SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020 -2021 TP HỒ CHÍ MINH MÔN TOÁN - Khối 11
TRƯỜNG THPT NGUYỄN CHÍ THANH
Thời gian làm bài: 90 phút
(Không tính thời gian phát đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: (1.5đ) Tìm các giới hạn sau: 2   a) x 5 3 lim b)      2 lim 4x 1 2x 5 x  2 x2 x  3x  2 3 2
2x  7x  7x  2 , x 1  3 2 
Bài 2: (1đ) Cho hàm số f x x  3x  7x  5   x  + m , x 1 2
Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại điểm x  1 0
Bài 3: (1đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau: sin x a) y  b) 2 5 y  x 1.sin 3x x
Bài 4: (0.5đ) Chứng minh phương trình: 4
mx(x  2)  x  2  0 luôn có nghiệm m  R 3 3 sin x  cos x
Bài 5: (1đ) Cho hàm số: y  . Chứng minh rằng: 2 2 2( y '  y ' )  1. 2  sin 2x x 
Bài 6: (1đ) Cho đồ thị hàm số C 2 1 : y 
.Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp x  4
tuyến song song với đường thẳng y  9x  5
Bài 7: (4đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , SA   ABCD và SA  a 3
a) Chứng minh: SBC, SDC là các tam giác vuông
b) Chứng minh: SAC  SBD
c) Tính góc hợp bởi SB và mp SAC
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Tính khoảng cách từ G đến mpSCD ---------- HẾT --------- ĐÁP ÁN Bài Nội dung Điểm 1a 2 2 x  5  3 x  5  9 a) lim  lim (0.75đ) 2 x2 x2 x  3x  2
 2x 3x 2 2x 5 3 0.25 x  2x  2 x  2  lim  lim x2 x  
1  x  2 2x 5 3 x2 x  1 2x 5 3 0.25 2  3 0.25 1b x  0.25 lim x   x   x  20 24 2 4 1 2 5 lim x 2 (0.75đ)  4x 12x5  24  24 x 20    20   x lim    lim x = 5 0.25 x  1 5 x   1 5  x  4   2    4   2   2 2 x x x x +0.25     2 f  1 x  f 1   m 0    (1đ) 2 0.25 3 2 2       f  x 2x 7x 7x 2 2x 5x 2 1 lim  lim  lim  3 2 2 x   0 x x 1 x 1 x  3x  7x  5 x  2x  5 4 0.5 0.25
Hàm số liên tục tại x  1  f  x  1 1 3
lim f x   m    m   0    0 x 2 4 4 0 x 3  sin x x  x  sin x x cos x  sin x a) y   (1đ) 2 x 2 x 0.25+0.2 5  0.25 b) y  2x  5 2 x x  5 1 sin 3 1 sin 3x      x 5 2 4 y  sin 3x 15 x 1.cos 3 . x sin 3x 2 x 1 0.25
4 (0.5đ) Chứng minh phương trình: 4
mx(x  2)  x  2  0 luôn có nghiệm m  R Đặt 4
f (x)  mx(x  2)  x  2
f(x) là hàm đa thức, liên tục trên R  f (x) liên tục trên 0;2
và f (0). f (2)  2.14  28  0,m 0.25
 pt f (x)  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 2) 5 sin3 x  cos3 x 0.25 Cho hàm số y  . Chứng minh rằng: 2 2 2( y '  y ' )  1. (1đ) 2  sin 2x sin x  cos x  x  x  2 2 3 3 sin cos . sin x  sin . x cos x  cos x Ta có: y   2  sin 2x 2(1 sin . x cos x) 1 0.25  .(sin x  cos x) 2 1 0.25 y '  .(cos x  sin x) 2 1 0.25 y '  .(sin x  cos x) 2  1 1  Ta có: 2 2 2( y '  y ' )  2. .  cos x  sin x2 2  (cos x  sin x)   4 4  0.25 1  2. . 2 2
2cos x  2sin x  1(đpcm). 4 6 9 TXĐ: D   \  4 , y '  (1đ) x  42 0.25
Gọi M  x ; y là tiếp điểm của (C) và tiếp tuyến. 0 0 
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  9x  5 nên f  x  9 0  9 x  3  0   9    x  42 x  5   0.25 0 0
x  3  y  7  pttt : y  9x  20 n 0.25 0 0  
x  5  y  11  pttt : y  9x  56 n 0.25 0 0   S 7 H A D O G B C 7 a BC  AB (ABCD la hv)  a)   BC  SAB (1đ)
BC  SASA   ABCD    0.25
 BC  SB  Tam giác SBC vuông tại B 0.25 DC  AD (ABCD la hv)    
DC  SASA   ABCD DC SAD  0.25
 DC  SD  Tam giác SCD vuông tại D 0.25 7b BD  AC (ABCD la hv) 0.25  (1đ)
BD  SASA   ABCD 0.25  BD  SAC 0.25
Mà BD  SBD  SAC   SBD 0.25 7c
BO  SAC  tại O nên SO là hình chiếu vuông góc của SB lên mp SAC  (1đ) 0.25 SB,SAC     SB,SO
Xét tam giác SAB vuông tại A: 2 2 SB  SA  AB  2a
Xét tam giác SBO vuông tại O 0.5 BD a 2  OB 2 2 2 sin OSB       0 OSB  20 42 SB SB 2a 4 SB,SAC      SB,SO  OSB 0  20 42 0.25 7d AB  SCD
  AB  SCD  d B,SCD  d A,SCD AB  CD  (1đ) 0.25 BD  SCD  D    d  SCD 2 G,  d B, 3 SCD BD   3 0.25  GD 2 
Dựng đường cao AH của tam giác SAD AH  SD         AH  SCD AH CD CD SAD , AH  SAD    0.25   d  , A SCD  AH
Tam giác SAD vuông tại A có đường cao AH 1 1 1 a 3    AH  2 2 2 AH SA AD 2  d  SCD a 3 G,  3 0.25