Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp trường năm 2017 – 2018 trường THCS Sông Trí – Hà Tĩnh
Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm 2017 – 2018 trường THCS Sông Trí – Hà Tĩnh giúp bạn ôn tập kiến thức, chuẩn bị tốt kì thi sắp tới. Mời bạn đọc đón xem.
Preview text:
PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS SÔNG TRÍ
NĂM HỌC: 2017 - 2018 ĐỀ THI CÁ NHÂN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN LỚP 9 (Đề thi có 01 trang)
Thời gian làm bài: 120 phút
I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) 1+ 5 1− 5
Câu 1. Tính giá trị của biểu thức: A = + 2 + 3 + 5 2 − 3 − 5 x +1 + x −1 4 Câu 2. Cho f = và a = Tính giá trị f ( x) (a) x +1 − x −1 1 3 + 3
Câu 3. Tìm các nghiệm nguyên x, y của phương trình: 2 3 2 3
6x y + 3x −10y = 2 − 1 1 1 ab bc ca Câu 4. Cho
+ + = 0 .Tính giá trị của biểu thức: P = + + a b c 2 2 2 c a b
Câu 5. Tìm số hạng thứ 6 của dãy số sau đây 1; 2; 3; 7; 37; ....
Câu 6. Giải phương trình : 3 x − 2 + x −1 = 5
Câu 7. Tìm các số tự nhiên k để cho số k 4 7
2 + 2 + 2 là số chính phương
Câu 8. Tìm hai số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: x ( − )+ y( + ) 3 3 18 17 18 17 = 18 − 17
Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD.Biết BH = 63 cm; CH = 112 cm. Tính HD
Câu 10. Tam giác ABC có 0 0
A =105 , B = 45 , BC = 4cm .Tính độ dài AB và AC
II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)
Câu 11. Cho các số thực x, y thỏa mãn 3 3 x + 5 − y =
y + 5 − x Tìm GTNN của biểu thức: 2 2
P = 4x −3xy + y + x + y +1
Câu 12. a) Giả sử D là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho 0
ADB = ACB + 90 và A . B CD A . C BD = A .
D BC Chứng minh rằng = 2 AC.BD
b) Cho tam giác ABC. Biết rằng tồn tại hai điểm M,N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho BM BN 2 =
và BNM = ANC . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông AM CN
--------- HẾT---------
Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;
- Thí sinh làm bài vào tờ giấy thi.
- Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................
PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THCS SÔNG TRÍ NĂM HỌC 2017 - 2018
Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN Hướng dẫn chấm
Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.
- Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. Câu Đáp án Điểm Câu 1 Đáp số A
: A = − 2 .Trước hết tính = 1 − A = − 2 1.5đ 1.5đ 2 Đáp số: f = 3 + 2 ( a) + + − x + + x − ( x 1 x 1 1 1 )2 2
x +1+ x −1+ 2 x −1 Câu 2 Cho f = = = ( x) x +1 − x −1
(x +1) − (x −1) 2 1.5đ 1.5đ 4 2
= x + x −1 và a = = 3 Nên f = 3 + 2 1 (a) 3 + 3
Đáp số: Các nghiệm nguyên (x,y) là (2;-1) và (-2;-1) Câu 3 2 3 2 3 2 3 2 3
6x y + 3x −10y = 2
− 6x y +3x −10y −5 = 7 − 1đ 2 x ( 3 y + ) − ( 3 y + ) = − ( 2 x − )( 3 3 2 1 5 2 1 7 3 5 2 y + ) = − 1đ 1 7
Suy ra, các nghiệm nguyên (x,y) là (2;-1) và (-2;-1) Đáp số: 3 Câu 4 1 1 1
Ta có: nếu x + y + z = 0 thì 3 3 3
x + y + z = 3xyz nên + + = 0 thì a b c 1đ 1đ 1 1 1 3 + + = Do đó ab bc ca abc abc abc p = + + = + + = 3 3 3 3 a b c abc 2 2 2 3 3 3 c a b a b c Đáp số: 1159 Câu 5 = − + Quy luật 2 2 a a a a
a với n 1, n n+2 n 1 + n 1 + n n 1đ 1đ Suy ra 2 2 2 2
a = a − a .a + a = 7 − 7.37 + 37 =1159 6 5 5 4 4
Đáp số: x =10
ĐK: x khi đó 3 x − 2 + x −1 = 5 ( 3 x − 2 − 2) + ( x −1 −3) = 0 Câu 6 1 − − x 10 x 10 + = 1.5đ 0 x −10 = 0 2 3 3
(x − 2) + 2 x − 2 + 4 x −1 + 3 1đ 1 1 Vì +
0 với mọi x 1 Do đó x = 10 2 3 3
(x − 2) + 2 x − 2 + 4 x −1 + 3 Đáp số: k = 8 Giả sử: k 4 7 2 + +
= a (aN) k 2 2 2 2
2 = a −144 = (a +12)(a −12) Câu 7 m n
Đặt: a +12 = 2 ;a −12 = 2 Với ,
m n N; m n và m + n = k . Ta được 1đ 1đ
2m − 2n = 24 = 8.3 2n (2m−n − )
1 = 8.3 Suy ra n = 3 ; m = 5 ; k = 8 Thử lại 8 4 7 2 2 + 2 + 2 = 400 = 20
Đáp số: x = 17,5; y = 0,5 Câu 8 x ( − )+ y( + ) 3 3 18 17 18 17 = 18 − 17 1đ
x 18 − x 17 + y 18 + y 17 =18 18 −17 17
18 (x + y −18) = 17 (x − y −17) 1đ x =
Nếu: ( x + y −
) = (x − y − ) 17,5 18 0 17 = 0 y = 0,5 x =
Nếu: ( x − y −
) = (x + y − ) 17,5 17 0 18 = 0 y = 0,5 x − y −
Nếu : ( x + y − ) 18 17 18 0 =
(Vô lí vì VT là số vô tỉ, VP là số hữu + − 17 x y 18 tỉ) Vậy x = 17,5; y = 0,5
Đáp số: DH = 12 cm 2 AB BH.BC BH 63 9 = = = = A 2 AC H . C BC HC 112 16 1.5đ Câu 9 AB 3
= Áp dụng tính chất đường phân AC 4 1.5đ AB BD 3 giác, ta được = = C B D H AC DC 4 BD CD BD + CD 175 = = =
= 25 BD = 75 .Từ đó: DH =75 –63 = 12cm 3 4 7 7
Đáp số: AB = 2( 6 − 2)c ,
m AC = 4 ( 3 − ) 1 cm Câu 10
Kẻ AH ⊥ BC Đặt AH = HB = x Ta có : 0
HC = AH tan 60 = x 3 1.đ 4 1đ
Do BC = BH + HC x + x 3 = 4 x = = 2( 3 − ) 1 cm 1+ . 3
AB = x 2 = 2( 6 − 2 )c ,
m AC = 2x = 4 ( 3 − ) Nên 1 cm ĐK: − − x 5; y 5 Nếu: = = − − − − − + − + − + − + = x y 5 thì 2 2 P = 4( 5) 3( 5)( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 1 41 Xét x 5 − ; y 5 − −
và x 5; hoặc y −5 x − y Ta có: 3 3 3 3 x + 5 − y = y + 5 − x + x − y = 0 2đ x + 5 + y + 5 Câu 11 ( x − y) 1 2 2
+ x + xy + y = 0 (x − y) A = 0 (x − y) = 0 x + 5 + y + 5 3đ Do (Do A > 0 x
,y -5 và x 5
− hoặc y −5) x = y 0.5đ 2 1 1 1 Khi đó: 2 1 1
P = 2x + 2x +1 = 2 x + + khi x = y = Vậy Min 2 2 2 ; P= 2 2 0.5đ 1 1 P = khi x = y = 2 2 a)Về phía ngoài ABC dựng B CE vuông A cân tại C. Ta có : 0
ADB = ACB + 90 = ACE D 1đ AD AC AC Câu 12a = = C B BD BC CE 3đ Vậy: A DB A CE (c.g.c) AD AB AD AC = = và AC AE AB AE 1đ
BAD = CAE BAE = CAD E Do đó: ABE A DC (c.g.c) AB AD Suy ra: = hay A . B CD = A . D BE 0.25đ BE DC
Trong tam giác vuông cân CBE có BE = 2BC và theo giả thiết suy ra: 0.5đ A . B CD = 2A . D BC = 2AC.BD A . B CD Vậy: = 2 0.25đ AC.BD
Gọi P là trung điểm của AM. Gọi Q là B
giao điểm của AN với CP. Ta có: BM BM BN = 2 = MN CP MP MA CN M 0.5đ Do đó: Câu 12b
QCN = MNB = ANC QN = QC N P 0.5đ 2đ Q A C
Mặt khác ta có PM = PA và PQ // MN suy ra QA = QN nên QC = QN = QA 0.5đ
Vậy tam giác ACN vuông tại C. Do đó tam giác ABC vuông tại C 0.5đ
--------- HẾT ---------