i)  2 x  4 x  2 2x  3 x 1 j)   0 x 1 2x  3 2x 3x 10 x k)   2 x  2 x  4 x  2 2 2x x 11x  6 l)  2 x  3 x  9 x  2 5 m) 1  x 1 2x  2 Trang 19
Câu 11: Dùng hệ thức Viet để tìm nghiệm x2 của phương trình rồi giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:
a) x2 – (m – 1)x – 21=0, biết x1=3 2 b) 2x2 – mx+4=0, biết x1= 3 1
c) x2 – 2(m+4)x – 3=0, biết x1=  2 d) x2+x+m=0, biết x1=-2
Câu 12: Cho pt: x2 – (m+2)x+3m – 4=0 (1)
a) Tìm m để pt có một nghiệm x=2
b) Tìm m để pt có hai nghiệm đối nhau. Tính hai nghiệm đó.
Câu 13: Cho pt 3x2 – 9x +5=0 có hai nghiệm x1 và x2. Không giải pt, hãy dùng hệ thức Viet để tính: a) x 2 2 1 + x2 b) x 3 3 1 + x2 c) x1 - x2 1 1 d)  x x 1 2
Câu 14: Với giá trị nào của m thì pt x2 – 2(m+3)x+m2 – 15=0
a) Có hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó
Câu 15: Cho pt x2 – 3mx+2m+4=0 (1)
a) Chứng tỏ pt (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Không giải pt, dùng hệ thức Viet tính tổng và tích các nghiệm x1, x2
c) Cho pt (1) có một nghiệm x1=2. Hãy tính giá trị của m rồi tính nghiệm x2
d) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm đối nhau
e) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo
Câu 16: Cho pt x2 – (m – 1)x – m2+m – 2=0 (2) a) Giải pt (2) khi m=0
b) CMR pt (2) có hai nghiệm với mọi m c) Tìm m để A= x 2 2
1 +x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 17: Cho pt x2 – 2(1+2m)x+3+4m=0 (3) a) Giải pt (3) khi m=1
b) CMR pt (3) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Tìm m để A=x 2 2
1 +x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Câu 18: Cho pt x2 – 2(m – 1)x+m – 5=0 (4)
a) Tìm m để pt (4) có một nghiệm x1= -1. Tìm nghiệm còn lại
b) CMR pt (4) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Tìm m để A=x 2 2
1 +x2 đạt giá trị nhỏ nhất
d) Tìm m để pt (4) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau
e) Tìm m để pt (4) có hai nghiệm là hai số đối nhau
f) Tìm m để pt (4) có hai nghiệm trái dấu
g) Tìm m để pt (4) có hai nghiệm cùng dấu
Câu 19: Cho pt x2 +2x – (m+1)=0 (5) a) Giải pt (5) khi m=2
b) Tìm m để pt (5) có nghiệm
c) Tìm m để pt (5) có hai nghiệm x1, x2 thỏa (x1 – x2)2 =10 d) Tìm m để A=x 3 3
1 x2+x1x2 đạt giá trị lớn nhất
Câu 20: Cho pt x2 – 4x+m – 1=0 (6) Trang 20
a) Tìm m để pt (6) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để pt (6) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép
c) Tìm m để pt (6) vô nghiệm
Câu 21:Cho pt x2 – 4x+2m+1=0 (7) a) Giải pt (7) khi m=1
b) Tìm điều kiện của m để (7) có nghiệm
c) Tìm giá trị của m sao cho (7) có hai nghiệm x 2 2 1, x2 thỏa mãn x1 +x2 =13
Câu 22: Cho pt bậc hai: x2+2x+m=0 (8)
a) Tìm điều kiện của m để pt (8) có nghiệm b) Giải pt với m=-8.
c) Tìm giá trị của m để pt (8) có hai nghiệm x 2 2 1, x2 thỏa mãn x1 +x2 =5.
Câu 23: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao và AM là trung tuyến (H, M thuộc
BC). Đường tròn tâm H, bán kính HA cắt tia AB tại D và tia AC tại E.
a) Chứng minh ba điểm D, H, E thẳng hàng
b) Chứng minh MA vuông góc với DE
c) Giả sử C=300, AH=4cm. Tính diện tích tam giác HEC.
Câu 24: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Đường tròn tâm
O đường kính MC cắt BC tại N. Đường nối BM kéo dài gặp đường tròn tại D.
a) Chứng minh tứ giác BADC nội tiếp đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn này.
b) Chúng minh DB là phân giác của góc ADN
c) Kéo dài BA cà CD gặp nhau tại S. Chứng minh ba điểm S, M, N thẳng hàng.
Câu 25: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Cho C, D là hai điểm nằm trên nửa
đường tròn ấy và C, D khác với A, B (D nằm giũa C và B), AC cắt BD tại E, AD cắt BC ở F.
a) Chứng minh tứ giác ECFD nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn đó.
b) CMR: Góc AEF bằng góc ABC. Suy ra EF vuông góc với AB.
c) Cho EF=AB=2R (cm) và AC=R (cm). Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác FEC.
Có nhận xét gì về tam giác ACF?
d) Tính diện tích tam giác ABE theo R
Câu 26: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB=2R. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O)
tại A, lấy điểm C rồi vẽ tiếp tuyến thứ hai CT. Đường thẳng BT cắt AC tại M.
a) CMR: Từ giác AOTC nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn đó.
b) CMR: Tam giác CTM cân tại C
c) Tính diện tích tứ giác OBMC theo R nếu AC= 3 R 2
Câu 27: Cho đường tròn (O,R) AB là đường kính. Trên đường tròn lấy hai điểm M và N
(theo thứ tự A, M, N, B). AM cắt BN tại S, BM cắt AN tại H
a) CM: Tứ giác SMHN nội tiếp
b) Gọi K là giao điểm của SH và AB. Chứng minh SH vuông góc với AB tại K, suy ra AM.AS=AK.AB
c) Giả sử MN//AB và MN=R. Tính diện tích hình phẳng được giới hạnh bởi SM, SN và cung nhỏ MN theo R.
Câu 28: Cho tam giác ABC vuông tại A(ABM, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Chứng minh tứ giác AMON là hình chữ nhật
b) Vẽ đường cao AH và tia phân giác trong góc A của tam giác ABC, tia phân giác này
cắt BC tại tại I và đường tròn tâm O tại E. Chứng minh rằng E là điểm chính giữa của
cung BC và OE vuông góc với BC
c) Chứng minh AE cũng là tia phân giác của góc OAH
d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt CB kéo dài tại S. Chứng minh tam giác SAI cân tại S Trang 21
Câu 29: Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bẳng 675m2 và chu vi bằng 120m. Tìm
chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
Câu 30:Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Tính độ dài hai cạnh góc vuông của
một tam giác vuông nội tiếp đường tròn bán kính 6,5cm.Biết rằng hai cạnh góc vuông của
tam giác hơn kém nhau 7cm .
Câu 31: Một ca nô xuôi một khúc sông dài 50km, rồi ngược dòng trở lại 32km hết tất cả 4giờ 30phút.
Tính vận tốc dòng nước biết vận tốc thực của ca nô là 18km/giờ.
Câu 32: Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó có tổng các chữ số bằng 8 và nếu đổi
vị trí hai chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó tăng lên 18 đơn vị.
Câu 33: Tìm số tự nhiên có hai chữ số. Biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là
5, nếu viết xen chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số tự nhiên đó tăng 630 đơn vị.
Câu 34: Một người đi xe đạp dự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10km/h. Sau khi đi
được nữa quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghĩ 30 phút. Vì muốn đến B kịp giờ
nên người ấy phải đi với vận tốc 15 km/h trên quãng đường còn lại. Tính quãng đường AB.
Câu 35: Hai máy bơm cùng bơm nước vào một bể sau 1 giờ thì đầy bể. Nếu máy bơm I bơm 5
trong 10 phút, máy bơm II bơm trong 6 phút thì hai máy bơm được 7 bể. Hỏi mỗi máy bơm 10
làm việc một mình mất bao nhiêu giờ?
Câu 36: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 5 và tổng các bình phương của chúng bằng 125.
Câu 37: Một ô tô dự định đi quãng đường AB dài 60km. Trong một thời gian nhất định, trên
nửa quãng đường AB do đường xấu nên ô tô chỉ đi với vận tốc ít hơn dự định 6km/h, Để đến
B đúng dự định, ô tô phải đi quãng đường còn lại với vận tốc nhanh hơn vận tốc dự định
10km/h. Tính thời gian dự định đi hết quãng đường.
Câu 38: Đồng lúa của xã Đại Đồng rộng hơn đồng lúa của xã Bình Minh là 12ha. Trong vụ
thu hoạch, xã Đại Đồng thu được 1470 tấn, còn xã Bình Minh thu được 1440 tấn. Tuy nhiên,
năng suất lúa ở xã Bình Minh cao hơn ở xã Đại Đồng là 1 tạ/ha. Tính năng suất lúa ở mỗi xã. (49, 50)
Câu 39: Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ TP Hồ Chí Minh đi Tiền
Giang. Xe du lịch có vận tốc hơn vận tốc của xe khách là 20 km/h, do đó nó đến Tiền Giang
trước xe khách 25 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng khoảng cách giữa TP Hồ Chí
Minh và Tiền Gaing là 100km. (Khách: 60, du lịch: 80)
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN: Câu 1:  3 x  x  2 x  3  4 a)  b)  c)  y  1 y  1 11  y   4  7  2  2 x  x  x 1  9 d )  2 e)  f )   y  1 13  y  2 1 y   9  74 x  x  1  x  2 x  4 109 g)  h)  i)  k)  y  1 158  y  2 y  2 y   109 Trang 22 Câu 2:  48  17 12 3 x        x x 5 x 3 2  23  13 a)  b)  c)  d )  y  3     66 y 1 2   5 3  7 y y   23  13 e) Đặt 1 1 a b  3x  2 y 1 x  2 y  3  2 a  
Giải hệ phương trình được 7  5 b    28 x  0,95
Sau đó giải hệ phương trình theo ẩn x, y ta được  y  0,825
Câu 3: có nghiệm a  3 ; a=3
Câu 4: Vô nghiệm m  -8; có vô số nghiệm m=-8 Câu 5: a) Đồ thị HS tự vẽ b) (1;1); (-3;9) Câu 6: a) HS tự vẽ b) A(-1; 0,5); B(2;2) c) C(1; 0,5) Câu 7: 1 4 a) a= b) yN= c) x=  3 3 3 Câu 8: a) (0;0); (1,5; 18)   
b) (P) cắt (d) khi m> 17 ; (P) tiếp xúc (d) khi m= 17 ; (P) không cắt (d) khi m< 17 8 8 8 Câu 9: a) HS tự vẽ
b) Tìm A(-2; 1) và B(4;4), rồi viết phương trình đường thẳng y= 1 x+2 2 Câu 10: 2  5 7 a) 5; -1 b) -3; -5 c) d)  3 2 1  2 e)  2   2 3 f) g)  2 h)  2; 3 3 2 1 i) 4 j)4; k)3 l) 2 m)3;  3 4
Câu 11: sử dụng hệ thức viet để tìm x2, thay x1 vào phương trình để tìm m a) x2=-7; m=-3 22 b) x2=3; m= 3 5 c) x2=6; m=  4 d) x2=1; m=-2 Câu 12: Trang 23 a) m=4 b)m=-2 x1,2=  10 Câu 13: 17 7 9 a) b)12 c) d) 3 3 5 Câu 14: a) m>-4 b) m=-4; x1=x2=-1 Câu 15:
a) Chứng minh  >0 với mọi m b) S=3m; P=2m+4 c) m=2; x2=4 d) m=0 3 e) m=  2 Câu 16: 11 2 a) 1; -2 b)   0 m  c)GTNN khi m= 3 3 Câu 17: a) 3  2 b) Chứng minh '  >0 với mọi m c) GTNN -6 khi m=1 Câu 18: a) m=2; x2=3 b) Chứng minh '  >0 với mọi m 31 5 c) GTNN: ; m  d) m=6 4 4 e) m=1 f) m<5 g) m>5 Câu 19: a) 1; -3 b) m  2  1 c) m= d) GTLN: 2 khi m=-2 2 Câu 20: a) m<5 b) m=5 nghiệm kép x=2 c) m>5 Câu 21: 3 1 a) 1; 3 b) m  c) m= 2 4 Câu 22: 1 a) m  1 b)-4; 2 c) m=  2 Câu 23:
a) Vận dụng hai mút của đường kính và tâm của đường tròn là ba điểm thẳng hàng D b) Chứng minh 0 AIE  90  B H 0
IAE IEA  90 M  0 0 I
C HAE  90 ( AHC ó c AHC  90 ) C
Chứng minh IAE = C và IEA= HAE A E
c) Chứng minh AE=4cm, tính AC (hệ thức giữa cạnh và góc trong tam Trang 24
giác vuông AHC); tính EC=AC – AE; Tính đường cao HF của tam giác HEC (áp dụng hệ
thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông AHF); Tính S 1 HCE= EC.HF 2 Câu 24: C a) Sử dụng dấu hiệu 4 P O
b) Chứng minh ADB NDB bằng cách sử dụng góc N trung gian ACB M I
c) Chứng minh SM, MN cùng vuông góc với BC
(cách thứ hai trong chứng minh ba điểm thẳng hàng) B A S Câu 25: E
a) Sử dụng dấu hiệu một D
b) Tìm góc trung gian là góc ADC C F
c) Hai tam giác ABC và tam giác FEC bằng nhau (Cạnh huyền –
góc nhọn). Tam giác ACF vuông cân tại C B A 1 H O d) SABE=
HE. AB; Tính HE áp dụng hệ thức giữa 2 M
cạnh và góc trong tam giác vuông AEH Câu 26: a) Dấu hiệu 1 C
b) Chứng minh M CTM BTx c) SOBMC=SABM – SACO. T x B S A O Câu 27: a) Dấu hiệu 1 N
b) SH là đường cao thứ ba của tam giác SAB; Chứng M minh hai
tam giác ASK và ABM đồng dạng H c) SOMSN - SquạtMON. B A K O Câu 28: A
a) Hình bình hành có một góc vuông M N
b) EB EC , từ đó suy ra OE vuông góc với BC
c) OAE EAH (góc trung gian OEA ) C S B H O d) SAI SIA E Trang 25