Đề học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2013 – 2014 phòng GD&ĐT Nho Quan – Ninh Bình

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm 2013 – 2014 phòng GD&ĐT Nho Quan – Ninh Bình giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.

50 25 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

5 trang 6 tháng trước

Tác giả:

Profile Hà Việt Anh
UBND HUYỆN NHO QUAN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 câu, trong 01 trang
Câu 1 (3 điểm).
a) Rút gọn biểu thức:
11
3737

b) Cho biết a =
23 và b = 23 . Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab
c) Rút gọn biểu thức :
23684
Q
234


Câu 2 (4 điểm).
a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
725 xx
b) So sánh
51343và31
c) Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là số chính phương: n(n+3)
Câu 3 (4 điểm).
1. Cho hai đường thẳng y = 6 + 2x và y = 3 - x.
a. Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng trên.
b. Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B.
Tính diện tích tam giác MAB
2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x
2
+ 5y
2
= 345
Câu 4 (3,5 điểm). Cho biểu thức P =
3
3
1
)3(2
)3)(1(
3
x
x
x
x
xx
xx
(với x0; x 9)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P tại x = 14 - 6
5
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 5 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC
với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D
(D khác B).
a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh: MA
2
= MD.MB
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H
AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm
của CH.
Câu 6 (1,5 điểm). Cho 4 số thực a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện: ac
2.(b+d)
Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai:
ba 4
2
, dc 4
2
..............................&.....................................
ĐỀ THI CHÍNH TH
Ứ
C
PHÒNG GD&ĐT NHO QUAN
HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
Năm học 2013 – 2014
MÔN: TOÁN
(Hư
ớ
n
g
dẫn chấm
g
ồm 04 tran
g
)
Câu Đáp án Điểm
1
(3.0
điểm)
a. (1.0 điểm)

37 37
11 27
7
2
3737
3737




0.5
0.5
b. (1. điểm)
Ta có: a + b = ( 23 ) + ( 23 ) = 4
a.b = (
23
)(
23
= 1. Suy ra P = 3.
0.5
0.5
c. (1. điểm)

234 2234
232.32.424
Q12
234 234
 


 
1
2
(4.0
điểm)
a. (1.5 điểm)

2
725
072
725725
xx
x
xxxx
0.5
4
11
;4
2
7
044274
2
7
2
xx
x
xx
x
0.75
4
11
x
0.25
b. (1.0 điểm)
51343 5(231) 423 31
0.75
Vậy hai số này bằng nhau
0.25
c. (1.5 điểm)
Đặt n(n+3) = a
2
(n
N)
n
2
+ 3n = a
2
4n
2
+ 12n = 4a
2
(4n
2
+ 12n + 9) – 9 = 4a
2
(2n + 3)
2
- 4a
2
= 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3
– 2a)= 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên
dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1
2n + 3 + 2a = 9 n = 1
và 2n + 3 – 2a = 1
a = 2
0.75
0.25
0.5
3
(4,0
điểm)
1. (2.5 điểm)
a. To¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng lμ nghiÖm cña hÖ:
4
1
3
62
y
x
yx
yx
To¹ ®é ®iÓm M(-1; 4)
0.75
0.25
b. VÏ hai ®−êng th¼ng 2x-y=-6 vμ x+y=3 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é
44
..
2
1
MH
ABMHS
MAB
(®¬n vÞ dμi)
633 AB (®¬n vÞ dμi)
126.4.
2
1
MAB
S
(®¬n vÞ diÖn tÝch)
0.5
0.5
0.5
2. (1.5 điểm)
Ta có 3x
2
= -5y
2
+ 345
3x
2
= 5(69 – y
2
)
Ta thấy vế phải chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5
2
3x
chia hết cho 5 => x
2
chia hết cho 5 => x chia hết cho 5
Mà x
10 nên x= 5 hoặc x= 10
* Nếu x = 5 ta có 3. 5
2
= -5y
2
+345
5y
2
= 270
=>y =
54 không thỏa mãn
* Nếu x = 10 => 3.10
2
+5y
2
= 345
5y
2
= 45 => y = 3 thỏa mãn
Vậy x = 10 ; y = 3 là nghiệm của hệ phương trình
0. 5
0. 5
0. 5
M
A
H B
-1
-2 -3 1 2 3
1
2
3
4
O
4
(3.5
điểm)
a) P =
3
3
1
)3(2
)3)(1(
3
x
x
x
x
xx
xx
=
)1)(3(
)1)(3()3(23
2
xx
xxxxx
=
)1)(3(
33181223
xx
xxxxxxx
=
)1)(3(
2483
xx
xxxx
=
)1)(3(
)8(3)8(
xx
xxx
=
1
8
x
x
0,5
0,5
0,5
b) x = 14 - 6
5 = ( 5 )
2
- 2.3. 5 + 9 = ( 5 - 3)
2
x = 3 - 5
Khi ®ã P =
153
85614
=
54
5622
=
11
5258
0,5
0,5
c) P =
42922
1
9
1
1
9
1
1
91
1
8
x
x
x
x
x
x
x
x
( ¸p dông B§T C«Si cho 2 sè d−¬ng
1
9
;1
x
x
)
DÊu"=" x¶y ra
1
9
1
x
x
x = 4 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn)
VËy min P = 4, ®¹t ®−îc khi x = 4.
0,5
0,5
5
(4.0
điểm)
x
N
I
H
E
D
M
C
OB
A
a) (1,5 điểm)
0
ADB 90 vì C (O;
2
AB
)
0
ADM 90(1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến).
0.5
Suy ra OM là đường trung trực của AC
0
AEM 90(2).
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.
0,5
0,5
b) (1.0 điểm)
Xét ∆MAB vuông tại A có AD
MB, suy ra: MA
2
= MB.MD (hệ thức lượng
trong tam giác vuông)
1
c) (1.5 điểm)
Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có vì C
(O;
2
AB
)
0
ACN 90
, suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được
MC = MN, do đó MA = MN (5).
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì
IC IH BI
MN MA BM




(6) với I là giao điểm của CH và MB.
Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH.
0.5
0,5
0,5
6
(1.5
điểm)
1. (1.5 điểm)
Giả sử 2 bất đẳng thức :
ba 4
2
,
dc 4
2
đều đúng khi đó cộng các vế ta
được
)(4
22
dbca (1) 0,25đ
Theo giả thiết ta có 4(b+d)
2ac (2) 0,25đ
Từ (1) và (2) acca 2
22
hay

0
2
ca (vô lý) 0,5đ
Vậy trong 2 bất đẳng thức
ba 4
2
và
dc 4
2
có ít nhất một các bất đẳng thức
sai 0,5đ
Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang
điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với
thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai
sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

UBND HUYỆN NHO QUAN
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 06 câu, trong 01 trang Câu 1 (3 điểm). a) Rút gọn biểu thức: 1 1  3  7 3  7
b) Cho biết a = 2  3 và b = 2  3 . Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab 2  3  6  8  4
c) Rút gọn biểu thức : Q  2  3  4 Câu 2 (4 điểm).
a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 5  x  2x  7
b) So sánh 5  13  4 3 và 3 1
c) Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là số chính phương: n(n+3) Câu 3 (4 điểm).
1. Cho hai đường thẳng y = 6 + 2x và y = 3 - x.
a. Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng trên.
b. Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B.
Tính diện tích tam giác MAB
2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x 2 + 5y 2 = 345
Câu 4 (3,5 điểm). Cho biểu thức P = x x  3 ( 2 x  ) 3 x  3   (với x0; x 9) ( x  )( 1 x  ) 3 x  1 x  3 a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P tại x = 14 - 6 5
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 5 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax
cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC
với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B).
a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh: MA2 = MD.MB
c) Vẽ CH vuông góc với AB (H  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH.
Câu 6 (1,5 điểm). Cho 4 số thực a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện: ac  2.(b+d)
Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a2  b 4 , c2  4d
..............................&.....................................
PHÒNG GD&ĐT NHO QUAN
HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS
Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm
a. (1.0 điểm) 3 73 7 0.5 1 1  2 7     3  7 3  7 3 73 7 7 2 0.5 b. (1. điểm)
Ta có: a + b = ( 2  3 ) + ( 2  3 ) = 4 0.5 1 (3.0
a.b = ( 2  3 )( 2  3 = 1. Suy ra P = 3. điểm) 0.5 c. (1. điểm)    
 2  3 4 2 2  3 4 2 3 2.3 2.4 2 4  Q    1 2 2  3  4 2  3  4 1 a. (1.5 điểm)  2x  7  0
5  x  2x  7  5  x  2x  7   0.5
5  x  2x  2 7   7  x   7  x     2   2 0.75 4 2
x  27x  44  0  11  x   ; 4 x     4 11  x   0.25 4 2 b. (1.0 điểm) (4.0 điểm)
5  13  4 3  5  (2 3 1)  4  2 3  3 1 0.75
Vậy hai số này bằng nhau 0.25 c. (1.5 điểm)
Đặt n(n+3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2
 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2  (2n + 3) 2 - 4a2 = 9  (2n + 3 + 2a)(2n + 3 0.75 – 2a)= 9
Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên
dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 0.25  2n + 3 + 2a = 9  n = 1
và 2n + 3 – 2a = 1  a = 2 0.5 1. (2.5 điểm)
a. To¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng lμ nghiÖm cña hÖ:
2x y  6 x  1    x y  3 y  4 0.75 To¹ ®é ®iÓm M(-1; 4) 0.25
b. VÏ hai ®−êng th¼ng 2x-y=-6 vμ x+y=3 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é 1 0.5 S  .MH.AB MAB 2 M 4 MH  4  4 (®¬n vÞ dμi) 3 2
AB   3  3  6 (®¬n vÞ dμi) 1 1 A H B 3 S  6 . 4 .
 12 (®¬n vÞ diÖn tÝch) MAB 2 O 0.5 (4,0 -2 -1 -3 1 2 3 điểm) 0.5 2. (1.5 điểm) Ta có 3x2 = -5y2 + 345 0. 5 3x2 = 5(69 – y2)
Ta thấy vế phải chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5 2
 3x chia hết cho 5 => x2 chia hết cho 5 => x chia hết cho 5 0. 5
Mà x  10 nên x= 5 hoặc x= 10
* Nếu x = 5 ta có 3. 52 = -5y2+345  5y2 = 270 =>y = 54 không thỏa mãn
* Nếu x = 10 => 3.102 +5y2 = 345 5y2 = 45 => y = 3 thỏa mãn
Vậy x = 10 ; y = 3 là nghiệm của hệ phương trình 0. 5 x x  3 2( x  ) 3 x  3 a) P =   ( x  )( 1 x  ) 3 x  1 x  3 x x  3  ( 2 x  ) 3 2  ( x  )( 3 x  ) 1 = 0,5 ( x  )( 3 x  ) 1
x x  3  2x  12 x  18  x  3 x x  3 = ( x  )( 3 x  ) 1 0,5
x x  3x  8 x  24 x(x  ) 8  ( 3 x  ) 8 x  8 = = = 0,5 ( x  )( 3 x  ) 1 ( x  )( 3 x  ) 1 x  1 4 0,5
b) x = 14 - 6 5 = ( 5 )2 - 2.3. 5 + 9 = ( 5 - 3)2  x = 3 - 5 (3.5 14  6 5  8 22  6 5 58  2 5 điểm) Khi ®ã P = = = 0,5 3  5  1 4  5 11 x  8 x  1  9 9 9 0,5 c) P =   x  1   x  1   2  2 9  2  4 x  1 x  1 x  1 x  1 9
( ¸p dông B§T C«Si cho 2 sè d−¬ng x  ; 1 ) x  1 9
DÊu"=" x¶y ra  x  1 
 x = 4 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn) x  1
VËy min P = 4, ®¹t ®−îc khi x = 4. 0,5 x N C M D 5 I E (4.0 điểm) A H O B a) (1,5 điểm) AB 0 ADB  90 vì C (O; ) 2 0.5 0  ADM  90 (1)
Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến).
Suy ra OM là đường trung trực của AC  0  AEM  90 (2). 0,5
Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA. 0,5 b) (1.0 điểm)
Xét ∆MAB vuông tại A có AD  MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng 1 trong tam giác vuông)
c) (1.5 điểm)
Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có vì C (O; AB ) 2  0 
ACN  90 , suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5). 0.5
Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì IC IH  BI    
 (6) với I là giao điểm của CH và MB. MN MA  BM  0,5
Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH. 0,5 1. (1.5 điểm)
Giả sử 2 bất đẳng thức : a2  b
4 , c2  4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được 6 2 2 a c  (
4 b d ) (1) 0,25đ (1.5
Theo giả thiết ta có 4(b+d)  2ac (2) 0,25đ
điểm) Từ (1) và (2)  a2  c2  2ac hay a c2  0 (vô lý) 0,5đ
Vậy trong 2 bất đẳng thức a2  b
4 và c2  4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai 0,5đ
Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với
thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai
sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------