SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HCM
ĐỀ THI HKII, KHỐI 11, NĂM HỌC 2019-2020
TRƯỜNG THPT TRẦN KHAI NGUYÊN Môn : TOÁN t t
Họ và Tên:………………………………...........Số báo danh:…………………………….Mã đề: 111
Câu 1: [3 điểm] Tìm các giới hạn sau 3 x  64  2 2  a) lim b) 2
lim  2x  x 1  2x   2   x 4  3
 x 10x  8 x 11   2 x  3x  2 c) lim d)
x  x   x  x  2 lim 4 2 3 2 1  x( 1  ) x x 1 2 2
m x  3mx 1 khi x  2 
Câu 2: [1 điểm] Cho hàm số f  x  2
4  x  3x  6
. Tìm m để hàm số liên tục tại x  2 .  0 khi x  2  x  2
Câu 3: [1 điểm] Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số f  x  x 1 tại x 1. 0 Câu 4: [1 điểm] 1 Cho hàm số 3 2 y 
x  x  3x 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại 3
điểm có hoành độ bằng 3 . 2 x  x 
Câu 5: [1 điểm] Tính đạo hàm của hàm số 3 5 y  4x 1
Câu 6: [3 điểm] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh 2a . Cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy và SA  2a 3 .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông
b) Chứng minh SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD
c) Tính góc giữa 2 mặt phẳng SBC và  ABCD
d) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB, SC . Tính góc giữa AH và SAC HẾT 1
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TP HCM
ĐỀ THI HKII, KHỐI 11, NĂM HỌC 2019-2020
TRƯỜNG THPT TRẦN KHAI NGUYÊN Môn : TOÁN t t
Họ và Tên:………………………………...........Số báo danh:…………………………….Mã đề: 112
Câu 1: [3 điểm] Tìm các giới hạn 3 x  27  2 5  a) lim b) 2
lim  5x  2x 1  5x   2   x 3  3
 x 10x  3 x 7   x x  2 c) lim d)       2 lim 9x 4x 1 3x 2 x   2 x( 2
 ) x  5x  6  1 2 2 m x  2mx  khi x  3  2
Câu 2: [1 điểm] Cho hàm số f  x  
. Tìm m để hàm số liên tục tại x  3. 2  0
5  x  3x  7 khi x  3  x  3
Câu 3: [1 điểm] Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số f  x  x 1 tại x  2 . 0 1
Câu 4: [1 điểm] Cho hàm số 3 2 y 
x  x  3x 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại 3
điểm có hoành độ bằng 3  . 2 x  x 
Câu 5: [1 điểm] Tính đạo hàm của hàm số 5 9 y  2x  3
Câu 6: [3 điểm] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh 4a . Cạnh bên SA vuông
góc với mặt đáy và SA  4a 3 .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông
b) Chứng minh SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD
c) Tính góc giữa 2 mặt phẳng SCD và  ABCD
d) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SD,SC . Tính góc giữa AH và  SAC  HẾT 2 MA TRẬN ĐỀ Vận dụng Cộng Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Thấp Cao GIỚI HẠN, Tính giới Tính giới hạn Tính giới hạn DÃY SỐ, hạn HÀM SỐ Số câu 2 1 1 4 Số m 1,5 0,75 0,75 3,0 HÀM SỐ Tìm tham số để LIÊN TỤC hàm số liên tục tại một điểm Số câu 1 1 Số m 1,0 1,0 ĐỊNH NGHĨA V ết ươ trì ĐẠO HÀM.
t ế tuyế tạ một PHƯƠNG m TRÌNH TIẾP TUYẾN Số câu 1 1 Số m 1,0 1,0 QUY TẮC Dùng ị Dù quy tắc TÍNH ĐẠO ĩ tí tí ạ àm, có HÀM.
ạ àm tạ c t ức hàm một m ợ . Số câu 1 1 2 Số m 1,0 1,0 2,0 ĐƯỜN C ứ m C ứ m í óc ữ í óc ữ VUÔNG VỚI ư ư t ẳ mặt ẳ ư t ẳ và MẶT, MẶT t ẳ v v óc vớ mặt mặt ẳ VUÔNG VỚI óc vớ mặt ẳ . MẶT ẳ . Số câu 1 1 1 1 4 Số m 1,0 0,5 0,75 0,75 3,0 ổ số câu 4 5 2 1 12 ổ số m 3,5 4,25 1,5 0,75 10.0 3
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11_Đề: 111 Câu 1a [A] 3  Điểm Tìm giới hạn hàm số: x 64 lim 2 chi tiết x 4  3
 x 10x  8 2 (0,75 điểm) 3 x 
x  4x 4x 16 64  lim  lim 2 x 4  x 4 3
 x 10x  8  x  4 3  x  2 2 x  4x 16  lim x 4  3  x  2 24  7 Câu 1b [A]  Điểm 2 7  2
lim  2x  x 1  2x     chi tiết x 11     (0,75 điểm) 2 2 2
lim  2x  x 1  2x     x 11    1 1 2 2   lim  x 2    2x    2  x x x 11    1 1 2 2 
 lim x 2    2x    2  x x x 11    1 1 2 2 
 lim x 2    2    2  x x x 11x      1 1 2 2 
Vì lim x   ; lim   2    2    2  2  0   x 2 x x x 11x   Câu 1c [A] 2   Điểm Tìm giới hạn sau x 3x 2 lim  chi tiết x( 1  ) x x 1 2   (0,75 điểm) x 3x 2 lim  x( 1  ) x x 1
(x 1)(x  2)  lim  x( 1  ) x(x 1) x  2  lim  x( 1  ) x  1
Câu 1d [A] Tìm giới hạn  2 lim
4x  2x  3  2x  ? Điểm  1 x chi tiết 4 (0,75 điểm) lim
x  x   x  x  2 4 2 3 2 1   2 
4x  2x  3  2x 2
4x  2x  3  2x   lim    x   1 2
4x  2x  3  2x    2 2
 4x  2x 3 4x   lim  1   x 2
 4x  2x  3  2x       2x  3   lim 1   x 2  2 3   x 4    2x     2    x x       2x  3  lim  1 x  2 3   x 4    2x  2  x x    3    x 2       x  lim  1 x  2 3  x 4    2x   2  x x     3   x 2       x    lim 1   x  2 3  x 4    2   2  x   x     3  2      x lim 1 x  2 3   4    2  2  x x  2   0 3  1   4  0  0  2 2 Câu 2 [A] 2 2
m x  3mx 1 khi x  2 Điểm  Cho hàm số chi tiết f  x  2
4  x  3x  6
. Tìm m để hàm số liên tục tại  khi x  2  x  2 x  2 . 0       (1 điểm) Ta có f   2 2 2 2 m .2 3 .2 m 1 4m 6m 1.    16 x x   2 2 x  3x  6 4 3 6 
lim f  x  lim  lim x2 x2 x2 x  2 x  2 2
4  x  3x  6  5 2
x  3x 10
x  2x  5  lim  lim x2   x  2 2 4 
x  3x  6  x 2 x  2 2 4 
x  3x  6  x  5 2  5 7  lim    x2  2
 x  x   8 8 4 3 6
Hàm số liên tục tại x  2 khi và chỉ khi 0  
lim f  x  f 2 7 15 6 6 2 2
 4m  6m 1    4m  6m   0  m  x2 8 8 8 Câu 3 [A]
Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số f  x  x 1 tại x 1. 0 Điểm chi tiết (1 điểm) Ta có
f  x  f   1 lim x 1  x 1 x 1  2  lim x 1  x 1 x 1 2  lim x 1   x   1  x 1  2  1  lim x 1  x 1  2 2  4 Vậy f   2 1  . 4 1 Câu 4 [A] Cho hàm số 3 2 y 
x  x  3x 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) Điểm 3 chi tiết
tại điểm có hoành độ bằng 3 . 2 (1 điểm)
y '  x  2x  3 Gọi  0 x ; 0
y  là tọa độ tiếp điểm.
x   y   0 3 0 8
Có 1 tiếp điểm A3; 8  
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A: k  f '3  0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A3; 8  :
y  k  x          0 x  0 y y 0  x 3 8 y 8 Câu 5 [A] 2 Điểm x  x 
Tính đạo hàm của hàm số 3 5 y  chi tiết 4x 1 ' (1 điểm)  2 
 x  3x  5  4x   2
1  x  3x  5 4x  ' 1 '   y  4x  2 1
x 3x5' 2 4x   2
1  4 x  3x  5 2 2 x  3x  5  4x  2 1 6
2x 34x   1 2
 4 x  3x  5 2 2 x  3x  5  4x  2 1
2x 34x   1  8 2
x  3x  5  2 4x  2 2 1 x  3x  5 2 2
8x  2x 12x  3  8x  24x  40  24x  2 2 1 x  3x  5 10x  37  24x  2 2 1 x  3x  5
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh 2a . Cạnh bên SA Câu 6 [A] Điểm
vuông góc với mặt đáy và SA  2a 3 . chi tiết
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông?
b) Chứng minh  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD ?
c) Tính góc giữa 2 mặt phẳng  SBC  và  ABCD ?
d) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SB,SC . Tính
góc giữa AH và SAC ? (3 điểm) a) Ta có SA    ABCD 
 SA  AB  SAB vuông tại B AB    ABCD SA    ABCD 
 SA  AD  SAD vuông tại D AD   ABCD
BC  SAdoSA   ABCD 
 BC  SAB BC  AB 
do ABCDlahinhvuong
 BC  SBdo SB  SAB
 SBC vuông tại B 7 CD 
 SAdo SA   ABCD 
 CD  SAD CD   AD 
do ABCDlahinhvuong
 CD  SDdo SD  SAD
 SCD vuông tại D b) Ta có
BD  SAdoSA   ABCD 
 BD  SAC BD  AC 
do ABCDlahinhvuong
Mặt khác O SAC với O là trung điểm của BD
Vậy SAC là mặt phẳng trung trực của BD .
c) Tính góc giữa  SBC  và  ABCD 
 SBC  ABCD  BC Tro 
ng SBC , SB  BC Trong 
 ABCD, AB  BC
Góc giữa 2 mặt phẳng SBC và  ABCD bằng góc giữa SB và AB và bằng góc SBA .
Xét tam giác SBA vuông tại A: SA 2a 3 tan SBA    3 AB 2a   60o SBA
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng SBC và  ABCD bằng 60o . d) Ta có AH  SB  gt AH  BC 
doBC  SAB,AH   SAB
 AH  SBC
Mà SC  SBC   AH  SC Ta có SC  AH  cmt  SC  AK  gt
 SC   AHK 
 SAC   AHK 
Trong  AHK  , kẻ HI  AK tại I . Ta có: 
 SAC   AHK   
 SAC  AHK   AK  HI  SAC Trong 
 AHK,HI  AK
Hình chiếu của A lên SAC là A .
Hình chiếu của H lên SAC là I (vì HI  SAC tại I )
Hình chiếu của AH lên SAC là AI .
Suy ra góc giữa AH và SAC bằng góc giữa AH và AI và bằng góc HAI  HAK  . 8
Xét tam giác SAC vuông tại A , có AK là đường cao: 1 1 1 1 1 5      2 2 2 AK SA AC  2  2 2 24 2 3 2 2 a a a 2 24a 2a 30 2  AK   AK  5 5
Xét tam giác SAB vuông tại A , có AH là đường cao: 1 1 1 1 1 1      2 2 2 AH AB SA
2a2 2a 32 2 3a 2 2
 AH  3a  AH  a 3
Xét tam giác AHK vuông tại H AH a 3 10 cos HAK    AK 2a 30 4 5
 HAK  37o46'
Vậy góc giữa AH và SAC là 37o HAK  46 ' . 9
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 11_ĐỀ 112 Câu 1a [B] 3  Điểm chi Tìm giới hạn hàm số: x 27 lim 2 tiết x 3  3
 x 10x  3 2 (0,75 điểm) 3 x 
x 3x 3x 9 27  lim  lim 2 x 3  x 3 3
 x 10x  3  x 3 3  x   1 2 x  3x  9  lim x 3  3  x 1 27  8 Câu 1b [B]  Điểm chi 2 5  2
lim  5x  2x 1  5x     tiết x 7     (0,75 điểm) 2 5 2
lim  5x  2x 1  5x     x 7    2 1 2 5   lim  x 5    5x    2  x x x 7    2 1 2 5 
 lim x 5    5x    2  x x x 7    2 1 2 5 
 lim x 5    5    2  x x x 7x      2 1 2 5 
Vì lim x   ; lim   5    5    2  5  0   x 2 x x x 7x    Câu 1c [B] x x 2
Tìm giới hạn sau lim Điểm chi  2 x( 2
 ) x  5x  6 tiết  (0,75 điểm) x x 2 lim  2 x( 2
 ) x  5x  6 0,5+0,5 x(x  2)  lim  x( 2
 ) (x  2)(x  3) x  lim  x( 2  ) x  3  2 Câu 1d [B] Điểm chi Tìm giới hạn     ?   2 lim 9x 4x 1 3x 2 tiết x  10 (0,75 điểm) lim
x  x   x  x  2 9 4 1 3 2   2 
9x  4x 1  3x 2
9x  4x 1  3x   lim    x   2 2
9x  4x 1  3x    2 2
 9x  4x 19x   lim   2   x 2
 9x  4x 1  3x       4x 1   lim  2   x 2  4 1   x 9    3x     2    x x       4x 1  lim   2 x  4 1   x 9    3x  2  x x    1    x 4       x  lim   2 x  4 1  x 9    3x   2  x x     1   x 4       x    lim  2   x  4 1  x 9    3   2  x   x     1  4      x lim  2 x  4 1   9    3  2  x x  4   0 8   2   9  0  0  3 3 Câu 2 [B]  1 Điểm chi 2 2 m x  2mx  khi x  3  tiết 2
Cho hàm số f  x  
. Tìm m để hàm số liên tục tại 2
5  x  3x  7 khi x  3  x  3 x  3. 0 1 1 (1 điểm) Ta có f 3 2 2 2  m .3  2 .3 m 
 9m  6m  . 2 2    25 x x   2 2 x  3x  7 5 3 7 
lim f  x  lim  lim x3 x3 x3 x  3 x 3 2 5 
x  3x  7  11 2
x  3x 18
x  3x  6  lim  lim x3   x  3 2 5 
x  3x  7  x 3 x 3 2 5 
x  3x  7  x  6 3 6 9  lim    x3  2
 x  x   10 10 5 3 7
Hàm số liên tục tại x  3 khi và chỉ khi 0  
lim f  x  f 3 1 9 2 5 15 2 2
 9m  6m   
 9m  6m   0  m  x3 2 10 5 15 Câu 3 [B]
Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của hàm số f  x  x 1 tại x  2 . 0 Điểm chi tiết (1 điểm)
f  x  f 2 x 1  3 x 1 3 lim  lim  lim x2 x2 x2 x  2 x  2
x  2 x1 3 Ta có 1 3  lim  x2 x 1  3 6 Vậy f   3 2  . 6 1 Câu 4 [B] Cho hàm số 3 2 y 
x  x  3x 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của Điểm chi 3 tiết
(C) tại điểm có hoành độ bằng 3  . 2 (1 điểm)
y '  x  2x  3 Gọi  0 x ; 0
y  là tọa độ tiếp điểm.
x    y  0 3 0 10
Có 1 tiếp điểm A 3  ;10
Hệ số góc của tiếp tuyến tại A: k  f ' 3    0
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A 3  ;10 :
y  k  x  x  y  y  x    y  0  0 0  3 10 10 Câu 5 [B] 2 Điểm chi x  x 
Tính đạo hàm của hàm số 5 9 y  tiết 2x  3 ' (1 điểm)  2 
 x  5x  9  2x  3 2
 x  5x  9 2x 3' '   y  2x 32 
x  5x  9' 2 2x 3 2
 2 x  5x  9 2 2 x  5x  9  2x 32
2x 52x 3 2
 2 x  5x  9 2 2 x  5x  9  2x 32
2x 52x 3 4 2x 5x9  2 2x  32 2 x  5x  9 12 2 2
4x  6x 10x 15  4x  20x  36  22x  32 2 x  5x  9 4x  21  22x  32 2 x  5x  9
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh 4a . Cạnh bên Câu 6 [B] Điểm chi
SA vuông góc với mặt đáy và SA  4a 3 . tiết
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông
b) Chứng minh  SAC  là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD
c) Tính góc giữa 2 mặt phẳng  SCD và  ABCD
d) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh SD,SC . Tính
góc giữa AH và SAC (3 điểm) a) Ta có SA    ABCD 
 SA  AB  SAB vuông tại B AB    ABCD SA    ABCD 
 SA  AD  SAD vuông tại D AD   ABCD
BC  SAdoSA   ABCD 
 BC  SAB BC  AB 
do ABCDlahinhvuong
 BC  SBdo SB  SAB
 SBC vuông tại B CD 
 SAdo SA   ABCD 
 CD  SAD CD   AD 
do ABCDlahinhvuong
 CD  SDdo SD  SAD
 SCD vuông tại D b) Ta có
BD  SAdoSA   ABCD 
 BD  SAC BD  AC 
do ABCDlahinhvuong 13
Mặt khác O SAC với O là trung điểm của BD
Vậy SAC là mặt phẳng trung trực của BD .
c) Tính góc giữa  SCD và  ABCD 
 SCD  ABCD  CD Tron 
g SCD, SD  CD Trong 
 ABCD, AD  CD
Góc giữa 2 mặt phẳng SCD và  ABCD bằng góc giữa SD và AD và bằng góc SDA .
Xét tam giác SDA vuông tại A: SA 4a 3 tan SDA    3 AD 4a   60o SBA
Vậy góc giữa 2 mặt phẳng SCD và  ABCD bằng 60o . d) Ta có AH  SD  gt AH  CD 
doCD  SAD,AH   SAD
 AH  SCD
Mà SC  SCD  AH  SC Ta có SC  AH  cmt  SC  AK  gt
 SC   AHK 
 SAC   AHK 
Trong  AHK  , kẻ HI  AK tại I . Ta có: 
 SAC   AHK   
 SAC  AHK   AK  HI  SAC Trong 
 AHK,HI  AK
Hình chiếu của A lên SAC là A .
Hình chiếu của H lên SAC là I (vì HI  SAC tại I )
Hình chiếu của AH lên SAC là AI .
Suy ra góc giữa AH và  SAC  bằng góc giữa AH và AI và bằng góc HAI  HAK  .
Xét tam giác SAC vuông tại A , có AK là đường cao: 1 1 1 1 1 5      2 2 2 AK SA AC  2  2 2 96 4 3 4 2 a a a 2 96a 4a 30 2  AK   AK  5 5
Xét tam giác SAD vuông tại A , có AH là đường cao: 14 1 1 1 1 1 1      2 2 2 AH AD SA
4a2 4a 32 2 12a 2 2
 AH 12a  AH  2a 3
Xét tam giác AHK vuông tại H AH 2a 3 10 cos HAK    AK 4a 30 4 5
 HAK  37o46'
Vậy góc giữa AH và SAC là 37o HAK  46 ' . 15