Đề thi học kỳ 2 Toán 9 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Giao Thủy – Nam Định

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II HUYỆN GIAO THỦY
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn: Toán – Lớp 9 THCS ĐỀ CHÍNH THỨC
(Thời gian làm bài 120 phút)
Đề khảo sát gồm 02 trang.
Phần I: Trắc nghiệm (2,0 điểm). Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng
trước phương án đó vào bài làm.
Câu 1. Điều kiện xác định của biểu thức 2023 − là x − 2024 A. x∈ .  B. x ≠ 2024. C. x > 2024. D. x < 2024.
Câu 2. Đường thẳng 2
y = m x + m −1 song song với đường thẳng y = 4x +1 khi A. m = 2. ± B. m = 2. C. m = 2. − D. m = 4.
Câu 3: Tung độ giao điểm của parabol 1 2
y = x và đường thẳng 1
y = − x + 3 là 2 2 A. 2; −3 B. 9 2; C. 2; 4 D. 9 3 − ; 2 2
Câu 4: Cho phương trình 2
x − 5x − m +1 = 0 có nghiệm x = 3. Giá trị của tham số m khi đó bằng A. 5. B. 5. − C. 3. − D. 12. − 2x − y = 3
Câu 5: Biết (x ; y là nghiệm của hệ phương trình
. Giá trị của biểu thức 0 0 )  x + 2y = 4 2 2 x + y bằng 0 0 A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.
Câu 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Biết B = ° 
50 ;C = 60°. Số đo  BOC bằng A. 70°. B. 100°. C. 120°. D. 140°.
Câu 7: Một tam giác đều có cạnh bằng 3cm ngoại tiếp đường tròn. Diện tích hình tròn đó là A. 3π 3π 2 π 3 cm . B. 2 3π cm . C. 2 cm . D. 2 cm . 2 4
Câu 8: Đường tròn lớn của Trái Đất dài khoảng 40 000 km . Bán kính Trái Đất (làm tròn đến km) xấp xỉ : A.6360 km . B. 6369 km . C. 6396 km . D. 6936 km .
Phần II. Tự luận (8,0 điểm) Bài 1. (1,5 điểm)  
1) Chứng minh đẳng thức 6 − 2 5 1  −  : = −   3 .  1− 3 5  5 − 2 x +1 2 x 5 x + 2
2) Rút gọn biểu thức B = + +
với x ≥ 0, x ≠ 4. x − 2 x + 2 4 − x Trang 1/6
Bài 2. (1,5 điểm) Cho Parabol (P) 2
: y = x và (d): y = mx+m+1 (với m là tham số)
1) Biết A(1;3)∈(d ) , hãy xác định tung độ gốc của đường thẳng (d) .
2) Tìm tất cả các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm (x ; y ; x ; y thỏa mãn 1 1 ) ( 2 2 )
y + 2mx − y = 4 . 1 2 2  2 − Bài 3  − =
. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x 3y  x  2 y + xy = 2. Bài 4. (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC vuông tại , A đường cao
AH, kẻ HI ⊥ AC tại I . Vẽ cung tròn tâm H bán
kính HI cắt AH tại D và cắt BC tại E . Biết AB = 6 , cm BC =10
cm . Tính diện tích phần hình tô
đậm trong hình vẽ bên. (Kết quả làm tròn đến chữ số
thập phân thứ nhất) 2) Cho đường tròn ( ;
O R) , dây cung BC không đi qua tâm O . Điểm A thuộc cung
lớn BC sao cho điểm O nằm trong tam giác ABC và tam giác ABC không cân tại A .
Kẻ đường kính AD , đường cao AH của tam giác ABC ; gọi E là hình chiếu vuông góc
của B trên AD , N là hình chiếu vuông góc của D trên BC .
a) Chứng minh bốn điểm B,D, N,E cùng thuộc một đường tròn và EN / /AC.
b) Chứng minh ∆HAB ∽ ∆CAD và 2 A .
B CD + AC.BD < 4R . Bài 5. (1,0 điểm)
1) Giải phương trình x(x + 3x +1− 6− x −10) = 2( 3x +1− 6− x −8).
2) Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a + b + c =1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a b c A = + + .
a + a + bc b + b + ca c + c + ab
----------------------Hết---------------------
Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Họ tên, chữ ký GT 1: ………………………………………. .
Số báo danh: …………………………………………………. . Họ tên, chữ ký GT 2: ………………………………………. . Trang 2/6
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM HUYỆN GIAO THỦY
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2023 – 2024
Môn: Toán – Lớp 9 THCS
Phần I: Trắc nghiệm khách quan: (2,0 điểm) Mỗi ý đúng được 0,25 điểm Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 D C B B D D D B
Phần II. Tự luận: (8,0 điểm) Bài 1. Câu Nội dung Điểm a)   − 0,5 điểm Ta có VT 6 2 5 1 =  −    :  1− 3 5  5 − 2  2 1 3  ( )  − −  = − 5 .( 5 − 0,25   2 ) 1−  3   = (− 5 − 2)( 5 − 2) = − 5 − 2 ( ). = −3 0,25
VT = VP , vậy đẳng thức được chứng minh
Với x ≥ 0, x ≠ 4rút gọn biểu thức B ta có x +1 2 x 5 x + 2 B = + + b) x − 2 x + 2 4 − x 1,0 điểm x +1 2 x 5 x + 2 = + + x − 2 x + 2 4 − x ( x + )
1 ( x + 2) + 2 x ( x − 2) −5 x − 2 0,25 = ( x +2)( x −2) 3x − 6 x = ( x + 2)( x − 2) 0,25 3 x = x + 2 Bài 2: Câu Nội dung Điểm 1.
a) Vì A(1;3)∈(d ) ⇒ x =1; y = 3thay vào phương trình đường thẳng 0,25
0,5 điểm (d) ta được 3= m+m+1⇔ m =1
Khi đó phương trình đường thẳng (d ) trở thành: y = x + 2 0,25
Vậy tung độ gốc của đường thẳng (d )là 2 2.
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d ) và (P) : 1,0 điểm 2 2
x = mx + m +1 ⇔ x − mx − m −1 = 0 (1) 0,25 Trang 3/6
Để (d ) cắt (P) tại hai điểm (x ; y ; x ; y 1 1 ) ( 2 2 )
⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x ;x 1 2
⇔ ∆ ≥ ⇔ (−m)2 − (−m − ) = (m + )2 0 4 1 2 ≥ 0 (luôn đúng với m ∀ )
x + x = m 0,25
Áp dụng định lí Viét ta có : 1 2 
x .x = −m −  1 1 2
Theo giả thiết ta có: y + 2mx − y = 4 0,25 1 2 2
Điểm (x ; y )∈(P) 2
⇒ y = x ; (x ; y ∈ P ⇒ y = x 2 2 ) ( ) 2 1 1 1 1 2 2 Do đó: 2 2
x + 2mx − x = 4 1 2 2 2
⇔ x + 2(x + x ) 2
x − x = 4 ⇔ x + x = 4 1 1 2 2 2 ( 1 2)2 2
⇔ m = 4 ⇔ m = 2 ± 0,25 Kết luận:
* Cách khác: Phương trình ( )
1 là phương trình bậc hai có:
a − b + c =1+ m − m −1 = 0
Nên phương trình có một nghiệm là 1
− và nghiệm còn lại là m +1
Ta xét hai trường hợp sau: +) TH1: x = 1; − x = m +1 1 2
+) TH2: x = m +1; x = 1 − 1 2 Giải tương tự cách 1 Bài 3: Câu Nội dung Điểm  −2 x − 3y = 
x Điều kiện: x ≠ 0  2  y + xy = 2  −2 0,25  − = 2  Với x x 3y
x − 3xy = −2 ≠ 0 ta có:  x ⇔   2 2
 y + xy = 2  y + xy = 2 2 2
x − 2xy + y = 0
(x − y)2 = x = y ⇔ 0  ⇔  ⇔  2
 y + xy = 2 2 2  y + xy = 2 0,25 1,0 điểm
 y + xy = 2 x = y x = y x = y x = y ⇔  ⇔ ⇔  hoặc  2  2 y = 2 2  y = 1 y =1 y = 1 − x =1 x = 1 − ⇔  hoặc  y =1 y = 1 − 0,25
Đối chiếu điều kiện và kết luận:
Vậy nghiệm ( ;x y) của hệ phương trình là : (1; ) 1 ; ( 1; − − ) 1 0,25 Trang 4/6 Bài 4: (3,0 điểm) Câu Nội dung Điểm 1.
Xét ∆ABC vuông tại A đường cao AH có: 1,0 điểm +) 2 2 2 2 2
AB + AC = BC ⇒ AC = 10 − 6 = 8(cm) (Do AC > 0) 0,25 +) 6.8
AH.BC = A . B AC ⇒ AH = = 4,8 (cm) 10 2 +) 2 8
AC = CH.BC ⇒ CH = = 6,4 (cm) 10 +) 8 25
HI.AC = AH.HC ⇒ HI = = (cm) 0,25 4,8.6,4 96 1 384
Diện tích tam giác AHC là: 2 S = .4,8.6,4 = (cm ) 1 2 25 1 Diện tích 0,25
4 hình tròn bán kính HI là: 1 25 2 625π 2 S = π ( ) = (cm ) 2 4 96 36864
Tính diện tích phần hình tô đậm là: 384 625π 2
S = S − S = − ≈ 15,3 (cm ) 0,25 1 2 25 36864 2.a) 1,0 điểm A E O H N B C D
Chứng minh được tứ giác BDNE nội tiếp 0,5
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE ⇒  NED =  NBD 0,25
Xét đường tròn (O R)  
; ⇒ CBD = CAD Từ đó suy ra  = 
NED CAD ⇒ NE / / AC 0,25 2b) + Ta có  =  0
AHB ACD = 90 ;  = 
ABH ADC (cùng chẵn cung AC ) 0,25 1,0 đ
+ Suy ra ∆HAB ∽ ∆CAD (g-g) 0,25 Trang 5/6 + Ta có AB HB
∆HAB ∽ ∆CAD ⇒ = ⇒ A . B CD = A . D HB AD CD
Chứng minh tương tự ta được 0,25
AC.BD = A . D HC Từ đó suy ra A .
B CD + AC.BD = A . D HB + A . D HC = A . D BC Xét đường tròn ( ;
O R) có BC < AD 0,25 2 ⇒ A .
B CD + AC.BD < A . D AD = 4R . Bài 5: (1.0 điểm) Câu Nội dung Điểm 1.
x(x + 3x +1 − 6 − x −10) = 2( 3x +1 − 6 − x −8).
0,5 điểm ĐKXĐ: 1−≤ x≤6. 3 0,25
Biến đổi phương trình về dạng (x − 2)(x −8+ 3x +1− 6− x) = 0
+) x − 2 = 0 ⇔ x = 2(t / m) +) x x x (x ) 3 1 8 3 1 6 0 5 1  − + + − − = ⇔ − + + =   0 
3x +1 + 4 1+ 6 − x  0,25
Từ đó tìm được x = 5(t / m) Kết luận. 2.
Ta có a bc (a b c) 2 + =
+ + a + bc = a + bc + a(b + c)
0,5 điểm Áp dụng bất đẳng thức AM- GM ta được 2a +bc ≥ 2a bc
a + bc ≥ a bc ⇔ a + bc + a(b + c) ≥ a bc + a(b + c) = a( b + c)2 2 2 2 2
Do đó: a + a + bc ≥ a + a ( b + c) = a ( a + b + c) 0,25 Từ đó suy ra a a a ≤ =
a + a + bc
a ( a + b + c) . a + b + c
Chứng minh tương tự ta có b b ≤ ; c c ≤
b + b + ca
a + b + c c + c + ab a + b + c Từ đó suy ra a b c A = + + ≤ 1
a + a + bc b + b + ca c + c + ab 0,25 Dấu “=” xảy ra 1
a = b = c = . 3 Kết luận:…
Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng và phù hợp với kiến thức của cấp học
thì cho điểm tương đương. Trang 6/6