Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BÌNH THUẬN MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 TOANMATH.com
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Đề thi gồm 01 trang + 05 bài toán tự luận Bài 1. (6,0 điểm)
a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x   2 11
x  9 trên đoạn 0;4.
b. Cho hàm số đa thức y  f (x) có đồ thị như sau: y 1 1 O 2 x
Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  2 x  2x  2. ab
Bài 2. (5,0 điểm) Xét dãy số u thỏa u  a  , b * u  u  , n
   ; trong đó a,b là hai số thực n  1 n 1  1 un dương.
a. Chứng minh u là dãy số giảm khi a  ; b n  b. Tính limu . n x  xy 1
Bài 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình  có ba 2 3  x  y  m  0 nghiệm phân biệt.
Bài 4. (2,0 điểm) Cho hai số nguyên dương k và n sao cho k  .
n Xét tất cả các tập hợp con gồm k
phần tử của tập hợp 1,2,..., 
n . Trong mỗi tập hợp con ta chọn ra phần tử nhỏ nhất. Chứng minh
tổng tất cả các phần tử được chọn bằng k 1 C  . n 1 
Bài 5. (4,0 điểm) Cho đường tròn O có đường kính AB cố định, M là điểm di động trên O sao cho M khác với các điểm ,
A B và OM không vuông góc với A .
B Các tiếp tuyến của O tại A và
M cắt nhau tại C. Gọi I  là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C.
Đường thẳng OC cắt lại I  tại điểm thứ hai là E.
a. Chứng minh E là trung điểm của OC;
b. Gọi CD là đường kính của I . Chứng minh đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn
đi qua một điểm cố định khi M di động trên O.
____________________ HẾT ____________________ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y   x   2 11
x  9 trên đoạn 0;4.
b) Cho hàm số đa thức y  f  x có đồ thị như sau:
Tìm số điểm cực trị của hàm số y  f  2 x  2x  2. Lời giải
a) Hàm số đã cho liên tục trên đoạn 0;4. x 1 TM 2 2x 11x  9 Ta có y  , y 0     9 . 2 x  9 x  KTM  2
Ta có y 0  33, y  1  1  0 10, y4  3  5 . Vậy min y  3  5,max y  1  0 10 . 0;4 0;4
b) Đặt g  x  f  2
x  2x  2 . Ta có g x  x   f  2 2 1 x  2x  2 .
Gọi x  x , x  x , x  x (với x  x  x ) là các điểm cực trị của hàm số f  x . 1 2 3 1 2 3
Từ đồ thị, ta có x  1
 ;0 , x  0;1 , x  1;2 . 1   2   3   x 1 x 1   2 2 x 1  0 x  2x  2  x x  2x  2  x  0 1  1  1  
Ta có g x  0     . f    2 x  2x  2  2  2  0 x  2x  2  x x  2x  2  x  0 2 2 2     2 2 x  2x  2  x   x  2x  2  x  0 3 3  3  
Xét phương trình (1), ta có  1 2  x  x 1 0 nên phương trình (1) vô nghiệm. 1  1
Xét phương trình (2), ta có   x 1  0 nên phương trình (2) vô nghiệm. 2
Xét phương trình (3), ta có 
  x 1  0 nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1. 3
Như vậy phương trình g x  0 có ba nghiệm đơn nên hàm số g  x có ba điểm cực trị. ab Câu 2. Xét dãy số u thỏa * u  a  , b u  u  , n
   ; trong đó a,b là hai số thực dương. n  1 n 1  1 un a)
Chứng minh u là dãy số giảm khi a  b . n  b) Tính lim u . n Lời giải u   2a 1  a) Khi a  b , ta có 2  a . * u  u  , n     n 1  1 u  n n 1 Ta chứng minh: * u  a, n     
1 bằng phương pháp quy nạp. n n
 Ta có: u  2a    1 đúng với n  1. 1 k 1  Giả sử  
1 đúng với n  k , tức là: u  a;k   1 . k k 2 2 a a k  2 Ta có: u  u   2a   a    1 đúng với n  k 1. k 1  1 u k 1 k 1 k a k n 1 Vậy * u  a, n      1 , ta có * u  0, n   n n n n  2 a 2 u n  2n Ta có n 1  n 1 *    1, n
   . Vậy u là dãy số giảm . n  2 u n 1 n  2n 1 n a n
b) Không mất tính tổng quát, giả sử a  . b * Trường hợp 1: a  b n 1 Khi đó * u  a, n    . n n * Trường hợp 2: a  b Khi đó: 2 2 3 3 ab a  ab  b a  b u  a  b    ; 2 2 2 a  b a  b a  b ab ab 2 2 a  b  4 4 a  b u  a  b   a  b   ; 3 3 3 3 3 u a  b a  b 2 n 1  n 1 a b   Qui nạp ta được * u  , n    . n n n a  b n 1  n 1 a b    khi a  b  n n  Do đó a  b u  , * n   . n n1  a khi a  b  n n  1a  1 
* Khi a  b, ta có lim u  lim  lim 1 a  a . n   n  n  n 1  b   1 n 1  n 1 a b      a * Khi a  b, ta có lim u lim lim     a . n n n a  b 1 n  b    1      a   a    Vậy lim u  . a n x   xy 1
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình  có ba nghiệm phân 2 3  x   ym  0  biệt. Lời giải x xy 1   1
Xét hệ phương trình:  . 2 3  x   y m  0  2  Điều kiện: xy  0.
Vì x  0 không phải là nghiệm của phương trình nên x  0 .
Ta có : (1)  xy 1 x . 1  x  0 x 1         1 . xy  1 x2  y  2 x  x 1
Thay vào phương trình (2) ta có: 2 3x  2  x  m (3). x
Để hệ phương trình có ba nghiệm phân biệt thì phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt thuộc  ;  1\  0 . 1 Xét hàm số f x 2
 3x  2 x , x  ;  1\  0 . x 3 2 1 6x  x 1
Ta có: f x 6x 1 . 2 2 x x f x 1 3 2
 0  6x  x 1 0  x  . 2 Bảng biến thiên:
Số nghiệm của phương trình (3) là số giao điêm của đồ thị hàm số y  f x và đường thẳng y  m .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có ba nghiệm phân biệt thuộc  ;  1\  0 5  khi m  ;3    . 4  5  x   xy 1 Vậy m  ;3    thì hệ phương trình
có ba nghiệm phân biệt.   4  2 3  x   ym  0 
Câu 4. Cho hai số nguyên dương k và n sao cho k  .
n Xét tất cả các tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp 1,2,..., 
n . Trong mỗi tập hợp con ta chọn ra phần tử nhỏ nhất. Chứng minh tổng tất cả
các phần tử được chọn bằng k 1 C  . n 1  Lời giải Theo đề bài ta có:
TH1: Tập có phần tử nhỏ nhất là số 1 có k 1 C  tập. n 1 
TH2: Tập có phần tử nhỏ nhất là số 2 có k 2 C  tập. n2 …
TH k: Tập có phần tử nhỏ nhất là số 2 có k k C  tập. nk
Suy ra tổng các phần tử được chọn là k 1  k 2 C  C  ... k k  C . n 1  n2 nk
Dễ dàng ta chứng minh được k 1  k 2 k k k 1 C  C  ... C  C  (đpcm). n 1  n2 nk n 1  Câu 5.
Cho đường tròn O có đường kính AB cố định, M là điểm di động trên O sao cho M khác với các điểm ,
A B và OM không vuông góc với A .
B Các tiếp tuyến của O tại A và
M cắt nhau tại C. Gọi I  là đường tròn đi qua và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C.
Đường thẳng OC cắt lại I  tại điểm thứ hai là E.
a) Chứng minh E là trung điểm của OC .
b) Gọi CD là đường kính của I . Chứng minh đường thẳng qua D và vuông góc với BC
luôn đi qua một điểm cố định M di động trên O. Lời giải a) Có  MCO   ACO   CME  EC  EM Mà CMO vuông tại M  M là trung điểm OC .
b) Vẽ DF  BC  F  (I )
DE  AB  E ', DD '  AB
F ' là trung điểm của AO  F ' cố định Ta có CD / /E 'O ( C ) A E là trung điểm của CO
 CDOE ' là hình bình hành
Mà CDD ' A là hình chữ nhật  D ' A  CD  E 'O
 F là trung điểm D ' E '
Gọi Bx là tiếp tuyến tại B của (O) . Có: (BC, Bx, BM , B ) A  1.
Mà BC  DF, Bx  DC, BM  DE, BA  DD ' (BM  AM , AM  OC,OC  DE)
 (DC, DF, DE, DD ')  1.
Mà DC / / AB  DF qua trung điểm D ' E '.
 D, E ', F '  DF qua F ' cố định.
____________________ HẾT ____________________