ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM
KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN THI : TOÁN
--------------------------------------
KHỐI 11 – CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Ngày thi : Thứ Hai 02/5/2019
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
----------------------------------------------
Bài 1. (1,5đ) Tính các giới hạn sau: 2 3  x
x  7  4(x  3) a)   . b) lim .   2 lim 9x 12x 3x x   2 x 3  (x  3)
Bài 2. (1đ) Tính đạo hàm của các hàm số sau: 2 2 a) 2
y  (1  2x) 1  x  2x .
b) y  cos (1  2x ).
Bài 3. (1đ) Chứng minh phương trình 2 3 3 2
(m  2m  3)(x  3x  4)  m x  0 có ít nhất một nghiệm với mọi số thực m.
 2  x  2  x    
Bài 4. (1đ) Tìm m để hàm số , khi 2 x 0
y  f (x)    x liên tục trên [ 2;2] .
m  2x, khi 0  x  2 2x  1
Bài 5. (1,5đ) Cho hàm số y  f (x)  1 (C). x
a) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y  2x  1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
x  3y 1  0 .
Bài 6. (4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a, , SA ⊥
(𝐴𝐵𝐶𝐷), SA  a 3 . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).
a) Chứng minh BD  (SAC) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC). HẾT
Đáp án và cho điểm Bài 1 Tìm giới hạn  x  lim x  x  x    x  12 2 9 12 3  lim a) x 2
 9x 12x  3x      12  lim   x  12      9 3  2  x   2  2 2 3  x
x  7  4(x  3) x  7  4 lim  lim b)  2  x3  x 3 (x 3)  (x  3) x  3  lim   2 x 3 x  7  4 3  4 Bài 2 Tính đạo hàm hàm số 2
y  (1  2x) 1  x  2x . ' 2
y'  (1  2x)' 1  x  2x  (1  2x) 2
1  x  2x  1  4x 2  2
 1 x  2x  (1 2x) 2 2 1  x  2x 2 2 4(
 1 x  2x )  (1 2x)(1 4x) 16x 10x  3   2 2 2 1  x  2x 2 1  x  2x 2 2
b) y  cos (1  2x ) 2 2
y'  2cos(1  2x ).cos(1 2x )' 2 2 2  2
 cos(1 2x ).sin(1 2x ).(1 2x )'   2 2
= 8x cos(1  2x ).sin(1  2x ). 2  4 .
x sin(2  4x ). Bài 3
Chứng minh rằng phương trình 2 3 3 2
(m  2m  3)(x  3x  4)  m x  0 (1) có ít nhất
một nghiệm với mọi số thực m. Đặ 2 3 3 2
t f (x)  (m  2m  3)(x  3x  4)  m x .
Hàm số f ( x) xác định và liên tục trên R
Hàm số f ( x) liên tục trên [-1;1] 2
f (1)  m  0   3 2 2 f ( 1  )  ( 8
 ) (m  2m  3)  m  0  f ( 1
 ). f (1)  0, m   x  [ 1
 ;1] sao cho f (x )  0. 1 1
Vậy pt (1) có ít nhất 1 nghiệm với mọi m. Bài 4
 2  x  2  x  (1đ) Tìm m để    hàm số , khi 2 x 0
y  f (x)   x 
m  2x, khi 0  x  2 liên tục trên [ 2  ;2].
2  x  2  x 2  1 
lim f (x)  lim  lim     x0 x0 x0 x
2  x  2  x 2
lim (m  2x)  m  x0 f (0)  m
Hàm số liên tục trên [ 2  ;2] khi và chỉ khi
lim f (x)  lim ( f (x)  f (0)   x0 x0 1   m  2 Bài 5 2x  1
Cho hàm số y  f (x)  1 có đồ thị (C). x
a)Viết pt tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) và đường thẳng y  2x  1. 3
y '  f '(x)  2 (1 . x)  1  2x  1 x  Pthđ giao điể  m :
 2x 1; (x  1)  2 1  x  x  0  1  1  4 x 
 y  0; f '( )    2 2 3 
x  0  y 1; f '(0)  3  1   4 2 Tại M
;0 , pttt : y  x  1    2  3 3 Tại M   2(0;1), pttt : y 3x 1
b)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến song song với đường
thẳng x  3y 1  0 . Gọi M(x
o;yo) là tọa độ tiếp điểm. tt song song với (d): 3 1  2 (1  x ) 3 0  x  2   y  1  0
 x  4 y  3   0 1 1
pttt tại M(-2;-1); y  x  ( loại) 3 3 1 13
pttt tại M(4;-3); y  x  3 3 Bài 6
(4đ) Hình chóp S.ABCD có O là tâm của hình thoi ABCD, AB = a, , SA ⊥
(𝐴𝐵𝐶𝐷), SA  a 3 . Dựng OK ⊥ SC ( K thuộc SC).
a) Chứng minh BD  (SAC) . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD).
d) Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC). S H K D C O A B I
a) Học sinh chứng minh BD  (SAC)
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC là OK.
* Tam giác SAC có SA  AC  a 3 . Gọi M là trung điểm SC 1 1 a 6 Suy ra OK  AM  SC  2 4 4
b)Tính góc tạo bởi đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).
Xác định SH là hình chiếu vuông góc của SA lên (SBD), suy ra góc [S ;
A (SBD)]  ASH  ASO 1 0 tan ASO   ASO  26 34' 2
c)Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD). d[C;(SBD)]  d[A;(SBD)]
AH  (SBD)  d[A;(SBD)]  AH 1 1 1 a 15    AH  2 2 2 AH SA AO 5
d)Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (KBC) và (OBC).
Xác định đúng [(KBC);(OBC)]  [(SBC);( ABC)]  SIA 2 a 3
AI.BC  AC.BO  2S  ABC  4 a 3  AI  2 SA tan SIA   2 AI
[(KBC);(OBC)][(SBC);(ABC)] SIA 6 0326'