Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Nam
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Quảng Nam được biên soạn theo dạng đề trắc nghiệm, đề gồm 06 trang với 40 câu hỏi và bài toán, thời gian làm bài thi là 90 phút (không kể thời gian giám thị coi thi phát đề), đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.
Chủ đề: Đề thi Toán 12 1.2 K tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC: 2019 - 2020 N Môn thi: TOÁN H
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) Ó M T .
Ngày thi: 10 tháng 06 năm 2020 O Á N V
Họ và tên: ……………………………………………… D
…………. SBD: ……………… – VDC 2 x 3 Câu 1. Hàm số y
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 A. (1; 3). B. ( ; 1). C. ( 3;1). D. (1; ). Câu 2.
Trong không gian Oxyz cho u (2; 1;1), v
( 3;4; 5). Số đo góc giữa hai vectơ u và v bằng A. 0 150 . B. 0 120 . C. 0 60 . D. 0 30 . Câu 3.
Cho khối chóp có chiều cao bằng 2a , đáy là hình thoi cạnh a và có một góc bằng 60 . Thể
tích của khối chóp đã cho bằng 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. 3 a 3 . B. . C. . D. . 3 2 6 Câu 4.
Điểm cực đại của hàm số 3
y x 3x 2 là N A. x 1 .
B. x 4 .
C. x 0 . D. x 1 . H Ó M T Câu 5.
Trong không gian Oxyz , giao tuyến của hai mặt phẳng P : x 2y 3z 0 , 4 1 0 O Q : x z
có một véc tơ chỉ phương là. Á N A. u 5; 2 ; 3 . B. u 5; 2; 3 . C. u 8;1; 2 . D. u 4; 1 ; 2 . 4 3 2 1 V D 3 1 – Câu 6. Nếu tích phân f x dx 6 thì f 2x 1 dx bằng VDC 1 0 A. 3 . B. 12 . C. 6 . D. 4 . Câu 7.
Giá trị lớn nhất của hàm số y 2 x x 1 bằng A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 2 . Câu 8.
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 1, góc giữa đường sinh và trục của hình nón bằng 0 30 .
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 4 3 2 3 A. . B. 3 . C. . D. 2 . 3 3 Câu 9.
Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm M 4; 5 ;
3 qua trục Oz có tọa độ là
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 A. 4; 5 ; 3 . B. 4 ;5;3. C. 4 ;5; 3 . D. 0;0;3 . 2 x 4 N
Câu 10. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là 3 2 H
x x 2x Ó M T A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. O
Câu 11. Bất phương trình log x 1 log
6x 5 có bao nhiêu nghiệm nguyên? 2 4 Á N A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . V D 1 –
Câu 12. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x là 2 VDC 4x 4x 1 1 1 1 1 A. C . B. C . C. C . D. C . 22x 1 2x 1 2x 1 22x 1
Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số 2
y x sin x trong khoảng ;2 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . x x
Câu 14. Tích các nghiệm của phương trình 2 5 2 3
7 4 3 0 bằng A. 2 . B. 2 . C. 5 . D. 5 .
Câu 15. Cho khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và có diện tích thiết diện qua trục của khối trụ
bằng 16 . Thể tích khối trụ đã cho bằng. 64 16 2 A. 64 . B. . C. 16 2 . D. . 3 3 N H 2 x 2 x Ó
Câu 16. Biết x 1 .e dx
a x b.e
C , với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a b bằng. M T 5 O A. . B. 4 . C. 1 . D. 2 . Á 2 N V x
Câu 17. Biết phương trình 2 log x log
0 có hai nghiệm x , x với x x . Hiệu x x bằng D 9 3 27 1 2 1 2 2 1 – VDC 80 80 6560 6560 A. . B. . C. . D. . 3 27 27 729
Câu 18. Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 4x 8.6x 12.9x 0 là khoảng ;
a b . Giá trị của
b a bằng A. log 4 . B. log 4 . C. log 3 . D. log 3 . 2 2 2 2 3 3 3 3
Câu 19. Cho hình lập phương ABC . D A B C D
cạnh a . Thể tích khối cầu có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng A C bằng 3 2 a 3 8 6 a 3 3 a A. . B. . C. . D. 3 6 a . 3 27 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 4 Câu 20. Biết 2
x dx a b c với a, ,
b c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c bằng 3 N 41 25 13 5 H A. . B. . C. . D. . Ó 2 2 2 2 M T a O
Câu 21. Biết nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 21 3.cosxsinx cos2x là x , với a,b 0 Á b N
là các số nguyên dương và a 10 . Giá trị của a+b bằng V A. 23 B. 7 C. 11 D. 17 D – 2x 1 VDC
Câu 22. Tiếp tuyến đi qua điểm A 1
;0 của đồ thị hàm số y
C có phương trình là x 1 1 1 A. y x .
B. y x 1.
C. y 3x 3.
D. y x 1. 3 3
Câu 23. Cho phương trình 9x 2 1 .3x m
m 7 0 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. Vô số.
Câu 24. Cắt tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 ( độ dày không đáng kể) theo đường gấp khúc
SAQCPBS như hình 1, sau đó gấp phần đa giác còn lại theo các đoạn AB , BC , CA sao cho các điểm S, ,
P Q trùng nhau để được hình chóp đều có đáy là tam giác ABC như hình 2. N H Ó M T O Á N V D – VDC
Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp SABC bằng 1 4 15 15 4 A. . B. . C. . D. 9 125 125 9
Câu 25. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Một hình
trụ T có hai đáy nội tiếp tam giác ABC,A' B 'C ' . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Đường
thẳng A' M cắt mặt xung quanh của hình trụ T tại N ( N khác M ). Tính độ dài đoạn thẳng MN . a 15 a 15 a 39 a 39 A. MN . B. MN . C. MN . D. MN . 3 6 3 6
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 3
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 1 2m 1 Câu 26. Gọi C
là đồ thị của hàm số 3 2 2 y x x m
m x với m là tham số. Có m 3 2 N H
bao nhiêu điểm M sao cho tồn tại hai giá trị khác nhau m ,m mà M là điểm cực đại của đồ 1 2 Ó M T thị C
và là điểm cực tiểu của đồ thị C ? m m 1 2 O Á N A. 2 . B. 0 . C. 1. D. Vô số. V D ln x
Câu 27. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
, trục hoành và đường thẳng – x VDC
x 2 . Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hoành
bằng a b ln với a,b là các số hữu tỉ. Tính a 3b . 1 5
A. a 3b 2 .
B. a 3b .
C. a 3b 1 .
D. a 3b . 2 2
Câu 28. Cho lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 2a , BC 4a ,
AA 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Diện tích thiết diện của lăng trụ AB . C A B C
khi cắt bới mặt phẳng MB C bằng A. 2 2 10a . B. 2 3 10a . C. 2 4 10a . D. 2 6 10a .
Câu 29. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a và 0 BAC 120 . Hình
chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh BC với HC 2HB
. Góc giữa SB và mặt phẳng ABC bằng 0
60 . Mặt phẳng đi qua H và vuông góc với SA cắt các cạnh S ,
A SC lần lượt tại A ,
C . Tính thế tích V của khối chóp . B ACC A 3 3 3 3 7 3a 3 3a 3 3a 5 3a N A. V . B. V . C. V . D. V . H 192 64 100 108 Ó 2 2 M T
Câu 30. Cho phương trình log x
2m 3 x m m 6 log x 0 2 1
với m là tham số. Có 2 1
bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm? O Á A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . N V
Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu S , S có điểm chung A1;2; 1, cùng tiếp xúc 2 1 D x 1 y 1 z 1 –
với mặt phẳng Oxy và đều có tâm thuộc đường thẳng d : . Khoảng cách 1 1 2 VDC
giữa hai tâm của hai mặt cầu S , S bằng 2 1 A. 6 . B. 46 . C. 4 . D. 2 6 .
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC a . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H đối xứng với B qua AC . Góc giữa
hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 45 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 2 2 a 2 5 a A. 2 2 a . B. V . C. 2 5 a . D. . 3 4
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 4
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
Câu 33. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn 1;4, f
1 1, f 4 8và 4 x
x f x f x x f x 2 3 2 . . ' 2 , x 1;4. Tích phân dx bằng N f x 1 H Ó 1 3 2 M T A. . B. . C. . D. 2. 2 2 3 O Á
Câu 34. Đồ thị C của hàm số 3 2
y ax bx cx 3a và đồ thị C ' của hàm số 2
y 3ax 2bx c N V
,a ,bc ,a 0có đúng hai điểm chung khác nhau ,
A B và điểm A có hoành độ bằng 1. D –
Các tiếp tuyến của C và C ' tại điểm A trùng nhau; diện tích hình phẳng giới hạn bởi C VDC
và C ' bằng 1. Giá trị của a b c bằng A. 12. B. 17. C. 60. D. 45.
Câu 35. Chọn ngẫu nhiên đồng thời sáu số tự nhiên khác nhau thuộc đoạn [1;25]. Gọi A là biến cố
“Chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3”. Xác suất
của biến cố A bằng 633 453 211 1803 A. . B. . C. . D. . 6325 6325 6325 6325
Câu 36. Cho bất phương trình 2
x (m 2019)x 2020m (x m 1) log
x 2020 với m là tham số. 2019
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tập nghiệm của bất phương trình đã cho chứa trong
khoảng (1000;2020) ? A. 1018. B. 1019. C. 1020. D. 1021. N
Câu 37. Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B'C ' D' có AB , a AD a 3, AA'
3a . Gọi M là điểm H
thuộc cạnh CC ' sao cho mp(MB )
D vuông góc với mp( A' B )
D . Thể tích khối tứ diện Ó M T A' BDM bằng O 3 13 3a 3 10a 3 100a 3 13 3a Á A. . B. . C. . D. . N 8 9 3 24 V D
Câu 38. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên
và có bảng biến thiên sau : – VDC 1 1
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình m f (x) f (x) 2
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử? A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 2.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 5 NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm ,
A B theo thứ tự thay đổi trên các tia O , x Oy sao cho O .
AOB 9 . Điểm S thuộc mặt phẳng Ozx sao cho hai mặt phẳng SAB và SOB cùng N
tạo với mặt phẳng Oxy một góc 30o . Gọi ;
a 0;c là tọa độ điểm S . Tính giá trị của biểu H Ó thức 4 4
P a c trong trường hợp thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất. M T 10 40 40 45 O A. P . B. P . C. P . D. P . 3 81 9 8 Á N 2 2 V
Câu 40. Cho ba số thực dương ,
x y, z thỏa mãn x z y z 2 2
3z 4 . Giá trị lớn nhất của biểu D 3 3 3 –
x y z 4y x 2z z xy thức P bằng VDC xy 112 110 128 55 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27
-------------- HẾT --------------- N H Ó M T O Á N V D – VDC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 6
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 BẢNG ĐÁP ÁN 1A 2A 3B 4D 5C 6A 7A 8D 9B
10C 11B 12D 13A 14C 15C N H
16D 17D 18C 19B 20C 21A 22A 23A 24B 25C 26C 27C 28B 29A 30D Ó M T
31A 32D 33D 34C 35D 36D 37D 38C 39A 40A O Á N V
LỜI GIẢI CHI TIẾT D – 2 x 3 VDC Câu 1. Hàm số y
nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 A. (1; 3). B. ( ; 1). C. ( 3;1). D. (1; ). Lời giải Chọn A 2 x 2x 3 y ' x 1, y ' 0 x 1; x 3 . 2 (x 1)
y ' 0 x ( 1
;3) \ {1}.Hàm số nghịch biến trên ( 1 ;1) và (1;3) . Câu 2.
Trong không gian Oxyz cho u (2; 1;1), v
( 3;4; 5). Số đo góc giữa hai vectơ u và v bằng A. 0 150 . B. 0 120 . C. 0 60 . D. 0 30 . Lời giải Chọn A N H Ó u.v 1 5 3 0 M T cos( , u v) ( , u v) 150 . u . v 6.5 2 2 O Á Câu 3.
Cho khối chóp có chiều cao bằng 2a , đáy là hình thoi cạnh a và có một góc bằng 60 . Thể N V
tích của khối chóp đã cho bằng D 3 3 3 – a 3 a 3 a 3 A. 3 a 3 . B. . C. . D. . VDC 3 2 6 Lời giải Chọn B 2 a 3 Diện tích hình thoi là 2
S a .sin 60 . 2 2 3 1 1 a 3 a 3
Thể tích của khối chóp là V Sh . .2a . 3 3 2 3 Câu 4.
Điểm cực đại của hàm số 3
y x 3x 2 là A. x 1 .
B. x 4 .
C. x 0 . D. x 1 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 7
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Lời giải Chọn D N TXĐ H D . Ó M T x 1 Ta có 2 y 3
x 3; y 0 . x 1 O Á N Bảng biến thiên V D – VDC
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực đại tại x 1 . Câu 5.
Trong không gian Oxyz , giao tuyến của hai mặt phẳng P : x 2y 3z 0 , Q : x
4z 1 0 có một véc tơ chỉ phương là. A. u 5; 2 ; 3 . B. u 5; 2; 3 . C. u 8;1; 2 . D. u 4; 1 ; 2 . 4 3 2 1 Lời giải Chọn C
Mặt P có một véc tơ pháp tuyến là n ; 1 ; 2 3 1 ; 1 0 4 N
Mặt Q có một véc tơ pháp tuyến là n ; ; 2 ; H Ó Gọi
là giao tuyến của hai mặt phẳng P và Q , và u là 1 véc tơ chỉ phương của ; khi M T n u n đó ta có 1 1 đường thẳng
có 1 véc tơ chỉ phương là O n u n Á 2 2 N 8 1 2 V u n , n ; ; u 1 2
3 . Suy ra u3 cũng là 1 véc tơ chỉ phương của . D 3 1 – Câu 6. Nếu tích phân f x dx 6 thì f 2x 1 dx bằng VDC 1 0 A. 3 . B. 12 . C. 6 . D. 4 . Lời giải Chọn A Đặ 1 t 2x 1 u dx
du ; đổi cận x 0 u 1 ; x 1 u 3. 2 1 3 3 3 Khi đó 1 1 1 1 f 2x 1 dx f u du f u du f x dx .6 3 . 2 2 2 2 0 1 1 1 Câu 7.
Giá trị lớn nhất của hàm số y 2 x x 1 bằng A. 3 . B. 3 . C. 0 . D. 2 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 8
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Lời giải Chọn A N H 2 x 0 x 2 Ó Hàm số có nghĩa x 1;2 x 1 0 x 1 M T O 1 1 1 1 Á
Ta có y 2 x x 1 0, x 1 ;2 . N 2 2 x 2 x 1
2 2 x 2 x 1 V D
Suy ra hàm số nghịch biến trên đoạn 1
;2 nên Max y y 1 3 . – VDC Câu 8.
Cho hình nón có bán kính đáy bằng 1, góc giữa đường sinh và trục của hình nón bằng 0 30 .
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng 4 3 2 3 A. . B. 3 . C. . D. 2 . 3 3 Lời giải Chọn D N H Ó M T O Á OB OB N
Xét tam giác SOB ta có 0 0 OB 1, O
SB 30 sin 30 SB 2 . V 0 SB sin 30 D – Vậy ta có S
Rl .1.2 2 . xq VDC Câu 9.
Trong không gian Oxyz , điểm đối xứng với điểm M 4; 5 ;
3 qua trục Oz có tọa độ là A. 4; 5 ; 3 . B. 4 ;5;3. C. 4 ;5; 3 . D. 0;0;3 . Lời giải Chọn B
Hình chiếu của điểm M lên trục Oz là H 0;0;3 .
Gọi M là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oz . Ta có H là trung điểm của MM nên suy ra H 4 ;5;3.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 9
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 2 x 4
Câu 10. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y là 3 2
x x 2x N A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. H Ó M T Lời giải O Chọn C Á x 2 N V 2 x 2 D x 4 0 x 2 Hàm số xác định khi x 0 . – 2 x x x 2 0 x 2 VDC x 1 x 2
TXĐ: D ; 2 2; . 4 1 4 x 1 1 2 2 2 2 x 4 x x x 0 *) Ta có lim y lim lim lim 0 . 3 2 3 2 x
x x x 2 x x
x x 2 x x 1 2 1 1 2 x x
suy ra y 0là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
*) Không tồn tại lim y, lim y, lim y, lim y x 0 x 0 x 1 x 1 Khi x 2
thì hàm số không xác định nên ta chỉ tìm lim y x 2 2 2 4 4 x x Ta có lim y lim lim x x x 2 2 2
x x 2 x 2
x x 1 x 2 N H Ó 2 x x 2 2 x M T lim lim x x 2 xx 1 x 2 O x x 1 x 2 2 2 Á N suy ra x 2
là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. V
Do đó tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 2 . D –
Câu 11. Bất phương trình log x 1 log
6x 5 có bao nhiêu nghiệm nguyên? 2 4 VDC A. 6 . B. 7 . C. 8 . D. 9 . Lời giải Chọn B x 1 0 Điều kiện x 1. 6x 5 0 2 Bất phương trình log x 1 log 6x 5 log x 1 log 6x 5 2 4 2 2 x 2 1 6x 5 2
x 8x 4 0 4 2 5 x 4 2 5 .
Kết hợp điều kiện 1 x 4 2 5 .
Vì x Z x 2;3;4;5;6;7; 8 .
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 10
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 1
Câu 12. Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x là 2 4x 4x 1 N 1 1 1 1 H A. C . B. C . C. C . D. C . Ó 22x 1 2x 1 2x 1 22x 1 M T Lời giải O Á Chọn D N V 1 1 Ta có f
xdx dx C . D 2x 21 22x 1 – VDC
Câu 13. Số điểm cực trị của hàm số 2
y x sin x trong khoảng ;2 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn A
y 1 sin 2x . y 0, x
;2 suy ra hàm số đồng biến trên ;2 .
Vậy hàm số không có cực trị trong khoảng ;2 . x x
Câu 14. Tích các nghiệm của phương trình 2 5 2 3
7 4 3 0 bằng A. 2 . B. 2 . C. 5 . D. 5 . N H Ó Lời giải M T Chọn C O x x Á 2 5 2 3 7 4 3 0 N V 2 x 5x 2 D 2 3 2 3 – VDC 2
x 5x 2 0.
Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai 2
x 5x 2 0 bằng 5.
Câu 15. Cho khối trụ có chiều cao bằng bán kính đáy và có diện tích thiết diện qua trục của khối trụ
bằng 16 . Thể tích khối trụ đã cho bằng. 64 16 2 A. 64 . B. . C. 16 2 . D. . 3 3 Lời giải Chọn C Ta có: Từ đây ta suy ra.
Ta có: chiều cao h R
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 11
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
Diện tích thiết diện qua trục S . h 2R 16 . h R 8 2
R 8 R 2 2 và h 2 2 N
Thể tích khối trụ: V R h 2 2 . . . 2 2 .2 2 16 2 H Ó Câu 16. Biết 2 x 2 x , với bằng. M T
x 1.e dx ax b.e C
a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a b O 5 Á A. . B. 4 . C. 1 . D. 2 . N 2 V D Lời giải – Chọn D VDC du dx u x 1 Đặt 1 2 x 2 x dv e dx v e 2
I x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 3 2 1 .e dx x 2 2 1 .e e dx x 2 2 2 1 .e
.e C e x C 2 2 2 4 2 2 1 3 Vậy a ;b 2 2 x
Câu 17. Biết phương trình 2 log x log
0 có hai nghiệm x , x với x x . Hiệu x x bằng 9 3 27 1 2 1 2 2 1 80 80 6560 6560 A. . B. . C. . D. . 3 27 27 729 Lời giải Chọn D N H
Điều kiện x 0 . Ó M T 2 x 1 2 log x log 0 log x
log x log 27 0 . O 9 3 3 3 3 27 2 Á N V 1 6 log x 6 x 3 1 D
log x 4log x 12 0 729 x , x 9 . 3 2 3 3 1 2 – log x 2 729 3 2 VDC x 3 9 1 6560
Do đó x x 9 . 2 1 729 729
Câu 18. Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình 4x 8.6x 12.9x 0 là khoảng ;
a b . Giá trị của
b a bằng A. log 4 . B. log 4 . C. log 3 . D. log 3 . 2 2 2 2 3 3 3 3 Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 12
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 2 x x x x x 2 2
Vì 9x 0 nên 4 8.6 12.9 0 8. 12 0 3 3 N x H 2 Ó 2 6 log 6 x log 2 2 2 3 M T 3 3 O 1
Suy ra a log 6, b log 2 b a log 2 log 6 log log 3 . Á 2 2 2 2 2 2 3 N 3 3 3 3 3 3 V D
Câu 19. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D cạnh a . Thể tích khối cầu có tâm A và tiếp xúc với – đường thẳng A C bằng VDC 3 2 a 3 8 6 a 3 3 a A. . B. . C. . D. 3 6 a . 3 27 2 Lời giải Chọn B N H
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng A C . Ó M T
Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC a 2 O Vì ABC .
D A B C D là hình lập phương nên AA
ABCD AA A C tam giác ACA Á N vuông tại A . V 1 1 1 3 a 6 D Do đó ta có AH 2 2 2 2 AH AA . AC 2a 3 – VDC a 6
Vì khối cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng A C
nên có bán kính R AH . 3 3 4 8 6 a
Vậy thể tích khối cầu là 3 V R . 3 27 4 Câu 20. Biết 2
x dx a b c với a, ,
b c là các số hữu tỉ. Giá trị của a b c bằng 3 41 25 13 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 13
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 4 4 4 Ta có x dx x dx x dx
xdx x dx 3 3 3 N 4 H 2 2 x x 25 2 Ó
x x 7 . M T 2 2 2 3 O Á N a 1 V 13 Từ đó suy ra b 7
a b c . D 2 – 25 c VDC 2 a
Câu 21. Biết nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 21 3.cosxsinx cos2x là x , với a,b 0 b
là các số nguyên dương và a 10 . Giá trị của a+b bằng A. 23 B. 7 C. 11 D. 17 Lời giải Chọn A Ta có:
21 3.cosxsinx cos2x 2sinx 3sin2x cos2x 3 1 sinx s in2x
cos2x s inx sin 2x 2 2 6 x k2 1 6 , k, l N 5 l2 H x 2 Ó 18 3 M T 1 1
Nếu x có dạng (1) thì: x k 2
2k 0 k k 0 0 O 6 6 12 Á 11 N Vì a<10 nên suy ra 1
12k 10 k k . V 12 D 11 1 – Vậy k
k nên không có giá trị k thỏa mãn. VDC 12 12 5
Nếu x có dạng (2) thì nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình ứng với k=0.Hay x 0 0 18
Từ đây ta suy ra a=5;b=18. Vậy a+b=23. 2x 1
Câu 22. Tiếp tuyến đi qua điểm A 1
;0 của đồ thị hàm số y
C có phương trình là x 1 1 1 A. y x .
B. y x 1.
C. y 3x 3.
D. y x 1. 3 3 Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 14
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
Đường thẳng đi qua A 1
;0 với hệ số góc k có phương trình y k x 1 x
k k tiếp xúc 2x 1 với (C) x k k x
k k x
1 2x 1 có nghiệm kép x 1 . N x 1 H Ó 2
kx 2xk
1 k 1 0 có nghiệm kép x 1 M T O k 0 k 0 Á 2 1 ' N
k
1 k k
1 1 3k 0 1 k V k 3 k 2 1
k 1 k 1 0 3 D – VDC Vậy tiếp tuyến đó là 1 1 y x . 3 3
Câu 23. Cho phương trình 9x 2 1 .3x m
m 7 0 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để phương trình đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D.Vô số. Lời giải Chọn A Đặt 3x t
t 0 ta được phương trình 2t 2m
1 t m 7 0 1
Theo yêu cầu đề bài suy ra phương trình
1 phải có 2 nghiệm phân biệt cùng dương 2 0
m m 6 0 m ; 3 2;
S 0 2 m 1 0 m 1 7 m 3 N H P 0 m 7 0 m 7 Ó M T
Suy ra có 3 giá trị nguyên của tham số m là 6 ; 5 ; 4 . O Á
Câu 24. Cắt tấm bìa hình tròn có bán kính bằng 1 ( độ dày không đáng kể) theo đường gấp khúc N
SAQCPBS như hình 1, sau đó gấp phần đa giác còn lại theo các đoạn AB , BC , CA sao cho V D các điểm S, ,
P Q trùng nhau để được hình chóp đều có đáy là tam giác ABC như hình 2. – VDC
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 15
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
Giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp SABC bằng 1 4 15 15 4 A. . B. . C. . D. N 9 125 125 9 H Ó
Lời giải M T Chọn B O Á N V D – VDC N Đặt AB ;
x SA y x 0; y 0 H Ó M T
Ta có tâm O của hình tròn cũng là tâm của tam giác đều ABC và SO AB . 2 O 2 2 2 x 2 3 x x x Á Khi đó: 2 SH y ;OH x N 4 3 2 4 12 2 3 V D 2 2 2 – x x x x x 2 2
Mà SO 1 SH OH 1 y 1 y 1 VDC 4 2 3 4 12 3 2 x x 2 y 1 3 3 2 3 x 3 x
Mặt khác, ta có thể tích khối chóp đều SABC là 2 2 2 V x y x 1 12 3 12 3 x 2 4 3x 5x Xét hàm số 2 y x 1
ĐK: 0 x 3 . Có y 3 2 3 x BBT:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 16
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 4 3 x 0 5 3 N H y 0 Ó M T O y 48 5 Á N 125 V D 3 48 5 4 15 –
Vậy giá trị lớn nhất của thể tích bằng . VDC 12 125 125
Câu 25. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A' B 'C ' có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng 3a . Một hình
trụ T có hai đáy nội tiếp tam giác ABC,A' B 'C ' . Gọi M là trung điểm cạnh BC . Đường
thẳng A' M cắt mặt xung quanh của hình trụ T tại N ( N khác M ). Tính độ dài đoạn thẳng MN . a 15 a 15 a 39 a 39 A. MN . B. MN . C. MN . D. MN . 3 6 3 6 Lời giải Chọn C N H Ó M T O Á N V D – VDC 2 2 2 2 2 3a a 39 Ta có 2 2 2 MD MA MN MA' MA AA' 9a . 3 3 3 3 4 3 1 2m 1 Câu 26. Gọi C
là đồ thị của hàm số 3 2 2 y x x m
m x với m là tham số. Có m 3 2
bao nhiêu điểm M sao cho tồn tại hai giá trị khác nhau m ,m mà M là điểm cực đại của đồ 1 2 thị C
và là điểm cực tiểu của đồ thị C ? m m 1 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 17
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 A. 2 . B. 0 . C. 1. D. Vô số. Lời giải N Chọn C H Ó M T 2 2m 1 m 1 x m 1 y O Ta có 2 2 y ' x 2m 1 x m m 0 6 . Á x m 1 1 N 3 2 y m m V 3 2 D – Giả sử M x ;y thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có hệ 0 0 VDC x m m 1 2 0 1 2 2m 1 m 1 1 3 1 2 2 2 2 m 1 m 1 2m 1 m 1 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 6 y m m 0 1 1 3 2 6 2 m 1 0 2 m 1 m 0 M 0;0 . 2m 1 2 1 1 1 2 m 1 2 3 2 6
Như vậy, có duy nhất điểm M
0;0 là điểm cực đại của đồ thị với m 0 và là điểm cực
tiểu của đồ thị với m 1. ln x
Câu 27. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
, trục hoành và đường thẳng x N H
x 2 . Biết thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hoành Ó M T
bằng a b ln với a,b là các số hữu tỉ. Tính a 3b . 1 5 O
A. a 3b 2 .
B. a 3b .
C. a 3b 1 .
D. a 3b . Á 2 2 N V Lời giải D Chọn C – x 0 x 0 VDC
Xét phương trình ln x 0 ln x 0 x 1 x 1. x ln x 0 x 1
Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H xung quanh trục hoành là 2 2 2 2 2 2 ln x ln x 1 1 1 V .dx .dx ln . x d ln x .d ln x 2 x x x x x 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 . dx ln 2 .dx ln 2 2 2 x x 2 x 2 x 1 1 1 1 1 1 1 ln 2 1 ln 2 . 2 2 2 2 1 1 Vậy a ;b
. Suy ra a 3b 1 . 2 2
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 18
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
Câu 28. Cho lăng trụ đứng AB . C A B C
có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB 2a , BC 4a ,
AA 3a . Gọi M là trung điểm của cạnh AB . Diện tích thiết diện của lăng trụ AB . C A B C
khi cắt bới mặt phẳng MB C bằng N H A. 2 2 10a . B. 2 3 10a . C. 2 4 10a . D. 2 6 10a . Ó M T Lời giải Chọn B O Á N V D – VDC Ta có AB . C A B C
là lăng trụ đứng nên BC / /B C
mà M MB C ABC MB C
ABC MN / /BC nên N là trung điểm của AC . N Do đó MB C
ABC MN ; MB C ACC A NC; H Ó MB C A B C B C ; MB C ABB A B M M T
Suy ra thiết diện của lăng trụ AB . C A B C
khi cắt bới mặt phẳng MB C là hình thang O Á B C N M . N
Tam giác ABC vuông tại B nên BC AB và AB . C A B C
là lăng trụ đứng nên AA BC suy V D
ra BC AA B B
mà MN / /BC MN AA B B
MN B M . – MN B C VDC Suy ra S .B M . B C NM 2 BC Mặt khác ta có B C BC 4 ; a MN
2a ; MB BB BM a2 2 2 2 3
a a 10 . 2 MN B C 2a 4a Vậy 2 S .B M .a 10 3 10a . B C NM 2 2
Câu 29. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân với AB AC a và 0 BAC 120 . Hình
chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh BC với HC 2HB
. Góc giữa SB và mặt phẳng ABC bằng 0
60 . Mặt phẳng đi qua H và vuông góc với SA cắt các cạnh S ,
A SC lần lượt tại A ,
C . Tính thế tích V của khối chóp . B ACC A 3 3 3 3 7 3a 3 3a 3 3a 5 3a A. V . B. V . C. V . D. V . 192 64 100 108 Lời giải
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 19
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Chọn A N H Ó M T O Á N V D – VDC
Do SH ABC nên góc giữa SB và mặt phẳng ABC bằng 0 SBH 60 Ta có 2 2 2 2 2
BC AB AC 2A . B A .
C cos120 3a BC a 3 khi đó a 3 2a 3 HB , HC . 3 3 a 3
Trong ta giác vuông SHB ta có 0 SH H . B tan 60 . 3 a 3 2 2a 3 a 21
Trong ta giác vuông SHC ta có 2 2 2 SC SH BC a 3 2 2 a a 3 2 2 2 0 N
Trong tam giác AHC ta có AH AC HC 2AC.HC.cos 30 AH 3 3 H Ó 2 M T a 3 2a 3
Trong ta giác vuông SHA ta có 2 2 2 SA AH SH a 3 3 O Á Khi đó 2 2 2
SA AC SC khi đó tam giác SAC vuông tại N A hay SA AC V SA SC D Do SA
HA C SA A C . Vậy A C
song song với AC , suy ra SA SC – 2 VDC Khi đó SA SH SA SH S A H
đồng dạng với S HA . 2 SH SA SA SA 4 V SA SC SH 9 Ta có V S .A C B V V . Mà . . B.ACC A S.ABC S.A C B V SA SC SA 16 S .ACB 3 Khi đó 9 7 1 7 3a 0 V V V . SH.A . B AC.sin120 . B.ACC A S .ABC S . 16 ABC 16 6 192
Câu 30. Cho phương trình 2 log
x 2m3 2
x m m 6 log x 0 2 1
với m là tham số. Có 2 1
bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có đúng một nghiệm? A. 7 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Lời giải Chọn D
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 20
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 x 0 Ta có 2 log
x 2m 3 2
x m m 6 log x 0 2 1 2 1 2 x 2m3 2
x m m 6 x N x 0 H 2 2 Ó x 2 m
1 x m m 6 0 1 M T
Bài toán trở thành: Có bao nhiêu giá trị m nguyên đề phương trình (1) có đúng một nghiệm O dương Á N
TH1: Phương trình (1) có một nghiệm kép dương V 2 Ta có m 2
1 m m 6 7 m 0 m 7 . Nghệm kép: x 6 D –
TH1: Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hay 2
m m 6 0 2
m 3. Vì m nguyên VDC nên m 1 ;0;1; 2
TH3:: Phương trình (1) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương m 3
Vì x 0 là nghiệm của (1) nên 2
m m 6 0 m 2 x 0
* Với m 3 phương trình (1) trở thành 2
x 4x 0 . Vậy m 3 (t/m) x 4 x 0 * Với m 2
phương trình (1) trở thành 2
x 6x 0 . Vậy m 2 (Loại) x 6
Vậy có 6 giá trị m nguyên.
Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu S , S có điểm chung A1;2; 1 , cùng tiếp xúc 2 1 x 1 y 1 z 1
với mặt phẳng Oxy và đều có tâm thuộc đường thẳng d : . Khoảng cách 1 1 2 N
giữa hai tâm của hai mặt cầu S , S bằng 2 1 H Ó A. 6 . B. 46 . C. 4 . D. 2 6 . M T Lời giải O Á Chọn A N Gọi
AI d I , Oxy . V
I là điểm thuộc đường d thẳng thỏa mãn D x 1 t – VDC
Phương trình tham số d : y 1 t . z 1 2t
Tọa độ điểm I 1 t;1 t; 1
2td . Khi đó 2 2 2
AI d I,Oxy t
t 1 2t 1 2t .
t 0 I 1;1; 1 2 2 2
6t 2t 1 4t 4t 1 2t 2t 0 . t 1 I 2;0; 3
Do đó tọa độ tâm hai mặt cầu S , S là I 1;1; 1 , I 2;0; 3 hoặc ngược lại. 2 1 2 1
Vậy Khoảng cách giữa hai tâm của hai mặt cầu S , S là 2 2 2 1 1 2 6 . 2 1
Câu 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC a . Hình chiếu
vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H đối xứng với B qua AC . Góc giữa
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 21
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
hai mặt phẳng SAC và ABC bằng 45 . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng N 2 2 a 2 5 a H A. 2 2 a . B. V . C. 2 5 a . D. . Ó 3 4 M T Lời giải O Á Chọn D N V D – VDC
Do điểm H đối xứng với B qua AC nên tứ giác ABCH là hình vuông.
Gọi O là giao điểm của AC và HB .
Ta có HO AC và SH AC nên AC SHO SO AC . Do đó góc giữa hai mặt phẳng
SAC và ABC bằng SOH 45 . N H 1 1 a
Trong tam giác SHO có SH H . O tan SOH AC.tan SOH . a tan 45 . Ó 2 2 2 M T Ta có: SH ABCH nên SH BC mà HC BC nên BC (SHC) BC SC . O Á N
Tương tự ta cũng chứng minh được AB SA . V D Do đó SHB SAB SCB 90 . – VDC
Suy ra các điểm S, , A ,
B C, H cùng thuộc mặt cầu đường kính SB .
Do đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCH là 1 1 2 1 a a 5 R SB 2 2 SH HB 2 a . 2 2 2 4 4 2 2 5a 5 a
Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng 2
S 4 R 4 . . 16 4
Câu 33. Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn 1;4, f
1 1, f 4 8và 4 x
x f x f x x f x 2 3 2 . . ' 2 , x 1;4. Tích phân dx bằng f x 1
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 22
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 1 3 2 A. . B. . C. . D. 2. 2 2 3 N Lời giải H Ó Chọn D M T 2 2
Ta có: x f x f x f x 3 2
x x f x f x xf x 4 2 . . ' 2 2 . . ' 2 x O Á N
2x . f x. f ' x 2xf x2 2 2
f x V 1 ' 1 4 2 D x x – VDC 2 f x 2 f x
Tích phân hai vế ta được ' 1
x C f x x x C . 2 2 x x 4 4 x
Thay x 4 C 0 . Vậy f x x x 2 x 2 1 x x 1
Câu 34. Đồ thị C của hàm số 3 2
y ax bx cx 3a và đồ thị C ' của hàm số 2
y 3ax 2bx c
,a ,bc ,a 0có đúng hai điểm chung khác nhau ,
A B và điểm A có hoành độ bằng 1.
Các tiếp tuyến của C và C ' tại điểm A trùng nhau; diện tích hình phẳng giới hạn bởi C
và C ' bằng 1. Giá trị của a b c bằng A.12. B.17. C. 60. D. 45. Lời giải Chọn C N H 3 2 2 Ó
Gọi f x ax bx cx 3 ;
a g x 3ax 2bx c M T
Ta có: f x g x có 1 nghiệm bằng 1 và f ' x g ' x có nghiệm bằng 1 O Á N c 3a V Do đó:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi C và C ' là b a D 1 – 2 VDC a x
x 1 dx 1 a 12 abc 60. 0
Câu 35. Chọn ngẫu nhiên đồng thời sáu số tự nhiên khác nhau thuộc đoạn [1;25]. Gọi A là biến cố
“Chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3”. Xác suất
của biến cố A bằng 633 453 211 1803 A. . B. . C. . D. . 6325 6325 6325 6325 Lời giải Chọn D
Nhận xét: Số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc dư 1. Thật vậy: Xét số chính phương 2
n (n N ) , ta có 3 trường hợp:
Trường hợp 1: n = 3k (k ∈ N):
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 23
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Khi đó: 2 2 n 9k 3
Trường hợp 2: n = 3k + 1 (k ∈ N): N Khi đó: 2 2 2
n (3k 1) 9k 6k 1chia 3 dư 1. H Ó
Trường hợp 3: n = 3k + 2 (k ∈ N) M T Khi đó: 2 2 2 2
n (3k 2) 9k 12k 4 (9k 12k 3) 1 chia 3 dư 1. O
Vậy, số chính phương chia 3 luôn dư 0 hoặc 1. Á N
Chia 25 số tự nhiên trong đoạn [1;25] thành 2 nhóm V
Nhóm 1: Gồm các số tự nhiên chia hết cho 3. Có 8 số tự nhiên thuộc nhóm 1. D
Nhóm 2: Gồm các số tự nhiên không chia hết cho 3. Có 17 số tự nhiên thuộc nhóm 2. – Để VDC
chọn được sáu số tự nhiên sao cho tổng bình phương của sáu số đó chia hết cho 3 thì chỉ có
thể thực hiện 1 trong 3 cách chọn:
Cách 1: Cả 6 số tự nhiên được chọn đều nằm trong nhóm 1
Cách 2: Cả 6 số tự nhiên được chọn đều nằm trong nhóm 2
Cách 3: Chọn 3 số tự nhiên trong nhóm 1 và 3 số tự nhiên trong nhóm 2.
Số phần tử không gian mẫu: n 6 C 177100 25
Xác suất của biến cố A: 6 6 3 3
C C C .C 1803 8 17 8 17 P A 177100 6325
Câu 36. Cho bất phương trình 2
x (m 2019)x 2020m (x m 1) log
x 2020 với m là tham số. 2019
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để tập nghiệm của bất phương trình đã cho chứa trong
khoảng (1000;2020) ? A. 1018. B. 1019. C. 1020. D. 1021. N H Lời giải Ó M T Chọn D O Theo bài ra: Á N 2 V
x (m 2019)x 2020m (x m 1) log x 2020 2019 D 2
x 2019x mx 2020m . x log x . m log x log x 2020 2019 2019 2019 – 2 VDC
m(x 2020 log
x) 2020 x 2019x . x log x log x 2019 2019 2019
m(x 2020 log
x) (x 2020 log
x) x(2020 x log x) 2019 2019 2019
m(x 2020 log
x) (x 2020 log x)(1 x) 2019 2019
Trường hợp 1: x 2020 log 0 2019x
Xét hàm số f (x) x 2020 log x : 2019 1 f '(x) 1 0 x (1000;2020) . x ln 2019
Do đó, f’(x) là hàm nghịch biến trên (1000;2020).
Mà f(2019) = 0 nên phương trình f(x) = 0 nhận nghiệm duy nhất x = 2019.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 24
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020
Khi đó, bất phương trình trở thành:
0.m < 0.(1 – 2019) (Vô lý) N Như vậ H
y, x = 2019 không là nghiệm của bất phương trình đã cho. Ó M T
Trường hợp 2: x 2020 log x 0 2019 O
Vì hàm f(x) nghịch biến nên x < 2019. Á N V
Khi đó m 1 x x m 1 D
Mà tập nghiệm của bất phương trình chứa trong khoảng (1000;2019) nên – VDC
1000 m 1 2019 1001 m 2020
Trường hợp 2 có 1019 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.
Trường hợp 3: x 2020 log x 0 2019
Vì hàm f(x) nghịch biến nên x > 2019.
Khi đó m 1 x x m 1
Mà bất phương trình của tập nghiệm đã cho chứa trong khoảng (2019;2020) nên
2019 m 1 2020 2020 m 2021
Trường hợp 3 có 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.
Trường hợp 4: m = 2020
Bất phương trình trở thành: 2020(x 2020 log
x) x 1 (x 2020 log ) x 2019 2019 N H Ó
*) Nếu x 2019 thì bất phương trình tương đương với 2020 x 1 x 2019 M T
Tập nghiệm của bất phương trình: S O Á N
*) Nếu x < 2019, chứng minh tương tự, ta được tập nghiệm của phương trình S V D
Vì tập rỗng cũng nằm trong (1000;2020) nên m = 2020 cũng thỏa mãn bài toán. – VDC
Vậy có tất cả 1021 giá trị nguyên m sao cho tập nghiệm của bất phương trình chứa trong khoảng (1000;2020).
Câu 37. Cho hình hộp chữ nhật ABC .
D A' B'C ' D' có AB ,
a AD a 3, AA' 3a . Gọi M là điểm
thuộc cạnh CC ' sao cho mp(MB )
D vuông góc với mp( A' B )
D . Thể tích khối tứ diện A' BDM bằng 3 13 3a 3 10a 3 100a 3 13 3a A. . B. . C. . D. . 8 9 3 24 Lời giải Chọn D
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 25
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 N H Ó M T O Á N V D – VDC Ta có A'(0;0;0), ( B ; a 0;3a), ( D 0; a 3;3 ) a . Giả sử M ( ; a a 3; z ) , suy ra 0
A'B ( ; a 0;3a) A B A D 2 2 2 ' , ' 3 a 3; 3
a ;a 3 . Chọn véctơ pháp tuyến của
A'D (0;a 3;3a)
mp( A' B ) D là n ( 3 ; 3;1) .
BM (0;a 3;z 3a) Lại có 0
BM , BD 2
a 3(z 3a);a(z 3a);a 3 . 0 0 BD ( ; a a 3;0)
Chọn véctơ pháp tuyến của mp(MB )
D là n ' 3(z 3a);(3a z );a 3 . 0 0 Vì (A' B ) D (MB ) D .
n n' 0 3 3(z 3a) 3(3a z ) a 3 0 0 0 11a N
3 3z 9a 3 3a 3 3z a 3 0 4 3z 11a 3 z . 0 0 0 0 H 4 Ó M T 11a 1 Vậy M ; a a 3; V
A'B, A'D.A'M 4 A ' BDM 6 O Á 3 3 1 11a 3 13a 3 N 3 3 3
a 3 3a 3 V 6 4 24 D –
Câu 38. Cho hàm số y f (x) có đạo hàm trên
và có bảng biến thiên sau : VDC 1 1
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình m f (x) f (x) 2
có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử? A. 3. B. Vô số. C. 1. D. 2.
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 26
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 Lời giải Chọn C N 1 1 H Xét phương trình m Ó f (x) f (x) (1). 2 M T f (x) 0 O Điều kiện . Á f (x) 2 N V x a 1 D –
Ta có f (x) 0 x b (1; 2) ; f (x) 2 x d c VDC x c 2 1 1 1 1 Đặt g(x)
g '(x) f '(x) f (x) f (x) 2
f (x)2 f (x) 22 x 1
g '(x) 0 f '(x) 0 x 2 Bảng biến thiên: N H
Phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y m có 3 điểm Ó M T 3
chung phân biệt với đồ thị hàm số y g(x) , khi và chỉ khi m . 4 O Á
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. N V
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm ,
A B theo thứ tự thay đổi trên các tia O , x Oy sao cho D – O .
AOB 9 . Điểm S thuộc mặt phẳng Ozx sao cho hai mặt phẳng SAB và SOB cùng VDC
tạo với mặt phẳng Oxy một góc 30o . Gọi ;
a 0;c là tọa độ điểm S . Tính giá trị của biểu thức 4 4
P a c trong trường hợp thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn nhất. 10 40 40 45 A. P . B. P . C. P . D. P . 3 81 9 8 Lời giải Chọn A
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 27
NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 N H Ó M T O Á N V D – VDC Ta có:
Hạ SH OA SOB,Oxy SOH
HE AB SAB,Oxy SEH 30o SOH SEH
HO HE SH 3 , suy ra BH là tia phân giác của góc OBA. 1 3 V S .SH SH V SH HO . OAB max max max 3 2 Đặt OA , x OB y , , x y 0 . x y 9 . N H OH OB O . A OB Ó OH
(Do BH là tia phân giác của góc OBA ). HA BA OB BA M T 9 9 O OH (Do . x y 9 ). Á 2 2 y x y 81 2 N y y 2 V y D – 81 81 VDC Xét A y
y A y2 2 2 y 2 2 y y 81 81 2 3 2 6 2 4 4
A 2Ay
Ay Ay
3 81A A 27.81.A A 3 27 2 2 y y 4 4 9 3 3 3 4 4 4 OH 3 S 3;0;
a 3; c . 4 4 3 27 27 3 3 1 10 Vậy 4 4
P a c 3 . 3 3
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 28 NHÓM TOÁN VD – VDC HSG QUẢNG NAM-2020 2 2
Câu 40. Cho ba số thực dương ,
x y, z thỏa mãn x z y z 2 2
3z 4 . Giá trị lớn nhất của biểu 3
x y z 3
y x z 3 4 2 z xy thức P bằng N xy H Ó M T 112 110 128 55 A. . B. . C. . D. . 27 27 27 27 O Á Lời giải N V Chọn A D – 2 2 2 2 2 2 2 2 VDC Ta có:
x z 2y z 3z 4 x 2xz z 4y 4yz z 3z 4 2 2
x y z x y 2 2 2
z x y z x y 2 4 2 2 4 4 2 2 z 4 1 Khi đó:
x y z 4y x 2z z xy
x y x z 4 y x 8 z y z z xy 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x 8y 2 2 3 P x 4y z xy xy xy
z x 2y 2 2
x 4 y 2xy 2
2z x 2y 3 z 4 z (Do 1 ). xy
x y xy
2z x 2y 2 2 4 2 2 3 1
z z 4 2xy
xy x y
2z x 2y 2 2 4 4 2 3
z z 4 N xy H Ó M T x y 2
z x 2y 2 2 2 3 3 2
z z 4 z z 4 . Dấu bằng xảy ra khi x 2y . xy O Á 2 N
Xét hàm f z 3 2
z z 4 với z 0. Ta có f 'z 2 3
z 2z 0 z (do z 0). V 3 D – Bảng biến thiên: VDC
-------------- HẾT ---------------
https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 29