Thông tin
Quiz

Giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính Casio – Hoàng Văn Bình Toán 12

Giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính Casio – Hoàng Văn Bình Toán 12 được sưu tầm và soạn thảo dưới dạng file PDF để gửi tới các bạn học sinh cùng tham khảo, ôn tập đầy đủ kiến thức, chuẩn bị cho các buổi học thật tốt. Mời bạn đọc đón xem!

Chủ đề:

Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng 199 tài liệu

Môn:

Toán 12 3.9 K tài liệu

Thông tin:

44 trang 1 năm trước

Tác giả:

Mai Nguyệt

docx.com.vn

Bình luận

Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để gửi bình luận.

Giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính Casio – Hoàng Văn Bình Toán 12

156 78 lượt tải Tải xuống

Hong Văn Bnh

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Bài 1. NGUYÊN HÀM

I. Lý thuyết

1. Nguyên hàm

   

f x dx F x C



2. Tính chất

 

'f x dx f x



và

   

f x dx f x C



   

.k f x dx k f x dx



 

0k 

       

f x g x dx f x dx g x dx  





  

3. Bảng nguyên hàm

 

kdx kx C k const  



 

x dx C





   





u dx C











lndx x C





lndx u C





e dx e C



e dx e C



a dx C





a dx C





cos sinxdx x C



cos sinudx u C



sin cosxdx x C  



sin cosudx u C  



tan

cos

dx x C





tan

cos

dx u C





cot

sin

dx x C

  



cot

sin

dx u C

  



2 2 2

arcsin

a x x a x

a x dx C



   



arcsin







dx a x

a x a a x









arctan

dx x

a x a a







2 2 2 2 2 2

x a dx x a x x a C      



x x k C

   





Hong Văn Bnh

4. Các phương pháp tìm nguyên hàm

a. Phương pháp đổi biến số

Nếu

   

f x d x F x C



thì

     

 

.'f u x u x dx F u x C







Đặt

   

't u x dt u x dx  

. Khi đó

     

f t dt F t C F u x C   







Cách đặt biến:

Dạng 1: Đặt biến thường

 

f ax b dx



đặt

t ax b

 





đặt

tx

 

f x xdx





đặt





 

sin cosf x xdx



đặt

sintx

 

cos sinf x xdx



đặt

costx

 

tanf x dx



đặt

tantx

 

cotf x dx



đặt

cottx

 

lnfx





đặt

lntx

 

f e e dx



đặt

te

Dạng 2: Đặt lượng giác:

tant

cot

x a t































sin

cos

x a t

























sin

cos

























Sau khi tìm được nguyên hàm theo

thì ta thay ngược lại vào

 

b. Phương pháp nguyên hàm từng phần

Hong Văn Bnh

Cho hai hàm số

 

u u x

và

 

v v x

liên tục và có đạo hàm trên đoạn

 

;ab

thì khi đó ta có

udv uv vdu



Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ”

c. Dạng nguyên hàm hu t

- Nguyên hàm dạng:

ax b C

ax b a

  





- Nguyên hàm dạng:

 

1 2 2

ax bx c a x x x x





   



vi

0

- Nguyên hàm dạng:

 



 Nếu

 

là tch các nghim đơn

      

...

Q x x x x x x x   

thì ta tách

 

d ...

G x x x x x x x



   



  





 Nếu

 

là tch các nghim đơn và nghim bi giả s như

     

1 2 3

Q x x x x x x x   

thì ta

tách

 

     

1 2 1 2

1 2 3

3 3 3

d ... d

A A B B

G x x x x x x x

x x x x x x





      



  





 Nếu

 

là tch các nghim đơn và mt tam thức bc hai vô nghim giả s

  

 

, 4 0x x x x x px q p q       

thì ta tách

 

Bx C

G x x x x x x px q





  



   





d. Dạng nguyên hàm vô t

- Nguyên hàm dạng





,R x a x

đặt

sin

cos

x a t











- Nguyên hàm dạng





,R x a x

đặt

tantxa

- Nguyên hàm dạng





,R x x a

đặt

cos



- Nguyên hàm dạng











đặt

cos2x a t

- Nguyên hàm dạng

ax b

cx d











đặt

ax b

cx d







Hong Văn Bnh

- Nguyên hàm dạng

 

ax b x x

  



  

đặt

ax b





e. Dạng nguyên hàm lượng giác

- Nguyên hàm dạng

 

sin .cos d ,

x x x m n





,mn

chn thì dng công thức hạ bc



l thì đặt

sinux

l thì đặt

cosux

f. Mt số dạng tch phân đặc bit

- Cho hàm số

 

liên tục là hàm chn trên

 

;aa

thì ta có

   

f x dx f x dx







- Cho hàm số

 

liên tục là hàm l trên

 

;aa

thì ta có

 

f x dx







- Cho hàm số

 

liên tục là hàm chn trên

 

;





thì ta có

 

dx f x dx











- Cho hàm số

 

liên tục trên









thì ta có

   

sin cosf x dx f x dx







II. Sử dụng máy tính cầm tay

Bấm máy tnh như sau:

 

DA DB





1. Tích phân hu t



Dạng

 



trong đó bc của

   

P x Q x

. Ta thực hin phép chia đa thức. Áp dụng phương

pháp r100

Ta giả s

     

1 2 3

Q x x x x x x x   

(nhiều hay t hơn cũng làm tương tự):

 

1 2 3

A B C

Q x x x x x x x

   

  

trong đó

 

là biểu thức dư của phép chia.

Tìm

 

  

 

  

 

  

dx x x x x



























































Hong Văn Bnh

Tìm

 

   

1 2 3 1 2 3

100

d A B C

dx x x x x x x x x x x x x



   





     



s dụng cách tách 100



Dạng

 

  

ax b

x x x x







cần tách đưa về dạng

x x x x





Cách 1. Bấm:

  

12xX

aX b

X x X x











X x A

X x B

Cách 2. Bấm:

  

 

aX b

X x X x







0,0000001X x A  

0,0000001X x B  

Cách 3: Bấm

d ax b

dx x x

d ax b

dx x x

















  























Cả ba cách trên nếu tìm nguyên hàm đều cho dạng:

ln lnA x x B x x C   

VD. Tách

 

7 14 8

x x x





  

thành các phân thức tối giản

 

   

2 6 2 6

7 14 8 1 2 4 1 2 3

x x x x A B C

x x x x x x x x x

   

    

        

Bấm:

   

1 2 4

X X X





  





1X 

h số

3A

2X 

h số

7B 

Hong Văn Bnh

4X 

h số

5C 

Vy

 

2 6 3 7 5

7 14 8 1 2 3

x x x x x x



   

     

VD. Tính

x



Đặt

1 3 d dt x t t x   







Thực hin phép chia bằng máy tính:

t 

Ta nhẩm lấy h số cao nhất của t chia cho mẫu ta được



Nhp màn hình: r

100X 

ta được

Ta để ý vì bc t chia bc mẫu ra bc nhất nên ta tách

300

101



được h số tự do là

3

Sa màn hình:

Ta được

101 1t





Vy

2 2 2

3 3 3 3

3 3 3 3ln 1

1 1 1 2

t t t

t t t C

t t t

        

  



Hong Văn Bnh

 

3 1 3ln 1 1

x x C



      

VD. Tính nguyên hàm

1 2sin

2sin .cos cos

x x x





Ta biến đổi:

3 4 3 4 4

1 2sin 1 2sin cos 1 2sin cos 1

d d . d

2sin .cos cos 2sin cos cos 2tan 1 cos

x x x x x

x x x

x x x x x x x x

  



  

  

 

2tan

1 tan 1 2tan

cos

. d d tan

2tan 1 cos 2tan 1

x x x











Ta thực hin phép chia đa thức t chia cho mẫu:

Đặt

tan







Ta chia bc cao nhất của t cho mẫu ta được



Nhp màn hình: r

100X 

Vì thương của phép chia là bc 1, mà hạng t chứa bc 1 đã là

nên tiếp theo ta sẽ được

150 3

201 4



Sa màn hình: r

100X 

Tách

1 1 1

804 4 2 1X





Vy ta được thương là

1 3 1 1 1 3 1 1

. tan .

2 4 4 2 1 2 4 4 2tan 1

    



Suy ra

 

1 3 1 1 1 3 1

tan . d tan tan tan ln 2tan 1

2 4 4 2tan 1 4 4 8

x x x x x C



      









Ta thực hin

Hong Văn Bnh



Tách phân thức

ax b a K

cx d c cx d







Nhp máy tính:

 

aX b a

cX d CALC X K

cX d c





  







Khi đó:

ax b a K ax

dx dx Kc cx d

cx d c cx d c





    









VD. Tách

 







2 1 2 1







Bấm

 

1 2 1













10x 

2K

Vy

 

2 1 2

2 1 2 1



  





Tách phân thức dạng:

 

     

1 2 1 2

1 2 3

3 3 3

d ... d

A A B B

G x x x x x x x

x x x x x x





      



  





VD. Phân tích hàm số

 

  





thành các phân thức tối giản

Ta có

    

1 1 1

x A B C

x x x

  



  

Ta sẽ tìm được

,AC

dễ hơn tìm

Bấm:

   









Tìm

1X 

ta được

A 

Để tìm

ta bấm

   

 





1,00001X 

ta được

C 

Hong Văn Bnh

Để tìm

ta bấm:

   

 





1,00001X 

ta được sau đó trừ đi

đem chia cho

1x

xấp x



vy





Vy

 

  

   

 

1 1 1

4 1 4 1

1 1 2 1

x x x

   



  

Bài này khá phức tạp vì tìm

không r được như bình thường. Các bạn chú ý theo dõi kỹ chỗ

tìm

: khi r được kết quả nào thì trừ cho phần nguyên của số đó. Rồi đem chia cho mẫu của

phân thức ta cần tìm h số.

VD. Tách

 





thành các phân thức tối giản

 

1 1 1

A Bx C

x x x x



  

   

Tìm h số

bấm









Tìm

Bx C

ta có:

 

  

 

  

3 2 3

1 1 1

1 3 1 1 1 3

x x Bx C x

Bx C

x x Bx C x

x x x x x

    



         

    

 

Bx C

  

  



. Đến đây để tìm

,BC

ta vào h w2 nhp hàm bên r

xi

Vy

Bx C x



  

Hong Văn Bnh

Vy

 

1 3( 1) 1

x x x x



  

   

III. Ví dụ

VD. Tìm nguyên hàm của hàm số

 

21f x x x  

 

F x x x x C   

 

F x x x x C   

 

22F x x C  

 

F x x x x C   

Ta có:

 

2 2 2

2 1 2 1

f x dx x x dx x dx xdx dx x x C          

    

. Chọn B.

VD. Nguyên hàm của hàm số

 



là

ln lnx x C

ln xC



ln xC



ln xC



Ta có:

 

1 1 1 1 1

lnf x dx dx dx dx x C

x x x x x



      





   

VD. Nguyên hàm của hàm số

 





là

ln 5 1

xC

ln 5 1xC  

ln 5 1





ln 5 1xC

Ta có:

lndx ax b C

ax b a

  





Áp dụng:

ln 5 1

5 1 5

dx x C

  





VD. Tìm nguyên hàm của

   

3f x x

là:

 





 





 

43 xC

 

43 xC  

Ta có:

u dx C











Hong Văn Bnh

Áp dụng:

 

x dx C



  



VD. Biết

 

là mt nguyên hàm của hàm số

 





và thỏa mãn









Tính

 

3.F

 

3 ln2F 

 

3 2ln2F 

 

3 2ln 2F 

 

3 ln2F 

Ta có:

 

  

3 2 1 2 1 2

x x x x x x

   

     

Đồng nhất thức ta được

   

     

1 2 1 2 1 2

A B x A B

x x x x x x

  

  

     



2 1 1

A B A

A B B

   







   



Ta có

ln 1 ln 2

dx dx x x C

       







  





. Vy

 

3 ln2f 

Qua ví dụ trên ta lưu ý:

Có thể nh nhanh công thức:

  

dx C

x a x b b a x a





   



hay tổng quát hơn cho trường

hợp

  

ax b

dx C

ax b cx d ad bc cx d





   



VD. Xét

 

4 3 .I x x dx



Bằng cách đặt

43ux

. Khẳng định nào sau đâu đúng?

I u du



I u du



I u du



I u du



Đặt

43ux

du x dx x dx   

thay vào

 

4 3 .I x x dx



ta được

u du



VD. Giả s

 

2 x

F x ax bx c e  

là mt nguyên hàm của hàm số

 

2 x

f x x e

. Tính

S a b c  

1S 

0S 

5S 

2S 

Ta có

   

 

2 2 2

' 2 2

x x x x

F x ax b e e ax bx c e ax a b x b c e x



          



2 0 2

a b b

b c c







    





  



Hong Văn Bnh

Hoặc mt cách khác: dựa vào bản chất của nguyên hàm từng phần mà ta có:

Tạm ký hiu như sau:

', '', ''',...u u u

là đạo hàm lần 1, 2, 3 …. Của

 

1 2 3

, , ,...v v v

là nguyên hàm

lần 1,2,3… của

 

Ta có được:

1 2 3

' '' ... ...uv u v u v   

Áp dụng:

' 2 , '' 2u x u x u   

;

1 2 3

x x x x

v e v e v e v e    

 

. 2 . 2 2 2

x x x x

x e xe e e x x    

vy ta cũng đã xác định được

,,abc

nhanh chóng.

Vy

1 2 2 1S a b c      

Bấm máy tnh như sau: y

Tách:

 

9802 10000 200 2 2 2 1 2 2 1.x x F x          

Chọn A.

VD. Tìm nguyên hàm của hàm số

 

cos2f x x

sin 2

xC

sin 2





2sin2xC

2sin2xC

Đặt

t x dt dx dx    

thay vào

cos cos sin

xdx t t C  



Thay ngược lại ta được

sin 2

xC

Ta có công thức nhanh:

   

cos sinax b dx ax b C

   



;

   

sin sinax b dx ax b C

    



VD. Cho

,ab

là hai số thực thỏa mãn

   

cos sin

F x a x b x e

là nguyên hàm của hàm số

 

cos

f x e x

. Tính

P a b

Đây là dạng nguyên hàm lặp lại, vì khi ta nguyên hàm hai lần sẽ quay lại đề bài ban đầu.

Đặt

' sin , '' cos

cos

u x u x

v e dx

dv e dx

   













(ở đây có mt quy ưc nhỏ là

,vv

là nguyên hàm)

Hong Văn Bnh

Ta có

 

cos . sin . cos 2 cos sin cos sin

x x x x x

I x e x e e xdx I e x x I e x x



        







Vy

a b S a b     

Ta có công thức giải nhanh:

 

cos cos sin

e bxdx a bx b bx C

  





 

sin sin cos

e bxdx a bx b bx C

  





VD. Biết

 

2 2 2

x x x

xe dx axe be C a b   



.Tính





ab 





ab 

Đặt

du dx

dv e dx























Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 4

x x x x

e e dx e e C   









   













Bấm máy tnh như sau:

Tách:

199 200 1 2 1 1 1

4 4 4 4 2 4 8



      

VD. Cho

 





là mt nguyên hàm của hàm số

 

Tìm nguyên hàm của hàm số

 

' lnf x x

ln 1



ln 1



ln 1



ln 1

  

Hong Văn Bnh

 

F x f x

x x x

   

Xét nguyên hàm

 

' lnf x xdx



đặt

 

du dx

dv f x dx

v f x

























   

 

ln 1

' ln ln .

f x xdx x f x dx C

x x x

    



VD. Cho

 

là mt nguyên hàm của hàm số

 

f x e x

thỏa mãn

 

F 

. Tìm

 

()

F x e x  

( ) 2

F x e x  

()

F x e x  

()

F x e x  

Ta có:

 

e x dx e x C   



 

3 3 1

2 2 2

F e C C      

. Vy

()

F x e x  

VD. Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   

f x x e

và

   

f x dx ax b e C  



vi

,.ab

Tính

ab

A. 0 B. 3 C. 2 D. 1

Ta có

   

F x ax b e C  

là nguyên hàm của

 

và

   

f x x e

Đặt

   

'' 'F x f x

     

f x dx x e dx xe C f x    



   

f x dx xe dx x e C   



Vy

1, 1 0a b a b     

VD. Tìm nguyên hàm của hàm số

 







bằng

ln xC



ln xC



ln xC



ln xC



Hong Văn Bnh

S dụng phương pháp tách

 

x A Bx







0,000001X 

h số

1A 

1,0000001X 

h số

3B 

Suy ra:

 

2 1 1 3







Khi đó:

 

2 1 1 3 1

dx dx dx

x x x x







    









   

ln ln 1 ln ln

x x C C x C



         

Bấm máy trực tiếp: qy

VD. Tìm nguyên hàm

 

của hàm số

 

cos

2 sin





 

sin

2 sin



2 cos



2 sin





sin

2 sin



Ta có:

 

2 sin

cos 1

2 sin

2 sin 2 sin

dx C



  







. Chọn C

VD. Giả s mt nguyên hàm của hàm số

 







có dạng





Tính

ab

2



Hong Văn Bnh

Ta có

 

f x dx dx dx







  

Tính

x



đặt

1 2 3t x tdt x dx    

2 2 2 2

3 3 3 3

dx dt t C x A



        





Tính

   

 

1 1 2

2 1 2

dx d x C B

x x x



      







Vy

ab  

VD. Gọi

 

là mt nguyên hàm của hàm số

 

fx

, thỏa mãn

 

ln2

F 

. Tính giá trị biểu

thức

       

0 1 2 ... 2017T F F F F    

2017

1009.

ln2





2017.2018

2T 

2017

ln2





2018

ln2





Ta có

 

ln2

F x dx C  



Mà

   

ln2 ln2

F C F x    

       

0 1 2017 2018 2018

2 2 2 2 1 1 2 2 1

0 1 2 ... 2017 ...

ln2 ln2 ln2 ln2 ln2 1 ln2

T F F F F



           



Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được

 

ln2

Fx

Bấm: qi

ta được bấm gán vào A, lấy A trừ đi

đáp án đã rút gọn

. Chọn D.

Hong Văn Bnh

Bài 2. TÍCH PHÂN

I. Lý thuyết

1. Tích phân

     

f x dx F b F a



2. Tính chất

Tích phân của tổng thì bằng tổng các tích phân:

       

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx  





  

Có thể đưa hằng số ra ngoài tích phân:

   

kf x dx k f x dx



Tích phân tại mt điểm bằng 0:

 

f x dx 



Chèn điểm

 

;c a b

vào cn ta có:

     

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

Tính bất biến của tích phân:

     

...

b b b

a a a

f x dx f t dt f y dy

  

II. Sử dụng máy tính cầm tay

S dụng chức năng y để tính tích phân.

III. Ví dụ

1. Tích phân dạng hàm

VD. Cho hàm số

 

có đạo hàm trên

 

1;4

và thỏa mãn

 

11f 

 

'2f x dx 



. Giá trị

 

là

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Ta có:

         

' 4 1 2 4 3.f x dx f x f f f     



VD. Cho hàm số

 

liên tục trên và

 

là nguyên hàm của

 

, biết

 

d9f x x 



và

 

03F 

. Tính

 

Hong Văn Bnh

A. – 6 B. – 12 C. 12 D. 6

Ta có

     

f x x F b F a



từ đó ta có thể tnh được mt yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại.

       

d 9 9 0 9 9 3 6f x x F F F      



. Chọn D.

VD. Cho hàm số

 

liên tục trên

 

1;4

   

4 2017, ' d 2016f f x x







. Tính

 

1f 

 

13f 

 

11f 

 

11f   

 

12f 

Ta có:

         

' d 4 1 2017 1 2016 1 1f x x f f f f



         



. Chọn B.

VD. Cho hàm số

 

liên tục trên

 

1;2

và

 

là nguyên hàm của

 

, biết

 

d1f x x







và

 

11F   

. Tính

 

A. 2 B. 0 C. 3 D. 1

Chọn A.

VD. Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

10f x dx 



. Tính

 

24I f x dx







32I 

34I 

36I 

40I 

Từ

     

2 2 2 5

5 5 5 2

2 4 2 4 2 4 6 40 34I f x dx dx f x x f x         





   

Hoặc

Mẹo:

   

f x dx K f x

  





Áp dụng:

   

f x dx f x  



 

2 4 2 4. 34

I f x dx



    











VD. Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

7f x dx 



và

 

3f x dx 



. Tính

   

2 10

I f x dx f x dx



Hong Văn Bnh

10I 

4I 

7I 

4I 

Áp dụng tính chất

     

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

  

Ta có:

               

10 2 6 10 2 10 2 10

0 0 2 6 0 6 0 6

7 3 4f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx         

       

VD. Cho

   

1, 4f x dx f t dt



  



. Tính

 

.I f y dy







A. – 5 B. – 3 C. 3 D. 5

         

4 2 4 2 4

2 2 2 2 2

1 4 5f y dy f y dy f y dy f x dx f t dt





         

    

VD. Tính

 

'0F

của hàm số

 

0 cos

F tdt



 

0.x 

A. 0 B. – 2 C. 2

Đặt

2y t ydy dt  

Đổi cn tích phân:













Ta được:

 

cos 2 cos

F x tdt y ydy



Đặt

cos sin

u y du dy

dv ydy v y













Ta có:

 

0 0 0

2 sin 2 sin 2 sin 2cos 2 sin 2cos 2

x x x

y y ydy y y y x x x F x      



Ta có

   

' 2 cos 0 0f x x x f  

VD. Cho hàm số

 

liên tục trên và thỏa mãn

 

2.f x dx







Khẳng đinh nào sau đây sai?

 

21f x dx







 

12fx







 

22f x dx







 

f x dx



Hong Văn Bnh

Ta có:

   

4 2 3

f x dx f x



   





Bấm:

Đáp án A.

Đáp án B

Đáp án D

Chọn C vì ở câu A ta đã loại được C.

VD. Cho

 

liên tục trên

 

0;2

thỏa mãn

   

2 2 2 .f x f x x  

Tính

 

d.f x x





Cách 1:

Từ

       

2 2 2

0 0 0

2 2 2 d 2 2 d 2 d 4f x f x x f x x f x x x x       

  

   

3 d 4 d

f x x f x x   



Cách 2:

Chọn

1x 

thay vào

       

2 2 2 1 2 1 2f x f x x f f     

       

2 2 2

0 0 0

2 2 4 4

3 1 2 1 1 d d d

3 3 3 3

f f f x x f x x        

  

VD. Cho

 









trong đó

 

y f x

là hàm số chn trên

 

1;1

. Khi đó

 

df x x





bằng

A. 2 B. 16 C. 4 D. 8

Vì

 

y f x

là hàm số chn nên ta chọn

 

f x x

. Bấm máy như sau:

Hong Văn Bnh

Ta thấy tích phân sau gấp đôi tch phân trưc, suy ra

 

d 4.2 8f x x







VD. Cho

 

là hàm số chn, liên tục trên và

 

1 2 d 15f x x







. Tính

 

dI f x x







A. 10 B. 5 C. 30 D.

Ta có:

       

5 5 5 5 5

0 0 0 0 5

1 2 d 1 d 2 d 15 d 5 d 5.2 10f x x x f x x f x x f x x



        





    

Bấm máy tính:

VD. Cho hàm số

 

y f x

liên tục và nhn giá trị dương trên

 

0;

thỏa mãn

 

11f 

   

' 3 1f x f x x

, vi mọi

0.x 

Mnh đề nào sau đây đúng?

 

4 5 5f

 

2 5 3f

 

3 5 4f

 

1 5 2f

Từ

   

 

' 3 1 d d

3 1 3 1

f x f x

f x f x x x x

f x f x

     





 

   

3 1 ln 3 1

x C f x x C f x e



         



Ta có

   

1 1 5 3,794

f C f e



     

Chọn C.

Cách khác:

 

1 1 4

d d d d

3 1 3 1

f x f x

x x x x

f x f x

   



   

Hong Văn Bnh

 

ln ln 5

3 1 3

f x f e

f x f

     



VD. Cho hàm số

 

thỏa mãn

 

' 2 d 1 .x f x x f



Tính

 

dI f x x



0I 

1I 

1I 

2I 

Từ

 

         

1 1 1 1

0 0 0 0

' 2 d 1 . ' d 2 d 1 . ' d 1 1x f x x f x f x x x x f x f x x f       

   

Xét

 

. ' dx f x x



Đặt

   

 

u x u x

xf x f x x

dv f x x v f x







  











       

1 d 1 1 d 1f f x x f f x x      



. Chọn B

VD. Cho hàm số

 

y f x

thỏa mãn

   

1 ' d 10x f x x



và

   

2 1 0 2ff

. Tính

 

dI f x x



12I 

8I 

12I 

8I 

Đặt

   

 

1 d d

1 d 10

d ' d

u x u x

x f x f x x

v f x x v f x

  





    











       

2 1 0 d 10 d 8f f f x x f x x      



2. Tch phân bình thường

Sau khi tìm nguyên hàm bằng các phương pháp. Ta áp dụng công thức của tch phân để tính giá

trị tích phân.

Bấm máy trực tiếp y.

3. Tích phân chống máy tính cầm tay

Đây là mt dạng bài rất hay, tuy nhiên khả năng ra các bài toán về bản chất tích phân vẫn là dạng

bài được ra nhiều hơn. Các cách thường áp dụng cho tích phân chống máy tính cầm tay: giải h

phương trình bc nhất, Table, mũ hóa,….

Hong Văn Bnh

Về nguyên tắc cơ bản: cần lưu trưc tích phân vào biến nh. Thường thì các ẩn là số nguyên hoặc

hu t.

VD. Cho

 

4ln 1

ln 2 ln2 ,

dx a b a b



  



. Tính

4.ab

A. 3 B. 9 C. 7 D. 5

Gán

4ln 1x

dx A







Giải h phương trình

ln 2 ln3

a b A

a b K











vi

là các đáp án.

Lần lượt th vi các đáp án, vì đề bài nói

,ab

nên máy tính báo số nguyên mi nhn. Vi

9K 

ta được

Vy

2, 1 4 9.a b a b    

VD. Cho

cos 1

sin cos 4

dx a b









 

0 1,1 3, ,a b a b    

Tính tích

.ab

Gán tích phân vào

Từ

cos 1

sin cos 4

dx a b a





   





(rút

theo

)

Hong Văn Bnh

Vào w7 Coi hàm của ta là







, do

13b

nên ta chọn START 1 END 3 STEP 0,25

Ta thấy tại 2

Ta được

2, 0,125

xy  

hay

b a ab   

VD. Biết

 

ln2 ln3 ln5 , , .

a b c a b c

   





Tính

S a b c  

A. 6 B. – 2 C. 2 D. 0

Gán







. Khi đó

ln2 ln3 ln5 ln2 ln3 ln5

a b c

A a b c     

S dụng tính chất

a e e

ta có:

 

ln ln 2 3 5 2 3 5

A a b c A a b c

ee  

Bấm:

tách

4 1 5

16 2

2 .3 .5

15 3.5





(S dụng chức năng FACT)

Vy

4, 1 2a b c S a b c        

VD. Biết

d ln

x x b









vi

,ab

là các số nguyên. Tính

2ab

A. – 2 B. 5 C. 2 D. 10

Gán tích phân vào

Hong Văn Bnh

Ta có:

ln ln 2

2 2 2

A a A a

b b b

A a A a e e b



        

S dụng w7 nhp hàm số START – 9, END 9, STEP 1

Vy

8, 3 2 2a b a b    

. Chọn C.

VD. Biết

dx a e b





vi

,.ab

Tính

.P ab

4P 

8P 

4P 

8P 

Lưu tch phân vào

Ta có

A a e b A a e b    

S dụng w7 nhp hàm số START – 9, END 9, STEP 1

Vy

2; 4 . 8a b P a b      

. Chọn B

VD. Cho tích phân:

 

ln2 ln3 ln5 ln7 , , , .

I dx a b c d a b c d



     





Tìm

, , , .a b c d

Hong Văn Bnh

(bài này s dụng trên máy tính VINACAL vì máy tính casio không x lý được)

Lưu tch phân vào

Ta có

2 3 5 7

A a b c d

e 

Ở đây ta không thể tách được về dạng tích các thừa số nguyên tố. (vì điều kin cho hu t nên số

mũ của ta không nguyên)

Ta s dụng phương pháp w7 nhp hàm số

 

F X e X

(vì

 

, , ,a b c d 

nên ta nhân cho

số nào đó sẽ làm cho các h số có thể phân tch được ra thừa số nguyên tố)

Tại

 

4287 4287 250047 3 .7

6, 6

40960 40960 40960 2 .5

X F X     

13 1 1

, 1, ,

6 6 2

a b c d



    

VD. Tính tích phân

 

2017

2019

I dx







2018 2018

2018



2018 2018

4036



2017 2018

4034 2017



2021 2021

4040



Mẹo: Bấm máy số mũ to như vy máy sẽ không x lý được ta sẽ thu gọn biểu thức lại. bài toán

của ta thu lại được

 

I dx







18 18



18 18



17 18

34 17



21 21



Bấm tích phân

Bấm 4 đáp án

Hong Văn Bnh

Chọn B.

VD. Cho

12I x xdx



và

21ux

. Mnh đề nào dưi đây sai?

 

I x x dx



 

I u u du



2 5 3









 

1I u u du



Ta có

2 1 2 1

u x u x x udu dx



        

Đổi cn:

  





  



 

4 3 3

0 1 1

1 2 1

I x xdx udu u u du



    

  

Bấm máy: đầu tiên ta bấm

12I x xdx



Sau đó bấm 4 đáp án, thấy đán án nào có cng kết quả là đúng

Loại câu A, vì chưa đổi biến.

Đáp án B đúng.

VD. Biết

x x b

dx a









vi

,ab

là các số nguyên. Tính

2S a b

Hong Văn Bnh

2S 

5S 

2S 

10S 

Ta biến đổi

1 1 1 3

ln 1 8 ln

1 1 2 2

dx x dx x x



   

      

   



   



Bấm máy: Gán

ln ln

1 2 2

x x b b

dx A A a a A



      





ta được

3, 8ba

Vy

2 8 2.3 2ab   

VD. Kết quả tích phân

 

2 1 sin 1x x dx





    







 

,ab

. Khẳng định nào sau đây sai?

28ab

5ab

2 3 2ab

2ab

Gán:







    









Table:

Hong Văn Bnh

ợc

2, 4ba

. Suy ra khẳng định B sai.

VD. Biết

dx a e b





vi

,.ab

Tính

4ab 

8ab 

4ab 

8ab 

Gán

A a e b b A a e    

w7:

2, 4ab  

Vy

8ab 

VD. Biết

 

ln 1 ln2

a e b c

   





vi

,,abc

là các số hu t. Tính

.S a b c  

1S 

1S 

0S 

2S 

Gán

Hong Văn Bnh

 

3 2 2 2

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 2 1

e e e e e e

A B x

dx dx dx dx dx

x x x x x x x x





     



   



     

   

1 1 1

ln ln 1 ln 1 ln 2 1

2 2 2

x x e



       





1abc   

VD. Giả s

   

2 3 2 3 2 2

2 5 2 4 d

e x x x x ax bx cx d e C       



. Khi đó

a b c d  

bằng

A. – 2 B. 2 C. 3 D. 5

Bấm như sau:

tách

1009803 2 3x x x   

Vy

3a b c d   

. Chọn C.

VD. Cho

 

2ln 1

d ln2

ln 1

I x a



  





vi

, , ,

a b c Z



tối giản. Tính

S a b c  

3S 

5S 

0S 

7S 

Gán tích phân vào

ln2 ln 2

A a a A

     

. Ta w7

Ta thấy tại

2 2, 1, 2 5.

a a b c a b c

          

Chọn B.

VD. Cho

 

d ln ln , , , .

I x a b c a b c

   





Tính

2S a b c  

Hong Văn Bnh

A. 3 B. 2 C. 0 D. – 3

Gán tích phân vào

Ta có

ln ln .

A a b c e a c   

Vì

,,abc

nên ta chọn hàm như sau

Ax x bx

e a c

. Ta nhân thêm

vào mũ vì khi đó ta sẽ nhn

được kết quả đẹp hơn.

Vào w7

Ta được

Khi đó

2 2 2 3

3 .2 3, , 2 2 2

a c a b c S a b c



          

VD. Cho

 

2 1 ln 2 1 4

2 1 4

I a x b x C

      





. Tính

ab

A. – 2

B. – 3 C. 1 D. 2

Ta gán cn cho nguyên hàm:

 

ln5 ln4 ln5 ln4

2 1 4

a b b a b A

      





Vi

A 

Hong Văn Bnh

Đến đây, ta có thể chọn phương trình

ab

ĐÁ rồi giải h hoặc chọn tiếp mt cặp cn na thay

vào.

Ở đây xin phép dựa vào đáp án và chọn đáp án nào cho ra h số

,ab

đẹp.

Vy

1, 4ab  

. Vy

3ab  

Bài 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I. Lý thuyết

1. Tính din tích hình phẳng

Cho hàm số

 

y f x

liên tục không âm trên đoạn

 

;ab

. Khi đó din tịch của hình thang cong

gii hạn bởi

 

, 0, ,y f x y x a x b   

là

 

f x dx



Din tích

của hình phẳng

 

gii hạn bởi

 

, 0, ,y f x y x a x b   

là

 

S f x dx



Din tích

của hình phẳng

 

gii hạn bởi

   

, , ,y f x y g x x a x b   

là

   

S f x g x dx



Tính

   

f x g x

có các nghim

 

1 2 3

, , ,.... ;x x x a b

. Khi bài toán không cho cn thì cn chính là

hai nghim

và

2. Tính thể tích vt tròn xoay

Thể tích tròn xoay tạo bởi mặt phẳng tròn xoay gii hạn bởi đường

 

, 0, ,y f x y x a x b   

quay quanh trục

là

 

V f x dx







Thể tích tròn xoay tạo bởi mặt phẳng tròn xoay gii hạn bởi đường

   

, , ,y f x y g x x a x b   

quay quanh trục

là

   

V f x g x dx







3. Tnh quãng đường

Hong Văn Bnh

Cho phương trình vn tốc

 

V f t

quãng đường là nguyên hàm của vn tốc

 

S f t dt



4. Mt số ứng dụng khác

Tính din tích chỏm cầu có bán kính

và đường cao

S R h









Thể tích hình cầu do hình tròn

 

2 2 2

:C x y R

khi quay quanh trục

   

2 2 2 2

V R x dx R x dx







    



Thể tích hình elip

 



khi quay quanh trục

2 2 2 2 2

a y a y a b

V a dy a dy







   

    

   

   



I. Ví dụ

VD. Tính din tích hình phẳng gii hạn bởi đồ thị của

2yx

và

3yx

A. 2 B. 3

3 2 0





   







. Din tích cần tính bằng

x x dx  



VD. Tính din tích hình phẳng

gii hạn bởi

y x x

và

y x x  

S 

13S 

x x x x x







    







. Bấm

x x x dx



  



VD. Cho đồ thị

 

y f x

như hình vẽ sau đây. Din tích

của hình phẳng (phần gạch chéo) được

xác định bởi

 

S f x dx







   

S f x dx f x dx







Hong Văn Bnh

   

S f x dx f x dx







   

S f x dx f x dx







Din tích có giá trị dương nên

       

1 1 2 1

2 2 1 2

S f x dx f x dx f x dx f x dx



    

   

Chọn C.

VD. Din tích hình phẳng gii hạn bởi các đường thẳng

1, 0, 0, 2y x y x x    

bằng

C. 3

Bấm

x dx



VD. Din tích hình phẳng gii hạn bởi các đường thẳng

32y x x  

và

1yx

S 

799

300

S 

2S 

Phương trình hoành đ giao điểm

3 2 1 1, 3x x x x x      

Ta có

4 3d

S x x x   



. Chọn A.

VD. Din tích hình phẳng gii hạn bởi các đường

1yx

và

5yx

là

PTHĐGĐ:

1 5 3x x x     

Bấm



   



www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hong Văn Bnh

VD. Gọi

là din tích hình phẳng gii hạn bởi parabol

 

, tiếp tuyến của nó tại

 

1; 1A 

và

đường thẳng

2x 

. Tính din tích

1S 

S 

Phương trình parabol

yx

(vì đi qua

     

0.0 , 1; 1 , 1; 1  

)

Phương trình tiếp tuyển của

 

tại

là

21yx  

Vy din tích gii hạn

 

2 1 d 2 1 d

S x x x x x x         



VD. Cho hình phẳng gii hạn bởi các đường

ln , 0,y x x y x e  

quay xung quanh trục

tạo

thành khối tròn xoay có thể tích

 

2be





. Tìm

,ab

27, 5ab

26, 6ab

24, 5ab

27; 6ab

ĐK:

0x 

Phương trình hoành đ giao điểm

ln 0 1x x x  

 

2 2 3

ln 5 2

V x xdx e



  



suy ra

27, 5ab

VD. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng gii hạn bởi các đường

2,yx

,0y x y

quanh trục

được tính theo công thức nào sau đây?

 

2V x dx x dx



  



 

2V x dx







Hong Văn Bnh

2V xdx xdx



  



 

2V x dx x dx



  



Phương trình hoành đ giao điểm của

2 0 2

x x x



   









   



;

Vy ta có:

 

2V x dx x dx



  



VD. Gọi

 

là hình phẳng gii hạn bởi đồ thị hàm số

yx

đường thẳng

1x 

và trục hoành.

Tính thể tích

của khối tròn xoay thu được khi quay

 

quanh trục





V 





V 

Ta bấm:

VD. Gọi

là hình phẳng gii hạn bởi đồ thị hàm số





, trục

và đường thẳng

1x 

Tính thể tích

của khối tròn xoay thu được khi quay hình

quanh



Ta có phương trình hoành đ giao điểm:

  



Thể tích gii hạn:

d ln

4 2 3















. Chọn A.

VD. Gọi

 

là hình phẳng gii hạn bởi hai trục đồ thị, đường thẳng

1x 

và đồ thị hàm số

1yx

. Tính thể tích khối tròn xoay do

 

sinh ra khi quay quanh trục



Hong Văn Bnh

Bấm máy tính: . Chọn B

VD. Gọi

 

là hình phẳng gii hạn bởi đồ thị hàm số

2, 2, 1y x y x x     

. Tính thể tích

của vt thể tròn xoay khi quay hình phẳng

quanh trục hoành.

















Vì đồ thị

2yx  

nằm dưi

nên bị âm. Ta lấy đối xứng

lên

Phương trình hoành đ giao điểm:

2 2 0





    







Ta có:

 

1 d 2 d

V x x x x









    



. Chọn D.

VD. Mt đám vi trng tại ngày thứ

có số lượng là

 

. Biết rằng

 

4000

1 0,5





và lúc đầu

đám vi trng có

250000

con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu?

A. 258.959 con B. 253.584 con C. 257.167 con D. 264.334 con

Ta có số lượng vi trùng bằng số lượng ban đầu cng vi số lượng đã tăng trong 10 ngày được tính

như sau:

4000

250000 d

1 0,5





Chọn D.

VD. Trong mt đợt xả lũ, nhà máy thủy đin đã xã lũ trong 40 phút vi lưu lượng nưc tại thời

điểm

giây là

 

10 500 /v t t m s

. Hỏi sau khi xã lũ trên thì hồ thoát được mt lượng nưc là

bao nhiêu?

 

5.10 m

 

4.10 m

 

3.10 m

 

6.10 m

Hong Văn Bnh

Ta có lượng nưc thoát ra là:

 

2400

10 500 3.10tm



VD. Mt ô tô đang chuyển đng vi vn tốc

15 m/s

thì người lái đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô

tô chuyển đng chm dần vi vn tốc

   

5 15 /v t t m s  

. Trong đó

là khoảng thời gian tính

bằng giây. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn thì còn di chuyển được bao

nhiêu

22,5 m

45 m

2,25 m

4,5 m

Quãng đường là nguyên hàm của vn tốc. Ta có, tại thời điểm xe dừng hẳn thì vn tốc bằng 0, suy

3t 

. Vy quãng đường đi được là

 

5 15 22,5 mt dt  



VD. Mt mảnh vườn toán học có dạng hình ch nht, chiều dài là

16 m

chiều rng là

8 m

. Các

nhà toán học dung hai đường parabol, mỗi parabol có đnh là trung điểm của mt cạnh dài và đi

qua hai đầu mút của cạnh dài đối din. Phần mảnh vườn nằm ở miền trong được gii hạn bởi hai

parabol được trồng hoa hồng. Biết chi phí trồng hoa hồng là

45.000

/VND m

. Hỏi các nhà toán

học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh vườn đó?

3322000 VND

3476000 VND

2715000 VND

2159000 VND



Ta gán h trục tọa đ cho mảnh vườn như hình vẽ.

Ta cần phải xác định được phương trình hai đường parabol sau đó tnh din tích rồi mi tìm được

số tiền.

Cách viết phương trình parabol bằng máy tính cầm tay:

Ta s dụng chương trình thống kê w3 trong máy tính:

Hong Văn Bnh

Để bắt đầu s dụng ta ấn w3=

Ta viết phương trình của parabol úp trưc. Nhìn đồ thị ta thấy, parabol úp đi qua ba điểm

     

0;4 , 8;4 , 8; 4

Bấm máy tính w33 . Ta thấy có hai ct

nhp hoành đ ba

điểm parabol đi qua và

nhp tung đ tương ứng của ba điểm ở ct

. Ta nhp như sau:

. Nhp xong rồi ấn nút

Lưu ý: Phương trình parabol của ta thường là

y Ax Bx C  

, nhưng trong máy tnh thì ngược

lại

y Cx Bx A  

. Chúng ta sẽ hiểu theo máy tính.

Ấn q15

để tìm các h số

,,C B A

Chọn

3 C

Chọn

2 B

Chọn

1 A

Vy phương trình parabol úp là





Phương trình parabol nga có thể viết tương tự, tuy nhiên do hai đồ thị đối xứng nhau qua

Ox y x  

Đến đây ta áp dụng bài toán tích phân tích din tích gii hạn bởi hai đồ thị.

Hong Văn Bnh

Tìm giao điểm của hai parabol:

2 2 2

1 2 1 2

1 1 2

0 4 4 0 8 0 4 2

8 8 8

y y y y x x x x



              

Ta tính din tích na trên sau đó nhân 2 ta được din tích phần gii hạn của hai parabol

Sau đó ta nhân vi số tiền trồng hoa

Vy số tiền các nhà toán học phải trả là

2715000 VND

. Chọn C.

VD. Ông

có mt khu vườn gii hạn bởi mt đường parabol và

mt đường thẳng. Nếu đặt h trục tọa đ

Oxy

như hình vẽ thì

parabol có phương trình

yx

và đường thẳng

25y 

. Ông

dự

định dung mt mảnh vườn nhỏ được chia từ khi vườn bởi mt

đường thẳng đi qua

và điểm

trên parabol để trồng hoa. Hãy

giúp ông

xác định điểm

bằng cách tnh đ dài

để din

tích mảnh vườn nhỏ là

25OM 

15OM 

10OM 

3 10OM 

Gọi

là điểm có hoành đ

là hình chiểu của điểm

lên

. Suy ra phương trình

: tan .

OM y x ax



. Ta có

 

2 3 3

2 3 6

ax x a

ax x dx



   







Ta có

3 3 10

a OM    

VD. Người ta dựng mt cái lều vải

 

có dạng chóp lục giác cong đều như hình vẽ. Đáy là mt

hình lục giác có cạnh bằng 3m. Chiều cao

6SO m

vuông góc đáy. Các sợi dây

1 2 3 4 5 6

, , , , ,c c c c c c

nằm trên các đường hình parabol có trục đối xứng song song vi

. Giả s giao tuyến của

 

vi mt mặt phẳng

 

vuông góc vi đáy tại trung điểm

thì được lục giác có cạnh bằng 1 m.

Tính thể tích phần trong của lều

 

Hong Văn Bnh

 

135 3

 

96 3

 

135 3

 

135 3

Ta xét mt mặt phẳng đi qua

và

. Ta thấy

đi qua ba điểm

     

0;6 , 1;3 , 3;0A B C

c y x x   

. Rút

x y x y   

. Thể tích của lều:

6 3 7 1 135 3

4 2 4 8

V y dy



   







Hong Văn Bnh

VD. Mt chất điểm đang chuyển đng vi vn tốc

15 /v m s

thì tăng tốc vi gia tốc

 

4 /a t t t m s

. Tnh quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ

lúc bắt đầu tăng tốc.

70,25 m

68,25 m

67,25 m

69,75 m

   

v t a t dt t C   



mà

15 2 15

v C t    

Bấm .

VD. Cho hàm số

 

.y f x

Đồ thị hàm số

 

y f x

như hình bên. Đặt

   

2.h x f x x

Mnh đề nào dưi đây

đúng?

     

4 2 2h h h  

     

4 2 2h h h  

     

2 4 2hhh  

     

2 2 4h h h  

Ta có

       

' 2 ' ' 0 'h x f x x h x f x x     





Đường thẳng

yx

đi qua ba điểm

     

2; 2 ; 2;2 ; 4;4

trên đồ thị

Gọi

,SS

lần lượt là din tích phần bên trên và bên dưi của

đường thẳng

yx

         

0 ' 0 2 2 0 2 2S h x dx h h h h



         



         

0 ' 0 2 4 0 2 4S h x dx h h h h        



Mà

           

2 2 2 4 4 2S S h h h h h h        

Suy ra

     

2 4 2hhh  

Hong Văn Bnh

VD. Mt vt chuyển đng trong 3 giờ vi vn tốc

(km/h) phụ thuc

thời gian

(h) có đồ thị của vn tốc như hình bên. Trong khoảng thời

gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển đng, đồ thị có mt phần là đường

parabol có đnh là

 

2;9I

và trục đối xứng song song vi trục tung,

khoảng thời gian còn lại của đồ thị là mt đoạn thẳng song song vi trục

hoành. Tnh quãng đường

mà vt di chuyển được trong 3 giờ đó (kết

quả làm tròn đến hàng phần trăm).

 

23,25s km

 

21,58s km

 

15,50s km

 

13,83s km

Hong Văn Bnh

Phương trình parabol của chuyển đng là

y x x



  

Ta có

 

v 

phương trình đường thẳng của chuyển đng là

y 

Ta có quãng đường vt chuyển đng được tính theo

 

5 31

5 4 21,58 3

x x dx dx





   







Đọc thêm: công thức

Walliss

 

1 !!

cos sin

1 !!

. 2

!! 2

xdx xdx























l dùng

 

, chn dùng

 

!!n

đọc là

n Walliss

và được hiểu dựa vào

chn hay l.

VD.

0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5     

VD.

10!! 2.4.7.8.10 256

cos

11!! 1.3.5.7.9.11 693

xdx



  



VD.

9!! 63

sin .

10!! 2 512

xdx









Bấm Tải xuống để xem toàn bộ.

| 1/44

| | Tải xuống

Preview text:

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1. NGUYÊN HÀM I. Lý thuyết 1. Nguyên hàm f
 xdx  FxC 2. Tính chất -
 f xdx' f x và f xdx f xC - k. f
 xdx  k f
 xdx k  0 -  f
 x gxdx  f 
 xdx g  xdx 3. Bảng nguyên hàm
kdx  kx  C 
k  const  1   1   x  u x dx   C      1    u dx C  1  1
1 dx  ln x C 
1 dx  ln u C  x u x x
e dx  e  C  u u
e dx  e  C  x a u a x a dx   C  u a dx   C  ln a ln a
cos xdx  sin x  C 
cos udx  sin u  C 
sin xdx   cos x  C 
sin udx   cos u  C  1 1
dx  tan x  C 
dx  tan u  C  2 cos x 2 cos u 1 1
dx   cot x  C 
dx   cot u  C  2 sin x 2 sin u 2 2 2 a x x a  x 1 x 2 2   a  x dx  arcsin   C  arcsin C  2 2 2 a 2  a a x dx 1 a  x  dx 1 x ln  C   arctan  C  2 2 a  x 2a a  x 2 2 a  x a a x a dx 2 2 2 2 2 2 x  a dx  x  a  ln x 
x  a  C  2
 ln x  x  k  C  2 2 2 x  k Hoàng Văn Bình
4. Các phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số Nếu f
 xdx  F xC thì f u
  x.u'xdx  F 
uxC
Đặt t  u  x  dt  u ' x dx . Khi đó f
 tdt  FtC  F uxC  Cách đặt biến:
Dạng 1: Đặt biến thường  f
 axbdx đặt t  axb  f
 tan xdx đặt t  tan x f  x   f
 cot xdx đặt t  cot x  dx 
đặt t  x x f ln x  dx 
đặt t  ln x f  n 1 x    .xdxđặt n 1 t x   x  f   xe x   e dx đặt x t e f
 sin xcosxdx đặt t sinx  f
 cosxsin xdx đặt t cosx
Dạng 2: Đặt lượng giác:   2 2 a  x   1 x  a tant     2 2  
x  a cot t a x  1  2 2 a  x 2 2  a  x 
x  asin t   1   
x  a cost 2 2  a  x  a 2 2  x  a x     sin t   1   a   2 2 x   x  a  cos t
Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào f  x .
b. Phương pháp nguyên hàm từng phần Hoàng Văn Bình
Cho hai hàm số u  u  x và v  v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn  ;
a b thì khi đó ta có
udv  uv  vdu  
Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ”
c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ dx 1 - Nguyên hàm dạng:
 ln ax  b  C  axb a dx 1 x  x - Nguyên hàm dạng: 1  ln  C  với   0 2
ax  bx  c
a  x  x x  x 1 2  2 P  x -
Nguyên hàm dạng:   dx G x
 Nếu Qx là tích các nghiệm đơn Qx  x  x x  x ... x  x thì ta tách 1   2   n  P  x  A A A  1 2        dx
G  x dx ... n x  x x  x x  x  1 2 n   Nếu n
Q  x là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như Q x   x  x x  x x  x thì ta 1   2   3  tách P  x  A A B B B B  1 2 1 2 n 1  n            
G  x dx
 x  x x  x x  x 
x  x  ... dx 2
x  x n 1 n   1 2 3 x x 3 3  3  
 Nếu Qx là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử  P  x  A A Bx  C 
x  x  x  x  2
x  px  q 2
,   p  4q  0 thì ta tách 1 2 dx      d  x 1 2 G  x 2 x  x x  x
x  px  q  1 2 
d. Dạng nguyên hàm vô tỉ
x  a sin t -
Nguyên hàm dạng R  2 2
x, a  x  đặt x  acost -
Nguyên hàm dạng R  2 2
x, a  x  đặt x  a tant a -
Nguyên hàm dạng R  2 2
x, x  a  đặt x  cost  a  x  -
Nguyên hàm dạng R  x,  
 đặt x  acos2t a  x    ax  b  ax  b -
Nguyên hàm dạng R  x, n    đặt n t  cx  d   cx  d Hoàng Văn Bình 1 1 -
Nguyên hàm dạng R    đặt t
ax  bn 2
 x   x  ax  b
e. Dạng nguyên hàm lượng giác -
Nguyên hàm dạng sinn .cos m x x dx  , m n     ,
m n chẵn thì dùng công thức hạ bậc
 m lẻ thì đặt u  sin x , n lẻ thì đặt u  cos x
f. Một số dạng tích phân đặc biệt a a -
Cho hàm số f  x liên tục là hàm chẵn trên  ; a a thì ta có f
 xdx  2 f  xdx . a 0 a -
Cho hàm số f  x liên tục là hàm lẻ trên  ; a a thì ta có f
 xdx  0. a  f x a -
Cho hàm số f  x liên tục là hàm chẵn trên    ; thì ta có dx  f x dx   . x   a 1   0      2 2 -
Cho hàm số f  x liên tục trên 0;   thì ta có f
 sin xdx  f
 cosxdx.  2  0 0
II. Sử dụng máy tính cầm tay d Bấm máy tính như sau: DA DB x X dx 1. Tích phân hữu tỉ P  x  Dạng 
trong đó bậc của P  x  Q x . Ta thực hiện phép chia đa thức. Áp dụng phương Q  x pháp r100
Ta giả sử Q x   x  x x  x x  x
(nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự): 1   2   3  P  x A B C    
trong đó R x là biểu thức dư của phép chia. Q  x R  x x  x x  x x  x 1 2 3  d  P  x  A    dx     x  x x  x  x  x 2   3   1   d  P  x  Tìm B    . dx     x  x x  x  x  x 1   3   2  d  P  x  C     dx     x  x x  x  x  x 1   2   3 Hoàng Văn Bình d  P x A B C  Tìm R  x         sử dụng cách tách 100
dx   x  x x  x x  x x  x x  x
x  x  x  100 1   2   3  1 2 3    ax b A B
Dạng f  x  
cần tách đưa về dạng  x  x x  x x  x x  x 1   2  1 2 aX  b
Cách 1. Bấm: d X x X x   1   2  x X dx
r X  x  A 1
r X  x  B 2 aX  b Cách 2. Bấm:  . X  x X  x X  x 1   2   1 
r X  x  0,0000001 A 1
r X  x  0,0000001 B 2 
d  ax  b  A    dx x  x x  x   2  1
Cách 3: Bấm  d  axb B     dx x  x x  x   1  2
Cả ba cách trên nếu tìm nguyên hàm đều cho dạng: Aln x  x  B ln x  x  C . 1 2 x  2x  6
VD. Tách F  x 2  3 2
x  7x 14x  thành các phân thức tối giản 8   2 2 x  2x  6 x  2x  6 A B C F x      3 2
x  7x 14x  8 x  
1  x  2 x  4 x 1 x  2 x  3 2 X  2X  6
Bấm: d X  1X 2X 4   xX dx
r X 1 hệ số A  3
r X  2 hệ số B  7  Hoàng Văn Bình
r X  4 hệ số C  5 x  2x  6 3 7 5
Vậy F  x 2     3 2
x  7x 14x  8 x 1 x  2 x  3 dx VD. Tính  3 1 x 1 2 3t Đặt 3 2 t 
x 1  3t dt  dx  dt 1t 2 3t
Thực hiện phép chia bằng máy tính: t 1 2 3t
Ta nhẩm lấy hệ số cao nhất của tử chia cho mẫu ta được  3t t
Nhập màn hình: r X 100 ta được 300
Ta để ý vì bậc tử chia bậc mẫu ra bậc nhất nên ta tách
được hệ số tự do là 3  . 101 Sửa màn hình: 3 3 Ta được  101 t 1 2 2 2 3t 3 3t 3t Vậy  3t  3  
3t  3ln 1 t  C  t 1 1 t t 1 2 Hoàng Văn Bình 3  x  2 3 1 3 3 
 3 x 1  3ln 1 x 1  C 2 1 2 sin x VD. Tính nguyên hàm dx  3 4 2 sin .
x cos x  cos x 1 2 sin x
1 2 sin x cos x
1 2 sin x cos x 1 Ta biến đổi: dx  dx  . dx    3 4 3 4 4 2 sin .
x cos x  cos x
2 sin x cos x  cos x 2 tan x 1 cos x 1  2 tan x 2 2 1 tan x 1 2 tan cos x x  . dx  d tan x   2   2 tan x 1 cos x 2 tan x 1
Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu: 2 X  2X 1
Đặt X  tan x  2 X 1 2 X 1
Ta chia bậc cao nhất của tử cho mẫu ta được  X 2X 2
Nhập màn hình: r X 100 1
Vì thương của phép chia là bậc 1, mà hạng tử chứa bậc 1 đã là
X nên tiếp theo ta sẽ được 2 150 3  201 4
Sửa màn hình: r X 100 1 1 1 Tách  . 804 4 2 X 1 1 3 1 1 1 3 1 1
Vậy ta được thương là X   .  tan x   . 2 4 4 2 X 1 2 4 4 2 tan x 1  1 3 1 1  1 3 1 Suy ra tan x   . d   tan x 2
 tan x  tan x  ln 2 tan x 1  C  2 4 4 2 tan x 1  4 4 8 Ta thực hiện Hoàng Văn Bình   ax b a K Tách phân thức   cx  d c cx  d
 aX  b a  Nhập máy tính:  
cX  d  CALC X  10 K
 cX  d c  ax  b  a K  ax Khi đó: dx   dx 
 Kc ln cx  d    cx  d
 c cx  d  c x 
VD. Tách F  x 2 1  2x1 2x 1 K  1 2x 1 2x 1  2x 1  Bấm 1 2x    
1 r x 10  K  2  2x 1  x 
Vậy F  x 2 1 2  1 2x 1 2x 1  Tách phân thức dạng: P  x  A A B B B B  1 2 1 2 n 1  n            
G  x dx
 x  x x  x x  x 
x  x  ... dx 2
x  x n 1 n   1 2 3 x x 3 3  3   x
VD. Phân tích hàm số F  x  
thành các phân thức tối giản
x   x  2 1 1 x A B C Ta có    x   1  x  2 1 x  x  x  2 1 1 1 Ta sẽ tìm được ,
A C dễ hơn tìm B x
Bấm: d x 21x 1 xX dx   1
Tìm A r X  1 ta được A  4 x Để tìm C ta bấm x 1 2  2 x   1  x   1 r 1 X  1
 ,00001 ta được C  2 Hoàng Văn Bình x
Để tìm B ta bấm: x 1 2  2 x   1  x   1 r 1 X  1  ,00001 ta được sau đó trừ đi 2 1 đem chia cho x 1 xấp xỉ vậy 4 1 B  4 x 1 1 1
Vậy F  x     x   1  x  2 1 4 x   1 4 x   1 2 x  2 1
Bài này khá phức tạp vì tìm B không r được như bình thường. Các bạn chú ý theo dõi kỹ chỗ
tìm B : khi r được kết quả nào thì trừ cho phần nguyên của số đó. Rồi đem chia cho mẫu của
phân thức ta cần tìm hệ số. 1
VD. Tách F  x  3
x  thành các phân thức tối giản 1   1 A Bx  C F x    3 2 x 1 x 1 x  x 1 1 1
Tìm hệ số A bấm  d 3 3 x 1   x 1 dx
Tìm Bx  C ta có:
1  2x  x  1Bx Cx  1 1 1 Bx  C 1 3      2
x  x 1  Bx  C x 1  1 3 2 3  x 1 3 x      1 x  x 1 x 1 3 1 1  2 x  x   1 3  Bx  C 
. Đến đây để tìm B,C ta vào hệ w2 nhập hàm bên r x  i x 1 1  2
Vậy Bx  C  x  3 3 Hoàng Văn Bình 1  2 x  1 1
Vậy F  x 3 3    3 2 x 1 3(x 1) x  x 1 III. Ví dụ
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x 2
 x  2x 1 1 1 A. F  x 3
 x  2x  x  C B. F  x 3 2
 x  x  x  C 3 3
C. F  x  2x  2  C 1 D. F  x 3 2
 x  2x  x  C 3 x Ta có: f
 xdx  x  x  3 2 2 2 2
1 dx  x dx  2
 xdx  1dx 
 x  x  C    . Chọn B. 3 1 1
VD. Nguyên hàm của hàm số f  x   là 2 x x A. 2
ln x  ln x  C 1 1 1
B. ln x   C
C. ln x   C
D. ln x   C x x x  1 1  1 1 1 Ta có: f
 xdx   dx  dx  dx  ln x   C     2 2  x x  x x x
VD. Nguyên hàm của hàm số f  x 1  5x là 1 1    1  x   C A. x C ln 5x 1  B. ln 5 1 C C. ln 5x 1  D. ln 5 1 C 5 5 1 1 Ta có: dx 
ln ax  b  C  axb a 1 1 Áp dụng:
dx  ln 5x 1  C  5x1 5
VD. Tìm nguyên hàm của f  x    x4 3 là:   x5 3   x5 3 A.  C B.  C 5 5 C.   5 4 3 x  C D.    5 4 3 x  C  1   u Ta có: u dx   C   1 Hoàng Văn Bình   x
Áp dụng:   x  5 4 3 3 dx   C 5 1  3 
VD. Biết F  x là một nguyên hàm của hàm số f  x  F  0.   Tính 2 x  3x  và thỏa mãn 2  2  F 3. A. F 3  ln 2 B. F 3  2ln 2 C. F 3  2  ln 2
D. F 3  ln 2 1 1 A B
Ta có: f  x     2 x  3x  2 x   1  x  2 x 1 x  2 A B
A Bx 2A B 1 A  B  0 A  1 
Đồng nhất thức ta được        x 1 x  2 x   1  x  2 x   1  x  2  2
 A  B  1 B  1 1 1 Ta có  dx 
dx   ln x 1  ln x  2  C   x 1 x  2  3  f  0  C  0  
. Vậy f 3   ln 2.  2 
Qua ví dụ trên ta lưu ý: 1 1 x  b
Có thể nhớ nhanh công thức:      dx  ln
 C hay tổng quát hơn cho trường x a x b b  a x  a 1 1 ax  b
hợp      dx  ln  C ax b cx d ad  bc cx  d
VD. Xét I  x  x   5 3 4 4 3 d . x Bằng cách đặt 4
u  4x  3 . Khẳng định nào sau đâu đúng? 1 1 1  A. 5 I  u du  B. 5 I  u du  C. 5 I  u du  D. 5 I u du  4 12 16 du 1 Đặt 4 u  4x  3 3 3
 du 16x dx  x dx 
thay vào I  x  x   5 3 4 4 3 d . x ta được 5 u d . u  16 16
VD. Giả sử     2    x F x ax
bx c e là một nguyên hàm của hàm số   2 x
f x  x e . Tính S  a  b  c A. S 1 B. S  0 C. S  5 D. S  2
Ta có F  x   ax  b x x e  e  2
ax  bx  c x 2
 e ax   a b x 2 ' 2 2
x  b  c  e x   a 1 a 1  
2a  b  0  b   2    b  c  0 c  2   Hoàng Văn Bình
Hoặc một cách khác: dựa vào bản chất của nguyên hàm từng phần mà ta có:
Tạm ký hiệu như sau: u ',u ',u '',... là đạo hàm lần 1, 2, 3 …. Của u  x . v ,v ,v ,... là nguyên hàm 1 2 3
lần 1,2,3… của v  x .
Ta có được: uv  u 'v  u ' v ... ... 1 2 3 Áp dụng: 2
u  x  u '  2 , x u '  2 ; x x    , x  , x v e v e v e v  e 1 2 3 2 x x x x
x e  x e  e  e  2 . 2 . 2
x  2x  2 vậy ta cũng đã xác định được a,b,c nhanh chóng.
Vậy S  a b  c 1 2  2 1 Bấm máy tính như sau: y Tách: 2
9802  10000  200  2  x  2x  2  F  x 1 2  2 1. Chọn A.
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x  cos 2x 1 1  A. sin 2x  C B. sin 2x  C 2 2 C. 2sin 2x  C D. 2  sin 2x C dt dt 1
Đặt t  2x  dt  2dx  dx 
thay vào cos xdx  cos t  sin t  C   2 2 2 1
Thay ngược lại ta được sin 2x  C 2 1 1 Ta có công thức nhanh: cos
 axbdx  sinaxbC ; sin
 axbdx   sinaxbC a a
VD. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn     cos  sin  x F x a x b
x e là nguyên hàm của hàm số   x
f x  e cos x . Tính P  a  b A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
Đây là dạng nguyên hàm lặp lại, vì khi ta nguyên hàm hai lần sẽ quay lại đề bài ban đầu. u   cos x u
 '  sin x,u '   cos x Đặt   
(ở đây có một quy ước nhỏ là v , v là nguyên hàm) x x  1 2 dv  e dx v  e dx  1 Hoàng Văn Bình   Ta có x x x x I  x e  x e  e
xdx  I  e   x  x x 1 1 cos . sin . cos 2 cos sin  I  e cos x  sin x    2 2  1
Vậy a  b 
 S  a  b 1 2
Ta có công thức giải nhanh: ax e ax e cos bxdx 
a cos bx  b sin bx  C  2 2   a  b ax e ax e sin bxdx 
a sin bx  b cos bx  C  2 2   a  b VD. Biết 2x 2x 2x
xe dx  axe  be  C  , a b    .Tính ab 1  1 1  1 A. ab  B. ab  C. ab  D. ab  4 4 8 8 du  dx u   x  Đặt    1 2 x 2 x dv  e dx v  e  2  1 a  x x  2 1 x 1 x x 1 Ta có: 2 2 2 2 x e  e dx  e  e  C     ab   2 2 2 4 1  8 b    4 Bấm máy tính như sau: 199 200 1 2x 1 x 1 1  Tách:       . a b  4 4 4 4 2 4 8 1 f  x
VD. Cho F  x 
là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số 3 3x x
f ' xln x . ln x 1 ln x 1 A.   C B.   C 3 2 x 5x 3 2 x 5x ln x 1 ln x 1 C.   C D.    C 3 2 x 3x 3 2 x 5x Hoàng Văn Bình F  x f  x 1 1 '    f x  4   3 x x x  1 u   ln x  du  dx
Xét nguyên hàm f ' xln xdx  đặt    x dv  f ' 
xdx v  f  x f
 x xdx  x f x f x ln 1 ' ln ln .  dx    C  3 3 x x 3x
VD. Cho F  x là một nguyên hàm của hàm số   x
f x  e  2x thỏa mãn F   3 0 
. Tìm F  x . 2 x 1 x 3 A. 2
F (x)  e  x  B. 2
F (x)  2e  x  2 2 x 1 x 5 C. 2
F (x)  e  x  D. 2
F (x)  e  x  2 2 Ta có:  x e  x x 2 2
dx  e  2x  C x 1 F 0 3 3 1 0 2
  e  0  C   C  . Vậy 2
F (x)  e  x  2 2 2 2
VD. Cho hàm số y  f  x thỏa mãn '      1 x f x x
e và        x f x dx
ax b e  C với a,b  . Tính a  b A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Ta có       x F x
ax b e  C là nguyên hàm của f  x và '      1 x f x x e
Đặt  F '  x  f ' x '
      1 x x f x dx x
e dx  xe  C  f  x    x       1 x f x dx xe dx x e  C
Vậy a  1,b  1
  a  b  0 3 2x 1
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số  bằng x  dx 3 x   1 1 1 1 1 A. 2 ln x   C B. 2 ln x   C C. ln x   C D. ln x   C x x 2 x 2 x Hoàng Văn Bình 3 2 2x 1 A Bx
Sử dụng phương pháp tách   x  3 x   3 1 x x 1 r X  0,000001 hệ số A  1  r X 1,0000001 hệ số B  3 3 2 2x 1 1  3x Suy ra:   x  3 x   3 1 x x 1     d  3 3 2 x x x   1 2 1 1 3 1 Khi đó:           x  dx dx dx 3 x   3 3 1  x x 1 x x 1 3 x 1 1 3 2
 ln x  ln x 1  C  ln
 C  ln x   C x x Bấm máy trực tiếp: qy cos x
VD. Tìm nguyên hàm f  x của hàm số f ' x  2sin x2 sin x 1 1  sin x A.      C B. C C C 2  sin x2 2  C. cos x 2  D. sin x 2  sin x cos x
d 2  sin x 1 Ta có:      dx C  . Chọn C 2  sin x2
2 sin x2 2sin x 2 x 1 b
VD. Giả sử một nguyên hàm của hàm số f  x   có dạng 3 a 1 x  . 1 x x 1 x 2 3 1 x Tính a  b A. 2  8 8 B. C. 2 D. 3 3 Hoàng Văn Bình 2 x 1 Ta có f
 xdx  dx  dx   1 x x 1 x 2 3 2 x Tính dx  đặt 3 2
t  1 x  2tdt  3  x dx 3 1 x 2 x 2 2 2  2  3 dx  
dt   t  C  1 x  A    1 3  3 3 3 3 1 x 1 1 2  Tính dx  2 d 1 x 
 C  B  2    2 2         2 1 1 1  x x x x 8
Vậy a  b   3
VD. Gọi F  x là một nguyên hàm của hàm số   2x f x  , thỏa mãn F   1 0  . Tính giá trị biểu ln 2
thức T  F 0  F  
1  F 2 ... F 2017 2017 2 1 T  2017 2 1 2018 2 1 A. T  B. 2017.2018 2 1009. C. T  D. T  ln 2 ln 2 ln 2 x
Ta có F  x x 2  2 dx   C  ln 2 1 2x Mà F 0 
 C  0  F x  ln 2 ln 2  
T  F    F    F     F   0 1 2017 2018 2018 2 2 2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 ... 2017    ...   ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1  ln 2 x
Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được F  x 2  ln2 Bấm: qi ta được
bấm gán vào A, lấy A trừ đi đáp án đã rút gọn . Chọn D. Hoàng Văn Bình Bài 2. TÍCH PHÂN I. Lý thuyết 1. Tích phân b f
 xdx  F bF a a 2. Tính chất b b b
Tích phân của tổng thì bằng tổng các tích phân:  f
 x gxdx  f 
 xdx g  xdx a a a b b
Có thể đưa hằng số ra ngoài tích phân: kf
 xdx  k f  xdx a a a
Tích phân tại một điểm bằng 0: f
 xdx  0 a b c b
Chèn điểm c  ;
a b vào cận ta có: f
 xdx  f
 xdx f  xdx a a c b b b
Tính bất biến của tích phân: f
 xdx  f
 tdt  f  yd ... y a a a
II. Sử dụng máy tính cầm tay
Sử dụng chức năng y để tính tích phân. III. Ví dụ 1. Tích phân dạng hàm 4
VD. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên 1;4 và thỏa mãn f   1  1, f '
 xdx  2. Giá trị f 4 là 1 A. 2 B. 3 C. 4 D. 1 4 4 Ta có: f '
 xdx  f x  f 4 f  1  2 f 4  3. 1 1 9
VD. Cho hàm số f  x liên tục trên và F  x là nguyên hàm của f  x , biết f
 xdx  9 và 0
F 0  3. Tính F 9 Hoàng Văn Bình A. – 6 B. – 12 C. 12 D. 6 b Ta có f
 xdx  F bF a từ đó ta có thể tính được một yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại. a 9 f
 xdx 9  F 9F 0  F 9 93 6 . Chọn D. 0 4
VD. Cho hàm số f  x liên tục trên  1
 ;4, f 4  2017, f '
 xdx  2016. Tính f  1 1  A. f   1  3 B. f   1  1 C. f   1  1  D. f   1  2 4 Ta có: f '
 xdx  f 4 f  1  2017 f  1  2016  f  1 1. Chọn B. 1  2
VD. Cho hàm số f  x liên tục trên  1
 ;2 và F x là nguyên hàm của f x , biết f
 xdx 1 và 1  F   1  1  . Tính F 2 A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 Chọn A. 5 2
VD. Cho hàm số f  x thỏa mãn f
 xdx 10. Tính I  24 f  x d  x  2 5 A. I  32 B. I  34 C. I  36 D. I  40 2 2 2 2 5
Từ I  2  4 f  x d
 x  2dx  4 f  
 x  2x 4 f  x  6   40  34 5 5 5 5 2 Hoặc b K Mẹo: f  xdx K
  f x  ba a 5 10
Áp dụng: f  x dx  10  f  x   3 2 2 2   I    f  x 10 2 4 d  x  2  4.  34     3  5 5 10 6 2 10
VD. Cho hàm số f  x thỏa mãn f
 xdx  7 và f
 xdx  3. Tính I  f
 xdx f  xdx 0 2 0 6 Hoàng Văn Bình A. I 10 B. I  4 C. I  7 D. I  4  b c b
Áp dụng tính chất f
 xdx  f
 xdx f  xdx a a c Ta có: 10 2 6 10 2 10 2 10 f
 xdx  f
 xdx f
 xdx f
 xdx  7  f
 xdx 3 f
 xdx  f
 xdx  f
 xdx  4 0 0 2 6 0 6 0 6 2 4 4 VD. Cho
f  x dx  1, f t  dt  4    . Tính I  f  ydy. 2  2 2 A. – 5 B. – 3 C. 3 D. 5 4 2  4 2 4 f
 ydy  f
 ydy  f
 ydy   f
 xdx  f
 tdt  14  5 2  2 2 2  2 2 x
VD. Tính F '0 của hàm số F 0  cos tdt  x  0. 0 A. 0 B. – 2 C. 2 D. 2
Đặt y  t  2 ydy  dt t   0 y  0 Đổi cận tích phân:    2 t   x y  x 2 x x
Ta được: F  x  cos tdt  2 y cos ydy   0 0 u   2y du  2dy Đặt   
dv  cos ydy v  sin y x x x x
Ta có: 2y sin y  2 sin ydy  2 y sin y  2cos y
 2xsin x  2cos x  2  F  x 0 0 0 0
Ta có f ' x  2x cos x  f 0  0 4
VD. Cho hàm số f  x liên tục trên và thỏa mãn f
 xdx  2. Khẳng đinh nào sau đây sai? 2 2 3 2 6 1 A. f
 2xdx 1 B. f  x 1  2 C. f
 2xdx  2 D. f
 x2dx 1 2 1  3  1 0 Hoàng Văn Bình 4 2 1 Ta có: f
 xdx  2 f x   4  2 3 2  Bấm: Đáp án A. Đáp án B Đáp án D
Chọn C vì ở câu A ta đã loại được C. 2
VD. Cho f  x liên tục trên 0;2 thỏa mãn f  x  2 f 2  x  2 .
x Tính f  xd . x  0 4 2 4 A. B. C. D. 2 3 3 3 Cách 1: 2 2 2 2 2 4
Từ f  x  2 f 2  x  2x  f
 xdx2 f
 2 xdx  2 d x x  4 
 3 f xdx  4  f xdx    3 0 0 0 0 0 Cách 2:
Chọn x 1 thay vào f  x  2 f 2  x  2x  f   1  2 f   1  2 2 2 2
 f     f   2   f   2 4 x  x   f x 4 3 1 2 1 1 d d dx     3 3 3 3 0 0 0 1 f  x 1 VD. Cho dx  4 
trong đó y  f  x là hàm số chẵn trên  1  ;  1 . Khi đó f
 xdx bằng 1 2x 1  1  A. 2 B. 16 C. 4 D. 8
Vì y  f  x là hàm số chẵn nên ta chọn   2
f x  x . Bấm máy như sau: Hoàng Văn Bình 1
Ta thấy tích phân sau gấp đôi tích phân trước, suy ra f
 xdx  4.2  8 1  5 5
VD. Cho f  x là hàm số chẵn, liên tục trên và 1   2 f 
xdx 15  . Tính I  f  xdx 0 5  15 A. 10 B. 5 C. 30 D. 2 5 5 5 5 5 Ta có: 1   2 f 
xdx  1 dx  2 f  
 xdx 15 f
 x dx  5 f
 x dx  5.2 10 0 0 0 0 5  Bấm máy tính:
VD. Cho hàm số y  f  x liên tục và nhận giá trị dương trên 0; thỏa mãn f   1  1,
f  x  f ' x 3x 1 , với mọi x  0. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 4  f 5  5
B. 2  f 5  3
C. 3  f 5  4
D. 1  f 5  2 1 f ' x 1 f ' x
Từ f  x  f ' x   3x 1       x  f  x dx x 
f  x dx 3 1 3 1
d  f  x 2 3x 1 2 2  C     
3x 1  C  ln f  x 
3x 1  C  f  x 3  e f x 3 3 2 4  .4 4  Ta có f   1  1  C   f 5 3 3  e  3,794 3 Chọn C. Cách khác: f ' x 5 1 f ' x 5 1 4    dx  dx  dx  dx     f x 3x 1 f x 3x 1 3 1   1 Hoàng Văn Bình
5 d  f  x 4     f x  5 f 5 4 4 ln  ln
  f 5  e f x 3 f 1 3 1         3 1 1 1
VD. Cho hàm số f  x thỏa mãn x
  f 'x2dx  f  1. Tính I  f  xdx 0 0 A. I  0 B. I  1  C. I  1 D. I  2 1 1 1 1 Từ x
  f 'x2dx  f  1  .xf ' 
xdx  2 d x x  f    1  . x f ' 
xdx  f   1 1 0 0 0 0 1 Xét .
x f ' x dx  0 1 1 u   x d   u  dx  Đặt           x x v   f 
x xf x
f  x dx dv f ' d 0 0 1 1  f   1 
f  xdx  f   1 1 
f  xdx  1    . Chọn B 0 0 1 1
VD. Cho hàm số y  f  x thỏa mãn x  
1 f ' xdx  10 và 2 f  
1  f 0  2 . Tính I  f  xdx 0 0 A. I  12  B. I  8 C. I  12 D. I  8  1 1 u   x 1  du  dx  Đặt          v  f 
x x v  f  x x  1 f  x
f  x dx 10 d ' d 0 0 1 1  2 f  
1  f 0  f  xdx 10  f  xdx  8    0 0
2. Tích phân bình thường
Sau khi tìm nguyên hàm bằng các phương pháp. Ta áp dụng công thức của tích phân để tính giá trị tích phân. Bấm máy trực tiếp y.
3. Tích phân chống máy tính cầm tay
Đây là một dạng bài rất hay, tuy nhiên khả năng ra các bài toán về bản chất tích phân vẫn là dạng
bài được ra nhiều hơn. Các cách thường áp dụng cho tích phân chống máy tính cầm tay: giải hệ
phương trình bậc nhất, Table, mũ hóa,…. Hoàng Văn Bình
Về nguyên tắc cơ bản: cần lưu trước tích phân vào biến nhớ. Thường thì các ẩn là số nguyên hoặc hữu tỉ. 1 4ln x 1 VD. Cho 2
dx  a ln 2  b ln 2 a,b  
 . Tính 4a .b x 2 A. 3 B. 9 C. 7 D. 5 1 4ln x 1 Gán dx  A  x 2 2
a ln 2  bln 3  A
Giải hệ phương trình 
với K là các đáp án.
4a  b  K
Lần lượt thử với các đáp án, vì đề bài nói a,b  nên máy tính báo số nguyên mới nhận. Với K  9 ta được
Vậy a  2,b  1  4a  b  9.  4 cos x 1 VD. Cho dx  a  ln b 
0  a 1,1 b  3, , a b   Tính tích . ab sin x  cos x 4 0 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 6 8
Gán tích phân vào A  1  4 A ln b cos x 1 Từ 4 dx  a  ln b  a  
(rút a theo b ) sin x  cos x 4  0 Hoàng Văn Bình 1 A  ln x Vào w7 Coi hàm của ta là 4 y    
, do 1 b 3 nên ta chọn START 1 END 3 STEP 0,25 Ta thấy tại 2 1 1 1
Ta được x  2, y  0,125  hay b  2, a   ab  . 8 8 4 4 dx VD. Biết
 a ln 2  bln 3 c ln 5 a,b,c . 
Tính S  a  b  c . 2   x  x 3 A. 6 B. – 2 C. 2 D. 0 4 dx Gán  A  . Khi đó
 ln 2  ln 3 ln 5  ln 2a  ln 3b  ln 5c A a b c 2 x  x 3 Sử dụng tính chất ln a   ln a a e
e ta có: ln A  ln 2a3b5c  A 
 2a3b5c e e Bấm: 4 16 2 tách 4 1  5 2 .3 .5  
(Sử dụng chức năng FACT) 15 3.5
Vậy a  4,b  c  1
  S  a  b  c  2 5 2 x  x 1 b VD. Biết dx  a  ln 
với a, b là các số nguyên. Tính a  2b x 1 2 3 A. – 2 B. 5 C. 2 D. 10 Gán tích phân vào A Hoàng Văn Bình b b  b
Ta có: A  a  ln
 A  a  ln A a  e   2 Aa e  b 2 2 2
Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP 1
Vậy a  8,b  3  a  2b  2. Chọn C. e ln x VD. Biết
dx  a e  b 
với a,b  . Tính P  . a b x 1 A. P  4 B. P  8  C. P  4  D. P  8
Lưu tích phân vào A
Ta có A  a e  b  A  a e  b Sử dụng w7 nhập hàm số START – 9, END 9, STEP 1 Vậy a  2
 ;b  4  P  . a b  8  . Chọn B 5 3 x  2
VD. Cho tích phân: I 
dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5  d ln 7 a, , b , c d  . 
Tìm a,b, c, d. 4 2   x  5x  4 4 Hoàng Văn Bình
(bài này sử dụng trên máy tính VINACAL vì máy tính casio không xử lý được)
Lưu tích phân vào A Ta có A
2a3b5c7d e 
Ở đây ta không thể tách được về dạng tích các thừa số nguyên tố. (vì điều kiện cho hữu tỉ nên số mũ của ta không nguyên)
Ta sử dụng phương pháp w7 nhập hàm số   AX F X  e  X (vì  , a , b , c d  nên ta nhân cho
số nào đó sẽ làm cho các hệ số có thể phân tích được ra thừa số nguyên tố) 4287 4287 250047 3 .7
Tại X  6, F  X  6 3   6    13 40960 40960 40960 2 .5 1  3 1  1  a  , b  1, c  , d  . 6 6 2 x  22017 2
VD. Tính tích phân I  dx  2019 x 1 2018 2018 3  2 2018 2018 3  2 2017 2018 3 2 2021 2021 3  2 A. B. C.  D. 2018 4036 4034 2017 4040
Mẹo: Bấm máy số mũ to như vậy máy sẽ không xử lý được ta sẽ thu gọn biểu thức lại. bài toán x  217 2
của ta thu lại được I  dx  19 x 1 18 18 3  2 18 18 3  2 17 18 3 2 21 21 3  2 A. B. C.  D. 18 36 34 17 40 Bấm tích phân Bấm 4 đáp án Hoàng Văn Bình Chọn B. 4
VD. Cho I  x 1 2xdx 
và u  2x 1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? 0 3 1 3 1 A. 2 I  x  2 x   1dx B. 2 I  u  2 u   1du 2 2 1 1 5 3 3 3 1  u u  C. I     D. 2 I  u  2 u   1du 2  5 3  1 1 2 u 1 Ta có 2 u 
2x 1  u  2x 1  x   udu  dx 2
x  0  u 1
Đổi cận: x  4 u  3 4 3 2 3 u 1 1
I  x 1 2xdx  udu   2u      2 1 u du 2 2 0 1 1 4
Bấm máy: đầu tiên ta bấm I  x 1 2xdx  0
Sau đó bấm 4 đáp án, thấy đán án nào có cùng kết quả là đúng
Loại câu A, vì chưa đổi biến. Đáp án B đúng. 5 2 x  x 1 b VD. Biết dx  a  ln 
với a, b là các số nguyên. Tính S  a  2b x 1 2 3 Hoàng Văn Bình A. S  2  B. S  5 C. S  2 D. S 10 5 2 5 5 x  x 1  1   1  3 Ta biến đổi 2 dx  x  dx  x  ln x 1  8  ln      x 1  x 1   2  2 3 3 3 5 2 x  x 1 b b Bấm máy: Gán
dx  A  A  a  ln
 a  A ln  x1 2 2 3 w7
ta được b  3, a  8
Vậy a  2b  8 2.3  2  2  1
VD. Kết quả tích phân 2x 1 sin xdx        1  
 ,ab  . Khẳng định nào sau đây sai?  a b  0
A. a  2b  8 B. a b  5
C. 2a 3b  2 D. a b  2   1   Gán: A    1  a    a b A 1 1    b Table: Hoàng Văn Bình
ợc b  2, a  4 . Suy ra khẳng định B sai. e ln x VD. Biết
dx  a e  b 
với a,b  . Tính ab x 1 A. ab  4 B. ab  8  C. ab  4  D. ab  8 Gán
A  a e  b  b  A  a e w7: a  2  ,b  4 Vậy ab  8  . e 1 VD. Biết  a ln 
 2e 1 bln2c với a,b,c là các số hữu tỉ. Tính S ab .c 3  x  x 1 A. S 1 B. S  1  C. S  0 D. S  2 Gán Hoàng Văn Bình e e e e e e d  2 x A B x    1 1 1 1 1 dx   dx  dx  dx  dx         3 2 2 2 x  x  x x 1 x x 1 x 2 x 1 1 1 1 1 1 1  1 e   ln x  ln   1 1 2 x   1   ln 
 2e  1 ln21  2  2 2 1
 a b c 1 VD. Giả sử 2 x   3 2       3 2     2 2 5 2 4 d x e x x x x ax bx cx d e
C . Khi đó a bc  d bằng A. – 2 B. 2 C. 3 D. 5 Bấm như sau: tách 3 2
1009803  x  x  2x  3
Vậy a  b  c  d  3. Chọn C. e 2 ln x 1 b b VD. Cho I    
với a,b,c  Z ,
tối giản. Tính S  a  b  c x  x a ln x   d ln 2 2 1 c c 1 A. S  3 B. S  5 C. S  0 D. S  7
Gán tích phân vào A b b
 A  a ln 2    a ln 2  A. Ta w7 c c b 1 Ta thấy tại a  2 
  a  2,b  1,c  2  a  b  c  5. Chọn B. c 2 1 3 x VD. Cho I 
dx  ln a  b ln , c , a , b c  . 
Tính S  a  2b  c 4 2   x  3x  2 0 Hoàng Văn Bình A. 3 B. 2 C. 0 D. – 3 Gán tích phân vào A Ta có  ln  ln A   . b A a b c e a c Vì a, , b c 
nên ta chọn hàm như sau Ax x bx e
 a c . Ta nhân thêm x vào mũ vì khi đó ta sẽ nhận
được kết quả đẹp hơn. Vào w7 Ta được  b 9  3 Khi đó 2 2 2 3 a c
  3 .2  a  3,b 
, c  2  S  a  2b  c  2 8 2 dx VD. Cho I 
 a 2x 1  bln 
 2x14C . Tính ab 2x 1  4 A. – 2 B. – 3 C. 1 D. 2
Ta gán cận cho nguyên hàm: 1 dx
 a  bln 5  bln 4  a  b  ln5ln 4  A   1 2x 1 4 2 Với A  Hoàng Văn Bình
Đến đây, ta có thể chọn phương trình a  b  ĐÁ rồi giải hệ hoặc chọn tiếp một cặp cận nữa thay vào.
Ở đây xin phép dựa vào đáp án và chọn đáp án nào cho ra hệ số a, b đẹp.
Vậy a  1,b  4 . Vậy a  b  3  .
Bài 3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I. Lý thuyết
1. Tính diện tích hình phẳng
Cho hàm số y  f  x liên tục không âm trên đoạn  ;
a b . Khi đó diện tịch của hình thang cong b
giới hạn bởi y  f x, y  0, x  a, x  b là f  x dx  a b
Diện tích S của hình phẳng  D giới hạn bởi y  f x, y  0, x  a, x  b là S  f  x dx a b
Diện tích S của hình phẳng  D giới hạn bởi y  f x, y  g x ,x  a,x  b là S  f
 x gx dx a
Tính f  x  g  x có các nghiệm x , x , x ,.... ;
a b . Khi bài toán không cho cận thì cận chính là 1 2 3  
hai nghiệm x và x . 1 n
2. Tính thể tích vật tròn xoay
Thể tích tròn xoay tạo bởi mặt phẳng tròn xoay giới hạn bởi đường y  f  x, y  0, x  , a x  b b
quay quanh trục Ox là 2 V   f  xdx a
Thể tích tròn xoay tạo bởi mặt phẳng tròn xoay giới hạn bởi đường y  f  x, y  g  x, x  a, x  b b
quay quanh trục Ox là 2 V   f  x 2
 g x dx a 3. Tính quãng đường Hoàng Văn Bình b
Cho phương trình vận tốc V  f t  quãng đường là nguyên hàm của vận tốc S  f  tdt a
4. Một số ứng dụng khác R
Tính diện tích chỏm cầu có bán kính R và đường cao h : 2 2 S  2 R  h  Rh
Thể tích hình cầu do hình tròn C 2 2 2
: x  y  R khi quay quanh trục Ox : R      R  R V R x
dx  2 R  x  3 4 2 2 2 2 dx    3 R 0 x y
Thể tích hình elip  E 2 2 : 
1 khi quay quanh trục Oy a b b 2 2 b 2 2 2  a y   a y  4 a b 2 2
V    a 
 d y  2 a   dy  2 2  b   b  3 b 0 I. Ví dụ
VD. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2
y  x  2 và y  3x A. 2 B. 3 1 1 C. D. 2 6 x 1 2 1 2
x  3x  2  0  
. Diện tích cần tính bằng 2
x  3x  2 dx   . x  2 6 1
VD. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi 3
y  x  x và 2
y  x  x 37 9 81 A. S  S  B. S  C. S  D. 13 12 4 12 x  0  1 37 3 2
x  x  x  x  x  1 3 2  . Bấm
x  x  2x dx    12 x  2   2 
VD. Cho đồ thị y  f  x như hình vẽ sau đây. Diện tích S của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi 2 1 2 A. S  f  xdx B. S  f
 xdx  f  xdx 2  2  1 Hoàng Văn Bình 2  2 C. S  f
 xdx  f  xdx 1 1 1 2 D. S  f
 xdx  f  xdx 2  1 1 1 2  1
Diện tích có giá trị dương nên S   f
 xdx f
 xdx  f
 xdx  f
 xdx Chọn C. 2  2 1 2
VD. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 3
y  x 1, y  0, x  0, x  2 bằng 5 7 C. 3 9 A. B. D. 2 2 2 2 7 Bấm 3 x 1 dx   2 0
VD. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng 2
y  x  3x  2 và y  x 1. 4 37 799 A. S  S  B. S  C. S  D. 2 3 14 300
Phương trình hoành độ giao điểm 2
x  3x  2  x 1  x  1, x  3 3 4 Ta có 2 S 
x  4x  3dx   . Chọn A. 3 1
VD. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2
y  x 1 và y  x  5 là 73 73 A. B. 12 C. D. 14 6 3 PTHĐGĐ: 2
x 1  x  5  x  3  3 73 Bấm 2
x 1  x  5   3 3 
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Hoàng Văn Bình
VD. Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P , tiếp tuyến của nó tại A1;   1 và
đường thẳng x  2 . Tính diện tích S A. S 1 4 2 1 B. S  C. S  D. S  3 3 3 Phương trình parabol 2
y  x (vì đi qua 0.0,1;   1 , 1  ;  1 )
Phương trình tiếp tuyển của P tại A là y  2  x 1 2 2 1
Vậy diện tích giới hạn S   2  x   1   2 x  2 dx  2
 x 1 x dx    3 1 1
VD. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x ln x, y  0, x  e quay xung quanh trục Ox tạo 
thành khối tròn xoay có thể tích  3
be  2 . Tìm a,b a
A. a  27,b  5
B. a  26,b  6
C. a  24,b  5
D. a  27;b  6 ĐK: x  0
Phương trình hoành độ giao điểm xln x  0  x 1 e  2 2
V   x ln xdx    3 5e  2
suy ra a  27,b  5 27 1
VD. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2  x,
y  x, y  0 quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây? 1 2 2
A. V   2 x 2 dx   x dx 
B. V   2 xdx 0 1 0 Hoàng Văn Bình 1 2 1 2
C. V   xdx   2  xdx   D. 2
V   x dx   
2 xdx 0 1 0 1
x  2  x  x 1 
Phương trình hoành độ giao điểm của x  0 ;
 2 x  0  x  2  1 2 Vậy ta có: 2
V   x dx   
2 xdx 0 1
VD. Gọi H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2
y  x đường thẳng x 1 và trục hoành.
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay H  quanh trục Ox .  1  1 A. V  B. V  C. V  D. V  3 3 5 5 Ta bấm: x
VD. Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  . 2 4 
, trục Ox và đường thẳng 1 x
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H quanh Ox  4 1 4  3 4 A. ln B. ln C. ln D.  ln 2 3 2 3 2 4 3 x
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:  0  x  0 2 4  x 2 1  x   4
Thể tích giới hạn: V   
 dx  ln . Chọn A. 2   4  x 2 3 0  
VD. Gọi H  là hình phẳng giới hạn bởi hai trục đồ thị, đường thẳng x 1 và đồ thị hàm số 3
y  1 x . Tính thể tích khối tròn xoay do H  sinh ra khi quay quanh trục Ox 5 23 9 A.  B.  C.  D. 2 3 14 14 Hoàng Văn Bình Bấm máy tính: . Chọn B
VD. Gọi H  là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y   x  2, y  x  2, x 1. Tính thể tích V
của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng H quanh trục hoành. 27 9  55 A. V  V  B. V  C. 9 D. V  2 2 6
Vì đồ thị y   x  2 nằm dưới Ox nên bị âm. Ta lấy đối xứng lên Ox . x  2 
Phương trình hoành độ giao điểm: x  2  x  2  0  x  1  1  1 2  2 55
Ta có: V    x 1 dx   x  2 dx    . Chọn D. 6 2  1 
VD. Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng là N t  . Biết rằng N t  4000 '  và lúc đầu 1 0,5t
đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng là bao nhiêu? A. 258.959 con B. 253.584 con C. 257.167 con D. 264.334 con
Ta có số lượng vi trùng bằng số lượng ban đầu cộng với số lượng đã tăng trong 10 ngày được tính 10 4000 như sau: 250000  dt 10,5t 0 Chọn D.
VD. Trong một đợt xả lũ, nhà máy thủy điện đã xã lũ trong 40 phút với lưu lượng nước tại thời
điểm t giây là vt  t   3 10
500 m / s . Hỏi sau khi xã lũ trên thì hồ thoát được một lượng nước là bao nhiêu? A. 4  3 5.10 m  B. 6  3 4.10 m  C. 7  3 3.10 m  D. 6  3 6.10 m  Hoàng Văn Bình 2400
Ta có lượng nước thoát ra là:  10t 500 7  3.10  3 m  0
VD. Một ô tô đang chuyển động với vận tốc 15 m/s thì người lái đạp phanh. Kể từ thời điểm đó, ô
tô chuyển động chậm dần với vận tốc v t   5
 t 15 m / s . Trong đó t là khoảng thời gian tính
bằng giây. Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh cho đến khi xe dừng hẳn thì còn di chuyển được bao nhiêu m ? A. 22,5 m B. 45 m C. 2, 25 m D. 4,5 m
Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc. Ta có, tại thời điểm xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0, suy 3
ra t  3 . Vậy quãng đường đi được là  5
 t 15dt  22,5 m 0
VD. Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật, chiều dài là 16 m chiều rộng là 8 m . Các
nhà toán học dung hai đường parabol, mỗi parabol có đỉnh là trung điểm của một cạnh dài và đi
qua hai đầu mút của cạnh dài đối diện. Phần mảnh vườn nằm ở miền trong được giới hạn bởi hai
parabol được trồng hoa hồng. Biết chi phí trồng hoa hồng là 45.000 2
VND / m . Hỏi các nhà toán
học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh vườn đó? A. 3322000 VND B. 3476000 VND C. 2715000 VND D. 2159000 VND 
Ta gán hệ trục tọa độ cho mảnh vườn như hình vẽ.
Ta cần phải xác định được phương trình hai đường parabol sau đó tính diện tích rồi mới tìm được số tiền.
Cách viết phương trình parabol bằng máy tính cầm tay:
Ta sử dụng chương trình thống kê w3 trong máy tính: Hoàng Văn Bình
Để bắt đầu sử dụng ta ấn w3=
Ta viết phương trình của parabol úp trước. Nhìn đồ thị ta thấy, parabol úp đi qua ba điểm 0;4,8;4, 8  ; 4   Bấm máy tính w33
. Ta thấy có hai cột x nhập hoành độ ba
điểm parabol đi qua và y nhập tung độ tương ứng của ba điểm ở cột x . Ta nhập như sau:
. Nhập xong rồi ấn nút AC .
Lưu ý: Phương trình parabol của ta thường là 2
y  Ax  Bx  C , nhưng trong máy tính thì ngược lại 2
y  Cx  Bx  A . Chúng ta sẽ hiểu theo máy tính. Ấn q15
để tìm các hệ số C, B, A Chọn 3  C  Chọn 2  B  Chọn 1 A  1 
Vậy phương trình parabol úp là 2 y  x  4 1 8
Phương trình parabol ngữa có thể viết tương tự, tuy nhiên do hai đồ thị đối xứng nhau qua 1 2 Ox  y  x  4 2 8
Đến đây ta áp dụng bài toán tích phân tích diện tích giới hạn bởi hai đồ thị. Hoàng Văn Bình
Tìm giao điểm của hai parabol: 1  1 2  2 2 2
y  y  y  y  0  x  4  x  4  0 
x  8  0  x  4 2 1 2 1 2 8 8 8
Ta tính diện tích nửa trên sau đó nhân 2 ta được diện tích phần giới hạn của hai parabol
Sau đó ta nhân với số tiền trồng hoa
Vậy số tiền các nhà toán học phải trả là 2715000 VND. Chọn C.
VD. Ông B có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và
một đường thẳng. Nếu đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ thì parabol có phương trình 2
y  x và đường thẳng y  25 . Ông B dự
định dung một mảnh vườn nhỏ được chia từ khi vườn bởi một
đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng hoa. Hãy
giúp ông B xác định điểm M bằng cách tính độ dài OM để diện 9
tích mảnh vườn nhỏ là . 2 A. OM  2 5 B. OM 15 C. OM 10 D. OM  3 10
Gọi H là điểm có hoành độ a là hình chiểu của điểm M lên Ox . Suy ra phương trình OM a a  ax x  a OM : y  tan
.x  ax . Ta có ax  x  2 3 3 2 dx      OH  2 3  6 0 0 3 a 9 Ta có
  a  3  OM  3 10 6 3
VD. Người ta dựng một cái lều vải H  có dạng chóp lục giác cong đều như hình vẽ. Đáy là một
hình lục giác có cạnh bằng 3m. Chiều cao SO  6m SO vuông góc đáy. Các sợi dây c , c , c , c , c , c 1 2 3 4 5 6
nằm trên các đường hình parabol có trục đối xứng song song với SO . Giả sử giao tuyến của H 
với một mặt phẳng P vuông góc với đáy tại trung điểm SO thì được lục giác có cạnh bằng 1 m.
Tính thể tích phần trong của lều H  . Hoàng Văn Bình 135 3 135 3 A.  2 m  C.  2 m  5 4 96 3 135 3 B.  2 m  D.  2 m  5 8
Ta xét một mặt phẳng đi qua SO và c . Ta thấy c đi qua ba điểm A0;6, B1;3,C 3;0 1 1 1 7 7 1 2
 c : y  x  x  6 . Rút x  y : x   2y  . Thể tích của lều: 1 2 2 2 4 2 6 6 3  7 1  135 3 V  
  2y   dy    4 2 4 8 0   Hoàng Văn Bình
VD. Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc v  15 m / s thì tăng tốc với gia tốc 0 a t  2 2
 t  4t m / s . Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ
lúc bắt đầu tăng tốc. A. 70, 25 m B. 68, 25 m C. 67, 25 m D. 69, 75 m 3 t
v t   a  t 3 t 2 dt 
 2t  C mà 2
v  15  C   2t 15 3 0 3 Bấm .
VD. Cho hàm số y  f  x. Đồ thị hàm số
y  f  x như hình bên. Đặt
h x  f  x 2 2
 x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. h4  h 2    h2
B. h4  h 2    h2
C. h2  h4  h 2  
D. h2  h 2    h4
Ta có h' x  2  f '
 x  x  h' 
x  0  f 'x  x
Đường thẳng y  x đi qua ba điểm  2  ; 2
 ;2;2;4;4 trên đồ thị
Gọi S , S lần lượt là diện tích phần bên trên và bên dưới của 1 2
đường thẳng y  x 2 S  0 
h ' x dx  0  h 2  h 2
  0  h 2  h 2   1           2  4
S  0   h ' x dx  0  h 2  h 4  0  h 2  h 4  2           2
Mà S  S  h 2  h 2
  h 2  h 4  h 4  h 2  1 2
           
Suy ra h2  h4  h 2   Hoàng Văn Bình
VD. Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc
thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời
gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị có một phần là đường
parabol có đỉnh là I 2;9 và trục đối xứng song song với trục tung,
khoảng thời gian còn lại của đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục
hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết
quả làm tròn đến hàng phần trăm).
A. s  23, 25km
B. s  21,58km
C. s  15,50km
D. s  13,83km Hoàng Văn Bình 5 
Phương trình parabol của chuyển động là 2 y  x  5x  4 4 31 Ta có v   31 1 
 phương trình đường thẳng của chuyển động là y  4 4 1 3  5   31
Ta có quãng đường vật chuyển động được tính theo 2
x  5x  4 dx  dx  21,58    3  4  4 0 1
Đọc thêm: công thức Walliss   n   1 !!  1 2 2    n n n!!
cos xdx  sin xdx     lẻ dùng   1 , chẵn dùng 2 . n 1 !!   0 0   . 2  n!! 2
n!! đọc là n Walliss và được hiểu dựa vào n chẵn hay lẻ.
VD. 0!!  1; 1!!  1; 2!!  2; 3!!  1.3; 4!!  2.4; 5!!  1.3.5  2 10!! 2.4.7.8.10 256 VD. 11 cos xdx     11!! 1.3.5.7.9.11 693 0  2 9!!  63 VD. 10 sin xdx  .   10!! 2 512 0 Hoàng Văn Bình