Đường tròn nội tiếp tam giác là gì? Tính chất, cách xác định
1. Đường tròn là gì? Đường tròn nô ̣i tiếp tam giác là gì?
1.1. Khái niê ̣m đường tròn, đường tròn nô ̣i tiếp tam giác
* Đường tròn là tâ ̣p hợp của tất cả những điểm trên mô ̣t mă ̣t phẳng cách đều mô ̣t điểm cho trước
bằ ng mô ̣t khoảng cách nào đó. Trong đó: Điểm cho trước go ̣i là tâm của đường tròn; khoảng cho
trước go ̣i là bán kính của đường tròn. Go ̣i tâm đường tròn là O và bán kính là r. Ta được ký hiê ̣u đường tròn là (O;r)
* Khái niê ̣m đường tròn nô ̣i tiếp tam giác: Đường tròn nô ̣i tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với
ba ca ̣nh của tam giác đó hay đường tròn nô ̣i tiếp tam giác còn có cách go ̣i khác là tam giác ngoa ̣i tiếp đường tròn.
1.2. Tính chất đường tròn nô ̣i tiếp tam giác:
+ Mỗi tam giác chỉ có duy nhất 1 đường tròn nô ̣i tiếp
+ Bán kính của đường tròn nô ̣i tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm ha ̣ vuông góc xuống ba ca ̣nh của tam giác
+ Trong tam giác đều, tâm đường tròn nô ̣i tiếp và đường tròn ngoa ̣i tiếp trùng nhau
1.3. Các xác đi ̣nh đường tròn nô ̣i tiếp tam giác
"Tâm đường tròn nô ̣i tiếp của tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác
đó", áp du ̣ng nhuần nhuyễn kiến thức này, ta có thể dễ dàng xác đi ̣nh đường tròn tâm I
Để xác đi ̣nh đường tròn tâm I nô ̣i tiếp tam giác MNP, ta thực hiê ̣n các bước sau:
Bước 1: Ta vẽ 3 đường phân giác trong của tam giác MNP lần lượt là MD,NE vàPF
Bước 2: Xác đi ̣nh giao điểm I của 3 đường phân giác trong tam giác MNP
Bước 3: Từ tâm O, lần lượt kẻ 3 đường vuông góc với 3 ca ̣nh của MN, MP và NP của tam giác
MNP. Giao điểm của 3 đường phân giác là tâm I của đường tròn nô ̣i tiếp tam giác MNP.
Bước 4: Tiến hành vẽ đường tròn tâm I với bán kính IF = IE = ID
Mô ̣t số trường hơ ̣p đă ̣c biê ̣t trong xác đi ̣nh đường tròn nô ̣i tiếp tam giác: Đường tròn nô ̣i tiếp tam
giác vuông; Đường tròn nô ̣i tiếp tam giác cân; Đường tròn nô ̣i tiếp tam giác đều.
2. Bài tâ ̣p luyê ̣n tâ ̣p đường tròn nô ̣i tiếp tam giác
Bài 1: Cho tam giác MNF đều với ca ̣nh bằng 4cm. Xác đi ̣nh tâm và bán kính của đường tròn nô ̣i tiếp tam giác ENF
Lời giải: Go ̣i D, E lần lươ ̣t là trung điểm của ca ̣nh NF, MN và MD giao với FE ta ̣i I
Vì tam giác MNF đều nên đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác, đường trung
trực của tam giác. Suy ra, I là tâm đường tròn nôi tiếp tam giác.
Tam giác MNF có FE là đường trung tuyến nên FE cũng là đường cao. Áp du ̣ng đi ̣nh lý Pytago
vào tam giác vuông MEF có:
FE2 =MF2 -ME2 = 42 - 22 = 12 = FE =
I là tro ̣ng tâm của tam giác MNF nên IE = 1/3 FE = 1/3 . = 2/
Vâ ̣y tâm đường tròn nô ̣i tiếp tam giác MNF là tro ̣ng tâm I và bán kính IE =
Bài 2: Hãy chứng minh:
a, Tâm của đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác là trung điểm của ca ̣nh huyền thì tam giác đó là tam giác vuông
b, Nếu mô ̣t tam giác có mô ̣t ca ̣nh là đường kính của đường tròn ngoa ̣i tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông
Hướng dẫn giải chi tiết: a, Ta có: + + = 180o + + + = 180o Mà = = =
(tam giác AOB và tam giác AOC cân ta ̣ O có OA = OB = OC = r) =>2 + 2 = 180o => + = 90o => = 90o
Vâ ̣y tam giác ABC là tam giác vuông ta ̣i A
b, Xét tam giác ABC nô ̣i tiếp đường tròn tâm O đường kính BC. Ta có OA = OB = OC = r
Suy ra OA = 1/2 BC Do đó tam giác ABC vuông ta ̣i A (Dựa theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Bài 3: Cho tam giác ABC ngoa ̣i tiếp (I), trên BC lấy M, trên BA lấy N, trên CA lấy P sao cho B = BN và CM = CP.
a, Chứng minh rằng: O là tâm đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác MNP
b, Chứng minh rằng: Tứ giác ANOP nô ̣i tiếp đường tròn
c, Tìm vi ̣ trí điểm M, N, P để NP nhỏ nhất Bài 4:
a, Vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 2cm
b, Vẽ mô ̣t lu ̣c giác đều ABCDEF có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O)
c, Vì sao tâm O cách đều các ca ̣nh của lu ̣c giác đều? Go ̣i khoảng cách này là r
d, Vẽ đường tròn (O;r) Lời giải chi tiết:
b, Cách vẽ lu ̣c giác đều có tất cả các đỉnh nằm trên đường tròn (O).
Vẽ các dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FE = R = 2cm
c, Vì các dây cung AB = BC = CD = DE = EF = FA bằng nhau nên khoảng cách từ O đến các dây là bằng nhau.
Bài 5: Nối ô cở cô ̣t trái với ô ở cô ̣t phải sao cho thích hơ ̣p:
1. Nếu tam giác có ba góc nhọn
(a) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác
2. Nếu tam giác có góc vuông
(b) thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm ở bên trong tam giác
3. Nếu tam giác có góc vuông
(c) Thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất
(d) Thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất. Đáp án:
(1) - (b) Nếu tam giác có ba góc nho ̣n thì tâm của đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác đó nằm ở bên trong ta giác giác
(2) - (c) Nếu tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác đó là trung điểm của ca ̣nh lớn nhất
(3) - (a) Nếu tam giác có góc vuông thì tâm của đường tròn ngoa ̣i tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác.
Bài 6: Cho tam giác đều MNP. Go ̣i O là giao điểm của hai đường phân giác hai góc trong của tam
giác đều MNP và H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các ca ̣nh NP. Biết đường tròn nô ̣i
tiếp tam giác đều MNP có bán kính bằng 2cm. Ba ̣n hãy tính đô ̣ dài các ca ̣nh của tam giác đều MNP?
Bài 7: Cho tam giác MNP cân ta ̣i M ngoa ̣i tiếp đường tròn bán kính 3cm. Go ̣i H và K lần lươ ̣t là
giao điểm của đường tròn nô ̣i tiếp tam giác cân MNP với hai ca ̣nh MN và NP. Biết MH = 4cm.
Tính diê ̣n tích ta giác cân MNP
Bài 8: Cho tam giác MNP, go ̣i O là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong của tam giác
MNP. Go ̣i H, K, L theo thứ tự lần lươ ̣t là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm O đến các ca ̣nh NP, MN, MP.
A, Chứng minh rằng MP = MK + PH
B, Chứng minh rằng PM - PN = LM - HN
Hướng dẫn giải chi tiết:
Suy ra đường tròn (O) tiếp xúc với các tiếp tuyến NP, MN, MP lần lượt ta ̣i các điểm H, K, L
A, áp du ̣ng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MK = ML và PH = PL
Suy ra MK + PH = ML + PL hay MK + PH = MP Vâ ̣y MP = MK + MP
B, Áp du ̣ng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có PL = PH (1)
Mà PL = PM - LM và PH = PN - HN (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) suy ra PM - PN = LM - HN
Bài 9: Cho tam giác ABC. Go ̣i O là đường tròn nô ̣i tiếp tam giác ABC. Biết (O) tiếp xúc với hai
ca ̣nh AB và AC lần lươ ̣t ta ̣i hai điểm H và K. Biết AH. AP = AK . AB. Chứng minh rằng tam giác
MNP là tam giác cân ta ̣i M Lời giải chi tiết:
Vì O là đường tròn nô ̣i tiếp tam giác vuông MNP. Suy ra các ca ̣nh MN và MP là các tiếp tuyến
của đường tròn (O). Mà (O) tiếp xúc với hai ca ̣nh MN và MP lần lươ ̣t ta ̣i hai điểm H và K, áp du ̣ng
tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MH = MK (1)
Theo giả thiết có: MH . MP = MK . MN (2)
Từ phương trình (1) và phương trình (2) suy ra MP = MN
Do đó tam giác MNP là tam giác cân ta ̣i M