Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân

Mời các bạn tham khảo tài liệu Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân, với nội dung được cập nhật chi tiết và chính xác sẽ là nguồn thông tin hay để phục vụ công việc học tập của các bạn học sinh được tốt hơn.

27 14 lượt tải Tải xuống
Chia sẻ Báo cáo tài liệu

Chủ đề: Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Môn: Toán 12

Thông tin:

5 trang 8 tháng trước

Tác giả:

Profile Nguyễn Vân
Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân
Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a)
1
∫
0
(y
3
+3y
2
−2)dy
b)
4
∫
1
(t+1/√t−1/t
2
)dt
c)
π/2
∫
0
(2cosx−sin2x)dx
d)
1
∫
0
(3
s
−2
s
)
2
ds
e)
π/3
∫
0
cos3xdx+
3π/2
∫
π/3
cos3xdx+
5π/2
∫
3π/2
cos3xdx
g)
3
∫
0
|x
2
−x−2|dx
h)
5π/4
∫
π
sinx−cosx/√1+sin2xdx
i)
4
∫
0
4x−1√2x+1+2dx
Hướng dẫn làm bài
a) −3/4
b) 35/4
c) 1
d) 4/ln3−10/ln6+3/2ln2
e) −1/3
g) 31/6
=
2
∫
0
−(x
2
−x−2)dx+
3
∫
2
(x
2
−x−2)dx
h) 1/2ln2
HD:
5π/4
∫
π
sinx−cosx/√1+sin2xdx
=
5π/4
∫
π
sinx−cosx/|sinx+cosx|dx=
5π/4
∫
π
d(sinx+cosx)/sinx+cosx
i) 34/3+10ln3/5
HD: Đặt t=√2x+1
Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a)
2
∫
1
x(1−x)
5
dx (đặt t = 1 – x)
b)
ln2
∫
0
√e
x
−1dx (đặt t=√ex−1t=ex−1)
c)
9
∫
1
x dx (đặt )
d)
1
∫
−1
2x+1/√x
2
+x+1dx (đặt u=√x
2
+x+1)
e)
2
∫
1
√1+x
2
/x
4
dx (đặt t=1x)
g)
π
∫
0
xsinx/1+cos
2
xdx (đặt x=π−t)
h)
1
∫
−1
x
2
(1−x
3
)
4
dx
i)
1
∫
0
dx/1+x
2
(đặt x=tanu)
Hướng dẫn làm bài
a) −13/42
b) 2−π/2
c) −468/7
d) 2(√3−1)
e) −1/3(5√5/8−2√2)
g) π
2
/4
HD: Đặt x=π−t, ta suy ra:
π
∫
0
xsinx/1+cos
2
xdx=π/2
π
∫
0
sinx/1+cos
2
xdx=π/2
π
∫
0
−d(cosx)/1+cos
2
x
Vậy
π
∫
0
xsinx/1+cos
2
xdx=π/2
1
∫
−1
dt/1+t
2
Đặt tiếp t = tan u
h) 2
5
/15
HD: Đặt t = 1 – x
3
i) π/4
Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
a)
π/2
∫
0
xcos2xdx
b)
ln2
∫
0
xe
−2x
dx
c)
1
∫
0
ln(2x+1)dx
d)
3
∫
2
[ln(x−1)−ln(x+1)]dx
e)
2
∫
12
(1+x−1/x)e
x+1/x
dx
g)
π/2
∫
0
xcosxsin
2
xdx
h)
1
∫
0
x
ex
/(1+x)
2
dx
i)
e
∫
1
1+xlnx/x.e
x
dx
Hướng dẫn làm bài
a) −1/2
b) 1/4(3/4−ln2/2)
c) 3/2ln3−1
d) 3ln3−6ln2
e) 3/2e
5/2
HD:
2
∫
1/2
(1+x−1/x)e
x+1/x
dx=
2
∫
1/2
e
x+1/x
dx+
2
∫
1/2
(x−1/x)e
x+1/x
dx
Tính tích phân từng phần:
2
∫
1/2
e
x+1/x
dx=xe
x+1/x
∣
2
1/2
−
2
∫
1/2
(x−1/x)e
x+1/x
dx
g) π/6−2/9
HD: Đặt u=x,dv=cosxsin
2
xdx
h) e/2−1. HD:
1
∫
0
xe
x
/(1+x)
2
dx=
1
∫
0
e
x
/1+x.dx−
1
∫
0
e
x
/(1+x)
2
dx và tính tích phân từng phần:
1
∫
0
xe
x
/(1+x)
2
dx=−e
x
/1+x∣
1
0
+
1
∫
0
e
x
/1+xdx
i) e
e
. HD: Tương tự câu g)
Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau đây:
a)
π/2
∫
0
(x+1)cos(x+π/2)dx
b)
1
∫
0
x
2
+x+1/x+1log
2
(x+1)dx
c)
1
∫
1/2
x
2
−1/x
4
+1dx (đặt t=x+1/x)
d)
π/2
∫
0
sin2xdx/3+4sinx−cos2x
Hướng dẫn làm bài
a) – 2
b) 1/2ln2(1/2+ln
2
2). HD:x
2
+x+1/x+1.log
2(
x+1)=1/ln2[xln(x+1)+ln(x+1)/x+1]
c)1/2√2.ln.6−√2/6+√2. HD: Đặt t=x+1/xnta nhận được:
2
∫
5/2
dt/t
2
−2=1/2√2.ln.|t−√2/t+√2∣ |
2
5/2
=1/2√2.ln.6−√2/6+√2
d) ln2−1/2. HD:
π/2
∫
0
sin2xdx/3+4sinx−cos2x=
π/2
∫
0
sinx.d(sinx+1)/(sinx+1)
2
=ln2−1/2
Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh rằng: lim
x→+∞
1
∫
0
x
n
sinπxdx=0
Hướng dẫn làm bài
Với x∈ [0;1], ta có 0≤x
n
sinπx≤x
n
. Do đó:
0≤
1
∫
0
x
n
sinπxdx≤
1∫
0
x
n
dx=1/n+1
Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.
Bài 3.15 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi f(x)=
x
∫
0
t/√1+t
4
dt,x∈ R là hàm số chẵn.
Hướng dẫn làm bài
Đặt t = - s trong tích phân: f(−x)=
−x
∫
0
t/√1+t
4
dt, ta được:f(−x)=
−x
∫
0
t/√1+t
4
dt=
x
∫
0
s/√1+s
4
ds=f(x)
Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
a
∫
−a
f(x)dx= 2
a
∫
0
f(x)dx,(1);0,(2)
(1): nếu f là hàm số chẵn
(2): nếu f là hàm số lẻ.
Áp dụng để tính:
2
∫
−2
ln(x+√1+x
2
)dx
Hướng dẫn làm bài
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
a
∫
−a
f(x)dx=
0
∫
−a
f(x)dx+
a
∫
0
f(x)dx
Đổi biến x = - t đối với tích phân
0
∫
−a
f(x)dx, ta được:
0
∫
−a
f(x)dx=
−0
∫
a
f(−t)dt=
a
∫
0f
(t)dt=
a
∫
0
f(x)dx
Vậy
a
∫
−a
f(x)dx=2
a
∫
0
f(x)dx
Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:
Vì g(x)=ln(x+√1+x
2
) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên
2
∫
−2
g(x)dx=0
Bài 3.17 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng:
π/2
∫
0
f(sinx)dx=
π/2
∫
0
f(cosx)dx
Hướng dẫn làm bài
Đổi biến số: x=π/2−t, ta được:
π/2
∫
0
f(sinx)dx=−
0
∫
π/2
f(sin(π/2−t))dt=
π/2
∫
0
f(cost)dt
Hay
π/2
∫
0
f(sinx)dx=
π/2
∫
0
f(cosx)dx
Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Đặt I
n
=
π/2
∫
0
sin
n
xdx,n∈ N∗
a) Chứng minh rằng I
n
=n−1/n.I
n−2
,n>2
b) Tính I
3
và I
5
.
Hướng dẫn làm bài
a) Xét với n > 2, ta có: I
n
=
π/2
∫
0
sin
n−1
x.sinxdx
Dùng tích phân từng phần ta có:
I
n
=
π/2
∫
0
sin
n−1
xsinxdx
=−cosxsin
n−1
x∣
π/2
0
+(n−1)
π/2
∫
0
sin
n−2
xcos
2
xdx
=(n−1)
π/2
∫
0
(sin
n−2
x−sin
n
x)dx
=(n−1)I
n−2
−(n−1)I
n
Vậy I
n
=n−1/n
In−2
b) I
3
=2/3,I
5
=8/15
Bài 3.19 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Đặt I
m,n
=
1
∫
0
x
m
(1−x)
n
dx,m,n∈ N∗ Im. Chứng minh rằng:I
m,n
=n/m+1I
m+1
,
n−1
,m>0,n>1
Từ đó tính I
1,2
và I
1,3
.
Hướng dẫn làm bài
Dùng tích phân từng phần với u=(1−x)
n
,dv=x
m
dx, ta được:
I
m,n
=x
m+1
/m+1(1−x)
n
∣
1
0
+n/m+1
1
∫
0
x
m+1
(1−x)
n−1
dx
Vậy I
m,n
=n/m+1
1
∫
0
x
m+1
(1−x)
n−1
dx
=n/m+1.I
m+1,n−1
,n>1,m>0
I
1,2
=1/12 và I
1,3
=1/20
| 1/5
| | Tải xuống

Có thể bạn quan tâm:

Preview text:

Giải SBT Toán 12 bài 2: Tích phân
Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 Tính các tích phân sau: a) 1∫0(y3+3y2−2)dy b)4∫1(t+1/√t−1/t2)dt c) π/2∫0(2cosx−sin2x)dx d) 1∫0(3s−2s)2ds
e) π/3∫0cos3xdx+3π/2∫π/3cos3xdx+5π/2∫3π/2cos3xdx g)3∫0|x2−x−2|dx
h) 5π/4∫πsinx−cosx/√1+sin2xdx i) 4∫04x−1√2x+1+2dx Hướng dẫn làm bài a) −3/4 b) 35/4 c) 1 d) 4/ln3−10/ln6+3/2ln2 e) −1/3 g) 31/6
=2∫0−(x2−x−2)dx+3∫2(x2−x−2)dx h) 1/2ln2
HD: 5π/4∫πsinx−cosx/√1+sin2xdx
=5π/4∫πsinx−cosx/|sinx+cosx|dx=5π/4∫πd(sinx+cosx)/sinx+cosx i) 34/3+10ln3/5 HD: Đặt t=√2x+1
Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a) 2∫1x(1−x)5dx (đặt t = 1 – x)
b) ln2∫0√ex−1dx (đặt t=√ex−1t=ex−1) c) 9∫1x dx (đặt )
d) 1∫−12x+1/√x2+x+1dx (đặt u=√x2+x+1)
e) 2∫1√1+x2/x4dx (đặt t=1x)
g) π∫0xsinx/1+cos2xdx (đặt x=π−t) h) 1∫−1x2(1−x3)4dx
i) 1∫0dx/1+x2 (đặt x=tanu) Hướng dẫn làm bài a) −13/42 b) 2−π/2 c) −468/7 d) 2(√3−1) e) −1/3(5√5/8−2√2) g) π2/4
HD: Đặt x=π−t, ta suy ra:
π∫0xsinx/1+cos2xdx=π/2π∫0sinx/1+cos2xdx=π/2π∫0−d(cosx)/1+cos2x
Vậy π∫0xsinx/1+cos2xdx=π/21∫−1dt/1+t2 Đặt tiếp t = tan u h) 25/15 HD: Đặt t = 1 – x3 i) π/4
Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 a) π/2∫0xcos2xdx b) ln2∫0xe−2xdx c) 1∫0ln(2x+1)dx
d) 3∫2[ln(x−1)−ln(x+1)]dx e) 2∫12(1+x−1/x)ex+1/xdx g) π/2∫0xcosxsin2xdx h) 1∫0xex/(1+x)2dx i) e∫11+xlnx/x.exdx Hướng dẫn làm bài a) −1/2 b) 1/4(3/4−ln2/2) c) 3/2ln3−1 d) 3ln3−6ln2 e) 3/2e5/2
HD: 2∫1/2(1+x−1/x)ex+1/xdx=2∫1/2ex+1/xdx+2∫1/2(x−1/x)ex+1/xdx
Tính tích phân từng phần: 2∫1/2ex+1/xdx=xex+1/x∣ 21/2−2∫1/2(x−1/x)ex+1/xdx g) π/6−2/9 HD: Đặt u=x,dv=cosxsin2xdx
h) e/2−1. HD: 1∫0xex/(1+x)2dx=1∫0ex/1+x.dx−1∫0ex/(1+x)2dx và tính tích phân từng phần:
1∫0xex/(1+x)2dx=−ex/1+x∣ 10+1∫0ex/1+xdx
i) ee. HD: Tương tự câu g)
Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Tính các tích phân sau đây: a) π/2∫0(x+1)cos(x+π/2)dx b) 1∫0x2+x+1/x+1log2(x+1)dx
c) 1∫1/2x2−1/x4+1dx (đặt t=x+1/x)
d)π/2∫0sin2xdx/3+4sinx−cos2x Hướng dẫn làm bài a) – 2
b) 1/2ln2(1/2+ln22). HD:x2+x+1/x+1.log2(x+1)=1/ln2[xln(x+1)+ln(x+1)/x+1]
c)1/2√2.ln.6−√2/6+√2. HD: Đặt t=x+1/xnta nhận được:
2∫5/2dt/t2−2=1/2√2.ln.|t−√2/t+√2∣ |25/2=1/2√2.ln.6−√2/6+√2
d) ln2−1/2. HD: π/2∫0sin2xdx/3+4sinx−cos2x=π/2∫0sinx.d(sinx+1)/(sinx+1)2=ln2−1/2
Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12 Chứng minh rằng: lim 1 x→+∞ ∫0xnsinπxdx=0 Hướng dẫn làm bài
Với x∈ [0;1], ta có 0≤xnsinπx≤xn. Do đó:
0≤1∫0xnsinπxdx≤1∫0xndx=1/n+1
Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.
Bài 3.15 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi f(x)=x∫0t/√1+t4dt,x∈ R là hàm số chẵn. Hướng dẫn làm bài
Đặt t = - s trong tích phân: f(−x)=−x∫0t/√1+t4dt, ta được:f(−x)=−x∫0t/√1+t4dt=x∫0s/√1+s4ds=f(x)
Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
a∫−af(x)dx= 2a∫0f(x)dx,(1);0,(2)
(1): nếu f là hàm số chẵn
(2): nếu f là hàm số lẻ.
Áp dụng để tính: 2∫−2ln(x+√1+x2)dx Hướng dẫn làm bài
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
a∫−af(x)dx=0∫−af(x)dx+a∫0f(x)dx
Đổi biến x = - t đối với tích phân 0∫−af(x)dx, ta được:
0∫−af(x)dx=−0∫af(−t)dt=a∫0f(t)dt=a∫0f(x)dx
Vậy a∫−af(x)dx=2a∫0f(x)dx
Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:
Vì g(x)=ln(x+√1+x2) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên 2∫−2g(x)dx=0
Bài 3.17 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: π/2∫0f(sinx)dx=π/2∫0f(cosx)dx Hướng dẫn làm bài
Đổi biến số: x=π/2−t, ta được:
π/2∫0f(sinx)dx=−0∫π/2f(sin(π/2−t))dt=π/2∫0f(cost)dt
Hay π/2∫0f(sinx)dx=π/2∫0f(cosx)dx
Bài 3.18 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Đặt In=π/2∫0sinnxdx,n∈ N∗
a) Chứng minh rằng In=n−1/n.In−2,n>2 b) Tính I3 và I5. Hướng dẫn làm bài
a) Xét với n > 2, ta có: In=π/2∫0sinn−1x.sinxdx
Dùng tích phân từng phần ta có: In=π/2∫0sinn−1xsinxdx
=−cosxsinn−1x∣ π/20+(n−1)π/2∫0sinn−2xcos2xdx
=(n−1)π/2∫0(sinn−2x−sinnx)dx =(n−1)In−2−(n−1)In Vậy In=n−1/nIn−2 b) I3=2/3,I5=8/15
Bài 3.19 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Đặt Im,n=1∫0xm(1−x)ndx,m,n∈ N∗ Im. Chứng minh rằng:Im,n=n/m+1Im+1,n−1,m>0,n>1
Từ đó tính I1,2 và I1,3. Hướng dẫn làm bài
Dùng tích phân từng phần với u=(1−x)n,dv=xmdx, ta được:
Im,n=xm+1/m+1(1−x)n∣ 10+n/m+11∫0xm+1(1−x)n−1dx
Vậy Im,n=n/m+11∫0xm+1(1−x)n−1dx
=n/m+1.Im+1,n−1,n>1,m>0 I1,2=1/12 và I1,3=1/20