Đề thi học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Thái Bình

Giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT cấp tỉnh năm học 2021 – 2022 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Bình; đề thi được biên soạn theo hình thức 100% trắc nghiệm với 50 câu hỏi và bài toán

21 11 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 12

Môn: Toán 12

Thông tin:

41 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
Câu 1. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
1;0−
và
( )
0;+
.
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
1
và giá trị nhỏ nhất bằng
0
.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
( )
2
log 4 1
x
mx− = +
có
đúng
2
nghiệm thực phân biệt?
A.
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
, biết
AB a=
,
2AC a=
,
2CC a
=
. Gọi
M
,
I
lần lượt là trung điểm
AB

và
BC
. Tính góc giữa
hai đường thẳng
IM
và
AC
.
A.
90
. B.
60
. C.
45
. D.
30
.
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm
cos 3
cos
x
y
xm
−
=
−
nghịch biến trên
;
2



.
A.
3m
. B.
3m
. C.
03
1
m
m

−
. D.
03
1
m
m

−
.
Câu 5. Cho hình lăng trụ
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc
của điểm
A
lên mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Biết khoảng cách
giữa đường
AA
và
BC
bằng
3
4
a
. Tính theo
a
thể tích của lăng trụ
ABC A B C
.
A.
3
3
6
a
. B.
3
3
24
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
3
a
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm trên và đồ thị
()C
. Tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
điểm
( )
2;m
có phương trình là
46yx=−
. Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số
( )
y f f x=


và
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH
MÃ ĐỀ 101
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2021 - 2022
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .
( )
2
3 10y f x=−
tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là
y ax b=+
và
y cx d=+
. Tính giá trị của biều thức
4 3 2S a c b d= + − +
.
A.
176S =
. B.
174S =
. C.
178S =
. D.
26S =−
.
Câu 7. Tập xác định của hàm số
( )
2021
2
43y x x
−
= − −
là
A. . B.
( )
4;1−
. C.
\ 4;1−
. D.
4;1−
.
Câu 8. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
2
52
1
x
y
x
−−
=
−
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Câu 9. Hàm số
( )
32
2f x x ax bx= + + +
đạt cực tiểu tại điểm
1x =
và
( )
13f =−
. Tính
2ba+
A.
3
. B.
3−
. C.
15
. D.
15−
.
Câu 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
xm
y
x
+
=
+
trên
1;2
bằng
8
(
m
là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
8 10m
. B.
48m
. C.
04m
. D.
10m
.
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
( )
( )
8 5 2 4
1 1 1y x m x m x= + + − − +
đạt cực tiểu tại
0x =
?
A.
. B. Vô số. C.
4
. D.
3
.
Câu 12. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
4
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
A.
3
. B.
6
. C.
23
. D.
2
.
Câu 13. Cho đa thức
()fx
có hệ số thực thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2
21f x f x x+ − =
,
x
.
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
3 4 1y xf x x x= + + +
là
A.
3
B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Câu 14. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng
2a
. Tính theo
a
thể tích khối tứ
diện
ACB D

.
A.
3
22
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
2
a
. D.
3
2
6
a
.
Câu 15. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
32
3y x x mx= − + −
có
hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng
( )
;0−
. Số phần tử của tập
S
là
A.
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Câu 16. Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên , hàm số
( )
y f x
=
liên tục và có đồ thị như
hình vẽ dưới đây.
Hàm số
( )
42
x
yf=−
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;0−
. B.
( )
1;3
. C.
( )
0;+
. D.
( )
0;1
.
Câu 17. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình
( )
2fx=
là
A.
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Câu 18. Gọi
n
S
là tổng
n
số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
( )
n
u
có công bội
q
khác
1
.
Biết
84
257SS=
và
3
32u =
. Tính
1
u
.
A.
. B.
3
. C.
8
. D.
4
.
Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên dương
n
sao cho
S
là một số có
1000
chữ số. Biết:
( ) ( ) ( )
0 0 0 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1
2 ... ... ...
n n n
n n n n n
S C C C C C C C C C
−−
−
= + + + + + + + + + + + +
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
( )
6
log 3.4 2.9 1
xx
x+ = +
bằng
A. 1. B. 0. C. 3. D. 4.
Câu 21. Phương trình
( ) ( )
32
1
2
2
log 6 2log 14 29 2 0mx x x x− + − + − =
có 3 nghiệm thực phân
biệt khi
A.
19m
. B.
39
19
2
m
. C.
39m
. D.
19 39m
.
Câu 22. Cho tam giác
ABC
cân tại
A
, góc
120BAC =
và
4 AB cm=
. Tính thể tích khối tròn
xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác
ABC
quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó.
A.
( )
3
16 3 cm
. B.
( )
3
16 cm
. C.
( )
3
16
3
cm
. D.
( )
3
16
3
cm
.
Câu 23. để phương trình
( ) ( )
2
2
log 1 log 8x mx− = −
có hai nghiệm thực phân biệt là
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D. Vô số.
x
y
3
3
O
1
Câu 24. Cho bất phương trình:
( ) ( )
( )
22
55
1 log 1 log 4 1x mx x m+ + + +
. Tìm tất cả các giá trị
của
m
để
( )
1
được nghiệm đúng với mọi số thực
x
.
A.
23m
. B.
37m−
. C.
(
)
;3 7;m − +
. D.
23m
.
Câu 25. Một khối cầu có thể tích
V
đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết
diện qua trục là một tam giác đều. Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là
A.
32
9
. B.
9
32
. C.
23
32
. D.
32
23
.
Câu 26. Một hình trụ có bán kính đáy bằng
.a
Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục
và cách trục một khoảng
2
a
ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ.
A.
3
3 a
. B.
3
3a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
a
.
Câu 27. Cho tập hợp
S
gồm
20
số tự nhiên từ
1
đến
20
. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc
S
, xác
suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là
A.
5
38
. B.
1
114
. C.
3
38
. D.
7
38
.
Câu 28. Cho hàm số
( )
1y f x
=−
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
( )
24f x x
y
−
=
đạt cực tiểu tại điểm nào?
A.
1x =
. B.
2x =
. C.
0x =
. D.
1x =−
.
Câu 29. Cho hình chóp
.S ABCD
có dáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
2a
, tam giác
SAB
đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Gọi
M
là trung điểm của
AD
.
Khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
( )
SCM
là
A.
32
8
a
. B.
2a
. C.
32a
. D.
2
2
a
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại đỉnh
B
. Biết
3AB BC a==
,
90SAB SCB==
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
2a
.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
.
A.
2
12 a
. B.
2
8 a
. C.
2
2 a
. D.
2
16 a
.
Câu 31. Cho hàm số
()y f x=
xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
3
7
21
y
f x x
=
++
là
A.
B.
1
C.
3
D.
2
Câu 32. Cho hàm số
1
ax b
y
cx
+
=
−
có đồ thị như hình vẽ bên:
Giá trị của tổng
abc++
bằng
A.
B.
4
C.
2
D.
2−
Câu 33. Cho ba số thực
1
, , ;1
4
abc



. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
1 1 1
log log log
4 4 4
a b c
P b c a
= − + − + −
A.
min
3P =
. B.
min
33P =
. C.
min
6P =
. D.
min
1P =
.
Câu 34. Cho 3 số
,,abc
theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác
1
. Biết cũng theo
thứ tự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là
d
,
( )
0d
. Tính
a
d
.
A.
3
. B.
4
9
. C.
4
3
. D.
9
.
Câu 35. Cho hàm số
( )
=y f x
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
9.6 4 .9 5 .4+ − − +
f x f x f x
f x m m
nghiệm đúng với mọi
x
là
A.
9
. B.
4
. C.
5
. D.
10
.
Câu 36. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
( )
32
61y x mx m x= − − − +
đồng
biến trên khoảng
( )
0;4
là.
A.
( )
;3−
. B.
3;6
. C.
(
;6−
. D.
(
;3−
.
Câu 37. Tính tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của
x
trong khai triển:
( )
( )( )
2 3 100 2 3 100
1 ... 1 ...P x x x x x x x x x= + + + + + − + − + +
A.
1
. B.
100
2
. C.
0
. D.
99
2
.
Câu 38. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều,
( )
SA ABC⊥
. Mặt phẳng
( )
SBC
cách
A
một khoảng bằng
a
và hợp với mặt phẳng
( )
ABC
góc
30
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
8
9
a
. B.
3
8
3
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
4
9
a
.
Câu 39. Cho
,ab
là các số thực dương thỏa mãn
9 16 12
5
log log log
2
ba
ab
−
==
. Giá trị của
a
b
bằng
A.
16
a
b
= − +
. B.
7 2 6
a
b
=−
. C.
16
5
a
b
+
=
. D.
7 2 6
25
a
b
+
=
Câu 40. Cho hàm số
( )
y f x=
. Đồ thị của hàm số bậc ba
( )
'y f x=
như hình vẽ bên dưới
Hàm số
( )
( )
21
e
fx
gx
−
=
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;1−
. B.
( )
1;− +
. C.
( )
0;2
. D.
( )
0;1
.
Câu 41. Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
2 2021x
và
( )
1
2
2 log 2 2
yy
x x y
−
− + = −
?
A.
9
. B.
10
. C.
2022
. D.
2021
.
Câu 42. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )( )
3
2
1 13 15 ,f x x x x x
= − −
. Tìm số điểm
cực trị của hàm số
2
5
4
x
yf
x

=

+

A.
. B.
4
. C.
6
. D.
7
.
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều, cạnh
SA
vuông góc với đáy,
khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
2
. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABC
. Tính
cos
khi thể tích khối chóp
.S ABC
nhỏ nhất.
A.
5
cos
3
=
. B.
2
cos
3
=
. C.
2
cos
3
=
. D.
3
cos
3
=
.
Câu 44. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
3 6 5y x x x= − + +
có hệ số góc nhỏ nhất thì phương
trình là
A.
3 12yx=+
. B.
33yx=+
. C.
36yx=+
. D.
39yx=+
.
Câu 45. Cho hình lăng trụ đều
.ABC A B C
có cạnh đáy
AB a=
. Trên cạnh
BB
lấy điểm
M
sao cho
2BM BM
=
. Biết
A M B C

⊥
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
A.
3
33
8
a
. B.
3
3
8
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
33
16
a
.
Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Mặt phẳng
( )
P
đi qua
A
và
vuông góc với
SC
, cắt cạnh
SB
tại
B
với
2
3
SB
SB
=
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
6
4
a
. B.
3
6
2
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
6
6
a
.
Câu 47. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với đáy,
2, 45SC BCS= =
; góc giữa hai
mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SBC
bằng
90
; góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAC
và
( )
SBC
bằng
60
. Thể tích khối
chóp
.S ABC
là
A.
2
15
V =
B.
23V =
C.
22V =
D.
23
15
V =
Câu 48. Cho hình chóp
.S ABCD
là hình bình hành. Hai điểm
,MN
lần lượt là trung điểm của
AB
và
.SC
Hai đường thẳng
,AN MN
lần lượt cắt mặt phẳng
( )
SBD
tại
I
và
K
. Gọi
V
là thể tích
khối chóp
.S ABCD
và
V
là thể tích khối tứ diện
CNIK
. Tỉ số
V
V
bằng
A.
1
24
B.
1
48
C.
1
36
D.
1
18
Câu 49. Cho
0, 1aa
vả hai số thực dương b, c thỏa mãn
log 3
a
b =
và
log 2
a
c =−
, Tính
giá trị của biểu thức
2
3
5
log .
a
ab
P
c
=
A.
9P =
. B.
2P =−
. C.
7P =−
. D.
13P =
.
Câu 50. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
,AB a AD b==
và cạnh
bên
SA c=
vuông góc với mặt phằng
( )
ABCD
. Gọi
M
là một điếm trên cạnh
SA
sao cho
AM x=
,
0 xc
. Tìm
x
để mặt phằng
( )
MBC
chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể
tích bằng nhau.
A.
( )
51
2
ab
x
c
−
=
. B.
( )
23
2
ab
x
c
−
=
. C.
( )
32
2
c
x
−
=
. D.
( )
35
2
c
x
−
=
.
---------- HẾT ----------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
1;0−
và
( )
0;+
.
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng
1
và giá trị nhỏ nhất bằng
0
.
Lời giải
Chọn C
Ta có
0
lim
x
y
−
→
= −
và
0
lim
x
y
+
→
= +
nên
0x =
là tiệm cận đứng.
Mặt khác
lim 2
x
y
→−
=−
suy ra
2y =−
là tiệm cận ngang.
Lại có
lim 1
x
y
→+
=
suy ra
1y =
là tiệm cận ngang.
Vậy hàm số đã cho có ba đường tiệm cận.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để phương trình
( )
2
log 4 1
x
mx− = +
có
đúng
2
nghiệm thực phân biệt?
A.
. B.
3
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn A
Phương trình đã cho tương đương
12
4 2 2 2.2 0
x x x x
mm
+
− = − − =
.
( )
1
Đặt
2
x
t =
với
0t
, phương trình
( )
1
trở thành
2
20t t m− − =
.
( )
2
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình
( )
2
có hai
nghiệm phân biệt dương
0 1 0
0 2 0 1 0
00
m
Sm
Pm
+


−


−

.
Vì
m
nên không tồn tại giá trị nguyên
m
thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng
.ABC A B C
có đáy
ABC
là tam giác vuông tại
B
, biết
AB a=
,
2AC a=
,
2CC a
=
. Gọi
M
,
I
lần lượt là trung điểm
AB

và
BC
. Tính góc giữa
hai đường thẳng
IM
và
AC
.
A.
90
. B.
60
. C.
45
. D.
30
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
I
là trung điểm
BC
nên
I
cũng là trung điểm của
BC
.
Do đó
MI
là đường trung bình của tam giác
BAC

nên
MI A C
.
Mặt khác
ACC A

là hình vuông suy ra
AC A C

⊥
.
Vậy
AC MI
⊥
hay góc giữa hai đường thẳng
IM
và
AC
bằng
90
.
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm
cos 3
cos
x
y
xm
−
=
−
nghịch biến trên
;
2



.
A.
3m
. B.
3m
. C.
03
1
m
m

−
. D.
03
1
m
m

−
.
Lời giải
Chọn D
Đặt
costx=
với
( )
1;0t −
.
sin 0 ;
2
t x x

= −


Ta có
3t
y
tm
−
=
−
.
Khi đó
( )
2
3 m
y
tm
−
=
−
.
Hàm số
cos 3
cos
x
y
xm
−
=
−
nghịch biến trên
;
2



Hàm số
3t
y
tm
−
=
−
đồng biến trên
( )
1;0−
( )
)
3
30
0;3
0
1;0
1
1
m
m
m
m
m
m
m
−



−
−
−
.
Câu 5. Cho hình lăng trụ
ABC A B C
có đáy là tam giác đều cạnh
a
. Hình chiếu vuông góc
của điểm
A
lên mặt phẳng
( )
ABC
trùng với trọng tâm của tam giác
ABC
. Biết khoảng cách
giữa đường
AA
và
BC
bằng
3
4
a
. Tính theo
a
thể tích của lăng trụ
ABC A B C
.
A.
3
3
6
a
. B.
3
3
24
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
3
3
a
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
2
3
4
ABC
a
S
=
.
Gọi
O
là trọng tâm tam giác
ABC
, suy ra
( )
A O ABC
⊥
, nên chiều cao của khối lăng trụ
ABC A B C
là
AO
.
Gọi
M
là trung điểm của
BC
ta có:
( )
BC AM
BC A AM
BC A O
⊥
⊥
⊥
.
Trong
( )
A MA
kẻ
MH AA
⊥
. Khi đó,
( )
3
d,
4
a
AA BC MH
==
.
Trong
ABC
đều cạnh
a
có:
3
2
a
AM =
và
3
1
3
sin 30
2
2
2
a
HM
a
HAM HAM
AM
= = = =
.
Xét tam giác vuông
A OA
có:
2 3 3
tan30 tan30
3 2 3 3
A O a a
A O AO
AO
= = = =
.
Vậy
23
33
.
3 4 12
ABC A B C ABC
a a a
V A O S

= = =
.
Câu 6. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm trên và đồ thị
()C
. Tiếp tuyến của đồ thị
( )
C
tại
điểm
( )
2;m
có phương trình là
46yx=−
. Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số
( )
y f f x=


và
( )
2
3 10y f x=−
tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là
y ax b=+
và
y cx d=+
. Tính giá trị của biều thức
4 3 2S a c b d= + − +
.
A.
176S =
. B.
174S =
. C.
178S =
. D.
26S =−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
2 4.2 6 2f = − =
nên tiếp tuyến của
()C
tại điềm
( )
2;2M
có phương trình là
( )( )
2 2 2y f x
= − +
.
Theo giả thiết, ta có
( )
24f
=
.
Đặt
( ) ( )
g x f f x=


và
( )
( )
2
3 10h x f x=−
.
Khi đó
( ) ( ) ( )
g x f x f f x
=


và
( )
( )
2
6 . 3 10h x x f x

=−
.
Ta có:
( ) ( )
2 2 2f f f==


;
( ) ( )
2 2 2hf==
;
( ) ( ) ( )
2 2 2 16g f f
= =
;
( ) ( )
2 12 2 48hf

= =
.
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y g x=
tại điềm
( )
2;2M
có phương trình
16 30yx=−
,
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
y h x=
tại điềm
( )
2;2M
có phương trình
48 94yx=−
.
Do đó
16, 30, 48, 94a b c d= = − = = −
. Suy ra
174S =
.
Câu 7. Tập xác định của hàm số
( )
2021
2
43y x x
−
= − −
là
A. . B.
( )
4;1−
. C.
\ 4;1−
. D.
4;1−
.
Lời giải
Chọn C
Hàm số xác định khi
2
1
4 3 0
4
x
xx
x
− −
−
Tập xác định
\ 4;1D =−
.
Câu 8. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
2
2
52
1
x
y
x
−−
=
−
là
A.
4
. B.
3
. C.
2
. D.
0
.
Lời giải
Chọn D
Hàm số xác định khi
2
2
55
50
1
10
1
x
x
x
x
x
−
−


−
−
Tập xác định
5; 5 \ 1;1D

= − −

Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang.
Ta có
2
2
11
5 2 1
lim lim
14
xx
x
y
x
++
→− →−
− − −
==
−
,
2
2
11
5 2 1
lim lim
14
xx
x
y
x
−−
→− →−
− − −
==
−
2
2
11
5 2 1
lim lim
14
xx
x
y
x
++
→→
− − −
==
−
,
2
2
11
5 2 1
lim lim
14
xx
x
y
x
−−
→→
− − −
==
−
Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng.
Vậy đồ thị hàm số
2
2
52
1
x
y
x
−−
=
−
không có đường tiệm cận.
Câu 9. Hàm số
( )
32
2f x x ax bx= + + +
đạt cực tiểu tại điểm
1x =
và
( )
13f =−
. Tính
2ba+
A.
3
. B.
3−
. C.
15
. D.
15−
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
2
32f x x ax b
= + +
Hàm số đạt cực tiểu tại
1x =
suy ra
( )
1 0 3 2 0f a b
= + + =
(1)
Theo đề
( )
1 3 1 2 3 6f a b a b= − + + + = − + = −
(2)
Giải hệ (1), (2) ta được
3a =
,
9b =−
Vậy
2 9 2.3 3ba+ = − + = −
.
Câu 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
xm
y
x
+
=
+
trên
1;2
bằng
8
(
m
là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
8 10m
. B.
48m
. C.
04m
. D.
10m
.
Lời giải
Chọn A
Ta có hàm số
1
xm
y
x
+
=
+
có
( )
2
1
' ; 1
1
m
yx
x
−
= −
+
.
Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên
1;2
nên để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất của hàm số trên
1;2
bằng
8
thì
( ) ( )
1 2 41
1 2 8 8
2 3 5
mm
y y m
++
+ = + = =
.
Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
( )
( )
8 5 2 4
1 1 1y x m x m x= + + − − +
đạt cực tiểu tại
0x =
?
A.
. B. Vô số. C.
4
. D.
3
.
Lời giải
Chọn A
Ta có
( )
( )
8 5 2 4
1 1 1y x m x m x= + + − − +
. TXĐ:
D =
( )
( )
( )
( )
( )
7 4 2 3 3 4 2 3
8 5 1 4 1 8 5 1 4 1 .y x m x m x x x m x m x g x

= + + − − = + + − − =

với
( ) ( )
( )
42
8 5 1 4 1g x x m x m= + + − −
Ta có
( )
0 0,ym
=
. Ta kiểm tra
y
có đổi dấu khi đi qua điểm
0x =
Trường Hợp 1:
( )
2
1
0 0 1 0
1
m
gm
m
=
= − =
=−
+ Với
( ) ( )
3 4 4 3
1 8 10 8 10m y x x x x x
= = + = +
.
Khi đó
'y
không đổi dấu khi
x
qua
0
nên
1m =
loại
+ Với
7
18m y x
= − =
. Khi đó
y
đổi dấu từ
( )
−
sang
( )
+
khi
x
qua
0
nên
1m =−
thỏa
mãn.
Trường Hợp 2:
( )
00g
để
y
đổi dấu từ
( )
−
sang
( )
+
khi
x
qua
0
thì
( )
( )
2
0
lim 0 4 1 0 1 1; 0
x
g x m m m m
→
− − − =
.
Vậy có tất cả 2 giá trị nguyên của tham số
m
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12. Cho tứ diện đều
ABCD
có cạnh bằng
4
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD
A.
3
. B.
6
. C.
23
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
. Do tứ diện
ABCD
đều nên
( )
AO BCD⊥
Kẻ đường trung trực của cạnh
AB
, cắt
AO
tại
I
. Khi đó
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Gọi
R
là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện,
R AI=
Ta có
ANI AOB
nên
AN AI
AO AB
=
hay
2
2A
AB
AI
O
=
Trong đó
4AB =
và
AO
là đường cao của tứ diện,
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
. Khi đó
2
2 2 2
4 3 4 6
4
33
AO AB BO

= − = − =



.
Vậy
6R =
.
Câu 13. Cho đa thức
()fx
có hệ số thực thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
2
21f x f x x+ − =
,
x
.
Số điểm cực trị của hàm số
( )
2
3 4 1y xf x x x= + + +
là
A.
3
B.
0
. C.
1
. D.
2
.
Lời giải
Chọn B
Theo giả thiết
( ) ( )
2
21f x f x x+ − =
,
x
. Do đó
( ) ( ) ( )
2
2 1 1f x f x x− + = −
,
x
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
21
2 1 1
f x f x x
f x f x x
+ − =
− + = −
( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 2 1 2
2 1 2 1
f x f x x
f x f x x x
+ − =
− + = − +
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2
4 2 1 2
3 2 1
2 1 2 1
f x f x x
f x x x
f x f x x x
+ − =
= + −
− + = − +
.
Khi đó
( )
2
3 4 1y xf x x x= + + +
( )
22
2 1 4 1x x x x x= + − + + +
32
3 3 1x x x= + + +
2
3 6 3y x x
= + +
0,yx
Vậy hàm số
( )
2
3 4 1y xf x x x= + + +
không có cực trị.
Câu 14. Cho hình lập phương
.ABCD A B C D
có cạnh bằng
2a
. Tính theo
a
thể tích khối tứ
diện
ACB D

.
A.
3
22
3
a
. B.
3
3
a
. C.
3
2
2
a
. D.
3
2
6
a
.
Lời giải
Chọn A
Thể tích khối lập phương
3
22Va=
. . . .ACBD B ABC D ACD C C BD A A B D
V V V V V V
= − − − −
Ta có
.
1 1 1
..
3 6 6
A ABC ABC ABCD
V BB S BB S V


= = =
Do đó
1111
6666
ACB D
V V V V V V

= − − − −
1
3
V=
3
22
3
a
=
Câu 15. Gọi
S
là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để hàm số
32
3y x x mx= − + −
có
hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng
( )
;0−
. Số phần tử của tập
S
là
A.
. B.
3
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
2
36y x x m
= − + −
.
Hàm số
32
3y x x mx= − + −
có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng
( )
;0−
Khi và chỉ khi
0y
=
có hai nghiệm phân biệt và
( )
0, ;0yx
−
( )
9 3 0
0, ;0
m
yx
−
−
( )
2
3
3 6 0, ;0
m
x x m x
− + − −
( )
2
3
3 6 , ;0
m
m x x x
− + −
Xét hàm số
( )
2
36h x x x= − +
( )
2
3 6 , ;0m x x x − + −
0m
. Do đó
03m
Vậy
0;1;2S =
Câu 16. Cho hàm số
( )
y f x=
xác định trên , hàm số
( )
y f x
=
liên tục và có đồ thị như
hình vẽ dưới đây.
Hàm số
( )
42
x
yf=−
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;0−
. B.
( )
1;3
. C.
( )
0;+
. D.
( )
0;1
.
Lời giải
Chọn A
Từ đồ thị hàm số
( )
y f x
=
ta có
( )
03f x x
;
( )
03f x x
;
( )
1
0
3
x
fx
x
=
=
=
Xét hàm số
( )
42
x
yf=−
ta có
( )
( )
2 ln 2 . 4 2
xx
yf

= − −
.
Giải phương trình
( )
( ) ( )
( )
4 2 1
0 2 ln 2 . 4 2 0 4 2 0
4 2 3
x
x x x
x
nghiêm kép
y f f
−=
= − − = − =
−=
2
log 3
23
0
21
x
x
x
x
=
=

=
=
.
Hàm số
( )
42
x
yf=−
đồng biến khi
( )
( ) ( )
0 2 ln 2 . 4 2 0 4 2 0
x x x
y f f
− − −
4 2 3
x
−
2 1 0
x
x
Bảng biến thiên
x
y
3
3
O
1
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;0−
Hàm số
( )
42
x
yf=−
đồng
biến trên khoảng
( )
1;0−
.
Câu 17. Cho hàm số
( )
y f x=
có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình
( )
2fx=
là
A.
. B.
1
. C.
2
. D.
3
.
Lời giải
Chọn B
Số nghiệm của phương trình
( )
2fx=
bằng số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x=
và
đường thẳng
2y =
.
Kẻ đường thẳng
2y =
, ta có đường thẳng
2y =
cắt đồ thị hàm số
( )
y f x=
tại một điểm nên
phương trình
( )
2fx=
có đúng 1 nghiệm.
Câu 18. Gọi
n
S
là tổng
n
số hạng đầu tiên của một cấp số nhân
( )
n
u
có công bội
q
khác
1
.
Biết
84
257SS=
và
3
32u =
. Tính
1
u
.
A.
. B.
3
. C.
8
. D.
4
.
Lời giải.
Chọn A
Theo đề bài ta có
( )
84
84
11
84
2
3
2
1
1
11
1 257 1
257
257
11
32
32
32
qq
qq
uu
SS
qq
u
uq
uq
−−
− = −
=
=

−−

=
=

=
42
84
42
2
1
22
11
256 16
257 256 0
11
32
32 32
qq
qq
qq
uq
u q u q


==
− + =


==

=

==

.
Mặt khác theo đề bài cấp số nhân
( )
n
u
có công bội
q
khác
1
nên
2
16q =
. Với
2
16q =
ta có
2
1 1 1
32 16 32 2u q u u= = =
.
Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên dương
n
sao cho
S
là một số có
1000
chữ số. Biết:
( ) ( ) ( )
0 0 0 1 1 1 1 1
1 2 1 2 1
2 ... ... ...
n n n
n n n n n
S C C C C C C C C C
−−
−
= + + + + + + + + + + + +
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( ) ( )
0 1 0 1 2 0 1 1
1 1 2 2 2
2 ... ...
nn
n n n n
S C C C C C C C C C
−
= + + + + + + + + + + +
Xét khai triển
( )
0 1 2
0
1 ... 2
n
n
k n n
n n n n n
k
n C C C C C
=
+ = = + + + + =
Từ đó ta có:
( )
( )
1 2 1
2 1 2
2 2 2 ... 2 2 2 2 2 1 2
12
n
n n n
S
+
−
= + + + + = + = + − =
−
Để
S
là số có
1000
chữ số thì
999 1 1000 999 1000
22
10 2 10 log 10 1 log 10 1 3317,6 3320,9
n
nn
+
− −
.
Do
là số nguyên dương
3318;3319;3320 .n
Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình
( )
6
log 3.4 2.9 1
xx
x+ = +
bằng
A. 1. B. 0. C. 3. D. 4.
Lời giải
Chọn A
Ta có:
( )
6
log 3.4 2.9 1
xx
x+ = +
2
1
22
3.4 2.9 6 3. 6. 2 0
33
xx
x x x+
+ = − + =
( )
1
Đặt
( )
2
,0
3
x
tt

=


.
Khi đó
( )
1
2
3 6 2 0tt − + =
Hiển nhiên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
12
,tt
thỏa mãn
12
1 2 1 2
2 2 2 2
. . 1.
3 3 3 3
xx
t t x x
= = + =
Câu 21. Phương trình
( ) ( )
32
1
2
2
log 6 2log 14 29 2 0mx x x x− + − + − =
có 3 nghiệm thực phân
biệt khi
A.
19m
. B.
39
19
2
m
. C.
39m
. D.
19 39m
.
Lời giải
Chọn B
Phương trình tương đương
( ) ( )
32
32
22
2
2
6 14 29 2
log 6 log 14 29 2
14 29 2 0
2
6 14 29
1
2
14
mx x x x
mx x x x
xx
m x x
x
x
− = − + −
− = − + −
− + −
= − + −

Xét hàm số
( )
2
2
6 14 29f x x x
x
= − + −
trên
1
;2
14



Ta có
( )
( )
32
2
1
12 14 2 1
0
2
1
3
x
xx
f x x
x
x loai
=
−+
= = =
=−
Bảng biến thiên
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
( )
f x m=
có 3 nghiệm
phân biệt thuộc khoảng
1 39
;2 19
14 2
BBT
m

⎯⎯⎯→


Câu 22. Cho tam giác
ABC
cân tại
A
, góc
120BAC =
và
4 AB cm=
. Tính thể tích khối tròn
xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác
ABC
quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó.
A.
( )
3
16 3 cm
. B.
( )
3
16 cm
. C.
( )
3
16
3
cm
. D.
( )
3
16
3
cm
.
Lời giải
Chọn B
Gọi
H
là hình chiếu vuông góc của
A
lên
BC
.
H
B
C
A
Quay đường gấp khúc
BAC
quanh trục
BC
thu được khối tròn xoay có hình dạng là hai khối
nón đỉnh
B
và đỉnh
C
, chung đáy là đường tròn
( )
;H HA
.
Xét khối nón
( )
1
N
có đỉnh là
B
, đáy là đường tròn
( )
;H HA
có
1
2
1
..
3
N
V BH AH
=
Xét khối nón
( )
2
N
có đỉnh là
C
, đáy là đường tròn
( )
;H HA
có
2
2
1
..
3
N
V CH AH
=
Vậy thể tích khối tròn xoay nhận được bằng:
12
2
2
14
.
3 3.
ABC
BC N N
S
V V V AH BC
BC
= + = =
.
Ta có
2
1
sin120 4 3
2
ABC
S AB
= =
.
Ta có
22
2 . .cos120 4 3BC AB AC AB AC= + − =
.
Vậy
( )
2
2
4 4 3
4 16 3
3. 3
3.4 3
ABC
BC
S
V
BC

= = =
.
Tương tự
( )
2
2
4 4 3
4
16
3.AB 3.4
ABC
AB AC
S
VV
= = = =
.
Vậy
max
16V
=
.
Câu 23. để phương trình
( ) ( )
2
2
log 1 log 8x mx− = −
có hai nghiệm thực phân biệt là
A.
3
. B.
4
. C.
5
. D. Vô số.
Lời giải
Chọn A
Ta thấy
( ) ( )
2
2
log 1 log 8x mx− = −
( )
2
1
18
x
x mx
− = −
( ) ( ) ( )
2
1
2 9 0 *
x
f x x m x
= − + + =
.
( )
*YCBT
có hai nghiệm phân biệt lớn hơn
1
( )
2
4 32 0
1 8 0
2
1
22
mm
fm
Sm
= + −
= − +
+
=
4
8
8 4 8.
0
m
m
mm
m

−
Vậy:
5,6,7m
.
Câu 24. Cho bất phương trình:
( ) ( )
( )
22
55
1 log 1 log 4 1x mx x m+ + + +
. Tìm tất cả các giá trị
của
m
để
( )
1
được nghiệm đúng với mọi số thực
x
.
A.
23m
. B.
37m−
. C.
(
)
;3 7;m − +
. D.
23m
.
Lời giải
Chọn A
Điều kiện:
2
4 0,mx x m x+ +
.
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
5 5 5 5
1 log 1 log 4 log 5 5 log 4x mx x m x mx x m+ + + + + + +
( )
2 2 2
5 5 4 5 4 5 0x mx x m m x x m + + + − + + −
Điều kiện bài toán
( )
( ) ( )
2
2
4 0, 2
5 4 5 0, 3
mx x m x
m x x m x
+ +
− + + −
Giải
( )
2
; Do
0m =
không thỏa
( )
2
nên
( )
2
00
22
0
40
mm
m
m



−
.
Giải
( )
3
; Do
5m =
không thỏa
( )
3
nên
( )
( )
2
5
5
50
33
3
0
4 5 0
7
m
m
m
m
m
m
m
−


− −
.
Suy ra
23m
.
Câu 25. Một khối cầu có thể tích
V
đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết
diện qua trục là một tam giác đều. Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là
A.
32
9
. B.
9
32
. C.
23
32
. D.
32
23
.
Lời giải
Chọn A
Xét khối cầu và khối nón như hình vẽ
Gọi độ dài cạnh
SA x=
, ta có
3
2
x
SH =
,
3
3
x
SI =
,
2
x
AH =
Ta có
3
3
4 3 4 3
3 3 27
C
xx
V

==



;
2
3
1 3 . . 3
. . . .
3 2 2 24
N
x x x
V

==


Vậy
32
9
C
N
V
V
=
.
Câu 26. Một hình trụ có bán kính đáy bằng
.a
Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục
và cách trục một khoảng
2
a
ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ.
A.
3
3 a
. B.
3
3a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
a
.
Lời giải
Chọn B
H
I
B
A
S
Ta có
ABCD
là hình vuông,
H
là trung điểm cạnh
AB
, khi đó ta có
3
; 3 .
22
aa
OH AH AB a BC= = = =
Vậy thể tích khối trụ bằng
23
3. . 3.V a a a

==
Câu 27. Cho tập hợp
S
gồm
20
số tự nhiên từ
1
đến
20
. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc
S
, xác
suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là
A.
5
38
. B.
1
114
. C.
3
38
. D.
7
38
.
Lời giải
Chọn C
Số cách chọn 3 số trong 20 số là :
( )
3
20
nC=
,
Gọi A là biến cố “ba số lấy được lập thành một cấp số cộng”
Giả sử ba số
,,abc
số lập thành cấp số cộng
2a c b+=
Do đó nếu ta chọn được 2 số bất kì
a
và
c
có tổng chẵn thì ta tìm được
b
.
TH1 : Chọn được 2 số lẻ
Số cách chọn là
2
10
C
TH2 : Chọn được 2 số chẵn
Số cách chọn là
2
10
C
( )
2
10
2.n A C=
. Vậy
( )
2
10
3
20
2.
3
.
38
C
PA
C
==
Câu 28. Cho hàm số
( )
1y f x
=−
có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số
( )
24f x x
y
−
=
đạt cực tiểu tại điểm nào?
A.
1x =
. B.
2x =
. C.
0x =
. D.
1x =−
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
( )
( )
24
2 4 ln
fx
y f x

−

= −


.
( ) ( )
0 2 4 0 2y f x f x
= − = =
.
Mặt khác ta có
( )
( )
( )
1 nghiem boi chan
1 2 1 1 0
2 nghiem boi chan
x
f x x x
x
=−
− = = − =
=
(ta chỉ lấy nghiệm bội
lẻ).
Do đó
( )
20f x x
= =
.
Bảng xét dấu
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
0x =
.
Câu 29. Cho hình chóp
.S ABCD
có dáy
ABCD
là hình vuông cạnh bằng
2a
, tam giác
SAB
đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Gọi
M
là trung điểm của
AD
.
Khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng
( )
SCM
là
A.
32
8
a
. B.
2a
. C.
32a
. D.
2
2
a
.
Lời giải
ChọnA.
Kẻ
SH AB⊥
. Suy ra
3
23
2
SH a a= =
(đường cao của tam giác
SAB
đều).
Mặt khác
( ) ( )
( ) ( )
SAB ABCD
SAB ABCD AB
⊥
=
.
Do đó
( )
SH ABCD⊥
.
Trong
( )
ABCD
,
K AB CM=
.
Kẻ
BN KC⊥
,
HI KC⊥
do đó
//BN HI
.
Kẻ
HJ AI⊥
.
Khi đó
( ) ( )
( )
d;HJ SCM H SCM HJ⊥ =
.
Xét tam giác
KBC
, ta có:
1
// 2 4
2
AM KA KA
AM BC KB KA a
BC KB KB
= = = =
.
Xét tam giác
KBC
vuông tại
B
, đường cao
BN
, ta có:
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 2 4 4 5
5
4 16
BC BK a a a
BN
BN BC BK
BC BK a a

= + = = =
++
.
Ta lại có
3 3 5
//
45
HI KH HI a
BN HI HI
BN KB BN
= = =
.
Xét tam giác
SHI
vuông tại
H
, đường cao
HJ
, ta có:
2 2 2
22
1 1 1 3 2
4
HS HI a
HJ
HJ HS HI
HS HI
= + = =
+
.
Mà
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
d;
4 4 4
d ; d ; 2
3 3 3
d;
B SCM
BK
B SCM H SCM a
HK
H SCM
= = = =
.
Câu 30. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại đỉnh
B
. Biết
3AB BC a==
,
90SAB SCB==
và khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
2a
.
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
.
A.
2
12 a
. B.
2
8 a
. C.
2
2 a
. D.
2
16 a
.
Lời giải
Chọn A.
Kẻ
( )
SH ABC SH AB⊥ ⊥
.
Mà
SA AB⊥
. Do đó
( )
90AB SAH AB AH BAH⊥ ⊥ =
.
Chứng minh tương tự ta có
90CB CH BCH⊥ =
.
Mà
90ABC =
.
Suy ra
ABCH
là hình chữ nhật.
Do đó
( ) ( )
( )
( )
( )
d ; d ; 2AH BC AH SBC A SBC H SBC a = =
.
Kẻ
( ) ( )
( )
d ; 2HK SC HK SBC H SBC HK HK a⊥ ⊥ = =
.
Ta có
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
23HK HS HC HS HK HC a a
= + = − = −
.
Do đó
6HK a=
.
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác
SHC
, ta có:
2 2 2 2 2 2
6 3 9SC SH HC a a a= + = + =
.
Suy ra
3SC a=
.
Áp dụng định lí Pyatago cho tam giác
SCB
, ta có:
2 2 2 2 2 2
9 3 12SB SC BC a a a= + = + =
.
Suy ra
23SB a=
.
Gọi
là trung điểm của
SB
, khi đó ta có
3
2
SB
IS IB IA IC a= = = = =
.
Do đó
I
là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
.
Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
.S ABC
là
( )
2
2
4 3 12S a a

==
.
Câu 31. Cho hàm số
()y f x=
xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
3
7
21
y
f x x
=
++
là
A.
B.
1
C.
3
D.
2
Lời giải
Chọn D
Ta có:
( ) ( )
( )
33
lim lim 1
xx
x x f x x
→+ →+
+ = + + + = +
( ) ( )
( )
33
lim lim 1
xx
x x f x x
→− →−
+ = + + + = −
Do đó
( )
3
7
lim 0
21
x
f x x
→
=
++
. Vậy đồ thị hàm số
( )
3
7
21
y
f x x
=
++
có một đường tiệm cận
ngang là đường thẳng
0y =
.
Xét phương trình
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
1 0 1 , 1 *f x x f x x x x a a+ + = + = − + = −
Xét hàm số
( )
32
, 3 1 0g x x x g x
= + = +
với
x
nên
( )
gx
đồng biến trên mà
( ) ( )
lim ; lim
xx
g x g x
→− →+
= − = +
nên phương trình
3
x x a+=
có nghiệm duy nhất do đó đồ thị
hàm số
( )
3
7
21
y
f x x
=
++
có một đường tiệm cân đứng.
Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
( )
3
7
21
y
f x x
=
++
là
2
.
Câu 32. Cho hàm số
1
ax b
y
cx
+
=
−
có đồ thị như hình vẽ bên:
Giá trị của tổng
abc++
bằng
A.
B.
4
C.
2
D.
2−
Lời giải
Chọn C
Theo đồ thị của hàm số ta có:
Đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng
1
1 1 1xc
c
= = =
.
Đồ thị có đường tiệm cận ngang là đường thẳng
1 1 1
a
y a c a
c
= − = − = − = −
.
Đồ thị cắt trục
Ox
tại điểm có hoành độ bằng
2
nên
2 0 2a b b+ = =
.
Vậy
1 1 2 2abc+ + = − + + =
Câu 33. Cho ba số thực
1
, , ;1
4
abc



. Tìm giá trị nhỏ nhất
min
P
của biểu thức
1 1 1
log log log
4 4 4
a b c
P b c a
= − + − + −
A.
min
3P =
. B.
min
33P =
. C.
min
6P =
. D.
min
1P =
.
Lời giải
Chọn C.
Ta có
2
11
0, ;1
24
aa
−
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
2
a =
.
Nên
2
1
4
aa−
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
2
a =
.
Tương tự
2
1
4
bb−
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
2
b =
2
1
4
cc−
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
2
c =
.
Vì
, , 0;1abc
nên
log 0,log 0,log 0
a b c
b c a
Do đó với cơ số thuộc
1
;1
4



thì
( )
2 2 2
log log log 2 log log log
a b c a b c
P b c a b c a + + = + +
Suy ra
3
2.3 log .log .log 6
a b c
P b c a=
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1
1
2
2
log log log
a b c
abc
abc
b c a
= = =
= = =
==
.
Vậy
min
6P =
khi và chỉ khi
1
2
abc= = =
.
Câu 34. Cho 3 số
,,abc
theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác
1
. Biết cũng theo
thứ tự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là
d
,
( )
0d
. Tính
a
d
.
A.
3
. B.
4
9
. C.
4
3
. D.
9
.
Lời giải
Chọn A.
Do
,,abc
theo thứ tự lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là
d
,
( )
0d
nên
3
7
b a d
c a d
=+
=+
.
Hơn nữa
,,abc
theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác
1
nên
2
ac b=
.
Khi đó
( ) ( )
2
2 2 2
7 3 7 6 9a a d a d a ad a ad d+ = + + = + +
2
9 0 9 9
a
d ad d a
d
− = = =
(Do
0d
).
Vậy
9
a
d
=
.
Câu 35. Cho hàm số
( )
=y f x
liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m
để bất phương trình
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
9.6 4 .9 5 .4+ − − +
f x f x f x
f x m m
nghiệm đúng với mọi
x
là
A.
9
. B.
4
. C.
5
. D.
10
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
9.6 4 .9 5 .4+ − − +
f x f x f x
f x m m
( )
( )
( ) ( )
( )
2
22
33
4 . 9. 5 1
22
− + − +
f x f x
f x m m
Từ đồ thị hàm số suy ra
( )
2, − f x x
Do đó
( )
( )
( )
2
2
3
4 0,
2
fx
f x x

−


và
( )
2
33
9. 9. 4,
22
fx
x
−
=
.
Suy ra
( )
( )
( ) ( )
2
2
33
4 . 9. 4,
22
f x f x
f x x
− +
.
Dấu
""=
xảy ra khi
2x =−
(khi đó
( )
22f =−
) nên giá trị lớn nhất của hàm số
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
33
4 . 9.
22
f x f x
g x f x
= − +
là
4.
Vậy
( )
1
có nghiệm đúng
x
khi và chỉ khi
2
4 5 1 4m m m − +
.
Do
m
là số nguyên nên
1, 2, 3, 4m
.
Suy ra tổng các giá trị
m
là
1 2 3 4 10S = + + + =
.
Câu 36. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số
( )
32
61y x mx m x= − − − +
đồng
biến trên khoảng
( )
0;4
là.
A.
( )
;3−
. B.
3;6
. C.
(
;6−
. D.
(
;3−
.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
( )
2
3 2 6y x mx m
= − − −
.
Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
0;4
khi và chỉ khi
0y
,
( )
0;4x
.
( ) ( )
2
3 2 6 0 0;4x mx m x − − −
( )
2
36
0;4
21
x
mx
x
+
+
Xét hàm số
( )
2
36
21
x
gx
x
+
=
+
trên
( )
0;4
.
( )
( )
2
2
6 6 12
21
xx
gx
x
+−
=
+
,
( )
( )
( )
1 0;4
0
2 0;4
x
gx
x
=
=
= −
Ta có bảng biến thiên:
Vậy để
( ) ( )
2
36
0;4
21
x
g x m x
x
+
=
+
thì
3m
.
Vậy
(
;3m −
.
Câu 37. Tính tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của
x
trong khai triển:
( )
( )( )
2 3 100 2 3 100
1 ... 1 ...P x x x x x x x x x= + + + + + − + − + +
A.
1
. B.
100
2
. C.
0
. D.
99
2
.
Lời giải
Chọn C
Giả sử
( )
200 199
200 199 1 0
...P x a x a x a x a= + + + +
.
Ta có:
( )
200 199 1 0
1 ... 101P a a a a= + + + + =
.
( )
200 199 198 197 2 1 0
1 ... 101P a a a a a a a− = − + − + + − + =
.
Suy ra:
( ) ( )
199 197 1
1
... 1 1 0
2
a a a P P+ + + = − − =


.
Vậy tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của
x
bằng
0
.
Câu 38. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều,
( )
SA ABC⊥
. Mặt phẳng
( )
SBC
cách
A
một khoảng bằng
a
và hợp với mặt phẳng
( )
ABC
góc
30
. Thể tích của khối chóp
.S ABC
bằng
A.
3
8
9
a
. B.
3
8
3
a
. C.
3
3
12
a
. D.
3
4
9
a
.
Lời giải
Chọn A
Gọi
M
là trung điểm của
BC
, trong
( )
SAM
kẻ
AK SM⊥
tại
K
.
Suy ra
( ) ( )
( )
;AK SBC AK d A SBC a⊥ = =
.
Lại có
( ) ( )
, 30SBC ABC SMA= =
. Suy ra
2
2;
3
sin sin
AK AK a
AM a SA
AMK ASK
= = = =
.
Suy ra
24
33
a
BC AM==
.
Vậy
2
3
.
4
3
1 1 2 8
3
.
3 3 4 9
3
S ABC ABC
a
aa
V SAS



= = =
.
Câu 39. Cho
,ab
là các số thực dương thỏa mãn
9 16 12
5
log log log
2
ba
ab
−
==
. Giá trị của
a
b
bằng
A.
16
a
b
= − +
. B.
7 2 6
a
b
=−
. C.
16
5
a
b
+
=
. D.
7 2 6
25
a
b
+
=
Lời giải
Chọn B
Đặt
9 16 12
9
5
log log log 16
2
5
12
2
t
t
t
a
ba
a b t b
ba
=
−
= = = =
−
=
Suy ra
9 12
5.16 9 2.12 5 2.
16 16
tt
t t t
− = − =
M
S
C
B
A
K
( )
2
3
16
4
33
2 5 0
44
3
16
4
t
tt
t
L

= − +


+ − =

= − −


Mà
( )
2
2
93
1 6 7 2 6.
16 4
tt
a
b
= = = − + = −
Câu 40. Cho hàm số
( )
y f x=
. Đồ thị của hàm số bậc ba
( )
'y f x=
như hình vẽ bên dưới
Hàm số
( )
( )
21
e
fx
gx
−
=
đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A.
( )
1;1−
. B.
( )
1;− +
. C.
( )
0;2
. D.
( )
0;1
.
Lời giải
Chọn D
Ta có
( ) ( )
( )
21
2 2 1 e
fx
g x f x
−

=−
.
Suy ra
( ) ( )
5
2 1 4
0 2 1 0
2
1 2 1 1
01
x
x
g x f x
x
x
−

−
− −

.
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng
( )
0;1
và
5
;
2

+


.
Câu 41. Có bao nhiêu cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
2 2021x
và
( )
1
2
2 log 2 2
yy
x x y
−
− + = −
?
A.
9
. B.
10
. C.
2022
. D.
2021
.
Lời giải
Chọn B
Ta có
( )
1
2
2 log 2 2
yy
x x y
−
− + = −
1
2
22
2 log 2 2
2
y
yy
x
xy
+

+
− = + −


( )
( )
1
2
2 1 log 2 2 2 2
y y y
y x x
+
+ + = + + +
( )
*
Xét hàm số
( )
2
u
f u u=+
, ta có
( )
2 ln2 1 0,
u
f u u
= +
Hàm số
( )
2
u
f u u=+
đồng biến
do đó từ
( )
*
ta có
( )
1
2
1 log 2 2 2 2 2 2 2
y y y y
y x x x
+
+ = + = + =
.
Mặt khác theo giả thiết
2
2 2021 4 2 4042 4 2 4042 2 log 4042
y
x x y
.
Do
y
là số nguyên nên
2;3;4;5;6;7;8;9;10;11y
có
10
cặp số nguyên
( )
;xy
thỏa mãn
điều kiện
Câu 42. Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm
( ) ( )( )
3
2
1 13 15 ,f x x x x x
= − −
. Tìm số điểm
cực trị của hàm số
2
5
4
x
yf
x

=

+

A.
. B.
4
. C.
6
. D.
7
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
22
55
.
44
xx
yf
xx

=
++
( )
( )
2
23
2
2 2 2
2
5 4 5 .2
5 5 5
1 13. 15
4 4 4
4
x x x
x x x
x x x
x
+−
= − −
+ + +
+
( )
3
2
2 2 2
2
2 2 2
2
5 20 5 5 4 65 15 60
4 4 4
4
x x x x x x
x x x
x
− + − − − −

=

+ + +

+
( )( )
( )
( )
( )
( )( ) ( ) ( )
( )
2 3 3
2 2 3
2
2 2 2
5 2 2 5 1 4 3 15 20
4
4 4 4
x x x x x x x
x
x x x
− + − − − −
=
+
+ + +
2
2
0
01
4
3
4
3
x
x
x
yx
x
x
x
=
=−
=
= =
=
=
=
Do phương trình
0y
=
có
6
nghiệm đơn và
1
nghiệm kép nên hàm số
2
5
4
x
yf
x

=

+

có
6
điểm cực trị.
Câu 43. Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác đều, cạnh
SA
vuông góc với đáy,
khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng
( )
SBC
bằng
2
. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
( )
SBC
và
( )
ABC
. Tính
cos
khi thể tích khối chóp
.S ABC
nhỏ nhất.
A.
5
cos
3
=
. B.
2
cos
3
=
. C.
2
cos
3
=
. D.
3
cos
3
=
.
Lời giải
Chọn D
Gọi
I
là trung điểm
BC
. Ta có
( )
BC SAI⊥
nên mp
( )
SBC
vuông góc mp
( )
SAI
theo giao
tuyến
SI
. Kẻ
AH SI⊥
tại
H
thì
( )
AH SBC⊥
hay
( )
( )
,AH d A SBC=
.Ta cũng có góc tạo
bởi
( )
SBC
và
( )
ABC
là
SIA
. Theo giả thiết
2AH =
và
SIA
=
.
Lại có
2
sin
sin
AH
AI
SIA
==
, mặt khác
3
2
AB
AI=
hay
24
3 3sin
AI
AB
==
2
.tan
cos
SA AI
==
.
Thể tích khối chóp
.S ABC
là
2
22
1 1 3 1 16 3 2 8 3
. . . .
3 3 4 12 3sin cos 9sin .cos
ABC
AB
V S SA SA
= = = =
.
V
nhỏ nhất khi
2
sin .cosP

=
lớn nhất.
Ta có
( )
23
1 cos cos cos cosP
= − = − +
. Đặt
cost
=
. Do
0
2

nên
( )
0;1t
.
Xét hàm số
( )
3
f t t t= − +
,
( )
0;1t
ta có
( )
2
31f t t
= − +
;
( )
3
0
3
f t t
= =
.
Bảng biến thiên:
A
C
B
S
I
H
Vậy
V
nhỏ nhất khi
3
cos
3
=
.
Câu 44. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
32
3 6 5y x x x= − + +
có hệ số góc nhỏ nhất thì phương
trình là
A.
3 12yx=+
. B.
33yx=+
. C.
36yx=+
. D.
39yx=+
.
Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
32
3 6 5y x x x= − + +
có
2
3 6 6y x x
= − +
.
Gọi
0
x
là hoành độ tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ
0
x
là
( )
2
2
0 0 0
3 6 6 3 1 3 3k x x x= − + = − +
.
Đẳng thức xảy ra khi
0
1x =
, khi đó
3k =
, tiếp điểm là
( )
1;9
.
Vậy phương trình tiếp tuyến là
( )
3 1 9yx= − +
hay
36yx=+
.
Câu 45. Cho hình lăng trụ đều
.ABC A B C
có cạnh đáy
AB a=
. Trên cạnh
BB
lấy điểm
M
sao cho
2BM BM
=
. Biết
A M B C

⊥
. Tính thể tích của khối lăng trụ
.ABC A B C
A.
3
33
8
a
. B.
3
3
8
a
. C.
3
3
4
a
. D.
3
33
16
a
.
Lời giải
Chọn B
Cách 1: Gọi
I
là trung điểm của
BC

.
I
M
C'
B'
A'
C
B
A
Ta có
( )
A I B C
A I BCC B A I B C
A I BB
⊥
⊥ ⊥

⊥
.
Lại có
B C A M

⊥
nên
( )
B C A MI

⊥
suy ra
B C MI
⊥
.
Khi đó
( ) ( )
. 0 . 0B C MI B C B B MB B I
= + + =
( )
21
.0
32
B C B B B B B C

+ − + =


22
12
0
23
B C B B
− =
22
12
0
23
a B B
− =
2
2
33
42
aa
B B B B

= =
.
Thể tích khối lăng trụ là
23
.
3 3 3
..
2 4 8
ABC A B C ABC
a a a
V BB S
= = =
.
Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Chọn
2a =
và đặt
3AA x
=
, với
0x
.
Ta có
( ) ( )
( ) ( )
( )
0;0;0 , 0;2;0 , 3;1;0 , 3;1;3 ; 0;2;2A B C C x M x
.
Suy ra
( )
0;2;2A M x
=
;
( )
3; 1;3B C x
=−
.
Theo đề bài
2
3
' . 0 2 6 0
3
A M B C A M B C x x
⊥ = − + = =
.
Do vậy
3
33
2
a
AA x
= = =
.
Thể tích khối lăng trụ là
23
.
3 3 3
..
2 4 8
ABC A B C ABC
a a a
V AA S
= = =
.
Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều
.S ABCD
có cạnh đáy bằng
a
. Mặt phẳng
( )
P
đi qua
A
và
vuông góc với
SC
, cắt cạnh
SB
tại
B
với
2
3
SB
SB
=
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD
.
A.
3
6
4
a
. B.
3
6
2
a
. C.
3
6
3
a
. D.
3
6
6
a
.
z
y
x
M
C'
B'
A'
C
B
A
Lời giải
Chọn D
Trong mặt phẳng
( )
SAC
vẽ
AH SC⊥
tại
H
.
Trong mặt phẳng
( )
SBC
, qua
H
dựng
HB SC
⊥
với
B SB
.
Cách 1: Đặt
,0SA SB SC SD x x= = = =
suy ra
2
3
SB x
=
.
Ta có
2 2 2 2 2
2
2
cos
2 . 2
BS CS BC x a
BSC
BS CS x
+ − −
==
suy ra
( )
22
2.
.cos
3
x a x
SH SB BSC
x
−
==
.
Lại có
2 2 2
cos
2.
SH AS CS AC
ASH
SA AS CS
+−
==
2 2 2 2
22
2
3
x a x a
xx
−−
=
.
( )
2 2 2 2 2 2
2 3 2 2x a x a x a x a − = − = =
Khi đó
( )
2
2
22
26
2
22
aa
SO SC CO a

= − = − =



.
Thể tích khối chóp là
3
2
.
1 1 6 6
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
aa
V SO S a= = =
.
Cách 2: Gọi
K AH SO=
.
H
B'
O
D
C
B
A
S
Ta có
( )
( )
( )
//
P SC
BO SC BO P
BO P
⊥
⊥
mà
( ) ( )
2
3
//
SK SB
SBO P KB KB BO
SO SB

= = =
.
Suy ra
K
là trọng tâm tam giác
SAC
nên
AH
vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
Từ đó ta được
ASC
cân tại
A
do vậy
SAC
đều
36
22
AC a
SO = =
.
Thể tích khối chóp là
3
2
.
1 1 6 6
. . .
3 3 2 6
S ABCD ABCD
aa
V SO S a= = =
.
Câu 47. Cho hình chóp
.S ABC
có
SA
vuông góc với đáy,
2, 45SC BCS= =
; góc giữa hai
mặt phẳng
( )
SAB
và
( )
SBC
bằng
90
; góc giữa hai mặt phẳng
( )
SAC
và
( )
SBC
bằng
60
. Thể tích khối
chóp
.S ABC
là
A.
2
15
V =
B.
23V =
C.
22V =
D.
23
15
V =
Lời giải
Chọn D
K
H
B'
O
D
C
B
A
S
Giả sử
CE SB⊥
mà
( ) ( ) ( )
CE SA
SAB SBC CE SAB
CE AB
⊥
⊥ ⊥
⊥
Ta lại có:
( )
SA ABC⊥
nên
CE CB
.
Kẻ
,BH AC HK SC⊥⊥
Ta có
( ) ( )
,BH AC BH SA BH SAC BH SC SC BHK SC BK⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥
Từ đó ta có
( ) ( ) ( )
0
, , 60SAC SBC KH KB BKH= = =


Ta có
SBC
vuông cân tại
B
2SB BC = =
.
Ta có
KBC
vuông cân tại
K
1KB KC = =
.
Từ đó ta suy ra
1 3 5
;;
2 2 2
HK BH HC= = =
.
Xét
ABC
ta có
2
2
4
.
5
BC
HC AC BC AC
HC
= = =
Ta có:
22
2
5
SA SC AC= − =
Vậy
.
1 1 1 2 1 3 4 2 3
. . . . . .
3 2 3 2 2 15
55
S ABC
V SA BH AC= = =
Câu 48. Cho hình chóp
.S ABCD
là hình bình hành. Hai điểm
,MN
lần lượt là trung điểm của
AB
và
.SC
Hai đường thẳng
,AN MN
lần lượt cắt mặt phẳng
( )
SBD
tại
I
và
K
. Gọi
V
là thể tích
khối chóp
.S ABCD
và
V
là thể tích khối tứ diện
CNIK
. Tỉ số
V
V
bằng
A.
1
24
B.
1
48
C.
1
36
D.
1
18
Lời giải
Chọn B
Trong mặt phẳng
( )
ABCD
gọi
;O AC BD J CM BD= =
.
Trong mặt phẳng
( )
SAC
gọi
( ) ( )
,I SO AN SO SBD I AN SBD= =
.
Trong mặt phẳng
( )
SCM
gọi
( ) ( )
,K MN SJ SJ SBD K MN SBD= =
.
Ta có
.
..
.
1
C NIK
C NIK S NIK
S NIK
V
CN
VV
V SN
= = =
.
Ta lại có:
.
.
..
S NIK
S COJ
V
SI SN SK
V SO SC SJ
=
Ta có
I
là trọng tâm tam giác
2
3
SI
SAC
SO
=
.
Ta có
N
là trung điểm
1
2
SN
SC
SC
=
.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác
SCJ
với 3 điểm
,,N K M
thẳng hàng nằm trên 3 cạnh
của cho tam giác
SCJ
, ta có:
13
. . 1 . .1 1 3
34
KS MJ NC KS KS SK
KJ MC NS KJ KJ SJ
= = = =
( Ta có
J
là trọng tâm tam giác
1
3
MJ
ABC
MC
=
.)
Ta suy ra
.
. . . .
.
2 1 3 1 1 1
..
3 2 4 4 4 4
S NIK
S NIK S COJ C NIK S COJ
S COJ
V
V V V V
V
= = = =
.
Ta có
.
.
S COJ COJ
S ABCD ABCD
VS
VS
=
Ta có:
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
; . . ; .
2 2 3 2 6 12
COJ ABC ABCD
S d J AC CO d B AC AC S S= = = =
.
. . . .
.
1 1 1
12 12 48
S COJ
S COJ S ABCD C NIK S ABCD
S ABCD
V
V V V V
V
= = =
Vậy
1
48
V
V
=
Câu 49. Cho
0, 1aa
vả hai số thực dương b, c thỏa mãn
log 3
a
b =
và
log 2
a
c =−
, Tính
giá trị của biểu thức
2
3
5
log .
a
ab
P
c
=
A.
9P =
. B.
2P =−
. C.
7P =−
. D.
13P =
.
Lời giải
Chọn D
( )
2
3
25
3
5
11
log log log log 2 log 5log 2 .3 5 2 13
33
a a a a a a
ab
P a b c b c
c
= = + − = + − = + − − =
.
Câu 50. Cho hình chóp
.S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
,AB a AD b==
và cạnh
bên
SA c=
vuông góc với mặt phằng
( )
ABCD
. Gọi
M
là một điếm trên cạnh
SA
sao cho
AM x=
,
0 xc
. Tìm
x
để mặt phằng
( )
MBC
chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể
tích bằng nhau.
A.
( )
51
2
ab
x
c
−
=
. B.
( )
23
2
ab
x
c
−
=
. C.
( )
32
2
c
x
−
=
. D.
( )
35
2
c
x
−
=
.
Lời giải
Chọn D
( ) ( )
( ) ( )
, / / ,
//
M MBC SAD
MBC SAD MN MN AD MN SD N
AD BC

= =
.
Mặt phẳng
()MBC
chia khối chóp thành hai khối đa diện là khối chóp
.S MNBC
và khối
MNBCAD
.
. . .S MNBC S MBC S MCN
V V V=+
.
( )
.
..
.
.
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
cx
V
MA
VV
V SA c
−
= =
;
22
.
. . .
.
. . .
S MNC
S MDC S ADC S ABC
S ADC
V
SM SN c x c x
V V V
V SA SD c c
−−
= = =
..
1.
S BCMN S ABC
c x c x
VV
cc
−−

=+


.
Theo bài ra ta có
( )( )
2 2 2
. . . .
1 . 2 3 0
35
35
2
1
2
35
2
S MNBC S ABC S ABC S ABC
c x c x
V V V V c x c x c x cx c
cc
xc
x
x c do
c
xc
−−
= = + = − − = − + =


−
=
−

=


+
=
| 1/41
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT THÁI BÌNH NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN MÃ ĐỀ 101
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1 − ;0) và (0;+).
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0 .
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log
4x − m = x +1 có 2 ( )
đúng 2 nghiệm thực phân biệt? A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 .
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông tại B , biết
AB = a , AC = 2a , CC = 2a . Gọi M , I lần lượt là trung điểm A B
  và BC. Tính góc giữa
hai đường thẳng IM và AC . A. 90 . B. 60 . C. 45. D. 30 . cos x − 3
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm y = nghịch biến trên cos x − m    ;  .  2  0  m  3 0  m  3
A. m  3 .
B. m  3 . C.  . D.  . m  1 − m  1 −
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC A BC
  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc
của điểm A lên mặt phẳng ( ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách a 3
giữa đường AA và BC bằng
. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC A BC  . 4 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 24 12 3
Câu 6. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên
và đồ thị (C) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm (2;m) có phương trình là y = 4x − 6. Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y = f f (x)   và y = f ( 2
3x −10) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y = ax + b và
y = cx + d . Tính giá trị của biều thức S = 4a + 3c − 2b + d .
A. S =176 .
B. S =174 .
C. S =178 . D. S = 26 − . −
Câu 7. Tập xác định của hàm số y = ( − x − x ) 2021 2 4 3 là A. . B. ( 4 − ; ) 1 . C. \  4 − ;  1 . D.  4 − ;  1 . 2 5 − x − 2
Câu 8. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 x −1 là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . f ( x) 3 2
= x + ax +bx + 2 f ( ) 1 = 3 − Câu 9. Hàm số
đạt cực tiểu tại điểm x =1 và
. Tính b + 2a A. 3 . B. 3 − . C. 15 . D. 15 − . x + m
Câu 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 1;  2 bằng 8 ( m x + 1
là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 8  m  10 .
B. 4  m  8 .
C. 0  m  4 . D. m  10 . Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 8
y = x + (m + ) 5 x − ( 2 m − ) 4 1
1 x + 1 đạt cực tiểu tại x = 0? A. 2 . B. Vô số. C. 4 . D. 3 .
Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A. 3 . B. 6 . C. 2 3 . D. 2 .
Câu 13. Cho đa thức f (x) có hệ số thực thỏa mãn điều kiện
f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x   .
Số điểm cực trị của hàm số y = xf (x) 2 3
+ x + 4x +1là A. 3 B. 0 . C. 1. D. 2 .    
Câu 14. Cho hình lập phương ABC .
D A B C D có cạnh bằng a 2 . Tính theo a thể tích khối tứ diện ACB D   . 3 2 2a 3 a 3 2a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6
Câu 15. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y = −x + 3x − mx có
hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng ( ;0
− ). Số phần tử của tập S là A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 .
Câu 16. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên
, hàm số y = f ( x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y 3 O 1 3 x Hàm số = (4− 2x y f
) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 1 − ;0) . B. (1; ) 3 . C. (0;+) . D. (0 ) ;1 .
Câu 17. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình f ( x) = 2 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 .
Câu 18. Gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (u có công bội q khác 1. n ) n
Biết S = 257S và u = 32 . Tính u . 8 4 3 1 A. 2 . B. 3 . C. 8 . D. 4 .
Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho S là một số có 1000 chữ số. Biết: S = 2 + ( 0 0 0
C + C + ... + C
+ C + C + + C + + C − + C − + C n ) ( 1 1 1 ... n ) ... ( n 1 n 1 n 1 2 1 2 n 1 − n ) n A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log
3.4x + 2.9x = x +1 bằng 6 ( ) A. 1. B. 0. C. 3. D. 4.
Câu 21. Phương trình log ( 3
mx − 6x ) + 2log ( 2 1
− 4x + 29x − 2 = 0 có 3 nghiệm thực phân 1 2 ) 2 biệt khi 39
A. m  19 . B. 19  m  .
C. m  39 .
D. 19  m  39. 2
Câu 22. Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC =120 và AB = 4 cm . Tính thể tích khối tròn
xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó. 16 16 A.  ( 3 16 3 cm ) . B.  ( 3 16 cm ). C. ( 3 cm ) . D. ( 3 cm ) . 3 3
Câu 23. để phương trình log (x − ) 1 = log
mx − 8 có hai nghiệm thực phân biệt là 2 ( ) 2 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. Vô số.
Câu 24. Cho bất phương trình: 1+ log ( 2 x + ) 1  log ( 2
mx + 4x + m
1 . Tìm tất cả các giá trị 5 5 ) ( ) của m để ( )
1 được nghiệm đúng với mọi số thực x .
A. 2  m  3. B. 3
−  m  7. C. m(− ;   3 7;+). D. 2  m  3 .
Câu 25. Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết
diện qua trục là một tam giác đều. Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là 32 9 23 32 A. . B. . C. . D. . 9 32 32 23
Câu 26. Một hình trụ có bán kính đáy bằng .
a Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục a
và cách trục một khoảng
ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ. 2 3 a 3 A. 3 3 a . B. 3 a 3. C. . D. 3  a . 4
Câu 27. Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 . Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S , xác
suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là 5 1 3 7 A. . B. . C. . D. . 38 114 38 38
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x − )
1 có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
2 f (x) 4x y  − =
đạt cực tiểu tại điểm nào?
A. x =1 .
B. x = 2 .
C. x = 0 . D. x = 1 − .
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , tam giác SAB
đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Gọi M là trung điểm của AD .
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCM ) là 3a 2 a 2 A. . B. a 2 .
C. 3a 2 . D. . 8 2
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B . Biết
AB = BC = a 3 , SAB = SCB = 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng a 2 .
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . A. 2 12 a . B. 2 8 a . C. 2 2 a . D. 2 16 a .
Câu 31. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau: 7
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là f ( 3 x + 2x) +1 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 ax + b
Câu 32. Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ bên: cx − 1
Giá trị của tổng a + b + c bằng A. 0 B. 4 C. 2 D. 2 −  
Câu 33. Cho ba số thực 1 , a , b c  ;1 
 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức  4  min  1   1   1  P = log b − + log c − + log a − a        4 b   4 c   4  A. P = 3. B. P = 3 3 . C. P = 6 . D. P =1. min min min min
Câu 34. Cho 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác 1. Biết cũng theo
thứ tự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là d , ( a
d  0) . Tính . d 4 4 A. 3 . B. . C. . D. 9 . 9 3
Câu 35. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m để bất phương trình f ( x) + ( 2
− f (x)) f (x)  ( 2 9.6 4 .9
−m + 5m) f (x) .4
nghiệm đúng với mọi x là A. 9 . B. 4 . C. 5 . D. 10 .
Câu 36. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = x − mx − (m − 6) x +1 đồng
biến trên khoảng (0; 4) là. A. ( ) ;3 − . B. 3;6 . C. (  ;6 − . D. (  ;3 − .
Câu 37. Tính tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của x trong khai triển: P ( x) = ( 2 3 100
+ x + x + x + + x )( 2 3 100 1 ...
1− x + x − x + ...+ x ) A. 1. B. 100 2 . C. 0 . D. 99 2 .
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC) . Mặt phẳng (SBC)
cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC) góc 30 . Thể tích của khối chóp
S.ABC bằng 3 8a 3 8a 3 3a 3 4a A. . B. . C. . D. . 9 3 12 9 5b − a a
Câu 39. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn log a = log b = log . Giá trị của 9 16 12 2 b bằng a a a 1+ 6 a 7 + 2 6 A. = 1 − + 6 . B. = 7 − 2 6 . C. = . D. = b b b 5 b 25
Câu 40. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số bậc ba y = f '( x) như hình vẽ bên dưới − Hàm số ( ) (2 ) 1 = ef x g x
đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 1 − ; ) 1 . B. ( 1 − ;+). C. (0;2) . D. (0 ) ;1 .
Câu 41. Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ;x y) thỏa mãn 2  x  2021 và 2y log ( y 1 x 2 − − +
= 2x − y ? 2 ) A. 9 . B. 10 . C. 2022 . D. 2021.
Câu 42. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x − )( x − )3 2 1 13 15 , x   . Tìm số điểm  5x
cực trị của hàm số y = f   2  x + 4  A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 .
Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh SA vuông góc với đáy,
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC). Tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 5 2 2 3 A. cos = . B. cos = . C. cos = . D. cos = . 3 3 3 3
Câu 44. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x −3x + 6x + 5 có hệ số góc nhỏ nhất thì phương trình là
A. y = 3x +12 .
B. y = 3x + 3.
C. y = 3x + 6 .
D. y = 3x + 9 .
Câu 45. Cho hình lăng trụ đều AB . C A BC
  có cạnh đáy AB = a . Trên cạnh BB lấy điểm M sao cho B M
 = 2BM . Biết A M  ⊥ B C
 . Tính thể tích của khối lăng trụ AB . C A BC   3 3a 3 3 3a 3 3a 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 16
Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Mặt phẳng ( P) đi qua A và SB 2
vuông góc với SC , cắt cạnh SB tại B với
= . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . SB 3 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6
Câu 47. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SC = 2, BCS = 45 ; góc giữa hai mặt phẳng
(SAB)và (SBC) bằng 90; góc giữa hai mặt phẳng (SAC)và (SBC) bằng 60. Thể tích khối
chóp S.ABC là 2 2 3 A. V =
B. V = 2 3
C. V = 2 2 D. V = 15 15
Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB và
SC. Hai đường thẳng AN, MN lần lượt cắt mặt phẳng (SBD) tại I và K . Gọi V là thể tích V
khối chóp S.ABCD và V  là thể tích khối tứ diện CNIK . Tỉ số bằng V 1 1 1 1 A. B. C. D.  24 48 36 18
Câu 49. Cho a  0, a  1 vả hai số thực dương b, c thỏa mãn log b = 3 và log c = 2 − , Tính a a 2 3 a b
giá trị của biểu thức P = log . a 5 c
A. P = 9 . B. P = 2 − . C. P = 7 − .
D. P =13 .
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b và cạnh
bên SA = c vuông góc với mặt phằng ( ABCD). Gọi M là một điếm trên cạnh SA sao cho
AM = x , 0  x c . Tìm x để mặt phằng (MBC) chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. ( 5 − )1ab (2− 3)ab (3− 2)c (3− 5)c A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 2c 2c 2 2
---------- HẾT ----------
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( 1 − ;0) và (0;+).
C. Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0 . Lời giải Chọn C
Ta có lim y = − và lim y = + nên x = 0 là tiệm cận đứng. − + x→0 x→0 Mặt khác lim y = 2
− suy ra y = −2 là tiệm cận ngang. x→−
Lại có lim y = 1 suy ra y = 1 là tiệm cận ngang. x→+
Vậy hàm số đã cho có ba đường tiệm cận.
Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình log
4x − m = x +1 có 2 ( )
đúng 2 nghiệm thực phân biệt? A. 0 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn A
Phương trình đã cho tương đương x x 1 + 2 4 − = 2  2 x − 2.2x m − m = 0. ( ) 1 Đặt 2x t =
với t  0 , phương trình ( ) 1 trở thành 2
t − 2t − m = 0 . (2)
Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai   0 1  + m  0  
nghiệm phân biệt dương  S  0  2  0  1 −  m  0 .   P  0 −m  0   Vì m
nên không tồn tại giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 3. Cho hình lăng trụ đứng AB . C A BC
  có đáy ABC là tam giác vuông tại B , biết
AB = a , AC = 2a , CC = 2a . Gọi M , I lần lượt là trung điểm A B
  và BC. Tính góc giữa
hai đường thẳng IM và AC . A. 90 . B. 60 . C. 45. D. 30 . Lời giải Chọn A
Ta có I là trung điểm BC nên I cũng là trung điểm của B C  .
Do đó MI là đường trung bình của tam giác B AC  nên MI A C  . Mặt khác ACC A
  là hình vuông suy ra AC ⊥ A C  .
Vậy AC ⊥ MI hay góc giữa hai đường thẳng IM và AC bằng 90 . cos x − 3
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm y = nghịch biến trên cos x − m    ;  .  2  0  m  3 0  m  3
A. m  3 .
B. m  3 . C.  . D.  . m  1 − m  1 − Lời giải Chọn D
Đặt t = cos x với t ( 1 − ;0).   
t = −sin x  0 x   ;    2  t − 3 Ta có y = . t − m 3 − m Khi đó y = ( . t − m)2 cos x − 3    t − 3 Hàm số y = nghịch biến trên ;    Hàm số y = đồng biến trên ( 1 − ;0) cos x − m  2  t − mm  3 3  − m  0   m0;3)        . m  (− ) m 0 1;0  m  1 − m  1 −
Câu 5. Cho hình lăng trụ ABC A BC
  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc
của điểm A lên mặt phẳng ( ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Biết khoảng cách a 3
giữa đường AA và BC bằng
. Tính theo a thể tích của lăng trụ ABC A BC  . 4 3 a 3 3 a 3 3 a 3 3 a 3 A. . B. . C. . D. . 6 24 12 3 Lời giải Chọn C 2  a 3 Ta có: S = . ABC  4
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC , suy ra A O
 ⊥ (ABC), nên chiều cao của khối lăng trụ ABC A BC   là A O  . BC ⊥ AM
 Gọi M là trung điểm của BC ta có:   BC ⊥ ( A AM ) . BC ⊥ A O   a Trong ( A M  )
A kẻ MH ⊥ AA . Khi đó, ( AABC) 3 d , = MH = . 4 a 3  a 3 HM a 3 1 Trong ABC
đều cạnh a có: AM = và sin HAM = = =  HAM = 30 . 2 AM 2 2 2   A O 2 a 3 3 a
Xét tam giác vuông A OA có: tan30 =  A O
 = AOtan30 =   = . AO 3 2 3 3 2 3 a a 3 a 3 Vậy V =  =  =     A . O S . ABC A B C ABC 3 4 12
Câu 6. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên
và đồ thị (C ) . Tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại
điểm (2;m) có phương trình là y = 4x − 6. Tiếp tuyến của các đồ thị hàm số y = f f (x)   và y = f ( 2
3x −10) tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình lần lượt là y = ax + b và
y = cx + d . Tính giá trị của biều thức S = 4a + 3c − 2b + d .
A. S =176 .
B. S =174 .
C. S =178 . D. S = 26 − . Lời giải Chọn B
 Ta có f (2) = 4.2 −6 = 2 nên tiếp tuyến của (C) tại điềm M (2;2) có phương trình là
y = f (2)( x − 2) + 2.
Theo giả thiết, ta có f (2) = 4.
 Đặt g (x) = f f (x) 
 và h( x) = f ( 2 3x −10) .
Khi đó g(x) = f (x) f  f (x) 
 và h(x) = x f ( 2 6 . 3x −10) . Ta có: f f  (2) = f
(2) = 2 ; h(2) = f (2) = 2;
g(2) = f (2) f (2) =16 ; h(2) =12 f (2) = 48 .
 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = g (x) tại điềm M (2;2) có phương trình y =16x −30 ,
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = h(x) tại điềm M (2;2) có phương trình y = 48x −94 .
 Do đó a =16, b = 3
− 0, c = 48, d = 9 − 4. Suy ra S =174 . −
Câu 7. Tập xác định của hàm số y = ( − x − x ) 2021 2 4 3 là A. . B. ( 4 − ; ) 1 . C. \  4 − ;  1 . D.  4 − ;  1 . Lời giải Chọn C x  1 Hàm số xác định khi 2
4 − 3x − x  0   x  4 −
Tập xác định D = \ 4 − ;  1 . 2 5 − x − 2
Câu 8. Tổng số các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 2 x −1 là A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 0 . Lời giải Chọn D − 5  x  5 2 5  − x  0  Hàm số xác định khi   x 1 2 x −1  0 x  1 − 
Tập xác định D = − 5; 5 \  1 −  ;1  
Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang. Ta có 2 5 − x − 2 1 − 2 5 − x − 2 1 − lim y = lim = , lim y = lim = + + 2 − − 2 x→ 1 − x→ 1 − x −1 4 x→ 1 − x→ 1 − x −1 4 2 5 − x − 2 1 − 2 5 − x − 2 1 − lim y = lim = , lim y = lim = + + 2 − − 2 x 1 → x 1 → x −1 4 x 1 → x 1 → x −1 4
Từ đó suy ra đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng. 2 − − Vậy đồ 5 x 2 thị hàm số y =
không có đường tiệm cận. 2 x −1
Câu 9. Hàm số f ( x) 3 2
= x + ax +bx + 2 đạt cực tiểu tại điểm x =1 và f ( ) 1 = 3
− . Tính b + 2a A. 3 . B. 3 − . C. 15 . D. 15 − . Lời giải Chọn B Ta có f ( x) 2
= 3x + 2ax +b
Hàm số đạt cực tiểu tại x =1 suy ra f ( )
1 = 0  3 + 2a + b = 0 (1) Theo đề f ( ) 1 = 3
− 1+ a +b + 2 = 3 −  a +b = 6 − (2)
Giải hệ (1), (2) ta được a = 3, b = 9 − Vậy b + 2a = 9 − + 2.3 = 3 − . x + m
Câu 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = trên 1;  2 bằng 8 ( m x + 1
là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. 8  m  10 .
B. 4  m  8 .
C. 0  m  4 . D. m  10 . Lời giải Chọn A + − Ta có hàm số x m 1 m y = có y ' = ; x   1 − . x + 1 (x + )2 1
Hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên 1; 
2 nên để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ + m + m
nhất của hàm số trên 1; 
2 bằng 8 thì y ( ) + y ( ) 1 2 41 1 2 = 8  + = 8  m = . 2 3 5 Câu 11. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 8
y = x + (m + ) 5 x − ( 2 m − ) 4 1
1 x + 1 đạt cực tiểu tại x = 0? A. 2 . B. Vô số. C. 4 . D. 3 . Lời giải Chọn A Ta có 8
y = x + (m + ) 5 x − ( 2 m − ) 4 1
1 x + 1. TXĐ: D = 7
y = x + (m + ) 4 x − ( 2 m − ) 3 3 4
x = x x + (m + ) x −  ( 2 m − ) 3 8 5 1 4 1 8 5 1 4
1  = x .g ( x)  với g ( x) 4
= x + (m + ) x − ( 2 8 5 1 4 m − ) 1
Ta có y(0) = 0, m
  . Ta kiểm tra y có đổi dấu khi đi qua điểm x = 0 m = 1
Trường Hợp 1: g (0) 2
= 0  m −1 = 0   m = 1 − + Với 3
m =  y = x ( 4 x + x) 4 = x ( 3 1 8 10 8x +10) .
Khi đó y ' không đổi dấu khi x qua 0 nên m = 1 loại + Với 7 m = 1
−  y = 8x . Khi đó y đổi dấu từ (−) sang (+) khi x qua 0 nên m = 1 − thỏa mãn.
Trường Hợp 2: g (0)  0 để y đổi dấu từ (−) sang (+) khi x qua 0 thì
lim g ( x)  0  4 − ( 2 m − ) 1  0  1
−  m  1;m   m = 0 . x→0
Vậy có tất cả 2 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 4 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A. 3 . B. 6 . C. 2 3 . D. 2 . Lời giải Chọn B
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Do tứ diện ABCD đều nên AO ⊥ (BCD)
Kẻ đường trung trực của cạnh AB , cắt AO tại I . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, R = AI AN AI 2 AB Ta có ANI AOB nên = hay AI = AO AB 2AO
Trong đó AB = 4 và AO là đường cao của tứ diện, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 2  4 3  4 6 BCD . Khi đó 2 2 2 AO = AB − BO = 4 −   =   . 3 3   Vậy R = 6 .
Câu 13. Cho đa thức f (x) có hệ số thực thỏa mãn điều kiện
f ( x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x   .
Số điểm cực trị của hàm số y = xf (x) 2 3
+ x + 4x +1là A. 3 B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn B
Theo giả thiết f (x) + f ( − x) 2 2 1 = x , x
  . Do đó f ( − x) + f (x) = ( − x)2 2 1 1 , x   . 2 f
(x)+ f (1− x) 2 = x 4 f
(x)+ 2 f (1− x) 2 = 2x Ta có    2 f
(1− x)+ f (x) = (1− x)2 2 f
(1− x)+ f (x) 2 = x − 2x +1 4 f
(x)+ 2 f (1− x) 2 = 2x    3 f (x) 2 = x + x − . 2 f
(1− x)+ f (x) 2 1 2 = x − 2x +1
Khi đó y = xf (x) 2 3 + x + 4x +1 = x( 2 x + x − ) 2 2 1 + x + 4x + 1 3 2
= x + 3x + 3x +1 2
y = 3x + 6x + 3  y  0, x  
Vậy hàm số y = xf (x) 2 3
+ x + 4x +1 không có cực trị.
Câu 14. Cho hình lập phương ABC . D A BCD
  có cạnh bằng a 2 . Tính theo a thể tích khối tứ diện ACB D   . 3 2 2a 3 a 3 2a 3 2a A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6 Lời giải Chọn A
Thể tích khối lập phương 3 V = 2 2a V = − − − −   V V V V V ACB D B .ABC D .ACD C.C BD . A A BD   1 1 1 Ta có V =  =  =  BB .S BB .S V A . ABC   3 ABC 6 ABCD 6 3 Do đó 1 1 1 1 2 2a V = − − − − 1 = =   V V V V V V ACB D 6 6 6 6 3 3
Câu 15. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số 3 2
y = −x + 3x − mx có
hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng ( ;0
− ). Số phần tử của tập S là A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải Chọn B Ta có 2 y = 3
− x + 6x − m. Hàm số 3 2
y = −x + 3x − mx có hai điểm cực trị, đồng thời nghịch biến trên khoảng ( ;0 − )
Khi và chỉ khi y = 0 có hai nghiệm phân biệt và y  0, x  (− ;  0) 9  − 3m  0  m  3 m  3         y  0, x    (− ;  0) 2  3
− x + 6x − m  0, x    (− ;  0) 2 m  3 − x + 6 , x x    (− ;  0)
Xét hàm số h( x) 2 = 3 − x + 6x 2 m  3 − x + 6 , x x  (− ;
 0)  m  0 . Do đó 0  m  3 Vậy S = 0;1;  2
Câu 16. Cho hàm số y = f ( x) xác định trên
, hàm số y = f ( x) liên tục và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. y 3 O 1 3 x Hàm số = (4− 2x y f
) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 1 − ;0) . B. (1; ) 3 . C. (0;+) . D. (0 ) ;1 . Lời giải Chọn A x =
Từ đồ thị hàm số y = f ( x) ta có f ( x)  0  x  3; f ( x)  0  x  3 ; f ( x) 1 = 0   x = 3 Xét hàm số = (4− 2x y f ) ta có  = 2x − ln (2). (4−2x y f ). Giải phương trình x  − = nghiêm kép y = 0  2x
− ln (2). f (4− 2x ) = 0  f (4− 2x ) 4 2 1 ( ) = 0   4 − 2x = 3 2x = 3 x = log 3 2     . 2x =1 x = 0 Hàm số = (4− 2x y f
) đồng biến khi   0  2x
− ln (2). (4− 2x )  0  (4− 2x y f f ) 0 4 2x  −
 3  2x 1  x  0 Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0
− ) Hàm số = (4− 2x y f ) đồng biến trên khoảng ( 1 − ;0) .
Câu 17. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm của phương trình f ( x) = 2 là A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Lời giải Chọn B
Số nghiệm của phương trình f ( x) = 2 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x) và
đường thẳng y = 2 .
Kẻ đường thẳng y = 2 , ta có đường thẳng y = 2 cắt đồ thị hàm số y = f ( x) tại một điểm nên
phương trình f (x) = 2 có đúng 1 nghiệm.
Câu 18. Gọi S là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân (u có công bội q khác 1. n ) n
Biết S = 257S và u = 32 . Tính u . 8 4 3 1 A. 2 . B. 3 . C. 8 . D. 4 . Lời giải. Chọn A 8 4  1− q 1− q 8 S = 257S u  = 257u 1
 −q = 257 1−q 8 4 ( 4 1 1 ) Theo đề bài ta có    1− q 1− q   2 u = 32  3   = 2 u q 32  1 u q = 32  1 4 2 q = 256 q =16 8 4
q − 257q + 256 = 0   4 2  
 q =1  q =1 . 2 uq = 32    1 2 2 u q = 32 u q = 32   1 1
Mặt khác theo đề bài cấp số nhân (u có công bội q khác 1 nên 2 q =16 . Với 2 q =16 ta có n ) 2
u q = 32 16u = 32  u = 2 . 1 1 1
Câu 19. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho S là một số có 1000 chữ số. Biết: S = 2 + ( 0 0 0
C + C + ... + C
+ C + C + + C + + C − + C − + C n ) ( 1 1 1 ... n ) ... ( n 1 n 1 n 1 2 1 2 n 1 − n ) n A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D Ta có: S = 2 + ( 0 1 C + C ) + ( 0 1 2
C + C + C ) +...+ ( 0 1 1 C + C + ... n− n + C + C 1 1 2 2 2 n n n n ) n n
Xét khai triển (1+ n) k 0 1 2
= C = C +C +C +... n + C = 2n n n n n n k =0 2 1− 2n 1 2 n ( )
Từ đó ta có: S = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 + = 2 + 2(2n − ) n 1 1 = 2 + 1− 2 Để S là số có 1000 chữ số thì 999 n 1 + 1000 999 1000 10  2 10
 log 10 −1 n  log 10
−1 3317,6  n  3320,9. 2 2
Do n là số nguyên dương  n 3318;3319;332  0 .
Câu 20. Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình log
3.4x + 2.9x = x +1 bằng 6 ( ) A. 1. B. 0. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A Ta có: log
3.4x + 2.9x = x +1 6 ( ) 2 x x    x x x+  2 2 1  3.4 + 2.9 = 6  3. − 6. + 2 = 0     ( ) 1  3   3  x   Đặ 2 t = t,   (t  0).  3  Khi đó ( ) 1 2
 3t − 6t + 2 = 0
Hiển nhiên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt t ,t thỏa mãn 1 2 1 x 2 x 2  2   2  2 t .t =  .
=  x + x =1. 1 2     1 2 3  3   3  3
Câu 21. Phương trình log ( 3
mx − 6x ) + 2log ( 2 1
− 4x + 29x − 2 = 0 có 3 nghiệm thực phân 1 2 ) 2 biệt khi 39
A. m  19 . B. 19  m  .
C. m  39 .
D. 19  m  39. 2 Lời giải Chọn B
Phương trình tương đương
mx − x = − x + x −
log (mx − 6x ) = log ( 1
− 4x + 29x − 2) 3 2 6 14 29 2 3 2   2 2 2  1
− 4x + 29x − 2  0  2 2
m = 6x −14x + 29 −  x   1   x  2 14  2  1 
Xét hàm số f ( x) 2
= 6x −14x + 29 − trên ; 2   x 14   x =1  3 2 12x −14x + 2 1
Ta có f ( x) = = 0   x = 2 x  2  1
x = − (loai)  3 Bảng biến thiên
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình f (x) = m có 3 nghiệm  1  BBT 39 phân biệt thuộc khoảng ; 2 ⎯⎯⎯ 1 → 9  m    14  2
Câu 22. Cho tam giác ABC cân tại A , góc BAC =120 và AB = 4 cm . Tính thể tích khối tròn
xoay lớn nhất có thể khi ta quay tam giác ABC quanh đường thẳng chứa một cạnh của nó. 16 16 A.  ( 3 16 3 cm ) . B.  ( 3 16 cm ). C. ( 3 cm ) . D. ( 3 cm ) . 3 3 Lời giải Chọn B A B C H
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BC .
Quay đường gấp khúc BAC quanh trục BC thu được khối tròn xoay có hình dạng là hai khối
nón đỉnh B và đỉnh C , chung đáy là đường tròn (H; HA) . 1
Xét khối nón ( N có đỉnh là B , đáy là đường tròn (H; HA) có 2
V =  .BH.AH 1 ) 1 N 3 1
Xét khối nón ( N có đỉnh là C , đáy là đường tròn (H; HA) có 2 V = .CH.AH 2 ) N2 3 2 1 4 S
Vậy thể tích khối tròn xoay nhận được bằng: 2 V V VAH . ABC BC  = + = = . BC 1 N N2 3 3.BC 1 Ta có 2 S = AB sin120 = 4 3 . ABC  2 Ta có 2 2 BC =
AB + AC − 2A . B A . C cos120 = 4 3 .   S ( )2 2 4 4 3 4 16 3 Vậy ABC V = = = . BC 3.BC 3.4 3 3  4 S ( )2 2 4 4 3 Tương tự ABC V =V = = =16 . AB AC 3.AB 3.4 Vậy V =16 . max
Câu 23. để phương trình log (x − ) 1 = log
mx − 8 có hai nghiệm thực phân biệt là 2 ( ) 2 A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. Vô số. Lời giải Chọn A Ta thấy log
(x− )1 = log mx−8 2 ( ) 2 x 1  x 1   (     x −  )2 1 = mx −8  f  (x) 2
= x −(m+ 2) x +9 = 0( ) * . YCBT  ( )
* có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1  m  4  2  = 
m + 4m − 32  0   −  m 8    f ( ) 1 = −m + 8  0  m  8  4  m  8.   S m + 2   =  m 0 1   2 2  Vậy: m5,6,  7 .
Câu 24. Cho bất phương trình: 1+ log ( 2 x + ) 1  log ( 2
mx + 4x + m
1 . Tìm tất cả các giá trị 5 5 ) ( ) của m để ( )
1 được nghiệm đúng với mọi số thực x .
A. 2  m  3. B. 3
−  m  7. C. m(− ;   3 7;+). D. 2  m  3 . Lời giải Chọn A Điều kiện: 2
mx + 4x + m  0, x   . Ta có 1+ log ( 2 x + ) 1  log ( 2
mx + 4x + m)  log ( 2 5x + 5)  log ( 2
mx + 4x + m 5 5 5 5 ) 2 2
x +  mx + x + m  (m− ) 2 5 5 4
5 x + 4x + m − 5  0 2
mx + 4x + m  0, x    (2)
Điều kiện bài toán  (  m −5 
) 2x + 4x + m−5  0, x   (3) m  0 m  0
 Giải (2) ; Do m = 0 không thỏa (2) nên (2)      m  2 . 2    0 4 − m  0  Giải ( ) 3 ; Do m = 5 không thỏa ( ) 3 nên m  5  −    ( m m   3) 5 0 5    
 m   m   .   0 4 −  (m−5) 3 3 2  0  m  7 Suy ra 2  m  3.
Câu 25. Một khối cầu có thể tích V đi qua đỉnh và đường tròn đáy của một khối nón có thiết
diện qua trục là một tam giác đều. Tỉ số thể tích khối cầu và thể tích khối nón là 32 9 23 32 A. . B. . C. . D. . 9 32 32 23 Lời giải Chọn A S I A H B
Xét khối cầu và khối nón như hình vẽ Gọi độ dài cạnh x 3 x 3 x
SA = x , ta có SH = , SI = , AH = 2 3 2 3 3 2 4  x 3  4 3 x 3 1 x 3 x .x . 3 Ta có V =    = ; V . .   = . = . C     3 3 27   N 3 2  2  24 V 32 Vậy C = . V 9 N
Câu 26. Một hình trụ có bán kính đáy bằng .
a Cắt hình trụ bởi mặt phẳng song song với trục a
và cách trục một khoảng
ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ. 2 3 a 3 A. 3 3 a . B. 3 a 3. C. . D. 3  a . 4 Lời giải Chọn B Ta có
ABCD là hình vuông, H là trung điểm cạnh AB , khi đó ta có a a 3 OH = ; AH =
AB = a 3 = B . C 2 2
Vậy thể tích khối trụ bằng 2 3
V = a 3..a = a 3.
Câu 27. Cho tập hợp S gồm 20 số tự nhiên từ 1 đến 20 . Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S , xác
suất để ba số lấy được lập thành một cấp số cộng là 5 1 3 7 A. . B. . C. . D. . 38 114 38 38 Lời giải Chọn C
Số cách chọn 3 số trong 20 số là : n() 3 = C , 20
Gọi A là biến cố “ba số lấy được lập thành một cấp số cộng”
Giả sử ba số a,b,c số lập thành cấp số cộng  a + c = 2b
Do đó nếu ta chọn được 2 số bất kì a và c có tổng chẵn thì ta tìm được b .
TH1 : Chọn được 2 số lẻ  Số cách chọn là 2 C 10
TH2 : Chọn được 2 số chẵn  Số cách chọn là 2 C 10  2.C 3 n( ) 2
A = 2.C . Vậy P ( A) 2 10 = = . 10 3 C 38 20
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x − )
1 có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
2 f (x) 4x y  − =
đạt cực tiểu tại điểm nào?
A. x =1 .
B. x = 2 .
C. x = 0 . D. x = 1 − . Lời giải Chọn C. −
Ta có y =  f   (x) 2 f ( x) 4 2 − 4  ln  .
y = 0  2 f ( x) − 4 = 0  f ( x) = 2 . x = 1 − (nghiem boi chan) 
Mặt khác ta có f ( x − ) 1 = 2  x = 1  x −1 = 0 
(ta chỉ lấy nghiệm bội x = 2  (nghiem boi chan) lẻ).
Do đó f (x) = 2  x = 0 . Bảng xét dấu
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 .
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a , tam giác SAB
đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Gọi M là trung điểm của AD .
Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCM ) là 3a 2 a 2 A. . B. a 2 .
C. 3a 2 . D. . 8 2 Lời giải ChọnA. Kẻ 3
SH ⊥ AB . Suy ra SH = 2a
= a 3 (đường cao của tam giác SAB đều). 2 (  SAB  ) ⊥ (ABCD) Mặt khác ( .  SAB  )(ABCD) = AB
Do đó SH ⊥ ( ABCD).
Trong ( ABCD) , K = AB CM .
Kẻ BN ⊥ KC , HI ⊥ KC do đó BN//HI .
Kẻ HJ ⊥ AI .
Khi đó HJ ⊥ (SCM )  d(H;(SCM )) = HJ .
Xét tam giác KBC , ta có: AM KA KA 1 AM //BC  = 
=  KB = 2KA = 4a . BC KB KB 2
Xét tam giác KBC vuông tại B , đường cao BN , ta có: 1 1 1 BC BK 2a  4a 4a 5 = +  BN = = = . 2 2 2 2 2 2 2 BN BC BK + + 5 BC BK 4a 16a Ta lại có HI KH HI 3 3a 5 BN //HI  =  =  HI = . BN KB BN 4 5
Xét tam giác SHI vuông tại H , đường cao HJ , ta có: 1 1 1 HS HI 3a 2 = +  HJ = = . 2 2 2 2 2 HJ HS HI + 4 HS HI BK 4 d ( ; B (SCM )) 4 4 Mà =  =  B SCM =  H SCM = a . HK d ( d ( ; ) d ( ; ) H;(SCM )) ( ) ( ) 2 3 3 3
Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B . Biết
AB = BC = a 3 , SAB = SCB = 90 và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC ) bằng a 2 .
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC . A. 2 12 a . B. 2 8 a . C. 2 2 a . D. 2 16 a . Lời giải Chọn A.
Kẻ SH ⊥ ( ABC)  SH ⊥ AB .
Mà SA ⊥ AB . Do đó AB ⊥ (SAH )  AB ⊥ AH BAH = 90 .
Chứng minh tương tự ta có CB ⊥ CH BCH = 90 . Mà ABC = 90 .
Suy ra ABCH là hình chữ nhật.
Do đó AH BC AH (SBC)  d( ;
A (SBC)) = d(H;(SBC)) = a 2 .
Kẻ HK ⊥ SC HK ⊥ (SBC)  d(H;(SBC)) = HK HK = a 2 . 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có = +  = − = − . 2 2 2 2 2 2 2 2 HK HS HC HS HK HC 2a 3a
Do đó HK = a 6 .
Áp dụng định lí Pytago cho tam giác SHC , ta có: 2 2 2 2 2 2
SC = SH + HC = 6a + 3a = 9a .
Suy ra SC = 3a .
Áp dụng định lí Pyatago cho tam giác SCB , ta có: 2 2 2 2 2 2
SB = SC + BC = 9a + 3a = 12a .
Suy ra SB = 2a 3 . Gọi SB
I là trung điểm của SB , khi đó ta có IS = IB = IA = IC = = a 3 . 2
Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC .
Suy ra diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là S =  (a )2 2 4 3 =12a .
Câu 31. Cho hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên
và có bảng biến thiên như sau: 7
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là f ( 3 x + 2x) +1 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 Lời giải Chọn D Ta có:
( 3x + x) = +  ( f ( 3 lim lim x + x) + ) 1 = + x→+ x→+
( 3x + x) = +  ( f ( 3 lim lim x + x) + ) 1 = − x→− x→− Do đó 7 7 lim
= . Vậy đồ thị hàm số y =
có một đường tiệm cận x→ f ( 0 3 x + 2x) +1 f ( 3 x + 2x) +1
ngang là đường thẳng y = 0 .
Xét phương trình f ( 3
x + x) + =  f ( 3 x + x) 3 1 0 = 1
−  x + x = a,(a  − ) 1 ( ) *
Xét hàm số g ( x) 3 2 = x + ,
x g = 3x +1  0 với x
  nên g (x)đồng biến trên mà
lim g ( x) = − ;
 lim g (x) = + nên phương trình 3
x + x = a có nghiệm duy nhất do đó đồ thị x→− x→+ 7 hàm số y =
có một đường tiệm cân đứng. f ( 3 x + 2x) +1 7
Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là 2 . f ( 3 x + 2x) +1 ax + b
Câu 32. Cho hàm số y =
có đồ thị như hình vẽ bên: cx − 1
Giá trị của tổng a + b + c bằng A. 0 B. 4 C. 2 D. 2 − Lời giải Chọn C
Theo đồ thị của hàm số ta có: Đồ 1
thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1  = 1  c = 1. c Đồ a
thị có đường tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 −  = 1
−  a = −c a = 1 − . c
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 nên 2a + b = 0  b = 2 .
Vậy a + b + c = 1 − +1+ 2 = 2  
Câu 33. Cho ba số thực 1 , a , b c  ;1 
 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của biểu thức  4  min  1   1   1  P = log b − + log c − + log a − a        4 b   4 c   4  A. P = 3. B. P = 3 3 . C. P = 6 . D. P =1. min min min min Lời giải Chọn C. 2  1   1  Ta có a −  0, a   ;1   
 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 a = .  2   4  2 1 Nên 2 a a −
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 a = . 4 2 Tương tự 1 2 b b −
, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 b = 4 2 1 2 c c −
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 c = . 4 2 Vì , a , b c
0;1 nên log b  0,log c  0,log a  0 a b c  
Do đó với cơ số thuộc 1 ;1   thì 2 2 2
P  log b + log c + log a = 2(log b + log c + log a a b c a b c )  4  Suy ra 3 P  2.3 log . b log . c log a = 6 . a b c  1
a = b = c =
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1  2
a = b = c = . 2
log b = log c = log aa b c
Vậy P = 6 khi và chỉ khi 1
a = b = c = . min 2
Câu 34. Cho 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác 1. Biết cũng theo
thứ tự đó chúng lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là d , ( a
d  0) . Tính . d 4 4 A. 3 . B. . C. . D. 9 . 9 3 Lời giải Chọn A.
Do a, b, c theo thứ tự lần lượt là số thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng công sai là b  = a + 3d
d , (d  0) nên  .
c = a + 7d
Hơn nữa a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội khác 1 nên 2 ac = b .
Khi đó a(a + d ) = (a + d )2 2 2 2 7 3
a + 7ad = a + 6ad + 9d a 2
 9d − ad = 0  9d = a  = 9 (Do d  0 ). d Vậy a = 9 . d
Câu 35. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ
Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số
m để bất phương trình f ( x) + ( 2
− f (x)) f (x)  ( 2 9.6 4 .9
−m + 5m) f (x) .4
nghiệm đúng với mọi x là A. 9 . B. 4 . C. 5 . D. 10 . Lời giải Chọn D. f ( x) Ta có + ( 2
− f (x)) f (x)  ( 2 9.6 4 .9
−m + 5m) f (x) .4 2 f ( x) f ( x)  (  3   3  2 4 − f ( x)) 2 . + 9.  −m + 5     m ( ) 1  2   2 
Từ đồ thị hàm số suy ra f ( x)  2, − x 2 f ( x)   f ( x) 2 −     Do đó ( 3 3 3 2 4 − f ( x))  0, x     và 9.  9. = 4, x       .  2   2   2  2 f ( x) f ( x)  3   3  Suy ra ( 2 4 − f ( x)). + 9.  4, x       .  2   2 
Dấu " = " xảy ra khi x = 2 − (khi đó f (2) = 2
− ) nên giá trị lớn nhất của hàm số 2 f ( x) f ( x)     g ( x) = ( 3 3 2 4 − f ( x)). + 9.     là 4.  2   2  Vậy ( ) 1 có nghiệm đúng x   khi và chỉ khi 2
4  −m + 5m  1  m  4 .
Do m là số nguyên nên m1, 2, 3,  4 .
Suy ra tổng các giá trị m là S =1+ 2 + 3+ 4 =10 .
Câu 36. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2
y = x − mx − (m − 6) x +1 đồng
biến trên khoảng (0; 4) là. A. ( ) ;3 − . B. 3;6 . C. (  ;6 − . D. (  ;3 − . Lời giải Chọn D. Ta có: 2
y = 3x − 2mx − (m − 6) .
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 4) khi và chỉ khi y  0 , x  (0;4). 2 + 2  3x 6
3x − 2mx − (m − 6)  0 x  (0;4)   m x  (0;4) 2x +1 x +
Xét hàm số g ( x) 2 3 6 = trên (0; 4) . 2x +1 + − x =1(0;4) g( x) 2 6x 6x 12 =  =  ( , g ( x) 0  2x + )2 1 x = 2 −   (0;4) Ta có bảng biến thiên: 2 3x + 6
Vậy để g ( x) =  m x
 (0;4)thì m  3. 2x +1 Vậy m(−  ;3 .
Câu 37. Tính tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của x trong khai triển: P ( x) = ( 2 3 100
+ x + x + x + + x )( 2 3 100 1 ...
1− x + x − x + ...+ x ) A. 1. B. 100 2 . C. 0 . D. 99 2 . Lời giải Chọn C Giả sử P(x) 200 199
= a x + a x +...+ a x + a . 200 199 1 0 Ta có: P( ) 1 = a
+ a +...+ a + a =101. 200 199 1 0 P(− ) 1 = a
− a + a − a +...+ a − a + a =101. 200 199 198 197 2 1 0 1 Suy ra: a
+ a +...+ a = P 1 − P 1 −  = 0 199 197 1  ( ) ( ) . 2
Vậy tổng các hệ số của các lũy thừa lẻ của x bằng 0 .
Câu 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ⊥ ( ABC) . Mặt phẳng (SBC)
cách A một khoảng bằng a và hợp với mặt phẳng ( ABC) góc 30 . Thể tích của khối chóp S.ABC bằng 3 8a 3 8a 3 3a 3 4a A. . B. . C. . D. . 9 3 12 9 Lời giải Chọn A S K A C M B
Gọi M là trung điểm của BC , trong (SAM ) kẻ AK ⊥ SM tại K .
Suy ra AK ⊥ (SBC)  AK = d ( ;
A (SBC)) = a . Lại có ( AK AK 2a
SBC ),( ABC) = SMA = 30 . Suy ra AM = = 2 ; a SA = = . sin AMK sin ASK 3 2 4a Suy ra BC = AM = . 3 3 2  4a  3   3 Vậy 1 1 2a  3  8a V = S . A S =   = . S.ABC 3 ABC 3 3 4 9 5b − a a
Câu 39. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn log a = log b = log . Giá trị của 9 16 12 2 b bằng a a a 1+ 6 a 7 + 2 6 A. = 1 − + 6 . B. = 7 − 2 6 . C. = . D. = b b b 5 b 25 Lời giải Chọn B  a = 9t −  Đặ 5b a
t log a = log b = log = t b  =16t 9 16 12 2 5b−a  =12t  2 t t     t t t 9 12
Suy ra 5.16 − 9 = 2.12  5 − = 2.     16  16  t  3   = 1 − + 6 2t t    3   3   4  + 2 − 5 = 0       4   4  t   3   = 1 − − 6   (L)  4  t 2t 2 a  9   3  Mà = = =     ( 1−+ 6) =7−2 6. b 16   4 
Câu 40. Cho hàm số y = f ( x) . Đồ thị của hàm số bậc ba y = f '( x) như hình vẽ bên dưới − Hàm số ( ) (2 ) 1 = ef x g x
đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. ( 1 − ; ) 1 . B. ( 1 − ;+). C. (0;2) . D. (0 ) ;1 . Lời giải Chọn D − Ta có ( ) = ( − ) (2 )1 2 2 1 e f x g x f x .  5 2x −1  4 x
Suy ra g( x)  0  f (2x − ) 1  0     2 .  1 −  2x −11  0  x 1  5 
Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (0 ) ;1 và ; +  .  2 
Câu 41. Có bao nhiêu cặp số nguyên
( ;x y) thỏa mãn 2  x  2021 và 2y log ( y 1 x 2 − − +
= 2x − y ? 2 ) A. 9 . B. 10 . C. 2022 . D. 2021. Lời giải Chọn B Ta có  +  + x y 2 2y 2y log ( y 1 x 2 − − + = 2x − y 1  2 − log 
 = 2x + 2y − y 2 ) 2  2  y 1 2 +  + ( + ) 1 = log 2 + 2y + 2 + 2y y x x ( ) * 2 ( ) Xét hàm số ( ) = 2u f u
+u , ta có ( ) = 2u f u ln 2 +1  0, u
 Hàm số ( ) = 2u f u +u đồng biến do đó từ ( ) * ta có 1 log (2 2y ) y 1 2 + + = +  = 2 + 2y  2y y x x = 2x. 2
Mặt khác theo giả thiết 2   2021  4  2  4042  4  2y x x
 4042  2  y  log 4042 . 2
Do y là số nguyên nên y 2;3;4;5;6;7;8;9;10;1 
1 có 10 cặp số nguyên ( ; x y) thỏa mãn điều kiện
Câu 42. Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ( x) = x ( x − )( x − )3 2 1 13 15 , x   . Tìm số điểm  5x
cực trị của hàm số y = f   2  x + 4  A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 . Lời giải Chọn C Ta có:   5( 2 x + 4) 2 3 5x   5x  − 5 .
x 2x  5x   5x  5xy = . f      = −1 13. −15      2 2  x + 4   x + 4  (x + )2 2 2 2 2
x + 4   x + 4  x + 4 4  3 2 2 2 2 5
− x + 20  5x   5x − x − 4  65x −15x − 60  = (      x + )2 2 2 2 2
x + 4   x + 4  x + 4 4 
5(2 − x)(2 + x) (5x)2 (x − )
1 (4 − x) (3 − x)3 (15x − 20)3 = (    x + )2 (x + )2 2 2 2 x + 4 4 4 ( 2x +4)3  x = 2 x = 2 −  x = 0 
y = 0  x = 1 x = 4  x = 3  4 x =  3   Do phương trình 5x
y = 0 có 6 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép nên hàm số y = f   có 6 2  x + 4  điểm cực trị.
Câu 43. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh SA vuông góc với đáy,
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2 . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC). Tính cos khi thể tích khối chóp S.ABC nhỏ nhất. 5 2 2 3 A. cos = . B. cos = . C. cos = . D. cos = . 3 3 3 3 Lời giải Chọn D S H A C I B
Gọi I là trung điểm BC . Ta có BC ⊥ (SAI ) nên mp (SBC) vuông góc mp (SAI ) theo giao
tuyến SI . Kẻ AH ⊥ SI tại H thì AH ⊥ (SBC) hay AH = d ( ,
A (SBC)).Ta cũng có góc tạo
bởi (SBC) và ( ABC) là SIA. Theo giả thiết AH = 2 và  = SIA . AH 2 AB 3 2AI 4 Lại có AI = = , mặt khác = AI hay AB = = sin SIA sin  2 3 3 sin 2 SA = AI.tan = . cos Thể tích khối chóp S.ABC là 2 1 1 AB 3 1 16 3 2 8 3 V = S .SA = .SA = . . = . ABC 2 2 3 3 4 12 3sin  cos 9sin .cos V nhỏ nhất khi 2
P = sin .cos lớn nhất.  Ta có P = ( 2 −  ) 3 1 cos
cos = − cos  + cos . Đặt t = cos . Do 0    nên t (0; ) 1 . 2 Xét hàm số ( ) 3 f t = t
− +t , t (0; )
1 ta có f (t) 2 = 3
− t +1; f (t) 3 = 0  t = . 3 Bảng biến thiên:
Vậy V nhỏ nhất khi 3 cos = . 3
Câu 44. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2
y = x −3x + 6x + 5 có hệ số góc nhỏ nhất thì phương trình là
A. y = 3x +12 .
B. y = 3x + 3.
C. y = 3x + 6 .
D. y = 3x + 9 . Lời giải Chọn C Xét hàm số 3 2
y = x −3x + 6x + 5 có 2
y = 3x − 6x + 6.
Gọi x là hoành độ tiếp điểm. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ 0
x là k = 3x − 6x + 6 = 3 x −1 + 3  3. 0 0 ( 0 )2 2 0
Đẳng thức xảy ra khi x =1, khi đó k = 3, tiếp điểm là (1;9) . 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 3( x − )
1 + 9 hay y = 3x + 6 .
Câu 45. Cho hình lăng trụ đều AB . C A BC
  có cạnh đáy AB = a . Trên cạnh BB lấy điểm M sao cho B M
 = 2BM . Biết A M  ⊥ B C
 . Tính thể tích của khối lăng trụ AB . C A BC   3 3a 3 3 3a 3 3a 3 3a 3 A. . B. . C. . D. . 8 8 4 16 Lời giải Chọn B
Cách 1: Gọi I là trung điểm của B C  . A' B' I C' M A B C
A I ⊥ B C   Ta có 
A I ⊥ (BCC B
 )  A I ⊥ B C  .
A I ⊥ BB Lại có B C  ⊥ A M  nên B C  ⊥ (A M
I ) suy ra B C  ⊥ MI . Khi đó B C
 .MI = 0  (B C   + B B
 ).(MB+ B I ) = 0  (   B C   + B B  ) 2 1 . − B B  + B C   = 0    3 2  1 2 2 2  B C   − B B  = 0 2 3 1 2 2 3a a 3 2 2  a − B B  = 0 2  B B  =  B B  = . 2 3 4 2 2 3
Thể tích khối lăng trụ là a 3 a 3 3a V =  = =    BB .S . . ABC.A B C ABC 2 4 8
Cách 2: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Chọn a = 2 và đặt AA = 3x , với x  0 . z A B C M y A' B' C' x
Ta có A(0;0;0), B(0; 2;0),C( 3;1;0),C ( 3;1;3x); M (0;2;2x) . Suy ra A M
 = (0;2;2x) ; B C  = ( 3; 1 − ;3x). Theo đề bài 3 2
A' M ⊥ B C   A M  .B C  = 0  2
− + 6x = 0  x = . 3 Do vậy a 3 AA = 3x = 3 = . 2 2 3
Thể tích khối lăng trụ là a 3 a 3 3a V =  = =    AA .S . . ABC.A B C ABC 2 4 8
Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Mặt phẳng ( P) đi qua A và SB 2
vuông góc với SC , cắt cạnh SB tại B với
= . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . SB 3 3 a 6 3 a 6 3 a 6 3 a 6 A. . B. . C. . D. . 4 2 3 6 Lời giải Chọn D S B' H A B O D C
Trong mặt phẳng (SAC) vẽ AH ⊥ SC tại H .
Trong mặt phẳng (SBC), qua H dựng HB ⊥ SC với BSB . 2
Cách 1: Đặt SA = SB = SC = SD = x, x  0 suy ra SB = x . 3 2 2 2 2 2 ( 2 2 2x − a )
BS + CS − BC 2x − a .x Ta có cos BSC = =
suy ra SH = SB .cos BSC = . 2 2BS.CS 2x 3x 2 2 2 + − 2 2 2 2 − − Lại có SH AS CS AC 2x a x a cos ASH = =  = . SA 2AS.CS 2 2 3x x 2 2
x − a = ( 2 2 x − a ) 2 2 2 3
x = 2a x = a 2   Khi đó = − = ( a a SO SC CO a 2 ) 2 2 2 6 2 2 −   =   . 2 2   3 Thể tích khối chóp là 1 1 a 6 a 6 2 V = S . O S = . .a = . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6
Cách 2: Gọi K = AH SO . S H B' K A B O D C
(P) ⊥ SC  
Ta có BO ⊥ SC   BO // ( P) mà ( )( ) 2 =   // SK SB SBO P KB KB BO  = = .  SO SB 3 BO  ( P)
Suy ra K là trọng tâm tam giác SAC nên AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao. Từ đó ta được AC a A
SC cân tại A do vậy SAC đều 3 6  SO = = . 2 2 3 Thể tích khối chóp là 1 1 a 6 a 6 2 V = S . O S = . .a = . S.ABCD 3 ABCD 3 2 6
Câu 47. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SC = 2, BCS = 45 ; góc giữa hai mặt phẳng
(SAB)và (SBC) bằng 90; góc giữa hai mặt phẳng (SAC)và (SBC) bằng 60. Thể tích khối
chóp S.ABC là 2 2 3 A. V =
B. V = 2 3
C. V = 2 2 D. V = 15 15 Lời giải Chọn D  ⊥
Giả sử CE ⊥ SB mà ( ) ⊥ ( )  ⊥ ( ) CE SA SAB SBC CE SAB   CE ⊥ AB
Ta lại có: SA ⊥ ( ABC) nên CE CB .
Kẻ BH ⊥ AC, HK ⊥ SC
Ta có BH ⊥ AC, BH ⊥ SA BH ⊥ (SAC)  BH ⊥ SC SC ⊥ (BHK )  SC ⊥ BK
Từ đó ta có (SAC) (SBC) =  (KH KB) 0 , , = BKH = 60 Ta có S
BC vuông cân tại B SB = BC = 2 . Ta có K
BC vuông cân tại K KB = KC =1. Từ đó ta suy ra 1 3 5 HK = ; BH = ; HC = . 2 2 2 2 BC 4 Xét ABC  ta có 2
HC.AC = BC AC = = HC 5 2 Ta có: 2 2
SA = SC − AC = 5 1 1 1 2 1 3 4 2 3 Vậy V = S . A BH.AC = . . . . = S.ABC 3 2 3 5 2 2 5 15
Câu 48. Cho hình chóp S.ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt là trung điểm của AB và
SC. Hai đường thẳng AN, MN lần lượt cắt mặt phẳng (SBD) tại I và K . Gọi V là thể tích V
khối chóp S.ABCD và V  là thể tích khối tứ diện CNIK . Tỉ số bằng V 1 1 1 1 A. B. C. D.  24 48 36 18 Lời giải Chọn B
Trong mặt phẳng ( ABCD) gọi O = AC B ;
D J = CM BD .
Trong mặt phẳng (SAC)gọi I = SO AN, SO  (SBD)  I = AN (SBD) .
Trong mặt phẳng (SCM ) gọi K = MN SJ, SJ  (SBD)  K = MN (SBD) . V CN Ta có C.NIK = =1V =V . C.NIK S.NIK V SN S.NIK V SI SN SK
Ta lại có: S.NIK = . . V SO SC SJ S.COJ SI 2
Ta có I là trọng tâm tam giác SAC  = . SO 3 SN 1
Ta có N là trung điểm SC  = . SC 2
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SCJ với 3 điểm N , K , M thẳng hàng nằm trên 3 cạnh KS MJ NC KS 1 KS SK 3
của cho tam giác SCJ , ta có: . . =1 . .1 = 1  = 3  = KJ MC NS KJ 3 KJ SJ 4 MJ 1
( Ta có J là trọng tâm tam giác ABC  = .) MC 3 V 2 1 3 1 1 1
Ta suy ra S.NIK = . . = V = VV = V . S.NIK S.COJ C.NIK S. V 3 2 4 4 4 4 COJ S.COJ V S Ta có S.COJ COJ = V S S.ABCD ABCD 1 1 1 1 1 1 Ta có: S = d J AC CO = d B AC AC = S = S COJ ( ; ). . ( ; ). 2 2 3 2 6 ABC 12 ABCD V 1 1 1 S.COJ  = V = VV = V S.COJ S.ABCD C.NIK S. V 12 12 48 ABCD S.ABCD V  1 Vậy = V 48
Câu 49. Cho a  0, a  1 vả hai số thực dương b, c thỏa mãn log b = 3 và log c = 2 − , Tính a a 2 3 a b
giá trị của biểu thức P = log . a 5 c
A. P = 9 . B. P = 2 − . C. P = 7 − .
D. P =13 . Lời giải Chọn D 2 3 a b 1 1 2 3 5 P = log
= log a + log b − log c = 2 + log b −5log c = 2 + .3−5 2 − =13. a 5 a a a a a ( ) c 3 3
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = b và cạnh
bên SA = c vuông góc với mặt phằng ( ABCD). Gọi M là một điếm trên cạnh SA sao cho
AM = x , 0  x c . Tìm x để mặt phằng (MBC) chia khối chóp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau. ( 5 − )1ab (2− 3)ab (3− 2)c (3− 5)c A. x = . B. x = . C. x = . D. x = . 2c 2c 2 2 Lời giải Chọn D
M (MBC)(SAD) 
 (MBC)(SAD) = MN, MN / /A ,
D MN SD = N . AD / /BC
Mặt phẳng (MBC) chia khối chóp thành hai khối đa diện là khối chóp S.MNBC và khối MNBCAD . V =V +V . S.MNBC S.MBC S.MCN V MA (c − x) S.MBC = V = .V ; S.MBC S. ABC V SA c S. ABC 2 2 V SM SNc − x   c − x S .MNC = .  V = .V = .V S .MDC   S.ADC   S.ABC V SA SDc   c S . ADC c − x c − x V = 1+ .V . S.BCMN   S.ABC c c  Theo bài ra ta có
c − x   c − x V = V = 1+ .V = Vc − x
c − x = c x − cx + c = S MNBC S ABC     S ABC S ABC ( )(2 ) 2 2 2 3 0 . . . .  c   c   3 − 5 x = c 2 3 − 5  x     x = c do 1    + 2 3 5  c  x = c  2