Đề thi cuối kỳ học phần Giải tích 1 năm 2015 | Đại học Bách Khoa Hà Nội

ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 1 – HỌC KÌ 20151 Đề 1 + 2
Câu 1. Tìm các giới hạn sau  1 1  a) (1) lim −   →0 x x
 e −1 sin x 
Gợi ý: sin x x − e +1 sin x x − e +1 cos x x − e −sin x x − e 1 +) I = lim = lim = lim = lim = − x 2 x→ 0 x→ 0 x→ 0 x→ 0 (e −1) sin x x 2x 2 2  1 1  (2) lim −   x →0 ln(  x 1 + ) sin x  x b) (1) lim (1−sin x )cot 2 x x →0
Gợi ý: 2 2 cot x ln(1− sin x ) − sin x lim lim +) I = lim ( 2 1− sin x ) x − x 0 → x x x 0 → 1 tan x tan x = e = e = e x→ 0 (2) x lim (1− 3sin x )cot x 0 → Câu 2. Cho hàm số 3 x (1) y = . Tính (20) y x − 2
Gợi ý: +) Hàm số v (20)  8  8.20! +) (20) y = =   21  x −2  ( x − 2) 4 x (2) y = . Tính (20) y x − 2
Câu 3. Tính cực trị của hàm số 1 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt (1) 2
f (x) = 3arctan x − ln(x +1)
Gợi ý: − +) TXĐ: 3 2x 3 2 x . y' = − = 2 2 2 x 1 + x 1 + x 1 + 3  3 3 11
+) y ' = 0 khi x = . Đó là điểm cực đại y = 3arctan − ln   2  2 2 4 (2) 2
f (x) = ln(x +1) − arctan x
Câu 4. Tính tích phân 2x +1 (1) dx  2 x + 1
Gợi ý: 2x +1 2x 1 2x +) I = dx = dx + dx = dx + 2 ln     ( 2 x + x +1 2 2 2 2 ) x + 1 x + 1 x + 1 x + 1 +) 2  I = x + + ( 2 2 1 ln x + x +1) + C x + 2 (2) dx  2 x + 1 Câu 5. Cho hàm số 2  x sin x  , ( , x ) y  (0;0) f f (1) 2 2 f ( ;
x y) = 2x + y . Tính (0; 0), (0; 0)  x y 0, ( ; x ) y = (0; 0) 
Gợi ý: f f (0; ) h − f (0; 0) sinh 1 +) (0; 0) = lim = lim = h→0 h→0 x h 2h 2 2 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt f
f (0; k) − f (0; 0) +) (0; 0) = lim = 0 k →0 y k 2  y sin y 
, (x, y)  (0; 0) f f (2) 2 2 f ( ;
x y) = 2x + 3y . Tính (0; 0), (0; 0) x y 0  ,( ;x )y  =(0;0)
Câu 6. Tính đạo hàm y '(0) của hàm số ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình (1) 3 3 2
x + 2 y + 3x y = 2
Gợi ý: +) 3 3 2 2 2 2 f ( ; x )
y = x + 2 y + 3x y − 2; f ' = 3x + 6 ;
y f ' = 6 y + 3x x y 2 f ' x + 2xy
+) x = 0  y(0) = −1. Đạo hàm y '(x) x = − = −  y '(0) = 0 2 2 f ' x +2 y y (2) 3 3 2
x + 3y + 2x y = 3
Câu 7. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau  arctan x (1) dx  3 4 + 0 2x x
Gợi ý:  1 arctan x arctan x  arctanx +) dx = dx + dx,    3 4 3 4 3 4 + + + 0 2x x 0 2x x 1 2x x 1 arctan x 1 arctan x +) khi x → 0 : ~  dx  HT 3 4 3 4 2 x + x 2 x + 0 2 x x 1 arctan x  1 arctan x x →  : ~  dx  HT → Tích phân HT 2 3 4 3 4 2x + x 2 x + 0 2x x 3 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt  arctan x (2) dx  3 4 + 0 x 2 x
Câu 8. Tìm cực trị của hàm số (1) 3 2 2
z = x + x y + 2 y +1
Gợi ý: +) 2 2
z ' = 3x + 2xy = 0; z ' = x + 4 y = 0.M (0; 0); M (6; 9 − ) x y 1 2 +) z' = 6x +2 ; y z' = 2 ; x z ' = 4. xx xy yy Tại 2 3
M (0; 0) : B − AC = 0; z( ;
x 0) − z(0; 0) = x có dấu thay đổi khi x đi qua 0. 1
Điểm M (0;0) không phải điểm cực trị 1 Tại 2 M (6; 9)
− : B − AC = 72, không phải cực trị 2 (2) 2 2 3
z = 2x + xy + y + 2 1 Câu 9. x 51 Chứng minh rằ 2 ng e dx   35 0
Gợi ý: 2 3 x x +) Chứng minh x e  1+ x + + với x   0 2 6 1 1 4 6 3 5 7  x x   x x x  1 2 51 +) x 2  e dx  1+ x + + dx = x + + + =      2 6 3 10 42 0 35     0 0 4 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt Đề 3 + 4
Câu 1. Tìm các giới hạn sau x e − cos x a) (1) lim
x →0 ln(1+ 2x ) x e − cos x (2) lim
x →0 ln(1− 3x) 1 b) (1) x sin lim(e + 3x) x x →0 1 (2) x sin
lim(e + 2x) x x →0
Câu 2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1) 3 3 y = x + 2 (2) 3 3 y = x + 1
Câu 3. Tính cực trị của hàm số
(1) f (x) = ln(x + 3) + arccot x
(2) f (x) = ln(x + 7) + arccot x
Câu 4. Tìm độ dài của đường cong
(1) y = ln x, với 1 x  2 (2) 2
y = ln(x −1), với 2  x  3
Câu 5. Tìm giới hạn x s y in x (1) lim 2 2
( x; y )→(0;0) x + 2y 2 x sin y (2) lim 2 2 ( x; y ) ( → 0;0) 2x + y
Câu 6. Tìm cực trị của hàm số (1) 3 3
z = 12xy − 8x + y + 2 (2) 3 3
z = 12xy + x + 8y +1
Câu 7. Cho hàm số ẩn z = z( ;
x y) xác định bởi PT 5 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt z z  (1) 2 2 4 3
x arctan z + 2xy + y + 2z = 1. Tính , x y z  z  (2) 3 2 2 5
x + y arctan z − 4x y + 2 y + z = 2. Tính , x y
Câu 8. Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng sau  cos x (1) dx  3 − 1 x 1  sin x (2) dx  3 x − 1 1
Câu 9. Cho hàm số f (x) khả vi liên tục trên [0;1] và f (0) = 0. Chứng minh rằng 1 2 1 2
[f (x)] dx 
[f '(x )] dx  2 0 6 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt Đề 5 + 6
Câu 1. Tính giới hạn
(1) lim(sin x) x + x →0
Gợi ý: lim xln(sin ) x +) x 0 I = lim (sin x) x = e + → x 0+ → cos x ln(sin x) +) sin x 0 I = lim x ln(sin ) x = lim = lim
= 0  I = e =1 1 + + 1 + 3 x→ 0 x→ 0 − x→ 0 1  −  2 2 x − x   2 
(2) lim(tan x) x + x →0 Câu 2. Tính ' f (0; 0) và ' f (0; 0) biết x y 3 3 2x − y  , ( ; x y)  (0; 0) (1) 2 2 f ( ;
x y) =  x + y 0  ,( ; x y) = (0; 0)
Gợi ý: 3 3 2 x − 0 2 f ( ;
x 0) − f (0; 0)  +) ' (0;0) = lim = lim x f = 2 x  x→0  x→0 x x 3 −y 2 f (0;  ) y − f (0; 0) y +) ' f (0; 0) = lim = lim = 1 − y y  →0 x  →0 y  y  3 3 x − 2y  , ( ; x y)  (0; 0) (2) 2 2 f ( ;
x y) =  x + y 0  ,( ; x y) = (0; 0) 7 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Câu 3. Tính tích phân dx (1) 
−3sin x + 4 cos x + 5
Gợi ý: 2 x 2dt 2t 1 −t +) Đặt t = tan
 x = 2arctan ;t dx = ;sin x = ; cos x = 2 2 2 2 1 + t 1 + t 1 + t dx 2dt 2 2 +) = = − +C = − +C   2
−3sin x+ 4 cos x+ 5 (t − 3) t − 3 x 3− tan 2 dx (2) 
−5sin x +12 cos x + 13
Câu 4. Tính diện tích của phần hình phẳng nằm trên trục hoành giới hạn bởi các đường
(1) y = x +1; y = cos ; x y = 0
Gợi ý: 0 0 1
+) Diện tích S = S − S ; S = (x +1)dx = ;S = cos xdx = 1   1  S = (đvdt) 1 2 1 2 2 2 1 −  −2 (2) 8 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Câu 5. Tìm đạo hàm hàm số (1) sinx cos = (cos + ) + (sin ) x y x x x
Gợi ý:
+) y = y + y ,với sin x cos = (cos + ) ; = (sin ) x y x x y x 1 2 1 2  sin ( x 1− sin x)
+) y ' = y cos x ln(cos x + x) + 1 1    cos x + x  2  (cos ) x 
+) y ' = y − sin x ln(sin x) +
. Vậy y ' = y '+ y ' 2 2   sin x   1 2 (2) sin x cos = (cos ) + (sin + ) x y x x x
Câu 6. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số sau x −2 sin x (1) x −2 y = 2 + x
Gợi ý:
+) Có 2 điểm gián đoạn x = 0 và x = 2. +) Điể 1 3
m x = 0 là điểm gián đoạn loại 1 vì lim y = − ; lim y = x 0− x 0 2 + → → 2 Điể 1 sin 2 sin 2
m x = 2 là điểm gián đoạn loại 1 vì lim y = + ; lim y = 2+ x 2− x 2 2 2 + → → 2 x− 3 sin x (2) x− 3 y = 3 + x
Câu 7. Tính giá trị của biểu thức ' '
A = yz − xz biết rằng x y 9 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt (1) 3 r 2 2
z = r + 3 + ln(1+ 2r), r = x + y
Gợi ý: +) Đặ   x t 3 r 2 r 2
g(r) = r +3 + ln(1 + 2r), z ' = = + + x
g '(r)r 'x 3r 3 ln 3    1+ 2r  r y +) z ' = g '( )
r r ' = g '(r) ; do đó A = 0 y y r (2) 4 r 2 2
z = r + 4 + ln(1+ 2r ),r = x + y Câu 8. Tính (1) (10) f (1) với 9
f (x) = x ln x
Gợi ý: (9 ) (9 ) +) Do 8 8
f '(x) = 9x ln x + x nên (10) f = ( 8 8 x x + x ) = ( 8 9 ln 9x ln x ) +) Tương tự (9) (8) 9! , (10) f (x) = ( 8 8
9x ln x + x ) = ( 7
9.8x ln x) = ... = 9!(ln ) x ' = x +) Vậy (10) f (1) = 9! (2) (9) f (1) với 8
f (x) = x ln x
Câu 9. Xét sự hội tụ của tích phân  dx (1)  3 2 + − 1 (x 1) x 1
Gợi ý:  2 dx dx  dx +) I = = + = I + I    1 2 3 2 3 2 3 2 + − + − + − 1 ( x 1) x 1 1 ( x 1) x 1 2 ( x 1) x 1 10 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt 1 1
+) Xét I , do f ( ) x ~ khi x 1+
→ , nên I hội tụ 1 3 1 1 2 2 3 ( x 1 − ) 1
+) Xét I , do f (x) ~ khi x → ,
 nên I hội tụ → I hội tụ 2 5 2 3 x  3 xdx (2)  3 − 1 x 1
Câu 10. Tìm cực trị của hàm số 3 (1) 3 4 2 z = x + y − 3xy 2
Gợi ý: +) Giải hệ 2 2 3
z ' = 3x −3 y = 0; z' = 6 y − 6 xy = 0; thu được x y
(x ; y ) = (0; 0); (x ; y ) = (1;1); (x ; y ) = (1; −1) 1 1 2 2 3 3
+) Tính các đạo hàm cấp 2, kết luận (x ; y ) là cực tiểu với giá trị 1
− ; (x ; y ) không 2 2 2 3 3 là cực trị +) Để 3
kết luận điểm (x ; y ) , xét dấu 3 4 2 f  = f ( ; x  )
y − f (0; 0) = x
 + y −3x y  . Do 1 1 2
f đổi dấu khi thay ( ;
x y) bởi ( ; 0) và ( 
− ;0) nên kết luận điểm (x ; y ) không là 1 1 cực trị 3 (2) 3 4 2 z = x − y − 3xy 2 11 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt Đề 7 + 8
Câu 1. Tính giới hạn (1) lim (1−cos ) x x + x → 0
Gợi ý: lim xln(1 c − os ) x +) x 0
I = lim (1− cos x) x = e + → x→0+ sin x ln(1 −cos x) +) 1 −cos x 0 I = lim x ln(1 −cos ) x = lim = lim
= 0  I = e =1 1 + + 1 + 3 − x→ 0 x→ 0 − x→ 0 1 −   2 2 x x   2   3
(2) lim(1−cos x) x x →0
Câu 2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường (1) 2 2
y = x + 2x − 3; y = −x − 2x + 3
Gợi ý:
+) Hai đường parabol cắt nhau tại các điểm (-3;0) và (1;0) 1 64 +) Diện tích 2 2 S =
(−x − 2x + 3)− (x + 2x − 3) d  x =    (đvdt) 3 3 − (2) 2 2 y = x + 4 ;
x y = −x − 4x
Câu 3. Tính tích phân (1) 2
(3x − 4x +1) arctan xdx 
Gợi ý: dx +) Đặt 2 3 2 u = arctan ,
x dv = (3 x − 4 x+1) dx  du =
; v = x − 2 x + x 2 1+ x 12 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt 3 2
x − 2 x + x +) 2 3 2
(3x − 4x +1) arctan xdx = ( x − 2 x + ) x arctan x − dx   2 1 + x 3 2 1 2 = (x − 2x + )
x arctan x − ( x − 2) − 2 arctan x + C 2 1 3 2 2 = ( x −2 x + )
x arctan x − ( x −2) −2 arctan x + C 2 (2) 2
(3x + 4x +1) arctan xdx 
Câu 4. Tìm cực trị hàm số 1 (1) 4 2 z =
x + y − 2xy 2
Gợi ý: +) Giải hệ 3
z ' = 2 x − 2 y = 0; z ' = 2 y − 2 x = 0; thu được x y
(x ; y ) = (0; 0); (x ; y ) = (1;1); (x ; y ) = ( 1 − ; 1 − ) 1 1 2 2 3 3
+) Tính các đạo hàm cấp 2, kết luận (x ; y ) không là cực trị, (x ; y );(x ; y ) là cực tiểu 1 1 2 2 3 3 − 1 − với giá trị tương ứ 1 ng là và 2 2 1 (2) 4 2 z =
y + x − 2xy 2
Câu 5. Tính đạo hàm trái và đạo hàm phải của hàm số (1) 2
y = 1− x tại các điểm x =1 và x = 1 −
Gợi ý: +) y ' = − = − (1) 2; y '+ (1) 2 (2) 2
y = 4 − x tại các điểm x = 2 và x = 2 − 13 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Câu 6. Tìm và phân loại điểm gián đoạn của hàm số sau 1 1 x + (1) 1 = 2 −x x y + e
Gợi ý:
+) Có 2 điểm gián đoạn x = 0; x =1
+) Điểm x = 0 là điểm gián đoạn loại 2 vì lim y = ; lim y = 2 x 0+ x 0− → →
Điểm x =1 là điểm gián đoạn loại 2 vì 2
lim y = e ; lim y =  + − x 1 → x 1 → 2 2 x + (2) 1 = 2 −x x y + e
Câu 7. Tính giá trị của biểu thức 1 (1) ' '
A = xz + yz biết rằng 2 2 z = ln , r = x + y x y r
Gợi ý: x y +) z ' = − ; z ' = −  A = 1 − x 2 y 2 r r 1 (2) ' '
A = yz − xz biết rằng 2 2 z = ln , r = x + y x y r Câu 8. Tính 1 (1) (10) f
(0) với f ( x) = ln x + 1
Gợi ý: − (9) 1 9  1 −  ( 1 − ) 9! +) Do f '( ) x = nên (10) (10) f ( ) x = = −  f (0) = 9!   x +1 10  x +1  ( x +1) 1 (2) (9) f
(0) với f (x) = ln x + 1 14 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Câu 9. Xét sự hội tụ của tích phân  dx (1)  3 − 2 x 8
Gợi ý:  3 dx dx  dx +) I = = + = I + I    1 2 3 3 3 − − − 2 x 8 2 x 8 3 x 8 1 1
+) Xét I , do f ( ) x ~ khi x 2+ → nên I hội tụ 1 1 1 2 3 2 (x − 2) 1
Xét I , do f (x) ~
khi x →  nên I hội tụ. Vậy I hội tụ 2 3 2 2 x  dx (2)  4 − 2 x 16 Câu 10. Tính ' f (0; 0) biết xx 4  x  , ( ; x y)  (0;0) (1) 2 2 f ( ;
x y) =  x + y 0,( ;x y) =(0;0) 
Gợi ý: 3 2 2 4 5 3 2
4 x ( x + y ) − x .2 x 2 x + 4 x y +) f ' ( ; x ) y = = khi ( ; x y)  (0; 0) x 2 2 2 2 2 2 ( x + y ) ( x + y ) 4 x  2
f (x; 0)− f (0; 0)  +) ' (0; 0) = lim = lim x f = 0 x x  →0 x  →0 x x 5 2 x  4 f ' (  ;
x 0) − f ' (0; 0)  +) ' (0;0) = lim x x = lim x f = 2 xx x→0 x→0 x  x  4  −x 
, (x; y)  (0;0) (2) 2 2 f ( ;
x y) =  x + y 0  ,( ; x y) = (0; 0) 15 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt 16 CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt