Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối – Trần Minh Ngọc Toán 12
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu trị tuyệt đối – Trần Minh Ngọc Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!
Chủ đề: Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 375 tài liệu
Môn: Toán 12 3.9 K tài liệu
Tác giả:
Preview text:
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI
GV: Trần Minh Ngọc
Nhóm giáo viên tiếp sức Chinh phục kỳ thi THPT 2020
Trong đề tham khảo của Bộ GD lần 1 và lần 2, cũng như đề thi thử của các sở giáo
dục, các trường phổ thông năm 2020 thường có bài toán liên quan đến GTLN-GTNN của
hàm số chứa dấu trị tuyệt đối. Để giải quyết được các dạng toán này các em cần ghi nhớ
bài toán tổng quát sau:
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f (x) . Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] Phương pháp chung:
Bước 1: Tìm max f (x) = p; min f (x) = . q [a;b] [a;b]
Bước 2: Xét các khả năng min f (x) = 0 • a;b Nếu [ ] . p q ≤ 0 ⇒ f ( x) = { p q}. max max ; [a;b]
min f (x) = q • [a;b] Nếu q > 0 ⇒ .
max f ( x) = p [a;b]
min f (x) = p = − p • [a;b] Nếu p < 0 ⇒ f ( x) . max = q = −q [a;b]
Chú ý công thức tính nhanh: 0,nÕu . p q ≤ 0 + + − p q p q max f (x) =
; min f (x) = p + q − p − q . [a;b] 2 [a;b] ,nÕu . p q > 0 2
Tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta áp dụng cho hợp lý nhất. Sau đây chúng ta sẽ áp
dụng cho 3 dạng thường gặp nhất.
min f (x) ≤ k (≥ k)
Dạng 1: Tìm tham số để [a;b] .
max f ( x) ≤ k (≥ k ) [a;b]
Ví dụ mẫu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số 4 2 y |
= x − 2x − m | trên đoạn [ 1
− ;2] bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 2 − . B. 7 . C. 14. D. 3. Lời giải Chọn B x =1∈[ 1 − ;2] Xét f (x) 4 2
= x − 2x − m trên đoạn [ 1
− ;2] có f ′( x) 3
= 4x − 4x = 0 ⇔ x = 0∈[ 1 − ;2] . x = 1 − ∈ [ 1 − ;2] Khi đó f (0) = − ; m f (± )
1 = −m −1; f (2) = −m + 8.
Suy ra: max f (x) = −m +8 và min f (x) = −m −1. [ 1 − ;2] [ 1 − ;2] • Nếu ( 1
− − m)(8 − m) ≤ 0 ⇔ 1
− ≤ m ≤ 8 thì min f (x) = 0, không thỏa mãn đề bài. [ 1; − 2]
• Nếu −m −1 > 0 ⇔ m < 1
− thì min y = −m −1 = −m −1 [ 1; − 2]
Khi đó −m −1 = 2 ⇔ m = 3 − (t / m).
Nếu −m + 8 < 0 ⇔ m > 8 thì min y = −m + 8 = m −8; khi đó m −8 = 2 ⇔ m =10(t / m). [ 1; − 2]
Vậy tổng tất cả các phần tử của bằng 7 .
Ví dụ mẫu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
x − mx + 2m y = trên đoạn [ 1; −
]1 bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử của S . x − 2 A. 8 − . B. 5. C. 5 . D. 1 − . 3 3 Lời giải Chọn D Xét hàm số ( ) 2
x − mx + 2m 4 f x = trên [ 1; −
]1 có f ′(x) =1− ; x − 2 (x − 2)2 = 1 f ′( x) x 0 = 0 ⇔ ; f (− )
1 = −m − ; f (0) = − ; m f ( ) 1 = −m −1 . x = 4 ∉ [ 1 − ; ] 1 3
Suy ra: max f (x) = −m và min f (x) = −m −1. [ 1 − ] ;1 [ 1 − ] ;1
• Nếu −m(−m − ) 1 ≤ 0 ⇔ 1
− ≤ m ≤ 0 ; max y = { −m −1 ; −m} = {m +1;− } m . [ 1 − ] ;1 = − = − Có hai khả năng 3 m m 3 ⇒ , không thỏa mãn. 3 = m +1 m = 2
• Nếu f (0) = −m < 0 ⇔ m > 0 . Khi đó max y = −m −1 = m +1 [ 1 − ] ;1
⇒ m +1 = 3 ⇔ m = 2(t / m)
• Nếu −m −1 > 0 ⇔ m < 1
− . Khi đó 3 = max f (x) = f (0) ⇔ m = 3 − . [ 1 − ] ;1
Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m = 3,
− m = 2 . Do đó tổng tất cả các phần tử của S là 1 − . 1 2
Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số 3 2
y = x − x − x + m với m ∈ . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m
để min y < 3 ? [1;3] A. 21. B. 22 . C. 4 . D. 20 . Lời giải Chọn A
Xét hàm số f (x) 3 2
= x − x − x + ; m x ∈[1; ] 3 . x =1∈[1; ] 3 Ta có f ′( x) 2
= 3x − 2x −1 = 0 ⇔ 1 x = − ∉[1; ] 3 3 Ta có f ( )
1 = m −1, f (3) = m +15 .
Suy ra min f (x) = m −1; max f (x) = m +15 . [1; ]3 [1; ]3 • Nếu (m − ) 1 (m +15) ≤ 0 ⇔ 15
− ≤ m ≤ 1; min y = 0 < 3. Trường hợp này có 17 số nguyên [1; ]3 thỏa mãn.
• Nếu m −1 > 0 ⇔ m >1; min y = m −1< 3 ⇒1< m < 4. Trường hợp này có 2 số nguyên [1; ]3 thỏa mãn.
• Nếu m +15 < 0 ⇔ m < 15
− ; min y = m +15 < 3 ⇒ −m −15 < 3 ⇒ 18 − < m < 15 − . Trường [1; ]3
hợp này có 2 số nguyên thỏa mãn.
Vậy có tất cả 21 số nguyên thỏa mãn.
Bài tập tự luyện:
Câu 1. ( Chuyên BN lần 2) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 3
= x + 4x − m trên đoạn [ 4; − 2 − ] bằng 2020 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Câu 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 2
x + mx + 3m y = trên đoạn [ 2;
− 2] bằng 5. Gọi T là tổng tất cả các phần tử của S . Tính T . x + 3 A. T = 4. B. T = 5 − . C. T =1. D. T = − 4. Lời giải Chọn D Xét hàm số ( ) 2
x + mx + 3m f x =
, hàm số luôn xác định trên tập đang xét. x + 3 2 = ′( ) x + 6x x 0 f x = = 2 ⇒ + = ⇔ ( x 6x 0 x + 3) 0 2 x = 6 − Ta có: f ( 2
− ) = m + 4 ; f (0) = m ; f ( ) 4 2 = m + . 5 Với ( ) = ( ) 2
x + mx + 3m g x f x =
. Ta có max g (x) = max{ f ( 2 − ) ; f (0) }. x + 3 [ 2; − 2] − = = − Xét m m
m (m + 4) ≤ 0 ⇔ 4 − ≤ m ≤ 0 thì 5 5 ⇔ (loại) . m + 4 = 5 m =1
Xét với m > 0. Ta có max g (x) = f ( 2
− ) = m + 4 = m + 4 = 5 ⇒ m =1. [ 2; − 2] Xét với m < 4,
− ta có max g (x) = f (0) = m = −m = 5 ⇒ m = 5 − . [ 2; − 2] Vậy S = { 5 − } ;1 nên tổng T = ( 5 − ) +1 = − 4.
Câu 3. Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 4 2
= −x + 2x + m +1 trên đoạn [0;2] bằng 6. Tổng tất cả các phần tử của S bằng A. 7 . B. 17 . C. 3 − . D. 7 − . Lời giải Chọn A
Xét hàm số g (x) 4 2
= −x + 2x + m trên [0;2]. x = 0∈[0;2] Ta có g '(x) 3 = 4
− x + 4x ⇒ g '(x) = 0 ⇔ x =1∈[0;2] x = 1 − ∉ [0;2]
max f (x) = m +1 +1 Ta có
f (0) = m +1; f ( )
1 = m +1 +1; f (2) [0;2] = m − 8 +1⇒
max f ( x) = m − 8 +1 [0;2] + + = +) Nếu f ( x) m 1 1 6 max = m +1 +1⇒ ⇔ m = 4 [0;2]
m +1 ≥ m − 8 − + = +) Nếu f ( x) m 8 1 6 max = m − 8 +1⇒ ⇔ m = 3 [0;2]
m − 8 ≥ m +1
Vậy tổng các giá trị của m bằng 7 .
Câu 4. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2
y = x − 3x + 2 + m thỏa
mãn min y = 5 . Tổng tất cả các phần tử của S bằng [ 2; − 2] A. 47 − − . B. 10 − . C. 31. D. 9 . 4 4 4 Lời giải Chọn A
Xét hàm số g (x) 2
= x − 3x + 2 + m trên đoạn [ 2;
− 2], có: g′(x) 3
= 0 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x = . 2 g ( x) = g (− ) 3 max max 2 , g , g (2) = m +12 ; [ 2; − 2] 2 g ( x) = g (− ) 3 g g ( ) 1 min min 2 , , 2 = m − . [ 2; − 2] 2 4 Nếu 1 1 21 m − ≥ 0 hay 1 m ≥
thì min y = m − = 5 ⇔ m = (thỏa mãn). 4 4 [ 2; − 2] 4 4
Nếu m +12 ≤ 0 hay m ≤ −12 thì min y = −m −12 = 5 ⇔ m = 17 − (thỏa mãn). [ 2; − 2] Nếu 1 12 −
< m < thì min y = 0 (không thỏa mãn). 4 [ 2; − 2] Ta có: 21 S = 1 − 7;
. Vậy tổng các phần tử của S bằng 47 − . 4 4
Câu 5. Có tất cả bao nhiêu số thực m để hàm số 4 3 2
y = 3x − 4x −12x + m có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ 3 − ;2] bằng 10. A. 4 . B. 1. C. 2 . D. 3. Hướng dẫn giải Chọn C
Suy ra min f (t) = min{ 32 − + ; m 243 + } m [ 32 − ; ] 243 Nếu (243+ m)( 32
− + m) ≤ 0 suy ra a min y = min f (t) = 0 , không thỏa mãn [ 32 − ; ] 243 [ 32 − ; ] 243
Yêu cầu bài toán min y =10 suy ra điều kiện cần là (243+ m)( 32 − + m) > 0 [ 32 − ; ] 243
TH1: m > 32 ⇒ min y = 32
− + m =10 ⇔ m − 32 =10 ⇔ m = 42. [ 32 − ; ] 243 TH2: m < 243 −
⇒10 = min y = 243 + m = −m − 243 ⇔ m = 253 − [ 32 − ; ] 243
Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa yêu cầu. 2 Câu 6.
x − mx + 2m
Cho hàm số f (x) =
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m x − 2
để max f (x) ≤ 5 . Tổng tất cả các phần tử của S là [ 1; − ] 1 A. 11 − . B. 9. C. 5 − . D. 1 − . Lời giải Chọn C 2 − = Xét hàm số ( ) 2
x − mx + 2m x 4x x 0 g x = ⇒ g′(x) = = 0 ⇒ . x − 2 (x − 2)2 x = 4
Khi x = 0 ⇒ g (0) = −m . Ta có + m g (− ) 1 = (− m − ) 1 1 3 1 = −m − ; g ( ) 1 1 = = 1 − − m . 3 3 1 − Mà 1 1
− − m < − − m < −m . 3 Suy ra max f (x) 1
= max m , m +1 , m + = max{ m , m +1} [ 1 − ] ;1 3 1 m +1 ≥ m ≥ − Trường hợp 1: m ⇔ 2 ⇒ m∈{0;1;2;3; } 4 . m +1 ≤ 5 6 − ≤ m ≤ 4 1 m +1 < m < − Trường hợp 2: m ⇔ 2 ⇒ m∈{ 5 − ; 4 − ; 3 − ; 2 − ;− } 1 . m ≤ 5 5 − ≤ m ≤ 5
Suy ra tổng các phần tử của S bằng 5. − .
Dạng 2: Tìm tham số để α.min f (x) ± β.max f (x) ≤ k,(≥ k).. [a;b] [a;b]
Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số 3
y = x − 3x + m . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số
thực m sao cho min y + max y = .
6 Số phần tử của S là [ 0;2 ] [ 0;2 ] A. 0 . B. 6 . C. 1. D. 2 . Lời giải Chọn D Xét hàm số 3
y = x − 3x + , m x ∈[0; 2] x =1 ' 2
y = 3x − 3 = 0 ⇔ x = 1( − l) Ta có: y (0) = ; m y ( )
1 = m − 2; y (2) = m + 2 .
Suy ra: min y = m − 2; max y = m + 2 . [0;2] [0;2]
TH 1: (m + 2)(m − 2) ≤ 0 ⇒ 2 − ≤ m ≤ 2 .
⇒ min y = 0 , max y = { m − 2 ; m + 2} . [ 0;2 ] [ 0;2 ] 0 + 2 − m = 6
⇒ min y + max y = 6 ⇔ ⇔ m = 4 ± , không thỏa mãn. + = [ 0;2 ] [ 0;2 ] m 2 6
TH 2: m − 2 > 0 ⇔ m > 2 ⇒ min y = m − 2 = m − 2 , max y = 2 + m = m + 2 [ 0;2 ] [ 0;2 ]
⇒ min y + max y = 6 ⇔ m − 2 + m + 2 = 6 ⇔ m = 3(t / m) [ 0;2 ] [ 0;2 ]
TH 3: 2 + m < 0 ⇔ m < 2
− ⇒ min y = 2 + m = 2 − − m; m x a y = 2 − + m = −( 2 − + m) = 2 − m [ 0;2 ] [ 0;2 ]
⇒ min y + max y = 6 ⇔ 2
− − m + 2 − m = 6 ⇔ m = 3( − t / m) . [ 0;2 ] [ 0;2 ]
Vậy có 2 số nguyên thỏa mãn.
Ví dụ mẫu 2: (Sở Phú Thọ 2020) Cho hàm số f (x) 4 2
= x − 2x + m ( m là tham số thực). Gọi
S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [ 20 − ;20] sao cho
max f ( x) < 3min f ( x) . Tổng các phần tử của S bằng [0;2] [0;2] A. 63. B. 51. C. 195. D. 23. Lời giải Chọn A
Xét hàm số f (x) 4 2
= x − 2x + m trên đoạn [0;2] = Ta có: x 0 f ′( x) 3
= 4x − 4x ; f ′(x) 3
= 0 ⇔ 4x − 4x = 0 ⇔ . x =1 f ( )
1 = m −1; f (2) = m + 8; f (0) = m .
max f ( x) = m + 8; min f ( x) = m −1. [0;2] [0;2]
+) Nếu m −1≥ 0 ⇔ m ≥1 thì max f (x) = m +8, min f (x) = m −1. [0;2] [0;2] Khi đó: f ( x) <
f ( x) ⇔ + m < (m − ) 11 max 3 min 8 3 1 ⇔ m > . [0;2] [0;2] 2
+) Nếu m + 8 ≤ 0 ⇔ m ≤ 8
− thì max f (x) =1− m, min f (x) = −m −8 . [0;2] [0;2] Khi đó: f ( x) <
f ( x) ⇔ − m < (−m − ) 25 max 3 min 1 3 8 ⇔ m < − . [0;2] [0;2] 2 +) Nếu (m − ) 1 (m + 8) < 0 ⇔ 8 − < m < 1 thì
max f ( x) = max{ m + 8 , m −1} = max{m + 8,1− }
m > 0; min f ( x) = 0 . [0;2] [0;2]
Khi đó, không thỏa điều kiện max f (x) < 3min f (x) . [0;2] [0;2] 25 m < − Do đó: 2
kết hợp với m∈[ 20 − ;20] ta có 25 11 m ∈ 20 − ;− ∪ ; 20 11 2 2 m > 2
Mà m∈ z ⇒ S = { 20 − ; 19 − ; 18 − ;....; 13 − ;6;7;...., } 20 .
Tổng các phần tử của S bằng 6 + 7 + 8 + 9 +10 +11+12 = 63.
Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số ( ) 2x + = = m y f x
. Tính tổng các giá trị của tham số m để x −1
max f ( x) − min f ( x) = 2 . [2; ] 3 [2; ] 3 A. 4 − . B. 2 − . C. 1 − . D. 3 − . Lời giải Chọn A Hàm số ( ) 2x + = = m y f x
xác định và liên tục trên đoạn [2; ] 3 . x −1 Với m = 2
− , hàm số trở thành y = 2 ⇒ max f (x) = min f (x) = 2(không thỏa). [2; ]3 [2; ]3 − − Với 2 m m ≠ 2 − , ta có y′ = (x − ) .2 1
Khi đó hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên [2; ] 3 .
max f (x) = f (2); min f (x) = f (3) Suy ra [2; ]3 [2; ]3
f ( x) = f ( )
f ( x) = f ( ). max 3 ; min 2 [2; ]3 [2; ]3 Do đó: + + f ( x) −
f ( x) = f ( ) − f ( ) 6 m = − ( + m) 2 m max min 3 2 4 = . [2; ]3 [2; ]3 2 2 + = Theo giả thiết m m
max f ( x) − min f ( x) 2 2 = 2 ⇔ = 2 ⇔ . [ 2; ] 3 [2; ] 3 2 m = 6 −
Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 − . Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số f x 4 2
x 2x ,
m ( m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các
giá trị nguyên m∈[ 10
− ;10] sao cho max f (x) + min f (x) ≥10. Số phần S là [1;2] [1;2] A. 9. B. 10. C. 11. D. 12. Lời giải
Xét hàm số f x 4 2
x 2x m , hàm số liên tục trên đoạn 1;2.
Ta có: f x 3
4x 4x 0, x 1;2 hàm số f x đồng biến trên đoạn 1;2,
do đó max f (x) = m +8; min f (x) = m −1. [1;2] [1;2]
TH 1: m −1≥ 0 ⇒1≤ m ≤10 thì max f (x) = m +8;min f (x) = m −1. [1;2] [1;2] Khi đó: f ( x) + f ( x) 3 max min
≥ 10 ⇔ m + 8 + m −1 ≥ 10 ⇒ m ≥ ⇒ m ∈{2;3;4; } ...10 , [1;2] [1;2] 2
⇒ trường hợp này có 9 số nguyên.
TH 2: m + 8 ≤ 0 ⇒ 10 − ≤ m ≤ 8
− thì max f (x) = −m +1;min f (x) = −m −8. [1;2] [1;2] Khi đó: − f ( x) + f ( x) 17 max min
≥ 10 ⇔ −m +1− m − 8 ≥ 10 ⇒ 10 − ≤ m ≤ ⇒ m ∈{ 10 − ;− } 9 [1;2] [1;2] 2
⇒ trường hợp này có 2 số nguyên. 7 −
−m +1 khi − 8 < m ≤ TH 3: 2 8
− < m < 1, thì min f (x) = 0; max f (x) = ; [1;2] [1;2] 7 − m +8 khi < m < 1 2 − + ≥ − < ≤ − Do m 1 10, khi 8 m 4
m là số nguyên nên: max f ( x) + min f ( x) ≥ 10 ⇔ ; [ 1;2] [1;2]
m + 8 ≥10, khi − 4 < m <1
⇒ không tồn tại m thỏa mãn.
Vậy số phần tử của tập S là 11.
Câu 2. Cho hàm số f x 4 2
x 2x ,
m ( m là tham số thực). Biết
max f ( x) = p; min f ( x) = q và S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên m ∈[ 10 − ;10] sao cho [1;2] [1;2]
bộ ba số p,q,19 là độ dài ba cạnh của một tam giác. Số phần tử của tập S bằng A. 5. B. 10. C. 4. D. 21. Lời giải
Xét hàm số f x 4 2
x 2x m , hàm số liên tục trên đoạn 1;2.
Ta có: f x 3
4x 4x 0, x 1;2 hàm số f x đồng biến trên đoạn 1;2,
do đó max f (x) = m +8; min f (x) = m −1, suy ra q < p <19; m ∀ ∈[ 10 − ;10]. [1;2] [1;2] + > Hay YCBT p q 19 ⇔ . p, q > 0
TH 1: m −1 > 0 ⇒1< m ≤10, thì p = m + 8; q = m −1.
Yêu cầu của bài toán ⇔ p + q >19 ⇔ m + 8 + m −1 >19 ⇒ m > 6 ⇒ m∈{7;8;9; } 10 ,
⇒ trường hợp này có 4 số nguyên.
TH 2: m + 8 < 0 ⇒ 10 − ≤ m < 8
− thì p = −m +1; q = −m −8.
Yêu cầu của bài toán ⇔ p + q >19 ⇔ −m +1− m −8 >19 ⇒ m < 13 −
⇒ trường hợp này không tồn tại m∈[ 10 − ;10] thỏa mãn. TH 3: 8
− < m < 1, thì q = 0; ⇒ không thỏa mãn YCBT.
Vậy số phần tử của tập S là 4 .
Câu 3. Cho hàm số f (x) 3 2
= x − x + x − m − 2 ( m là tham số thực). Gọi 𝑆𝑆 là tập hợp tất cả các
giá trị của 𝑚𝑚 sao cho max f (x) + min f (x) =16. Tổng các phần tử của 𝑆𝑆 là [0 ] ;3 [0 ] ;3 A. 3. B. 17 . C. 34. D. 31. Lời giải Chọn B
Xét hàm số f (x) 3 2
= x − x + x − m − 2 , trên đoạn [0; ] 3 ta có f ′(x) 2
= 3x − 2x +1 > 0, x ∀ ∈ .
Ta có f (0) = −m − 2; f (3) = −m +19 min f (x) = 0 Trường hợp 1: ( m + 2)(m −19) [0 ] ;3 ≤ 0 ⇔ 2
− ≤ m ≤ 19 ⇒ max f (x) = max {m+ 2 , m−19} [0 ] ;3 17
max f (x) = m + 2, khi ≤ m ≤ 19 [0 ];3 2 ⇒ 17
max f (x) =19− , m khi -2 ≤ m< [0 ];3 2 17 m + 2 = 16, khi ≤ m ≤ 19 = Vậy 2 m
max f ( x) + min f ( x) = 16 ⇒ 14 ⇒ [ 0 ] ;3 [0 ] ;3 17 m = 3
19 − m = 16, khi 0 ≤ m< 2 > Trường hợp 2: ( m
m + 2)(m −19) > 0 19 ⇔ m < 2 − 1 m = (KTM ) Suy ra 2
min f (x) + max f (x) = m + 2 + m −19 = 2m −17 = 16 ⇔ [0 ] ;3 [0 ] ;3 33 m = (KTM ) 2 Vậy S = {3; 1 } 4 . Câu 4. Cho hàm số 4 3 2
y = x − 2x + x + m . Tổng tất cả các giá trị của tham số m để
min y + max y = 20 là [ 1; − 2] [ 1; − 2] A. 10 − . B. 4 − . C. 20 . D. 21 − . Lời giải Chọn B Xét 4 3 2
f (x) = x − 2x + x + m trênđoạn [ 1 − ; 2] 1 3 2
⇒ f '(x) = 4x − 6x + 2 ; x
f '(x) = 0 ⇔ x = 0; x = 1; x = . 2 Ta có : 1 1 f (0) = ; m f (1) = ; m f = m + ; f (− )
1 = f (2) = m + 4 . 2 16
max f (x) = f (2) = m + 4 Suy ra [ 1; − 2]
min f (x) = f (0) = f ( )1 = m [ 1; − 2] ≥ TH1 : Nếu m m ≥ 0 ⇒ 0 ⇔ m = 8.
m + m + 4 = 20 ≤ − TH2 : Nếu m 4 m ≤ 4 − ⇒ . − ( ⇔ = − m + ) m 12 4 − m = 20 TH3 : Nếu 4
− < m < 0 ⇒ min y = 0; max y = max{ m + 4 , m} = max{m + 4, − } m . [ 1; − 2] [ 1; − 2]
Suy ra min y + max y < 4 < 0 + 20 = 20 không thỏa mãn. [ 1; − 2] [ 1; − 2]
Vậy tổng các giá trị của m là 4 − . Câu 5. x − m
Cho hàm số f (x) 2 =
( m là tham số thực ). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị x + 2
của m sao cho max f (x) + 2min f (x) ≥ 4 . Hỏi trong đoạn [ 30
− ;30] tập S có bao nhiêu số [0;2] [0;2] nguyên? A. 53. B. 52. C. 55. D. 54. Lời giải Chọn A Ta có: ( + x) 4 m f ' = (x + 2)2 + Nếu m = 4
− thì f (x) = 2 thỏa mãn max f (x) + 2min f (x) ≥ 4 . [0;2] [0;2] + Xét m − m m ≠ 4
− . Ta có f ( ) = − f ( ) 4 0 ; 2 = . 2 4
* TH1: −m 4 − m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 4 . 2 4 Khi đó 4 − m m
min f ( x) = 0 và max f ( x) =
hoặc max f (x) = . [0;2] [0;2] 4 [0;2] 2 4 − m ≥ 4 ≤ −
Theo giả thiết ta phải có m 12 4 ⇔ ( loại). m m ≥ 8 ≥ 4 2 • TH2: + Xét m − m 4
− < m < 0 : hàm số f (x) đồng biến, hơn nữa f ( ) = − > f ( ) 4 0 0; 2 = > 0 2 4 nên − f ( x) + f ( x) 4 m m 12 max 2 min ≥ 4 ⇔ + 2 − ≥ 4 ⇔ m ≤ − . [ 0;2] [0;2] 4 2 5 Vậy 12 4 − < m ≤ − ⇒ m = 3. − . 5 + Xét m − m m < 4
− : hàm số f (x) nghịch biến, hơn nữa f ( ) = − > f ( ) 4 0 0; 2 = > 0 2 4 nên − f ( x) + f ( x) m 4 m max 2 min ≥ 4 ⇔ − + 2 ≥ 4 ⇔ m ≤ 2 − . Vậy m < 4 − . [ 0;2] [0;2] 2 4 + Xét m − m
m > 4 : hàm số f ( x) đồng biến, hơn nữa f ( ) = − < f ( ) 4 0 2 = < 0 nên 2 4 − f ( x) + f ( x) m m 4 max 2 min ≥ 4 ⇔ + 2
≥ 4 ⇔ m ≥ 6 . Vậy m ≥ 6 . [ 0;2] [0;2] 2 4 Tóm lại: 12 − m ∈ ; −∞ ∪ [6;+∞ ). Nên trong [ 30
− ;30], tập S có 53 số nguyên. 5
Dạng 3: Tìm tham số để GTLN của hàm số y = f (x) + g (m) trên đoạn [ ;
a b] đạt giá trị nhỏ nhất. Ghi nhớ: α + β • max{α;β} ≥
, dấu bằng xảy ra ⇔ α = β . 2
• α + β ≥ α + β , dấu bằng xảy ra ⇔ α.β ≥ 0. Cụ thể
- Bước 1: Tìm α = max f (x); β = min f (x). [a;b] [a;b]
- Bước 2: Gọi M là giá trị lớn nhất của y = f (x) + g (m) thì +)
α + g m + β + g m
α + g m + −β − g m M =
{α + g(m) β + g(m)} ( ) ( ) ( ) ( ) max ; ≥ = , 2 2
dấu bằng xảy ra ⇔ α + g (m) = β + g (m) .
α + g (m) + −β − g (m) α + g (m) − β − g (m) α − β
+) Áp dụng bất đẳng thức ≥ = , 2 2 2 dấu bằng xảy ra ⇔ α + g
(m) −β − g (m) ≥ 0 . α − β - Bước 3: Kết luận α − − β min M = khi g (m) = . 2 2
Ví dụ mẫu 1: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2
y = x + 2x + m − 4 trên đoạn [ 2; − ] 1 đạt
giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng A. 1. B. 3. C. 4 . D. 5. Lời giải Chọn B Đặt f (x) 2 = x + 2x .
Ta có: f ′(x) = 2x + 2 ; f ′(x) = 0 ⇔ x = 1 − ∈( 2; − ) 1 . f ( 2 − ) = 0; f ( ) 1 = 3; f (− ) 1 = 1 − .
Do đó max f (x) = 3; min f (x) = 1 − . [ 2 − ] ;1 [ 2 − ] ;1 − + − − + − Suy ra: y =
{m− m− } m 5 m 1 5 m m 1 max max 5 ; 1 ≥ ≥ = 2 . [ 2 − ] ;1 2 2 − = − Dấu bằng xảy ra m 5 m 1 ⇔ ( thỏa mãn). ( ⇒ = − m )(m − ) m 3 5 1 ≥ 0
Ví dụ mẫu 2: Để giá trị lớn nhất của hàm số 2 y =
2x − x − 3m + 4 đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng A. 3 m = . B. 5 m = . C. 4 m = . D. 1 m = . 2 3 3 2 Lời giải Chọn A
Tập xác định: D = [0;2]. Đặt 1− x 2 f (x) =
2x − x , x ∈ D , ta có f '(x) =
; f '(x) = 0 ⇔ x = 1. 2 2x − x
f (0) = 0; f (2) = 0; f ( ) 1 = 1. − + − Suy ra: P = y = { m− m − } 3m 4 3m 5 max max 3 4 ; 3 5 ≥ D 2
5 − 3m + 3m − 4 1 ≥ = . 2 2 − = − Dấu bằng xảy ra 3m 4 3m 5 ⇔ 3 (
⇒ m = ( thỏa mãn). 5 − 3m )(3m − 4) ≥ 0 2
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là nhỏ nhất khi 3 m = . 2
Bài tập tương tự
Câu 1. Để giá trị lớn nhất của hàm số 3
y = x − 3x + 2m −1 trên đoạn [0; 2] là nhỏ nhất. Giá
trị của m thuộc khoảng? A. [ − 1; − 0]. B. (0 ) ;1 . C. 2 ;2 . D. 3 ; 1 − . 3 2 Lời giải Chọn B Đặt f (x) 3
= x − 3x −1+ 2m trên đoạn [0;2] . x = 1 − ∉[0;2] f ′( x) 2 = 3x − 3 = 0 ⇔ . x = 1∈ [0;2] f (0) = 1 − + 2m, f ( ) 1 = 3
− + 2m, f (2) =1+ 2m
nên ta có max y = max{ 2m −3 ; 2m +1}. [0;2] + + − + + − Ta có: 2m 1 2m 3 2m 1 3 2m max y ≥ ≥ = 2. [ 3 − ] ;1 2 2
Dấu bằng khi m = 2.
Câu 2. Để giá trị lớn nhất của hàm số f (x) 3
= x −12x + m +1 trên đoạn [1; ] 3 đạt nhỏ nhất.
Giá trị của m bằng A. 23 . B. 7 . C. 23 − . D. 7 − . 2 2 2 2 Lời giải Chọn A
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên [1; ] 3 +) Xét g (x) 3
= x −12x + m +1 trên [1; ] 3 x = 2 (n) g′( x) 2
= 3x −12 ; g′(x) 2
= 0 ⇔ 3x −12 = 0 ⇔ x = 2 − (l) +) Ta có: f ( )
1 = m −10 ; f (2) = m −15 ; f (3) = m − 8
⇒ max f (x) = M = max{ m −8 ; m −15} x [ ∈ 1; ] 3 M ≥ m − 8
⇒ M ≥ m−15
⇒ 2M ≥ m − 8 + m −15 = m − 8 + 15 − m ≥ m − 8 +15 − m ≥ 7 7 ⇒ M ≥ 2 − = − Dấu “=” xảy ra m 8 m 15 23 ⇔ . ( ⇔ m = m − 8 )(15− m) ≥ 0 2 Vậy 23 m = . 2