Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức Toán 12

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa môđun số phức Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Max - Min Module S Phc NĂM HỌC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 1
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
GIÁ TR LN NHT VÀ GIÁ TR NH NHT CA BIU THC CHA MODUL S
PHC

DNG TOÁN 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THNG
Cho đường thng
:0Ax By C
và điểm
.M 
Đim
N 
sao cho
NM
nh nht
là hình
chiếu ca
N
lên
,
nghĩa là
min
d , .NM NK N M K
min
22
,
C
z OH d N
AB
Khi đó
MH
và tọa độ
( ).H OH
min
22
( ) ,
Ax By C
z x y i NK d N
AB

Khi đó
MK
và tọa độ
.K NK
BÀI TP TI LP
Câu 1: Cho
z x yi
tha
2 4 2z i z i
z
đạt giá tr nh nht. Tính
32xy
bng
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
5.
Li gii
Chn A
Ta có:
2 4 2z i z i
( 2) ( 4) ( 2)x y i x y i
2 2 2 2
( 2) ( 4) ( 2)x y x y
4 0:xy
là đường thng
.d
Khi đó:
min
min
z OM z OM
.MH
Do
: 4 0OH d x y
: 0.OH x y m
(0;0) 0O OH m
: 0.OH x y
Tọa độ
H d OH
tha
4
0
xy
xy


Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 2
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
2
3 2 2.
2
x
xy
y
Cách 2. T
:4d y x
2 2 2 2 2
(4 ) 2( 2) 8 8 2 2.z x y x x x
Suy ra:
min
2 2 2 2 3 2 2.z x y x y
Cách 3. S dng Cauchy Schwarz, có
2 2 2 2
22
( ) 4
2 2.
1 1 1 1 2
x y x y
z x y
Du
""
khi
xy
4xy
2 3 2 2.x y x y
Lưu ý. Nếu đề bài ch yêu cu tính
min
| | ,z
thì nó là
min
| | ( ; ).z OH d O d
Câu 2: Cho
z x yi
tha mãn
1 5 3z i z i
z
đạt giá tr nh nht. Tìm
.3xy
A.
5
12
B.
12
5
C.
12
5
D.
5
12
Li gii
Chn C
Ta có
1 5 3 1 5 3z i z i x yi i x yi i
2 2 2 2
1 5 3 1
1 5 3 1
2 10 26 6 2 10
3 4 0 4 3
x y i x y i
x y x y
x y x y
x y x y
Ta có
2
2
2 2 2 2
6 8 8
4 3 10 24 16 10
5 5 5
z x y y y y y y
Suy ra
min
8 6 2 12
3
5 5 5 5
z y x x y
.
Câu 3: Cho
z x yi
tha mãn
32z i z i
z
đạt giá tr nh nht. Tìm
.2xy
A.
1
. B.
1
5
. C.
2
. D.
3
5
.
Li gii
Chn A
Ta có
3 2 3 2 1z i z i x y i x y i
x y x y
2 2 2
2
3 2 1
x y x y2 1 0 2 1
Ta có
2
2
2 2 2 2
2 1 1
2 1 5 4 1 5
5 5 5
z x y y y y y y
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 3
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Suy ra
min
1 2 1
21
5 5 5
z y x x y
.
Câu 4: Cho
z x yi
tha mãn
23z i z i
z
đạt giá tr nh nht. Giá tr ca
xy42
bng
A.
1
. B.
1
2
. C.
5
2
. D.
3
2
.
Li gii
Chn A
Ta có
2 3 2 1 3z i z i x y i x y i
x y x y
2 2 2
2
2 1 3
x y x y1 0 1
Ta có
2
2
2 2 2 2
1 1 1
1 2 2 1 2
2 2 2
z x y y y y y y
Suy ra
min
1 1 1
2 2 2
z y x
.
Vy
xy4 2 1
.
Câu 5: Cho số phức
z
thỏa
2 2 4 .z i z i
Giá trị nhỏ nhất của
1iz
bằng
A.
22
. B.
2
. C.
2
2
. D.
32
2
.
Li gii
Chn C
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
2 2 4z i z i
( 2) ( 2) ( 4)x y i x y i
20xy
là đường thng
.d
1iz i z i z i AM
vi
(0;1).A
min
min
1iz AM M
là hình chiếu ca
A
lên đường thng
d
(xem lý thuyết). Khi đó:
min
min
22
12
2
1 ( ; )
2
11
iz AM d A d
Câu 6: Cho
z
thỏa
1 2 3 1.z i z i
Giá trị nhỏ nhất của
22zi
bằng
A.
1
. B.
3
2
. C.
5
2
. D.
5
.
Li gii
Chn B
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 4
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
1 2 3 1z i z i
( 1) ( 2) 1 ( 3)x y i x y i
2 1 0y
là đường thng
.d
22z i AM
vi
(2; 2).A
min
min
22z i AM M
là hình chiếu ca
A
lên đường thng
d
(xem lý thuyết). Khi đó:
min
min
22
2. 2 1
3
2 2 ( ; )
2
02
z i AM d A d
Câu 7. Cho số phức
z
thỏa
2 1 2 .z i z i
Tìm giá trị nhỏ nhất của
(1 ) 2 .iz
A.
5
41
. B.
5
34
. C.
3
. D.
5
.
Li gii
Chn B
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
2 1 2z i z i
( 2) 1 ( 2)x y i x y i
2 8 1 0xy
là đường thng
.d
(1 ) 2 (1 ) 1 1 1 1 1 1 2i z i z i i i z i i z i AM
vi
( 1;1).A
min
min
(1 ) 2i z AM M
là hình chiếu ca
A
lên đường thng
d
(xem lý thuyết). Khi đó:
min
min
22
2. 1 8.1 1
5
(1 ) 2 2 2 ( ; ) 2.
34
28
i z AM d A d
.
BÀI TP V NHÀ
Câu 1: Cho
z x yi
tha
23z i z i
z
đạt giá tr nh nht. Tính
3xy
bng
A.
2.
B.
3.
C.
4.
D.
5.
Li gii
Chn B
Ta có:
23z i z i
1 2 3x y i x y i
2 2 2
2
1 2 3x y x y
2 3 0xy
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 5
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
2
2 2 2 2 2
6 9 3 5
(2 3) 5 12 9 5
5 5 5



z x y y y y y y
min
3 5 6 3
3 3.
5 5 5
z y x x y
Câu 2: Cho
z x yi
tha mãn
1 1 2z i z i
z
đạt giá tr nh nht. Tìm
.5 10xy
A.
3
5
B.
3
10
C.
.0
D.
3
5
Li gii
Chn C
Ta có
1 1 2 1 1 2z i z i x yi i x yi i
2 2 2 2
1 1 1 2
1 1 1 2
2 2 2 2 4 5
x y i x y i
x y x y
x y x y
4 2 3 0xy
Vy tp hợp điểm
M
biu din s phc
z
là đường thng
:d x y4 2 3 0
Khi đó:
min
min
z OM z OM
.MH
Do
:4 2 3 0OH d x y
:.2 4 0OH x y m
( ; )0 0 0O OH m
:.20OH x y
Tọa độ
H d OH
tha
4 2 3
20
xy
xy
.
3
5
5 10 0
3
10
x
xy
y
Câu 3: Cho
z x yi
tha mãn
32iz z i
z
đạt giá tr nh nht. Phn thc ca
z
bng
A.
2
5
. B.
1
5
. C.
2
5
. D.
1
5
.
Li gii
Chn D
Ta có
3 2 3 2 1iz z i y xi x y i
y x x y
2 2 2
2
3 2 1
x y x y2 1 0 2 1
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 6
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Ta có
2
2
2 2 2 2
2 1 1
2 1 5 4 1 5
5 5 5
z x y y y y y y
Suy ra
min
1 2 1
5 5 5
z y x
.
Câu 4: Xét s phc
z
tha
2 4 1z z i i
là mt s thc. Giá tr nh nht ca
z
2
bng
A.
8
5
. B.
16
5
. C.
9
6
. D.
7
5
.
Li gii
Chn B
Gi
z x yi
, đk
,xy
. Ta có
2 4 1 2 4 1z z i i x yi x yi i i
x y x y x y i
22
2 1 2 4
2 4 1z z i i
là s thc nên
x y x y2 4 0 2 4
Ta có
z x y y y y y y
2
2
2 2 2 2
8 16 16
2 4 5 16 16 5
5 5 5
Suy ra
min min
zz
2
16 16
55
.
Câu 5: Cho
z
thỏa
1 2 2 .z i z i
Giá trị nhỏ nhất của
23zi
bằng
A.
10
. B.
10
. C.
11
10
. D.
121
10
.
Li gii
Chn C
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
1 2 2z i z i
1 ( 2) 2 ( 1)x y i x y i
30xy
là đường thng
.d
23z i AM
vi
( 2;3).A
min
min
23z i AM M
là hình chiếu ca
A
lên đường thng
d
(xem lý thuyết). Khi đó:
min
min
2
2
1. 2 3.3
11
2 3 ( ; )
10
13
z i AM d A d
.
Câu 6: Cho
z
thỏa
1 1 2 .z i z i
Giá trị nhỏ nhất của
(3 4 ) 5 10i z i
bằng
A.
73
26
. B.
15
2
. C.
17
2
. D.
25 13
26
.
Li gii
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 7
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Chn D
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
1 1 2z i z i
1 ( 1) 1 ( 2)x y i x y i
4 6 3 0xy
là đường thng
.d
(3 4 ) 5 10 (3 4 ) (3 4 ) 1 2 (3 4 ) 1 2i z i i z i i i z i
3 4 1 2 5i z i AM
vi
( 1; 2).A
min
min
(3 4 ) 5 10i z i AM M
là hình chiếu ca
A
lên đường thng
d
(xem lý thuyết).
Khi đó:
min
min
2
2
4. 1 6. 2 3
25 25 13
(3 4 ) 5 10 5 5 ( ; ) 5.
26
52
46
i z i AM d A d
.
Câu 7: Cho các số phức
z
thỏa
1 2 .z z i
Giá trị nhỏ nhất của
(1 2 ) 11 2i z i
A.
5
2
. B.
5
2
. C.
2
5
. D.
5
2
.
Li gii
Chn D
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
z x yi z x yi
.
12z z i
1 (2 )x yi x y i
2 4 5 0xy
là đường thng
.d
(1 2 ) 11 2 (1 2 ) (1 2 ) 3 4 (1 2 ) 3 4i z i i z i i i z i
1 2 3 4 5i z i AM
vi
( 3;4).A
min
min
(1 2 ) 11 2i z i AM M
là hình chiếu ca
A
lên đường thng
d
(xem lý thuyết).
Khi đó:
min
min
22
2. 3 4.4 5
5
(1 2 ) 11 2 5 5 ( ; ) 5.
2
24
i z i AM d A d
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 8
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
DNG 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Cho tp hợp điểm
;M x y
biu din các s phc
z x yi
là một đường tròn
C
có tâm
;I a b
và bán kính
R
. Gi
N
là điểm biu din s phc
z
.
Phương pháp 1. Hình hc
min 1 1
min
max 2 2
max
khi
khi
z OM OM OI R M M
z OM OM OI R M M
.
Khi đó
12
;OI C M M
.
min 1 1
min
max 2 2
max
khi
khi
z z MN NN NI R M N
z z MN NN NI R M N
.
Khi đó
12
;NI C N N
.
Lưu ý. Nếu đề bài yêu cu tìm tng phn thc, phn ảo tương ứng vi
min max
, zz
thì t nhn
xét
I
là trung điểm ca
12
MM
suy ra: tng phn thc
2a
, tng phn o
2.b
Phương pháp 2. Bất đẳng thc Cauchy Schwarz:
Gi s tp hợp điểm là đường tròn
22
2
:C x a y b R
và viết li:
2 2 2 2
: 2 2 0 2 2C x y ax by c x y ax by c
.
2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2z x y z x y ax by c a x a b y b a b c
nhm li dng
22
2
x a y b R
trong bất đẳng thc Cauchy Schwarz (điểm rơi):
22
2 2 2 2 2 2 2 2
4 4 ( ) ( ) 2 . 2 . 4 4 ( ) ( )
RR
a b x a y b a x a b y b a b x a y b
Suy ra
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2a b c R a b z a b c R a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2a b c R a b z a b c R a b
.
Phương pháp 3. ng giác
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 9
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Gi s tp hợp điểm là đường tròn
22
22
2
:1
x a y b
C x a y b R
RR

,
gợi ta đến công thc
22
sin cos 1tt
nên đặt
sin
cos
xa
t
R
yb
t
R
sin
cos
x a R t
y b R t


.
Do đó
22
2
2 2 2 2
sin cosz x y z x y a R t b R t
.
2
2 2 2 2 2
sin cos 2 .sin 2 .cosz a b R t t aR t bR t
.
2
2 2 2 2 2
2 .sinz a b R R a b t
và luôn có
1 sin 1t
nên suy ra:
2 2 2 2 2 2 2 2
22a b R a b z a b R a b
.
Phương pháp 4. S dng bất đẳng thc tr tuyệt đối
1 2 1 2 1 2
.z z z z z z
Ví d minh ha: Xét các s phc
z x yi
tha mãn
2 3 1.zi
a) Giá tr nh nht và giá tr ln nht ca
.z
ng vi
min
z
là s phc
z a bi
ng vi
max
z
là s phc
.z c di
Tìm tng
.a b c d
Ta có
22
2 3 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1z i x y i x y
()
Do đó tập hợp điểm biu din các s phc
z
là đường tròn
()C
có tâm
(2;3)I
và bán kính
1.R
Cách 1. Hình hc
1
min
13 1 13 1.z OM OI R
2
max
13 1.z OM OI R
(2;3)I
là trung điểm
12
MM
nên:
12
12
24
.
26
M M I
M M I
x x x a c
y y y b d
Suy ra
10.a b c d
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 10
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Lưu ý. Nếu đề bài yêu cu tìm s phức tương ứng vi
min
z
max
,z
tức là tìm hai điểm biu din
12
, ,MM
nó cũng chính là tọa độ giao điểm của đường thng
d OI
và đường tròn
( ).C
Cách 2. Bất đẳng thc Cauchy Schwarz:
Ta có:
2 2 2 2
( 2) ( 3) 1 4 6 12.x y x y x y
Ta li có:
2
22
4 6 12 4.( 2) 6.( 3) 14z x y x y x y
2 2 2 2 2 2 2 2
(4 6 ) ( 2) ( 3) 4( 2) 6( 3) (4 6 ) ( 2) ( 3)x y x y x y
2
14 2 13 14 2 13 13 1 13 1.zz
Cách 3. Lượng giác
Đặt
2
22
2 sin
(2 sin ) (3 cos ) 14 4 sin 6 cos
3 cos
xt
z t t t t
yt
2
22
14 4 6 .sin( ) 14 2 13 sin( )z t t
và do
1 sin( ) 1t
nên:
2
14 2 13 14 2 13 13 1 13 1.zz
Cách 4. S dng bất đẳng thc
1 2 1 2 1 2
z z z z z z
Ta có
2 3 2 3 2 3z i z i z i
13 1 13 1 13 1 13z z z
.
Nhn xét. Tùy vào cu trúc bài toán, yêu cu câu hi và s thành tho v kiến thc mà hc sinh
chn phương pháp giải cho phù hp.
b) Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc
1.P z i
Ta có:
1 ( 1) ( 1).P z i x y i
22
( 1) ( 1)x y MA
vi
( 1;1).A
T hình v, suy ra:
min 1
max 2
13 1
.
13 1
P AM AI R
P AM AI R
Kết lun:
min
13 1P
max
13 1.P
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 11
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
b) Tìm giá tr ln nht và giá tr nh nht ca biu thc
1.P z i
Ta có:
1 ( 1) ( 1).P z i x y i
22
( 1) ( 1)x y MA
vi
( 1;1).A
T hình v, suy ra:
min 1
max 2
13 1
.
13 1
P AM AI R
P AM AI R
Kết lun:
min
13 1P
max
13 1.P
BÀI TP TI LP
Câu 1: Cho các s phc
z
tha
3 4 4.zi
Giá tr ln nht ca
z
bng
A.
9
. B.
5
. C.
12
. D.
3
.
Li gii
Chn A
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
3 4 4 ( 3) ( 4) 4z i x y i
Suy ra tp hợp điểm
( ; )M x y
là đường tròn tâm
(3; 4)I
bán kính
4R
max
z OI R
9
Câu 2: Xét các s phc
z
tha
2 4 5.zi
Giá tr nh nht ca
z
bng
A.
1.
B.
2.
C.
5.
D.
6.
Li gii
Chn C
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
2 4 5 ( 2) ( 4) 5z i x y i
Suy ra tp hợp điểm
( ; )M x y
là đường tròn tâm
(2;4)I
bán kính
5R
min
5z OI R
Câu 3: Xét các s phc
z
tha
3 4 2.zi
Gi
12
, zz
hai s phức môđun lớn nht nh nht.
Tng phn thc ca
12
, zz
bng
A.
8.
B.
6.
C.
8.
D.
6.
Li gii
Chn B
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 12
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
22
3 4 2 ( 3) ( 4) 2 ( 3) ( 4) 4z i x y i x y
Suy ra tp hợp điểm
( ; )M x y
là đường tròn
()C
tâm
( 3; 4)I
bán kính
2R
(0;0)
3
::
4
(3;4)
quaO
xt
OI OI
yt
u
Tọa độ giao điểm ca
()C
OI
là nghim ca h phương trình
22
9
5
12
3
5
4
21
( 3) ( 4) 4
5
28
5
x
xt
y
yt
x
xy
y
Vy tng phn thc ca
12
, zz
bng
9 21
6
55
Câu 4: Xét các s phc
z
tha mãn
1 1.iz
Gi
, mM
lần lượt giá tr nh nht giá tr ln
nht ca biu thc
.Pz
Giá tr ca biu thc
2020 Mm
bng
A.
2014.
B.
2016.
C.
2018.
D.
2022.
Li gii
Chn C
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
22
1 1 (1 ) 1 ( 1) 1iz y xi x y
Suy ra tp hợp điểm
( ; )M x y
là đường tròn tâm
(0;1)I
bán kính
1R
Tọa độ giao điểm ca
()C
OI
(0;0),(0;2)
min max
0, 2m z M z
Vy
2020 2018Mm
Câu 5: Xét các s phc
z
tha mãn
2 3 1zi
. Giá tr ln nht giá tr nh nht ca biu thc
1zi
lần lượt là
A.
14 2, 14 2 
. B.
13 1, 13 1 
.
C.
13 4, 13 4 
. D.
14 1, 14 1 
.
Li gii
Chn B
Đặt
z x yi
vi
,xy
.
Khi đó
22
2 3 1 2 3 1z i x y
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 13
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Gi
M
là điểm biu din hình hc ca s phc
z
ta có
;1MI
vi
2;3I
.
2 2 2 2
1 1 1 1 1z i x y x y
.
Gi
1;1A
suy ra
22
1 1 1z i x y AM
.
D thy
13 1AI 
nên
A
nm ngoài
;1I
.
K đường thng
AI
cắt đường tròn
;1I
ti
,BC
như hình vẽ.
AB AM AC
nên
max
min
13 1
13 1
AM AC AI IC
AM AB AI IB
.
Câu 6: Xét các s phc
z
tha mãn
2z
. S phc
3w zi
có mô-đun nhỏ nht và ln nht lần lượt
m
M
. Tng
mM
bng
A.
5
. B.
7
. C. 8. D.
6
.
Li gii
Chn D
Đặt
z x yi
vi
,xy
.
Khi đó
22
24z x y
.
Gi
M
là điểm biu din hình hc ca s phc
z
ta có
;2MO
.
Xét
2
2
33w z i x y
Gi
0; 3A
suy ra
2
2
33w z i x y AM
.
D thy
32AO 
nên
A
nm ngoài
;2O
.
B
I
C
A
M
B
O
C
A
M
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 14
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
K đường thng
AO
cắt đường tròn
;2O
ti
,BC
như hình vẽ.
AB AM AC
nên
max
min
3 2 5
5
6
1
3 2 1
AM AC AO OC
M
Mm
m
AM AB AO OB

.
Câu 7: Xét các s phc
, zw
thamãn
5z
(4 3 ) 1 2 .w i z i
Giá tr nh nht ca
w
bng
A.
3 5.
B.
4 5.
C.
5 5.
D.
6 5.
Li gii
Chn B
Ta có:
1 2 1 2
(4 3 ) 1 2
4 3 4 3
w i w i
w i z i z z
ii
12
5 1 2 5 5
43
wi
wi
i
Li có:
1 2 1 2 5 5 5 4 5w i w i w w
Vy
min
4 5.w
Câu 8: Cho s phc
z
tha
22
4 2 .z z iz
Tìm giá tr nh nht ca
.zi
A.
1.
B.
2.
C.
3.
D.
4.
Li gii
Chn A
Gi s
; , .z x yi x y
Ta có:
22
2
4 2 2 . 2 . 2 .
2
zi
z z iz z i z i z z i
z i z
Vi
2zi
thì
1.z i i
Vi
2
2 2 2
2 2 1.z i z x y x y y
thì
2
22
1 4 2.z i x y x
So sánh hai trường hợp ta được
min
1zi
đạt được khi
2zi
.
BÀI TP V NHÀ
Câu 1: Cho các s phc tha mãn
2 2 1.zi
Giá tr ln nht ca
z
bng
A.
4 2 2
. B.
2 2.
C.
2 2 1.
D.
3 2 1.
Li gii
Chn C
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
2 2 1. ( 2) ( 2) 1z i x y i
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 15
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Suy ra tp hợp điểm
( ; )M x y
là đường tròn tâm
(2; 2)I
bán kính
1R
max
2 2 1.z OI R
Câu 2: Xét các s phc
z
tha
4 3 1.iz i
Giá tr nh nht ca
z
bng
A.
3.
B.
4.
C.
5.
D.
6.
Li gii
Chn B
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
22
4 3 1 ( 4) ( 3) 1
( 4) ( 3) 1
iz i y x i
yx
Suy ra tp hợp điểm
( ; )M x y
là đường tròn tâm
(4;3)I
bán kính
1R
min
4z OI R
Câu 3: Xét các s phc
z
tha
2 4 2.zi
Gi
12
, zz
hai s phức môđun ln nht nh nht.
Tng phn o ca
12
, zz
bng
A.
8.
B.
4.
C.
8.
D.
4.
Li gii
Chn C
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
22
2 4 2 ( 2) ( 4) 2 ( 2) ( 4) 4z i x y i x y
Suy ra tp hợp điểm
( ; )M x y
là đường tròn
()C
tâm
(2;4)I
bán kính
2R
(0;0)
2
::
4
(2;4)
quaO
xt
OI OI
yt
u
Tọa độ giao điểm ca
()C
OI
là nghim ca h phương trình
22
10 2 5
5
20 4 5
2
5
4
10 2 5
( 2) ( 4) 4
5
20 4 5
5
x
xt
y
yt
xy
x
y
Vy tng phn o ca
12
, zz
bng
20 4 5 20 4 5
8
55
Câu 4: Xét các s phc
z
thỏa n điều kin
(1 ) 1 7 2.i z i
Gi
, mM
lần lượt là giá tr nh
nht và giá tr ln nht ca biu thc
.Pz
Giá tr ca
Mm
bng
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 16
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
A.
4.
B.
10.
C.
2.
D.
24.
Li gii
Chn C
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
22
(1 ) 1 7 2 6 8 24 0i z i x y x y
Suy ra tp hợp điểm
( ; )M x y
là đường tròn tâm
(3;4)I
bán kính
1R
(0;0)
3
::
4
(3;4)
quaO
xt
OI OI
yt
u
Tọa độ giao điểm ca
()C
OI
là nghim ca h phương trình
22
18
5
24
3
5
4
12
6 8 24 0
5
16
5
x
xt
y
yt
x
x y x y
y
min max
4, 6m z M z
2Mm
Câu 5: Cho các s phc
z
tha mãn
3 4 2zi
cho s phc
21w zi
. Khi đó
w
giá tr
ln nht bng bao nhiêu?
A.
16 74
. B.
2 130
. C.
4 74
. D.
4 130
.
Li gii
Chn D
Đặt
z x yi
vi
,xy
.
Khi đó
22
3 4 2 3 4 4z i x y
.
Gi
M
là điểm biu din hình hc ca s phc
z
ta có
;2MI
vi
3; 4I
.
22
22
11
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4
22
wwz i x y i x y x y




.
Gi
11
;
22
A



suy ra
22
11
w 4 2
22
x y AM




.
D thy
22
1 1 130
3 4 2
2 2 2
AI
nên
A
nm ngoài
;2I
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 17
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
B
I
C
A
M
K đường thng
AI
cắt đường tròn
;2I
ti
,BC
như hình vẽ.
AM AC
nên
max
AM AC
.
Dấu “=” xẩy ra khi và ch khi
MC
khi đó
130 130 4
2
22
AC AI IC
.
Vy
max
2 130 4w AC
.
Câu 6: Xét các s phc
z
tha mãn
1 3 2zi
. S phc
z
mà có
1z
nh nht có dng
0
z a bi
.
Giá tr ca tng
23ab
bng
A.
2
. B.
5
. C.
7
. D.
9
.
Li gii
Chn B
Đặt
z x yi
vi
,xy
.
Khi đó
22
1 3 2 1 3 4z i x y
.
Gi
M
là điểm biu din hình hc ca s phc
z
ta có
;2MI
vi
1;3I
.
2
2
11z x y
.
Gi
1;0A
suy ra
2
2
11z x y AM
.
D thy
32AI 
nên
A
nm ngoài
;2I
.
B
I
C
A
M
K đường thng
AI
cắt đường tròn
;2I
ti
,BC
như hình vẽ.
min
1AM AB AM AB AI IB
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 18
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Dấu “=” xẩy ra khi và ch khi
1
3
AB
AB AI AB AI
AI
, vi
0;3AI
suy ra
0;1 1;1AB B
.
Khi đó
1zi
hay
1
2 3 5
1
a
ab
b
.
Câu 7: Xét các s phc
, zw
thamãn
w iz
(1 ) 2 2 2.i z i
Giá tr ln nht ca
zw
bng
A.
3.
B.
2 3.
C.
3 2.
D.
3 3.
Li gii
Chn C
T gi thiết:
(1 ) 2 2 2 2 (1 ) 2 2 2 2 2 2 3.i z i i z i z z
Li có:
. 1 2. 3 2.z w z iz z i z
Vy:
max
3 2.zw
Câu 8: Cho
2
2 5 ( 1 2 )( 3 1) .z z z i z i
Giá tr nh nht ca
22zi
bng
A.
1
.
2
B.
1.
C.
3
.
2
D.
2.
Li gii
Chn B
Gi s
; , .z x yi x y
Ta có:
2
2 5 ( 1 2 )( 3 1) 1 2 . 1 2 1 2 . 1 3
12
.
1 2 1 3
z z z i z i z i z i z i z i
zi
z i z i
Vi
12zi
thì
2 2 1 1.zi
Vi
2 2 2 2
1
1 2 1 3 1 2 1 3 .
2
z i z i x y x y y
thì
2 2 2
93
2 2 2 2 2 .
42
z i x y x
So sánh hai trường hợp ta được
min
2 2 1zi
đạt được khi
12zi
.
DNG TOÁN 3. ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Câu 1: Xét các s phc
1
z
,
2
z
tha mãn
1
41z 
2
21iz 
. Giá tr nh nht ca
12
2zz
bng
A.
2 5 2
B.
42
C.
4 2 3
D.
4 2 3
Li gii
Chn C
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 19
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Đặt
32
2,zz
suy ra
1 2 1 2 1 3
2 ( 2 ) .P z z z z z z
23
1
2
zz
thế vào
23
1
2 1 2 1
2
iz iz
3
4 2.zi
Gi
, AB
là hai điểm biu din cho hai s phc
31
, .zz
3
42 z i A
thuộc đường tròn tâm
3
(0;4), 2.IR
1
41 zB
thuộc đường tròn tâm
1
(4;0), 1.JR
min 1 3
13
max 1 3
4 2 3
.
4 2 3
P IJ R R
P z z AB
P IJ R R
Câu 2: Xét các s phc
12
, zz
tha mãn
1
3 5 2zi
2
1 2 4.iz i
Giá tr ln nht ca biu thc
12
23P iz z
bng
A.
313 16
. B.
313
. C.
313 8
. D.
313 2 5
.
Li gii
Chn A
Đặt
31
2z iz
42
3zz
suy ra
1 2 3 2 3 4
2 3 ( 3 ) .P iz z z z z z
13
1
2
zz
i
thế vào
13
1
3 5 2 3 5 2
2
z i z i
i
3
6 10 4.zi
24
1
3
zz
thế vào
24
1
1 2 4 1 2 4
3
iz i iz i
4
6 3 12.zi
Gi
, AB
là hai điểm biu din cho hai s phc
34
, .zz
3
6 10 4z i A
thuộc đường tròn tâm
3
( 6; 10), 4.IR
4
6 3 12z i B
thuộc đường tròn tâm
4
(6;3), 12.JR
min 3 4
43
max 3 4
313 16
.
313 16
P IJ R R
P z z AB
P IJ R R
Câu 3: Xét các s phc
, zw
tha
3 2 2z 
4 2 2 2.wi
Biết
zw
đạt giá tr nh nht
khi
0
zz
0
.ww
Giá tr ca
00
3zw
bng
A.
2 2.
B.
6 2.
C.
4 2.
D.
1.
Li gii
Chn B
Gi
, AB
là hai điểm biu din cho hai s phc
, w.z
3 2 2 zA
thuộc đường tròn tâm
1
3 2;0I
, bán kính
1
2R
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 20
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
4 2 2 2 w i B
thuộc đường tròn tâm
2
0;4 2I
, bán kính
2
22R
.
Ta có hình v:
Ta có:
12
9 2 16 2 5 2II
.
min 1 2 1 2
max 1 2 1 2
22
w.
82
P I I R R
P z AB
P I I R R
12
3 2;4 2II 
, phương trình đường thng
12
II
:
4 3 12 2 0xy
.
2
2
2
12 2 4
4 3 12 2 0
3
3 2 2
25 50 2
48 0
93
x
y
xy
xy
xx



18 2 4 2
55
12 2 4 2
55
xy
xy
.
Đim
A
là điểm nm bên trong
12
II
nên có to độ là:
12 2 4 2
;
55




.
2
2
28 2 6 2
4 3 12 2 0
55
4 2 8
12 2 6 2
55
yx
xy
xy
yx
.
Đim
B
là điểm nm bên trong
12
II
nên có to độ là:
6 2 12 2
;
55




.
Theo đó
,AB
lần lượt biu din cho
00
,zw
. Suy ra
0
12 2 4 2
55
zi
,
0
12 2 4 2
w
55
i
.
Vy:
00
3 6 2zw
.
Câu 4: Xét các s phc
12
, zz
tha
1
12z
2
3 4 5.zi
Giá tr nh nht ca
12
zz
bng
A.
0.
B.
2.
C.
7.
D.
17.
Li gii
Chn B
Gi
, AB
là hai điểm biu din cho hai s phc
12
, .zz
1
12zA
thuộc đường tròn tâm
1
(0;0), 12.IR
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 21
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
2
3 4 5z i B
thuộc đường tròn tâm
2
(3;4), 5.JR
Ta có hình v:
min 1 2
12
max 1 2
2 12 10 2
.
2 5 12 5 22
P R R
P z z AB
P R R
Câu 5: Cho s phc
z
tha mãn
1 1,zi
s phc
w
tha mãn
2 3 2.wi
Giá tr nh nht ca
biu thc
zw
bng
A.
13 3
. B.
17 3
. C.
17 3
. D.
13 3
.
Li gii
Chn B
Gi
, AB
là hai điểm biu din cho hai s phc
z
w
.
+)
11z i A
thuộc đường tròn tâm
1;1I
, bán kính
1
1R
.
+)
2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2w i w i w i w i B
thuộc đường
tròn tâm
2; 3J
, bán kính
2
2R
.
12
17 3IJ R R
nên hai đường tròn
1
;IR
2
;JR
ngoài nhau.
min 1 2
17 3P z w AB P IJ R R
.
Vy giá tr nh nht ca biu thc
zw
bng
17 3
.
Câu 6: Cho các s phc
, zw
tha mãn
5 3 3zi
4 2 2.iw i
Giá tr ln nht ca biu thc
32iz w
bng
A.
554 5
. B.
578 13
. C.
578 5
. D.
554 13
.
Li gii
Chn D
Đặt
1
12
2
3
3 2 3 2
2
zz
P iz w z iw z z
z iw
.
Gi
, AB
là hai điểm biu din cho hai s phc
1
z
2
z
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 22
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
+)
1
5 3 3 3 15 9 9 15 9 9z i z i z i A
thuộc đường tròn tâm
15; 9I
,
bán kính
1
9R
.
+)
2
4 2 2 2 8 4 4 8 4 4iw i iw i z i B
thuộc đường tròn tâm
8; 4J 
,
bán kính
2
4R
.
12
554 13IJ R R
nên hai đường tròn
1
;IR
2
;JR
ngoài nhau.
1 2 max 1 2
13 554P z z AB P IJ R R
.
Vy giá tr nh nht ca biu thc
32iz w
bng
13 554
.
Câu 7: Cho hai s phc
12
, zz
tha mãn
1
2 3 2zi
2
1 2 1.zi
Giá tr ln nht ca biu thc
12
zz
bng
A.
3 34
. B.
3 10
. C.
3
. D.
6
.
Li gii
Chn A
Gi
, AB
là hai điểm biu din cho hai s phc
1
z
2
z
.
+)
1
2 3 2z i A
thuộc đường tròn tâm
2;3I
, bán kính
1
2R
.
+)
2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1z i z i z i z i B
thuộc đường tròn
tâm
1; 2J
, bán kính
2
1R
.
12
34 3IJ R R
nên hai đường tròn
1
;IR
2
;JR
ngoài nhau.
1 2 max 1 2
3 34P z z AB P IJ R R
.
Vy giá tr nh nht ca biu thc
12
zz
bng
3 34
.
Câu 8: Gi
S
là tp hp tt c các giá tr thc ca tham s
m
để tn ti duy nht s phc
z
tha mãn
.1zz
3.z i m
Tng các phn t ca
S
bng
A.
2
. B.
4
. C.
2
. D.
5
.
Li gii
Chn B
Đặt
,,z x yi x y
có điểm biu din là
;M x y
z x yi
.
+)
22
. 1 1z z x y M
thuộc đường tròn tâm
0;0 ,O
bán kính
1
1R
.
+)
3z i m
vi
0m
thì điểm
M
thuộc đường tròn tâm
3; 1 ,I
bán kính
2
Rm
.
Tn ti duy nht s phc
z
tha mãn yêu cu bài toán khi và ch khi hai đường tròn trên tiếp xúc
vi nhau.
TH1: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài
12
1 2 1OI R R m m tm
.
TH2: Hai đường tròn tiếp xúc trong
12
3
1 2 3
1
m tm
OI R R m m
ml

.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 23
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
1;3S
. Vy tng các phn t ca
S
bng
4
.
DNG TOÁN 4. ĐƯNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Câu 1: Biết rng s phc
,z x yi x y
thỏa mãn đồng thi
3 4 5zi
biu thc
22
2P z z i
đạt giá tr ln nht. Giá tr ca
z
bng
A.
33.
B.
50.
C.
10.
D.
5 2.
Li gii
Chn D
Li gii tham kho 1 (hình hc)
22
3 4 5 3 4 5.z i x y
Tp hợp các điểm biu din cho s phc
z
là đường tròn
C
tâm
3; 4 ,I
bán kính
5.R
Ta li có
22
22
22
2 2 1P z z i P x y x y


4 2 3 4 2 3 0P x y x y P
là đường thng
.d
Để tn ti
z
thì
d
C
phải có điểm chung
22
4.3 2.4 3
,5
42
P
d I d R
23 10 13 33 max 33.P P P
Dấu “=” xảy ra khi
22
4 2 3 33
5 5 2.
3 4 5
xy
x y z
xy
Li gii tham kho 2 (đại s)
22
3 4 5 3 4 5.z i x y
Ta li có
22
22
22
2 2 1P z z i P x y x y


wa
22
22
4 2 3 4 3 2 4 23
4 2 3 4 23 33.
Cauchy Sch rz
P x y x y
xy
Dấu “=” xảy ra khi
34
2 6 4 16 2 4 10
5 5 2.
42
4 2 30 4 2 30
4 2 3 33
xy
x y x y
x y z
x y x y
xy
Câu 2: Xét các s phc
z
tha mãn
1 3 13zi
. Gi
,mM
lần lượt là giá tr nh nht và giá tr ln
nht ca biu thc
22
23P z z i
. Tng
mM
bng
A.
10.
B.
25.
C.
34.
D.
40.
Li gii
Chn C
Đặt
,z x yi x y
.
22
1 3 13 1 3 13.z i x y
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 24
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Tp hợp các điểm biu din cho s phc
z
là đường tròn
C
tâm
1; 3 ,I
bán kính
13.R
Ta li có
22
22
22
2 3 2 3P z z i P x y x y


4 6 5 4 6 5 0P x y x y P
là đường thng
.
Để tn ti
z
thì
C
phải có điểm chung
22
4.1 6.3 5
, 13
46
P
d I R
17 26 9 43.PP
min 9, max 43.m P M P
Vy:
9 43 34.mM
Câu 3: Xét các s phc
z x yi
;xy
tha mãn
1 2 4i z i
. Giá tr ln nht ca biu thc
3P x y
bng
A. 4. B.
42
. C.
4 2 2
. D.
8
.
Li gii
Chn D
13
1 2 4 2 2
22
i z i z i
22
13
8
22
xy
1
.
1 3 1 3
3 4 4
2 2 2 2
P x y x y x y
22
22
13
1 1 4 8
22
xy




.
Dấu “=” xảy ra khi
13
3
22
2
38
7
13
0
2
22
xy
x
xy
y
xy


.
Câu 4: Cho s phc
z
tha mãn
3 4 5.zi
Gi
M
m
lần lượt là giá tr ln nht và giá tr nh nht
ca biu thc
22
2.P z z i
Môđun của s phc
w M mi
bng
A.
1258.
B.
1258.
C.
2 314.
D.
2 309.
Li gii
Chn B
Gi
z x yi
vi
.,xy
3 4 5zi
22
( 3) ( 4) 5.xy
Ta li có:
22
2P z z i
2 2 2 2
( 2) ( 1)x y x y
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 25
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
4 2 3xy
4( 3) 2( 4) 23xy
Ta có:
Cauchy-Schwarz
2 2 2 2 2 2
4( 3) 2( 4) (4 2 ) ( 3) ( 4) (4 2 ).5 10.x y x y


10 4( 3) 2( 4) 10.xy 
33 min 13, max 3313 P m P M P
22
33 13 33 1258.13W i W
P
đạt max khi:
34
42
4 2 3 33
xy
xy
2 6 4 16
4 2 30
xy
xy
2 4 10
4 2 30
xy
xy
5.xy
P
đạt min khi:
34
42
4 2 3 13
xy
xy
2 6 4 16
4 2 10
xy
xy
2 4 10
4 2 10
xy
xy
1, 3.xy
Chọn đáp án B.
Câu 5: t các s phc
1
z
tha mãn
22
11
21z z i
các s phc
2
z
tha
2
4 5.zi
Giá tr
nh nht ca
12
zz
bng
A.
5.
B.
2 5.
C.
25
5
D.
35
5
Li gii
Chn D
Ta có:
22
2 2 2 2
11
2 1 ( 2) ( 1) 1z z i x y x y
2 1 0xy
Tp hp biu din s phc
1
z
là đường thng
.d
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 26
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Ta li có:
2
4 5 ( 4) ( 1) 5z i x y i
22
( 4) ( 1) 5xy
Tp hp biu din
2
z
là đường tròn
()C
có tâm
(4;1),I
bán
kính
5.R
Khi đó
12
zz
là khong cách t 1 điểm thuc
d
đến 1 điểm thuc
( ).C
Suy ra:
min
8 3 5
,5
5
5
P MN d I R
Chọn đáp án D.
Câu 6: Cho hai s phc
, zw
tha mãn
3 2 1zi
1 2 2 .w i w i
Giá tr nh nht ca
biu thc
zw
bng
A.
3 2 2
2
B.
2 1.
C.
3 5 2.
D.
5 2 2
2
Li gii
Chn D
Đặt
,.z x yi w a bi
2 2 2 2
3 2 1 3 2 2 113z i x y x y
tp hp các s phc
z
đường tròn
22
1: 3 2C x y
2 2 2 2
1 2 2 1 2 2 1 0w i w i a b a b a b 
tp hp các s
phc
w
là đường thng
: 0.d x y
Ta có
22
z w x a y b
chính là khong cách t một điểm
;A a b C
đến mt
điểm
; .B x y d
Do
32
5
;1
22
d I d
nên
d
không ct
C
, do đó
32
52
; 1 1.
2
2
min
AB d I d R
5 2 2
min min .
2
z w AB
Câu 7: Cho hai s phc
, zw
tha mãn
2 4 1zi
2 3 3 2 .w i w i
Giá tr nh nht ca
biu thc
||wz
bng
A.
2 3 1.
B.
2 3 1.
C.
3 2 1.
D.
3 2 1.
Li gii
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 27
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Chn C
Đặt
,.z x yi w a bi
2 2 2 2
2 4 1 2 4 4 112z i x y x y
tp hp các s phc
z
là đường tròn
22
1: 2 4C x y
2 2 2 2
2 3 3 2 . 2 3 3 2 0w i w i a b a b a b
tp hp các
s phc
w
là đường thng
: 0.d x y
Ta có
22
w z x a y b
chính là khong cách t một điểm
;A a b C
đến mt
điểm
; .B x y d
Do
24
; 3 2 1
2
d I d

nên
d
không ct
,C
do đó
24
; 1 3 2 1.
2
min
AB d I d R

min min 3 2 1.w z AB
Câu 8: Cho hai s phc
12
,zz
tha mãn
1
55z
22
1 3 3 6 .z i z i
Giá tr nh nht ca biu
thc
12
zz
bng
A.
5
2
B.
7
2
C.
1
2
D.
3
2
Li gii
Chn A
Tp hợp các điểm biu din s phc
1
z
tha mãn
1
55z
là tp hợp các điểm
;M x y
tho mãn phương trình:
2
2
5 25 1xy
là đường tròn tâm
5;0 , 5IR
Tp hợp các điểm biu din s phc
2
z
tha mãn
22
1 3 3 6z i z i
là tp hp các
đim
;N x y
thỏa mãn phương trình
2 2 2 2
1 3 3 6 8 6 35 0 2x y x y x y
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 28
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Khi đó
12
zz
là khong cách t một điểm thuc
:8 6 35 0d x y
ti một điểm
thuộc đường tròn
2
2
: 5 25C x y
12
min
75
5
,5
2
100
z z MN d I d R
.
Câu 9: Gi
S
tp hp các s phc
z
tha
1 34z
và
1 2 .z mi z m i
Gi
1
,z
2
z
hai
s phc thuc
S
sao cho
12
zz
ln nhất, khi đó giá trị ca
12
zz
bng
P x y z
bng
A.
2
B.
10
C.
2
D.
130
Li gii
Chn B
Tp hợp các điểm biu din s phc
z
tha mãn
1 34z
là tp hợp các điểm
;M x y
tho mãn phương trình:
2
2
1 34 1xy
là đường tròn tâm
1;0 , 34IR
.
Tp hợp các điểm biu din s phc
z
thỏa mãn phương trình
1 2 .z mi z m i
tp hợp các điểm
;N x y
thỏa mãn phương trình
2 2 2 2
1 2 2 2 2 2 3 0 2x y m x m y m x m y
Tp hp các s phc
z
có điểm biu din tha mãn h phương trình:
2
2
1 34
2 2 2 2 3 0
xy
m x m y
Khi đó
12
zz
là khong cách t một điểm
M
thuc tp
S
ti một điểm
N
thuc tp
S
.
Để
12
zz
đạt giá tr ln nht khi
MN
là đường kính của đường tròn
2
2
22
2 2 3
1
: 1 34 , 0 0
2
2 2 2 2
m
C x y d I m
mm
2
2
22
22
1 34
1 34 1 34
2 2 2 2 3 0
3 3 0 3 3
1
2
xy
x y x y
m x m y
x y y x
m
12
2 34 3 34
2 34 3 34
;
22
22
2
2 34 3 34
2 34 3 34
;
22
22
zi
zz
zi
Câu 10: Xét các s thc
z
tha mãn
24z i z i
3 3 1.zi
Giá tr ln nht ca biu thc
21Pz
bng
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 29
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
A.
5 2.
B.
10
. C.
10 1.
D.
13 1.
Li gii
Chn D
Đặt
w2z
thì
w1P 
khi y gi thiết tr thành
w 2 2 w 2 4
w 1 3 1
ii
i
Gi
( ; )M x y
là điểm biu din ca
w
thì gii thiết trên tr thành
2 2 2 2
22
22
3
( 2) ( 2) ( 2) ( 4)
( 1) ( 3) 1
( 1) ( 3) 1
y
x y x y
xy
xy

Đim
( ; )M x y
thuc nửa đường tròn (phn không b gch)
max
max
wP
MB
max
1 13 1P OB
. Vy chn
D.
Câu 11: Cho biu thc
1 2 3 4 5 6P z i z i z i
xét các s phc
z
thỏa mãn điều kin
2 1 2 .zi
Biết
min P a b
vi
a
b
là phân s ti gin. Giá tr ca
ab
bng
A.
10.
B.
11.
C.
12.
D.
12.
Li gii
Chn B
Đặt
( ; )E x y
là điểm biu din s phc
z
(1;2), (3;4), (5;6)A B C
.
Ta có
1 2 3 4 5 6P z i z i z i EA EB EC
Mặt khác các điểm
,,A B C
thuộc đường thng
: 1 0xy
min
: 1 0P E x y
. T gi
thiết
22
2 1 2 ( 2) 5z i x y E
thuộc đường tròn tâm
( 2;0)I
bán kính
5R
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 30
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
T đó suy ra
min min
(0;1) 2 3 2 5 2 9 2 11P E N E P a b
Vy chn
B.
I
6
5
4
3
2
1
C
-2
-3
y
x
N
M
Δ
B
A
O
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 31
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
DNG TOÁN 5. ĐON THNG VÀ TIA
Câu 1: Xét các s phc
z
tha mãn
2 4 7 6 2.z i z i
Gi
, mM
lần lượt giá tr nh nht
và giá tr ln nht ca
1.T z i
Giá tr ca
mM
bng
A.
5 2 73
2
B.
5 2 2 73.
C.
13 73.
D.
5 2 2 73
2
Li gii
Chn D
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
Ta có:
2 4 7 6 2 6 2z i z i MA MB
Trong đó
( 2;1), (4;7)AB
và có
62AB
Nên
.MA MB AB
Suy ra điểm
M
thuộc đoạn
.AB
Ta có
1T z i CM
vi
(1; 1).C
Da vào hình v, ta có:
min min
52
,
2
T CM d C AB
max
73; 13 73.CB CA CM CB
Suy ra
5 2 2 73 5 2
73
22
mM
Chọn đáp án D.
Câu 2: Xét các s phc
z
tha mãn
1 8 3 53.z i z i
Giá tr ln nht ca biu thc
12P z i
bng.
A.
53.
B.
53.
C.
185
.
2
D.
106.
Li gii
Chn D
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 32
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Gi
( ; )H x y
biu din s phc
.z x yi
Ta có:
1 8 3 53 53z i z i HA HB
Trong đó
(1;1), (8;3)AB
và có
53AB
Nên
.HA HB AB
Suy ra điểm
H
thuộc đoạn
.AB
Ta có
12P z i
vi
( 1;2).C
Da vào hình v, ta có:
min min
17
,
53
P CH d C AB
max
106; 13 106.CB CA CH CB
Suy ra
max
106P
Chọn đáp án D
Câu 3: Xét các s phc
z
tha
2 3 6 2 17.z i z i
Gi
, Mm
lần lượt giá tr ln nht
giá tr nh nht ca
1 2 2 .P z i z i
Giá tr
mM
bng
A.
3 2.
B.
3 2 2
2
C.
8 2 2 5.
D.
6 2 2 5
3
Li gii
Chn A
Gi
( ; )M x y
biu din s phc
.z x yi
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 33
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Ta có:
2 3 6 2 17 2 17z i z i MA MB
Trong đó
( 2;3), (6;1)AB
và có
2 17AB
Nên
.MA MB AB
Suy ra điểm
M
thuộc đoạn
.AB
Ta có
1 2 2P z i z i
vi
( 1;2); 2; 1 .CD
Da vào hình v, ta có
;CD
nm v mt phía của đường thng
AB
32MC MD CD
0MC MD
Suy ra
3 2; 0Mm
Chọn đáp án A
Câu 4: Xét các s phc
z
tha
3 2 3 3 5.z i z i
Gi
, Mm
lần lượt là giá tr ln nht và giá
tr nh nht ca
2 1 3 .P z z i
Giá tr ca
mM
bng
A.
17 5 3 2
. B.
26 2 5 3 2
.
C.
26 2 5 2
. D.
17 5 2
.
Li gii
Chn B
Gi
( ; ), ( 3;2), (3; 1)M x y A B
lần lượt là điểm biu din các s phc
,z
3 2 ,i
3 i
trong mt phng tọa độ.
Ta có:
35AB
3 2 3 3 5z i z i MA MB AB
M
nằm trên đoạn thng
AB
(1)
Phương trình đường thng
AB
là:
32
2 1 0
3 3 1 2
xy
xy

Gi
2;0 , 1;3CD
P MC MD
4
2
2
4
10
5
5
10
x
y
D
C
B
A
O
1
-3
3
3
-1
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 34
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
2 1 2 1 2 2.0 1 1 2.3 1 18 0
C C D D
x y x y
,CD
nm v hai phía ca
đưng thng
AB
. (2)
Ta có:
32P MC MD CD
P
nh nht
P CD MC MD CD M
nm gia
CD
(3)
T (1) và (3) suy ra:
M
là điểm chung của hai đoạn thng
AB
CD
.
M
nằm trên đoạn thng
AB
1 2 ; , 0 3M t t t t
3 2 ; , 3;3CM t t CD
M
nằm trên đoạn thng
CD
,CM CD
cùng hướng
32
1( ) 1;1
33
tt
tM
tháa
C M D
x x x
nên điểm
M
nằm trên đoạn thng
CD
Suy ra: Giá tr nh nht ca là
32m
.
T (1) và (2) suy ra:
;MaxP MC MD AC AD BC BD
5 17 26 2 5AC AD BC BD
Do đó: Giá trị ln nht ca
P
26 25M 
26 2 5 3 2Mm
.
Câu 5: Xét các s phc
z
tha mãn
2 2 1 3 34.iz i z i
Giá tr nh nht ca biu thc
(1 ) 2P i z i
bng
A.
9
17
. B.
32
. C.
4 2.
. D.
26
.
Li gii
Chn C
Gi
( ; ), (2; 2), ( 1;3)M x y A B
lần lượt là điểm biu din các s phc
,z
2 2 ,i
13i
trong mt phng tọa độ.
T
2 2 1 3 34iz i z i
2 2 1 3 34 34z i z i MA MB AB
Suy ra
M
nằm trên tia đối ca
.BA
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 35
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Ta có
1 2 2 1 2P i z i z i MC
vi
1; 1 .C
min min min
4 4 2.MC M B MC CB P
.
Câu 6: Xét các s phc
z
đồng thi tha mãn
4 3 4 3 10z i z i
34zi
nh nht.
Môđun của s phc
z
bng
A.
5
. B.
52
. C.
62
. D.
10
.
Li gii
Chn A
Gi
( ; ), (4; 3), ( 4;3)M x y A B
lần lượt là điểm biu din các s phc
,z
2 2 ,i
13i
trong mt phng tọa độ.
2
2
8;6 8 6 10AB AB
T
4 3 4 3 10z i z i
10MA MB AB
,,M A B
thng hàng và
B
nm gia
A
M
Ta có
34z i MC
vi
3;4 .C
Gi
H
là hình chiếu ca
C
lên đường thng
AB
.
Đưng thng
CH
đi qua
C
và vuông góc vi
AB
có phương trình là
4 3 0xy
Phương trình đường thng
AB
43
3 4 0
4 4 3 3
xy
xy

Tạo độ đim
H
là nghim ca h phương trình
4 3 0
0 0;0
3 4 0
xy
x y H O
xy


D thy
O
là trung điểm của đoạn thng
AB
Do đó:
34z i MC
nh nht khi và ch khi
2
2
4;3 4 3 4 3 5M B z i z
.
Câu 7: Xét các s phc
z a bi
( , )ab
tha
1 2 3 .z i z i
Tính
P a b
khi
3 4 1T z i z i
đạt giá tr ln nht.
6
4
2
2
4
10
5
5
10
x
y
B
A
C
O
M
-4
3
-3
3
4
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 36
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
A.
2P
. B.
6P
. C.
26
3
P
. D.
28
3
P
.
Li gii
Chn D
2 2 2
2
1 2 3 1 2 3 2 0z i z i a b a b a b
Gi
;M a b
là điểm biu din s phc
z a bi
M
thuộc đường thng
: 2 0d x y
Gi
22
3;4 , 1; 1 2; 5 ; 2 5 29A B AB AB
Ta có:
2 2 3 4 2 1 1 2 4 0
A A B B
x y x y
,AB
nm v cùng phía vi
d
(1)
1
, , 2 2
2
d A d d B d
(2)
3 4 1 29T z i z i MA MB AB
Do đó:
T
ln nht khi
29 , ,T M A B
thng hàng và
M
nằm ngoài đoạn thng
,AB MA MB
cùng hướng (3)
2 ; 2M d b a M a a
3 ;2MA a a
T (1), (2) và (3) suy ra
,MA AB
cùng hướng
3 2 11
2 5 3
aa
a


2 5 1
;
3 3 3
MA AB



( tha)
11 17 28
3 3 3
a b a b
DNG TOÁN 6. PARABOL
Câu 1. Xét hai s phc
12
,zz
tha mãn
1 1 1
22 z i z z i
2
10 1 zi
. Giá tr nh nht ca biu
thc
12
zz
bng
A.
10 1
. B.
101 1
. C.
101 1
. D.
3 5 1
.
Li gii
Chn D
Gi
1
, z a bi a b
.
Ta có
2
1 1 1
22
4
a
z i z z i b
.
Tp hợp điểm
M
biu din
1
z
là parabol
2
1
:
4
P y x
có đỉnh
0;0O
.
Ta có:
2
10 1 zi
Tp hợp điểm
N
biu din
2
z
là đường tròn
C
có tâm
10;1 , 1IR
.
Khi đó
12
P z z MN
là khong cách t một điểm thuc
P
đến một điểm thuc
C
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 37
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Ta có:
1 MN NI MI MN MI NI MI
min min
MN IM
.
2
2
2
2
10 1
4



x
IM x
.
2
2
2
5
4 4 45 45 45 3 5
42



x
x IM
.
Do đó
min
3 5 1MN
.
Câu 2. Xét các s phc
, z a bi a b
thỏa mãn điều kin
2
4 15 1 z z i i z z
. Tính
4 P a b
khi
1
3
2
zi
đạt giá tr nh nht.
A.
4P
. B.
5P
. C.
6P
. D.
7P
.
Li gii
Chn D
2
4 15 1 z z i i z z
2
4 15 1 a bi a bi i i a bi a bi
.
2
22
4
4 2 15 2 1 8 15 2 1
2

aa
bi i i a b a b
.
Suy ra điểm
M
biu din cho s phc
z
là Parabol có phương trình
2
4
2

xx
y
.
Gi
1
;3
2



N
.
2
2
2
22
2
1 39
1 1 10 1 39
24
3
2 2 2 2 2 8














a
aa
z i MN a a
.
1 39
min 3
28
zi
khi
1 15
; 4 7
28
a b P a b
.
Câu 3. Xét các s phc
, z a bi a b
tha
2 3 2 z i z z i
. Tính
87ab
khi biu thc
6
7
P z i
đạt giá tr nh nht.
A.
8 7 8ab
. B.
8 7 5ab
. C.
8 7 6ab
. D.
8 7 7ab
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 38
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Li gii
Chn D
Ta có:
2 3 2 z i z z i
2 3 2 2 3 2 2a bi i a bi a bi i a b i b i
.
22
22
1
3 1 1
8
a b b b a
.
Suy ra điểm
M
biu din cho s phc
z
là Parabol có phương trình
2
1
1
8
yx
.
Gi
6
0;
7



N
.
2
22
6 1 13 13
7 8 7 7



P z i MN a a
.
min
13
7
P
khi
0, 1ab
8a 7 7 b
.
DNG TOÁN 7. MT S BÀI TOÁN KHÁC
Câu 1: Xét các s phc
z
tha mãn
1.z
Giá tr ln nht ca
1 2 1T z z
bng
A.
2 5.
B.
2 10.
C.
3 2.
D.
3 5.
Li gii
Chn A
Gi s phc
iz x y
, vi
,xy
.
Theo gi thiết, ta có
1z
22
1xy
. Suy ra
1 1.x
Khi đó,
1 2 1T z z
22
22
1 2 1x y x y
2 2 2 2 2 .xx
Theo bất đẳng thc Bunhiacopxki:
22
1 2 2 2 2 2T x x


hay
25T
, vi mi
11x
.
Vy
max
25P
khi
2 2 2 2 2xx
3
5
x 
,
4
5
y
Câu 2: Xét các s phc
z
tha
1 2.z
Giá tr ln nht ca
2T z i z i
bng
A.
4.
B.
4 2.
C.
8.
D.
8 2.
Li gii
Chn A
Cách 1:
Gi s phc
iz x y
, vi
,xy
. gi
M
là điểm trong mt phng tọa độ biu din s phc
.z
Ta có
12z 
2
2
12xy
.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 39
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Như vậy, tp hợp điểm
M
biu din s phc
z
là đường tròn
C
tâm
1;0I
và bán kính
2.R
Gi
0; 1A
,
2;1B
lần lượt là các điểm biu din các s phc
1
zi
,
2
2zi
. D thy
,AB
thuộc đường tròn
C
. Vì
2 2 2AB R
nên
AB
là đường kính của đường tròn
C
2 2 2
8MA MB AB
.
T đó:
2P z i z i
2 2 2 2
1 1 4.MA MB MA MB
Du
""
xy ra khi
22
2
2
8
MB MA
MA
MB
MA MB


.
Vy
max 4.P
Cách 2.
2 1 1 1 1T z i z i z i z i
.
Đặt
1wz
. Ta có
2w
11T w i w i
.
Đặt
.w x yi
. Khi đó
2
22
2w x y
.
1 1 1 1T x y i x y i
2 2 2 2
1. 1 1 1. 1 1x y x y
2 2 2 2
22
1 1 1 1 1 1x y x y
22
2 2 2 4 4xy
Vy
max 4T
.
Câu 3: Xét các s phc
z a bi
( , )ab
môđun bằng
2
phn ảo dương. Tính giá trị ca
2018
(5( ) 2)S a b
khi biu thc
2 3 2P z z
đạt giá tr ln nht.
A.
0.S
B.
1.S
C.
2018
2.S
D.
1009
2.S
Li gii
Chn A
Gi s phc
iz a b
, vi
a,b .
Theo gi thiết, ta có
2z
22
4ab
. Suy ra
2 2.a
Khi đó,
2 3 2P z z
22
22
2 3 2a b a b
8 4 3 8 4aa
Theo bất đẳng thc Bunhiacopxki:
22
1 3 8 4 8 4P a a


hay
4 10T
, vi mi
2 2.x
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 40
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Vy
max
25P
khi
3 8 4 8 4aa
8
5
a 
6
5
6
0 (lo¹i)
5
b
b
2018
2018
86
(5( ) 2) 5 2 0.
55
S a b
Câu 4. Xét các s phc
z
tha mãn
2 1 3 .z z i
Gi
, Mm
lần lượt là giá tr ln nht và nh nht
ca
2 4 7 .P z i z i
Giá tr
Mm
bng.
A.
10 2 5.
B.
10 4 5.
C.
20 2 5.
D.
20 4 5.
Li gii
Chn D
Gi
z x yi
vi
,xy
, gi
M
là điểm trong mt phng tọa độ biu din s phc
z
. Ta có:
2 1 3z z i
2 1 3x yi x y i
22
22
2 1 3x y x y
22
2 3 20xy
.
Như vậy, tp hợp điểm
M
biu din s phc
z
là đường tròn
C
tâm
2;3I
và bán kính
2 5.R
Gi
0; 1A
,
4;7B
lần lượt là các điểm biu din các s phc
1
zi
,
2
47zi
. D thy
,AB
thuộc đường tròn
C
. Vì
4 5 2AB R
nên
AB
là đường kính của đường tròn
C
2 2 2
20MA MB AB
.
T đó:
2 4 7P z i z i
2 4 7z i z i
2 2 2 2
2 1 2 10MA MB MA MB
.
Du
""
xy ra khi
22
2
2
4
20
MB MA
MA
MB
MA MB


.
Vy
max 10MP
.
Ta li có
2P MA MB MA MB MB AB MB
45P MB
min minP MB M B
min 4 5.mP
Vy
10 4 5.Mm
Câu 5. Xét các s phc
z
tha
4 4 10.zz
Giá tr ln nht và nh nht ca
z
lần lượt là
A.
10
4.
B.
5
4.
C.
4
3.
D.
5
3.
Li gii
Chn D
Cách 1.
Max - Min Module S Phc NĂM HC 2019 2020
Trên con đường thành công không có du chân ca nhng k i biếng Trang 41
NGUY
N HOÀNG VI
T
LUYENTHITRACNGHIEM.VN
Gi
z x yi
vi
;xy
.
Ta có
10 4 4 4 4 2 5z z z z z z
.
Do đó
5.max z
22
22
4 4 10 4 4 10 4 4 10.z z x yi x yi x y x y
Áp dng bất đẳng thc Bunhiacopxki, ta có
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
10 1. 4 1. 4 1 1 4 4x y x y x y x y


2 2 2 2
10 2 2 2 32 2 2 2 32 100.x y x y
2 2 2 2
9 3 3.x y x y z
Do đó
3.min z
Cách 2.
Gi
;M x y
,
1
4;0F
,
1
4;0F
biu din cho s phc
z
,
4
,
4.
Ta có
12
10MF MF
M
chy trên Elip có trc ln
2 10 5.aa
tiêu cự
12
2 8 4.c F F c
trc nh
22
2 2 2.3 6 3.b a c b
z OM
. Do đó giá tr ln nht, giá tr nh nht ca
z
5
3.
| 1/41

Preview text:

Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MODUL SỐ PHỨC 
DẠNG TOÁN 1. ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
Cho đường thẳng  : Ax By C  0 và điểm M .
 Điểm N  sao cho NM nhỏ nhất  K là hình
chiếu của N lên , nghĩa là NM
NK  d N,  M K. min   N C G z
OH d N,   min 2 2 U A B YỄN
Khi đó M H và tọa độ H    (OH ). H O
Ax By C À
z  (x y i)
NK d N,   N min 2 2 G A B VI     Ệ Khi đó M
K và tọa độ K NK. T BÀI TẬP TẠI LỚP Câu 1:
Cho z x yi thỏa z  2  4i z  2i z đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 3x  2 y bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn A LUY ENTHITRA
Ta có: z  2  4i z  2i C N G H
 (x  2)  (y  4)i x  (y  2)i IEM. 2 2 2 2 V
 (x  2)  (y  4)  x  (y  2) N
x y  4  0 : là đường thẳng d.
Khi đó: z OM zOM min min  M H.
Do OH d : x y  4  0
OH : x y m  0. (
O 0;0) OH m  0  OH : x y  0. x y  4
Tọa độ H d OH thỏa  x y  0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 1
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020x  2  
 3x  2y  2. y  2
Cách 2. Từ d : y  4  x 2 2 2 2 2
z x y x  (4  x)  2(x  2)  8  8  2 2. Suy ra: z
 2 2  x  2  y  2  3x  2y  2. min
Cách 3. Sử dụng Cauchy – Schwarz, có N 2 2 2 2 x y (x y) 4 G 2 2 z x y      2 2. U Y 1 1 1  1 2 ỄN H
Dấu "  " khi x y x y  4  x y  2  3x  2y  2. O ÀN    G
Lưu ý. Nếu đề bài chỉ yêu cầu tính | | z , thì nó là | | z OH d( ; O d). min min VIỆT Câu 2: Cho z x
yi thỏa mãn z 1 5i z
3 i z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 3x . y 5 12 12 5 A. 12 B. 5 C. 5 D. 12 Lời giải Chọn C Ta có z 1 5i z 3 i x yi 1 5i x yi 3 i x 1 y 5 i x 3 y 1 i 2 2 2 2 x 1 y 5 x 3 y 1 LUY
2x 10y 26 6x 2y 10 x 3y 4 0 x 4 3y ENT 2 H 2 2 2 2 2 6 8 8 I Ta có z x y 4 3y y 10y 24y 16 10 y TRA 5 5 5 C N 8 6 2 12 G Suy ra z y x 3x y . H min 5 5 5 5 IEM x 2 Câu 3: Cho z x
yi thỏa mãn z 3i z
2 i z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm . y .VN 1 3 A. 1 . B. 5 . C. 2 . D. 5 . Lời giải Chọn A Ta có z 3i z 2 i x y 3 i x 2 y 1 i 2 2 2 x2 y 3 x 2 y 1 x 2y 1 0 x 2y 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Ta có z x y 2y 1 y 5y 4y 1 5 y 5 5 5
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 2
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 1 2 1 Suy ra z y x x 2y 1. min 5 5 5 Câu 4: Cho z x
yi thỏa mãn z 2 i z
3i z đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của 4x 2y bằng 1 5 3 A. 1 . B. 2 . C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn A N Ta có z 2 i z 3i x 2 y 1 i x y 3 i G U YỄ 2 2 2 2 N x 2 y 1 x y 3 HOÀ x y 1 0 x y 1 N G V 2 IỆ 2 2 2 2 2 1 1 1 T Ta có z x y y 1 y 2y 2y 1 2 y 2 2 2 1 1 1 Suy ra z y x . min 2 2 2 Vậy 4x 2y 1 . Câu 5:
Cho số phức z thỏa z 2 2i z
4i . Giá trị nhỏ nhất của iz 1 bằng 2 3 2 A. 2 2 . B. 2 . C. . D. . 2 2 LUY Lời giải ENT Chọn C H ITRA Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z x y . i C N z 2 2i z 4i (x 2) ( y 2)i x ( y 4)i G H IE x y 2
0 là đường thẳng d. M .VN Có iz 1 i z i z i AM với (0 A ;1). iz 1 AM
M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: min min 1 2 2 iz 1 AM d ( ; A d ) min min 2 2 2 1 1 Câu 6: Cho z thỏa z 1 2i z
3i 1 . Giá trị nhỏ nhất của z 2 2i bằng 3 5 A. 1. B. . C. . D. 5 . 2 2 Lời giải Chọn B Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z x y . i
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 3
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 z 1 2i z 3i 1 (x 1) ( y 2)i x 1 ( y 3)i 2y 1
0 là đường thẳng d. Có z 2 2i AM với ( A 2; 2). z 2 2i AM
M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: min min 2. 2 1 3 z 2 2i AM d ( ; A d ) N min min 2 2 G 2 0 2 U YỄN
Câu 7. Cho số phức z thỏa z 2i
z 1 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của (1 i)z 2 . HOÀ 5 5 N A. . B. . C. 3 . D. 5 . G 41 34 VIỆT Lời giải Chọn B Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z x y . i z 2i z 1 2i x ( y 2)i x 1 ( y 2)i 2x 8y 1
0 là đường thẳng d. Có (1 i)z 2 (1 i)z 1 i 1 i 1 i z 1 i 1 i z 1 i 2AM với ( A 1;1). LUY E (1 i)z 2 AM
M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: min N min THITRA 2. 1 8.1 1 5 (1 i)z 2 2AM 2d ( ; A d ) 2. . min min 2 2 C 2 8 34 N G H IEM BÀI TẬP VỀ NHÀ .VN Câu 1:
Cho z x yi thỏa z i z  2  3i z đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 3x y bằng A. 2. B. 3. C. 4. D. 5. Lời giải Chọn B
Ta có: z i z  2  3i
x   y  
1 i   x  2   y  3i
x   y  2  x  2   y  2 2 1 2 3
x  2y 3  0
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 4
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 2  6  9 3 5 2 2 2 2 2
z x y  (2y  3)  y  5y 12y  9  5 y       5  5 5 3 5 6 3  z
y    x   3x y  3. min 5 5 5 Câu 2: Cho z x
yi thỏa mãn z 1 i z
1 2i z đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm 5x 10 . y 3 3 3 A. 0 D. N 5 B. 10 C. . 5 G U Lời giải YỄ Chọn C N HOÀNG VIỆT Ta có z 1 i z 1 2i x yi 1 i x yi 1 2i x 1 y 1 i x 1 y 2 i 2 2 2 2 x 1 y 1 x 1 y 2
2x 2y 2 2x 4y 5 4x 2y 3 0
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d : 4x 2y 3 0 LUY Khi đó: z OM z OM min min ENTH M H. ITRA Do OH d : 4x 2y 3 0 OH : 2x 4y m . 0 C N G ( O ; 0 ) 0 OH m 0 OH : x 2y . 0 H IEM 3 .V x N 4x 2y 3 5 Tọa độ H d OH thỏa 5x 10y 0. x 2y 0 3 y 10 Câu 3: Cho z x
yi thỏa mãn iz 3 z
2 i z đạt giá trị nhỏ nhất. Phần thực của z bằng 2 1 2 1 A. 5 . B. 5 . C. 5 . D. 5 . Lời giải Chọn D Ta có iz 3 z 2 i 3 y xi x 2 y 1 i 2 2 2 y x2 3 x 2 y 1 x 2y 1 0 x 2y 1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 5
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Ta có z x y 2y 1 y 5y 4y 1 5 y 5 5 5 1 2 1 Suy ra z y x . min 5 5 5 2 Câu 4:
Xét số phức z thỏa z z 2 i
4i 1 là một số thực. Giá trị nhỏ nhất của z bằng 8 16 9 7 A. 5 . B. 5 . C. 6 . D. 5 . N G U Lời giải YỄ Chọn B N H Gọi z x yi , đk , x y . Ta có z z 2 i 4i 1 x yi x yi 2 i 4i 1 O ÀNG 2 2 2 1 2 4 x y x y x y i VIỆT Vì z z 2 i
4i 1 là số thực nên x 2y 4 0 x 2y 4 2 2 2 2 2 2 8 16 16 Ta có z x y 2y 4 y 5y 16y 16 5 y 5 5 5 16 2 16 Suy ra z z min min 5 5 . Câu 5: Cho z thỏa z 1 2i z 2
i . Giá trị nhỏ nhất của z 2 3i bằng 11 121 LUY A. 10 . B. 10 . C. . D. . 10 10 ENT Lời giải H ITRA Chọn C C Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z x y . i N G H I z 1 2i z 2 i x y i x y i E 1 ( 2) 2 ( 1) M .VN x 3y
0 là đường thẳng d. Có z 2 3i AM với ( A 2;3). z 2 3i AM
M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). Khi đó: min min 1. 2 3.3 11 z 2 3i AM d ( ; A d ) . min min 2 2 10 1 3 Câu 6: Cho z thỏa z 1 i z 1
2i . Giá trị nhỏ nhất của (3 4i)z 5 10i bằng 7 3 15 17 25 13 A. . B. . C. . D. . 26 2 2 26 Lời giải
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 6
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 Chọn D Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z x y . i z 1 i z 1 2i x 1 ( y 1)i x 1 ( y 2)i 4x 6y 3
0 là đường thẳng d. Có (3 4i)z 5 10i (3 4i)z (3 4i) 1 2i (3 4i) z 1 2i 3 4i z 1 2i 5AM với ( A 1; 2). N G U Y (3 4i)z 5 10i AM
M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). min min ỄN Khi đó: H O ÀN 4. 1 6. 2 3 25 25 13 G (3 4i)z 5 10i 5AM 5d ( ; A d ) 5. . min min 2 V 2 52 26 I 4 6 ỆT Câu 7:
Cho các số phức z thỏa z z 1
2i . Giá trị nhỏ nhất của (1 2i)z 11 2i là 5 5 2 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 5 2 Lời giải Chọn D Gọi M ( ;
x y) biểu diễn số phức z x yi z x yi . LUY z z 1 2i x yi x 1 (2 y)i EN 2x 4y 5
0 là đường thẳng d. THITRA Có (1 2i)z 11 2i (1 2i)z (1 2i) 3 4i (1 2i) z 3 4i C N 1 2i z 3 4i 5AM với ( A 3; 4). G H IE (1 2i)z 11 2i AM
M là hình chiếu của A lên đường thẳng d (xem lý thuyết). M min min .V Khi đó: N 2. 3 4.4 5 5 (1 2i)z 11 2i 5AM 5d ( ; A d ) 5. . min min 2 2 2 2 4
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 7
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
DẠNG 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG TRÒN
Cho tập hợp điểm M  ;
x y biểu diễn các số phức z x yi là một đường tròn C  có tâm I  ; a b
và bán kính R . Gọi N là điểm biểu diễn số phức z .
Phương pháp 1. Hình học N G U YỄN HOÀN G VI  zOM
OM OI R khi M M Ệ  min 1 1 min T   . zOM
OM OI R khi M M  max 2 2 max
Khi đó OI  C  M ;M . 1 2   z z  MN
NN NI R khi M N   min 1 1 min  . z z  MN
NN NI R khi M N  max 2 2 max
Khi đó NI  C  N ; N . 1 2   LUY
Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm tổng phần thực, phần ảo tương ứng với z , z thì từ nhận min max E
xét I là trung điểm của M M suy ra: tổng phần thực 2a , tổng phần ảo 2 . b 1 2 N TH
Phương pháp 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: ITRA 2 2 2 C
Giả sử tập hợp điểm là đường tròn C :  x a   y b  R và viết lại: N G H I C 2 2 2 2
: x y  2ax  2by c  0  x y  2ax  2by c . EM.V 2 N 2 2 2 2
z x y z x y ax by c ax a by b 2 2 2 2 2 2
 2a  2b c 2 2
nhằm lợi dụng        2 x a y b
R trong bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (điểm rơi):   2 2 a b  2 2
x a y b   a x a b y b     2 2 a b  2 2 4 4 ( ) ( ) 2 . 2 . 4 4
(x a)  (y b)    2 2 R R 2 Suy ra 2 2
a b c R  2 2 a b  2 2
z a b c R  2 2 2 2 2 2 2 2 a b  2 2 
a b c R  2 2 a b  2 2  z
a b c R  2 2 2 2 2 2 2 2 a b  .
Phương pháp 3. Lượng giác
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 8
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 2 2      2 2 x a y b
Giả sử tập hợp điểm là đường tròn C  x a   y b 2 :  R   1     ,  R   R
x a  sint  R
x a Rsin t gợi ta đến công thức 2 2
sin t  cos t  1 nên đặt    . y b      y b R cos t cos t  R Do đó 2 2 2 2 2 z
x y z x y  a Rsin t 2  b R cost 2 . N G U 2 2 2 2 2 2 Y
z a b R sin t  cos t 2a .
R sin t  2b . R cos t . ỄN H 2 O 2 2 2 2 2
z a b R  2R a b .sin t   và luôn có 1
  sint   1 ÀNG VI nên suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2
a b  2R a b z a b  2R a b . ỆT
Phương pháp 4. Sử dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối z z z z z z . 1 2 1 2 1 2
Ví dụ minh họa: Xét các số phức z x
yi thỏa mãn z 2 3i 1.
a) Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z . Ứng với z
là số phức z a
bi và ứng với min z
là số phức z c d .
i Tìm tổng a b c d. max Ta có 2 2 z 2 3i 1 (x 2) (y 3)i 1 (x 2) (y 3) 1 ( ) LUY
Do đó tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn (C ) có tâm I(2;3) và bán kính R 1. ENTH Cách 1. Hình học ITRA C N G H IEM.VN z OM OI R 13 1 13 1. 1 min z OM OI R 13 1. 2 max
I(2; 3) là trung điểm M M nên: 1 2 x x 2x a c 4 M M I 1 2 . Suy ra a b c d 10. y y 2y b d 6 M M I 1 2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 9
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm số phức tương ứng với z z
, tức là tìm hai điểm biểu diễn min max
M , M , nó cũng chính là tọa độ giao điểm của đường thẳng d
OI và đường tròn (C). 1 2
Cách 2. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz: Ta có: 2 2 2 2 (x 2) (y 3) 1 x y 4x 6y 12. 2 2 2 Ta lại có: z x y 4x 6y 12 4.(x 2) 6.(y 3) 14 2 2 2 2 2 2 2 2 (4 6 ) (x 2) (y 3) 4(x 2) 6(y 3) (4 6 ) (x 2) (y 3) N Mà G U Y 2 Ễ 14 2 13 z 14 2 13 13 1 z 13 1. N HO
Cách 3. Lượng giác ÀNG x 2 sint 2 2 2 V Đặt z (2 sint) (3 cost) 14 4 sint 6 cost IỆ y 3 cost T 2 2 2 z 14 4 6 .sin(t ) 14 2 13 sin(t ) và do 1 sin(t ) 1 nên: 2 14 2 13 z 14 2 13 13 1 z 13 1.
Cách 4. Sử dụng bất đẳng thức z z z z z z 1 2 1 2 1 2 Ta có z 2 3i z 2 3i z 2 3i z 13 1 z 13 1 13 z 1 13 . LUY
Nhận xét. Tùy vào cấu trúc bài toán, yêu cầu câu hỏi và sự thành thạo về kiến thức mà học sinh ENT
chọn phương pháp giải cho phù hợp. H ITRA
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 i . C N Ta có: P z 1 i (x 1) (y 1).i G H IE 2 2 (x 1) (y 1) MA với ( A 1;1). M .VN P AM AI R 13 1 min 1 Từ hình vẽ, suy ra: . P AM AI R 13 1 max 2 Kết luận: P 13 1 và P 13 1. min max
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 10
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 1 i . Ta có: P z 1 i (x 1) (y 1).i 2 2 (x 1) (y 1) MA với ( A 1;1). P AM AI R 13 1 min 1 Từ hình vẽ, suy ra: . P AM AI R 13 1 max 2 N G U Kết luận: P 13 1 và P 13 1. min max YỄN BÀI TẬP TẠI LỚP H O À Câu 1:
Cho các số phức z thỏa z 3 4i
4. Giá trị lớn nhất của z bằng N G VIỆT A. 9 . B. 5 . C. 12 . D. 3 . Lời giải Chọn A
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i z 3 4i 4 (x 3) (y 4)i 4
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) là đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R 4 z OI R 9 max LUY Câu 2:
Xét các số phức z thỏa z 2 4i
5. Giá trị nhỏ nhất của z bằng ENTH A. 1. B. 2. C. 5. D. 6. ITRA Lời giải C N G Chọn C H IE
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i M .VN z 2 4i 5 (x 2) (y 4)i 5
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) là đường tròn tâm I(2; 4) bán kính R 5 z OI R 5 min Câu 3:
Xét các số phức z thỏa z 3 4i
2. Gọi z , z là hai số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. 1 2
Tổng phần thực của z , z bằng 1 2 A. 8. B. 6. C. 8. D. 6. Lời giải Chọn B
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 11
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 2 2 z 3 4i 2 (x 3) (y 4)i 2 (x 3) (y 4) 4
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) là đường tròn (C ) tâm I( 3; 4) bán kính R 2 quaO(0;0) x 3t OI : OI : u(3;4) y 4t
Tọa độ giao điểm của (C ) và OI là nghiệm của hệ phương trình 9 x N G 5 U 12 Y x 3t y ỄN 5 y 4t H 21 O 2 2 (x 3) (y 4) 4 x ÀN 5 G 28 V y IỆ 5 T 9 21
Vậy tổng phần thực của z , z bằng 6 1 2 5 5 Câu 4:
Xét các số phức z thỏa mãn iz 1 1. Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức P
z . Giá trị của biểu thức 2020 M m bằng A. 2014. B. 2016. C. 2018. D. 2022. Lời giải Chọn C LUY
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i EN 2 2 T iz 1 1 (1 y) xi 1 x (y 1) 1 H ITRA
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) là đường tròn tâm I(0;1) bán kính R 1 C N
Tọa độ giao điểm của (C ) và OI là (0; 0),(0;2) G H IE m z 0,M z 2 M min max .VN Vậy 2020 M m 2018 Câu 5:
Xét các số phức z thỏa mãn z  2  3i  1. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
z 1 i lần lượt là
A. 14  2, 14  2 . B. 13 1, 13 1 .
C. 13  4, 13  4 . D. 14 1, 14 1. Lời giải Chọn B
Đặt z x yi với , x y  .
Khi đó z   i   x  2   y  2 2 3 1 2 3 1.
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 12
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M  I  ;1 với I 2;3 . 2 2 2 2
z 1 i   x   1   y   1  x   1   y   1 . 2 2 Gọi A 1  ; 
1 suy ra z 1 i   x   1   y   1  AM .
Dễ thấy AI  13  1 nên A nằm ngoài  I  ;1 . N G M U YỄN HO B À I C A N G VIỆT
Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn  I
;1 tại B,C như hình vẽ.
AM AC AI IC  13 1
AB AM AC nên max  . AM
AB AI IB  13 1  min Câu 6:
Xét các số phức z thỏa mãn z  2 . Số phức w  z  3i có mô-đun nhỏ nhất và lớn nhất lần lượt
m M . Tổng m M bằng A. 5 . B. 7 . C. 8. D. 6 . LUY Lời giải ENT Chọn D H ITRA
Đặt z x yi với , x y  . C N Khi đó 2 2     G z 2 x y 4 . H IEM
Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M  ; O 2 . .VN
Xét w  z i
x   y  2 2 3 3 Gọi A0; 3
  suy ra w  z i x  y  2 2 3 3  AM .
Dễ thấy AO  3  2 nên A nằm ngoài  ; O 2 . M B O C A
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 13
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Kẻ đường thẳng AO cắt đường tròn  ;
O 2 tại B,C như hình vẽ. AM
AC AO OC  3 2  5 M  5
AB AM AC nên max   
M m  6 . AM
AB AO OB  3 2 1  m 1 min Câu 7:
Xét các số phức z, w thỏamãn z 5 và w (4 3i)z 1 2 .
i Giá trị nhỏ nhất của w bằng A. 3 5. B. 4 5. C. 5 5. D. 6 5. N Lời giải G U Y Chọn B ỄN w 1 2i w 1 2i H Ta có: w (4 3i)z 1 2i z z O 4 3i 4 3i ÀNG w 1 2i VI 5 w 1 2i 5 5 ỆT 4 3i Lại có: w 1 2i w 1 2i 5 5 w 5 w 4 5 Vậy w 4 5. min Câu 8:
Cho số phức z thỏa 2 2 z 4 z
2iz . Tìm giá trị nhỏ nhất của z i . A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải Chọn A LUY
Giả sử z x y ; i  , x y  . E Ta có: N TH z 2i I 2 2 z 4 z 2iz z 2i . z 2i z . z 2i . TRA z 2i z C N Với z 2i thì z i i 1. G H I 2 E 2 2 2 M Với z 2i z x y 2 x y y 1. .VN 2 2 2 thì z i x y 1 x 4 2.
So sánh hai trường hợp ta được z i 1 đạt được khi z 2i . min BÀI TẬP VỀ NHÀ Câu 1:
Cho các số phức thỏa mãn z 2 2i
1. Giá trị lớn nhất của z bằng A. 4 2 2 . B. 2 2. C. 2 2 1. D. 3 2 1. Lời giải Chọn C
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i z 2 2i 1. (x 2) (y 2)i 1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 14
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) là đường tròn tâm I(2; 2) bán kính R 1 z OI R 2 2 1. max Câu 2:
Xét các số phức z thỏa iz 4 3i
1. Giá trị nhỏ nhất của z bằng A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. Lời giải Chọn B N
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i G U YỄ iz 4 3i 1 ( y 4) (x 3)i 1 N 2 2 H (y 4) (x 3) 1 O ÀNG
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) là đường tròn tâm I(4; 3) bán kính R 1 VIỆ z OI R 4 T min Câu 3:
Xét các số phức z thỏa z 2 4i
2. Gọi z , z là hai số phức có môđun lớn nhất và nhỏ nhất. 1 2
Tổng phần ảo của z , z bằng 1 2 A. 8. B. 4. C. 8. D. 4. Lời giải Chọn C
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i 2 2 z 2 4i 2 (x 2) (y 4)i 2 (x 2) (y 4) 4 LUY EN
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) là đường tròn (C ) tâm I(2; 4) bán kính R 2 THI quaO(0;0) x 2t TRA OI : OI : u(2;4) y 4t C N G C H
Tọa độ giao điểm của ( ) và OI là nghiệm của hệ phương trình IEM 10 2 5 .V x N 5 20 4 5 x 2t y 5 y 4t 2 2 10 2 5 (x 2) (y 4) 4 x 5 20 4 5 y 5 20 4 5 20 4 5
Vậy tổng phần ảo của z , z bằng 8 1 2 5 5 Câu 4:
Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)z 1 7i 2. Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ
nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P
z . Giá trị của M m bằng
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 15
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 A. 4. B. 10. C. 2. D. 24. Lời giải Chọn C
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i 2 2 (1 i)z 1 7i 2 x y 6x 8y 24 0
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) là đường tròn tâm I(3; 4) bán kính R 1 N G U quaO(0;0) x 3t Y OI : OI : ỄN u(3;4) y 4t HO
Tọa độ giao điểm của (C ) và OI là nghiệm của hệ phương trình ÀNG 18 V x IỆ 5 T 24 x 3t y 5 y 4t 12 2 2 x y 6x 8y 24 0 x 5 16 y 5 m z 4,M z 6 min max M m 2 Câu 5:
Cho các số phức z thỏa mãn z  3  4i  2 và cho số phức w  2z 1 i . Khi đó w có giá trị LUY
lớn nhất bằng bao nhiêu? EN A. 16  74 . B. 2  130 . C. 4  74 . D. 4  130 . THITRA Lời giải C N Chọn D G H I
Đặt z x yi với , x y  . EM.V 2 2 N
Khi đó z  3 4i  2  x 3   y  4  4.
Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M  I; 2 với I 3; 4  . 2 2      
w  z   i x    y  i  w   x  2   y  2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  4  x   y       .  2   2     2 2 1 1   1 1      Gọi A  ; 
 suy ra w  4  x   y        2AM .  2 2   2   2    2 2  1   1  130 Dễ thấy AI  3   4     2    
nên A nằm ngoài  I; 2 .  2   2  2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 16
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 M B I C A
Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn  I; 2 tại B,C như hình vẽ. N G U
AM AC nên AMAC . Y max ỄN H  O
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi M C khi đó 130 130 4
AC AI IC   2  . ÀN 2 2 G VI Vậy w
 2AC  130  4 . Ệ max T Câu 6:
Xét các số phức z thỏa mãn z 1 3i  2 . Số phức z mà có z 1 nhỏ nhất có dạng z a bi . 0
Giá trị của tổng 2a  3b bằng A. 2 . B. 5 . C. 7 . D. 9 . Lời giải Chọn B
Đặt z x yi với , x y  . 2 2 LUY
Khi đó z 1 3i  2  x  
1   y  3  4. EN  T
Gọi M là điểm biểu diễn hình học của số phức z ta có M
I;2 với I 1;3. H ITRA
z    x  2 2 1 1  y . C N G H I
Gọi A1;0 suy ra z    x  2 2 1
1  y AM . EM.VN
Dễ thấy AI  3  2 nên A nằm ngoài  I; 2 . M B I C A
Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn  I; 2 tại B,C như hình vẽ.
AM AB AM
AB AI IB 1. min
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 17
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 AB 1
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi AB AI AB
AI , với AI 0;3 suy ra AI 3 AB 0;  1  B 1;  1 . a 1
Khi đó z 1 i hay 
 2a  3b  5 . b  1 Câu 7:
Xét các số phức z, w thỏamãn w iz và (1 i)z 2 2i
2. Giá trị lớn nhất của z w N bằng G U Y A. 3. B. 2 3. C. 3 2. D. 3 3. ỄN H Lời giải O ÀN Chọn C G V Từ giả thiết: IỆT (1 i)z 2 2i 2 2 (1 i)z 2 2i 2 2 z 2 2 z 3. Lại có: z w z iz z . 1 i 2. z 3 2. Vậy: z w 3 2. max Câu 8: Cho 2 z 2z 5 (z 1 2i)(z
3i 1) . Giá trị nhỏ nhất của z 2 2i bằng 1 3 A. . B. 1. C. . D. 2. 2 2 Lời giải LUY Chọn B E    N Giả sử z x y ; i  , x y . TH Ta có: ITRA 2 z 2z 5 (z 1 2i)(z 3i 1) z 1 2i . z 1 2i z 1 2i . z 1 3i C N z 1 2i G H . I z 1 2i z 1 3i EM.V Với z 1 2i thì z 2 2i 1 1. N 2 2 2 2 1 Với z 1 2i z 1 3i x 1 y 2 x 1 y 3 y . 2 2 2 2 9 3 thì z 2 2i x 2 y 2 x 2 . 4 2
So sánh hai trường hợp ta được z 2 2i 1 đạt được khi z 1 2i . min
DẠNG TOÁN 3. ĐƯỜNG TRÒN VÀ ĐƯỜNG TRÒN Câu 1: Xét các số phức z z
z  4  1 và iz  2  1 . Giá trị nhỏ nhất của z  2z bằng 1 , 2 thỏa mãn 1 2 1 2 A. 2 5  2 B. 4  2 C. 4 2  3 D. 4 2  3 Lời giải Chọn C
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 18
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 N Đặt z  2
z , suy ra P z  2z z  ( 2
z )  z z . 3 2 1 2 1 2 1 3 G U Y 1 1 Ễ Và z  
z thế vào iz  2  1   iz  2  1  z  4i  2. 2 3 2 3 3 N 2 2 HO Gọi ,
A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z , z . 3 1 À N G
z  4i  2  Athuộc đường tròn tâm I (0; 4), R  2. 3 3 V IỆ
z  4  1 B T
thuộc đường tròn tâm J (4;0), R  1. 1 1
P IJ R R  4 2 3 min 1 3
P z z AB   . 1 3
P IJ R R  4 2  3  max 1 3 Câu 2:
Xét các số phức z , z thỏa mãn z  3i  5  2 và iz 1 2i  4. Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2
P  2iz  3z bằng 1 2 A. 313 16 . B. 313 . C. 313  8 . D. 313  2 5 . Lời giải Chọn A LUY E
Đặt z  2iz z  3
z suy ra P  2iz  3z z  ( 3
z )  z z . N 3 1 4 2 1 2 3 2 3 4 TH 1 1 I              TRA Và z z thế vào z 3i 5 2 z 3i 5 2 z 6 10i 4. 3   1 3 2i 1 3 2i C N 1 1  G
z   z thế vào iz 1 2i  4 
iz 1 2i  4  z  6  3i  12. 4   2 4 2 4 H 3 3 IEM Gọi ,
A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z , z . 3 4 . VN z  6
 10i  4  A thuộc đường tròn tâm I( 6  ; 1  0), R  4. 3   3
z  6  3i  12  B thuộc đường tròn tâm J (6;3), R  12. 4   4
P IJ R R  313 16 min 3 4
P z z AB   . 4 3
P IJ R R  313 16  max 3 4 Câu 3:
Xét các số phức z, w thỏa z  3 2  2 và w  4 2i  2 2. Biết z w đạt giá trị nhỏ nhất
khi z z w w . Giá trị của 3z w bằng 0 0 0 0 A. 2 2. B. 6 2. C. 4 2. D. 1. Lời giải Chọn B Gọi ,
A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z, w.
z 3 2  2  A thuộc đường tròn tâm I 3 2;0 , bán kính R  2 . 1   1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 19
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
w 4 2i  2 2  B thuộc đường tròn tâm I 0;4 2 , bán kính R  2 2 . 2   2 Ta có hình vẽ: N G U YỄN HOÀNG VIỆT
Ta có: I I  9 2 16 2  5 2 . 1 2
P I I R R  2 2 min 1 2 1 2
P z  w  AB   .
P I I R R  8 2  max 1 2 1 2 I I  3
 2;4 2 , phương trình đường thẳng I I : 4x  3y 12 2  0. 1 2   1 2  12 2  4x    18 2 4 2 4  3 12 2  0 y x y  x   y    • 3 5 5      .  x  3 2   2 2  y  2 25 50 2 12 2 4 2 2 x x  48  0 x   y  LUY  9 3  5 5 E   N 12 2 4 2 T
Điểm A là điểm nằm bên trong I I nên có toạ độ là:  ;  . 1 2 H   5 5   ITRA  28 2 6  2 C  x y    y   x  N 4 3 12 2 0  5 5 G •    . H x y    I   4 22 2 8 12 2 6 2 E  y   x  M  5 5 .VN   Điể 6 2 12 2
m B là điểm nằm bên trong I I nên có toạ độ là:  ;  . 1 2   5 5   Theo đó 12 2 4 2 12 2 4 2 ,
A B lần lượt biểu diễn cho z , w . Suy ra z   i , w   i . 0 0 0 5 5 0 5 5
Vậy: 3z w  6 2 . 0 0 Câu 4:
Xét các số phức z , z thỏa z  12 và z  3  4i  5. Giá trị nhỏ nhất của z z bằng 1 2 1 2 1 2 A. 0. B. 2. C. 7. D. 17. Lời giải Chọn B Gọi ,
A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z , z . 1 2
z  12  A thuộc đường tròn tâm I (0;0), R  12. 1 1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 20
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
z  3  4i  5  B thuộc đường tròn tâm J (3; 4), R  5. 2   2 Ta có hình vẽ: N G U YỄN HOÀNG V IỆ
P R  2R  12 10  2 T min 1 2
P z z AB   . 1 2
P  2R R  5 12  5  22  max 1 2 Câu 5:
Cho số phức z thỏa mãn z 1 i  1, số phức w thỏa mãn w  2  3i  2. Giá trị nhỏ nhất của
biểu thức z w bằng A. 13  3 . B. 17  3. C. 17  3 . D. 13  3 . Lời giải Chọn B Gọi ,
A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z w . LUY
+) z 1 i  1  A thuộc đường tròn tâm I 1 
;1 , bán kính R  1. 1 ENT
+) w  2  3i  2  w  2  3i  2  w  2  3i  2  w  2  3i  2  B thuộc đường H ITRA
tròn tâm J 2;  3 , bán kính R  2 . 2 C N G
IJ  17  3  R R nên hai đường tròn  I; R và  J; R ngoài nhau. 2  1  1 2 H IE
P z w AB P IJ R R  17  3. M min 1 2 .VN
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z w bằng 17  3. Câu 6:
Cho các số phức z, w thỏa mãn z  5  3i  3 và iw  4  2i  2. Giá trị lớn nhất của biểu thức
3iz  2w bằng A. 554  5 . B. 578 13 . C. 578  5 . D. 554 13. Lời giải Chọn D z  3z Đặt 1 
P  3iz  2w  3z  2iw z z . 1 2 z  2iw  2 Gọi ,
A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z z . 1 2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 21
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
+) z  5  3i  3  3z 15  9i  9  z 15  9i  9  A thuộc đường tròn tâm I 15;  9 , 1 bán kính R  9 . 1
+) iw  4  2i  2  2iw  8  4i  4  z  8  4i  4  B thuộc đường tròn tâm J  8  ; 4  , 2 bán kính R  4 . 2
IJ  554  13  R R nên hai đường tròn  I; R và  J; R ngoài nhau. 2  1  1 2
P z z AB P IJ R R 13 554 . 1 2 max 1 2 N G U Y
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3iz  2w bằng 13  554 . ỄN HO Câu 7:
Cho hai số phức z , z thỏa mãn z  2  3i  2 và z 1 2i  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 1 2 ÀNG
z z bằng 1 2 VIỆT   A. 3 34 . B. 3 10 . C. 3 . D. 6 . Lời giải Chọn A Gọi ,
A B là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z z . 1 2
+) z  2  3i  2  A thuộc đường tròn tâm I  2
 ;3, bán kính R  2 . 1 1
+) z 1 2i  1  z  1 2i  1  z  1 2i  1  z  1 2i  1  B thuộc đường tròn 2 2   2   2  
tâm J 1;  2 , bán kính R  1. 2 LUY
IJ  34  3  R R nên hai đường tròn  I; R và  J; R ngoài nhau. 2  1  1 2 E           N P z z AB P IJ R R 3 34 . 1 2 max 1 2 THITRA
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z z bằng 3  34 . 1 2 C N Câu 8:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn G H I .
z z  1 và z  3  i  .
m Tổng các phần tử của S bằng EM.VN A. 2  . B. 4 . C. 2 . D.  5 . Lời giải Chọn B
Đặt z x yi, ,
x y   có điểm biểu diễn là M  ;
x y  z x yi . +) 2 2 .
z z  1  x y  1 M thuộc đường tròn tâm O 0;0, bán kính R  1. 1
+) z  3  i m  với m  0 thì điểm M thuộc đường tròn tâm I  3; 
1 , bán kính R m . 2
Tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi hai đường tròn trên tiếp xúc với nhau.
TH1: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài  OI R R m 1  2  m  1 tm . 1 2  
m  3tm
TH2: Hai đường tròn tiếp xúc trong  OI R R m 1  2    m  3. 1 2 m  1   l
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 22
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020S  1; 
3 . Vậy tổng các phần tử của S bằng 4 .
DẠNG TOÁN 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Câu 1:
Biết rằng số phức z x yi  ,
x y   thỏa mãn đồng thời z  3 4i  5 và biểu thức 2 2
P z  2  z i đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của z bằng A. 33. B. 50. C. 10. D. 5 2. Lời giải N Chọn D G U
Lời giải tham khảo 1 (hình học) YỄ 2 2 N
z  3  4i  5   x  3   y  4  5. HO I R À
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn C tâm 3; 4 , bán kính 5. N G 2 2 2 2  2 2 V Ta lại có P z 2 z i Px 2 y xy  1             IỆ   T P 4x 2y 3 4x 2y 3 P
0 là đường thẳng d. 4.3 2.4 3 P
Để tồn tại z thì d C phải có điểm chung d I, d R 5 2 2 4 2 23 P 10 13 P 33 max P 33. 4x 2y 3 33 Dấu “=” xảy ra khi 2 2 x y 5 z 5 2. x 3 y 4 5
Lời giải tham khảo 2 (đại số) LUY 2 2
z  3  4i  5   x  3   y  4  5. EN 2 2 2 2  2 2 T 
Ta lại có P z  2  z i
P  x  2  y x   y   1 H   ITRA P 4x 2y 3 4 x 3 2 y 4 23 C N Cauchy Schwarz 2 2 G 2 2 4 2 x 3 y 4 23 33. H IEM Dấu “=” xảy ra khi .VN x 3 y 4 2x 6 4y 16 2x 4y 10 4 2 x y 5 z 5 2. 4x 2y 30 4x 2y 30 4x 2y 3 33 Câu 2:
Xét các số phức z thỏa mãn z 1 3i  13 . Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn 2 2
nhất của biểu thức P z  2  z  3i . Tổng m M bằng A. 10. B. 25. C. 34. D. 40. Lời giải Chọn C
Đặt z x yi  , x y   . 2 2
z 1 3i  13   x   1
  y 3 13.
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 23
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là đường tròn C tâm I 1; 3 , bán kính R 13. 2 2 2 2  2 2 Ta lại có P z 2 z 3i Px 2 y xy 3               P 4x 6y 5 4x 6y 5 P 0 là đường thẳng .
Để tồn tại z thì và C phải có điểm chung 4.1 6.3 5 P d I, R 13 17 P 26 9 P 43. 2 2 4 6 N G m minP 9, M max P 43. U YỄN Vậy: m M 9 43 34. H O ÀN Câu 3:
Xét các số phức z x yi  ;
x y   thỏa mãn 1 iz  2  i  4. Giá trị lớn nhất của biểu thức G VI
P x y  3 bằng ỆT A. 4. B. 4 2 . C. 4  2 2 . D. 8 . Lời giải Chọn D 2 2    1   3  i 1 3 1
z  2  i  4  z
i  2 2  x   y   8       1 . 2 2  2   2  1 3 1 3  1 3     
P x y  3  x
y   4  x   y   4  1 1  2 2 2 2  x   y        4  8 2 2 2 2  2   2    LUY . ENT  1 3 H x   y    3 ITRA 2 2 x    2
Dấu “=” xảy ra khi x y  3  8   . C N 7    G 1 3 y       H x y 0  2 I  2 2 EM.VN Câu 4:
Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i
5. Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 2 2 của biểu thức P z 2 z
i . Môđun của số phức w M mi bằng A. 1258. B. 1258. C. 2 314. D. 2 309. Lời giải Chọn B
Gọi z x yi với , x y  . Có z 3 4i 5 2 2 (x 3) (y 4) 5. 2 2 Ta lại có: P z 2 z i 2 2 2 2 (x 2) y x (y 1)
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 24
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 4x 2y 3 4(x 3) 2(y 4) 23 Cauchy-Schwarz Ta có: 2 2 2 2 2 2
4(x  3)  2( y  4) 
(4  2 ) (x  3)  ( y  4)   (4  2 ).5  10.    1
 0  4(x  3)  2(y  4) 10.
13  P  33  m  min P 13,M  max P  33 2 2 N
W  33 13i W  33 13  1258. G U Y x 3 y 4 ỄN P đạt max khi: 4 2 H O 4x 2y 3 33 ÀNG V 2x 6 4y 16 2x 4y 10 IỆ T 4x 2y 30 4x 2y 30 x y 5. x 3 y 4 P đạt min khi: 4 2 4x 2y 3 13 2x 6 4y 16 2x 4y 10 4x 2y 10 4x 2y 10 LUY x 1,y 3. E N TH Chọn đáp án B. ITRA 2 2 Câu 5:
Xét các số phức z thỏa mãn z 2 z i
1 và các số phức z thỏa z 4 i 5. Giá trị 1 1 1 2 2 C N G nhỏ nhất của z z bằng 1 2 H IE M .VN 2 5 3 5 A. 5. B. 2 5. C. D. 5 5 Lời giải Chọn D 2 2 Ta có: 2 2 2 2 z 2 z i 1 (x 2) y x (y 1) 1 1 1 2x y 1 0
Tập hợp biểu diễn số phức z là đường thẳng d. 1
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 25
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ta lại có: z 4 i 5 (x 4) (y 1)i 5 2 2 2 (x 4) (y 1) 5
Tập hợp biểu diễn z là đường tròn (C ) có tâm I(4;1), bán 2 kính R 5. Khi đó z
z là khoảng cách từ 1 điểm thuộc d đến 1 điểm thuộc (C). 1 2 8 3 5 Suy ra: P MN d I, R 5 Chọn đáp án D. min N 5 5 G U YỄ Câu 6:
Cho hai số phức z, w thỏa mãn z 3 2i 1 và w 1 2i w
2 i . Giá trị nhỏ nhất của N HO biểu thức z w bằng ÀNG 3 2 2 5 2 2 VI A. B. 2 1. C. 3 5 2. D. Ệ 2 2 T Lời giải LUY Chọn D ENT
Đặt z x yi,w a b .i H ITRA
z   i   x  2   y  2 1 x  32   y  2 3 2 1 3 2 2
1tập hợp các số phức z là C 2 2 N
đường tròn C : x  3   y  2 1 G H 2 2 2 2 IE
w 1 2i w  2  i  a   1
 b  2  a  2  b   1
a b  0 tập hợp các số M .V
phức w là đường thẳng d :x y  0. N 2 2 Ta có z w x a y
b chính là khoảng cách từ một điểm A ;
a b C đến một điểm B ; x y  d.   Do d I d  3 2 5 ;  
1 nên d không cắt C, do đó AB d I d R     min   3 2 5 2 ; 1 1. 2 2 2 2 5 2  2
 min z w  min AB  . 2 Câu 7:
Cho hai số phức z, w thỏa mãn z 2 4i 1 và w 2 3i w 3
2i . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức | w z | bằng A. 2 3 1. B. 2 3 1. C. 3 2 1. D. 3 2 1. Lời giải
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 26
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 N G U YỄN H O Chọn C ÀN
Đặt z x yi,w a b .i G V 2 2 2 2 IỆ
z  2  4i 1  x  2   y  4 1 x  2   y  4 1tập hợp các số phức z T là đườ 2 2
ng tròn C :  x  2   y  4  1
w   i w   i  a  2  b  2  a  2  b  2 2 3 3 2 . 2 3 3 2
a b  0  tập hợp các
số phức w là đường thẳng d :x y  0. 2 2 Ta có w z x a y
b chính là khoảng cách từ một điểm A ;
a b C đến một điểm B ; x y  d. 2  4  2  4 
Do d I;d    
 3 2 1 nên d không cắt C,do đó AB d I d R     min  ;    1 3 2 1. LUY 2 2      E min w z min AB 3 2 1. N TH Câu 8:
Cho hai số phức z , z thỏa mãn z 5 5 và z 1 3i z
3 6i . Giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 1 2 2 ITRA thức z z bằng 1 2 C N G H 5 7 1 3 I A. B. C. D. E M 2 2 2 2 .VN Lời giải Chọn A
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 5
5 là tập hợp các điểm 1 1 2
M x ; y thoả mãn phương trình: 2 x 5 y 25 1 là đường tròn tâm I 5;0 , R 5
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1 3i z
3 6i là tập hợp các 2 2 2
điểm N x; y thỏa mãn phương trình 2 2 2 2 x 1 y 3 x 3 y 6 8x 6y 35 0 2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 27
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 Khi đó z
z là khoảng cách từ một điểm thuộc d :8x 6y 35 0 tới một điểm 1 2 2 thuộc đường tròn 2 C : x 5 y 25 75 5 z z MN d I,d R 5 . 1 2 min 100 2 Câu 9:
Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa z 1 34 và z 1 mi z m
2i . Gọi z , z là hai 1 2
số phức thuộc S sao cho z
z lớn nhất, khi đó giá trị của z z bằngP x y z bằng N 1 2 1 2 G U Y A. 2 B. 10 C. 2 D. 130 ỄN H Lời giải O ÀN Chọn B G V
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z 1
34 là tập hợp các điểm IỆT 2
M x ; y thoả mãn phương trình: 2 x 1 y 34 1 là đường tròn tâm I 1;0 , R 34 .
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn phương trình z 1 mi z m 2i . là
tập hợp các điểm N x ; y thỏa mãn phương trình 2 2 2 2 x 1 y m x m y 2 2 2m x 2m 2 y 3 0 2
Tập hợp các số phức z có điểm biểu diễn thỏa mãn hệ phương trình: 2 LUY 2 x 1 y 34 EN 2 2m x 2m 2 y 3 0 T H I Khi đó z z TRA
là khoảng cách từ một điểm M thuộc tập S tới một điểm N thuộc tập S . 1 2 C Để z
z đạt giá trị lớn nhất khi MN là đường kính của đường tròn 1 2 N G H 2 2 2m 3 1 I 2 E C : x 1 y 34 d I , 0 0 m M 2 2 2 2 2m 2 2m .VN 2 2 x 1 y 34 2 2 2 2 x 1 y 34 x 1 y 34 2 2m x 2m 2 y 3 0 3x y 3 0 y 3 3x 1 m 2 2 34 3 34 2 34 3 34 ; 2 2 z i 2 2 z z 2 1 2 2 34 3 34 2 34 3 34 ; z i 2 2 2 2
Câu 10: Xét các số thức z thỏa mãn z  2i z  4i z  3  3i  1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
P z  2 1 bằng
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 28
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 A. 5 2. B. 10 . C. 10 1. D. 13 1. Lời giải Chọn D
 w  2  2i  w  2  4i
Đặt w  z  2 thì P  w 1 khi ấy giả thiết trở thành   w 1 3i 1  Gọi M ( ;
x y) là điểm biểu diễn của w thì giải thiết trên trở thành N G 2 2 2 2
(x  2)  (y  2)  (x  2)  (y  4) y  3 U   Y  2 2 2 2 Ễ
(x 1)  (y 3) 1
(x 1)  (y 3) 1 N HOÀNG VIỆT Điểm M ( ;
x y) thuộc nửa đường tròn (phần không bị gạch)  P  w  M B max max LUY
P OB 1 13 1. Vậy chọn D. max EN
Câu 11: Cho biểu thức P z 1 2i z  3  4i z  5  6i và xét các số phức z thỏa mãn điều kiện TH a ITRA
z  2  1 2i . Biết min P a b với
là phân số tối giản. Giá trị của a b bằng b C A. 10. B. 11. C. 12. D. 12. N G H Lời giải IEM. Chọn B VN Đặt E( ;
x y) là điểm biểu diễn số phức z và ( A 1; 2), (
B 3; 4), C(5;6) .
Ta có P z 1 2i z  3  4i z  5  6i EA EB EC Mặt khác các điểm , A ,
B C thuộc đường thẳng  : x y 1  0  P
E  : x y 1 0. Từ giả min thiết 2 2
z  2  1 2i  (x  2)  y  5  E thuộc đường tròn tâm I ( 2
 ;0) bán kính R  5
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 29
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 y 6 C 4 B 2 A N -3 I O 1 3 5 x N G U Y -2 Ễ Δ M N H O ÀNG Từ đó suy ra P
E N E(0;1)  P  2  3 2  5 2  9 2  a b 11 min min VIỆ
Vậy chọn B. T LUY ENTHITRA C N G H IEM.VN
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 30
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
DẠNG TOÁN 5. ĐOẠN THẲNG VÀ TIA
Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2. Gọi ,
m M lần lượt là giá trị nhỏ nhất
và giá trị lớn nhất của T z
1 i . Giá trị của m M bằng 5 2 73 5 2 2 73 A. B. 5 2 2 73. C. 13 73. D. 2 2 Lời giải Chọn D N G U YỄN HOÀNG VIỆT
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i Ta có: z 2 i z 4 7i 6 2 MA MB 6 2 Trong đó ( A 2;1), (
B 4;7) và có AB 6 2 LUY Nên MA MB A . B ENT
Suy ra điểm M thuộc đoạn . AB H ITRA Ta có T z 1 i
CM với C(1; 1). C N G
Dựa vào hình vẽ, ta có: H IEM 5 2 .V T CM d C,AB min min N 2 CB 73 ; CA 13 CM CB 73. max 5 2 2 73 5 2 Suy ra m M 73 Chọn đáp án D. 2 2
Câu 2: Xét các số phức z thỏa mãn z 1 i z 8 3i
53. Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 2i bằng. 185 A. 53. B. 53. C. . D. 106. 2 Lời giải Chọn D
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 31
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Gọi H(x;y) biểu diễn số phức z x y . i N G Ta có: z 1 i z 8 3i 53 HA HB 53 U YỄN Trong đó ( A 1;1), (
B 8;3) và có AB 53 HOÀ Nên HA HB A . B N G V
Suy ra điểm H thuộc đoạn . AB IỆT Ta có P z
1 2i với C( 1;2).
Dựa vào hình vẽ, ta có: 17 P CH d C,AB min min 53 CB 106 ; CA 13 CH CB 106. max Suy ra P 106 max Chọn đáp án D LUY
Câu 3: Xét các số phức z thỏa z 2 3i z 6 i
2 17. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và ENT P z i z i H giá trị nhỏ nhất của 1 2 2 . Giá trị m M bằng ITRA 3 2 2 6 2 2 5 C A. 3 2. B. C. 8 2 2 5. D. N 2 3 G H Lời giải IEM Chọn A .V N
Gọi M(x;y) biểu diễn số phức z x y . i
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 32
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ta có: z 2 3i z 6 i 2 17 MA MB 2 17 Trong đó ( A 2;3), (
B 6;1) và có AB 2 17 Nên MA MB A . B
Suy ra điểm M thuộc đoạn . AB Ta có P z 1 2i z 2
i với C( 1;2);D 2; 1 . N G
Dựa vào hình vẽ, ta có C; D nằm về một phía của đường thẳng AB U YỄN MC MD CD 3 2 HOÀN MC MD 0 G VIỆ Suy ra M 3 2;m 0 Chọn đáp án A T Câu 4:
Xét các số phức z thỏa z 3 2i z 3 i
3 5. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của P z 2 z
1 3i . Giá trị của m M bằng A. 17 5 3 2 . B. 26 2 5 3 2 . C. 26 2 5 2 . D. 17 5 2 . Lời giải LUY Chọn B 4 y ENT 3 D H ITRA 2 A C N G 3 -1 H I 10 5 -3 5 10 E O 1 x C M .V B N 2
Gọi M(x;y), ( A 3;2), (
B 3; 1) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 3 2 ,i 3 i 4
trong mặt phẳng tọa độ. Ta có: AB  3 5 z 3 2i z 3 i 3 5 MA MB
AB M nằm trên đoạn thẳng AB (1) x  3 y  2
Phương trình đường thẳng AB là: 
x  2y 1  0 3  3 1   2 Gọi C  2
 ;0, D1;3  P MC MD
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 33
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
x 2y  1x 2y  1   2   2.0   1 1 2.3  1  1
 8  0  C, D nằm về hai phía của C C D D
đường thẳng AB . (2)
Ta có: P MC MD CD  3 2
P nhỏ nhất  P CD MC MD CD M nằm giữa CD (3)
Từ (1) và (3) suy ra: M là điểm chung của hai đoạn thẳng AB CD .
M nằm trên đoạn thẳng AB M 1 2t;t ,t  0  t  3 N G
CM  3  2t;t ,CD  3;3 U YỄN 3  2t t  cùng hướng     tháa   H
M nằm trên đoạn thẳng CD CM ,CD t 1( ) M  1;  1 O 3 3 ÀNG
x x x nên điểm M nằm trên đoạn thẳng CD C M D VIỆT
Suy ra: Giá trị nhỏ nhất của là m  3 2 .
Từ (1) và (2) suy ra: P MC MD  MaxAC A ; D BC B D
AC AD  5  17  BC BD  26  2 5
Do đó: Giá trị lớn nhất của P M  26  25
M m  26  2 5  3 2 . Câu 5:
Xét các số phức z thỏa mãn iz 2i 2 z 1 3i
34. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (1 i)z 2i bằng LUY 9 A. . B. 3 2 . C. 4 2.. D. 26 . E 17 N TH Lời giải ITRA Chọn C C N G H IEM.VN
Gọi M(x;y), ( A 2; 2), (
B 1;3) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 2 2 ,i 1 3i
trong mặt phẳng tọa độ. Từ iz 2i 2 z 1 3i 34 z 2 2i z 1 3i 34 MA MB 34 AB
Suy ra M nằm trên tia đối của . BA
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 34
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 Ta có P 1 i z 2i 2 z 1 i 2MC với C 1; 1 . Có MC M B MC CB 4 P 4 2.. min min min Câu 6:
Xét các số phức z đồng thời thỏa mãn z 4 3i z 4 3i 10 và z 3 4i nhỏ nhất.
Môđun của số phức z bằng A. 5 . B. 5 2 . C. 6 2 . D. 10 . N Lời giải G U Y Chọn A 6 ỄN y H O 4 À M C N 3 G B V 2 IỆT 4 10 5 -4 3 5 10 O x 2 -3 A 4
Gọi M(x;y), ( A 4; 3), (
B 4;3) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z, 2 2 ,i 1 3i
trong mặt phẳng tọa độ. AB  
  AB   2 2 8;6 8  6 10 LUY Từ z 4 3i z 4 3i 10 EN MA MB 10 AB M , ,
A B thẳng hàng và B nằm giữa A M THITRA Ta có z 3 4i
MC với C 3;4 . C N
Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng AB . G H IE
Đường thẳng CH đi qua C và vuông góc với AB có phương trình là 4 x  3 y  0 M .VN x  4 y  3
Phương trình đường thẳng AB là 
 3 x  4 y  0 4   4 3 3
4 x 3y  0
Tạo độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 
x y  0  H O0;0 3
x  4 y  0
Dễ thấy O là trung điểm của đoạn thẳng AB Do đó: z 3 4i
MC nhỏ nhất khi và chỉ khi M B 
  z    i z   2 2 4;3 4 3 4  3  5. Câu 7: Xét các số phức z a bi ( , a b ) thỏa z 1 2i z 3i . Tính P a b khi T z 3 4i z
1 i đạt giá trị lớn nhất.
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 35
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 26 28 A. P 2 . B. P 6. C. P . D. P . 3 3 Lời giải Chọn D 2 2 2 2 z 1 2i z 3i a 1 b 2 a 3 b a b 2 0 Gọi M  ;
a b là điểm biểu diễn số phức z a
bi M thuộc đường thẳng d : x y  2  0 N G U 2 2 Y
A3;4, B1;  1  AB   2  ; 5  ; AB   2     5    29 ỄN Gọi HO
Ta có:  x y  2 x y          ,
A B nằm về cùng phía với d (1) A A  2 B B  3 4 21 1 2 4 0 ÀNG 1 V d  , A d  
d B,d   2 2 (2) IỆ 2 T T z 3 4i z 1 i MA MB AB 29
Do đó: T lớn nhất khi T  29  M , ,
A B thẳng hàng và M nằm ngoài đoạn thẳng AB M , A MB cùng hướng (3)
M d b a  2  M  ;
a a  2  MA  3 ; a 2  a 3  a 2  a 11
Từ (1), (2) và (3) suy ra M ,
A AB cùng hướng    a  2  5  3  2  5  1  MA  ;   AB   ( thỏa) LUY  3 3  3 11 17 28 E       N a b a b T 3 3 3 H ITRA
DẠNG TOÁN 6. PARABOL C N Câu 1.
Xét hai số phức z , z thỏa mãn 2 z i z z  2i z i 10  1 . Giá trị nhỏ nhất của biểu 1 2 1 1 1 2 G H I
thức z z bằng E 1 2 M .V A. 10 1. B.  . C.  . D. 3 5 1. N 101 1 101 1 Lời giải Chọn D
Gọi z a bi , a b  . 1   2 Ta có 2     2   a z i z z i b . 1 1 1 4 1
Tập hợp điểm M biểu diễn z là parabol  P 2 : y
x có đỉnh O 0;0 . 1 4
Ta có: z i 10  1 Tập hợp điểm N biễu diễn z là đường tròn C  có tâm I 10;  1 , R  1. 2 2
Khi đó P z z MN là khoảng cách từ một điểm thuộc P đến một điểm thuộc C . 1 2
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 36
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Ta có: MN NI MI MN MI NI MI 1 MNIM . min min 2 2  x  2 Mà 2
IM   x 10   1 .  4  2 2  x  5
   4  x  42  45  45  IM  45  3 5 .  4  2 N G U YỄN HOÀNG VIỆT Do đó MN  3 5 1. min Câu 2.
Xét các số phức z a bia ,b   thỏa mãn điều kiện  z z   i i z z  2 4 15 1 . Tính 1
P  a  4b khi z
 3i đạt giá trị nhỏ nhất. 2
A. P  4 .
B. P  5 .
C. P  6 .
D. P  7 . Lời giải Chọn D
z z  i iz z  2 4 15 1
 a bi a bi  i ia bi a bi  2 4 15 1 . LUY E   N  
           2 2 2 4 4 2 15 2 1 8 15 2 1   a a bi i i a b a b . TH 2 ITRA 2   4 C
Suy ra điểm M biểu diễn cho số phức z là Parabol có phương trình  x x y . N 2 G H IE  1  M Gọi N ;  3   . .V  2  N 2 2  1 39    2  a   2 2    2 1  1 
a a 10   1    2  4 39 z 3 
   i MN a        a      . 2  2   2   2   2  8     1 39  1 15 min z   3i  khi a  ; b
P  a  4b  7 . 2 8 2 8 Câu 3.
Xét các số phức z a bia ,b   thỏa 2 z  3i z z  2i . Tính 8a  7b khi biểu thức 6 P z
i đạt giá trị nhỏ nhất. 7
A. 8a  7b  8.
B. 8a  7b  5 .
C. 8a  7b  6 .
D. 8a  7b  7 .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 37
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020 Lời giải Chọn D
Ta có: 2 z  3i z z  2i  2 a bi  3i a bi a bi  2i  2 a  b  3i  2b  2i .
a  b 32  b  2 1 2 2 1
b a 1. 8 Suy ra điể 1
m M biểu diễn cho số phức z là Parabol có phương trình 2 y x 1. 8 N G  6  U Gọi N 0;  . Y   Ễ  7  N HO 2 À 6  1 13  13 2 2 N
P z i MN a a     . G 7  8 7  7 VIỆT 13  P
khi a  0, b  1  8a  7b  7 . min 7
DẠNG TOÁN 7. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC Câu 1:
Xét các số phức z thỏa mãn z
1. Giá trị lớn nhất của T z 1 2 z 1 bằng A. 2 5. B. 2 10. C. 3 2. D. 3 5. Lời giải Chọn A
Gọi số phức z x  i y , với , x y  . LUY E
Theo giả thiết, ta có z  1  2 2
x y  1. Suy ra 1   x 1. N THI 2 2 2 2 TRA
Khi đó, T  1 z  2 z 1  x  
1  y  2  x  
1  y  2x  2  2 2  2x. C N 2 2 G
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: T  1  2  
 2x  2  2  2x 
 hay T  2 5 , với mọi H IE 1   x 1. M .VN 4 Vậy P
 2 5 khi 2 2x  2  2  2x  3
x   , y    max 5 5 Câu 2:
Xét các số phức z thỏa z 1
2. Giá trị lớn nhất của T z i z 2 i bằng A. 4. B. 4 2. C. 8. D. 8 2. Lời giải Chọn A Cách 1:
Gọi số phức z x  i y , với , x y
. gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z.
Ta có z 1  2   x  2 2 1  y  2 .
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 38
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn C tâm I 1;0 và bán kính R  2. Gọi A0;   1 , B 2; 
1 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z i
 , z  2  i . Dễ thấy 1 2 ,
A B thuộc đường tròn C  . Vì AB  2 2  2R nên AB là đường kính của đường tròn C  2 2 2
MA MB AB  8. Từ đó: N G 2 2 2 2 U
P z i z  2  i MA MB  1 1 MA MB   4. YỄN H MB MAMA  2 O Dấu "  " xảy ra khi    . À 2 2
MA MB  8 MB  2 N G VI Vậy max P  4. ỆT Cách 2.
T z i z  2  i   z  
1  1 i   z   1  1 i .
Đặt w z 1. Ta có w  2 và T w  1 i  w1 i .
Đặt w x  . y i . Khi đó 2 2 2
w  2  x y . 2 2 2 2
T   x   1   y  
1 i   x   1   y  
1 i  1.  x   1   y   1 1. x   1   y   1 LUY
   x  2  y  2 x  2  y  2 2 2 1 1 1 1 1 1    2 2
2 2x  2 y  4  4 ENT Vậy . H maxT  4 ITRA C N Câu 3: Xét các số phức z a bi ( , a b
) có môđun bằng 2 và phần ảo dương. Tính giá trị của G H 2018 I S (5(a ) b 2) khi biểu thức P 2 z 3 2
z đạt giá trị lớn nhất. EM. A. S  0. B. S  1. C. 2018 S  2 . D. 1009 S  2 . VN Lời giải Chọn A
Gọi số phức z a  i b , với a, b  .
Theo giả thiết, ta có z  2  2 2
a b  4 . Suy ra 2   a  2. Khi đó, 2 2
P  2  z  3 2  z  a   2  b   a 2 2 3 2
b  8 4a  3 8 4a
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki: P   2 2 1  3  
 8 4a  8 4a 
 hay T  4 10 , với mọi 2   x  2.
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 39
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020b  6  Vậy P
 2 5 khi 3 8 4a  8 4a  8 5 a     max 5 b   6   0 (lo¹i)  5 2018 8 6 2018 S (5(a b) 2) 5 2 0. 5 5
Câu 4. Xét các số phức z thỏa mãn 2 z 1 z
3i . Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất N G của P z i 2 z 4
7i . Giá trị M m bằng. U YỄN A. 10  2 5. B. 10  4 5. C. 20  2 5. D. 20  4 5. H O À Lời giải N G V Chọn D IỆT
Gọi z x yi với , x y
, gọi M là điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z . Ta có: 2 2
2 z 1  z  3i  2  x  
1  yi x   y  3i  x   2 2 2 1  y
x   y  3
 x  2   y  2 2 3  20 .
Như vậy, tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn C tâm I 2;3 và bán kính R  2 5. Gọi A0;  
1 , B 4;7 lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z i
 , z  4  7i . Dễ thấy , A B 1 2
thuộc đường tròn C  . Vì AB  4 5  2R nên AB là đường kính của đường tròn C  LUY 2 2 2
MA MB AB  20 . EN Từ đó: THITRA
P z i  2 z  4  7i z i  2 z  4  7i MA MB   2 2   2 2 2 1 2
MA MB  10 . C N G MB  2MAMA  2 H Dấu "  " xảy ra khi   . I  2 2 E
MA MB  20 MB  4 M .VN   Vậy M max P 10 . 
Ta lại có P MA  2MB  MA MB  MB AB MB P 4 5 MB P min MB min M B m min P 4 5. Vậy M m 10 4 5.
Câu 5. Xét các số phức z thỏa z 4 z 4
10. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z lần lượt là A. 10 và 4. B. 5 và 4. C. 4 và 3. D. 5 và 3. Lời giải Chọn D Cách 1.
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 40
Max - Min Module Số Phức
NĂM HỌC 2019 – 2020
Gọi z x yi với ; x y  .
Ta có 10  z  4  z  4  z  4  z  4  2z z  5 . Do đó max z  5. 2 2 Mà z   z  
x   yi x   yi   x   2
y  x   2 4 4 10 4 4 10 4 4  y 10.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có N G 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 U
10  1.  x  4  y 1.  x  4  y  1 1  
x  4  y x 4  y  Y   ỄN H 2 2 2 2 O
10  22x  2y 32  22x  2y 32 100. ÀNG 2 2 2 2 V
x y  9  x y  3  z  3. IỆT Do đó min z  3. Cách 2. Gọi M  ; x y , F 4
 ;0 , F 4;0 biểu diễn cho số phức z , 4  , 4. 1   1  
Ta có MF MF  10  M chạy trên Elip có trục lớn 2a 10  a  5. 1 2 tiêu cự 2c F F 8 c 4. 1 2 trục nhỏ 2 2
2b  2 a c  2.3  6  b  3. LUY E
z OM . Do đó giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của z là 5 và 3. N THI TRA C N G H IEM.VN
Trên con đường thành công không có dấu chân của những kẻ lười biếng Trang 41
Document Outline

  • GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHỨA MODUL SỐ PHỨC
  • (((