Giải sách bài tập môn Xác Suất và Thống Kê ĐH KTQD | Đại học Ngoại Thương

GI I S Ả ÁCH BÀI T P X Ậ ÁC SU T VÀ Ấ THỐNG KÊ ĐH KTQD Chương 2 TS. Nguyễn Văn Minh
ĐH Ngoại Thương Hà nội 7/2016 version 2 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Giải bài tập sách ‘‘Bài tập Xác suất và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD
CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN
§1 Biến ngẫu nhiên rời rạc
Bài 2.1 Một xí nghiệp có 2 ô tô vận tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng
tương ứng bằng 0,1 và 0,2. Gọi X là ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc. a)
Tìm quy luật phân phối xác suất của X. b)
Thiết lập hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị của nó Giải: a)
X là số ô tô bị hỏng trong thời gian làm việc
Vậy quy luật phân phối xác suất của X là X 0 1 2 P 0,72 0,26 0,02 b)
Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất: F(x) = P(XVới x ≤ 0 F(x) = 0 Với 0 < x ≤ 1 F(x) = 0,72 Với 1< x ≤ 2 F(x) = 0,72 + 0,26 = 0,98 Với x > 2 F(x) = 0,72 + 0,26 + 0,02 = 1
Bài 2.2 Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất trong thời gian t các bộ phận
bị hỏng tương ứng là 0,4; 0,2 và 0,3. a)
Tìm quy luật phân phối xác suất của số bộ phận bị hỏng. b)
Thiết lập hàm phân bố xác suất của X. c)
Tính xác suất trong thời gian t có không quá hai bộ phận bị hỏng. d)
Tìm mốt mo và trung vị md. Giải: 2 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội a)
Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian làm việc t.
Ta có, P(X = 0)= 0,6.0,8.0,7 = 0,336
P(X = 1)= 0,4.0,8.0,7 + 0,6.0,2.0,7 + 0,6.0,8.0,3 = 0,452
P(X = 2)= 0,4.0,2.0,7 + 0,4.0,8.0,3 + 0,6.0,2.0,3 = 0,188 P(X = 3)= 0,4.0,2.0,3 = 0,024
Vậy quy luật phân phối xác suất của X là X 0 1 2 3 P 0,336 0,452 0,188 0,024 b)
Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất F(x) = P (XTa có: F(x) = 0 với x ≤ 0 F(x) = 0,336 với 0 < x ≤ 1 F(x) = 0,788 với 1< x≤2 F(x) = 0,976 với 2< x≤3 F(x) =1 với x>3 c)
Xác suất trong thời gian t không có quá 2 bộ phận bị hỏng: P(X≤2) = 0,976 d)
Từ hàm phân bố xác suất dễ dàng nhận thấy trung vị: md
=1 Giá trị Mốt m0 là giá trị có xác suất lớn nhất => mo = 1
Bài 2.3 Có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu cho đến khi lấy được quả
cầu trắng. Tìm quy luật phân phối xác suất của số quả cầu được lấy ra.
Giải: Gọi X là “số cầu được lấy ra”
X gồm 3 giá trị 1, 2, 3 (vì đến quả thứ 3 chắc chắn lấy được cầu trắng và kết thúc quá trình lấy).
Xác suất lấy được 1 quả cầu: 3  0, 6 5
Xác suất lấy được 2 quả cầu (quả cầu 1 là đen, quả cầu 2 là trắng): 2 . 3  0, 3 5 4
Xác suất lấy được 3 quả cầu (quả cầu 1 là đen, quả cầu 2 là đen, quả cầu 3 là trắng): 2 . 1 . 3  0,1 5 4 3
Ta có quy luật phân phối xác suất: 3 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội X 1 2 3 P 0,6 0,3 0,1
Bài 2.4 Xác suất để một người bắn trúng bia là 0,8. Người ấy được phát từng viên đạn để bắn cho đến
khi trúng bia. Tìm quy luật phân phối xác suất của viên đạn bắn trượt.
Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trượt: X = 1,2, 3,,n
Lại có: Gọi A = “Biến cố bắn trúng bia” có P(A) = 0,8 = p và P( A ) = 0,2 =q. Khi đó: P(X=n) = 0,8.(0,2)n Ta có: X 0 1 2 … n ... P 0,8 0,8.(0,2)1 0,8.(0,2)2 … 0,8.(0,2)n ... Nhận thấy: P(X=n) > 0 Và: 1  0, 2n  P  X  n 0, 2  n .0,8  lim     1   0,8. lim  1   1.    n  n n  0 0 n 10,2 n  5 
Vậy các xác suất trên tạo thành 1 quy luật phân phối xác suất
Bài 2.5 Có 2 lô sản phẩm:
Lô 1: có 8 chính phẩm và 2 phế phẩm
Lô 2: có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm
Từ lô thứ nhất lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm bỏ sang lô thứ hai, sau đó từ lô thứ hai lấy ra 2 sản phẩm. a)
Tìm quy luật phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra. b)
Xây dựng hàm phân bố xác suất của số chính phẩm được lấy Giải: a)
Gọi X là “số chính phẩm được lấy ra từ hộp 2” nhận 3 giá trị
0;1;2 Gọi Hi là “số chính phẩm lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là i” với i = 0;1;2 C 0 2 1 1 2 0 = 8 . C2 1 C8 . C2 16 C8 . C2 28 Ta có: P(H0) =  ; P(H1) = = ; P(H2) = C2 C2 45 C2 45 45 10 10 10 C 0 2 0 2 0 2 7 . C5 10 C8 . C4 6 C9 .C3 = 3 P(X=0|H0) = = ; P(X=0|H1) = = ; P(X=0|H2) = C2 66 C2 66 C 2 66 12 12 12 2
 P  X  0  P  H i . P( X  0 | Hi ) i0 4 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
= 1 . 10  16. 6  28 . 3 = 190 = 0,06397 45 66 45 66 45 66 2970 Tương tự: C 1 1 1 1 1 1 5 .C7 35 C8 .C4 32 C9 .C3 27 P(X=1|H0) = C2 =66 ; P(X=1|H1) = C2 = 66 ; P(X=1|H2) = C2 = 66 12 12 12 2 P 
 PA1 
H .P(X 1| H ) = 1 35 16 32 28 27 .  .  . =1303 = 0,43872  i i i0 45 66 45 66 45 66 2970
 P(A=2) = 1 – P(A=0) – P(A=1) = 1 – 0,06397 – 0,43872 = 0,49731 Ta có bảng sau: X 0 1 2 P 0,06397 0,43872 0,49731 b)
Hàm phân phối xác suất của X là:  x  0 0  0  x 
F x  0,06397 1 . 1  x  0,50269  2 x  1 2 
Bài 2.6 Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến khi có người ném trúng với xác
suất ném trúng của từng người lần lượt là 0,3 và 0,4. Người thứ nhất ném trước.
a) Tìm qui luật phân phối xác suất của số lần ném rổ cho mỗi người b)Tìm
qui luật phân phối xác suất của tổng số lần ném rổ của cả 2 người.
Giải: a) Gọi số X1 là số lần ném rổ của người thứ nhất: X1 = 1, 2, 3,…, n,
… Khi X 1  n
TH1 người 1 ném cuối thì cả người 1 và người 2 sẽ ném trượt n 1 lần đầu nên
P ( X 1  n)TH 1  0,7n 10,6n1.0,3
TH2 người 2 ném cuối thì cả người 1 ném trượt n lần và người 2 sẽ ném trượt n 1 lần đầu nên
P ( X 1  n)TH 2  0,7n 0,6n1.0, 4
Vậy P ( X 1  n )  P ( X 1  n )TH 1  P ( X 1  n)TH 2  0,58.0, 42n1
Vậy qui luật phân phối xác suất của X1 là: X1 1 2 … n ... P 0,58 0,58.0, 42 … 0,58.0,42n1 ... 5 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Gọi X2 là số lần ném của người thứ 2: X2 =0, 1, 2, 3,…, n,…
Dễ thấy P ( X 2  0)TH1  0,3
Khi X 2  n  1
TH1 người 1 ném cuối thì cả người 1 và người 2 sẽ ném trượt n lần đầu nên
P ( X 2  n)TH 1  0, 7 n 0, 6 n.0, 3
TH2 người 2 ném cuối thì cả người 1 ném trượt n lần và người 2 sẽ ném trượt n 1 lần đầu nên
P ( X 2  n) TH 2  0, 7 n 0, 6 n 1.0, 4
Vậy P ( X 2  n )  P ( X 2  n ) TH 1  P ( X 2  n) TH 2  0, 58.0, 6 n 1.0, 7n
Vậy qui luật phân phối xác suất của X2 là: X2 0 1 2 … n ... … P 0,3 0,58.0,7 0,58.0,6.0,72
0,58.0,6n 1.0,7n ...
b) Gọi X là tổng số lần ném rổ của 2
người X nhận các giá trị là 1,2,3,...
Dễ thấy P ( X  1)  0, 3 .
Xét X  2n  2 có nghĩa người 2 ném cuối.
P ( X  2n)  0,7n 0,6n 1.0,4  0,28.0,42n1
Xét X  2n  1  3 có nghĩa người 1 ném cuối.
P ( X  2n  1)  0,7n 0,6n.0,3  0,3.0,42n
Vậy qui luật phân phối xác suất của X là: 2n+1 ... X 1 3 … 0,3.0,42n ... P 0,3 0, 3.0, 42 … X 2 4 … 2n ... P 0,28 0, 28.0, 42 … 0,28.0, 42n1 ... 6 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Bài 2.7 Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau: X -5 2 3 4 P 0,4 0,3 0,1 0,2 a)
Tính E(X); V(X) và  X b) Tìm giá trị mốt m0. Giải: 4 a)
E(X)= X i Pi = -5.0,4+2.0,3+3.0,1+4.0,2 = -0,3. i1 b)
V(X) = E(X2) – E2(X)= (-5)2.0,4+22.0,3+32.0,1+42.0,2-(-0,3)2=15,21.
X  V(X) = 3,9. c)
Vì X là biến ngẫu nhiên rời rạc nên m0 là giá trị của biến ngẫu nhiên tương ứng với xác suất lớn nhất nên m0=-5.
Bài 2.8 Tại một cửa hàng bán xe máy Honda, người ta thống kê được số xe máy X bán ra hàng tuần
với bảng phân bố xác suất như sau: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 P 0,05 0,12 0,17 0,08 0,12 0,20 0,07 0,02 0,07 0,02 0,03 0,05
a) Tìm số xe máy trung bình bán ra mỗi tuần.
b) Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của số xe máy bán được mỗi tuần và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được.
Giải: a) Số xe trung bình mỗi tuần bán được là kỳ vọng toán: 11
E ( X )  xi pi  4, 33 i0 b) Phương sai:
V(X) = E(X2) – E(X)2 = 27.09 – (4.33)2 = 8,3411
Độ lệch chuẩn:  X  V ( X )  2,8881
Ý nghĩa: Trung bình cửa hàng bán được 4,33 xe máy mỗi tuần.
X  2,8881 đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên. 7 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Bài 2.9 Cho X1, X2, X3 là các biến ngẫu nhiên độc lập và có bảng phân phối xác xuất của chúng như sau: X1 0 1 X2 1 2 X3 0 2 P 0.6 0.4 P 0.4 0.6 P 0.8 0.2
 X1X2X3 Lập X
Tính E ( X ) và V ( X ) 3 Giải:
*)Tính E ( X ) Ta có: E(X1) = 0.0,6 + 1. 0,4 = 0,4 E(X2) = 0.0,8 + 2.0,2 = 1,6 E(X3) = 0.0,8 + 2.0,2 = 0.4 EX   )  E(X)
EX E(X 0,41,60,4  1 2 3   0,8 3 3 *)Tính V ( X ) Ta có: V  X 2
1   E ( X 1 )  ( EX1 )2  12.0,4 – 0, 42  0, 24 V X 2
2  E(X2 ) (EX2)2  0,4 .12  0,6.22 1,62  0,24 V X 2
3   E(X3 )  (EX3)2  22.0,2  0,42  0,64 V(X ) V(X )  V(X ) 0,24 0,24 0,64  1 V X2 3   0,12 9 9
Bài 2.10 Thống kê số khách trên 1 ô tô buýt tại một tuyến giao thông thu được các số liệu sau: Số khách trên 1 chuyến 20 25 30 35 40 Tần suất tương ứng 0,2 0,3 0,15 0,1 0,25
Tìm kỳ vọng toán và phương sai của số khách đi mỗi chuyến và giải thích ý nghĩa của kết quả thu được.
Giải: * Gọi X là số khách đi mỗi chuyến, kỳ vọng toán của số khách đi mỗi chuyến là:
E(X) = 0,2.20 + 0,3.25 + 0,15. 30 + 0,1.35 + 0,25.40 = 29,5
Ý nghĩa: Kỳ vọng bằng 29,5 cho biết trung bình có khoảng 29 khách hàng trên 1 chuyến
xe. * Phương sai của số khách đi mỗi chuyến là:
V(X) = E(X2) – E2(X) = 0,2.202 + 0,3.252 + 0,15.302 + 0,1.352 + 0,25.402 – (29,5)2 = 54,75
Độ lệch chuẩn của số khách đi mỗi chuyến là: V  x  σ x    54, 75  7,4 8 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Ý nghĩa: Số khách đi các chuyến có sự khác nhau và chênh lệch khá lớn so với số khách trung bình.
a) Tính E(Z) và V(Z) biết Z= (3X – 2Y)/5
b) Tính E(T) với T= Z  E ( Z ) V ( Z ) Giải: a) Z
 (3X 2Y)  E(Z)  3E(X)2E(Y)  3.32.2 1. 5 5 5 2  3  2  2  9.3 4.2 35 7 V(Z)  V(X)  V(Y)     1,4.  5   5  25 25 25 5
b) T  Z E(Z)  Z 1E(T) E(Z)10. V(Z) 1, 4 1, 4
Bài 2.12 Thực hiện 3 lần bắn bia với xác suất trúng bia tương ứng là 0,3; 0,4; 0,6. Tìm kì vọng toán
và phương sai số lần bắn trúng bia.
Giải: Gọi X là số lần bắn trúng bia
X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể xảy ra X = 0, 1, 2, 3.
Ta có P(X = 0) = 0,7.0,6.0,4 = 0,168
P(X = 1) = 0,3. 0,6.0,4 + 0,7.0,4.0,4 + 0,7.0,6.0,6 = 0,436
P(X = 2) = 0,3.0,4.0,4 + 0,3.0,6.0,6 + 0,7.0,4.0,6 = 0,324 P(X = 3) = 0,3.0,4.0,6 = 0,072
Vậy quy luật phân phối xác suất của X là X 0 1 2 3 P 0,168 0,436 0,324 0,072
Kì vọng toán E(X) = 0.0,168 + 1.0,436 + 2.0,324 + 3.0,072 = 1,3
E(X2) = 02.0,168 + 12.0,436 + 22.0,324 + 32.0,072 =
2,38 Phương sai V(X) = E(X2) – (E(X))2 = 0,69.
Bài 2.13 Thống kê lại tất cả 52 cửa hàng bán sản phẩm của công ty trên toàn quốc thu được các số liệu sau:
Số nhân viên bán hàng ở cửa hàng 2 3 4 5 9 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Số cửa hàng tương ứng 10 12 16 14 a)
Xây dựng bảng phân phối xác suất và hàm phân bố xác suất của số nhân viên bán hàng tại mỗi cửa hàng. b)
Tìm số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng và phương sai tương ứng Giải: a)
Đặt X là số nhân viên của một cửa hàng, ta
có: Bảng phân phối xác suất: Số nhân viên 2 3 4 5 Tổng Số cửa hàng 10 12 16 14 52 P P Xác suất  10  5 P 12  3  16  4 P 14  7 1 1 52 26 2 52 13 3 52 13 4 52 26
Hàm phân bố xác suất của số nhân viên bán hàng tại mỗi cửa hàng: 0 x   2  5  2  x  3  26   11
 F x   P  X  x   3  x  4  26 19  4  x   5  26  1 x  5  b)
Số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng bằng kì vọng: 5 3 4 7 95
 EX2. 3. 4. 5.  3,65 4
Phương sai: V ( X )  pk [xk  E  X ]2 k 1
 5 (2 3,65)2  3 (33,65)2  4 (4 3,65)2  7 (53,65)2 1,15 26 13 13 26
Bài 2.14 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có thể có là x1 = 4 với xác suất P1 = 0,5; x2 = 0,6
với xác suất P2 = 0,3 và x3 với xác suất P3. Tìm x3 và P3 biết E(X) = 8.
Giải: Ta có P3 = 1 – P1 – P2 = 1 – 0,5 – 0,3 = 0,2
E(X) = 8 = 0,5.4 + 0,6.0,3 + x3.0,2 hay 0,2.x3 = 5,82 Do đó X3 = 29,1.
Bài 2.15 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có thể có là x1= -1, x2=0, x3= 1. Tìm các xác
suất tương ứng p1 , p 2 , p3 biết rằng E(X)= 0,1 và E(X2)=0,9. 10 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Giải: Ta có bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X là: X -1 0 1 P p1 p2 p3
E ( X )  0,1   p +0. p
 p  0,1  p  0, 4 Theo bài ra ta có :   2   1 2  3   1  p2  0,1 (1) E(X ) 0,9 p +0. p p 0,9 p  0,5  1 2 3  3
Vậy p1  0,4; p2  0,1; p3  0,5 .
Bài 2.16 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có qui luật phân phối xác suất như sau: x x X 1 2 P p1 0,7
Tìm x1 , x 2 , p1 biết E(X) = 2,7 và V(X) = 0,21 (x2  x1 ) . p Giải: Dễ thấy 2  1 p1  0,3 .
 0, 7  0,3 x  0, 7 x  2, E(X ) Ta có  7 x  2 V 1 2   (X)  1 .  0, 21  0, 3 x 2 2
1  0, 7 x1  2, 7 2  0, 21 x  2  3
Bài 2.17 Có 5 sản phẩm trong đó có 4 chính phẩm và một phế phẩm. Người ta lấy ra lần lượt 2 sản
phẩm (lấy không hoàn lại). a)
Gọi X là “số phế phẩm có thể gặp phải”. Lập bảng phân phối xác suất của X. b) Tính E(X) và V(X). c)
Gọi Y là “số chính phẩm có thể gặp phải”. Lập hệ thức cho biết mối quan hệ giữa Y và X. d) Tính E(Y) và V(Y). Giải: a)
Vì có 5 chính phẩm và 1 phế phẩm nên nếu gọi X là “số phế phẩm có thể gặp phải” thì X= 0 hoặc X=1 C2 C1.C1 P(X=0)= 4 =0,6; P(X=1) = 1 4 = 0,4 C2 C2 5 5
Ta có bảng phân phối xác suất của X: X 0 1 P 0,6 0,4 b) E(X)= X1P1+X2P2=0,4.
V(X) = E(X2) – E2(X)= 0+12.0,4 – 0,42=0,24. 11 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội c)
Y: “số chính phẩm có thể gặp phải”. Ta có X+Y=2. Vì X nhận 2 giá trị 0, 1 nên tương ứng Y
cũng nhận 2 giá trị 2, 1. d)
Ta có bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y:
P[Y 1]  P[X 1],P[Y  2]  P[X  0] Y 1 2 P 0,4 0,6
E(Y) = Y1P1+Y2P2= 1.0,4+2.0,6=1,6.
V(Y)= E(Y2) – E2(Y) = 0,4+22.0,6-1,62=0,24.
Bài 2.18 Trở lại bài 2.8. Nếu giá bình quân của mỗi chiếc xe máy bán ra tại cửa hàng đó là 12 triệu
đồng thì doanh thu bình quân hàng tuần của cửa hàng đó là bao nhiêu ?
Giải: Số xe máy bình quân cửa hàng đó bán ra là E(X) = 4,33.
Doanh thu trung bình của cửa hàng = 12.E(X) = 12.4,33 = 51,96 (triệu đồng)
Bài 2.19 Với các số liệu của bài 2.10, giả sử chi phí cho mỗi chuyến xe là 200 ngàn đồng không phụ
thuộc vào số khách đi trên xe thì để công ty xe buýt có thể thu được lãi bình quân cho mỗi chuyến xe
là 100 ngàn đồng thì phải quy định giá vé là bao nhiêu?
Giải: * Các số liệu đã cho của bài tập 2.10 như sau:
Thống kê số khách trên 1 ô tô buýt tại một tuyến giao thông thu được các số liệu sau: Số khách trên 1 chuyến 20 25 30 35 40 Tần suất tương ứng 0,2 0,3 0,15 0,1 0,25
* Với câu hỏi của bài tập 2.19,
Ta gọi a là giá vé quy định, theo đề bài:
a.E(X) = 200+100. Suy ra a = 300/E(X) = 300/29,5 = 10,17.
Vậy phải quy định giá vé là 10,17 nghìn đồng.
Bài 2.20 Kinh nghiệm cho thấy là số lượng một loại sản phẩm mà một khách hàng mua có bảng
phân phối xác suất như sau: Số lượng sản phẩm 0 1 2 3 Xác suất tương ứng 0,5 0,1 0,2 0,2 a)
Nếu mỗi sản phẩm được bán với giá 110 ngàn đồng và nhân viên bán hàng được hưởng 10%
trên số sản phẩm bán được thì số tiền hoa hồng bình quân mà nhân viên bán hàng được hưởng từ mỗi khách hàng là bao nhiêu. b)
Tìm phương sai của số tiền hoa hồng đó và nêu ý nghĩa của kết quả thu được. 12 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Giải: a) Gọi X là biến ngẫu nhiên số sản phẩm bán được:
Kỳ vọng toán cho số sản phẩm bán được:
E(X) = 0.0,5 + 1.0,1 + 2.0,2 + 3.0,2 = 1,1
Mỗi sản phẩm bán với giá 110 ngàn đồng thì số tiền bình quân thu được từ mỗi khác hàng = 1,1. 110 = 121 ( ngàn đồng )
Nhân viên bán hàng được hưởng 10% trên số sản phẩm bán được.
Số tiền hoa hồng bình quân mà nhân viên bán hàng được hưởng từ mỗi khách hàng là:
121. 0,1 = 12,1 ( ngàn đồng )
b) Phương sai của số lượng sản phẩm bán được:
V (X )  E(X 2)  E2(X )  0,1.1 0,2.4  0,2.9 1,12 1,49
Gọi Y là biến ngẫu nhiên số tiền hoa hồng nhận được thì Y = 10%.110X=11X (đơn vị ngàn)
Phương sai của số tiền hoa hồng:
V(Y) = V(11X) = 112.1,49= 180,29.
Số tiền mà nhân viên nhận được hoa hồng khi bán cho 1 khách không đồng đều.
Bài 2.21 Tỉ lệ khách hàng phản ứng tích cực với một chiến dịch quảng cáo là biến ngẫu nhiên có
bảng phân phối xác suất sau: X(%) 0 10 20 30 40 50 Px 0,1 0,2 0,35 0,2 0,1 0,05 a)
Chứng tỏ rằng các xác suất Px tạo nên 1 bảng phân phối xác suất b)
Tìm tỉ lệ khách hàng bình quân phản ứng tích cực với quảng cáo đó c)
Tìm xác suất để có trên 20% khách hàng phản ứng tích cực với chiến dịch quảng cáo Giải: a)
Ta thấy: P(X=0)+P(X=10)+P(X=20)+P(X=30)+P(X=40)+P(X=50)=0,1+0,2 +0,35+0,2+0,1+0,05=1.
Do đó các Px tạo nên 1 bảng xác suất. b)
Tỉ lệ bình quân khách hàng phản ứng tích cực với quảng cáo đó chính là kì
vọng: E(X)=0,1.0+0,2.10+0,35.20+0,2.30+0,1.40+0,05.50=21,5. c)
Xác suất để có trên 20% khách hàng phản ứng với chiến dịch quảng cáo là: Pc= 0,2+0,1+0,05=0,35.
Bài 2.22 Tung cùng một lúc hai con xúc xắc. Gọi X là tổng số chấm thu được. 13 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội a)
Tìm bảng phân phối xác suất của X b)
Tìm hàm phân bố xác suất của X c)
Giá trị nào của X có khả năng xảy ra nhiều nhất
Giải: X là tổng số chấm thu được. Ta có X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị X = 2, 3,…, 12 a) X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 b)  0 x  2
 1/ 36 2  x  3  3 / 36 3  x  4   6/36 4  x  5
 10/36 5  x  6   15/36 6  x  7 F(x) = 
 21/ 36 7  x  8
 26/36 8  x  9  9  x  30/36  10 10  x  33 / 36 11  11  x  35 / 36 12  1 x  12 
c) Từ bảng phân bố xác suất ta thấy mo = 7
Bài 2.23 Qua theo dõi trong nhiều năm kết hợp với sự đánh giá của các chuyên gia tài chính thì lãi suất
đầu tư vào một công ty là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau: X(%) 9 10 11 12 13 14 15 Px 0,05 0,15 0,3 0,2 0,15 0,1 0,05 a)
Tìm xác suất để khi đầu tư vào công ty đó thì sẽ đạt được lãi suất ít nhất là 12% b)
Tìm lãi suất có thể hy vọng khi đầu tư vào công ty đó c)
Mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ty đó có thể đánh giá bằng cách nào? Giải: a)
X là lãi suất đầu tư vào công ty ta có
Xác suất để khi đầu tư thu được lãi suất ít nhất 12% là: 14 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Pa  P  X  12   P  X  12   P  X  13   P  X  14   P ( X  15)  0, 2  0,15  0,1  0, 05  0,5 b)
Lãi suất có thể hy vọng khi đầu tư vào công ty là
E(X )  0,059  0,1510  0,311 0, 212  0,1513  0,114  0,0515 11,75 c)
Mức độ rủi ro khi đầu tư vào công ty đó có thể đánh giá bằng:
V (X )  92 0,05 102  0,15 112 0,3 122 0,2 132 0,15 142 0,1152 0,05 11,752  2,2875
X  V(X)  2,2875 1,5124 .
Bài 2.24 Một người đi từ nhà đến cơ quan phải qua 3 ngã tư, xác suất để người đó gặp đèn đỏ tại các
ngã tư tương ứng là 0,2; 0,4 và 0,5. Hỏi thời gian trung bình phải ngừng trên đường là bao nhiêu, biết
rằng mỗi khi gặp đèn đỏ người ấy phải dừng 3 phút.
Giải: Gọi X là số đèn đỏ một người có thể gặp phải thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể nhận là {0;1;2;3}
Ta có: P(X=0) = 0,8.0,6.0,5 = 0,24
P(X=1) = 0,2.0,6.0,5 + 0,8.0,4.0,5 + 0,8.0,6.0,5 = 0,46
P(X=2) = 0,2.0,4.0,5 + 0,8.0,4.0,5 + 0,2.0,6.0,5 = 0,26 P(X=3) = 0,2.0,4.0,5 =0,04
Bảng phân phối xác suất của X là: X 0 1 2 3 P 0,24 0,46 0,26 0,04
E(X) = 0.0,24 + 1.0,46 + 2.0,26 + 3.0,04 = 1,1
Gọi Y là thời gian phải dừng đèn đỏ  Y = 3X.
Vậy: E(Y) = 3E(X) = 3.1,1 = 3,3 (phút)
Bài 2.25 Có 5000 người xét nghiệm máu để tìm ký sinh trùng sốt rét. Tỷ lệ mắc bệnh ở địa phương
theo thống kê là 10%. Có thể làm xét nghiệm theo 2 phương pháp:
Phương pháp 1: Xét nghiệm từng người
Phương pháp 2: Lấy máu 10 người một trộn lẫn làm một xét nghiệm. Nếu kết quả xét nghiệm là âm tính
(vô trùng) thì thông qua 10 người không ai mắc bệnh. Nếu kết quả xét nghiệm là dương tính (có trùng)
thì chứng tỏ trong 10 người có ít nhất 1 người mắc bệnh. Lúc đó phải làm thêm 10 xét nghiệm lẻ để
phát hiện các con bệnh cụ thể.
Hỏi làm theo cách nào lợi hơn? 15 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội
Giải: Theo phương pháp 1 thì phải làm 5000 xét nghiệm
Theo phương pháp 2 thì gọi X là số xét nghiệm phải làm đối với từng loạt 10 người
X=1 (nếu kết quả xét nghiệm là âm tính) và X=11 (nếu kết quả là dương tính)
P1= P(X=1)= = 0,910 (1 0,1)10 (10 người không mắc bệnh)
P2= P(X=11)= 1  P1= 1  0,910 (có ít nhất 1 người mắc bệnh)
Từ đó E(X)  7,5 tức là trung bình phải làm 7,5 xét nghiệm
Vậy tổng số xét nghiệm phải làm là: 5000  7,5  3750 xét nghiệm 10
Như vậy làm theo phương pháp 2 lợi hơn phương pháp 1 là 25%.
Bài 2.26 Biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau: X 1 4 8 P 0,3 0,1 0,6 Tìm P(|X-E(X)| < 4)?
Giải: Từ bảng phân phối xác suất ta có: E(X)= 1.0,3+4.0,1+8.0,6=5,5
X E(X) 44 X E(X)41,5 X 9,5 X 4;8
Suy ra P ( X E(X) 4)  P(X  4)P(X 8)0,10,60,7.
§2 Biến ngẫu nhiên liên tục
Bài 2.27 Nhu cầu hàng năm về loại hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như
sau ( đơn vị: ngàn sản phẩm)
k  30  x   x  (0,30)
f x   a) Tìm k. b)
Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó không vượt quá 12000 sản phẩm một năm. c)
Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó. Giải:  0 30 
a) Ta có k  0 và  f x  dx =1 =  f x  dx +  f x  dx +  f x  dx   0 30 30 30  x2  30 = 30x
 f x  dx = k (30  x ) dx = k    |0 =450k 0 0  2  16 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Vậy k = 1/450.
b) Xác suất để nhu cầu về loại hàng A không vượt quá 12 ngàn sản phẩm một năm là 12 12 12 1 1 x2 12 (30  x ) dx
P(X  12) =  f x  dx =  f x  dx =   (30 x  ) |0  0,64.  0 0 450 450 2
c) Nhu cầu trung bình hàng năm về loại hàng đó cũng chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X: 1  30
1.  30  x  dx  x 2 x3  30
E(X)=  xf x  dx = x.   30.   |0 10.  0 450 450 2 3 
Bài 2.28 Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân bố xác x  0 0 3
suất như sau ( đơn vị phút ) F ( x )   0 ax
3x2  2x   x 1 1  x 1 a) Tìm hệ số a.
b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình
c) Tìm xác suất để trong 3 người xếp hàng thì có không quá 2 người phải chờ quá 0,5 phút
0 x  ( ; 0) (1;)
Giải: Ta có f (x) 
 6x  2 0  x 3ax 2  1 
a) Do f(x) là hàm mật độ xác suất của 1 biến ngẫu nhiên nên:  1
1   f ( x ) dx  (3ax 2  6 x  2) dx  ax 3  3x2  2 x |10  a  1  a  2 .  0  1 3
b) E ( X )   xf ( x ) dx  x (3ax 2  6 x  2) dx ax 4  2x3  x2 |10  0,5  .  0 4
c) Xác suất để một người nào đó xếp hàng phải chờ quá 0,5 phút là:
PX  0.5= 1 PX  0.5 1 F 0.5 1 (2.0,53 3.0,52  2.0,5)  0,5.
Xác suất để cả 3 người xếp hàng phải chờ quá 0,5 phút là 0.53 nên
Xác suất để có không quá 2 trong 3 người nào đó xếp hàng phải chờ quá 0.5 phút: Pc =1- 0.53 =0,875.
Bài 2.29 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố xác suất sau đây: F ( x )  1  1 arctanx . 2 
a) Tìm P(0b) Tìm hàm mật độ xác suất của X. 17 TS. Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải: a) P (0F(0)  1 1   1 1     arctan1     arctan0   2    2   arctan1  1 1  arctan0    1    0  .    4  4 ' arctanx  1 1  1  ' 1 b) f(x)  F’(x)    arctanx    2 .  2     (1 x )
Bài 2.30 Biến ngẫu nhiên X có hàm phân bố xác suất như sau:   x/ 1 F x     x  e 0 0   x  0
a) Tìm hàm mật độ xác suất của X.
b) Tìm P (0  x   ) .
Giải: a) Ta có: 1   x /  '    x /    x.0 1  x/ e e .  2  e .  1  x/
Hàm mật độ xác suất của X là: f (x )  F ' x  x     e 0  0 x  0 
b) Ta có: P (0  x   )  F ( ) – F 0  1 e /   1 1  e 1 . e e
Bài 2.31 Biến ngẫu nhiên X liên tục trên toàn trục số và có hàm phân bố xác suất F ( x ) 1 1 x   arctan . 2  2
Tìm giá trị có thể có x thỏa mãn điều kiện P ( X  x )  1 . 1 1 4
 P ( X  x )  1 P ( X  x )
Giải: Ta có P ( X  x )  3 1 1 1 4
Theo định nghĩa hàm phân bố xác suất thì:
P ( X  x1 )  F ( x1 )
Do đó F ( x ) 1 1 x1 3 x1  x1  1    arctan   arctan   x  2 . 1 2  2 4 2 4 2 1 Vậy x1  2 .
Bài 2.32 Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục trong khoảng (- ;  )
với hàm mật độ xác suất là f (x) . Hãy 1