Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - SỞ KHÁNH HÒA NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: Toán 12
HỌC HỎI - CHIA SẺ KIẾN THỨC
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)
LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/1916660125164699 Câu 1. (6,0 điểm)
a) Giải các phương trình
1) 3 2  x  x 1  1.
2) 3 sin 4x  cos 4x  4sin 2x  1.
b) Một bài thi Đánh giá năng lực theo hình thức trắc nghiệm có 100 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4
phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng và 3 phương án sai. Với mỗi câu hỏi, người
làm bài thi chỉ được chọn một phương án, nếu chọn đúng được 1, 0 điểm, chọn sai bị trừ 0, 25
điểm. Một học sinh làm bài đủ 100 câu bằng cách: với mỗi câu hỏi, học sinh đó chọn ngẫu
nhiên một phương án. Tính xác suất để học sinh đó được 60 điểm.
Câu 2. (4,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2
y  2x 3mx  m có đồ thị C và đường thẳng  2 y  2x  m m  (m là tham số)
a) Tìm tất cả các giá trị của m để C cắt  tại 3 điểm phân biệt , A , B C sao cho B là m  trung điểm của AC .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của C cắt đường tròn m 
C có phương trình x  2   y  2 1
1  4 tại 2 điểm E, F : EF  2 3 .
Câu 3. (4,0 điểm) Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  . Hàm số y  f  x có đồ thị như hình dưới .
a. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số y  f  x
b. xét chiều biến thiên của hàm số g  x  f  x   2 2
1  4x  4x trên các khoảng  ;  2   và 1; Câu 4. (4,0 điểm)
a) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu của S lên
 ABC là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HA  2HC , góc tạo bởi SB và mặt phẳng  ABC bằng 0
30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến SBC theo a .
b) Cho khối lăng trụ tam giác AB . C A B  C
  có thể tích là V . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AC và A B
  ; G là trọng tâm của tam giác BCC . Tính thể tích của khối tứ diện BIKG theo V
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 1
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 Câu 5.
(2,0 điểm) Cho các số x, y  0 thỏa mãn
 xy   xy  x  y 2 2 1 2 x  y  2xy   1 . Tính giá xy
trị lớn nhất của biểu thức P  . x  y
------------------------HẾT------------------------ Trang 2
TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (6,0 điểm)
a) Giải các phương trình
1) 3 2  x  x 1  1.
2) 3 sin 4x  cos 4x  4sin 2x  1.
b) Một bài thi Đánh giá năng lực theo hình thức trắc nghiệm có 100 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4
phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng và 3 phương án sai. Với mỗi câu hỏi, người
làm bài thi chỉ được chọn một phương án, nếu chọn đúng được 1, 0 điểm, chọn sai bị trừ 0, 25
điểm. Một học sinh làm bài đủ 100 câu bằng cách: với mỗi câu hỏi, học sinh đó chọn ngẫu
nhiên một phương án. Tính xác suất để học sinh đó được 60 điểm. Lời giải
GVSB: Nguyễn Minh Thành ; GVPB: Vân Vũ
a) Giải các phương trình
1) 3 2  x  x 1  1.  Điều kiện: x  1.
 Đặt t  x 1 t  0, khi đó 2 x  t 1.
 Phương trình trở thành   2t   3 2 3 2
1  t  1  1 t  t 1  0 .   3
 1 t1 t  t 1 0  1 t 1 t  1 t2 3 3 3  0  .     3 t 1  1 t  0 t 1       t  0 
thỏa mãn điều kiện t  0 .  1 t  1t 1   t   1t2 2 3 3  t  3 
 Với t  1  x 1  1  x  2 (thỏa mãn).
 Với t  0  x 1  0  x  1 (thỏa mãn).
 Với t  3  x 1  3  x  10 (thỏa mãn).
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1;2;1  0 .
2) 3 sin 4x  cos 4x  4sin 2x  1.
 Phương trình đã cho tương đương 2
2 3 sin 2x cos 2x 1 2sin 2x  4sin 2x  1  2sin 2x  3 cos 2x sin 2x  2  0 . sin 2  0  k x  x  , k     2        . cos 2x  1      6 x    k    ,k    12 k  
 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S   ;   k   ,k, k.  2 12  b)
 Gọi x là số câu trả lời đúng, y là số câu trả lời sai (với 0  x, y  100 và x, y   ).
 Vì có tất cả 100 câu hỏi, nếu chọn đúng được 1, 0 điểm, chọn sai bị trừ 0, 25 điểm và học x  y  100 x  68
sinh đó đạt 60 điểm nên ta có hệ phương trình    . x  0,25y  60  y  32
 Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng và 3 phương án sai nên 1 3
xác suất để chọn được phương án đúng là và xác suất để chọn được phương án sai là . 4 4
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 3
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021
 Vậy để học sinh đó đạt được 60 điểm chọn 32 câu sai và 68 câu đúng nên có xác suất là 68 32  1   3 32  C . 100      4   4  Câu 2. (4,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2
y  2x  3mx  m có đồ thị C và đường thẳng  2 y  2x  m (m là tham m  số)
a) Tìm tất cả các giá trị của m để C cắt  tại 3 điểm phân biệt , A B,C sao cho B là m  trung điểm của AC .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của C cắt đường tròn m 
C có phương trình x  2   y  2 1
1  4 tại 2 điểm E, F : EF  2 3 . Lời giải
Tập xác định D   .
a) Phương trình hoành độ giao điểm của C và  là: 3 2 2 2 2x 3mx  m  2x  m m  x  0 3 2
 2x  3mx  2x  0  x  2
2x  3mx  2  0   *   . 2 2x  3mx  2  0    1  Vì  
1 có 2 nghiệm trái dấu nên * luôn có 3 nghiệm phân biệt m .  3m x  x 
Ta có: x  0 nên x , x là nghiệm của  
1 nên theo định lý vi-et ta có: A C . B A C  2 x .x  1  A C x  x 3m
 Theo giả thiết B là trung điểm của AC nên A C   x  0  m  0. 2 4 B
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của C cắt đường tròn m 
C có phương trình x  2  y  2 1
2  4 tại 2 điểm E, F : EF  2 3 . Lời giải x  0  Ta có 2
y  6x  6mx  6x  x  m ; y  0   . x  m
 Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì m  0 .
 Khi đó hai điểm cực trị của C là: M  2 0; m  và N  3 2 ; m  m  m  . m  2 x y  m
 Phương trình đường thẳng MN có dạng: 2 2 2 2 
 m x  y  m  m x  y  m  0 . 3 m m
 Đường tròn C có tâm I 1; 2 , bán kính R  2 . Trang 4
TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021
 Gọi là H trung điểm của EF ta có tam giác IHE vuông tại H nên IH  d I MN     2 2 , 2 3 1. 2 2 m .1 2  m  Vậy d I, MN  4 4 4 4 
 1  m 1  2  m 1  4  m  3  m   3 . 4 m 1  Vậy 4
m   3 thoả mãn yêu cầu bài toán. Câu 3. (4,0 điểm)
Cho hàm số y  f  x xác định và liên tục trên  . Hàm số y  f  x có đồ thị như hình dưới .
a) Tìm số điểm cực tiểu của hàm số y  f  x
b) Xét chiều biến thiên của hàm số g x  f  x   2 2
1  4x  4x trên các khoảng  ;  2   và 1; Lời giải
a) Từ đồ thị ta có bảng xét dấu của f (x) như sau x  x 0 x  1 2 f (x) + 0 - 0 + 0 -
Vậy f (x) có 3 điểm cực trị ( 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu)
b) Ta có g (x)  2f (2x  1) 8x  4  2 f (2x  1) 2(2x  1)  
g (x)  0  f (2x  1)  2(2x  1)
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 5
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021
 Đặt t  2x  1, phương trình trở thành f (t)  2t  Ta có đồ thị sau :  3 x   t  2   2  1
 Từ đồ thị ta có f (t) 2t t     0  . Suy ra g (x)  0  x    . t  2   2   1 x   2 
 Ta có bảng xét dấu của g (x) x  3 1 1 -2   1  2 2 2 g (x) + 0 - 0 + 0 -
 Vậy hàm số g(x) đồng biến trên ( ;  2
 ) và nghịch biến trên (1; )  . Câu 4. (4,0 điểm)
a) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a . Hình chiếu của S lên
 ABC là điểm H thuộc cạnh AC sao cho HA  2HC , góc tạo bởi SB và mặt phẳng  ABC bằng 0
30 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ A đến SBC theo a . Lời giải
 Vì SH   ABC   SB  ABC    0 , SBH  30 .
 Gọi E là trung điểm AC . Khi đó ta có: Trang 6
TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 2a 7 2 2 2 2
EC  a  BE  BC  EC  a 3  BH  BE  EH  . 3 SH 2a 21  Xét S  BH ta có: 0 0 tan 30   SH  tan30 .BH  . BH 9 2 3 1 1 2a 21 4a 3 2a 7  Vậy thể tích V  .SH.S  . .  . S.ABC 3 A  BC 3 9 4 9
 Gọi Q là hình chiếu của H lên cạnh BC . Khi đó ta có SH  BC 
 BC  SHQ  BC  SQ HQ  BC .
 Khi đó, nếu kẻ HK  SQ  HK  SBC  d H,SBC  HK . Ta có, d  ,
A SBC   3.d H, SBC  3HK . a 1 1 1 111 2a 777  Kẻ 1 3 AJ  BC  HQ  AJ  . Ta có:     HK  3 3 2 2 2 2 HK HQ SH 28a 111 Suy ra d  A SBC 6a 777 ,  3HK  . 111
b) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A B  C
  có thể tích là V . Gọi I và K lần lượt là trung
điểm của AC và AB ; G là trọng tâm của tam giác BCC . Tính thể tích của khối tứ diện BIKG theo V Lời giải
GVSB: Nguyễn Thị Phương Hiền; GVPB: Bùi Văn Cảnh A' K B' C' M G J A B O I C H
 Gọi H là giao điểm của KM với CO , (O là trọng tâm tam giác ABC ). 1 1 2  Ta có V  d K BIG S  d H BIM S KBIG  ,  . BIG  ,  . 3 3 3 BIM 1 2 5  d C BIM 2 5 . . . , .S  . .V 3 3 2 BIM 3 2 CBIM 1 2 5  d M BIC 1 2 5 1 S  d C ABC S  V . BIC    1 5 . . . , . . . . , . 3 3 2 3 3 2 2 2 ABC 36
TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 7
NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021 Câu 5. (2,0 điểm)
Cho các số x, y  0 thỏa mãn
 xy   xy  x  y 2 2 1 2 x  y  2xy  
1 . Tính giá trị lớn nhất xy của biểu thức P  . x  y Lời giải Ta có :
 xy   xy  x  yx  y  xy      xy  xy   xy  x  y3 2 2 1 2 2 1 1 1 1  x  y
   xy 3   xy  x  y3 1 1   x  y.
Xét hàm số đặc trưng   3
f t  t  t , ta có f t 2  3t 1  0, t    .
Suy ra hàm số f t đơn điệu tăng với mọi t  .
Do đó phương trình f  1 xy   f x  y  x  y  1 xy .
Theo bất đẳng thức AM-GM cho bộ số  ,
x y dương ta có x  y  2xy  1 xy  2xy 1
 1 xy  4xy  xy  . 3 xy xy 1 1 1 3 Ta có: P   P   P  xy  P  .  P  . x  y 2 xy 2 2 3 6 3 3
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là
đặt được khi x  y  . 6 3
------------------------HẾT------------------------ Trang 8
TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA
Document Outline

• de-thi-hoc-sinh-gioi-tinh-toan-thpt-nam-2020-2021-so-gddt-khanh-hoa
• khanh hoa