Ngân hàng bài tập Không gian vecto (có lời giải) | Toán cao cấp | Đại học Bách khoa Hà Nội

Ngân hàng bài tập Không gian vecto (có lời giải) | Toán cao cấp | Đại học Bách khoa Hà Nội. Tài liệu gồm 34 trang, giúp bạn tham khảo, ôn tập và đạt kết quả cao. Mời bạn đọc đón xem!

BÀI TẬP
KHÔNG GIAN VECTOR
TRẦN NGỌC DIỄM
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
V là không gian vector trên K(R, C); x
1
, x
2
, …, x
n
và y là
các vector trong V.
1. y là tổ hợp tt của x
1
, x
2
, …, x
n
1 1 2 2 n n
y x x x
2. x
1
, x
2
, …, x
n
độc lập tt
hệ phương trình
1 1 2 2
0
n n
x x x
Có duy nhất nghiệm
1 2
0
n
x x x
3. x
1
, x
2
, …, x
n
độc lập tt
hệ phương trình
Có vô số nghiệm
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
1. Trên R
3
cho u
1
= (-1,1,1), u
2
= (1,-1,1), u
3
= (1,1,-1)
a. u = (2, -1, 0) có là tổ hợp tuyến tính u
1
, u
2
, u
3
?
b. u
1
, u
2
, u
3
đltt hay pttt
2. Xét sự đltt của M = {(1,1,1), (3,2,2), (2,1,1)} treân R
3
3. Trên C
2
, xét sự đltt của M = {(1+ i, -i), (1+3i, 1-2i)} nếu:
* C
2
là kg vector trên R
* C
2
là kg vector trên C
4. Tìm để u là tổ hợp tuyến tính của u
1
, u
2
:
1 2
1/ 2, 1,3 , 1,1,2 , 1, 2, 5u u u m
1 2 3
2
2 / 1,2,3,4 , 0,3, 2,2 , 1,0, 3,5
0,5, 5,1
u u u
u m
Một họ vector quan trọng
nn
ReeM },...,{
1
)0,...,0,1,0,...,0(
i
e
Vị trí thứ i
* M độc lập tt trên R
n
, C
n
(C).
* Mọi vector (x
1
, …, x
n
) trong R
n
hoặc C
n
(C) đều là thtt
của các e
i
.
nn
CeeM },...,{
1
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
1. M pttt có 1 vector là tổ hợp tt của các vector còn lại.
2. Tập M có vector 0 là tập pttt.
3. Mọi tập con của tập đltt là đltt.
4. Thêm 1 vector vào tập pttt được tập pttt.
5. Bớt 1 vector từ tập đltt được tập đltt.
Cho m vector y
1
, …, y
m
là tổ hợp tt của k vector x
1
,
…, x
k
. Nếu m > k thì y
1
, …, y
m
phụ thuộc tuyến tính.
Bổ đề cơ bản
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
1. M = { (1,1,-2), (-1,5,8), (0,3,1), (4,2,0) }
2. M = { (1,1,1), (2,-1,3), (-1,2,-2)}
Xét sự đltt của các tập hợp sau:
Hạng của hệ vector
r(M) = r * M có 1 tập con r phần tử đltt
* Các tập con có hơn r ptử đều pttt.
1. A là ma trận m×n: r(A) bằng hạng của hệ vector dòng
và hệ vector cột.
2. r(M) = r, M có r phần tử M đltt
3. M = {x
1
, x
2
, …, x
p
}, r(M) = r ,
M’ = {x
1
, x
2
, …, x
p
, x
p+1
, …, x
p+q
}, với x
p+1
, …, x
p+q
thtt x
1
, x
2
, …, x
p
r(M’) = r.
Hạng của hệ vector
Tìm hạng của các hệ vector
2. Trên R
3
, M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (2, 4, 1), (-1, 4, 5)}
1. Trên R
3
, cho M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (-1, 4, 5)}
3. Trên R
3
,2 4 , 2 : , ,M a b c a c a b c a b c R
Tập sinh – Cơ sở
V là kgv. trên K, M V, V = <M> , là tập sinh của V nếu
mọi vector trong V là thtt của các vector trong M.
S là cơ sở của V nếu S sinh ra V và S đltt
dimV = Số phần tử của cơ sở
Tập sinh – Cơ sở
a. <M> = V M là cơ sở củaV
b. M độc lập tuyến tính M là cơ sở của V
c. r(M) = n M là cơ sở củaV
dimV = n, M V
a. M có nhiều hơn n vector thì M phụ thuộc tt.
b. M có ít hơn n vector thì M không sinh ra V
c. r(M) = n <M> = V
dimV = n, M có n phần tử
Tập sinh – Cơ sở
Bổ sung cơ sở: cho dimV = n, M là tập con đltt của V
có k< n vector. Có thể bổ sung (n-k) vector vào M để
tạo thành cở sở của V.
Cách làm:
* Thành lập ma trận hàng cho M.
* Đưa về ma trận bậc thang và chọn vector bổ sung:
vector bổ sung tương ứng với các phần tử cơ sở còn thiếu.
Tập sinh – Cơ sở
Kiểm tra sự đltt của các hệ vector sau, bổ sung vào các
hệ này để có một cơ sở của R
3
hay R
4
.
1,1, 2 , 1,2,2B
1,0,2,2 , 3, 1,2,1B
1,1,1,1 , 3,3, 1, 1 , 2, 2,6,8B
Tọa độ vector
nn
uuu
...
11
n
2
1
Cho V là kg n chiều, E là 1 cơ sở được sắp thứ tự của V,
E = {u
1
, u
2
, …, u
n
}.
Khi đó mỗi u V được biểu diễn duy nhất dạng
Được gọi là tọa độ của u trong E
E
u
Tọa độ vector
Hạng của hệ vector trong không gian hữu hạn chiều
bằng hạng của ma trận tọa độ (trong 1 cơ sở bất kỳ).
Các vấn đề trên không gian hữu hạn chiều được đưa về
khảo sát trên R
n
.
Tọa độ vector
1 2
([ ] [ ] [ ] )
E E n E
S e e e
E = {e
1
, e
2
, …, e
n
}, E’ = {e
1
’, e
2
’, …, e
n
’} là hai
cơ sở được sắp thứ tự của V.
gọi là trận chuyển cơ sở từ E sang E’
S là ma trận khả nghịch, S
-1
là ma trận chuyển cơ sở
từ E’ sang E.
EE
xSx ][][
1
'
Tọa độ của vector
mới trong cơ sở cũ.
Tọa độ vector
1. Trong cơ sở chính tắc E = {e
1
, e
2
, e
3
} của R
3
, vector
(x,y,z) có tọa độ là gì?
2. Với E = {(1,1,1) (1,1,2), (1,2,3)}, u = (-1,2,-1), tìm tọa
độ của u trong E.
3. Cho vector u có tọa độ trong cơ sở
E 1,1,1 1,1,2 , 1,2,3
T
3 1 4
Tìm tọa độ của u trong cơ sở:
E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)}.
Tọa độ vector
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang
cơ sở E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)}.
2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở
E’ = {(1,1.-1), (1,-1,1), (-1,1,1)} sang cơ sở chính
tắc E trong R
3
.
3. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E {(1,1.-1), (1,-1,1),
(-1,1,1)} sang E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)} trong R
3
.
Tọa độ vector
1 2 3
, ,E e e e
đltt trong R
3
.
1 1 2 3 2 1 2 3
3 1 2 3
8 6 7 , 16 7 13 ,
9 3 7
e e e e e e e e
E
e e e e
,E E E E
Tìm mt chuyển cơ sở
Biết
1,4,0
T
E
x
, tìm
5. Cho
Không gian con
Cho V là kgv trên K, U là tập con không rỗng của V, U là
kg con củaV nếu U đóng với các phép toán trên V.
K trn kgv laø cuõng U thì VU *
dimVdimU*
Hai không gian con đặc biệt:
V V (không gian con lớn nhất của V)
{0} V (không gian con nhỏ nhất của V, dim{0} = 0)
| 1/34

Preview text:

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR TRẦN NGỌC DIỄM
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
V là không gian vector trên K(R, C); x , x , …, x và y là 1 2 n các vector trong V.
1. y là tổ hợp tt của x , x , …, x y   x   x     x 1 2 n 1 1 2 2 n n
2. x , x , …, x độc lập tt 1 2 n
x  x   x 0     hệ phương trình 1 1 2 2 n n  
Có duy nhất nghiệm x x  x 0 1 2 n
3. x , x , …, x độc lập tt 1 2 n  
hệ phương trình   Có vô số nghiệm
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
1. Trên R cho u = (-1,1,1), u = (1,-1,1), u = (1,1,-1) 3 1 2 3
a. u = (2, -1, 0) có là tổ hợp tuyến tính u , u , u ? 1 2 3 b. u , u , u đltt hay pttt 1 2 3
2. Xét sự đltt của M = {(1,1,1), (3,2,2), (2,1,1)} treân R3
3. Trên C , xét sự đltt của M = {(1+ i, -i), (1+3i, 1-2i)} nếu: 2 * C là kg vector trên R 2 * C là kg vector trên C 2
4. Tìm để u là tổ hợp tuyến tính của u , u : 1 2
1/ u  2, 1,3 ,u  1,1,2 ,u  1, 2,m  5 1   2    
2 / u  1,2,3,4 , u  0,3, 2,2 , u  1,0,  3,5 1   2   3   u  2  0,5, m  5,  1 Một họ vector quan trọng
M e { ,...,e 1 n}  n R
M e { ,...,e 1
n}  Cn (  , 0 ..., , 0 , 1 , 0 ..., ) 0 i e Vị trí thứ i
* M độc lập tt trên R , C (C). n n
* Mọi vector (x , …, x ) trong R hoặc C (C) đều là thtt 1 n n n của các e . i
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt 1. M pttt 
có 1 vector là tổ hợp tt của các vector còn lại.
2. Tập M có vector 0 là tập pttt.
3. Mọi tập con của tập đltt là đltt.
4. Thêm 1 vector vào tập pttt được tập pttt.
5. Bớt 1 vector từ tập đltt được tập đltt. Bổ đề cơ bản
Cho m vector y , …, y là tổ hợp tt của k vector x , 1 m 1
…, x . Nếu m > k thì y , …, y phụ thuộc tuyến tính. k 1 m
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
Xét sự đltt của các tập hợp sau:
1. M = { (1,1,-2), (-1,5,8), (0,3,1), (4,2,0) }
2. M = { (1,1,1), (2,-1,3), (-1,2,-2)} Hạng của hệ vector r(M) = r 
* M có 1 tập con r phần tử đltt
* Các tập con có hơn r ptử đều pttt.
1. A là ma trận m×n: r(A) bằng hạng của hệ vector dòng và hệ vector cột.
2. r(M) = r, M có r phần tử  M đltt
3. M = {x , x , …, x }, r(M) = r , 1 2 p
M’ = {x , x , …, x , x , …, x }, với x , …, x là 1 2 p p+1 p+q p+1 p+q thtt x , x , …, x   r(M’) = r. 1 2 p Hạng của hệ vector
Tìm hạng của các hệ vector
1. Trên R , cho M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (-1, 4, 5)} 3
2. Trên R , M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (2, 4, 1), (-1, 4, 5)} 3 3. Trên R3 M
  a b c, 2a  4c,  a  2b c : a,b,c   R Tập sinh – Cơ sở V là kgv. trên K, M 
V, V = , là tập sinh của V nếu
mọi vector trong V là thtt của các vector trong M.
S là cơ sở của V nếu S sinh ra V và S đltt
dimV = Số phần tử của cơ sở Tập sinh – Cơ sở dimV = n, M  V
a. M có nhiều hơn n vector thì M phụ thuộc tt.
b. M có ít hơn n vector thì M không sinh ra V c. r(M) = n  = V dimV = n, M có n phần tử a. = V  M là cơ sở củaV
b. M độc lập tuyến tính  M là cơ sở của V c. r(M) = n  M là cơ sở củaV Tập sinh – Cơ sở
Bổ sung cơ sở: cho dimV = n, M là tập con đltt của V
có k< n vector. Có thể bổ sung (n-k) vector vào M để
tạo thành cở sở của V. Cách làm:
* Thành lập ma trận hàng cho M.
* Đưa về ma trận bậc thang và chọn vector bổ sung:
vector bổ sung tương ứng với các phần tử cơ sở còn thiếu. Tập sinh – Cơ sở
Kiểm tra sự đltt của các hệ vector sau, bổ sung vào các
hệ này để có một cơ sở của R hay R . 3 4 B
 1,1, 2 ,1,2,2 B
 1,0,2, 2 , 3,  1,2,  1  B   1,1,1,  1 ,  3,3, 1,  1 ,   2, 2,6,8 Tọa độ vector
Cho V là kg n chiều, E là 1 cơ sở được sắp thứ tự của V, E = {u , u , …, u }. 1 2 n Khi đó mỗi u
V được biểu diễn duy nhất dạng u   u  ...  1 1 nun  1     2  u  E  
Được gọi là tọa độ của u trong E       n  Tọa độ vector
Hạng của hệ vector trong không gian hữu hạn chiều
bằng hạng của ma trận tọa độ (trong 1 cơ sở bất kỳ).
Các vấn đề trên không gian hữu hạn chiều được đưa về khảo sát trên R .n Tọa độ vector
E = {e , e , …, e }, E’ = {e ’, e ’, …, e ’} là hai 1 2 n 1 2 n
cơ sở được sắp thứ tự của V. S (  [e ]  [e] [
e] ) Tọa độ của vector 1 E 2 E n E
mới trong cơ sở cũ.
gọi là trận chuyển cơ sở từ E sang E’
S là ma trận khả nghịch, S-1 là ma trận chuyển cơ sở từ E’ sang E. [x]  1
E S [x] ' E Tọa độ vector
1. Trong cơ sở chính tắc E = {e , e , e } của R , vector 1 2 3 3
(x,y,z) có tọa độ là gì?
2. Với E = {(1,1,1) (1,1,2), (1,2,3)}, u = (-1,2,-1), tìm tọa độ của u trong E.
3. Cho vector u có tọa độ trong cơ sở E   1,1, 
1 1,1,2 , 1,2,3 là   T 3 1 4
Tìm tọa độ của u trong cơ sở:
E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)}. Tọa độ vector
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang
cơ sở E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)}.
2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở
E’ = {(1,1.-1), (1,-1,1), (-1,1,1)} sang cơ sở chính tắc E trong R .3
3. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E {(1,1.-1), (1,-1,1),
(-1,1,1)} sang E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)} trong R .3 Tọa độ vector 5. Cho E   1 e , 2 e , 3 e  đltt trong R .3  1 e 8  1 e  6 2 e  7 3 e , 2 e  16 1 e  7 2 e  13 3 e ,  E   3 e 9  1 e  3 2 e  7 3 e
Tìm mt chuyển cơ sở E E , E E Biết  x 
  1, 4,0T , tìm  xEE Không gian con
Cho V là kgv trên K, U là tập con không rỗng của V, U là
kg con củaV nếu U đóng với các phép toán trên V. * U V c U thì uõ l a n k g g ø t v re K ân * dimUdimV
Hai không gian con đặc biệt: V 
V (không gian con lớn nhất của V) {0} 
V (không gian con nhỏ nhất của V, dim{0} = 0)