Đề thi Olympic chuyên Toán THCS lần 1 năm 2023 – 2024 trường chuyên Hạ Long – Quảng Ninh

Xin giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi Olympic chuyên môn Toán dành cho học sinh THCS lần thứ nhất năm học 2023 – 2024 trường THPT chuyên Hạ Long, tỉnh Quảng Ninh; kỳ thi được diễn ra vào ngày 31 tháng 03 năm 2024; đề thi có đáp án và hướng dẫn chấm điểm. Mời bạn đọc đón xem!

29 15 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Đề thi Toán 9

Môn: Toán 9

Thông tin:

4 trang 4 tháng trước

Tác giả:

Profile M. Hậu
1
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
CHUYÊN HẠ LONG
(Đề thi có 1 trang)
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN CHUYÊN
DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨ NHẤT
Ngày thi: 31/3/2024
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh:………………………….
Số báo danh:……………………………..
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Cho
,,abc
là các số thực đôi một khác nhau, thỏa mãn
22
( ) ( ) 2024a b c b c a+ = + =
.
Tính
2
()c a b+
.
b) Giải phương trình
.
Câu 2 (6,0 điểm)
a) Cho đa thức
()Px
bậc 3, có các hệ số là các số nguyên và
()Px
chia hết cho 7 với mọi số
nguyên
.x
Chứng minh các hệ số của đa thức
()Px
đều chia hết cho 7.
b) Tìm các số tự nhiên
,xy
để
44
4xy+
là số nguyên tố.
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương
m
số
4(8 7)m+
không thể viết được dưới dạng
tổng của ba số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên).
Câu 3 (7,0 điểm)
Cho tam giác
ABC
không cân có đường tròn nội tiếp
()I
tiếp xúc với các cạnh
,,BC CA AB
lần
lượt tại
, , .D E F
Điểm
K
là hình chiếu vuông góc của
D
trên đường thẳng
,EF
đường thẳng qua
K
vuông góc với
IK
cắt các đường thẳng
,CA BA
lần lượt tại
,.VU
a) Chứng minh rằng tứ giác
AVIU
nội tiếp và
UF VE=
;
b) Chứng minh rằng
KF DB
KE DC
=
;
c) Gọi
'E
là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc
B
của tam giác
ABC
với
AC
;
'F
là tiếp
điểm của đường tròn bàng tiếp góc
C
của tam giác
ABC
với
AB
. Chứng minh các điểm
', ', ,E F U V
cùng thuộc một đường tròn.
Câu 4 (2,0 điểm)
Cho
,,abc
là các số thực dương thỏa mãn
3abc+ + =
. Chứng minh
2 2 2
1 1 1
1
2 2 2a a b b c c
+ +
+ + +
.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho một mạng lưới các ô vuông kích thước
55
, trong đó có khuyết
một hình vuông kích thước
22
như hình vẽ. Một người đứng ở điểm A
cần di chuyển đến điểm B, biết mỗi bước đi chỉ có thể đi lên trên hoặc
sang phải theo đỉnh mỗi ô vuông kích thước
11
. Hỏi có bao nhiêu cách
để người đó có thể di chuyển từ A đến B.
--------------- HẾT---------------
- Học sinh không được sử dụng tài liệu, thiết bị điện tử khi làm bài.
- Giáo viên coi kiểm tra không giải thích thêm.
Giáo viên coi (ký & ghi họ tên):……………………………………………..
A
B
2
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
CHUYÊN HẠ LONG
(Đáp án có 3 trang)
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC
MÔN CHUYÊN DÀNH CHO HỌC SINH THCS
LẦN THỨ NHẤT
Môn: TOÁN
Câu
Sơ lược lời giải
Điểm
1a
(2 điểm)
Từ giả thiết suy ra
22
( ) ( ) 0a b c b c a+ − + =
nên
( )( ) 0a b ab bc ca− + + =
.
0,5
Từ đó
0ab bc ca+ + =
.
0,5
Chỉ ra được
22
( ) ( ) ( )( ) 0c a b b c a c b ab bc ca+ − + = − + + =
.
0,5
Do đó
2
( ) 2024c a b+=
.
0,5
1b
(2 điểm)
Điều kiện xác định:
1x
, biến đổi phương trình thành
11
2 2. . 8
x
xx
x
x
−
+ = +
.
0,5
Áp đụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta đánh giá
2
1 1 1 1
2 2. . (8 ). 8
xx
x x x
x x x
x

−−

+ + + = +





.
0,5
Từ đó suy ra phương trình tương đương với
1
22
x
x=−
.
0,5
Giải phương trình được
8
7
x =
.
0,5
2a
(2 điểm)
Gọi đa thức là
32
()P x ax bx cx d= + + +
. Cho
0x =
, ta được
7d
.
0,5
Cho
1x =
, ta được
7abc++
và
7a b c− + −
suy ra
7b
và
7ac+
.
0,5
Cho
2x =
, ta được
8 2 7ac+
.
0,5
Kết hợp với
7ac+
, suy ra
7a
và
7c
.
0,5
2b
(2 điểm)
Giả sử tồn tại các số tự nhiên
,xy
để
44
4xy+
là số nguyên tố.
Biến đổi
4 4 2 2 2 2
4 ( 2 2 )( 2 2 )x y x y xy x y xy+ = + − + +
.
0,5
Chỉ ra
22
2 2 1x y xy+ − =
,
0,5
nên
22
( ) 1x y y− + =
.
0,5
Từ đó suy ra
1xy==
(có thử lại) thỏa mãn đề bài.
0,5
2c
(2 điểm)
Chứng minh cả 3 số
,,x y z
, đều chẵn.
Chỉ ra trong 3 số phải có ít nhất một số là chẵn, giả sử là
x
.
0,5
Suy ra
,yz
cùng tính chẵn lẻ và
22
4yz+
, suy ra
,yz
cùng chẵn.
0,5
Đặt
1 1 1
2 ; 2 , 2x x y y z z= = =
suy ra
2 2 2
1 1 1
87x y z m+ + = +
.
0,5
Chỉ ra
2 2 2
1 1 1
x y z++
chia 8 chỉ cho các số dư là 0,1,2,3,4,5,6 nên mâu thuẫn.
Suy ra đpcm.
0,5
3
(7 điểm)
3
3a
(2.5 điểm)
0
90UKI UFI UFKI= =
là tứ giác nội tiếp
UIF UKF=
0,5
0
90VEI VKI VKIE= =
là tứ giác nội tiếp
VKE VIE=
0,5
Mà
VKE UKF=
nên ta có được
UIF VIE=
0,5
Lại có
UFI
,
VEI
lần lượt vuông tại
,FE
và
IE IF=
Suy ra
( . . )UFI VEI g c g UF VE = =
0,5
Đồng thời ta có
IUF IVE=
nên thu được
AUIV
nội tiếp.
0,5
3b
(2 điểm)
2
DIE
DFK DFE DIC= = =
và
0
90DKF IDC==
0,5
( . ) . .
KF ID
DFK CID g g KF CD ID KD
KD CD
= =
.
0,5
Tương tự ta có
..KE BD ID DK=
0,5
Do đó
..
KF BD
KE BD KF CD
KE CD
= =
.
0,5
3c
(2.5 điểm)
Từ định nghĩa của
', 'EF
; có
', 'BD BF AF CD CE AE= = = =
.
0,5
Kết hợp phần (b):
'
'
KF AF
KE AE
=
0,5
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác
AEF
ta có:
. . 1
KF UA EV
KE UF EA
=
0,5
Kết hợp với phần (a):
UA KE
VA KF
=
0,5
Suy ra
'
. ' '.
'
UA AE
AU AF AE AV
VA AF
= =
, ', ',U F E V
cùng thuộc 1 đường tròn.
0,5
4
(2 điểm)
Biến đổi
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
VT
a b c a b c

= + + − − −

+ + +

.
0.5
Dùng đánh giá
1 1 1 1 1
9x y z x y z

+ +

++

, ta được
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
;;
2 9 1 1 2 9 1 1 2 9 1 1a a b b c c
+ + + + + +
+ + +
0.5
Suy ra
1 8 1 1 1 2
2 9 3
VT
abc


+ + −




.
0.5
Từ đó được
1 8 9 2
.1
2 9 3
VT
abc

− =

++

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
abc==
.
0.5
5
(1 điểm)
Ta đếm số cách đi trong lưới 5x5 đầy đủ.
Coi mỗi bước đi lên là một dấu “+”, đi sang phải là một dấu “-“, thì một cách đi trong
lưới 5x5 là số cách xếp 5 dấu “+” và 5 dấu “-“ thành một hàng ngang bất kì.
0.5
4
Chỉ ra số cách sắp xếp này là
10.9.8.7.6
252
5.4.3.2.1
=
.
Ta đếm số cách đi từ A đến tâm hình vuông khuyết, tức là số cách đi trong lưới 4x4
đầy đủ, tương tự như trên ta được số cách đi là
8.7.6.5
70
4.3.2.1
=
.
Từ đó suy ra số cách đi từ A đến tâm hình vuông khuyết rồi đến B là 70.2=140.
Số cách đi thỏa mãn đề bài là 252-140=112 (cách).
0.5
Những chú ý khi chấm thi:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận
chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết.
3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm.
Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm các bài đã chấm, không làm tròn.
.............. Hết ..............
| 1/4
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
ĐỀ THI OLYMPIC MÔN CHUYÊN CHUYÊN HẠ LONG
DÀNH CHO HỌC SINH THCS LẦN THỨ NHẤT
(Đề thi có 1 trang) Ngày thi: 31/3/2024 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không tính thời gian phát đề
Họ, tên thí sinh:………………………….
Số báo danh:…………………………….. Câu 1 (4,0 điểm) a) Cho , a ,
b c là các số thực đôi một khác nhau, thỏa mãn 2 2
a (b + c) = b (c + a) = 2024 . Tính 2
c (a + b) .
b) Giải phương trình 2 2 + x −1 = x + 8 . x Câu 2 (6,0 điểm)
a) Cho đa thức P(x) bậc 3, có các hệ số là các số nguyên và P(x) chia hết cho 7 với mọi số
nguyên x. Chứng minh các hệ số của đa thức P(x) đều chia hết cho 7.
b) Tìm các số tự nhiên , x y để 4 4
x + 4 y là số nguyên tố.
c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m số 4(8m + 7) không thể viết được dưới dạng
tổng của ba số chính phương (số chính phương là bình phương của một số nguyên). Câu 3 (7,0 điểm)
Cho tam giác ABC không cân có đường tròn nội tiếp (I ) tiếp xúc với các cạnh BC,C , A AB lần lượt tại ,
D E, F. Điểm K là hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng EF, đường thẳng qua K
vuông góc với IK cắt các đường thẳng C ,
A BA lần lượt tại V ,U.
a) Chứng minh rằng tứ giác AVIU nội tiếp và UF = VE ;
b) Chứng minh rằng KF DB = ; KE DC
c) Gọi E ' là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp góc B của tam giác ABC với AC ; F ' là tiếp
điểm của đường tròn bàng tiếp góc C của tam giác ABC với AB . Chứng minh các điểm E ', F ',U,V
cùng thuộc một đường tròn. Câu 4 (2,0 điểm) Cho , a ,
b c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh 1 1 1 + +  1 . 2 2 2 a + 2a b + 2b c + 2c B Câu 5 (1,0 điểm)
Cho một mạng lưới các ô vuông kích thước 55 , trong đó có khuyết
một hình vuông kích thước 22 như hình vẽ. Một người đứng ở điểm A
cần di chuyển đến điểm B, biết mỗi bước đi chỉ có thể đi lên trên hoặc
sang phải theo đỉnh mỗi ô vuông kích thước1 1
 . Hỏi có bao nhiêu cách
để người đó có thể di chuyển từ A đến B. A
--------------- HẾT---------------
- Học sinh không được sử dụng tài liệu, thiết bị điện tử khi làm bài.
- Giáo viên coi kiểm tra không giải thích thêm.
Giáo viên coi (ký & ghi họ tên):…………………………………………….. 1
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC CHUYÊN HẠ LONG
MÔN CHUYÊN DÀNH CHO HỌC SINH THCS
(Đáp án có 3 trang) LẦN THỨ NHẤT Môn: TOÁN Câu
Sơ lược lời giải Điểm 1a Từ giả thiết suy ra 2 2
a (b + c) − b (c + a) = 0 nên (a − )
b (ab + bc + ca) = 0 . 0,5 (2 điểm)
Từ đó ab + bc + ca = 0 . 0,5 Chỉ ra được 2 2
c (a + b) − b (c + a) = (c − b)(ab + bc + ca) = 0 . 0,5 Do đó 2
c (a + b) = 2024 . 0,5 1b
Điều kiện xác định: x 1, biến đổi phương trình thành 0,5 (2 điểm) 1 x −1 2 2. + x. = x +8 . x x
Áp đụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta đánh giá 0,5 2  1 x −1   1 x −1  2 2. + x.   (8 + x). + = x +8     . x x    x x  0,5
Từ đó suy ra phương trình tương đương với x = x −1 . 2 2
Giải phương trình được 8 0,5 x = . 7 2a Gọi đa thức là 3 2
P(x) = ax + bx + cx + d . Cho x = 0 , ta được d 7 . 0,5 (2 điểm) Cho x = 1
 , ta được a + b + c 7 và −a + b − c 7 suy ra b 7 và a + c 7 . 0,5
Cho x = 2 , ta được 8a + 2c 7 . 0,5
Kết hợp với a + c 7 , suy ra a 7 và c 7 . 0,5 2b
Giả sử tồn tại các số tự nhiên , x y để 4 4
x + 4 y là số nguyên tố. 0,5 (2 điểm) Biến đổi 4 4 2 2 2 2
x + 4 y = (x + 2 y − 2xy)(x + 2 y + 2xy) . Chỉ ra 2 2
x + 2 y − 2xy = 1 , 0,5 nên 2 2
(x − y) + y = 1. 0,5
Từ đó suy ra x = y =1 (có thử lại) thỏa mãn đề bài. 0,5 2c Chứng minh cả 3 số , x , y z , đều chẵn. 0,5 (2 điểm)
Chỉ ra trong 3 số phải có ít nhất một số là chẵn, giả sử là x .
Suy ra y, z cùng tính chẵn lẻ và 2 2 y + z
4 , suy ra y, z cùng chẵn. 0,5
Đặt x = 2x ; y = 2y , z = 2z suy ra 2 2 2
x + y + z = 8m + 7 . 0,5 1 1 1 1 1 1 Chỉ ra 2 2 2
x + y + z chia 8 chỉ cho các số dư là 0,1,2,3,4,5,6 nên mâu thuẫn. 0,5 1 1 1 Suy ra đpcm. 3 (7 điểm) 2 3a 0
UKI = UFI = 90  UFKI là tứ giác nội tiếp  UIF = UKF 0,5 (2.5 điểm) 0
VEI = VKI = 90  VKIE là tứ giác nội tiếp  VKE = VIE 0,5
Mà VKE = UKF nên ta có được UIF = VIE 0,5
Lại có UFI , VEI
lần lượt vuông tại F, E và IE = IF 0,5 Suy ra UFI = VEI( . g .
c g) UF = VE
Đồng thời ta có IUF = IVE nên thu được AUIV nội tiếp. 0,5 3b DIE 0,5 (2 điểm)
DFK = DFE = = DIC và 0 DKF = IDC = 90 2 KF ID 0,5 DFK CI
D(g.g)  =
KF.CD = I . D KD . KD CD
Tương tự ta có K . E BD = I . D DK 0,5 Do đó KF BD 0,5
KE.BD = KF.CD  = . KE CD 3c
Từ định nghĩa của E ', F ' ; có BD = BF = AF ',CD = CE = AE ' . 0,5 (2.5 điểm)
Kết hợp phần (b): KF AF ' = 0,5 KE AE '
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AEF ta có: 0,5 KF UA EV . . =1 KE UF EA
Kết hợp với phần (a): UA KE = 0,5 VA KF Suy ra 0,5 UA AE ' =
AU.AF ' = AE '.AV U, F ', E ',V cùng thuộc 1 đường tròn. VA AF ' 4   0.5 (2 điểm) Biến đổi 1 1 1 1 1 1 1 = + + − − − VT   . 2  a b c a + 2 b + 2 c + 2    0.5 Dùng đánh giá 1 1 1 1 1  + +   , ta được x + y + z 9  x y z  1 1  1 1 1 1 1  1 1 1 1 1  1 1 1   + + ;  + + ;  + +       a + 2
9  a 1 1 b + 2
9  b 1 1 c + 2 9  c 1 1 1  8  1 1 1  2  0.5 Suy ra VT  + + −     .
2  9  a b c  3    0.5 Từ đó được 1 8 9 2 VT  . − =1   .
2  9 a + b + c 3 
Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c . 5
Ta đếm số cách đi trong lưới 5x5 đầy đủ. 0.5 (1 điểm)
Coi mỗi bước đi lên là một dấu “+”, đi sang phải là một dấu “-“, thì một cách đi trong
lưới 5x5 là số cách xếp 5 dấu “+” và 5 dấu “-“ thành một hàng ngang bất kì. 3
Chỉ ra số cách sắp xếp này là 10.9.8.7.6 = 252. 5.4.3.2.1
Ta đếm số cách đi từ A đến tâm hình vuông khuyết, tức là số cách đi trong lưới 4x4 0.5
đầy đủ, tương tự như trên ta được số cách đi là 8.7.6.5 = 70 . 4.3.2.1
Từ đó suy ra số cách đi từ A đến tâm hình vuông khuyết rồi đến B là 70.2=140.
Số cách đi thỏa mãn đề bài là 252-140=112 (cách).
Những chú ý khi chấm thi:
1. Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận
chặt chẽ, tính toán chính xác mới cho điểm tối đa.
2. Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm. Tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết.
3. Có thể chia nhỏ điểm thành phần nhưng không dưới 0,25 điểm và phải thống nhất trong cả tổ chấm.
Điểm thống nhất toàn bài là tổng số điểm các bài đã chấm, không làm tròn.
.............. Hết .............. 4