Đề Tự Luyện Tập Môn Giải Tích Hàm Một Biến | Giải tích hàm | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

ĐỀ TỰ LUYỆN TẬP MÔN GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
(Thời gian 90 phút) ĐỀ SỐ 1 3
4 x  9 x  5 x 8 
Câu 1. Tính giới hạn I  lim . 2 x 1  (x 1) 1 Câu 2. a) Giả sử: A   . B Hãy xác định 2 A và B . x  4 x 3  x 3  x1 
b) Sử dụng dạng phân tích thành tổng trên, hãy tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp ba 1
và từ đó suy ra công thức đạo hàm cấp n của hàm số: f ( )x . 2 x  4 x 3  ln( x 1)
Câu 3. Tính nguyên hàm J   . 2 d x
Câu 4. Dùng phương pháp vỏ, tính thể tích của một khối tròn xoay do miền phẳng
được giới hạn bởi các đường y  4 x  , y 0,  x 0  quay quanh O . y
Câu 5. . Xác định tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số sau:  3n 2 n.   n n 1 ĐỀ SỐ 2
sin(x 1) , x 1 
Câu 1. Cho hàm số f ( )x ( a 1 x )  .  2 x   ax 1,  x 1 
Tìm giá trị a để hàm số liên tục với mọi giá trị x.
Câu 2. Cho y là hàm ẩn của x xác định từ phương trình 2 ln y  x 2
 xy 4 x 0 (C).
Hãy tìm đạo hàm của y theo x, từ đó viết phương trình tiếp tuyến với đường
cong (C) tại điểm M có tung độ y 1. M 
Câu 3. Tính tích phân suy rộng bằng định nghĩa x K  d  . 3 2 4 0 ( x 1)
Câu 4. . Cho miền D giới hạn bởi các đường 2
y  3 ; x  2 y 3  và Ox. a) Vẽ miền D .
b) Tính diện tích miền D .  (x 1)n
Câu 5. Tính bán kính hội tụ và tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa  . n 1 2  n ĐỀ SỐ 3 3x  2 x
Câu 1. Tính giới hạn I  lim .
 5x  4 x x
Câu 2. Chứng minh rằng hàm số y  2
arctan x thỏa mãn phương trình sau với x  : 2 2 2
(1  x ) y '  2x(1 x  ) 'y 2 . 2 x  x 2 
Câu 3. Tính nguyên hàm J  d  3 2 x  2 x
Câu 4. Hai cái cột có chiều cao 5 (m) và 7 (m), cách
nhau 24 (m). Một sợi dây buộc căng từ hai đỉnh
cột và neo xuống đất ở điểm nằm trên đoạn
thẳng nối 2 chân cột và cách chân cột thấp là x (m).
(a) Chứng minh rằng độ dài L của sợi dây là : 2 2 L  x 25   x 48 x625  .
(b) Sử dụng kết quả trên, tìm giá trị nhỏ nhất của L.   3
Câu 5. Cho chuỗi số u    n n n   n 0  0 n  2 1 2 1 
a) Tính tổng riêng thứ n.
b) Từ đó xét tính hội tụ của chuỗi số. ĐỀ SỐ 4 1
Câu 1. Tính giới hạn I  lim( x e 3 )xx .  x0
Câu 2. Cho hàm số y   2
ln x  x 2 . Chứng minh rằng giá trị của biểu thức A   2 x   2 y" 'xy
không phụ thuộc vào x. 1
Câu 3. Tính nguyên hàm x J  d  . 4 3 0 4(1 x )
Câu 4. Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường: 2 x  ,y  0, x 1y . a) Vẽ miền D .
b) Dùng phương pháp đĩa để tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay miền
D quay quanh trục Ox. 2  n  n 
Câu 5. Tính bán kính hội tụ và tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n x    .  n  n 1 1  