Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Hoài Nhơn – Bình Định

BD HSG – Toán 8
ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951 UBND THỊ XÃ HOÀI NHƠN
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ PHÒNG GD – ĐT
Năm học: 2023 – 2024
Môn: TOÁN 8 – Ngày thi: 13/04/2024
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ---------- oOo ---------- 4 2 2 x  2 x 1 x  3
Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: A    . 6 4 2 4 2 x 1 x  x 1 x  4x  3
a) Tìm điều kiện xác định của A . b) Rút gọn A .
c) Tính giá trị lớn nhất của A .
Bài 2. (4,0 điểm)
a) Cho ba số a , b , c thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
4a  2b  2c  4ab  4ac  2bc  6b 10c  34  0 . 2 024 2 024 2 024
Tính giá trị của biểu thức: B  a  4 b 4 c 4 .
b) Biết m , n , p là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng: m  n  p 2 2 2 2 2 2 4m n  0 .
Bài 3. (4,0 điểm)
a) Cho a , b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp.
Chứng minh rằng ab  a b 1 chia hết cho 48 .
b) Cho a và b là các số tự nhiên của hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2
2a  a  3b  b .
Chứng minh rằng: a b và 3a  3b 1 là các số chính phương.
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của
điểm C qua P .
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng AB , AD . Chứng
minh EF  AC và ba điểm E , F , P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỷ số hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc
vào vị trí của điểm P . PD 9
d) Giả sử CP  BD và CP  2, 4 cm ; 
. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật PB 16 ABCD .
Bài 5. (3,0 điểm)
Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác ABC . Tia AO cắt BC tại
D . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho DE  DB ; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho DF  DC .
a) Chứng minh: DA là tia phân giác của  EDF .
b) DE cắt OB tại I ; DF cắt OC tại K . Tam giác IOK là tam giác gì? Vì sao?
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho tam giác OAB có 
O  120 , OA  a , OB  b và đường phân giác của góc O là OC  c . 1 1 1 Chứng minh:   . a b c
----------  HẾT  ---------- GV: Lê Hồng Quốc
" Lửa thử vàng, gian nan thử sức " Trang 1 BD HSG – Toán 8
ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951
ĐÁP ÁN THAM KHẢO – HSG TOÁN 8 – HOÀI NHƠN 2023 4 2 2 x  2 x 1 x  3
Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức: A    . 6 4 2 4 2 x 1 x  x 1 x  4x  3
a) Tìm điều kiện xác định của A . b) Rút gọn A .
c) Tính giá trị lớn nhất của A . a) Ta có  6
x 1 0 , với mọi x 2  1 3  4 2 2
x  x 1  x      0  , với mọi x .  2 4  4 2
x  4x  3  0 , với mọi x .
 Do đó A xác định với mọi x . 4 2 2 x  2 x 1 x  3
b) Ta có: A    6 4 2 4 2 x 1 x  x 1 x  4x  3 4 2 2 x  2 x 1 x  3     2 x   1  4 2 x  x   4 2 1 x  x 1  2 x   1  2 x  3 4 x  2  2 x   1  2 x   1  4 2 x  x   1 4 2 x  x    2 x   1  4 2 x  x   1  2 x   4 2
1 x  x   1 2 x  2 x   2 1 x    . 2 x   1  4 2 x  x   4 2 1 x  x 1 2 x  Vậy A  . 4 2 x  x 1 c) Ta có: 4 4 2
x 1 2 x 1  2x  4 2 2
x  x 1  x . Dấu "  " xảy ra khi 4
x  1  x  1 . 2 2 x x Do đó A   1. 4 2 2 x  x 1 x  Vậy A 1 khi x  1. max
Bài 2. (4,0 điểm)
a) Cho ba số a , b , c thỏa mãn điều kiện: 2 2 2
4a  2b  2c  4ab  4ac  2bc  6b 10c  34  0 . 2 024 2 024 2 024
Tính giá trị của biểu thức: B  a  4 b 4 c 4 .
b) Biết m , n , p là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng: m  n  p 2 2 2 2 2 2 4m n  0 . a) Ta có: 2 2 2
4a  2b  2c  4ab  4ac  2bc  6b 10c  34  0  2 2 2 2 2
4a  b  c  4ab  4ac  2bc  b  6b  9  c 10c  25  0 2 2 2
 2a b c b  
3 c 5  0    .
Vì  a b  c 2 2  0 , b  2 3  0 , c  2 5
 0 với mọi a , b , c . 
 2abc2  0         2a b c 0  a 4  2    Do đó       b   3  0        b 3 0  b 3 .           c  2 5  0 c 5 0 c 5      2 024 2 024 2 024 2 024
Vậy B           2 024    2 024 4 4 3 4 5 4 0 1 1  2 . GV: Lê Hồng Quốc
" Chớ thấy sóng cả mà ngã tay chèo " Trang 2 BD HSG – Toán 8
ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951 2
b) Ta có A   2 2 2
m  n  p  2 2  m n   2 2 2
m  n  p  mn 2 2 2 4 2
m  n  p  2mn 2 2         2     2 m n p m n  p   
  m n  pm n  pm  n  pm  n  p     . m
 n  p  0 m
 n  p  0 
Vì m , n , p là độ dài ba cạnh của một tam giác nên   A  0 . m
  n  p  0 m
 n  p  0 
 Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Bài 3. (4,0 điểm)
a) Cho a , b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp.
Chứng minh rằng ab  a b 1 chia hết cho 48 .
b) Cho a và b là các số tự nhiên của hai số tự nhiên thỏa mãn 2 2
2a  a  3b  b .
Chứng minh rằng: a b và 3a  3b 1 là các số chính phương.
a) Theo đề a   k  2 2
1 , b   k  2 2 1 với k   . 2 2    
Ta có: ab a b   a  b     k     k     k   2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 16 1 k k   1        
Vì k 1; k ; k 1 là ba số nguyên liên tiếp nên k   1 k k   1  3  k   2 16 1 k k   1  48 .
 Vậy bài toán được chứng minh. b) Ta có: 2 2
2a  a  3b  b   2 2     2 3 a b a
b  a  a b a  b   2 3 3 1  a .
Gọi d  ƯCLNa b ,3a  3b  
1 (với d là số tự nhiên). Khi đó:
 3a b3a  3b  
1  d  6a 1  d   1 .  2 2
a  d  a  d 2 . Từ  
1 và 2 , suy ra: 1  d  d  1 , nên a b ,3a  3b   1  1    .  Từ    và  
 , suy ra: a b và 3a 3b 1 đều là các số chính phương.
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD . Trên đường chéo BD lấy điểm P , gọi M là điểm đối xứng của
điểm C qua P .
a) Tứ giác AMDB là hình gì?
b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng AB , AD . Chứng
minh EF  AC và ba điểm E , F , P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỷ số hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc
vào vị trí của điểm P . PD 9
d) Giả sử CP  BD và CP  2, 4 cm ; 
. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật PB 16 ABCD .
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD .
a) Vì O , P lần lượt là trung điểm của AC và CM  OP là đường trung bình của ACM
 OP  AM  AM  BD  tứ giác AMDB là hình thang. b)  Ta có:  
FEA  MAE (vì AEMF là hình chữ nhật)  
DBA  BAC (vì ABCD là hình chữ nhật)  
MAE  DBA (vì AM  BD và cặp góc  MAE ,  DBA so le trong) GV: Lê Hồng Quốc
" Lửa thử vàng, gian nan thử sức " Trang 3 BD HSG – Toán 8
ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951 Do đó  
FEA  BAC , mà  FEA và 
BAC là cặp góc đồng vị  EF  AC   1 .
 Gọi I là tâm hình chữ nhật AEMF .
Vì I , P lần lượt là trung điểm của MA và MC  IP là
đường trung bình của ACM  IP  AC 2 .
Lại có E , I , F thẳng hàng   3 . Từ   1 , 2 và  
3  ba điểm E , F , P thẳng hàng. c) Xét A
 EF và BAC , ta có:  
AEF  BAC (cmt);  
EAF  ABC  90 . AE BA Suy ra AEF   B  AC (g - g)   AF BC BA AE Mà không đổi  không đổi. BC AF
 Vậy yêu cầu bài toán được chứng minh. d) Ta có CBD   DC  P (g - g)  CP PB 9PB   2
CP  PB  PD  2 CP  PB  PD CP 16 2 2   16CP 16 2, 4 2 PB   2 PB  10,24 9 9
 PB  3,2 cm  PD 1,8 cm  BD  5 cm .
Áp dụng định lí Pytago cho các tam giác vuông BCP và CDP , tính được:
BC  4 cm ; CD  3 cm . Khi đó  C
 2BC CD 24   3  24 cm ABCD  2 S
 BC CD  43 12 cm . ABCD
Bài 5. (3,0 điểm)
Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác ABC . Tia AO cắt BC tại
D . Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho DE  DB ; trên cạnh AC lấy điểm F sao cho DF  DC .
a) Chứng minh: DA là tia phân giác của  EDF .
b) DE cắt OB tại I ; DF cắt OC tại K . Tam giác IOK là tam giác gì? Vì sao?
a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực  OA  OB  OC  AOB , BOC , COA là
các tam giác cân tại O    A  B   1 ;  
B  C 2 ;   C  A   3 . 1 1 2 1 2 2
Vì DE  DB  DB 
E cân tại D    DBE  DEB     
B  B  A  ADE 4. 1 2 1 Từ   3 và 4 suy ra  
B  ADE   5 . 2
Tương tự ta chứng minh được  
C  ADF 6 . 1 Từ  
5 và 6  DA là tia phân giác của  EDF .
b) Chứng minh được: OBD   OD  I  2
OD  OI OB . OCD   OD  K  2
OD  OK OC
 OI OB  OK OC mà OB  OC  OI  OK  IOK cân tại O . GV: Lê Hồng Quốc
" Chớ thấy sóng cả mà ngã tay chèo " Trang 4 BD HSG – Toán 8
ĐT: 0905.884.951 – 0929.484.951
Bài 6. (1,0 điểm)
Cho tam giác OAB có 
O  120 , OA  a , OB  b và đường phân giác của góc O là OC  c . 1 1 1 Chứng minh:   . a b c
Qua A vẽ đường thẳng song song với OC cắt OB tại D
 OAD đều  AD  DO  a . BD AD
Vì AD  CO nên  BO CO   a b a a a 1 1 1   1    . b c b c a b c
----------  CHÚC CÁC EM MAY MẮN  ---------- GV: Lê Hồng Quốc
" Lửa thử vàng, gian nan thử sức " Trang 5