7 trang 6 lượt tải

Tổng hợp về Giải Tích Hàm Nhiều Biến | Giải tích hàm | Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

12

Tài liệu được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF với mục đích hỗ trợ học tập và tham khảo. Nội dung tài liệu được trình bày rõ ràng, dễ tiếp cận, phù hợp cho việc ôn tập và củng cố kiến thức trong quá trình học đại học. Đây sẽ là nguồn tư liệu hữu ích giúp các bạn sinh viên chuẩn bị tốt hơn cho các buổi học, đồng thời mở rộng thêm hiểu biết về môn học. Hy vọng tài liệu này sẽ mang lại nhiều giá trị và hỗ trợ các bạn trong hành trình học tập. Mời bạn đọc cùng tham khảo!

Môn: Giải tích hàm 10 tài liệu

Trường: Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội 0.9 K tài liệu

Tác giả:

Profile

Mai Nguyệt

1 tuần trước
Danh sách Quiz
/7
Tổng kết môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguyễn Hữu Thọ
2022-2023
TỔNG KẾT MÔN GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN
I. Đạo hàm.
. (2, 3 biến). 1 Đạo hàm riêng cấp 1, cấp hai của hàm nhiều biến
. : 2 Đạo hàm (cấp 1) hàm hợp
( , )
w f x
=
trong đó:
( )
x g
=
và
( )
y h
=
. Khi đó hàm hợp
( ), ( ) ( )
w f g t h t
= =
là hàm một biến và đạo hàm của hàm hợp này được xác định bởi :
dw w dx w
dt x dt y d
∂ ∂
= +
∂ ∂
.
b) Trường hợp 2: Nếu
( , )
w f x
=
, trong đó
( , )
( , )
x x t
y y t
=
=
.
Khi đó
( , ), ( , )
w f x t u y t u
=
là hàm phụ thuộc vào hai biến mới
,
t
và các đạo hàm riêng theo các bién
mới được xác định bởi:
x y
t t
w
t
w w
x y
∂ ∂
+
∂ ∂
∂
=
∂
∂ ∂
∂ ∂
và
.
x y
u u
w
u
w w
x y
∂ ∂
+
∂ ∂
∂
=
∂
∂ ∂
∂ ∂
3. Đạo hàm hàm ẩn.
Định lý: Xét phương trình
(
)
, ,
F x y w
=
trong đó hàm
(
)
, ,
F x y w
có đạo hàm riêng liên tục trên lân cận
của điểm
0 0 0
( , , )
x y w
và giả sử rằng
(
)
0 0 0
, ,
F x y w
=
và
(
)
0 0 0
, , 0
y
F x y w
≠
. Khi đó tồn tại một lân cận
0
U
chứa
0 0
( , )
x y
sao cho tồn tại đúng một hàm khả vi
( , )
w f x
=
xác định trên
0
U
thỏa mãn
0 0 0
( , )
w f x y
=
và
, , ( , )
F x y f x y
=
.
Hơn nữa, đạo hàm của hàm số (ẩn)
( , )
w f x
=
này xác định từ công thức:
;
y
x
w w
F
F
w w
x F y
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
.
5. Đạo hàm theo hướng. Cho hàm số
( , , )
w f x y
=
, có ĐHR, điểm
( , , )
P x
và véc tơ khi đó đạo hàm v
của hàm số theo hướng tại điểm v
( , , )
P x
được xác định bởi:
( ).u
df
grad f
ds
=
trong đó u v. là véc tơ đơn vị cùng hướng với
Để tính đạo hàm theo hướng của hàm
( , , )
f x y
ta cần biết 3 yếu tố : Công thức hàm số, điểm cần tính đạo
hàm và hướng mà ta quan tâm.
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguy
ễn Hữu Thọ
2022 -2023
1
+ Khi biết đủ 3 yếu tố đó thì chúng ta có thể tính được đạo hàm mong muốn. Các bước tính đạo
hàm theo hướng của hàm số
( , , )
w f x y
=
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
theo hướng
( ; ; )
a b
= ≠
v
như sau :
Bước 1 : Tính
grad
sau đó tính giá trị gradient của hàm số
( , , )
w f x y
=
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
:
0 0 0 0
( , , )
P x y
grad f
.
Bước 2 : Tính độ dài véc tơ
( ; ; )
a b
=
v
:
2 2 2
a b
= + +v
sau đó xét :
; ;
a b c
= =
v
u
v v v
, đây chính là véc tơ đơn vị theo hướng của véc tơ
v
.
Bước 3 : Khi đó, đạo hàm của hàm số
( , , )
w f x y
=
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
theo hướng
( ; ; )
a b
= ≠
v
được xác định bởi :
(
)
0
.
P
df
grad f
ds
=
u
2. Bài toán: Viết phương trình và tiếp diện pháp tuyến của mặt cong
( )
S
có phương trình
0
( , , )
F x y z
=
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
, (ở đây
0
c
là hằng số đối với cá biến
, ,
x y
).
(Chú ý: Cách gải này áp dụng đối với trường hợp mặt cong
( )
S
được xác định bởi một phương trình 3 biến
, ,
x y
.)
Cách giải: + Do
0 0 0 0
( , , ) ( )
P x y z S
∈
nên
0 0 0 0
( , , )
F x y z
=
, nên
( )
S
chính là một mặt mức của hàm số
( , , )
w F x y
=
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
.
+ Tính
grad
, khi đó
0
0 0 0 0 0 0
; ;
P
P P P P P P
f f f f f f
gradf
x y z x y z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
N i j k=
chính là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc (tiếp diện) với mặt cong
( )
S
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
, từ đó
phương trình tiếp diện cần tìm xác định bởi:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0
0;
P P P
f f f
x x y y z z
x y z
∂ ∂ ∂
− + − + − =
∂ ∂ ∂
+ Pháp tuyển của mặt cong
( )
S
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
chính là đường thẳng vuông góc với mặt cong
( )
S
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
và cũng chính là đường thẳng vuông góc với tiếp diện của mặt cong
( )
S
tại điểm
0 0 0 0
( , , )
P x y z
, do đó pháp tuyến này nhận véc tơ pháp tuyến của tiếp diện như là một véc tơ chỉ phương, nên
phương trình pháp tuyến xác định bởi:
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguy
ễn Hữu Thọ
2022 -2023
2
(
)
(
)
(
)
0 0 0
0 0 0
P P P
x x y y z z
f f f
x y z
− − −
= =
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
(hoặc ta có thể viết dưới dạng phương trình tham số sau:
0 0
0 0
0 0
( )
( ) .
( )
x
y
z
x x f P
y y f P
z z f P
= +
= +
= +
II Cực trị của hàm hai biến.
1. Cực trị tự do :
Định lý: Nếu
( , )
f x
có đạo hàm đến cấp hai liên tục trong một lân cận của điểm tới hạn
(
)
0 0
,
x y
và
nếu số D (gọi là biệt số) xác định bởi:
(
)
(
)
(
)
2
0 0 0 0 0 0
, , ,
xx yy xy
D f x y f x y f x
= −
(2)
thì
(
)
0 0
,
x y
là
i) nếu D>0 và Điểm cực đại
(
)
0 0
, 0
xx
f x y
<
;
ii) nếu D>0 và Điểm cực tiểu
(
)
0 0
, 0
xx
f x y
>
;
iii) nếu D<0 Điểm yên ngựa .
Hơn nữa, nếu D=0 thì chưa thể đưa ra kết luận, và bất kì khả năng nào từ (i) đến iii) đều có thể xảy ra.
III. Tích phâm bội hai.
1. Tính tích phân bội hai
Một miền được gọi là nếu nó có thể được R thẳng đứng đơn giản (có hai cạnh cùng phương với Oy)
miêu tả bởi các bất đẳng thức dạng
a x
≤ ≤
,
1 2
( ) ( )
y x y y x
≤ ≤
(5)
ở đó
1
( )
y y
=
và
2
( )
y y x
=
là các hàm số liên tục trên [a,b].
Một miền được gọi là nếu nó có thể được miêu tả nằm ngang đơn giản (có hai cạnh cùng phương với Ox)
bởi các bất đẳng thức dạng :
c y
≤ ≤
1 2
( ) ( )
x y x x
≤ ≤
(6)
ở đó
1
( )
x x
=
và
2
( )
x x
=
là các hàm số liên tục trên
,
c
.
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguy
ễn Hữu Thọ
2022 -2023
3
Định lý. Cho
( , )
f x
là hàm số liên tục trên R
Nếu R là cho bởi (5), thì miền thẳng đứng đơn giản
( ) ( )
2
1
( )
( )
, ,
y x
b
R a y x
f x y dA f x y d
=
∫∫ ∫ ∫
(7)
và nếu R là cho bởi (6), thì miền nằm ngang đơn giản
( ) ( )
2
1
( )
( )
, ,
x y
d
R c x y
f x y dA f x y d
=
∫∫ ∫ ∫
. (8)
2. Ứng dụng của tích phân bội hai: Tính diện tích miền phẳng : Xét miền phẳng, giới nội khi đó D,
diịen tích của D :
dt( )
D
D d
=
∫∫
.
IV. Tích phân đường.
1. Cách tính tích phân đường:
F. R ( , ) ( , ) .
C C
d M x y dx N x y
= +
∫ ∫
Trường hợp 1: Đường cong là phần đồ thị hàm số C
( ),
y f x
=
với điểm đầu là điểm cuối là và A B, x
biến thiên tương ứng từ
A
a x
=
tới
B
b x
=
,thì công thức tính tích phân đường là:
( , ) ( , ) ( , ( )) ( , ( )) '( )
( , ( )) ( , ( )) '( ) .
b
C a
b
a
M x y dx N x y dy M x y x dx N x y x
M x y x N x y x y x
+ = +
= +
∫ ∫
∫
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguy
ễn Hữu Thọ
2022 -2023
4
Trường hợp 2: Đường cong là phần đồ thị hàm số C
( ),
x g y
=
với điểm đầu là điểm cuối là và A B, y
biến thiên tương ứng từ
A
c y
=
tới
B
d y
=
thì công thức là:
( , ) ( , ) ( ( ), ) '( ) ( ( ), )
( ( ), ) '( ) ( ( ), ) .
d
C c
d
c
M x y dx N x y dy M x y y x y dy N x y
M x y y x y N x y
+ = +
= +
∫ ∫
∫
Trường hợp 3: Đường cong được xác định bởi C
( )
,
( )
x x t
y y t
=
=
với biến thiên từ t t
1
đến t
2
, khi đó ta có:
( ) ( )
2
1
( , ) ( , ) ( ), ( ) '( ) ( ), ( ) '( ) .
t
C t
M x y dx N x y dy M x t y t x t N x t y t y
+ = +
∫ ∫
Nếu đường cong kín ta có thể tính theo Định lý Green
Định lý Green:
Nếu C là , bao quanh miền R trong đường cong đóng, , trơn từng mảnhđơn
2
ℝ
, và nếu M(x,y), N(x,y)
là dọc theo C và trên R thì liên tục và có đạo hàm riêng liên tục
.
C
R
N M
Mdx Ndy d
x y
∂ ∂
+ = −
∂ ∂
∫ ∫∫
2. Trường bảo toàn và hàm thế vị
a. Khái niệm:
Trường véc tơ được gọi là ), nếu: F gradient của trường vô hướng f (gọi tắt là trường gradient
F i
f f
f
x y
∂ ∂
= ∇ = +
∂ ∂
.
Khi đó trường véc tơ được gọi là , và hàm vô hướng gọi là (hàm thế). F Trường bảo toàn f Hàm thế vị
b. Hàm thế vị. Nếu trường véc tơ
F i
( , ) ( , )
M x y N x
= +
bảo toàn, tức là
F
f
= ∆
với hàm nào đó f(x,y)
- hay nói cách khác: tồn tại hàm số
( , )
f x
sao cho:
( , ) (1)
( , ) (2)
f
M x y
x
f
N x y
y
∂
=
∂
∂
=
∂
.
Khi đó ta sẽ tìm hàm thế vị bằng cách nào? . f(x,y)
Giải quyết:
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguy
ễn Hữu Thọ
2022 -2023
5
Ta tích phân hai vế một trong hai phương trình (1) hoặc (2), chắng hạn tích phân hai vế của (1) Bước 1:
theo biến suy ra x
( , ) ( , ) ( )
f x y M x y dx g
= +
∫
. (3)
Sau đó lấy đạo hàm hai vế hàm số (3) vừa tìm theo biến Bước 2:
y
ta nhận được:
?
f
y
∂
=
∂
(4)
Từ (2) và (4) sẽ tìm được Bước 3:
( ) ?
g y
=
.
Bước 4: Kết hợp lại ta có kết quả.
V. Tích phân mặt. Tích phân bội ba.
1. Tính thông lượng của trường véc tơ qua mặt cong đóng(Tính thông qua định lý phân nhánh)
Định lý phân nhánh (Định lý Gauss).Thông lượng của một trường vectơ bằng F xuyên qua mặt đóng S
tích phân của trên miền có biên : divF R S
Fn F
S R
dA div d
=
∫∫ ∫∫∫
trong đó
n
là VTPT đơn vị định hướng của mặt
S
.
Toán tử div Nếu
F( , , ) ( , , )i ( , , )j ( , , )k
x y z L x y z M x y z N
= + +
là trường vectơ, trong đó các thành
phần
( , , ), ( , , ), ( , , )
L x y y M x y z
có các đạo hàm riêng. Khi đó của à độ phân nhánh F l
F F.
L M N
div
x y
∂ ∂ ∂
= ∇ = + +
∂ ∂ ∂
.
2. Tích phân bội ba.
a. Tính tích phân bội ba: Đưa về tích phân lặp
i. Nếu miền lấy tích phân R có dạng
(
)
(
)
{
}
1 2 1 2
, ( ) ( ), , ,
R a x b y x y y x z x y z z x
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Chú ý: Chiếu miền lên ta được miền , trong trường hợp này R xOy D
ta nhận thấy:
{
}
1 2
, ( ) ( )
D a x b y x y y x
= ≤ ≤ ≤ ≤
.
Khi đó:
( )
( )
(
)
2
2
1
1
,
( )
( )
,
, , ( , , )
z x y
y x
b
R a y x
z x y
f x y z dV f x y z d
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
=
( )
(
)
2
2
1
1
,
( )
( )
,
( , , )
z x y
y x
b
a y x
z x y
f x y z dzdyd
∫ ∫ ∫
.
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguy
ễn Hữu Thọ
2022 -2023
6
ii. Nếu miền lấy tích phân R có dạng
(
)
(
)
{
}
1 2 1 2
( ) ( ), , , ,
R x y x x y c y d z x y z z x
= ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
Lúc này chiếu miền lên ta được miền : R xOy D
{
}
1 2
( ) ( ),
D x y x x y c y d
= ≤ ≤ ≤ ≤
.
Và :
( )
( )
(
)
2
2
1
1
,
( )
( )
,
, , ( , , )
z x y
x y
d
R c x y
z x y
f x y z dV f x y z
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫
=
( )
(
)
2
2
1
1
,
( )
( )
,
( , , )
z x y
x y
d
c x y
z x y
f x y z dzdxd
∫ ∫ ∫
.
c. Tính thể tích. : Thể tích của miền trong R
3
ℝ
:
. ( ) .
R
Th t R dV
=
∫∫∫
d. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ
Công thức chuyển từ tọa độ vuông góc sang toàn độ trụ:
cos
sin
x r
y r
z z
θ
θ
=
=
=
(
)
( , , )
cos , sin .
R R r z
fdV f r r rdrd d
θ
θ θ θ
=
∫∫∫ ∫∫∫
CHÚC CÁC EM THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO!

Tài liệu khác của Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội

Preview text:

Tổng kết môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguyễn Hữu Thọ 2022-2023
TỔNG KẾT MÔN GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN I. Đạo hàm.
1. Đạo hàm riêng cấp 1, cấp hai của hàm nhiều biến (2, 3 biến).
2. Đạo hàm (cấp 1) hàm hợp:
a) Trường hợp 1: Giả sử w = f (x, ) trong đó: x = g( ) và y = h( ). Khi đó hàm hợp w = f g  ( ),t ( ) h t = ( )  
là hàm một biến và đạo hàm của hàm hợp này được xác định bởi : dw w ∂ dx ∂ w = + . dt ∂x dt ∂y d
x = x( , )t
b) Trường hợp 2: Nếu 
w = f (x, ) , trong đó  . y = y( , ) t  Khi đó w f  ( x ,t ) u , ( y , ) t u  = 
 là hàm phụ thuộc vào hai biến mới t, và các đạo hàm riêng theo các bién
mới được xác định bởi: ∂w w ∂ x ∂ ∂ w ∂ y ∂ ∂ = + w ∂ w ∂x w ∂ y = + ∂t ∂x t ∂ ∂ và . y ∂ t u ∂ x ∂ ∂u ∂ y ∂ u
3. Đạo hàm hàm ẩn.
Định lý: Xét phương trình F (x, , y
)w= trong đó hàm F(x, ,y )w có đạo hàm riêng liên tục trên lân cận
của điểm (x , y ,
)w và giả sử rằng F ( ,x ,y w= và F (x ,y , w≠ 0 . Khi đó tồn tại một lân cận U y 0 0 0 ) 0 0 0 ) 0 0 0 0
chứa (x , )y sao cho tồn tại đúng một hàm khả vi w = f (x, ) xác định trên U thỏa mãnw = f ( ,x )y 0 0 0 0 0 0 và F x, , ( y f, ) x y =   .
Hơn nữa, đạo hàm của hàm số (ẩn) w = f( ,
x ) này xác định từ công thức: ∂w F ∂ w F x = − ; y = − . ∂ x F ∂ y w w
5. Đạo hàm theo hướng. Cho hàm số w = f(x, , ) y, có ĐHR, điểm (
P , ,x ) và véc tơ v khi đó đạo hàm
của hàm số theo hướng v tại điểm P( , ,
x ) được xác định bởi:
df = (grad ).uf ds
trong đó u là véc tơ đơn vị cùng hướng với v.
Để tính đạo hàm theo hướng của hàm f (x,y, ) ta cần biết 3 yếu tố : Công thức hàm số, điểm cần tính đạo
hàm và hướng mà ta quan tâm.
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguyễn Hữu Thọ 2022 -2023
+ Khi biết đủ 3 yếu tố đó thì chúng ta có thể tính được đạo hàm mong muốn. Các bước tính đạo
hàm theo hướng của hàm số w = f(x, ,
y ) tại điểm P ( ,x ,y )z theo hướng v = ( ; a ; ) b ≠ như sau : 0 0 0 0
Bước 1 : Tính grad sau đó tính giá trị gradient của hàm số w = f(x, ,
y ) tại điểm P ( ,x ,y )z : 0 0 0 0 grad f . P( ,x , )y 0 0 0 0
Bước 2 : Tính độ dài véc tơ v = (a ; ; ) b : 2 2 2
v = a + b+   v   sau đó xét : a b c u  =
=  ; ; , đây chính là véc tơ đơn vị theo hướng của véc tơ   v . v v v   
Bước 3 : Khi đó, đạo hàm của hàm số w = f (x,y, ) tại điểm P ( ,x ,y )z theo hướng 0 0 0 0 df v = ( ; a ; )
b ≠ được xác định bởi : = u ds (grad f . P0)
2. Bài toán: Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong (S) có phương trình F(x, , ) y =z 0
tại điểm P ( ,x ,y )z, (ở đây c là hằng số đối với cá biến x,y, ). 0 0 0 0 0
(Chú ý: Cách gải này áp dụng đối với trường hợp mặt cong (S) được xác định bởi một phương trình 3 biến x, , y.)
Cách giải: + Do P ( ,x ,y )z ∈ ( )S nên F ( ,x ,y )z= , nên (S) chính là một mặt mức của hàm số 0 0 0 0 0 0 0 0
w = F (x , , )
y tại điểm P( ,x ,y )z. 0 0 0 0
+ Tính grad , khi đó    f   ∂ f   ∂ f   ∂  f   ∂ f    ∂ ∂ f               N = gradf
=   i +   j+   k     = ∂     ∂     ;  ;    ∂        ∂     ∂     P  ∂   0 x y z x y zP P PP P P 0 0 0 0 0 0
chính là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp xúc (tiếp diện) với mặt cong(S) tại điểm P ( ,x ,y )z, từ đó 0 0 0 0
phương trình tiếp diện cần tìm xác định bởi:  ∂f        (  ∂f  ∂ f     x − x + 
y − y+   z − z= 0; 0 ) ∂    ( 0 )    ∂    ( 0 ) x y    ∂  z P P P 0 0 0
+ Pháp tuyển của mặt cong(S) tại điểm P ( ,x ,y )z chính là đường thẳng vuông góc với mặt cong 0 0 0 0 ( )
S tại điểm P ( ,x ,y )z và cũng chính là đường thẳng vuông góc với tiếp diện của mặt cong (S) tại điểm 0 0 0 0
P ( ,x ,y )z, do đó pháp tuyến này nhận véc tơ pháp tuyến của tiếp diện như là một véc tơ chỉ phương, nên 0 0 0 0
phương trình pháp tuyến xác định bởi: 1
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguyễn Hữu Thọ 2022 -2023 (x −x y − y z − z 0 ) ( )0 ( 0 ) = =  f   f    ∂   ∂   ∂ f         ∂       ∂    x y  ∂ zP P P 0 0 0
(hoặc ta có thể viết dưới dạng phương trình tham số sau: x
 = x + f (P )  0 x 0
y =y + f (P ) . 0 y 0
z = z + f (P)  0 z 0 
II Cực trị của hàm hai biến.
1. Cực trị tự do :
Định lý: Nếu f (x, ) có đạo hàm đến cấp hai liên tục trong một lân cận của điểm tới hạn (x , y và 0 0 )
nếu số D (gọi là biệt số) xác định bởi: D
f (x , )y (f ,x ) y ( ,f x = − (2) xx yy xy )2 0 0 0 0 0 0  
thì (x , y là 0 0 )
i) Điểm cực đại nếu D>0 và f (x , y< 0 ; xx 0 0 )
ii) Điểm cực tiểu nếu D>0 và f (x , y> 0 ; xx 0 0)
iii) Điểm yên ngựa nếu D<0.
Hơn nữa, nếu D=0 thì chưa thể đưa ra kết luận, và bất kì khả năng nào từ (i) đến iii) đều có thể xảy ra.
III. Tích phâm bội hai.
1. Tính tích phân bội hai
 Một miền R được gọi là thẳng đứng đơn giản (có hai cạnh cùng phương với Oy) nếu nó có thể được
miêu tả bởi các bất đẳng thức dạng a ≤ x ≤ , y ( )x≤ y ≤ (y )x (5) 1 2
ở đó y = y ( ) và y = y ( ) x là các hàm số liên tục trên [a,b]. 1 2
 Một miền được gọi là nằm ngang đơn giản (có hai cạnh cùng phương với Ox) nếu nó có thể được miêu tả
bởi các bất đẳng thức dạng : c ≤ y
≤ x ( )y≤ x ≤ (x ) (6) 1 2
ở đó x = x ( ) và x = x ( ) là các hàm số liên tục trên , c   1 2   . 2
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguyễn Hữu Thọ 2022 -2023
Định lý. Cho f (x, ) là hàm số liên tục trên R
Nếu R là miền thẳng đứng đơn giản cho bởi (5), thì b y ( )x 2
f (x ,y) dA = ∫∫
∫ ∫ (f , )xy d (7) R a (y ) x 1
và nếu R là miền nằm ngang đơn giản cho bởi (6), thì d x ( )y 2
f (x ,y) dA = ∫∫
∫ ∫ (f , )xy d . (8) R c x ( )y 1
2. Ứng dụng của tích phân bội hai: Tính diện tích miền phẳng : Xét miền phẳng, giới nội D, khi đó
diịen tích của D : dt(D) = d ∫∫ . D
IV. Tích phân đường.
1. Cách tính tích phân đường: F.dR =
M (x, )y dx
+ (N, x) .y ∫ ∫ C C
Trường hợp 1: Đường cong C là phần đồ thị hàm số y = f ( ),x với điểm đầu là A điểm cuối là B, và x
biến thiên tương ứng từ a = x tới b =
x,thì công thức tính tích phân đường là: A B b ( M , x ) y dx + ( , N ) x y d = y ( , ( M ) x) y x + (d , x ( )
N)x'( )y x ∫ ∫ C a
b M(x, (y ))x ( , N ( x ) y ) '( x )y  = + .x ∫   a 3
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguyễn Hữu Thọ 2022 -2023
Trường hợp 2: Đường cong C là phần đồ thị hàm số x = g( ),y với điểm đầu là A điểm cuối là B, và y
biến thiên tương ứng từ c = y tới d =
y thì công thức là: A B d ( M , x ) y dx + ( N , x ) y dy = ( ( M ) x , )y '( ) y x y d + y( ( ) N ,x ) y ∫ ∫ C c d =
M(x( ),y )y'( )x+y ( ( ) N ,x ) . y ∫   c x = ( x ) t
Trường hợp 3: Đường cong C được xác định bởi 
, với t biến thiên từ t
1 đến t2 , khi đó ta có: y = ( y ) t  t2
M (x ,y )dx
N (x , )y dy  ∫ ∫  (M ( ), x (t ) ) y '( t )x t ( ( ), N x ( )
) t '(y )t + = + . y   C t 1
Nếu đường cong kín ta có thể tính theo Định lý Green Định lý Green:
Nếu C là đường cong đóng, đơn, trơn từng mảnh, bao quanh miền R trong 2
ℝ , và nếu M(x,y), N(x,y)
là liên tục và có đạo hàm riêng liên tục dọc theo C và trên R thì   ∂ ∂ N M Mdx + Ndy =  −  .d ∫ ∫∫   C ∂x ∂ y   R
2. Trường bảo toàn và hàm thế vị a. Khái niệm:
 Trường véc tơ F được gọi là gradient của trường vô hướng f (gọi tắt là trường gradient), nếu: f ∂ ∂ f F = f ∇ = i + . x ∂ ∂ y
Khi đó trường véc tơ F được gọi là Trường bảo toàn, và hàm vô hướng f gọi là Hàm thế vị (hàm thế).
b. Hàm thế vị. Nếu trường véc tơ F = M ( , x i ) y + ( , )
N x bảo toàn, tức là F= ∆f với hàm f(x,y) nào đó
- hay nói cách khác: tồn tại hàm số f( , x )sao cho: ∂f
 = M(x, )y (1) ∂x  . ∂f  = N(x, )y (2)  y  ∂ 
Khi đó ta sẽ tìm hàm thế vị f(x,y) bằng cách nào? .
Giải quyết: 4
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguyễn Hữu Thọ 2022 -2023
Bước 1: Ta tích phân hai vế một trong hai phương trình (1) hoặc (2), chắng hạn tích phân hai vế của (1)
theo biến x suy ra f (x,y)=
M (x,y) dx + ( ) g ∫ . (3)
Bước 2: Sau đó lấy đạo hàm hai vế hàm số (3) vừa tìm theo biến y ta nhận được: ∂ f = ? (4) ∂y
Bước 3: Từ (2) và (4) sẽ tìm được ( g ) y = ?.
Bước 4: Kết hợp lại ta có kết quả.
V. Tích phân mặt. Tích phân bội ba.
1. Tính thông lượng của trường véc tơ qua mặt cong đóng(Tính thông qua định lý phân nhánh)
Định lý phân nhánh (Định lý Gauss).Thông lượng của một trường vectơ F xuyên qua mặt đóng S bằng
tích phân của divF trên miền R có biên S: FndA = div Fd ∫∫ ∫∫∫ S R
trong đó n là VTPT đơn vị định hướng của mặt S .
Toán tử div Nếu F(x, , ) y = z ( , , L ) xiy+ ( z , , ) Mjx
+y ( ,z , )kN là trường vectơ, trong đó các thành phần ( L , x , ) y ,y ( , M , ), x (y , , )
z có các đạo hàm riêng. Khi đó độ phân nhánh của F là ∂ ∂ ∂ L M N di F v = ∇ F .= + + . ∂x ∂ y ∂ 2. Tích phân bội ba.
a. Tính tích phân bội ba: Đưa về tích phân lặp
i. Nếu miền lấy tích phân R có dạng
R = {a ≤ x ≤ ,
b y (x)≤ y ≤ y (x), z , x y ≤ z ≤ z , x 1 2 1 ( ) 2 ( )}
Chú ý: Chiếu miền R lên xOy ta được miền D, trong trường hợp này ta nhận thấy:
D = {a ≤ x ≤ , b (y )x≤ y ≤ (y )x . 1 2 } Khi đó: y ( )x z    b (x y b y ( ) z x (x , y 2 2 ) 2 , 2 )       f
∫∫∫ (x , ,y) z dV =   ( , , f ) x y   z d ∫ ∫  ∫  = f (x, , y z) dzdyd ∫ ∫ ∫ .      R a y ( ) xz , x y    a y x 1 ( ) z x y 1 ( , ) 1 (1 )   5
Tổng hợp kiến thức môn Giải tích hàm nhiều biến TS. Nguyễn Hữu Thọ 2022 -2023
ii. Nếu miền lấy tích phân R có dạng
R = {x (y) ≤ x ≤ x (y), c ≤ y ≤ , d z x, y≤ z ≤ z , x 1 2 1 ( ) 2 ( )}
Lúc này chiếu miền R lên xOy ta được miền D:
D = {x ( ) y≤ x ≤ (x ),y c ≤ y ≤ d. 1 2 } Và : x ( ) yz   d x ( ) z y x , y 2 ( ) d (x y 2 , 2 )       2 f
∫∫∫ (x, , )y z d=V   ( , ,f ) x y  ∫ ∫  ∫   z = f x y z dzdxd   ( , , ) ∫ ∫ ∫ .     R c x ( )y   z ,   c x (y ) z , 1 x y 1( ) 1 x y 1 ( )  
c. Tính thể tích. : Thể tích của miền R trong 3
ℝ : Th . ( t )R= . dV ∫∫∫ R
d. Tích phân bội ba trong tọa độ trụ x  = corsθ 
Công thức chuyển từ tọa độ vuông góc sang toàn độ trụ: y
 = sirnθ z = z  fdV f ∫∫∫
∫∫∫ (r cos ,θr sin )rθdrd θ = .d R R( ,θ , r )z
CHÚC CÁC EM THI ĐẠT KẾT QUẢ CAO! 6

Tài liệu liên quan: