Đề minh họa giữa kì 2 Toán 12 năm 2022 – 2023 trường THPT Bảo Thắng 2 – Lào Cai

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi giữa học kì 2 môn Toán 12 năm học 2022 – 2023 .Mời bạn đọc đón xem.

33 17 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề giữa HK2 Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

12 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Lan Tường
TRƯỜNG THPT SỐ 2 BẢO THẮNG
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ MINH HỌA GIỮA KÌ 2 - LỚP 12
NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn: TOÁN - Lớp 12 - Chương trình chuẩn
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên khoảng
.K
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
'
( ) ( ),F x f x x K=
. B.
'
( ) ( ),f x F x x K=
.
C.
'
( ) ( ) ,F x f x C x K= +
, với
là hằng số. D.
'
( ) ( ) ,f x F x C x K= +
, với
C
là hằng số.
Câu 2. Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng?
A.
1
ln | |dx x C
x
=+
B.
sin xdx cosx C=+
C.
(0 1)
xx
a dx a C a= +
D.
1
tandx x C
cos x
=+
Câu 3. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số
cosyx=
(với
C
là hằng số tuỳ ý)
A.
( ) sinF x x C= − +
. B.
( ) sinF x x C=+
. C.
()F x cosx C=+
. D.
()F x cosx C= − +
.
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số
yx=
là
A.
()F x x C=+
B.
2
()F x x C=+
C.
( ) 2F x x C=+
D.
2
()
2
x
F x C=+
Câu 5. Cho hai hàm số
( ),fx
()gx
xác định và liên tục trên , chọn khẳng định sai trong các
khẳng định sau:
A.
( ) ( ) ( ) ( )
d d df x g x x f x x g x x− = −


. B.
( ) ( ) ( ) ( )
d d df x g x x f x x g x x+ = +


.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
. d d . df x g x x f x x g x x=
. D.
'
( ) ( )f x dx f x C=+
Câu 6. Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng?
A.
. ( ) ( )k f x dx f x dx=

B.
. ( ) . ( )k f x dx k f x=
C.
. ( ) . ( )k f x dx k f x dx=

D.
. ( ) ( )k f x dx k f x dx=+

Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
cos2f x x=
A.
cos2 2sin 2xdx x C=+
. B.
sin2
cos2
2
x
xdx C=+
.
C.
sin2
cos2
2
x
xdx C= − +
. D.
cos2 sin2xdx x C=+
.
Câu 8. Tích phân
1
2
0
(3 2 )dx x x+
bằng
A.
2
. B.
1
. C.
0
. D.
2−
.
Câu 9. Tích phân
3
2
21
dx
x −
bằng
A.
5
2ln
3
B.
13
ln
25
C.
3
2ln
5
D.
15
ln
23
Câu 10. Công thức tích phân nào sau đây là đúng?
A.
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F a F b= = −
. B.
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = +
.
C.
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
. D.
( ) ( ) ( )
2
b
b
a
a
f x dx F x F b==
.
Câu 11. Biết
( )
3
1
d3f x x =
. Giá trị của
( )
3
1
2df x x
bằng
A.
5
. B.
9
. C.
6
. D.
3
2
.
Câu 12. Giả sử
( )
fx
,
( )
gx
liên tục trên
;ab
. Mệnh đề nào sau đây sai?
A.
( ) ( )
dd
ba
ab
f x x f x x=−

B.
( ) ( ) ( )
( ) d d d .
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x+ = +


C.
( )
( )
( )
d
d
g( )
d
a
b
b
b
a
a
f x x
fx
x
x
g x x
=
D.
( ) ( ) ( )
( ) d d d .
b b b
a a a
f x g x x f x x g x x− = −


Câu 13. Cho
2
0
( ) 5f x dx =
và
4
2
( ) 3f x dx =−
, khi đó
4
0
2 ( )f x dx
bằng
A.
2
. B.
4−
. C.
4
. D.
16
.
Câu 14. Cho
1
2
( ) 3f x dx
−
=
khi đó
1
2
2
( ) 3f x x dx
−

+

bằng :
A. 11. B. 28. C. -12. D. 12.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
cho
32a i j k= + −
. Tọa độ của vectơ
a
là:
A.
( )
3;0; 2 .−
B.
( )
3; 1;2 .−−
C.
( )
3;1;2 .
D.
( )
3;1; 2 .−
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ
,Oxyz
cho 2 điểm
( )
1;2; 3A −
và
( )
3; 4; 1B −−
. Tìm tọa
độ trung điểm của đoạn thẳng
AB
.
A.
( )
4; 2; 4I −−
. B.
( )
2; 1; 2I −−
. C.
( )
1; 3;1I −
. D.
( )
2; 6; 4I −−
.
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( )
22
2
: 5 2 49S x y z+ + − + =
. Tính
tọa độ tâm
I
và bán kính
R
của
( )
S
.
A.
( )
5;2;0I −
và
7R =
. B.
( )
5; 2;0I −
và
7R =
.
C.
( )
5;2;0I −
và
49R =
. D.
( )
5; 2;0I −
và
49R =
Câu 18. Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 7 2 2023 0Q x y z− + − =
có một véc tơ pháp tuyến
là
A.
( )
1;7;2n =
B.
( )
1; 7; 2n = − − −
C.
( )
1; 7; 2n = − −
D.
( )
1; 7;2n =−
Câu 19. Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 2 10 0P x y− + − =
có một véc tơ pháp tuyến là
A.
( )
2;1; 10n = − −
B.
( )
2;1; 10n =−
C.
( )
2;1;0n =
D.
( )
2;1;0n =−
Câu 20. Trong không gian
Oxyz
cho mặt phẳng
( )
: 2 3 7 0P x y z− − + =
có một véc tơ pháp tuyến là
A.
( )
1;2; 3n =−
B.
( )
2;4; 6n =−
C.
( )
2; 4; 6n = − −
D.
( )
1; 2;3n =−
Câu 21. Khẳng định nào đây sai?
A.
cos d sinx x x C= − +
. B.
1
d lnx x C
x
=+
.
C.
2
2dx x x C=+
. D.
e d e
xx
xC=+
.
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
e cos 2018
x
f x x= + +
là
A.
( )
e sin 2018
x
F x x x C= + + +
. B.
( )
e sin 2018
x
F x x x C= − + +
.
C.
( )
e sin 2018
x
F x x x= + +
. D.
( )
e sin 2018
x
F x x C= + + +
Câu 23. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số
( )
5
( ) 3 1f x x=+
?
A.
( )
( )
6
31
8
18
x
Fx
+
=+
. B.
( )
( )
6
31
2
18
x
Fx
+
=−
.
C.
( )
( )
6
31
18
x
Fx
+
=
. D.
( )
( )
6
31
6
x
Fx
+
=
.
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số
( )
2
2
11
3
f x x
x
= − −
là
A.
42
3
3
xx
C
x
− + +
+
. B.
2
2
2xC
x
−
−+
.
C.
42
3
3
xx
C
x
++
−+
. D.
3
1
33
xx
C
x
−
−−+
.
Câu 25. Hàm số
( ) tan
x
F x e x C= + +
là nguyên hàm của hàm số f(x) nào
A.
2
1
()
sin
x
f x e
x
=−
B.
2
1
()
sin
x
f x e
x
=+
C.
2
( ) 1
cos
x
x
e
f x e
x
−

=+


D.
( )
2
1
cos
x
f x e
x
=+
Câu 26. Cho tích phân và . Tích phân có giá trị là:
A.
mn+
. B.
mn−
. C.
mn−−
. D.
mn−+
.
Câu 27. Cho hàm có đạo hàm liên tục trên đồng thời , . Tính
3
2
()f x dx
bằng
A. -3. B. 7. C. 10 D. 3.
Câu 28. Cho . Tính tích phân .
A. . B. . C. . D. .
Câu 29. Cho tích phân
1
3
0
1dxx−
, với cách đặt
3
1tx=−
thì tích phân đã cho bằng với tích
Phân nào sau đây?
A.
1
0
3dtt
. B.
1
3
0
dtt
. C.
1
2
0
3dtt
. D.
1
3
0
3dtt
.
Câu 30. Tính tích phân
2
2016
2
d.
1
x
x
Ix
e
−
=
+
A.
0I =
. B.
2018
2
2017
I =
. C.
2017
2
2017
I =
. D.
2018
2
2018
I =
.
Câu 31. Cho giá trị của tích phân , . Giá trị của là:
A. . B. . C. . D. .
Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho ba điểm
( )
1; 2; 1A −
,
( )
2; 1; 3B −
,
( )
3; 5;1C −
. Tìm tọa độ điểm
D
sao cho tứ giác
ABCD
là hình bình hành.
A.
( )
2; 8; 3D −−
. B.
( )
2; 2;5D −
. C.
( )
4; 8; 5D −−
. D.
( )
4; 8; 3D −−
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho mặt cầu
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 1 3 2 9S x y z+ + − + − =
Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu
( )
P
là
A.
( )
1; 3; 2I −−
,
9R =
B.
( )
1;3;2I −
,
3R =
C.
( )
1;3;2I
,
3R =
D.
( )
1;3;2I −
,
9R =
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho hai điểm
( )
4;1; 2A −
và
( )
5;9;3B
. Phương trình
mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
A.
2 6 5 40 0x y z+ − + =
B.
8 5 41 0x y z+ − − =
C.
8 5 35 0x y z− − − =
D.
8 5 47 0x y z+ + − =
( )
1
b
a
I f x dx m==
( )
2
a
c
I f x dx n==
( )
b
c
I f x dx=
( )
fx
2;3
( )
22f =
( )
35f =
( )
1
2
d3f x x
−
=
( )
1
2
2 1 dI f x x
−
=−


9−
3−
3
5
( )
1
43
1
1
2I x x dx a
−
= + =
( )
1
2
2
2
3I x x dx b
−
−
= + =
a
b
4
65
P =−
12
65
P =
12
65
P =−
4
65
P =
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ
,Oxyz
cho mặt phẳng
( )
:3 4 2 4 0P x y z+ + + =
và điểm
( )
1; 2;3A −
. Tính khoảng cách d từ
A
đến (P).
A.
5
9
d =
. B.
5
29
d =
. C.
5
29
d =
. D.
1
29
Câu 36. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
,
2
fx
x
=
−
biết
( )
1 2.F =
Giá trị của
( )
0F
bằng
A.
2 ln2.+
B.
ln2.
C.
( )
2 ln 2 .+−
D.
( )
ln 2 .−
Câu 37. Biết
( )
2x
F x e x=+
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên . Khi đó
( )
2f x dx
bằng
A.
2
2 2 .
x
e x C++
B.
22
1
.
2
x
e x C++
C.
22
1
2.
2
x
e x C++
D.
22
4.
x
e x C++
Câu 38. Cho hàm số
( )
fx
. Biết
( )
04f =
và
( )
2
' 2sin 1, f x x x= +
, khi đó
( )
4
0
df x x
bằng
A.
2
16 4
.
16

+−
B.
2
4
.
16
−
C.
2
15
.
16

+
D.
2
16 16
.
16

+−
Câu 39. Cho
( )
e
2
1
1 ln d e ex x x a b c+ = + +
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
a b c+=
B.
a b c+ = −
C.
a b c−=
D.
a b c− = −
Câu 40. Cho hình nón
( )
N
có đỉnh
S
, bán kính đáy bằng
3a
và độ dài đường sinh bằng
4a
. Gọi
( )
T
là mặt cầu đi qua
và đường tròn đáy của
( )
N
. Bán kính của
( )
T
bằng
A.
2 10
3
a
. B.
16 13
13
a
. C.
8 13
13
a
. D.
13a
.
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hình hộp
.ABCD A B C D
. Biết
( )
2;4;0A
,
( )
4;0;0B
,
( )
1;4; 7C −−
và
( )
6;8;10D
. Tọa độ điểm
B
là
A.
( )
8;4;10B
. B.
( )
6;12;0B
. C.
( )
10;8;6B
. D.
( )
13;0;17B
.
Câu 42. Trong không gian
Oxyz
, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm
( )
1; 1;4A −
và tiếp xúc với
các mặt phẳng tọa độ.
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 16x y z− + + + + =
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 9x y z− + + + − =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 36x y z+ + − + + =
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 49x y z+ + − + − =
.
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;0;0A −
,
( )
0;0;2B
,
( )
0; 3;0C −
. Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
là
A.
14
3
. B.
14
4
. C.
14
2
. D.
14
.
Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
4
điểm
( )
2;4; 1A −
,
( )
1;4; 1B −
,
( )
2;4;3C
,
( )
2;2; 1D −
, biết
( )
;;M x y z
để
2 2 2 2
MA MB MC MD+ + +
đạt giá trị nhỏ nhất thì
x y z++
bằng
A.
6
. B.
21
4
. C.
8
. D.
9
.
Câu 45. Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
: 3 2 1 0,P x y z− + − =
( )
: 2 0Q x z− + =
. Mặt
phẳng
( )
vuông góc với cả
( )
P
và
( )
Q
đồng thời cắt trục
Ox
tại điểm có hoành độ bằng
3.
Phương trình của mp
( )
là
A.
30x y z+ + − =
B.
30x y z+ + + =
C.
2 6 0xz− + + =
D.
2 6 0xz− + − =
Câu 46. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
3; 2; 2A −−
,
( )
3;2;0B
,
( )
0;2;1C
. Phương trình mặt
phẳng
( )
ABC
là
A.
2 3 6 12 0x y z− + + =
. B.
2 3 6 12 0xyz+ − − =
.
C.
2 3 6 0x y z− + =
. D.
2 3 6 12 0x y z+ + + =
.
Câu 47. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục và không âm trên thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
. 2 1f x f x x f x
=+
và
( )
00f =
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
1;3
. Biết rằng giá trị của biểu thức
2P M m=−
có dạng
( )
11 3 , , ,a b c a b c− +
. Tính
abc++
A.
7abc+ + =
. B.
4abc+ + =
. C.
6abc+ + =
. D.
5abc+ + =
.
Câu 48. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao
4GH m=
, chiều rộng
4AB m=
,
0,9AC BD m==
. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật
CDEF
tô đậm có giá là
1200000
đồng
2
/m
, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là
900000
đồng
2
/m
. Hỏi tổng số tiền
để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A.
11445000
đồng. B.
4077000
đồng. C.
7368000
đồng. D.
11370000
đồng.
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
có điểm
( )
1;1;1 ,A
( )
2;0;2 ,B
( )
−−1; 1;0 ,C
( )
0;3;4D
. Trên các cạnh
,,AB AC AD
lần lượt lấy các điểm
,,B C D
thỏa
4
AB AC AD
AB AC AD
+ + =
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
BC D

biết tứ diện
ABCD

có thể tích nhỏ
nhất?
A.
16 40 44 39 0+ + − =x y z
B.
16 40 44 39 0− − + =x y z
C.
16 40 44 39 0+ − + =x y z
D.
16 40 44 39 0− − − =x y z
Câu 50. Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho điểm
( )
2; 2;2A −
và mặt cầu
( ) ( )
2
22
: 2 1S x y z+ + + =
. Điểm
M
di chuyển trên mặt cầu
( )
S
đồng thời thỏa mãn
.6OM AM =
.
Điểm
M
thuộc mặt phẳng nào sau đây?
A.
2 2 6 9 0x y z− − + =
. B.
2 2 6 9 0x y z− + − =
.
C.
2 2 6 9 0x y z+ + + =
. D.
2 2 6 9 0x y z− + + =
.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
2.A
3.B
4.D
5.C
6.C
7.B
8.A
9.D
10.C
11.C
12.C
13.C
14.D
15.D
16.B
17.A
18.D
19.D
20.D
21.A
22.A
23.D
24.D
25.D
26.A
27.D
28.C
29.D
30.C
31.C
32.D
33.B
34.D
35.C
36.A
37.C
38.A
39.C
40.C
41.D
42.B
43.C
44.B
45.A
46.C
47.A
48.A
49.C
50.D
Câu 36. Cho
( )
Fx
là một nguyên hàm của hàm số
( )
1
,
2
fx
x
=
−
biết
( )
1 2.F =
Giá trị của
( )
0F
bằng
A.
2 ln2.+
B.
ln2.
C.
( )
2 ln 2 .+−
D.
( )
ln 2 .−
Lờigiải
Cách 1:
Ta có:
( )
1
d d ln 2 ,
2
f x x x x C C
x
= = − +
−

R
.
Giả sử
( )
0
ln 2F x x C= − +
là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn
( )
12F =
.
Do
( ) ( )
0
1 2 2 ln 2 2F C F x x= = = − +
.Vậy
( )
0 2 ln2.F =+
Câu 37. Biết
( )
2x
F x e x=+
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên . Khi đó
( )
2f x dx
bằng
A.
2
2 2 .
x
e x C++
B.
22
1
.
2
x
e x C++
C.
22
1
2.
2
x
e x C++
D.
22
4.
x
e x C++
Lời giải
Chọn C
Ta có:
( )
2x
F x e x=+
là một nguyên hàm của hàm số
( )
fx
trên
( ) ( ) ( )
22
1 1 1
2 2 2 2 2 .
2 2 2
x
f x dx f x d x F x C e x C = = + = + +

Câu 38. Cho hàm số
( )
fx
. Biết
( )
04f =
và
( )
2
' 2sin 1, f x x x= +
, khi đó
( )
4
0
df x x
bằng
A.
2
16 4
.
16

+−
B.
2
4
.
16
−
C.
2
15
.
16

+
D.
2
16 16
.
16

+−
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
( )
2
1
2sin 1 d 2 cos2 d 2 sin2 .
2
f x x x x x x x C= + = − = − +

Vì
( )
0 4 4fC= =
Hay
( )
1
2 sin2 4.
2
f x x x= − +
Suy ra
( )
44
00
1
d 2 sin2 4 d
2
f x x x x x


= − +



22
2
4
0
1 1 16 4
cos2 4 .
4 16 4 16
x x x
+−
= + + = + − =
Câu 39. Cho
( )
e
2
1
1 ln d e ex x x a b c+ = + +
với
a
,
b
,
c
là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
a b c+=
B.
a b c+ = −
C.
a b c−=
D.
a b c− = −
Lời giải
Chọn C
Ta có
( )
e
1
1 ln dx x x+
ee
11
1.d ln dx x x x=+

e
1
e 1 ln dx x x= − +
.
Đặt
2
1
ln d d
d .d
2
u x u x
x
x
v x x v
= =
= =
Khi đó
e
1
ln dx x x
e
2
e
1
1
1
ln d
22
x
x x x=−
2
e
2
1
e1
24
x=−
22
e e 1
2 4 4
= − +
2
e1
44
=+
.
Suy ra
( )
e
1
1 ln dx x x+
2
e1
e1
44
= − + +
2
e3
e
44
= + −
nên
1
4
a =
,
1b =
,
3
4
c =−
.
Vậy
a b c−=
.
Câu 40. Cho hình nón
( )
N
có đỉnh
S
, bán kính đáy bằng
3a
và độ dài đường sinh bằng
4a
. Gọi
( )
T
là mặt cầu đi qua
và đường tròn đáy của
( )
N
. Bán kính của
( )
T
bằng
A.
2 10
3
a
. B.
16 13
13
a
. C.
8 13
13
a
. D.
13a
.
Lời giải.
Chọn C
Cách 1.
Nếu cắt mặt cầu ngoại tiếp khối nón
( )
N
bởi mặt phẳng
( )
SAB
, ta được mộ hình tròn ngoại tiếp
tam giác
SAB
. Khi đó bán kính mặt cầu
( )
T
bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
SAB
.
Gọi
M
là trung điểm của
SB
. Kẻ đường vuông góc với
SB
tại
M
, cắt
SO
tại
I
.
Khi đó
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp
SAB
và
r SI=
là bán kính đường tròn ngoại tiếp
SAB
.
Ta có:
.
SI SM SM
SBO SI SBSIM
SB SO SO
= =∽
.
Trong đó:
22
2
8 13
4
13
13
SM a
a
SB a r SI
SO SB OB a
=
= = =
= − =
.
Cách 2.
Gọi
O
là tâm của mặt cầu
( )
T
,
H
là tâm đường tròn đáy của
( )
N
,
M
là một điểm trên đường
tròn đáy của
( )
N
và
R
là bán kính của
( )
T
.
Ta có:
SO OM R==
;
2 2 2
OM OH HM=+
;
22
13SH SM HM a= − =
.
Do
SH HM
nên chỉ xảy ra hai trường hợp sau
Trường hợp 1:
SH SO OH=+
Ta có hệ phương trình
( )
2 2 2 2
2 2 2
13
13
13 2 3 3 *
3
OH a R
R OH a
R a aR R a
R OH a
=−
+=


= − + +
=+
.
Giải
( )
*
ta có
8 13
13
a
R =
.
Trường hợp 2:
SH SO OH=−
.
Ta có hệ phương trình
( )
2 2 2 2
2 2 2
13
13
13 2 13 3 *
3
OH R a
R OH a
R a aR R a
R OH a
=−
=+


= − + +
=+
.
Giải
( )
*
ta có
8 13
13
a
R =
.
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho hình hộp
.ABCD A B C D
. Biết
( )
2;4;0A
,
( )
4;0;0B
,
( )
1;4; 7C −−
và
( )
6;8;10D
. Tọa độ điểm
B
là
A.
( )
8;4;10B
. B.
( )
6;12;0B
. C.
( )
10;8;6B
. D.
( )
13;0;17B
.
Lời giải
Giả sử
( )
;;D a b c
,
( )
;;B a b c
Gọi
O AC BD=
17
;4;
22
O
−



3
8
7
a
b
c
=−
=
=−
.
C
(-1; 4;-7)
B
(4; 0; 0)
A
(2; 4; 0)
C'
A'
B'
D'
(6; 8; 10)
D
O
Vậy
( )
9;0;17DD
=
,
( )
4; ;BB a b c
=−
. Do
.ABCD A B C D
là hình hộp nên
DD BB

=
13
0
17
a
b
c
=
=
=
.
Vậy
( )
13;0;17B
.
Câu 42. Trong không gian
Oxyz
, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm
( )
1; 1;4A −
và tiếp xúc với
các mặt phẳng tọa độ.
A.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 16x y z− + + + + =
. B.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 9x y z− + + + − =
.
C.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 36x y z+ + − + + =
. D.
( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3 49x y z+ + − + − =
.
Lời giải
Gọi
( )
;;I a b c
là tâm của mặt cầu
( )
S
. Mặt cầu
( )
S
tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , ,d I Oxy d I Oyz d I Oxz==
a b c R = = =
( )
1
Mặt cầu
( )
S
đi qua
( )
1; 1;4A −
0; 0; 0
IA R
a c b
=
22
0; 0; 0
IA R
a c b
=
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
2
1 1 4
0 ( 1 )
a b c R
a c b R do
− + + + − =
= = − =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1 4
0
a a a a
a c b R
− + − + + − =
= = − =
2
2 12 18 0
0
aa
a c b R
− + =
= = − =
2
6 9 0
0
aa
a c b R
− + =
= = − =
3
3
3
ac
b
R
==
= −
=
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
: 3 3 3 9S x y z − + + + − =
.
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho
( )
1;0;0A −
,
( )
0;0;2B
,
( )
0; 3;0C −
. Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
là
A.
14
3
. B.
14
4
. C.
14
2
. D.
14
.
Lời giải
Gọi
( )
S
là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
OABC
.
Phương trình mặt cầu
( )
S
có dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + =
.
Vì
O
,
A
,
B
,
C
thuộc
( )
S
nên ta có:
0
1 2 0
4 4 0
9 6 0
d
ad
cd
bd
=
+ + =
− + =
+ + =
1
2
3
2
1
0
a
b
c
d
=−
=−
=
=
.
Vậy bán kính mặt cầu
( )
S
là:
2 2 2
R a b c d= + + −
19
1
44
= + +
14
2
=
.
Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho
4
điểm
( )
2;4; 1A −
,
( )
1;4; 1B −
,
( )
2;4;3C
,
( )
2;2; 1D −
, biết
( )
;;M x y z
để
2 2 2 2
MA MB MC MD+ + +
đạt giá trị nhỏ nhất thì
x y z++
bằng
A.
6
. B.
21
4
. C.
8
. D.
9
.
Lời giải
Xét điểm
( )
;;I a b c
thỏa mãn
0IA IB IC ID+ + + =
. Khi đó
77
; ;0
42
I



.
Ta có
2 2 2 2
MA MB MC MD+ + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
MI IA MI IB MI IC MI ID= + + + + + + +
( )
2 2 2 2 2
42MI MI IA IB IC ID IA IB IC ID= + + + + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4MI IA IB IC ID IA IB IC ID= + + + + + + +
Dấu
""=
xảy ra
MI
tức là
7 7 7 7
; ;0
4 2 4 2
M x y z

+ + = +


21
4
=
.
Câu 45. Trong không gian
,Oxyz
cho hai mặt phẳng
( )
: 3 2 1 0,P x y z− + − =
( )
: 2 0Q x z− + =
. Mặt
phẳng
( )
vuông góc với cả
( )
P
và
( )
Q
đồng thời cắt trục
Ox
tại điểm có hoành độ bằng
3.
Phương trình của mp
( )
là
A.
30x y z+ + − =
B.
30x y z+ + + =
C.
2 6 0xz− + + =
D.
2 6 0xz− + − =
Lời giải
Chọn A
( )
P
có vectơ pháp tuyến
( )
1; 3;2
P
n =−
,
( )
Q
có vectơ pháp tuyến
( )
1;0; 1
Q
n =−
.
Vì mặt phẳng
( )
vuông góc với cả
( )
P
và
( )
Q
nên
( )
có một vectơ pháp tuyến là
( ) ( )
, 3;3;3 3 1;1;1
PQ
nn

==

.
Vì mặt phẳng
( )
cắt trục
Ox
tại điểm có hoành độ bằng 3 nên
( )
đi qua điểm
( )
3;0;0M
.
Vậy
( )
đi qua điểm
( )
3;0;0M
và có vectơ pháp tuyến
( )
1;1;1n
=
nên
( )
có phương trình:
3 0.x y z+ + − =
Câu 46. Trong không gian
Oxyz
, cho ba điểm
( )
3; 2; 2A −−
,
( )
3;2;0B
,
( )
0;2;1C
. Phương trình mặt
phẳng
( )
ABC
là
A.
2 3 6 12 0x y z− + + =
. B.
2 3 6 12 0xyz+ − − =
.
C.
2 3 6 0x y z− + =
. D.
2 3 6 12 0x y z+ + + =
.
Lời giải
Chọn C
Cách 1:
Ta có:
( )
0;4;2AB =
,
( )
3;4;3AC =−
,
( )
; 4; 6;12

= = −

n AB AC
.
Ta có
( )
4; 6;12n =−
cùng phương
( )
1
2; 3;6n =−
Mặt phẳng
( )
ABC
đi qua điểm
( )
0;2;1C
và có một vectơ pháp tuyến
( )
1
2; 3;6n =−
nên
( )
ABC
có
phương trình là:
( ) ( ) ( )
2 0 3 2 6 1 0x y z− − − + − =
2 3 6 0x y z − + =
.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
2 3 6 0x y z− + =
.
Câu 47. Cho hàm số
( )
y f x=
liên tục và không âm trên thỏa mãn
( ) ( ) ( )
2
. 2 1f x f x x f x
=+
và
( )
00f =
. Gọi
,Mm
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
y f x=
trên đoạn
1;3
. Biết rằng giá trị của biểu thức
2P M m=−
có dạng
( )
11 3 , , ,a b c a b c− +
. Tính
abc++
A.
7abc+ + =
. B.
4abc+ + =
. C.
6abc+ + =
. D.
5abc+ + =
.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
22
..
. 2 1 2 2
11
f x f x f x f x
f x f x x f x x dx xdx
f x f x

= + = =
++

( )
22
1f x x C + = +
.
Mà
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2 2 4 2
0 0 1 1 1 1 1 2f C f x x f x x x x= = + = + = + − = +
( )
42
2f x x x = +
.
Ta có:
( )
( ) ( )
( ) ( )
3
42
1;3
1;3
22
0, 1;3 max 3 3 11;min 1 3
2
xx
f x x f x f f x f
xx
+
= = = = =
+
.
Ta có:
2 6 11 3 6; 1; 0 7P M m a b c a b c= − = − = = = + + =
.
Câu 48. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao
4GH m=
, chiều rộng
4AB m=
,
0,9AC BD m==
. Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật
CDEF
tô đậm có giá là
1200000
đồng
2
/m
, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là
900000
đồng
2
/m
. Hỏi tổng số tiền
để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?
A.
11445000
đồng. B.
4077000
đồng. C.
7368000
đồng. D.
11370000
đồng.
Lời giải
Chọn A
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho
AB
trùng
Ox
,
A
trùng
O
khi đó parabol có đỉnh
( )
2;4G
và đi
qua gốc tọa độ.
Giả sử phương trình của parabol có dạng
( )
2
0y ax bx c a= + +
.
Vì parabol có đỉnh là
( )
2;4G
và đi qua điểm
( )
0;0O
nên ta có
2
0
2
2
.2 .2 4
c
b
ab
a
c
=
−=
+ + =
1
4
0
a
b
c
=−
=
=
.
Suy ra phương trình parabol là
2
() 4y f x x x==+−
.
Diện tích của cả cổng là
( ) ( )
4
4
3
2 2 2
0
0
32
4 d 2 m
33
x
S x x x x

= − + = − + =


.
Mặt khác chiều cao
( )
0,9 2,79(m)CF DE f= = =
;
( )
4 2.0,9 2,2 mCD = − =
.
Diện tích hai cánh cổng là
( )
2
. 6,138 m
CDEF
S CD CF==
.
Diện tích phần xiên hoa là
( )
2
32 6793
6,14 m
3 1500
xh CDEF
S S S= − = − =
.
Vậy tổng số tiền để làm cổng là
6793
6,138.1200000 .900000 11441400
1500
+=
đồng.
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz
, cho tứ diện
ABCD
có điểm
( )
1; 1;1 ,A
( )
2;0;2 ,B
( )
−−1; 1;0 ,C
( )
0;3;4D
. Trên các cạnh
,,AB AC AD
lần lượt lấy các điểm
,,B C D
thỏa
4
AB AC AD
AB AC AD
+ + =
. Viết phương trình mặt phẳng
( )
BC D

biết tứ diện
ABCD

có thể tích nhỏ
nhất?
A.
16 40 44 39 0+ + − =x y z
B.
16 40 44 39 0− − + =x y z
C.
16 40 44 39 0+ − + =x y z
D.
16 40 44 39 0− − − =x y z
Lời giải
Chọn C
Đặt
,,
AB AC AD
x y z
AB AC AD
===
. Ta có
4
AB AC AD
AB AC AD
+ + =
. Suy ra
3
1 1 1 1 27
43
64
xyz
x y z xyz
= + +
. Dấu
""=
xảy ra khi
x y z==
.
( )
( )
( ) ( )
1; 1;1 ;
; 3; 1; 4 ; 1;2;3
2; 2; 1
AB
AB AC AD
AC
=−

= − − = −

= − − −
.
Thể tích của tứ diện ABCD là
1 17
;.
66
ABCD
V AB AC AD

==

Lại có
ABCD ABCD
V xyzV

=
tứ diện
ABCD

có thể tích nhỏ nhất khi
xyz
nhỏ nhất
Khi và chỉ khi
3
4
x y z= = =
Mặt phẳng mặt phẳng
( )
BC D

song song với mặt phẳng
( )
BCD
và đi qua điểm
B
. Vì
3 3 3 3
;;
4 4 4 4
AB AB

= = −


nên
7 1 7
;;
444
B



( )
( )
( ) ( )
3; 1; 2 ;
; 4;10; 11
2;3;2
BC
BC BD BCD
BD
= − − −


= −

=−
nhận VTPT là
( )
4;10; 11n =−
Suy ra phương trình mặt phẳng
( )
:B C D

16 40 44 39 0+ − + =x y z
Câu 50. Trong không gian với hệ trục
Oxyz
, cho điểm
( )
2; 2;2A −
và mặt cầu
( ) ( )
2
22
: 2 1S x y z+ + + =
. Điểm
M
di chuyển trên mặt cầu
( )
S
đồng thời thỏa mãn
.6OM AM =
.
Điểm
M
thuộc mặt phẳng nào sau đây?
A.
2 2 6 9 0x y z− − + =
. B.
2 2 6 9 0x y z− + − =
.
C.
2 2 6 9 0x y z+ + + =
. D.
2 2 6 9 0x y z− + + =
.
Lời giải
Giả sử
( )
;;M x y z
thì
( )
;;OM x y z=
,
( )
2; 2; 2AM x y z= − + −
.
Vì
( )
MS
và
.6OM AM =
nên ta có hệ
( ) ( ) ( )
( )
2
22
2 2 2 6
21
x x y y z z
x y z
− + + + − =
+ + + =
2 2 2
2 2 2
2 2 2 6
4 4 1
x y z x y z
x y z z
+ + − + − =
+ + + + =
2 2 6 9 0x y z − + + =
.
Vậy điểm
M
thuộc mặt phẳng có phương trình:
2 2 6 9 0x y z− + + =
.
| 1/12
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG THPT SỐ 2 BẢO THẮNG
ĐỀ MINH HỌA GIỮA KÌ 2 - LỚP 12 TỔ TOÁN - TIN NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn: TOÁN - Lớp 12 - Chương trình chuẩn
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu 1. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng K. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. '
F (x) = f (x), x   K . B. '
f (x) = F (x), x   K . C. '
F (x) = f (x) + C, x
  K , với C là hằng số. D. '
f (x) = F (x) + C, x
  K , với C là hằng số.
Câu 2. Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng? 1 1 A.
dx = ln | x | +C
B. sin xdx = cosx + CC. x x
a dx = a + C (0  a  1)  D.
dx = tan x + Cx cos x
Câu 3. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số y = cos x (với C là hằng số tuỳ ý)
A. F(x) = −sin x + C . B. F(x) = sin x + C . C. F(x) = cosx + C . D. F (x) = −cosx + C .
Câu 4. Nguyên hàm của hàm số y = x là 2 x
A. F(x) = x + C B. 2
F (x) = x + C C. F (x) = 2x + C D. F (x) = + C 2
Câu 5. Cho hai hàm số f (x), g(x) xác định và liên tục trên
, chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau: A. f
 (x)− g(x)dx = f
 (x)dx − g
 (x)dx . B.f
 (x)+ g(x)dx = f
 (x)dx + g
 (x)dx. C. f
 (x).g(x)dx = f  (x)d .x g
 (x)dx. D. 'f(x)dx = f (x)+C
Câu 6. Công thức nguyên hàm nào sau đây đúng?
A. k. f (x)dx = f (x)dx  
B. k. f (x)dx = k. f (x) 
C. k. f (x)dx = k. f (x)dx  
D. k. f (x)dx = k + f (x)dx  
Câu 7. Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x) = cos 2x sin 2x
A. cos 2xdx = 2sin 2x + C  . B. cos 2xdx = + C  . 2 sin 2x
C. cos 2xdx = − + C
. D. cos 2xdx = sin 2x + C  . 2 1 Câu 8. Tích phân 2
(3x + 2x)dx  bằng 0
A. 2 . B. 1. C. 0 . D. −2 . 3 dx Câu 9. Tích phân  bằng 2x −1 2 5 1 3 3 1 5
A. 2 ln B. ln C. 2 ln D. ln 3 2 5 5 2 3
Câu 10. Công thức tích phân nào sau đây là đúng? b b A. f
 (x)dx = F (x) b= F a − F b . B. f
 (x)dx = F (x) b= F b + F a . a ( ) ( ) a ( ) ( ) a a b b C. f
 (x)dx = F (x) b= F b − F a . D. f
 (x)dx = F (x) b= 2F b . a ( ) a ( ) ( ) a a 3 3
Câu 11. Biết f
 (x)dx = 3. Giá trị của 2 f (x)dx  bằng 1 1 3 A. 5 . B. 9 . C. 6 . D. . 2
Câu 12. Giả sử f ( x) , g ( x) liên tục trên  ;
a b . Mệnh đề nào sau đây sai? b a b b b A. f
 (x)dx = − f
 (x)dx B. f
 (x)+ g(x)dx = f
 (x)dx + g
 (x)d .x a b a a a a f x xb f ( x) ( )d b b b C. d b x =  D. f
 (x)− g(x)dx = f
 (x)dx − g  (x)d .x g(x) b a g  (x)dx a a a a 2 4 4
Câu 13. Cho f (x)dx = 5 
và f (x)dx = 3 − 
, khi đó 2 f (x)dx  bằng 0 2 0
A. 2 . B. −4 . C. 4 . D. 16 . 1 1 Câu 14. Cho
f (x)dx = 3  khi đó 2
f (x) + 3x dx    bằng : 2 − 2 −
A. 11. B. 28. C. -12. D. 12.
Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = 3i + j − 2k . Tọa độ của vectơ a là: A. (3;0; 2 − ). B. ( 3 − ; 1
− ;2). C. (3;1;2). D. (3;1; 2 − ).
Câu 16. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(1;2; 3 − ) và B(3; 4 − ;− ) 1 . Tìm tọa
độ trung điểm của đoạn thẳng A B . A. I (4; 2 − ; 4
− ) . B. I (2; 1 − ; 2
− ) . C. I (1; 3 − ; ) 1 . D. I (2; 6 − ; 4 − ) .
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ 2 2
Oxyz , cho mặt cầu (S ) ( x + ) + ( y − ) 2 : 5 2 + z = 49 . Tính
tọa độ tâm I và bán kính R của (S ) . A. I ( 5
− ;2;0) và R = 7 . B. I (5; 2
− ;0) và R = 7 . C. I ( 5
− ;2;0) và R = 49 . D. I (5; 2 − ;0) và R = 49
Câu 18. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (Q) : x − 7y + 2z − 2023 = 0 có một véc tơ pháp tuyến là
A. n = (1;7;2) B. n = ( 1 − ; 7 − ; 2
− ) C. n = (1; 7 − ; 2
− ) D. n = (1; 7 − ;2)
Câu 19. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : 2
− x + y −10 = 0 có một véc tơ pháp tuyến là A. n = ( 2 − ;1; 1
− 0) B. n = (2;1; 1
− 0) C. n = (2;1;0) D. n = ( 2 − ;1;0)
Câu 20. Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x − 2y − 3z + 7 = 0 có một véc tơ pháp tuyến là A. n = (1;2; 3
− ) B. n = (2;4; 6
− ) C. n = (2; 4 − ; 6
− ) D. n = (1; 2 − ;3)
Câu 21. Khẳng định nào đây sai? 1
A. cos x dx = − sin x + C  . B.
dx = ln x + C  . x C. 2
2x dx = x + C  .
D. ex d = ex x + C  .
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số ( ) = ex f x
+ cos x + 2018 là A. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018x + C . B. ( ) = ex F x
−sin x + 2018x + C . C. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018x . D. ( ) = ex F x
+ sin x + 2018+ C
Câu 23. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của hàm số f x = ( x + )5 ( ) 3 1 ? x + x +
A. F ( x) ( )6 3 1 = + 8 .
B. F ( x) ( )6 3 1 = − 2 . 18 18 x + x +
C. F ( x) ( )6 3 1 = .
D. F ( x) ( )6 3 1 = . 18 6 1 1
Câu 24. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) 2 = − x − là 2 x 3 4 2 −x + x + 3 2 − A. + C . B.
− 2x + C . 3x 2 x 4 2 x + x + 3 3 −x 1 x C. − + C . D. − − + C . 3x 3 x 3 Câu 25. Hàm số ( ) x
F x = e + tan x + C là nguyên hàm của hàm số f(x) nào x 1 x 1
A. f (x) = e −
B. f (x) = e + 2 sin x 2 sin x − xex 1 C. f (x) x = e 1+ 
D. f ( x) = e + 2  cos x  2 cos x b a b
Câu 26. Cho tích phân I = f x dx = mI = f x dx = nI = f  (x)dx 2 ( ) 1 ( ) và . Tích phân có giá trị là: a c c
A. m + n .
B. m − n .
C. −m − n .
D. −m + n . 3
Câu 27. Cho hàm f ( x) có đạo hàm liên tục trên 2; 
3 đồng thời f (2) = 2 , f (3) = 5 . Tính f (  x)dx  2 bằng A. -3. B. 7. C. 10 D. 3. 1 1 Câu 28. Cho f
 (x)dx = 3. Tính tích phân I = 2 f
  (x)−1dx.  2 − 2 − A. 9 − . B. 3 − . C. 3 . D. 5 . 1
Câu 29. Cho tích phân 3 1− xdx  , với cách đặt 3
t = 1− x thì tích phân đã cho bằng với tích 0 Phân nào sau đây? 1 1 1 1 A. 3 tdt  . B. 3 t dt  . C. 2 3 t dt  . D. 3 3 t dt  . 0 0 0 0 2 2016 x
Câu 30. Tính tích phân I = d . x x e +1 2 − 2018 2017 2018
A. I = 0. B. 2 2 2 I = . C. I = . D. I = . 2017 2017 2018 1 1 − a
Câu 31. Cho giá trị của tích phân I =  ( 4 3
x + 2x dx = a I =  ( 2
x + 3x dx = b 2 ) 1 ) , . Giá trị của là: b 1 − 2 − 4 A. P = − 12 . B. P = 12 . C. P = − 4 . D. P = . 65 65 65 65
Câu 32. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; − ) 1 , B (2; −1; 3) , C ( 3 − ; 5; )
1 . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D ( 2 − ; 8; − 3). B. D ( 2 − ; 2; 5) . C. D ( 4 − ; 8; −5) . D. D ( 4 − ; 8; − 3)
Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ 2 2 2
Oxyz , cho mặt cầu (S ) : ( x + )
1 + ( y − 3) + ( z − 2) = 9
Tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ( P) là A. I (1; 3 − ; 2 − ), R = 9 B. I ( 1
− ;3;2) , R = 3
C. I (1;3;2) , R = 3 D. I ( 1
− ;3;2) , R = 9
Câu 34. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4;1; 2
− ) và B(5;9;3). Phương trình
mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:
A. 2x + 6 y − 5z + 40 = 0 B. x + 8y − 5z − 41 = 0
C. x − 8y − 5z − 35 = 0
D. x + 8y + 5z − 47 = 0
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : 3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A(1; 2
− ;3) . Tính khoảng cách d từ A đến (P). 5 5 5 1 A. d = . B. d = . C. d = . D. 9 29 29 29
Câu 36. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = , biết F ( )
1 = 2. Giá trị của F (0) x − 2 bằng A. 2 + ln 2. B. ln 2. C. 2 + ln ( 2 − ). D. ln ( 2 − ).
Câu 37. Biết F ( x) x 2
= e + x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi đó f (2x)dx  bằng 1 1 A. x 2
2e + 2x + C. B. 2 x 2 e + x + C. C. 2 x 2 e + 2x + C. D. 2x 2 e + 4x + C. 2 2  4
Câu 38. Cho hàm số f ( x) . Biết f (0) = 4 và f ( x) 2 ' = 2sin x +1, x   , khi đó f
 (x)dx bằng 0 2  +16 − 4 2  − 4 2  +15 2  +16 −16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 e
Câu 39. Cho (1+ xln x) 2 d x = e a + e
b + c với a , b , c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
A. a + b = c
B. a + b = c −
C. a − b = c
D. a − b = c −
Câu 40. Cho hình nón ( N ) có đỉnh S , bán kính đáy bằng 3a và độ dài đường sinh bằng 4a . Gọi
(T ) là mặt cầu đi qua S và đường tròn đáy của (N) . Bán kính của (T ) bằng 2 10a 16 13a 8 13a A. . B. . C. . D. 13a . 3 13 13
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABC . D A BCD
  . Biết A(2;4;0) ,
B (4;0;0) , C ( 1
− ;4;− 7) và D(6;8;10) . Tọa độ điểm B là
A. B(8;4;10) .
B. B(6;12;0) .
C. B(10;8;6).
D. B(13;0;17) .
Câu 42. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; 1 − ;4) và tiếp xúc với
các mặt phẳng tọa độ. 2 2 2 2 2 2
A. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z + 3) = 16 .
B. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 3) = 9 . 2 2 2 2 2 2
C. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z + 3) = 36 .
D. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 49 .
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( 1
− ;0;0) , B(0;0;2) , C (0; 3 − ;0). Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14 . 3 4 2
Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(2;4;− ) 1 , B (1;4;− ) 1 , C (2;4; ) 3 , D (2;2;− )
1 , biết M ( x; y; z) để 2 2 2 2
MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng 21 A. 6 . B. . C. 8 . D. 9 . 4
Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x − 3y + 2z −1 = 0, (Q) : x − z + 2 = 0 . Mặt
phẳng ( ) vuông góc với cả (P) và (Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3.
Phương trình của mp ( ) là
A. x + y + z − 3 = 0
B. x + y + z + 3 = 0 C. 2
− x + z + 6 = 0 D. 2
− x + z − 6 = 0
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(3; 2 − ; 2
− ), B(3;2;0) ,C (0;2 ) ;1 . Phương trình mặt phẳng ( ABC) là
A. 2x − 3y + 6z +12 = 0 .
B. 2x + 3y − 6z −12 = 0 .
C. 2x − 3y + 6z = 0 .
D. 2x + 3y + 6z +12 = 0 .
Câu 47. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và không âm trên
thỏa mãn f ( x) f ( x) 2 . = 2x f (x) +1
và f (0) = 0. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn
1; 3. Biết rằng giá trị của biểu thức P = 2M −m có dạng a 11−b 3 +c,(a,b,c ). Tính a+b+c
A. a + b + c = 7 .
B. a + b + c = 4 .
C. a + b + c = 6 .
D. a + b + c = 5 .
Câu 48. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m ,
AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2
/m . Hỏi tổng số tiền
để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 đồng. B. 4077000 đồng. C. 7368000 đồng. D. 11370000 đồng.
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1; ) 1 , B(2;0;2),
C (−1;−1;0), D (0;3;4) . Trên các cạnh A , B A ,
C AD lần lượt lấy các điểm B ,
C ,D thỏa AB AC AD + +
= 4. Viết phương trình mặt phẳng (B CD
 ) biết tứ diện ABCD   có thể tích nhỏ ABACAD nhất?
A. 16x + 40 y + 44z − 39 = 0
B. 16x − 40 y − 44z + 39 = 0
C. 16x + 40 y − 44z + 39 = 0
D. 16x − 40 y − 44z − 39 = 0
Câu 50. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A(2; 2 − ;2) và mặt cầu
(S) x + y +(z + )2 2 2 : 2
=1. Điểm M di chuyển trên mặt cầu (S ) đồng thời thỏa mãn OM.AM = 6 .
Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây?
A. 2x − 2y − 6z + 9 = 0 .
B. 2x − 2y + 6z − 9 = 0 .
C. 2x + 2 y + 6z + 9 = 0 .
D. 2x − 2y + 6z + 9 = 0 . BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.A 3.B 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 9.D 10.C 11.C 12.C 13.C 14.D 15.D 16.B 17.A 18.D 19.D 20.D 21.A 22.A 23.D 24.D 25.D 26.A 27.D 28.C 29.D 30.C 31.C 32.D 33.B 34.D 35.C 36.A 37.C 38.A 39.C 40.C 41.D 42.B 43.C 44.B 45.A 46.C 47.A 48.A 49.C 50.D
Câu 36. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x) 1 = , biết F ( )
1 = 2. Giá trị của F (0) x − 2 bằng A. 2 + ln 2. B. ln 2. C. 2 + ln ( 2 − ). D. ln ( 2 − ). Lờigiải Cách 1: Ta có: f  (x) 1 dx =
dx = ln x − 2 + C, C   R . x − 2
Giả sử F (x) = ln x − 2 + C là một nguyên hàm của hàm số đã cho thỏa mãn F ( ) 1 = 2 . 0 Do F ( )
1 = 2  C = 2  F x = ln x − 2 + 2 .Vậy F (0) = 2 + ln 2. 0 ( )
Câu 37. Biết F ( x) x 2
= e + x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên . Khi đó f (2x)dx  bằng 1 1 A. x 2
2e + 2x + C. B. 2 x 2 e + x + C. C. 2 x 2 e + 2x + C. D. 2x 2 e + 4x + C. 2 2 Lời giải Chọn C
Ta có: F ( x) x 2
= e + x là một nguyên hàm của hàm số f (x) trên  f  (2x) 1 dx = f  (2x) 1 d 2x = F (2x) 1 2x 2
+ C = e + 2x + C. 2 2 2  4
Câu 38. Cho hàm số f ( x) . Biết f (0) = 4 và f ( x) 2 ' = 2sin x +1, x   , khi đó f
 (x)dx bằng 0 2  +16 − 4 2  − 4 2  +15 2  +16 −16 A. . B. . C. . D. . 16 16 16 16 Lời giải Chọn A 1
Ta có f ( x) = ( 2 2sin x + )
1 dx = (2 − cos 2x) dx = 2x − sin 2x + C. 2
Vì f (0) = 4  C = 4 Hay f ( x) 1
= 2x − sin 2x + 4. 2   4 4  1  Suy ra f
 (x)dx = 2x− sin2x+4 dx    2  0 0  2 2 1  1  16 4 2 x cos 2x 4x 4  + − = + + = + − = . 4 16 4 16 0 e
Câu 39. Cho (1+ xln x) 2 d x = e a + e
b + c với a , b , c là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây đúng? 1
A. a + b = c
B. a + b = c −
C. a − b = c
D. a − b = c − Lời giải Chọn C e e e e
Ta có (1+ xln x) d
x = 1.dx + x ln x dx  
= e −1+ x ln x dx  . 1 1 1 1  1
u = ln x  du = dx  Đặ x t  2 x
dv = .xdx v =  2 e 2 e e 2 e 2 2 2 Khi đó x 1 e 1 e e 1 e 1 x ln x dx  = ln x − x dx  2 = − x = − + = + . 2 2 2 4 2 4 4 4 4 1 1 1 1 e 2 e 1 2 e 3 1 3
Suy ra (1+ xln x) d x = e −1+ + =
+ e − nên a = , b =1, c = − . 4 4 4 4 4 4 1
Vậy a − b = c .
Câu 40. Cho hình nón ( N ) có đỉnh S , bán kính đáy bằng 3a và độ dài đường sinh bằng 4a . Gọi
(T ) là mặt cầu đi qua S và đường tròn đáy của (N) . Bán kính của (T ) bằng 2 10a 16 13a 8 13a A. . B. . C. . D. 13a . 3 13 13 Lời giải. Chọn C Cách 1.
Nếu cắt mặt cầu ngoại tiếp khối nón ( N ) bởi mặt phẳng (SAB) , ta được mộ hình tròn ngoại tiếp
tam giác SAB . Khi đó bán kính mặt cầu (T ) bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB .
Gọi M là trung điểm của SB . Kẻ đường vuông góc với SB tại M , cắt SO tại I .
Khi đó I là tâm đường tròn ngoại tiếp S
AB và r = SI là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB . SI SM SM Ta có: SIM ∽ SBO  =  SI = .SB . SB SO SOSM = 2a  Trong đó: 8a 13 SB = 4ar = SI = . 13  2 2
SO = SB − OB = a 13 Cách 2.
Gọi O là tâm của mặt cầu (T ) , H là tâm đường tròn đáy của ( N ) , M là một điểm trên đường
tròn đáy của (N ) và R là bán kính của (T ).
Ta có: SO = OM = R ; 2 2 2
OM = OH + HM ; 2 2 SH = SM − HM = 13a .
Do SH HM nên chỉ xảy ra hai trường hợp sau
Trường hợp 1: SH = SO + OH Ta có hệ phương trình
R + OH = 13a O
 H = 13a − R    . 2 2 2 2 2 2 2
R = OH + 3a
R = 13a − 2 3aR + R + 3a  (*) 8 13a Giải ( ) * ta có R = . 13
Trường hợp 2: SH = SO − OH .
R = OH + 13a O
 H = R − 13a
Ta có hệ phương trình    . 2 2 2 2 2 2 2
R = OH + 3a
R = 13a − 2 13aR + R + 3a  (*) 8 13a Giải ( ) * ta có R = . 13
Câu 41. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABC . D A BCD
  . Biết A(2;4;0) ,
B (4;0;0) , C ( 1
− ;4;− 7) và D(6;8;10) . Tọa độ điểm B là
A. B(8;4;10) .
B. B(6;12;0) .
C. B(10;8;6).
D. B(13;0;17) . Lời giải A' B' C'
D'(6; 8; 10)
A(2; 4; 0)
B(4; 0; 0) D
C(-1; 4;-7) Giả sử D ( ; a ;
b c) , B(a ;b ;c) a = 3 −  −   Gọi O = AC  1 7 BD O ; 4;    b  = 8 . O  2 2  c = 7 −  a =13 
Vậy DD = (9;0;17), BB = (a − 4;b ;c) . Do ABC . D A BCD
  là hình hộp nên DD = BB  b   = 0 . c =17  Vậy B(13;0;17) .
Câu 42. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; 1 − ;4) và tiếp xúc với
các mặt phẳng tọa độ. 2 2 2 2 2 2
A. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z + 3) = 16 .
B. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 3) = 9 . 2 2 2 2 2 2
C. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z + 3) = 36 .
D. ( x + 3) + ( y − 3) + ( z − 3) = 49 . Lời giải Gọi I ( ; a ;
b c) là tâm của mặt cầu (S ) . Mặt cầu (S ) tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ
d (I,(Oxy)) = d (I,(Oyz)) = d (I,(Oxz))  a = b = c = R ( ) 1
Mặt cầu (S ) đi qua A(1; 1 − ;4)  2 2 2 IA = R 2 2  = (
 a − ) +(b + ) +(c − ) 2 1 1 4 = RIA R     
a  0;c  0;b  0
a  0;c  0;b  0
a = c = b
− = R  0 (do  ( ) 1 ) (
 a − )2 +(−a + )2 +(a − )2 2 1 1 4 = a 2  − + = 2  − + =  2a 12a 18 0 a 6a 9 0     
a = c = b − = R  0
a = c = b − = R  0
a = c = b − = R  0 a = c = 3   2 2 2 b  = 3 −
 (S ) :(x −3) + ( y + 3) + (z −3) = 9 . R = 3 
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A( 1
− ;0;0) , B(0;0;2) , C (0; 3 − ;0). Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là 14 14 14 A. . B. . C. . D. 14 . 3 4 2 Lời giải
Gọi (S ) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC .
Phương trình mặt cầu (S ) có dạng: 2 2 2
x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = 0 .
Vì O , A , B , C thuộc (S ) nên ta có:  1 = −  a d = 0  2   1  + 2a + d = 0  3   b = −  . 4 − 4c + d = 0  2   = 9
 +6b + d = 0 c 1  d = 0
Vậy bán kính mặt cầu (S ) là: 2 2 2
R = a + b + c − 1 9 d = + + 14 1 = . 4 4 2
Câu 44. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A(2;4;− ) 1 , B (1;4;− ) 1 , C (2;4; ) 3 , D (2;2;− )
1 , biết M ( x; y; z) để 2 2 2 2
MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng 21 A. 6 . B. . C. 8 . D. 9 . 4 Lời giải  
Xét điểm I (a; ;
b c) thỏa mãn IA + IB + IC + ID = 0 . Khi đó 7 7 I ; ;0   .  4 2  2 2 2 2 Ta có 2 2 2 2
MA + MB + MC + MD = (MI + IA) + (MI + IB) + (MI + IC) + (MI + ID) 2
= MI + MI (IA+ IB + IC + ID) 2 2 2 2 4 2
+ IA + IB + IC + ID 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= 4MI + IA + IB + IC + ID IA + IB + IC + ID  7 7  7 7 21
Dấu " = " xảy ra  M I tức là M
; ;0  x + y + z = +   = .  4 2  4 2 4
Câu 45. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x − 3y + 2z −1 = 0, (Q) : x − z + 2 = 0 . Mặt
phẳng ( ) vuông góc với cả (P) và (Q) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3.
Phương trình của mp ( ) là
A. x + y + z − 3 = 0
B. x + y + z + 3 = 0 C. 2
− x + z + 6 = 0 D. 2
− x + z − 6 = 0
Lời giải Chọn A
(P) có vectơ pháp tuyến n =(1; 3
− ;2 , (Q) có vectơ pháp tuyến n = − . Q (1;0; ) 1 P )
Vì mặt phẳng ( ) vuông góc với cả (P) và (Q) nên ( ) có một vectơ pháp tuyến là
n ,n  = (3;3;3) = 3(1;1; ) 1 P Q   .
Vì mặt phẳng ( ) cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên ( ) đi qua điểm M (3;0;0) .
Vậy ( ) đi qua điểm M (3;0;0) và có vectơ pháp tuyến n =  
(1;1; )1 nên ( ) có phương trình:
x + y + z − 3 = 0.
Câu 46. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(3; 2 − ; 2
− ), B(3;2;0) ,C (0;2 ) ;1 . Phương trình mặt phẳng ( ABC) là
A. 2x − 3y + 6z +12 = 0 .
B. 2x + 3y − 6z −12 = 0 .
C. 2x − 3y + 6z = 0 .
D. 2x + 3y + 6z +12 = 0 . Lời giải Chọn C Cách 1: Ta có:
AB = (0; 4; 2) , AC = ( 3
− ;4;3) , n = A ; B AC = (4;− 6;12)   .
Ta có n = (4;− 6;12) cùng phương n = 2;− 3;6 1 ( )
Mặt phẳng ( ABC) đi qua điểm C (0;2 )
;1 và có một vectơ pháp tuyến n = 2; − 3;6 nên ( ABC) có 1 ( ) phương trình là:
2( x − 0) − 3( y − 2) + 6( z − )
1 = 0  2x − 3y + 6z = 0 .
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x − 3y + 6z = 0 .
Câu 47. Cho hàm số y = f ( x) liên tục và không âm trên
thỏa mãn f ( x) f ( x) 2 . = 2x f (x) +1
và f (0) = 0. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x) trên đoạn
1; 3. Biết rằng giá trị của biểu thức P = 2M −m có dạng a 11−b 3 +c,(a,b,c ). Tính a+b+c
A. a + b + c = 7 .
B. a + b + c = 4 .
C. a + b + c = 6 .
D. a + b + c = 5 . Lời giải Chọn A
f x . f x
f x . f x 2 ( ) ( )
Ta có: f ( x). f ( x) = 2x f ( x) ( ) ( ) +1  = 2x dx = 2xdx   2 f ( x) 2 +1 f ( x) +1 2  f (x) 2 +1 = x + C .
Mà f ( ) =  C =  f ( x) + = x +  f ( x) = (x + )2 2 2 2 2 4 2 0 0 1 1 1
1 −1 = x + 2x f (x) 4 2 = x + 2x . 3 2x + 2x
Ta có: f ( x) =  0, x  1; 
3  max f ( x) = f (3) = 3 11; min f ( x) = f ( ) 1 = 3 . 4 2 1; 3 1; 3 x + 2x
Ta có: P = 2M − m = 6 11 − 3  a = 6;b = 1;c = 0  a + b + c = 7 .
Câu 48. Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau. Chiều cao GH = 4m , chiều rộng AB = 4m ,
AC = BD = 0,9m . Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật CDEF tô đậm có giá là 1200000 đồng 2
/m , còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là 900000 đồng 2
/m . Hỏi tổng số tiền
để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây? A. 11445000 đồng. B. 4077000 đồng. C. 7368000 đồng. D. 11370000 đồng. Lời giải Chọn A
Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng Ox , A trùng O khi đó parabol có đỉnh G (2; 4) và đi qua gốc tọa độ.
Giả sử phương trình của parabol có dạng 2
y = ax + bx + c (a  0) . c = 0  a = 1 −  Vì parabol có đỉ b
nh là G (2; 4) và đi qua điểm O (0;0) nên ta có − = 2  b = 4 . 2a  c = 0 2    .2 a + .2 b + c = 4
Suy ra phương trình parabol là 2
y = f (x) = −x + 4x . 4 4 3  x  32
Diện tích của cả cổng là S = ( 2 −x + 4x) 2 dx =  − + 2x  = ( 2 m ) .  3  3 0 0
Mặt khác chiều cao CF = DE = f (0,9) = 2,79(m) ; CD = 4 − 2.0,9 = 2, 2 (m) .
Diện tích hai cánh cổng là S = CD CF = ( 2 . 6,138 m . CDEF ) 32 6793
Diện tích phần xiên hoa là S = S − S = − 6,14 = . xh CDEF ( 2 m ) 3 1500 6793
Vậy tổng số tiền để làm cổng là 6,138.1200000 + .900000 = 11441400 đồng. 1500
Câu 49. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có điểm A(1;1; ) 1 , B(2;0;2),
C (−1;−1;0), D (0;3;4) . Trên các cạnh A , B A ,
C AD lần lượt lấy các điểm B ,
C ,D thỏa AB AC AD + +
= 4. Viết phương trình mặt phẳng (B CD
 ) biết tứ diện ABCD   có thể tích nhỏ ABACAD nhất?
A. 16x + 40 y + 44z − 39 = 0
B. 16x − 40 y − 44z + 39 = 0
C. 16x + 40 y − 44z + 39 = 0
D. 16x − 40 y − 44z − 39 = 0 Lời giải Chọn C    Đặt AB AC AD AB AC AD x = , y = , z = . Ta có + + = 4 AB AC AD ABACAD . Suy ra 1 1 1 1 27 = + +  3 4 3  xyz
. Dấu " = " xảy ra khi x = y = z. x y z xyz 64 AB =  (1; 1 − ; ) 1 ;   A ; B AC = (3; 1 − ; 4 − ); AD = ( 1 − ;2; )   . AC =  (− − − ) 3 2; 2; 1
Thể tích của tứ diện ABCD là 1 17 V = A ; B AC .AD = ABCD 6   6 Lại có V = xyzV  tứ diện ABCD
  có thể tích nhỏ nhất khi xyz nhỏ nhất AB CD   ABCD Khi và chỉ khi 3
x = y = z =
 Mặt phẳng mặt phẳng (B CD
 ) song song với mặt phẳng (BCD) 4     và đi qua điểm 3 3 3 3 7 1 7
B . Vì AB = AB = ; − ;   nên B ; ;   4  4 4 4   4 4 4  BC = ( 3 − ; 1 − ; 2 −  );   B ; C BD = (4;10; 1 − ) 1  (B CD  )  
nhận VTPT là n = (4;10; 1 − ) 1 BD =  ( 2 − ;3;2)
Suy ra phương trình mặt phẳng (B CD
 ) :16x + 40y −44z +39 = 0 Câu 50. Trong không
gian với hệ trục Oxyz , cho điểm A(2; 2 − ;2) và mặt cầu
(S) x + y +(z + )2 2 2 : 2
=1. Điểm M di chuyển trên mặt cầu (S ) đồng thời thỏa mãn OM.AM = 6 .
Điểm M thuộc mặt phẳng nào sau đây?
A. 2x − 2y − 6z + 9 = 0 .
B. 2x − 2y + 6z − 9 = 0 .
C. 2x + 2 y + 6z + 9 = 0 .
D. 2x − 2y + 6z + 9 = 0 . Lời giải Giả sử M ( ; x ;
y z) thì OM = ( ;
x y; z ) , AM = ( x − 2; y + 2; z − 2) . x
 ( x − 2) + y ( y + 2) + z ( z − 2) = 6
Vì M (S ) và OM .AM = 6 nên ta có hệ  x + y +  (z + 2)2 2 2 = 1 2 2 2
x + y + z − 2x + 2y − 2z = 6  
 2x − 2y + 6z + 9 = 0 . 2 2 2
x + y + z + 4z + 4 =1
Vậy điểm M thuộc mặt phẳng có phương trình: 2x − 2y + 6z + 9 = 0 .