Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân

Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân
Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 Tính các tích phân sau: a) 1∫0(y3+3y2−2)dy b)4∫1(t+1/√t−1/t2)dt c) π/2∫0(2cosx−sin2x)dx d) 1∫0(3s−2s)2ds
e) π/3∫0cos3xdx+3π/2∫π/3cos3xdx+5π/2∫3π/2cos3xdx g)3∫0|x2−x−2|dx
h) 5π/4∫πsinx−cosx/√1+sin2xdx i) 4∫04x−1√2x+1+2dx Hướng dẫn làm bài a) −3/4 b) 35/4 c) 1 d) 4/ln3−10/ln6+3/2ln2 e) −1/3 g) 31/6
=2∫0−(x2−x−2)dx+3∫2(x2−x−2)dx h) 1/2ln2
HD: 5π/4∫πsinx−cosx/√1+sin2xdx
=5π/4∫πsinx−cosx/|sinx+cosx|dx=5π/4∫πd(sinx+cosx)/sinx+cosx i) 34/3+10ln3/5 HD: Đặt t=√2x+1
Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a) 2∫1x(1−x)5dx (đặt t = 1 – x)
b) ln2∫0√ex−1dx (đặt t=√ex−1t=ex−1) c) 9∫1x dx (đặt )
d) 1∫−12x+1/√x2+x+1dx (đặt u=√x2+x+1)
e) 2∫1√1+x2/x4dx (đặt t=1x)
g) π∫0xsinx/1+cos2xdx (đặt x=π−t) h) 1∫−1x2(1−x3)4dx
i) 1∫0dx/1+x2 (đặt x=tanu) Hướng dẫn làm bài a) −13/42 b) 2−π/2 c) −468/7 d) 2(√3−1) e) −1/3(5√5/8−2√2) g) π2/4
HD: Đặt x=π−t, ta suy ra:
π∫0xsinx/1+cos2xdx=π/2π∫0sinx/1+cos2xdx=π/2π∫0−d(cosx)/1+cos2x
Vậy π∫0xsinx/1+cos2xdx=π/21∫−1dt/1+t2 Đặt tiếp t = tan u h) 25/15 HD: Đặt t = 1 – x3 i) π/4
Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 a) π/2∫0xcos2xdx b) ln2∫0xe−2xdx c) 1∫0ln(2x+1)dx
d) 3∫2[ln(x−1)−ln(x+1)]dx e) 2∫12(1+x−1/x)ex+1/xdx g) π/2∫0xcosxsin2xdx h) 1∫0xex/(1+x)2dx i) e∫11+xlnx/x.exdx Hướng dẫn làm bài a) −1/2 b) 1/4(3/4−ln2/2) c) 3/2ln3−1 d) 3ln3−6ln2 e) 3/2e5/2
HD: 2∫1/2(1+x−1/x)ex+1/xdx=2∫1/2ex+1/xdx+2∫1/2(x−1/x)ex+1/xdx
Tính tích phân từng phần: 2∫1/2ex+1/xdx=xex+1/x∣ 21/2−2∫1/2(x−1/x)ex+1/xdx g) π/6−2/9 HD: Đặt u=x,dv=cosxsin2xdx
h) e/2−1. HD: 1∫0xex/(1+x)2dx=1∫0ex/1+x.dx−1∫0ex/(1+x)2dx và tính tích phân từng phần:
1∫0xex/(1+x)2dx=−ex/1+x∣ 10+1∫0ex/1+xdx
i) ee. HD: Tương tự câu g)
Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau đây: a) π/2∫0(x+1)cos(x+π/2)dx b) 1∫0x2+x+1/x+1log2(x+1)dx
c) 1∫1/2x2−1/x4+1dx (đặt t=x+1/x)
d)π/2∫0sin2xdx/3+4sinx−cos2x Hướng dẫn làm bài a) – 2
b) 1/2ln2(1/2+ln22). HD:x2+x+1/x+1.log2(x+1)=1/ln2[xln(x+1)+ln(x+1)/x+1]
c)1/2√2.ln.6−√2/6+√2. HD: Đặt t=x+1/xnta nhận được:
2∫5/2dt/t2−2=1/2√2.ln.|t−√2/t+√2∣ |25/2=1/2√2.ln.6−√2/6+√2
d) ln2−1/2. HD: π/2∫0sin2xdx/3+4sinx−cos2x=π/2∫0sinx.d(sinx+1)/(sinx+1)2=ln2−1/2
Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 Chứng minh rằng: lim 1 x→+∞ ∫0xnsinπxdx=0 Hướng dẫn làm bài
Với x∈ [0;1], ta có 0≤xnsinπx≤xn. Do đó:
0≤1∫0xnsinπxdx≤1∫0xndx=1/n+1
Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.
Bài 3.15 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi f(x)=x∫0t/√1+t4dt,x∈ R là hàm số chẵn. Hướng dẫn làm bài
Đặt t = - s trong tích phân: f(−x)=−x∫0t/√1+t4dt, ta được:f(−x)=−x∫0t/√1+t4dt=x∫0s/√1+s4ds=f(x)
Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
a∫−af(x)dx= 2a∫0f(x)dx,(1);0,(2)
(1): nếu f là hàm số chẵn
(2): nếu f là hàm số lẻ.
Áp dụng để tính: 2∫−2ln(x+√1+x2)dx Hướng dẫn làm bài
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
a∫−af(x)dx=0∫−af(x)dx+a∫0f(x)dx
Đổi biến x = - t đối với tích phân 0∫−af(x)dx, ta được:
0∫−af(x)dx=−0∫af(−t)dt=a∫0f(t)dt=a∫0f(x)dx
Vậy a∫−af(x)dx=2a∫0f(x)dx
Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:
Vì g(x)=ln(x+√1+x2) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên 2∫−2g(x)dx=0
Bài 3.17 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: π/2∫0f(sinx)dx=π/2∫0f(cosx)dx Hướng dẫn làm bài
Đổi biến số: x=π/2−t, ta được:
π/2∫0f(sinx)dx=−0∫π/2f(sin(π/2−t))dt=π/2∫0f(cost)dt
Hay π/2∫0f(sinx)dx=π/2∫0f(cosx)dx
Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Đặt In=π/2∫0sinnxdx,n∈ N∗
a) Chứng minh rằng In=n−1/n.In−2,n>2 b) Tính I3 và I5. Hướng dẫn làm bài
a) Xét với n > 2, ta có: In=π/2∫0sinn−1x.sinxdx
Dùng tích phân từng phần ta có: In=π/2∫0sinn−1xsinxdx
=−cosxsinn−1x∣ π/20+(n−1)π/2∫0sinn−2xcos2xdx
=(n−1)π/2∫0(sinn−2x−sinnx)dx =(n−1)In−2−(n−1)In Vậy In=n−1/nIn−2 b) I3=2/3,I5=8/15
Bài 3.19 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Đặt Im,n=1∫0xm(1−x)ndx,m,n∈ N∗ Im. Chứng minh rằng:Im,n=n/m+1Im+1,n−1,m>0,n>1
Từ đó tính I1,2 và I1,3. Hướng dẫn làm bài
Dùng tích phân từng phần với u=(1−x)n,dv=xmdx, ta được:
Im,n=xm+1/m+1(1−x)n∣ 10+n/m+11∫0xm+1(1−x)n−1dx
Vậy Im,n=n/m+11∫0xm+1(1−x)n−1dx
=n/m+1.Im+1,n−1,n>1,m>0 I1,2=1/12 và I1,3=1/20