Đề Luyện Tập Giải Tích Hàm Nhiều Biến | Giải tích hàm | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

ĐỀ LUYỆN TẬP MÔN GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN
(Thời gian làm bài 90 phút) ĐỀ SỐ 1 Câu 1. Cho hàm số 2 2 2 2 w = f ( x − y , y −
x ) là hàm khả vi chứng minh rằng: ∂ w ∂ w y + x = 0. ∂ x ∂ y 3 3
Câu 2. Tìm cực trị tự do của hàm số x y z( , x ) y = − − 4 xy+ 5. 3 3
Câu 3. Tính tích phân bội hai 1 I = ∫∫ dA , với ( ) R 2 2 − + là miền R 16 (x y )
trong góc phần tư thứ nhất nằ m phía trong đường tròn 2 2 (C) : x + y= 4 x và nằm phía
dưới đường thẳng (d) : y= . x
Câu 4. Tính tích phân đường sau: I = 2ydx − 7xdy với (C) là phần cung tròn C 2 2
x + y = 4 nằm trong góc phần tư thứ hai, lấy theo chiều dương. ur r r ur
Câu 5. Tính thông lượng của trường véc tơ 3 F = xyi + xz j + (2 z− ) yzk qua bề mặt
của vật thể được giới hạn bởi các mặt 2 2 z = x + y và 2 2 2 x + y + z = z, hướng ra phía ngoài. ĐỀ SỐ 2
Câu 1. Cho M (2; 1, z với z < 0 là một điểm nằm trên mặt cong (S) có 0 ) 0 phương trình x( 2 xy + z ) 2
+ zy =7. Hãy xác định z và sau đó hãy viết phương trình 0
mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong (S) tại điểm M .
Câu 2. Tìm cực trị của hàm số hai biến: 2 ( , )= (− ) y z x y x y e .
Câu 3. Dùng tích phân bội hai tính thể tích vật thể nằm phía trên mặt phẳng Oxy
và giới hạn bởi các mặt 2 2 2 z = x + y , y= x , y= 4.. 1 −
Câu 4. Tính tích phân đường : xy K = ∫ dx+ ln( +1 )
x dy, với (C) là biên của 1 + x C
miền được giới hạn bởi các đường y = 0, x+ =y 2,= x 0 ,
Câu 5. Tính tích phân bội ba 2 2 I =
(x + y +1) dxdyd ,z với R là vật thể giới hạn R bởi các mặt 2 2 z = 8 − x − y và 2 2 z = x + y . ĐỀ SỐ 3
Câu 1. Tìm đạo hàm theo hướng của hàm f (x, ) y = ln( y + 2ln ) x tại điểm P (1;e )
theo hướng véc tơ u = 3i +4j.
Câu 2. Tìm cực trị tự do của hàm hai biến: 2 2 ( z , x ) y = x+ xy + y− 3 − x 6 .y
Câu 3. Dùng tích phân bội hai hãy tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi các đường 2 2 x + y = 3, y = ,
x y= 2 x nằm trong góc phần tư thứ nhất. 3
Câu 4. Xét (C) là đường cong bất kỳ nối từ gốc tọa độ tới điểm ( A 1;1). Hãy
chứng minh rằng tích phân I = y( xy e − y)d +x ( xy x e − ∫ 2 ) y dy C
không phụ thuộc vào đường lấy tích phân; sau đó tính tích phân trên bằng cách chọn
một đường (C ) cụ thể. ur r r ur
Câu 5. Tính thông lượng của trường véc tơ 3 3
F = 2x i + 2 y j + 3k qua bề mặt của
vật thể được giới hạn bởi các mặt 2 2
z = x + y và z = 2 , hướng ra phía ngoài. ĐỀ SỐ 4 Câu 1 x . Cho hàm số: z( ; x ) y = arcsin
. Tìm đạo hàm theo hướng của hàm số x + y
đã cho tại điểm M (1;1) theo hướng mà hàm đó tăng nhanh nhất. Câu 2. 4 − x + y
Tìm cực trị của hàm f ( , x ) y = với điều kiện 2 2 2 x + y 1 = ; x>0, y<0. 2
Câu 3. Tính tích phân bội hai sau 2 2 2 2
I = (x + y ) 9 −( x + y ) dxdy , trong đó D
(D) là miền trong mặt phẳng tọa độ Oxy xác định bởi 2 2 D = {(x,y)|1≤ x + y ≤ 9}.
Câu 4. Tính tích phân đường: 2 x 2 7 I = e dx+ (4x + ∫ y ) d , y trong đó (C) là C đường tròn 2 2 x + y = 2 , x lấy theo chiều dương.
Câu 5. Sử dụng tích phân bội ba tính thể tích c ủa miền bị chặn phía trên bởi mặt
phẳng x = 2 x và phía dưới bởi mặ t 2 2 z = x+ y . z 3