Bài Tự Đọc
 ĐỊNH THỨC CẤP 4
& MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC
1. Công thức tính định thức cấp 4.
Xét ma trận vuông cấp 4 sau đây  a a a a  11 12 13 14   a a a a  21 22 23 24 A    a a a a  31 32 33 34    a a a a   41 42 43 44 
Định thức của A được gọi là định thức cấp 4 và ký hiệu là a a a a 11 12 13 14 a a a a 21 22 23 24 det(A)  A    a a a a 31 32 33 34 a a a a 41 42 43 44
Để tính định thức cấp 4, người ta sử dụng công thức khai triển theo dòng hoặc khai triển theo cột như sau.
 Khai triển theo dòng i (với i  1, 2, 3, 4 ) : i1 i2 i3 i4
A  (1) a D  (1) a D  (1) a D  (1) a D i1 i1 i2 i2 i3 i 3 i4 i4
 Khai triển theo cột j (với j  1, 2, 3, 4 ) : 1 j 2 j 3 j 4
A  (1) a D  (1) a D  (1)
a D  (1) j a D 1j 1 j 2 j 2 j 3 j 3 j 4 j 4 j
trong đó D là định thức thu được từ A bằng cách xóa dòng i và xóa cột j (nghĩa là xóa dòng & ij
xóa cột chứa phần tử a ). Để ý rằng các D là những định thức cấp 3. ij ij
Trong thực hành, nếu được, chúng ta thường khai triển theo dòng (hoặc cột) sao cho dòng (hoặc
cột) ấy có chứa nhiều số 0 nhất. 1 3 1  1  2 0 1 1
Bài tập minh họa : Tính định thức D  1  0 2 1 1  2 2 1
Hướng dẫn giải : Quan sát định thức đã cho, ta nên chọn khai triển theo cột 2. Ta có : 2 1 1 1 1  1  12 42 D  ( 1  )  3 1 2 1  ( 1  ) (2) 2 1 1  3   ( 12  )  ( 2  ) 9  18 1 2 1 1 2 1
Xóa dòng 1 và cột 2 của D
Xóa dòng 4 và cột 2 của D

ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang [1] Bài Tự Đọc

2. Một số tính chất thường dùng của định thức.
Khi tính định thức, ta có thể sử dụng một vài tính chất quan trọng sau đây.
 Tính chất 1 : Với A là ma trận vuông thì T A  A
 Tính chất 2 : Nếu đổi chỗ hai dòng (cột) của định thức, thì ta tạo ra một định thức mới có giá trị
ngược dấu với định thức cũ.
 Tính chất 3 : Nếu định thức có hai dòng (cột) giống nhau hay tỷ lệ nhau thì giá trị của định thức bằng 0.
 Tính chất 4 : Nếu nhân một số thực  vào một dòng (hoặc cột) của định thức, thì ta sẽ tạo ra một
định thức mới có giá trị gấp  lần định thức cũ.
Hệ quả : Với ma trận A vuông cấp n thì . n
k A  k A (với k   )
 Tính chất 5 : Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử thuộc đường chéo chính.
 Tính chất 6 : Nếu cộng thêm vào một dòng của định thức với k lần dòng khác của định thức, thì
ta tạo ra một định thức mới có giá trị bằng định thức cũ.
Tính chất 6 vẫn đúng nếu ta áp dụng theo cột.
 Tính chất 7 : Nếu A, B là hai ma trận vuông cùng cấp thì .
A B  A . B
3. Một số bài tập minh họa các tính chất. m 1 1 1 1 m
 B.T (tính chất 2) : Cho biết 3 D  1 m
1  m  3m  2 . Hãy tính D  1 m 1 1 1 m m 1 1
Giải : Ta thấy đổi chỗ dòng 1 và dòng 3 của D sẽ tạo ra D nên suy ra 3
D  D  m  3m  2 1 2 10
 B.T (tính chất 3) : Tính D  3 4 30 . 5 6 50 
Giải : Ta thấy cột 1 và cột 3 tỷ lệ nhau nên D  0
 B.T (tính chất 4) : Cho ma trận A
có A  4 . Hãy tính 3A 33
Giải : Vì A vuông cấp 3 nên 3
3A  (3) A  (27) (4)  108 1 1 2 2 0 2 9 0
 B.T (tính chất 5) : Tính D  0 0 3 5  0 0 0 4 
Giải : Vì D là định thức của một ma trận tam giác nên D  1(2) 3( 4  )  24 1 1 1  1  1  1 1 1
 B.T (tính chất 6) : Tính D  2 1 1 2 1 2 1 2
Chú ý : tính chất 6 thường được sử dụng khi tính định thức cấp 4.
Hướng dẫn giải : Ta sẽ biến đổi D thành định thức mới có cột 1 với ba số 0.
Để thực hiện điều này, ta sử dụng các tính chất 6 như sau :

ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang [2] Bài Tự Đọc

 Biến đổi d thành d  d 2 2 1
 Biến đổi d thành d  (2)d 3 3 1
 Biến đổi d thành d  ( 1  )d 4 4 1
Khi đó, ta sẽ thấy D bằng một định thức mới sau đây 1 1 1  1  0 2 0 2 D  0 1 3 4 0 3 2 3
Lúc này, ta chọn khai triển theo cột 1 thì : 1 1 1  1  2 0 2  0 2 0 2 11 D   (1)  1 1 3 4 0 1 3 4 3 2 3 0 3 2 3 2 0 2 Vì 1 3 4  12  nên 11 D  ( 1  ) 1(12)  12 3 2 3  2 1 1   m 1 0     
 BT (tính chất 7) : Cho hai ma trận A  1 3 1   và B  1 1 2    1 1 4       m 2 1   Tìm m để . A B  0 .
Giải : Ta có A  29 và B  3m  1 1 Vì .
A B  A . B nên .
A B  0  A . B  0  29.( 3
 m  1)  0  m   3
BÀI TẬP THỰC HÀNH
[1.] Cho các ma trận A , B vuông cấp 3 có A  m và B  n a. Tính . A B Đáp số : . m n b. Tính T A .B Đáp số : . m n c. Tính . T A B Đáp số : . m n T d. Tính  . A B Đáp số : . m n e. Tính 2 A .B Đáp số : 2 m .n f. Tính 2 . A B Đáp số : 2 . m n g. Tính 2A
Đáp số : 8m h. Tính 3A
Đáp số : 27m i. Tính 4AB
Đáp số : 64mn Hướng dẫn :

ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang [3] Bài Tự Đọc
 a. Dùng tính chất 7.
b. Dùng tính chất 7 và tính chất 1.
c. Dùng tính chất 7 và tính chất 1.
d. Dùng tính chất 1 và tính chất 7. e. Để ý : 2 A  .
A A . Dùng tính chất 7. f. Để ý : 2 B  .
B B . Dùng tính chất 7.
g. Dùng hệ quả của tính chất 4.
h. Dùng hệ quả của tính chất 4.
i. Dùng hệ quả của tính chất 4 và tính chất 7.
[2.] Tính các định thức cấp 4 sau đây 1 1 1 1 1 2 1 1 D 
Đáp số : D  24 1 2 1 1  1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 D 
Đáp số : D  1 2 1 2 3 3 2 1 2 3 4 1 1 1 1 1 2 1 0 D 
Đáp số : D  7  m 3 2 1 1 2 3 2 1 1 m
Hướng dẫn : sử dụng tính chất 6 …

ThS. Đào-Bảo-Dũng Trang [4]