Đề thi giữa học kỳ 2 Toán 9 năm 2023 – 2024 trường THCS Phú Thượng – Hà Nội

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề kiểm tra giữa học kỳ 2 môn Toán 9 năm học 2023 – 2024 trường THCS Phú Thượng, quận Tây Hồ, thành phố Hà Nội; đề thi gồm 1 trang có đáp án và hướng dẫn chấm điểm giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

UBND QUN TÂY H
TRƯNG THCS PHÚ THƯNG
KIM TRA GIA HC K II
Năm hc: 2023 - 2024
Môn: Toán 9
Thi gian làm bài: 90 phút
Bài 1: (2 điểm) Cho biu thc
2
1
x
A
x
+
=
+
14 5
4
2
xx
B
x
x
++
=
vi
1) Tính giá tr biu thc khi
16x =
.
2) Chng minh rng
2
2
x
B
x
=
+
.
3) Cho
.
M AB=
. Tìm giá tr nh nht ca M.
Bài 2: (2 điểm) Gii bài toán bng cách lp phương trình hoc h phương trình.
Mt ca nô chy xuôi dòng
63
km và ngưc dòng
30
km hết tt c
gi. Nếu
cũng trên khúc sông đó, ca nô chy xuôi dòng
42
km và ngưc dòng
45
km hết tt
c
gi. Tính vn tc thc ca ca nô và vn tc ca dòng nưc.
Bài 3: (2 điểm)
1) Gii h phương trình :
4
24
1
8
51
1
x
y
x
y
+=
−=
2) Cho hàm s
2
yx=
đồ th là parabol (P) và đưng thng (d):
54yx=
a) V đồ th m s
2
yx
=
trên mt phng ta đ.
b) Tìm ta đ giao đim ca (P) và (d) bng phép toán.
Bài 4 (3,5 điểm)
1) Mt con thuyn địa đim
D
di chuyn t b sông
a
sang b sông
b
vi vn tc
trung bình 2 km/h, t qua khúc sông c chy mnh trong 20 phút. Biết đưng
đi con thuyn là
DE
, to vi b sông mt góc 60
o
. Tính chiu rng khúc sông.
2) Cho đưng tròn (O, R), BC dây không đi qua tâm. Các tiếp tuyến ca đưng
tròn tâm O ti B và C ct nhau đim A. Ly M thuc cung nh BC. K MI, MK,
MH ln lưt vuông góc vi BC, AB, AC. Chng minh rng:
a, T giác BIMK ni tiếp đưng tròn.
b, Chng minh: 
= 
và MH.MK = MI
2
.
c, Gi BM ct KI ti E, CM ct IH ti F. Chng minh: FE // BC và FE là tiếp tuyến
ca đưng tròn ngoi tiếp tam giác MHF
Bài 5: (0,5 điểm) Gii phương trình:
2
2 2 2 4 2(3 )
xx x x++ −+ =
________Hết________
0; 4xx
≥≠
A
BÀI
ĐÁP ÁN
ĐIM
I.1
Thay
16x =
(tha mãn điu kin) vào A ta có:
16 2
16 1
A
+
=
+
0,25
6
5
A =
0,25
I.2
14 5
4
2
xx
B
x
x
++
=
( )
( )
( )
( )
(
)
52
14
22 22
x
xx
B
xx xx
+
++
=
−+ −+
0,25
(
)
(
)
44
22
xx
B
xx
−+
=
−+
0,25
( )( )
2
( 2)
22
x
B
xx
=
−+
0,25
2
2
x
B
x
=
+
0,25
I.3
.
22
.
12
2
1
3
1
1
P AB
xx
P
xx
x
P
x
P
x
=
+−
=
++
=
+
=
+
Vi mi x thuc ĐKXĐ ta có:
0,25
TRƯNG THCS PHÚ THƯNG
NG DN CHM
ĐỀ KIM TRA GIA HC K 2
MÔN TOÁN 9
Năm hc 2023 - 2024
0
11
3
3
1
x
x
x
+≥
⇒≤
+
3
1 13
1
2
x
P
⇒− ≥−
+
≥−
Vy giá tr nh nht ca
2P =
khi
0x =
0,25
II
Gi vn tc thc ca ca nô
(km/h)
Gi vn tc ca dòng nưc là
y
(km/h;
0xy>>
)
Vn tc ca nô đi xuôi dòng là
xy+
(km/h)
Vn tc ca nô đi ngưc dòng là
xy
(km/h)
Trưng hp 1:
Thi gian ca nô đi xuôi dòng là
63
xy+
(h)
Thi gian ca nô đi ngưc dòng là
30
xy
(km)
Vì ca nô chy xuôi dòng
63
km và ngưc dòng
30
km hết tt c
gi nên ta
có phương trình:
63 30
5
xy xy
+=
+−
Trưng hp 1:
Thi gian ca nô đi xuôi dòng là
63
xy+
(h)
Thi gian ca nô đi ngưc dòng là
30
xy
(km)
Vì ca nô chy xuôi dòng
63
km và ngưc dòng
30
km hết tt c
gi nên ta
có phương trình:
63 30
5
xy xy
+=
+−
(1)
Trưng hp 2:
Thi gian ca nô đi xuôi dòng là
42
xy+
(h)
Thi gian ca nô đi ngưc dòng là
45
xy
(km)
Vì ca nô chy xuôi dòng
42
km và ngưc dòng
45
km hết tt c
gi nên ta
có phương trình:
42 45
5
xy xy
+=
+−
(2)
T (1), (2) ta có h phương trình:
63 30
5
42 45
5
xy xy
xy xy
+=
+−
+=
+−
189 90
15
84 90
10
xy xy
xy xy
+=
+−
+=
+−
105
5
42 45
5
xy
xy xy
=
+
+=
+−
21
42 45
5
21
xy
xy
+=
+=
21
15
xy
xy
+=
−=
2 36
15
x
xy
=
−=
18
18 15
x
y
=
−=
18
3
x
y
=
=
(tho mãn)
Vy vn tc ca ca nô là
18
km/h; vn tc ca dòng nưc là
(km/h)
III.1
ĐKXĐ: y > 1
0,25
48
2 44 8
11
88
51
51
11
99 1
44
2424
11
1
()
5
xx
yy
xx
yy
xx
xx
yy
x
TM
y

+= +=

−−

<=>


−= −=

−−

= =


<=> <=>

+= +=

−−

=
<=>
=
Gii hpt tìm đưc
2
2
a
b
=
=
0,75
Vy h phương trình đã cho có 1 nghim duy nht
=
=
1
5
x
y
0,25
III.1
Gi H là hình chiếu ca E lên a
EH a⇒⊥
12
2. ( )
33
DE km= =
60
2
3
o
EH
Sin =
( )
23
60 .
33
o
EH Sin km= =
Vy khúc sông rng
3
3
km
0,25
0,25
III.2
2a
a) *V đúng (P)
0,5
* Hoành đ giao đim ca (P) và (d) là nghim ca phương trình
x
2
= 5x 4
x
2
- 5x + 4 = 0
x
2
- 4x x + 4 = 0
(x 4)( x 1) = 0
=
=
1
4
x
x
Vi x = 1 thì y = 1
Vi x = 4 thì y = 16
Kết lun: Ta đ giao đim ca 2 đ th A(1; 1) ; B(4; 16)
0,5
IV
Hình
v
đúng
đến
câu 1
0,25
1
Chng minh đưc t giác BKMI ni tiếp
0,75
2
Chng minh rng: MI
2
= MH. MK
Chng minh t giác CMHI ni tiếp
0,25
Chng minh đưc: 
= 
= 
= 
-
0,25
K
H
I
A
O
B
C
M
- Chng minh đưc: ΔMIH ~ΔMKI (g - g)
0,25
=> MI
2
= MH. MK
0,25
3
Gi BM ct KI ti E, CM ct IH ti F. Chng minh: FE // BC và FE tiếp
tuyến ca đưng tròn ngoi tiếp tam giác MHF
Cm đưc: 
= 
+  =
 +
 

=
 
=>
+ 
= 180
0
T đó chng minh t giác EIFM ni tiếp đưc
0,25
=> 
= 

= 
=> 
= 
hai góc v trí đng v => EF//BC
- K Fx là tiếp tuyến ca đưng tròn ngoi tiếp tam giác MFH
=> 
= 

= 
(do tg MHCI ni tiếp)

= 
(hai góc đng v)
Nên => 
= 
=> Fx trùng FE
=> FE là tiếp tuyến ca đưng tròn ngoi tiếp tam giác MFH
0,25
V
Gii phương trình:
2
2 2 2 4 2(3 )xx x x++ −+ =
(1)
0,25
ĐKXĐ: x ≥ 2
Đặt n ph:
2 2( 0)tx xt= ++
22
22 4txx=+−
PT (1)
2
6tt+=
2
2( )
60
3( )
t TM
tt
t KTM
=
+ = <=>
=
Tr li biến cũ:
2 2 22
t xx= <=> + + =
x =2 (TMĐK)
Vy phương trình có nghim: S = {2}
0,25
Lưu ý:
- Hc sinh làm theo cách khác đúng, cho đim tương đương.
- Bài hình: Hc sinh v sai hình t câu nào, cho 0 đim t câu đó.
| 1/7

Preview text:

UBND QUẬN TÂY HỒ
KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
TRƯỜNG THCS PHÚ THƯỢNG
Năm học: 2023 - 2024 Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 90 phút
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức x + 2 + + A = và x x 14 5 B = −
với x ≥ 0; x ≠ 4 x +1 x − 4 x − 2
1) Tính giá trị biểu thức A khi x =16 . 2) Chứng minh rằng x − 2 B = . x + 2 3) Cho M = .
A B . Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
Bài 2: (2 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một ca nô chạy xuôi dòng 63km và ngược dòng 30km hết tất cả 5giờ. Nếu
cũng trên khúc sông đó, ca nô chạy xuôi dòng 42 km và ngược dòng 45 km hết tất
cả 5giờ. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước. Bài 3: (2 điểm)  4 2x + = 4   y −1
1) Giải hệ phương trình :  8 5  x − =1  y −  1 2) Cho hàm số 2
y = x có đồ thị là parabol (P) và đường thẳng (d): y = 5x − 4 a) Vẽ đồ thị hàm số 2
y = x trên mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép toán. Bài 4 (3,5 điểm)
1) Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b với vận tốc
trung bình là 2 km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường
đi con thuyền là DE , tạo với bờ sông một góc 60o. Tính chiều rộng khúc sông.
2) Cho đường tròn (O, R), BC là dây không đi qua tâm. Các tiếp tuyến của đường
tròn tâm O tại B và C cắt nhau ở điểm A. Lấy M thuộc cung nhỏ BC. Kẻ MI, MK,
MH lần lượt vuông góc với BC, AB, AC. Chứng minh rằng:
a, Tứ giác BIMK nội tiếp đường tròn.
b, Chứng minh: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � và MH.MK = MI2.
c, Gọi BM cắt KI tại E, CM cắt IH tại F. Chứng minh: FE // BC và FE là tiếp tuyến
của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHF
Bài 5: (0,5 điểm) Giải phương trình: 2
x + 2 + x − 2 + 2 x − 4 = 2(3− x) ________Hết________
TRƯỜNG THCS PHÚ THƯỢNG HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 MÔN TOÁN 9 Năm học 2023 - 2024 BÀI ĐÁP ÁN ĐIỂM
I.1 Thay x =16 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có: 0,25 16 2 A + = 16 +1 6 A = 0,25 5 I.2 x + x +14 5 B = − x − 4 x − 2 5 x x ( x + + + 2 14 ) 0,25 B = ( −
x − 2)( x + 2) ( x − 2)( x + 2) x − 4 x + 4 B = ( 0,25 x − 2)( x + 2) 2 ( x − 2) B = ( 0,25 x − 2)( x + 2) x − 2 B = 0,25 x + 2 I.3 P = . A B x + 2 x − 2 P = . x +1 x + 2 x − 2 P = x +1 3 P =1− x +1
Với mọi x thuộc ĐKXĐ ta có: 0,25 x ≥ 0 ⇒ x +1≥1 3 ⇒ ≤ 3 x +1 3 ⇒1− ≥1− 3 0,25 x +1 ⇒ P ≥ 2 −
Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 2 − khi x = 0
II Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h)
Gọi vận tốc của dòng nước là y (km/h; x > y > 0 )
Vận tốc ca nô đi xuôi dòng là x + y (km/h)
Vận tốc ca nô đi ngược dòng là x y (km/h) Trường hợp 1:
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là 63 (h) x + y
Thời gian ca nô đi ngược dòng là 30 (km) x y
Vì ca nô chạy xuôi dòng 63km và ngược dòng 30km hết tất cả 5giờ nên ta có phương trình: 63 30 + = 5
x + y x y Trường hợp 1:
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là 63 (h) x + y
Thời gian ca nô đi ngược dòng là 30 (km) x y
Vì ca nô chạy xuôi dòng 63km và ngược dòng 30km hết tất cả 5giờ nên ta có phương trình: 63 30 + = 5 (1)
x + y x y Trường hợp 2:
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là 42 (h) x + y
Thời gian ca nô đi ngược dòng là 45 (km) x y
Vì ca nô chạy xuôi dòng 42 km và ngược dòng 45 km hết tất cả 5giờ nên ta có phương trình: 42 45 + = 5 (2)
x + y x y  63 30 + = 5 
Từ (1), (2) ta có hệ phương trình:  x + y x y  42 45  + = 5
 x + y x y  189 90 + = 15  105  = 5 x + y = 21
x + y x y x + y  ⇔  ⇔ ⇔ 42 45 84 90   + = 5 + = 10 42 45  + = 5  −  21 x y
x + y x y
 x + y x yx + y = 21  x = x = 18 x = 18 ⇔  2 36 ⇔  ⇔  ⇔  (thoả mãn) x y = 15 x y = 15 18  − y = 15  y = 3
Vậy vận tốc của ca nô là 18km/h; vận tốc của dòng nước là 3(km/h) ĐKXĐ: y > 1 0,25  4  8 2x + = 4 4x + = 8   y 1  −  y −1 0,75  <=>  III.1 8 8 5  x 1 5  − = x − = 1  y −1  y −   1 9  x = 9 x = 1   4  <=> <=>  4 2x + = 4 2x + = 4 a = 2  Giải hpt tìm được y 1  − y −    1 b  = 2 x = 1 <=>  (TM ) y = 5 0,25
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất x =1  y = 5 III.1
Gọi H là hình chiếu của E lên a ⇒ EH a 1 2 DE = 2. = (km) 3 3 60o EH Sin = 0,25 2 3 o 2 3 EH = Sin60 . = (km) 3 3 0,25 Vậy khúc sông rộng 3 km 3 III.2 a) *Vẽ đúng (P) 0,5 2a
* Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình 0,5 x2 = 5x – 4 ⇔ x2 - 5x + 4 = 0 ⇔ x2 - 4x – x + 4 = 0 ⇔ (x – 4)( x – 1) = 0 x = 1 ⇔ x = 4 Với x = 1 thì y = 1 Với x = 4 thì y = 16
Kết luận: Tọa độ giao điểm của 2 đồ thị là A(1; 1) ; B(4; 16) IV C Hình vẽ H đúng đến câu 1 O A I M 0,25 K B 1
Chứng minh được tứ giác BKMI nội tiếp 0,75 2
Chứng minh rằng: MI2 = MH. MK
Chứng minh tứ giác CMHI nội tiếp 0,25
Chứng minh được: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 �- 0,25
- Chứng minh được: ΔMIH ~ΔMKI (g - g) 0,25 => MI2 = MH. MK 0,25 3
Gọi BM cắt KI tại E, CM cắt IH tại F. Chứng minh: FE // BC và FE là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHF
Cm được: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸
= 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
� + 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 =
� 1 𝑠𝑠đ𝑀𝑀𝑀𝑀 + 1 𝑠𝑠đ 𝑀𝑀𝑀𝑀 0,25 2 2
𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸
� = 1 𝑠𝑠đ 𝑀𝑀𝑀𝑀 2
=>𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸
+ 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸 � = 1800
Từ đó chứng minh tứ giác EIFM nội tiếp được => 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸 � 0,25 Mà 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
� => 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 �
hai góc ở vị trí đồng vị => EF//BC
- Kẻ Fx là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MFH
=> 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑀𝑀 � = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸 � Mà 𝑀𝑀𝑀𝑀𝐸𝐸
� = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � (do tg MHCI nội tiếp) 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 � = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑀𝑀 � (hai góc đồng vị)
Nên => 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑀𝑀 � = 𝑀𝑀𝐸𝐸𝑀𝑀 � => Fx trùng FE
=> FE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MFH V Giải phương trình: 2
x + 2 + x − 2 + 2 x − 4 = 2(3− x) (1) 0,25 ĐKXĐ: x ≥ 2 0,25
Đặt ẩn phụ: t = x + 2 + x − 2(t ≥ 0) 2 2
t = 2x + 2 x − 4 PT (1) t = 2(TM )  2
t + t = 6  2t + t − 6 = 0 <=>  t = 3( − KTM ) Trả lại biến cũ:
t = 2 <=> x + 2 + x − 2 = 2  x =2 (TMĐK)
Vậy phương trình có nghiệm: S = {2} Lưu ý:
- Học sinh làm theo cách khác đúng, cho điểm tương đương.
- Bài hình: Học sinh vẽ sai hình từ câu nào, cho 0 điểm từ câu đó.