Đề thi giữa kì 1 Toán 9 năm 2020 – 2021 trường THCS Archimedes Academy – Hà Nội

Nhằm kiểm tra đánh giá chất lượng dạy và học môn Toán lớp 9 định kỳ, ngày … tháng 11 năm 2020, trường THCS Archimedes Academy, quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội tổ chức kỳ thi kiểm tra chất lượng giữa học kỳ 1 môn Toán 9 năm học 2020 – 2021. Mời bạn đọc đón xem

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY
THCS ARCHIMEDES ACADEMY
----------
THCS.TOANMATH.com
Bài 1: (2,5 điểm) Cho biu thc
3 14 3 2 1
5 6 23
x xx
A
xx x x
+−
= −−
−+
(vi
0x
;
4x
;
9x
)
a) Chng minh
1
2
x
A
x
+
=
b) Tính
A
khi
7 43x =
c) Tìm
x
để
1A >
.
Bài 2: (1,5 điểm) a) Tính:
( )
36155
.5 3
21 31
B

−−
=++


−−

b) Giải phương trình sau:
4 41xx −=
.
Bài 3: (2,0 điểm) Cho hàm s
(vi tham s
1m ≠−
) có đồ th là đường
thng
( )
d
a) Tìm
m
để đồ th hàm s đi qua điểm
( )
2; 1M −−
b) V đồ th hàm s ng vi giá tr
m
tìm đưc câu
a
trên h trc ta đ
Oxy
và gi
A
,
B
lần lượt là giao điểm ca đ th hàm s này vi các trc
Ox
,
Oy
. Tính độ dài
đoạn
AB
và din tích
.AOB
Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn tâm
O
đường kính
AB
. Trên đoạn
OB
lấy điểm
H
sao cho
HB HO
. Qua
H
k y
CD
vuông góc vi
AB
.
a) Nếu cho biết thêm
30CAB = °
8cmAC =
. Tính độ dài bán kính đường tròn
( )
O
độ dài dây
CD
(gi thiết thêm này ch dùng riêng cho câu a không dùng để làm nhng
câu còn li).
b) Lấy điểm
I
nm trong tam gc
ACH
sao cho
BI BC=
. Chng minh
2
.BI BH BA=
BIH BAI=
.
c) Gọi giao điểm ca
AI
CH
K
. Qua
I
k đường thng vuông góc vi
AK
,
đường thngy ct đường thng
CD
ti
P
. Gi s
BK
song song vi
IH
. Khi đó:
1) Chng minh:
2
..KB KI KA KH KP= =
90KBP = °
2) Chng minh:
OI OH=
Bài 5: (0,5 điểm) Cho các s thc
,a
,b
c
1
tha mãn
4ab bc ca++=
. Tìm giá tr ln nht
ca biu thc
54P a bc=++
.
HT
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1
NĂM HỌC 2020 - 2021
MÔN TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
NG DN GII CHI TIT
Bài 1: a) Chng minh
1
2
x
A
x
+
=
Ta có:
3 14 3 2 1
5 6 23
x xx
A
xx x x
+−
= −−
−+
( )
( )
3 14 3 2 1
23
23
x xx
xx
xx
+−
= −+
−−
−−
( )( ) ( )( )
( )( )
3 14 3 3 2 1 2
23
x xx xx
xx
+ −+
=
−−
( )
( )
( )( )
3 14 9 2 5 2
23
x x xx
xx
−+ +
=
−−
( )
( )
3 14 9 2 5 2
23
x x xx
xx
++ +
=
−−
( )( )
23
23
xx
xx
−−
=
−−
( )
( )
( )
( )
13
23
xx
xx
+−
=
−−
1
2
x
x
+
=
Vy
1
2
x
A
x
+
=
vi
0x
;
4x
;
9x
.
b) Vi
7 43x =
(thỏa mãn điều kin)
Ta có
( )
2
23x =
23x⇒=
Thay vào biu thc
A
ta đưc:
2 31 3 3
13
2 32 3
A
−+
= = =
−−
Vy vi
7 43x =
thì
13A =
c) Ta có
1A >
1
1
2
x
x
+
⇒>
1
10
2
x
x
+
−>
12
0
2
xx
x
+− +
⇒>
3
0
2x
⇒>
30 20x>⇒ −>
4x⇒>
Kết hp với điều kiện xác định
0x
;
4x
;
9x
.
4x⇒>
,
9x
thì
1A >
Bài 2: a)
( )
36155
.5 3
21 31
B

−−
=++


−−

( ) ( )
( )
31 2 5 3 1
.5 3
21 31

−−

=++

−−

( )
( )
3553=−+ +
( )
( )
5353=−+
532=−=
b)
4 41xx −=
(Điu kin
4x
)
( )
4 4 441xx −+=
( )
2
42 1x −− =
421x −− =
421
42 1
x
x
−−=
−−=
( )
( )
1
2
Gii
( )
1
43x −=
13x⇔=
(Thỏa mãn điều kin)
Gii
( )
2
41x −=
5x⇔=
(Thỏa mãn điều kin)
Vy tp hp nghim của phương trình là
{ }
13;5S =
.
Bài 3: a) Đ đồ th hàm s đi qua điểm
( )
2; 1M −−
nên
( ) ( )
1 1. 2 2mm−= + + +
1m⇔− =−
1m⇔=
(thỏa mãn điều kin)
Vy đ th hàm s đi qua điểm
( )
2; 1M −−
khi và ch khi
1m =
b) Vi
1m =
ta được hàm s
23yx= +
.
Đồ th hàm s
23yx= +
, ct trc tung
Oy
ti
( )
0;3B
và ct trc hoành
Ox
ti
3
;0
2
A



. Do đó, hàm số có đồ th là đường thẳng đi qua hai điểm
A
B
.
Ta có
33
22
OA =−=
;
33OB = =
. Xét
ABO
vuông ti
O
nên áp dng đnh lý Pytago
ta có
2
222 2
3 9 45
39
2 44
AB OA OB

= + = + = +=


Suy ra
45 3 5
42
AB = =
(đơn vị độ dài).
1 13
. . . .3 2,25
2 22
ABO
S OAOB= = =
(đơn vị din tích).
Bài 4:
M
P
K
D
C
O
A
B
H
I
a) Nếu cho biết thêm
30CAB = °
8cmAC =
. Tính độ dài bán kính đường tròn
( )
O
độ dài dây
CD
(gi thiết thêm này ch dùng riêng cho câu a không dùng để làm nhng
câu còn li).
Vì C thuộc đường tròn tâm
O
đường kính
AB
2
AB
OA OB OC R⇒== = =
Xét
ACB
ta có:
2
AB
OA OB OC R= = = =
ACB⇒∆
vuông ti
C
Xét
ACB
vuông ti
C
, ta có:
.cosAC AB CAB=
8 16 3
cos30 3
cos
AC
AB
CAB
⇒= = =
°
(cm)
Độ dài bán kính đường tròn
( )
O
là:
83
23
AB
=
(cm)
Xét
ACH
vuông ti
H
, ta có:
.sin .sin 8.sin30 4CH AC CAH AC CAB= = = °=
(cm)
Xét
( )
O
có:
AB
là đường kính,
CD
là dây cung,
AB CD
ti
H
(gi thiết)
H
trung điểm ca
CD
(quan h gia đưng kính và dây cung)
( )
2 2.4 8CD CH cm⇒= ==
.
b) Lấy điểm
I
nm trong tam gc
ACH
sao cho
BI BC=
. Chng minh
2
.BI BH BA=
BIH BAI=
.
+) Xét
ACB
vuông ti
C
, đường cao
CH
ta có:
2
.BC BH BA=
(quan h gia cạnh và đường cao tam giác vuông)
BI BC=
(gi thiết)
Do đó, suy ra
2
.BI BH BA=
(điu phi chng minh).
BI BH
BA BI
⇒=
Xét
BIH
BAI
, ta có:
( )
chöùng minh treân
chung
BI BH
BA BI
BIH BAI
ABI
=
⇒∆
(c g c)
BIH BAI⇒=
(điu phi chng minh)
( )
1
c) Gi giao điểm ca
AI
CH
K
. Qua
I
k đường thng vuông góc vi
AK
,
đường thngy cắt đường thng
CD
ti
P
. Gi s
BK
song song vi
IH
. Khi đó:
1) Chng minh:
2
..KB KI KA KH KP= =
90KBP = °
//BK IH
(gi thiết)
BIH IBK⇒=
(hai góc so le trong)
( )
2
T
( )
1
( )
2
BAI IBK⇒=
hay
BAK IBK=
Xét
KBI
KAB
, ta có:
( )
chöùng minh treân
chung
BAK IBK
KBI KAB
AKB
=
⇒∆
(g – g)
2
.
KB KI
KB KI KA
KA KB
⇒= =
( )
3
Xét
KIP
KHA
, ta có:
( )
90
chung
KIP KHA
KIP KHA
K
= = °
⇒∆
(g – g)
..
KI KP
KI KA KH KP
KH KA
⇒= =
( )
4
T
( )
3
( )
4
2
..KB KI KA KH KP⇒= =
(điu phi chng minh).
KB KP
KH KB
⇒=
Xét
KBH
KPB
, ta có:
( )
chöùng minh treân
chung
KB KP
KH KB
KBH KPB
PKB
=
⇒∆
(c g c)
KHB KBP⇒=
; mà
90KHB = °
90KBP⇒=°
(điu phi chng minh).
2) Chng minh:
OI OH=
Gi
M
là trung điểm ca
AP
Xét
APB
, ta có:
AM MP
OM
OA OB R
=
= =
là đường trung bình ca
APB
.
//OM BP
BP BK
(vì
90KBP = °
)
OM BK⇒⊥
(t vuông góc đến song song)
Hay
OM IH
(vì
//IH BK
)
( )
*
Xét
AHP
vuông ti
H
, ta có:
2
AP
MH AM MP= = =
(tính cht trung tuyến và cnh huyn tam giác vuông)
( )
5
Xét
AIP
vuông ti
I
, ta có:
2
AP
MI AM MP= = =
(tính cht trung tuyến và cnh huyn tam giác vuông)
( )
6
T
( )
5
( )
6
MH MI⇒=
M
thuc trung trc ca
IH
(tính chất đường trung trc của đoạn thng)
( )
**
T
( )
*
( )
**
MO
là đường trung trc ca
IH
.
OI OH⇒=
(điu phi chng minh).
Bài 5: Do
,a
,b
c
1
10
10
10
a
b
c
−≤
−≤
−≤
( )( )
( )( )
( )( )
11 0
11 0
11 0
ab
bc
ac
−≥
−≥
−≥
1
1
1
ab a b
bc b c
ca c a
+ ≥+
+ ≥+
+ ≥+
( )
32ab bc ca a b c⇒+ + + ++
7
2
abc++≤
.
Du “=” xy ra khi 2 s bng
1
.
Do
,b
c
1
( )
45 4 5bc bc + ⇒− + ≤−
Ta có:
( ) ( )
5 4 5. 4P a bc abc b c= + += ++ +
Suy ra
( )
7 25
5 5 5. 5
22
P abc ++ −= −=
.
Vy
25
2
max
P =
khi
1
3
2
bc
a
= =
=
.
HT
| 1/7

Preview text:

PHÒNG GD VÀ ĐT QUẬN CẦU GIẤY
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 THCS ARCHIMEDES ACADEMY NĂM HỌC 2020 - 2021 ---------- MÔN TOÁN - LỚP 9 THCS.TOANMATH.com
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) 3 x −14 x + 3 2 x −1 Bài 1:
(2,5 điểm) Cho biểu thức A = − −
(với x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9 x − 5 x + 6 x − 2 3 − x ) x +1 a) Chứng minh A = x − 2
b) Tính A khi x = 7 − 4 3
c) Tìm x để A > 1 .  3 − 6 15 − 5  Bài 2:
(1,5 điểm) a) Tính: B =  + .   ( 5 + 3) 2 −1 3 −1  
b) Giải phương trình sau: x − 4 x − 4 = 1. Bài 3:
(2,0 điểm) Cho hàm số y = (m + )
1 x + m + 2 (với tham số m ≠ 1
− ) có đồ thị là đường thẳng (d )
a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M ( 2; − − ) 1
b) Vẽ đồ thị hàm số ứng với giá trị m tìm được ở câu a trên hệ trục tọa độ Oxy và gọi
A , B lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số này với các trục Ox , Oy . Tính độ dài
đoạn AB và diện tích A ∆ . OB Bài 4:
(3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB . Trên đoạn OB lấy điểm H sao cho
HB HO . Qua H kẻ dây CD vuông góc với AB . a) Nếu cho biết thêm 
CAB = 30° và AC = 8 cm . Tính độ dài bán kính đường tròn (O) và
độ dài dây CD (giả thiết thêm này chỉ dùng riêng cho câu a không dùng để làm những câu còn lại).
b) Lấy điểm I nằm trong tam giác ACH sao cho BI = BC . Chứng minh 2
BI = BH.BA và   BIH = BAI .
c) Gọi giao điểm của AI CH K . Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AK ,
đường thẳng này cắt đường thẳng CD tại P . Giả sử BK song song với IH . Khi đó: 1) Chứng minh: 2
KB = KI.KA = KH.KP và  KBP = 90°
2) Chứng minh: OI = OH Bài 5:
(0,5 điểm) Cho các số thực a, ,
b c ≥ 1 thỏa mãn ab + bc + ca = 4 . Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P = 5a + 4b + c .  HẾT
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT x +1 Bài 1: a) Chứng minh A = x − 2 Ta có: 3 x −14 x + 3 2 x −1 A = − − x − 5 x + 6 x − 2 3 − x 3 x −14 x + 3 2 x −1 = ( − +
x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
3 x −14 − ( x + 3)( x − 3) + (2 x − ) 1 ( x − 2) =
( x −2)( x −3)
3 x −14 − ( x − 9) + (2x − 5 x + 2) =
( x −2)( x −3)
3 x −14 − x + 9 + 2x − 5 x + 2 =
( x −2)( x −3) x − 2 x − 3
= ( x −2)( x −3)
( x + )1( x −3)
= ( x −2)( x −3) x +1 = x −2 x +1 Vậy A =
với x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9 . x − 2
b) Với x = 7 − 4 3 (thỏa mãn điều kiện) Ta có x = ( − )2 2 3 ⇒ x = 2 − 3
Thay vào biểu thức A ta được: 2 − 3 +1 3 − 3 A = = = 1− 3 2 − 3 − 2 − 3
Vậy với x = 7 − 4 3 thì A = 1− 3 c) Ta có A > 1 x +1 ⇒ >1 x − 2 x +1 ⇒ −1 > 0 x − 2 x +1− x + 2 ⇒ > 0 x − 2 3 ⇒ > 0 x − 2 Vì 3 > 0 ⇒ x − 2 > 0 ⇒ x > 4
Kết hợp với điều kiện xác định x ≥ 0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9 .
x > 4 , x ≠ 9 thì A > 1  3 − 6 15 − 5  Bài 2: a) B =  + .   ( 5 + 3) 2 −1 3 −1    3(1− 2) 5( 3 − )1   = + .( 5 + 3)  2 −1 3 −1    = (− 3 + 5)( 5 + 3) = ( 5 − 3)( 5 + 3) = 5 − 3 = 2
b) x − 4 x − 4 = 1 (Điều kiện x ≥ 4 )
⇔ (x − 4) − 4 x − 4 + 4 =1 ⇔ ( x − − )2 4 2 = 1 ⇔ x − 4 − 2 = 1  x − 4 − 2 =1 ( )1 ⇔ 
 x − 4 − 2 = 1 − (2) Giải ( ) 1 ⇒ x − 4 = 3
x = 13 (Thỏa mãn điều kiện)
Giải (2) ⇒ x − 4 = 1
x = 5 (Thỏa mãn điều kiện)
Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S = {13; } 5 . Bài 3:
a) Để đồ thị hàm số đi qua điểm M ( 2; − − ) 1 ⇔ M ( 2; − − ) 1 ∈ (d ) nên 1 − = (m + ) 1 .( 2
− ) + m + 2 ⇔ −m = 1
− ⇔ m = 1 (thỏa mãn điều kiện)
Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm M ( 2; − − )
1 khi và chỉ khi m = 1
b) Với m = 1 ta được hàm số y = 2x + 3 .
Đồ thị hàm số y = 2x + 3, cắt trục tung Oy tại B(0;3) và cắt trục hoành Ox tại  3  A − ; 0 
 . Do đó, hàm số có đồ thị là đường thẳng đi qua hai điểm A B .  2  3 3 Ta có OA = −
= ; OB = 3 = 3. Xét A
BO vuông tại O nên áp dụng định lý Pytago 2 2 2  3  9 45 ta có 2 2 2 2
AB = OA + OB = + 3 = + 9 =    2  4 4 45 3 5 Suy ra AB = = (đơn vị độ dài). 4 2 1 1 3 Và S = . . OA OB =
. .3 = 2, 25 (đơn vị diện tích). ABO 2 2 2 Bài 4: C K I A B O H M P D a) Nếu cho biết thêm 
CAB = 30° và AC = 8 cm . Tính độ dài bán kính đường tròn (O) và
độ dài dây CD (giả thiết thêm này chỉ dùng riêng cho câu a không dùng để làm những câu còn lại). AB
Vì C thuộc đường tròn tâm O đường kính AB OA = OB = OC = = R 2 AB Xét A
CB ta có: OA = OB = OC = = R 2 ⇒ A
CB vuông tại C Xét A
CB vuông tại C , ta có:  AC = A . B cos CAB AC 8 16 3 ⇒ AB = = = (cm)  cos CAB cos 30° 3 ⇒ Độ AB 8 3
dài bán kính đường tròn (O) là: = (cm) 2 3 Xét A
CH vuông tại H , ta có:  
CH = AC.sin CAH = AC.sin CAB = 8.sin 30° = 4 (cm)
Xét (O) có: AB là đường kính, CD là dây cung, AB CD tại H (giả thiết) ⇒ H
trung điểm của CD (quan hệ giữa đường kính và dây cung) ⇒ CD = 2CH = 2.4 = 8(cm) .
b) Lấy điểm I nằm trong tam giác ACH sao cho BI = BC . Chứng minh 2
BI = BH.BA và   BIH = BAI . +) Xét A
CB vuông tại C , đường cao CH ta có: 2
BC = BH.BA (quan hệ giữa cạnh và đường cao tam giác vuông)
BI = BC (giả thiết) Do đó, suy ra 2
BI = BH.BA (điều phải chứng minh). BI BH ⇒ = BA BI Xét BIH BAI , ta có: BI
BH (chöùng minh treân) =  BA BI  ⇒ BIH B
AI (c – g – c)   ABI chung   
BIH = BAI (điều phải chứng minh) ( ) 1
c) Gọi giao điểm của AI CH K . Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AK ,
đường thẳng này cắt đường thẳng CD tại P . Giả sử BK song song với IH . Khi đó: 1) Chứng minh: 2
KB = KI.KA = KH.KP và  KBP = 90°
BK // IH (giả thiết)  
BIH = IBK (hai góc so le trong) (2) Từ ( ) 1 và (2)  
BAI = IBK hay   BAK = IBK Xét KBI KAB , ta có:  
BAK = IBK (chöùng minh treân)⇒ KBI KAB (g – g)  AKB chung  KB KI 2 ⇒ =
KB = KI.KA (3) KA KB Xét KIP KHA , ta có:  
KIP = KHA(= 90°)⇒ KIP KHA (g – g)  K chung  KI KP ⇒ =
KI.KA = KH.KP (4) KH KA Từ (3) và (4) 2
KB = KI.KA = KH.KP (điều phải chứng minh). KB KP ⇒ = KH KB Xét KBH KPB , ta có: KB
KP (chöùng minh treân) =  KH KB  ⇒ KBH K
PB (c – g – c)   PKB chung   
KHB = KBP ; mà  KHB = 90° 
KBP = 90° (điều phải chứng minh).
2) Chứng minh: OI = OH
Gọi M là trung điểm của AP Xét APB , ta có: AM = MP
 ⇒ OM là đường trung bình của APB .
OA = OB = R ⇒ OM // BP
BP BK (vì  KBP = 90° )
OM BK (từ vuông góc đến song song)
Hay OM IH (vì IH // BK ) (*) Xét A
HP vuông tại H , ta có: AP
MH = AM = MP =
(tính chất trung tuyến và cạnh huyền tam giác vuông) (5) 2 Xét A
IP vuông tại I , ta có: AP
MI = AM = MP =
(tính chất trung tuyến và cạnh huyền tam giác vuông) (6) 2
Từ (5) và (6) ⇒ MH = MI
M thuộc trung trực của IH (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (**)
Từ (*) và (**) ⇒ MO là đường trung trực của IH .
OI = OH (điều phải chứng minh). 1  − a ≤ 0 (
 1− a)(1− b) ≥ 0 1
 + ab a + b    Bài 5:
Do a, b, c ≥ 1 ⇒ 1  − b ≤ 0 ⇒ (
 1− b)(1− c) ≥ 0 ⇒ 1
 + bc b + c    1− c ≤ 0  (1− a  )(1−c) ≥ 0
1+ ca c + a
⇒ 3 + ab + bc + ca ≥ 2(a + b + 7
c) ⇒ a + b + c ≤ . 2
Dấu “=” xảy ra khi 2 số bằng 1. Do ,
b c ≥ 1 ⇒ b + 4c ≥ 5 ⇒ − (b + 4c) ≤ 5 −
Ta có: P = 5a + 4b + c = 5.(a + b + c) − (b + 4c)
Suy ra P ≤ (a + b + c) 7 25 5 − 5 = 5. − 5 = . 2 2 b  = c = 1 25  Vậy P = khi  . max 3 2 a =  2  HẾT