Ngân hàng bài tập Không gian vecto (có lời giải) | Toán cao cấp | Đại học Bách khoa Hà Nội

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VECTOR TRẦN NGỌC DIỄM
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
V là không gian vector trên K(R, C); x , x , …, x và y là 1 2 n các vector trong V.
1. y là tổ hợp tt của x , x , …, x  y   x   x     x 1 2 n 1 1 2 2 n n
2. x , x , …, x độc lập tt 1 2 n
 x  x   x 0     hệ phương trình 1 1 2 2 n n  
Có duy nhất nghiệm x x  x 0 1 2 n 
3. x , x , …, x độc lập tt 1 2 n  
hệ phương trình   Có vô số nghiệm
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
1. Trên R cho u = (-1,1,1), u = (1,-1,1), u = (1,1,-1) 3 1 2 3
a. u = (2, -1, 0) có là tổ hợp tuyến tính u , u , u ? 1 2 3 b. u , u , u đltt hay pttt 1 2 3
2. Xét sự đltt của M = {(1,1,1), (3,2,2), (2,1,1)} treân R3
3. Trên C , xét sự đltt của M = {(1+ i, -i), (1+3i, 1-2i)} nếu: 2 * C là kg vector trên R 2 * C là kg vector trên C 2
4. Tìm để u là tổ hợp tuyến tính của u , u : 1 2
1/ u  2, 1,3 ,u  1,1,2 ,u  1, 2,m  5 1   2    
2 / u  1,2,3,4 , u  0,3, 2,2 , u  1,0,  3,5 1   2   3   u  2  0,5, m  5,  1 Một họ vector quan trọng
M  e { ,...,e 1 n}  n R
M  e { ,...,e 1
n}  Cn (  , 0 ..., , 0 , 1 , 0 ..., ) 0 i e Vị trí thứ i
* M độc lập tt trên R , C (C). n n
* Mọi vector (x , …, x ) trong R hoặc C (C) đều là thtt 1 n n n của các e . i
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt 1. M pttt 
có 1 vector là tổ hợp tt của các vector còn lại.
2. Tập M có vector 0 là tập pttt.
3. Mọi tập con của tập đltt là đltt.
4. Thêm 1 vector vào tập pttt được tập pttt.
5. Bớt 1 vector từ tập đltt được tập đltt. Bổ đề cơ bản
Cho m vector y , …, y là tổ hợp tt của k vector x , 1 m 1
…, x . Nếu m > k thì y , …, y phụ thuộc tuyến tính. k 1 m
Tổ hợp tt, độc lập tt, phụ thuộc tt
Xét sự đltt của các tập hợp sau:
1. M = { (1,1,-2), (-1,5,8), (0,3,1), (4,2,0) }
2. M = { (1,1,1), (2,-1,3), (-1,2,-2)} Hạng của hệ vector r(M) = r 
* M có 1 tập con r phần tử đltt
* Các tập con có hơn r ptử đều pttt.
1. A là ma trận m×n: r(A) bằng hạng của hệ vector dòng và hệ vector cột.
2. r(M) = r, M có r phần tử  M đltt
3. M = {x , x , …, x }, r(M) = r , 1 2 p
M’ = {x , x , …, x , x , …, x }, với x , …, x là 1 2 p p+1 p+q p+1 p+q thtt x , x , …, x   r(M’) = r. 1 2 p Hạng của hệ vector
Tìm hạng của các hệ vector
1. Trên R , cho M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (-1, 4, 5)} 3
2. Trên R , M = {(1, 2, 2), (-3, 0, 1), (2, 4, 1), (-1, 4, 5)} 3 3. Trên R3 M 
  a  b  c, 2a  4c,  a  2b  c : a,b,c   R Tập sinh – Cơ sở V là kgv. trên K, M 
V, V = , là tập sinh của V nếu
mọi vector trong V là thtt của các vector trong M.
S là cơ sở của V nếu S sinh ra V và S đltt
dimV = Số phần tử của cơ sở Tập sinh – Cơ sở dimV = n, M  V
a. M có nhiều hơn n vector thì M phụ thuộc tt.
b. M có ít hơn n vector thì M không sinh ra V c. r(M) = n  = V dimV = n, M có n phần tử a. = V  M là cơ sở củaV
b. M độc lập tuyến tính  M là cơ sở của V c. r(M) = n  M là cơ sở củaV Tập sinh – Cơ sở
Bổ sung cơ sở: cho dimV = n, M là tập con đltt của V
có k< n vector. Có thể bổ sung (n-k) vector vào M để
tạo thành cở sở của V. Cách làm:
* Thành lập ma trận hàng cho M.
* Đưa về ma trận bậc thang và chọn vector bổ sung:
vector bổ sung tương ứng với các phần tử cơ sở còn thiếu. Tập sinh – Cơ sở
Kiểm tra sự đltt của các hệ vector sau, bổ sung vào các
hệ này để có một cơ sở của R hay R . 3 4 B 
 1,1, 2 ,1,2,2 B 
 1,0,2, 2 , 3,  1,2,  1  B   1,1,1,  1 ,  3,3, 1,  1 ,   2, 2,6,8 Tọa độ vector
Cho V là kg n chiều, E là 1 cơ sở được sắp thứ tự của V, E = {u , u , …, u }. 1 2 n Khi đó mỗi u
V được biểu diễn duy nhất dạng u   u  ...  1 1 nun  1     2  u  E  
Được gọi là tọa độ của u trong E       n  Tọa độ vector
Hạng của hệ vector trong không gian hữu hạn chiều
bằng hạng của ma trận tọa độ (trong 1 cơ sở bất kỳ).
Các vấn đề trên không gian hữu hạn chiều được đưa về khảo sát trên R .n Tọa độ vector
E = {e , e , …, e }, E’ = {e ’, e ’, …, e ’} là hai 1 2 n 1 2 n
cơ sở được sắp thứ tự của V. S (  [e ]  [e] [
 e] ) Tọa độ của vector 1 E 2 E n E
mới trong cơ sở cũ.
gọi là trận chuyển cơ sở từ E sang E’
S là ma trận khả nghịch, S-1 là ma trận chuyển cơ sở từ E’ sang E. [x]  1
E S [x] ' E Tọa độ vector
1. Trong cơ sở chính tắc E = {e , e , e } của R , vector 1 2 3 3
(x,y,z) có tọa độ là gì?
2. Với E = {(1,1,1) (1,1,2), (1,2,3)}, u = (-1,2,-1), tìm tọa độ của u trong E.
3. Cho vector u có tọa độ trong cơ sở E   1,1, 
1 1,1,2 , 1,2,3 là   T 3 1 4
Tìm tọa độ của u trong cơ sở:
E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)}. Tọa độ vector
1. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc E sang
cơ sở E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)}.
2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở
E’ = {(1,1.-1), (1,-1,1), (-1,1,1)} sang cơ sở chính tắc E trong R .3
3. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E {(1,1.-1), (1,-1,1),
(-1,1,1)} sang E’ = {(1,2,3), (-1,0,5), (2,1,6)} trong R .3 Tọa độ vector 5. Cho E   1 e , 2 e , 3 e  đltt trong R .3  1 e 8  1 e  6 2 e  7 3 e , 2 e  16 1 e  7 2 e  13 3 e ,  E   3 e 9  1 e  3 2 e  7 3 e 
Tìm mt chuyển cơ sở E  E , E E Biết  x 
  1, 4,0T , tìm  x E E Không gian con
Cho V là kgv trên K, U là tập con không rỗng của V, U là
kg con củaV nếu U đóng với các phép toán trên V. * U  V c U thì uõ l a n k g g ø t v re K ân * dimUdimV
Hai không gian con đặc biệt: V 
V (không gian con lớn nhất của V) {0} 
V (không gian con nhỏ nhất của V, dim{0} = 0)