Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày 1)

Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi chọn HSG Quốc gia năm 2018 sở GD và ĐT Quảng Ngãi (Ngày thi thử nhất) gồm 4 bài toán tự luận, thời gian làm bài 180 phút, đề có lời giải chi tiết và thang điểm.

52 26 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

5 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ
KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018
Ngày thi: 26/10/2017
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1. (5 điểm)
a) Cho q là số thực thuộc khoảng (0;1) và dãy
1
n
n
u
thỏa mãn điều kiện
21 1
, 1.
nn nn
uu quun


Chứng minh rằng dãy
n
u
có giới hạn hữu hạn.
b) Cho dãy
1
n
n
v
xác định bởi
1
01v
và
1
3
,1
2
n
n
vn
v

. Chứng minh
rằng dãy
n
v
có giới hạn hữu hạn và tính
lim
n
v
.
Bài 2. (5 điểm)
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 5
n
+1 chia hết cho 7
2018
.
Bài 3. (5 điểm)
Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự
,, ;abc
với
,,abc
là các số nguyên dương thỏa mãn
điều kiện

357
,, 2.3.5abc
? (Kí hiệu
,,abc là bội chung nhỏ nhất của ba số nguyên
dương
,,abc
).
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC
dựng các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A và hình vuông BCFG. Dựng tam giác XAB
vuông cân tại X (X khác phía với D đối với đường thẳng AB), tam giác YAC vuông cân tại
Y (Y khác phía với E đối với đường thẳng AC).
a) Chứng minh rằng 3 điểm D, Y, F thẳng hàng.
b) Các đường thẳng DY, EX cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng AP
luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
……………………………………….HẾT…………………………………….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NGÃI
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI
CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018
Ngày thi: 26/10/2018
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài Nội dung Điểm
Bài 1. (5 điểm)
a) Cho q là số thực thuộc khoảng (0;1) và dãy
1
n
n
u
thỏa mãn điều kiện
21 1
, 1.
nn nn
uu quun

 Chứng minh rằng dãy
n
u
có giới hạn
hữu hạn.
b) Cho dãy
1
n
n
v
xác định bởi
1
01v
và
1
3
,1
2
n
n
vn
v

. Chứng
minh dãy
n
v
có giới hạn hữu hạn và tính
lim
n
v
.
a. Ta có


112 1
112 1
1
1
...
...
...
nk n nk nk nk nk n n
nk nk nk nk n n
kk
nn
uuuu u u uu
qu u u u u u
qq qu u
  




1 điểm

12
21
1
21
1
21
...
1
1
1
kk n
nk
n
qq qquu
qq
uu
q
q
uu
q




1 điểm
Vì lim 0
n
q nên
0
0, N

sao cho
0
,,0
nk n
uu nNk

Do đó, theo tiêu chuẩn Cauchy
dãy
n
u
có giới hạn hữu hạn.
1 điểm
b.
Ta có
n
v
là dãy số dương.

1
21 1
11
3
33 3
22 224
nn
nn nn
nn nn
vv
vv vv
vv vv




.
1 điểm
Theo câu a), dãy
n
v
hội tụ và tính được
lim 1
n
v
.
1 điểm
Bài 2. (5 điểm)
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 5
n
+1 chia hết cho 7
2018
.
Nhận xét n>3, 5
3
≡-1 (mod 7) và ord
7
(5)=6
1 điểm
Nên 5
n
+1 chia hết cho 7
2018
suy ra 5
n
=5
3
.5
n-3
≡-1.5
n-3
≡-1(mod 7)
hay 5
n-3
≡1 (mod 7) suy ra 6|n-3 hay n=6k+3.
1 điểm
Ta tìm k để cho 7
2018
| 5
6k+3
+1 hay v
7
( (5
3
)
2k+1
+1) 2018.
Theo định lý LTE ta có v
7
( (5
3
)
2k+1
+1)=v
7
(5
3
+1)+v
7
(2k+1)=1+v
7
(2k+1)
1 điểm
Hay v
7
(2k+1) 2017 suy ra 2k+1=7
m
.t với m,t là các số nguyên dương
m2017 và t là số lẻ.
1 điểm
Khi đó n=3.7
m
.t nên số nguyên dương n nhỏ nhất là n=3.7
2017
.
1 điểm
Bài 3. (5 điểm)
Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự
,,abc , với
,,abc
là các số nguyên
dương thỏa mãn điều kiện

357
,, 2.3.5abc
? (kí hiệu
,,abc là bội chung
nhỏ nhất của ba số nguyên dương
,,abc
).
Đặt
22
333
12 1 1
235 , 235, 235.
abc
aa b c
bc
abc
111 222 333
0,,3,0,,5,0,,7.abc abc abc
Ta có

357
,, 235abc
khi và chỉ khi
111 2 2 2 333
ax , , 3, ax , , 5, ax , , 7.mabc mabc mabc
1 điểm
Ta đếm tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm

111
,,abc sao
cho
111
max , , 3.abc Đặt:

111 1 11
,, | 3,0 , 3Aabc a bc

111 1 11
,, | 3,0 , 3Babc b ac

111 1 11
,, | 3,0 , 3Cabc c ab
Khi đó,
A
BC
là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên
không âm

111
,,abc sao cho
111
max , , 3.abc
1 điểm
Ta có 16, 4, 1.ABC ABBCCA ABC
Do đó

37.ABC A B C AB BC C A ABC 
1 điểm
Vậy số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm

111
,,abc sao
cho
111
max , , 3abc
bằng 37.
Tương tự:
Số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm

222
,,abc
sao cho
222
max , , 5abc bằng 91.
Số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm

333
,,abc sao cho
333
max , , 7abc
bằng 169.
1 điểm
Theo quy tắc nhân số tất cả các bộ số nguyên dương

,,abc thỏa mãn bài
toán bằng 37x91x169 = 569023.
1 điểm
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC
dựng các tam giác ABD và ACE là các tam giác vuông cân tại A và hình
vuông BCFG. Dựng tam giác XAB vuông cân tại X (X khác phía với D đối
với đường thẳng AB), tam giác YAC vuông cân tại Y (Y khác phía với E đối
với đường thẳng AC).
a. Chứng minh rằng 3 điểm D, Y, F thẳng hàng.
b. Các đường thẳng DY, EX cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường
thẳng AP luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
a.
Phép quay
90
:
o
C
QFB và phép quay
90
:
o
A
QBD .
Do đó
90 90
:
oo
AC
QQ F D
.
Gọi Y’ là tâm của phép quay
90 90
oo
C
QQ
.
Theo tính chất tích của 2 phép quay, ta có
,'45
o
AC AY
và
', 45
o
CY CA
.
1 điểm
Suy ra tam giác Y’AC cân tại Y’.
Suy ra
'YY
.
Do đó
180
:
o
Y
QFD .
Nên D, Y, F thẳn
g
hàn
g
. Hơn
n
ữa, Y là trun
g
điểm DF.
1 điểm
Y
F
D
B
A
C
b.
Tương tự câu a, chứng minh được X là trung điểm của EG.
Gọi
,.
M
AG DF N AF EG
Vì
BAG BDF
nên
BAG BDF
. Do đó, tứ giác BDAM nội tiếp.
1 điểm
Suy ra
BM DF
.
Tương tự,
CN EG
.
Do đó, 6 điểm B, C, F, G, M, N cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình
vuông BCFG.
1 điểm
Gọi T là giao điểm của tiếp tuyến tại F và tiếp tuyến tại G của đường tròn
ngoại tiếp hình vuông BCFG.
Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm B, C, F, G, M, N ta được A, P, T thẳng
hàng.
Vậy đường thẳng AP luôn đi qua điểm T cố định.
1 điểm
T
N
M
P
F
G
Y
X
E
D
A
B
C
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ QUẢNG NGÃI
KỲ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1. (5 điểm)
a) Cho q là số thực thuộc khoảng (0;1) và dãy u thỏa mãn điều kiện nn 1  uu
q u u , n
  1. Chứng minh rằng dãy u có giới hạn hữu hạn. nn2 n 1  n 1  n 3 b) Cho dãy v
xác định bởi 0  v  1 và v  , n   1. Chứng minh nn 1  1 n 1  2  vn rằng dãy v v .
n có giới hạn hữu hạn và tính lim n Bài 2. (5 điểm)
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 5n+1 chia hết cho 72018.
Bài 3. (5 điểm)
Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự a,b,c; với a,b,c là các số nguyên dương thỏa mãn
điều kiện a b c 3 5 7 , ,
 2 .3 .5 ? (Kí hiệu a, ,
b c là bội chung nhỏ nhất của ba số nguyên
dương a,b,c ).
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC
dựng các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A và hình vuông BCFG. Dựng tam giác XAB
vuông cân tại X (X khác phía với D đối với đường thẳng AB), tam giác YAC vuông cân tại
Y (Y khác phía với E đối với đường thẳng AC).
a) Chứng minh rằng 3 điểm D, Y, F thẳng hàng.
b) Các đường thẳng DY, EX cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường thẳng AP
luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi.
……………………………………….HẾT…………………………………….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THAM DỰ KỲ THI QUẢNG NGÃI
CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2018 Ngày thi: 26/10/2018 Môn: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung Điểm
Bài 1. (5 điểm)
a) Cho q là số thực thuộc khoảng (0;1) và dãy u thỏa mãn điều kiện nn 1  uu
q u u , n
  1. Chứng minh rằng dãy u có giới hạn nn2 n 1  n 1  n hữu hạn. 3 b) Cho dãy v
xác định bởi 0  v  1 và v  , n   1. Chứng nn 1  1 n 1  2  vn
minh dãy v có giới hạn hữu hạn và tính limv . nn a. Ta có uu uuuu
 ... u u nk n nk nk 1  nk 1  nk 2 n 1  n
qu uuu
 ...  u u nk nk 1  nk 1  nk 2 n 1  n  1 điểm   k k 1
q q   ...  qu u n 1  n   k k 1
q q   ...  qn2 q u u 2 1 n 1 q  1 kq   u u 2 1 1 q 1 điểm n 1 q   u u 2 1 1 q Vì lim n q  0 nên    0, N    sao cho u
u   , n   N , k   0 0 nk n 0 1 điểm
Do đó, theo tiêu chuẩn Cauchy
u có giới hạn hữu hạn. n dãy
Ta có v là dãy số dương. n b. 3 3 3v v n 1  n  3 vv     v v . n2 n 1  2  v 2  vvv  1 điểm  n
2 n 2 n n 1 4 n n 1 1
Theo câu a), dãy v hội tụ và tính được limv  1. nn 1 điểm
Bài 2. (5 điểm)
Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất để 5n+1 chia hết cho 72018.
Nhận xét n>3, 53≡-1 (mod 7) và ord7(5)=6 1 điểm
Nên 5n+1 chia hết cho 72018 suy ra 5n=53.5n-3≡-1.5n-3≡-1(mod 7)
hay 5n-3≡1 (mod 7) suy ra 6|n-3 hay n=6k+3. 1 điểm
Ta tìm k để cho 72018| 56k+3+1 hay v7( (53)2k+1+1) 2018. 1 điểm
Theo định lý LTE ta có v7( (53)2k+1+1)=v7(53+1)+v7(2k+1)=1+v7(2k+1)
Hay v7(2k+1) 2017 suy ra 2k+1=7m.t với m,t là các số nguyên dương 1 điểm
m 2017 và t là số lẻ.
Khi đó n=3.7m.t nên số nguyên dương n nhỏ nhất là n=3.72017. 1 điểm
Bài 3. (5 điểm)
Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự a,b,c , với a,b,c là các số nguyên
dương thỏa mãn điều kiện a b c 3 5 7 , ,
 2 .3 .5 ? (kí hiệu a, , b c là bội chung
nhỏ nhất của ba số nguyên dương a,b,c ). Đặt a a a b b2 b c c2 1 2 3 1 3 1 3
a  2 3 5 , b  2 3 5 , c  2 3 5c .
0  a ,b ,c  3, 0  a ,b ,c  5, 0  a ,b ,c  7. 1 điểm 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Ta có a b c 3 5 7 , ,  2 3 5 khi và chỉ khi ax
m a ,b ,c  3, ax m
a ,b ,c  5, ax m
a ,b ,c  7. 1 1 1  2 2 2  3 3 3
Ta đếm tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm a ,b ,c sao 1 1 1 
cho maxa ,b ,c  3. Đặt: 1 điểm 1 1 1 A  
a ,b ,c | a  3,0  b ,c  3 1 1 1  1 1 1  B  
a ,b ,c |b  3,0  a ,c  3 1 1 1  1 1 1  C  
a ,b ,c |c  3,0  a ,b  3 1 1 1  1 1 1 
Khi đó, A B C là tập hợp tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên
không âm a ,b ,c sao cho maxa ,b ,c  3. 1 1  1 1 1  1
Ta có A B C  16, A B B C C A  4, A B C  1. Do đó 1 điểm
A B C   A B C    AB B C C A   AB C  37.
Vậy số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm a ,b ,c sao 1 1 1 
cho maxa ,b ,c  3 bằng 37. 1 1 1 Tương tự:
Số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm a ,b ,c sao cho 1 điểm 2 2 2 
maxa ,b ,c  5 bằng 91. 2 2 2
Số tất cả các bộ có thứ tự gồm các số nguyên không âm a ,b ,c sao cho 3 3 3 
maxa ,b ,c  7 bằng 169. 3 3 3
Theo quy tắc nhân số tất cả các bộ số nguyên dươnga,b,c thỏa mãn bài
toán bằng 37x91x169 = 569023. 1 điểm
Bài 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC có B, C cố định, A thay đổi. Phía ngoài tam giác ABC
dựng các tam giác ABD và ACE là các tam giác vuông cân tại A và hình
vuông BCFG. Dựng tam giác XAB vuông cân tại X (X khác phía với D đối
với đường thẳng AB), tam giác YAC vuông cân tại Y (Y khác phía với E đối
với đường thẳng AC).
a. Chứng minh rằng 3 điểm D, Y, F thẳng hàng.
b. Các đường thẳng DY, EX cắt nhau tại P. Chứng minh rằng đường
thẳng AP luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. a. F B Y D 1 điểm A C Phép quay 90o Q
: F B và phép quay 90o Q : B D . C A Do đó 90o 90o Q Q : F D . A C
Gọi Y’ là tâm của phép quay 90o 90o Q Q . A C
Theo tính chất tích của 2 phép quay, ta có  , ' 45o AC AY  và  ',  45o CY CA  .
Suy ra tam giác Y’AC cân tại Y’.
Suy ra Y '  Y . Do đó 180o Q : F D . 1 điểm Y
Nên D, Y, F thẳng hàng. Hơn nữa, Y là trung điểm DF. b. E D A X M N B C Y P G F T
Tương tự câu a, chứng minh được X là trung điểm của EG.
Gọi M AG DF, N AF E . G 1 điểm
Vì BAG BDF nên BAG  BDF . Do đó, tứ giác BDAM nội tiếp.
Suy ra BM DF .
Tương tự, CN EG . 1 điểm
Do đó, 6 điểm B, C, F, G, M, N cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông BCFG.
Gọi T là giao điểm của tiếp tuyến tại F và tiếp tuyến tại G của đường tròn
ngoại tiếp hình vuông BCFG.
Áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm B, C, F, G, M, N ta được A, P, T thẳng 1 điểm hàng.
Vậy đường thẳng AP luôn đi qua điểm T cố định.